Apostila__Fotoelasticidade-ProfCleudmar

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA NÚCLEO DE PROJETOS E SISTEMAS MECÂNICOS LABORATÓRIO DE PROJETOS MECÂNICOS / LPM

Prof. Cleudmar Amaral Araújo Fevereiro de 2013

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SUMÁRIO

1

2

3

4

5

INTRODUÇÃO

03

1.1 1.2 1.3 1.4

03 05 06 08

A NATUREZA DA LUZ

09

2.1

10

Relações ópticas na fotoelasticidade

INSTRUMENTOS ÓPTICOS

11

3.1 3.2

11 12

Polariscópio plano ou linear Retardadores de onda

POLARISCÓPIOS E SUAS CARACTERÍSTICAS

15

4.1 4.2

18 19

Polariscópio plano Polariscópio circular

FOTOELASTICIDADE DE TRANSMISSÃO BIDIMENSIONAL

18

5.1 5.2 5.3 5.4

18 19 19 22 22 29 30 31 34

5.5 5.6 5.7

6

Fundamentos da fotoelasticidade Fotoelasticidade de transmissão plana Fotoelasticidade de transmissão tridimensional Fotoelasticidade de reflexão

Índice de refração Luz polarizada Lei de Brewster-Maxwell (Dupla refração temporária) Parâmetros fotoelásticos 5.4.1 Medida dos parâmetros fotoelásticos Método de compensação de Tardy Materiais fotoelásticos Métodos de calibração 5.7.1 Exemplo de um processo de calibração

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

37

2

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1 INTRODUÇÃO A especificação ou dimensionamento de peças e estruturas é um dos problemas mais freqüentes em engenharia. Neste caso, geralmente, deseja-se avaliar os gradientes de tensões oriundos da aplicação dos carregamentos. Por exemplo, em muitos casos de projetos de peças, há a necessidade de que estas tenham variação de seção, furos, entalhes, ranhuras, etc. Todas essas formas na peça são pontos concentradores de tensão, ou seja, as tensões nesses pontos são maiores que a tensão nominal. Essas tensões máximas são proporcionais à tensão nominal, e o fator de proporcionalidade é conhecido como fator de concentração de tensão que depende da geometria, dimensão do entalhe e natureza do esforço. Várias técnicas experimentais são hoje utilizadas para a determinação da distribuição de tensões/deformações em sistemas estruturais. Entre estas técnicas pode-se destacar a fotoelasticidade, técnica que, permite uma rápida análise qualitativa do estado de tensão, através da observação de efeitos ópticos. Especificamente, a fotoelasticidade de transmissão pode ser usada na solução de problemas do estado plano ou tridimensional; para tanto é necessária a confecção de modelos. Existe também uma técnica fotoelástica que determina a distribuição de tensões em superfícies, a fotoelasticidade de reflexão, que dispensa a confecção de modelos. No caso particular da técnica fotoelástica de transmissão, um material plástico transparente submetido a um estado de tensão/deformação exibe uma propriedade denominada dupla refração ou anisotropia óptica. A luz polarizada que o atravessa, obtida por um aparelho denominado Polariscópio, permite a determinação das direções e dos gradientes das tensões principais através da interpretação dos parâmetros ópticos observados. Quando se utiliza luz branca, os efeitos ópticos se manifestam como franjas coloridas e com luz monocromática há uma série alternada de franjas pretas e brancas. A ordem de franja em um ponto está relacionada com o estado de tensões no modelo, através da "Lei Óptica das Tensões". Como foi citado, na técnica de fotoelasticidade de transmissão, há a necessidade da confecção de um modelo constituído de um material transparente que possua propriedades de birefrigência. Este modelo deve então ser submetido aos carregamentos desejados sendo analisado em um Polariscópio de transmissão, pois somente sob luz polarizada podem-se observar os fenômenos e os parâmetros ópticos necessários para fazer a análise das tensões. 1.1 Fundamentos da fotoelasticidade A Fotoelasticidade é uma técnica experimental para análise do campo de tensão/deformação de estruturas que é particularmente útil em peças que possuem geometria complexa e/ou carregamentos complexos. Em tais casos, métodos analíticos podem ser de difícil execução ou impossíveis de serem aplicados, e uma análise experimental pode ser mais apropriada. Atualmente, a solução de problemas bidimensionais elásticos e estáticos são bem conhecidos 3

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através de métodos analíticos. Métodos experimentais são atualmente adequados para a solução de problemas com geometria 3D, montagens com múltiplos componentes, cargas dinâmicas e materiais com comportamento inelástico. O nome fotoelasticidade reflete a natureza do método, ou seja, foto implica no uso da luz e técnicas ópticas, enquanto elasticidade relaciona-se com o estudo de tensões e deformações em corpos elásticos. Utilizando a técnica com vernizes fotoelásticos é possível ampliar este estudo para corpos inelásticos. A técnica fornece evidências quantitativas de áreas altamente tensionadas e picos de tensões em superfícies ou pontos interiores de estruturas. A técnica da fotoelasticidade permite uma rápida análise qualitativa do estado de tensão, através da observação de efeitos ópticos em modelos, além de ser muito usada no monitoramento quantitativo de resultados obtidos por elementos finitos e em soluções teóricas aproximadas. Esta técnica é muito aplicada para localizar áreas com altos níveis de tensão em problemas de geometria plana e tridimensional, sendo uma técnica recomendada também em estudos de problemas de contato entre os corpos. O método é baseado em uma propriedade única de alguns materiais transparentes que é o efeito de anisotropia óptica. Quando o modelo é tensionado e um raio de luz entra ao longo das direções das tensões principais, a luz é dividida em duas componentes de onda, cada uma com seu plano de vibração paralelo a uma das duas tensões principais. A luz viaja ao longo destes dois caminhos com diferentes velocidades devido ao efeito de birrefringência e que depende da magnitude das duas tensões principais, conforme mostrado na Figura 1. Portanto, a onda vai emergir do modelo com uma nova relação de fases ou retardação relativa, que é a diferença no número de ciclos dos dois raios viajando dentro do modelo. Plano principal

Raio de luz

Plano principal

Figura 1 – Modelo sob luz polarizada plana. Em um dos planos principais a figura mostra 3,75 ciclos da onda de luz e no outro plano principal 3,5 ciclos da onda de luz, fornecendo uma retardação linear relativa de 0,25 (1/4).

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Para a utilização da técnica fotoelástica, materiais especiais devem ser usados, portadores de características indispensáveis tais como: ser transparente e livre de tensões residuais, apresentar uma boa resposta óptica, ser linear, ser homogêneo e isotrópico e ter boa usinabilidade. 1.2 Fotoelasticidade de transmissão plana A fotoelasticidade de transmissão plana é utilizada em problemas de estado plano de tensões e requer a confecção de modelos planos e sistemas de cargas que simulam adequadamente as cargas reais impostas ao modelo real. A Figura 2 mostra um modelo fotoelástico feito de um material à base de resina epóxi sem carregamento. A Figura 3-b mostra o mesmo modelo posicionado em um sistema de carga e a Figura 4-b mostra os parâmetros ópticos observados neste modelo quando sujeito aos carregamentos e observados no polariscópio de transmissão.

Figura 2 – Implante dentário com conexão do tipo hexágono interno fixado em um bloco fotoelástico, analisado no Laboratório de Projetos Mecânicos da FEMEC/UFU.

(a)

(b)

Figura 3 – a) Sistema de carga montado em um polariscópio de transmissão pertencente ao LPM. b) Implante dentário com conexão do tipo hexágono interno posicionado no polariscópio no momento da aplicação da carga analisado no Laboratório de Projetos Mecânicos da FEMEC/UFU. 5

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Em geral, pontos críticos em modelos planos ocorrem em contornos livres (furos, entalhes, filetes). A fotoelasticidade plana torna-se uma forma poderosa de determinação da distribuição de tensões ou fator de concentração de tensões, associadas a esses problemas. Em pontos no interior do modelo bidimensional, pode-se obter apenas a leitura da tensão cisalhante máxima, e os valores individuais das tensões principais só são obtidos com a utilização de dados suplementares ou emprego de métodos numéricos.

(a)

(b)

Figura 4 – a) Modelo fotoelástico do implante dentário com conexão do tipo hexágono interno sem carga. b) Padrão de franjas observado no modelo fotoelástico do implante dentário com carga, analisado no Laboratório de Projetos Mecânicos da FEMEC/UFU. 1.3 Fotoelasticidade de transmissão tridimensional Os modelos utilizados na fotoelasticidade plana são carregados à temperatura ambiente, e, sendo elásticos, a configuração das franjas desaparece quando a carga é retirada. Uma vez que a luz precisa atravessar toda a espessura, a interpretação das configurações das franjas só é possível quando o modelo é plano, gerando um estado plano de tensões considerando a distribuição das tensões praticamente uniforme ao longo da espessura. Vários polímeros, como por exemplo, aqueles à base de resina epóxi, quando carregados sob altas temperaturas e em seguida resfriados, retêm a configuração das franjas como se ainda estivessem carregados em regime elástico. Este processo é denominado de "congelamento de tensões/deformações". O congelamento de tensões em certos tipos de materiais pode ser entendido como se estes possuíssem uma forte estrutura elástica, ou rede molecular, que não é afetada pelo calor, com os espaços entre as ligações preenchidos por uma massa de moléculas fracamente ligadas (cadeias secundárias), que amolecem com o aquecimento, como mostra a Figura 5. Quando o modelo é aquecido, atingindo a chamada "temperatura crítica do polímero", e carregado, a estrutura molecular elástica suporta a carga e é deformada elasticamente sem impedimento. No resfriamento, a massa maleável na qual a estrutura molecular está 6

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imersa se torna "congelada" e mantém a estrutura quase na mesma condição de deformação quando a carga é removida. Assim, a deformação é substancialmente retida e não é prejudicada pelo corte do modelo em fatias. Um modelo tridimensional pode então ser cortado em finas fatias, e cada uma delas pode ser examinada no polariscópio de transmissão, sendo que as relações ópticas continuam sendo válidas para qualquer plano retirado do modelo tridimensional. O estado de tensão que produziu o efeito óptico na fatia não é plano, mas caracterizado pelas tensões principais secundárias no plano em consideração. Assim, pode-se examinar uma fatia interna ao modelo, com qualquer direção normal e espessura, de forma similar à usada para modelos planos. A completa obtenção dos valores individuais das tensões tridimensionais em um ponto do modelo, pode ser feita combinando as equações para três planos perpendiculares. Como estas seis equações, duas para cada plano, não são linearmente independentes, é necessário utilizar as equações de equilíbrio associadas a métodos numéricos, para a completa separação das tensões. A Figura 6 mostra um modelo 3D fundido e uma das fatias retiradas do modelo. A Figura 7 mostra o padrão de franjas desta fatia observada em um polariscópio de transmissão. A Figura 8 mostra uma aplicação específica para análise de um problema tridimensional utilizando o método fotoelástico.

Figura 5 – Esquema das ligações primárias e secundárias de um material fotoelástico com propriedades para “congelamento de tensões”.

Figura 6 – Modelo fotoelástico de uma biela e uma fatia retirada do modelo. 7

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Figura 7 – Fatia da biela analisada em um polariscópio de transmissão mostrando os padrões de franjas no modelo mesmo sem a aplicação da carga (congelamento das tensões).

Figura 8 – Análise fotoelástica 3D (transmissão) de um reator nuclear utilizando fotoelasticidade de transmissão 3D. Fonte: Measurements Group / Vishay Inc. 1.4 Fotoelasticidade de reflexão A fotoelasticidade de reflexão é uma técnica experimental usada para a determinação de tensões/deformações em superfícies planas ou irregulares. É uma técnica relativamente precisa e tem como principal vantagem o fato de não ser necessária a confecção de modelos. Pode ser utilizada em problemas envolvendo deformação elástica ou plástica, bem como em problemas envolvendo materiais anisotrópicos. A obtenção dos parâmetros ópticos pode ser feita diretamente na estrutura ou componente mecânico, quando estes estão sob efeito dos carregamentos reais. Nestes casos, o polariscópio de reflexão pode ser deslocado para o local de operação da estrutura. 8

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Esta técnica consiste em colar na superfície do espécimen uma camada de material fotoelástico com uma cola apropriada e que possui uma superfície reflexiva na interface espécimen/camada. Quando o espécimen é carregado, a deformação na superfície do mesmo é transmitida para a camada fotoelástica e através da análise dos fenômenos ópticos que ocorrem no material fotoelástico, pode-se determinar as tensões/deformações na superfície do espécimen. Existem vários métodos de separação das tensões principais, sendo que os mais usados são o método da incidência oblíqua e o método da incisão. Os materiais fotoelásticos usados nesta técnica, além de outras características, têm que ter baixo módulo de elasticidade, se comparado com o módulo de elasticidade do espécimen, para minimizar o efeito de reforço e dar alta resistência à relaxação óptica mecânica, garantindo uma estabilidade das medidas com o tempo. A Figura 9 apresenta um caso de aplicação utilizando a fotoelasticidade de reflexão.

Figura 9 - Análise fotoelástica utilizando a técnica de reflexão em um suporte de motor. Fonte: Measurements Group / Vishay Inc. 2 A NATUREZA DA LUZ Newton (1642-1727) propôs a teoria corpuscular da luz, na qual a luz era visualizada através do fluxo de pequenas partículas (fótons). Maxwell (1831-1879) propôs a teoria eletromagnética da luz indicando que a propagação da luz era feita de forma ondulatória através de um vetor de campo elétrico e um vetor de campo magnético. Os fenômenos ópticos observados na fotoelasticidade são explicados através desta natureza ondulatória da luz, basicamente, utilizando um de seus componentes de vibração que é o vetor de campo elétrico (E). Este vetor vibra em fase com o vetor de campo magnético (B) sendo mutuamente perpendiculares na direção de propagação. A Figura 10 mostra o esquema de vibração destes dois vetores. 9

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E B B

Fonte de luz

z Figura 10 – Luz propagando-se na direção Z vibrando em diversos planos.

2.1 Relações ópticas na fotoelasticidade A teoria eletromagnética de Maxwell mostra que a luz é uma perturbação eletromagnética que pode ser expressa como um vetor que é normal à direção de propagação. Esta perturbação pode ser considerada como uma onda em movimento, o que possibilita expressar a amplitude do vetor luz em termos da solução da equação de ondas unidimensional (Eq. 1).

E  f ( z  c t )  g( z  c t )

(1)

Onde:    

E : amplitude do vetor luz ou um de seus componentes; z : posição ao longo do eixo de propagação; t : tempo de propagação; c : velocidade de propagação (cluz = 3 x 108 m/s no vácuo).

A maioria dos efeitos ópticos de interesse na análise experimental de tensões, mais especificamente na fotoelasticidade pode ser descrita como uma onda senoidal, propagando na direção positiva do eixo z, como mostrado na Figura 11. Ou seja: E  f ( z  ct )  a  sen

2



( z  ct )

ou

E  a  cos

2



( z  ct )

(2)

O tempo requerido para a passagem de dois picos sucessivos sobre algum valor fixo de propagação é chamado período (T). A frequência (f) é definida pelo número de oscilações de amplitude por período, onde λ é o comprimento de onda. Então: f 

1 c  T 

(3)

10

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E

Z

Figura 11 - Forma do vetor luz em função da posição, ao longo do eixo de propagação Z. A cor reconhecida pelos olhos humanos é determinada pela frequência dos componentes do vetor luz. As cores do espectro visível vão do vermelho com λ entre 630 e 700 nm ao violeta com λ entre 400 e 450 nm. A luz que apresenta diferentes comprimentos de onda é reconhecida pelo olho humano como uma luz branca. A Tabela 1 apresenta os comprimentos de onda do espectro visível. Destaca-se que a luz branca contém todos os  com igual energia e a luz monocromática possui apenas um comprimento de onda. Tabela 1 – Comprimentos de onda dos espectros visíveis (1Aº = 10-10 m). Comprimento de onda  (nm)

Cor

400 – 450

Violeta

450 – 480

Azul

480 – 510

Azul-verde

510 – 550

Verde

550 – 570

Amarelo-verde

570 – 590

Amarelo

590 – 630

Laranja

630 – 700

Vermelho

3 INSTRUMENTOS ÓPTICOS 3.1 Polarizador plano ou linear São elementos ópticos que absorvem os componentes do vetor de luz que não vibram na direção do eixo do polarizador. Os tipos mais utilizados são aqueles que utilizam folhas de polaróide do tipo H que são cristais dicróicos (duas cores) encapsulados por um filme plástico 11

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(Polivinil alcoólico). Quando a luz atravessa um polarizador plano, ele a divide em duas componentes de onda de luz vibrando em planos mutuamente ortogonais, como mostrado no esquema da Figura 12.

Direção de polarização E

Luz incidente  Et

Luz emergente

Figura 12 – Luz incidindo em um polarizador plano. A componente paralela ao eixo de polarização é transmitida (Et) enquanto que a componente perpendicular ao eixo é absorvida (Ea) no caso de elementos do tipo polaróide ou é totalmente refletida no caso de cristais de calcita (Prisma de Nicol). Nestes casos, tem-se:

   E  Et  Ea Et  a  cos t  cos 

(4)

3.2 Retardadores de onda São elementos ópticos que tem a característica de decompor o vetor de luz em duas direções ortogonais transmitindo-o com diferentes velocidades. Tais materiais possuem dupla refração sendo chamados materiais birrefringentes. Os tipos mais utilizados são aqueles que utilizam folhas de polivinil alcoólico laminados com substrato de celulose-acetato-butirato (Fabricados com 140, 200, 280 e 520 nm). Outros materiais podem ser utilizados, como por exemplo, polímeros, celofane, vidro e cristais de quartzo. Estes elementos possuem dois eixos principais denominados eixo lento (eixo 1) e eixo rápido (eixo 2). Quando essa placa é colocada em 12

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um campo de luz polarizada plana com o vetor de luz transmitido (Et) fazendo um ângulo  com o eixo rápido, este vetor é decomposto em duas componentes transmitidas, Et1 e Et2, respectivamente. A Figura 13 mostra um esquema de um retardador de onda.

Luz incidente Eixo 2 (lento)

E

h E’1 Atraso relativo ()

E’1

 E’2

Eixo 1 (rápido)

E’2

Figura13 - Esquema de um retardador de onda. Por causa da diferença de velocidades ao longo destes dois eixos, as duas componentes transmitidas emergirão da placa em tempos diferentes, ou seja, uma estará retardada com relação a outra. Esta diferença de fase linear é dada por:

   2   1  h(n2  n1)

(5)

Onde:

 1  h(n1  n) (6)

 2  h( n 2  n) Nas Equações (5) e (6), h é a espessura da placa, n é o índice de refração do ar e n1 e n2 são os índices de refração nas direções dos eixos rápido e lento, respectivamente. A diferença de fase angular  pode ser obtida a partir da diferença de fase linear (), uma vez que esta é equivalente ao vetor de luz girando ao longo do eixo de propagação com uma frequência angular , ou seja: 13

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

2



 

2



h(n2  n1)

(7)

Quando a placa é projetada para dar uma retardação angular de /2, ela é chamada de placa de ¼ de onda (quarter-wave plate). Isto é conseguido, geralmente, apenas variando a espessura h da placa retardadora. Como pode ser visto na Figura 13, na saída da placa, as componentes do vetor de luz transmitidos ao longo dos eixos rápido e lento são:

Et1  k cos t cos  (8)

Et 2  k cos(t  ) sen  Onde, k  a cos O módulo do vetor de luz resultante ( Etr ) será:

Etr  Et21  Et22  k cos 2  cos 2 t  sen 2  cos 2 (t  )

(9)

O ângulo  que este vetor de luz resultante faz com o eixo rápido é dado por:

tan  

Et1 cos(t  )  tan  Et 2 cos t

(10)

Portanto, tanto a amplitude como a rotação da luz emergente podem ser controladas pela placa retardadora. Os tipos de polarização que se pode obter nestes casos são, plana, circular ou elíptica. Os fatores que controlam estes tipos de polarização são a diferença de fase relativa  e o ângulo de orientação . A seguir são apresentados estes três casos possíveis. Caso 1: Luz polarizada plana Para  = 0 e  qualquer não há efeito do retardador. Neste caso:

Etr  k cos t  = 0

(11)

Desde que o vetor de luz não gira ( = 0) ele passa através da placa retardadora e emerge como luz polarizada plana. Neste caso, o retardador apenas produz uma retardação na onda que depende de sua espessura e do índice de refração associado com o eixo rápido. Resultado similar é obtido para  = /2. 14

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Caso 2: Luz polarizada circular Para  = /4 (45 ) e = /2 (quarter-wave plate) tem-se que: Etr  k

2 e  = t 2

(12)

A ponta do vetor de luz gira com uma velocidade angular constante no sentido anti-horário e uma magnitude constante formando um círculo emergindo com uma luz denominada luz polarizada circular. Caso 3: Luz polarizada elíptica Para   n/4 e = /2 (quarter-wave plate) tem-se que: Etr  k cos 2  cos 2 t  sen 2  cos 2 t

(13)

tan   tant tan 

(14)

A ponta do vetor tem uma magnitude que varia com a posição angular formando uma elipse, cuja forma e orientação são controlados pelo ângulo . 4 POLARISCÓPIO E SUAS CARACTERÍSTICAS O equipamento utilizado na análise fotoelástica plana e tridimensional é o polariscópio de transmissão, que pode ser um polariscópio de luz plana ou luz circular. A Figura 14 mostra um modelo de polariscópio de transmissão pertencente ao Laboratório de Projetos Mecânicos da FEMEC/UFU. Na fotoelasticidade de reflexão o instrumento utilizado na medidas dos parâmetros fotoelásticos é o polariscópio de reflexão. O polariscópio serve para levar as ondas dentro de um plano comum causando uma interferência óptica entre elas, sendo um instrumento que mede a diferença de fase que ocorre quando a luz polarizada passa através de um modelo fotoelástico tensionado. O modelo mais simples é o polariscópio plano de campo escuro (trabalha com luz plana e o polarizador e o analisador possuem eixos cruzados). Utilizando duas placas de um quarto de onda é possível obter o chamado polariscópio circular.

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Figura 14 – Polariscópio de transmissão vertical do Laboratório de Projetos Mecânicos da Faculdade de Engenharia Mecânica da UFU. 4.1 Polariscópio plano O polariscópio plano é constituído de uma fonte de luz, duas placas polarizadoras de luz sendo uma denominada polarizadora (P) e a outra, analisadora (A). A esta última, é acoplado um transferidor para a medida dos parâmetros fotoelásticos. Um esquema do polariscópio plano é mostrado na Figura 15.

Figura 15 - Esquema de um polariscópio plano com modelo fotoelástico. 16

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4.2 Polariscópio circular O polariscópio circular é constituído de uma fonte de luz, uma placa polarizadora e uma analisadora, e mais duas placas retardadoras de um quarto de onda, que fazem um ângulo de 45° com os eixos de polarização das placas polarizadoras. As placas retardadoras de um quarto de onda são usadas para gerar a partir da luz polarizada plana, luz polarizada circular possuindo seção transversal uniforme composta de um cristal de determinada espessura. Esta espessura é determinante para produzir uma diferença de fase de um quarto de comprimento de onda (/2) entre as ondas emergentes. A Figura 16 mostra um esquema do polariscópio circular.

Figura16 - Esquema de um polariscópio circular com modelo fotoelástico. O esquema do polariscópio mostrado na Figura 16 consiste em uma fonte de luz, uma primeira placa polarizada de luz (P), duas placas retardadoras de l/4 de onda com dois eixos de polarização (Ql e Q2), e uma segunda placa polarizadora de luz, chamada de placa analisadora (A). Estas placas são arranjadas convenientemente em um sistema com aumento ou não de imagem, escalas calibradas e com movimentos sincronizados das placas. Os eixos rápido e lento dos retardadores podem ser cruzados ou paralelos, porém devem estar a 45º com o polarizador para converter a luz polarizada plana para polarizada circular e voltar para plana antes de entrar no analisador. Quando a luz passar pelo modelo tensionado a luz polarizada circular converte-se em polarizada elíptica. Uma vez que no polariscópio circular existem duas placas polarizadoras e duas placas retardadoras de onda existem quatro possibilidades de arranjo destes elementos colocando-os com 17

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eixos cruzados ou paralelos. De acordo com um arranjo específico pode-se obter luz polarizada em um campo escuro ou campo claro. De acordo com cada arranjo específico pode-se modificar os parâmetros ópticos nos modelos. A Tabela 2 mostra o resultado para as quatro possibilidades de arranjo dos filtros. Tabela 2 – Arranjos dos elementos em um polariscópio circular. Arranjo

Polarizadores

Retardadores

Campo Observado

A

cruzados

cruzados

escuro

B

cruzados

paralelos

claro

C

paralelos

cruzados

claro

D

paralelos

paralelos

escuro

5 FOTOELASTICIDADE DE TRANSMISSÃO BIDIMENSIONAL 5.1 Índice de refração A relação entre a velocidade de propagação da luz no vácuo e a velocidade de propagação da luz em um material qualquer é denominada índice de refração absoluto do material (Cluz/V). A relação entre as velocidades de propagação da luz entre dois diferentes materiais (V1 /V2) é chamada índice de refração relativo do meio (2) em relação ao meio (1). Em um corpo homogêneo e isotrópico este índice é constante e independente da direção de propagação ou plano de vibração. Certos materiais, principalmente plásticos, comportam-se homogeneamente quando isentos de tensões, mas tornam-se heterogêneos quando são submetidos a uma tensão. A mudança no índice de refração é função da tensão aplicada. Quando um feixe de luz polarizada se propaga através de um modelo plástico transparente de espessura b, com um determinado nível de tensão, onde x e y são as direções das tensões principais no ponto sob consideração, o vetor de luz se divide em dois feixes polarizados, propagando-se nos planos x e y com velocidades diferentes, que dependem das tensões principais no ponto. Se as deformações específicas ao longo de x e y forem εx e εy , e as velocidades da luz segundo estas direções forem Vx e Vy , respectivamente, o tempo necessário para cada uma das componentes cruzar o material do modelo será b/V e o “atraso relativo” ou fase () entre os dois feixes de luz será:

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 b C b C    Cluz     b luz  luz   b n x  n y Vy   Vx Vy   Vx





(15)

onde, nx e ny são os índices de refração absolutos em relação aos eixos x e y respectivamente. 5.2 Luz polarizada A luz é uma onda eletromagnética que vibra em todas as direções, sendo que esta vibração é perpendicular à direção de propagação e é determinada através de sua frequência. Uma fonte de luz emite ondas contendo vibrações transversais à direção de propagação. A luz branca, a mais comum, é caracterizada por apresentar diferentes comprimentos de onda. A polarização da luz nada mais é do que a vibração desta em um único plano, ou seja, somente uma componente dessas vibrações será transmitida. Isto é feito com a introdução de um filtro polarizador no caminho das ondas de luz, sendo que a componente da luz vibrará na direção paralela ao eixo de polarização do filtro. A luz pode ser completamente extinta, colocando-se outro filtro polarizador na trajetória com o eixo de polarização perpendicular ao anterior. Com a introdução de um filtro Polarizador (p) no caminho das ondas de luz, somente uma componente dessas vibrações será transmitida, aquela paralela ao eixo de polarização do filtro. Este feixe orientado é chamado LUZ POLARIZADA. 5.3 Lei de Brewster-Maxwell (Dupla Refração Temporária) Muitos materiais transparentes não cristalinos são oticamente isotrópicos quando totalmente livres de tensões, mas apresentam-se oticamente anisotrópicos quando solicitados. Este fenômeno é denominado dupla refração temporária. Este efeito foi observado por David Brewster em 1816. Maxwell desenvolveu os conceitos relativos a variação dos níveis das tensões principais em função dos índices de refração para um regime elástico linear, ou seja,

 n1  n0  c1 1  c 2( 2   3)  n2  n0  c1 2  c 2( 1   3)  n3  n0  c1 3  c 2( 1   2) 

(16)

Onde: i : Tensões principais no ponto; ni : Índices de refração do material no ponto; n0 : Índice de refração do material descarregado; ci : constantes ópticas. 19

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Da Equação (16), pode-se escrever que:

n1  n2  (c1  c 2)( 1   2)

 h

 c( 1   2)

(17)

A Equação (7) mostrou que a diferença de fase angular pode ser escrita em função da diferença de fase linear e do comprimento de onda da seguinte forma: 

2





(18)

Portanto, utilizando as Equações (18) e (17) pode-se escrever que:  1  1   2 2 c h

(19)

Definindo, a ordem de franja (N) e a constante óptica em termos de tensão (f) como,  N 2

 c

(20)

 f

(21)

Tem-se finalmente que,

1   2 

N f h

(22)

A principal característica dos materiais fotoelásticos é que estes materiais respondem às tensões/deformações através de uma mudança nos índices de refração nas direções das tensões principais. A diferença entre os índices de refração nos dois planos principais é proporcional à diferença das tensões principais, como mostrado na Equação (19). Para facilitar a utilização da técnica, esta equação foi reescrita sob a forma da Equação (22). Nesta, 1 e 2 são as tensões principais no ponto, f é a constante óptica relativa às tensões que depende do material e do comprimento de onda da luz utilizada, N é a ordem de franja no ponto e h é a espessura do modelo. Com este método consegue-se determinar a diferença das tensões principais nos pontos, e a direção destas tensões. A tensão cisalhante máxima depende apenas da diferença das tensões principais, ou seja: 20

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 max 

1   2

(23)

2

Portanto, das Equações (22) e (23) tem-se que:

 max 

1   2 2



Nf  2h

(24)

Portanto, a tensão cisalhante máxima pode ser determinada em toda a extensão do modelo conhecendo-se as respectivas ordens de franja no ponto de interesse. Se o problema exigir que se conheçam as tensões normais máximas, é necessário que se aplique algum método para a separação de tensões. De forma análoga, a relação observada na Equação 17 pode ser expandida em termos da diferença entre as deformações principais, ou seja: n1  n2  C (1   2)

(25)

Considerando as direções das deformações principais, pode-se obter a relação básica para medida de deformações usando técnicas fotoelásticas:

1   2 

N f h

(26)

Na Equação (26) f é a constante óptica em termos de deformação, sendo dada por: f 

1  f E

(27)

Onde: E : módulo de elasticidade do material;  : razão de Poisson do material. As expressões das Equações (22) e (26) são as relações básicas para medida de tensões usando fotoelasticidade. Devido ao atraso relativo (), as duas ondas não são mais simultâneas quando emergem do modelo. Se o modelo em questão estiver entre dois polarizadores o analisador transmitirá somente uma componente de cada uma dessas ondas. Estas componentes interferirão entre si e a intensidade de luz resultante que emergirá, será função da fase  e do ângulo entre o eixo de polarização do analisador e a direção das tensões principais. 21

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Para avaliar como se dá esta interferência as seções 5.4 e 5.5 apresentam as intensidades luminosas resultantes em modelos fotoelásticos carregados em um polariscópio plano e em um polariscópio circular. 5.4 Parâmetros fotoelásticos Conforme definido anteriormente, a interferência causada pela diferença de fase entre os feixes de luz propagando nas duas direções principais e o ângulo entre as direções principais e os eixos de polarização do polariscópio dão origem a dois parâmetros fotoelásticos que podem ser medidos, sendo conhecidos como isoclínicas e isocromáticas. A técnica fotoelástica pode utilizar luz monocromática ou luz branca. Utilizando luz monocromática os efeitos ópticos observados, ou seja, as franjas são pretas ou claras. Neste caso, um modelo observado em um polariscópio plano possui as isoclínicas superpostas as isocromáticas tornando difícil a análise do modelo. O uso da luz branca resolve este problema porque as franjas observadas são coloridas. No caso particular, a franja de ordem zero é de cor preta, facilitando portanto a observação e determinação do gradiente de tensões no modelo. A Figura 17 mostra as cores relativas as ordens de franja inteiras. COR

PADRÃO DE CORES

ORDEM DE FRANJA

Vermelho/verde

3

Vermelho/azul/verde

2

Violeta

1

Preta

0

Figura 17 – Padrão de cores versus ordens de franjas observadas nos modelos fotoelásticos. 5.4.1 Medida dos parâmetros fotoelásticos A pergunta agora é: “Como determinar as isoclínicas (direção das tensões principais) e as isocromáticas (ordens de franja N) nos pontos de interesse?”

22

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a) Determinação das isoclínicas Conforme descrito nas seções anteriores, as isoclínicas podem ser definidas como sendo o lugar geométrico dos pontos do modelo que possuem a mesma direção das tensões principais, e estas coincidem com as direções de polarização do polariscópio. São curvas pretas (onde ocorre a completa extinção da luz) que aparecem no analisador de um polariscópio plano e seu valor pode ser determinado, girando-se o conjunto polarizador/analisador em relação ao modelo. A Figura 18 apresenta o modelo de um disco sob compressão analisado em um polariscópio plano utilizando luz branca. Neste caso é mostrada a isoclínica a 0, ou seja, a direção das tensões principais nos pontos médios das curvas pretas (cruz) faz um ângulo de 0 com relação a direção de polarização.

(a)

(b)

Figura 18 – Disco sob compressão ao longo do diâmetro vertical observado em um polariscópio plano: (a) em um polariscópio com campo escuro, (b) em um polariscópio com campo claro. Fonte: Laboratório de Projetos Mecânicos/FEMEC/UFU. As isoclínicas podem ser determinadas de duas maneiras:  Obtenção das isoclínicas no campo completo do modelo. A família de curvas correspondentes à sequência de parâmetros de 0o a 90o é registrada em incrementos de 5o, mapeando-se assim o modelo com suas curvas isoclínicas.  Obtenção da isoclínica individualmente nos pontos de interesse. A Figura 19 mostra uma sequência de isoclínicas observadas em um disco sob compressão utilizando luz monocromática.

23

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Figura 19 - Isoclínicas a 0, +20 e –20 em um modelo de disco sob compressão vertical. Devem ser observadas as seguintes regras gerais sobre as isoclínicas:  Um isoclínica deve sempre coincidir com um eixo de simetria do modelo, caso ele exista.  Todas as isoclínicas passam através de pontos de carga concentrada.  A tensão tangencial no contorno é uma tensão principal e o parâmetro da isoclínica coincide com a inclinação do contorno no ponto de intersecção. Ou seja, o parâmetro da isoclínica é determinado por esta inclinação.  Em eixos de simetria não existem tensões de cisalhamento; logo, são direções principais.  Os parâmetros das isoclínicas podem ser utilizados para determinar as tensões de cisalhamento em um plano arbitrário definido por um sistema de coordenadas XY. Ou seja:

 xy    xy 

1 2 2

1 2 2

sin2 2  

sin2 1 

N f sin2 2 2h

N f sin2 1 2h

(28)

(29)

Onde: 1 : Ângulo entre o eixo X e a direção de 1; 2 : Ângulo entre o eixo X e a direção de 2.  Todas as Isoclínicas devem passar por pontos isotrópicos ou singulares: - Pontos isotrópicos: 1=2 (Estado hidrostático de tensões)  N = 0; - Pontos singulares: 1=2=0.

24

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Algumas características gerais podem ser observadas com relação ao padrão das isoclínicas. A Figura 20 apresenta uma sequencia geral de vários parâmetros das isoclínicas para o modelo de um anel e a Figura 21 mostra um esquema geral destes parâmetros. De uma forma geral, podem ser destacadas as seguintes regras gerais:  A borda de uma placa é um ponto singular negativo.  No contorno livre, pontos isotrópicos singulares indicam mudança de sinal nas tensões do contorno.  Pontos isotrópicos em sequencia (mais de um ponto singular) serão positivos e negativos.  Linhas isoclínicas não se interceptam umas com as outras exceto em pontos isotrópicos.  Pontos de carga concentrada não são pontos isotrópicos.  Pontos singulares de uma borda e canto livre de cargas serão negativos.  Se uma isoclínica passa em 02 pontos singulares na borda livre de uma placa, ele passa também em um ponto isotrópico do interior.  As isoclínicas, linhas ao longo das quais as tensões principais têm uma inclinação constante, dá a direção das tensões principais. Estas podem ser apresentadas na forma de um diagrama de trajetória de tensões chamado de isostáticas, onde as tensões principais são tangentes ou normais às linhas isostáticas em cada ponto.

Figura 20 – Padrão das isoclínicas para um anel circular sujeito a uma carga de compressão. 25

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Figura 21 – Esquema da configuração das isoclínicas para o modelo do anel sob carga de compressão. compressão. As isostáticas são construídas da seguinte forma:  Inicia-se da isoclínica a 0º, considerando-se pontos arbitrariamente espaçados.  Definem-se linhas numeradas (1) conforme mostra a Figura 22, sendo orientadas a 0º com relação a normal.  As linhas (1) são divididas ao meio e o novo conjunto de linhas (2) é desenhado inclinado de 10º com relação a vertical.  O processo segue e as linhas (3) são desenhadas a 20º com relação a vertical e assim sucessivamente.  Com o auxílio destas linhas são desenhadas as Isostáticas.  As trajetórias das tensões são desenhadas tangentes às linhas construídas nos pontos de interseção com as isoclínicas.

26

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Figura 22 – Procedimento para a determinação das linhas isostáticas. b) Determinação das isocromáticas As isocromáticas podem ser definidas como sendo o lugar geométrico dos pontos que apresentam o mesmo valor para a diferença entre as tensões principais. Este parâmetro é mais facilmente identificado no polariscópio circular, que tem a propriedade de eliminar o parâmetro da isoclínicas. Se a fonte de luz utilizada for monocromática (somente um comprimento de onda), as isocromáticas se apresentam como faixas escuras (sem luz). Quando a fonte de luz é branca, as isocromáticas são formadas por faixas luminosas de diferentes colorações dependendo da ordem de franja, N. A Figura 23 mostra um disco sob compressão analisado em um polariscópio circular sob luz branca. Observa-se que não existem as isoclínicas sobre o modelo. A Figura 24 mostra modelos de dentes de engrenagens observados em um polariscópio circular sob luz monocromática e luz branca.

Figura 23 – Modelo de um disco sob compressão vertical analisado em um polariscópio circular sob luz branca. 27

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(a)

(b)

Figura 24 – Modelos de dentes de engrenagens observados em um polariscópio circular sob luz monocromática (a) e luz branca (b). A técnica pode ser aplicada a vários tipos de modelos como o mostrado na Figura 25, sendo que as ordens de franja em um ponto do modelo podem ser determinadas de duas formas:  Fotografando ou traçando em papel as ordens de franjas inteiras que correspondem a fases múltiplas do comprimento de onda de luz utilizada. No caso de luz branca o espectro observado no analisador, apresenta colorações típicas para as ordens de franja, conforme mostrado na Figura 17. Geralmente, para se determinar a ordem de franja de pontos fora das franjas de ordem inteira faz-se uma interpolação ou extrapolação das isocromáticas. Este procedimento só é aconselhável quando não se necessita de medidas exatas ou o número de franjas é muito grande.  Para se conseguir medidas mais precisas, ou seja, ordens de franja fracionárias, pode-se utilizar métodos de compensação. Dentre os métodos de compensação usuais, o mais utilizado é o método de compensação de Tardy, por ter aplicação simples e não exigir o uso de equipamentos complementares.

Figura 25 – Modelo fotoelástico de uma chave analisada em um polariscópio circular sob luz branca. 28

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Devem ser observadas as seguintes regras gerais sobre as isocromáticas:  A diferença das tensões principais (1 - 2) é determinada pela Lei óptica das tensões em qualquer modelo fotoelástico.  Se 1 > 0 e 2 < 0 então max=(1 - 2)/2 , ou seja, é possível obter a tensão cisalhante máxima.  Se 1 > 0 > 2 < 3 = 0 ou 1 > 2 > 3 = 0, a tensão cisalhante máxima não está no plano do modelo. Portanto, é possível calcular apenas p. Para calcular max é preciso calcular as tensões principais individuais.  No contorno, se não houver carregamento, 1 = 0 ou 2 = 0, ou seja, a normal ao contorno é nula. Logo, é possível obter 1 ou 2.  Se o contorno não é livre de carga, tem-se que a tensão tangencial ao contorno será:

1 p 

f N h

(30)

 Se o contorno não é livre e a carga não é conhecida deve-se aplicar técnicas de separação de tensões. 5.5 Método de compensação de Tardy A seguir é mostrada a sequencia para a determinação de ordens de franja fracionárias em um ponto qualquer do modelo usando o método de compensação de Tardy. A Figura 26 apresenta um desenho esquemático do método.

Np    0

1

2

3

4

Figura 26 – Esquema para a determinação da ordem de franja fracionária segundo o método de compensação de Tardy. Para aplicação adequada do método, é fundamental que o usuário saiba distinguir corretamente as ordens de franjas inteiras no modelo. O procedimento deve seguir os seguintes passos:

29

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[ 1 ] Ajusta-se o polariscópio para polarização plana. A seguir, gira-se o conjunto polarizador/analisador até que uma isoclínica passe sobre o ponto em questão. Fixa-se o conjunto nesta posição. Os eixos de polarização ficam assim alinhados com a direção das tensões principais. [ 2 ] Colocam-se as duas placas retardadoras de ¼ de onda fazendo um ângulo de 45o, com os eixos de polarização, passando o ajuste do polariscópio de plano para circular. Com isto, desaparecem as isoclínicas, ficando somente as isocromáticas. [ 3 ] Observa-se o espectro, assinalando as ordens de franja de valores inteiros adjacentes ao ponto de interesse. Identificam-se assim as ordens de franjas próximas ao ponto de interesse (por exemplo: na Figura 26 tem-se as ordens N1 = 2 e N2 = 3 no ponto de interesse. [ 4 ] Gira-se o analisador, observando cuidadosamente o movimento das franjas, até que uma das franjas de ordem inteira passe pelo ponto (no exemplo, a 2 ou a 3). No transferidor do polariscópio lê-se o ângulo de rotação (). Neste caso, se girar no sentido horário a franja 2 caminhar para o ponto, consequentemente, girando no sentido anti-horário quem vai caminhar para o ponto será a franja de ordem 3. [ 5 ] Se a franja que se moveu em direção ao ponto for a de ordem menor (n1) tem-se que a ordem de franja fracionária no ponto é dada pela Equação 31 e se a franja que se moveu for a de ordem mais alta (n2), o mesmo é obtido pela Equação 32. N p  n1  N p  n1 

 180

 180

(medido em graus)

(31)

(medido em graus)

(32)

Deve-se ficar atento, pois ordens de franjas de tração e compressão são exatamente iguais. Além disso, nas superfícies livres, as direções das tensões principais são, respectivamente, tangentes e perpendiculares à superfície. A tensão principal perpendicular à superfície é nula, se não existir carregamento. Portanto, em uma superfície livre, se a franja de ordem superior se mover em direção ao ponto, tem-se uma tensão de compressão neste ponto (negativa), e se a franja de ordem menor se mover em direção ao ponto, tem-se uma tensão de tração (positiva). 5.6 Materiais fotoelásticos Para a utilização da técnica fotoelástica, materiais especiais devem ser usados, portadores de características indispensáveis como:  material transparente; 30

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     

boa resposta óptica; características lineares; homogêneo e isotrópico; não deve exibir fluência; módulo de elasticidade grande; constante óptica (f) não deve alterar com a temperatura;

   

não deve exibir efeito de borda (Time edge effect); fácil de ser usinado; livre de tensões residuais; baixo custo.

Com relação aos materiais fotoelásticos pode-se destacar ainda:  Para a fotoelasticidade tridimensional, além das características acima, o material deve apresentar características que possibilitem o congelamento das tensões, isto é, este deve ter a propriedade de fixar a anisotropia óptica mediante tratamento térmico adequado.  Para a fotoelasticidade de reflexão, o material deve apresentar uma fase de cura intermediária, onde é possível moldar a camada fotoelástica no formato da peça à qual esta vai ser colada. Após a moldagem, o material deve endurecer sem apresentar nenhuma anisotropia óptica. Exemplos de materiais utilizados: Fotoelasticidade Plana: Cr-39 - “Columbia Resin” (Carbonato) H-100 - Homalite 100 (resina de poliéster) Policarbonato Resinas Epóxi (Araldite) Resinas Epóxi com Aminas (Polipox) 5.7 Métodos de calibração Conforme mostrado na Equação (22), a determinação da diferença das tensões principais através da Lei Óptica das tensões é feita determinando-se a ordem de franja no ponto de interesse, devendo-se conhecer a espessura do modelo utilizado e uma propriedade óptica do material denominada de constante óptica. O valor desta constante óptica é obtido através de processos de calibração e deve ser efetuada sempre que se for utilizado um novo material fotoelástico ou outra amostra de um mesmo material.

31

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Para se fazer a calibração do material, deve-se selecionar um modelo no qual a distribuição de tensão é conhecida. O modelo deve também ser fácil de ser usinado e possuir uma forma simples para a aplicação da carga. Exemplos de modelos mais comumente utilizados em calibração são: barras retas tracionadas e discos comprimidos. No processo de calibração, o modelo é submetido a incrementos de carga e as respectivas ordens de franja são determinadas. O procedimento é repetido um número suficiente de vezes para que se possa efetuar uma regressão e determinar a constante óptica (f). a) Calibração utilizando o modelo de barra tracionada Neste caso, um modelo fotoelástico de uma barra tracionada, conforme mostrado na Figura 27, é sujeito a uma carga axial de tração F.

cotas em mm

Figura 27 - Vistas no 3º diedro do corpo de prova utilizado para a obtenção da Curva de Calibração para a determinação da constante óptica (fσ). Fonte: Laboratório de Projetos Mecânicos. A tensão da barra em qualquer ponto longe da aplicação da carga é dada por:

1   

F A

(33)

A lei óptica das tensões foi definida na Equação (22). Como, neste modelo, a tensão 2 é nula, tem-se que:

1   

f F N h A

(34)

Logo, tem-se que:

F

A f N h

(35) 32

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Portanto, o coeficiente angular da reta formada pela força versus a ordem de franja fornece a constante óptica, uma vez que os parâmetros geométricos são constantes. b) Calibração utilizando o modelo de disco comprimido Neste caso, um modelo fotoelástico de um disco, conforme mostrado na Figura 28 é sujeito a uma carga vertical de compressão F.

Figura 28 - Dimensões de modelo de um disco sob compressão para a obtenção da Curva de Calibração para a determinação da constante óptica (fσ). Fonte: Laboratório de Projetos Mecânicos. A Tensão no centro do disco é dada por:

1 

 6P 2P e 2  hD hD

(36)

Utilizando a lei óptica das tensões e a Equação (36) pode-se obter a equação da reta de calibração utilizando o modelo do disco sob compressão, ou seja:

P

Df 8

N

(37)

De forma análoga ao caso anterior, o coeficiente angular da reta formada pela força versus a ordem de franja fornece a constante óptica, uma vez que os parâmetros geométricos também são constantes para o modelo do disco.

33

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5.7.1 Exemplo de um processo de calibração Por exemplificar o procedimento anteriormente comentado será mostrado como é feita uma calibração utilizando uma barra de material fotoelástico de seção retangular. Esta barra é normalmente utilizada em ensaios no Laboratório de Projetos Mecânicos da FEMEC/UFU. A Figura 29 mostra o aparato experimental utilizado para fazer a calibração. Os seguintes materiais são necessários:      

barras feita de material fotoelástico; dispositivo de aplicação de carga; célula de carga; polariscópio; paquímetro; polariscópio de transmissão vertical.

Figura 29 – Aparato experimental utilizado para obter a constante fotoelástica de um material utilizando uma barra de seção transversal retangular. Fonte: Laboratório de Projetos Mecânicos. Inicialmente, foram determinadas as dimensões da barra utilizando o paquímetro. A barra foi fixada ao sistema de carga através dos furos feitos em suas extremidades. Foi aplicada uma carga gradual na barra de 5 kgf em 5 kgf até próximo de 30 kgf. Para cada valor de carga aplicado foi determinada a ordem de franja (N) correspondente na imagem observada no polariscópio circular de transmissão. Para a determinação destas franjas foi usado o método de 34

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compensação de Tardy. Com os dados obtidos construiu-se uma tabela a fim de se obter a curva de calibração. A constante óptica do material foi obtida desta curva utilizando regressão linear (DALLY e RILLEY, 1978). A Tabela 3 mostra os resultados dos incrementos de carga versus as ordens de franja medidas. As dimensões do corpo de prova são:  Largura (b) de 40.10 mm;  Espessura (h) de 6.45 mm;  Comprimento L de 200 mm. Tabela 3 - Valores das ordens de franja medidas para diferentes incrementos de carga. Calibração Carga (kgf)

Ordem de Franja

0 5.97 9.67 15.62 19.79 26.5 29.72

0 0.17 0.285 0.525 0.705 0.91 1.02

A constante óptica f  pode ser calculada a partir da regressão linear que define a reta de calibração, que é dada por:

A

 F * N   i

N

N *F i

i

i

n

 N  

2

2 i

 29,399

i

B

F

i

 A *  Ni n

 0,5895

n

Tem-se: F  N * b  * f  y  A* x  B

A   f * b B0 xN yF f 

A 29,399   7,33Kgf / cm b 4.01 35

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Este resultado também pode ser obtido via regressão linear no programa Excel, ou em qualquer outro software de manipulação de dados ou, ainda, manualmente, utilizando papel milimetrado. A Figura 30 mostra a reta de calibração obtida no programa Excel. Curva de Calibração 35 y = 28.218x + 0.7518 R2 = 0.9968 30

Fo rça(Kgf)

25

20

15 Calibração Linear (Calibração)

10

5

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Ordem de Franja

Figura 30 - Reta de calibração obtida no Excel.

Do gráfico, determina-se a equação de regressão y = 28,218 x + 0,7518. Então, tem-se que: F  N * b  * f  y  A* x  B

A   f * b 

B0 xN yF A 28,218 f    7,037 Kgf / cm b 4.01

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA / FEMEC LABORATÓRIO DE PROJETOS MECÂNICOS - LPM ANÁLISE EXPERIMENTAL DE TENSÕES MÓDULO II: FOTOELASTICIDADE DE TRANSMISSÃO PLANA Prof. Cleudmar Amaral Araújo

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARAÚJO, C.A. Notas de Aula – Curso Análise Experimental de Tensões. Curso de PósGraduação em Engenharia Mecânica – UFU, Uberlândia, 2004. DALLY, J.W.; RILLEY, W.F. Experimental Stress Analysis. McGraw-Hill, 1978. DOYLE, F.D. Manual on Experimental Stress Analysis. Society for Experimental Mechanics, 5.ed., 1985. OLIVEIRA, S.A.G. Introdução à Fotoelasticidade Plana. Apostila UFU, Uberlândia, 1995. SHIGLEY, J.E. Mechanical Engineering Desing. MacGraw-Hill, 1997. THEOCARIS, P.S.; GDOUTOS, E.E. Matrix Theory of Photoelasticity. Springer–Verlag. New York, 1979.

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