Application of Derivative WA

Mathamtics

Question bank on Application of Derivative Select the correct alternative : (Only one is correct) Q.1

Suppose x1 & x2  are the point of maximum and the point of minimum respectively of the function f(x) = 2x3   9 ax2 + 12 a2x + 1  respectively, then for the equality   x12  = x2 to be true the value of 'a' must be (A)  0 (B)  2 (C)  1 (D)  1/4

Q.2

(A)  Q.3

1 2e

(B) 

1 4e

(C) 

1 e

1 8e

(D) 

The angle at which the curve  y = KeKx  intersects the y-axis is : (A)  tan 1 k2

Q.4

2

2

Point 'A' lies on the curve  y  e  x  and has the coordinate (x,  e  x ) where x > 0. Point B has the coordinates (x, 0). If 'O' is the origin then the maximum area of the triangle AOB is

(B)  cot 1 (k2)

(C) sec 1   1  k 4   

(D) none

n2  . The largest term of this progression  is : {a1, a2, ....., a4, ......} is a progression where  an =  3 n  200

(A)  a6

(B)  a7

(C)  a8

     (D)  none x

Q.5

The angle between the tangent lines to the graph of the function   f (x) =   ( 2 t  5) dt    at the points where 2

the graph cuts the x-axis is (A)  /6 (B)  /4 Q.6

Q.7

The minimum value of the polynomial  x(x + 1) (x + 2) (x + 3) is : (A)  0 (B)  9/16 (C)    1



Q.9



(B)  1/2

(C)  1

(D)  3

The radius of a right circular cylinder increases at the rate of 0.1 cm/min, and the height decreases at the rate of 0.2 cm/min. The rate of change of the volume of the cylinder, in cm3/min, when the radius is 2 cm and the height is 3 cm is (B) – 

8 5

(C) – 

3 5

(D) 

2 5

If a variable tangent to the curve x2y = c3 makes intercepts a, b on x and y axis respectively, then the value of a2b is (A) 27 c3

Q.11

(D)    3/2

    The difference between the greatest and the least values of the function,  f (x) = sin2x – x on    ,   2 2 3  3 2   (A)  (B) 0 (C)  (D)   2 3 2 3

(A) – 2 Q.10

(D)  /2

tan x  6  is : The minimum value of  tan x

(A)  0 Q.8

(C)  /3

(B)

4 3 c 27

(C) 

27 3 c 4

Difference between the greatest and the least values of the function f (x) = x(ln x – 2) on [1, e2] is (A) 2 (B) e (C) e2

4 3 (D)  c 9

(D) 1

IIT-ian’s Pace Education Pvt ltd., A-7,Acharya Niketan,Mayur Vihar Phase-1, Delhi-+91-11-22751870,43095612 : www.iitianspace.com

1

Mathamtics

Q.12

tan n x

Let  f (x) = 



2n

tan r x

   ,  n   N, where  x     0,  2 

r 0

(A) f (x) is bounded and it takes both of it's bounds and the range of  f (x) contains exactly one integral point. (B) f (x) is bounded and it takes both of it's bounds and the range of  f (x) contains more than one integral point. (C) f (x) is bounded but minimum and maximum does not exists. (D) f (x) is not bounded as the upper bound does not exist. Q.13

Q.14

If  f (x) = x3 + 7x – 1 then f (x) has a zero between x = 0 and x = 1. The theorem which best describes this, is (A) Squeeze play theorem (B) Mean value theorem (C) Maximum-Minimum value theorem (D) Intermediate value theorem  x sin for x  0  x    then the number of points in (0, 1) where the Consider the function   f (x) =    0 for x  0 derivative  f (x)  vanishes , is (A) 0 (B) 1

Q.15

(D) infinite

The sum of lengths of the hypotenuse and another side of a right angled triangle is given. The area of the triangle will be maximum if the angle between them is : (A)  

Q.16

(C) 2



(B)  

6

 4

(C)  



(D)  

3

5 12

In which of the following functions Rolle’s theorem is applicable? 

(A) f(x) =  

x , 0 x  1 0 ,

x 1

 on [0, 1]

x  x 6  on [–2,3] x 1 2

(C) f(x) = 

sin x ,   x  0 x 

(B) f(x) =  

 0

  on [– , 0] ,

x 0

x 3  2 x 2  5x  6 if x  1, on [  2,3]  x  1 (D) f(x) =     6 if x  1 

Q.17

Suppose that f (0) = – 3 and f ' (x)   5 for all values of x. Then the largest value which f (2) can attain is (A) 7 (B) – 7 (C) 13 (D) 8

Q.18

The tangent to the graph of the function  y = f(x)  at the point with abscissa  x = a  forms with the x-axis an angle of  /3 and at the point with abscissa  x = b  at an angle of  /4, then the value of the integral, b

 f  (x) . f  (x) dx  is equal to a

(A) 1 (B) 0 [ assume  f  (x) to be continuous ] Q.19

(C)  

3

(D) –1

Let C be the curve y = x3 (where x takes all real values). The tangent at A meets the curve again at B. If the gradient at B is K times the gradient at A then K is equal to (A) 4 (B) 2 (C) – 2 (D) 1/4

IIT-ian’s Pace Education Pvt ltd., A-7,Acharya Niketan,Mayur Vihar Phase-1, Delhi-+91-11-22751870,43095612 : www.iitianspace.com

2

Q.20

The vertices of a triangle are (0, 0), (x, cos x) and (sin3x, 0) where 0  0) meets C1 again at B(1,y2) y1  y2  . The value of ‘a’ is (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 1 1   2   f (x) =     dx  then f is 1 x2 1 x2   (A) increasing in (0,  ) and decreasing in (–  , 0)  (B) increasing in (–  , 0) and decreasing in (0,   (C) increasing in (–   ,    (D) decreasing in (–   ,   

Q.28

IIT-ian’s Pace Education Pvt ltd., A-7,Acharya Niketan,Mayur Vihar Phase-1, Delhi-+91-11-22751870,43095612 : www.iitianspace.com

3

Mathamtics

Q.29

The lower corner of a leaf in a book is folded over so as to just reach the inner edge of the page. The fraction of width folded over if the area of the folded part is minimum is : (A)  5/8 (B)  2/3 (C)  3/4 (D)  4/5

Q.30

A rectangle with one side lying along the x-axis is to be inscribed in the closed region of the xy plane bounded by the lines y = 0, y = 3x, and y = 30 – 2x. The largest area of such a rectangle is (A) 

135 8

(B) 45

(C) 

135 2

(D) 90

x 1

x  

Q.31

3 0 x  1 Which of the following statement is true for the function     f ( x )   x   3 (A) It is monotonic increasing   x  R  x  4 x x  0 3 (B) f  (x) fails to exist for 3 distinct real values of x (C) f  (x) changes its sign twice as x varies from (–  ,  ) (D) function attains its extreme values at x1 & x2 , such that x1, x2 > 0

Q.32

A closed vessel tapers to a point both at its top E and its bottom F and is fixed with EF vertical when the depth of the liquid in it is  x cm, the volume of the liquid in it is,  x2 (15   x) cu. cm. The length EF is: (A)  7.5 cm (B)  8 cm (C)  10 cm (D)  12 cm

Q.33

Coffee is draining from a conical filter, height and diameter both 15 cms into a cylinderical coffee pot diameter 15 cm. The rate at which coffee drains from the filter into the pot is 100 cu cm /min. The rate in cms/min at which the level in the pot is rising at the instant when the coffee in the pot is 10 cm, is (A) 

Q.34

9 16 

(B) 

25 9

(C) 

5 3

(D) 

16 9

Let f (x) and g (x) be two differentiable function in R and f (2) = 8,  g (2) = 0,  f (4) = 10 and g (4) = 8 then (B) 3g ' (x) = 4 f ' (x)   for at least one x   (2, 4) (A) g ' (x) > 4 f ' (x)     x   (2, 4) (C) g (x) > f (x)     x   (2, 4) (D) g ' (x) = 4 f ' (x)   for at least one x   (2, 4) m n

Q.35

Let m and n be odd integers such that o  h''(x) h(x)

for each x   J.  Then

(A) g is increasing on J (C) g is concave up on J

(B) g is decreasing on J (D) g is concave down on J

( x  1)(6 x  1) 1 if x  2 2x  1



Let  f (x) =  



0

(A) f  has a local maxima (C) f  has an inflection point Q.59

p p q

Let h be a twice continuously differentiable positive function on an open interval J. Let g(x) = ln h ( x )  for  each x   J Suppose

Q.58

(D)  

if x 

   then at x = 

1 2

1 2

(B) f  has a local minima (D) f  has a removable discontinuity

Let  f (x) and g (x) be two continuous functions defined from R  





 R, such that f (x1) > f (x2) and

g (x1)  x2 , then solution set of   f g ( 2 2 )  >  f  g (3  4)   is (A) R (B)  (C) (1, 4) (D) R – [1, 4]

IIT-ian’s Pace Education Pvt ltd., A-7,Acharya Niketan,Mayur Vihar Phase-1, Delhi-+91-11-22751870,43095612 : www.iitianspace.com

6

Mathamtics x2

Q.60

If  f(x) =   (t   1) dt ,  1   x   2,  then global maximum value of  f(x)  is : x

(A)  1 Q.61

(B)  2

(C)  4

(D)  5

A right triangle is drawn in a semicircle of radius 1/2 with one of its legs along the diameter. The maximum area of the triangle is (A) 

1 4

(B) 

3 3 32

(C) 

3 3 16

(D) 

1 8

Q.62

At any two points of the curve represented parametrically by  x = a (2 cos t   cos 2t) ; y = a (2 sin t   sin 2t) the tangents are parallel to the axis of x  corresponding to the values of the parameter  t  differing from each other by : (B)  3 /4 (C)   /2 (D)   /3 (A)  2 /3

Q.63

Let x be the length of one of the equal sides of an isosceles triangle, and let   be the angle between them. If x is increasing at the rate (1/12) m/hr, and   is increasing at the rate of  /180 radians/hr then the rate in m2/hr at which the area of the triangle is increasing when x = 12 m and   =  /4

Q.64

2    (A) 21/2  1  5  

(B) 

If the function  f (x) = 

t  3x  x 2 , where 't' is a parameter has a minimum and a maximum then the x 4

73 1/2  · 2 2

(C) 

range of values of 't' is (A) (0, 4) (B) (0,  ) Q.65

 1   (D) 21/2     2 5

31 2   2 5

(C) (–  , 4)

(D) (4,  )

The least area of a circle circumscribing any right triangle of area S is : (A)    S

(C)   2   S

(B)  2   S

(D)  4   S

Q.66

A point is moving along the curve y3 = 27x. The interval in which the abscissa changes at slower rate than ordinate, is (A) (–3 , 3) (B) (–   ,   ) (C) (–1, 1)  (D) (–  , –3)  (3,  )

Q.67

Let f (x) and g (x) are two function which are defined and differentiable for all x  x0. If  f (x0) = g (x0) and f ' (x) > g ' (x) for all x > x0 then (A) f (x)  x0 (B) f (x) = g (x) for some x > x0 (C) f (x) > g (x) only for some x > x0 (D) f (x) > g (x) for all x > x0

Q.68

P and Q are two points on a circle of centre C and radius  , the angle PCQ being 2  then the radius of the circle inscribed in the triangle CPQ is maximum when (A)  sin  

Q.69

3 1 2 2

5 1 2

(C)  sin  

5 1 2

(D)  sin  

5 1 4



The line which is parallel to x-axis and crosses the curve y =  x  at an angle  of   is 4

(A)  y =   1/2 Q.70

(B) sin  

(B)  x = 1/2

(C)  y = 1/4

(D)  y = 1/2

x   t2   dt  has two critical points in the interval [1, 2.4]. One of the critical The function S(x) =   sin   2   0 points is a local minimum and the other is a local maximum. The local minimum occurs at x =  (A) 1 (B)  2 (C) 2 (D)  2

IIT-ian’s Pace Education Pvt ltd., A-7,Acharya Niketan,Mayur Vihar Phase-1, Delhi-+91-11-22751870,43095612 : www.iitianspace.com

7

Mathamtics

Q.71

For a steamer the consumption of petrol (per hour) varies as the cube of its speed (in km). If the speed of the current is steady at C km/hr then the most economical speed of the steamer going against the current will be (A) 1.25 C (B) 1.5 C (C) 1.75C (D) 2 C

Q.72

Let  f  and  g  be  increasing  and  decreasing  functions, respectively  from  [0 ,  ) to [0 ,  ). Let h (x) = f [g (x)] . If  h (0) = 0,  then  h (x)   h (1)  is : (A) always zero (B) strictly  increasing (C) always  negative (D) always  positive

Q.73

The set of value(s) of 'a' for which the function  f (x) =  negative point of inflection . (A)  (  ,   2)     (0,  ) (C)  (  2, 0)

Q.74

a x3  + (a + 2) x2 + (a   1) x + 2 possess a 3

(B)  {  4/5 } (D)  empty set

A function  y = f (x)  is given by  x = 

1 1 t

2

  &  y = 

1   for all  t > 0  then  f  is : t (1  t 2 )

(A) increasing in (0, 3/2) & decreasing in (3/2,  ) (B) increasing in  (0, 1) (C)  increasing in  (0,  ) (D) decreasing in (0, 1) Q.75

The set of all values of  ' a '  for which the function , 

f (x) = (a2   3 a + 2)   cos 2 

(B)  (0, 1)     (1, 4)

(A)  [1,  ) Q.76

x x  sin 2    +  (a   1) x + sin 1   does not possess critical points is: 4 4

(D)  (1, 3)     (3, 5)

(C)  (  2, 4)

Read the following mathematical statements carefully: I. Adifferentiable function  ' f '  with maximum at   x = c       f ''(c)   0. Now indicate the correct alternative. (A) exactly one statement is correct. (B) exactly two statements are correct. (C) exactly three statements are correct. (D) All the four statements are correct. IV.

Q.77

If the point of minima of the function, f(x) = 1 + a2x – x3 satisfy the inequality

x2  x  2   0 and f be continuous in [– a, a]. Suppose that f ' (x) exists and f ' (x)   1 for all x   (– a, a). If f (a) = a and f (– a) = – a then f (0) (A) equals 0 (B) equals 1/2 (C) equals 1 (D) is not possible to determine

Q.81

The lines tangent to the curves y3 – x2y + 5y – 2x = 0 and x4 – x3y2 + 5x + 2y = 0 at the origin intersect at an angle   equal to (B)  /4 (C)  /3 (D)  /2 (A)  /6

Q.82

The cost function at American Gadget is   C(x) = x3 – 6x2 + 15x   (x in thousands of units and x > 0) The production level at which average cost is minimum is (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) none

Q.83

A rectangle has one side on the positive y-axis and one side on the positive x - axis. The upper right hand nx vertex on the curve y =  2 . The maximum area of the rectangle is x (A) e–1 (B) e – ½ (C) 1 (D) e½

Q.84

A particle moves along the curve y = x3/2 in the first quadrant in such a way that its distance from the origin increases at the rate of 11 units per second. The value of dx/dt when x = 3 is (A) 4

Q.85

Q.86

(B) 

9 2

(C) 

3 3 2

   Number of solution of the equation  3tanx + x3 = 2 in   0,     is  4 (A) 0 (B) 1 (C) 2

(D) none

(D) 3

Let f (x) = ax2 – b | x |, where a and b are constants. Then at x = 0, f (x) has (A) a maxima whenever a > 0, b > 0 (B) a maxima whenever a > 0, b  0, b > 0 (D) neither a maxima nor minima whenever a > 0, b  1) then t  1

(A) f (x) has one point of maxima and no point of minima. (B) f ' (x) has two distinct roots (C) f (x) has one point of minima and no point of maxima (D) f (x) is monotonic Q.88

Consider

f (x) = | 1 – x |    1   x   2 and  g (x) = f (x) + b sin x, 1