Apostila UDESC Preparatória para o Vestibular

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Aline Felizardo Gol¸calves Andr´ e Alexandre Silveira Andr´ e Antˆ onio Bernardo C´ esar Manchein Fl´ abio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalmˆ onico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores

Luciano Camargo Martins Coordenador

Revis˜ao 1.2 de 29 de agosto de 2007

2

MUNDO F´ISICO Nossa Apostila A edi¸ca˜o dessa apostila, concretiza os esfor¸cos feitos desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de Licenciatura Plena em F´ısica da UDESC mobilizaram-se por for¸ca e vontade pr´opria no desenvolvimento e apresenta¸ca˜o de um Curso Pr´e-Vestibular aberto ` a comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ciˆencias Tecnol´ogicas (CCT) da UDESC-Joinville. Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pr´e-Vestibular n˜ ao chegou a se realizar, por raz˜ oes puramente burocr´aticas, apesar dos esfor¸cos gastos na prepara¸ca˜o das aulas e do material did´ atico inicial. Nos anos seguintes, a id´eia original foi abra¸cada por um projeto de extens˜ao oficial, e s´ o ent˜ ao pode ser realizado com sucesso, j´ a tendo atendido milhares de alunos desde ent˜ ao. Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamos que esse material seja suficiente para a revis˜ ao dos conte´ udos exigidos pela Universidade. Convidamos a todos para que visitem o nosso site!

Nosso Endere¸co na Internet http://www.mundofisico.joinville.udesc.br

Joinville-SC, 29 de agosto de 2007 Professor Luciano Camargo Martins Coordenador da Home Page Mundo F´ısico e-Mail: [email protected]

ii

Sum´ ario F´ISICA

1

Mecˆ anica – Aula 1: Grandezas F´ısicas . . . . . . . Mecˆ anica – Aula 2: Algarismos Significativos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mecˆ anica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais Mecˆ anica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . Mecˆ anica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . Mecˆ anica – Aula 6: Energia . . . . . . . . . Mecˆ anica – Aula 7: Energia Potencial

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Mecˆ anica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mecˆ anica – Aula 9: Dinˆ amica do Movimento Circular Mecˆ anica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

18

. . . . . . . . . . . . . . . .

20

Mecˆ anica – Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mecˆ anica – Aula 12: Conserva¸c˜ ao da Quantidade de Movimento Mecˆ anica – Aula 13: Mecˆ anica – Aula 14: Mecˆ anica – Aula 15: Gravita¸ c˜ ao – Aula 1: Gravita¸ c˜ ao – Gravita¸ c˜ ao – Gravita¸ c˜ ao – ´ Otica – Aula

. . . . . . .

21

. . . . . . .

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Colis˜ oes . . . . . . . . . . . . . Lei da A¸c˜ ao e Rea¸c˜ ao For¸ca de Atrito . . . . . . As Leis de Kepler . . .

Aula 2: Gravita¸ c˜ ao Universal Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . Aula 4: Centro de Gravidade . ´ 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ Otica – Aula 2: Espelhos Esf´ ericos ´ Otica – Aula 3: Refra¸c˜ ao da Luz . . ´ Otica – Aula 4: Lentes Esf´ ericas . . ´ ´ Otica – Aula 5: Otica da Vis˜ ao . . . Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . . . . . Fluidos – Aula 2: Hidrost´ atica . . . Cinem´ atica – Aula 1: Cinem´ atica

16

iii

iv

Cinem´ atica – Aula 2: Movimento Uniforme (MU)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cinem´ atica – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) Cinem´ atica – Aula 4: Queda Livre

57

. . . . .

59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Cinem´ atica – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU)

. . . . . . . . . .

63

Ondas – Aula 1: Ondas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Ondas – Aula 2: Ondas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Ondas – Aula 3: Ondas e Interferˆ encia Ondas – Aula 4: Som

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Ondas – Aula 5: Efeito Doppler

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 1: Termodinˆ amica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 2: Dilata¸c˜ ao T´ ermica .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 3: Transforma¸c˜ oes Gasosas . Termodinˆ amica – Aula 4: Lei de Avogrado

80 82

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

Termodinˆ amica – Aula 6: Calor e Temperatura

. . . . . . . . . . . . . .

85

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Termodinˆ amica – Aula 7: Capacidade T´ ermica (C)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinˆ amica Termodinˆ amica – Aula 10: Mudan¸cas de Fase

89

. . . . . . . . . . . .

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

Termodinˆ amica – Aula 9: M´ aquinas T´ ermicas .

Termodinˆ amica – Aula 11: Sublima¸c˜ ao e Diagrama de Fases .

. . . . . . . . . .

96

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Eletricidade – Aula 2: Eletrosc´ opio de Folhas Eletricidade – Aula 3: Campo El´ etrico

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Termodinˆ amica – Aula 5: Modelo Molecular de um G´ as

Eletricidade – Aula 1: Carga El´ etrica

74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Eletricidade – Aula 4: Potencial El´ etrico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Eletricidade – Aula 5: Superf´ıcies Equipotenciais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equil´ıbrio

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Eletricidade – Aula 7: Capacidade El´ etrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Eletricidade – Aula 8: Associa¸c˜ ao de Capacitores . Eletricidade – Aula 9: Corrente El´ etrica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Eletricidade – Aula 10: Resistˆ encia Equivalente Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Eletricidade – Aula 12: Geradores e For¸ca Eletromotriz

. . . . . . . . . . . . . . . 121

v

QU´IMICA

125

Qu´ımica – Aula 1: Estrutura Atˆ omica Qu´ımica – Aula 2: Modelos Atˆ omicos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Qu´ımica – Aula 3: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Qu´ımica – Aula 4: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas . . . . . Qu´ımica – Aula 5: A Estrutura da Mat´ eria

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Qu´ımica – Aula 6: Teoria Cin´ etica dos Gases ´ Qu´ımica – Aula 7: Acidos e Bases . . . . Qu´ımica – Aula 8: Solu¸c˜ oes Qu´ımicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Qu´ımica – Aula 9: Equil´ıbrio Iˆ onico . . . . Qu´ımica B – Aula 1: O que ´ e Qu´ımica? .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Qu´ımica B – Aula 2: Mat´ eria e Energia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Qu´ımica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . Qu´ımica B – Aula 4: Propriedades Peri´ odicas . . . . . . . Qu´ımica B – Aula 5: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Qu´ımica B – Aula 6: Liga¸ c˜ oes Qu´ımicas . . . . . . . . . . Qu´ımica B – Aula 7: Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes Qu´ımicas Qu´ımica B – Aula 8: Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes (II) Qu´ımica B – Aula 9: Solu¸c˜ oes Qu´ımicas . Qu´ımica B – Aula 10: Fun¸ c˜ oes Qu´ımicas .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Qu´ımica B – Aula 11: Propriedades Coligativas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Qu´ımica B – Aula 12: Eletroqu´ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 1: Introdu¸c˜ ao ` a Qu´ımica Orgˆ anica Qu´ımica Orgˆ anica B – Aula 2: Nomenclatura

183

Matem´ atica A – Aula 1: Rela¸c˜ oes e Fun¸c˜ oes . Matem´ atica A – Aula 2: Fun¸ c˜ oes Polinomiais Matem´ atica A – Aula 3: Fun¸ c˜ oes Especiais . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Matem´ atica A – Aula 4: Fun¸ c˜ oes Especiais (II) A A A A

– – – –

Aula Aula Aula Aula

. . . . . . . . . . 175

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

´ MATEMATICA

Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica

. . . . . . . . . . 171

5: 6: 7: 8:

Polinˆ omios . . . . . . . . . Equa¸c˜ oes Alg´ ebricas Geometria Anal´ıtica Geometria Anal´ıtica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

vi

Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica

A A B B B B B B

– – – – – – – –

Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula

9: Circunferˆ encia . . . . . . . . . . . . . . . . 10: Circunferˆ encia - II . . . . . . . . . . . . 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2: Opera¸c˜ oes com Matrizes . . . . . . . 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . 5: Discuss˜ ao de um Sistema Linear 6: Progress˜ ao Aritm´ etica . . . . . . . . .

Matem´ atica B – Aula 7: Progress˜ ao Geom´ etrica (PG)

. . . . . . . . . . . . . 206 . . . . . . . . . . . . . 207 . . . . . . . . . . . . . 211 . . . . . . . . . . . . . 212 . . . . . . . . . . . . . 214 . . . . . . . . . . . . . 216 . . . . . . . . . . . . . 218 . . . . . . . . . . . . . 219

. . . . . . . . . . . . . . . . 221

Matem´ atica C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Matem´ atica C – Aula 2: Conjuntos Num´ ericos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Matem´ atica C – Aula 3: N´ umeros complexos (C) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Matem´ atica C – Aula 4: Raz˜ oes e Propor¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . Matem´ atica C – Aula 5: Regras de Trˆ es Simples e Composta . Matem´ atica C – Aula 6: Juros e Porcentagens Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica Matem´ atica

C C C C C C

– – – – – –

Aula Aula Aula Aula Aula Aula

. . . . . . . . . 235

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7: An´ alise Combinat´ oria . . . . . . . . . . . . . 8: Arranjo, Combina¸c˜ ao e Permuta¸c˜ ao 9: Binˆ omio de Newton . . . . . . . . . . . . . . 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11: Inequa¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12: Equa¸c˜ oes Trigonom´ etricas . . . . . . . .

Matem´ atica C – Aula 13: Introdu¸c˜ ao ` a Geometria . Matem´ atica C – Aula 14: Triˆ angulos . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 239 . . . . . . . . . . 240 . . . . . . . . . . 242 . . . . . . . . . . 245 . . . . . . . . . . 247 . . . . . . . . . . 250

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Matem´ atica C – Aula 15: Quadril´ ateros . . . . . . . . . . . . Matem´ atica C – Aula 16: Circunferˆ encia . . . . . . . . . . . Matem´ atica C – Aula 17: Pol´ıgonos e Figuras Planas Matem´ atica C – Aula 18: Retas e Planos Matem´ atica C – Aula 19: Poliedros . . . . . Matem´ atica C – Aula 20: Prismas . . . . . .

. . . . . . . . . 234

. . . . . . . . . . . . . . . . . 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

L´INGUA PORTUGUESA

273

L´ıngua Portuguesa – 01: Variantes Ling¨ u´ısticas L´ıngua Portuguesa – 02: Acentua¸c˜ ao Gr´ afica .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

L´ıngua Portuguesa – 03: Concordˆ ancia Nominal . L´ıngua Portuguesa – 04: Concordˆ ancia Verbal . . L´ıngua Portuguesa – 05: Coloca¸c˜ ao Pronominal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

vii

L´ıngua Portuguesa – 06: Crase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

L´ıngua Portuguesa – 07: Interpreta¸c˜ ao de Textos .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

L´ıngua Portuguesa – 08: Sinˆ onimos, Antˆ onimos e etc.

´ HISTORIA Hist´ oria – Aula 1: Hist´ oria de Santa Catarina .

Grade de Respostas (PARCIAL) Referˆ encias Bicliogr´ aficas

. . . . . . . . . . . . . . . . 284

287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

291

299

F´ısica Mecˆ anica

Grandeza ´area

Aula 1

volume densidade

Grandezas F´ısicas

velocidade

Apesar de existirem muitas grandezas f´ısicas, s˜ ao estabelecidos padr˜ oes e definidas unidades para que tenhamos um n´ umero m´ınimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais definem-se unidades para todas as demais grandezas, as chamadas grandezas derivadas. A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m), pode-se definir as unidades derivadas, como a ´rea (m2 ) e volume (m3 ). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelera¸ca ˜o (m/s2 ).

acelera¸ca˜o

for¸ca press˜ ao trabalho, energia, calor potˆencia carga el´etrica diferen¸ca de potencial resistˆencia el´etrica

Sistema Internacional(SI)

Unidade metro quilograma segundo amp`ere kelvin mol candela

S´ımbolo m2 m3 kg/m3

m/s m/s2

N = Kg m/s2 P a = N/m2 J W = J/s C = As V = J/C Ω = V /A

Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

At´e o final do s´eculo XV III era muito grande a quantidade de padr˜ oes existentes. Cada regi˜ ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist´oricos, os pa´ıses de l´ıngua inglesa utilizam at´e hoje os seus padr˜ oes regionais. O elevado aumento nos intercˆambios econˆ omicos e culturais levou ao surgimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m´etrico. Grandeza comprimento massa tempo corrente el´etrica temperatura quantidade de mat´eria intensidade luminosa

Unidade metro quadrado metro c´ ubico quilograma por metro c´ ubico metro por segundo metro por segundo ao quadrado newton pascal joule watt coulomb volt ohm

S´ımbolo m kg s A K mol cd

Prefixo

S´ımbolo

pico nano micro mili centi deci deca hecto quilo mega giga tera

p n µ m c d D H k M G T

Potˆ encia de dez correspondente 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109 1012

Tabela 1.3: Prefixos, s´ımbolos e potˆencias de dez.

Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI. • diˆametro de um ´atomo de hidrogˆenio: 0, 0000000001 m.

Em 1971, a 14a Conferˆencia Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al´em das grandezas, definiu-se tamb´em os s´ımbolos, unidades derivadas e prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI.

Para manipular tais n´ umeros, utilizamos a nota¸ca˜o cient´ıfica, fazendo uso das potˆencias de 10. O m´odulo de qualquer n´ umero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma potˆencia de dez: g = a × 10n ,

Nota¸ c˜ ao Cient´ıfica

A medida de uma determinada grandeza f´ısica pode resultar onde devemos ter 1 ≤ a < 10. em um n´ umero que seja extremamente grande ou extremamente pequeno, por exemplos temos: Exemplos • 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102

• distˆancia da Terra ` a Lua: 384.000.000 m. 1

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Exerc´ıcios Complementares

• 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103 • 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4

4. (UFPI) A nossa gal´ axia, a Via L´ actea, cont´em cerca de 400 bilh˜ o es de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas • 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10 possuam um sistema planet´ ario onde exista um planeta semelhante `a Terra. O n´ umero de planetas semelhantes `a Terra, na Regra Pr´ atica Via L´ actea, ´e: a) 2 × 104 . • N´ umeros maiores que 1: deslocamos a v´ırgula para a b) 2 × 106 . esquerda, at´e atingir o primeiro algarismo do n´ umero. O c) 2 × 108 . n´ umero de casas deslocadas para a esquerda corresponde d) 2 × 1011 . ao expoente positivo da potˆencia de 10. e) 2 × 1012 . −3

• N´ umeros menores do que 1: deslocamos a v´ırgula para a direita, at´e o primeiro algarismo diferente de zero. O n´ umero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da potˆencia de 10.

Pense um Pouco!

5. Transforme em quilˆ ometros: a) 3600 m; b) 2.160.000 cm; c) 0, 03 m; d) 5.780 dm; e) 27.600 m; f) 5.800 mm;

aginas e 4, 0 cm • Quais s˜ ao as unidades de Peso e de massa? por que elas 6. (Unifor-CE) Um livro de F´ısica tem 800 p´ de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em n˜ ao s˜ ao iguais? mil´ımetros: • Um analg´esico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg a) 0, 025. de massa corporal, mas a dose administrada n˜ ao pode ex- b) 0, 050. ceder 200 mg. Cada gota cont´em 5 mg do rem´edio. Quan- c) 0, 10. d) 0, 15. tas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg? e) 0, 20. 7. Escreva os seguintes n´ umeros em nota¸ca˜o cient´ıfica: a) 570.000 b) 12.500 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens˜oes e as c) 50.000.000 d) 0, 0000012 unidades, no sistema internacional, e) 0, 032 f) 0, 72 Grandeza Dimens˜ ao Unidades SI g) 82 × 103 Comprimento L m (metro) h) 640 × 105 Massa M kg (quilograma) i) 9.150 × 10−3 Tempo T s (segundo) j) 200 × 10−5 k) 0, 05 × 103 das grandezas mecˆ anicas prim´ arias: a) Sabendo que for¸ca = massa · acelera¸ca˜o, expresse a unidade l) 0, 0025 × 10−4 de for¸ca em unidades de grandezas prim´ arias. b) Determine os valores de n e p, se a express˜ ao M Ln T n−p corresponde `a dimens˜ao de energia cin´etica.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Mecˆ anica

Aula 2

2. (FGV-SP) A dimens˜ao de potˆencia em fun¸ca˜o das grandezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ´e: a) M L2 T −2 Algarismos Significativos b) M L2 T −1 c) M L2 T 2 A precis˜ao de uma medida simples depende do instrumento d) M L2 T −3 utilizado em sua medi¸ca˜o. Uma medida igual a 2, 00 cm n˜ ao e) M LT −2 deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm. 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o Denominamos algarismos significativos todos os algarismos co´ ltimo duvidoso, intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun- nhecidos com certeza, acompanhados de um u que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: todos, ´e de: dos os algarismos que representam a medida de uma grandeza a) 3, 0 × 102 . s˜ ao algarismos significativos, sendo chamados de corretos, com b) 3, 0 × 103 . exce¸ca˜o do u ´ ltimo, que recebe o nome de algarismo duvidoso. c) 3, 6 × 103 . O algarismo duvidoso de uma medida ser´ a sublinhado para d) 6, 0 × 103 . destac´ a-lo, quando for preciso. e) 7, 2 × 103 .

ˆnica – Aula 2 Meca

3

Crit´ erios de Arredondamento

Exemplos

Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . × 108 m/s. 1. A medida 2, 35 cm apresenta trˆes algarismos significativos umero me(2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um Como devemos proceder para escrever “c” com um n´ nor de algarismos significativos? Devemos utilizar os crit´erios algarismo duvidoso (5). de arredondamento. 2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris- Podemos escrever: 4 significativos mos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um c = 2, 998 × 108 m/s 8 duvidoso (7). Observe que os zeros a ` esquerda n˜ ao s˜ ao c = 3, 00 × 10 m/s 3 significativos algarismos significativos, pois servem apenas para posi- c = 3, 0 × 108 m/s 2 significativos cionar a v´ırgula no n´ umero. Nesse caso, ´e aconselh´ avel escrever a medida em nota¸ca˜o cient´ıfica: 5, 7 × 10−4 mm.

REGRAS

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos significativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o u ´ ltimo zero ´e o algarismo duvidoso. Em nota¸ca˜o cient´ıfica escrevemos: 1, 5000 × 102 km. Note que ao escrevermos um n´ umero usando as potˆencias de 10 mantemos a quantidade de algarismos significativos deste n´ umero, ou seja, mantemos sua precis˜ao. 4. Considere a medida do comprimento de uma haste com r´egua com divis˜oes em cent´ımetros: 0 cm 1

2

3

4

5

6

7

• Se o algarismo a ser eliminado ´e menor que 5, ele ´e simplesmente eliminado. √ Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414 • Se o algarismo a ser eliminado ´e igual ou maior que 5, ele ´e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo anterior. Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Opera¸c˜ oes com Algarismos Significativos Adi¸ c˜ ao e Subtra¸ c˜ ao

O resultado da adi¸ca˜o e subtra¸ca˜o de dois n´ umeros n˜ ao pode Qual das op¸co˜es abaixo melhor representa o comprimento ter maior n´ umero de casas decimais, do que a parcela mais da haste? pobre (em casas decimais). Procede-se a opera¸ca˜o normalmente e arredonda-se o resultado. a) 5, 0 cm Exemplos b) 5, 40 cm c) 5 cm

• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m

d) 5, 5 cm

• 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m

e) 5, 2 cm

Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a seguir procedermos o arredondamento.

5. Considere a figura: 0 cm 1

2

3

4

5

6

7

Multiplica¸ c˜ ao e Divis˜ ao

O resultado de uma multiplica¸ca˜o e divis˜ao n˜ ao pode ter maior n´ umero de algarismos significativos do que o fator mais A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com pobre (em algarismos significativos). Procede-se a opera¸ca˜o uma r´egua milimetrada: normalmente e arredonda-se o resultado. a) 5, 2 cm Exemplos b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm

• 4, 23 m × 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2 • 4, 98 cm ÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s

Rela¸c˜ oes entre Grandezas F´ısicas

6. Indique o n´ umero de algarismos significativos de cada Muitos fenˆ omenos f´ısicos podem ser reduzidos ao estudo da n´ umero abaixo: rela¸ca˜o entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados obtidos das medi¸co˜es podem ser expressos por uma representa¸ca˜o a) 7, 4 2 significativos gr´afica num plano cartesiano por meio de dois eixo perpendib) 0, 0007 1 significativo culares entre si. c) 0, 034 2 significativos Atrav´es da representa¸ca˜o gr´afica da rela¸ca˜o entre duas grandezas pertencentes a um determinado fenˆ omeno f´ısico, podemos d) 7, 40 × 10−10 3 significativos obter algumas conclus˜oes sobre o comportamento de uma das

4

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

• as divis˜oes num´ericas das escalas (lineares) devem ser regulares; • o valor zero (0) n˜ ao precisa estar em nenhuma das escalas; • as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de baixo para cima;

Temperatura (◦ C) 39,0 39,0 38,5 38,0 38,5 37,5 37,0 36,5 36,5 36,5

• antes de iniciar a constru¸ca˜o de um gr´afico deve-se verificar a escala a ser usada levando em considera¸ca˜o os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assumido por ambas as vari´ aveis do gr´afico. Divide-se ent˜ ao o espa¸co dispon´ıvel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais; • o teste final para saber se as escalas est˜ ao boas ´e feito verificando-se se ´e f´acil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.

Podemos representar os dados da tabela acima em um gr´afico. A representa¸ca˜o gr´afica das vari´ aveis temperatura (vari´ avel dependente: eixo vertical) e tempo (vari´ avel independente: eixo horizontal) est´ a mostrada na Fig. 1.1.

Pense um Pouco! • A fun¸ca˜o da posi¸ca˜o x em rela¸ca˜o ao tempo t de um ponto material em movimento retil´ıneo, expressa em unidades do SI, ´e x = 10 + 5, 0t

40.0

Determine: a) a posi¸ca˜o do ponto material no instante 5, 0 s; b) o instante em que a posi¸ca˜o do ponto material ´e x = 50 m; c) esboce o gr´afico x × t do movimento.

39.0 T(oC)

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• as escalas s˜ ao independentes e devem ser constru´ıdas independentemente;

grandezas (vari´ avel dependente) em rela¸ca˜o a outra (vari´ avel independente). Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento ` as 8 horas e uma outra dose `as 12 horas da manh˜ a. A temperatura da pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos s˜ ao mostrados abaixo. Tempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

—

38.0 37.0

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

36.0 1. Determine o comprimento de cada haste: 0 cm 1

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

b) O gr´ afico cartesiano mostrado anteriormente, al´em de facilitar 0 cm 1 a visualiza¸ca˜o do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observa¸ca˜o, permite tamb´em, algumas c) conclus˜oes.

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

0 cm 1

2

3

4

5

6

7

35.0 0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

t(h)

a)

Figura 1.1: Gr´ afico da temperatura em fun¸ca ˜o do tempo

Como Construir um Gr´ afico

d)

Para que gr´aficos sejam constru´ıdos de forma objetiva e clara ´e necess´ ario respeitar algumas regras simples: • O eixo vertical ´e chamado de eixo das abscissas e o hori- e) zontal de eixo das coordenadas; • a vari´ avel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a vari´ avel independente no eixo horizontal;

f)

• os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do papel, ou espa¸co (retˆangulo) reservado para o gr´afico;

2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divis˜ao, o mil´ımetro. Essa trena ´e utilizada para se medir a distˆancia

ˆnica – Aula 3 Meca

5

entre dois tra¸cos paralelos, muito finos, feitos por um estilete sobre uma superf´ıcie plana e lisa. Considerando que n˜ ao houve erro grosseiro, o resultado de uma s´ o medi¸ca˜o, com o n´ umero correto de algarismos significativos, ´e mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m

exemplos de grandeza f´ısica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exemplo 36 o C), o volume (5 m3 , por exemplo), a densidade (para a ´agua, 1000 kg/m3 ), a press˜ ao (105 N/m2 ), a energia (por exemplo 100 J) e muitas outras. Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de opera¸co˜es alg´ebricas comuns, arredondando-se quando necess´ario.

Grandezas Vetoriais

Exerc´ıcios Complementares 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. N˜ ao dispondo de r´egua, decide utilizar um toco de l´ apis como padr˜ ao de comprimento. Verifica ent˜ ao que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de l´ apis. Chegando ao col´egio, mede com uma r´egua o comprimento do seu toco de l´ apis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa ser´ a corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1 × 102 cm d) 1, 2 × 102 cm e) 102 cm 4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, ap´ os realizar a medida necess´ aria, que o volume de um dado ´e 2, 36 cm3 . Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume total de cinco dados, idˆenticos ao primeiro, ser´ a corretamente expresso por: a) 6, 8 cm3 b) 7 cm3 c) 13, 8 cm3 d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m´edia de uma folha ´e: a) 10−1 mm b) 10−2 mm c) 10−3 mm d) 10−4 mm e) 10−5 mm

Mecˆ anica

Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais Na F´ısica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares A grandeza escalar ´e aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como

Dada a velocidade instantˆ anea de um m´ovel qualquer (por exemplo, um avi˜ ao a 380 km/h), constatamos que apenas essa indica¸ca˜o ´e insuficiente para dizermos a dire¸ca˜o em que o m´ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza vetorial. Para uma grandeza f´ısica vetorial ficar totalmente caracterizada, ´e necess´ ario saber n˜ ao apenas a sua intensidade ou m´ odulo mas tamb´em a sua dire¸ c˜ ao e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, ~v ) e o m´odulo ou intensidade, por |~v | ou simplesmente por v. A grandeza f´ısica vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a dire¸ca˜o da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indica¸ca˜o de seu m´odulo ou intensidade). Tal representa¸ca˜o ´e denominada vetor. No exemplo anterior do avi˜ ao, poder´ıamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v , de m´odulo v = 380 km/h, na dire¸ca˜o norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantˆ anea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 1.1.

380 km/h N

L

O

S

Figura 1.1: Exemplo de representa¸ca ˜o vetorial Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´odulo, a dire¸ca˜o e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indica¸ca˜o utilizando um vetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - ´e proporcional `a intensidade da grandeza que representa. Para melhor entendermos o significado e a representa¸ca˜o de um vetor, observe a figura 1.3. Na figura de cima os vetores representados possuem mesma dire¸ca ˜o e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma dire¸ca ˜o e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma dire¸ca˜o s˜ ao paralelos, o que n˜ ao garante que tenham o mesmo sentido.

6

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC S

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Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um m´ovel parte de um ponto A e sofre um deslocamento d~1 no sentido leste, atingindo um ponto B Figura 1.2: A reta s, que cont´em o vetor, indica a dire¸ca ˜o e a e, em seguida, um deslocamento d~2 no sentido norte, atingindo seta indica o sentido um ponto C (veja a figura 1.5) C

b

N

d

a

O

L d

c

S

a

d2

A

B d1

b

Figura 1.5: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 . Portanto d~ = d~1 + d~2 . Figura 1.3: Representa¸ca ˜o de alguns vetores

Soma de Vetores Paralelos

Podemos notar facilmente que o deslocamento d~1 , de A para ~ B, e o d~2 , de B para C, equivalem a um u ´ nico deslocamento, d, ~ de A para C. Desta forma, o deslocamento d ´e a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos d~1 e d~2 , ou seja,

Quando os vetores tem a mesma dire¸ca˜o, podemos determid~ = d~1 + d~2 nar o m´odulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus Este resultado ´e v´alido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 1.6. m´odulos. Observe:

a c

c b

a

b

b

b

a

Figura 1.6: O vetor ~c ´e a resultante ou soma vetorial de ~a e ~b.

´ Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c. E ~ crucial notar que a coloca¸ca˜o do vetor b na origem ou na extred c midade do vetor ~a n˜ ao altera o vetor soma ~c. Deve-se observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triˆ angulo retˆ angulo, em que ~c ´e a hipotenusa ~a e ~b s˜ ao catetos. Para obtermos o m´odulo Figura 1.4: De acordo com a conven¸ca ˜o adotada, o m´ odulodo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pit´ agoras: vetor ser´ a d = a + b − c. c2 = a 2 + b 2 Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma dire¸ca˜o (horizontal). Soma de Vetores Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. ~ Assim, os vetores ~a e b s˜ ao positivos e o vetor ~c ´e negativo. O A soma de vetores perpendiculares entre si ou de dire¸co˜es ~ ´e dado por m´odulo do vetor soma, d, quaisquer n˜ ao apresenta muita diferen¸ca. Para um m´ovel, partir de A e atingir B num deslocamento d~1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d~2 equivale a partir de A e atingir C num d=a+b−c deslocamento d~ (veja figura 1.7). Desta forma, ~ isso significa que seu Se obtermos um valor positivo para d, d~ = d~1 + d~2 sentido ´e positivo, ou seja, o vetor ´e horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido ´e negativo, isto ´e, o vetor ´e hori- Na determina¸ca˜o do m´odulo do vetor d~ resultante, n˜ ao pozontal para a esquerda. demos aplicar o teorema de Pit´ agoras, tendo em vista que o

ˆnica – Aula 3 Meca

7

C d d2 A

d1

c

b

B α

Figura 1.7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos d~1 e d~2 .

α a

ˆngulo entre d~1 e d~2 n˜ a ao ´e reto (90o ). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 1.8. Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo, se ~a e ~b formam entre si um ˆ angulo α, o m´odulo do vetor resultante ~c ser´ a dado pela express˜ ao:

c b

c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α Decomposi¸ c˜ ao de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um u ´ nico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor ~a, obt´em-se outros dois vetores a~x e ~ay tal que a~x + a~y = ~a (veja a figura 1.9). O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e ~ay formem um triˆ angulo retˆ angulo (figura 1.10). Aplicando a trigonometria ao triˆ angulo retˆ angulo, podemos determinar o m´odulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical) de ~a em fun¸ca˜o do ˆangulo α. Desta forma, no triˆ angulo hachurado da figura 1.10, temos cos α =

cateto adjacente ax ⇒ cos α = hipotenusa a ax = a · cos α

α

α a

Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados s˜ ao os vetores ~a e ~b, ´e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura anterior.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Um m´ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em seguida, 50 m no sentido norte-sul. a) Represente esquematicamente esses deslocamentos. b) Determine o m´odulo do deslocamento resultante.

onde ax ´e o m´odulo da componente horizontal ~ax do vetor ~a. 2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m´odulo da Temos ainda resultante de F1 e F2 . Dado: cos(120◦ ) = −0, 50. ~ay cateto oposto ⇒ sin α = sin α = hipotenusa a ay = a · sin α

onde ay ´e o m´odulo da componente vertical ~ay do vetor ~a. Podemos relacionar o m´odulo do vetor e o m´odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pit´ agoras no triˆ angulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay : a2 = a2 x + a2 y

F2

o

120

Pense um Pouco! F1 • Qual a condi¸ca˜o para que a soma de dois vetores seja nula? • O m´odulo da soma de dois vetores pode ser igual `a soma 3. Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400 m/s fazendo de seus m´odulos? Quando? um ˆangulo de 45◦ com a horizontal. Determine os componentes • O m´odulo de um vetor pode ser negativo? Por quˆe? vertical e horizontal da velocidade do proj´etil.

8

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

—

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5. Um vetor velocidade ´e decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o m´odulo do vetor ´e 10, 0 m/s e que um dos componentes tem m´odulo igual a 8, 0 m/s, determine o m´odulo do vetor correspondente ao outro componente.

y

6. Um proj´etil ´e lan¸cado do solo segundo uma dire¸ca˜o que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a figura a seguir). Determine o m´odulo dos componentes horizontal, v~x , e vertical, v~y , dessa velocidade. Dados: sin(53◦ ) = 0, 80 e cos(53◦ ) = 0, 60

a ay α x ax

v α = 53

Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um componente horizontal, ~ax , e outro vertical, a~y .

a ay

ay α

o

7. Um avi˜ ao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste. a) Fa¸ca um esquema gr´afico representando a velocidade do avi˜ ao e do vento. b) Determine o m´odulo da velocidade resultante. Dado: cos(45◦ ) = 0, 71.

Mecˆ anica

ax

Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e a~y formam um triˆ angulo retˆ angulo, onde ~a ´e a hipotenusa e ~ax e ~ay s˜ ao os catetos.

Exerc´ıcios Complementares 4. Na figura abaixo est˜ ao representadas duas for¸cas: F~1 , de ~ m´odulo F1 = 5, 0 N e F2 , de m´odulo F2 = 3, 0 N , formando entre si um ˆangulo α = 60◦ . Determine a for¸ca resultante F~R para o sistema de for¸cas mostrado.

F1 α = 60

F2

o

Aula 4

A Primeira Lei de Newton O Conceito de For¸ca Geralmente utilizamos uma for¸ca com o objetivo de empurrar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar est´ a quase sempre associada a id´eia de contato, o que exclui uma caracter´ıstica fundamental da no¸ca˜o de for¸ca: a a¸ca ˜o a ` distˆ ancia. A atra¸ca˜o gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ´e exercida a milh˜ oes de quilˆ ometros de distˆancia. A palavra for¸ca n˜ ao possui uma defini¸ca˜o u ´ nica, expressa em palavras. A F´ısica moderna admite a existˆencia de quatro tipos de for¸ca na natureza, chamadas mais adequadamente de intera¸co ˜es: gravitacional, eletromagn´etica, e as for¸cas nucleares forte e fraca. Em rela¸ca˜o ao estudo dos movimentos e de suas causas, podese dizer que for¸ca ´e a a¸ca ˜o capaz de modificar a velocidade de um corpo. Como muitas outras grandezas em F´ısica, a for¸ca ´e uma grandeza vetorial, ou seja, possui m´odulo dire¸ca˜o e sentido. Podemos resumir, ent˜ ao a defini¸ca˜o de for¸ca da seguinte forma: For¸ ca ´ e uma grandeza vetorial que caracteriza a a¸ c˜ ao de um corpo sobre outro e que tem como efeito a deforma¸ c˜ ao ou a altera¸ c˜ ao da

ˆnica – Aula 4 Meca

9

velocidade do corpo sobre o qual ela est´ a sendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seu movimento pra frente... Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).

ele estiver em movimento retil´ıneo e uniforme, o equil´ıbrio ser´ a chamado de dinˆamico.

Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pensar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer for¸ca?” Essa pergunta pode ser Pense um Pouco! respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine• Qual a rela¸ca˜o entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de xistˆencia de for¸cas sobre o corpo em repouso: se nenhuma seguran¸ca? e o encosto para a cabe¸ca no banco do carro? for¸ca atua sobre o corpo em repouso, ele continua em repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistˆencia de for¸cas sobre • Por que quando um ˆonibus freia repentinamente, os paso corpo em movimento: se nenhuma for¸ca atua sobre o corpo sageiros s˜ ao “arremessados” para a frente? e o que ocorre em movimento, ele continua em movimento. quando o ˆonibus ´e acelerado? Mas que tipo de movimento? J´ a que n˜ ao existem for¸cas atuando sobre o corpo, sua velocidade n˜ ao varia de m´odulo ou dire¸ca˜o. Desta forma, o u ´ nico movimento poss´ıvel do corpo na Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ausˆencia de qualquer for¸ca atuando sobre ele ´e o movimento retil´ıneo uniforme. A Primeira Lei de Newton re´ une as duas respostas anteriores 1. (UFMG) Um corpo de massa m est´ a sujeito `a a¸ca˜o de uma ~ em um u ´ nico enunciado: for¸ca F que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contr´ario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com velociTodo corpo tende a manter seu estado de redade constante ´e porque: pouso ou de movimento retil´ıneo e uniforme, a) a for¸ca F~ ´e maior do que a da gravidade. a menos que for¸ cas externas provoquem vab) a for¸ca resultante sobre o corpo ´e nula. ria¸ c˜ ao na sua velocidade. c) a for¸ca F~ ´e menor do que a gravidade. d) a diferen¸ca entre os m´odulos das for¸cas ´e diferente de zero. De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar e) a afirma¸ca˜o da quest˜ ao est´ a errada, pois qualquer que seja que na ausˆencia de for¸cas, todo corpo tende a ficar como est´a: ~ o corpo estar´ F a acelerado porque sempre existe a acelera¸c˜ao parado se estiver parado, em movimento retil´ıneo uniforme, se da gravidade. estiver em movimento (retil´ıneo uniforme). Por este motivo essa lei tamb´em ´e chamada de Princ´ıpio da In´ercia.

O que ´ e In´ ercia? Todos os corpos apresentam a tendˆencia de se manter em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme. Essa propriedade dos corpos ´e chamada in´ ercia. A palavra in´ercia ´e derivada do latim inertia, que significa indolˆencia ou pregui¸ca. Os corpos tˆem uma esp´ecie de resistˆencia ` as modifica¸co˜es de sua velocidade.

Equil´ıbrio de uma Part´ıcula Dizemos que uma part´ıcula se encontra em equil´ıbrio, quando a resultante das for¸cas atuando sobre ela for nula. Se a resultante ´e nula, n˜ ao ocorre altera¸ca˜o na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´ıbrio de est´ atico; se

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enunciado da Lei da In´ercia, tamb´em conhecida como primeira Lei de Newton. a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma ´orbita el´ıptica, da qual o Sol ocupa um dos focos. b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma for¸ca proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia entre eles. c) Quando um corpo exerce uma for¸ca sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma for¸ca de mesma intensidade e dire¸ca˜o, mas de sentido contr´ario. d) A acelera¸ca˜o que um corpo adquire ´e diretamente proporcional `a resultante das for¸cas que nele atuam, e tem mesma dire¸ca˜o e sentido dessa resultante. e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo for¸cas com resultante n˜ ao nula.

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3. (UNESP-SP) As estat´ısticas indicam que o uso do cinto de cada corpo, foi denominado pelos f´ısicos de massa do corpo. seguran¸ca deve ser obrigat´ orio para prevenir les˜ oes mais graves Desta forma, podemos afirmar: em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, A massa m de um corpo ´ e o quociente entre o a fun¸ca˜o do cinto est´ a relacionada com a: m´ o dulo da for¸ c a que atua num corpo e o valor a) primeira Lei de Newton. da acelera¸ c ˜ a o a que ela produz neste corpo. b) lei de Snell. c) lei de Amp`ere. Assim, d) lei de Ohm. F e) primeira Lei de Kepler. m= a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa ´e o quilograma:

Exerc´ıcios Complementares 4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda. Pela Lei da In´ercia, conclui-se que: a) a pedra se mant´em em movimento circular. b) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸ca˜o perpendicular `a corda no instante do corte. c) a pedra sai em linha reta, segundo a dire¸ca˜o da corda no instante do corte. d) a pedra p´ ara. e) a pedra n˜ ao tem massa.

1 quilograma = 1 kg = 1000 g

Massa e In´ ercia Suponhamos que uma for¸ca F foi aplicada a trˆes corpos de massa diferentes, como trˆes blocos de ferro, com volumes diversos. Imaginaremos que a superf´ıcie na qual estes blocos est˜ ao apoiados n˜ ao apresenta atrito. Analisando a equa¸ca˜o m = F/a, percebemos facilmente que: - Quanto maior m → menor a

5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retil´ıneo, - Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a velocis´ o pode estar sob a a¸ca˜o de uma: dade do corpo. a) for¸ca resultante n˜ ao-nula na dire¸ca˜o do movimento. b) u ´ nica for¸ca horizontal. Podemos concluir que c) for¸ca resultante nula. Quanto maior ´ e a massa de um corpo, maior d) for¸ca nula de atrito. ser´ a sua in´ e rcia (dificuldade de ter sua veloe) for¸ca vertical que equilibre o peso. cidade alterada), isto ´ e, a massa representa a 6. (Fiube-MG) Uma part´ıcula se desloca ao longo de uma medida de in´ ercia de um corpo. reta com acelera¸ca˜o nula. Nessas condi¸co˜es, podemos afirmar corretamente que sua velocidade escalar ´e: As conclus˜oes anteriormente, explicam porque um caminh˜ ao a) nula. vazio (quando sujeito a uma for¸ca F) adquire uma acelera¸ca˜o b) constante e diferente de zero. maior do que quando esta cheio, por exemplo. c) inversamente proporcional ao tempo. d) diretamente proporcional ao tempo. A Segunda Lei de Newton e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo. De acordo com o princ´ıpio da in´ercia, um corpo s´ o pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´ıneo com velocidade constante se sobre ele atuar uma for¸ ca resultante externa. Neste momento, poder´ıamos perguntar: “O que acontece se existir uma for¸ca resultante externa agindo no corpo?” Nesta situa¸ca˜o, o corpo fica sujeito a uma acelera¸ c˜ ao, ou seja, um corpo sujeito a uma for¸ca resultante externa movimenta-se com velocidade vari´ avel. A Segunda Lei de Newton

Mecˆ anica

Aula 5

´ muito comum encontrarmos a defini¸ca˜o de massa de um E corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representa a quantidade de mat´eria que ele possui”. Em cursos elementares de ciˆencias, esta defini¸ca˜o pode ser aceita como uma id´eia inicial da no¸ca˜o de massa, embora n˜ ao possa ser considerada uma defini¸ca˜o precisa dessa grandeza. De fato, a defini¸ca˜o apresentada n˜ ao ´e adequada, pois pretende definir um novo conceito – massa – por meio de uma id´eia vaga, que n˜ ao tem significado f´ısico preciso – quantidade de mat´ eria. Experimentalmente os f´ısicos constataram que entre a for¸ca F aplicada a um corpo e a acelera¸ca˜o a, que ele adquire, existe uma propor¸ca˜o direta. Desta forma, o quociente F/a ´e constante para um certo objeto. Este quociente, que ´e intr´ınseco a

F

1010 1010 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 ´ f´acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por E exemplo, desde o repouso at´e 30 km/h em um intervalo de tempo de 30 s, a intensidade da for¸ca que teremos de aplicar depender´a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um carro, ´e evidente que a for¸ca necess´ aria ser´ a muito menor do

ˆnica – Aula 5 Meca

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que se tratasse de um caminh˜ ao. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´ a ser a intensidade da for¸ca necess´ aria para que ele alcance uma determinada acelera¸ca˜o. Foi Isaac Newton quem obteve essa rela¸ca˜o entre massa e for¸ca, que constitui a segunda lei de Newton ou princ´ıpio fundamental da dinˆ amica. Temos, ent˜ ao que A acelera¸ c˜ ao de um corpo submetido a uma for¸ ca resultante externa ´ e inversamente proporcional ` a sua massa, e diretamente proporcional a intensidade da for¸ ca.

Pense um Pouco! ´ muito comum nos depararmos com a situa¸ca˜o na qual • E um carro e um caminh˜ ao est˜ ao emparelhados aguardando o sinal verde do sem´aforo. Vocˆe sabe por quˆe, quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminh˜ ao ter um motor mais possante? • Se o peso de um corpo ´e proporcional `a sua massa, ent˜ ao podemos afirmar que todos os corpos ter˜ ao a mesma acelera¸ca˜o, em queda livre?

Assim, para uma dada for¸ca resultante externa F, quanto Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao maior a massa m do corpo tanto menor ser´ a a acelera¸ca˜o a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ´e dada 1. Na figura abaixo os blocos A, B e C est˜ ao sobre um plano por: horizontal sem atrito. F~ = m~a Esta equa¸ca˜o vetorial imp˜ oe que a for¸ca resultante e a acelera¸ca˜o tenham a mesma dire¸ca˜o e o mesmo sentido. No SI a unidade de for¸ca ´e o newton ou (N ):

B

A

1 N = 1 kg · m/s2 Por defini¸ca˜o, o newton ´e a for¸ca que produz uma acelera¸ca˜o de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: a) a acelera¸ca˜o do conjunto; Antes de resolver qualquer problema de dinˆ amica, ´e de fun- b) a tra¸ca˜o nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C). damental importˆ ancia a identifica¸ca˜o de todas as for¸cas rele- Admitir a massa dos fios desprez´ıvel. vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualiza¸ca˜o Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado destas for¸cas, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um 2. (Uneb-BA) 2 2 diagrama de corpo livre ou diagrama de for¸ cas para a 2 m/s . Considerando g = 10 m s , a tra¸ca˜o no cabo que o cada corpo, que ´e um esquema simplificado envolvendo todas sustenta, ´e de: a) 6000 N as massas e for¸cas do problema. b) 5000 N Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano inclic) 4000 N nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre d) 3000 N para o bloco: e) 2000 N

Diagrama de Corpo Livre

N

Fat

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

m 3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, est´ a sobre o plano sem atrito.

θ

P F A Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorregando num plano inclinado.

B

C

Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextens´ıvel de massa desprez´ıvel como a massa da polia, determine: Observe a) a acelera¸ca˜o do conjunto; Nesse exemplo, o bloco ´e tratado como uma part´ıcula, por sim- b) a tra¸ca˜o no fio. plifica¸ca˜o, n˜ ao sendo relevante suas dimens˜oes ou o ponto de aplica¸ca˜o das for¸cas, colocadas todas no seu centro geom´etrico, 4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB = por conveniˆencia. Desprezou-se a for¸ca de empuxo do ar, a 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se ap´ oia num plano sem for¸ca de resistˆencia viscosa ao movimento do bloco, tamb´em atrito. S˜ ao desprez´ıveis as massas da polia e do fio, que ´e causada pelo ar, e outras for¸cas irrelevantes ao problema. inextens´ıvel.

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B

C

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Aula 6

A

Energia A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu´ımica, a combust˜ ao da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de 5. Na figura, a for¸ca F tem intensidade 90 N . Despreze os energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir atritos e as in´ercias do fio e da roldana. Quais os valores da o conceito de trabalho. acelera¸ca˜o do conjunto e da for¸ca que traciona o fio?

Admitindo g = 10 m/s2 , determine: a) a acelera¸ca˜o do conjunto; b) a tra¸ca˜o TAB entre os blocos A e B; c) a tra¸ca˜o TBC entre os blocos B e C.

Trabalho

F 4 kg

6 kg

6. (UEL-PR) Os trˆes corpos, A, B e C, representados na figura tˆem massas iguais, m = 3, 0 kg

A

O significado da palavra trabalho, na F´ısica, ´e diferente do seu significado habitual, empregado na linguagem comum. O trabalho, na F´ısica ´e sempre relacionado a uma for¸ca que desloca uma part´ıcula ou um corpo. Dizemos que uma for¸ca F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que est´ a em movimento. A partir dessa descri¸ca˜o podemos dizer que s´ o h´ a trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ario o trabalho realizado ser´ a nulo. Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem desloc´ a-lo, ela n˜ ao est´ a realizando nenhum trabalho sobre o corpo. Quando uma for¸ca F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela est´ a favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho realizado pela for¸ca.

Uma For¸ca Constante

B

C

Quando a for¸ca F atua no sentido contr´ ario ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho realizado pela for¸ca ´e considerado negativo.

F

O plano horizontal, onde se ap´ oiam A e B, n˜ ao fornecem atrito, a roldana tem massa desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o local da gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2 . A tra¸ca˜o no fio que une os blocos A e B tem m´odulo: a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N

F d

Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma for¸ca horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d ´e: W = ±F d

(1.1)

onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante e d ´e o deslocamento (em m´odulo). O sinal + ´e usado quando a for¸ca e o desloca7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra- mento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando possuem se sobre uma balan¸ca no piso de um elevador. Se o elevador sentidos contr´arios. sobe com acelera¸ca˜o igual, em m´odulo, ` a metade da acelera¸ca˜o Importante da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura da balan¸ca: Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser a) ser´ a de 25 N definida a partir de dois vetores (F e d). b) permanece inalterada Unidades c) ser´ a de 75 N d) ser´ a de 100 N e) ser´ a de 200 N

1 N · m = 1 J = 1 joule = 107 erg

ˆnica – Aula 6 Meca

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Tipos de For¸cas

1 kJ = 103 J

Existem diversos tipos de for¸cas que podem atuar em um Quando a for¸ca for aplicada ao corpo formando um ˆangulo φ corpo: for¸ca el´astica, for¸ca peso, for¸ca el´etrica, for¸ca de concom a horizontal, temos a seguinte f´ ormula mais geral: tato, etc... W = F d cos φ

(1.2)

Potˆ encia P

onde F ´e o m´odulo da for¸ca constante, d ´e o deslocamento (em m´odulo) e φ o ˆangulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realiza¸ca˜o dire¸ca˜o da for¸ca e o deslocamento. desse trabalho, tem de fazer um esfor¸co maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma potˆencia maior. F

F

φ

φ d

Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela for¸ca F atrav´es da ´area sob a curva do gr´ afico F × x:

F Area = Trabalho

Figura 1.1: James Watt (1736-1819)

Um carro ´e mais potente que o outro quando ele “arranca”mais r´ apido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo menor do que o outro carro.. Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele ´ W ≡ Area sob a curva ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´aquina ´e caracterizada n˜ ao s´ o pelo Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar atrav´es da an´ alise do gr´ afico, e do sentido relativo entre a for¸ca em determinado tempo. e o deslocamento (ou do ˆ angulo φ). Ent˜ ao podemos concluir que potˆencia ´e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja:

O

x X

Uma For¸ca Vari´ avel

P = W/t 0 gr´ afico abaixo representa a a¸ca˜o de uma for¸ca vari´ avel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na desde o ponto x′ at´e o ponto x′′ . equa¸ca˜o acima temos P=

W F dt = = Fv . t t

j´a que v = d/t. Unidade de Potˆ encia

F(x2) F(x1)

1 J/s = 1 watt = 1 W Area = Trabalho

Energia cin´ etica O

x1

x2

X

Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e preciso o concurso de for¸cas externas, as quais realizam certo trabalho. Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo absorve (ou Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela a´rea sob a perde) pelo fato de estar em movimento em rela¸ca˜o a um dado curva, desenhando-se o gr´ afico em papel quadriculado, ou de sistema de referˆencia. forma aproximada pela ´ area de um trap´ezio: Chamamos essa energia de movimento de energia de cin´etica.   ′′ Para uma part´ıcula de massa m e velocidade v a energia F + F′ (x′′ − x′ ) W = Fd = cin´etica ´e: 2 1 Ec = mv 2 2 Observe que essa f´ormula considera a for¸ca m´edia (aproxie assim como o trabalho, mede-se a energia cin´etica em joules. mada) multiplicada pelo deslocamento.

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Teorema Trabalho-Energia

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d) potˆencia ´e a capacidade de realizar trabalho. e) trabalho ´e a rela¸ca˜o energia-tempo.

Suponhamos que FR seja a resultante das for¸cas que atuam sobre uma part´ıcula de massa m. O trabalho dessa resultante 4. O produto da for¸ca pelo deslocamento do corpo em que ela a associado com: ´e igual ` a diferen¸ca entre o valor final e o valor inicial da energia atua est´ a) trabalho cin´etica da part´ıcula: b) potˆencia 1 1 2 2 c) distˆancia W = ∆Ec = mvf − mvi 2 2 d) acelera¸ca˜o e) velocidade Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das for¸cas que atua sobre uma part´ıcula modifica sua energia cin´etica. Exerc´ıcios Complementares

Pense um Pouco!

5. (UFSC) O gr´afico a seguir representa a resultante das for¸cas, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a • Que trabalho realizamos sobre um corpo que ´e levantado 10, 0 kg, em fun¸ca˜o do deslocamento total em metros. Su1 a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo pondo que a sua velocidade inicial ´e de 14 2 m/s, determine, em m/s, a velocidade do corpo depois de percorrer 40, 0 m. ou negativo? • Se vocˆe pudesse segurar um elefante a uma determinada altura, vocˆe estaria realizando trabalho? Por quˆe? • Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um barbante. 1. H´ a algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quˆe? O trabalho ´e positivo ou negativo. 2. O menino desenvolve alguma potˆencia? Por quˆe? 3. O carrinho tem energia cin´etica? Por quˆe?

F(N) 20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

x(m)

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ESAL-MG) Um homem est´ a em repouso com um caixote tamb´em em repouso `as costas. a) Como o caixote tem um peso, o homem est´ a realizando trabalho. b) O homem est´ a realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando c) O homem est´ a realizando trabalho pelo fato de estar fazendo for¸ca. d) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de n˜ ao estar se deslocando. e) O homem n˜ ao realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito ` a acelera¸ca˜o da gravidade. 2. (UFSE) Um corpo est´ a sendo arrastado por uma superf´ıcie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as afirma¸co˜es a seguir: I. O trabalho da for¸ca de atrito ´e nulo. II. O trabalho da for¸ca peso ´e nulo. III. A for¸ca resultante que arrasta o corpo ´e nula. Dentre as afirma¸co˜es: ´ correta a I, somente. a) E ´ correta a II, somente. b) E ´ correta a III, somente. c) E d) S˜ ao incorretas I, II, III. e) S˜ ao corretas II e III. 3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potˆencia e energia, pode-se afirmar que: a) potˆencia e energia s˜ ao sinˆ onimos. b) trabalho e potˆencia se expressam com a mesma unidade. c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

6. Um proj´etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma t´ abua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a for¸ca com que a t´ abua exerce sobre o proj´etil.

m = 10 g F vo = 100 m/s

vf = 90 m/s x = 1,0 cm

7. Um m´ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido `a uma for¸ca constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: a) o trabalho W realizado pela for¸ca; b) a potˆencia P desenvolvida pela for¸ca;

Mecˆ anica

Aula 7

ˆnica – Aula 7 Meca

15

Energia Potencial

mede a “dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif´ıcil ser´ a a sua deforma¸ca˜o, ou seja, mais for¸ca ser´a necess´ aria Um corpo possui energia quando ´e capaz de realizar trabalho. para deform´ a-la uma certa quantidade x. Suponha, ent˜ ao, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ´e Energia Potencial El´ astica f´ acil perceber que ser´ a capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir Quando aplicamos uma for¸ca e deformamos uma mola estamos que aquele corpo possu´ıa energia na posi¸ca˜o elevada. transferindo a ela uma energia, essa energia fica armazenada A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a na mola. Definimos que a energia armazenada em uma mola uma certa altura acima da superf´ıcie da Terra, ´e denominada comprimida ou distendida ´e chamada de energia potencial energia potencial gravitacional. H´ a outras situa¸co˜es, seme- el´ astica, atrav´es de 1 lhantes a essa, nas quais um corpo tamb´em possui energia em Ep = kx2 2 virtude da posi¸ca˜o que ele ocupa. Por exemplo, um corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posi¸ca˜o. Se um corpo com- Pense um Pouco! primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele ser´ a empurrado pela mola e poder´ a realizar trabalho. Neste caso, a energia • A energia potencial gravitacional depende da acelera¸ca˜o que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada da gravidade, ent˜ ao em que situa¸co˜es essa energia ´e posi´e denominada energia potencial el´ astica. tiva, nula ou negativa?

Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso referencial usual de energia zero, podemos definir a energia potencial gravitacional Ep como Ep = mgh

• A for¸ca el´astica depende da massa da mola? Por quˆe? • Se uma mola ´e comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola n˜ ao consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el´astica?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

onde g ´e a acelera¸ca˜o da gravidade. No SI, g vale aproximadamente 9, 8 m/s2 . 1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue. a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue? b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua alFor¸ ca El´ astica tura m´axima? Chamamos de corpos el´ asticos aqueles que, ao serem defor- c) Existe energia no estilingue depois do lan¸camento? Comados, tendem a retornar ` a forma inicial. mente. 2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda. a) O que acontece com sua energia potencial Ep ? b) Sua energia cin´etica est´ a variando? Comente.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703) Uma mola helicoidal, feita geralmente de a¸co, como caracter´ıstica pr´opria uma constante el´ astica k, que define a proporcionalidade entre a intensidade for¸ca F aplicada e a respectiva deforma¸ca˜o x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma

3. Um indiv´ıduo encontra-se sobre uma balan¸ca de mola, pisando sobre ela com seus dois p´es. Se ele levantar um dos p´es e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador completamente fechado, quando observa que o peso indicado na balan¸ca ´e zero. Ent˜ ao, conclui que: a) est´ a descendo com velocidade constante b) o elevador est´ a em queda livre c) a for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional exercida sobre ele ´e anulada pela rea¸ca˜o normal do elevador d) a balan¸ca est´ a quebrada, visto que isto ´e imposs´ıvel

4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, est˜ ao a 500 m de altura em rela¸ca˜o ao solo. Vocˆe diria que: a) ambas as pedras tˆem igual energia potencial; b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos afirmar com rela¸ca˜o `a energia potencial das pedras F = −kx d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho Observe que x mede a deforma¸ca˜o linear da mola a partir do e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial seu tamanho de equil´ıbrio (sem for¸ca). Atrav´es a equa¸ca˜o acima, pode-se ver que a unidade SI da 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprez´ıvel, constante el´astica deve ser N/m. Na pr´atica, a constante k est´ a suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deforma¸ca˜o de 2, 0 cm para o sistema em equil´ıbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´ıbrio, a deforma¸ca˜o total ser´ a de: a) 3, 0 m b) 2, 5 cm c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m

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Fext. = −P m

P

Exerc´ıcios Complementares 6. Uma mola cuja constate el´ astica ´e 1000 N/m encontra-se comprimida em 10 cm. a) Determine a energia potencial el´ astica armazenada na mola.

Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equil´ıbrio.

b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para O trabalho realizado pela for¸ca externa F , ´e armazenado ext. impulsionar um bloco de 100 g, qual ´e a velocidade m´axima no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravitaadquirida pelo bloco? cional Ep , e vale: Ep = mgh 7. Qual o trabalho necess´ ario para se comprimir uma mola, cuja constante el´astica ´e 500 N/m, em 10, 0 cm?

se definirmos o valor zero (Ep = 0) no ch˜ ao, onde h = 0. J´ a para o sistema massa-mola, temos uma for¸ca externa sendo 8. Um menino situado no alto de um edif´ıcio, segura um corpo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma dede massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo. forma¸ c a ˜ o, sendo essa for¸ c a a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela posi¸ca˜o? F = −kx b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do ch˜ ao? o trabalho W externo necess´ ario para esticar a mola uma quantidade x ser´ a 1 W = kx2 2 e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de energia potencial el´ astica.

Mecˆ anica

Aula 8

Trabalho e Energia Potencial

F=0

O F=−kx O

x>0

F=−k(−x)=kx x 1 u.a.), o per´ıodo ´e maior do que o terrestre.

Sol f

Pense um Pouco!

f’

• Se um novo planeta for descoberto a meia distˆancia entre o Sol e a Terra, qual o seu per´ıodo orbital. • Um sat´elite em ´orbita na Terra, passando pelo ponto mais pr´oximo da Terra, est´ a mais r´ apido ou mais lento se comparado ao ponto em que est´ a mais afastado da Terra?

Figura 1.1: 1a Lei de Kepler.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ´ A Lei da Areas (1609) A reta unindo o planeta ao Sol varre ´ areas iguais em tempos iguais. O significado f´ısico desta lei ´e que a velocidade orbital n˜ ao ´e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta est´ a do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar (referente a ´area) ´e constante.

v’ Sol

A’

A f v

Figura 1.2: 2a Lei de Kepler.

Planeta

1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler para os planetas vis´ıveis a olho n´ u. Complete os dados que est˜ ao faltando. Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P2 Merc´ urio 0,387 0,241 0,058 0,058 Vˆenus 0,723 0,615 0,378 Terra 1,000 1,000 1,000 1,000 Marte 1,524 1,881 3,537 J´ upiter 5,203 11,862 140,700 Saturno 9,534 29,456 2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravita¸ca˜o Universal (lei das ´orbitas): a) As ´orbitas planet´ arias s˜ ao curvas quaisquer, desde que fechadas; b) As ´orbitas planet´ arias s˜ ao espiraladas; c) As ´orbitas planet´ arias n˜ ao podem ser circulares; d) As ´orbitas planet´ arias s˜ ao el´ıpticas, com o Sol ocupando o centro da elipse; e) As ´orbitas planet´ arias s˜ ao el´ıpticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse. ´ 3. A 2a lei de Kepler (Lei das Areas) permite concluir que um planeta possui:

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a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol; b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol; c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol; d) velocidade constante em toda sua trajet´oria; e) n.r.a.

fenˆ omeno, como a queda de um corpo pr´oximo `a superf´ıcie da Terra, at´e, o mais complexo, como as for¸cas trocadas entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas ´orbitas e os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observar a queda de uma ma¸ca, concebeu a id´eia que ela seria causada pela atra¸ca˜o exercida pela terra. A natureza desta for¸ca atra4. Assinale a alternativa que est´ a em desacordo com as Leis tiva ´e a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entre de Kepler da Gravita¸ca˜o Universal: o Sol e os planetas; portanto, a atra¸ca˜o entre as massas ´e, com a) O quociente do cubo do raio m´edio da ´ orbita pelo quadrado certeza, um fenˆ omeno universal. do per´ıodo de revolu¸ca˜o ´e constante para qualquer planeta de um dado sistema solar; ca Elementar b) quadruplicando-se o raio m´edio da ´ orbita de um sat´elite em Uma For¸ torno da Terra, seu per´ıodo de revolu¸ca˜o fica 8 vezes maior; Sejam duas part´ıculas de massas m1 e m2 , separadas por c) Quanto mais pr´oximo de uma estrela (menor raio m´edio uma distˆancia r. Segundo Newton, a intensidade da for¸ca F da ´ orbita) gravita um planeta, menor ´e o seu per´ıodo de rede atra¸ca˜o entre as massas ´e dada por volu¸ca˜o; m1 m2 d) Sat´elites diferentes gravitando em torno da Terra, na mesma F =G 2 ´orbita tˆem per´ıodos de revolu¸ca˜o iguais; r e) Devido `a sua maior distˆancia do Sol (maior raio m´edio da onde G ´e uma constante, a constante da gravita¸ca˜o universal, ´orbita) o ano de Plut˜ ao tem dura¸ca˜o menor que o da Terra. sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67 × 10−11 N · m2 /kg 2

Exerc´ıcios Complementares 5. Com rela¸ca˜o `as leis de Kepler, podemos afirmar que: a) N˜ ao se aplicam ao estudo da gravita¸ca˜o da Lua em torno da Terra; b) s´ o se aplicam ao nosso Sistema Solar; c) aplicam-se `a gravita¸ca˜o de quaisquer corpos em torno de uma grande massa central; d) contrariam a mecˆ anica de Newton; e) n˜ ao prevˆeem a possibilidade da existˆencia de ´ orbitas circulares. 6. Considere dois sat´elites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb , descrevendo a mesma ´ orbita em torno da Terra. Com rela¸ca˜o a` velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb /2 e) n.r.a

F21 m2

F12 m1

Figura 1.1: Duas part´ıculas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de for¸cas F12 e F21 . As for¸cas F12 e F21 ´e a da reta que une as part´ıculas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de for¸ca, ou seja F12 = F21

7. Um planeta descreve uma ´ orbita el´ıptica em torno do Sol. Podemos, ainda, enunciar a lei da gravita¸ca˜o universal do seO ponto A ´e o ponto da ´ orbita mais pr´oximo do Sol; o ponto guinte modo: B ´e o ponto mais distante. No ponto A: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com for¸ca a) a velocidade de rota¸ca˜o do planeta ´e m´axima; cuja intensidade ´e diretamente proporcional ao prob) a velocidade de transla¸ca˜o do planeta se anula; duto de suas massas e inversamente proporcional ao c) a velocidade de transla¸ca˜o do planeta ´e m´axima; quadrado da distˆancia entre seus centros de massa. d) a for¸ca gravitacional sobre o planeta se anula; e) n.r.a Ap´ os a formula¸ca˜o da lei da Gravita¸ca˜o, com o desenvolvimento do c´ alculo integral, Newton tamb´em mostrou que a for¸ca gravitacional entre esferas homogˆ eneas tamb´em segue a mesma forma estabelecida para as part´ıculas. E tamb´em vale a mesma for¸ca para uma part´ıcula e uma esfera homogˆenea. Esse resultado foi t˜ ao surpreendente para o pr´oprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no que havia provado matematicamente! Gravita¸ c˜ ao Universal Aplicando-se a lei de gravita¸ca˜o para um corpo de massa m na superf´ıcie da Terra, temos ent˜ ao A lei da gravita¸ c˜ ao universal, proposta por Newton, foi um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a intera¸ca˜o enGMT MT m m = mg = P F =G 2 = tre massas, pois ´e capaz de explicar desde o mais simples RT RT2

Gravita¸c˜ ao

Aula 2

˜o – Aula 3 Gravitac ¸a onde RT e MT s˜ ao o raio e a massa da Terra, respectivamente, e` a for¸ca obtida chamamos peso. Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima ´e justamente a acelera¸ca˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra. Experimente calcular g com os dados fornecidos!

31 c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N

4. Um corpo ´e colocado na superf´ıcie terrestre ´e atra´ıdo por esta com uma for¸ca F . O mesmo corpo colocado na superf´ıcie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor ser´ a atra´ıdo pelo planeta com uma for¸ca cujo m´odulo ˜ OBSERVAC ¸ OES ´e: a) 4F 1. A for¸ca gravitacional ´e sempre de atra¸ca˜o; b) 2F 2. A for¸ca gravitacional n˜ ao depende do meio onde os corpos c) F d) F/2 se encontram imersos; e) F/4 3. A constante da gravita¸ca˜o universal G teve seu valor determinado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balan¸ca Exerc´ıcios Complementares de tor¸ca˜o e esferas de chumbo. 5. Se a massa da Terra n˜ ao se alterasse, mas o seu raio fosse reduzido `a metade, o nosso peso seria: • Qual a dire¸ca˜o e o sentido da for¸ca de atra¸ca˜o gravitacio- a) reduzido `a quarta parte nal exercida pela Terra sobre os corpos que est˜ ao pr´oximos b) reduzido `a metade c) o mesmo a superf´ıcie? ` d) dobrado • A acelera¸ca˜o da gravidade na Lua ´e 6 vezes menor do que e) quadruplicado a acelera¸ca˜o da gravidade pr´oxima ` a superf´ıcie da Terra. O que acontece com o peso e a massa de um astronauta 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em ´orbita circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a consna Lua? tante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajet´oria • O valor da acelera¸ca˜o da gravidade ´e relevante para os descrita pelo corpo ser´ a: esportes? a) G/M v 2 b) G/mv 2 c) Gm/v 2 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao d) GM/v 2 e) GM m/v 2

Pense um Pouco!

1. Duas part´ıculas de massas respectivamente iguais a M e m est˜ ao no v´acuo, separadas por uma distˆancia d. A respeito das for¸cas de intera¸ca˜o gravitacional entre as part´ıculas, podemos afirmar que: a) tˆem intensidades inversamente proporcional a d; b) tˆem intensidades diretamente proporcional ao produto Mm; c) n˜ ao constituem entre si um par a¸ca˜o e rea¸ca˜o; d) podem ser atrativas ou repulsivas; e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar. 2. A raz˜ ao entre os diˆametros dos planetas Marte e Terra ´e 1/2 e entre as respectivas massas ´e 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte ser´ a de: a) 160 N b) 80 N c) 60 N d) 32 N e) 64 N 3. Uma menina pesa 400 N na superf´ıcie da Terra, onde se adota g = 10m/s2 . Se a menina fosse transportada at´e uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N

7. Sabe-se que no interior de uma nave em ´orbita circular em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se n˜ ao tivesse peso. Esse fato ocorre porque: a) a nave est´ a fora do campo gravitacional da Terra; b) h´ a ausˆencia de atmosfera; c) a atra¸ca˜o exercida pela Lua ´e maior do que a atra¸ca˜o exercida pela Terra; d) ambos, astronauta e nave, est˜ ao em queda livre no seu movimento circular; e) h´ a uma redu¸ca˜o na massa dos corpos.

Gravita¸c˜ ao

Aula 3

Peso O peso de um corpo ´e a for¸ca de atra¸ca˜o exercida pela terra sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que ´e atra´ıdo pela Terra. Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre perto da superf´ıcie da Terra.

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Figura 1.2: J´ upiter e alguns de seus sat´elites naturais.

Unidades SI Figura 1.1: Paraquedista.

Peso e Massa

A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) ´e o newton ou N . Outra unidade, muito utilizada na ind´ ustria, ´e o quilograma-for¸ca ou kgf .

1 kgf ´ e o peso de um corpo de 1 kg de massa Se o corpo cai em queda livre ele possui acelera¸ca˜o ~a igual `a num local em que a acelera¸ c˜ ao da gravidade ´ e da gravidade ~g . Desta forma, podemos usar o princ´ıpio fun2 igual a 9, 8 m/s . damental da Dinˆ amica (2a Lei de Newton) para obter a for¸ca que age sobre esse corpo. Esta for¸ca ´e chamada de for¸ca peso Podemos relacionar newton e quilograma-for¸ca: P~ e ´e dada por: P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2 ~ P = m~g 1 kgf = 9, 8 kg · m/s2 Essa express˜ ao mostra que o peso do corpo ´e diretamente proporcional `a sua massa: quanto maior a massa, maior o peso. Entretanto massa e peso s˜ ao conceitos inteiramente diferentes. Massa ´e uma propriedade intr´ınseca do corpo, isto ´e, depende apenas do pr´oprio corpo, enquanto peso ´e a for¸ca de atra¸ca˜o gravitacional que atua sobre ele, variando de acordo com o valor da acelera¸ca˜o da gravidade. Por isso o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, ´e sempre a mesma em qualquer lugar do universo.

1 kgf = 9, 8 N

Pense um Pouco! • Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos mais altos do que na Terra? • Quando algu´em diz que “pesa”75 kg o que isso quer dizer?

Peso e Gravita¸c˜ ao O peso de um corpo ´e uma grandeza vetorial que tem dire¸ca˜o vertical e sentido para o centro da Terra. A for¸ca peso ´e uma for¸ca que atua ` a distˆancia. Por isso, dizemos que em torno da Terra h´ a uma regi˜ ao chamada campo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem sua influˆencia. Estando sob a a¸ca˜o deste campo, os corpos s˜ ao atra´ıdos por essa for¸ca peso e sofrem varia¸co˜es de velocidade, uma vez que adquirem acelera¸ca˜o. Como a acelera¸ca˜o da gravidade num ponto ´e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua superf´ıcie n˜ ao est˜ ao `a mesma distˆancia ao centro da terra, conclu´ımos que no topo de uma ´ montanha um corpo pesar´ a menos do que ao n´ıvel do mar. E importante lembrar que existem varia¸co˜es que v˜ao desde 393 m abaixo do n´ıvel do mar (Mar morto), a 8.848 m acima do n´ıvel do mar (Monte Everest). Como a Terra ´e achatada nos p´ olos, um homem pesar´a mais no P´ olo Norte que no Equador. Em torno de qualquer planeta ou sat´elite existe um campo gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo em J´ upiter, Saturno ou Marte, por exemplo.

• Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acontece com o seu peso?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Na superf´ıcie da Terra a acelera¸ca˜o da gravidade vale 9, 8 m/s2 e, na superf´ıcie da Lua, 1, 6 m/s2 . Para um corpo de massa igual a 4 kg, calcule: a) o peso na superf´ıcie da Terra. b) o peso na superf´ıcie da Lua. 2. Peso e massa s˜ ao a mesma coisa? quando vocˆe sobe numa balan¸ca de uma farm´acia e permanece em repouso sobre ela, por exemplo, vocˆe esta medindo sua massa ou seu peso?

Exerc´ıcios Complementares 3. (MACK - SP) Uma das observa¸co˜es cient´ıficas mais interessantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astronauta russo que, a bordo da esta¸ca˜o espacial MIR, borrifou leite l´ıquido contido numa embalagem tradicional e, este, sob a falta de gravidade, adentrou a boca do cientista como uma

˜o – Aula 4 Gravitac ¸a

33

“bola flutuante”. Considerando totalmente desprez´ıvel a gravidade no local dessa experiˆencia, duas “bolas”de leite de massas respectivamente iguais a m e 2m ter˜ ao seus pesos: a) iguais a zero b) na propor¸ca˜o PA /PB = 1/3 c) na propor¸ca˜o PA /PB = 1/2 d) na propor¸ca˜o PA /PB = 2 e) na propor¸ca˜o PA /PB = 3 4. (UFSM - RS) Uma for¸ca F de m´odulo igual a 20 N ´e aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal. O m´odulo (em N ) da for¸ca normal sobre o corpo, considerando o m´odulo da acelera¸ca˜o gravitacional como 10 m/s2 ´e: a) 120 b) 100 c) 90 d) 80 e) 0

para uma altitude onde a acelera¸ca˜o da gravidade vale G, pergunta-se: a) o peso do quilograma padr˜ ao vai se modificar? b) havendo modifica¸ca˜o, qual o seu novo peso? c) qual ser´ a a massa do corpo no novo local? 7. A acelera¸ca˜o da gravidade na superf´ıcie de J´ upiter ´e de 30 m/s2 . Qual a massa de um corpo que na superf´ıcie de J´ upiter pesa 120 N ?.

Gravita¸c˜ ao

Aula 4

Centro de Gravidade

Os corpos materiais podem ser considerados como um sistema 5. Durante uma brincadeira, B´arbara arremessa uma bola de de part´ıculas, cada uma das quais atra´ıda pela Terra com uma vˆolei verticalmente para cima, como mostrado nesta figura: for¸ca igual ao peso da part´ıcula.

P1

P2 P3

G

P4

P

A resultante de todas essas for¸cas parciais ´e o peso total do corpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicado todo o peso do corpo. O ponto G ´e denominado centro de gravidade do corpo. Resumindo, temos: centro de gravidade de um corpo ´ e o ponto de aplica¸ c˜ ao da for¸ ca peso A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse localizada no centro de gravidade. Para corpos homogˆeneos, isto ´e, de massa uniformemente distribu´ıda, que admitem um eixo de simetria, seus centros de Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s) gravidade est˜ ao sobre esse eixo. for¸ca(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua trajet´oria. G

a)

b)

P

G P

G P

Se o corpo tiver forma irregular e n˜ ao for homogˆeneo, utiliza-se a regra pr´atica explicada abaixo. Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquer e, quando ele estiver em repouso, tra¸ca-se um vertical sobre c) d) o ponto em que ele est´ a suspenso. Como o objeto est´ a em equil´ıbrio, seu peso e a for¸ca exercida sobre ele pelo suporte Nenhuma força atua sobre que o sustenta tˆem mesmo m´odulo, mesma dire¸ca˜o e sentidos a bola neste ponto opostos. Logo, a dire¸ca˜o da reta que cont´em o centro de gravidade ´e essa vertical. Agora pendura-se o objeto por outro 6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padr˜ ao for transportado de ponto e tra¸ca-se uma nova vertical; a intersec¸ca˜o dessa vertical Paris, onde a acelera¸ca˜o da gravidade vale g (valor normal), com a anterior determina o centro de gravidade (CG).

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Para que um ponto material esteja em equil´ıbrio ´ e necess´ ario e suficiente que a resultante de todas as for¸ cas que nele agem seja nula. T

T

CG

CG

P P

Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a defini¸ca˜o de ponto material e corpo extenso. Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de Joinville ` a Blumenau. O comprimento do carro ´e muito pequeno se comparado com a distˆancia Jvlle - Bnu, ≃ 90 km, e suas dimens˜oes, ent˜ ao, n˜ ao precisar˜ao ser consideradas ao analisarmos o seu movimento. Em situa¸co˜es como essa, nas quais o objeto apresenta dimens˜oes consideradas desprez´ıveis, diante do fenˆ omeno observado, podemos consider´ a-lo como um ponto material. No caso do movimento de um ˆ onibus, de 20 m de comprimento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si 500 m, por exemplo, ´e necess´ ario que levemos em conta as suas dimens˜oes ao analisarmos alguns aspectos do seu movimento. E ele estar´ a se comportando como um corpo extenso.

Momento de uma For¸ca Considere uma pessoas tentando girar uma porca com uma chave.

Utilizando for¸cas de mesmo valor, ser´ a mais f´acil girar a porca em torno de seu centro O se a for¸ca aplicada no ponto A, ao inv´es de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a distˆ ancia do ponto de aplica¸ca˜o da for¸ca at´e o centro O da porca, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca usando a chave. O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se exercemos a for¸ca em A a facilidade ´e maior do que se exercermos a for¸ca em B.

Equil´ıbrio de um Ponto Material Um ponto material pode estar em equil´ıbrio est´ atico ou dinˆ amico. No equil´ıbrio est´ atico, o ponto material est´ a em repouso (~v = 0). No equil´ıbrio dinˆ amico o ponto material est´ a em movimento retil´ıneo uniforme (~v = constante 6= 0). Consideramos que o eixo de rota¸ca˜o ´e o que cont´em as dobradi¸cas. Analisando os casos anteriores, notamos que h´ a uma rela¸c˜ao entre a for¸ca aplicada e a distˆancia do ponto de aplica¸ca˜o dessa for¸ca at´e o eixo de rota¸ca˜o. A grandeza f´ısica que relaciona essas duas grandezas ´e chamada momento de uma for¸ca ou torque. O momento de uma for¸ ca ´ e a capacidade dessa for¸ ca em fazer girar um objeto. Para definirmos a grandeza momento, consideremos uma for¸ca F~ e um ponto O, chamado p´ olo. d

Figura 1.1: Situa¸ca ˜o de equil´ıbrio. Analisando os dois tipos de equil´ıbrio, notas uma semelhan¸ca: em ambos a acelera¸ca˜o ´e nula (~a = 0). Utilizando a Segunda Lei de Newton, temos F~R F~R

= =

F~R

=

m · ~a m·0 0

Assim, conclu´ımos que

O

F

O momento da for¸ca F~ em rela¸ca˜o ao ponto O ´e dado por: ~ F,O = F~ d M

˜o – Aula 4 Gravitac ¸a

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Unidade SI

τ

A unidade de momento n˜ ao tem nome espec´ıfico. Ela ´e dada pelo produto da unidade da for¸ca, em newtons, pela unidade de distˆancia, em metro. Portanto a unidade de momento ´e newton · metro, ou N · m. Observa¸ c˜ ao Sabemos que o produto N · m ´e chamado de joule J. Entretanto, o joule n˜ ao ´e uma unidade utilizada para medir o momento de uma for¸ca, porque momento ´e uma grandeza de natureza diferente de trabalho e energia. Dire¸ c˜ ao e Sentido

eixo de rotaçao

O momento ou torque de uma for¸ca ´e uma grandeza vetorial. A partir do sentido de rota¸ca˜o (hor´ ario ou anti-hor´ario) que uma ou mais for¸cas tendem a produzir, podemos determinar Figura 1.2: Regra da m˜ ao direita: o vetor indica o sentido do a dire¸ca˜o e o sentido do torque. Por exemplo, um saca-rolhas, momento. A dire¸ca ˜o ´e sempre paralela ao eixo de rota¸ca ˜o do ao girar, produz efeitos contr´ arios: no sentido hor´ ario, entra objeto. na rolha (avan¸ca verticalmente para baixo); no sentido antihor´ ario, sai dela (retorna verticalmente para cima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide com o sentido do vetor ~ F,O ), e sua dire¸ca˜o est´ momento (M a sempre paralela ao eixo de rota¸ca˜o.

Outra maneira pr´atica de determinar a dire¸ca˜o e o sentido do Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao vetor torque ´e utilizar a regra da m˜ ao direita. Os quatro dedos dessa m˜ao devem acompanhar o sentido da rota¸ca˜o do aria cujo peso ´e 100 N est´ a suspensa por duas objeto. O polegar indicar´ a a dire¸ca˜o e o sentido do vetor mo- 1. Uma lumin´ cordas, AC e BC, conforme indica a figura. Determine a for¸ca mento. de tra¸ca˜o em cada corda. O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a seguinte convers˜ ao: rota¸ca˜o no sentido anti-hor´ario → momento positivo o A 60 o B rota¸ca˜o no sentido hor´ ario → momento negativo 30

Equil´ıbrio de um Corpo Extenso As condi¸co˜es necess´ arias e suficientes para que um corpo se mantenha em equil´ıbrio s˜ ao:

C

1. A resultante de todas as for¸ cas que nele agem seja nula. 2. A soma alg´ ebrica dos momentos de todas as for¸ cas que nele atuam, em rela¸ c˜ ao ao mesmo ponto, seja nula.

Pense um Pouco! Como vocˆe explicaria a situa¸ca˜o abaixo?

2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a figura. Considerando as polias e os fios ideais e tomando g = 10 m/s2 : a) mostre em um diagrama todas as for¸cas que agem no bloco A.

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b) sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema ´e 2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.

B A

60

o

C

Exerc´ıcios Complementares 3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, est´ a sobre uma t´ abua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A, conforme indica a figura. Desprezando os pesos da t´ abua e da vara de pescar e considerando g = 10 m/s2 , determine a intensidade das rea¸co˜es nos apoios A e B.

4. (UFMT) A barra xy ´e homogˆenea, de 100 kg de massa, e est´ a apoiada em suas extremidades, suportando as massas de 50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as rea¸co˜es dos apoios. (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2 ).

3,0 m 0,5 m

0,5 m

50 kg

150 kg

5. Calcule o momento de cada uma das for¸cas indicadas na figura, em rela¸ca˜o ao ponto O. Dados: F1 = 20 N , F2 = 30 N e F3 = 40 N

6. A barra AB da figura tem peso desprez´ıvel. Sabendo que F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante dessas for¸cas em rela¸ca˜o aos pontos: a) A b) B c) C

´ Otica – Aula 1

37

´ Otica

Aula 1

N θ

raio incidente

i

θ

raio refletido r

´ Otica superfície refletora plana

A Luz O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela F´ısica elementar, uma vez que a luz ´e uma onda eletromagn´etica. Desta forma, pode-se ent˜ ao exemplificar as ondas eletromagn´eticas de maior importˆ ancia nas pesquisas e nas aplica¸co˜es pr´aticas, em fun¸ca˜o do comprimento de onda (propriedade que fornece uma das principais caracter´ısticas da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas (faixa de 1 at´e 400 mm), o espectro de luz vis´ıvel (faixa de 400 at´e 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm at´e 1 mm) e faixas de radiofreq¨ uˆencia que variam de 20 cm at´e 105 m. Todas as ondas eletromagn´eticas se propagam no v´acuo com a mesma velocidade c com o valor de 3, 0 × 108 m/s (velocidade da luz).

Figura 1.1: Reflex˜ ao Planar.

Espelho Plano Espelho plano ´e a superf´ıcie plana polida onde ocorre predominantemente a reflex˜ ao da luz. Forma¸ c˜ ao de Imagens nos Espelhos Planos Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelho plano enviando luz em todas as dire¸co˜es, conforme indica a figura.

Reflex˜ ao da Luz espelho plano

Quando a luz atinge uma superf´ıcie separadora S de dois meios de propaga¸ca˜o (A e B), ela sofrer´ a reflex˜ ao se retornar ao meio no qual estava se propagando. A quantidade de luz refletida depende do material que ´e feita a superf´ıcie S, do seu polimento entre outros fatores.

eixo otico

objeto real

imagem virtual

Tipos de Reflex˜ ao Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma superf´ıcie. Ocorrer´a reflex˜ ao especular ou regular se os raios refletidos forem tamb´em paralelos entre si. Em caso contr´ario, a reflex˜ ao ´e chamada difusa ou irregular. A reflex˜ ao regular ser´ a predominante quando a superf´ıcie refletora for plana e bem polida como, por exemplo, um espelho. A reflex˜ ao difusa ocorre em superf´ıcies irregulares e porosas. ´ a difus˜ E ao (ou espalhamento) da luz, pelo pr´oprio ar, pela poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente iluminado.

Repare que a parte de tr´as do espelho (` a direita neste exemplo) ´e marcada pelas hachuras. A imagem encontrada ´e fruto do prolongamento dos raios refletidos, isso caracteriza uma imagem virtual.

Leis da Reflex˜ ao

Propriedades dos Espelhos Planos

1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido e a reta normal `a superf´ıcie pelo ponto de incidˆencia da luz est˜ ao num mesmo plano (coplanares). Temos: RI = Raio Incidente; RR = Raio Refletido; N = Reta Normal; i=ˆ angulo de incidˆencia; r=ˆ angulo de reflex˜ ao. 2a Lei: O ˆangulo de incidˆencia ´e igual ao ˆ angulo de reflex˜ ao. i=r

o

i

Figura 1.2: Forma¸ca ˜o de imagens em um espelho plano.

1. Se chamarmos de x `a distˆancia do objeto ao espelho, a distˆancia entre o espelho e a imagem ser´ a tamb´em x. Isto significa que o objeto e a imagem s˜ ao sim´etricos em rela¸ca˜o ao espelho. 2. As imagens formadas num espelho plano s˜ ao enantiomorfas, ou seja, existe uma invers˜ ao ”direita para a esquerda”, mas n˜ ao de ”baixo para cima”. Assim a imagem especular da m˜ao esquerda ´e a m˜ao direita, mas a imagem dos p´es n˜ ao est´ a na cabe¸ca. 3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um objeto localizado na frente do espelho (real) nos fornece uma imagem que nos d´ a a impress˜ao de estar situada atr´ as do espe-

38

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC lho (virtual). Logo, o objeto e a imagem s˜ ao de naturezas opostas.

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Exerc´ıcios Complementares

4. Considere um raio luminoso incidindo num espelho plano. 4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem posDetermine o ˆangulo formado entre o raio incidente e o espelho, suem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativo sabendo que o ˆangulo formado entre o raio incidente e o raio ao espelho, possuir˜ ao iguais velocidades. refletido ´e igual a 700 . 5. Um rapaz est´ a sentado na cadeira de uma barbearia de frente para um espelho plano, tendo atr´ as de si o barbeiro em p´ e . A distˆ a ncia entre o rapaz e o espelho ´e D e entre o rapaz e Campo Visual de um espelho plano ´e a regi˜ ao do espa¸co que o barbeiro ´ e d. Qual ´ e a distˆ a ncia x (horizontal) entre o rapaz pode ser vista por um observador atrav´es de um espelho. e a imagem do barbeiro ? Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O′ , sim´etrico de O, e uni-lo ` as extremidades do espelho plano E. 6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ficou compleVeja a figura. [fig:ot013] tamente desconcertada quando, ao chegar em frente do espe-

Campo Visual

O

O’

lho de seu arm´ario, vestindo uma blusa onde havia seu nome escrito, viu a imagem de seu nome refletida, desenhe essa imagem?

´ Otica

Aula 2

campo visual E

Espelhos Esf´ ericos Os espelhos esf´ericos s˜ ao superf´ıcies refletoras que tem forma de uma calota esf´erica. Figura 1.3:

Calota Esferica

Pense um Pouco! 1. Por que n˜ ao enxergamos no escuro?

V 2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros?

C

3. Por que as ambulˆ ancias geralmente trazem escrito na frente ?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Figura 1.1: Calota esf´erica. 1. A estrela Vega est´ a situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz ´e a distˆancia que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determine Temos dois tipos de espelho esf´erico: a ordem de grandeza da distˆancia de Vega at´e a Terra, em Cˆ oncavo: a superf´ıcie refletora ´e interna. metros. Convexo: a superf´ıcie refletora ´e externa. 2. Um observador nota que um edif´ıcio projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um muro Esquematicamente: de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. Determine Temos: R = Raio de Curvatura; a altura do edif´ıcio. F = Foco do Espelho (ponto m´edio do eixo principal no trecho 3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incide entre o V´ertice e o Centro); sobre um disco de 10 cm de diˆametro. Sabendo que a distˆancia C = Centro; da fonte ao disco ´e 1/3 da distˆancia deste ao anteparo e que os V = V´ertice; planos da fonte, do disco e do anteparo s˜ ao paralelos, determine A = reta que passa por C e V ´e o eixo ´optico principal. o raio da sombra projetada sobre o anteparo.

´ Otica – Aula 2

39 Côncavo

Convexo

θi

N θr

C

F

V

eixo ótico

V

F

C

eixo ótico C

θr

F N

V

V

F

C

θi

(a)

Figura 1.2: Espelhos cˆ oncavo (` a esquerda) e Convexo (direita).

(b)

Figura 1.4: Raio not´ avel incidindo paralelo ao eixo principal de um espelho esf´ericos cˆ oncavo (a) e convexo (b).

Condi¸c˜ oes de Nitidez de Gauss • Os raios de luz devem ser pouco inclinados em rela¸ca˜o ao eixo ´optico principal;

C

F

V

• os raios de luz devem incidir pr´oximos ao v´ertice do espelho;

eixo ótico

V

F

(a)

C

(b)

A partir de agora estaremos, apenas considerando os espelhos esf´ericos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem as Figura 1.5: Raio not´ avel passando pelo foco F de um espelho condi¸co˜es de Gauss. esf´ericos cˆ oncavo (a) e convexo (b).

Raios Not´ aveis de Luz

a nota¸ca˜o i e O significando, respectivamente, a medida da Os Raios Not´ aveis n˜ ao s˜ ao os u ´ nicos que ocorrem num sistema imagem e do objeto. optico, mas como o pr´oprio nome diz, eles se destacam ´ dos outros pela facilidade de tra¸ca´-los. Nosso objetivo ser´ a oncavo desenhar pelo menos dois deles em cada situa¸ca˜o. Vejamos Espelho Cˆ quais s˜ ao estes raios: (1) Objeto situado antes do centro de curvatura C: 1. Todo raio que incide numa dire¸ c˜ ao que passa pelo centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo.

C

F

V

V

eixo ótico

(a)

F

C

C

F

V

eixo ótico

(b)

Figura 1.3: Raio not´ avel passando pelo centro de curvatura C de um espelho esf´ericos cˆ oncavo (a) e convexo (b). Figura 1.6: Objeto antes do centro de curvatura C. 2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se numa dire¸ c˜ ao que passa pelo foco principal Imagem: Real, Invertida e Menor. do espelho. 3. Todo raio que incide numa dire¸ c˜ ao que passa pelo (2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C: foco reflete-se paralelamente ao eixo principal. Importante • O foco F do espelho cˆ oncavo ´e Real; • O foco F do espelho convexo ´e virtual.

Forma¸c˜ ao de Imagens

Imagem: Real, Invertida e Igual. (3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F : Imagem: Real, Invertida e Maior. (4) Objeto situado sobre o foco F : Imagem: Impr´ opria. (5) Objeto situado entre o foco F e o v´ertice:

Para formarmos imagens, basta tra¸carmos dois raios quaisquer de luz entre os not´aveis que acabamos de aprender. Usaremos Imagem:Virtual, Direita e Maior.

40

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

C

F

V

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C

eixo ótico

F

V

eixo ótico

Figura 1.9: Objeto sobre o foco F . Figura 1.7: Objeto sobre o centro de curvatura C.

C

F

V

eixo ótico

C

F

V

eixo ótico

Figura 1.8: Objeto entre o centro de curvatura C e o foco F . Figura 1.10: Objeto entre o foco F e o V´ertice.

Espelho Convexo Neste caso temos apenas um caso: Imagem:Virtual, Direita e Menor. Observa¸ c˜ ao O espelho convexo ´e usado como espelho retrovisor de motocicletas e em portas de garagens devido ao maior campo visual que oferece.

Aumento Linear Transversal Por defini¸ca˜o, o aumento linear transversal A ´e a raz˜ ao entre a altura da imagem i e a altura do objeto o. A=

P′ i = O P

Conven¸ c˜ ao de Sinais

Conclus˜ oes:

Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 ′ Imagem Real p > 0 Virtual p′ < 0 • Uma imagem real est´ a localizada na frente do espelho e Espelho Cˆonc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 poder´ a ser projetada sobre um anteparo (uma tela) coloh∗ Direita i > 0 Invertida i < 0 cada na posi¸ca˜o em que ela se forma, pois ´e constitu´ıda pela intersec¸ca˜o dos pr´oprios raios de luz; (*) Altura da imagem para o > 0. • Uma imagem virtual est´ a localizada atr´ as do espelho e, embora possa ser visualizada, n˜ ao ´e constitu´ıda por luz e, sim pelos prolongamentos dos raios.

Determina¸c˜ ao Anal´ıtica da Imagem Agora procuraremos expressar de forma matem´atica algumas express˜ oes que nos permita determinar a posi¸ca˜o e o tamanho da imagem. Equa¸ c˜ ao Conjugada de Gauss 1 1 1 = + ′ f p p

Pense um Pouco! 1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores do que somos? Por quˆe? 2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que s˜ ao espelhos esf´ericos. 3. Por que os caminh˜ oes e ˆonibus usam um pequeno espelho convexo colado no canto do retrovisor plano?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Temos que a distˆancia focal f ´e dada por: f=

R 2

1. Um objeto real de altura 5 cm est´ a a 3 m diante de um espelho esf´erico cˆ oncavo, de distˆancia focal 1 m.

´ Otica – Aula 3

41

Refra¸c˜ ao da Luz

eixo ótico V

F

C

A velocidade de uma dada luz monocrom´ atica assume valores diferentes em diferentes meios de propaga¸ca˜o tais como: v´acuo, ar, ´agua, vidro, etc. A luz sofre refra¸ca˜o quando passa de um meio para outro, modificando sua velocidade. Em geral, a refra¸ca˜o ´e acompanhada por um desvio na trajet´oria da luz, conseq¨ uˆencia da mudan¸ca de velocidade. O u ´ nico caso de refra¸ca˜o no qual a luz n˜ ao sofre desvio ´e quando incide perpendicularmente `a superf´ıcie de separa¸ca˜o dos meios S.

N Figura 1.11: Espelho convexo. a) Determine, graficamente, as caracter´ısticas da imagem. b) Determine, analiticamente, a posi¸ca˜o e o tamanho da imagem.

meio A

S

2. Diante de um espelho esf´erico convexo, de raio de curvatura de 60 cm, ´e colocado, perpendicularmente ao eixo principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cm do espelho. Determine: a) a posi¸ca˜o da imagem; b) o tamanho da imagem. 3. Mediante a utiliza¸ca˜o de um espelho esf´erico cˆ oncavo, de distˆancia focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem trˆes vezes maior que o objeto. Determine: a) a posi¸ca˜o do objeto; b) a posi¸ca˜o da imagem.

meio B

Figura 1.1: Refra¸ca ˜o da luz, com desvio de sua trajet´ oria.

Exerc´ıcios Complementares 4. Um espelho esf´erico fornece, de um objeto real, uma imagem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo que a distˆancia do objeto ao espelho ´e de 60 cm, determine: a) a posi¸ca˜o da imagem; b) a distˆancia focal do espelho.

meio A

S

meio B

5. Deseja-se obter a imagem de uma lˆ ampada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distˆancia. Quais as caracter´ısticas e a posi¸ca˜o do espelho esf´erico que se pode utilizar ? Ele dever´a ser: a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lˆ ampada; b) cˆ oncavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lˆ ampada; Figura 1.2: Raio entrando perpendicular a superf´ıcie S, sem c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lˆ ampada; desvio de sua trajet´ oria. d) cˆ oncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lˆ ampada; e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lˆ ampada; 6. Mediante a utiliza¸ca˜o de um espelho esf´erico cˆ oncavo, de distˆancia focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine: a) a posi¸ca˜o do objeto; b) a posi¸ca˜o da imagem.

´ Otica

Aula 3

Dioptro Plano Os dois meios de propaga¸ca˜o, A e B, e a superf´ıcie de separa¸ca˜o S constituem o que chamamos de DIOPTRO. Nos dioptros reais, o fenˆ omeno da refra¸ca˜o ´e acompanhado pela reflex˜ ao da luz. Assim, o raio de luz incidente na superf´ıcie S divide-se em dois raios, um refratado e outro refletido. ´ importante tamb´em dizer que ocorre em S o fenˆ E omeno da absor¸ca˜o da luz, onde parcela da energia luminosa ´e transformada em energia t´ermica, por exemplo. No dioptro ideal s´ o ocorre refra¸ c˜ ao da luz.

42

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

raio incidente

—

raio refletido

N

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θi

N

meio A

S

meio A

S

meio B

meio B

θr

raio refratado

Figura 1.3: Todos os raios luminosos presentes na refra¸ca ˜o.

Figura 1.4: Raio entrando perpendicular a superf´ıcie S, sem desvio em sua trajet´ oria.

´Indice de Refra¸c˜ ao Absoluto Seja c a velocidade da luz no v´acuo e v a velocidade da luz em um meio qualquer, definimos ´ındice de refra¸ca˜o absoluto n de um meio a raz˜ ao entre as velocidades da luz no v´acuo e no meio considerado: c n= v O ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do v´acuo ´e naturalmente igual a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no v´acuo ´e uma velocidade limite, em qualquer outro meio ela ser´ a inferior: v < c =⇒ n > 1

As Leis • 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N e o raio de luz refratado RR est˜ ao situados num mesmo ´ importante notar que os plano, ou seja, s˜ ao coplanares. E raios de luz incidente e refratado ficam em lados opostos em rela¸ca˜o `a reta normal; ´ constante a rela¸ca˜o • 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “E entre os senos dos ˆangulos de incidˆencia e refra¸ca˜o”. Podemos escrever que: sen(i) = constante sen(r)

Conclus˜ oes 1. O ´ındice de refra¸ca˜o absoluto de qualquer meio material ´e sempre maior que 1;

e essa constante ´e o ´ındice de refra¸ca˜o relativo do meio B em rela¸ca˜o ao meio A, assim:

2. Quanto maior for o ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do meio, menor ´e a velocidade da luz nesse meio.

sen(i) nA = sen(r) nB

´Indice de Refra¸c˜ ao Relativo Se nA e nB s˜ ao, respectivamente, os ´ındices de refra¸ca˜o absolutos dos meios A e B para uma dada luz monocrom´ atica, ent˜ ao definimos o ´ındice de refra¸ca˜o relativo do meio A em rela¸ca˜o ao meio B, nA,B como sendo a raz˜ ao dos ´ındices de refra¸ca˜o absolutos do meio A e B: nA nA,B = nB

Leis de Refra¸c˜ ao Considerando um raio de luz monocrom´ atico incidente numa superf´ıcie separadora de dois meios de propaga¸ca˜o e o correspondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal `a superf´ıcie pelo ponto de incidˆencia da luz. RI = Raio Incidente; RR = Raio Refratado; N = Reta Normal; i=ˆ angulo de incidˆencia; r=ˆ angulo de refra¸ca˜o.

ou: Lei de Snell-Descartes nA sen(i) = nB sen(r) Podemos concluir que: – Quando a luz passa de um meio menos refringente (menor ´ındice de refra¸ca˜o) para um meio mais refringente (maior ´ındice de refra¸ca˜o), o raio de luz se aproxima da normal e a velocidade de propaga¸ca˜o diminui. – Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal e a velocidade de propaga¸ca˜o da luz aumenta.

1.0.1

Pense um pouco!

1. Se vocˆe vˆe um peixe sob a superf´ıcie da ´agua e tenta acert´ a-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe, provavelmente n˜ ao ir´ a captur´ a-lo. Explique. 2. As lentes utilizam a refra¸ca˜o da luz? Como?

´ Otica – Aula 4 θi

43 θi

N

N

A B meio A

S

meio C

S

meio B

meio D θr

θr

Figura 1.5: Aproxima¸ca ˜o e afastamento da normal.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Passando do v´acuo para o interior de um certo meio transparente, o valor da velocidade de propaga¸ca˜o de uma luz monocrom´ atica diminui de 20%. Determine o ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do meio para essa luz monocrom´ atica. 2. A velocidade de propaga¸ca˜o da luz em certo l´ıquido mede 1/2 da velocidade de propaga¸ca˜o da luz no v´acuo. Determine o ´ındice de refra¸ca˜o absoluto do l´ıquido. 3. O ´ındice de refra¸ca˜o absoluto da ´ agua ´e 4/3 e o vidro ´e 3/2. Determine: a) o ´ındice de refra¸ca˜o da ´ agua em rela¸ca˜o ao vidro; b) a rela¸ca˜o entre a velocidade de propaga¸ca˜o da luz no vidro e a velocidade de propaga¸ca˜o da luz na ´ agua; c) comente os resultados obtidos.

Exerc´ıcios Complementares

´ Otica

Aula 4

Lentes Esf´ ericas As lentes esf´ericas constituem sistemas ´opticos de amplas aplica¸co˜es na atualidade. Elas desempenham um papel um papel important´ıssimo, desde os sofisticados LASERS at´e os mais simples pares de ´oculos. Podemos defini-las como sendo um meio transparente e homogˆeneo, limitado por duas superf´ıcies curvas, ou por uma curva e outra plana. A lente ser´ a denominada esf´erica, quando pelo menos uma de suas faces for esf´erica.

4. Sob um ˆangulo de incidˆencia de 60◦ , faz-se incidir sobre Elementos Geom´ etricos uma superf´ıcie de um material transparente um raio de luz monocrom´ atica. Observa-se que o raio refratado ´e perpendi- Vejamos os principais elementos geom´etricos de uma lente cular ao raio refletido. Qual o ´ındice de refra¸ca˜o do material ? esf´erica: (O 1o meio onde a luz se propaga ´e o ar) 5. Um observador, quando colocado numa posi¸ca˜o adequada, pode no m´aximo ver o canto do recipiente, como representado na figura abaixo. Enchendo o recipiente com um l´ıquido, o observador passa a ver a moeda que est´ a colocada no centro:

R2 R1 e. p. C1

V2

e

V1

C2

1m

Figura 1.1: Elementos geom´etricos de uma lente esf´erica. 1m

Temos: C1 e C2 = Centros de Curvatura; R1 e R2 = Raios de Curvatura; 6. Um raio de luz monocrom´ atica passa de um meio A para V1 e V2 = V´ertices; um meio B. Veja a figura e responda: e = espessura da lente; a) Qual ´e o meio mais refringente ? Justifique. e.p. = eixo ´optico principal. b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justifique.

Qual o ´ındice de refra¸ca˜o do l´ıquido? dado sen(45◦ ) =

√

2/2

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Observa¸ c˜ ao

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br Lente Convergente

Esquema

Uma lente ´e delgada quando a sua espessura e for desprez´ıvel em rela¸ca˜o aos raios de curvatura, ou seja, quando e 0 Virtual p < 0 Imagem Real p′ > 0 Virtual p′ < 0 Espelho Cˆonc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 h∗ Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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F

eixo ótico F

Figura 1.9: Incidˆencia paralela ao eixo principal.

Figura 1.11: Incidˆencia sob o foco objeto.

eixo ótico F eixo ótico F

Figura 1.10: Incidˆencia Paralela.

Vergˆ encia V de uma Lente Figura 1.12: Incidˆencia sob o foco objeto. Verifica-se que, quanto menor a distˆancia focal de uma lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa ”potˆencia”da lente de convergir ou divergir a luz ´e caracte2. Um objeto de 2 cm de altura est´ a disposto frontalmente a rizada por uma grandeza denominada Vergˆencia, que ´e comu60 cm de uma lente delgada de vergˆencia +2, 5 di. mente chamada de grau do ´ oculos. A vergˆencia V de uma lente a) determine, graficamente, as caracter´ısticas da imagem; de distˆancia focal f ´e definida como: b) determine, analiticamente, a posi¸ca˜o e o tamanho da imagem. 1 V = f 3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olhar a a 4 cm da lente. Determine de quanto a −1 Se f ´e medido em metros (m), a unidade de V ´e m , que uma flor que est´ lente aumenta a flor. recebe o nome de dioptria (di), que popularmente ´e chamado de grau. 1 di = 1 m−1 = 1 grau

Exerc´ıcios Complementares

4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura est´ a a 5 cm de uma lente convergente de 10 cm de distˆancia focal. a) Qual a posi¸ca˜o da imagem? 1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau) b) Fa¸co tra¸cado dos raios. de lente dever´a usar?

Pense um Pouco!

ao de -5 graus”. 2. O antigos ´oculos “fundo de garrafa”tinham esse nome por 5. As lentes dos ´oculos de um m´ıope s˜ a) Qual ´ e a distˆ a ncia focal das lentes? quˆe? Pra que serviam? b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)? 6. Uma pessoa m´ıope s´ o ´e capaz de ver nitidamente objetos situados a uma distˆancia m´axima de 20 cm dos seus olhos. a) Qual o tipo de lente adequada para a corre¸ca˜o da miopia: 1. Um objeto ´e colocado a 60 cm de uma lente divergente de convergente ou divergente? distˆancia 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente, as b) Qual deve ser a distˆancia focal da lente para que esta pessoa caracter´ısticas da imagem. possa ver nitidamente objetos localizados no infinito?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

´ Otica – Aula 5

47

F C

C

eixo ótico

eixo ótico

F

C

Figura 1.13: Objeto situado antes do centro de curvatura C.

F

F

C

Figura 1.15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F .

eixo ótico C

F

F

C

eixo ótico C

F

F

C

Figura 1.14: Objeto situado no centro de curvatura C.

´ Otica

Figura 1.16: Objeto situado no foco F .

Aula 5

´ Otica da Vis˜ ao O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a uma m´aquina fotogr´ afica) de grande sofistica¸ca˜o. E o c´erebro tem a fun¸ca˜o de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendo a vis˜ ao real do objeto. Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do olho humano e utilizaremos uma representa¸ca˜o mais simples – o olho reduzido.

Quando o objeto est´ a infinitamente afastado, os m´ usculos ciliares e o cristalino est˜ ao relaxados, ou seja, o olho n˜ ao realiza ` medida que o objeto se nenhum esfor¸co de acomoda¸ca˜o. A aproxima, os m´ usculos ciliares v˜ao se contraindo, diminuindo a distˆancia focal do cristalino e mantendo a imagem acomodada na retina. Em S´ıntese Objeto Pr´ oximo = Menor Distˆ ancia Focal; Objeto Distante = Maior Distˆ ancia Focal. O trabalho realizado pelos m´ usculos ciliares, fazendo variar a distˆancia focal do cristalino ´e chamado de acomoda¸ca˜o visual. Retina

Elementos do Olho Humano Analisaremos algumas partes que consideramos de grande importˆ ancia em nosso olho reduzido. ´ Iris Anel colorido de forma circular, que se comporta como um diafragma, controlando a quantidade de luz que penetra no olho. Na sua parte central existe um orif´ıcio de diˆametro vari´ avel, chamado pupila. Cristalino ´ uma lente convergente de material flex´ıvel, do tipo biconE vexa. Fornecer´a de um objeto real uma imagem real, invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes formas em fun¸ca˜o da distˆancia do objeto ao olho. M´ usculos Ciliares S˜ ao respons´ aveis pela mudan¸ca na forma do cristalino, comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua distˆancia focal e permitir uma melhor acomoda¸ca˜o da imagem sobre a retina.

´ a parte sens´ıvel `a luz, onde deve se formar a imagem para E ser n´ıtida. A distˆancia do cristalino a retina ´e da ordem de 1, 5 cm. Composta por c´elulas nervosas chamadas bastonetes (vis˜ ao preto e branco) e cones (vis˜ ao a cores), a retina possui uma ´area mais sens´ıvel `a luz sob condi¸co˜es normais. Esta ´area consiste uma depress˜ao na parte posterior do olho no eixo do cristalino, e ´e denominada f´ovea.

Ponto Pr´ oximo e Ponto Remoto A menor distˆancia do globo ocular segundo a qual uma pessoa, de vis˜ao normal, pode ver nitidamente a imagem de um objeto qualquer denomina-se Ponto Pr´oximo (PP ). Neste caso, os m´ usculos ciliares est˜ ao em sua maior contra¸ca˜o, realizando esfor¸co m´aximo de acomoda¸ca˜o. Logo, o ponto pr´oximo correspondente `a distˆancia m´ınima de vis˜ao distinta, `a qual se atribui um valor m´edio convencional de 25 cm. O ponto mais afastado do olho humano, corresponde a uma imagem n´ıtida forma sem esfor¸co de acomoda¸ca˜o visual, denomina-se Ponto Remoto (PR ). Esta ´e a m´axima distˆancia de vis˜ao distinta que, teoricamente, permite a uma pessoa uma vis˜ao normal de enxergar objetos no infinito. Intervalo de vis˜ao distinta ou zona de acomoda¸ca˜o ´e a regi˜ao do espa¸co compreendida entre os dois pontos (PR e PP ) figurados

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eixo ótico C

F

F f

o

C

f i

eixo ótico C

F

F

C

Figura 1.19: Elementos de uma lente.

´ Figura 1.17: Objeto situado entre o Foco F e o Centro Optico.

´ Nervo Optico

´ Cornea

´ Macula

Lente C

F

eixo ótico F

C

´ Iris Conjuntiva

Retina

Anatomia do Olho Figura 1.18: Lente divergente. Figura 1.1: O olho humano. anteriormente.

Problemas da Vis˜ ao

Presbiopia

´ um defeito determinado pela fadiga dos m´ E usculos que efetuam a acomoda¸ca˜o e por um aumento na rigidez do cristalino. A deficiˆencia de um olho m´ıope est´ a na visualiza¸ca˜o de obje- Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda mal tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR ) n˜ ao est´ a no para objetos pr´oximos e, em conseq¨ uˆencia, a distˆancia m´ınima infinito e sim a uma distˆancia finita (dP R ). Isso ocorre, pelo da vis˜ao distinta aumenta. A corre¸ca˜o ´e feita com uso de lentes fato da imagem do objeto distante recair antes da retina. bifocais, que tˆem uma parte para ver objetos distantes e outra Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho m´ıope menos para ver objetos pr´oximos. convergente. Para tanto, associamos a ele uma lente divergente: Miopia

Astigmatismo Hipermetropia A deficiˆencia de um olho hiperm´etrope est´ a na visualiza¸ca˜o de objetos pr´oximos. Ou seja, o seu ponto pr´oximo (PP ) est´ a mais afastado do que o olho normal. Logo a distˆancia do ponto pr´oximo ´e maior que 25 cm. No olho hiperm´etrope, a imagem de um objeto recai ap´ os a retina. Para corrigir este defeito demos tornar o olho hiperm´etrope mais convergente, associando a ele uma lente convergente. A lente corretora dever´ a, de um objeto colocado a 25 cm do olho, fornecer uma imagem no ponto pr´oximo (PP ) do hiperm´etrope, ou seja, a uma distˆancia dP P do olho. Assim a distˆancia focal da lente corretiva da hipermetropia ´e calculada da seguinte forma: 1 1 1 1 1 1 = = + ′ = + f p p fc 25cm dpp O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pela lente corretora, ser virtual.

´ um defeito determinado pela forma n˜ E ao esf´erica da c´ ornea ou do cristalino, causando uma deforma¸ca˜o na imagem. A corre¸ca˜o ´e feita mediante o uso de lentes cil´ındricas, que compensam a falta de simetria do sistema ´optica ocular.

Estrabismo Consiste na incapacidade de se dirigir a vis˜ao de ambos os olhos para um mesmo ponto. A corre¸ca˜o ´e feita por gin´ astica ocular para recuperar os m´ usculos, ou atrav´es de cirurgia, ou atrav´es de lentes prism´aticas.

Daltonismo ´ um defeito gen´etico que faz com que seu portador n˜ E ao consiga distinguir certas cores. N˜ ao existe, ainda, corre¸ca˜o poss´ıvel para esse defeito.

´ Otica – Aula 5

49

Olho simplificado

Formaçao de imagens na RETINA

Entrada de Luz Lente Convergente

Hipermetropia

Figura 1.2: O olho simplificado.

PP 25 cm

Correçao com lente convergente

PR Zona de Acomodaçao

Figura 1.3: Esquema.

Figura 1.4: Corre¸ca ˜o da miopia.

Pense um Pouco! • Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixo da ´agua de uma piscina, mas n˜ ao fora da ´ agua. Isso ´e poss´ıvel? H´ a algum problema com a vis˜ ao dessa pessoa? Qual?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. As lentes dos ´oculos de um m´ıope s˜ ao de -5 graus”. Qual ´e a m´axima distˆancia de seus olhos, sem ´ oculos, que ele vˆe com imagem n´ıtida? 2. O ponto pr´oximo de um indiv´ıduo A e o ponto remoto de um indiv´ıduo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e a vergˆencia das lentes corretoras para esses indiv´ıduos. 3. Uma lente esf´erica de vidro, cujo ´ındice de refra¸ca˜o ´e 1, 5, tem uma face plana e outra cˆ oncava, com raio de curvatura 50 cm. Sabendo-se que a lente est´ a imersa no ar, determine sua vergˆencia em dioptrias.

Hipermetropia

Correçao com lente convergente

4. Uma pessoa m´ıope s´ o ´e capaz de ver nitidamente objetos situados a uma distˆancia m´axima de 20 cm dos seus olhos. a) Qual o tipo de lente adequada para a corre¸ca˜o da miopia: convergente ou divergente ? b) Qual deve ser a distˆancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito ? Figura 1.5: Corre¸ca ˜o da Hipermetropia.

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Fluidos – Aula 1

Fluidos

Aula 1

´ comum o uso de unidades de press˜ E ao n˜ ao pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e mil´ımetros de merc´ urio (mmHg): 1 atm = 760 mmHg = 1, 01 × 105 P a

Fluidos Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos fluidos, para isso falaremos de temas como densidade, press˜ ao, empuxo e outros temas que nos levar˜ ao a um aprofundamento da Hidrost´ atica.

Press˜ ao Hidrost´ atica No estudo da hidrost´atica, que faremos a seguir, vamos considerar o l´ıquido ideal, isto ´e, incompress´ıvel e sem viscosidade. Suponhamos um recipiente cil´ındrico de ´area de base A, contendo um l´ıquido de massa espec´ıfica ρ. Qual a press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente ?

Densidade e Massa espec´ıfica Massa espec´ıfica ρ de uma substˆ ancia ´e a raz˜ ao entre determinada massa desta substˆ ancia e o volume correspondente. Temos ent˜ ao: m ρ= v Para um corpo homogˆeneo, ρ ser´ a a pr´opria densidade do material. Para um corpo n˜ ao homogˆeneo, como por exemplo uma corpo oco, a express˜ ao acima resulta na densidade m´edia do corpo.

h

ρ A

Figura 1.1: Vaso cil´ındrico de a ´rea A e altura h, cheio de um l´ıquido de densidade ρ.

Unidades SI m: massa em quilogramas (kg) V : volume em metro c´ ubico (m3 ) ρ: massa espec´ıfica em quilogramas por metro c´ ubico (kg/m3 )

Da defini¸ca˜o de massa espec´ıfica, temos: m ρ= v V = Ah

Observa¸ c˜ ao m ρ= No caso da ´agua, cuja massa espec´ıfica vale 1 g/cm3 , obserAh vamos que cada cm3 de ´ agua tem massa de 1 g. Assim ´e e portanto: que, numericamente, massa e volume ser˜ ao iguais para a ´agua, desde que medidos em gramas e em cent´ımetros c´ ubicos resm = ρAh pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3 , no caso da ´ agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro Por outro lado, a for¸ca que o l´ıquido exerce sobre a ´area A ´e o c´ ubico equivale a 1000 litros, teremos tamb´em para a ´agua, a seu pr´oprio peso: densidade 1000 kg/m3 . F = P = mg mas como

Press˜ ao

m = ρAh

ent˜ ao temos Press˜ ao p ´e a for¸ca normal, por unidade de ´ area, que um fluido F = ρAhg em equil´ıbrio exerce em contato com uma parede. Podemos e finalmente, pela defini¸ca˜o de press˜ ao, representar matematicamente por: F F = ρgh . p= p= A A A press˜ ao que o l´ıquido exerce no fundo do recipiente depende da massa espec´ıfica do l´ıquido (ρ), da acelera¸ca˜o da gravidade Unidades SI local (g) e da altura (h) do l´ıquido acima do ponto considerado. p: press˜ ao em N/m2 = pascal = P a Na pr´atica esse resultado e geral, e pode ser usado para a determina¸ca˜o da press˜ ao hidrost´atica em qualquer fluido (l´ıquido F : for¸ca normal (ortogonal) em newtons ou N ou g´ as) em equil´ıbrio. A: ´ area onde ´e exercida a for¸ca, em metros quadrados m2 Observe que a press˜ ao total dentro de um fluido homogˆeneo em equil´ ıbrio ser´ a ent˜ ao: Press˜ ao Atmosf´ erica p = patm + ρgh Press˜ ao exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a ◦ superf´ıcie da Terra. Ao n´ıvel do mar, ` a temperatura de 0 C onde patm ´e a press˜ ao atmosf´erica, que atua sobre todos os ´e igual a 1 atm. corpos imersos no ar.

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Press˜ ao Manom´ etrica e Absoluta

de um autom´ ovel, algumas pessoas dizem que colocaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda: A press˜ ao absoluta ´e a press˜ ao total exercida em uma dada a) por que num pneu de autom´ ovel se coloca mais ou menos superf´ıcie, incluindo a press˜ ao atmosf´erica, quando for o caso. 25lbf /pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujos A press˜ ao absoluta ser´ a sempre positiva ou nula. pneus s˜ ao bem finos) se coloca aproximadamente 70 lbf /pol2 Em muitos casos, como na calibra¸ca˜o de um pneu, estamos interessados apenas na diferen¸ca entre a press˜ ao interna de b) Sendo 1 lbf /pol2 = 0, 07 atm, qual a press˜ ao t´ıpica (em um reservat´orio (o pneu) e a press˜ ao externa (o ar, que est´ a atm) no pneu de um carro? na press˜ ao atmosf´erica local). A essa diferen¸ca chamamos c) A press˜ ao que nos interessa, neste caso do pneu, ´e a press˜ ao press˜ ao manom´ etrica, e os aparelhos que a medem cha- manom´etrica ou a press˜ ao absoluta. Por quˆe? mamos de manˆ ometros. pman. = pint. − patm. A press˜ ao manom´etrica pode ser negativa, positiva ou nula. Ser´ a negativa quando a press˜ ao interna de um reservat´orio for menor do que a press˜ ao atmosf´erica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um v´acuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a press˜ ao interna da boca, criando uma “press˜ao negativa”.

Pense um Pouco!

Fluidos

Aula 2

Hidrost´ atica Lei de Stevin Consideremos um recipiente contendo um l´ıquido homogˆeneo de densidade ρ, em equil´ıbrio est´ atico. As press˜ oes que o l´ıquido exerce nos pontos A e B s˜ ao, respectivamente:

• Porque n˜ ao sentimos a press˜ ao atmosf´erica normal, j´a que ela ´e t˜ ao grande?

pa = ρgha e pb = ρghb

• Um barco flutua no mar. Quais as for¸cas relevantes para que isso ocorra? • Como ´e poss´ıvel se deitar numa cama de pregos sem se machucar? • Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Uma massa de 1 kg de ´ agua ocupa um volume de 1 litro a 40◦ C. Determine sua massa espec´ıfica em g/cm3 , kg/m3 e kg/l.

hB hA

A

∆h

B

2. Determine a massa de um bloco c´ ubico de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo ´e igual 11, 2 g/cm3 .

Figura 1.1: Cilindro de a ´rea de base A e altura h 3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume de A lei de Stevin ou princ´ıpio hidrost´ atico afirma que a uma esfera de raio R ´e dado por V = 34 πR3 . Usando π = 3, 14, diferen¸ca de press˜ ao entre os pontos A e B ser´ a: determine: a) a densidade m´edia da esfera; pb − pa = ρg(hb − ha ) = ρg∆h b) a densidade do material de que ´e feita a esfera. Ou seja, a diferen¸ca entre dois n´ıveis diferentes, no interior de 4. Um cubo maci¸co com densidade igual a 2, 1 g/cm3 , de um l´ıquido, ´e igual ao produto da sua massa espec´ıfica pela 50 cm de aresta, est´ a apoiado sobre uma superf´ıcie horizontal. acelera¸ca˜o da gravidade local e pela diferen¸ca de n´ıvel entre os Qual ´e a press˜ ao, em P a e em atm, exercida pelo cubo sobre pontos considerados. a superf´ıcie? Na realidade, temos que dividir a press˜ ao num determinado ponto do l´ıquido em dois tipos: i) press˜ ao hidrost´atica: aquela que s´ o leva em considera¸ca˜o o l´ıquido: Exerc´ıcios Complementares phid = ρgh 5. Existe uma unidade inglesa de press˜ ao – a libra-for¸ca por ao absoluta: aquela que leva em considera¸ca˜o o polegada quadrada – que se abrevia lbf /pol2, a qual ´e indevi- e ii) press˜ damente chamada de libra. Assim, quando calibram os pneus l´ıquido e o ar sobre o l´ıquido:

53

Fluidos – Aula 2

F1

pabs = patm + ρgh Conseq¨ uˆ encias da Lei de Stevin

A2

A1

F2

No interior de um l´ıquido em equil´ıbrio est´ atico: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma press˜ ao; 2. a superf´ıcie de separa¸ca˜o entre l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis ´e um plano horizontal; Figura 1.3: A prensa hidr´ aulica. 3. em vasos comunicantes quando temos dois l´ıquidos n˜ ao misc´ıveis temos que a altura de cada l´ıquido ´e inversamente proporcional ` as suas massas espec´ıficas (densida- A Prensa Hidr´ aulica des); Uma das aplica¸co˜es deste princ´ıpio ´e a prensa hidr´ aulica como mostramos a seguir: Observe que: p1 = p2 F2 F1 = A1 A2 hy y F1 A1 = hx x F2 A2 Isso mostra que uma for¸ca pequena F1 ´e capaz de suportar, no outro ˆembolo, um peso muito grande (F2 ), isso ´e muito utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina. A prensa hidr´ aulica ´e o equivalente hidr´ aulico do princ´ıpio da ´ bom lembrar alavanca, de Arquimedes, usado na Mecˆanica. E que estas “engenhocas”multiplicam realmente a for¸ca, mas n˜ ao Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois l´ıquidos n˜ ao a energia. O trabalho m´ınimo necess´ ario para elevar um carro misc´ıveis em equil´ıbrio. ´e o mesmo, independente da m´aquina que se utilize (Wmin = mgh). Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma for¸ca −F~2 (para baixo) dever´a ser feita no ˆembolo da direita, para manter o equil´ıbrio do sistema. Em geral, usa-se o ˆembolo maior para suspender py = px uma carga externa, ou levantar um objeto do ch˜ ao (macaco hidr´ aulico). patm + ρy ghy = patm + ρx ghx ρy h y = ρx h x hx ρy = ρx hy 4. a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos dentro do flu´ıdo, depende apenas do seu desn´ıvel vertical (∆h), e n˜ ao da profundidade dos pontos.

Princ´ıpio de Pascal Pascal fez estudos em flu´ıdos e enunciou o seguinte princ´ıpio: A press˜ ao aplicada a um flu´ıdo em equil´ıbrio transmite-se integral e instantaneamente ` a todos os pontos do flu´ıdo e ` as paredes do recipiente que o cont´ em.

Princ´ıpio de Arquimedes Arquimedes, h´ a mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo ´e devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num l´ıquido, como a ´agua, por exemplo. Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma for¸ ca vertical, de baixo para cima, de intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo. Ou seja, se um corpo est´ a mergulhado num fluido de densidade ρf e desloca volume Vf d do fluido, num local onde a acelera¸ca˜o da gravidade ´e g, temos: Pf = mf g e como ρf =

mf Vf d

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a massa do fluido deslocado ser´ a mf = ρf Vf d e portanto Pf = ρf Vf d g e, de acordo com o Princ´ıpio de Arquimedes

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2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade est´ a cheia com ´agua. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 P a e determine: a) a press˜ ao hidrost´atica a 3, 0 m de profundidade; b) a press˜ ao absoluta no fundo da piscina; c) a diferen¸ca de press˜ ao entre dois pontos separados, verticalmente, por 80 cm.

3. (Cl´assico) Para determinar a press˜ ao atmosf´erica, Torricelli fez a seguinte experiˆencia: um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, foi cheio de merc´ urio e depois emborcado num ou simplesmente recipiente contendo merc´ urio; constatou que, ao n´ıvel do mar, E = ρV g o merc´ urio no tubo mant´em uma altura de 760 mm acima da urio ficando a nosso cargo a interpreta¸ca˜o correta dos termos en- sua superf´ıcie livre (no recipiente). Se a densidade do merc´ ´e 13, 6 g/cm3 e a acelera¸ca˜o da gravidade local ´e de 9, 8 m/s2 , volvidos. qual a press˜ ao atmosf´erica constatada por Torricelli? E = ρf Vf d g

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um autom´ ovel de massa 1.000 kg, o mesmo ´e erguido a uma certa altura. O sistema utilizado ´e uma prensa hidr´ aulica. Sendo os ˆembolos de ´areas 10 cm2 e 2.000 cm2 , e a acelera¸ca˜o da gravidade local de 10 m/s2 , pergunta-se: a) em qual ˆembolo deve-se apoiar o carro? b) em qual ˆembolo deve-se pressionar para se sustentar o carro?

Flutua¸ c˜ ao

Segundo o princ´ıpio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf´ıcie de um flu´ıdo cujo peso (do corpo) ´e anulado (igual em m´odulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completamente submerso, o corpo ir´ a flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplica¸ca˜o s˜ ao constru´ıdos todos os tipos de barcos e navios. Para um corpo de peso P flutuando, a condi¸ca˜o de equil´ıbrio c) qual a for¸ca aplicada no ˆembolo para equilibrar o autom´ ovel? deve ser satisfeita: X Fy = +E − P = 0

1.1

ou seja

Exerc´ıcios Complementares

P =E

´ 5. Agua e ´oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, s˜ ao Pode-se mostrar tamb´em que se um corpo tiver uma densidade colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a altura da m´edia ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido, ele n˜ ao coluna de ´oleo, determine a altura da coluna de ´agua medida poder´ a flutuar nesse flu´ıdo, e acabar´ a afundando se for solto acima do n´ıvel de separa¸ca˜o entre os l´ıquidos. na sua superf´ıcie. 6. Os icebergs s˜ ao grandes blocos de gelo que vagam em latitudes elevadas, constituindo um s´erio problema para a navega¸ca˜o, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena Pense um Pouco! parte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do gelo, determine • A press˜ ao atmosf´erica varia com a altitude? Por quˆe? a porcentagem do iceberg que fica acima da superf´ıcie livre da a ´ gua, considerada com densidade igual a ρf = 1, 0 g/cm3 . • Como pode um navio de ferro flutuar na ´ agua, j´a que ρF e > ρH2O ?

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade m´edia de 3 • Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela 200 kg/m encontra-se presa ao fundo de um recipiente que cont´em ´agua, atrav´es de um fio conforme a figura. Determine (fechada) balan¸ca. Explique. a intensidade da tra¸ca˜o T no fio que segura a bola (Considere 2 • Mergulhando na ´agua um objeto suspenso por um fio, g = 10 m/s ). vocˆe observa que a tra¸ca˜o no fio muda. Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFRJ) O impacto de uma part´ıcula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma press˜ ao da 100 N/cm2 . 2 Nessas condi¸co˜es e tendo a part´ıcula 2 cm , a nave sofreu uma for¸ca de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N

T

´tica – Aula 1 Cinema

Cinem´ atica

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Aula 1

Cinem´ atica

Trajet´ oria Este ´e outro conceito importante no estudo do movimento. Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera abandonada de um avi˜ ao que voa com velocidade constante:

A8−132

A Cinem´atica ´e a parte da Mecˆ anica que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas (for¸cas).

Movimento Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma id´eia do que s˜ ao os estados de movimento e repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) s˜ ao relativos: ao dormir vocˆe pode estar em repouso em rela¸ca˜o `as paredes de seu quarto; entretanto, em rela¸ca˜o ao sol, vocˆe ´e um viajante espacial. A parte da F´ısica que trata do movimento ´e a Mecˆanica. Ela procura compreender as causas que produzem e modificam os movimentos. A seguir, vamos estudar uma subdivis˜ao da Mecˆ anica chamada Cinem´ atica, que trata do movimento sem se referir ` as causas que o produzem.

Ponto Material Em determinadas situa¸co˜es, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avi˜ ao, um carro, uma bala de canh˜ ao, um m´ıssil etc. Por que ponto e por que material? Ponto, porque, na resolu¸ca˜o de problemas, estaremos desprezando as dimens˜oes do corpo em movimento, sempre que as distˆancias envolvidas forem muito grandes em rela¸ca˜o `as dimens˜ oes do corpo. Material, porque, embora as dimens˜oes do corpo sejam desprezadas, sua massa ser´ a considerada.

Em rela¸ca˜o ao solo, a trajet´oria da esfera ´e um arco de par´ abola; e em rela¸ca˜o ao avi˜ ao, a trajet´oria ´e um segmento de reta vertical. Ent˜ ao, podemos concluir que a trajet´oria: • ´e a linha descrita ou percorrida por um corpo em movimento; • depende do referencial adotado.

Deslocamento × Distˆ ancia Percorrida A distˆancia percorrida por um corpo durante um movimento ´e a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do segmento que representa a trajet´oria descrita pelo corpo neste movimento, em rela¸ca˜o ao referencial adotado. O deslocamento de um corpo ´e uma grandeza vetorial, cujo m´odulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre os pontos inicial e final do movimento.

Repouso, Movimento e Referencial Examine as seguintes situa¸co˜es: • Quando estamos dentro de um ve´ıculo em movimento, a paisagem circundante ´e fundamental para estabelecermos os conceitos de movimento e repouso

A 5m 3m B

C 4m

• Quando observamos o movimento do sol atrav´es da esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movimenta ao Na figura, uma part´ıcula, saindo do ponto A, percorre a traredor do Sol. jet´oria ABC. A distˆancia percorrida pela part´ıcula ´e a soma • Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, sem dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 mea o deslocamento ´e representado pela distˆancia entre o janelas, n˜ ao saindo dali durante toda a sua existˆencia. tros. J´ ponto A e ponto C, que ´e igual a 5 metros. Nesse caso, pode ser que essa pessoa n˜ ao tenha condi¸co˜es de afirmar se aquele ambiente est´ a em repouso ou em movimento.

A

Em todos esses casos, percebemos que o movimento ´e determinado a partir de um referencial: a paisagem ´e o referencial do carro e o Sol ´e o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado, n˜ ao ter´ a referencial para perceber qualquer movimento, a n˜ ao ser o de seu pr´oprio corpo.

5m 3m B

C 4m

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Velocidade Escalar

Observa¸ co ˜es

• O deslocamento foi representado por um segmento de reta Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido do orientado que denominamos de vetor; os vetores represen- movimento. tam as grandezas vetoriais. • O deslocamento ´e a menor distˆancia entre o ponto de sa´ıda Exemplos e o ponto de chegada do corpo. 1. Va = +10 m/s: a cada segundo o m´ovel anda 10 m e indica movimento no sentido da orienta¸ca˜o da trajet´oria. • Numa trajet´oria retil´ınea a distˆancia percorrida e o deslocamento podem ser iguais. 2. Vb = −10 m/s: a rapidez ´e a mesma do m´ovel anterior e o movimento ´e no sentido oposto ao da orienta¸ca˜o da Deslocamento Escalar ∆s trajet´oria. ´ a varia¸ca˜o de espa¸co s. E ´ medido em metros, quilˆ E ometros, cent´ımetros, etc. Ou seja: ∆s = s − s0 onde s0 ´e o espa¸co inicial s ´e o espa¸co final. O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo. Quando ∆s > 0 o movimento ´e a favor da orienta¸ca˜o da trajet´oria; quando ∆s < 0 o movimento ´e contra a orienta¸ca˜o da trajet´oria, mas se ∆s = 0 a posi¸ca˜o final ´e igual a inicial.

Acelera¸c˜ ao Mede a rapidez da mudan¸ca da velocidade, ´e a varia¸ca˜o da velocidade em fun¸ca˜o do tempo. Imagine um movimento com a velocidade mudando a cada segundo: t(s) v(km/h)

0 10,0

1 13,6

2 17,2

3 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso ´e, a acelera¸ca˜o ´e:

Importante H´ a duas possibilidades para ∆s = 0: • o corpo pode n˜ ao ter se movimentado;

a=+

1, 0 m/s 3, 6 km/h = = 1 m/s2 s s

• o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posi¸ca˜o Aqui temos uma acelera¸ca˜o positiva, pois a velocidade vai aumentando (em m´odulo) com o tempo. inicial;

Velocidade Escalar M´ edia

Outro Exemplo

Quando falamos que um ve´ıculo percorreu 100 km em 2 h ´e f´ acil determinar que em m´edia ele 50 km a cada 1 h. N´ os dividimos a distˆancia total e o tempo total da viagem. Isso n˜ ao significa que o ve´ıculo andou sempre na mesma velocidade, pois o ve´ıculo pode ter parado em um posto de combust´ıvel para abastecer. N´ os sabemos apenas a distˆancia total e o tempo total da viagem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma. Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e andando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sempre ´ a velocidade escalar m´edia. Normalmente n˜ a 50 km/h. E ao usaremos o termo distˆancia e sim deslocamento escalar (∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo de tempo (∆t). Dessa maneira:

Imagine o seguinte movimento:

Vm =

s − s0 ∆s = ∆t t − t0

t(s) v(m/s)

1 1000 m = m/s 3600 s 3, 6

e tamb´em 1 m/s = 3, 6 km/h

1 45

2 40

3 35

A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, ou seja: −5 m/s = −5 m/s2 a= s Nesse caso a acelera¸ca˜o ´e negativa, pois a velocidade vai diminuindo (em m´odulo) com o tempo.

Acelera¸c˜ ao Escalar M´ edia (am ) ´ a varia¸ca˜o total da velocidade em rela¸ca˜o ao intervalo total E de tempo.

A unidade de velocidade no SI ´e o m/s. Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos: 1 km/h =

0 50

am =

v − v0 ∆v = ∆t t − t0

Unidades SI No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos (s), e a acelera¸ca˜o em m/s2 .

´tica – Aula 2 Cinema

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar m´edia do atleta ´e de: a) 8, 0 km/h b) 28, 8 m/s c) 28, 8 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h

57

Cinem´ atica

Aula 2

Movimento Uniforme (MU)

Suponhamos que vocˆe esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloc´ımetro fique sempre na mesma posi¸ca˜o, 2. (UEL) Um m´ovel percorreu 60, 0 m com velocidade de por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condi¸ca˜o, 15, 0 m/s e os pr´oximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade vocˆe ir´ a percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horas m´edia durante as duas fases foi de: percorrer´a 160 km, e assim por diante. O movimento descrito a) 15, 0 m/s nessa situa¸ca˜o ´e denominado movimento uniforme (MU). b) 20, 0 m/s Vocˆe j´a deve ter notado, ent˜ ao, que no movimento uniforme o c) 22, 5 m/s valor do m´odulo da velocidade ´e constante e n˜ ao nulo, isto ´e, d) 25, 0 m/s o m´ovel percorre espa¸cos iguais em intervalos de tempo iguais. e) 30, 0 m/s Se, al´em da velocidade apresentar valor constante e a trajet´oria 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodo- for retil´ınea, o movimento ´e dito movimento retil´ıneo univia, um motorista vˆe um an´ uncio com a inscri¸ca˜o “ABASTE- forme (MRU). CIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Considerando que esse posto de servi¸cos se encontra junto ao marco Equa¸ c˜ ao Hor´ aria do MU “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevˆe, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velo- Ao longo de um movimento, a posi¸ca˜o de um m´ovel varia no ´ u decorrer do tempo. E ´ til, portanto, encontrar uma equa¸ca˜o cidade m´edia, em km/h, de: que forne¸ca a posi¸ca˜o de um m´ovel em um movimento uniforme a) 80 no decorrer do tempo. A esta equa¸ca˜o denominamos equa¸ca˜o b) 90 hor´ aria do movimento uniforme. c) 100 d) 110 Considere ent˜ ao, o nosso amigo corredor percorrendo com vee) 120 locidade constante v a trajet´oria da figura.

Exerc´ıcios Complementares

t

t 0

4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avi˜ ao percorre a pista x0 X com acelera¸ca˜o constante e atinge a velocidade de 360 km/h x O em 25 segundos. Qual o valor da acelera¸ca˜o, em m/s2 ? a) 9,8 b) 7,2 Figura 1.1: Movimento uniforme (MU). c) 6,0 d) 4,0 Onde: x0 ´e a sua posi¸ca˜o inicial no instante t0 = 0 e x ´e a sua e) 2,0 nova posi¸ca˜o no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo ∆t = t − t0 = t ´e 5. (PUC) Um trem est´ a com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com acelera¸ca˜o escalar constante de m´odulo igual v − v0 ∆x = v= a 0, 40 m/s2 . O intervalo de tempo que o trem gasta para ∆t t parar, em segundos, ´e de: e se v ´e sempre constante, para qualquer instante t, ent˜ ao a) 10 temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a b) 20 trajet´ o ria do movimento ´ e retil´ ınea, temos um movimento rec) 30 til´ıneo uniforme (MRU). d) 40 e) 50 Invertendo-se a equa¸ca˜o acima, podemos escrever a equa¸ c˜ ao hor´ aria do movimento: 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista obx(t) = x0 + vt serva que o ponteiro do veloc´ımetro marca 72 km/h. Sabendo a a posi¸ca˜o x(t) em cada instante t > 0, para todo o que a travessia dura 5, 0 segundos, a acelera¸ca˜o do carro du- que nos d´ movimento. rante a travessia ´e de: a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 Gr´ afico da Velocidade v × t c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em fun¸ca˜o e) n.d.a do tempo v × t x ´e uma reta paralela ao eixo dos tempos,

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uma vez que a velocidade ´e constante e n˜ ao varia ao longo Observe no gr´afico que, de acordo com a equa¸ca˜o hor´ aria, a do tempo. velocidade pode ser dada pela inclina¸ca˜o da reta, ou seja v

v = tan θ

v

v v>0

A inclina¸ca˜o da reta tamb´em denominada ´e chamada de declividade ou coeficiente angular da reta.

v=0 O

t

O

t

O

t

v 0 (a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).

b θ c

Importante Figura 1.4: Inclina¸ca ˜o de uma reta tan θ = b/c. • Quando o movimento ´e na dire¸ca˜o positiva do eixo orientado (o sentido positivo usual ´e para a direita) a velocidade do m´ovel ´e positiva (v > 0). Neste caso x cresce com Lembre-se de que a tangente de um ˆangulo, num triˆ angulo o tempo; retˆ angulo, ´e dada pela rela¸ca˜o entre cateto oposto e o cateto adjacente: • Quando o movimento ´e na dire¸ca˜o negativa do eixo orien- Para o movimento progressivo temos o seguinte gr´afico: tado (sentido negativo usual ´e para a esquerda) a velocidade do m´ovel ´e negativa (v < 0), e neste caso, x decresce com o tempo.

x

Neste caso como a velocidade est´ a abaixo do eixo das abscissas, esta possui valor negativo, ou seja est´ a em sentido contr´ario ao da trajet´oria. ´ importante notar que a velocidade corresponde a altura • E da reta horizontal no gr´ afico v × t. • A´ area de um retˆ angulo ´e dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo.

v>0

xo O

t

Figura 1.5: Gr´ afico x × t para o movimento uniforme (MU) progressivo. E para o movimento retr´ogrado observa-se que:

v

x

∆ x = vt = Área O

t

Figura 1.3: O deslocamento ´e igual a a ´rea sob a curva do gr´ afico v × t.

Gr´ afico da Posi¸c˜ ao x × t Como a equa¸ca˜o hor´ aria no movimento uniforme ´e uma equa¸ca˜o do primeiro grau, podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gr´ afico x × t ´e uma reta inclinada em rela¸ca˜o aos eixos. Quando o movimento ´e progressivo (para a direita) a reta ´e inclinada para cima, indicando que os valores da posi¸ca˜o aumentam no decorrer do tempo; quando o movimento ´e retr´ogrado (para a esquerda), a reta ´e inclinada para baixo indicando que os valores da posi¸ca˜o diminuem no decorrer do tempo.

v0 vo > 0

t

O

v

MRUV

a>0 vo < 0

t

O

MRU

a=0 vo > 0

t

Figura 1.1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.

6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as fun¸co˜es hor´ arias de posi¸ca˜o x1 (t) = 100 + 4t e x2 (t) = 5t, com unidades do SI, Posi¸ c˜ ao versus tempo no MRUV o encontro dos m´oveis se d´ a no instante: Analisando o gr´afico de v × t, podemos obter a fun¸ca˜o hor´ aria a) 0 s dos espa¸co calculando o deslocamento escalar desde t = 0 at´e b) 400 s um instante t qualquer. Como: c) 10 s d) 500 s ∆s = ´area e) 100 s

60

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v

MRUV

O

v

a 0

MRUV

a0 vo = 0

O

x

a>0 vo < 0 xo = 0

O

t

a>0 vo < 0 xo < 0

O

t

t

xo = 0

Figura 1.3: x × t para o MRUV com a > 0.

x

O

a 0), ele ir´ a frear (desacelerar) at´e parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento ser´ a invertido (v > 0).

Conven¸c˜ oes • o sentido positivo do eixo vertical ´e debaixo para cima; • quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento ´e acelerado (v cresce em m´odulo); • quando a e v possuem o sinais contr´ arios, o movimento ´e desacelerado, freado ou ent˜ ao dito tamb´em retardado (v diminui em m´odulo);

Velocidade Escalar Final Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante e com m´odulo g, um corpo ´e abandonado a partir do repouso de uma altura h acima do solo. Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto (v0 = 0), atingir o solo. Pela equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s = v02 + 2a(s − s0 ) sendo s0 = h e s = 0, temos: v 2 = 0 + 2(−g)(0 − h) = 2gh ent˜ ao

p v = − 2gh

ser´ a a sua velocidade escalar ao atingir o ch˜ ao. Escolhemos o sinal negativo (−) porque o corpo est´ a descendo, contra o sentido crescente do eixo vertical (que ´e para cima). Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidade final v, como era de se esperar, mas que v n˜ ao ´e proporcional a h.

Tempo de Queda

Queda Livre Um corpo ´e dito em queda livre quando esta sob a¸ca˜o exclusiva da gravidade terrestre (ou da gravidade de outro corpo celeste). Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, a queda livre de corpos. Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto ´e, livres do efeito da resistˆencia do ar, tem uma propriedade comum; Corpos em queda livre tˆem a mesma acelera¸ca˜o quaisquer que sejam suas massas. Esta acelera¸ca˜o de queda livre ´e denominada acelera¸ c˜ ao da gravidade e, nas proximidades da terra, ´e suposta constante e com m´odulo g = 9.8 m/s2 , valor este que por praticidade, ´e usualmente aproximado para g = 10 m/s2 .

Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo ´e solto (v0 = 0) de uma altura h, at´e atingir o solo. Pela equa¸ca˜o hor´ aria da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at e para a queda livre ser´ a v(t) = v0 − gt √ e sendo v0 = 0 e v = − 2gh temos p − 2gh = 0 − gt

e finalmente

s √ 2gh 2h = t= g g

Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como tamb´em era de se esperar, e que t tamb´em n˜ ao ´e proporcional a h.

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v

a = −g vo = 0 tq

0

t

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Pode-se mostrar que o tempo de descida ´e igual ao tempo de subida. Mostre vocˆe mesmo. • a velocidade escalar de retorno ao solo ´e calculada como se segue: como o tempo total de vˆoo ´e 2ts , temos   2v0 v(2ts ) = v0 − g(2ts ) = v0 − g g ou seja, a velocidade de retorno ser´ a

Figura 1.1: v × t para a queda livre.

a = −g vo = 0 xo = h

x h

0

tq

t

v = −v0 A mesma acelera¸ca˜o que retarda a subida do proj´etil ´e a que o acelera na descida e tem m´odulo constante g, portanto conclu´ımos que que ao retornar ao solo, o proj´etil chaga com a mesma velocidade inicial de lan¸camento, em m´odulo. • A altura m´axima atingida pelo proj´etil ´e calculada a partir da equa¸ca˜o de Torricelli: v 2 = v02 + 2a∆s e como v = 0 e ∆s = h, temos

Figura 1.2: x × t para a queda livre.

0 = v02 + 2(−g)h donde

Lan¸ camento Vertical Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´ıvel e a acelera¸ca˜o da gravidade ´e constante e com m´odulo igual a g, um proj´etil ´e lan¸cado verticalmente para cima com velocidade de m´odulo igual a v0 . Estudemos as propriedades associadas a este movimento: 1 s(t) = s0 + v0 t − gt2 2 e v(t) = v0 − gt Observa-se que: • o movimento do proj´etil ´e uniformemente variado porque a acelera¸ca˜o escalar ´e constante e diferente de zero; • como foi lan¸cado para cima, a velocidade inicial do proj´etil ´e positiva (v0 > 0); • orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, a acelera¸ca˜o escalar vale −g; • A partir do ponto mais alto da trajet´oria, o proj´etil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade ´e nula no ponto mais alto (ponto de invers˜ ao); • O tempo de subida ts do proj´etil ´e calculado como se segue: se v(t) = v0 − gt

e v(ts ) = 0 para a posi¸ca˜o mais alta, temos 0 = v0 − gts e finalmente ts =

v0 g

h=

v02 2g

Observe que quanto maior a velocidade inicial v0 , maior a altura h atingida pelo proj´etil, como era de se esperar, e que h n˜ ao ´e proporcional a v0 .

Pense um Pouco! • Por que uma folha inteira e outra amassada n˜ ao chegam juntas ao ch˜ ao, quando soltas simultaneamente de uma mesma altura? • Um corpo pode ter acelera¸ca˜o a 6= 0 e v = 0? Como? • Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para baixo (a < 0)? Como? • por que n˜ ao se deve dar um tiro para cima com uma arma de fogo?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFAL) Uma pedra ´e abandonada de uma altura de 7, 2 m, adotando g = 10 m/s2 e desprezando-se a resistˆencia do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir o solo ser´ a: a) 12 m/s b) 36 m/s c) 360 m/s d) 18 m/s e) 180 m/s 2. (FUVEST) Um corpo ´e solto, a partir do repouso, do topo de um edif´ıcio de 80 m de altura. Despreze a resistˆencia do ar

´tica – Aula 5 Cinema

63

e adote g = 10 m/s2 . O tempo de queda at´e o solo e o m´odulo da velocidade com que o corpo atinge o solo s˜ ao: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo ´e disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de m´odulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistˆencia do ar e adotando g = 10 m/s2 , a altura m´axima alcan¸cada pelo proj´etil e o tempo necess´ ario para alcan¸ca´-la s˜ ao respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s

Exerc´ıcios Complementares

Movimento Circular Uniforme (MCU) Em um movimento onde a trajet´oria ´e uma circunferˆencia (ou arco de uma circunferˆencia) e a velocidade escalar ´e constante, este ´e denominado como movimento circular uniforme (MCU). Neste movimento a part´ıcula ´e localizada pela sua posi¸ca˜o angular θ, que varia uniformemente com o tempo.

1111111 0000000 0000000 1111111 v2 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 1 0 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 R v1 00 11 00000 11111 00 11 1 0 00000 11111 00 11 00000 11111 00 11 θ 00000 11111 00 11 00000 11111 v 00 11 3 00000 11111 11111111 00000000 00 11 00000 11111 1 0 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um m´etodo interessante 1111111 0000000 1 0 para conseguir degustar uma de suas presas favoritas – o caranv4 guejo. Consiste em suspendˆe-lo a uma determinada altura e a´ı abandonar sua v´ıtima para que chegue ao solo com uma velocidade de m´odulo igual a 30 m/s, suficiente para que se quebre Figura 1.1: O movimento circular uniforme (MCU). por inteiro. Despreze a resistˆencia do ar e adote g = 10 m/s2 . A altura de eleva¸ca˜o utilizada por essas aves ´e: No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o a) 15 m tempo todo, por´em mant´em fixo o seu m´odulo (velocidade esb) 45 m calar). c) 90 m d) 30 m Movimento Peri´ odico e) 60 m 5. (UNICAMP) Uma atra¸ca˜o que est´ a se tornando muito popular nos parques de divers˜ ao consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma for¸ca constante e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando o freio ´e acionado ´e dada por : a) 10 m/s b) 30 m/s c) 75 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s

Um movimento ´e chamado peri´ odico quando todas as suas caracter´ısticas (posi¸ca˜o, velocidade e acelera¸ca˜o) se repetem em intervalos de tempo iguais. O movimento circular e uniforme ´e um exemplo de movimento peri´ odico, pois, a cada volta, o m´ovel repete a posi¸ca˜o, a velocidade e a acelera¸ca˜o.

Per´ıodo (T )

Define-se como per´ıodo (T ) o menor intervalo de tempo para que haja repeti¸ca˜o das caracter´ısticas do movimento. No movimento circular e uniforme, o per´ıodo ´e o intervalo de tempo 6. (CEFET-PR) Um bal˜ ao meteorol´ ogico est´ a subindo com para o m´ovel dar uma volta completa. velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura Como ´e uma medida de tempo, a unidade SI do per´ıodo ´e o de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o segundo. aparelho leva para chegar ao solo ´e: a) 2 s Freq¨ uˆ encia (f ) b) 4 s c) 5 s Define-se a freq¨ uˆencia (f ) de qualquer movimento peri´ odico d) 3 s como o n´ umero de vezes que as caracter´ısticas do movimento e) 7 s se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.

Cinem´ atica

Aula 5

No movimento circular uniforme, a freq¨ uˆencia ´e o n´ umero de voltas realizadas na unidade de tempo. Se o m´ovel realiza n voltas em um intervalo de tempo t, a freq¨ uˆencia f ´e dada por: f=

n t

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e por defini¸ca˜o, como no MCU o tempo de uma volta completa Sendo a trajet´oria curva, a componente normal an da ace(n = 1) ´e o pr´oprio per´ıodo do movimento, temos que lera¸ca˜o, ou tamb´em chamada de acelera¸ca˜o centr´ıpeta n˜ ao ´e nula (an 6= 0). 1 f= O m´odulo da acelera¸ca˜o centr´ıpeta pode ser calculado pela T seguinte express˜ ao: −1 A unidade SI da freq¨ uˆencia f ´e s ou tamb´em chamado 2v sin(∆θ/2) ∆v de hertz, cuja abrevia¸ca˜o ´e Hz. Pode-se tamb´em medir a = ac = ∆t ∆t freq¨ uˆencia em rota¸ co ˜es por minuto ou rpm. e como ∆θ = ω∆t, e o ˆangulo ∆θ ´e pequeno para ∆t pequeno, temos Exemplo ∆θ ∆θ sin ≃ 2 2 Se um movimento tem freq¨ uˆencia de 2, 0 Hz, ent˜ ao s˜ ao dadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o per´ıodo do mo- e 2ωR∆θ/2 vimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos, = ω2R ac = ∆θ/ω esse movimento ter´ a uma freq¨ uˆencia de 120 rpm. ou ent˜ ao, como v = ωR

Velocidade Escalar v ac =

Para uma volta completa, em uma circunferˆencia de raio R, temos que 2πR ∆s = v= ∆t T logo, para o MCU temos v = 2πRf

v(t) v (t+∆ t) ∆θ=ο∆ t

Velocidade Angular ω Define a velocidade angular ω de forma semelhante ` a defini¸ca˜o de velocidade v, s´ o que nesse caso estamos interessados na varia¸ca˜o da posi¸ca˜o angular ocorrida no MCU. Ent˜ ao: ω=

v2 R

ac

∆v

v(t) v (t+∆ t)

∆θ=ο∆ t

θ = οt

R

∆θ θ − theta0 = ∆t t

Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular ser´ a 2π e t = T , temos ω=

2π = 2πf T

Unidades SI A velocidade angular ω ´e medida em rad/s no SI. Rela¸ c˜ ao entre v e ω Como a velocidade escalar no MCU ´e v = 2πRf e ω = 2πf , ent˜ ao v = ωR Ou seja, a velocidade escalar v ´e proporcional ` a velocidade angular ω.

Vetores no MCU

Figura 1.2: A acelera¸ca ˜o centr´ıpeta (normal).

Pense um Pouco! • Certos fenˆ omenos da natureza, como a trajet´oria da Terra em torno do Sol e o movimento dos sat´elites apresentam movimento circular uniforme? Dˆe exemplos. • Imagine um disco girando em torno do seu centro. As velocidades de todos os seus pontos s˜ ao iguais em m´odulo? Explique. • Como s˜ ao os vetores de velocidade de diferentes pontos de uma mesma roda (disco) que gira? Fa¸ca um esbo¸co dos vetores.

• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de um rel´ ogio mecˆ anico? J´ a vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem m´odulo constante, por´em dire¸ca˜o vari´ avel e, portanto o vetor v ´e vari´ avel. Sendo a velocidade vetorial vari´ avel, Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao vamos analisar a acelera¸ca˜o vetorial a. Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at da acelera¸ca˜o vetorial ´e nula: 1. (FCC) Uma part´ıcula executa um movimento uniforme sobre uma circunferˆencia de raio 20 cm. Ela percorre metade ∆v =0 at = da circunferˆencia em 2, 0 s. A freq¨ uˆencia, em hertz, e o per´ıodo ∆t

´tica – Aula 5 Cinema do movimento, em segundos, valem, respectivamente : a) 4,0 e 0,25 b) 1,0 e 1,0 c) 0,25 e 4,0 d) 2,0 e 0,5 e) 0,5 e 2,0 2. (UFES) Uma pessoa est´ a em uma roda-gigante que tem raio de 5 m e gira em rota¸ca˜o uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais pr´oximo do ch˜ ao a cada 20 segundos. Podemos afirmar que a freq¨ uˆencia do movimento dessa pessoa, em rpm, ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. (ITA) Um autom´ ovel percorre uma trajet´oria com velocidade escalar constante. A roda do autom´ ovel, cujo raio ´e 30 cm, d´ a 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da roda ´e, em rad/s: a) 20π rad/s b) 30π rad/s c) 40π rad/s d) 50π rad/s e) 60π rad/s

Exerc´ıcios Complementares 4. (ACAFE) Um autom´ ovel percorre uma estrada com velocidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas possuem raio R = 0, 40 m. A freq¨ uˆencia de rota¸ca˜o da roda ´e: a) 5/π Hz b) 8/π Hz c) 12/π Hz d) 6/π Hz e) 10/π Hz 5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de 500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s. A acelera¸ca˜o do ciclista ´e: a) 0, 5 m/s2 b) 0, 8 m/s2 c) 1, 4 m/s2 d) 0, 6 m/s2 e) 1, 2 m/s2 6. (CEFET-PR) A ´orbita da Terra em torno do Sol, em raz˜ ao da sua baixa excentricidade, ´e aproximadamente uma circunferˆencia. Sabendo-se que a terra leva um ano para realizar uma volta completa em torno do Sol e que a distˆancia m´edia da Terra ao Sol ´e 150 milh˜ oes de km, os m´odulos dos vetores da velocidade e acelera¸ca˜o em km/s e m/s2 s˜ ao respectivamente: a) 10 e 2, 0 × 10−3 b) 20 e 2, 0 × 10−3 c) 30 e 6, 0 × 10−3 d) 20 e 6, 0 × 10−3 e) 10 e 6, 0 × 10−3

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Ondas – Aula 1

Ondas

Aula 1

Ondas Movimento Harmˆ onico Simples

x(t) = R cos(ωt + θ0 )

θ

L

O movimento harmˆonico simples (MHS) ´e um movimento repetitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamos um peso suspenso por uma mola bastante flex´ıvel (movimento na vertical); ou ent˜ ao suspenso por um fio longo (movimento na horizontal - pˆendulo simples). Todo MHS pode ser pensado como sendo a proje¸ca˜o de um movimento circular e uniforme num dos diˆametros da circunferˆencia percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano com origem no centro da circunferˆencia correspondente ao movimento circular. Vocˆe poder´ a estudar a proje¸ca˜o sobre o eixo dos x, obtendo uma equa¸ca˜o do tipo

T mgsin θ x mgcos θ

O

mg

ou sobre o eixo dos y, obtendo a equa¸ca˜o an´ aloga y(t) = Rsen (ωt + θ0 ) Para o movimento circular sabemos que R ´e o raio da circunferˆencia, ω a velocidade angular do objeto em movimento circular e uniforme, e θ0 ´e a posi¸ca˜o angular inicial ocupada pelo objeto no instante t0 = 0 (θ0 equivale, em termos angulares, ao s0 dos movimentos estudados ao longo de trajet´orias). Assim, podemos entender o significado das constantes do MHS: R = A ´e a amplitude do movimento a partir do centro de oscila¸ca˜o; ω recebe tamb´em a denomina¸ca˜o de freq¨ uˆ encia angular (´e f´ acil demonstrar que w = 2π , em que T ´ e o per´ıodo do MHS; T ωt + θ0 , o argumento do seno (ou cosseno), ´e a chamada fase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma, quando t = 0 temos (ωt + θ0 ) = θ0 ; θ0 ´e a fase inicial. Depois desse entendimento, podemos reescrever as equa¸co˜es anteriores em termos das amplitudes A ao inv´es do raio R, ent˜ ao: x(t) = A cos(ωt + θ0 ) y(t) = Asen (ωt + θ0 )

Pˆ endulo Simples Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observa em um pˆendulo simples. O pˆendulo simples consiste em uma part´ıcula de massa m suspensa por um fio inextens´ıvel, de massa desprez´ıvel e comprimento L, que oscila num plano vertical, fixo na extremidade superior do fio, como vemos na figura abaixo: Esse problema pode ser considerado um problema de MHS somente para pequenos ˆ angulos de abertura, ou seja, afasta-se o pˆendulo ligeiramente de sua posi¸ca˜o de equil´ıbrio, e solta-se. Observa-se que a part´ıcula executa um movimento circular de raio L, por´em de vai-e-vem, portanto com velocidade vari´ avel.

Figura 1.1: Pˆendulo Simples. Ignorando a resistˆencia do ar, as for¸cas que atuam sobre a part´ıcula s˜ ao a for¸ca peso, exercida pela Terra, e a tens˜ ao, exercida pelo fio. Como o fio ´e inextens´ıvel, a componente do peso ao longo do fio cancela a for¸ca de tens˜ ao. A resultante das for¸cas que atuam sobre a part´ıcula ´e, portanto, a componente do peso na dire¸ca˜o do movimento da part´ıcula, cujo m´odulo vale mgsen (θ). A part´ıcula do pˆendulo descreve um arco de circunferˆencia. Mas, se a amplitude do movimento ´e muito menor que o comprimento L do fio, ou seja, se o ˆangulo θ ´e pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal sobre o qual fixamos o eixo x, com origem onde a vertical tirada do ponto de suspens˜ ao do pˆendulo corta esse eixo. Ent˜ ao, fazendo x sen θ = , L o m´odulo da for¸ca resultante sobre a part´ıcula fica: F (x) = −

mg x L

An´ alise dos Sinais O sinal negativo indica que a for¸ca resultante aponta na mesma dire¸ca˜o que aquela escolhida como positiva para o eixo x quando a elonga¸ca˜o ´e negativa e na dire¸ca˜o oposta quanto a elonga¸ca˜o ´e positiva. Ou seja, a for¸ca ´e restauradora, pois quando a part´ıcula vai para a direita (x > 0) a for¸ca horizontal “puxa”ela para a esquerda (F < 0), e quando ela vai para a

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

esquerda (x < 0), a for¸ca a “empurra”de volta par a direita (F > 0). Atrav´es desse tipo de for¸ca ´e que se obt´em o MHS. Observe que a for¸ca dada acima tem a forma geral F (x) = −kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa for¸ca lembra alguma outra lei ou sistema f´ısico j´ a estudado? Qual?

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c) independente do valor da acelera¸ca˜o da gravidade local. d) ´e inversamente proporcional ao valor da acelera¸ca˜o da gravidade local. e) independe da massa m.

Exerc´ıcios Complementares

Dica de Vestibular DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em vestibulares s˜ ao o per´ıodo (T ) e a freq¨ uˆencia (f ) de um pˆendulo simples, n˜ ao que as outras grandezas n˜ ao tenham importˆ ancia e sim pela sua simplicidade matem´atica e conte´ udo te´orico, ent˜ ao, resumidamente em termos do per´ıodo temos: T =

2π ω

T = 2πf T = T = 2π

1 f s

L g

E em termos da freq¨ uˆencia temos: f=

w 2π

f= f=

1 2π

1 T r

4. Fa¸ca testes num´ericos para estimar at´e onde vale a rela¸ca˜o sen θ ≈ θ, para ˆangulos theta dados em rad, com a precis˜ao de at´e duas casas decimais. 5. Para dobrar a freq¨ uˆencia de oscila¸ca˜o de um pˆendulo simples ´e suficiente: a) transport´ a-lo para um planeta de acelera¸ca˜o da gravidade duas vezes maior. b) transport´ a-lo para um planeta de acelera¸ca˜o da gravidade quatro vezes. c) dobrar o comprimento do fio. d) reduzir `a quarta parte o comprimento do fio. e) dobrar a massa pendular. 6. Ache a rela¸ca˜o entre o comprimento de dois pˆendulos para que um realize nove oscila¸co˜es enquanto o outro realiza dezesseis oscila¸co˜es. 7. Determine o comprimento de um pˆendulo simples que possui per´ıodo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2 .

g L

Ondas

Aula 2

Pense um Pouco! 1. Como podemos determinar a acelera¸ca˜o da gravidade com um pˆendulo Simples?

Ondas

Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma 2. O movimento de transla¸ca˜o da terra em torno do sol ´e um perturba¸ca˜o que se propaga atrav´es de um meio. MHS?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Tipos de Ondas

Quanto `a necessidade ou n˜ ao de um meio mecˆ anico, as ondas se classificam em dois grandes grupos: as ondas mecˆ anicas 1. Um pˆendulo oscila, na Terra com per´ıodo igual a 4 se- e as ondas eletromagn´ eticas. gundos. Determinar o per´ıodo desse mesmo pˆendulo em um planeta onde a acelera¸ca˜o da gravidade ´e quatro vezes maior Onda Mecˆ anica que a da Terra. 2. Um MHS (movimento harmˆ onico simples) ´e descrito pela fun¸ca˜o hor´ aria x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metros e ´ correto afirmar que: t em segundos. E a) a amplitude do movimento ´e 10 m. b) a velocidade angular ´e 5π/2 rad/s. c) a freq¨ uˆencia do movimento ´e 0, 25 Hz. d) o per´ıodo do movimento ´e 0, 50 s. e) a fase inicial ´e 3π radianos.

Precisa de um meio mecˆ anico natural para se propagar (n˜ ao se propaga no v´acuo). Exemplos Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na superf´ıcie da ´agua ou numa membrana esticada (tambor).

3. Um pˆendulo simples de massa m executa oscila¸co˜es de pequena abertura angular e realiza um MHS. Ent˜ ao o seu per´ıodo de oscila¸ca˜o: a) independe do comprimento do pˆendulo. b) ´e proporcional ao comprimento do pˆendulo.

N˜ ao necessita de um meio mecˆ anico para se propagar, e pode se propagar no v´acuo ou tamb´em em meios mecˆ anicos. Exemplos Ondas de r´ adio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, como aquelas que vem do Sol at´e a Terra pelo v´acuo interestelar.

Onda Eletromagn´ etica

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Ondas – Aula 2

´ claro que uma barra de ferro pode propadire¸ca˜o da barra. E gar, ao mesmo tempo, tanto ondas longitudinais quanto ondas Quanto ao tipo de perturba¸ca˜o propagada pela onda, elas s˜ ao transversais. classificadas em transversais ou longitudinais. Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos verificar que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremidade livre, Ondas Transversais batendo verticalmente, um pulso de compress˜ao ser´ a propaS˜ ao aquelas em que a dire¸ca˜o das oscila¸co˜es ´e perpendicular gado longitudinalmente, subindo na mola. (ou transversal) `a dire¸ca˜o da propaga¸ca˜o da onda. Quando um pescador convencional estica sua linha (espera ou espinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixe pelas Vibraçao ondas longitudinais transportadas at´e a sua m˜ao, pela linha corda Propagaçao tensa. Quando usa uma b´ oia, ou rolha, ele vˆe as ondas transT T versais causadas na superf´ıcie da ´agua pelas beliscadas dos peixes. Em ambos os casos, as ondas est˜ ao sendo usadas para transmitir informa¸ c˜ ao, compreendeu?

Classifica¸c˜ ao das Ondas

Figura 1.1: Onda transversal. Exemplos Nas ondas eletromagn´eticas, um campo el´etrico e um magn´etico oscilam em planos perpendiculares ` a dire¸ca˜o de propaga¸ca˜o da onda. Por esta raz˜ ao, por exemplo, convencionouse posicionar as antenas de r´ adio em p´e, para que o campo el´etrico seja emitido verticalmente, enquanto a onda se propaga horizontalmente, e desta forma possa ser captado pelas antenas receptoras. Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo da dire¸ca˜o da corda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. N˜ ao h´ a um deslocamento horizontal da corda (meio mecˆ anico). Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulat´ orio causado pelos espectadores, a “ˆ ola”. Num movimento coordenado, os espectadores levantam e sentam, provocando a propaga¸ca˜o de uma onda pelas arquibancadas, que tamb´em ´e uma onda transversal. Observe que, se todos levantassem e sentassem ao mesmo tempo, nenhuma onda seria observada. Ondas Longitudinais

Ondas no Espa¸co Quanto ao tipo de propaga¸ca˜o e a complexidade do movimento espacial das ondas, podemos classific´a-las em unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais. Ondas Unidimensionais Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda se propaga de forma unidimensional, pois simplificamos a sua descri¸ca˜o reduzindo o movimento ondulat´ orio `a uma dimens˜ao mais relevante. Exemplo Por exemplo, ao estudar a propaga¸ca˜o de uma onda sonora dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidimensional, dentro do tubo. Ondas Bidimensionais Em outros casos, ´e evidente que o movimento ondulat´ orio n˜ ao pode ser restrito `a uma dire¸ca˜o (dimens˜ ao), pois ocorre sobre uma superf´ıcie bidimensional. Exemplos No caso de ondas na superf´ıcie de uma piscina ou lago, ou mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos ondas bidimensionais.

Como o pr´oprio nome diz, a onda longitudinal transporta oscila¸co˜es (vibra¸co˜es) cuja dire¸ca˜o coincide com a dire¸ca˜o da Ondas Tridimensionais propaga¸ca˜o, ou seja, ao longo da dire¸ca˜o de propaga¸ca˜o. propagação da onda compressões

empurrar

puchar

oscilações

para a ponta fixa

rarefações

Figura 1.2: Onda longitudinal.

S˜ ao aquelas que se propagam em todas as trˆes dire¸co˜es do espa¸co, tornando a sua descri¸ca˜o, bastante trabalhosa. Exemplos Na explos˜ao de uma “bombinha”, aquelas que a gente soltava quando moleque, s˜ ao produzidas ondas sonoras que se propagam a partir de um ponto (pequena regi˜ao do espa¸co) para todas as dire¸co˜es, formando verdadeiras ondas esf´ericas, que poder˜ ao ser percebidas por pessoas no ch˜ ao, ou mesmo p´ assaros no ar, pois se propagam tridimensionalmente.

Exemplos As ondas sonoras s˜ ao ondas de press˜ ao que se propagam lon- Energia Transmitida gitudinalmente em meios s´ olidos, l´ıquidos ou gasosos. Quando vocˆe d´ a uma martelada na extremidade de uma longa barra Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, podede ferro (de constru¸ca˜o), a compress˜ ao causada na dire¸ca˜o da mos classific´a-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas barra se propaga, fazendo os pontos da barra oscilarem na t´ermicas, etc.

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Elementos de uma Onda

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d) gravitacionais e) longitudinais

Ondas Peri´ odicas

3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranq¨ uilo, S˜ ao aquelas que recebem pulsos peri´ odicos, ou seja, recebem formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cirpulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por culares ´e uma evidˆencia de que: um mesmo ponto com a mesma freq¨ uˆencia. a) as ondas transportam energia b) as ondas transportam mat´eria Unidades SI c) a velocidade de propaga¸ca˜o das ondas ´e a mesma em todas as dire¸co˜es As ondas peri´ odicas possuem alguns elementos b´ asicos, que d) a velocidade de propaga¸ca˜o das ondas depende da densis˜ ao: dade da pedra o per´ıodo P (ou T ), medido em s; e) a pedra afundou depois de atingir a ´agua. o comprimento de onda λ, medido em m; a freq¨ uˆencia f , medida em s−1 ou Hz (hertz); a amplitude y, medida em m; Exerc´ıcios Complementares que podem ser verificados na figura abaixo. Comprimento de Onda

Amplitude x

Figura 1.3: Elementos de uma onda senoidal.

Rela¸ c˜ ao Matem´ aticas v = λf onde v ´e = velocidade de propaga¸ca˜o da onda no meio λ ´e o comprimento da onda f ´e a freq¨ uˆencia da onda.

Pense um Pouco!

4. As ondas eletromagn´eticas, como as ondas luminosas, propagam-se independentemente do meio. No v´acuo, todas as ondas eletromagn´eticas possuem: a) a mesma amplitude b) a mesma freq¨ uˆencia c) a mesma velocidade d) o mesmo comprimento de onda e) a mesma energia 5. Considere as afirma¸co˜es abaixo: I. As ondas luminosas s˜ ao constitu´ıdas pelas oscila¸co˜es de um campo el´etrico e de um campo magn´etico. II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se propagar III. As ondas eletromagn´eticas n˜ ao precisam de um meio material para se propagar. Quais delas s˜ ao corretas? a) apenas I b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III

• Uma pessoa toca numa corda de um viol˜ ao uma nota e vocˆe ouve o som. Identifique os v´arios tipos de ondas 6. A onda sonora ´e classificada como ........ pois a sua proenvolvidos no processo completo. Comente. paga¸ca˜o ocorre somente em meio ........, que vibra com a onda deslocando-se na dire¸ca˜o ......... `a sua dire¸ca˜o de propaga¸ca˜o. • N´ os enxergamos usando luz. Seria poss´ıvel se enxergar a) mecˆ anica – material – paralela com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? Jusb) mecˆ anica – gasoso – paralela tifique. c) mecˆ anica – s´ olido – perpendicular d) eletromagn´etica – material – perpendicular e) eletromagn´etica – material – paralela

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada num 1. A distˆancia entre o n´ıvel de repouso da ´ agua e a “crista”de lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movimento sobe-e-desce. Ele conclui que a freq¨ uˆencia das ondas ´e: uma onda, ´e chamada de: a) 1 41 s a) timbre b) 1, 25 m b) per´ıodo c) 0, 80 s−1 c) amplitude d) 1, 25 Hz d) ressonˆancia e) 20/s e) comprimento de onda 2. Ondas que oscilam na mesma dire¸ca˜o em que se propagam s˜ ao chamadas de ondas: a) transversais b) eletromagn´eticas c) tensoriais

Ondas

Aula 3

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Ondas – Aula 3

Ondas e Interferˆ encia Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regi˜ ao do espa¸co d´ a-se o que chamamos de interferˆ encia. O resultado da interferˆencia entre duas ondas depende da diferen¸ca de fase entre elas. Para se entender o efeito combinado de duas ou mais ondas se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimos como v´alido o princ´ıpio de superposi¸ c˜ ao: “Os deslocamentos causados no meio pela presen¸ca de duas ou mais ondas s˜ ao somados, ou seja, superpostos, como se cada onda continuasse se propagando como se as outras n˜ ao existissem.” Ou seja, uma n˜ ao afeta as outras, mas o que observamos ´e o efeito conjunto de todas as ondas. Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso simples, os deslocamentos do meio ser˜ ao somados algebricamente, podendo-se obter interferˆencia destrutiva e construtiva.

Figura 1.2: Interferˆencia destrutiva.

poss´ıvel a observa¸ca˜o da interferˆencia construtiva e nem da destrutiva, mas a onda resultante ´e resultado da interferˆencia geral entre as ondas, chamadas de componentes. Na figura a seguir, as duas ondas tˆem uma diferen¸ca de fase gen´erica. A interferˆencia entre elas n˜ ao ´e totalmente construtiva nem totalmente destrutiva. O resultado ´e uma onda Interferˆ encia Destrutiva u ´ nica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e a soma Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinciden- das amplitudes das ondas, dependendo da diferen¸ca de fase tes. As duas tˆem a mesma amplitude, o mesmo comprimento entre elas. e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento m´aximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferen¸ ca de fase entre elas ´e zero. Ou seja, as ondas est˜ ao em fase. Nesse caso, a interferˆencia ´e chamada de construtiva, pois uma onda soma-se `a outra, refor¸cando-a, e o resultado ´e uma u ´ nica onda cuja amplitude ´e a soma das duas amplitudes.

Figura 1.3: Interferˆencia geral.

Difra¸c˜ ao Figura 1.1: Interferˆencia construtiva.

Interferˆ encia Destrutiva Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamento m´aximo positivo de uma corresponde com o deslocamento m´aximo negativo da outra, os efeitos (amplitude resultante) tendem a se cancelar. Na outra figura abaixo, as duas ondas tˆem uma diferen¸ca de fase de “meia onda”. Isso faz com que um alto de uma delas coincida com um baixo da outra. Acontece, ent˜ ao, uma interferˆencia destrutiva entre elas. O resultado ´e que uma anula ¯ completamente o efeito da outra. Nessa regi˜ ao n˜ ao haver´a mais onda nenhuma.

Caso Geral de Interferˆ encia Em geral, podemos observar num mesmo meio a propaga¸ca˜o de ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, n˜ ao sendo

´ poss´ıvel ouvir o som produzido por uma explos˜ao que se E situa atr´ as de um muro delimitador, mesmo que este tenha grande espessura de tal forma que as ondas sonoras n˜ ao consigam atravess´ a-lo. Da mesma forma, se algum membro da sua fam´ılia que est´ a trancado sozinho num dos quartos coloca uma m´ usica num volume bem alto num aparelho de som potente, todos os outros ir˜ ao ouvi-la. Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos de ondas) tem a capacidade de contornar obst´ aculos. A esta habilidade definiu-se o nome de difra¸ c˜ ao, que ocorre devido ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns cent´ımetros a v´arios metros, de forma que estas ondas s˜ ao ”grandes”em compara¸ca˜o com as aberturas e obst´ aculos freq¨ uentemente encontrados na natureza. Um crit´erio simples para saber se a difra¸ca˜o ser´ a observada numa onda, ao passar por um obst´ aculo ou abertura de tamanho D, ´e o de que o comprimento de onda λ usado seja da ordem aproximada do tamanho D, ou seja: λ≈D

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Quando partes de uma onda s˜ ao atrapalhadas pela presen¸ca de obst´ aculos, sua propaga¸ca˜o no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d’´agua com ondas planas se propagando em sua superf´ıcie. Veja figura abaixo:

Figura 1.5: Difra¸ca ˜o de raio-X. Essa ´e a famosa lei de Bragg.

Vocˆ e Sabia? Natureza Ondulat´ oria da Luz Figura 1.4: Difra¸ca ˜o de ondas na a ´gua. O estudo da difra¸ca˜o ´e importante nos dias de hoje para estudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmo a cristalinidade em materiais, possibilitando desta maneira estudar se um material ´e ou n˜ ao adequado ao emprego em pesquisas, experimentos ou mesmo em ind´ ustrias.

Para Saber Mais! Como vimos na se¸ca˜o anterior, sempre que a diferen¸ca de fase entre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2 comprimentos de onda etc, as ondas interferem construtivamente e suas amplitudes se somam. Mas, se a diferen¸ca de fase for de meio comprimento de onda, trˆes meios comprimentos de onda etc, elas interferem destrutivamente e suas amplitudes se subtraem. Imagine ent˜ ao que um feixe de raios-X incida sobre um cristal. Como o espa¸camento entre os ´ atomos do cristal tem um valor compr´ avel com o comprimento de onda do raio-X, o feixe se refletir´ a nos planos dos ´ atomos como em um espelho. Veja o se passa com dois raios que incidem em planos vizinhos. Os m´aximos (”altos”) de cada onda s˜ ao assinalado com uns tracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixo e percorre uma distˆancia um pouco maior que o outro. A diferen¸ca entre os dois caminhos ´e mostrada. Nesse desenho, essa diferen¸ca ´e exatamente um comprimento de onda. Portanto, os raios refletidos (ou ”difratados”, no caso) saem em fase e ter˜ ao in´ claro que isso s´ terferˆencia construtiva. E o acontece para um ˆangulo de incidˆencia bem determinado. Se vocˆe sabe um pouco de trigonometria pode ver, na figura, que a diferen¸ca de caminhos ´e 2dsen θ, onde ´e o ˆ angulo entre a dire¸ca˜o dos raios-X e o plano de ´ atomos do cristal. A interferˆencia ser´ a construtiva e, portanto, haver´ a um feixe difratado apenas no caso em que essa diferen¸ca de caminhos for um n´ umero inteiro de comprimentos de onda do raio-X. Isto ´e, se 2dsen(θ) = nλ com n ∈ N, haver´a um feixe difratado.

O que ´e a luz? A luz ´e uma radia¸ca˜o eletromagn´etica dual, que se comporta, ora como onda, ora como mat´eria, e viaja `a cerca de 300.000 km/s no v´acuo. Na verdade, as radia¸ co ˜es eletromagn´ eticas cobrem uma extensa faixa de comprimentos de onda, desde os raios c´ osmicos, com comprimentos de onda menores que 10−18 metros (attometros), at´e as VLF (ondas de r´ adio de freq¨ uˆencia muito baixa) com comprimento de milh˜ oes de quilˆ ometros, da ordem de 101 2 metros (terametros). Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela comporta os comprimentos de onda que sensibilizam nossos olhos ´e a denominada luz vis´ıvel. Esta faixa vai desde o violeta (4 × 10−7 m) ao vermelho (7 × 10−7 m). Entre estes dois valores est˜ ao as cores do espectro vis´ıvel, onde operam os telesc´opios ´opticos, por exemplo.

Figura 1.6: Espectro eletromagn´etico. O tamanho reduzido da “janela vis´ıvel”nos mostra a importˆ ancia dos instrumentos sens´ıveis a outros comprimentos de onda. Radiotelesc´ opios operando na faixa das microondas conseguiram mapear a nossa gal´ axia, enquanto telesc´opios sens´ıveis a raios X est˜ ao em ´orbita localizando quasares. ´ interessante observar que o Sol irradia ondas eletroE magn´eticas em todos os comprimentos de onda, por´em o m´aximo de energia emitida (cor amarela) est´ a justamente dentro da pequena faixa do nosso espectro vis´ıvel. Os cientistas acreditam que a vis˜ao tenha evolu´ıdo durante milh˜ oes de anos de adapta¸co˜es e otimiza¸co˜es, deslocando a nossa capacidade visual em dire¸ca˜o ao ponto ´otimo, pr´oximo ao pico de radia¸ca˜o solar, correspondente `a cor do amarelo. Alguns animais, como o gato e outros predadores de vida noturna, podem perceber visualmente radia¸ca˜o infra-vermelhas, as chamadas radia¸co˜es t´ermicas, e localizam mam´ıferos (de

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Ondas – Aula 4 sangue quente) enxergando-os no escuro, j´ a que emitem ondas [10 cm, 70 cm] t´ermicas, que para n´ os s˜ ao invis´ıveis. e) n. d. a.

6. Um motor el´etrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e provoca um ru´ıdo grave e cont´ınuo, que ´e amplificado pelo mesa Pense um Pouco! onde est´ a fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-se afirmar que: • Quando uma banda de rock toca, observa-se o fenˆ omeno a) a freq¨ uˆencia do ru´ıdo ´e cerca de 30 Hz da interferˆencia? Explique. b) o motor est´ a com os rolamentos gastos ao ´e de boa qualidade • Se a luz difratasse em qualquer condi¸ca˜o, quais fenˆ omenos c) a mesa n˜ d) ´e melhor desligar o motor e chamar a CELESC do nosso cotidiano seriam alterados? e) a mesa come¸car´ a a “andar”por trepida¸ca˜o • Porque n˜ ao conseguimos sintonizar as r´ adios FM atr´ as de morros, e as r´ adios AM sim? Determine o comprimento de onda t´ıpico de cada uma dessas faixas de r´ adio, compare e explique.

Ondas

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Observa-se a interferˆencia de duas ondas quando: a) elas possuem a mesma freq¨ uˆencia b) elas possuem a mesma amplitude c) elas se propagam em sentidos opostos d) elas s˜ ao transversais e) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante

Aula 4

Som Fontes Sonoras

Em geral, ao estudo da produ¸ca˜o (fontes sonoras), propaga¸ca˜o e fenˆ omenos correlatos sofridos pela onda mecˆ anica sonora ou aud´ıvel, denomina-se Ac´ ustica, denominaremos por som `a toda onda mecˆ anica sonora (intensidade suficiente e freq¨ uˆencia li2. S˜ ao fenˆ omenos ondulat´ orios comuns ` a qualquer tipo de mitada num certo intervalo). onda: a) interferˆencia – aniquila¸ca˜o – transporte Som Aud´ıvel b) difra¸ca˜o – amortecimento – in´ercia Se a freq¨ uˆencia da onda sonora pertence ao intervalo de, 16 Hz c) interferˆencia – difra¸ca˜o – reflex˜ ao a 20 kHz, esse som ´e aud´ıvel para o ser humano. d) refra¸ca˜o – dispers˜ ao – simetria e) energia – momento – ressonˆancia 3. Um apito produz um som de freq¨ uˆencia igual a 1.360 Hz no ar, onde as ondas se propagam com velocidade de 340 m/s. Ent˜ ao, o comprimento das ondas geradas ´e: a) 4 m b) 25 m c) 40 cm d) 25 cm e) 0, 25 km

Exerc´ıcios Complementares 4. O ouvido humano normal pode perceber sons de freq¨ uˆencia no intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamada faixa aud´ıvel. Assinale a u ´ nica alternativa correta: a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hz b) o som ´e uma onda mecˆ anica longitudinal c) o som ´e uma onda longitudinal d) o som ´e uma onda eletromagn´etica e) todo som na faixa aud´ıvel se propaga no v´acuo

Ultra-som e Infra-som Ondas longitudinais de freq¨ uˆencias superiores a 20 kHz, caracterizam sons inaud´ıveis para n´ os e denominam-se ultra-sons. Aquelas de freq¨ uˆencias inferiores a 16 Hz, tamb´em inaud´ıveis, s˜ ao ditas infra-sons.

Velocidade de Propaga¸c˜ ao do Som

O som possui velocidades de propaga¸ca˜o definidas para cada meio de propaga¸ca˜o, podendo este ser o ar, ´agua, metais entre 5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual a outros, a velocidade de propaga¸ca˜o do som no ar nas condi¸co˜es 30 cm e 40 cm, um em dire¸ca˜o ao outro. No instante em que normais de temperatura e press˜ ao ´e a mais conhecida de todas: eles se superp˜ oem, pode-se dizer que: a) ocorrer´a interferˆencia destrutiva vsom = 343 m/s = 1234 km/h b) a amplitude observada ser´ a 70 cm c) ocorrer´a interferˆencia destrutiva A velocidade do som foi ultrapassada por um avi˜ ao h´ a muid) a amplitude resultante dever´ a estar no intervalo tos anos atr´ as, quando quebrou-se a chamada “barreira do

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

som”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997, ela foi ultrapassada por um autom´ ovel. Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais: Meio ar hidrogˆenio oxigˆenio agua pura ´ chumbo alum´ınio cobre ferro granito borracha

Temperatura (◦ C) 0 0 0 15 20 20 20 20 0 0

Velocidade (m/s) 331,4 1.286 317,2 1.450 1.230 5.100 3.560 5.130 6.000 54

Pense um Pouco!

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Exerc´ıcios Complementares 4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”est´a relacionado diretamente com o fenˆ omeno ondulat´ orio chamado: a) ressonˆancia b) reflex˜ ao c) difra¸ca˜o d) absor¸ca˜o e) n. d. a. 5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de onda de 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meio onde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento de onda? a) 2/3 m b) 3/2 m c) 1/2 m d) 1/6 m e) n. d. a.

• Porque n˜ ao escutamos o som que os morcegos emitem para 6. Uma certa esp´ecie de morcego utiliza ultra-sons de “enxergar”? 33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu vˆoo noturno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s, • Porque os ´ındios norte-americanos colocavam o ouvido no pode-se afirmar que: ch˜ ao? a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimento b) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimento • Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando algo, c) ele usa ondas com 100 mm de comprimento percebemos que sua imagem n˜ ao est´ a sincronizada com os d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimento sons que ele produz (com as marteladas). Por quˆe? e) n. d. a.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Ao observar uma grande explos˜ ao em uma pedreira, de longe, uma pessoa percebe, nessa ordem: a) a luz - o ru´ıdo - as oscila¸co˜es do ch˜ ao b) o ru´ıdo - a luz - as oscila¸co˜es do ch˜ ao c) as oscila¸co˜es do ch˜ ao - o ru´ıdo - a luz d) as oscila¸co˜es do ch˜ ao - a luz - o ru´ıdo e) a luz - as oscila¸co˜es do ch˜ ao - o ru´ıdo 2. Um m´etodo antigo de se determinar a profundidade de um po¸co fundo e escuro ´e soltar-se uma pedra na sua boca, disparar-se um rel´ ogio (ou cronˆ ometro) e medir-se o intervalo de tempo at´e que se ou¸ca o barulho. Sendo vsom a velocidade do som no ar, h a profundidade do po¸co e g a acelera¸ca˜o da gravidade, o intervalo de tempo medido no rel´ ogio ser´ a: a) ∆t = 2h/v √ som b) ∆t = p2gh + h/vsom c) ∆t = p 2h/g + h/vsom d) ∆t = 2h/g e) n. d. a.

Ondas

Aula 5

Efeito Doppler Qualidades Fisiol´ ogicas do Som A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essa diferen¸cas que nossos ouvidos percebem se devem `as qualidades fisiol´ ogicas do som: altura, intensidade e timbre. Altura

Mesmo sem conhecer m´ usica, ´e f´acil distinguir o som agudo (ou fino) de um violino, do som grave (ou grosso) de um violoncelo. Essa qualidade que permite distinguir um som grave de um som agudo se chama altura. Assim, costuma-se dizer que o som do violino ´e alto e o do violoncelo ´e baixo. A altura de um som depende da freq¨ uˆ encia, isto ´e, do n´ umero de vibra¸ c o ˜ es por segundo. Quanto maior a freq¨ u ˆ e ncia mais 3. Um m´etodo popular para determinar-se a que distˆancia agudo ´ e o som e vice-versa. x, em kilˆometros, caiu um raio ´e, observar-se o relˆ ampago e uˆencia depende do comprimento do corpo medir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar para Por sua vez, a freq¨ que vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tens˜ ao ouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que: (tra¸ca˜o) e mais curta for uma corda de viol˜ ao, por exemplo, a) x ≈ t/2 mais agudo vai ser´ a o som por ela emitido. b) x ≈ t/3 Vocˆe pode constatar tamb´em a diferen¸ca de freq¨ uˆencias usando c) x ≈ t/4 um pente que tenha dentes finos e grossos. Passando os dentes d) x ≈ t/5 do pente na bosta de um cart˜ao vocˆe ouvir´ a dois tipos de som e) n. d. a.

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Ondas – Aula 5 emitidos pelo cart˜ao: o som agudo, produzido pelos dentes finos (maior freq¨ uˆencia), e o som grave, produzido pelos dentes mais grossos (menor freq¨ uˆencia).

Fonte Sonora em repouso

Intensidade ´ a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso) E de um som fraco (suave). A intensidade depende da amplitude de vibra¸ca˜o: quanto maior a amplitude mais forte ´e o som e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de uma onda sonora, com mais intensidade ela ser´ a percebida. Por exemplo, quando o m´edico vai ouvir o cora¸ca˜o de um paciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentar a intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquele famoso aparelho que capta e canaliza o som direto para o seu ouvido. Na pr´atica n˜ ao interessa aos nossos ouvidos diretamente a intensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o n´ıvel sonoro, uma grandeza relacionada ` a intensidade sonora e `a forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade. Essas unidades s˜ ao o bel e o seu subm´ ultiplo o decibel (dB), que vale 1 d´ecimo do bel. O ouvido humano ´e capaz de suportar sons de at´e 120 dB, como num show de rock, por exemplo. O ru´ıdo produzido por um motor de avi˜ ao `a jato a poucos metros do observador produz um som de cerca de 140 dB, e ´e capaz de causar est´ımulos dolorosos ao ouvido humano. A agita¸ca˜o das grandes cidades provocam a chamada polui¸ca˜o sonora composta dos mais variados ru´ıdos: motores e buzinas de autom´ oveis, martelos de ar comprimido, r´ adios, televisores e etc. J´ a foi comprovado que uma exposi¸ca˜o prolongada a n´ıveis maiores que 80 dB pode causar dano permanente ao ouvido. A intensidade de uma onda sonora diminui ` a medida que o som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte, menos intenso ´e o som. Timbre Imagine a seguinte situa¸ca˜o: um ouvinte que n˜ ao entende de m´ usica est´ a numa sala, ao lado da qual existe outra sala onde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoa tocar a nota d´ o no piano e logo a seguir outra pessoa tocar a mesma nota d´ o no violino, ambas com a mesma “for¸ca”, os dois sons ter˜ ao a mesma altura (freq¨ uˆencia) e a mesma intensidade. Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala saber´ a distinguir facilmente um som de outro, porque cada instrumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu timbre. Podemos afirmar, portanto, que timbre ´e a qualidade que nos permite perceber a diferen¸ca entre dois sons de mesma altura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferentes.

Efeito Doppler

Observador em repouso

Figura 1.1: Fonte e observador em repouso: n˜ ao h´ a efeito Doppler. onda, e possui o nome do cientista austr´ıaco Christian Doppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a freq¨ uˆencia com que uma onda ´e percebida depende tamb´em do movimento relativo da fonte sonora e do observador, o que pode ocasionar uma mudan¸ca significativa entre a freq¨ uˆencia emitida e a percebida por um detector ou pessoa. Por exemplo, numa corrida de f´ormula I, quando um carro passa por n´ os, percebe-se claramente que o som passa de agudo (carro se aproximando de n´ os) `a grave (se afastando de n´ os). Qualquer crian¸ca sabe disso, e quando brinca de carrinho imita o famoso som da f´ormula I: “uu´oo´o´o´mmmm”. Eis o efeito Doppler! Observador em Movimento Suponha que uma fonte estacion´ aria est´ a gerando ondas sonoras com freq¨ uˆencia f0 = 240Hz e comprimento de onda ario a uma certa distˆancia λ0 = fv0 . Um observador estacion´ da fonte ouvir´ a um som com freq¨ uˆencia f0 = 240 Hz, e 240 vezes por segundo seu t´ımpano ser´ a empurrado e puxado, para dentro e para fora, `a medida que os m´aximos e m´ınimos da press˜ ao alcan¸cam o ouvido. O per´ıodo de tempo entre dois 1 s. m´aximos consecutivos ´e T = f10 = 240 Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirija no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1 um m´aximo de press˜ ao alcan¸ca o seu ouvido na posi¸ca˜o x. O pr´oximo m´aximo estar´ a na posi¸ca˜o x no tempo t1 + T . Mas, o ouvido n˜ ao estar´ a mais nesta posi¸ca˜o. O observador se moveu. O m´aximo tem que percorrer uma distˆancia extra antes de alcan¸car o ouvido. Esta distˆancia extra toma um tempo extra ∆t. O intervalo de tempo entre m´aximos sucessivos que alcan¸ca o ouvido do observador ´e agora T + ∆t. O per´ıodo aumentou, a freq¨ uˆencia aparente da onda diminui. Este ´e um exemplo do efeito Doppler. Se o observador estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre os m´aximos alcan¸cando o ouvido ser´ a mais curto que T. Suponha que no tempo t1 um m´aximo de press˜ ao alcance o ouvido na posi¸ca˜o x. O pr´oximo m´aximo chegar´a na posi¸ca˜o x no tempo t1 + T . Mas, ele chegar´a ao ouvido antes de ele alcan¸car a posi¸ca˜o x, j´a que o observador se move no sentido da fonte. A freq¨ uˆencia aparente do som que alcan¸ca o observador ´e

Na figura abaixo os an´eis simbolizam os m´aximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emiss˜ oes sucessivas ´e T , o per´ıodo da onda. Quanto maior o c´ırculo, mais tempo faz que a emiss˜ ao foi feita. Todos os c´ırculos expandem com a mesma v + v0 velocidade. Se um observador estiver estacion´ ario, ent˜ ao o f = f0 v intervalo de tempo entre a chegada dos c´ırculos sucessivos ao ouvido ´e T . onde v ´e a velocidade do som, e v0 ´e a componente da veloO efeito Doppler ´e um fenˆ omeno observado com todo o tipo de cidade do observador na dire¸ca˜o da fonte (v0 ´e negativo se o

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

observador estiver se movendo para longe da fonte). Normalmente n˜ ao observamos o efeito Doppler quando nos movemos a p´e, j´a que a velocidade do som ´e muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a 90 km/h = 25 m/s na dire¸ca˜o de uma fonte, temos que f = f0

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Fonte Sonora se afastando do observador

340 + 25 = 1, 07 · f0 340

Movendo-se para longe da fonte d´ a f = f0

340 − 25 = 0, 93 · f0 340

Observador em repouso

Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa ent˜ ao uma va- Figura 1.3: Fonte se afastando do observador em repouso: f < ria¸ca˜o de freq¨ uˆencia da ordem de 0, 14 · f0 , ou seja, de 14%, f0 . uma varia¸ca˜o razo´avel e bem percept´ıvel. S´ o para compara¸ca˜o, as teclas vizinhas de um piano geram sons com aproximadamente 6% de diferen¸ca na freq¨ uˆencia – os chamados intervalos Pense um Pouco! de semi-tom. Um tom completo sendo ent˜ ao de cerca de 12%, • O que um bom violonista faz para produzir sons de difepor exemplo, a distˆancia de d´ o at´e r´e. rentes intensidades, timbres e alturas? Fonte em Movimento A freq¨ uˆencia observada de uma onda sonora tamb´em varia se o observador estiver se movendo. A freq¨ uˆencia aparente neste caso ´e dada por f = f0

• Se as ondas sonoras se propagam no ar, ent˜ ao o vento pode carreg´a-las e distorcˆe-las? Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

v v − vs

1. Um trem apita com freq¨ uˆencia de 400 Hz. Vocˆe ´e um observador estacion´ ario e ouve o apito, mas o ouve com freq¨ uˆencia onde vs ´e a componente da velocidade da fonte na dire¸ca˜o do de 440 Hz. observador (vs ´e negativo se a fonte se mover para longe do a) Qual ´e a velocidade do trem? observador). b) Ele se aproxima ou se afasta de vocˆe? Nesta figura a fonte est´ a se movendo para o observador. O c) Qual a varia¸ca˜o percentual no comprimento de onda que centro de cada c´ırculo est´ a na posi¸ca˜o da fonte no momento vocˆe percebe, em rela¸ca˜o ao som emitido pelo trem? em que ela emite o m´aximo. Como a fonte est´ a se movendo para a direita, o centro dos c´ırculos sucessivos move-se para 2. O efeito Doppler est´ a relacionado com: a direita. Se o observador estiver parado, ent˜ ao o intervalo a) a intensidade do som de tempo entre a chegada dos c´ırculos sucessivos ao ouvido ´e b) a altera¸ca˜o da freq¨ uˆencia do som menor do que T , e portanto, ele percebe f > f0 . c) o n´ıvel sonoro d) o timbre do som e) n. d. a. Fonte Sonora se aproximando do observador

Observador em repouso

Figura 1.2: Fonte se aproximando do observador em repouso: f > f0 . Nesta figura a fonte est´ a movendo-se para longe do observador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos c´ırculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador est´ a estacion´ ario, ent˜ ao o intervalo de tempo ente a chegada dos c´ırculos sucessivos ´e maior do que T , ou seja, f T0

V = V0 (1 + γ∆T )

∆L

Os l´ıquidos s´ o podem ser estudados dentro de recipientes ´ pois, imposs´ıvel estudar dilata¸ca˜o dos l´ıquidos sem olidos. E Verifica-se experimentalmente que ∆L ´e proporcional ao com- s´ primento inicial L0 e a varia¸ca˜o de temperatura ∆T , podendo considerar a dilata¸ca˜o dos recipientes que os cont´em. Isso implica dois tipos de dilata¸ca˜o para um l´ıquido; uma dilata¸ca ˜o se expressar essa rela¸ca˜o por: real, que depende apenas do l´ıquido, e a outra aparente, que ∆L = αL0 ∆T leva em conta a dilata¸ca˜o do frasco que o cont´em. Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de um em que α ´e um coeficiente de proporcionalidade caracter´ıstico l´ıquido, numa temperatura inicial T0 . Ao levarmos o condo material que constitui a barra, chamado de coeficiente dijunto (l´ıquido mais frasco) para uma temperatura final T , com lata¸ca ˜o linear. T > T0 , notamos que ocorre um extravasamento parcial do Assim, o comprimento final da barra ser´ a l´ıquido. O volume extravasado fornece a dilata¸ca˜o aparente ∆Vap. do l´ıquido, pois como o frasco tamb´em dilatou, o voL = L0 + ∆L = L0 (1 + α∆T ) lume que esta no interior do frasco no final ´e maior que no in´ıcio. Portanto a dilata¸ca˜o real do l´ıquido ´e a soma da sua Dilata¸c˜ ao Superficial e Volum´ etrica dilata¸ca˜o aparente e a do frasco: Para essas dilata¸co˜es, valem considera¸co˜es an´ alogas `as vistas na dilata¸ca˜o linear, ou seja:

∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vf rasco como ∆V = V0 γ∆T ent˜ ao

∆A = βA0 ∆T

V0 γr ∆T = V0 γa ∆T + V0 γf ∆T

e ∆V = γV0 ∆T

logo

onde β ´e o coeficiente de dilata¸ca ˜o superficial e γ ´e o coeficiente de dilata¸ca ˜o volum´etrica. ∆L

γr = γa + γf Ent˜ ao, devemos observar que a dilata¸ca˜o do l´ıquido compensou a dilata¸ca˜o do frasco e ainda nos forneceu a dilata¸ca˜o aparente.

L0

´ Dilata¸ c˜ ao Anˆ omala da Agua

antes de aquecer 2

A0=L0 e depois

A ´agua possui um comportamento anˆ omalo em sua dilata¸ca˜o. ◦ A 4 C o volume da ´ a gua ´ e m´ ınimo e a sua densidade ´e A = L = A + ∆A 2 2 m´ a xima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das pontes de A = L + 2L ∆L + (∆L) ◦ hidrogˆ e nio, abaixo de 4 C, quando as mol´ e culas de H2 O L e como come¸ c am a se reorganizar para a forma¸ c a ˜ o dos cristais de gelo, ∆ L = α L ∆T temos que onde ir˜ ao ocupar um volume maior do que no estado l´ıquido. 2 2 2 2 2 A = L + 2α L ∆T +α L (∆ T) Esse comportamento da ´agua explica por que num lago, e finalmente quando a temperatura cai a valores extremamente baixos, a 2 2 2 A = L [1 + 2 α ∆ T + α (∆ T) ] ´agua se solidifica apenas na superf´ıcie. Isto ocorre porque at´e 4 ◦ C, no resfriamento, a ´agua da superf´ıcie torna-se mais densa A = A (1 + 2 α∆ T) e ∆ A = A 2α∆ T e afunda, subindo a ´agua mais quente do fundo que ´e menos ∆L densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de 4 ◦ C, a ´agua da superf´ıcie se expande, diminuindo a sua densidade, assim essa ´agua fria n˜ ao desce mais e ao atingir 0 ◦ C se solidifica. ◦ Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podem ser No fundo fica ´agua mais quente, numa temperatura de 4 C. ´ escritos em fun¸ca˜o do coeficiente de dilata¸ca˜o linear α como: E isto que preserva a vida animal e vegetal existente no fundo do lago. β = 2α e γ = 3α 2

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Dilata¸c˜ ao dos l´ıquidos A dilata¸ca˜o t´ermica de um l´ıquido corresponde ao aumento ou a diminui¸ca˜o de volume desse l´ıquido quando este ´e aquecido ou resfriado. Ao estudar a dilata¸ca˜o dos l´ıquidos, j´a que n˜ ao possuem forma pr´opria, n˜ ao se definem comprimento e ´area

Pense um Pouco! • Os m´ usicos geralmente deixam para afinar seus instrumentos no local da apresenta¸ca˜o, a diferen¸ca de temperatura entre o ambiente que est˜ ao , e o local do show, podem desafinar seus instrumentos?

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Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

a) 6 × 10−5 b) 5 × 10−5 c) 4 × 10−5 1. (Fuvest) Caf´e fervente ´e despejado em um copo de vidro. d) 3 × 10−5 O corpo parte-se. Uma poss´ıvel explica¸ca˜o seria: e) 2 × 10−5 a) A dilata¸ca˜o das v´arias partes do copo n˜ ao ´e uniforme. b) O ponto de fus˜ao do vidro ´e pr´oximo ao de ebuli¸ca˜o do caf´e. c) Sendo o vidro transparente, o calor passa atrav´es dele com facilidade d) A capacidade T´ermica do vidro ´e menor que a do caf´e e) O calor espec´ıfico do vidro ´e menor que o do caf´e

Termodinˆ amica

2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento de temperatura de 10 ◦ C. O coeficiente de dilata¸ca˜o linear do cobre ´e 17 × 10−6 ◦ C −1 . A varia¸ca˜o do comprimento foi de: a) 17 mm b) 17 m c) 100, 17 m d) 17 cm e) 1, 7 m

Aula 3

Transforma¸c˜ oes Gasosas Considera¸c˜ oes iniciais

G´as Perfeito (ou ideal) ´e um modelo te´orico de g´ as que obedece, em seu comportamento, as leis estabelecida por Robert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e Paul Emile Clapeyron. 3. (UNITAU) Um orif´ıcio numa panela de ferro, a 0 ◦ C tem Um G´as real tem seu comportamento tanto mais pr´oximo do 5 cm2 de ´area. Se o coeficiente de dilata¸ca˜o linear do ferro ´e ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto mais ao. de 1, 2 × 10−5 ◦ C −1 , a ´ area desse orif´ıcio a 300 ◦ C ser´ a, em baixa for sua press˜ cm2 : a) 5,018 Vari´ aveis de estado de um g´ as b) 10,072 Algumas grandezas que definem e caracterizam o estado terc) 4,964 modinˆ amico de uma dada massa de g´ as s˜ ao chamadas vari´ aveis d) 10,036 de estado. S˜ ao por exemplo, a temperatura, a press˜ ao, o voe) 5,036 lume, a energia interna, etc. Destas, as que nos interessam, por enquanto, s˜ ao a temperatura, a press˜ ao e o volume.

Exerc´ıcios Complementares Volume (V ) 4. (UNESP-SP) A dilata¸ca˜o t´ermica dos s´ olidos ´e um fenˆ omeno importante em diversas aplica¸co˜es de engenharia, como constru¸co˜es de pontes, pr´edios e estradas de ferro. Considere o caso dos trilhos de trem serem de a¸co, cujo coeficiente de dilata¸ca˜o ´e 11 × 10−6 ◦ C −1 . Se a 10 ◦ C o comprimento de um trilho ´e de 30 m, de quanto aumentaria o seu comprimento se a temperatura aumentasse para 40 ◦ C? a) 11 × 10−4 m b) 33 × 10−4 m c) 99 × 10−4 m d) 132 × 10−4 m e) 165 × 10−4 m

Os gases n˜ ao tem volume nem forma pr´oprios. Por defini¸ca˜o, volume de um g´ as ´e o volume do recipiente ocupado por ele. As unidades usuais de volume s˜ ao: L (litro), cm3 e m3 .

Press˜ ao (P )

A press˜ ao exercida por um g´ as ´e devida aos choques das suas part´ıculas contra as paredes do recipiente. As unidades usuais de press˜ ao s˜ ao: N/m2 , P a, atm e mmHg, onde valem as seguintes rela¸co˜es: 1 N/m2 = 1 P a 1 atm = 105 N/m2 5. (UFLA-MG) O tanque de combust´ıvel de um carro de 1 atm = 760 mmHg f´ormula 1 tem capacidade de 120 litros e s˜ ao colocados 100 litros de combust´ıvel a 5, 0 ◦ C. Considerando o coeficiente de dilata¸ca˜o volum´etrica do combust´ıvel 1, 2 × 10−3 ◦ C −1 e Temperatura (T ) a varia¸ca˜o de volume do tanque desprez´ıvel, ent˜ ao a 45 ◦ C o Mede o estado de movimento das part´ıculas do g´ as. Na teoria volume colocado ter´ a um acr´escimo, em litros, de: dos gases perfeitos, ´ e usada a temperatura absoluta (escala a) 4,8 litros Kelvin). b) 3,6 litros c) 2,4 litros d) 1,2 litros Transforma¸c˜ oes de um G´ as e) 20,0 litros

6. (MACKENZIE) Uma barra met´ alica, ao variar sua temperatura em 80 ◦ C, sofre um aumento de comprimento de 0,16%. O coeficiente de dilata¸ca˜o volum´etrica do material dessa barra ´e, em ◦ C −1 :

Dizemos que uma dada massa de g´ as sofre uma transforma¸ca˜o quando h´ a varia¸ca˜o de pelo menos uma de suas vari´ aveis de estado. Entre as transforma¸co˜es de um g´ as, devemos destacar as seguintes:

ˆmica – Aula 3 Termodina

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• Isot´ ermicas: s˜ ao as que ocorrem a temperatura cons- Quando a press˜ ao p ´e dada em atm, o volume V ´e dado em tante; litros (L), o n´ umero de moles n ´e dado em mol, a temperatura T ´e dada em kelvin, a constante R ser´ a dada por: • Isob´ aricas: s˜ ao as que ocorrem a press˜ ao constante; R = 0, 0831 atm · L/mol · K • Isom´ etricas (ou Isoc´ oricas): s˜ ao as que ocorrem a volume constante. j´a que a unidade de energia • Adiab´ aticas: s˜ ao as que ocorrem sem troca de calor com o meio externo.

atm · L = (105 N/m2 ) × (10−3 m3 = 100 J , ou seja,

Leis dos Gases As leis f´ısicas dos gases s˜ ao leis de car´ ater experimental que regem as principais transforma¸co˜es gasosas.

Lei de Boyle e Mariotte

1 J = 0, 01 atm · L

Pense um Pouco! • Por que n˜ ao devemos incineram latas de spray vazias? • Por quem um bal˜ ao de g´ as abandonado explode ao subir na atmosfera?

Rege as transforma¸co˜es Isot´ermicas e pode ser enunciada assim: “Quando uma dada massa de g´ as perfeito ´e mantida a tem- Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao peratura constante, a press˜ ao ´e inversamente proporcional ao volume” 1. (UFU-MG) Uma panela de press˜ ao de volume 8, 3 litros ou seja, ´e dotada de uma v´alvula de seguran¸ca, cuja abertura ocorre pV = constante quando a press˜ ao interna ultrapassa 20 atm. Se no recipiente existem 5, 0 mol de um g´ as perfeito, qual a m´axima tempeLei de Gay -Lussac ratura poss´ıvel, em graus Celsius, para que o g´ as n˜ ao escape pela v´alvula? Rege as transforma¸co˜es Isob´ aricas e pode ser enunciada assim: a) 200 “Quando uma dada massa de g´ as perfeito ´e mantida a press˜ ao b) 300 constante, o volume ´e diretamente proporcional a temperatura c) 400 absoluta” d) 500 e) 600 ou seja, V = constante × T 2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massa de g´ as perfeito a temperatura de 27 ◦ C para outro recipiente de volume 20% maior. Para que a press˜ ao do g´ as nesse novo Lei de Charles recipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecer o Rege as transforma¸co˜es Isom´etricas e pode ser enunciada as- g´ as de: sim: a) 60 ◦ C “Quando uma dada massa de g´ as perfeito ´e mantida a volume b) 50 ◦ C constante, a press˜ ao ´e diretamente proporcional a temperatura c) 40 ◦ C absoluta” d) 30 ◦ C e) 20 ◦ C ou seja, p = constante × T 3. (USC-BA) Certa massa de uma g´ as ocupa o volume de

Equa¸ c˜ ao de Clapeyron Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos que a press˜ ao exercida por um g´ as perfeito ´e inversamente proporcional ao seu volume e diretamente proporcional a sua tempe´ f´acil observar tamb´em que essa press˜ ratura absoluta. E ao ´e proporcional ao n´ umero de part´ıculas de g´ as existente no recipiente. Convertendo esse n´ umero de part´ıculas em n´ umero de moles (n) , podemos equacionar tudo isso, obtendo a seguinte rela¸ca˜o: pV = nRT

100 L sob press˜ ao de 3, 0 atm e temperatura de 27 ◦ C. A constante universal dos gases perfeitos vale R = 0, 0831 atm · L/mol · ◦ C. A massa do g´ as, sabendo que a sua mol´ecula grama ´e de 27, 7 g, ´e: a) 111, 1 g b) 222, 2 g c) 333, 3 g d) 444, 4 g e) 555, 5 g

Exerc´ıcios Complementares

onde R ´e uma constante de proporcionalidade, igual para todos os gases, denominada constante universal dos gases perfeitos e 4. (CESGRANRIO) No SI, a constante universal dos gases no SI temos perfeitos ´e expressa em: R = 8, 31 J/mol · K a) (l · atm)/(K · mol)

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

b) cal/(g · ◦ C) c) J/(kg · K) d) J/(mol · K) e) J/kg 5. (FUVEST) Certa massa de um g´ as ideal sofre uma transforma¸ca˜o na qual a sua press˜ ao ´e triplicada e seu volume ´e reduzido a metade. A temperatura absoluta final do g´ as ser´ a: a) 1/3 do seu valor inicial b) 2/3 do seu valor inicial c) 3/2 do seu valor inicial d) 2 vezes o seu valor inicial e) 3 do seu valor inicial

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e para o N H3 : 3N ´atomos de H. A experiˆencia confirma este resultado pois, enquanto se recolhe uma massa m de hidrogˆenio na decomposi¸ca˜o do HCl, verificase que uma massa 2m ´e recolhida na decomposi¸ca˜o do H2 O e uma massa 3m na decomposi¸ca˜o do N H3 .

O N´ umero de Avogrado (NA )

Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medir qual ´e o n´ umero de mol´eculas que existe em uma dada massa do g´ as. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de v´arios gases diferentes (2 g de H2 , 32 g de O2 , 28 g de N2 , etc...). De seus conhecimentos de qu´ımica, vocˆe j´a deve saber que o n´ umero 6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um g´ as perfeito est´ a de mol´eculas, em cada uma dessas amostras, ´e o mesmo. Este num recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o g´ as se encontra n´ umero ´e denominado N´ umero de Avogrado e ´e representado numa temperatura de 127 ◦ C, podemos afirmar que a press˜ ao por N . A a que o g´ as est´ a submetido ser´ a aproximadamente : O cientista Perrin, no in´ıcio do s´eculo, realizou uma s´erie de exa) 40 atm periˆencias, procurando determinar o valor de NA , concluindo b) 12 atm que este valor estaria compreendido entre 6, 5×1023 e 7, 2×1023 c) 18 atm mol´eculas em cada mol. Por esta medida, Perrin recebeu o d) 20 atm Prˆemio Nobel de F´ısica, em 1926. Posteriormente, medidas e) 24 atm mais precisas mostraram que o valor NA ´e mais pr´oximo de

Termodinˆ amica

Aula 4

NA = 6, 02 × 1023 mol´eculas/mol

Densidade e Massa Molecular Lei de Avogrado At´e o in´ıcio do s´eculo passado, os cientistas j´ a haviam adquirido uma razo´avel quantidade de informa¸co˜es sobre as rea¸co˜es qu´ımicas observadas entre gases. O cientista italiano Amedeo Avogrado, baseando-se nestas informa¸co˜es e em resultados de experiˆencias realizadas por ele pr´oprio, formulou em 1811 uma hip´otese muito importante, relacionando o n´ umero de mol´eculas existentes em duas amostras gasosas. Segundo Avogrado, se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume, contendo gases diferentes, ambos a mesma temperatura e press˜ ao, o n´ umero de mol´ eculas contidas em cada recipiente deveria ser o mesmo. Posteriormente, um grande n´ umero de confirma¸co˜es experimentais desta afirmativa fizeram com que ela passasse a ser conhecida como a lei de Avogrado: Volumes iguais, de gases diferentes, ` a mesma temperatura e press˜ ao, contem o mesmo n´ umero de mol´ eculas.

Confirma¸c˜ oes Experimentais A lei de Avogrado ´e amplamente confirmada pela experiˆencia. Uma das verifica¸co˜es desta lei pode ser feita quando analisamos, no laborat´orio, a decomposi¸ca˜o de alguns gases. Tomemos, por exemplo, volumes iguais de HCl, H2 O e N H3 , sob a forma gasosa, a mesma press˜ ao e temperatura. De acordo com a Lei de Avogrado, as trˆes amostras dos gases considerados devem Ter o mesmo n´ umero N de mol´eculas. Decompondo estes gases e recolhendo o hidrogˆenio liberado em cada amostra, dever´ıamos, ent˜ ao, obter: Para o HCl: N ´atomos de H para o H2 O: 2N ´atomos de H

Define-se a densidade ρ volum’etrica de uma amostra de volume V e massa m de qualquer substˆancia homogˆenea como ρ=

m V

e a unidade SI da densidade ´e o kg/m3 . Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupando o mesmo volume, a mesma press˜ ao e temperatura. Pela lei de Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmo n´ umero de mol´eculas. Supondo que a massa molecular de A, MA , seja o dobro da massa molecular de B, MB , evidentemente a massa da amostra A, mA , tamb´em ser´ a o dobro da massa sa amostra B, mB . Mas, como as amostras tem volumes iguais, concluimos que a densidade de A, ρA , ser´ a o dobro da densidade de B, ρB . Do mesmo modo, se tiv´essemos MA = 3MB , ter´ıamos, tamb´em, ρA = 3ρB . Ent˜ ao, podemos concluir que MA ρA = ρB MB isto ´e, a densidade de um g´ as ´e diretamente proporcional a sua massa molecular.

Pense um Pouco! • Escreva o n´ umero de avogadro por extenso, com os seus 23 zeros, e observe como ele ´e enorme! • Quando um g´ as ´e comprimido, o que aontece com a sua densidade? • O que aconteceria com a hip´otese de Avogrado em condi¸co˜es que n˜ ao fossem as CNTP?

ˆmica – Aula 5 Termodina

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Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

b) 6, 02 × 1023 mol´eculas c) 2, 0 × 1024 mol´eculas d) 3, 0 × 1024 mol´eculas 1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mesmas e) 4, 0 × 1024 mol´eculas condi¸co˜es de temperatura e press˜ ao, 3 volumes de hidrogˆenio reagem com um volume de ozˆonio, produzindo 3 volumes de vapor de ´agua. Essa informa¸ca˜o nos permite deduzir - a partir da Lei de Avogrado - que o n´ umero de ´ atomos na mol´ecula de ozˆonio ´e igual a: a) 2 b) 3 c) 4 Modelo Molecular de um G´ as d) 5 e) 6 As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram ob2. (UCS-BA) Sob as mesmas condi¸co˜es de temperatura e tidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar estas press˜ ao, o volume de qualquer g´ as ´e diretamente proporcional leis com o comportamento das part´ıculas que constituem o g´as, ao seu n´ umero de mol´eculas. Essa ´e uma forma de enunciar a isto ´e, seus ´atomos ou suas mol´eculas. Os cientistas intensiLei de: ficaram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases, a) Avogrado baseando-se nas seguintes suposi¸co˜es: b) Gay-Lussac c) Lavoisier 1. um g´ as ´e constituido de pequenas part´ıculas, ´atomos ou d) Faraday mol´eculas; e) Einstein 2. o n´ umero de mol´eculas existentes em uma dada massa 3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um g´ as pergasosa ´e muito grande; feito a temperatura de 17 ◦ C e press˜ ao de 50 P a. Dado 3. a distˆancia m´edia entre as mol´eculas ´e muito maior do que R = 8, 31 J/mol · K, podemos afirmar que o n´ umero de as dimens˜oes de uma mol´ecula; mol´eculas nesse recipiente ´e de: 7 a) 2, 7 × 10 mol´eculas 4. as mol´eculas de um g´ as est˜ ao em constante movimento, b) 3, 7 × 107 mol´eculas e este movimento ´ e inteitamente ao acaso, isto ´e as c) 5, 0 × 107 mol´eculas mol´ e culas se movimentam em qualquer dire¸ca˜o. d) 2, 7 × 1018 mol´eculas e) n.d.a. Ao estabelecerem estas hip´oteses, os cientistas estavam ten-

Termodinˆ amica

Aula 5

tando descrever o comportamento de um g´ as atrav´es do movimento de suas mol´eculas, isto ´e, estavam supondo que as Exerc´ıcios Complementares leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mecˆanica ao movimento das mol´eculas, tratando-as como se 4. (FUVEST) A 25 ◦ C e 1 atm, o volume de 1 mol de ´atomos fossem part´ıculas. Desta maneira, os cientistas estruturaram as. de n´ıquel (massa atˆomica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3) ´e aproxi- um modelo para descrever o comportamento de um g´ Este modelo ´e denominado modelo cin´ etico em virtude de madamente igual a: se basear no movimento das mol´eculas do g´ as. a) 33 cm3 b) 26 cm3 c) 20 cm3 C´ alculo Cin´ etico da Press˜ ao (p) d) 6, 6 cm3 3 e) 13 cm Como vimos, no modelo cin´etico de um g´ as, o n´ umero de 5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para ”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de ´ agua, o outro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou o n´ umero de mol´eculas ingerida pelo seu colega, que foi de: a) 1, 2 × 1025 mol´eculas b) 2, 2 × 1025 mol´eculas c) 3, 2 × 1025 mol´eculas d) 4, 2 × 1025 mol´eculas e) 5, 2 × 1025 mol´eculas 6. (UFES) Trˆes recipientes, A, B e C, de volumes iguais, contˆem respectivamente, HCl, H2 O e N H3 , todos no estado gasoso, a mesma press˜ ao e temperatura. Suponha que o recipiente A contenha 1, 0 × 1024 mol´eculas de HCl. Podemos afirmar que o n´ umero de mol´eculas de vapor de H2 O existentes no recipiente B ´e: a) 1, 0 × 1024 mol´eculas

mol´eculas ´e muito grande e elas est˜ ao em constante movimento. Em conseq¨ uˆencia disto, as mol´eculas colidem continuamente contra as paredes do recipiente que cont´em o g´ as, exercendo uma press˜ ao nessas paredes. Como o n´ umero de colis˜ oes ´e muito grande, n˜ ao se percebe o efeito do choque de cada part´ıcula. O que se observa ´e o efeito m´edio da frequente sucess˜ao de colis˜ oes, que ocasiona o aparecimento de uma for¸ca cont´ınua, sem flutua¸co˜es, pressionando as paredes do recipiente. Portanto, a press˜ ao que um g´ as exerce sobre as paredes do recipiente que o cont´em ´e devida as incessantes e cont´ınuas colis˜ oes das mol´eculas do g´ as contra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecˆ anica as colis˜ oes das mol´eculas contra as paredes do recipiente, os f´ısicos do s´eculo passado obtiveram uma express˜ ao matem´atica, relacionando a press˜ ao exercida por um g´ as com as seguintes grandezas: N - n´ umero de mol´eculas do recipiente V - volume do recipiente

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

m - massa de cada mol´ecula v 2 - m´edia dos quadrados das velocidades das mol´eculas A express˜ ao a que chegaram foi a seguinte: p=

1 (N/V )mv 2 3

Analisando esta express˜ ao vemos que:

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Observe que o primeiro membro desta express˜ ao representa a energia cin´ etica m´ edia das mol´eculas. Esta energia cin´etica m´edia ser´ a representada por EC . O quociente R/NA que aparece no segundo membro, ´e constante, pois, como j´a sabemos, tanto R quanto NA s˜ ao constantes. Este quociente ´e muito importante, ´e representado por kB e ´e a famosa constante de Boltzmann:

kB = 1, 38 × 10−23 J/K • p ∝ N : este resultado ´e intuitivo pois, quanto maior for o n´ umero total de mol´eculas, maior ser´ a o n´ umero de coao: lis˜oes contra as paredes e, portanto, maior ser´ a a press˜ ao Desta maneira, chegamos a seguinte express˜ exercida pelo g´ as; 3 EC = kB T • p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior ser´ a 2 a distˆancia que uma mol´ecula ter´ a que percorrer para colidir contra as paredes e, consequentemente, menor ser´ a o que mostra ser a energia cin´etica m´edia das mol´eculas de um as diretamente proporcional a sua temperatura absoluta, isto n´ umero de colis˜ oes, isto ´e, menor ser´ a a press˜ ao exercida g´ ´ e , quanto maior for a energia cin´etica m´edia das mol´eculas, pelo g´ as; maior ser´ a a temperatura do g´ as. Destacamos, ent˜ ao que: a • p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior for temperatura absoluta, T de um g´ as est´ a relacionada com a a massa de um mol´ecula, maior ser´ a a sua quantidade de energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas. movimento (~q = m~v ) e assim, maior ser´ a a for¸ca que ela Em uma amostra, podemos dizer que a u ´ nica energia exitente exerce ao colidir contra a parede do recipiente; ´e a energia de cada part´ıcula, sendo N o n´ umero de part´ıculas, a energia mecˆ a nica total da amostra ´ e E = N EC . Essa ener2 2 • p ∝ v : realmente, quanto maior for v , mais rapidagia mecˆ a nica total ´ e por defini¸ c a ˜ o a energia interna Eint. ´ mente as mol´eculas estar˜ ao se movimentando. E f´acil perda amostra. Logo, substituindo essa rela¸ c a ˜ o na express˜ ao da ceber que, nestas condi¸co˜es, maior ser´ a a for¸ca que cada energia cin´ e tica temos: mol´ecula exercer´ a ao colidir contra a parede e, al´em disso, maior ser´ a o n´ umero de colis˜ oes.

Interpreta¸c˜ ao Cin´ etica da Temperatura (T ) Como j´ a mencionamos em outra ocasi˜ ao, a temperatura de um corpo se relaciona com a energia de agita¸ca˜o dos ´atomos e mol´eculas deste corpo. Mostraremos agora como os f´ısicos do s´eculo passado, baseados no modelo cin´etico de um g´ as, chegaram a esta conclus˜ao. A express˜ ao p = N mv 2 /3V , que havia sido obtida baseando-se no modelo cin´etico, pode ser escrita como pV =

N mv 2 3

Comparando-a com a equa¸ca˜o de estado de um g´ as ideal, pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que N mv 2 = nRT 3

3 Eint. = N kB T 2 ou, como N = nNA e kB = R/NA , temos Eint. =

3 nRT 2

Pense um Pouco! • Quando um g´ as absorve calor e seu volume ´e mantido fixo, para onde vai a energia ganha? Explique. • Se um g´ as num pist˜ao isolado se expande e realiza um trabalho mecˆ anico, o que acontece com sua temperatura? Explique.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Mas sendo NA (o n´ umero de Avogrado) o n´ umero de mol´eculas ◦ que existe em 1 mol e sendo n o n´ umero de moles que corres- 1. (ACAFE) Um recipiente cont´em H2 a 27 C. Podemos afirmar que a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas ´e: ponde a N mol´eculas, ´e claro que a) 2, 2 × 10−21 J b) 3, 2 × 10−21 J N = nNA c) 6, 2 × 10−21 J e com este valor de N na igualdade anterior, vir´ a d) 7, 1 × 10−21 J e) n.d.a nNA mv 2 = nRT 3 2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de h´elio a 17 ◦ C. Adimtindo que nessas condi¸co˜es o h´elio se comporta como um ou, simplificando e reescrevendo g´ as ideal, a energia mecˆ anica (interna) do sistema ´e dada por: a) 6, 2 × 103 J mv 2 = 3(R/NA )T b) 7, 2 × 103 J e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos c) 2, 4 × 103 J d) 2, 2 × 103 J 3 1 2 mv = (R/NA )T e) 1, 5 × 103 J 2 2

ˆmica – Aula 6 Termodina

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3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma temperatura de 36 ◦ C, podemos afirmar que a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas ´e de: a) 6, 4 × 10−21 J b) 1, 2 × 10−21 J c) 2, 5 × 10−21 J d) 4, 3 × 10−21 J e) 5, 3 × 10−21 J

A o

200 C

B 20 o C

Como os blocos est˜ ao em um sistema isolado, s´ o trocam energia entre si. Exerc´ıcios Complementares A lei Zero da Termodinˆ amica garante que, com o decorrer do tempo, a temperatura do bloco A (mais quente) diminui en4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um g´ as quanto a temperatura do bloco B (mais frio) aumenta, at´e que ambos atinjam a mesma temperatura no equil´ıbrio t´ermico. ´e correto afirmar que: Como o sistema ´e isolado, pode-se explicar esse fenˆ omeno a) a velocidade de suas mol´eculas permanece constante admitindo-se que parte da energia interna do bloco A foi transb) a velocidade de suas mol´eculas aumenta ferida para o bloco B. A essa energia transferida de um c) a velocidade de suas mol´eculas diminui corpo para o outro, devida apenas a diferen¸ c a de temperatura d) nada podemos afirmar a respeito da velocidade entre eles, chamamos calor ou energia t´ ermica. Portanto: e) a energia cin´etica das mol´eculas diminui CALOR ´ e energia t´ ermica em trˆ ansito entre dois corpos a diferentes temperaturas. 5. (UFCE) Um recipiente A cont´em 5 mol de H2 a 32 ◦ C, e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 ` a mesma temperatura. Podemos afirmar que: Unidade SI a) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas ´e a mesma nos dois A unidade SI com que se mede o calor ´e o joule ou J. Usurecipientes almente mede-se o calor em calorias ou cal, e sabe-se que o b) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e equivalente mecˆ anico do calor ´e maior do que as do recipiente B c) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e 1 cal = 4, 186 J menor do que as do recipiente B d) depende do tamanho dos recipientes e) n˜ ao ´e possivel determinar nada a respeito das energias Temperatura × Calor cin´eticas das mol´eculas O conceito de calor tem uma simplicidade enganosa, a distin¸ca˜o entre os conceitos de calor e temperatura foi um pro6. (UEM-PR) As mol´eculas de um certo g´ as possuem uma cesso historicamente demorado. Podemos definir que: −23 energia cin´etica m´edia de 20, 7 × 10 J, podemos afirmar TEMPERATURA ´ e a grandeza que mede o grau de ◦ que a temperatura em C desse g´ as: agita¸ c ˜ a o das mol´ e culas de um corpo. a) ´e 243 A temperatura ´e uma grandeza que caracteriza um corpo em b) est´ a acima de 243 equil´ıbrio t´ermico, o calor n˜ ao. Por exemplo, n˜ ao ´e correto se c) ´e 200 dizer “um corpo cont´ema calor”. d) ´e zero e) est´ a abaixo de −243

Trˆ ansmiss˜ ao de Calor

Termodinˆ amica

Aula 6

Existem trˆes processos de transferˆencia de calor: condu¸ca˜o, convec¸ca˜o e radia¸ca˜o Condu¸ c˜ ao

Calor e Temperatura A Lei Zero da Termodinˆ amica Vamos supor que, num sistema isolado (que n˜ ao perde nem ganha energia em rela¸ca˜o ao meio exterior) foram colocados dois blocos. Um bloco A a uma temperatura de 200 ◦ C, e um bloco B, a temperatura de 20 ◦ C, como est´ a representado na figura:

Suponha que uma pessoa esteja segurando uma das extremidades de uma barra met´ alica e que a outra extremidade seja colocada em contato com uma chama. Os ´atomos ou mol´eculas desta extremidade, aquecida pela chama, adquirem uma maior energia cin´etica (de agita¸ca˜o). Parte dessa energia ´e transferida para as part´ıculas da regi˜ao vizinha a esta extremidade e, ent˜ ao, a temperatura desta regi˜ao tamb´em aumenta. Este processo continua ao longo da barra, ap´ os um certo tempo, a pessoa que segura a outra extremidade perceber´a uma eleva¸ca˜o de temperatura neste local. Podemos observar que houve um processo de transmiss˜ao de calor ao qual denominamos condu¸ c˜ ao. Na condu¸ca˜o, o calor ´e conduzido

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

atrav´es de um meio mecˆ anico. No exemplo dado, utilizou-se como meio de condu¸ca˜o uma barra de metal. Lei da Condu¸ c˜ ao T´ ermica Considere dois ambientes a temperaturas T1 e T2 tais que T1 > T2 , separados por uma parede de ´ area A e espessura L.

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Na verdade o que chamamos de luz s˜ ao as radia¸co˜es que nossos olhos podem ver. Existem atualmente cˆ amara fotogr´ aficas que registram a ”luz”do calor, tornando evidente a limita¸ca˜o ´ da nossa vis˜ao e tamb´em da nosso conceito de luz e calor. E por isso que muitos aquecedores de ambiente tˆem a forma de espelhos curvos e as garrafas t´ermicas s˜ ao espelhadas internamente, para refletir essa luz de calor.

Pense um Pouco! Fluxo Térmico A

T1

T2 L

Depois de atingir o regime estacion´ ario, o fluxo de calor H (quantidade de calor que atravessa uma superf´ıcie por unidade de tempo) depende da ´ area A da parede, da espessura L, da diferen¸ca de temperatura ∆T = T 1 − T 2 e do material que constitui a parede. Segundo a lei de Fourier: H=

T1 − T2 Q = kA t L

• Por que o congelador das geladeiras fica na parte superior? • As correntes ascendentes utilizadas pelos balonistas ´e um exemplo de transmiss˜ao de calor? Qual? • Se colocarmos gelo e garrafas de refrigerante numa caixa de isopor, quais as formas de transmiss˜ao de calor ser˜ ao observadas at´e que o sistema atinja o equil´ıbrio t´ermico? • No caso anterior, a lei Zero da Termodinˆamica garante que o refrigerante ir´ a gelar? Comente.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. (UFRS) A seguir s˜ ao feitas trˆes afirma¸co˜es sobre processos termodinˆamicos envolvendo transferˆencia de energia de um corpo para outro. I. A radia¸ca˜o ´e um processo de transferˆencia de energia que n˜ ao ocorre se os corpos estiverem no v´acuo. II. A convec¸ca˜o ´e um processo de transferˆencia de energia que ocorre em meios fluidos. III. A condu¸ca˜o ´e um processo de transferˆencia de energia que n˜ ao ocorre se os corpos estiverem a mesma temperatura. S˜ ao afirmativas corretas: a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III Convec¸ c˜ ao d) Apenas I e II A convec¸ca˜o ´e um processo de transmiss˜ao de calor que ocorre e) Apenas II e III apenas em fluidos. O calor ´e transferido de uma regi˜ao para 2. (PUC-MG) Analise fisicamente as afirmativas seguintes: outra pelo pr´oprio fluido. I. Para derreter um bloco de gelo rapidamente, uma pessoa A descri¸ca˜o e explica¸ca˜o desse processo ´e simples: nas regi˜oes embrulhou-o num grosso cobertor. onde a temperatura ´e mais alta, o fluido se expande e fica II. Para se conservar o chope geladinho por mais tempo, menos denso e tende a subir, por causa do empuxo. Nas regi˜oes deve-se coloc´ a-lo numa caneca de lou¸ca. onde a temperatura ´e mais baixa, fluido ´e mais denso e tende a III. Um aparelho de refrigera¸ca˜o de ar deve ser instalado em descer. Este sobe e desce dificilmente ´e apenas vertical. Nesse um local alto num escrit´orio. caso, quase sempre a convec¸ca˜o provoca o aparecimento de correntes de ar que se movimentam lateralmente das regi˜oes Pode-se afirmar que: mais aquecidas e de baixa press˜ ao para as regi˜ oes mais frias a) apenas I e II s˜ ao corretas e de alta press˜ ao. Esse movimento ´e o que se observa numa b) apenas II e III s˜ ao corretas panela de ´agua fervendo, a ´ agua sobe pr´oximo ` as paredes (mais c) apenas I ´e correta quente) e desce no centro (mais frio). d) apenas II ´e correta e) apenas III ´e correta Radia¸ c˜ ao 3. (PUC) Uma placa de material isolante t´ermico possui A radia¸ca˜o ´e o processo mais importante de propaga¸ca˜o de ca- 100 cm2 de sec¸ca˜o transversal e 2, 0 cm de espessura. Sua lor. Sem ela n˜ ao haveria vida em nosso planeta, j´ a que ´e por condutibilidade t´ermica ´e 2, 0 × 10−4 cal/s · cm · ◦ C. Se a diferadia¸ca˜o que o calor do Sol chega at´e a Terra. Na verdade, a ren¸ca de temperatura entre as faces opostas ´e 100 ◦ C, quantas u ´ nica diferen¸ca entre calor e luz ´e a frequˆencia da radia¸ca˜o. As calorias atravessam a placa por segundo? radia¸co˜es de calor (infravermelhas) est˜ ao possuem frequˆencias a) 1,0 logo abaixo do espectro das radia¸co˜es luminosas (luz vis´ıvel). b) 2,0

onde a constante de proporcionalidade k depende da natureza do material, sendo denominada coeficiente de condutividade t´ ermica, seu valor ´e elevado para bons condutores t´ermicos, como metais, e baixo para isolantes t´ermicos, como a ar, por exemplo. Chama-se de fluxo de calor ou fluxo t´ ermixo a quantidade H Unidades do Fluxo T´ırmico (H) A unidade usual em que se mede a quantidade H ´e ´e cal/s, ou no SI, J/s ou W . Lembre-se que 1 J/s = 1 watt = 1 W .

ˆmica – Aula 7 Termodina

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c) 3,0 d) 4,0 e) 5,5 f) n.d.a

Substˆ ancia Amˆ onia ´ Alcool Vapor d’´agua Alum´ınio Ferro Prata Ouro

Exerc´ıcios Complementares 4. (FUVEST) Para melhor isolamento t´ermico de um ambiente, mantendo o material de que s˜ ao feitas as paredes, devese: a) aumentar o volume das paredes b) aumentar a ´area externa das paredes e manter a espessura c) diminuir a espessura das paredes d) aumentar a espessura e diminuir a ´ area das paredes e) reduzir a ´area externa e a espessura das paredes 5. (ACAFE) Nas geladeiras, o congelador fica sempre na parte de cima para: a) manter a parte de baixo mais fria que o congelador b) que o ar frio fique com congelador c) que o ar quente v´a para o congelador d) acelerar a produ¸ca˜o de cubos de gelo e) que o ar frio v´a para o congelador

c(cal/g · ◦ C) 1,13 0,58 0,48 0,22 0,11 0,056 0,032

Substˆ ancia ´ Agua Gelo Madeira Vidro Cobre Merc´ urio Chumbo

c(cal/g · ◦ C) 1,00 0,55 0,42 0,16 0,092 0,033 0,031

Tabela 1.4: O calor espec´ıfico c de algumas substˆancias. A capacidade t´ermica de um corpo depende da sua massa e da natureza do material de que ´e constituido. Ela permanece constante durante o seu aquecimento ou resfriamento, desde que n˜ ao ocorra mudan¸ca de estado f´ısico.

Calor Espec´ıfico (c)

Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, mas constitu´ıdos do mesmo material, quando submetidos a um aquecimento, observa-se que a quantidade de calor absorvida ´e diretamente proporcional a sua massa. Pode-se concluir, portanto, que a capacidade t´ermica de um corpo ´e diretamente proporcional a sua massa. Assim, a rela¸ca˜o entre a capaci6. (FMU) As roupas indicadas para se usar no deserto devem dade t´ermica C de um corpo e sua massa ´e uma constante m, denominada calor espec´ıfico (c) ser: a) escuras e finas c = C/m b) claras e finas c) escuras e grossas Unidade SI d) claras e grossas e) independentes da cor e da espessura No SI, o calor espec´ıfico ´e medido em J/kg · K, embora na pr´atica se use cal/g · ◦ C. O calor espec´ıfico de um corpo depende do material que o constitui, do seu estado f´ısico e da sua temperatura, esta por´em, sem influˆencia consider´ avel no estudo. O conhecimento do valor do calor espec´ıfico tem importˆ ancia fundamental na f´ısica, pois identifica a quantidade de calor necess´ aria para elevar de um grau a temperatura de uma unidade de massa do material. Capacidade T´ ermica (C) O elevado calor espec´ıfico da ´agua, comparado ao de outras substˆancias ´e importante, pois faz com que seja necess´ aria Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesma forma elevada quantidade de energia para variar sua temperatura. ao receberem calor. Ao se esquentar ´ agua na chama de um Por essa raz˜ ao, a ´agua demora mais para esquentar e tamb´em fog˜ao, por exemplo, observa-se que, quanto maior a massa de para esfriar, o que explica a estabilidade do clima das regi˜ oes agua a aquecer, maior a quantidade de calor necess´ ´ aria para pr´oximas a grandes concentra¸co˜es de ´agua, como as litorˆ aneas. produzir a mesma varia¸ca˜o de temperatura. Do mesmo modo, Em contra-partida , a amplitude t´ermica de regi˜oes des´erticas materiais diferentes necessitam de quantidades de calor dife- pode ultrapassar os 60 ◦ C em menos de 12 horas. rentes para sofrerem a mesma varia¸ca˜o de temperatura. Uma colher de metal, por exemplo, necessita de menos calor do que a mesma massa de ´agua, para o mesmo aumento de tempera- Calorimetria tura. A grandeza que mede a quantidade de calor Q necess´ aria Das defini¸co˜es de capacidade t´ermica e calor espec´ıfico, podepara produzir determinada varia¸ca˜o de temperatura ∆T num mos escrever: corpo ´e a capacidade t´ermica ou capacidade calor´ıfica, definida Q ◦ C= como a quantidade de calor necess´ aria para variar de 1 C a ∆T sua temperatura. logo Q Q = C∆T C≡ ∆T ( 1 ) e como C Unidade SI =⇒ C = mc c= m No SI, a capacidade t´ermica ´e medida em J/K, embora na temos Q = mc∆T pr´atica se use cal/◦ C.

Termodinˆ amica

Aula 7

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Essa equa¸ca˜o permite calcular a quantidade de energia na forma de calor, necess´ aria para variar a temperatura de uma determinada massa de qualquer substˆ ancia, desde que n˜ ao ocorra nenhuma mudan¸ca de estado no processo. Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e aumenta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se de calor sens´ıvel.

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˜ Trabalho realizado numa COMPRESSAO

Numa compress˜ao, o procedimento para o c´ alculo do trabalho ´e o mesmo do caso da expans˜ ao, mudando apenas o sinal final do trabalho, j´a que for¸ca que o g´ as exerce sobre o pist˜ao ´e no sentido contr´ario ao seu deslocamento. Como no caso de uma compress˜ao o volume final Vf do g´ as ser´ a menor do que o seu volume inicial Vi , ent˜ ao a varia¸ca˜o de volume ser´ a negativa e o trabalho pode ser obtido pela mesma Convens˜ ao f´ormula da expans˜ ao, de onde obteremos j´a o sinal correto. ao • Quando um sistema absorve calor num processo qual- Convens˜ quer, associamos ao processo um calor Q > 0; • Quando um g´ as se expande num processo qualquer, di• Quando um sistema perde calor num processo qualquer, zemos que o g´ as realiza um trabalho W > 0; associamos ao processo um calor Q < 0; • Quando um g´ as ´e comprimido num processo qualquer, • Quando um sistema n˜ ao troca calor (n˜ ao ganha e nem dizemos que o g´ as realiza um trabalho W < 0; perde) num processo qualquer, associamos ao processo um calor Q = 0. • Quando um g´ as permanece com volume constante num processo qualquer, dizemos que o trabalho que o g´ as Esquematicamente: realiza no processo ´e nulo, W = 0. Calor (Q) Absorvido Perdido

Sinal + -

Trabalho

Esquematicamente: Trabalho do G´as (W ) Expans˜ ao Compress˜ ao

Sinal + -

Um sistema pode trocar energia com sua vizinhan¸ca na forma Unidade SI de calor ou pela realiza¸ca˜o de trabalho. Realmente, se h´ a uma Sendo uma forma de energia, assim como o calor o trabalho diferen¸ca de temperatura entre o sistema e a vizinhan¸ca, uma realizado por um g´ as ´e medido em joule ou J no SI. Lembrando: certa quantidade de calor poder´ a ser transferida de um para o outro. Al´em disso, o sistema pode se expandir, vencendo 1J =1 N ·m uma press˜ ao e portanto, realizando trabalho sobre a vizinhan¸ca ou, ainda, o sistema poder´ a ter o volume reduzido, com a realiza¸ca˜o de um trabalho da vizinhan¸ca sobre ele. Pense um Pouco! ˜ Trabalho realizado numa EXPANSAO Consideremos como sistema termodinˆ amico um g´ as ideal, encerrado em um cilindro provido de um ˆembolo (pist˜ ao) que pode se deslocar livremente. Suponha que o g´ as se encontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi . Em virtude da press˜ ao do g´ as, ele exerce uma for¸ca F sobre o pist˜ao que, estando livre, desloca-se de uma distˆancia d. Assim, o g´ as se expandiu at´e o estado final f , onde o seu volume ´e Vf , e realizou um trabalho W . Se a press˜ ao p do g´ as permanecer constante, o valor da for¸ca F tamb´em ser´ a constante durante a expans˜ ao e o trabalho W , realizado pelo g´ as, pode ser facilmente calculado. De fato, para este caso, temos:

• A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, ´e a mesma registrada nos alimentos? • Qual a rela¸ca˜o existente entre a caloria alimentar e o estudo do calor?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor para aumentar sua temperatura de 20 ◦ C para 40 ◦ C. A capacidade t´ermica desse corpo em cal/◦C ´e: a) 10 b) 12 W = Fd c) 20 Mas sendo F = pA, onde A ´e a ´ area da se¸ca˜o reta do pist˜ao, d) 25 temos e) 30 W = pAd 2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinada substˆancia Mas observe que Ad ´e o volume varrido pelo pist˜ao durante sofre um acr´escimo de temperatura de 20 ◦ C, quando absorve a expans˜ ao, que ´e igual a varia¸ca˜o do volume do g´ as, isto ´e, 200 calorias. O calor espec´ıfico dessa substˆancia, em cal/g·◦ C, Ad = Vf − Vi , logo ´e: a) 1,2 W = p(Vf − Vi ) = p∆V b) 1,0 Portanto esta express˜ ao nos permite calcular o trabalho que c) 0,5 um g´ as realiza, ao sofrer uma varia¸ca˜o de volume a press˜ ao d) 0,4 constante. e) 0,2

ˆmica – Aula 8 Termodina

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3. (UEPB) A massa de um corpo ´e igual a 2 kg. Recebendo 10 kcal, a sua temperatura passa de 40 ◦ C para 90 ◦ C. O calor espec´ıfico desse corpo ´e: a) 0, 1 ◦ C b) 0, 2 ◦ C c) 0, 3 ◦ C d) 0, 4 ◦ C e) 0, 5 ◦ C

realiza 80 J de trabalho. Notamos que o sistema recebeu 100 J e 80 J. Onde estar˜ ao os 20 J restantes? Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armazenados sob a forma de energia interna. Portanto, a energia interna do sistema aumentou em 20 J. Podemos fazer um esquema desta troca de energia

Meio Externo

Exerc´ıcios Complementares Sistema 4. (ITA) A capacidade t´ermica de uma caneca de alum´ınio ´e de 16 cal/◦ C. Sabendo-se que o calor espec´ıfico do alum´ınio ´e ∆U = +20 J de 0, 2 cal/g · ◦ C, pode-se afirmar que a massa dessa caneca, int em gramas, ´e: a) 3,2 b) 32 Q = +100 J W = +80 J c) 90 d) 160 Sendo: e) 800 Calor recebido pelo sistema (Q): ´e energia que entra no sis5. (FURG) Uma fonte calor´ıfica fornece calor, com potˆencia tema e a representamos por uma seta entrando, pois o calor ´ı constante, para 600 g de ´ agua durante 10 min e observa-se a absorvido Q > 0. temperatura desta elevar-se em 15 ◦ C. Substituindo-se a ´agua Trabalho cedido pelo sistema (W ): ´e energia que sai do sistema por 300 g de outro l´ıquido, verifica-se que a temperatura deste na forma de trabalho e o representamos por uma seta para fora, se eleva tamb´em de 15 ◦ C, por´em em 2 min. O calor espec´ıfico j´ a que ´ e uma energia perdida pelo sistema (W > 0). do l´ıquido ´e de : Aumento de energia interna (∆Uint ): representamos por uma a) 0,1 cal/g · ◦ C quantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou po uma quanb) 0,2 cal/g · ◦ C tidade ∆Uint < 0, quando ela diminui. c) 0,3 cal/g · ◦ C Temos: d) 0,4 cal/g · ◦ C e) 0,5 cal/g · ◦ C Q = W + ∆U int

6. (ACAFE) A capacidade t´ermica de um corpo homogˆeneo depende: a) s´ o de sua massa b) de sua massa e de seu volume c) s´ o de sua massa e do calor espec´ıfico do material que o constitui d) de sua massa e de sua temperatura e) s´ o do calor espec´ıfico do material que o constitui

Termodinˆ amica

Aula 8

Primeira Lei da Termodinˆ amica A primeira lei da Termodinˆ amica nada mais ´e que o princ´ıpio da Conserva¸ca˜o da energia aplicado ` a termodinˆ amica. O princ´ıpio da conserva¸ca ˜o da energia, em linhas gerais, diz que num sistema isolado a energia total ´e conservada, ou seja ´e constante, e jamais pode ser criada ou destru´ıda dentro do sistema, mas apenas transformada de uma forma em outra. Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar conta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem de ter sa´ıdo de algum lugar. Por exemplo, admitamos que um sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energia n˜ ao podem desaparecer e nem serem destru´ıdos no sistema. Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em continua¸ca˜o, que o sistema

Para obtermos esta rela¸ca˜o entre Q, W e ∆Uint , basta impormos que “a soma das energia entram (sinal positivo) com as energias que saem (sinal negativo) do sistema ´ e igual a varia¸ c˜ ao da energia interna do sistema”. Esta ´e a primeira lei da Termodinˆamica.

Aplica¸c˜ oes da Primeira Lei Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termodinˆamicos particulares. Dizemos que um sistema t´ermico passa por um processo de equil´ıbrio, ou quase-est´ atico, quando evolui fisicamente de forma lenta, fazendo com as vari´ aveis que o descrevem (p, V , T , Uint , etc) mudem suavemente, fazendo o sistema evoluir de forma cont´ıa de um estado inicial i, digamos, para um estado final f . Transforma¸ c˜ ao Isot´ ermica (T = cte) Para um processo termodinˆamico em que a temperatura n˜ ao varia, a varia¸ca˜o de energia interna do g´ as ´e nula. Ou seja, pela primeira lei concluimos que Q=W ou seja, numa transforma¸ca˜o isot´ermica, o calor trocado pelo g´ as com o exterior ´e igual ao trabalho realizado no mesmo processo.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (p = cte) No processo isob´arico de um g´ as ideal, o volume V ´e diretamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa expans˜ ao isob´arica, o volume e a temperatura aumentam, ocorrendo tamb´em aumento da energia interna do g´ as: ∆Uint > 0 e pela primeira lei concluimos que para uma expans˜ ao isob´arica Q>W ou seja, numa expans˜ ao isob´arica, a quantidade de calor recebida ´e maior que o trabalho realizado.

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Pense um Pouco! • Ao ser comprimido, um g´ as ganha ou perde energia interna? • Fa¸ca uma analogia da compress˜ao de um g´ as e de uma mola, observando o trabalho e a energia. • Um moto perp´etuo de primeira esp´ecie seria uma m´aquina que realizasse trabalho indefinidamente, sem utilizar nenhuma fonte de energia. Futuramente ser´ a poss´ıvel a constru¸ca˜o de uma tal m´aquina?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve a primeira lei da termodinˆamica. a) O aumento de energia interna de um g´ as ´e dado pela difeComo n˜ ao h´ a varia¸ca˜o de volume nesse tipo de processo, o ren¸ca entre o calor recebido e o trabalho realizado. trabalho realizado ´e nulo e, pela primeira lei: b) O trabalho realizado ´e dado pela soma do calor recebido com o aumento de energia interna. ∆Uint = Q c) O calor recebido ´e dado pela diferen¸ca entre o trabalho reou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz com alizado e o aumento de energia interna. d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna n˜ ao se que a energia interna do sistema aumente (diminua). altera. Numa transforma¸ca˜o isom´etrica, a varia¸ca˜o de energia interna e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna diminui. do g´ as ´e igual a quantidade de calor trocada com o meio exterior. 2. (FATEC) Haver´a trabalho realizado sempre que uma massa A transforma¸ca˜o `a volume constante tamb´em ´e chamada de gasosa: a) sofrer varia¸ca˜o em sua press˜ ao isovolum´ etrica, isoc´ orica ou isom´etrica. ¯ b) sofrer varia¸ca˜o em seu volume c) sofrer varia¸ca˜o em sua temperatura Transforma¸ c˜ ao Adiab´ atica (Q = 0) d) receber calor de fonte externa e) sofrer varia¸ca˜o de energia interna Um g´ as sofre uma transforma¸ca˜o adiab´atica quando n˜ ao troca calor com o meio exterior, ou seja, quando 3. (FATEC) Uma fonte t´ermica cede 100 J de calor a um sistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalho Q=0 mecˆ anico de 20 J. Durante esse processo, n˜ ao ocorrem outras trocas de energia com o meio externo. A varia¸ca˜o da energia Aplicando a primeira lei temos neste caso interna do sistema, medida em joules, ´e igual a: a) zero ∆Uint = −W b) 20 c) 80 Numa transforma¸ca˜o adiab´atica, a varia¸ca˜o de energia interna d) 100 ´e igual em m´odulo e sinal contr´ ario ao trabalho realizado na e) 120 transforma¸ca˜o. Ou seja, se um sistema realiza trabalho adiabaticamente, ter´ a de consumir sua energia interna, j´ a que n˜ ao absorveu calor. Exerc´ıcios Complementares Transforma¸ c˜ ao Isom´ etrica (V = cte)

4. (MACK) Um g´ as mantido a volume constante, recebe 240 J de calor do meio ambiente. O trabalho realizado pelo g´ as e sua A segunda lei da Termodinˆ amica, a exemplo da primeira, tem varia¸ca˜o da energia interna ser˜ ao, respectivamente; diferentes enunciados que se equivalem. O mais comum deles a) 240 J e 0 J decorre da conclus˜ao das aulas anteriores e da aceita¸ca˜o da b) 0 J e 240 J irreversibilidade das transforma¸co˜es da natureza: c) 120 J e 120 J Nenhuma m´ aquina t´ ermica, operando em ciclos, pode d) 0 J e 120 J retirar calor de uma fonte e transform´ a-lo integral- e) −240 J e 240 J mente em trabalho. ´ poss´ıvel ceder 5. (UFLA-MG) Assinale a resposta correta. E ou noutra forma mais moderna calor a um g´ as sem que sua temperatura aumente? O calor flui expontaneamente de um corpo mais quente a) N˜ ao, porque sempre que um corpo recebe calor sua tempepara um corpo mais frio, sempre neste sentido. ratura aumenta Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplica¸co˜es mais adiante. b) N˜ ao , porque o calor ´e uma forma de energia e sempre se

Segunda Lei da Termodinˆ amica

ˆmica – Aula 9 Termodina

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conserva c) Sim, porque o calor pode ser transformado em energia interna do g´ as d) Sim, porque o calor pode resultar num aumento da agita¸ca˜o t´ermica das mol´eculas do g´ as e) Sim , basta que o g´ as realize trabalho igual ao calor que recebeu 6. (ACAFE) Numa expans˜ ao adiab´atica, a temperatura de um mol de g´ as perfeito diminui de 200 K. Podemos afirmar que a quantidade de calor trocada com o ambiente ´e de: a) 73 cal b) 200 cal c) 20 cal d) 0 J e) n˜ ao pode ser determinado

Termodinˆ amica

Ciclo de Carnot Estudando as m´aquinas t´ermicas, o cientista Sadi Carnot propˆ os, em 1824, um ciclo te´orico composto de quatro transforma¸co˜es revers´ıveis - duas isot´ermicas e duas adiab´aticas, que proporciona o m´aximo rendimento para uma m´aquina t´ermica, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente e fria. O desenho a seguir representa o ciclo de Carnot.

p a

isotérmico

b

adiabático

Aula 9

T

1 adiabático

d isotérmico

c T2

O

M´ aquinas T´ ermicas

Va

Uma m´aquina t´ermica opera em ciclos entre duas fontes t´ermicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fonte quente e a outra, de fonte fria. A m´aquina retira calor da fonte quente Q1 , transforma parte desse calor em trabalho W e rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim W = Q1 − Q2

Vd

Vb

Vc

V

Figura 1.1: Figura do Ciclo de Carnot. Processo A → B: o g´ as sofre uma expans˜ ao isot´ermica, recebendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho. A energia interna do g´ as se mant´em constante nesta transforma¸ca˜o.

Fonte Quente Q 1

Máquina Térmica

W

Q 2

Fonte Fria

Sadi Carnot

Processo B → C: o g´ as sofre uma expans˜ ao adiab´atica. Sua temperatura diminui, mas n˜ ao ocorre troca de calor com o meio. O g´ as realiza trabalho as custas de redu¸ca˜o na sua energia interna. Para o caso das m´aquinas t´ermicas, a Segunda Lei da TermoProcesso C → D: o g´ as sofre uma compress˜ao isot´ermica , dinˆ amica assume a forma: o meio exterior realiza trabalho sobre o g´ as, sem que haja ´ imposs´ıvel um dispositivo operando em ciclos conE varia¸ c a ˜ o na sua energia interna. Durante essa transforma¸ca˜o, verter integralmente calor em trabalho. o g´ as rejeita a quantidade de calor Q2 para a fonte fria. Assim, podemos definir o rendimento ǫ de uma m´aquina Processo D → A: ocorre uma compress˜ao adiab´atica, t´ermica como completando-se o ciclo. A temperatura do sistema aumenta, W ǫ= mas n˜ ao ocorre troca de calor com o meio. O trabalho realizado Q1 contra o sistema, provoca aumento na sua energia interna. e como W = Q1 − Q2 temos: Carnot demonstrou que, para uma m´aquina que executasse o Q2 ciclo por ele proposto, as quantidades de calor trocadas com as ǫ=1− Q1 fontes t´ermicas s˜ ao diretamente proporcionais as temperaturas

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absolutas dessas fontes, ou seja:

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Exerc´ıcios Complementares

Q2 T2 = Q1 T1

4. (Mackenzie) Uma m´aquina t´ermica executa um ciclo entre as temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fonte fria). O m´aximo rendimento que essa m´aquina poderia ter ´e: Como Q2 a) 10 % ǫ=1− b) 20 % Q1 c) 25 % ent˜ ao o rendimento ǫC de uma m´aquina de Carnot ´e dado por: d) 30 % e) 80 % T2 ǫC = 1 − T1 5. (UEL) O rendimento de certa m´aquina t´ermica de Carnot ´e de 25% e a fonte fria ´e a pr´opria atmosfera a 27 ◦ C. A Da´ı tiramos uma importante conclus˜ao: temperatura da fonte quente ´e: O rendimento da m´ aquina de Carnot n˜ ao depende da a) 5, 4 ◦ C substˆ ancia de trabalho utilizada (g´ as): ´ e fun¸ c˜ ao exclu- b) 52 ◦ C siva das temperaturas absolutas das fontes quente e c) 104 ◦ C fria. d) 127 ◦ C Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas temperaturas e) 227 ◦ C T1 e T2 das fontes quente e fria, a m´aquina de Carnot ´e a que as perfeito realiza um ciclo de Carnot. apresenta o m´aximo rendimento. Portanto, nenhuma m´aquina 6. (Osec-SP) Um g´ t´ermica, entre as mesmas temperaturas, pode apresentar ren- A temperatura da fonte fria ´e 127 ◦ C e a da fonte quente ´e 427 ◦ C. O rendimento do ciclo ´e: dimento superior ao previsto para a m´aquina de Carnot. a) 3,4 % b) 70 % c) 43 % Pense um Pouco! d) 57 % • O que aconteceria com uma m´aquina t´ermica se o ren- e) n.d.a dimento alcan¸cado fosse de 100%? Ser´ a que no futuro, teremos uma m´aquina assim?

Termodinˆ amica

Aula 10

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE) Uma m´aquina t´ermica, que opera segundo o ciclo de Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente em cada ciclo e abandona 120 calorias para a fonte fria. A alternativa, abaixo que representa o rendimento desta m´aquina t´ermica ´e: a) 100 % b) 80 % c) 60 % d) 40 % e) 20 %

Mudan¸cas de Fase

A mat´eria pode se apresentar-se nos estados s´ olido, l´ıquido e gasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte: S´ olido tˆem forma pr´opria e volume bem definido. L´ıquido n˜ ao tem forma pr´opria (assume a forma do recipiente que os cont´em), mas tem volume bem definido. G´ as n˜ ao tem forma pr´opria nem volume definido. Tomam a forma e o volume do recipiente que os cont´em, dependendo da 2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alter- press˜ ao externa. nativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo de Carnot ´e constitu´ıdo de transforma¸co˜es: Tipos a) adiab´aticas e isot´ermicas b) adiab´aticas e isob´aricas No nosso estudo estaremos sempre nos referindo a substˆancias c) isovolum´etrica e isot´ermicas puras, e faremos algumas defini¸co˜es: d) isovolum´etricas e isob´aricas e) isovolum´etricas e adiab´aticas • Fus˜ao: ´e a passagem de uma substˆancia do estado s´ olido para o estado l´ıquido. 3. (ACAFE) Uma m´aquina de Carnot, cuja fonte quente est´ a a 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cada ciclo, • Solidifica¸ca˜o: ´e a passagem de uma substˆancia do estado e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperatura da fonte l´ıquido para o estado s´ olido . fria ´e de : a) 210 K • Vaporiza¸ca˜o: ´e a passagem de uma substˆancia do estado b) 190 K liquido para o estado de vapor. c) 150 K Conforme a maneira de se processar, a vaporiza¸ca˜o recebe d) 120 K nomes diferentes. Assim ela pode tomar o nome de: e) 100 K

ˆmica – Aula 10 Termodina – Evapora¸ca˜o: ocorre mediante um processo lento que ´ o que se verifica apenas na superf´ıcie do l´ıquido. E acontece com a ´ agua de um tanque , ou de uma bacia ao ar livre. A evapora¸ca˜o pode ocorrer a qualquer temperatura que estiver o l´ıquido. – Ebuli¸ca˜o: ocorre mediante a um processo turbulento que se verifica em toda a massa l´ıquida. Isso ocorre quando a press˜ ao de vapor do l´ıquido se iguala a press˜ ao externa, a´ı o vapor escapa produzindo ´ o que o borbulhar caracter´ıstico da ebuli¸ca˜o. E ocorre com a ´ agua de uma chaleira quando esta ´e colocada ao fogo e come¸ca a fervura. A ebuli¸ca˜o s´ o ocorre em uma determinada temperatura, caracter´ıstica do l´ıquido, chamada temperatura (ou ponto) de ebuli¸ca˜o, que depende d a press˜ ao exercida em sua superf´ıcie. – Calefa¸ca˜o: ocorre ap´ os um aquecimento muito brusco. Por exemplo quando uma por¸ca˜o de ´agua ´e jogada na chapa quente de um fog˜ao, h´ a um aquecimento brusco da ´ agua, seguido do fenˆ omeno de calefa¸ca˜o .

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Pense um Pouco! • Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina no guardaroupas ,depois de algum tempo ela some. Como se chama esse processo? • O que acontece com o calor absorvido por uma substˆancia durante uma mudan¸ca de fase, j´a que sua temperatura n˜ ao muda?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma substˆancia, sem varia¸ca˜o de temperatura, foram necess´ arias 1, 4 kcal. Qual o calor espec´ıfico latente de fus˜ao dessa substˆancia em cal/g? a) 12 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30

• Liquefa¸ca˜o (condensa¸ca˜o): ´e a passagem de uma substˆancia do estado de vapor para o estado l´ıquido.

2. (ACAFE) Sendo o calor latente espec´ıfico de fus˜ao do gelo igual a 80 cal/g, a quantidade de calor necess´ aria para fundir 100 gramas de gelo a 0 ◦ C ´e: a) 8 kcal Temperatura de Mudan¸ca de Estado b) 4 kcal A fus˜ao e a solidifica¸ca˜o se processam na mesma temperatura c) 125 cal chamada temperatura (ou ponto) de fus˜ao ou de solidifica¸ca˜o d) 80 cal (TF ). Por exemplo, a ´ agua, sob press˜ ao atmosf´erica normal, e) 1, 25 cal sempre se funde e solidifica a 0 ◦ C. 3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a −10 ◦ C, tem A ebuli¸ca˜o e a liquefa¸ca˜o se processam na mesma temperatura, massa de 500 g. Qual a quantidade de calor necess´ aria para chamada temperatura (ou ponto) de ebuli¸ca˜o ou de liquefa¸ca˜o transform´a-lo em igual quantidade de ´agua, a 20 ◦ C? Dados (TE ). Por exemplo, sob press˜ ao atmosf´erica normal, a ´agua : c ◦ ◦ GELO = 0, 5 cal/g · C, cAGUA = 1, 0 cal/g · C e LF = sempre entra em ebuli¸ca˜o e se liq¨ uefaz a 100 ◦ C. 80 cal/g. a) 0, 05 kcal b) 0, 52 kcal c) 5, 25 kcal Seja Q a quantidade de calor latente necess´ aria para provocar d) 525 kcal uma dada mudan¸ca de estado na massa m de um substˆancia e) 52, 5 kcal S, sem varia¸ca˜o de temperatura. Verifica-se experimentalmente que Q ´e proporcional `a massa m, podendo-se escrever: Exerc´ıcios

Calor Latente

Complementares

Q = mL 4. (CEFET) Tˆem-se 200 g de ´agua a 20 ◦ C. A quantidade de calor, em cal, que dela se deve retirar para se ter gelo a 0 ◦ C, ´e (dados : cGELO = 0, 5 cal/g · ◦ C, cAGUA = 1, 0 cal/g · ◦ C e LF = 80 cal/g): a) 4000 b) 16000 c) 20000 E sendo LV o calor espec´ıfico latente de vaporiza¸ca˜o ou de d) 20100 e) 12000 liquefa¸ca˜o, temos: QV = mLV 5. (ACAFE) Qual a quantidade de calor que se deve fornecer Observamos que o calor espec´ıfico latente de uma substˆancia ´e a 50 g de gelo a 0 ◦ C para transform´a-lo em vapor de ´agua a uma caracter´ıstica da substˆ ancia que n˜ ao depende da massa. 100 ◦ C? Sabe-se que LV = 539 cal/g. Observamos tamb´em que o calor espec´ıfico latente de fus˜ao a) 35950 cal e de solidifica¸ca˜o ´e o mesmo, porque a quantidade de calor b) 26170 cal que um corpo recebe para se fundir ´e a mesma que cede ao se c) 20130 cal solidificar. O mesmo se pode dizer do calor espec´ıfico latente d) 15310 cal de vaporiza¸ca˜o e de liquefa¸ca˜o. e) 9000 cal

Sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado calor espec´ıfico latente da referida mudan¸ca de estado da substˆ ancia S. Sendo LF o calor espec´ıfico latente de fus˜ao ou de solidifica¸ca˜o, temos QF = mLF

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

6. (UNIJU´I) A vantagem do uso da panela de press˜ ao em rela¸ca˜o as panelas comuns para cozinhar alimentos relacionase com: a) a ´ agua demora mais a ferver e atinge uma temperatura menor b) a ´ agua ferve rapidamente e atinge maior temperatura c) a ´ agua ferve rapidamente e atinge menor temperatura d) a ´ agua demora mais a ferver e atinge maior temperatura e) n.d.a

Termodinˆ amica

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devemos localizar, neste diagrama, o ponto correspondente ao par de valores de p e T fornecidos. Se este ponto estiver localizado na regi˜ao S´ olida, a substˆancia estar´ a na fase s´ olida, se estiver na regi˜ao L´ıquida, estar´ a na fase l´ıquida e se estiver na regi˜ao Vapor, na fase gasosa.

Aula 11

Sublima¸c˜ ao e Diagrama de Fases Figura 1.1: Estrutura da a ´gua l´ıquida. Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabemos que ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo estado l´ıquido, isto ´e, ocorre a sublima¸ c˜ ao da naftalina. Este fato tamb´em ocorre com o CO2 s´ olido e, por isto, ele ´e denominado ”gelo seco”. Embora sejam poucas as substˆ ancias que se sublimam nas condi¸co˜es ambientes, verifica-se que este fenˆomeno pode ocorrer com qualquer substˆ ancia, dependendo da temperatura e da press˜ ao a que ela estiver submetida. O estudo do diagrama de fases, que faremos a seguir, nos permitir´a definir em que condi¸co˜es a sublima¸ca˜o de um substˆ ancia poder´ a ocorrer.

Ponto Triplo

Pressao (atm)

As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os dividem nas regi˜oes S´ olida, L´ıquida e Vapor correspondem a valores de p e T nos quais podemos encontrar a substˆancia, simultaneamente, em dois estados. Assim, qualquer ponto da linha T M corresponde a um par de valores de p e T no qual a substˆancia se apresenta, simultaneamente, nos estados s´ olido e l´ıquido. A linha T N corresponde ao equil´ıbrio entre l´ıquido e vapor e a linha OT , entre s´ olido e vapor. O ponto de encontro dessas trˆes linhas (ponto T da figura) nos fornece os valores da press˜ ao Diagrama de Fases e da temperatura nos quais a substˆancia pode se apresentar, Em um laborat´orio ´e poss´ıvel determinar, para cada simultaneamente, nos trˆes estados. Este ponto ´e denominado ao substˆ ancia, os valores da press˜ ao p e da temperatura T cor- ponto triplo da substˆancia. A ´agua, por exemplo, a press˜ ◦ de 4, 6 mmHg e a uma temperatura de 0, 01 C, pode ser enrespondentes a cada um dos seus poss´ıveis estados. Com estes olido, l´ıquido e gasoso valores podemos construir um gr´ afico, denominado diagrama contrada, simultaneamente, nos estados s´ e, portanto, estes valores correspondem ao seu ponto triplo. de fases, que tem aspecto semelhante ao da figura abaixo:

1,0 Liquida Solida

0,0006

Figura 1.2: Estrutura da a ´gua s´ olida (gelo).

Ponto triplo Vapor

G´ as Real 0,01 100 Temperatura ( C) Observa-se que este diagrama est´ a dividido em trˆes regi˜oes, indicando a fase S´ olida, L´ıquida e Vapor. Se nos forem fornecidos os valores da press˜ ao e da temperatura em que uma substˆ ancia se encontra, o seu diagrama de fases nos permitir´a determinar se ela esta s´ olida, l´ıquida ou gasosa. Para isto,

Um g´ as real pode n˜ ao se comportar como um g´ as ideal, j´a que o modelo de g´ as ideal ´e uma aproxima¸ca˜o bem simplificada de um g´ as real. Para isto, suponha que um g´ as real esteja encerrado em um cilindro provido de um pist˜ao e de um manˆ ometro que nos permite ler os valores de sua press˜ ao. Mantendo constante a temperatura do g´ as, vamos comprimilo desde uma posi¸ca˜o inicial aonde a press˜ ao do g´ as ´e ainda, relativamente baixa. Durante a compress˜ao, verifica-se que,

ˆmica – Aula 11 Termodina

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inicialmente, o g´ as real se comporta como um g´ as ideal, isto ´e, os valores de p,V e T do g´ as satisfazem a equa¸ca˜o pV = nRT . Entretanto, ap´ os o pist˜ao atingir uma certa posi¸ca˜o, na qual a press˜ ao j´a ´e um pouco mais elevada, observa-se que o g´ as real deixa de se comportar como um g´ as ideal. Seu comportamento torna-se mais complexo, exigindo, para descrevˆe-lo, equa¸co˜es mais sofisticadas do que a equa¸ca˜o de estado de um g´ as ideal.

Pense um Pouco! • Todas as substˆancias possuem o chamado ponto triplo? • Quanto tempo leva uma naftalina para sumir completamente?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sob press˜ ao constante, observarmos que a temperatura permanece inalterada, podemos afirmar que o sistema: a) ´e totalmente s´ olido. b) ´e totalmente l´ıquido. c) est´ a necessariamente em processo de fus˜ao. d) est´ a necessariamente evaporando. e) est´ a sofrendo uma mudan¸ca de fase. 2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento cont´ınuo de calor, aquece-se, `a press˜ ao constante de 1 atmosfera, 100 g de gelo, que s˜ ao transformados em vapor superaquecido. A figura seguinte ilustra a varia¸ca˜o da temperatura do sistema com o tempo. a) Em que intervalo de tempo ocorre a fus˜ao? b) Em que intervalo de tempo ocorre a vaporiza¸ca˜o? c) Considerando o calor espec´ıfico do gelo igual a 0, 55 cal/g·◦C e o calor latente de fus˜ao igual a 80 cal/g, qual ´e a quantidade de calor absorvida pelo sistema, do instante inicial ao instante t2 ?

T(oC)

0 t1

t2

t3

t4

t(s)

−40

Exerc´ıcios Complementares 3. (UFV-MG) Sejam dois s´ olidos A e B, de massas respectivamente a mA e mB , em equil´ıbrio t´ermico. Cedendo-lhes a mesma quantidade de calor, observa-se que a temperatura do corpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B. N˜ ao se observa mudan¸ca de fase. Sobre essa situa¸ca˜o s˜ ao feitas trˆes afirmativas: I - Se os corpos forem feitos do mesmo material, certamente mA > mB .

II - Se mA = mB , certamente o calor espec´ıfico de A ´e maior que o calor espec´ıfico de B. III - Esta situa¸ca˜o s´ o foi poss´ıvel porque os corpos possuem capacidades t´ermicas diferentes. Est˜ ao CORRETAS: a) I e II b) apenas II c) apenas III d) I, II e III e) ˜ SOLUC ¸ AO A solu¸ca˜o desse item ´e uma an´ alise das rela¸co˜es abaixo: 1) Q = mc∆t 2) C = mc 3) Q = C∆T Onde: Q - quantidade de calor; C - capacidade t´ermica; c - calor espec´ıfico m - massa; ∆T - varia¸ca˜o da temperatura. Analisemos as afirma¸co˜es: I - Pela equa¸ca˜o 1), mesmo material =¿ mesmo calor espec´ıfico; como A sofreu maior varia¸ca˜o de temperatura, a massa de A ´e menor que a de B. Afirmativa falsa. II - Pela equa¸ca˜o 1), massas iguais =¿ sofre maior varia¸c˜ao de temperatura o corpo de menor calor espec´ıfico. Portanto o calor espec´ıfico de A ´e menor que o de B, pois A sofreu maior varia¸ca˜o de temperatura. Afirma¸ca˜o falsa. III - Pela equa¸ca˜o 3) verifica-se que quantidades de calor iguais, as varia¸co˜es de temperaturas ser˜ ao diferentes se as capacidades t´ermicas forem diferentes. Afirma¸ca˜o correta. Portanto, apenas III ´e correta.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Eletricidade – Aula 1

Eletricidade

Aula 1 La La

Carga El´ etrica

Atrito

+ + + + + + + + + ++ +

No s´eculo XVIII, Benjamin Franklin verificou experimentalmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as batizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta ´epoca os cientistas pensavam que a carga era um flu´ıdo que podia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para outro. Atualmente, dizer-se que carga el´ etrica ´e uma propriedade intr´ınseca de algumas part´ıculas. Assim como massa, a carga ´e uma propriedade elementar das part´ıculas. A experiˆencia realizada por Harvey Fletcher e Robert Millikan demonstrou que a quantidade de carga el´etrica ´e uma grandeza quantizada, ou seja, n˜ ao pode assumir qualquer valor. Essa descoberta levou `a conclus˜ao de que a quantidade de carga el´etrica Q ´e sempre um n´ umero inteiro n vezes a quantidade de carga elementar e: Q = ne onde e = 1, 60 × 10−19 coulomb ou C.

(a)

(b)

Quando esfregamos as m˜aos, n˜ ao eletrizamos nenhuma delas. Para que haja eletriza¸ca˜o por atrito, uma condi¸ca˜o necess´ aria ´e que os corpos sejam de materiais diferentes, isto ´e, eles n˜ ao podem ter a mesma tendˆencia de ganhar ou perder el´etrons. Em Qu´ımica, essa tendˆencia ´e traduzida por uma grandeza denominada de eletroafinidade. Os materiais podem ser classificados de acordo com essa tendˆencia, elaborando-se a chamada s´erie tribo-el´etricas: + + + Vidro → Mica → L˜ a → Seda → Algod˜ ao → Maˆ deira → Ambar → Enxofre → Metais − − − Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma s´erie triboel´etrica, o que estiver posicionado `a esquerda ficar´ a eletrizado positivamente; o que estiver `a direita ficar´ a eletrizado negativamente. Na eletriza¸ca˜o por atrito, pelo menos um dos corpos C. A unidade SI da carga el´etrica ´e o deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores, eles n˜ ao v˜ao manter a eletriza¸ca˜o.

Tipos de Materiais

Eletriza¸c˜ ao por Contato

Em rela¸ca˜o `a eletricidade, os materiais s˜ ao classificados como condutores ou isolantes. Para que um material seja condutor de energia el´etrica, ´e necess´ ario que ele possua portadores de carga el´etrica livres (el´etrons, ´ıons positivos ou ´ıons negativos) e mobilidade para esses portadores. Os metais s˜ ao bons condutores de eletricidade, pois possuem el´etrons ”livres”e mobilidade para esses el´etrons; o mesmo acontece com as solu¸co˜es eletrol´ıticas, que apresentam os ´ıons como portadores de carga el´etrica, e com os gases ionizados, que possuem el´etrons e ´ıons como portadores de carga el´etrica. O vidro, a ´agua pura, a madeira e os pl´asticos de modo geral s˜ ao bons isolantes de eletricidade. Al´em dos condutores e dos isolantes, existem os materiais semi-condutores, como o sil´ıcio e o germˆ anio.

A eficiˆencia nessa forma de eletriza¸ca˜o depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for isolante, a eletriza¸ca˜o ser´ a local, isto ´e, restrita aos pontos de contato. Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imagin´a-los como um u ´ nico corpo eletrizado. A separa¸ca˜o entre eles resultar´a em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal. Na figura, um dos condutores est´ a inicialmente neutro (a eletriza¸ca˜o por contato pode ocorrer tamb´em com dois condutores inicialmente eletrizados).

Eletriza¸ c˜ ao por Atrito Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos fornecendo energia e pode haver transferˆencia de el´etrons de um para o outro. Se os corpos atritados est˜ ao isolados, ou seja, n˜ ao sofrem a influˆencia de quaisquer outros corpos, as cargas el´etricas cedidas por um s˜ ao exatamente as adquiridas pelo outro: QA = −QB Isto ´e, A e B adquirem quantidades de carga el´etrica iguais em m´odulo, mas de sinais contr´ arios. A figura representa o que acontece quando um peda¸co de metal ´e atritado com um pano de l˜ a.

Depois

Antes + +

+ + + + +

+

+

+ + + +

+

+

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+

(a)

+

+

+ +

+

+

+ +

+ +

(b)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ +

(c)

Generalizando, podemos afirmar que, na eletriza¸ca˜o por contato: • os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargas de mesmo sinal; • quando o sistema ´e formado por corpos isolados das influˆencias externas, a quantidade de carga el´etrica total final ´e igual `a quantidade de carga el´etrica total inicial (princ´ıpio da conserva¸ca ˜o de carga el´etrica): QA + QB = Q′ A + Q′ B Na express˜ ao acima, Q representa a quantidade de carga el´etrica inicial e Q′ , a quantidade de carga el´etrica final. Em particular, se os corpos A e B forem iguais:

100

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Q′ A = Q′ B = (QA + QB)/2 Podemos ainda observar que: 1. se os corpos colocados em contato s˜ ao de tamanhos diferentes, a divis˜ao de cargas ´e proporcional `as dimens˜oes de cada um; 2. quando um corpo eletrizado ´e colocado em contato com a Terra, ele se torna neutro, uma vez que sua dimens˜ao ´e desprez´ıvel se comparada com ` a da Terra. Simbolicamente, a liga¸ca˜o ` a Terra ´e representada conforme a figura.

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O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas el´etricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais pr´oxima do indutor, temos ac´ umulo de cargas negativas, que n˜ ao chegam ao indutor porque o ar entre eles ´e isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada do indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos perguntar se o corpo (b) est´ a eletrizado. Ele n˜ ao est´ a, pois o n´ umero de pr´otons no corpo continua igual ao n´ umero de el´etrons. Dizemos que o corpo (b) est´ a induzido, porque houve apenas uma separa¸ca˜o das cargas. Quando retiramos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele volta `a situa¸ca˜o neutra. Para eletrizar o induzido, devemos, na presen¸ca do indutor, estabelecer o contato do induzido (corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, at´e mesmo o planeta Terra. + + + + + +

+

+

B

Terra

+

(a)

(b)

+

+ + +

+

+

+ +

Em (a), o corpo est´ a isolado da Terra e, portanto, mant´em sua carga el´etrica. Quando o contato com a Terra ´e estabelecido (b), o corpo se neutraliza

+

+

+

+

+ + +

+

+

+

+ + + +

+

+

+

+

+ +

+

+ + +

+

+

A − Indutor

(a)

(b)

Eletriza¸ c˜ ao por Indu¸ c˜ ao

Na presen¸ca do indutor, desfazemos o contato entre b e a Terra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado com carga oposta `a do indutor a.

Nesse tipo de eletriza¸ca˜o n˜ ao h´ a contato entre os corpos. Vejamos como acontece.

Pense um Pouco!

+

+

+

+ +

+ +

+

+

+

+ +

+

+

• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer de um carro num dia seco. Explique.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

• Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga el´etrica? Por quˆe?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. Disp˜oe-se de trˆes esferas met´ alicas idˆenticas e isoladas uma da outra. Duas delas, A e B, est˜ ao neutras, enquanto a esfera C cont´em uma carga el´etrica Q. Faz-se a esfera C tocar Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), cha- primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse procemado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois n˜ ao dimento, qual a carga el´etrica das esferas A, B e C, respectiter´ a contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser eletri- vamente? zado, chamado de induzido, dever´ a ser condutor, podendo ser uma solu¸ca˜o eletrol´ıtica ou dois corpos B1 e B2 ligados eletri- 2. ”S´erie tribo-el´etrica ´e um conjunto de substˆancias ordenadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente camente. quando atritada com qualquer uma que a antecede e positivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede. + + + + Exemplo: vidro - mica - l˜ a - seda - algod˜ ao - cobre.”Baseado + na informa¸ca˜o acima, responda: + a) Atrita-se um pano de l˜ a numa barra de vidro, inicialmente + + neutros. Com que sinais se eletrizam? + b) E se o pano de l˜ a fosse atritado numa esfera de cobre, + tamb´em inicialmente neutro? + (a)

(b)

+ +

+

+

+

+

+

+

+

+

+ B1

(a)

+

+

B2

(b)

3. Uma esfera met´ alica neutra encontra-se sobre um suporte isolante e dela se aproxima um bast˜ ao eletrizado positivamente. Mant´em-se o bast˜ ao pr´oximo `a esfera, que ´e ent˜ ao

101

Eletricidade – Aula 2 ligada ` a terra por um fio met´ alico. Em seguida, desliga-se o fio e afasta-se o bast˜ ao. a) A esfera ficar´ a eletrizada positivamente. b) A esfera n˜ ao se eletriza, pois foi ligada ` a terra. c) A esfera sofrer´ a apenas separa¸ca˜o de suas cargas. d) A esfera ficar´ a eletrizada negativamente. e) A esfera n˜ ao se eletriza, pois n˜ ao houve contato com o bast˜ ao eletrizado.

esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de cargas el´etricas da haste para a esfera. Normalmente, as folhas met´ alicas s˜ ao mantidas dentro de um frasco transparente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.

4. Disp˜oe-se de uma esfera condutora eletrizada positivamente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontram-se inicialmente neutras. Os suportes das trˆes esferas s˜ ao isolantes. Utilizando os processos de eletriza¸ca˜o por indu¸ca˜o e por contato, descreva procedimentos pr´aticos que permitam obter: a) as trˆes esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizada positivamente e B negativamente III. A eletrizada negativamente e B positivamente

Exerc´ıcios Complementares

++ + +++

Eletrostato (a)

5. (U. Fortaleza-CE) Um bast˜ ao ´e atritado com um pano. A seguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Pode-se afirmar corretamente que o bast˜ ao foi eletrizado a) positivamente, por contato com o pano. b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera. c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera. d) negativamente, por atrito com o pano. e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera

(b)

Figura 1.1: O eletrosc´ opio de folhas (a) na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado negativamente (b)

Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se ele estiver eletrizado, ocorrer´a a indu¸ca˜o eletrost´atica, ou seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele os el´etrons livres da esfera para as lˆ aminas, fazendo com que elas se abram 6. (PUCC-SP) Disp˜oe-se de uma barra de vidro, um pano devido `a repuls˜ ao; se o corpo estiver com cargas positivas, ele de l˜ a e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas atrai os el´etrons livres das lˆ aminas, fazendo tamb´em com que em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-se elas se abram, novamente, devido `a repuls˜ ao. a barra de vidro com o pano de l˜ a; a seguir coloca-se a barra de vidro em contato com a esfera A e o pano com a esfera B. ++ Ap´ os essas opera¸co˜es: ++ a) o pano de l˜ a e a barra de vidro estar˜ ao neutros. b) a barra de vidro repelir´ a a esfera B. c) o pano de l˜ a atrair´ a a esfera A. + + d) as esferas A e B se repelir˜ ao. + + e) as esferas A e B continuar˜ ao neutras. 7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera met´ alica, sustentada por uma haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena carga el´etrica Q. Uma segunda esfera idˆentica e inicialmente descarregada aproxima-se dela, at´e toc´ a-la. Ap´ os o contato, a carga el´etrica adquirida pela segunda esfera ´e: a) Q/2 b) Q c) 2Q d) 0 e) −Q

Figura 1.2: Na presen¸ca de um bast˜ ao eletrizado positivamente

Eletricidade

A Lei de Coulomb

Aula 2

A determina¸ca˜o do sinal da carga do corpo em teste, que j´a se sabe estar eletrizado, ´e obtida carregando-se anteriormente o eletrosc´opio com cargas de sinal conhecido. Dessa forma, as lˆ aminas ter˜ ao uma determinada abertura inicial.

Esta lei diz respeito `a intensidade das for¸cas de atra¸ca˜o ou de repuls˜ ao, que agem em duas cargas el´etricas puntiformes (cargas de dimens˜oes desprez´ıveis), quando colocadas em presen¸ca uma da outra. Eletrosc´ opio de Folhas Considere duas cargas el´etricas puntiformes, q1 e q2 , separadas ´ constitu´ıdo de duas folhas met´ E alicas, finas e flex´ıveis, liga- pela distˆancia r. Sabemos que, se os sinais dessas cargas forem das em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma iguais, elas se repelem e, se forem diferentes, se atraem. Isto

102

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

acontece devido `a a¸ca˜o de for¸cas de natureza el´etrica sobre elas. Essas for¸cas s˜ ao de a¸ca˜o e rea¸ca˜o e, portanto, tˆem a mesma intensidade, a mesma dire¸ca˜o e sentidos opostos. Deve-se notar tamb´em que, de acordo com o princ´ıpio da a¸ca˜o e rea¸ca˜o, elas s˜ ao for¸cas que agem em corpos diferentes e, portanto, n˜ ao se anulam. Charles de Coulomb verificou experimentalmente que: As for¸cas de atra¸ca˜o ou de repuls˜ ao entre duas cargas el´etricas puntiformes s˜ ao diretamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distˆancia que as separa.

q1 q2 r2

onde q1 e q2 s˜ ao os m´odulos das cargas el´etricas envolvidas, e k uma constante eletrost´atica que, no SI, para as cargas situadas no v´acuo ´e

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5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletrosc´opio de folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e as folhas F s˜ ao met´ alicos. Inicialmente, o eletrosc´opio est´ a eletricamente descarregado. Uma esfera met´ alica, positivamente carregada, ´e aproximada, sem encostar, da esfera do eletrosc´opio. Em qual das seguintes alternativas melhor se representa a configura¸ca˜o das folhas do eletrosc´opio (e suas cargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esfera? b)

a)

c)

E S

A express˜ ao matem´atica dessa for¸ca ´e: F =k

—

F d)

e)

blindagem metalica

6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC est˜ ao sobre o eixo horizontal, separadas por uma distˆancia r. Assinale a alternativa correta: a) As cargas se repelem mutuamente Pense um Pouco! b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2 • Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o c) o sistema forma um dipolo d) As cargas se atraem eletricamente eletrosc´opio; e) A for¸ca sobre as cargas s˜ ao verticais • Se dobrarmos a distˆancia r entre duas cargas dadas, o que acontece com a for¸ca el´etrica entre elas? k = 9 × 109 N · m2 /C 2

• Se colocarmos muitos el´etrons no centro de uma chapa met´ alica quadrada, o que acontecer´ a com essa carga?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas dimens˜ oes, atraem-se mutuamente no v´acuo com for¸ca de intensidade F ao estarem separadas por certa distˆancia r. Como se modifica intensidade da for¸ca quando a distˆancia entre as esferas ´e aumentada para 4r? 2. As cargas el´etricas −q e +q ′ , puntiformes, atraem-se com for¸ca de intensidade F , estando ` a distancia r uma da outra no v´acuo. Se a carga q ′ for substitu´ıda por outra −3q ′ e a distˆancia entre as cargas for duplicada, como se modifica a for¸ca de intera¸ca˜o el´etrica entre elas? 3. Considere um eletrosc´opio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negativamente ´e: a) aproximado da esfera do eletrosc´opio; b) encostado na esfera do eletrosc´opio.

Eletricidade

Aula 3

Campo El´ etrico Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre ela uma certa for¸ca. N˜ ao ´e dif´ıcil imaginar de que forma essa for¸ca foi transmitida `a caixa, pois de imediato associamos `a aplica¸ca˜o da for¸ca o contato travado com a caixa. Pensemos agora na intera¸ca˜o entre cargas el´etricas: conforme estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova, verificaremos a a¸ca˜o de uma for¸ca F~ (atrativa ou repulsiva, conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso, n˜ ao h´ a contato entre os corpos, o que torna mais dif´ıcil a compreens˜ao da forma de transmiss˜ao da for¸ca. Durante muito tempo afirmou-se que a for¸ca eletrost´atica era uma intera¸ca˜o direta e instantˆ anea entre um par de part´ıculas eletrizadas, conceito este denominado a¸ca˜o a distˆancia.

m

Exerc´ıcios Complementares F

4. Duas part´ıculas eletrizadas com cargas el´etricas de mesmo valor absoluto mas sinais contr´ arios atraem-se no v´acuo com for¸ca de intensidade 4, 0 × 10−3 N , quando situadas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas, sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .

103

Eletricidade – Aula 3 Se trabalh´assemos apenas com cargas em repouso, a a¸ca˜o a distˆancia nos bastaria para que resolvˆessemos a maioria dos problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de cargas em movimento n˜ ao pode ser deixado de lado e nesse caso a teoria da a¸ca˜o a distˆancia ´e falha, sendo necess´ ario buscarmos outra forma de explicar a intera¸ca˜o el´etrica. E foi com Faraday (1791-1867) que nasceu a id´eia que constitui hoje um dos mais importantes recursos em F´ısica: a no¸ca˜o de campo. Dizemos que a presen¸ca da carga Q afeta a regi˜ ao do espa¸co pr´oxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhan¸cas uma “propriedade”que d´ a a essa regi˜ ao “algo”mais que atributos geom´etricos, “algo”que transmitir´ a a qualquer carga de prova colocada nessa regi˜ ao a for¸ca el´etrica exercida pela carga Q. Designamos por campo el´etrico tal propriedade. Assim, a for¸ca F~ ´e exercida sobre q pelo campo el´etrico criado por Q. Esquematicamente teremos: A¸ca˜o ` a distˆancia: carga ⇐⇒ carga Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga A no¸ca˜o de campo ´e utilizada em muitas outras situa¸co˜es f´ısicas, como por exemplo a intera¸ca˜o gravitacional. Na figura a seguir, em vez de pensarmos numa atra¸ca˜o direta da Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a presen¸ca da Terra faz com que todos os pontos de sua vizinhan¸ca possuam uma propriedade segundo a qual todo corpo colocado nesse local sofrer´ a a a¸ca˜o de uma for¸ca atrativa. Uma observa¸ca˜o muito importante deve ser feita: o campo el´etrico num ponto P qualquer da vizinhan¸ca da carga Q, assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas vizinhan¸cas da Terra, existe independentemente da presen¸ca da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam a existˆencia dos campos el´etrico e gravitacional nos pontos considerados.

O Vetor Campo El´ etrico O campo el´etrico ´e melhor caracterizado em cada ponto do ˆ denominado vetor campo el´etrico. A espa¸co por um vetor E, defini¸ca˜o do vetor campo el´etrico ´e tal, que por seu interm´edio poderemos estudar muitas caracter´ısticas do campo el´etrico, a partir do estuco desse vetor num ponto. Consideremos P um ponto gen´erico de um campo el´etrico gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1 , q2 , q3 , ..., q. A intensidade da for¸ca el´etrica atuante nas cargas de prova ir´ a variar, mas a dire¸ca˜o da for¸ca ser´ a a mesma, conforme indicamos na seq¨ uˆencia de figuras seguintes:

~ distinguimos dois casos: Quanto ao sentido do vetor E, ~ ~ a) q ´e positiva: E e F tˆem o mesmo sentido; ~ e F~ tˆem sentidos contr´arios. b) q ´e negativa: E Podemos concluir, da equa¸ca˜o, que as unidades de intensidade do vetor campo el´etrico ser˜ ao unidades de for¸ca por unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, teremos:

Unidade SI ~ ser´ por defini¸ca˜o, a unidade de de campo el´etrico ´e E a newton/coulomb, ou seja N/C.

Linhas de Campo A denomina¸ca˜o linhas de campo ou linhas de for¸ca designa uma maneira de visualizar a configura¸ca˜o de um campo el´etrico. Esse artif´ıcio foi empregado por Faraday e mesmo hoje pode ser conveniente seu uso.

E

E

E E E E

Apresentamos a seguir a significa¸ca˜o das linhas de for¸ca: 1. S˜ ao linhas tra¸cadas de forma que a tangente a cada ponto ~ S˜ nos fornece a dire¸ca˜o de E. ao orientadas no sentido do vetor campo. 2. As linhas de campo s˜ ao tra¸cadas de forma que o n´ umero de linhas que atravessa a unidade de ´area de uma sec¸ca˜o ~ perpendicular `as mesmas ´e proporcional ao m´odulo de E. ~ ´e Dessa forma, onde elas estiverem mais pr´oximas, |E| ~ ´e menor. maior; onde elas estiverem mais afastadas, |E|

E menos intenso P

P

F 2

E mais intenso

P

F 1

F

q

q

q

1

2

(a)

(b)

(c)

Conclu´ımos que a rela¸ca˜o entre a for¸ca e a carga em que ela atua ´e uma caracter´ıstica do ponto P considerado, denominada vetor campo el´etrico. Assim, teremos:

As figuras seguintes mostram linhas de campo de alguns campos el´etricos particulares:

~ = F~ /q E

• campo gerado por uma carga puntiforme positiva.

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P Q

As linhas de campo “nascem”nas cargas positivas.

No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, o vetor campo el´etrico no ponto P tem intensidade dada por: E = F/q. O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto P qualquer do espa¸co tem intensidade dada por:

• carga puntiforme negativa:

E=

Q F =k 2 q r

Utilizando uma linguagem n˜ ao muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e as cargas negativas geram campos de aproxima¸ca˜o. Campo El´ etrico para V´ arias de Cargas Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no ponto P um campo el´etrico devido `a sua presen¸ca individual. Dado o efeito aditivo da for¸ca el´etrica, o campo el´etrico devido `a presen¸ca de n cargas puntiformes ser´ a a soma vetorial dos campos produzidos individualmente por cada uma das cargas, isto ´e: ~ =E ~1 + E ~2 + E ~3 + . . . = E As linhas de campo “morrem”nas cargas negativas • duas cargas de sinais iguais:

n X

~i E

i=1

Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de vetores.

E4 E2

Q1 Q2

E3

P

E1

E5

Q3 Q4

Q5

3. Observe que, por defini¸ca˜o, o campo el´etrico ´e u ´ nico em cada ponto do espa¸co, e portanto, duas linhas de campo Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha reta, nunca se cruzam. que tamb´em cont´em o ponto P , ent˜ ao a intensidade do campo em P ser´ a

C´ alculo do Campo El´ etrico Campo de uma Carga Puntiforme

n

E=k

X Q2 Q3 Q1 kQi ri2 + k 2 + k 2 + ... = 2 r1 r2 r3 i=1

O campo el´etrico devido a uma carga puntiforme Q fixa ´e Esta ´e uma soma escalar, mais f´acil de fazer do que a necess´aria no caso anterior. facilmente determinado analisando-se a figura seguinte:

105

Eletricidade – Aula 4

Campo El´ etrico Uniforme

E (N/C)

a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo. b) Determine a intensidade do campo el´etrico em um ponto Trata-se de um campo el´etrico em que o vetor campo el´etrico que dista 30 cm da carga fixa. ´e o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em 1000 ~ ser˜ cada ponto o m´odulo, a dire¸ca˜o e o sentido do vetor E ao os mesmos. Em conseq¨ uˆencia dessa defini¸ca˜o, conclu´ımos que 800 as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas todas com o mesmo sentido. 600 Por exemplo, para uma pequena regi˜ ao do espa¸co, muito longe 400 de uma carga puntiforme, o campo el´etrico se torna quase uniforme. Pr´oximo `a superf´ıcie da Terra, existe um campo el´etrico 200 vertical, de cima para baixo de intensidade E ≈ 100 N/C. Este campo ´e quase uniforme, visto em pequena escala (al0 guns metros), sobre o ch˜ ao plano. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 d (m)

5. (PUC-SP) Numa certa regi˜ao da terra, nas proximidades da superf´ıcie, a acelera¸ca˜o da gravidade vale 9, 8 m/s2 e o campo • Qual as semelhan¸cas e diferen¸cas entre a for¸ca el´etrica e eletrost´atico do planeta (que possui carga negativa na regi˜ao) vale 100 N/C, e ´e na dire¸ca˜o vertical, sentido de cima para a gravitacional? Fa¸ca um paralelo. baixo. Determine o sinal e o valor da carga el´etrica que uma • Num sistema de cargas puntiformes ´e poss´ıvel se encon- bolinha de gude, de massa 50 g, deveria ter para permanetrar algum ponto P onde o campo el´etrico seja nulo? Dˆe cer suspensa em repouso, acima do solo. Considere o campo el´etrico praticamente uniforme no local e despreze qualquer exemplos. outra for¸ca atuando sobre a bolinha. • Um dipolo ´e formado por um par de cargas +q e −q. ~ apontando 6. (Mackenzie-SP) Existe um campo el´etrico E Esboce as linhas de campo de um dipolo. para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade m´edia de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (m´ odulo e sinal) precisa ter a Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao esfera?

Pense um Pouco!

1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espa¸co existe um campo ~ horizontal de 5 × 104 N/C, voltado para a direita. el´etrico E a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, ´e colocada em P , qual ser´ a o valor da for¸ca el´etrica que atua sobre ela? b) Em que sentido a carga de prova tender´ a a se mover, se for solta? c) Responda `as quest˜ oes a) e b) supondo que a carga de prova seja negativa. 2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimens˜oes muito grandes, est´ a uniformemente carregada. Sabendo-se que o campo el´etrico por ela gerado ´e o mesmo em todos os pontos pr´oximos `a placa e que uma pequena esfera de massa 25 gramas, presa por um fio leve na placa forma o ˆangulo de afastamento entre a esfera e a placa ´e de 30◦ ?, determinar: a) a for¸ca el´etrica que atua na esfera, supondo que ela se encontre em equil´ıbrio; b) o campo el´etrico da placa, sabendo-se que a carga na esfera vale −5 µC.

Eletricidade

Aula 4

Potencial El´ etrico Diferen¸ca de Potencial Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para B, em equil´ıbrio, ou seja, faz-se uma for¸ca externa F~ext. tal que anule a for¸ca el´etrica F~E sobre a carga: F~ext. = −F~E

Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade de carga que se desloca de A para B, denominamos diferen¸ca 3. (USP-SP) Uma carga el´etrica puntiforme q = 2 × 10−6 C de potencial ou tens˜ ao el´etrica de A para B, habitualmente e de massa 10−5 kg ´e abandonada em repouso num campo representada por VB − VA ou simplesmente VAB . el´etrico uniforme de intensidade 104 N/C. Assim, matematicamente teremos: a) Qual ´e a acelera¸ca˜o adquirida por q? b) Qual a velocidade da part´ıcula no instante 8, 0 s? W A→B W A→B VB − VA = ext. = − E q q

Exerc´ıcios Complementares

Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferen¸ca de potencial tamb´em ser´ a uma grandeza escalar. 4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representa O trabalho WEA→B independe da trajet´oria escolhida entre os a intensidade do campo el´etrico gerado por uma carga punti- pontos A e B, e isso ´e um resultado decorrente do fato de a forme fixa no v´acuo, em fun¸ca˜o da distˆancia d ` a carga. for¸ca el´etrica ser conservativa.

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Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de diferen¸ca de potencial (d.d.p.) ser´ a o joule/ coulomb, que ´e denominada volt ou V . Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o ext E campo (for¸ca el´etrica) realiza um trabalho de 110 J sobre cada l C de carga que se desloca de um ponto para outro. Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar vocˆe realizando o movimento de uma carga de prova entre os pontos A e B, e observe os sentidos da for¸ca externa e do deslocamento. Por exemplo, se vocˆe deslocar uma carga positiva, contra o campo el´etrico numa determinada regi˜ ao, observar´ a que ser´ a realizado um trabalho externo positivo, e o potencial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada para uma regi˜ ao de maior Como o campo ´e uniforme, a for¸ca el´etrica que atua na carga q ´e constante e ter´ a intensidade dada por: potencial.

A

F

F

B

+q

E

F = qE Potencial El´ etrico Gerado por uma Carga Puntiforme

Sabemos, da mecˆ anica, que o trabalho realizado por uma for¸ca constante e paralela ao deslocamento e dado por

A→B Wext. = −FE · d Para calcularmos o trabalho WEA→B realizado sobre a carga +q, sendo deslocada pr´oximo ` a uma carga puntiforme Q, deao a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, ser´ a: vemos utilizar conceitos matem´aticos que o estudante ver´a em Ent˜ seu curso superior: trata-se do c´ alculo integral, que, utilizado VB − VA = −E · d neste caso, nos fornecer´ a como resultado: e neste caso dizemos que a tens˜ ao cai de A para B. Em geral,   a d.d.p. ´e negativa na dire¸ca˜o e sentido do campo el´etrico. 1 1 WEA→B = −kQq − A rela¸ca˜o obtida acima ´e de grande utilidade, uma vez que, rB rA conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente o campo el´etrico. Observe que o campo el´etrico poder´ a ser Dessa maneira a diferen¸ca de potencial no caminho de A para expresso tamb´em em volt/metro. Procure demonstrar que B ser´ a: l N/C = l V /m.

VA→B

W A→B = VB − VA = − ext. = kQ q



1 1 − rB rA



Rigidez Diel´ etrica

Sabe-se que o ar ´e isolante, por´em quando submetido a um grande campo el´etrico, algumas mol´eculas s˜ ao ionizadas e o ar Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por se torna condutor. A esse limite de campo el´etrico m´aximo etrica ou exemplo, B, fa¸camos rA tender ao infinito, onde supomos que que um isolante suporta chamamos de rigidez diel´ Emax . Para o ar de Jonville, sempre muito u ´ mido, temos o potencial seja nulo. Quando isso acontece Emax ≈ 800 v/mm. VB = k

Q rB

Pense um Pouco!

Essa equa¸ca˜o fornece o potencial de B em rela¸ca˜o a um ponto no infinito. Se nos depararmos com uma configura¸ca˜o de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa regi˜ao ser´ a a soma alg´ebrica dos potenciais devidos a cada carga, isto ´e:

VP = k



Q1 Q2 Qn + + ... + r1 r2 rn



=k

n X Qi i=1

ri

• Vocˆe saberia responder o valor da d.d.p. (diferen¸ca de potencial) entre o ch˜ ao e uma nuvem, num raio? • Qual a d.d.p. m´axima entre dois fios paralelos, separados por uma distˆancia de 10 cm, em Joinville? • Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma tomada ´e de 200 V . O que significa isso fisicamente?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Potencial dentro de um Campo El´ etrico

1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de uma carga positiva de campo cujo valor ´e 4, 0 × l0−6 C?

Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre uma linha de for¸ca do campo uniforme mostrado na figura 2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2 , de valores −2 µC e seguinte: +2 µC, respectivamente, est˜ ao separadas por uma distˆancia

107

Eletricidade – Aula 5 de 40 cm. a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do segmento que une as cargas Q1 e Q2 . b) Calcule o m´odulo, a dire¸ca˜o e o sentido do vetor campo el´etrico em P . c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses c´ alculos? 3. (UFSC-SC) O campo el´etrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais contr´arios ´e um bom exemplo de campo el´etrico uniforme. Na figura seguinte, a distˆancia entre os pontos A e B vale 5 cm e a intensidade do campo el´etrico uniforme E ´e 2, 0 × 1O5 N/C. a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura? b) Se o ponto A for tomado como n´ıvel de referˆencia para o potencial (V = 0), qual ser´ a o potencial do ponto B?

ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de energia potencial el´etrica. Assim, definiremos a energia potencial el´etrica de um sistema de cargas el´etricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para trazˆe-las em equil´ıbrio de uma separa¸ca˜o infinita at´e a configura¸ca˜o atual.

equipotencial linha de campo

E

V1

E A

V2 V3 V4

B

Exerc´ıcios Complementares

O potencial el´etrico que uma carga q1 origina no ponto P , a uma distˆancia r da carga, ´e dado por:

4. (ACAFE-SC) No v´acuo, um pequeno corpo eletrizado com kq1 carga el´etrica Q cria um potencial igual a +3000 V num ponto V1 = 9 2 2 r A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 10 N · m /C , determine: Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida do a) o valor da carga Q; infinito at´e o ponto P . O trabalho realizado para tal ´e, segundo b) a intensidade do vetor campo el´etrico no ponto A. a defini¸ca˜o de potencial el´etrico: 5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1 , Q2 e Q3 dispostas nos W2 = q2 V1 v´ertices de um retˆ angulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial el´etrico total no v´ertice A, que n˜ ao cont´em nenhuma Como o trabalho ´e a pr´opria energia potencial el´etrica E do pot carga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e sistema de cargas {q , q }, ent˜ a o 1 2 k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . kq1 q2 6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das for¸cas do campo el´etrico Epot = r12 de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A a ou- onde r12 ´e a distˆancia entre as cargas q1 e q2 . tro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectivamente. Esse trabalho ´e positivo ou negativo? Explique. Dado: k = 9 × 109 N · m2 /C 2 . Pense um Pouco!

Eletricidade

Aula 5

• Como seriam as superf´ıcies equipotenciais de uma carga puntiforme? • Qual o trabalho necess´ ario para se deslocar uma carga q ′ em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a distˆancia fixa entre elas?

Superf´ıcies Equipotenciais Denomina-se superf´ıcie equipotencial ao lugar geom´etrico dos pontos que tˆem mesmo potencial el´etrico. Nenhum trabalho ´e realizado no deslocamento de uma carga de prova entre dois pontos de uma mesma superf´ıcie equipotencial. Para aumentar a separa¸ca˜o entre as cargas, ´e preciso que um agente externo realize um trabalho, cujo sinal poder´ a ser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais iguais

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do pr´oton ´e igual em valor absoluto `a do el´etron, tendo no entanto sinal contr´ario ao da referida carga. Um pr´oton tem velocidade relativa zero em rela¸ca˜o a um el´etron. Quando eles estiverem separados pela distˆancia 10−13 cm, calcule a energia potencial do sistema.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

V (volts)

0

100

-50

50

-100

0

-150

-0.5 0.0 x (m) 0.5

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V (volts)

150

-1.0

—

1.0

1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0

Figura 1.1: O potencial el´etrico em torno de uma carga puntual positiva q = +1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, indicando no c´ırculo maior onde V = +10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

2. (IME-RJ) Trˆes cargas q1 , q2 e q3 est˜ ao dispostas, uma em cada v´ertice de um triˆ angulo equil´ atero de lado a. Qual a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC, q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.

-1.0

-0.5 0.0 x (m) 0.5

1.0

1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0

Figura 1.2: O potencial el´etrico em torno de uma carga puntual positiva q = −1 nC. Na base est˜ ao as equipotenciais, indicando no c´ırculo maior onde V = −10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

equipotencial linha de campo

E

3. No esquema abaixo representamos as superf´ıcies equipotenciais e as linhas de for¸ca no campo de uma carga el´etrica puntiforme Q. Considere que o meio ´e o v´acuo. Sendo V1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga at´e V2 a distˆancia r = 0, 30 m. Determine: a) o valor de Q; b) a d.d.p. encontrada no caminho da superf´ıcie com V1 at´e a outra com V2 ; c) o trabalho da for¸ca el´etrica que atua sobre uma carga de prova q ′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3 .

V1 V2 V3 V4

109

Eletricidade – Aula 6

Exerc´ıcios Complementares 4. (USP-SP) Uma part´ıcula de massa m e carga el´etrica q > 0 est´ a em equil´ıbrio entre duas placas planas, paralelas e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A distˆancia entre as placas ´e d, e a acelera¸ca˜o local da gravidade ´e g. a) Determine a diferen¸ca de potencial entre as placas em fun¸ca˜o de m, g, q e d. b) Qual placa tem o maior potencial? Explique. 5. (FEI-SP) Uma part´ıcula da massa m = 200 mg e carga q = +1µC ´e abandonada num ponto A e se dirige a outro B. Sendo de −100 V a diferen¸ca de potencial de A e B, a velocidade com que a part´ıcula alcan¸ca B ´e: a) 5, 0 m/s b) 4, 0 m/s c) 3, 0 m/s d) 2, 0 m/s e) 1, 0 m/s 6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do el´etron ´e 9, 1 × 10−31 kg, que sua carga el´etrica vale −1, 6 × 10−19 C e que a diferen¸ca de potencial entre os ponto A at´e B ´e 100 V . Um el´etron ´e abandonado em B sob a a¸ca˜o exclusiva do campo el´etrico. O m´odulo da velocidade do el´etron ao atingir o ponto A ´e um valor mais pr´oximo de: a) 36 × 1012 m/s b) 6, 0 × 1012 m/s c) 6, 0 × 106 m/s d) 35 × 106 m/s e) 6, 0m/s

Eletricidade

Aula 6

Condutores em Equil´ıbrio Vamos estudar o campo el´etrico e o potencial el´etrico de uma distribui¸ca˜o de cargas em um condutor em equil´ıbrio eletrost´ atico. Para estudar os campos el´etricos, vamos usar n˜ ao sistemas de cargas puntiformes e sim distribui¸co˜es de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes est˜ ao em equil´ıbrio eletrost´ atico, ou seja, nenhuma carga est´ a sendo colocada ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de cargas j´ a cessou.

Equil´ıbrio Eletrost´ atico Um condutor est´ a em equil´ıbrio eletrost´atico quando nele n˜ ao ocorre movimento ordenado de cargas el´etricas. Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig. 1.1, uma a carga el´etrica Q, a repuls˜ ao m´ utua das cargas elementares que constituem Q faz com que elas fiquem t˜ ao longe uma da outra quanto poss´ıvel. O maior afastamento poss´ıvel corresponde a uma distribui¸ca˜o de cargas na superf´ıcie externa do condutor, situa¸ca˜o, ali´ as, que destacamos nas figuras de condutores que at´e agora apareceram em nossas aulas. Nessa configura¸ca˜o de cargas, todas na superf´ıcie, o condutor possui a sua menor energia potencial el´etrica.

+++ metal eletrizado ++ ++ + + + + E tangente ‘a + + A superficie + + + + ++ + + linha de campo + C + + B + + + + + +

Figura 1.1: Um condutor carregado com carga positiva. O Campo Interno No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, o ~ = ~0. campo el´ etrico ´ e nulo em todos os pontos, ou seja, E Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo el´etrico no interior do condutor, ele agiria nos el´etrons livres, os quais teriam um movimento ordenado sob sua influˆencia, contrariando o conceito de condutor em equil´ıbrio eletrost´atico. O Campo Externo Contudo, da sua superf´ıcie para fora, o campo el´etrico n˜ ao ~ ser´ a nulo. Por´em, nesses pontos, o vetor campo el´etrico E deve ser normal `a superf´ıcie, como em A, na Fig. 1.1. Se ~ ′ no ponto B da mesma figura, o vetor campo fosse como E ele teria uma componente tangencial `a superf´ıcie do condutor, o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo da superf´ıcie.

O Poder das Pontas Nas regi˜oes pontiagudas de um condutor carregado (regi˜ ao C da Fig. 1.1), a densidade de carga, isto ´e, a concentra¸ca˜o de cargas el´etricas por unidade de ´area superficial ´e mais elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhan¸cas o campo el´etrico ´e mais intenso. Quando o campo el´etrico nas vizinhan¸cas da ponta atinge determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor se descarrega atrav´es da ponta. Esse fenˆ omeno recebe o nome ´ nele que se baseia, por exemplo, o de “poder das pontas”. E funcionamento dos p´ ara-raios.

Condutor Oco Evidentemente, n˜ ao importa se o condutor ´e maci¸co ou oco (Fig. 1.2): o campo el´etrico no interior do metal ´e sempre nulo e as cargas se distribuem na sua superf´ıcie externa.

Potencial El´ etrico O potencial el´etrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equil´ıbrio eletrost´atico, ´e constante. As-

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+++ + +++ + + + + + +

++ +

+

+ +

+ +

+ + +

+

+

+

+ + +

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Uma tela met´ alica envolvendo certa regi˜ao do espa¸co tamb´em constitui uma blindagem satisfat´ oria – a chamada “gaiola de Faraday”. A blindagem eletrost´atica ´e muito utilizada para a prote¸ca˜o de aparelhos el´etricos e eletrˆ onicos contra efeitos externos perturbadores. Os aparelhos de medidas sens´ıveis est˜ ao acondicionados em caixas met´ alicas, para que as medidas n˜ ao sofram influˆencias externas. As estruturas met´ alicas de um avi˜ ao, de um autom´ ovel e de um pr´edio constituem blindagens eletrost´ aticas.

Figura 1.2: Um condutor oco. sim, para o condutor da Fig. 1.1, temos VA = VB = VC = VD .

Condutor Esf´ erico Para se determinar o vetor campo el´etrico e o potencial el´etrico em pontos externos a um condutor esf´ erico eletrizado, sup˜ oe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no centro: Eext = k

Q r2

Vext = k

Q r

e

O potencial el´etrico do condutor esf´erico de raio R ´e o potencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado pelo valor Como Funciona o P´ ara-Raios? fixo: Q Vint, sup = k R O p´ ara-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais eficiente para as descargas el´etricas, protegendo casas, edif´ıcios, dep´ositos de combust´ıveis, linhas de transmiss˜ao de energia Blindagem Eletrost´ atica el´etrica, etc. Considere um condutor oco A em equil´ıbrio eletrost´atico e, em seu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo el´etrico no interior de qualquer condutor em equil´ıbrio eletrost´atico ´e nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de qualquer a¸ca˜o el´etrica externa. Mesmo um corpo eletrizado B externo induz cargas em A, mas n˜ ao em C. Desse modo, o condutor A constitui uma blindagem eletrost´atica para o corpo C.

Saiba Mais

A C

Figura 1.3: A blindagem eletrost´ atica.

O p´ ara-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l7061790). pol´ıtico, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, ´e constitu´ıdo essencialmente de uma haste condutora disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma ou mais pontas de material com elevado ponto de fus˜ao, a outra extremidade da haste ´e ligada, atrav´es de condutores met´ alicos, a barras met´ alicas que se encontram cravadas, profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobre as pontas do p´ ara-raios, induz nelas cargas el´etricas intensificando o campo na regi˜ao j´a ionizada pela descarga l´ıder. Produz-se a descarga principal atrav´es do p´ ara-raios.

111

Eletricidade – Aula 7

2. Considere uma esfera met´ alica oca provida de um orif´ıcio e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera met´ alica neutra ´e colocada em contato com a primeira. Quais s˜ ao as afirma¸co˜es corretas? a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera n˜ ao se eletriza. b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza. c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, ap´ os um contato interno ficaria neutra. d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga el´etrica da pequena esfera aumenta. e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribui¸ca˜o de cargas na esfera oca se altera. 3. (Efei-MG) Um condutor esf´erico de raio R = 30 cm est´ a eletrizado com carga el´etrica Q = 6, 0 nC. O meio ´e o v´acuo (k = 9, 0 × 109 N · m2 /C 2 ). Determine: a) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico no centro da esfera; b) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro da esfera.

Exerc´ıcios Complementares

Pense um Pouco! • Como funciona um p´ ara-raios? Que ´ area ele protege?

4. (Efei-MG) Duas esferas met´ alicas, A e B, de raios R e 3R, est˜ ao eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente. As esferas est˜ ao separadas de modo a n˜ ao haver indu¸ca˜o entre elas e s˜ ao ligadas por um fio condutor. a) Quais as novas cargas ap´ os o contato? b) Qual o potencial el´etrico de cada esfera, depois do contato?

• Por que durante uma tempestade para se proteger das alicas, A e B, de raios chuvas ´e mais seguro ficar dentro do carro que debaixo de 5. (ACAFE-SC) Duas esferas met´ 10 cm e 20 cm, est˜ ao eletrizadas com cargas el´etricas 5, 0 nC e uma ´arvore? −2, 0 nC, respectivamente. As esferas s˜ ao postas em contato. Determine, ap´ os atingir o equil´ıbrio eletrost´atico: a) as novas cargas el´etricas das esferas; Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao b) o potencial el´etrico que as esferas adquirem. c) Houve passagem de el´etrons de A para B ou de B para A? 1. (Cefet-BA) Considere um condutor met´ alico com a forma Explique. indicada na figura. O condutor est´ a eletrizado positivamente e em equil´ıbrio eletrost´atico. Observe os pontos A, B e C. 6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas met´ alicas Quais s˜ ao as afirma¸co˜es corretas? −6 idˆ e nticas, A e B, de cargas el´ e tricas 5, 0 × 10 C e 3, 0× a) ( ) O campo el´etrico em A ´e nulo. −6 10 C, respectivamente. As esferas s˜ a o colocadas em conb) ( ) A densidade de cargas el´etricas ´e maior em C do que tato. em B. a) Determine o n´ umero de el´etrons que passou de um condutor c) ( ) O campo el´etrico em B ´e mais intenso do que em C. para outro. d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial el´etrico. e) ( ) As cargas el´etricas em excesso distribuem-se na superf´ıcie b) Qual das esferas recebe el´etrons? externa do condutor. 7. Sabendo-se que existe um campo el´etrico na superf´ıcie da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio da + Terra R = 6.400 km, determine: + a) O potencial el´etrico da Terra (do ch˜ ao); + + + b) A carga el´ e trica total da Terra. +

+

+

B + +

+ +

A

+ +

+

+

+

+

C

Eletricidade

Aula 7

112

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Capacidade El´ etrica

++

+

+

Capacitores Planos O capacitor plano ´e constitu´ıdo por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um diel´etrico qualquer (ar, mica, papel, pol´ımeros, etc.)

Placa Condutora

+

Q

+ +

+ + + +

+

+ +

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Num circuito, os capacitores ser˜ ao representados por duas barras paralelas.

Denomina-se capacidade el´etrica ou capacitˆancia de um corpo condutor a capacidade que ele possui de armazenar cargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de um g´ as que um bal˜ ao pode conter depende da press˜ ao a que o g´ as estiver submetido e tamb´em das dimens˜oes e forma do bal˜ ao, a capacidade el´etrica depender´a das dimens˜oes e forma do condutor. A experiˆencia mostra que, se fornecemos a um condutor cargas Q1 , Q2 , Q3 , ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo ser´ a V1 , V2 , V3 , ..., V , sempre proporcionais ` a carga Q fornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V ´e constante (Fig. 1.1).

+

—

+

+ +

Material Isolante

V

+

−

Figura 1.1: Capacitor met´ alico carregado com carga positiva +Q. Essa constante de proporcionalidade C ´e denominada capacitˆ ancia do condutor.

Placa Condutora

Seja A a ´area de cada armadura e d a distˆancia entre as mesmas. Consideremos inicialmente que haja v´acuo entre as pla´ poss´ıvel demonstrar, mediante a aplica¸ca˜o da lei de cas. E Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas ´e dado por: Q E= ǫ0 A onde ǫ0 ´e a constante de permissividade el´ etrica do v´acuo, ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m

Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:

no SI.

1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad

Rela¸ c˜ ao Entre k e ǫ0 A capacitˆancia de um condutor que recebe uma carga de l coulomb, adquirindo um potencial de l volt, ´e igual a l F . As constantes k, a constante el´etrica da lei de Faraday, e ǫ0 , ao intimamente relaciNa pr´atica, os capacitores tem capacitˆancia da ordem t´ıpica a permissividade el´etrica do v´acuo, est˜ onadas, e pode-se mostrar que: de µF arad. 1 k= 4πǫ 0 Capacitores Na pr´atica, ´e imposs´ıvel obter condutores de capacitˆancia elevada, sem que suas dimens˜oes sejam extraordinariamente grandes. No entanto, ´e poss´ıvel obtermos dispositivos, de dimens˜ oes pequenas, capazes de armazenar uma razo´avel quantidade de cargas com diferen¸cas de potencial n˜ ao muito grandes. Esses dispositivos s˜ ao denominados capacitares ou condensadores. Um capacitor ´e um par de condutores, separados por um isolante (diel´etrico). Os condutores que constituem o capacitor s˜ ao denominados armaduras do capacitor. A classifica¸ca˜o dos capacitores ´e dada em fun¸ca˜o da forma de suas armaduras e da natureza do diel´etrico que existe entre as mesmas. Em todo capacitor, existe uma rela¸ca˜o constante entre o m´odulo da carga (que ´e a mesma em valor absoluto nas duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa rela¸ca˜o ´e denominada capacitˆancia do condensador. C = Q/V

e como ǫ0 ´e dado em F/m, ent˜ ao pode-se escrever a constante k em m/F , j´a que estas constantes s˜ ao inversamente proporcionais.

+ + + + + + ++ + + + +A + + +Q + + ++ + + + + + + + −Q

d

A

Conforme j´a estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as placas vale V = Ed. Assim: Qd V = ǫ0 A A capacitˆancia do capacitor plano ´e dada por: C=

ǫ0 A d

113

Eletricidade – Aula 8 Observe que a capacitˆancia obtida ´e diretamente proporcional ` a a´rea A das placas, e inversamente proporcional `a sua distˆancia d. Se, em vez de ar ou v´acuo, houver entre as armaduras um diel´ etrico de constante diel´etrica b, a capacitˆancia de um condensador plano ser´ a maior, dada por:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Trˆes condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF , est˜ ao eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC, respectivamente. a) Determine os potenciais el´etricos desses corpos.

bǫ0 A d

2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacitˆancia C. Entre suas armaduras h´ a uma distˆancia d. Qual ser´ a sua Para que o diel´etrico tenha efeito sobre a capacitˆancia, ele capacidade se a distˆancia entre suas placas for aumentada para deve ser colocado na regi˜ ao de campo el´etrico do capacitor. 2d? Alguns diel´etricos como a mica e poli´ester chegam a aumentar 3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C = a capacitˆancia em at´e 100 vezes o seu valor no v´acuo (sem 100 pF , ´area das armaduras A = 100 cm2 , e diel´etrico com diel´etrico). κ = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual a 50V , calcule a intensidade do campo el´etrico no interior do diel´etrico. Capacitor Esf´ erico Simples Dado: ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m. C=

Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio R, sua capacitˆancia ser´ a Q R Q = = = 4πǫ0 R C= V kQ/R k

Exerc´ıcios Complementares

4. (UFPR) Uma part´ıcula de massa 2, 0 × 10−10 kg com ou seja, a capacitˆancia da esfera ´e diretamente proporcional carga positiva e igual a 2, 0 × 1O−6 C penetra atrav´es de um orif´ıcio, com velocidade de 1, 0 × 104 m/s, numa regi˜ao onde ao seu raio R. existe um campo el´etrico uniforme de m´odulo 4 × 105 N/C. A distˆancia entre as placas vale 10 cm. Determine a energia + + + Q cin´ etica com que a part´ıcula atinge a segunda placa, andando + + + + contra o campo el´etrico.

+ +

+ R + + + + + + + + + + + + + + + Capacitor Esferico ´

5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferen¸ca de potencial V . A carga el´etrica armazenada nesse capacitor ´e dada por: a) C/V b) V /C c) C 2 V d) CV 2 e) CV

Exemplo Vamos calcular a capacitˆancia de uma esfera condutora de raio 6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F ´e sujeito a igual a 1, 0 m. uma diferen¸ca de potencial de 30 V . A carga que ele acumulou vale: 1, 0 m R = ≈ 0, 11 nF C= a) 1, 2 × 10−4 C k 9, 0 × 109 m/F b) 2, 4 × 10−4 C Qual seria ent˜ ao o raio da esfera com capacitˆancia de 1, 0 F ? c) 2, 7 × 10−7 C Como C = R/k ent˜ ao d) 3, 7 × 106 C e) 7, 4 × 106 C R = kC = (9, 0 × 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 109 m 7. (UF-ES) Um equipamento el´etrico cont´em duas pilhas de Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de 6.4 × 1, 5 V em s´erie, que carregam um capacitor de capacitˆancia 6 10 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio com 6, 0 × 10−5 F . Qual a carga el´etrica que se acumula no capaaproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra! citor, em coulombs?

Pense um Pouco! • Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?

Eletricidade

Aula 8

• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capacitor carregado, realizaremos algum trabalho?

c˜ ao de Capacitores • Se conectarmos duas esferas met´ alicas idˆenticas de capa- Associa¸ citˆ ancia C cada uma, qual a capacitˆancia do conjunto? Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podem ser Comente. associados de v´arios modos, sendo os principais em s´erie e em • A capacitˆancia de um corpo met´ alico depende dele ser oco paralelo. Se numa associa¸ca˜o encontramos ambos os tipos, ou maci¸co? Explique. chamaremos de associa¸ca˜o mista.

114

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Associa¸c˜ ao de Capacitores em S´ erie C1

C1

C2

a

b

a

Série

a

Cada capacitor adquire uma carga parcial:

C3 b

C2

C2

Paralelo

Misto

(a)

(b)

Q Q e V2 = C1 C2

Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2 , respectivamente, tal que V = V1 + V2

e ent˜ ao a capacidade equivalente ´e dada por: Cser.

=

1 1 + C1 C2

Propriedades • Na associa¸ca˜o em s´erie, a capacitˆancia equivalente do conjunto, Cser. ser´ a menor do que a menor das capacitˆancias utilizadas; • Como as cargas s˜ ao iguais nos dois capacitores em s´erie, a d.d.p. do maior capacitor ser´ a a menor; • Se os capacitores ligados em s´erie forem iguais C1 = C2 = C, a d.d.p. de ambos ser´ a igual a V /2 e a capacitˆancia equivalente ser´ a Cser. = C/2, a metade da capacitˆancia de um dos capacitores; • Para uma associa¸ca˜o em s´erie de n capacitores teremos 1 Cser.

n

=

• Na associa¸ca˜o em paralelo, a capacitˆancia equivalente do conjunto, Cpar. ser´ a maior do que a maior das capacitˆ ancias utilizadas; • Como as tens˜ oes s˜ ao iguais nos dois capacitores em paralelo, a carga do maior capacitor ser´ a a maior das cargas;

• Para uma associa¸ca˜o em paralelo de n capacitores teremos Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn =

n X

Ci

i=1

Energia de um Capacitor

Q Q Q = + Cser. C1 C2

1

Propriedades

• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C1 = C2 = C, a carga de ambos ser´ a a mesma e a capacitˆancia equivalente ser´ a Cpar. = 2C, o dobro da capacitˆancia de um dos capacitores;

Q1 = Q2 = Q

e assim

Cpar. = C1 + C2

(c)

Na associa¸ca˜o em s´erie, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fonte bateria de tens˜ ao V ´e ligada nos terminais a e b, as cargas removidas de um terminal ser˜ ao deslocadas para o outro, ou seja, as cargas em ambos os terminais s˜ ao de mesmo m´odulo:

V1 =

Q = Q1 + Q2 A capacidade equivalente ´e dada por:

Figura 1.1: Associa¸ca ˜o de capacitores em s´erie (a), em paralelo (b) e mista (c).

. Ent˜ ao

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Observamos que a mesma d.d.p. V ´e aplicada aos capacitores da associa¸ca˜o. V = V1 = V2 C1

b

—

X 1 1 1 1 + + ...+ = C1 C2 Cn Ci i=1

Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas armaduras por um fio condutor: as cargas negativas v˜ao fluir para a outra armadura at´e que ambas se neutralizem. O tempo necess´ ario para isso ´e muito pequeno, e muitas vezes a descarga vem acompanhada de uma fa´ısca que salta dos extremos do condutor que une as armaduras. Conforme j´a estudamos anteriormente, o transporte de cargas el´etricas entre pontos que possuem diferentes potenciais el´etricos implica aparecimento de energia el´etrica. Quando uma carga el´etrica ´e transportada entre dois pontos, entre os quais existe uma diferen¸ca de potencial V qualquer, o trabalho realizado ´e W = qV Na descarga do capacitor, por´em, a d.d.p. varia, diminuindo `a medida que uma parcela da carga vai se transferindo para a outra armadura. Como a carga total do capacitor ´e Q = CV , e a d.d.p. varia de V at´e zero durante o processo de descarga, podemos tomar o valor m´edio da tens˜ ao como sendo V /2 e calcular o trabalho W = qV = CV ·

1 V = CV 2 2 2

e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemos supor que essa energia estava armazenada no capacitor, como energia potencial el´etrica. Assim, definimos a energia do capacitor como

Associa¸c˜ ao de Capacitores em Paralelo E=

1 CV 2 2

(Veja a Fig. 1.1(b) ). Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores s˜ ao Observe que a express˜ ao anterior pode ser reescrita de duas ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria outras formas equivalentes: de tens˜ ao V , a placa positiva de cada capacitor est´ a ligada `a Q2 1 placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas E = QV = 2 2C negativas.

115

Eletricidade – Aula 9

Pense um Pouco!

Corrente El´ etrica

• Cite duas aplica¸co˜es direta dos capacitores. • Algu´em disse que os fios usados em circuitos el´etricos servem para igualar o potencial el´etrico nas partes conectadas nas suas duas pontas. O que vocˆe acha disso? • Na figura 1.1, imagine que se conecte nos terminais a e b, os terminais (p´ olos) de uma bateria de tens˜ ao V . Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes que tem o mesmo potencial el´etrico de a, e de outra cor as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o conclua vocˆe mesmo.

Num material condutor, mesmo descarregado do ponto de vista el´etrico, existem alguns el´etrons chamados livres que podem se deslocar dentro do material, passando de um ´atomo para outro. Mesmo havendo equil´ıbrio de cargas dentro de um condutor, os el´etrons livres ficam o tempo o todo em movimento aleat´ orio dentro do material, mantendo em m´edia, o equil´ıbrio de cargas de cada ´atomo. Quando todos os el´etrons livres forem for¸cados a se deslocar numa dada dire¸ca˜o espec´ıfica, ao longo de um fio condutor, por exemplo, ent˜ ao teremos uma corrente el´etrica i. + + +

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

+ +

1. (UERJ) Uma associa¸ca˜o de l.000 capacitores de 10 µF cada um, associados em paralelo, ´e utilizada para armazenar energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto at´e 50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o pre¸co do kW · h?

+Q

R

+ + +

+ + + +

i

.

2. (FAAP-SP) Associam-se em s´erie trˆes capacitores neutros com capacitˆancias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e C3 = 100 µF . Figura 1.1: O sentido da corrente i, e o movimento dos Calcule a capacitˆancia equivalente do sistema. el´etrons num fio. 3. Calcule a capacitˆancia equivalente da associa¸ca˜o mista Por conven¸ca˜o, indica-se num fio o sentido da corrente i por mostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF , uma flecha, no sentido contr´ ario ao movimento dos el´etrons! C2 = 10 µF e C3 = 40 µF . Isto porque, historicamente, as cargas foram batizadas por Benjamin Franklin no s´ec. XVIII, como positivas e negativas, e se acreditava que as cargas positivas ´e que se moviam dentro de um fio com corrente. Exerc´ıcios Complementares Do ponto de vista f´ısico, ´e equivalente se pensar em el´etrons se movendo num sentido, ou pr´otons se movendo no sentido 4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num conjunto contr´ario. de capacitores com capacitˆancia total de 2.000 µF e sob tens˜ ao de 900 V .

Unidade de Corrente

5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitˆancia C1 = 6, 0 µF e C2 = 3, 0 µF s˜ ao associados em paralelo e a associa¸ca˜o ´e No Sistema Internacional, medimos a corrente em amp`eres ou submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitˆancia C1 A: 1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s se eletriza com carga el´etrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o de capacitˆancia C2 , com carga el´etrica Q2 . Determine V e Q2 . ou seja, para uma corrente de 1 amp`ere, h´ a um fluxo de carga de 1 coulomb por segundo, atravessando a sec¸ca˜o reta de um 6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um capacondutor. citor, de capacitˆancia 2, 0 µF , a fim de que armazene energia potencial el´etrica de 2, 5 × 10−3 J?

Lei de Ohm

7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televis˜ao tem uma capacitˆancia de 1, 2 µF . Sendo a diferen¸ca de potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele armazena ´e de: a) 6, 7 J b) 5, 4 J c) 4, 6 J d) 3, 9 J e) 2, 8 J

Define-se a resistˆencia el´etrica R de um condutor, ligando suas extremidades numa diferen¸ca de potencial V e medindo a corrente el´etrica que o atravessa. Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente el´etrica obtida, maior a resistˆencia do condutor, e vice-versa:

Eletricidade

Se a resistˆencia R assim definida for independente da tens˜ ao e da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor ´e chamado de ˆ ohmico. Para os materiais considerados bons condutores, como os metais, a resistˆencia el´etrica ser´ a baixa, em geral pr´oxima de zero.

Aula 9

R = V /i

116

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Para os materiais isolantes, como a borracha, a resistˆencia el´etrica ser´ a muito alta, tendendo ao infinito. A resistˆencia de um resistor depende de sua forma f´ısica, de suas dimens˜oes e do material de que ´e feito. Em geral, quanto mais fino e longo um fio, maior sua resistˆencia el´etrica.

—

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a) 0, 2 A b) 4, 0 A c) 1/4 A d) 0, 3 mA e) 0, 25 mA

2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma corrente de 10 A durante 15 minutos. Qual a carga el´etrica total utilizada neste banho? No Sistema Internacional, medimos a resistˆencia el´etrica em a) 150 C ohms ou Ω: b) 9 C c) 1, 5 C 1 Ω = 1 volt/amp`ere = 1 V /A d) 9.000 C e) 9 mC ou seja, se para uma tens˜ ao de 1 volt se obt´em uma corrente de 1 amp`ere, ent˜ ao o resistor tem resistˆencia de 1 ohm. 3. Uma pilha de 1, 5 V ´e conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente el´etrica de 3 mA. Qual a resistˆencia el´etrica do LED? Circuitos Simples a) 500 Ω b) 50 Ω Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito simples c) 5 Ω com uma resistˆencia el´etrica total R, a corrente na bateria d) 0, 5 Ω ser´ a, pela lei de Ohm: e) n. d. a. E i= R

Unidade de Resistˆ encia

Exerc´ıcios Complementares

Exemplo Considere o circuito abaixo, onde uma lˆ ampada de resistˆencia 4. A resistˆencia el´etrica de um fio condutor depende: R = 5 Ω est´ a conectada numa fonte (bateria) de 12 V atrav´es a) apenas da corrente aplicada b) da tens˜ ao aplicada de fios ideais, de resistˆencia nula. c) de suas dimens˜oes e do material de que ´e feito d) da corrente m´axima que ele suporta R e) da tens˜ ao e da corrente m´aximas

ε

i

+

Figura 1.2: Um circuito simples. Resolu¸ca˜o: i=

E 12 V = = 2, 4 A R 5Ω

Pense um Pouco! • Se dobrarmos a tens˜ ao aplicada ` a um resistor oˆhmico, o que acontecer´ a com sua corrente? • Para um resistor ˆ ohmico, que tipo de gr´ afico V × i ter´ıamos?

Exerc´ıcios Complementares

5. Um fus´ıvel ´e um resistor preparado para se romper quando a corrente nele excede um determinado valor. Para um fus´ıvel de carro que suporta at´e 2, 0A, e opera em 12 V , qual a sua resistˆencia interna m´ınima? a) 24 Ω b) 12 Ω c) 4 Ω d) 0, 17 Ω e) n. d. a. 6. Uma lˆ ampada de 60 W , constru´ıda para operar em 110 V onde ela conduz 2, 0 A de corrente, ´e ligada por engano em 220 V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de carga que ela conduz, at´e queimar? a) 5 C b) 10 C c) 15 C d) 20 C e) n. d. a.

Eletricidade

Aula 10

Resistˆ encia Equivalente

1. Um fio condutor transporta uma carga de 30 C em dois Em geral, um circuito pode conter mais de um resistor, e at´e minutos. Qual a corrente m´edia no fio, durante esse processo? outros elementos como bobinas, fios, chaves, LEDs, etc., todos

117

Eletricidade – Aula 10 eles ligados a uma fonte, por exemplo. Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou bateria) de f. e. m., a determina¸ca˜o da corrente el´etrica i na fonte ´e poss´ıvel atrav´es do c´ alculo da resistˆ encia equivalente Req. a todos os elementos do circuito. Ou seja, determinamos qual o valor Req. da resistˆencia que, substituindo o circuito todo, conduz a mesma corrente. Pela lei de Ohm: i=

12 Ω 6Ω a

E Req.

b

4Ω

Associa¸c˜ ao de Resistores Para um circuito com uma fonte e v´arios resistores, podemos calcular facilmente a resistˆencia equivalente, a corrente que passa na fonte e, a seguir, as correntes e tens˜ oes em cada um dos resistores.

Figura 1.2: Trˆes resistores ligados em paralelo.

Associa¸c˜ oes Mistas Resistores em S´ erie Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ˆohmicos em s´erie, R1 , R2 , R3 , etc., a resistˆencia equivalente ser´ a a soma das resistˆencias, ou seja: X Ri Req. = R1 + R2 + R3 + . . . =

Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ˆohmicos, alguns em s´erie e outros em paralelo, devemos ir calculando as resistˆencias equivalentes das partes em s´erie e em paralelo, at´e se chegar numa resistˆencia equivalente geral para todo o circuito.

i

12 Ω

6Ω

6Ω

4Ω

a

4Ω 12 Ω

a

b

b Passo 1

6Ω Figura 1.1: Trˆes resistores ligados em s´erie. Na associa¸ca˜o em s´erie da figura acima, a resistˆencia equivalente ´e Req. = 12 Ω + 6 Ω + 4 Ω = 22 Ω Quando mais resistores ligarmos em s´erie, maior ser´ a a resistˆencia equivalente.

3Ω

a

b

Passo 2

9Ω a

b

Figura 1.3: Trˆes resistores em liga¸ca ˜o mista.

Resistores em Paralelo

Na associa¸ca˜o mista de resistores mostrada na figura acima, a resistˆencia equivalente ´e calculada em dois passos: Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ˆohmicos Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 Ω est˜ ao em em paralelo, R1 , R2 , R3 , etc., o inverso da resistˆencia equiva- paralelo, logo a resistˆencia R′ equivalente a estes resistores lente ser´ a a soma dos inversos das resistˆencias, ou seja: ser´ a: 1 1 1 4 X 1 1 1 1 1 = + = =⇒ R′ = 3 Ω ′ = + + + ... = R 12 Ω 4 Ω 12 Ω Req. R1 R2 R3 Ri i Passo 2) Substituindo-se ent˜ ao os resistores de 4 e 12 Ω por um equivalente de 3 Ω, temos uma associa¸ca˜o em s´erie, entre Na associa¸ca˜o em paralelo da figura acima, a resistˆencia equiresistores agora de 6 e 3 Ω, e a resistˆencia final equivalente R′′ valente ´e 1 1 1 1 6 ser´ a: = + + = R′′ = 6 Ω + 3 Ω = 9 Ω Req. 12 Ω 6 Ω 4 Ω 12 Ω ou seja Req. = 2 Ω Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo, menor ser´ a a resistˆencia equivalente. Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa s˜ ao ligados em paralelo, por exemplo.

Exemplo Completo Determinar a corrente e a tens˜ ao el´etrica em cada um dos resistores do circuito misto da se¸ca˜o anterior, quando uma fonte de 45 V for ligada nos pontos a e b. Resolu¸ca˜o:

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corrente ser´ a conduzida pela parte do fio que est´ a “aberta”. Esta situa¸ca˜o ´e equivalente ao uso de um resistor infinito, na pr´atica, uma grande resistˆencia ´e equivalente ao circuito 6Ω aberto. 12 Ω d Quando um fio fio condutor perfeito, ou seja, que n˜ ao possui a c b resistˆ e ncia, for ligado num circuito no lugar de um resistor + i normal, teremos o que se chama de “curto-circuito´´. Se nos 45 V i´´ − extremos desse fio houver uma tens˜ ao qualquer, teremos uma corrente enorme passando pelo fio, j´a que i = V /R, e para R pr´oximos de zero a corrente se torna muito alta. Normalmente h´ a algum problema com o circuito quando um curto-circuito ´e formado. Nunca fa¸ca isso! Mesmo uma pilha de bolso pode Figura 1.4: Exemplo completo. produzir correntes enormes por um curto intervalo de tempo, se seus p´ olos forem conectados com um fio bom condutor. Como a resistˆencia equivalente desta associa¸ca˜o mista ´e 9 Ω, Se numa associa¸ca˜o em paralelo, um dos resistores entrar em curto-circuito, por aquecimento ou outra raz˜ ao qualquer, ent˜ ao a corrente i que passa na fonte ser´ a: a resistˆencia equivalente do conjunto todo de resistores ser´ a nula. E 45 V i= = =5A Req. 9Ω i´ 4Ω

12 Ω

Esta ´e a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de 6 Ω, e aplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamos a tens˜ao Vac entre os pontos a e c, onde o resistor est´ a conectado:

6Ω

Vac = Ri = (6 Ω)(5 A) = 30 V

a b Ao chegar ao n´ o c, vemos que a corrente se divide em duas partes, na associa¸ca˜o em paralelo: uma que passa pelo resistor de cima i′ e outra no resistor de baixo i′′ . Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo ´e de 3 Ω, curto conforme calculado anteriormente, a queda de tens˜ ao Vcd , entre os pontos c e d, que ´e a mesma tens˜ ao entre os pontos c e b, ser´ a, pela lei de Ohm: J´ a numa associa¸ca˜o em s´erie, havendo curto num resistor, a resistˆ encia equivalente do conjunto ser´ a a soma das resistˆencias Vcd = R′ i = (3 Ω)(5 A) = 15 V dos os outros resistores. → Observe que a queda de tens˜ ao no primeiro resistor somada `a queda de tens˜ ao no conjunto em paralelo d´ a exatamente a tens˜ ao da fonte: E = Vac + V cb Finalmente, como a tens˜ ao Vcd = 15 V , temos as correntes nos outros dois resistores: i′ =

i´ = 0 12 Ω a

i

15 V = 1, 25 A 12 Ω que s˜ ao as correntes nos resistores de 4 e 12 Ω, respectivamente. → Observe que a soma das correntes el´etricas no conjunto em paralelo, ´e igual a corrente total que passa na fonte: i′′ =

′

i=i +i

′′

→ Observe tamb´em que, como ambos os resistores em paralelo est˜ ao ligados na mesma tens˜ ao, o resistor de menor resistˆencia conduz a maior corrente, e vice-versa.

4Ω curto

b

i

15 V = 3, 75 A 4Ω

e

6Ω

Pense um Pouco! • Se conectarmos N resistores idˆenticos de resistˆencia R em s´erie, qual a resistˆencia equivalente do conjunto? • Quantas resistˆencias diferentes podemos formar, se dispomos de apenas trˆes resistores: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω e R3 = 4 Ω?

Exerc´ıcios Complementares

1. Sobre associa¸co˜es de resistores ˆohmicos, considere as seguintes afirmativas: Quando um fio de um circuito se rompe, como no caso de um I. A m´axima resistˆencia equivalente de um conjunto de resisfus´ıvel queimar, dizemos que o circuito est´ a aberto, e nenhuma tores ´e obtida quando todos est˜ ao em paralelo;

Curto-circuito e Circuito Aberto

119

Eletricidade – Aula 11

II. A resistˆencia equivalente para uma associa¸ca˜o em s´erie ´e 6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontos sempre menor do que a menor das resistˆencias usadas; a e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conforme a III. Se um resistor estiver em curto e a resistˆencia equivalente figura: do conjunto de resistores n˜ ao se anular, ´e porque a associa¸ca˜o ´e do tipo mista; 1Ω IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a associa¸ca˜o deve ser em s´erie. a) est˜ ao corretas I e III 2Ω b) est˜ ao corretas I, III e III c) est˜ ao corretas II, III e IV a b d) est˜ ao corretas III e IV 3Ω e) n. d. a. 2. Ligou-se em s´erie num circuito: uma bateria de 1, 5 V , um resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tens˜ ao no resistor de 5 Ω ser˜ ao, respectivamente: a) 0, 1 A e 1, 5 V b) 0, 5 A e 0, 1 V c) 0, 1 A e 0, 5 V d) 3, 0 A e 0, 5 V e) n. d. a.

Pode-se afirmar que: a) a corrente el´etrica em R1 ´e de 10 A b) a tens˜ ao el´etrica em R2 ´e de 6 V c) a corrente el´etrica em R3 ´e de 4 A d) a tens˜ ao el´etrica em R1 ´e maior do que em R3 e) n. d. a.

7. A resistˆencia el´etrica entre os pontos a e b da associa¸ca˜o de 3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , um seis resistores ˆohmicos iguais a R: resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tens˜ ao no resistor de 10 Ω ser˜ ao, respectivamente: R a) 0, 45 A e 1, 5 V R b) 0, 15 A e 1, 5 V c) 0, 15 A e 0, 5 V R d) 0, 45 A e 0, 5 V R e) n. d. a. a b R

4. Uma pilha de 1, 5 V ´e conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente el´etrica de 3 mA. Qual a resistˆencia el´etrica do LED? a) 500 Ω b) 50 Ω c) 5 Ω d) 0, 5 Ω e) n. d. a.

R

´e: a) R b) 2R c) 6R d) 3R/2 e) 3R/4

Exerc´ıcios Complementares 5. A corrente el´etrica i3 no resistor R3 do circuito da figura

R1= 1 Ω + −

´e: a) 2/3 A b) 4/3 A c) 8/3 A d) 5, 0 A e) 1, 0 A

12 V

Eletricidade

Aula 11

R2= 4 Ω

Instrumentos de Medida R 3 = 12Ω

Dois instrumentos b´ asicos s˜ ao utilizados para a medi¸ca˜o de correntes el´etricas e tens˜ oes nos elementos de um circuito: o amper´ımetro e o volt´ımetro. Na maioria dos medidores modernos, v´arios medidores est˜ ao dispon´ıveis num aparelho s´ o, os chamados mult´ımetros.

O Amper´ımetro Para a medi¸ca˜o do valor de uma corrente el´etrica que atravessa um fio, num circuito, liga-se em s´erie nesse fio um amper´ımetro, a fim de que a corrente atravesse tamb´em o amper´ımetro.

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Para que o amper´ımetro n˜ ao altere o valor da corrente no pr´oprio fio onde ser´ a ligado, ele deve ter uma resistˆencia interna muito pequena, no caso ideal, nula.

os el´etrons livres e os ´atomos do material, produzindo mais agita¸ca˜o nestas part´ıculas, ou seja, a energia cin´etica se transforma em calor e faz com que a temperatura do resistor suba. No caso das lˆ ampadas de filamento, usa-se esse calor para produzir luz, atingindo-se a incandescˆencia do metal condutor, em − + geral, o tungstˆenio W , que possui um alt´ıssimo ponto de fus˜ao. i No chuveiro el´etrico comum, usa-se uma resistˆencia para pro+ duzir calor e aquecer a ´agua do banho que passa pelo no seu A ε interior. Existem muitas aplica¸co˜es desse tipo, e vocˆe mesmo − pode fazer uma lista delas. A esse efeito de libera¸ca˜o de calor pela passagem de uma corrente el´etrica num resistor se chama de efeito Joule. R Em alguns casos o efeito Joule ´e um problema, pois colabora na perda de energia em linhas de transmiss˜ao e motores, por exemplo, transformando parte da energia el´etrica em calor, que ´ e perdido para o meio ambiente (polui¸ca˜o t´ermica). O Volt´ımetro A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por uniPara a medi¸ca˜o do valor da d.d.p. entre dois pontos num dade de tempo, define a potˆencia com que o resistor converte circuito, liga-se em paralelo nesses pontos um volt´ımetro, a energia el´etrica em calor, e ´e dada pela lei de Joule: fim de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciais P = iV el´etricos dos pontos do circuito, e a diferen¸ca de potencial entre eles possa ser medida. ou seja, como i = V /R, podemos reescrevˆe-la como Para que o volt´ımetro n˜ ao altere o valor da tens˜ ao entre os pontos onde ele ´e conectado, o que se quer medir, ele deve ter V2 P = uma resistˆencia interna muito alta, no caso ideal, infinita. Com R isso, a corrente desviada para o amper´ımetro ser´ a muito menor do que a que possa haver entre os pontos do circuito onde ele ou ainda, como V = Ri, est´ a conectado. Isto mesmo, para medir a tens˜ ao entre os seus P = Ri2 terminais o volt´ımetro usa uma pequena corrente. Na verdade este aparelho ´e um amper´ımetro adaptado para medir tens˜ oes.

Unidades SI ε

+

A potˆencia dissipada num resistor ´e medida em watts no SI, onde 1 watt = 1 W = 1 J/s

i

−

Pense um Pouco! R +

− V

Lei de Joule

• Num chuveiro normalmente temos uma chave inverno/ver˜ao, que muda a resistˆencia do chuveiro, e pode ser usada para esquentar mais/menos a ´agua. Qual das resistˆencia deve ser maior, a usada no inverno, para esquentar mais, ou a usada no ver˜ao, para esquentar menos?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Quando uma corrente el´etrica atravessa um condutor de resistˆencia el´etrica R, haver´ a uma queda de tens˜ ao dada pela lei 1. Qual a corrente el´etrica num chuveiro el´etrico que ligado em 220 V produz calor a uma potˆencia de 6.000 W ? de Ohm a) 15 A V = Ri b) 10 A no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre no c) 5 A sentido do maior para o menor potencial el´etrico. Vale aqui d) 0, 5 A o an´ alogo hidr´ aulico, pois a correnteza de um rio sempre ´e no e) n. d. a. sentido do maior potencial gravitacional (ponto mais alto do terreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quando a ´agua 2. Um resistor de 10 Ω transposta uma corrente de 200 mA. desce uma cascata, converte sua energia potencial em cin´etica A quantidade de energia que ele dissipa na forma de calor em e pode gerar calor, se for dissipada, ou mover uma roda, por 15 min de funcionamento ´e: exemplo. a) 3.600 J No caso el´etrico, a resistˆencia faz com que as cargas per- b) 360 J cam energia cin´etica, atrav´es das colis˜ oes que ocorrem entre c) 36 J

121

Eletricidade – Aula 12 d) 3, 6 J e) n. d. a. 3. Dois resistores, um de resistˆencia R1 = 2 Ω e outro de resistˆencia R2 = 8 Ω est˜ ao ligados em s´erie com uma bateria de f.e.m. E = 24 V . A tens˜ ao no resistor R1 e a potˆencia dissipada no resistor R2 s˜ ao, respectivamente: a) 2 V e 16 W b) 16 V e 32 W c) 8 V e 3, 2 W d) 4 V e 32 W e) n. d. a.

Exerc´ıcios Complementares 4. No circuito da figura abaixo, as chaves CH1 e CH2 est˜ ao abertas e o amper´ımetro A indica que existe passagem de corrente. Quando as duas chaves est˜ ao fechadas, a indica¸ca˜o do amper´ımetro A n˜ ao se altera. Dados: Bateria 1: f.e.m. E1 = 12 V e resistˆencia interna r1 = 1 Ω; Bateria 2: f.e.m. E2 = 12 V e resistˆencia interna r2 = 1 Ω; Resistˆencia do amper´ımetro A: r3 = 2 Ω; R1 = 9 Ω. Determinar: a) o valor da resistˆencia R2 ; b) a potˆencia dissipada por efeito Joule na resistˆencia R2 quando CH1 e CH2 est˜ ao fechadas.

inferior desta, diretamente dentro de um barril, transformando sua energia potencial em cin´etica e essa, finalmente, em calor, aquecendo a ´agua no barril. Nessa analogia, o barril seria um resistor el´etrico. A seguir, a ´agua do barril ´e captada pela bomba e rebombeada para a caixa d’´agua. A bomba d’´agua nesse caso, realiza um trabalho cont´ınuo sobre a ´agua, transformando energia el´etrica em trabalho e, atrav´es deste, aumentando a energia potencial gravitacional da ´agua. No caso el´etrico, define-se a for¸ca eletromotriz (f.e.m.) de um gerador, ou bateria, como sendo a energia qu´ımica consumida, por unidade de carga deslocada, desde o p´ olo negativo at´e o p´ olo positivo do gerador. Como se vˆe, a f.e.m. n˜ ao ´e uma for¸ca, mas sua defini¸ca˜o ´e muito parecida com a defini¸ca˜o de diferen¸ca de potencial el´etrico entre dois pontos, lembra? Definimos a diferen¸ca de potencial el´etrico entre dois pontos como o trabalho realizado por um agente externo, por unidade de carga, para deslocar em equil´ıbrio uma pequena carga de prova +q desde um ponto A at´e outro ponto B, dentro de uma regi˜ao do espa¸co onde existe um campo el´etrico (apenas). Relembrando: WE Wext. =− VA→B = VB − VA = +q +q onde WE ´e o trabalho realizado pela for¸ca el´etrica, j´a que, para o equil´ıbrio da carga q ′ , segundo a Primeira Lei de Newton, Fext. = −FE . Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria ser´ a f.e.m. = E ≡

E1

+

R2

−

A CH1

+ E2 −

CH2

Equim. q

e por defini¸ca˜o, esta nova grandeza ser´ a tamb´em medida em volts ou V no Sistema Internacional (SI).

R1

Simbologia Nos esquemas simplificados usados nos circuitos, indicamos uma bateria pelo s´ımbolo

Eletricidade

Aula 12 ε

Geradores e For¸ca Eletromotriz Geradores ou baterias de tens˜ ao cont´ınua s˜ ao dispositivos capazes de converter energia qu´ımica em energia el´etrica, deslocando cargas entre seus p´ olos de forma a aumentar a energia potencial el´etrica dispon´ıvel para que as cargas el´etricas possam circular por um circuito, mantendo uma corrente de cargas em movimento. Essas cargas, ou seja, a corrente, ao passar por um resistor, por exemplo, perde energia e tende a cessar o seu movimento, a menos que um agente externo – o gerador – realimente essas cargas e mantenha-as circulando. ´ bom destacar o fato de que o gerador n˜ E ao “cria”ou “gera”cargas, mas apenas transfere energia para que elas mantenham seu movimento, formando uma corrente el´etrica num circuito. Usando uma analogia com os sistemas hidr´ aulicos, podemos pensar num gerador como sendo equivalente a uma bomba d’´agua, que eleva a ´agua at´e uma caixa d’´agua, fornecendo energia potencial gravitacional ` a massa d’´agua movimentada. Imagine que a ´agua cai da caixa d’´agua por um cano na parte

+ −

ou

ε

+ −

Convenciona-se que, a placa maior representada na fonte o potencial el´etrico ´e maior (+) e na placa menor, e mais espessa, o potencial seja menor (-). Quando ligada a um resistor ˆohmico, por exemplo, a fonte produzir´a uma corrente (positiva) no sentido indicado pela seta ao lado do s´ımbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa positiva em dire¸ca˜o ao resistor e retornando pela placa negativa. Pela parte interna da fonte, a dire¸ca˜o da corrente ´e da placa negativa (-) para a positiva (+), sendo este o sentido normal da corrente dentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfere energia para as cargas, elevando o seu potencial el´etrico de uma quantidade +E.

Circuito com V´ arias Fontes Um circuito pode ter mais de uma fonte (bateria ou gerador), ´ como nos r´ claro. E adios `a pilha, onde se usa, por exemplo,

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quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente se usa v´arios Resistores geradores num mesmo circuito para se obter uma f.e.m. total grande, quando elas s˜ ao ligadas em s´erie e com as suas f.e.m. → se passarmos por um resistor R, indo no sentido da suposta corrente i temos ∆V = −Ri. na mesma dire¸ca˜o. → se passarmos por um resistor R, indo em sentido contr´ario ao da suposta corrente i temos ∆V = +Ri. N ε1

ε2

Σε

εN

ε3

i=1 i

−

+

.....

−

+

−

+

−

+

+

−

Fios, Chaves e Conectores

Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais n˜ ao possuem resistˆencia el´etrica e portanto n˜ ao apresentam queda de tens˜ ao, ou seja, ∆V = 0 para esses elementos. N˜ ao contribuem para orio geral das tens˜ oes. Figura 1.1: Geradores em s´erie, aumentando-se a f.e.m. total. o somat´ Assim, tendo-se todos os ∆Vi no circuito, somam-se todos os Para se obter mais carga dispon´ıvel, e fazer um circuito fun- termos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada for nea trocionar por mais tempo, v´arias baterias de mesma f.e.m. s˜ ao gativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela est´ ao ser´ a o sentido ligadas em paralelo, resultando num gerador de mesma f.e.m. cado. O sentido f´ısico correto da corrente ent˜ contr´ario ao sentido arbitrado. das baterias usadas. N geradores em´serie

+ ε

+ −

ε

+

.....

−

ε

+

ε

−

+ −

− N geradores em paralelo

Figura 1.2: Geradores de mesma f.e.m. em paralelo.

Lei de Ohm-Pouillet Com base na lei das malhas, podemos ver que todo circuito de uma s´ o malha, mesmo com v´arias fontes de tens˜ ao cont´ınua (baterias) e v´arios resistores, todos eles em s´erie portanto, pode ser reduzido a um circuito simples do tipo: uma ateria e um resistor. Para isso, devemos encontrar a f.e.m. total E no circuito e a resistˆencia equivalente Req. , e da´ı, obteremos a corrente i no circuito: i=

a

Lei das Malhas – 1 lei de Kirchhoff . Definimos como uma malha, qualquer caminho fechado dentro de um circuito el´etrico, que possa ser percorrido passando-se uma s´ o vez em cada ponto. O circuito el´etrico mais simples possui apenas uma malha, ou seja, s´ o um caminho poss´ıvel para a corrente, que portanto, dever´ a ser a mesma em todos os elementos do circuito: resistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de uma malha mais simples poss´ıvel, ´e aquele j´ a visto, com apenas uma fonte e um resistor. circulando-se a malha de um circuito, o somat´ orio das varia¸ co ˜es de tens˜ ao ao longo da malha deve ser nulo. ou seja X ∆Vi = 0

E lei de Ohm-Pouillet Req.

Biografia

Gustav Rupert Kirchhoff, (1824 – 1861), foi um dos maiores f´ısicos alem˜ aes de seu tempo. Realizou uma obra vast´ıssima. Viveu numa ´epoca em que a F´ısica estava tendo desenvolvimento extraordin´ ario em v´arios setores diferentes, pois na segunda metade do s´eculo passado a mecˆ anica, elasticidade, teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodinˆamica tiveram grande impulso. Kirchhoff, que desde muito jovem esteve em contacto com f´ısicos bastante experimentados, teve oportunidade de trabalhar em assuntos muito variados. Al´em de um n´ umero muito grande de trabalhos isolados, h´ a trˆes ramos da F´ısica nos quais os trabalhos de Kirchhoff se tornaram fundamentais: ´otica, termodinˆamica e eletricidade. Em i ´otica, foi grande conhecedor de espectroscopia, tendo sido um dos fundadores da an´ alise espectral. Em termodinˆamica, foi incluindo todos os elementos do circuito: fontes e resistores. o primeiro f´ısico a estabelecer leis sˆ obre a energia radiante. Para fazer-se o somat´ orio acima, precisamos escolher um sen- Em eletricidade estabeleceu as leis fundamentais das malhas tido qualquer para a corrente na malha e outro, n˜ ao necessa- el´etricas, leis que estudamos neste u ´ ltimo cap´ıtulo. riamente o mesmo, para circularmos a malha, sentido hor´ ario ou anti-hor´ario, e observar as seguintes regras:

Pense um Pouco! Fontes → se passarmos por uma fonte de f.e.m. negativa (-) para a positiva (+) temos ∆V → se passarmos por uma fonte de f.e.m. positiva (+) para a negativa (-) temos ∆V

E, indo da placa = +E. E, indo da placa = −E.

• Ligando-se duas pilhas comuns, com os p´ olos trocados, a um pequena lˆ ampada o que se observa? ´ poss´ıvel que a corrente (positiva) entre pelo p´ • E olo positivo de uma fonte e saia pelo negativo?

Eletricidade – Aula 12

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEPR) Um gerador funcionar´ a em regime de potˆencia u ´ til m´axima, quando sua resistˆencia interna for igual: a) ` a metade da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; b) ao dobro da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; c) ao qu´adruplo da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; d) ` a resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta; e) ` a quarta parte da resistˆencia equivalente do circuito que ele alimenta.

Exerc´ıcios Complementares 2. (PUC-SP) Cinco geradores, cada um de f.e.m. igual a 4, 5 V e corrente de curto-circuito igual a 0, 5 A, s˜ ao associados em paralelo. A f.e.m.e a resistˆencia interna do gerador equivalente tˆem valores respectivamente iguais a: a) 4, 5 V e 9, 0 Ω b) 22, 5 V e 9, 0 Ω c) 4, 5 V e 1, 8 Ω d) 0, 9 V e 9, 0 Ω e) 0, 9 V e 1, 8 Ω

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Qu´ımica Qu´ımica

Aula 1

Estrutura Atˆ omica Modelos Atˆ omicos

gumas part´ıculas atravessavam sofrendo desvio e um n´ umero ´ınfimo de part´ıculas refletiam. Se os ´atomos fossem bolhas de gel´eia carregados positivamente as part´ıculas α deveriam passar facilmente atrav´es das folhas com uma ligeira deflex˜ao ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se que algumas destas part´ıculas defletiam mais de 90◦ e umas poucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Ver a Fig. 2.1. Estes resultados sugerem um modelo de ´atomo no qual h´ a uma densa carga positiva central circundada por um grande volume vazio. Rutherford chamou esta regi˜ao carregada positivamente de n´ ucleo atˆ omico. As part´ıculas carregadas positivamente s˜ ao chamadas pr´ otons. As part´ıculas carregadas negativamente continuam sendo chamadas de el´ etrons. Assim, o modelo de Rutherford consta de n´ ucleo denso, diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse n´ ucleo, uma regi˜ao rarefeita e proporcionalmente muito grande chamada eletrosfera, com el´etrons, de carga negativa.

A primeira abordagem sobre a constitui¸ca˜o da mat´eria data de ± 400 anos a.C. Os fil´osofos gregos Dem´ocrito e Leucipo conceberam o ´atomo como a menor part´ıcula constituinte da mat´eria e supunham que essa part´ıcula era indivis´ıvel. Lavoisier: em 1780, ´e considerado o pai da Qu´ımica por ter criado o m´etodo cient´ıfico: as leis surgem da observa¸ca˜o da regularidade das teorias, como tentativas de explica¸ca˜o dessas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transforma¸ca˜o qu´ımica da mat´eria, a massa se conserva. John Dalton: em 1808, criou a Teoria Atˆ omica Cl´ assica (baseResumo do Modelo de Rutherford ado em modelos experimentais), considerando os ´ atomos como esferas maci¸cas (Modelo da Bola de Bilhar), indivis´ıveis. Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente tinha J. J. Thomson: em 1897, atrav´es de experimentos sobre des- os seguintes fundamentos: cargas el´etricas em gases rarefeitos, admitiu a existˆencia de cargas negativas, os el´etrons, e de cargas positivas, os pr´ otons. • O ´atomo ´e dividido em duas regi˜oes, n´ ucleo e eletrosfera, Propˆ os um modelo em que o ´ atomo seria uma esfera de eleno n´ ucleo encontramos os pr´otons e os nˆeutrons, na eletricidade positiva, incrustada de el´etrons com carga negativa trosfera encontramos os el´etrons; (Modelo do Pudim de Passas). • Os pr´otons apresentam carga positiva, os el´etrons apresentam carga negativa e os nˆeutrons apresentam carga nula; • A massa de um pr´oton e de um nˆeutron equivalem a 1 u.m.a enquanto a massa do el´etron ´e 1836 vezes menor que a massa do pr´oton ou do nˆeutron.

Folha de ouro

Substancia radioativa fonte de particulas α Colimador do feixe

O n´ umero de pr´otons em um n´ ucleo atˆomico ´e chamado de n´ umero atˆ omico, Z, do elemento. O n´ umero total (soma) de pr´otons e nˆeutrons no n´ ucleo ´e chamado de n´ umero de massa, A, do elemento.

Tela sintilante para detecçao das particulas desviadas

A=Z +N

Representa¸c˜ ao ZX

Figura 2.1: Aparato Experimental de Rutherford. Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina met´ alica delgada com um feixe de part´ıculas α. Estas part´ıculas eram positivas. A maior parte das part´ıculas atravessava a lamina met´ alica sem sofrer desvio detect´ avel, al-

A

Mas, o modelo planet´ ario de Rutherford apresenta duas falhas cruciais:

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• Uma carga negativa colocada em movimento ao redor de uma carga positiva estacion´ aria, adquire movimento espiral at´e colidir com ela;

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• Essa carga perde energia emitindo radia¸ca˜o, violando o no n´ ucleo de um ´atomo; Princ´ıpio da Conserva¸ca˜o de Energia. d) n.d.a

Pense um Pouco! 1. Vocˆe sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”? 2. O que significa Fiss˜ ao Nuclear e Fus˜ao Nuclear?

5. (UEL) O urˆanio-238 difere do urˆanio-235 por que o primeiro possui: a) 3 el´etrons a mais; b) 3 pr´otons a mais; c) 3 pr´otons e 3 nˆeutrons a mais; d) 3 pr´otons e 3 el´etrons a mais; e) 3 nˆeutrons a mais.

6. (ACAFE) Um sistema ´e formado por part´ıculas que apresentam a composi¸ca˜o atˆomica de 10 pr´otons, 10 el´etrons, 11 nˆeutrons. Ao sistema foram adicionadas novas part´ıculas. O a quimicamente puro se as part´ıculas adi1. A palavra ´atomo ´e origin´aria do grego e significa “indi- sistema resultante ser´ cionadas apresentarem a seguinte composi¸ca˜o atˆomica: vis´ıvel”, ou seja, segundo os fil´osofos gregos, o ´ atomo seria a) 21 pr´ o tons, 10 el´ e trons e 10 nˆeutrons; a menor part´ıcula da mat´eria que n˜ ao poderia ser mais divib) 20 pr´ o tons, 10 el´ e trons e 22 nˆeutrons; dida. atualmente essa id´eia n˜ ao ´e mais aceita. A respeito dos c) 10 pr´ o tons, 10 el´ e trons e 12 nˆeutrons; ´atomos, ´e verdadeiro afirmar que: d) 11 pr´ o tons, 11 el´ e trons e 12 nˆeutrons; a) ( ) N˜ ao podem ser desintegrados; e) 11 pr´ o tons, 11 el´ e trons e 11 nˆeutrons; b) ( ) S˜ ao formados por pelo menos trˆes part´ıculas fundamentais; 7. (FUVEST) As seguintes representa¸co˜es: 2 X 2 , 2 X 3 e2 X 4 , c) ( ) Possuem part´ıculas positivas denominadas el´etrons; referem-se a ´atomos com: d) ( ) Apresentam duas regi˜ oes distintas, n´ ucleo e eletrosfera; a) igual n´ umero de nˆeutrons; e) ( ) Apresentam el´etrons cuja carga el´etrica ´e negativa; b) igual n´ umero de pr´otons; f) ( ) Cont´em part´ıculas sem carga el´etrica, os nˆeutrons. c) diferente n´ umero de el´etrons; d) diferentes n´ umeros atˆomicos; 2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como V e) diferentes n´ u meros de pr´otons e el´etrons; ou F:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

a) ( ) O primeiro modelo atˆomico baseado em resultados experimentais, ou seja, com base cient´ıfica foi proposto por Dalton; b) ( ) Segundo Dalton, a mat´eria ´e formada de part´ıculas indivis´ıveis chamadas ´atomos; c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o ´ atomo n˜ ao era indivis´ıvel; d) ( ) O modelo atˆomico proposto por Thomson ´e o da bola de bilhar; e) ( ) O modelo atˆomico de Dalton teve como suporte experimental para a sua cria¸ca˜o a interpreta¸ca˜o das leis das rea¸co˜es qu´ımicas. 3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): a) ( ) Os ´atomos s˜ ao part´ıculas fundamentais da mat´eria; b) ( ) Os ´atomos s˜ ao quimicamente diferentes quando tˆem n´ umeros de massa diferentes; c) ( ) Os el´etrons s˜ ao as part´ıculas de carga el´etrica positiva; d) ( ) Os pr´otons e os el´etrons possuem massas iguais e cargas el´etricas diferentes; e) ( ) Os ´atomos apresentam part´ıculas de carga nula denominados nˆeutrons; f) ( ) Os ´atomos s˜ ao part´ıculas inteiramente maci¸cas.

Qu´ımica

Aula 2

Modelos Atˆ omicos O Modelo Atˆ omico de Bohr Com o objetivo de solucionar estas limita¸co˜es do modelo de Rutherford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr. Niels Bohr: em 1913, propˆ os que o ´atomo ´e constitu´ıdo por um n´ ucleo positivo, onde se concentra praticamente toda massa do ´atomo, e por el´etrons que giram ao seu redor em ´orbitas circulares bem definidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q.

_

foton absorvido

~ eletron

_

~ eletron excitado

_

_

Exerc´ıcios Complementares

_

_

foton emitido

4. (ACE) Assinale a alternativa falsa: a) o n´ umero de massa de um ´ atomo ´e dado pela soma do n´ umero de pr´otons e de nˆeutrons existentes no n´ ucleo; b) um elemento qu´ımico deve ter seus ´ atomos sempre como mesmo n´ umero de nˆeutrons;(c) o n´ umero de pr´otons permaFigura 2.1: O modelo Atˆ omico de Bohr. nece constante, mesmo que os n´ umeros de massa dos ´atomos de um elemento variem; c) o n´ umero atˆomico ´e dado pelo n´ umero de pr´otons existentes Atrav´es de processos experimentais Bohr, concluiu que:

Qu´ımica – Aula 2

127

• Um el´etron s´ o pode ter certas energias espec´ıficas, e cada uma destas energias corresponde a uma ´ orbita particular. Quanto mais afastado do n´ ucleo maior a energia do el´etron; • Se o el´etron receber energia ele pula para uma ´ orbita mais afastada do n´ ucleo; • Como esta ´orbita n˜ ao ´e natural ele tende a retornar para sua ´orbita de maior estabilidade, assim sendo, ocorre libera¸ca˜o de energia; • Para calcular a energia emitida pelo el´etron, Max Planck estabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”de quantidades m´ınimas e descont´ınuas. A essa quantidade m´ınima chamou de f´ oton ou quantum. O valor do quantum ´e proporcional a freq¨ uˆencia da onda ν, cuja magnitude pode ser calculada por E = hν onde h ´e a famosa constante de Planck, que tem valor de 6, 63 × 10−34 J · s.

Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princ´ıpio da Incerteza, segundo o qual “n˜ ao ´e poss´ıvel predizer, ao mesmo tempo, a posi¸ca˜o e a quantidade de movimento de um el´etron” Tudo que n´ os podemos conhecer sobre o movimento de um sistema de part´ıculas se reduz a uma fun¸ca˜o complexa Ψ de coordenadas (x, y, z) das part´ıculas e do tempo t. Esta fun¸ca˜o ´e chamada Fun¸ca˜o de Onda, criada por Schr¨odinger (1927). O quadrado do m´odulo da fun¸ca˜o de onda |Ψ|2 representa a probabilidade de se encontrar no instante t a determinada part´ıcula. Na concep¸ca˜o cl´assica, uma part´ıcula se encontra ou n˜ ao num determinado instante em um dado ponto do espa¸co. Pela mecˆ anica quˆantica n´ os s´ o podemos conhecer a probabilidade de encontrar a part´ıcula no ponto considerado. Schr¨odinger deduziu matematicamente regi˜oes com probabilidades de se encontrar o el´etron, simplificadas por meio de modelos geom´etricos que chamamos de orbitais. Sommerfeld, de Broglie e Schr¨odinger formaram a Mecˆanica Quˆ antica, que nos levou ao modelo atˆomico atual. O ´atomo possui n´ ucleo denso com el´etrons em orbitais. Orbital ´e a regi˜ao, em torno do n´ ucleo, com maior probabilidade de se encontrar o el´etron. O el´etron move-se em torno do n´ ucleo.

Se os ´atomos oscilantes transferem uma energia E para a vizinhan¸ca, radia¸ca˜o de freq¨ uˆencia ν = E/h ser´ a detec´ importante notar que a intensidade da radia¸ca˜o ´e tada. E uma indica¸ca˜o do n´ umero de pacotes de energia gerados, enquanto E ´e a medida de energia de cada pacote. Is´ otopos, Is´ obaros, Is´ otonos e Isoeletrˆ onicos

Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os el´etrons descrevem Is´ otopos: s˜ ao ´atomos de um mesmo elemento qu´ımico que orbitas circulares e el´ıpticas em torno do n´ ´ ucleo. apresentam diferentes n´ umero de massa e diferentes n´ umero de nˆeutrons, ou seja s˜ ao ´atomos de mesmo n´ umero atˆomico e diferentes n´ umero de massa. 6C

12

6C

13

6C

14

Is´ otopos de Carbono

8O

16

8O

17

8O

17

Is´ otopos de Oxigˆenio

Is´ obaros: s˜ ao ´atomos de elementos qu´ımicos diferentes mas com mesmo n´ umero de massa. 20 Ca

40

1840 Ar

Is´ otonos: s˜ ao ´atomos de elementos qu´ımicos diferentes, mas com mesmo numero de nˆeutrons. 5B

Figura 2.2: Modelo Atˆ omico de Sommerfeld.

11

6C

12

Isoeletrˆ onicos: s˜ ao ´atomos ou ´ıons que apresentam o mesmo n´ umero de el´etrons. 12 M g

2+

11 N a

1+N e 10

9F

1−

7N

3−

O Modelo Atˆ omico Atual Louis de Broglie: em 1924, foi quem lan¸cou as as bases de uma nova mecˆ anica chamada ondulat´ oria ou quˆ antica, atrav´es do Princ´ıpio da Dualidade mat´eria-onda para o el´etron: “Toda part´ıcula em movimento, o el´etron, no caso, tem associado a si uma onda”. A mecˆ anica cl´assica prevˆe, para cada corpo, sua trajet´oria, conhecendo sua posi¸ca˜o e velocidade. A mecˆ anica quˆantica, que trata do universo microsc´opico das part´ıculas, n˜ ao se descreve perfeitamente o ´ atomo.

N´ıveis e Sub-n´ıveis de Energia A eletrosfera do ´atomo est´ a dividida em 7 regi˜oes denominadas de n´ıveis de energia ou camadas eletrˆ onicas. S˜ ao as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelos n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de n´ umeros quˆanticos principais e representados pela letra n. O n´ umero m´aximo de el´etrons em cada camada ´e calculado pela equa¸ca˜o e = 2 · n2 sendo que

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Y

K(2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98) Mas para os 112 elementos qu´ımicos existentes temos: K(2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2) Existem 7 sub-n´ıveis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que est˜ ao dentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes n˜ ao s˜ ao ocupados todos os sub-n´ıveis de energia e sim somente quatro, s, p, d, f , que s˜ ao representados pela letra l que significa n´ umero quˆantico secund´ ario e s˜ ao n´ umeros que v˜ao de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os sub-n´ıveis s, p, d, f , cada sub-n´ıvel comporta um n´ umero m´aximo de el´etrons s(2), p(6), d(10), f (14).

X Z

Configura¸ c˜ ao Eletrˆ onica Diagrama de Linus Pauling K(2) 1s2 L(8) 2s2 2p6 M(18) 3s2 3p6 3d10 N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14 O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14 P(18) 6s2 6p6 6d10 Q(2) 7s2

Figura 2.3: Coordenadas espaciais de um a ´tomo.

Y

. .. .............. . ..... ................................... ....................... .. .......... ........................ .... . ............... ........... .... . .. . .. . . . .. .. . . . ......... . . .. . ........ .............. ... .... .............. ........ . ........... .. ....... . .. . . ... . ......... ................... ................ . ........ ... .... .

Representamos a distribui¸ca˜o eletrˆ onica de duas formas: 1. ordem energ´etica, seguindo as diagonais do diagrama de Pauling: 1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 , 3d10 , 4p6 , 5s2 , 4d10 , 5p6 , 6s2 , 4f 14 , 5d10 , 6p6 , 7s2 , 5f 14 , 6d10

Z

2. ordem geom´etrica, agrupando os sub-n´ıveis em camadas: 1s2 2s2 , 2p6 2 3s , 3p6 , 3d10 2 4s , 4p6 , 4d10 , 4f 14 5s2 , 5p6 , 5d10 , 5f 14 6s2 , 6p6 , 6d10 7s2

K L M N O P Q

2 8 18 32 32 18 2

Orbitais Atˆ omicos Como vimos, orbital ´e a regi˜ ao, em torno do n´ ucleo, com m´axima probabilidade de se encontrar el´etrons. As formas dessas regi˜oes s˜ ao calculadas matematicamente e tˆem o n´ ucleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z. As formas dos orbitais mais importantes s˜ ao: 1. esf´ erica - chamado orbital s: 2. halter - chamado orbital p: Princ´ıpio de Exclus˜ ao Certas experiˆencias, em particular a a¸ca˜o de um campo magn´etico, mostram que as fun¸co˜es de onda constru´ıdas unicamente sobre as coordenadas de espa¸co n˜ ao s˜ ao aptas para explicar totalmente os fenˆ omenos, o que levou a se introduzir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de uma coordenada suplementar associada ` a rota¸ca˜o do el´etron. Os valores ao de spins permitidos para a fun¸ca˜o de spin s˜ ao − 21 e 21 , e s˜ opostos.

X

Figura 2.4: Representa¸ca ˜o do Orbital s. Dois el´ etrons podem ocupar um mesmo orbital desde que possuam spins opostos. Este enunciado ´e conhecido por “Princ´ıpio de Exclus˜ao, de Wolfgang Pauli”. Cada sub-n´ıvel comporta um n´ umero m´aximo de el´etrons (como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no m´aximo dois el´etrons, temos ent˜ ao:

s2 p6 d10 f 14

↑↓

Representa¸ca˜o do Orbital ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓

1 3 5 7

orbit. orbit. orbit. orbit.

Pense um Pouco! 1. Vocˆe sabe quais s˜ ao os tipos de radia¸co˜es existentes e quais as caracter´ısticas particulares de cada uma? 2. Quais s˜ ao os efeitos causados pelas radia¸co˜es? E quais as principais aplica¸co˜es das rea¸co˜es nucleares?

Qu´ımica – Aula 3

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+

Qu´ımica

Aula 3

Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Figura 2.5: Representa¸ca ˜o do Orbital p.

´ Estabilidade dos Atomos

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Os gases nobres s˜ ao os u ´ nicos encontrados na natureza na forma mono-atˆ omica, ou seja, n˜ ao se ligam se, apresentam na forma de ´atomos. Isto significa que o ´atomo ´e totalmente 1. (ACAFE-99) A vitamina B12 , anti-anˆemica, cont´em ´ıons de est´ avel. cobalto Co+2 . Dado: Co(Z = 27). A configura¸ca˜o eletrˆ onica Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Peri´ odica), com exce¸ca˜o nos orbitais 4s e 3d do Co+2 , ´e: do h´ e lio, apresentam oito el´ e trons na camada de valˆencia. 0 8 a) 4s , 3d . b) 4s2 , 3d7 . c) 4s2 , 3d5 . d) 4s1 , 3d6 . e) 4s0 , 3d7 .

He(Z=2) Ne(Z=10) Ar(Z=18) Xr(Z=36) Xe(Z=54) Rn(Z=86)

Gases Nobres 2 2 8 2 8 18 8 2 8 18 18 2 8 18 32 2 8 18 32

8 2. (UDESC) Uma ´atomo com n´ umero atˆomico igual a 38, 18 8 apresentar´ a em seu antepen´ ultimo n´ıvel: 32 18 8 a) 8 el´etrons. b) 18 el´etrons. Camada de valˆencia ´e a camada eletrˆ onica mais externa. Pode c) 16 el´etrons. receber ou fornecer el´ e trons na uni˜ a o entre ´atomos. d) 10 el´etrons. A valˆencia de um ´atomo ´e o n´ umero de liga¸co˜es que um ´atomo e) 6 el´etrons. precisa fazer para adquirir a configura¸ca˜o de um g´ as nobre.

Exerc´ıcios Complementares 3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr ´e correto afirmar que: a) ( ) Os el´etrons se movem ao redor do n´ ucleo em ´orbitas bem definidas, que s˜ ao denominadas ´ orbitas estacion´ arias; b) ( ) Movendo-se numa ´ orbita estacion´ aria, o el´etron n˜ ao emite nem absorve energia; c) ( ) Ao saltar de uma ´ orbita mais pr´oxima do n´ ucleo para outra ´ orbita mais afastada, o el´etron absorve energia; d) ( ) Quando o el´etron de um ´ atomo salta de uma camada mais externa para outra mais pr´oxima do n´ ucleo, h´ a emiss˜ ao de energia; e) ( ) No n´ ucleo de um ´ atomo existem pr´otons e nˆeutrons.

Teoria do Octeto Foi feita uma associa¸ca˜o entre a estabilidade dos gases nobres e o fato de possu´ırem 8 el´etrons na u ´ ltima camada. Surgiu ent˜ ao a Teoria do Octeto: Para atingir uma situa¸ c˜ ao est´ avel, h´ a uma tendˆ encia dos ´ atomos para conseguir estrutura eletrˆ onica de 8 el´ etrons na camada de valˆ encia igual ao g´ as nobre de n´ umero atˆ omico mais pr´ oximo. No caso de ´atomos menores em n´ umero de el´etrons, a tendˆencia ´e alcan¸car o dueto, isto ´e, conseguir dois el´etrons na u ´ltima ´ o caso do hidrogˆenio e camada, como o h´elio (Z = 2) : 1s2 . E do l´ıtio.

´ 4. (UEL) Atomos neutros e ´ıons de um mesmo elemento qu´ımico tem, necessariamente, o mesmo n´ umero: Classifica¸c˜ ao dos Elementos a) atˆomico; b) de massa; Quanto `a Configura¸ca˜o Eletrˆ onica, podemos classificar os elec) de oxida¸ca˜o; mentos qu´ımicos como: d) de carga; Metais: S˜ ao elementos que possuem menos de quatro el´etrons e) de isˆ omeros. na camada de valˆencia. Doam el´etrons quando fazem liga¸co˜es qu´ımicas; 5. Sejam dois ´atomos A de n´ umero atˆomico 2x + 4 e n´ umero ao-Metais: S˜ ao elementos que possuem mais de quatro de mass 5x e B de m´ umero atˆomico 3x − 6 e n´ umero de massa N˜ el´ e trons na camada de valˆencia. Recebem el´etrons quando 5x − 1. Determine quantos nˆeutrons tem A e B, sabendo que fazem liga¸ c o ˜ es qu´ ımicas; eles pertencem ao mesmo elemento qu´ımico. Semi-metais: S˜ ao alguns elementos que ora comportam-se a) NA = 25 e NB = 26 como metais ora como n˜ ao-metais, independente do n´ umero b) NA = 26 e NB = 25 de el´etrons na camada de valˆencia; c) NA = 27 e NB = 26 Hidrogˆ enio: N˜ ao tem classifica¸ca˜o, por´em sua tendˆencia ´e de d) NA = 26 e NB = 27 e) NA = 25 e NB = 25 ganhar um el´etron. Os elementos que possuem quatro el´etrons

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na camada de valˆencia podem ceder ou receber el´etrons nas liga¸co˜es. O carbono por exemplo, ter´ a comportamento de n˜ ao-metal, recebendo el´etrons. O sil´ıcio e o germˆ anio s˜ ao semi-metais: ora cedem el´etrons, ora recebem.

Estruturas de Lewis Um s´ımbolo de Lewis ´e um s´ımbolo no qual os el´etrons da camada de valˆencia de um ´ atomo ou de um ´ıon simples s˜ ao representados por pontos colocados ao redor do s´ımbolo do elemento. Cada ponto representa um el´etron. Por exemplo:

Figura 2.3: Configura¸ca ˜o da liga¸ca ˜o co-valente.

H

O

H

~ ligantes ´ pares de eletrons nao ´ pares de eletrons ligantes

(a)

(b)

Figura 2.1: Configura¸ca ˜o eletrˆ onica e estrutura de Lewis para oa ´tomo neutro de cloro (a) e para o ´ıon de cloro (b).

´ Figura 2.4: Estrutura de Lewis da Agua.

Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete el´etrons de valˆencia, enquanto que o ´ıon cloreto, oito. Uma liga¸ca˜o co-valente ´e aquela liga¸ca˜o qu´ımica formada pelo compartilhamento de um par de el´etrons entre dois ´ atomos. A Estrutura de Lewis de um composto co-valente ou de um ´ıon poli-atˆ omico mostra como os el´etrons est˜ ao distribu´ıdos entre os ´ atomos, de formas a mostrar a conectividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro el´etrons, um de cada hidrogˆenio, mais os quatro el´etrons de valˆencia do carbono, s˜ ao emparelhados na Estrutura, mostrando como cada ´atomo se conecta a outro por um par de el´etrons.

a´tomo central, e lig´ a-lo aos ´atomos perif´ericos por pares de el´etrons. Considere o di´oxido de carbono CO2 carbono(C) → tem 4e− de valˆencia × 1 carbono = 4e−

oxigˆenio(O) → tem 6e− de valˆencia × 2 oxigˆenio = 12e−

Existe um total de 16 e− para serem colocados na Estrutura de Lewis. Conecte o ´atomo central aos outros ´atomos na mol´ecula com liga¸co˜es simples. O carbono ´e o ´atomo central, os dois oxigˆenios s˜ ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos ´atomos perif´ericos. Conecte o ´atomo central aos outros ´atomos na mol´ecula com liga¸co˜es simples. O carbono ´e o ´atomo central, os dois oxigˆenios s˜ ao ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos ´atomos perif´ericos.

Figura 2.2: Configura¸ca ˜o da estrutura de Lewis para o metano. Ao inv´es de utilizarmos dois pontos para indicar o par de el´etrons que perpetuam a liga¸ca˜o co-valente, podemos utilizar um tra¸co. Assim, o tra¸co ir´ a representar os dois el´etrons da liga¸ca˜o co-valente. Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis da ´agua. Dois hidrogˆenios s˜ ao ligados ao ´ atomo de oxigˆenio central. Os el´etrons de liga¸ca˜o s˜ ao indicados pelas linhas entre o oxigˆenio e cada um dos hidrogˆenios. Os el´etrons remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do oxigˆenio, s˜ ao chamados de n˜ ao-ligantes, por n˜ ao estarem envolvidos em liga¸co˜es co-valentes. O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis ´e determinar o n´ umero de el´etrons de valˆencia dos ´ atomos que ser˜ ao conectados. Depois ´e necess´ ario determinar qual ´e o

Figura 2.5: Estrutura do CO2 . At´e aqui foram utilizados quatro el´etrons dos 16 `a disposi¸ca˜o. Complete a camada de valˆencia dos ´atomos da periferia da mol´ecula. Foram utilizados todos os 16 el´etrons dispon´ıveis. Coloque quaisquer el´etrons remanescentes sobre o ´atomo central. “N˜ao existem mais el´etrons dispon´ıveis nesse exemplo”. • Se a camada de valˆencia do ´atomo central est´ a completa, vocˆe acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis aceit´ avel.

Qu´ımica – Aula 4

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Figura 2.6: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -1.

“O carbono est´ a deficiente de el´etrons - ele tem s´ o quatro el´etrons em sua volta. Esta n˜ ao ´e uma estrutura de Lewis aceit´ avel”. • Se a camada de valˆencia do ´ atomo central n˜ ao est´ a completa, use um par solit´ ario de um dos ´ atomos da periferia para formar uma dupla liga¸ca˜o daquele a´tomo com o´ atomo central. Continue o processo de fazer m´ ultiplas liga¸co˜es dos ´atomos perif´ericos com o ´ atomo central, at´e que a camada de valˆencia do ´ atomo central esteja completa.

Figura 2.9: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -4.

Figura 2.10: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -5.

Pense um Pouco! • Dˆe uma poss´ıvel aplica¸ca˜o para a mesma f´ormula qu´ımica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual ´e a utilidade de escrevermos a f´ormula estrutural e eletrˆ onica de um mesmo elemento? • Os gases nobres tamb´em s˜ ao chamados de gases inertes? Explique.

Figura 2.7: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -2. Torna-se,

Figura 2.8: Constru¸ca ˜o da estrutura de Lewis do CO2 -3.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Indique a f´ormula estrutural das seguintes mol´eculas: Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z = 1), O (Z = 8). a) CCl4 b) N H3 c) CO2 d) HN O3

Exerc´ıcios Complementares

2. Dˆe as f´ormulas estruturais e eletrˆ onicas das seguintes O a´tomo central ainda est´ a deficiente de el´etrons, portanto mol´eculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16). compartilhe outro par. a) H2 S b) SO2 Torna-se, c) SO3 Certifique-se que vocˆe tenha utilizado do n´ umero correto d) HN O3 de el´etrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de valˆencia para al´em de oito el´etrons. A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para o di´oxido de carbono ´e:

Qu´ımica

Aula 4

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Ax+ B y− → Ay Bx Caracter´ısticas da Liga¸ c˜ ao Iˆ onica • Forma¸ca˜o de ´ıons; • Transferˆencia de el´etrons;

Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2

• Compostos s´ olidos a temperatura ambiente;

Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Como conseq¨ uˆencia da tendˆencia dos ´ atomos de formar sistemas eletrˆ onicos est´ aveis, pela doa¸ca˜o ou recebimento de el´etrons, os ´atomos se unem. Existem trˆes tipos de liga¸co˜es qu´ımicas; 1. Iˆ onica;

• Forma¸ca˜o de compostos cristalinos; • Os compostos iˆ onicos quando em meio aquoso conduzem corrente el´etrica.

Liga¸ c˜ ao Met´ alica

Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem tendˆencia de doar el´etrons formando c´ ations. A liga¸ca˜o met´ alica ocorre quando muitos a ´ tomos de um metal perdem el´ e trons ao mesmo 3. Co-valente. tempo, e os c´ ations formados se estabilizam pela ”nuvem” de el´etrons que fica ao redor. Liga¸ c˜ ao Iˆ onica ou Eletrovalente Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletriciA liga¸ca˜o iˆ onica ocorre quando um metal se liga a um n˜ ao dade e calor, encontraremos nos el´etrons livres que o material metal ou ao hidrogˆenio. O metal doa el´etrons formando o apresenta a explica¸ca˜o desta condutibilidade. Os ”n” ´atomos ations c´ ation. O n˜ ao-metal ou o hidrogˆenio recebe el´etrons formando de cobre cedem seus el´etrons perif´ericos e se tornam c´ envoltos por muitos el´etrons livres. um ˆ anion. 2. Met´ alica;

A conseq¨ uˆencia da atra¸ca˜o entre os ´ıons positivos (c´ations) e negativos (ˆ anions) ´e um agrupamento organizado de ´ıons, a que chamamos de cristal iˆ onico.

Liga¸ c˜ ao Co-valente ou Molecular Liga¸ca˜o co-valente ´e aquela formada como conseq¨ uˆencia do compartilhamento de el´etrons entre seus ´atomos. Haver´a forma¸ca˜o de uma mol´ecula, no sentido em que os ´atomos se unem como ”s´ocios” dos mesmos el´etrons. Por exemplo: o cloro apresenta 7 el´etrons na u ´ ltima camada quando realizada a liga¸ca˜o co-valente forma HCl. O par compartilhado ´e formado por dois el´etrons, um de cada ´atomo, compartilhado por ambos os ´atomos.

(a)

(b)

Figura 2.1: Arranjo Atˆ omico de um Cristal Iˆ onico.

H

Cl

O cristal iˆ onico ´e representado por uma f´ ormula m´ınima, ou seja, o n´ umero m´ınimo de c´ ations e ˆ anions necess´ arios para que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a F´ormula M´ınima do sal de cozinha ´e dada por: N a Cl Esta estrutura de alta coes˜ ao de natureza el´etrica confere ao composto iˆ onico alto ponto de fus˜ao. No estado s´ olido n˜ ao conduz eletricidade. Isso s´ o ocorre se os ´ıons estiverem livres, em solu¸ca˜o aquosa ou no estado fundido (l´ıquido). Montamos uma f´ormula de composto iˆ onico colocando `a esquerda o c´ ation e a direita o ˆ anion. Verificamos se as cargas positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a f´ormula ser´ a de um c´ ation para um ˆ anion. Caso as cargas se anulem, usaremos o seguinte artif´ıcio: invertemos a carga do c´ ation para ´ındice do ˆanion e a carga do ˆ anion para ´ındice do c´ ation:

Figura 2.2: Par Eletrˆ onico Compartilhado. Ambos adquirem configura¸ca˜o eletrˆ onica est´ avel de g´ as nobre. Representa¸ c˜ ao Molecular H´ a diferentes maneiras de representar uma mol´ecula. Tomemos a mol´ecula de g´ as oxigˆenio, formada por dois ´atomos de oxigˆenio. • F´ ormula eletrˆ onica ou de Lewis: representa os el´etrons da u ´ ltima camada dos ´atomos.

Qu´ımica – Aula 4

133

• F´ ormula estrutural: cada par de el´etron compartilhado ´e representado por um tra¸co. O=O

−

−

+

+

• F´ ormula molecular: indica apenas o tipo e o n´ umero de ´atomos que formam uma mol´ecula. O2

Figura 2.4: Dois a ´tomos de H.

Liga¸ c˜ ao Dativa ou Coordenada ´ o caso de liga¸ca˜o co-valente que ocorre quando o par de E el´etrons compartilhado entre dois ´ atomos prov´em apenas de um deles. Para que o ´atomo possa fazer uma liga¸ca˜o coordenada ele tem que possuir pares de el´etrons livres. A liga¸ca˜o coordenada ´e indicada por uma seta do ´ atomo que oferece o par de el´etrons para o ´ atomo que o aceita. O n´ umero m´aximo de liga¸co˜es coordenadas que os n˜ ao-metais podem oferecer ´e: No caso do mon´ oxido de carbono, temos um bom exemplo: o oxigˆenio faz uma liga¸ca˜o dativa com o carbono, isto ´e, compartilha coordenadamente com ele seus pares eletrˆ onicos. Conforme podemos ver na Fig. (2.3):

Como conseq¨ uˆencia dessa atra¸ca˜o, teremos a aproxima¸ca˜o resultando numa interpenetra¸ca˜o de orbitais chamada overlap. Overlap ´e a interpenetra¸ca˜o dos orbitais atˆomicos formando um orbital molecular. Na forma¸ca˜o do overlap h´ a uma distˆancia ideal entre os n´ ucleos de cada ´atomo, onde a repuls˜ ao das cargas de mesmo sinal compensa a atra¸ca˜o das cargas de sinais diferentes.

Figura 2.5: Overlap. No caso do H2 , H −H, temos orbital σ(s−s). A nota¸ca˜o σ(s− s) significa orbital molecular σ feito atrav´es de dois orbitais atˆomicos do tipo s.

Pense um Pouco! Figura 2.3: Liga¸ca ˜o Dativa do CO.

Orbitais Moleculares Para visualizarmos melhor as liga¸co˜es co-valentes (´ atomos formando mol´eculas), estudaremos as liga¸co˜es sob o ponto de vista dos orbitais atˆomicos formando orbitais moleculares. Orbital molecular ´e a regi˜ ao em torno dos n´ ucleos de maior probabilidade de ser encontrado o par eletrˆ onico compartilhado. H´ a dois tipos de orbital molecular: Orbital Molecular σ (sigma), ou simplesmente liga¸ca˜o σ, ´e aquele formado na interpenetra¸ca˜o de orbitais atˆomicos segundo um eixo. Orbital Molecular π, ou simplesmente liga¸ca˜o π, ´e aquele formado na interpenetra¸ca˜o de orbitais atˆomicos p exclusivamente segundo os eixos paralelos. Exemplo

• Quais s˜ ao as principais utilidades das Liga¸co˜es Qu´ımicas na natureza? • Como os elementos qu´ımicos s˜ ao encontrados na natureza, ”puros ou misturados com outros elementos”?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (ACAFE) O grupo de ´atomos que ´e encontrado na forma mono-atˆ omica pelo fato de serem est´ aveis s˜ ao a) Halogˆenios b) Calcogˆenios c) Metais Alcalinos Terrosos d) Metais Alcalinos e) Gases Nobres 2. (ACAFE) O propadieno (H2 C = C = CH2 ) apresenta respectivamente quantas liga¸co˜es sigmas e liga¸co˜es pi? a) 6 e 2 b) 2 e 2 c) 4 e 2 d) 4 e 0 e) 0 e 4

H2 (mol´ecula H : H ou H − H) O hidrogˆenio apresenta apenas um el´etron no orbital s, que sabemos ser esf´erico: 1s1 , e precisa de mais um el´etron para adquirir estabilidade. 3. (ACAFE) Incr´ıvel, mas 15% do g´ as metano existente na Quando ocorre a aproxima¸ca˜o de outro ´ atomo de hidrogˆenio, atmosfera prov´em do arroto dos bois, vacas, cabras e caro n´ ucleo positivo de um atrai a eletrosfera do outro. neiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento at-

134

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mosf´erico). Assinale a alternativa que descreve os tipos de entre as colis˜ oes – o seu livre caminho m´edio – ´e muito peliga¸co˜es qu´ımicas encontradas neste g´ as: quena, onde estas sofrem bilh˜ oes de colis˜ oes antes de percorrer a) 2 iˆ onicas e 2 co-valentes uma distˆancia muito grande e essas interrup¸co˜es impedem-nas b) 2 liga¸co˜es dativas de espalhar-se atrav´es do l´ıquido. A difus˜ ao dentro dos s´ olidos c) 4 liga¸co˜es duplas ´e muito mais lenta que nos l´ıquidos. N˜ ao s´ o as mol´eculas est˜ ao d) 2 sigmas e 2 pi fortemente compactadas como, tamb´em, s˜ ao mantidas rigidae) 4 liga¸co˜es sigmas mente no mesmo lugar. Volume e Forma

Exerc´ıcios Complementares

A propriedade mais ´obvia dos gases, l´ıquidos e s´ olidos ´e a forma como eles se comportam quando transferidos de um frasco 4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta dois para outro. Ambos, gases e l´ıquidos s˜ ao flu´ıdos; eles escoam el´etrons na sua camada de valˆencia. A alternativa que indica a e podem ser bombeados de um lugar para outro. Um s´ olido, f´ormula de um ´oxido e de cloreto desse metal, respectivamente por´em, n˜ ao ´e um flu´ıdo e mant´em tanto sua forma quanto seu ´e: volume. As for¸cas inter-moleculares de um g´ as s˜ ao t˜ ao fracas a) M2 O − M2 Cl que as mol´eculas podem facilmente superar essa for¸ca e expanb) M2 O − M Cl dir para encher o recipiente. O que n˜ ao acontece num s´ olido, c) M O2 − M Cl2 cujas for¸cas atrativas mant´em as mol´eculas mais ou menos fird) M O − M Cl2 mes num lugar, de modo que elas n˜ ao podem se mover umas e) M O − M Cl4 em torno das outras. 5. (UFSC) Na mol´ecula H − O − O − H, existe: a) nenhuma liga¸ca˜o iˆ onica b) trˆes liga¸co˜es co-valentes c) trˆes liga¸co˜es sigmas d) trˆes liga¸co˜es iˆ onicas e) duas liga¸co˜es met´ alicas

Qu´ımica

Aula 5

A Estrutura da Mat´ eria

Tens˜ ao Superficial Num l´ıquido cada mol´ecula move-se sempre sob influˆencia das mol´eculas vizinhas. As mol´eculas na superf´ıcie de um certo recipiente sentem uma atra¸ca˜o na dire¸ca˜o do interior do l´ıquido. Para uma mol´ecula chegar a superf´ıcie ela deve superar esta atra¸ca˜o. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, ent˜ ao deve-se realizar trabalho para lev´a-las at´e a superf´ıcie. Portanto, tornar a superf´ıcie de um l´ıquido maior requer um gasto de energia e a quantidade de energia necess´ aria ´e ent˜ ao a tens˜ ao superficial. Evapora¸ c˜ ao

De acordo com a teoria cin´etica molecular, todas as formas de mat´eria s˜ ao compostas de part´ıculas pequenas e que se movem rapidamente. H´ a duas raz˜ oes principais por que os gases, l´ıquidos e s´ olidos diferem tanto uns dos outros. Uma ´e a rigidez do empacotamento das part´ıculas e outra ´e a intensidade das for¸cas atrativas entre elas. Podemos listar como propriedades influenciadas por estas duas raz˜ oes o seguinte:

Num l´ıquido ou num s´ olido, assim como num g´ as, as mol´eculas est˜ ao constantemente sofrendo colis˜ oes, dando assim origem a uma distribui¸ca˜o de velocidades moleculares individuais e, evidentemente, de energias cin´eticas. se algumas dessas mol´eculas possu´ırem energia cin´etica suficiente para superar as for¸cas atrativas dentro do l´ıquido ou do s´ olido, elas poder˜ ao escapar atrav´es da superf´ıcie para o estado gasoso – elas evaporam. No l´ıquido existem trˆes fatores que influenciam na velocidade de evapora¸ca˜o: a temperatura, a ´area superficial e a intensidade das atra¸co˜es superficiais.

Compressibilidade

For¸ cas de Atra¸ c˜ ao Inter-moleculares

Num g´ as, as mol´eculas est˜ ao bastante separadas, de forma que h´ a muito espa¸co vazio dentro do qual elas podem ser comprimidas, por isso os gases s˜ ao bastante compress´ıveis. Entretanto, as mol´eculas num l´ıquido ou s´ olido est˜ ao rigidamente empacotada se h´ a muito pouco espa¸co vazio entre elas, sendo ent˜ ao virtualmente incompress´ıveis.

As atra¸co˜es dipolo-dipolo s˜ ao, normalmente, consideravelmente mais fracas do que as liga¸co˜es iˆ onicas ou co-valentes. A sua for¸ca tamb´em diminui muito rapidamente `a medida que a distˆancia entre os dipolos aumenta, de forma que a distˆancia entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito entre as mol´eculas bastante afastadas de um g´ as ´e muito menor do que entre mol´eculas fortemente compactadas num l´ıquido ou num ´ por isso que as mol´eculas de um g´ s´ olido. E as comportam-se quase como se n˜ ao houvesse atra¸ca˜o nenhuma entre elas.

Propriedades Gerais

Difus˜ ao

Comparadas com as mol´eculas de um l´ıquido ou s´ olido, as mol´eculas de um g´ as se difundem rapidamente, uma vez que Pontes de Hidrogˆ enio as distˆancias que elas se movem entre as colis˜ oes s˜ ao relativamente grandes. Em virtude de as mol´eculas num l´ıquido Acontece entre mol´eculas muito polares, onde a diferen¸ca de estarem t˜ ao pr´oximas, a distˆancia m´edia que elas percorrem eletronegatividade ´e muito acentuada, tendo H numa das ex-

Qu´ımica – Aula 5

135

tremidades da “ponte”. No estado l´ıquido h´ a pontes de hidrogˆenio entre mol´eculas de ´ agua. Como h´ a movimento das mol´eculas, as pontes de hidrogˆenio se quebram e se restabelecem em seguida. No estado s´ olido as pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas de ´ agua s˜ ao fixas e direcionadas segundo um ˆ angulo de 104, 5◦ entre suas liga¸co˜es. Devido `a dire¸ca˜o das pontes de hidrogˆenio na ´ agua s´ olida, ficam espa¸cos vazios entre as mol´eculas, respons´ aveis pelo aumento de volume ao congelar.

da vida real, devemos aumentar o tamanho destas quantidades at´e o ponto em que possamos vˆe-las e pes´a-las. Infelizmente, por exemplo, uma d´ uzia de ´atomos ou mol´eculas ´e ainda uma quantidade muito pequena para se trabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior ainda. A “d´ uzia de qu´ımico”chama-se mol (unidade mol). Ele ´e composto de 6, 022 × 1023 objetos. Ent˜ ao: 1 d´ uzia = 1 mol =

12 objetos 6, 02 × 1023 objetos

For¸ ca de Van der Waals (ou de London)

O Volume Molar Essa for¸ca pode aparecer entre ´ atomos de um g´ as nobre (por ´ as em condi¸co˜es exemplo, h´elio l´ıquido) ou entre mol´eculas apolares (CH4 , E o volume ocupado por um mol de qualquer g´ normais de temperatura e press˜ a o (CNTP). CO2 ). O gelo seco quando sublima, passa do estado s´ olido para o estado gasoso, rompendo as for¸cas de Van der Waals e CNTP: liberando as mol´eculas das influˆencias das outras. S˜ ao as for¸cas • temperatura de 0◦ C ou 273 K; inter-moleculares, tipo Van der Waals, que justificam a possi• press˜ ao de 1 atm ou 760 mmHg). bilidade de liq¨ uefazer os gases nobres. As mol´eculas podem se unir atrav´es de polariza¸ca˜o induzida temporariamente. Verifica-se experimentalmente que o volume molar ´e de 22, 4 l (CNTP). Os Gases Conclus˜ ao: M M g → 6, 02 × 1023 mol´eculas → 22, 4 l. Muitos gases s˜ ao capazes de sofrer rea¸co˜es qu´ımicas uns com outros. Observa¸co˜es experimentais feitas por Gay-Lussac forObserve que maram a base da Lei de Combina¸ c˜ ao dos Volumes 1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000 A Lei de Combina¸ c˜ ao de Volumes

os volumes das substˆ ancias gasosas que s˜ ao produzidas e consumidas numa rea¸ c˜ ao qu´ımica est˜ ao numa raz˜ ao de n´ umeros inteiros pequenos, desde que os volumes sejam medidos nas mesmas condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao. A importˆ ancia das observa¸co˜es de Gay-Lussac foi posteriormente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propˆ os que agora ´e conhecido como princ´ıpio de Avogadro. O Princ´ıpio de Avogadro sob condi¸ co ˜es de temperatura e press˜ ao constantes, volumes iguais de gases cont´ em n´ umeros iguais de mol´ eculas. Uma vez que n´ umeros de iguais de mol´eculas significam n´ umeros iguais de mols, o n´ umero de mols de qualquer g´ as est´ a relacionado com o seu volume:

Pense um Pouco! • Vocˆe tem no¸ca˜o de como funciona um freio de autom´ ovel? Ou que um freio tem em comum com o assunto que estamos tratando? • Dˆe exemplos de elementos qu´ımicos s´ olidos que evaporam, sem que haja fus˜ao.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de s´ odio, o n´ umero de ´atomos existentes ser´ a igual a (N a = 23): a) 6 × 1022 b) 3 × 1023 c) 6 × 1023 d) 3 × 1022 e) 1023

V ∝n

2. (ACAFE-00) Qual destas liga¸co˜es ´e mais fraca? onde n ´e o n´ umero de mols do g´ as. Assim, a lei de Gay- a) Eletrovalente Lussac ´e facilmente compreendida, uma vez que os volumes b) Co-valente dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas raz˜ oes c) Ponte de hidrogˆenio d) Van der Waals que os coeficientes na equa¸ca˜o balanceada. e) Met´alica O Mol Sabemos que os ´atomos reagem para formar mol´eculas, mantendo entre si raz˜ oes simples de n´ umeros inteiros. Os ´atomos de hidrogˆenio e oxigˆenio, por exemplo, combinam-se numa raz˜ ao de 2 para 1 a fim de formar a ´ agua, H2 O. Entretanto ´e imposs´ıvel trabalhar com os ´ atomos individualmente, devido as suas dimens˜oes min´ ` usculas. Assim, em qualquer laborat´orio

3. (PUC) As pontes de hidrogˆenio aparecem: a) quando o hidrogˆenio est´ a ligado a um elemento muito eletropositivo b) quando o hidrogˆenio est´ a ligado a um elemento muito eletronegativo c) em todos os compostos hidrogenados d) somente em compostos inorgˆ anicos e) somente em ´acidos de Arrhenius

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Exerc´ıcios Complementares

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• Os choques entre as mol´eculas, se ocorrerem, s˜ ao perfeitamente el´asticos (a mol´ecula n˜ ao ganha nem perde energia cin´etica)

4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2 ; 1 litro de CO2 ; e 1 litro de N H3 , todos estes gases nas CN T P em recipientes separados. O recipiente que possui maior n´ umero G´ as Real de mol´eculas ´e o que cont´em: a) He Um g´ as real se aproxima do comportamento de um g´ as perfeito b) H2 `a medida que se torna mais rarefeito (diminui o n´ umero de c) CO2 mol´eculas) e se encontra a baixa press˜ ao e a alta temperatura. d) N H3 e) o n´ umero de mol´eculas ´e o mesmo em cada um dos quatro Leis dos Gases Ideais recipientes. 5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebuli¸ca˜o da ´agua, do ´alcool et´ılico e do fluoreto de hidrogˆenio s˜ ao explicados: a) atrav´es das pontes de hidrogˆenio inter-moleculares b) pelas macro-mol´eculas formadas c) atrav´es de for¸cas de Van der Waals d) pelas liga¸co˜es co-valentes dativas que se formam entre mol´eculas destes compostos e) atrav´es das pontes de hidrogˆenio intra-moleculares

O estado de um g´ as ´e definido quando sabemos sua press˜ ao, temperatura, e volume Essas grandezas s˜ ao as vari´ aveis de estado de um g´ as e s˜ ao inter-dependentes. Se mantivermos constante uma de suas vari´ aveis, poderemos estudar de que maneira variam as outras.

6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol de oxigˆenio mais 3 × 1022 mol´eculas de oxigˆenio mais 3 g de oxigˆenio? Dado: M MO = 16 g. a) 11, 8 g b) 12, 6 g c) 23, 6 g d) 32 g e) 34 g

a uma temperatura constante, o volume ocupado por uma quantidade fixa de g´ as ´ e inversamente proporcional ` a press˜ ao aplicada. Isso pode ser expresso matematicamente como:

Qu´ımica

Aula 6

Transforma¸ c˜ ao Isot´ ermica (Lei de Boyle-Mariotte)

V ∝

1 P

(2.1)

A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade pela introdu¸ca˜o de uma constante de proporcionalidade. Assim, 1 P P V = constante V ∝

Teoria Cin´ etica dos Gases

p1 V1 = p2 V2

Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a As mol´eculas de um g´ as ocupam o volume do recipiente que press˜ ao, o volume diminui; se diminuirmos a press˜ ao o volume as cont´em. A energia que mant´em as mol´eculas de um g´ as em aumenta. movimento ´e a energia cin´etica, que ´e diretamente proporcional a temperatura absoluta (Kelvin). Transforma¸ c˜ ao Isob´ arica (Lei de Charles) Ec ∝ T

onde

Ec = energia cin´etica T = temperatura de Kelvin

G´ as Ideal

` a press˜ ao constante, o volume de uma dada quantidade de um g´ as ´ e diretamente proporcional ´ a sua temperatura absoluta. Escrevendo esta Lei matematicamente, temos: V ∝T

(2.2)

Um g´ as ´e considerado perfeito (ideal) quando obedece `as se- Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearranguintes condi¸co˜es: jando, obtemos • No estado gasoso o movimento das mol´eculas ocorre de maneira cont´ınua e ca´otica, descrevendo trajet´orias retil´ıneas; • O volume da mol´ecula ´e desprez´ıvel em rela¸ca˜o ao volume do recipiente que a cont´em; • Uma mol´ecula n˜ ao sente a presen¸ca da outra (n˜ ao h´ a intera¸ca˜o, for¸cas de Van der Waals, entre as mol´eculas);

V = constante T V2 V1 = T1 T2

(2.3) (2.4)

Desta forma, se a press˜ ao ´e constante, ´a medida que aumentarmos a temperatura o volume ocupado pelo g´ as aumentar´ a; diminuindo a temperatura, o volume diminuir´ a.

Qu´ımica – Aula 6 Transforma¸ c˜ ao Isoc´ orica, Isom´ etrica lum´ etrica (Lei de Charles-Gay Lussac)

137 ou

Isovo-

A equa¸ca˜o (2.12) ´e obedecida por apenas um g´ as ideal hipot´etico e ´e uma express˜ ao matem´atica da lei dos gases ide´ tamb´em chamada equa¸ca˜o de estado do g´ ais. E as ideal, pora volume constante, a press˜ ao ´ e diretamente propor- que relaciona as vari´ aveis (P, V, n, T ) que especificam as procional ` a temperatura. priedades f´ısicas do sistema. Matematicamente temos que: P ∝T ou tamb´em, P = constante T p1 p2 = T1 T2

(2.5)

´ simplesmente a press˜ E ao que o g´ as exerceria se estivesse sozinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura na mesma temperatura. Segundo as observa¸co˜es de John Dalton, a press˜ ao total ´e igual `a soma das press˜ oes parciais de cada (2.6) g´ as, na mistura. Esta afirmativa ´e conhecida como a lei das press˜ oes parciais de Dalton que pode ser expressa por: (2.7) PT = pa + pb + pc + · · · (2.13)

Se aumentarmos a temperatura, a press˜ ao aumentar´ a; se diminuirmos a temperatura, a press˜ ao diminuir´ a.

Lei Combinada dos Gases As equa¸co˜es correspondentes ` as leis de Boyle-Mariotte e Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma u ´ nica equa¸ca˜o, que ´e u ´ til para muitos c´ alculos. Esta ´e Pf Vf Pi Vi = Ti Tf

Lei das Press˜ oes Parciais de Dalton

(2.8)

onde PT ´e a press˜ ao total da mistura e pa , pb , pc s˜ ao as press˜ oes parciais dos gases a, b c. Press˜ ao parcial (P ′ ) ´e o produto da fra¸ca˜o molar pela press˜ ao total dos gases. ′ Pg´ as · Ptotal mistura as = Xg´

(2.14)

Volumes Parciais

Volume parcial ´e o volume que o g´ as ocuparia estando sozinho Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada e sendo submetido `a press˜ ao total, na temperatura da mistura. dos gases verifica-se somente se a quantidade de g´ as for cons- O volume total ´e a soma dos volumes parciais de cada g´ as, na tante. Onde o g´ as deve estar submetido ` as CN T P . mistura. Esta afirmativa ´e conhecida como a lei de Amagat. O volume parcial (V) ´e dado pelo produto de fra¸ca˜o molar do g´ as pelo volume total da mistura. Lei dos Gases Ideais Discutimos, assim, trˆes rela¸co˜es (2.1, 2.2, 2.5) de volume a que ′ um g´ as ideal obedece. Vg´ (2.15) as · Vtotal mistura as = Xg´ Podemos combin´a-las, para obter   Mudan¸cas de Estado F´ısico 1 (T ) ou (2.9) V ∝n P Uma substˆancia pura pode apresentar-se sob trˆes formas de   nT olido, l´ıquido, gasoso (aceita-se o (2.10) agrega¸ca˜o da mat´eria: s´ V ∝ P quarto estado da mat´eria: plasma). Cada fase depende das condi¸co˜es f´ısicas de press˜ ao e temperatura. Casos Particulares • Se n e T forem constantes na equa¸ca˜o (2.10) teremos a lei de Boyle-Mariotte;

Fus˜ ao e Solidifica¸c˜ ao

Na fase s´ olida, as mol´eculas de uma substˆancia est˜ ao fortemente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino. • Se n e P forem constantes na equa¸ca˜o (2.10) teremos a lei Fornecendo calor a um s´ olido, as mol´eculas absorver˜ao a enerde Charles-Gay Lussac; gia, aumentando a amplitude de sua vibra¸ca˜o, rompendo o • Se P e T forem constantes na equa¸ca˜o (2.10) teremos o reticulado cristalino e passando para a fase l´ıquida, onde as Princ´ıpio de Avogadro; mol´eculas est˜ ao ligadas entre si com menor intensidade do que na fase s´ olida. A proporcionalidade na equa¸ca˜o (2.10) pode ser transformada numa igualdade, pela introdu¸ca˜o de uma constante de propor• A temperatura em que ocorre a passagem de fase cionalidade, R, chamada de constante universal dos gases. s´ olida para a l´ıquida ´ e denominada ponto de fus˜ ao. Da´ı, temos: • A temperatura em que ocorre a passagem de fase nRT l´ıquida para a s´ olida ´ e denominada ponto de solidiou (2.11) V = fica¸ca ˜o. P P V = nRT (2.12) • Nas substˆ ancias puras, o ponto de fus˜ ao e solidifica¸ c˜ ao coincidem, se a press˜ ao for mantida constante. onde R = 8, 31J/mol · K.

138

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Vaporiza¸c˜ ao e Condensa¸ c˜ ao

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2

p

A vaporiza¸ca˜o ´e a passagem da fase l´ıquida para a gasosa. Existem trˆes maneiras de se efetuar a vaporiza¸ca˜o:

Liquido P

1. Vaporiza¸ c˜ ao t´ıpica ou ebuli¸ c˜ ao: mudan¸ca de fase a determinada press˜ ao e temperatura. Por exemplo, a ´agua entra em ebuli¸ca˜o a 100 ◦ C e ` a press˜ ao de 1 atm.

C

Solido P

3. Calefa¸ c˜ ao: fenˆ omeno que ocorre a temperaturas acima ´ observ´avel, por da temperatura normal de vaporiza¸ca˜o. E exemplo, ao se deixar cair uma gota d’´agua numa chapa de metal, a uma temperatura acima de do ponto de vaporiza¸ca˜o.

Gas Vapor 1 θ Figura 2.2: Diagrama de fase t´ıpico.

p 2 Liquido P

ca

Solido

P

3

T

Gas Vapor

sa

Sublimacao

ao

ac

Fu

riz

ao

po

o

So

θ

sac

Va

lid

en

ifi

nd

ca

C

1

Co

o

A condensa¸ca˜o ´e a passagem de uma substˆ ancia da fase gasosa para a l´ıquida. Ela pode ocorrer, tamb´em, ` a temperatura ambiente. Por exemplo, ao se colocar ´ agua gelada num copo, observa-se a condensa¸ca˜o do vapor de ´ agua do ar na sua parede externa.

Liquido

3

T

2. Evapora¸ c˜ ao: fenˆ omeno que se observa a qualquer temperatura, atrav´es da superf´ıcie exposta ao meio ambiente. Isso ocorre porque as mol´eculas com maior velocidade escapam atrav´es da superf´ıcie livre do l´ıquido. Ao ocorrer uma evapora¸ca˜o, a temperatura do l´ıquido diminui pois ao escaparem as mol´eculas com maior velocidade, diminui a energia cin´etica. Quanto maior a ´ area livre maior a evapora¸ca˜o.

Solido

Figura 2.3: Diagrama de fase da a ´gua.

Gasoso Sublimacao Inversa

Figura 2.1: Mudan¸cas de estados: s´ olido, l´ıquido e g´ as.

Diagrama de Fases Colocando-se em um u ´ nico diagrama, as curvas de equil´ıbrio entre as fases de uma substˆ ancia pura, tem-se o diagrama de fases. O ponto de equil´ıbrio entre as trˆes fases ´e denominado ponto triplo ou tr´ıplice (PT ). Para o di´oxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo ´e definido por: ◦

• temperatura: −56, 6 C • press˜ ao: 5 atm A´ agua tem o seu ponto triplo definido por: Para o di´oxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo ´e definido por: • temperatura: 0, 01 ◦ C • press˜ ao: 4, 58 mmHg

Sublima¸c˜ ao Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma curva denominada curva de sublima¸ c˜ ao, que representa as condi¸co˜es de press˜ ao e temperatura nas quais uma substˆancia pode passar diretamente da fase s´ olida para fase gasosa ou vice-versa sem se transformar em l´ıquido.

Pense um Pouco! • Por que dentro de uma panela de press˜ ao, ´e poss´ıvel manter-se a ´agua na fase l´ıquida acima dos 100 C ? Quais s˜ ao os benef´ıcios que isso nos traz? ´ poss´ıvel ferver ´agua `a temperatura ambiente? Como? • E

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (MACK-SP) Assinale a afirma¸ca˜o correta: a) O ponto de fus˜ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´agua aumentam com o aumento da press˜ ao. b) O ponto de fus˜ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´agua diminuem com o aumento da press˜ ao. c) O ponto de fus˜ao da ´agua diminui e o ponto de ebuli¸ca˜o da

Qu´ımica – Aula 7

139

´gua aumentam com o aumento da press˜ a ao. ´ Acidos e Bases d) O ponto de fus˜ao da ´ agua aumenta e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´ agua diminui com o aumento da press˜ ao. Nesta aula ser˜ ao apresentados dois conceitos qu´ımicos fundae) O ponto de fus˜ao e o ponto de ebuli¸ca˜o da ´ agua n˜ ao s˜ ao mentais: ´acido e base. alterados com o aumento da press˜ ao. 2. (STA. CASA-SP) Quando vocˆe assopra a sua pele u ´ mida de ´ agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de: a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele. b) a pele est´ a mais fria do que a ´ agua. c) a ´ agua ´e normalmente mais fria do que o ar. d) o sopro ´e mais frio do que a ´ agua. e) a ´ agua absorve calor da pele para evaporar-se.

´ Acidos e Bases de Arrhenius

Fun¸co˜es Qu´ımicas s˜ ao grupos de substˆancias com propriedades semelhantes. As fun¸co˜es inorgˆ anicas s˜ ao quatro: ´acidos, bases, sais e ´oxidos. ´ Acidos s˜ ao compostos com sabor azedo (vinagre, frutas c´ıtricas), que reagem com bases formando sal e ´agua. Bases s˜ ao compostos de sabor adstringente (leite de magn´esia 3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina s˜ ao colocadas nos roupeiros - M g(OH) ) que reagem com ´acidos dando sal e ´agua. 2 para combater as tra¸cas pois elas danificam as roupas. Com ´ Acidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos - substˆancias o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa disso que possuem duas colora¸co˜es, dependendo do meio em que se deve-se: encontram. a) a sua liquefa¸ca˜o. b) ao consumo da naftalina pelas tra¸cas. ´ Indicador Meio Acido Meio B´ asico c) a sua condensa¸ca˜o. Tornassol Vermelho Azul d) a sua fus˜ao. Fenolftale´ına Incolor Vermelho e) a sua sublima¸ca˜o. Defini¸ co ˜es de Arrhenius

Exerc´ıcios Complementares

´ Acido ´e qualquer composto molecular que em solu¸ca˜o aquosa sofre ioniza¸ca˜o liberando como u ´ nico c´ ation o ´ıon H + ou H3 O+ onio). 4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica um fenˆ omeno (hidroxˆonio ou hidrˆ qu´ımico: Exemplos a) Dissolu¸ca˜o de cloreto de s´ odio em ´ agua. b) Fus˜ao da aspirina. c) Destila¸ca˜o fracionada de ar l´ıquido. HCl + H2 O → H + + Cl− d) Corros˜ ao de uma chapa de ferro. HN O3 + H2 O → H + + N O3− e) Evapora¸ca˜o da ´agua do mar. H2 SO4 + H2 O → 2H + + SO4−2 5. (ACAFE) Do petr´ oleo podemos extrair v´arios materiais H3 P O4 + H 2 O → 3H + + P O4−3 importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a parafina, o metano e outros. Sobre o petr´ oleo e seus derivados n˜ ao Dizemos que o ´acido, que era um composto co-valente, na prepodemos afirmar: sen¸ca de ´agua ionizou, e formou ´ıons. a) a gasolina ´e uma mistura de alcanos. ao do n´ umero de mol´eculas ionib) GLP ´e a sigla para G´ as Liq¨ uefeito de Petr´ oleo e ´e basica- Grau de ioniza¸ca˜o (α) ´e a raz˜ zadas para um total de mol´ e culas inicialmente dissolvidas em mente uma mistura homogˆenea dos gases propano e butano. a ´ gua. A for¸ c a de um ´ a cido est´ a associada ao maior ou menor c) a parafina ´e uma mistura de alcanos superiores ou seja de grau de ioniza¸ c a ˜ o do mesmo. grandes massas moleculares. d) o petr´ oleo ´e uma mistura heterogˆenea. n.o de mol´eculas ionizadas e) o g´ as metano principal componente do g´ as natural, conheα= total de mol´eculas dissolvidas cido como g´ as do lixo, s´ o pode ser obtido a partir do petr´ oleo. (ACAFE) Algumas substˆ ancias em contato com a pele, nos Caracter´ısticas d˜ ao uma sensa¸ca˜o de estarem frias. Dentre elas podemos destacar o ´eter comum. Isso ocorre por que: • Apresentam sabor azedo; f) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo • Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftale´ına exot´ermico. de vermelha para incolor; g) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo endot´ermico. • Conduzem corrente el´etrica em solu¸ca˜o aquosa; h) o ´eter reage endotermicamente com substˆ ancias da pele. i) o ´eter sublima. • Quando adicionados ao m´armore ou carbonatos, produj) o ´eter ´e resfriado. zem uma efervescˆencia com libera¸ca˜o de g´ as carbˆ onico.

Qu´ımica

Aula 7

Classifica¸ c˜ ao Em geral, pode-se classificar os ´acidos quanto `a: Presen¸ ca de Oxigˆ enio

140

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

• Hidr´ acidos: n˜ ao apresentam oxigˆenio na mol´ecula; HCl, HCN, H2 S • Oxi´ acidos: apresentam HN O3 , H2 SO4 , H3 P O4

oxigˆenio

na

N´ umero de Hidrogˆ enios Ioniz´ aveis • Mono-´ acidos: apenas HCl, HCN, HN O3

um

• Di´ acidos: dois H2 S, H2 SO4 , H2 CO3

hidrogˆenio

hidrogˆenios

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´ Nomenclatura dos Acidos Hidr´ acidos

mol´ecula.

´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento)´ıdrico. Quando ionizado, um hidr´ acido produz ao lado do c´ ation H + + ou H3 O , um ˆanion com termina¸ca˜o eto. Conforme exemplo abaixo: ´ Clor´ıdrico ⇋ H + + Cl− : Cloreto. (na presen¸ca ioniz´ avel; HCl: Acido de H2 O)

ioniz´ aveis;

• Tri´ acidos: trˆes hidrogˆenios ioniz´ aveis. H3 SO3 , H3 P O4 Mas tome cuidado:

H3 P O2 → mono-´ acido (um hidrogˆenio ioniz´ avel) H3 P O3 → di´acido (dois hidrogˆenios ioniz´ aveis)

Volatilidade

Oxi´ acidos ´ Nomenclatura: Acido (nome do elemento)  oso(menos oxigenado) ico(mais oxigenado) Conforme podemos ver no exemplo abaixo: ´ H2 SO3 : Acido Sulfuroso ⇋ 2H + + SO3−2 : Sulfito. (na presen¸ca de H2 O) ´ H2 SO4 : Acido Sulf´ urico ⇋ 2H + + SO4−2 : Sulfato. (na presen¸ca de H2 O)

Bases

• Vol´ atil: todos os hidr´ acidos; • Fixo: todos os oxi´ acidos. Estabilidade • Inst´ avel: s´ o existem dois ´ acidos inst´aveis; H2 CO3 → H2 O + CO2

Bases ou Hidr´ oxidos s˜ ao substˆancias que, ao serem dissolvidas em ´agua, sofrem dissocia¸ca˜o iˆ onica, originando o “ˆ anion”OH − , denominado hidroxila ou oxidrila. Os hidr´ oxidos s˜ ao compostos formados por um metal ou um ´ıon positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissocia¸ca˜o iˆ onica de algumas bases em solu¸ca˜o aquosa:

N aOH → N a+ + OH −

H2 SO3 → H2 O + SO2

• Est´ aveis: todos com excess˜ ao dos ´ acidos carbˆ onico e sulfuroso.

F e(OH)3 → F e+3 + 3OH − N H4 OH → N H4+ + OH −

Caracter´ısticas das Bases For¸ ca

• Apresentam sabor amargo;

• Para Hidr´ acidos:

• Reagem com os ´acidos produzindo sal;

– Fortes: HCl, HI, HBr – Moderado ou Semi-Forte: HF – Fracos: HCN, H2 S

• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftale´ına de incolor para vermelha; • Conduzem corrente el´etrica em solu¸ca˜o aquosa;

• Para Oxi´ acidos: m = N0 − NH+ – Fraco: quando m = 0;

• S˜ ao untuosas ao tato.

– Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;

Classifica¸c˜ ao das Bases

– Forte: quando m = 2;

Classifica-se as bases quanto `a:

– Muito Forte: quando m = 3. – Exemplos: HCl → m = 0

fraco

H2 CO3 → m = 1 moderado H2 SO4 → m = 2 forte

HClO4 → m = 3 muito forte

N´ umero de Hidroxilas (OH − ) • Mono-base: KOH;

possui apenas uma hidroxila.

• Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Ca(OH)2 ;

Exemplo: Exemplo:

• Tribase: possui trˆes duas hidroxilas. Exemplo: Al(OH)3 ;

Qu´ımica – Aula 7 • Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. P b(OH)4 .

141 Exemplo: Base

´ Solubilidade em Agua • Sol´ uveis: bases formadas pelas fam´ılias 1A, 2A e N H4 OH; • Insol´ uveis: todas as demais bases. For¸ ca • Forte: quando a base ´e dissolvida em ´ agua, ocorre dissocia¸ca˜o iˆ onica quase que totalmente. Bases de metais alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A); • Fraca: todas as demais bases.

´ Outros Conceitos de Acidos e Bases Conceitos de Br¨ onsted-Lowry

´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de doar um E par de el´etrons atrav´es da liga¸ca˜o coordenada dativa. Exemplo ´ AlCl3 (Acido) + : Cl− (Base) → AlCl4−

Comparando Conceitos • Lewis: o mais geral; • Br¨ onnsted-Lowry: bem amplo; • Arrhenius: o mais limitado. • Um ´acido ou base de Arrhenius ser´ a tamb´em de Br¨ onnsted-Lowry e de Lewis;

´ Acido

• Um ´acido ou base de Br¨ onnsted-Lowry pode ou n˜ ao ser de Arrhenius, mas ser´ a de Lewis;

´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de doar um E pr´oton na forma de H + .

• Existem ´acidos e bases de Lewis que n˜ ao s˜ ao de Br¨ onnstedLowry nem de Arhenius.

Base

Estequiometria

´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de receber um E pr´oton na forma de H + . ´ o c´ E alculo da quantidade de reagentes necess´ arios e de produtos obtidos numa determinada rea¸ca˜o qu´ımica. Baseia-se nas Exemplos Leis de Lavoisier (conserva¸ca˜o das massas), Proust (propor¸ca˜o das massas) e Gay Lussac (propor¸ca˜o de volumes). Fundamenta-se no fato de que a propor¸ca˜o de mols entre rea´ HCl(Acido) + H2 O(Base) ⇋ gentes e produtos numa rea¸ca˜o ´e constante, dada pelos coefi´ H3 O+ (Acido) + Cl− (Base) (2.16) cientes estequiom´etricos. ´ N H3 (Acido) + H2 O(Base) ⇋ Outro fundamento do c´ alculo estequiom´etrico ´e a defini¸ca˜o de − ´ mol. N H4 (Acido) + OH (Base) (2.17)

´ Par Conjugado Acido–Base Chamamos de par conjugado as esp´ecies qu´ımicas que diferem entre si por um H + . No exemplo (2.16) temos o seguinte par conjugado ´acido-base:  HCl − (´ acido forte)    (grande facilidade doar el´etrons) Cl− − (base fraca)    (pequena facilidade de receber el´etrons)

Isso explica por que a rea¸ca˜o tende para o sentido direito, ou seja, da esquerda para direita.

Conceito de Lewis

O mol • Pesa: MMg (MM=Massa Molecular); • Possui: 6, 02 × 1023 mol´eculas; • Ocupa: 22, 4 l (g´as nas CNTP). Exemplo Dada a rea¸ca˜o de combust˜ ao da acetona: C3 H6 O → CO2 + H2 O Balanceando a equa¸ca˜o pelo m´etodo das tentativas, chegaremos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:

´ Acido ´ toda esp´ecie qu´ımica (mol´ecula ou ´ıon) capaz de aceitar um E par de el´etrons atrav´es da liga¸ca˜o coordenada dativa.

1 C3 H6 O (1 mol) + 4 O2 (4 mols) → 3 CO2 (3 mols) + 3 H2 O (3 mols)

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d) c´ alcio e) s´ odio

• O que vocˆe entende por chuva ´ acida? Ela pode trazer 6. Temos a seguinte equa¸ca˜o: algum malef´ıcio `a vida humana? 2O3 → 3O2 • Enumere algumas substˆ ancias ´ acidas e b´ asicas de uso di´ario. Os n´ umeros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equa¸ca˜o representam, respectivamente: a) coeficiente estequiom´etrico e n´ umero de ´atomos da mol´ecula Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao b) coeficiente estequiom´etrico e n´ umero de mol´eculas c) n´ umero de mol´eculas e coeficiente estequiom´etrico umero de ´atomos da mol´ecula e coeficiente este1. Um tanque de autom´ ovel est´ a cheio com 60 litros de ´alcool d) n´ quiom´ etrico hidratado (96% ´alcool). A densidade ´e de 0, 9 g/ml. Dada sua e) n´ u mero de ´atomos da mol´ecula e n´ umero de mol´eculas equa¸ca˜o de combust˜ ao completa 1C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O indique: a) a massa da ´agua obtida ao queimar-se todo o ´ alcool do tanque; b) o volume de g´ as carbˆ onico que sai do escapamento, supondo combust˜ ao completa. 2. (ACAFE) Em regi˜ oes industriais o anidrido sulfuroso (SO2 ), resultante da queima de combust´ıveis f´ osseis, d´ a origem `a chuva ´acida na atmosfera devido a sua oxida¸ca˜o e contato com a precipita¸ca˜o pluviom´etrica. Em rela¸ca˜o a estas regi˜oes, a alternativa falsa ´e: a) S˜ ao Paulo e Cubat˜ ao s˜ ao exemplos de cidades onde a incidˆencia de chuvas ´acidas ´e bastante acentuada; b) Ocorre uma oxida¸ca˜o dos port˜ oes de ferro com uma intensidade bem maior que em regi˜ oes distantes das regi˜ oes industriais; c) As planta¸co˜es s˜ ao bastante afetadas, pois a chuva diminui o pH do solo, retardando o crescimento das mesmas; d) A vegeta¸ca˜o pode vir a secar completamente, caso o per´ıodo das chuvas seja prolongado; e) N˜ ao ´e recomendada a utiliza¸ca˜o de port˜ oes de alum´ınio porque este ´e atacado pela chuva ´ acida. 3. (FUVEST) Um elemento met´ alico M forma um cloreto de f´ormula M Cl3 . A f´ormula de seu sulfato ´e: a) M2 SO4 b) M SO4 c) M2 (SO)3 d) M (SO)4 e) M (SO)3

Exerc´ıcios Complementares

Qu´ımica

Aula 8

Solu¸c˜ oes Qu´ımicas Concentra¸c˜ ao Vocˆe j´a reparou, por exemplo, que numa dada quantidade de ´agua podemos dissolver quantidades menores ou maiores de sal comum, desde que evidentemente, n˜ ao ultrapassemos o ponto de satura¸ca˜o. Pois bem, chama-se concentra¸ c˜ ao de uma solu¸ca˜o a toda e qualquer maneira de expressar a propor¸ca˜o existente numa dada solu¸ca˜o. Usaremos a seguinte conven¸ca˜o: ms → massa do soluto msv → massa do solvente

onde

mt → massa do solu¸ca˜o mt = ms + msv

(2.18)

T´ıtulo τ ´ o quociente de massa do soluto pela massa total da solu¸ca˜o E (soluto + solvente). ms T = (2.19) msv ou ms (2.20) τ= ms + msv

4. (COMVESUMC) O ´ acido que corresponde ` a classifica¸ca˜o sendo o t´ıtulo uma grandeza adimensional. mono-´ acida, oxi´ acido, e tern´ ario ´e: a) HN O3 Porcentagem em Massa P b) H2 SO4 ´ o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100) pela E c) H3 P O4 massa total da solu¸ca˜o (soluto + solvente). d) HCl e) HCN O ms 5. O amon´ıaco usado para fins de limpeza ´e uma solu¸ca˜o × 100% (2.21) P = mt aquosa de amˆ onia que cont´em ´ıons: a) hidroxila b) sulfato c) nitrato

onde a rela¸ca˜o entre porcentagem em massa e t´ıtulo ´e P = τ × 100%

(2.22)

Qu´ımica – Aula 8

143

Normalidade

Concentra¸c˜ ao Comum C

´ o n´ ´ o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume E umero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo E volume da solu¸ca˜o em litros. da solu¸ca˜o (emlitros). ms V

C=

(2.23)

N=

NE V

(2.29)

onde a rela¸ca˜o entre a concentra¸ca˜o comum, t´ıtulo e densidade Observa¸ c˜ ao: a melhor maneira de se calcular a normalidade da solu¸ca˜o ´e ´e a partir da molaridade, usando a express˜ ao: C = d · τ · 1000

(2.24)

Onde:

N = M ·x

(2.30)

Resumo das Principais Equa¸c˜ oes C → Concentra¸ca˜o Comum (g/l) d → Densidade (g/ml)

Rela¸ co ˜es das Massas m = m1 + m2

τ → T´ıtulo

N´ umero de Mols

Molaridade M

n1 =

Concentra¸ca˜o em M ol/l ou Molaridade M ´e o quociente do n´ umero de mols do soluto pelo volume da solu¸ca˜o (em litros). Sendo: Densidade

d=

m V

T =

m1 m

ns → n´ umero de mols do soluto

d → massa do soluto (g) Ms → massa molar do soluto (g)

m1 mol1

T´ıtulo

V → volume da solu¸ca˜o (l) M → molaridade (mols)

Porcentagem em Massa M=

ns V

(2.25)

ns =

ms Ms

(2.26)

onde

P = 100 · Concentra¸ c˜ ao (g/l) C=

m1 V

M=

n1 V

Equivalente-Grama ´ a massa molar do soluto dividida pela carga total do c´ E ation ou do aˆnion de uma substˆ ancia.

E=

M x

(2.27)

Molaridade

Molalidade (mol/kg) de solvente W =

sendo

n1 m2

Concentra¸ c˜ ao em Equivalentes-Gramas

M → massa molar x → carga do c´ ation ou ˆ anion o

m1 m

N=

+

Para um ´acido: x → n de H Para um base: x → no de OH −

Ne1 V

N´ umero de Equivalentes-Gramas

N´ umero de Equivalentes-Gramas

Ne1 =

m E

Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama da Equivalentes-Gramas substˆ ancia. NE =

ms E

(2.28)

E=

mol x

144

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Pense um Pouco!

c) 20 mol/l d) 0, 5 mol/l • Pense em poss´ıveis aplica¸co˜es dos conceitos apresentados e) 0, 06 mol/l at´e aqui, referentes a solu¸co˜es e cite alguns exemplos. • Se fervermos uma solu¸ca˜o de ´ agua+sal, e a ´ agua for evaporando, o que acontece com as propriedades da solu¸ca˜o (M , τ , P , etc)?

Qu´ımica

Aula 9

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Equil´ıbrio Iˆ onico

1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necess´ aria para preparar 25 litros de solu¸ca˜o 0, 1 M deste sal ser´ a: ´ um equil´ıbrio qu´ımico em que aparecem ´ıons. Ocorre com E a) 208 g ´acidos bases e os sais, considerados eletr´ olitos. b) 520 g c) 260 g d) 416 g Exemplos e) 71 g 2. (ACAFE) A ur´eia, N H2 CON H2 , ´e um produto do metabolismo de prote´ınas. Que massa de ur´eia ´e necess´ aria para preparar 500 ml de uma solu¸ca˜o 0, 20 M ? a) 5, 1 g b) 12, 0 g c) 18, 0 g ou seja d) 24, 0 g e) 6, 0 g

HCN ←→ H + + CN −

α=

no de moles dissociados no inicial de moles

α = grau de dissocia¸ca˜o iˆ onica

3. (ACAFE) A concentra¸ca˜o de N aCl na ´ agua do mar ´e de A constante de ioniza¸ca˜o segue a Lei de Guldeberg-Waage. 0, 43 mol/l. O volume em l, de ´ agua do mar que deve ser evaporado completamente para a produ¸ca˜o de 5 kg de sal de HCN ←→ H + + CN − cozinha ´e aproximadamente: a) 12 l [H + ].[CN ] b) 25 l Ka = [HCN ] c) 40 l d) 200 l Ka = constante de dissocia¸ca˜o iˆ onica para ´acidos, e) 430 l Kb = para bases pKa = −logKa Ka = 4, 0 × 10−10 Exerc´ıcios Complementares pKa = −log(4, 0 × 10−10 ) pKa = 9, 4 4. (ACAFE) Para uma solu¸ca˜o a 20 % em massa e densidade Quanto maior α → maior ioniza¸ca˜o → maior ´e o numerador 4 g/ml, calcule a concentra¸ca˜o em g/l. na express˜ ao da constante → maior ´e K. a) 80 g/l A partir da express˜ ao de Ka , quanto mais ionizado o ´acido se b) 800 g/l encontra: c) 8 g/l d) 8000 g/l - maior a quantidade de ´ıons em solu¸ca˜o; e) 400 g/l - menor a quantidade de ´acido n˜ ao-ionizado; 5. (ACAFE) Uma gota de ´ agua ocupa um volume aproximado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da ´agua ´e 1, 00 g/cm3 . O n´ umero de mol´eculas por gota de ´ agua ser´ a: - maior o valor de Ka . a) 1, 67 × 1021 b) 1, 67 × 1023 A for¸ca de um ´acido ´e medida pela sua capacidade de produzir c) 6, 00 × 1023 ´ıons H + em solu¸ca˜o aquosa. Portanto, quanto maior o valor d) 6, 00 × 1021 de Ka : e) 3, 00 × 1021 - maior a capacidade de ioniza¸ca˜o do ´acido; 6. Uma solu¸ca˜o de AgN O a 1, 00 % em ´ agua ´e utilizada 3

para tratar os olhos de rec´em-nascidos. Sendo a densidade da solu¸ca˜o 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l ´e: a) 1, 0 mol/l b) 0, 10 mol/l

- maior quantidade de ´ıons H + produzida; - maior ´e a for¸ca do ´acido.

Qu´ımica – Aula 9

145

Lei da Dilui¸c˜ ao de Ostwald

Vocˆ e Sabia?

Vamos ver o que ocorre com o grau de ioniza¸ca˜o (α) ao fazer- O odor do peixe ´e causado pela presen¸ca de aminas provenimos uma dilui¸ca˜o da solu¸ca˜o por acr´escimo de solvente. Para entes da decomposi¸ca˜o de algumas prote´ınas do peixe. Estes compostos orgˆ anicos s˜ ao b´ asicos e, portanto, para retirar o seu isso, consideremos a ioniza¸ca˜o de um ´ acido HA: cheiro desagrad´ avel das m˜aos, basta adicionar um ´acido, como o vinagre ou lim˜ao. Uma das aminas causadoras do odor ´e a + HA(aq) ←→ H(aq) + A− (aq) metilamina, que apresenta o seguinte equil´ıbrio: In´ıcio Equil´ıbrio

n n-x

0 x

0 x

Metilamina

o

α=

CH − N H2 +H2 O ←→ CH3 − N H3+ + OH− } | 3 {z | {z }

n de mol´ eculas ionizadas o n de mol´ eculas adicionadas

Base

A adi¸ca˜o de ´acidos desloca o equil´ıbrio para a direita, eliminando o odor causado pela amina.

x/n = x = αn [H + ] = x/V = nα/V [A− ] = x/V = nα/V

Pense um Pouco! • O grau de dissocia¸ca˜o iˆ onica do ´acido ac´etico, em solu¸ca˜o 0,02 molar, ´e de 3% a 25 ◦ C. Calcule a constante de ioniza¸ca˜o α desse ´acido `a 25 ◦ C.

[HA] = n − x/V = n − nα/V = n(1 − α)/V Ka =

[H + ] [A− ] nα/V ∗ nα/V = n(1−α) [HA] V

V nα ∗ nα ∗ Ka = VV n(1 − α) Ka =

nα2 −(1 − α)

Ka =

Cnα2 1−α

Esta express˜ ao representa a Lei de Dilui¸ca˜o de Wilhelm Ostwald (1853-1932), qu´ımico alem˜ ao. Vejamos como interpretar essa lei. Considerando uma dilui¸ca˜o por acr´escimo de solvente, temos que, se o volume aumenta, devido ao acr´escimo de solvente, a concentra¸ca˜o em quantidade de mat´eria diminui: n/V = Cn −→ V aumenta ←→ Cn diminui

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde ao grau de ioniza¸ca˜o do ´acido cian´ıdrico, HCN, numa solu¸ca˜o 0,01 molar, sabendo que a sua constante de ioniza¸ca˜o ´e de 4.10-10 ( considerar 1 − α = 1). a) 0, 02 b) 2 × 104 c) 2 × 10−4 d) 4 × 10−2 e) 4 × 10−4 2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ioniza¸ca˜o dos ´acidos I, II e III: KI = 7, 0 × 10−5 , KII = 1, 0 × 10−7 , KIII = 2, 0 × 10−9 Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se: a) I, II e III. b) I, III e II. c) II, III e I. d) III, I e II. e) III, II e I.

admitindo um aumento indefinido de volume, ou seja, V tendendo ao infinito, Cn vai tender a zero. Ent˜ ao, na express˜ ao 3. (UDESC) Somente tem significado definir constante de ioniza¸ca˜o para: da lei, se Cn tende `a zero, Cnα2 tamb´em tende ` a zero: ´ a) Acido fortes. 2 b) Bases fortes. Cnα 2 = Cnα = Ka (1 − α) Ka = c) Sais sol´ uveis em ´agua. 1−α d) Eletr´ olitos fracos em solu¸co˜es concentradas. olitos fracos em solu¸co˜es dilu´ıdas. se Cnα2 tende a zero, ent˜ ao Ka (1 − α) tamb´em tende `a zero e) Eletr´ (Ka ´e constante). Logo: Ka (1 − α) tende a 0 −→ 1 − α tende a zero −→ −α tende a Exerc´ıcios Complementares -1 −→ α tende a 1. O fato de o grau de ioniza¸ca˜o tender a 1 significa que a ioniza¸ca˜o tende a ser total (100%), ou seja, o n´ umero de 4. (PUC-SP) Na temperatura ambiente, a constante de iomol´eculas ionizadas tende a ser igual ao de mol´eculas adici- niza¸ca˜o do ´acido ac´etico ´e 1, 80 × 10−5 . Determine a molarionadas: α = x/n, x = nα, x = n, (α = 1) dade da solu¸ca˜o onde o ´acido se encontra 3% dissociado. “O acr´escimo de solvente de uma solu¸ca˜o, ou seja, uma di- a) 1, 94 × 10−2 molar. lui¸ca˜o, provoca um aumento do grau de ioniza¸ca˜o”. b) 3, 00 × 10−2 molar

146

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

c) 5, 82 × 10−4 molar d) 5, 40 × 10−5 molar e) 5, 40 × 10−7 molar 5. (USP-SP) O grau de ioniza¸ca˜o do ´ acido ac´etico (HAc), numa solu¸ca˜o 0,5M, ´e de 6 × 10−1 %. Calcule a constante de ioniza¸ca˜o desse ´acido. 6. (UDESC) O peixe cr´ u, preparado com suco de lim˜ao ou vinagre, ´e consumido em diversos pa´ıses. Esse prato ´e f´acil digest˜ ao, porque o suco de lim˜ ao ou vinagre: a) Forma solu¸ca˜o b´ asica e n˜ ao hidrolisa as prote´ınas do peixe. b) Forma solu¸ca˜o ´acida e n˜ ao hidrolisa as prote´ınas do peixe. ´ solu¸ca˜o b´ c) E asica e hidrolisa as prote´ınas do peixe. d) Forma a solu¸ca˜o ´acida e hidrolisa as prote´ınas do peixe.

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Qu´ımica B – Aula 1

Qu´ımica B

147

Aula 1

M´ etodo Cient´ıfico

Desenvolvido por Galileu Galilei o m´etodo cient´ıfico ´e a base de ¯ toda a Ciˆencia, pois sintetiza o conjunto de atividades que visam observar, experimentar, explicar e relacionar os fenˆ omenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar os fenˆ omenos futuros. O que ´ e Qu´ımica? Observa¸ c˜ ao → Hip´ oteses → Experimenta¸ c˜ ao → Medi¸ c ˜ a o → Leis experimentais → Modelo cient´ ıfico Qu´ımica ´e a ciˆencia que estuda a natureza da mat´eria, suas propriedades, suas transforma¸co˜es e a energia envolvida nesses processos. Fenˆ omenos Qu´ımicos e F´ısicos A qu´ımica est´ a presente em toda mat´eria orgˆ anica e omeno ´e qualquer acontecimento da natureza. Quando inorgˆ anica, natural e artificial e tem contato di´ario e direto Fenˆ ocorre um fenˆ omeno, uma transforma¸ca˜o, h´ a altera¸ca˜o no siscom o homem. tema do estado inicial ao estado final.

Um Pouco de Hist´ oria... Antoine Lavoisier (1743−1794)

Podemos dizer que tudo come¸cou com o homem primitivo, quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como rem´edio para suas doen¸cas, etc. No come¸co da era crist˜ a, surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixir da longa vida”, aperfei¸coaram t´ecnicas de metalurgia, introduziram a qu´ımica medicinal, sintetizaram v´arias substˆ ancias, isolaram outras, al´em de terem registrado um grande n´ umero de experimentos em suas observa¸co˜es. A partir do s´eculo XVII, a ciˆencia se transforma, tornando-se mais experimental e menos filos´ofica. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o inglˆes Robert Boyle(16271691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distin¸ca˜o entre mistura e “combina¸ca˜o”, e o francˆes Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Qu´ımica) que estabeleceu um marco na qu´ımica moderna, no qual podemos destacar o Princ´ıpio da Conserva¸ca˜o da Massa, a descoberta do elemento oxigˆenio e sua an´ alise quantitativa da composi¸ca˜o da ´agua. Por seu trabalho, Lavoisier ´e considerado o “pai da Qu´ımica”.

A Importˆ ancia da Qu´ımica

Figura 2.1: O pai da Qu´ımica: Lavoisier (1743-1794)

Fenˆ omeno F´ısico ´ qualquer transforma¸ca˜o sofrida por um material sem que E ocorra altera¸ c˜ ao de sua constitui¸ca˜o ´ıntima de seus constituintes. Ex: o amassar do papel, evapora¸ca˜o da ´agua, quebra de um objeto. Fenˆ omeno Qu´ımico ´ qualquer transforma¸ca˜o sofrida por um material de modo E que haja altera¸ c˜ ao na sua constitui¸ca˜o ´ıntima de seus constituintes. Ex: oxida¸ca˜o do ferro (forma¸ca˜o da ferrugem), apodrecimento de um alimento.

Pense um Pouco! • Fatos comuns envolvendo materiais e transforma¸co˜es qu´ımicas s˜ ao de conhecimento recente ou antigo?

Podemos dizer que tudo ` a nossa volta ´e qu´ımica, pois todos os • Quais as atividades do seu dia em que a qu´ımica est´ a materiais que nos cercam passaram ou passam por algum tipo presente? de transforma¸ca˜o. A qu´ımica proporciona progresso, desenvolvimento e atrav´es do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artificiExerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ais, desenvolvimento da ind´ ustria farmacˆeutica, fertilizantes e pesticidas para planta¸ca˜o, produtos industrializados cuja obten¸ca˜o depende de transforma¸co˜es qu´ımicas como pl´asticos, 1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta: vidros, tintas, cimento etc. a) Oxida¸ca˜o do ferro ´e um fenˆ omeno f´ısico

148

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

b) Fus˜ao do chumbo ´e um fenˆ omeno qu´ımico. c) Combust˜ ao da madeira ´e um fenˆ omeno qu´ımico. d) Queima do papel ´e um fenˆ omeno f´ısico. e) n. d. a. 2. (UFSC) Indique na rela¸ca˜o abaixo os fenˆ omenos f´ısicos (F) e os fenˆ omenos qu´ımicos (Q). a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros b) ( ) Digest˜ao dos alimentos ingeridos c) ( ) Forma¸ca˜o de ferrugem d) ( ) Quebra de um objeto e) ( ) Enfiar um prego na madeira f) ( ) Derretimento de um iceberg 3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro at´e o ponto de fus˜ao, recolher o l´ıquido em uma forma esf´erica, transformando a barra em uma bola de ferro, ´e exemplo de fenˆ omeno: a) Qu´ımico, pois altera a forma da barra de ferro. b) F´ısico, pois a substˆancia continua sendo ferro. c) F´ısico-qu´ımico, pois h´ a altera¸ca˜o na forma da substˆancia. d) N˜ ao ´e exemplo de fenˆ omeno. e) n. d. a.

Exerc´ıcios Complementares

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Corpo ´e qualquer por¸ca˜o limitada da mat´eria. Se uma por¸ca˜o de mat´eria se presta a um certo uso, ela ´e chamada de objeto ou sistema. Durante a queima de uma vela (mat´eria), ela se desgasta, produzindo fuma¸ca (mat´eria: fuligem e gases) e liberando energia (luz: energia luminosa; calor: energia calor´ıfica). Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo que pode modificar a estrutura da mat´eria, provocar ou anular movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode at´e causar sensa¸co˜es. Princ´ıpio da conserva¸ca˜o de mat´eria e energia: A mat´eria e energia n˜ ao podem ser criadas nem destru´ıdas; podem somente ser transformadas.

Lei da Conserva¸c˜ ao da Massa ”A soma das massas dos reagentes ´ e igual a soma das massas dos produtos”. Ou ainda, ”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se transforma”.

Estados da Mat´ eria

4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenˆ omenos: I. sublima¸ca˜o da naftalina, II. forma¸ca˜o da ferrugem, III.queima do ´alcool comum, IV.fus˜ao do gelo. S˜ ao qu´ımicos: a) todos b) nenhum c) somente II e III d) somente I e III e) somente II e IV 5. (MACKENZIE-SP) I. Fus˜ao do gelo, II. Sublima¸ca˜o do iodo, III. Digest˜ao dos alimentos, IV. Queima de madeira. S˜ ao exemplos de fenˆ omenos: a) I e II qu´ımicos b) I e IV f´ısicos c) II e III f´ısicos d) II e IV qu´ımicos e) III e IV qu´ımicos

Existem v´arios tipos de mat´eria e cada um ´e chamado de substˆancias que podem se apresentar num dos trˆes estados f´ısicos: S´ olido (S) A substˆancia apresenta forma e volume constantes (part´ıculas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vibrat´ orio discreto); L´ıquido (L) A substˆancia apresenta forma vari´ avel e volume constante (part´ıculas levemente unidas, havendo certa liberdade de movimento);

Gasoso (G) 6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magn´esio at´e a combust˜ ao, notamos o desprendimento de fuma¸ca, restando um A substˆancia apresenta forma e volume variados (part´ıculas lip´ o branco. Isso ´e exemplo de fenˆ omeno: vres umas das outras, havendo total liberdade de movimento); a) F´ısico, pois alterou a estrutura do magn´esio. b) Qu´ımico, pois houve a forma¸ca˜o de novas substˆ ancias. cas de Estado c) F´ısico, pois podemos juntar o p´ o branco e a fuma¸ca, recu- Mudan¸ perando o magn´esio. • Fus˜ ao (S → L): a substˆancia funde `a temperatura fixa d) N˜ ao ´e exemplo de fenˆ omeno. (ponto de fus˜ao) a uma certa press˜ ao. Ex.: o gelo funde e) n. d. a. `a 0◦ C ao n´ıvel do mar.

Qu´ımica B

Aula 2

Mat´ eria e Energia Mat´ eria ´e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co, ou seja, tˆem volume.

• Solidifica¸ c˜ ao (L → S): a substˆancia solidifica `a uma temperatura fixa igual ao ponto de fus˜ao, j´a que o processo ´e inverso ao da fus˜ao. Ex.: o congelamento da ´agua tamb´em ocorre `a 0◦ C ao n´ıvel do mar, quando a temperatura est´ a baixando; • Vaporiza¸ c˜ ao (L → G): ´e a passagem de uma substˆancia do estado l´ıquido para o estado de g´ as, que ocorre quando suas mol´eculas atingem o seu chamado ponto de ebuli¸ca ˜o. Pode ocorrer de trˆes modos:

Qu´ımica B – Aula 2 1. Evapora¸ca ˜o: ocorre a ` temperatura ambiente ´e lenta e espontˆ anea (ex: a ´ agua de um lago evapora com o calor do sol); 2. Ebuli¸ca ˜o: ocorre quando fornecemos calor ao l´ıquido, ´e r´ apida e violenta (ex: uma chaleira d’´agua fervendo); 3. Calefa¸ca ˜o: ocorre quando se borrifa um l´ıquido numa chapa aquecida acima do seu ponto de ebuli¸ca˜o (ex.: pingar uma gota d’´agua numa chapa de ferro muito quente).

149 • Substˆ ancia Simples: s˜ ao substˆancias formadas por ´atomos de um amesmo mesmo elemento qu´ımico, e que por a¸ca˜o de agentes f´ısicos n˜ ao se decomp˜ oe, e portanto, n˜ ao forma outras substˆancias. Exemplos: H, O, O3 . Chama-se de alotropia o fenˆ omeno pelo qual um u ´ nico elemento qu´ımico forma duas ou mais substˆancias simples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o grafite e o diamante. • Substˆ ancias Compostas: s˜ ao formadas por ´atomos de dois ou mais elementos qu´ımicos diferentes, e que por a¸ca˜o de agentes f´ısicos, se decomp˜ oem formando duas ou mais substˆancias novas. Exemplos: ´agua + eletricidade → g´ as oxigˆenio + g´ as hidrogˆenio.

• Condensa¸ c˜ ao G → L: a substˆ ancia no estado gasoso ´e resultado de um l´ıquido vaporizado que, ao sofrer um resfriamento, retorna ao estado l´ıquido por condensa¸ca˜o. (ex: got´ıculas de ´agua se formam na tampa de uma chaleira). Outro processo similar ´e a Liquefa¸ c˜ ao: ´e a condensa¸ca˜o de uma substˆancia que em condi¸co˜es ambientes, ´e um g´ as Sistemas e Misturas que ao comprimi-la (aumentar a press˜ ao) passa para o estado l´ıquido (ex.: o g´ as de cozinha ´e comprinido num Para acilitar o estudo da Qu´ımica definimos: botij˜ ao e se liquefaz – g´ as liquefeito de petr´ oleo (GLP)). • Sistema: ´e uma parte do universo f´ısico que cont´em ou n˜ ao mat´eria, cujas propriedades est˜ ao sob investiga¸co˜es • Sublima¸ c˜ ao S → G: a substˆ ancia passa da forma s´ olida cient´ ıficas. diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina, iodo, cˆ anfora). • Mistura Homogˆ enea: mistura de substˆancias que apresenta u ´ nico aspecto e as mesmas caracter´ısticas em toda a ´ Part´ıculas e Atomos sua extens˜ao. A mistura homogˆenea pode ser uma solu¸ca˜o monof´ asica, por exemplo ´agua + a¸cu ´ car, ou uma liga Toda a mat´eria conhecida ´e formada por trˆes tipos de met´ alica, como exemplos temos o lat˜ ao (cobre (Cu) + part´ıculas elementares fundamentais: zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) + estanho (Sn)). • Pr´ oton: part´ıcula massiva que possui uma carga el´etrica elementar positiva (+e) e participa da forma¸ca˜o do n´ ucleo dos ´atomos; • Nˆ eutron: part´ıcula tamb´em massiva que n˜ ao possui carga el´etrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do n´ ucleo dos a´tomos, reduzindo a repuls˜ ao coulombiana entre os pr´otons; • El´ etron: part´ıcula muito leve que possui uma carga elementar negativa (−e) e circula o n´ ucleo atˆomico, formando uma esp´ecie de nuvem (orbital). No seu movimento ao redor do n´ ucleo, apresenta um “comportamento duplo” de part´ıcula e onda; da´ı dizer-se que a natureza do el´etron ´e a de uma part´ıcula-onda. O princ´ıpio da incerteza, de Heisenberg, diz que: ´ imposs´ıvel se determinar simultaneamente a “E posi¸ca˜o e a velocidade de um el´etron.” Com base nesse princ´ıpio, criou-se modernamente a id´eia de orbital, como sendo a regi˜ ao onde h´ a grande possibilidade (probabilidade) do el´etron ser encontrado. Na pr´atica, podemos pensar no el´etron como uma “nuvem” que circunda o n´ ucleo.

• Mistura Heterogˆ enea: mistura que apresenta v´arios aspectos f´ısicos, sendo poss´ıvel de distinguir seus componentes (polif´ asica). Exemplo: ´agua + ´oleo + areia.

Pense um Pouco! • O iodo (I) ´e um s´ olido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em iodo s´ olido ao encontrarem uma superf´ıcie fria. Explique e dˆe o nome dos fenˆ omenos observados. • Durante a ebuli¸ca˜o da ´agua destilada (´ agua pura) a temperatura n˜ ao se modifica, ao passo que, durante a ebuli¸ca˜o da ´agua do mar, a temperatura continua aumentando. Pense um pouco e explique esse fato.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. (UFSC) Mat´eria ´e tudo que tem massa e ocupa lugar no espa¸co. S˜ ao exemplos de mat´eria (marque V ou F): a) ( ) pedra b) ( ) madeira c) ( ) corpo humano d) ( ) ar Elementos e Substˆ ancias e) ( ) ´agua Todos as substˆancias encontradas na natureza s˜ ao constitu´ıdas f) ( ) carro por combina¸co˜es de ´atomos, que por sua vez, s˜ ao as estruturas 2. (PUC-SP) O conceito de elemento qu´ımico est´ a relacionado f´ısico-qu´ımicas est´ aveis elementares. com a id´eia de: • Elemento qu´ımico: ´e o conjunto de todos os ´atomos a) ´atomo quimicamente iguais. b) mol´ecula

150

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

c) ´ıon d) substˆ ancia pura e) mistura

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2. H´elio (He): Z = 2, A = 4, N = 2; 3. Urˆanio (U ): Z = 92, A = 238, N = 146.

3. (UDESC) Assinale a op¸ca˜o que apresenta apenas substˆancia Considerando um elemento no estado natural, com ´atomos eletricamente neutros, temos: simples: a) H2 , Cl2 , N2 , CH4 b) M gCl2 , H2 O, H2 O2 , CCl4 N o de pr´otons = Z c) N a2 O, N aCl, H2 , O2 d) CCl4 , H2 O, Cl2 , HCl N o de el´etrons = Z e) H2 , Cl2 , O2 , N2 N o de neutros = A − Z

Exerc´ıcios Complementares

Para um ´atomo de elemento X qualquer representamos, usamos a seguinte nota¸ca˜o: 4. (UFMG) Considerando-se completa ausˆencia de polui¸ca˜o entre os materiais citados a seguir, a substˆ ancia pura ´e: A ZX a) ar b) ´ agua para representar o seu n´ umero atˆomico e sua massa atˆomica. c) madeira Exemplo: para um ´atomo de ferro temos 26 F e56 . d) cinza e) terra 5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um l´ıquido para o estado de vapor, com agita¸ca˜o em toda sua massa l´ıquida, denomina-se: a) ebuli¸ca˜o b) evapora¸ca˜o c) sublima¸ca˜o d) calefa¸ca˜o e) irradia¸ca˜o 6. (UDESC) A libera¸ca˜o ou consumo de energia: a) S´ o ocorre em transforma¸co˜es f´ısicas. b) S´ o ocorre em transforma¸co˜es qu´ımicas. c) Em geral, ´e menor nos fenˆ omenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. d) Em geral, ´e maior nos fenˆ omenos f´ısicos do que nos qu´ımicos. e) Nunca ocorre nas transforma¸co˜es materiais.

Qu´ımica B

Aula 3

Figura 2.1: Alum´ınio met´ alico comum.

Is´ otopos e Is´ obaros • Is´ otopos: s˜ ao ´atomos com mesmo n´ umero de pr´ otons (Z) e diferente do n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas iguais e f´ısicas diferentes.

Metais, Semi-metais e Ametais

Exemplo O hidrogˆenio (H) possui trˆes is´ otopos conhecidos:

Para distinguir diferentes tipos de ´ atomos usamos: • N´ umero Atˆ omico ou Z: ´e o n´ umero correspondente a carga nuclear, ou seja, o n´ umero de pr´otons (P ) existente no n´ ucleo. Ent˜ ao: Z = P ; • N´ umero de Massa ou A: ´e o total de pr´otons P e de nˆeutrons N existente no n´ ucleo. Assim: A = P + N . O n´ umero de massa A define em si a massa do ´ atomo, j´a que os el´etrons possuem uma massa desprez´ıvel. Exemplos 1. Hidrogˆenio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;

1. o hidrogˆenio comum (pr´ otio): Z = 1;

1H

1

, com N = 0 e

2. o deut´ erio: 1 H 2 , com N = 1 e Z = 1; 3. o tr´ıtio: 1 H 1 , com N = 2 e Z = 1; • Is´ obaros: s˜ ao ´atomos de diferentes n´ umeros de pr´otons ¯ (elementos diferentes), mas que possuem o mesmo n´ umero de massa (A); apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Alguns is´ otopos do C´alcio e do Argˆ onio possuem o mesmo n´ umero de massa A = 40: 20 Ca40 e 19 Ar40

Qu´ımica B – Aula 3

151

• Is´ otonos: s˜ ao ´atomos que possuem o mesmo n´ umero de nˆeutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z diferentes; apresentam propriedades qu´ımicas e f´ısicas diferentes; Exemplo Boro e Carbono: 5 B 11 (N = 6) e 6 C 12 (N = 6)

Classifica¸c˜ ao dos Elementos D¨ obereiner, em 1817, demonstrou a existˆencia de Tr´ıades de elementos com propriedades qu´ımicas semelhantes, onde o peso atˆomico de um elemento era aproximadamente a m´edia aritm´etica dos pesos atˆomicos dos outros dois. Ex: cloro, bromo e iodo. Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente de Figura 2.2: O l´ıtio, metal da fam´ılia 1A. pesos atˆomicos, em grupos de sete, an´ alogo ` as oitavas musicais, logo, esta id´eia foi abandonada. encia de um ´atomo ionizado (´ıon) ´e definida pelo n´ umero Dmitri Mendeleyev, em 1869, propˆ os uma tabela muito seme- A valˆ de el´ e trons removidos ou adicionados ao ´ a tomo (´ ıon). lhante a` atual, mas que apresentava os elementos dispostos em ordem crescente de pesos atˆomicos, essa classifica¸ca˜o definiu • mono-valente: ´ıon com excesso (ou falta) de um el´etron; seis elementos desconhecidos. Moseley, em 1913, verificou que os elementos qu´ımicos na Ta• bivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de dois el´etrons; bela Peri´ odica deveriam obedecer a uma ordem crescente de n´ umero atˆomico, e chegou-se at´e a tabela atual; • trivalente: ´ıon com excesso (ou falta) de trˆes el´etrons; Na tabela atual al´em de os elementos serem colocados em ordem crescente de n´ umero atˆomico, observa-se a seguinte dis• tetravalente: ´ıon com excesso (ou falta) de quatro posi¸ca˜o (veja Apˆendice): el´etrons; • Per´ıodos ou S´ eries: s˜ ao as filas horizontais em n´ umero de 7 e indicam os n´ıveis ( K, L, M, N, O, P, Q ); elementos do mesmo per´ıodo apresentam propriedades qu´ımicas diferentes. • Fam´ılias: s˜ ao as colunas verticais da tabela, elementos da mesma fam´ılia apresentam propriedades qu´ımicas semelhantes. Algumas fam´ılias importantes: – Metal: possui de 1 a trˆes el´etrons na camada externa; – N˜ ao-metal: possui de 5 a 7 el´etrons na camada externa;

• ... Exemplos • Ca+ ´e um c´ ation mono-valente de c´ alcio. • F e−2 ´e um ˆanion bivalente do ferro. • K +3 ´e um c´ ation trivalente do pot´assio.

Propriedades Peri´ odicas

– Elementos Representativos: apresentam sub-n´ıveis S˜ ao as propriedades que dependem da posi¸ca˜o do ´atomo na mais energ´eticos s e p, fam´ılia A e gases nobres com tabela peri´ odica, e que variam suavemente entre ´atomos vizi1 A, 2 A, 13 A a 18A; nhos. – Elementos de Transi¸ca ˜o: apresentam sub-n´ıvel mais energ´etico d nas fam´ılias 3B at´e 12B; Exemplos – Elementos de Transi¸ca ˜o Interna: apresentam subn´ıvel mais energ´etico f . Os lantan´ıdios e actin´ıdios;

Pense um Pouco!

´Ions e Valˆ encia Quando um ´atomo est´ a com falta ou excesso de el´etrons, sua carga l´ıquida n˜ ao ´e mais zero, e o chamamos de ´ıon: • C´ ation: ´ıon positivo ou ´ atomo que perdeu um ou mais el´etrons; ˆ • Anion: ´ıon negativo ou ´ atomo que ganhou um ou mais el´etrons;

• O que ocorre quando um el´etron de um ´atomo ´e capturado por outro ´atomo diferente? • Seria poss´ıvel produzirmos ´agua (H2 O) com deut´erio ou tr´ıtio? Ela teria um gosto diferente? O que seria diferente nessa nova ´agua? • O n´ umero atˆomico de um ´atomo de nitrogˆenio ´e 7 e seu n´ umero de massa ´e 14. Qual ´e o n´ umero de pr´otons, de el´etrons e nˆeutrons desse ´atomo neutro?

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Qu´ımica B

3. (Acafe-SC) Os pares de ´ atomos C 12 e C 13 ; K 40 e Ar40 ; Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrˆencia de: a) Isotonia, isotopia, isobaria. b) Isotopia, isobaria, isotonia. c) Isobaria, isotopia, isotonia. d) Isotopia, isotonia, isobaria. e) isobaria, isotonia, isotopia.

Aula 4

Propriedades Peri´ odicas A Tabela Peri´ odica foi elaborada com base nas propriedades qu´ımicas e f´ısicas dos elementos, analisando-a, podemos obter informa¸co˜es sobre eles, chegando-se assim a propriedades importantes dos per´ıodos e fam´ılias (ou grupos) qu´ımicos: CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS

4

5

6

7

8

9

Fr (223)

Ra (226)

SÉRIE DOS ACTINÍDIOS

Ku

Ha (260)

(261)

106

107

108

109

197,0

Sn 118,7 82

Pb

Sb

Te Po

121,7 83

Bi

BROMO

SELÊNIO

ARSÊNIO

207.2

84

NEÔNIO

I

(209)

85

At

36

Kr 83,80 54

ARGÔNIO

Xe Rn

126.9

127,6

209,0

CRIPTÔNIO

CLORO

ENXOFRE

FÓSFORO

SILÍCIO

ALUMÍNIO

81

TI 204,4

200,6

18

Ar 39,95

XENÔNIO

In 114.8

80

Hg

Br 79,90 53

52

Ne 20,18

RADÔNIO

79

Cd 112,4

107,9

Se 78,96

IODO

Au

As 74,92 51

ASTATO

Ag

78

Pt 195,1

50

TELÚRIO

77

Ir 192,2

Pd 106,4

102,9

76

72,59 ANTIMÔNIO

Rh

101,1

190,2

Ge

POLÔNIO

Os

TÁLIO

Ru

MERCÚRIO

75

CÁDMIO

49 ÍNDIO

69,72

48

PALÁDIO

65,38

47

GERMÂNIO

Ga

63,55

ESTANHO

ZINCO

GÁLIO

NÍQUEL

COBRE

FERRO

COBALTO

35

46

RÓDIO

CRÔMIO

MANGANÊS

34

58,69

186,2

17

Cl

33

45

Tc

F 19,00

16

S

32

58,93

Re

O 16,00

31

44

183,8

P

35,45

BISMUTO

105

74

W

Zn

N 14,01 15

32,06

55,85

(98)

95,94

Cu

Si

30,97

CHUMBO

104

Mo

30

C 12,01 14

28,08

43

PLATINA

73

Ni

29

13

Al

He 4,003 10

26,98

54,94

IRÍDIO

92,91

Ta 180,9

Co

28

2B

PRATA

89 - 103

Nb

Fe

27

1B

OURO

88

72

Hf 178,5

Mn

RUTÊNIO

87

Zr 91,22

42

ÓSMIO

SÉRIE DOS LANTANÍDIOS

Cr 52,00

26

UNILÊNIO

137,3

25

8B

UNILÓCTIO

Y 88,91

132,9

24

TECNÉCIO

41

57 - 71

56

VANÁDIO

50,94

40

7B

RÊNIO

Sr 87,62

Ba

V

47,88

39

6B

UNILSÉPTIO

85,47

Ti

44,96

NIÓBIO

Rb Cs

Sc

TANTÁLIO

38 ÍTRIO

Ca 40,08

37

MOLIBDÊNIO

23

TUNGSTÊNIO

22

UNILHÉXIO

21 TITÂNIO

20

ESCÂNDIO

5B

HÂHNIO

VII

4B

ZIRCÔNIO

K

3B

39,10

B 10,81

Mg 24,30

HÁFNIO

CÁLCIO

POTÁSSIO

19

Be 9,012 12

KURCHATÓVIO

LÍTIO SÓDIO

23,00

55

VI

MAGNÉSIO

Li

Na

HÉLIO

3

FLÚOR

7A

OXIGÊNIO

6A

NITROGÊNIO

5A

BORO

4A CARBONO

3A

BERÍLIO

2A

6,941 11

RUBÍDIO

V

2

1,008

ESTRÔNCIO

IV

0

Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono

1

H

BÁRIO

III

HIDROGÊNIO

1A

I II

131,3

(210)

86

(222)

Unh Uns Uno Une

CONVENÇÕES:

69

Er 167,3

164,9

Tm

70

168,9

71

Yb

LUTÉCIO

68

67

Ho

ITÉRBIO

66

Dy 162,5

TÚLIO

Tb 158,9

157,3

ÉRBIO

65

64

Gd

HÓLMIO

63

Eu 152,0

TÉRBIO

Np

62

Sm 150,4

(145)

EURÓPIO

61

Pm

DISPRÓSIO

144,2

GADOLÍNIO

Nd

SAMÁRIO

60

59

Pr 140,9

PROMÉCIO

140,1

NETÚNIO

58

Ce

138,9

NEODÍMIO

La

CÉRIO

VI

LANTÂNIO

57

Número Atômico

PRASEODÍMIO

Série dos Lantanídios

Lu

173,0

175,0

102

103

(s) = estado sólido

( ) = estado líquido

(g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso

N = normal

(243)

96

Cm (247)

M = molar

97

Bk (247)

98

Cf (251)

∆ H = variação de entalpia

99

Es

100

Fm

101

Md

NOBÉLIO

95

Am

No

(252)

(257)

L = litro

R = 0,082 atm . L / K mol

(258)

(259)

LAURÊNCIO

(244)

FÉRMIO

94

Pu

MENDELÉVIO

93

(237)

EINSTÊINIO

U 238,0

BERQUÉLIO

(231)

CÚRIO

92

91

Pa

CALIFÓRNIO

232,0

AMERÍCIO

Th

(227)

PLUTÔNIO

90 TÓRIO

Ac

URÂNIO

89

VII

Massa Atômica ( ) - elemento radioativo

PROTACTÍNIO

Série dos Actinídios

Símbolo

ACTÍNIO

NOME DO ELEMENTO

2. (UFSC) Um determinado ´ atomo apresenta 20 pr´otons, 20 nˆeutrons e 20 el´etrons; outro, apresenta 20 pr´otons, 21 nˆeutrons e 20 el´etrons. Marque V ou F: a) ( ) Pertencem a elementos qu´ımicos diferentes. b) ( ) S˜ ao is´ obaros c) ( ) S˜ ao is´ otopos d) ( ) Tˆem o mesmo n´ umero atˆomico e) ( ) O n´ umero de massa de ambos ´e de 41

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d) 79 e 194 e) 79 e 197

CÉSIO

1. (UDESC) Um determinado ´ atomo apresenta 16 pr´otons, 16 el´etrons e 16 nˆeutrons; outro ´ atomo apresenta 16 pr´otons, 16 el´etrons e 17 nˆeutrons.”Sobre eles, s˜ ao feitas as seguintes afirmativas: I - Os ´ atomos s˜ ao is´ otonos. II - Os ´ atomos s˜ ao is´ obaros. III - Os ´ atomos s˜ ao is´ otopos. IV. - Os ´atomos tˆem o mesmo n´ umero atˆomico. V - Os a´tomos pertencem elementos qu´ımicos diferentes. Em rela¸ca˜o `as afirma¸co˜es acima, podemos dizer que s˜ ao corretas apenas: a) I e V b) II e III c) III e IV d) I e IV e) II e V

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RÁDIO

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

FRÂNCIO

152

Lr (260)

NA: 6,02 x 1023

Figura 2.1: A tabela peri´ odica.

´ Tamanho do Atomo

Os fatores determinantes do tamanho de um ´atomo s˜ ao o n´ umeros de camadas eletrˆ onicas (Z) e carga nuclear (P ). Nas fam´ılias: `a medida que o Z aumenta, o n´ umero de camadas Exerc´ıcios Complementares aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do ´atomo (de cima para baixo); 4. (UNIFOR) O ´atomo desconhecido 17 X 37 tem igual n´ umero Nos per´ıodos: `a medida que o Z aumenta, o n´ umero de cade nˆeutrons que o ´atomo de c´ alcio 20 Ca. O n´ umero de massa madas permanece igual, mas a carga nuclear aumenta, Z A do ´ atomo de Ca ´e igual a: aumenta, a atra¸ca˜o do n´ ucleo sobre os el´etrons perif´ericos a) 10 tamb´em aumenta, resultando ´atomos menores. Num per´ıodo, b) 17 o tamanho do ´atomo aumenta da direita para a esquerda. c) 20 d) 37 Potencial de Ioniza¸c˜ ao e) 40 ´ 5. (CESGRANRIO) Um certo ´ atomo X ´e is´ obaro do Ca40 e E a medida de energia fornecida a um ´atomo isolado no estado gasoso para retirar ou desprender um el´etron, formando um ´ıon is´ otopo do 18 Ar36 . O n´ umero de nˆeutrons do ´ atomo X ´e: gasoso positivo(c´ ation). Quanto maior o tamanho do ´atomo, a) 4 menor energia de ioniza¸ca˜o (Ei ), numa fam´ılia a (Ei ) aumenta b) 18 debaixo para cima. Nos per´ıodos (Ei ) aumenta da esquerda c) 22 para direita. d) 36 e) 40 6. (FEI-SP) Um c´ ation met´ alico trivalente tem 76 el´etrons e 118 nˆeutrons. O ´atomo de elemento qu´ımico do qual se originou tem n´ umero atˆomico e n´ umero de massa, respectivamente: a) 76 e 194 b) 76 e 197 c) 79 e 200

Exemplo Considere uma amostra de s´ odio gasoso (P = 11, Z = 11): N a(g) + Ei = +119 kcal/mol → N a+ (g) + e− (g) Neste caso, a energia de ioniza¸ca˜o (Ei ) do s´ odio ´e de 119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve ser absorvida.

Qu´ımica B – Aula 4

Potencial de Ionizacao

153 Nas fam´ılias aumenta debaixo para cima e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita.

Reatividade Qu´ımica Est´ a relacionada com o car´ ater met´ alico ou n˜ ao-met´alico de um elemento, quanto maior a capacidade de perder el´etrons mais met´ alico ´e o elemento. Quanto maior o tamanho do ´atomo menor o potencial de ioniza¸ca˜o (Ei ) e menor a eletronegatividade = maior car´ ater met´ alico = maior reatividade qu´ımica do metal. Quanto menor o tamanho do ´atomo maior a eletroafinidade, maior a eletronegatividade e maior car´ ater n˜ ao-met´alico = maior a reatividade qu´ımica do n˜ ao-metal.

Reatividade

Figura 2.2: Aumento da energia de ioniza¸ca ˜o dos a ´tomos.

Eletroafinidade ´ a medida de energia liberada por um ´ E atomo isolado no estado gasoso ao receber um el´etron, formando o ´ıon gasoso negativo(ˆanion). Exemplo Ioniza¸ca˜o do cloro (Cl): Cl(g) + e− → Cl− (g) + 83, 3Kcal/mol e neste caso a energia ´e liberada na rea¸ca˜o. Nas fam´ılias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima; e nos per´ıodos aumenta da esquerda para direita.

Eletronegatividade

Figura 2.4: Aumento da Reatividade qu´ımica.

Densidade (ρ)

ao entre Propriedade que o ´atomo apresenta maior ou menor tendˆencia A densidade ou massa espec´ıfica de um corpo ´e a raz˜ de atrair el´etrons para si, resultando da a¸ca˜o conjunta da (Ei ) e sua massa m e seu volume V , ou seja, da eletroafinidade, ou seja, compara a for¸ca de atra¸ca˜o exercida m ρ= pelo ´ atomo sobre seus el´etrons. V

Eletronegatividade

e ser´ a medida em kg/m3 no SI, ou tamb´em em g/cm3 . Exemplo: a densidade do alum´ınio (Al) ´e ρAl = 2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3 . Nas fam´ılias aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta das laterais para o centro.

Volume Atˆ omico v Mede o volume molar espec´ıfico do material s´ olido, e est´ a relacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribui¸ca˜o dos ´atomos no espa¸co): v=

Figura 2.3: Aumento da eletroafinidade dos a ´tomos.

M massa molar = densidade ρ

. Nas fam´ılias o volume atˆomico aumenta de cima para baixo, e nos per´ıodos aumenta do centro para as laterais.

154

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Densidade

Figura 2.5: Aumento da densidade dos a ´tomos.

Volatilidade

Figura 2.6: Aumento do volume atˆ omico dos a ´tomos.

Ponto de Fus˜ ao (PF ) ´ a temperatura em que um s´ E olido passa do estado s´ olido para o estado l´ıquido. Nas fam´ılias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em 1(1A) e 2(2A), que ´e o contr´ ario; nos per´ıodos, aumenta das laterais para o centro.

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Ponto de Fusao

Figura 2.7: Aumento do Ponto de Fus˜ ao (PF ).

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UDESC) Observe os elementos representados na Tabela Peri´ odica e julgue os ´ıtens (V = verdadeiro e F = falso), na ordem: I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono (C), nitrogˆenio (N ), oxigˆenio (O) e fl´ uor (F ) diminui da direita para a esquerda. II - O elemento de menor eletropositividade ´e o c´esio (Cs). III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) ´e o u ´ nico semi-metal. IV - A energia de ioniza¸ca˜o do criptˆ onio (Kr) ´e maior que a do pot´assio (K). V - O raio atˆomico do magn´esio (M g) ´e maior que o de s´ odio (N a) porque ele possui um el´etron a mais. Assinale a alternativa que julga corretamente os ´ıtens acima, na seq¨ uˆencia de I a V. a) F, V, V, F, F b) F, V, F, F, V c) F, F, F, V, F d) V, F, F, V, F e) V, V, F, F, V

2. (UFSC) Sobre os elementos N a, M g e Al, podem ser feitas as afirma¸co˜es: I - N a+ , M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de el´etrons. II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elementos ´e N a, M g e Al. III - M g ++ e Al+++ possuem o mesmo n´ umero de pr´otons. IV - A ordem crescente de reatividade com o H2 O ´e: Al, M g Pense um Pouco! e N a. A op¸ca˜o que cont´em apenas afirma¸co˜es corretas ´e: • Dentre as propriedades peri´ odicas estudadas, quais s˜ ao a) I e IV f´ısicas e quais s˜ ao qu´ımicas? b) I e III c) II e IV d) III e IV • Qual o elemento mais denso que vocˆe j´ a viu? Consulte a e) II e III tabela peri´ odica do Apˆendice e verifique se existe algum elemento ainda mais denso. 3. Na rea¸ca˜o F (g)+ e− (g) → F − (g)+ 402 kcal/mol, a medida de energia 402 quilo-calorias por mol representa: a) a eletronegatividade do fl´ uor • Cite exemplos de semi-metais e n˜ ao-metais conhecidos. b) a eletropositividade do fl´ uor

Qu´ımica B – Aula 5

155

c) o potencial de ioniza¸ca˜o do fl´ uor d) a eletroafinidade do fl´ uor e) a polaridade do fl´ uor

Conhecendo as valˆencias dos elementos cujos ´atomos v˜ao se ligar para formar um composto iˆ onico, podemos calcular a ´ıon f´ormula: 20 Ca

Exerc´ıcios Complementares

15 P

4. Para que o ´ıon 7 N −3 se transforme no ´ atomo neutro de nitrogˆenio, ele deve: a) receber 3 pr´otons b) perder 3 el´etrons c) receber 3 el´etrons d) perder 7 pr´otons e) receber 7 el´etrons 5. Para que um ´atomo neutro de c´ alcio se transforme no ´ıon Ca+2 , ele deve: a) perder 2 pr´otons b) receber 2 el´etrons c) perder 2 el´etrons d) receber 2 pr´otons e) perder 1 pr´oton

Qu´ımica B Liga¸c˜ oes Qu´ımicas

Aula 5

= 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 perde 2e− = 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 ganha 3e−

Escrevemos os s´ımbolos na ordem crescente de eletronegatividade, de modo que o ´ındice corresponda `a valˆencia do outro (regra de 3): Ca → valˆencia 2 + P → valˆencia 3 = Ca3 P2 Liga¸ c˜ ao Covalente Simples Ocorre entre n˜ ao-metais, e entre n˜ ao-metal e hidrogˆenio, e seu princ´ıpio ´e o compartilhamento de el´etrons. O conjunto est´ avel de ´atomos ligados entre si apenas por liga¸co˜es covalentes, ou seja por pares eletrˆ onicos, recebe o nome de mol´ecula. Exemplos Cl + Cl → Cl2 H + Cl → HCl H + O → HO O + O → O2 F´ormula eletrˆ onica:

F´ormula Estrutural Plana:

Compostos Iˆ onicos e Moleculares A uni˜ ao de ´atomos formam diversas substˆ ancias, essa uni˜ ao (liga¸ca˜o qu´ımica) pode ocorrer de trˆes formas: F´ormula Molecular: 1. liga¸ca˜o iˆ onica; 2. liga¸ca˜o covalente simples e dativa; 3. liga¸ca˜o met´ alica.

Liga¸ c˜ ao Covalente Dativa

Os gases nobres s˜ ao elementos est´ aveis, pois apresentam oito S´ o ocorre se o ´atomo que vai contribuir com o par de el´etrons na sua camada de valˆencia, exce¸ca˜o do g´ as h´elio. el´etrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver pares eletrˆ onicos dispon´ıveis: Exemplos Estabilidade Eletrˆ onica HN O3 Oito el´etrons na camada de valˆencia. H2 SO4 H3 P O4 Liga¸ c˜ ao Iˆ onica Liga¸ c˜ ao Covalente Apolar Ocorre entre ametais de mesmo elemento qu´ımico (sol´ uveis em Ocorre entre metal que tem tendˆencia de perder el´etron, com a ´ gua) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H − H. n˜ ao-metal, que tem tendˆencia de receber el´etron, formando Liga¸ c˜ ao Covalente Polar ´ıons de cargas contr´arias, que se atraem mutuamente. Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insol´ uveis em Exemplos a ´ gua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: mol´ecula Fazer o esquema de Lewis: HCl, pois o cloro ´ e mais eletronegativo que o hidrogˆ enio, ou + − N a Cl : seja, apresenta maior capacidade de atrair el´etrons; portanto o par de el´etrons da liga¸ca˜o ´e atra´ıdo por ele, criando-se nesse K + + Cl− : extremo uma maior densidade eletrˆ onica. Assim, surgem p´ olos distintos (representado pela letra δ), formando uma liga¸ca˜o co´ Ion F´ ormula valente polar: δ+ HClδ− .

156

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Pense um Pouco! • Analisando a varia¸ca˜o da eletronegatividade na tabela peri´ odica, indique a liga¸ca˜o menos polar e a mais polar: H–O: H–H: H–I: H–P: H–N: H–F:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFSC) Considerando-se a liga¸ca˜o qu´ımica entre oxigˆenio e o alum´ınio, sob a luz da teoria do octeto, para a forma¸ca˜o do ´ oxido de alum´ınio, ´e correto afirmar (some os n´ umeros correspondentes `as alternativas corretas): 01. Cada ´atomo de alum´ınio, perder´ a 3 el´etrons; 02. O Oxigˆenio ser´ a o ˆanion, com carga negativa igual a trˆes para cada ´atomo; 04. O envolvidos dois ´atomos de alum´ınio na liga¸ca˜o; 08. Cada ´atomo de oxigˆenio receber´ a dois el´etrons; 16. O n´ umero de cargas positivas, por f´ ormula, ser´ a seis. 32. A configura¸ca˜o eletrˆ onica do Al+3 ser´ a 1s2 2s2 2p6 . 64. A f´ ormula m´ınima do ´ oxido de alum´ınio conter´ a quatro ´atomos no total.

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c) atra¸ca˜o inter-molecular d) el´etrons livres e) emparelhamento de el´etrons 6. (Supra-SC) Entre os ´atomos dos compostos KBr, N H3 , e HCN , as liga¸co˜es qu´ımicas predominantes s˜ ao, respectivamente: a) covalente, iˆ onica, iˆ onica b) covalente, iˆ onica, covalente c) covalente, covalente, iˆ onica d) Iˆonica, iˆ onica, covalente e) Iˆonica, covalente, covalente

Qu´ımica B

Aula 6

Liga¸c˜ oes Qu´ımicas Geometria Molecular

Teoria da Repuls˜ ao dos pares eletrˆ onicos, desenvolvida na d´ecada 1960: “Os pares de el´ etrons ao redor do ´ atomo central distribuem-se no espa¸ co de tal forma que a repuls˜ ao entre eles ´ e a menor poss´ıvel, garantindo maior estabilidade”. Os pares de el´etrons podem ou n˜ ao fazer parte de liga¸co˜es. Quando os el´etrons s˜ ao ligantes, os pares podem constituir ´ 2. (UniRio-RJ) Atomos de um elemento X (n´ umero atˆomico liga¸co˜es simples, duplas, triplas ou dativas. 20) e de outro elemento Y (n´ umero atˆomico 7) unem-se por As posi¸ co ˜es relativas dos ´ atomos ligantes s˜ ao dadas liga¸co˜es iˆ onicas, originando o composto de f´ ormula: pela disposi¸ c˜ ao de todos os pares de el´ etrons, mas a gea) XY ometria da mol´ ecula ´ e considerada apenas pela posi¸ c˜ ao b) X2 Y relativa de seus n´ ucleos. c) X3 Y2 d) X2 Y3 Exemplos e) X3 Y4

3. (Acafe-SC) A for¸ca de atra¸ca˜o entre ´ıons positivos e negativos caracteriza a liga¸ca˜o: a) coordenada b) covalente c) met´ alica d) dativa e) iˆ onica

Exerc´ıcios Complementares 4. (Supra-SC) No cloreto de magn´esio, a uni˜ ao entre magn´esio e cloro ocorre atrav´es de liga¸ca˜o: a) molecular b) covalente c) met´ alica d) iˆ onica e) dativa as carbˆ onico (CO2 ) apresenta geometria mole5. (UFRGS) O conceito de liga¸ca˜o covalente se refere `a id´eia Figura 2.1: O g´ cular linear, distribui¸ca ˜o espacial dos pares eletrˆ onicos ´e linear de: e possui 2 a ´tomos ao ligados ao a ´tomo central. a) atra¸ca˜o eletrost´atica b) par iˆ onico

Qu´ımica B – Aula 6

Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria molecular ´e trigonal plana, a distribui¸ca ˜o espacial dos pares eletrˆ onicos forma um triˆ angulo equil´ atero e possui 3 a ´tomos ligados ao a ´tomo central.

For¸ cas Inter-moleculares As substˆancias moleculares podem ser encontradas nos trˆes estados f´ısicos, o que nos leva a concluir que, entre as mol´eculas, existem for¸cas de atra¸ca˜o de diferentes intensidades. A essas for¸cas damos o nome de for¸cas inter-moleculares, elas podem ser de dois tipos: • for¸cas de Van der Waals • pontes de hidrogˆenio For¸ cas de Van der Waals S˜ ao for¸cas de fraca intensidade que se classificam em dipolo– dipolo e dipolo instantˆ aneo–dipolo induzido. A polaridade da liga¸ca˜o apresenta uma dire¸ca˜o, um sentido e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor (~ p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no sentido do p´ olo negativo para o positivo. Para mol´eculas com mais de dois ´atomos, conhecendo-se a geometria molecular, ´e poss´ıvel determinar se a mol´ecula apresenta dipolo, ou seja, se na mol´ecula h´ a distribui¸ca˜o desigual de carga negativa e positiva. Essa determina¸ca˜o ´e feita levando-se em conta os vetores momento de cada liga¸ca˜o. Conforme tenham ou n˜ ao dipolo el´etrico, as mol´eculas s˜ ao classificadas em polares ou apolares, respectivamente. Exemplos CO2 ´e apolar (~ p = ~0). Veja a simetria da mol´ecula na Fig. 2.1. H2 O ´e polar (~ p 6= ~0). Veja a assimetria da mol´ecula na Fig. 2.3. For¸ cas de Van der Waals dipolo–dipolo Este tipo de intera¸ca˜o ocorre entre mol´eculas polares. Exemplo A mol´ecula δ+ HClδ− . A forma¸ca˜o do dipolo ocorre devido ` a diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogˆenio e o cloro. A extremidade negativa

157

Figura 2.3: A a ´gua (H2 O) apresenta geometria molecular angular, mas a distribui¸ca ˜o dos pares de el´etrons ´e tetra´edrica e possui 2 a ´tomos ligados ao a ´tomo central. de uma mol´ecula atrai a extremidade positiva da mol´ecula vizinha. Esse tipo de atra¸ca˜o ´e o mesmo que ocorre na liga¸c˜ao iˆ onica, mas com intensidade bem menor. For¸ cas de Van der Waals dipolo instantˆ aneo–dipolo induzido S˜ ao for¸cas de atra¸ca˜o que aparecem nas substˆancias formadas por mol´eculas apolares, no estado s´ olido ou l´ıquido. A nuvem eletrˆ onica nas mol´eculas apolares ´e uniforme, n˜ ao aparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deforma¸ca˜o por a¸ca˜o externa, ou flutua¸co˜es estat´ısticas (colis˜oes), ou com o aumento da press˜ ao e diminui¸ca˜o de temperatura, provocando, ent˜ ao, uma distribui¸ca˜o desigual de cargas, o que faz com que surja um dipolo tempor´ario. O dipolo instantˆ aneo induz a polariza¸ca˜o da mol´ecula vizinha, resultando uma a¸ca˜o fraca entre elas. Esse tipo de intera¸ca˜o tamb´em ´e chamado de for¸ ca de London, em homenagem ao cientista Fritz London (19001957), que elaborou todo o desenvolvimento te´orico. Pontes de Hidrogˆ enio As pontes de hidrogˆenio s˜ ao casos particulares da intera¸ca˜o dipolo-dipolo, em que o dipolo molecular ´e fixo e de grande intensidade. Esse fenˆ omeno ocorre quando o hidrogˆenio est´ a ligado `a um dos trˆes elementos mais eletronegativos – fl´ uor, oxigˆenio e nitrogˆenio – pois a diferen¸ca de eletronegatividade entre o hidrogˆenio e esses elementos ´e muito grande. Exemplo A ´agua H2 O ´e uma mol´ecula muito polarizada (polar) e as pontes de hidrogˆenio produzem for¸ca suficiente para manter as mol´eculas unidas no estado l´ıquido. Veja a Fig. 2.3. Para Aprender Mais! Tens˜ ao superficial ´e uma propriedade que faz com que uma superf´ıcie l´ıquida se comporte como uma pel´ıcula el´astica. Esta propriedade ocorre com todos os l´ıquidos e ´e observada com maior intensidade na ´agua. As mol´eculas no interior do l´ıquido mant´em-se unidas pelas for¸cas de atra¸ca˜o, que ocorrem em todas as dire¸co˜es. As mol´eculas da superf´ıcie, no entanto, sofrem apenas atra¸ca˜o lateral e inferior, que geram a tens˜ ao superfi-

158

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Figura 2.4: O metano (CH4 ) apresenta geometria molecular Figura 2.5: O P Cl5 apresenta geometria molecular bipirˆ amide tetra´edrica e distribui¸ca ˜o dos pares eletrˆ onicos tamb´em ´e te- trigonal e possui 5 a ´tomos ligantes. tra´edrica e possui 4 a ´tomos ligados ao a ´tomo central

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao cial, criando uma pel´ıcula el´ astica. Quanto mais intensas as for¸cas de atra¸ca˜o, maior ser´ a a tens˜ ao superficial. Vocˆ e S´ abia? Os icebergs s˜ ao massa de gelo flutuante que geralmente se desprende numa geleira polar e, portanto, s˜ ao constitu´ıdos por ´agua doce. Eles flutuam por que a densidade da ´ agua s´ olida ´e menor do que a da ´agua l´ıquida. Na ´ agua l´ıquida, as mol´eculas est˜ ao unidas por pontes de hidrogˆenio e dispostas de forma menos organizada do que no estado s´ olido. Neste estado, a organiza¸ca˜o ´e maior, formando estruturas hexagonais tridimensionais, mais espa¸cadas, que diminuem a densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre a ´ agua. Esta propriedade explica tamb´em a quebra de garrafa de bebidas esquecidas no congelador. For¸ cas Inter-moleculares e Ponto de Ebuli¸ c˜ ao : O importante fator que influencia o ponto de ebuli¸ca˜o de uma substˆancia ´e o tamanho da mol´ecula, pois quanto maior a mol´ecula, mais f´acil a ocorrˆencia de distor¸ca˜o da nuvem eletrˆ onica; conseq¨ uentemente, mais f´ acil a forma¸ca˜o de p´ olos, ou seja, a medida que o tamanho da mol´ecula aumenta (aumento da massa molecular), o ponto de ebuli¸ca˜o tamb´em deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o gasoso ocorre uma separa¸ca˜o das mol´eculas assim, quanto maior a atra¸ca˜o entre as mol´eculas no liquido, maior ser´ a o ponto de ebuli¸ca˜o. Quanto maior a mol´ecula mais f´ acil ´e a forma¸ca˜o de p´ olos.

1. Qual dessas liga¸co˜es ´e mais fraca? a) eletrovalente b) covalente c) ponte de hidrogˆenio d) Van der Waals e) iˆ onica 2. (Acafe-SC) Cada mol´ecula de ´agua ´e capaz de efetuar, no m´aximo: a) 5 pontes de hidrogˆenio. b) 2 pontes de hidrogˆenio. c) 4 pontes de hidrogˆenio. d) 1 pontes de hidrogˆenio. e) 3 pontes de hidrogˆenio. 3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo: I. H3 C–CH2 –O–CH3 II. H3 C–CH2 –N H2 III. H3 C–CH2 –OH Apresentam pontes de Hidrogˆenio entre suas mol´eculas: a) apenas I b) apenas II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III

Exerc´ıcios Complementares Pense um Pouco!

4. (UEFS - BA) Por a¸ca˜o de energia, o hidrogˆenio di-atˆ omico se dissocia de acordo com a equa¸ca˜o: H–H(g) → 2H(g). Nesta • Quando se ferve a ´ agua, qual o tipo de liga¸ca˜o ´e rompida dissocia¸ca˜o, ocorre rompimento de liga¸ca˜o qu´ımica do tipo: a) ponte de hidrogˆenio. na mudan¸ca de estado? b) de Van der Waals. c) met´ alica • Temos duas substˆancias, HX e HY. O que podemos dizer d) iˆ onica com rela¸ca˜o ao ponto de ebuli¸ca˜o (PE) dessas substˆancias, e) covalente sabendo que em HX ocorrem for¸cas de Van der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogˆenio? 5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2 X dos elementos da fam´ılia

Qu´ımica B – Aula 7

159

do oxigˆenio s˜ ao todos gasosos em condi¸co˜es ambientais, com exce¸ca˜o do hidreto de oxigˆenio. Esta situa¸ca˜o ´e conseq¨ uˆencia: a) da baixa massa molecular da ´ agua b) das liga¸co˜es covalentes c) das pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas d) do fato de o oxigˆenio ter o maior raio atˆomico dessa fam´ılia e) do fato de que o gelo ´e menos denso que a ´ agua l´ıquida 6. Dentre as seguintes substˆ ancias, qual apresenta pontes de hidrogˆenio entre as mol´eculas? a) metano (CH4 ) b) clorof´ ormio (CHCl3 ) c) benzeno (C6 H6 ). ´ d) Eter-et´ ılico (H2 C2 –O–C2 H5 ) ´ e) Agua (H2 O)

Qu´ımica B

Aula 7

Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes Qu´ımicas Uma rea¸ca˜o qu´ımica ´e representada pela equa¸ca˜o geral c1 R1 + c2 R2 + . . . + cn Rn → c′1 P1 + c′2 P2 + . . . + c′m Pm

Vamos agora acertar a quantidade de ´atomos de carbono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos (2C2 H6 O); no segundo, um (CO2 ). Ent˜ ao, devemos multiplicar CO2 , no lado direito da equa¸ca˜o, por 4. 2C2 H6 O + O2 → 4CO2 + 6H2 O Finalmente, acertamos a quantidade de ´atomos de oxigˆenio. No segundo membro, j´a acertado, existem quatorze ´atomos de oxigˆenio (4CO2 e 6H2 O), e no primeiro, quatro (2C2 H6 O e O2 ). Ent˜ ao o coeficiente da mol´ecula O2 ser´ a 6, para se obter 12 ´atomos que, com outros dois perfazem os quatorze: 2C2 H6 O + 6O2 → 4CO2 + 6H2 O Observe que em ambos os lados da rea¸ca˜o (reagentes e produtos) temos um total de 4 ´atomos de C, 12 ´atomos de H e 14 ´atomos de O. Como todos os coeficientes s˜ ao m´ ultiplos de 2, ent˜ ao podemos reduz´ı-los, dividindo-os por 2: C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O e obtemos os menores coeficientes para o balan¸co qu´ımico da rea¸ca˜o dada.

Dicas

onde n reagentes R1 , R2 ,. . .,Rn foram usados para formar os m Algumas considera¸ca˜o para o balanceamento de uma equa¸c˜ao produtos P1 , P2 ,. . .,Pm . Os coeficientes {ci } indicam o n´ umero qu´ımica: de mol´eculas de cada reagente utilizado na rea¸ca˜o, e os coefici′ entes {cj }, o n´ umero de mol´eculas de cada produto resultante 1. Deve-se come¸car o acerto dos coeficientes pelo elemento da rea¸ca˜o. Em ambos os casos, se utilizam coeficientes inteiros. que aparece uma u ´ nica vez nos dois membros; Como cada mol´ecula, de reagente ou produto, pode conter v´arios a´tomos de diferentes elementos qu´ımicos, o n´ umero total 2. Se os ´ındices do elemento escolhido forem m´ ultiplos, a de ´ atomos de cada esp´ecie qu´ımica deve ser o mesmo em ambos simplifica¸ca˜o pode ser feita antes da transposi¸ca˜o; os lados da equa¸ca˜o acima, e chamamos de balanceamento qu´ımico o c´ alculo dos menores coeficientes {ci } e {c′j } para 3. As f´ormulas das substˆancias n˜ ao podem ser modificadas; que essa igualdade seja satisfeita. por isso, nunca coloque n´ umeros entre os s´ımbolos de uma mesma f´ormula.

Exemplos A s´ıntese (forma¸ca˜o) da ´ agua ´e descrita pela equa¸ca˜o

Tipos de Rea¸c˜ oes

2H2 (g) (reagente) + O2 (g) (reagente) → 2H2 O(l) (produto)

Quanto ao Calor

onde a propor¸ca˜o da rea¸ca˜o de s´ıntese da ´ agua ´e 2:1:2, o que significa que, para cada duas mol´eculas de H2 O formadas, reagiram duas mol´eculas H2 e uma mol´ecula de O2 . Cada rea¸ca˜o tem a sua propor¸ca˜o, que, como vimos pela lei das Propor¸ co ˜es Constantes.

Quanto ao envolvimento (absor¸ca˜o ou libera¸ca˜o) de calor: Rea¸ co ˜es Endot´ ermicas ´ toda rea¸ca˜o Veja que endo=para dentro e t´ermica = calor. E qu´ımica em que ocorre com absor¸ c˜ ao de calor. Por exemplo, a decomposi¸ca˜o do calc´ario:

Determina¸c˜ ao dos Coeficientes

CaCO3 @ >> ∆ > CaO + CO2ր

Na rea¸ca˜o de combust˜ ao:

onde ∆ indica que h´ a a necessidade de aquecimento dos reagentes para que ocorra a rea¸ca˜o qu´ımica. C2 H6 O + O2 → CO2 + H2 O Rea¸ co ˜es Exot´ ermicas observamos primeiro a quantidade de ´ atomos de hidrogˆenio. Observe que exo=para fora e t´ermica = calor. No primeiro membro, existem seis (C2 H6 O), e no segundo, ´ E toda rea¸ca˜o qu´ımica em que ocorre com libera¸ c˜ ao de calor. dois (H2 O). Para igualar o n´ umero de ´ atomos, fazemos a Por exemplo, temos a combust˜ ao do hidrogˆenio: transposi¸ca˜o dos ´ındices, obtendo: 2C2 H6 O + O2 → CO2 + 6H2 O

2H2 + O2 → 2H2 O + calorր

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Quanto ` a Velocidade

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Para Saber Mais!

O oxigˆenio e o hidrogˆenio liquefeitos s˜ ao os combust´ıveis Rea¸ co ˜es R´ apidas l´ ıquidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por exempela expuls˜ a o dos gases de combust˜ a o, gerados pela rea¸c˜ao plo, a combust˜ ao (queima) do ´ alcool et´ılico: de s´ıntese: 2H2 + O2 → 2H2 O C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calorր nos motores de combust´ıvel l´ıquido, tamb´em usados na Rea¸ co ˜es Lentas opera¸ca˜o de m´ısseis, o combust´ıvel e o comburente devem ser o ocorre na cˆ amara de Ocorrem devagar, por exemplo, a forma¸ca˜o da ferrugem armazenados isoladamente e a rea¸ca˜o s´ combust˜ ao, o que torna esses motores bastante complexos. (oxida¸ca˜o do ferro): 4F e + 3O2 → 2F e2 O3 + calorր Quanto ` a Reversibilidade Rea¸ co ˜es Revers´ıveis Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela dupla seta): CaO + CO2 ⇌ CaCO3 Rea¸ co ˜es Irrevers´ıveis Rea¸co˜es que ocorrem num s´ o sentido. Por exemplo: N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 Quanto aos Reagentes e Produtos S´ıntese ou Adi¸ c˜ ao Rea¸ca˜o entre duas ou mais substˆ ancias (simples ou composta) que originam uma u ´ nica substˆ ancia composta: 2CO + O2 → 2CO2 neste caso a rea¸ca˜o ´e do tipo composta + simples → composta

Vocˆ e Sabia? Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco g´ astrico existente (HCl ou ´acido clor´ıdrico) que em excesso s´ o causa azia. O uso de leite de magn´esia, uma suspens˜ ao de hidr´ oxido de magn´esio, ou medicamentos `a base de hidr´ oxido de alum´ınio, diminuem a acidez, aliviando a azia. As rea¸co˜es que ocorrem s˜ ao: M g(OH)2 + 2HCl → M gCl2 + 2H2 O Al(OH)3 + 3HCl → AlCl3 + 3H2 O Tamb´em pode-se usar o bicarbonato de s´ odio: N aHCO3 + HCl → N aCl + H2 O + CO2

Pense um Pouco! • Explique porque o bicarbonato de amˆ onia misturado em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa do bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de rea¸ca˜o ocorre ? Fa¸ca a rea¸ca˜o.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. Considere as seguintes rea¸co˜es do metano: . I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2 O com ∆H = −212, 8 kcal/mol II. CH4 + H2 O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/mol An´ alise ou Decomposi¸ c˜ ao III.CH 4 + CO2 → 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/mol Rea¸ca˜o em que uma u ´ nica substˆ ancia composta se desdobra 1 IV. CH 4 + 2 O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/mol em outras substˆancias simples ou compostas: Pode-se afirmar que a rea¸ca˜o: a) I ´e endot´ermica 2HCl → H2 + Cl2 b) II libera mais calor do que a I c) III ´e espontˆ anea Dupla Troca d) III libera menos calor do que IV Rea¸ca˜o em que as duas substˆ ancias compostas produzem duas e) IV absorve calor para ocorrer outras substˆancias compostas (o nome resulta no fato de as substˆ ancias permutarem entre si parte de suas estruturas): 2. (Unisinos-RS) Considerando a equa¸ca˜o termoqu´ımica abaixo representada, S(s) + 32 O2 (g) → SO3 (g) com ∆H = HCl + N aOH → N aCl + H2 O −94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na forma¸ca˜o de 200 g de tri´ oxido de enxofre: ou a) Ocorre a libera¸ca˜o de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3 exot´ermica b) Ocorre a absor¸ca˜o de 94, 4 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e Deslocamento ou Simples Troca endot´ermica Rea¸ca˜o em que uma substˆ ancia simples reage com outra com- c) Ocorre a libera¸ca˜o de 169, 5 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e posta, produzindo outra substˆ ancia composta e outra simples: exot´ermica d) Ocorre a absor¸ca˜o de 236 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e enF e + CuSO4 → F eSO4 + Cu dot´ermica

Qu´ımica B – Aula 8

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e) Ocorre a libera¸ca˜o de 236 kcal, uma vez que a rea¸ca˜o ´e Exemplo exot´ermica N a+ Cl− : N a carga real = +1, Cl carga real= -1 3. Dadas as equa¸co˜es das rea¸co˜es: H2 O: H carga te´orica = +1, O carga te´orica = -2 I. H2 SO4 + H2 O → H3 O + HSO4− + calor II. C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor Vocˆ e Deve Saber! − III. N H4 Cl(s) + H2 O(l) + calor → N H4+ (aq) + Cl(aq) • Se a liga¸ca˜o ocorre entre ´atomos do mesmo elemento ( IV. C2 H2 + 23 2O2 → CO2 + H2 O + C + calor substˆancias simples), n˜ ao havendo, portanto, diferen¸ca de V. 2F e2 O3 + 3C + calor → 4F e + 3CO2 eletronegatividade e sendo a mol´ecula apolar, o Nox ´e Consideram-se as rea¸co˜es endot´ermicas: sempre zero: a) III e V b) I , II e IV Exemplos c) II, III e V H2 , Cl2 , O2 : Nox = 0 d) I, III e IV e) II e III • O Nox de um ´ıon simples ´e igual a sua carga (´e a pr´opria defini¸ca˜o de Nox). Exemplos

Exerc´ıcios Complementares

N a+ : Nox N a = +1

4. A an´ alise da rea¸ca˜o H2 (g) + 12 O2 (g) → H2 O(l) + 68 kcal permite concluir que: a) a rea¸ca˜o ´e endot´ermica b) a rea¸ca˜o tem ∆H positivo c) a entalpia dos reagentes ´e maior que a dos produtos d) a entalpia dos reagentes ´e menos que a dos produtos e) a entalpia dos reagentes ´e igual a dos produtos 5. (PUC-RS) A equa¸ca˜o a seguir representa: HN O3 (aq) + N aOH(aq) → N aN O3 (aq) + H2 O(l) com ∆H = −13, 69 kcal/mol a) um processo endot´ermico b) a neutraliza¸ca˜o parcial de um ´ acido c) um processo que h´ a a libera¸ca˜o de calor d) um processo n˜ ao espontˆ aneo e) uma rea¸ca˜o de an´ alise 6. As rea¸co˜es endot´ermicas caracterizam-se por: I. serem espontˆ aneas II. ocorrerem com absor¸ca˜o de calor III. apresentam sinal positivo para a varia¸ca˜o da entalpia a) somente a afirmativa I ´e correta b) somente a afirmativa II ´e correta c) somente a afirmativa III ´e correta d) somente as afirmativas I e II s˜ ao corretas e) somente as afirmativas II e III s˜ ao corretas

Qu´ımica B

Aula 8

S −2 : Nox S = −2

Al+3 : Nox Al = +3 • O Nox do hidrogˆenio em compostos ´e +1, com exce¸ca˜o dos compostos met´ alicos (hidretos met´ alicos), em que o Nox do H ´e −1. Exemplos

H2 O: Nox H = +1 N aH : Nox H = −1 • O Nox do oxigˆenio nos compostos ´e −2, com exce¸ca˜o dos compostos com fl´ uor (O2 F2 e OF2 ) e per´oxidos (O − O). Exemplos

H2 O: Nox O = −2

H2 O2 : Nox O = −1 O2 F2 : Nox O = +1 OF2 : Nox O = +2

• A soma alg´ebrica dos Nox de todos os ´atomos de uma mol´ecula ´e sempre igual a zero (o n´ umero de el´etrons cedidos ´e igual ao de el´etrons recebidos). Exemplos H2 O: Nox H = +1, O = −2, mol´ecula: +2 − 2 = 0

N a2 S: Nox N a = +1, S = −2, mol´ecula: +2 − 2 = 0

H2 SO4 : Nox H = +1, S = +6, O = −2, mol´ecula: +2 + 6−8=0 • A soma alg´ebrica dos Nox dos elementos em um ´ıon composto ´e igual sua carga (a carga do ´ıon indica que houve perde ou ganho de el´etrons). Exemplos CO3−2 : Nox: C = +4, O = −2, soma: +4 − 6 = −2

Equa¸c˜ oes e Rea¸c˜ oes (II) NOX N´ umero que designa a carga el´etrica real ou aparente (te´ orica) de um ´atomo em fun¸ca˜o da diferen¸ca de eletronegatividade entre ele e seus ligantes; o Nox est´ a associado ´ a perda ou ao ganho de el´etrons por um ´ atomo numa liga¸ca˜o qu´ımica.

N H4+ : Nox: N = −3, H = +1, soma: −3 + 4 = +1

• Para se determinar o Nox de algum ´atomo numa mol´ecula, usam-se os Nox conhecidos. Exemplo H4 P2 O7 Nox: H = +1, P = x, O = −2, soma: +4 + 2x − 14 = 0 → 2x = 10 → x = 5 Ent˜ ao temos que Nox P = +5 nesta mol´ecula.

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Nox M´ınimo e Nox M´ aximo

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Balanceamento

Verifica-se que ´atomos de um mesmo elemento podem apre- Determina¸ca˜o dos coeficientes em rea¸co˜es de oxi-redu¸ca˜o. sentar v´arios n´ umeros de oxida¸ca˜o, que dependem dos outros ´atomos da mol´ecula. Veja o caso do cloro, em alguns composProcedimento tos: HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4 1. determinar o Nox dos elementos; -1 0 +1 +3 +5 +7 2. verificar os fenˆ omenos de oxida¸ca˜o e redu¸ca˜o; o Nox m´ınimo representa o n´ umero de el´etrons que o ´atomo precisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Nox 3. determinar ∆ (varia¸ca˜o do Nox) e multiplicar pelo ´ındice m´aximo representa o n´ umero m´aximo de el´etrons da u ´ ltima ou atomicidade maior, obtendo-se ∆t (varia¸ca˜o total do camada que o ´atomo pode perder. Nox);

Rea¸ c˜ oes De Oxi-Redu¸c˜ ao

4. inverter ∆t , isto ´e, colocar o valor daquele que sofreu oxida¸ca˜o na frete da substˆancia cujo elemento sofreu redu¸ca˜o e vice-versa.

Rea¸ca˜o em que ocorrem varia¸co˜es dos n´ umeros de oxida¸ca˜o dos ´ atomos de certos elementos. 5. Acertar os demais coeficientes por tentativa. Em uma solu¸ca˜o de sulfato de cobre (CuSO4 ) em ´ agua, mer0 gulhamos uma lˆ amina de zinco (Zn ). ap´ os algum tempo verificamos que essa lˆ amina est´ a recoberta por uma camada de Exemplo 1 HI + H2 SO4 −→ cobre met´ alico e a solu¸ca˜o apresenta ´ıons Zn+2 . +1 − 1 +1 + 6 − 2 Os ´ atomos de zinco (Zn0 ) se transformam em ´ıons de zinco −→ H2 S + H2 O + I2 (Zn+2 ), ou seja, perdem 2 el´etrons: ocorre uma oxida¸ca˜o, +1 − 2 +1 − 2 0 perda de el´etrons, aumento no Nox: Determina¸ca˜o do ∆: Zn0 −→ Zn+2 + 2e− • oxida¸ca˜o: varia¸ca˜o 1 e atomicidade 1 = 1 × 1 = ∆ = 1 Os ´ıons cobre (Cu+2 ) se transformam em ´ atomos neutros de cobre (Cu0 ), ou sejam, ganham 2 el´etrons: redu¸ca˜o (ganho de • redu¸ca˜o: varia¸ca˜o 8 e atomicidade 1 = 8 × 1 = ∆ = 8 el´etrons), diminui Nox: Igualando o n´ umero de el´etrons cedidos e recebidos, temos: Cu+2 + 2e− −→ Cu0 8HI + 1H2 SO4 −→ H2 S + H2 O + I2 Assim o que ocorreu foi uma transferˆencia de el´etrons dos ´atomos de zinco (Zn0 ) para o ´ıon cobre (Cu+2 ): estabelecemos a propor¸ca˜o da rea¸ca˜o , agora, completamos os outros coeficientes por tentativa: Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0 8HI + 1H2 SO4 −→ 1H2 S + 4H2 O + 4I2 Oxida¸ca˜o e Redu¸ca˜o s˜ ao fenˆ omenos paralelos, ou seja, n˜ ao pode ocorrer oxida¸ca˜o sem que ocorra uma redu¸ca˜o. Desse Exemplo 2 modo podemos somar as equa¸co˜es dos dois processos e obter K2Cr2O7 + HCl −→ a equa¸ca˜o do processo global: +1 + 6 − 2 +1 − 1 Zn0 −→ Zn+2 + 2e− semi-equa¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o Cu+2 + 2e− −→ Cu0

Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0 Redutor e Oxidante Esse processo global constitui uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸c˜ao. A esp´ecie doadora de el´etrons, sofre oxida¸ca˜o, provoca a redu¸ca˜o (diminui¸ca˜o de Nox) da outra esp´ecie, por isso ´e chamado de agente redutor. A esp´ecie receptora de el´etrons, que se reduz, provoca a oxida¸ca˜o (aumento de Nox) da outra, sendo chamada de agente oxidante. Agente Oxidante Provoca oxida¸ca˜o de outra esp´ecie qu´ımica, sofre redu¸ca˜o (ganho de el´etrons) e a varia¸ca˜o do Nox diminui. Agente Redutor Provoca redu¸ca˜o de outra esp´ecie qu´ımica, sofre oxida¸ca˜o (perda de el´etrons) e a varia¸ca˜o do Nox aumenta.

−→

KCl +1 − 1

+

CrCl3 +3 − 1

+

H2 O +1 − 2

+

Cl2 0

• oxida¸ca˜o: ∆ = 1 × 2 = 2 • redu¸ca˜o: ∆ = 3 × 2 = 6 observe que no c´ alculo do ∆ de oxida¸ca˜o consideramos a atomicidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os ´atomos de cloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Nox n˜ ao se alteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2 , pois este ´e formado pelos ´atomos de cloro que se oxidaram: 2K2 Cr2 O7 + HCl −→ KCl + CrCl + H2 O + 6Cl2 Por tentativa, acertamos os outros coeficientes: 2K2 Cr2 O7 + 28HCl −→ 4KCl + 4CrCl + H2 O + 6Cl2 simplificando por 2: K2 Cr2 O7 + 14HCl −→ 2KCl + 2CrCl + H2 O + 3Cl2

Qu´ımica B – Aula 9

Pense um Pouco! • O que ´e NOX? • Como sabemos se uma rea¸ca˜o qu´ımica ´e uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

163 Assinale o ´ıtem com a soma correta dos coeficientes: a) a + b = 4 b) x + y = 3 c) a + x = 7 d) b + y = 7 e) a + b + x + y = 7

Qu´ımica B

Aula 9

1. (UDESC) Dada a rea¸ca˜o: S + 6HN O3 −→ 6N O2 + 2H2 O + H2 SO4 A varia¸ca˜o do n´ umero de oxida¸ca˜o do enxofre ´e: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6

Solu¸c˜ oes Qu´ımicas Dispers˜ oes s˜ ao sistemas nos quais uma substˆancia est´ a disseminada, sob forma de pequenas part´ıculas, numa segunda substˆancia. A primeira substˆancia chama-se disperso ou fase dispersa e a segunda dispersante ou fase de dispers˜ ao. ¯

2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza, Classifica¸c˜ ao das Dispers˜ oes no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2 . Na f´ ormula da atacamita , identifica-se o cobre com Nox, respec- A classifica¸ca˜o das dispers˜ oes ´e feita de acordo com o tamanho tivamente: m´edio das part´ıculas dispersas: a) +1 e +1 b) +1 e +2 • solu¸ co ˜es verdadeiras: part´ıculas com diˆametro de 0 a c) +1 e +3 1 nm, isto ´e, de 0 a 10˚ A; d) +2 e +1 • solu¸ co ˜es coloidais: part´ıculas com diˆametro de 1 a e) +2 e +2 100 nm, isto ´e, de 10 a 1000 ˚ A; 3. (UFSM) O nitrogˆenio apresenta estado de oxida¸ca˜o −2 em: • suspens˜ oes: part´ıculas com diˆametro acima de 100 nm, a) N O3 isto ´e, acima de 1000 ˚ A. b) N H3 c) N H4 Lembre que: d) N2 O3 1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m e) N H4 OH 1˚ A (angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m

Exerc´ıcios Complementares

Solu¸c˜ oes

Solu¸co˜es s˜ ao misturas homogˆeneas de duas ou mais sustˆancias. 4. (UDESC) Qual das seguintes proposi¸co˜es ´e falsa, quando O disperso recebe o nome de soluto, e o dispersante, o nome se analisa a rea¸ca˜o de oxirredu¸ca˜o abaixo? ¯ ¯ de solvente. F e2 O3 + CO −→ 2F eO + CO2 Classifica¸ c˜ ao das Solu¸ co ˜es a) O Nox (n´ umero de oxida¸ca˜o) do C no CO2 ´e +4 b) Cada unidade de f´ ormula F e2 O3 ganha 1 e− c) Cada unidade de f´ormula CO2 perde 2 e− d) O CO2 ´e agente redutor de F e2 O3 e) O F e sofre redu¸ca˜o

Classificam-se as solu¸co˜es de acordo os seguintes crit´erios: Estado de Agrega¸ c˜ ao da Solu¸ c˜ ao • solu¸ co ˜es s´ olidas: certas ligas met´ alicas, tamb´em chamadas de am´ algamas, por exemplo CuN i;

5. (UDESC) A soma dos menores coeficientes inteiros da • solu¸ co ˜es l´ıquidas: possuem o solvente l´ıquido, como a rea¸ca˜o de oxirredu¸ca˜o P + HN O3 + H2 O → H3 P O4 + N O, o salmora (sal+´agua); agente oxidante e o agente redutor s˜ ao, respectivamente: • solu¸co˜es gasosas: mistura de dois ou mais gases, por exema) 18, P , HN O3 ¯ plo, ar atmosf´erico. b) 20, P , HN O3 c) 13, P , HN O3 Estado de Agrega¸ c˜ ao dos Componentes d) 18, HN O3 , P e) 10, HN O3 , P • Solu¸ co ˜es s´ olido-s´ olido: algumas ligas met´ alicas 6. (UDESC) Seja a rea¸ca˜o abaixo (CuN i); 2KM nO4 +aN aN O2 +bH2 SO4 → xKSO4 +yM nSO4 +aN aN O3 +bH • Solu¸ ˜es s´ olido-l´ıquido: sal em ´agua; 2 O co

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• Solu¸ co ˜es s´ olido-g´ as: naftaleno (naftalina) no ar;

• ◦ S = 357 g de N aCl por litro de ´agua a 0◦ C;

• Solu¸ co ˜es l´ıquido-s´ olido: ´ agua em s´ olidos higrosc´ opicos (CaCl2 );

• ◦ S = 1.220 g de AgN O3 por litro de ´agua a 0◦ C;

• Solu¸ co ˜es l´ıquido-l´ıquido: ´ agua em ´ alcool; • Solu¸ co ˜es l´ıquido-g´ as: umidade no ar;

• ◦ S = 2g de CaSO4 por litro de ´agua a 0◦ C.

Col´ oides

• Solu¸ co ˜es g´ as-s´ olido: hidrogˆenio retido em platina em Solu¸ca˜o coloidal ´e uma dispers˜ ao onde as part´ıculas disperp´ o; sas tˆem um tamanho m´edio compreendido entre 1 a 100 nm • Solu¸ co ˜es g´ as-l´ıquido: g´ as carbˆ onico em bebidas; (lembre-se 1 nm = 10−7 cm = 10−9 m). • Solu¸ co ˜es g´ as-g´ as: todas as misturas gasosas; Propor¸ c˜ ao Entre Soluto e Solvente

Classifica¸c˜ ao dos Col´ oides

Classificam-se os Col´oides segundo v´arios crit´erios: • solu¸ co ˜es dilu´ıdas: cont´em pouco soluto em rela¸ca˜o ao solvente (10 g de N aCl por litro de ´ agua); Natureza do Disperso • solu¸ co ˜es concentradas: caso contr´ ario (300 g de sal por litro de ´agua). Natureza do Soluto • solu¸ co ˜es moleculares: quando as part´ıculas dispersas s˜ ao mol´eculas. Por exemplo, mol´eculas de a¸cu ´ car (C12 H22 O11 ) em ´agua;

• col´ oides micelares: as part´ıculas dispersas s˜ ao agregados de ´atomos, de mol´eculas ou de ´ıons. por exemplo, enxofre em ´agua; • col´ oides moleculares: as part´ıculas dispersas s˜ ao mol´eculas gigantes. Por exemplo, amido em ´agua; • col´ oides iˆ onicos: as part´ıculas dispersas s˜ ao ´ıons gigantes. Por exemplo: prote´ına em ´agua.

• solu¸ co ˜es iˆ onicas: quando as part´ıculas dispersas s˜ ao ´ıons. ´Ions do sal comum (N a+ e Cl− ) em ´ agua, por exemEstado F´ısico do Disperso e do Dispersante plo; Importante • H´ a muitas solu¸co˜es que apresentam simultaneamente mol´eculas e ´ıons dispersos, por exemplo, numa solu¸ca˜o aquosa de ´acido ac´etico (´ acido fraco) existem muitas mol´eculas (CH3 COOH) e poucos ´ıons (CH3 COO− e H + ) em solu¸ca˜o. • Semelhente dissolve Semelhante: substˆancias inorgˆ anicas s˜ ao polares, enquanto que as orgˆ anicas s˜ ao apolares.

nome disperso dispersante exemplo sol s´ olido s´ olido rubi, safira sol s´ olido l´ıquido cola gel l´ıquido s´ olido gel´eias emuls˜ ao l´ıquido l´ıquido leite, maionese aerossol l´ıquido gasoso neblina, spray ar s´ olido gasoso fuma¸ca espuma gasoso s´ olido pedra-pomes espuma gasoso l´ıquido chantilly, sab˜ ao Observa¸ c˜ ao Quando os col´ oides do tipo sol possuem como dispersante a ´agua, eles s˜ ao chamados do hidross´ ois.

O Fenˆ omeno da Satura¸c˜ ao da Solu¸c˜ ao Juntando-se gradativamente N aCl ` a ´ agua, em temperatura ambiente e sob agita¸ca˜o cont´ınua, verifica-se que em dado momento o sal n˜ ao se dissolve mais. Neste caso isto ocorre quando h´ a aproximadamente 360 g de N aCl por litro de ´ agua. Da´ı em diante toda a quantidade adicional de sal que for colocada no sistema ir´ a se depositar ou precipitar no fundo do recipiente; dizemos ent˜ ao, que a solu¸ca˜o est´ a saturada. O ponto de satura¸ca˜o (coeficiente ou grau de solubilidade ◦ S) depende do soluto, do solvente e das condi¸co˜es f´ısicas, como a temperatura. A press˜ ao passa a ser importante em solu¸co˜es onde existem gases.

Reversibilidade • revers´ıveis: afinidade muito grande entre o disperso e o dispersante (li´ ofilos-amigos do l´ıquido) uma vez o gel obtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistema gel: GEL

Peptiza¸ca˜o – adi¸ca˜o de l´ıquido ⇐⇒ Pectiza¸ca˜o – retirada de l´ıquido

SOL

• Irrevers´ıveis: n˜ ao h´ a intensa afinidade entre as fases, da´ı serem chamados de li´ ofobos. Ex: enxofre coloidal, metais coloidais.

Grau de Solubilidade (◦ S)

Col´ oides Protetores (Li´ ofilos)

O grau de solubilidade ´e a quantidade de soluto (em gramas) necess´ aria para saturar uma quantidade padr˜ ao (em geral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadas condi¸co˜es f´ısicas de temperatura e press˜ ao. Exemplo

Os col´ oides li´ ofobos apresentam disperso e dispersante com pouca afinidade entre eles, o que acarreta certa instabilidade. ´ poss´ıvel aumentar a estabilidade desse tipo de col´ E oide adicionando pequena quantidade de um col´ oide li´ ofilo que tenha carga micelar de mesmo sinal.

Qu´ımica B – Aula 9

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A estabilidade aumenta porque as micelas do col´ oide li´ ofobo a) est´ avel s˜ ao envolvidas por uma pel´ıcula de col´ oide li´ ofilo, passando a b) dilu´ıda sofrer o fenˆ omeno da solvata¸ca˜o. c) saturada ¯ d) concentrada e) super saturada Exemplos • A tinta nanquim ´e um col´ oide li´ ofobo inst´avel, protegido 3. (OBJETIVO-SP) Quais as solu¸co˜es aquosas, contendo uma u ´ nica substˆancia dissolvida, que podem apresentar corpo de por um col´ oide aquoso de gelatina; fundo dessa substˆancia? • Na fabrica¸ca˜o de filmes fotogr´ aficos, o AgBr ´e estabilizado a) saturadas e super saturadas por gelatina na forma de gel; b) somente as saturadas c) insaturadas dilu´ıdas • No leite, a manteiga que est´ a dispersa na forma coloidal d) somente as supersaturadas ´e estabilizada pela case´ına. e) insaturadas concentradas • Na maionese, a gema do ovo constitui um col´ oide protetor 4. (UDESC) Em uma emuls˜ ao, a fase dispersa e a fase disperque estabiliza a emuls˜ ao de azeite e vinagre; sante s˜ ao, respectivamente: • A clara de ovo atua como estabilizante dos complexos sis- a) s´ olida e s´ olida temas coloidais que formam os sorvetes cremosos. b) l´ıquida e s´ olida c) gasosa e gasosa d) s´ olida e l´ıquida Para Aprender Mais! e) l´ıquida e l´ıquida As entidades dispersas (micelas) em uma disposi¸ca˜o coloidal s˜ ao constantemente bombardeadas pelas mol´eculas do dispersante e assim ficam em movimento totalmente desordenado Exerc´ ıcios Complementares que podem ser visto num ultra-microsc´ opio. Tal movimento chama-se movimento Browniano, descrito por Robert Brown, 5. (ITA-SP) Em rela¸ca˜o as misturas de substˆancias preparadas em 1827. e mantidas num laborat´orio de qu´ımica s˜ ao feitas as seguintes afirma¸co˜es: Vocˆ e Sabia? I. O l´ıquido resultante da adi¸ca˜o do metanol e etanol ´e moasico e, portanto, ´e uma solu¸ca˜o. A p´erola ´e um exemplo de gel, ou seja, uma dispers˜ ao coloidal nof´ de ´ agua (disperso) em carbonato de c´ alcio (dispersante). Ela II. O l´ıquido transparente que resulta da mistura de carbonato alcio e ´agua e que sobrenada o excesso de sal sedimentado ´e produzida por moluscos bivalves, isto ´e, moluscos com uma de c´ concha de dois peda¸cos articulados. Existem esp´ecies marinhas ´e uma solu¸ca˜o saturada. oxido de e de ´ agua doce. A p´erola ´e produzida quando algum elemento III. O l´ıquido turvo que resulta da mistura de hidr´ odio e uma solu¸ca˜o aquosa de nitrato c´ uprico ´e uma suspens˜ ao estranho penetra entre o corpo do molusco e a camada da s´ olido num l´ıquido. concha, um gr˜ao de areia, por exemplo. Para defender-se, o de um s´ molusco produz v´arias camadas de n´ acar ao redor do corpo IV. A fuma¸ca branca que resulta da queima do magn´esio ao ar ´e uma solu¸ca˜o de vapor de ´oxido de magn´esio em ar. estranho, formando a p´erola. V. O liquido violeta e transparente que resulta da mistura de permanganato de pot´assio com ´agua ´e uma solu¸ca˜o. Dessas afirma¸co˜es, est´ a(˜ao) incorreta(s) apenas: Pense um Pouco! a) I • O que diferencia uma solu¸ca˜o dilu´ıda de uma concentrada? b) II c) IV • O nome que se d´ a ao sistema coloidal de um disperso d) II e V s´ olido num dispersante l´ıquido, de modo que o sistema e) II, III e V n˜ ao tome uma forma definida? 6. (UEPG-PR) Assinale a alternativa que n˜ ao caracteriza solu¸ca˜o coloidal. Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a) Aerossol – nuvens b) Aerossol – fuma¸ca de cigarro c) Espuma – espuma de sab˜ ao 1. Qual das tr´ıades abaixo ´e constitu´ıda por trˆes col´ oides? d) Emuls˜ ao – maionese a) leite, fuma¸ca, neblina e) Suspens˜ ao – ´agua barrenta b) leite, fuma¸ca, ´oleo-diesel c) fuma¸ca, neblina, gasolina 7. (Ucsal-BA) Qual das misturas abaixo exemplifica uma disd) gelatina , neblina, cloreto de s´ odio pers˜ ao coloidal? e) borracha, cola, a¸cu ´ car a) Soro fisiol´ ogico ´ 2. (UFRS) A uma solu¸ca˜o de cloreto de s´ odio foi adicionado b) Acido muri´ atico um cristal desse sal e verificou-se que este n˜ ao se dissolveu, pro- c) Leite pasteurizado ´ vocando ainda, um aumento de volume do precipitado. Pode- d) Agua sanit´ aria ´ se inferir que a solu¸ca˜o original era: e) Alcool hidratado

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Qu´ımica B

Aula 10

HCl a´cido

— +

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br CaOHOH base

−→

Ca(OH)Cl hidroxissal

+

H2O ´agua

´ Presen¸ ca de Agua no Cristal

Fun¸c˜ oes Qu´ımicas Sais Sal ´e toda substˆancia iˆ onica que resulta da rea¸ca˜o (rea¸ca˜o de neutraliza¸ca˜o) de um ´acido com uma base.

– sal hidratado: sal que apresenta mol´eculas de ´agua intercaladas em seu ret´ıculo cristalino; as mol´eculas de ´agua constituem a chamada ´agua de cristaliza¸ca˜o ou ´agua de hidrata¸ca˜o. Exemplos: CaCl2 · 2H2 O, CuSO4 · 5H2 O, M gSO4 · 7H2 O;

– sal anidro: n˜ ao apresenta ´agua de cristaliza¸ca˜o. Exemplos: N aCl, M gSO4 , N aKCO3 , BaClBr.

Exemplo HCl acido ´

+

NaOH base

−→

N aCl sal

+

H2O agua ´

Classifica¸c˜ ao dos Sais Classificam-se os sais segundo os seguintes crit´erios: Presen¸ ca de Oxigˆ enio • sal oxigenado (oxissal): o oxigˆenio participa da estrutura. ¯ Exemplos: KN O3 , N a2 SO4 ;

Nomenclatura dos Sais Os sais podem ser representados pela f´ormula geral Bx+y A−x y , sendo B um c´ ation diferente de H + e A um ˆanion diferente de OH − . O ´ındice de c´ ation ´e dado pela carga do ˆanion, o ´ındice do ˆanion ´e dado pela carga do c´ ation, de tal forma que o conjunto ´e eletricamente neutro. Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de sua f´ormula, basta escrevermos o nome do ˆanion seguido da preposi¸ca˜o “de”e do nome c´ ation.

Exemplo • sal n˜ ao-oxigenado: o oxigˆenio n˜ ao participa da estrutura. ¯ Por exemplo: N aCl e N H4 Br. Zn(N O2)2 – nitrito de zinco onde: Zn+2 ´e o c´ ation zinco N´ umero de Elementos Constituintes N O2−2 ´e o ˆanion nitrito. • sal bin´ ario: sal constitu´ıdo por dois elementos. Exem- Como ocorre com as bases, se um elemento formar c´ ations com plos: KCl, N a2 S; cargas diferentes, usamos algarismos romanos para diferencialos ou, ainda, as termina¸co˜es “oso”para o de menor carga e • sal tern´ ario: sal constitu´ıdo por trˆes elementos. Exem“ico”para o de maior carga. plos: N aN O3 , K2 CO3 ; • sal quatern´ ario: sal constitu´ıdo por quatro elementos. Exemplo Exemplos: N H4 ClO3 , N aOCN . Por exemplo, o n´ıquel (N i) forma os c´ ations N i+2 , que recebe o ´ nome de c´ ation niqueloso ou n´ıquel II; e N i+3 , c´ ation niqu´elico Natureza dos Ions ou n´ıquel III. • sal normal: n˜ ao apresenta hidrogˆenio ioniz´ avel, nem ´ıons Assim: ´ obtido por rea¸co˜es de neutraliza¸ca˜o totais, ou OH − . E N i+2 (c´ation niqueloso ou n´ıquel II) com CO3−2 (ˆ anion carboseja, em que a quantidade de ´ıons H + do ´ acido ´e igual a nato) forma o sal N iCO3 chamado de carbonato de n´ıquel II − quantidade de ´ıons OH da base. ou de carbonato niqueloso. Exemplo N i+3 (c´ation niqu´elico ou n´ıquel III) com SO3−2 (ˆ anion sulHCl + NaOH −→ N aCl + H2O fito) forma o sal N i2 (SO3 ) chamado de sulfito de n´ıquel III ou acido ´ base sal normal agua ´ sulfito niqu´elico. • hidrogenosal: sal que apresenta hidrogˆenio ioniz´ avel. ´ Forma-se quando s´ o alguns dos hidrogˆenios ioniz´ aveis s˜ ao Oxidos neutralizados pela base, ocorrendo uma rea¸ca˜o de neutra´ Oxidos s˜ ao compostos formados por dois elementos (compostos liza¸ca˜o parcial (no caso dos ´ acidos). bin´arios), sendo que o mais eletronegativo desses elementos Exemplo deve ser o oxigˆenio: H2 SO4 + NaOH −→ N aHSO4 + H2O δ+ CO2 δ− , δ+ N a2 Oδ− , δ+ H2 Oδ− , δ+ SO3 δ− acido ´ base hidrogenosal ´agua assim, compostos bin´arios formados por fl´ uor e oxigˆenio n˜ ao ao considerados ´oxidos, pois o fl´ uor ´e mais eletronegativo que • hidroxissal: sal que apresenta ´ıons OH − . Forma-se por s˜ ¯ rea¸ca˜o de neutraliza¸ca˜o parcial da base, na qual nem todos o oxigˆenio: δ− os OH − s˜ ao neutralizados pelo ´ acido. F — δ+ O — F δ− = OF2 δ− Exemplo F — δ+ O — δ+ O — F δ− = O2 F2

Qu´ımica B – Aula 10

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´ Nomenclatura dos Oxidos

Classifica¸ c˜ ao

Nomeamos os ´atomos de acordo com os grupos de divis˜ao: ´ Oxidos Moleculares O´ oxido liga-se a um n˜ ao metal ou hidrogˆenio: escrevemos a palavra ´oxido seguida da preposi¸ca˜o “de”e do nome do elemento associado ao oxigˆenio. Antes da palavra ´ oxido e do nome do elemento, colocamos os prefixos mono, di , tri, tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de ´ atomos de oxigˆenio e do elemento existentes na f´ ormula. Exemplos CO2 : di´oxido de carbono N2 O5 : pent´ oxido de dinitrogˆenio Cl2 O7 : hept´ oxido de dicloro CO: mon´ oxido de carbono ou ´ oxido de carbono ´ Oxidos Iˆ onicos O´ oxido liga-se a um metal: Exemplos N a2 O: ´oxido de s´ odio CaO: o´xido de c´ alcio F eO: o´xido de ferro II

Dependendo do elemento ligado ao hidrogˆenio, o hidreto pode ser: Iˆ onico S˜ ao os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alcalinos e alcalinos terrosos. S˜ ao tamb´em chamados de hidretos salinos. Apresentam car´ ater b´ asico, pois reagem com a ´agua, produzindo base e despresndendo o hidrogˆenio. Exemplo N aH + HOH =⇒ N aOH + H2ր Molecular Hidretos de n˜ ao-metais e semi-metais. Exemplos H2 S: sulfidreto HF : fluoridreto N H3 : amˆ onia Os hidretos moleculares dos elementos das fam´ılias 6A (16) e 7 A(17) s˜ ao ´acidos em solu¸ca˜o aquosa, isto ´e, sofrem ioniza¸ca˜o. Exemplo HF + H2 O =⇒ H3 O+ + F −

´ Classifica¸ c˜ ao dos Oxidos ´ Oxidos B´ asicos Reagem com ´agua, formando uma base, e reagem com ´acidos, formando sal e ´agua. Para formar uma base, ´e necess´ ario um c´ ation, portanto esses ´ oxidos s˜ ao todos iˆ onicos. Exemplos K2 O + H2 O =⇒ 2KOH K2 O + 2HCl =⇒ 2KCl + H2 O ´ ´ Oxidos Acidos

Vocˆ e Sabia?

Os galinhos do tempo s˜ ao feitos de pl´astico, revestidos com um sal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2 ) ´e azul e o cloreto de cobalto di-hidratado (CoCl2 · 2H2 O) ´e cor-de-rosa. Em dias chuvosos, quando a umidade relativa do ar ´e maior, o sal, naturalmente, absorve mol´eculas de ´agua da atmosfera, S˜ ao os ´oxidos que reagem com ´ agua, formando ´ acido, e rea- deixando o galinho rosa. Quando a umidade relativa do ar gem com base, formando sal e ´ agua; estes ´ oxidos s˜ ao todos diminui, o sal perde gradativamente as mol´eculas de ´agua e volta a ser azul. moleculares.

Exemplos SO3 + H2 O =⇒ H2 SO4 SO3 + 2N aOH =⇒ N a2 SO4 + H2 O Podemos considerar os ´ oxidos ´ acidos como ´ acidos que perderam ´ agua; por isso eles s˜ ao tamb´em chamados de anidridos (sem ´ agua): Exemplo H2 SO4 − H2 O = SO3

Para Aprender Mais!

O cloreto de s´ odio ´e encontrado na natureza, em jazidas na crosta terrestre, constituindo o salgema, e nas ´aguas do mar, de onde ser retira a maior parte desse composto. A ´agua do mar ´e canalizada para reservat´orios de pouca profundidade e grande superf´ıcie, denominados salinas. Os reservat´orios s˜ ao dispostos de tal forma que a ´agua passa sucessiHidretos vamente por todos e, pela a¸ca˜o do sol e do vento, ´e evaporada, deixando depositados os sais menos sol´ uveis, como o carboS˜ ao os compostos bin´ arios do hidrogˆenio de f´ ormula geral nato de c´ alcio, o sulfato de c´ alcio e o sulfato de magn´esio. O Ex Hy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou Hy Ex cloreto de s´ odio deposita-se junto com o cloreto de magn´esio, se o H for o elemento menos eletronegativo. que absorve vapor de ´agua do meio ambiente e se solubiliza, restando cloreto de s´ odio com alto grau de pureza. No Brasil, o sal de cozinha, conhecido como sal iodado, cont´em iodeto Nomenclatura de s´ odio ou pot´assio para evitar o b´ ocio (hipertire´oide). Al´em Usa-se a palavra Hidreto seguida do nome do elemento ligante. disso, cont´em pequenas quantidades de outros sais que podem Exemplos se hidratar, como o cloreto de magn´esio (M gCl2 ). Nos dias em que a umidade relativa do ar ´e maior, ele se transforma em HCl: hidreto de cloro ou cloridreto cloreto de magn´esio hidratado, que deixa o sal com aspecto HBr: hidreto de bromo ou bromidreto molhado, aglutinando as part´ıculas e entupindo o saleiro. CaH2 : hidreto de c´ alcio N H3 : amˆ onia A solu¸ca˜o contendo 0,92% de cloreto de s´ odio ´e conhecida como P H3 : fosfina soro fisiol´ ogico e ´e usada no combate `a desidrata¸ca˜o.

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Pense um Pouco! • A acidez estomacal, provocada pelo ´ acido clor´ıdrico, pode ser neutralizada utilizando-se uma solu¸ca˜o de que tipo?

Propriedades Coligativas

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Sabemos que a ´agua pura congela-se a 0 ◦ C e ferve a 100 ◦ C, sob press˜ ao normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendo um pouco de sal comum em ´agua, ela passar´a a congelar-se 1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo cont´em a f´ormula abaixo de 0 ◦ C e a ferver acima de 100 ◦ C, sob press˜ ao de do nitrito de s´ odio e do ´ acido brˆomico? 1 atmosfera. Esses fenˆ omenos s˜ ao denominados Efeitos ou a) N aN O3 e HBr Propriedades Coligativas. b) N aN O3 e HBrO Propriedades Coligativas das solu¸co˜es s˜ ao propriedades c) N aN O2 e HBrO4 que dependem apenas do n´ u mero de part´ ıculas dispersas na d) N aN O2 e HBrO3 solu¸ c a ˜ o, independentemente da natureza dessas part´ ıculas. e) N aN O e HBrO 2

2

2. (UFMG) Seguem v´arias f´ ormulas qu´ımicas com seus nomes. Qual a alternativa errada? a) KN O3 – nitrato de pot´assio b) Ca(P O4)3 – fosfato de c´ alcio c) Al2 (SO4 )3 – sulfato de alum´ınio d) M g(ClO4 ) – perclorato de magn´esio e) n. d. a. 3. (FEMPAR) Qual a substˆ ancia que apresenta oxigˆenio em sua composi¸ca˜o? a) ´ acido clor´ıdrico b) ´ acido sulf´ıdrico c) cloreto de f´osforo d) fluoreto de zinco e) nitrato de prata

Exerc´ıcios Complementares 4. Todas as alternativas apresentam um ´ oxido b´ asico, exceto: a) N a2 O b) CaO c) BaO d) F e3 O4 e) SrO 5. (UEM-PR) A cal viva, a soda c´ austica, o vinagre, o leite de magn´esia e o bicarbonato de s´ odio s˜ ao produtos comerciais usados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemos classificalos, respectivamente, como: a) ´ oxido, base, ´acido, base, sal b) ´ oxido, sal, base, ´oxido, sal c) base, sal, ´acido, ´oxido, sal d) ´ oxido, base, ´acido, ´oxido, ´ acido e) sal, base, ´acido, base, sal 6. (Acafe-SC) O ´oxido de magn´esio ´e muito usado como anti´acido, neutralizando o excesso de HCl no estˆ omago. Com base apenas neste fato, podemos classific´a-lo como ´ oxido: a) ´ acido b) b´ asico c) neutro d) salino e) n. d. a.

Tanometria ´ o estudo de abaixamento da press˜ E ao m´ axima de vapor de um l´ıquido, que ´ e ocasionado pela dissolu¸ c˜ ao de um soluto n˜ ao-vol´ atil. Quando um l´ıquido ´e colocado num recipiente hermeticamente fechado, onde havia v´acuo, ele vai evaporando at´e chegar a uma situa¸ca˜o na qual a velocidade de evapora¸ca˜o torna-se igual a velocidade de condensa¸ca˜o. A partir desse instante tudo se passa como se a evapora¸ca˜o tivesse parado. Nessa situa¸ca˜o dizemos que os vapores s˜ ao vapores saturados ou saturantes e dizemos tamb´em que foi atingida a tens˜ ao ou press˜ ao m´axima dos vapores. Evidentemente essa press˜ ao m´axima ser´ a maior ou menor, dependendo da natureza do l´ıquido e da temperatura em que foi feita a experiˆencia. Pois bem, se no l´ıquido anterior for dissolvido um soluto n˜ ao-vol´atil observa-se que a press˜ ao m´axima de vapores do l´ıquido diminui. Definimos ent˜ ao: p0 : press˜ ao m´axima de vapor do l´ıquido puro, `a temperatura T; p: press˜ ao m´axima de vapor da solu¸ca˜o, na mesma temperatura T; p − p0 = ∆p: abaixamento absoluto da press˜ ao m´axima de vapor da solu¸ca˜o; p0 −p ao m´axima da vapor da p0 : abaixamento relativo da press˜ solu¸ca˜o; O abaixamento relativo da press˜ ao m´axima de vapor de uma solu¸ca˜o pode ser calculado pela Lei de Raoult: Numa solu¸ c˜ ao bastante dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ ao-vol´ atil e n˜ ao-iˆ onico, o abaixamento relativo da press˜ ao m´ axima de vapor ´ e diretamente proporcional ` a molalidade da solu¸ c˜ ao. p0 − p 1.000m1 = Kt W = Kt p0 m2 M 1 A constante Kt , que aparece nas f´ormulas acima, chama-se constante tonosc´ opica (ou tonom´ etrica) molal do solvente e pode ser calculada pela equa¸ca˜o: M2 1.000 onde, M2 representa a mol´ecula-grama do solvente. Kt =

Ebuliometria

Qu´ımica B

Aula 11

´ o estudo da eleva¸ E c˜ ao da temperatura de ebuli¸ c˜ ao de

Qu´ımica B – Aula 11

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um l´ıquido, ocasionado pela dissolu¸ c˜ ao de um soluto n˜ ao-vol´ atil. A ´ agua ferve a 100◦ C, sob press˜ ao de 1 atmosfera. Se dissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na ´agua, ela demorar´ a mais para ferver (ou melhor, s´ o ir´ a ferver em temperatura mais alta), como se o sal estivesse dificultando sua evapora¸ca˜o e sua ebuli¸ca˜o. Esse fenˆ omeno ´e chamado ebuliosc´ opico ou ebuliom´ etrico. Eleva¸ca˜o da temperatura de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o (∆Te ) ´e a diferen¸ca entre a temperatura inicial de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o (T ) e a temperatura de ebuli¸ca˜o do l´ıquido puro (T0 ), sob mesma press˜ ao externa.

Definimos o baixamento da temperatura de congelamento da solu¸ca˜o como ∆Tc = T0 − T , que ´e chamado de efeito criosc´ opico ou criom´ etrico. Lei de Raoult Numa solu¸ca˜o dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ ao-iˆonico, o abaixamento da temperatura de congela¸ca˜o ´e diretamente proporcional `a molalidade da solu¸ca˜o: ∆Tc = Kc W = Kc

∆Te = T − T0

1.000m1 m2 M 1

opica onde ∆Te ´e o chamado efeito ebuliosc´ opico ou ebuliom´etrico. onde a constante Kc ´e denominada constante criosc´ molal do solvente pode ser calculada pela rela¸ c a ˜ o: Note que devemos dizer temperatura inicial de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o porque `a medida que a solu¸ca˜o ferve o solvente vai RT 2 evaporando, a concentra¸ca˜o da solu¸ca˜o vai aumentando a sua Kc = 1.000LF temperatura de ebuli¸ca˜o (T ) tamb´em ir´ a aumentar. Essa preocupa¸ca˜o n˜ ao existe em rela¸ca˜o ao l´ıquido puro, pois durante onde: T ´e a temperatura absoluta de congelamento do solvente toda a ebuli¸ca˜o sua temperatura (T0 ) se mant´em constante. puro (em K) LF ´e o calor latente de fus˜ao do solvente puro (em cal/g). Lei de Raoult Numa solu¸ c˜ ao dilu´ıda de um soluto qualquer, n˜ aovol´ atil e n˜ ao-iˆ onico, a eleva¸ c˜ ao da temperatura de ebuli¸ c˜ ao ´ e diretamente proporcional ` a molalidade da solu¸ c˜ ao. 1.000m1 ∆Te = Ke W = Ke m2 M 1 A constante Ke , que aparece nas f´ ormulas anteriores, ´e denominada constante ebuliosc´ opica (ou ebuliom´ etrica) molal do solvente e pode ser calculada pela rela¸ca˜o: Ke =

RT 2 1.000LV

onde: R ´e a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol · K T ´e a temperatura absoluta de ebuli¸ca˜o do solvente puro (em K) LV ´e o calor latente de vaporiza¸ca˜o do solvente puro (em cal/g) Exemplo A temperatura de ebuli¸ca˜o da ´ agua ao n´ıvel do mar ´e 100◦ C ou 373 K e o calor latente de vaporiza¸ca˜o LV = 538 cal/g. Conseq¨ uentemente:

Osmoscopia Entende-se por difus˜ ao entre l´ıquidos o fenˆ omeno da dissemina¸ca˜o espontˆ anea de um l´ıquido em outro e vice-versa, de modo a se obter uma mistura homogˆenea ou sistema monof´ asico. Este fenˆ omeno pode se dar tamb´em atrav´es de membranas: • perme´ aveis – s˜ ao aquelas que permitem a passagem tanto do solvente como do soluto; • semi-perme´ aveis – s˜ ao aquelas que permitem a passagem ¯ tanto do solvente como do soluto; • imperme´ aveis – s˜ ao aquelas que n˜ ao permitem a passagem de soluto e solvente. Conclus˜ oes de Van’t Hoff

Van’t Hoff verificou existir uma not´avel analogia entre press˜ ao dos gases e a press˜ ao osm´otica das solu¸co˜es dilu´ıdas. A partir dos estudos de Pfeffer, observou-se incr´ıvel semelhan¸ca com a lei de Boyle e com a lei de Charles, dos gases. 2 ◦ “A press˜ ao osm´ otica de uma solu¸ c˜ ao ´ e igual ` a press˜ ao Ke = f rac(2)(373) (1.000)(538) = 0, 52 C que o soluto exerceria no estado gasoso, ocupando o mesmo volume da solu¸ c˜ ao, na mesma temperatura.” Criometria Equa¸ c˜ ao Tipo Gases Perfeitos ´ o estudo do abaixamento da temperatura de congelamento Como para os gases perfeitos, ou ideais, a press˜ ao osm´otica E de um l´ıquido, provocado pela dissolu¸ca˜o de outra substˆ ancia pode ser escrita como nesse l´ıquido. pV = nRT A ´ agua pura congela a 0 ◦ C, sob press˜ ao normal. Se dissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na ´agua, ela ao osm´otica, V o volume da solu¸ca˜o, n o demorar´ a mais para se congelar (ou melhor, s´ o ir´ a congelar onde, p ´e a press˜ n´ umero de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitos em temperatura mais baixa), como se o sal estivesse dificule T a temperatura absoluta da solu¸ca˜o. tando o seu congelamento. Equa¸ c˜ ao da Press˜ ao Osm´ otica Esse fenˆ omeno chamado criosc´ opico ou croim´ etrico, que tem certa analogia com o fenˆ omeno ebuliom´etrico, descrito no n p = RT ´ıtem anterior. V

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e como n/V ´e a molaridade M da solu¸ca˜o, temos p = M RT

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2. Qual a temperatura de congelamento de uma solu¸ca˜o contendo 8, 9 g de antraceno (C14 H10 ) em 256 g de benzeno? Dados: Tc = 5, 42 ◦ C para o benzeno puro, constante criom´etrica molal do benzeno = 5,12 ◦ C, massas atˆomicas: H = 1 e C = 12.

para solu¸co˜es moleculares. Para se obter a press˜ ao osm´otica em atm, o valor de R a ser utilizado ´e 0, 082 atm · L/mol · K). 3. (ITA-SP) Uma solu¸ca˜o de N aCl em ´agua ´e aquecida num Para as solu¸co˜es iˆ onicas recipiente aberto. Qual das afirma¸co˜es abaixo ´e falsa em rela¸ca˜o a este sistema? p = M RT i a) A solu¸ca˜o entrar´a em ebuli¸ca˜o quando sua press˜ ao de vapor for igual `a press˜ ao ambiente. b) A molaridade da solu¸ca˜o aumentar´ a a medida que prosseVocˆ e Sabia? guir a ebuli¸ca˜o. Em condi¸co˜es normais, a ´ agua entra e sai continuamente das c) A temperatura de in´ıcio de ebuli¸ca˜o ´e maior que a da ´agua c´elulas, difundindo-se em dire¸ca˜o ` a regi˜ ao em que h´ a me- pura. nor n´ umero de mol´eculas de ´ agua, estabelecendo o equil´ıbrio d) A temperatura aumenta `a medida que a ebuli¸ca˜o prosseosm´otico. Se uma c´elula viva, por exemplo uma hem´ acia, for gue. colocada em solu¸ca˜o salina, que apresente concentra¸ca˜o supe- e) A composi¸ca˜o do vapor desprendido ´e a mesma da solu¸ca˜o rior ` a da c´elula, haver´a um fluxo de ´ agua, atrav´es da membrana residual. plasm´ atica, de dentro da c´elula (menor concentra¸ca˜o) para fora da c´elula (maior concentra¸ca˜o), provocando a sua contra¸ca˜o. 4. (UFSC) Ao colocar-se uma c´elula vegetal normal, numa a que ela come¸car´ aa Ao contr´ario se o meio for hipotˆonico, a c´elula ficar´ a intumes- solu¸ca˜o salina concentrada, observar-se-´ omeno, ´e correto afircida. Isso faz com que a administra¸ca˜o de soro deva ser feita “enrugar” e a “murchar”. Sobre esse fenˆ com solu¸ca˜o isotˆonica. Nos vegetais existe, al´em da membrana mar: plasm´ atica, outra membrana (celul´ osica) que limita a entrada 01. A c´elula vegetal encontra-se num meio hipotˆonico em rela¸ca˜o `a sua pr´opria concentra¸ca˜o salina. de ´ agua, evitando que as c´elulas se rompam. 02. H´ a uma diferen¸ca de press˜ ao, dita osm´otica, entre a solu¸ca˜o salina do meio. Para Aprender Mais! 04. H´ a um fluxo de solvente do interior da c´elula para a solu¸ca˜o salina do meio. A dessaliniza¸ca˜o ´e um processo para obten¸ca˜o de ´ agua pot´avel, 08. Quanto maior for a concentra¸ca˜o da solu¸ca˜o salina externa, a partir da ´agua do mar, em locais onde as fontes de ´ agua doce menor ser´ a o fluxo de solvente da c´elula para o meio. s˜ ao insuficientes, como algumas regi˜ oes do Oriente M´edio. A 26. O fluxo de solvente ocorre atrav´es de membranas semiremo¸ca˜o do sal ´e feita por osmose reversa, ou seja, o solvente perme´ a veis. (´ agua) far´a o caminho inverso ao natural, pela aplica¸ca˜o de

uma press˜ ao superior `a press˜ ao osm´otica. Uma das dificulda- 5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a ´agua permades desse processo ´e a obten¸ca˜o de membranas semiperme´ aveis necem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (tempero que resistam a altas press˜ oes. de saladas) elas ficam murchas ap´ os algum tempo, devido: a) somente `a passagem dos ´ıons cloreto atrav´es da membrana das c´elulas do alface. Brincadeira de Crian¸ca b) `a osmose inversa, passagem da ´agua da solu¸ca˜o de vinagre Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinha ab- e sal para dentro das c´elulas do alface. sorve toda a ´agua da lesma e o animal morre ocorrendo uma c) `a dissocia¸ca˜o do sal no interior das c´elulas do alface. osmose vis´ıvel (a passagem de um solvente por uma mem- d) `a osmose, passagem da ´agua do interior das c´elulas do albrana semi-imperme´ avel). Vocˆe deve j´ a deve ter feito essa face para a solu¸ca˜o de vinagre e sal. experiˆencia peralta quando crian¸ca! e) somente `a passagem dos ´ıons s´ odio atrav´es da membrana das c´elulas do alface.

Pense um Pouco!

Exerc´ıcios Complementares

• A press˜ ao m´axima de vapor de ´ agua pura, a 20 ◦ C, ´e 17, 54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose Num local em que a ´agua congela a 0 ◦ C e (massa molecular=180) em 500 gramas de ´ agua, quais 6. (Puccamp-SP) ◦ de glicose ir´ a: ser˜ ao os abaixamentos absoluto e relativo da press˜ ao ferve a 100 C, ◦uma solu¸ca˜o aquosa ◦ a) congelar a 0 C e ferver a 100 C. m´axima de vapor da solu¸ca˜o? b) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o abaixo de 100 ◦ C. c) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o abaixo de 100 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao ◦ C. d) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o acima de 100 1. Dez gramas de uma substˆ ancia de massa molecular 266 ◦ C. foram dissolvidos em 500 gramas de tetracloreto de carbono. e) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebuli¸ca˜o acima de 100 Qual a temperatura de ebuli¸ca˜o da solu¸ca˜o, sob press˜ ao nor- ◦ C. mal? Dados: Te = 77 ◦ C (sob press˜ ao normal); LV = 46 cal/g. 7. (Acafe-SC) Usando um costume popular, um jovem cobriu

Qu´ımica B – Aula 12

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uma ferida com p´ o de caf´e, para acelerar sua cicatriza¸ca˜o. O Montagem Experimental efeito coligativo, envolvido na retirada de l´ıquido que favoreceu Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) ´e a cicatriza¸ca˜o, ´e: poss´ıvel mont´ a-la experimentalmente: a) tanom´etrico b) criom´etrico c) ebuliom´etrico d) isom´etrico e) osm´otico 8. (UDESC) A press˜ ao osm´otica do sangue na temperatura do corpo, 37 ◦ C, ´e de 7,626 atm. Considerando os solutos no (a) (b) (c) sangue como n˜ ao-eletr´olitos, a sua molaridade total ser´ a de: a) 0,50 mol/L Lista de Materiais b) 0,30 mol/L c) 1,00 mol/L • Recipiente grande transparente (para mergulhar as chad) 0,10 mol/L pas) com uma placa de porcelana porosa para separar as e) 0,80 mol/L meias c´elulas e sua respectivas solu¸co˜es;

Qu´ımica B

Aula 12

• Circuito externo (Fio e cobre); • Chapa fina de cobre met´ alico; • Chapa fina de zinco met´ alico;

Eletroqu´ımica

• Solu¸ca˜o aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4) • Solu¸ca˜o aquosa de sulfato c´ uprico (CuSO4)

• Lˆ ampada pequena Eletroqu´ımica ´e o estuda da rela¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o que produzem ou s˜ ao produzidas pela corrente el´etrica. As pilhas el´etricas funcionam com base em rea¸co˜es qu´ımicas Procedimento Experimental (oxi-redu¸ca˜o) espontˆ aneas que produzem corrente el´etrica. 1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solu¸ca˜o aquosa de sulfato de zinco, no outro Transforma¸ca˜o de energia qu´ımica em energia el´etrica. coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solu¸ca˜o aquosa de sulfato de cobre. Potencial de Oxida¸c˜ ao 2. Liga-se as placas met´ alicas ao fio condutor e `a lˆ ampada ou motor; Cada metal tem uma capacidade diferente de doar el´etrons. A alise das Rea¸ co ˜es Qu´ımicas medida dessa capacidade ´e chamada de potencial de oxida¸c˜ao. An´ Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-rea¸ca˜o de O valor num´erico do potencial de oxida¸ca˜o ´e medido pela voloxida¸ c a ˜ o; tagem da pilha do metal com o g´ as hidrogˆenio. A voltagem da pilha de Zn e g´ as hidrogˆenio fornece o potencial Zn =⇒ Zn+2 + 2e− semi-rea¸ca˜o de oxida¸ca˜o de oxida¸ca˜o do zinco. desse modo a chapa de zinco ”solta”el´etrons para o circuito externo (fio), a chapa de zinco ´e chamada de eletrodo negativo ou ˆanodo. • oxida¸ c˜ ao: ´e a perda de el´etrons por um elemento Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-rea¸ca˜o de qu´ımico, ou seja, aumento do NOX; redu¸ca˜o,

Lembre-se!

• redu¸ c˜ ao: ´e o ganho de el´etrons por um elemento qu´ımico, ou seja, diminui¸ca˜o do NOX;

Cu+2 + 2e− =⇒ Cu semi-rea¸ca˜o de redu¸ca˜o

desse modo o ´ıon Cu+2 captura os el´etrons do circuito ex• agente oxidante: ´e o elemento ou substˆ ancia que proterno (fio), a chapa de cobre ´e chamada de eletrodo positivo voca oxida¸co˜es (ele pr´oprio se reduzindo); ou c´ atodo. • agente redutor: ´e o elemento ou substˆ ancia que provoca A soma das duas equa¸co˜es anteriores, fornece a equa¸ca˜o geral redu¸co˜es (ele pr´oprio se oxidando). da pilha de Daniell:

Pilha de Daniell

Zn + Cu+2 =⇒ Zn+2 + Cu

A porcelana porosa deve impedir a mistura das solu¸co˜es, mas deve permitir a passagem dos ´ıons que est˜ ao sendo atra´ıdos ou repelidos pelas for¸ c as el´ e tricas. Zn + CuSO4 −→ ZnSO4 + Cu Ap´ os um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapa de a corro´ıda, a chapa de cobre aumentou devido `a deOs el´etrons que passam do Zn para o Cu+2 , que produzem a zinco estar´ posi¸ca˜o de cobre e as concentra¸co˜es das solu¸co˜es se alteram. corrente el´etrica. Se baseia na seguinte rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o:

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Tudo isso ´e conseq¨ uˆencia da pr´opria rea¸ca˜o geral de funciona- Nota mento da pilha: As rea¸co˜es das baterias (acumulador de chumbo) e N´ıquelZn + CuSO4 =⇒ ZnSO4 + Cu c´ admio. E a pilha de Leclanch´e (seca) com eletrodo central de grafite, onde: pilhas alcalinas e as pilhas de merc´ urio ser˜ ao apresentadas e – o zinco vai sendo gasto (corro´ıdo); analisadas com suas respectivas equa¸co˜es no quadro negro. – a concentra¸ca˜o da solu¸ca˜o de CuSO4 vai diminuindo; A vantagem das pilhas ´e que elas podem ser recarregadas muitas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras, brinque– o sulfato de cobre formado pela rea¸ca˜o aumentou a concen- dos, etc. tra¸ca˜o da solu¸ca˜o de sulfato de cobre. As pilhas alcalinas s˜ ao usadas em rel´ ogios de pulso e aparelhos – o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentando sua de surdez, por serem muito pequenas. Elas n˜ ao s˜ ao recarmassa. reg´ aveis, mais apresentam grande durabilidade. Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira: Zn, Zn+2 (1M )|Cu+2 (1M ), Cu(25◦ C) onde est˜ ao indicados os eletrodos, as molaridades das solu¸co˜es e a temperatura de funcionamento da pilha. Conclus˜ ao Podemos dizer, que a pilha ou c´elula eletrol´ıtica ´e um dispositivo que transforma energia qu´ımica em energia el´etrica. Isso ´e conseguindo, por meio de uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o, com o oxidante e o redutor separados com compartimentos diferentes, de modo que o redutor seja obrigado a entregar os el´etrons ao oxidante atrav´es de um circuito externo (fio). Montagem #2 Outra montagem muito comum de uma pilha ´e a seguinte: Num copo de vidro ou (b´equer) ´e colocada uma chapa de zinco mergulhada em uma solu¸ca˜o de sulfato de zinco; em outro colocamos a chapa de cobre mergulhada em uma solu¸ca˜o de sulfato c´ uprico. As duas chapas est˜ ao ligadas pelo fio condutor externo e as duas solu¸co˜es s˜ ao ligadas pela ponte de salina, que ´e um tubo simples de vidro recurvado, como vemos na figura, totalmente cheio com solu¸ca˜o de um sal (eletr´olito) e tendo nas duas extremidades um pouco de algod˜ ao para impedir o escoamento da solu¸ca˜o salina. C´ alculo da Diferen¸ ca de Potencial (ddp) ∆E ◦ = E ◦ oxid + E ◦ red for¸ca eletromotriz (V) Assim para a pilha de Daniel temos : Eletrodo de Zn◦ /Zn+2 : E ◦ oxid = +0, 76 V Eletrodo de Cu+2 /Cu◦ : E ◦ red = +0, 34 V ∆E ◦ = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V

Aplica¸c˜ oes Pr´ aticas das Pilhas Cada pilha ou elemento apresenta uma for¸ca eletromotriz de aproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associa¸ca˜o em s´erie de quatro elementos nos d´ a uma bateria de 6, 0 V ; uma de seis elementos nos d´ a uma bateria de 9, 0 V , e assim por diante. Como o chumbo (ˆ anodo), o ´ oxido de chumbo IV impregnado de chumbo (c´atodo), e o sulfato de chumbo s˜ ao s´ olidos, a for¸ca eletromotriz do acumulador depende exclusivamente da solu¸ca˜o de ´ acido sulf´ urico. Por esse motivo, devemos mater constante o volume de ´agua. A descarga consome o ´acido sulf´ urico, mas durante a recarga, feita automaticamente pelo gerador ou alternador no motor do ve´ıculo, o ´acido sulf´ urico ´e regenerado e o sulfato de chumbo volta ` a condi¸ca˜o de chumbo e ´ oxido de chumbo IV.

Eletr´ olise ´ o fenˆ E omeno inverso `aquele que ocorre numa pilha, isto ´e, a corrente el´etrica provocando uma rea¸ca˜o de oxi-redu¸ca˜o – um processo qu´ımico n˜ ao-espontˆ aneo. No p´ olo positivo ocorre oxida¸ca˜o e no p´ olo negativo, redu¸ca˜o. Logo, o p´ olo positivo ´e o ˆanodo e o negativo ´e o c´ atodo. Eletr´ olise ´ Ignea ´ a eletr´ E olise de um eletr´ olito no estado fundido. Nela, o s´ olido iˆ onico deve ser liquefeito por aquecimento (fus˜ ao), pois assim os ´ıons tem livre movimento, podendo se deslocar at´e os eletrodos e a´ı descarregarem (ganhar ou perder el´etrons). Eletr´ olise por via Aquosa com Eletrodos Inertes Em uma solu¸ca˜o aquosa, al´em dos ´ıons resultantes da dissocia¸ca˜o iˆ onica do eletr´ olito, h´ a tamb´em c´ ations H + e ˆanions OH − provenientes da auto- ioniza¸ca˜o da ´agua. Dessa forma podemos ter em solu¸ca˜o c´ ations C + e H + e ˆanions − − A e OH , de modo que h´ a uma disputa para a descarga nos eletrodos. Entre os c´ ations, descarrega primeiro aquele com maior E◦ red (maior tendˆencia em receber el´etrons). Entre ˆanions, descarrega primeiro aquele com menor E◦ red (maior tendˆencia em doar el´etrons). Estudo Quantitativo da Eletr´ olise As pesquisas feitas pelo cientista inglˆes Michael Faraday (17911867) estabeleceram as bases para se determinar as quantidades das substˆancias formadas e da substˆancia decomposta numa eletr´ olise. Assim, as rela¸co˜es entre a carga que atravessa a solu¸ca˜o e as massas dos participantes s˜ ao: – a massa da substˆancia formada no eletrodo e a massa da substˆancia decomposta s˜ ao diretamente proporcionais `a carga el´etrica que atravessa a solu¸ca˜o dada por: Q = it sendo Q a carga el´etrica (em coulombs) i a intensidade da corrente (em amp`eres) t o tempo (em segundos).

Qu´ımica B – Aula 12

Vocˆ e Sabia? A vida vegetal e animal na ´ agua depende de seu car´ ater oxidante ou redutor, o que ´e dado pela equa¸ca˜o: O2 + 4H + + 4e− =⇒ 2H2 O cujo E◦ varia aproximadamente de +0, 3 V (para ´ agua aerada) a −0, 6 V (para ´agua com pouco ar). Quanto maior o E◦ mais oxidante ser´ a o meio aquoso.

Para Aprender Mais! Eletr´ olise Industrial do N aCl A eletr´ olise aquosa do sal produz hidrogˆenio (H2 ), cloro (Cl2 ) e soda c´ austica (N aOH). Esse processo envolve o consumo de grandes quantidades de energia, por isso as ind´ ustrias instalam-se preferencialmente em regi˜ oes onde a fonte de cloreto de s´ odio e a energia el´etrica s˜ ao custo mais baixo. O hidr´ oxido de s´ odio, conhecido como soda c´ austica, ´e o principal produto dessa eletr´ olise, ´e a base mais barata e mais importante como mat´eria prima, sendo usada na fabrica¸ca˜o de sab˜ ao, detergentes, papel, sais de s´ odio, refina¸ca˜o de petr´ oleo, purifica¸ca˜o de ´oleos vegetais, ind´ ustria tˆextil, entre outros. O cloro ´e usado como desinfetante por ser um agente bactericida, no tratamento da ´agua e esgotos, no branqueamento da celulose, na fabrica¸ca˜o de inseticidas como BHC, na prepara¸ca˜o de PVC, na fabrica¸ca˜o de hipocloritos, entre outros. O Hidrogˆenio ´e extremamente reativo e perigosos de ser manipulado, pois ´e explosivo e inflam´ avel. Ele ´e usado na hidrogena¸ca˜o de ´oleos vegetais (produ¸ca˜o de margarinas), na produ¸ca˜o de amon´ıacos (N H3 ), como combust´ıvel de foguetes, em ma¸caricos ox´ıdricos, etc. A rea¸ca˜o entre o hidrogˆenio e cloro produz o cloreto de hidrogˆenio (HCl), que dissolvido em ´ agua produz ´acido clor´ıdrico, usado na limpeza de superf´ıcies met´ alicas que ser˜ ao galvanizadas. O ´acido muri´ atico ´e o ´ acido clor´ıdrico contendo impurezas, usado na limpeza de ch˜ ao. O hipoclorito de s´ odio ´e obtido pela passagem de uma corrente de g´ as cloro pela solu¸ca˜o de hidr´ oxido de s´ odio e ´e usado como alvejante e desinfetante.

173 senta a primeira vez que a Renault transfere parte de sua pesquisa para fora da Fran¸ca. O carro de hidrogˆenio n˜ ao polui porque n˜ ao queima combust´ıvel. Seu motor ”arranca”energia el´etrica do hidrogˆenio por meio de rea¸co˜es qu´ımicas limpas. Nesse autom´ ovel, uma c´elula (ou pilha) combust´ıvel realiza o inverso da eletr´ olise, combinando ´atomos de hidrogˆenio e de oxigˆenio. O processo produz vapor de ´agua e uma corrente el´etrica. Al´em de limpo, o motor a hidrogˆenio ´e muito mais eficiente que os motores convencionais a explos˜ao usados hoje nos autom´ oveis. Enquanto um motor el´etrico transforma em energia mecˆ anica (movimento) quase 100% da energia que produz, um motor a explos˜ao converte em movimento menos de 30% da energia gerada pela queima do combust´ıvel. O restante perde-se sob a forma do calor produzido pelo movimento dos pist˜oes. O Laborat´orio de Hidrogˆenio da Coppe est´ a investido numa alternativa bem diferente, que permitiria armazenar num espa¸co pequeno grandes quantidades de hidrogˆenio destitu´ıdo do seu potencial explosivo. Para isso, os cientistas quebram as mol´eculas de hidrogˆenio, separando seus dois ´atomos, que por serem muito pequenos, podem ser ”embutidos”dentro da estrutura do metal de um ”tanque”maci¸co. Parece fic¸ca˜o, mas, no laborat´orio da Coope, os cientistas conseguem com ˆexito ”embutir”o hidrogˆenio no metal e regata-lo novamente na forma gasosa.

Pense um Pouco! • De acordo com as rea¸co˜es do Al e do Co: Al+3 + 3e− =⇒ Al -1,66 V Co+2 + 2e− =⇒ Co -0,28 V Responda: a) Qual deles se reduz mais facilmente? b) Qual deles se oxida mais facilmente? c) Qual o melhor agente redutor? d) Qual o melhor agente oxidante?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao Brasil Pesquisa ` a Hidrogˆ enio Imagine um autom´ ovel que funciona alimentado por uma fonte de energia t˜ ao limpa que o u ´ nico res´ıduo que produz ´e vapor de ´agua. Parece sonho, mas j´ a existem no mundo alguns prot´ otipos desse ve´ıculo. Trata-se do carro movido a hi´ um grande problema tecnol´ drogˆenio. E ogico que ainda precisa ser resolvido para que sua produ¸ca˜o em grande escala possa ser pensada ´e uma forma segura e economicamente vi´ avel de armazenar o ”combust´ıvel”. Isso porque o hidrogˆenio ´e um g´ as altamente combust´ıvel e inst´avel. Basta lembrar que o Zeppelin incendiou-se com hidrogˆenio gasoso e a Challenger explodiu a partir de seus tanques de hidrogˆenio l´ıquido. A solu¸ca˜o tem grandes chances de nascer no Brasil. Para isso, a Coordena¸ca˜o de Programas de P´ os-Gradua¸ca˜o em Engenharia (Coope) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), est´ a desenvolvendo, uma parceria com a Renault, uma das mais promissoras linhas de pesquisa em curso no mundo: o ”tanque”maci¸co no qual ´ atomos de hidrogˆenio s˜ ao ”embutidos”dentro da estrutura atˆomica do metal. A parceria repre-

1. (UFSM-RS) Um procedimento utilizado para limpar objetos de prata ´e coloc´ a-los em um recipiente de alum´ınio com ´agua quente e N aHSO3 . Este processo pode ser expresso pela rea¸ca˜o: 2Al◦ + 3Ag2 S =⇒ Al2 S3 + 6Ag ◦ Podemos afirmar que a rea¸ca˜o ocorre porque: a) o Al ´e mais reativo e reduz a prata b) o Al ´e mais reativo e oxida o msulfeto c) os metais `a esquerda de H s˜ ao facilmente reduzidos d) a prata ´e um bom agente redutor e) o sulfeto de prata ´e facilmente oxidado 2. (UFSC) Com base no diagrama da pilha Zn|Zn+ (1M )||Ag + (1M )|Ag e nos potenciais padr˜ oes de oxida¸ca˜o, a 25 ◦ C, das semirea¸co˜es: Zn =⇒ Zn+2 + 2e− E◦ = +0,76V

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC Ag =⇒ Ag + + e− E◦ = -0,80V

´e correto afirmar que: 01. Os ´ atomos de zinco sofrer˜ ao oxida¸ca˜o. 02. Os ´ atomos de prata perder˜ ao el´etrons. 04. O c´ atodo da pilha ser´ a eletrodo de prata. 08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferen¸ca de potencial padr˜ ao de 2,36 volts. 16. A massa do eletrodo de zinco diminui com o tempo. 32. O sentido espontˆ aneo do processo ser´ a: 64. n+2 + 2Ag =⇒ + Zn + 2Ag 3. (UFRGS) Um jovem, ap´ os utilizar uma solu¸ca˜o de sulfato de cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em um balde de ferro. Depois de algum tempo observou que o balde estava furado e que havia se formado um dep´osito avermelhado. O metal avermelhado pode ser: a) ´ oxido de cobre II b) sulfeto de cobre II c) sulfeto de ferro II d) ferro met´ alico e) cobre met´ alico

Exerc´ıcios Complementares 4. (ULBRA-RS) A rea¸ca˜o de eletr´ olise ´e utilizada para: a) obten¸ca˜o da eletricidade nas pilhas b) fazer destila¸ca˜o do petr´ oleo c) eletrodeposi¸ca˜o de metais, como a croma¸ca˜o d) o branqueamento de fibras no fabrico do papel e) fabricar sab˜ oes a partir de gorduras 5. (UFRGS) A maioria dos metais alcalinos terrosos foi obtida pela primeira vez por Humphry Davy, no in´ıcio do s´eculo XIX, por eletr´ olise das respectivas bases fundidas. Os metais n˜ ao poderiam ser obtidos a partir de solu¸co˜es aquosas de suas bases ou de seus sais porque: a) os metais se oxidariam b) os metais se reduziriam espontaneamente no eletrodo c) a ´ agua sofreria oxida¸ca˜o d) o n´ umero de oxida¸co˜es dos metais aumentaria e) a redu¸ca˜o da ´agua ocorreria preferencialmente

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ˆnica – Aula 1 Qu´ımica Orga

Qu´ımica Orgˆ anica Aula 1

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Hibridiza¸c˜ ao do Carbono 1. sp3 (tetra´edrica) • ´e a fus˜ao de quatro orbitais (um do tipo s e trˆes do tipo p) formando quatro orbitais do tipo sp3 ;

Introdu¸ c˜ ao ` a Qu´ımica Orgˆ anica

• forma somente liga¸co˜es simples;

BERZELIUS “Somente os seres vivos podem transformar substˆ ancias minerais em orgˆ anicas” (Teoria da For¸ca Vital) ¨ WHOLLER

• ´e caracter´ıstica dos alcanos;

S´ıntese da ur´eia (composto orgˆ anico) a partir do cianato de amˆ onio (composto inorgˆ anico) em laborat´orio. NH2 \ NH4CNO --- C = O / NH2

• ˆangulo entre as valˆencias: 109◦28′ ;

• carbono liga-se a outros quatro ´atomos. 2. sp2 (trigonal) • ´e a fus˜ao de um orbital s com dois orbitais p, formando trˆes orbitais do tipo sp2 ; • forma duas liga¸co˜es simples e uma dupla; • ˆangulo entre as valˆencias: 120◦;

• ´e caracter´ıstica dos alcenos;

• carbono liga-se a outros trˆes ´atomos. 3. sp (linear)

Caracter´ısticas do Carbono Postulados de Kekul´e:

• ´e a fus˜ao de um orbital s com um p formando dois orbitais do tipo sp;

´ tetracovalente. 1. E

• pode formar duas liga¸co˜es duplas ou uma tripla e uma simples;

2. Os ˆangulos entre as valˆencias s˜ ao de 109◦ 28′ , adquirindo a forma de um tetraedro regular. 3. Possui a propriedade de encadeamento. 4. Um ´atomo de carbono pode formar uma, duas ou at´e trˆes liga¸co˜es com um segundo ´ atomo, realizando, assim, respectivamente, liga¸co˜es simples, duplas ou triplas.

• ˆangulo entre as valˆencias: 180◦;

• ´e caracter´ıstica dos alcinos e alcadienos; • carbono liga-se a outros dois ´atomos.

Resumo Tipo de ligação

Assim, classificamos as liga¸co˜es do carbono em: ´ a primeira liga¸ca˜o entre dois ´atomos. • Sigma (σ): E Ocorre, neste caso, uma superposi¸ca ˜o de orbitais (overlap). • Pi (π): S˜ ao as segundas e terceiras liga¸co˜es entre dois atomos. Agora, o que ocorre ´e uma aproxima¸ca ´ ˜o entre os orbitais.

Liga¸ c˜ oes Quanto ao n´ umero de ´ atomos de C unidos diretamente a ele: • carbono prim´ ario: liga-se a 1 ´ atomo de carbono; • carbono secund´ario: liga-se a 2 ´ atomos de carbono; • carbono terci´ ario: liga-se a 3 ´ atomos de carbono; • carbono quatern´ario: liga-se a 4 ´ atomos de carbono;

Satura¸c˜ ao

Representação Hibridação

Ângulo entre as valências

Só ligaçoes simples

C

Uma dupla ligação

C

sp 2

120

Uma tripla ligação

C

sp

180

Duas duplas ligações

C

sp

180

sp 3

109 28´

Elementos Organ´ ogenos S˜ ao os elementos que formam os compostos orgˆ anicos. Os mais freq¨ uentes s˜ ao: C, H, O, N.

Cadeias Carbˆ onicas e Radicais Tomemos, por exemplo, o composto: CH3 CH3 | | CH3 -- CH -- CH -- CH -- C -- CH2 -- CH3 | | | CH2 CH2 CH3 | | CH3 CH3

SATURADO ´e aquele que apresenta apenas simples liga¸co˜es; C–C–C–C INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou tripla liga¸ca˜o: C == C – C – C Podemos separ´ a-lo em duas partes principais:

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Cadeia Principal

—

9. HETEROC´ICLICA: cadeia c´ıclica com hetero´ atomo.

´ a maior seq¨ E uˆencia de carbonos, ininterrupta, que abrange a principal caracter´ıstica do composto.

CH2 --- CH2 | | CH2 - O - CH2

Radicais Orgˆ anicos S˜ ao grupamentos de ´atomos contendo carbono, que se unem `a cadeia principal por liga¸co˜es (valˆencias). O composto acima, separado nas duas partes descritas, ficaria: CH3 CH3 CH3 | | | CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3 | | CH2 CH3 | CH3

´ 10. AROMATICA: cadeia c´ıclica, contendo um anel de benzeno, que apresenta efeito de ressonˆancia. • MONONUCLEADA: um u ´ nico n´ ucleo ressonante. ´ • POLINUCLEADA DE NUCLEOS CONDENSADOS: mais de um n´ ucleo fundido. ´ • POLINUCLEADA DE NUCLEOS ISOLADOS: mais de um n´ ucleo separado entre si. CH 3

Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um total de 5 radicais, sendo 4 constitu´ıdos por um carbono e 1 constitu´ıdo por 2 carbonos.

˜ DAS CADEIAS CLASSIFICAC ¸ AO 1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por simples liga¸ca˜o: Ex. CH3 – CH2 – CH3

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(a)

(b)

(c)

Figura 2.1: Cadeias arom´ aticas mononucleada (a), polinucleada com n´ ucleos condensados (b) e com n´ ucleos isolados (c)

Radicais derivados do Benzeno

2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem por duplas e/ou triplas liga¸co˜es:

Regra adicional: se contiver 2 valˆencias, as mesmas s˜ ao indicadas por ORTO (posi¸ca˜o 1 e 2), META (posi¸ca˜o 1 e 3) e PARA Ex. CH2 == CH – CH3 (posi¸ca˜o 1 e 4): ˆ 3. HOMOGENEA: Cadeia cujo n´ ucleo s´ o ´e constitu´ıdo por Exemplo: carbonos. CH 3

CH 3

Ex. CH3 – CH2 – CH3

1

ˆ 4. HETEROGENEA: Cadeia que apresenta um hetero´ atomo (N, O, S), ou seja, ´atomo diferente de carbono unido a pelo menos dois outros carbonos.

1

CH 3

2

CH 3 1

3 4

CH 3

Ex. CH3 – O – CH2 – CH3

CH 3

5. NORMAL: Cadeia n˜ ao ramificada, ou seja, constitu´ıda por carbonos prim´ arios e secund´ arios somente. Ex. CH3 – CH2 – CH == CH2

O−dimetil−benzeno

M−dimetil−benzeno

Resumo

6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou ramifica¸co˜es (radicais). CH3 | CH3 - CH - CH2 7. MISTA: cadeia c´ıclica ramificada, ou seja, apresentando parte c´ıclica e parte ac´ıclica. CH - CH3 | | CH3 - CH - CH2 8. HOMOC´ICLICA: cadeia cujo n´ ucleo s´ o apresenta ´atomos de carbono:

P−dimetil−benzeno

HIDROCARBONETOS

ALIFÁTICOS

AROMÁTICOS Alcenos −− ligações duplas

Saturados

Insaturados

Alcanos

Alcinos −− ligações triplas Radicais Alquilo

Pense um Pouco! • Como ´e poss´ıvel ter tantos compostos de carbono? • Qu´ımica orgˆ anica pode ser somente definida como a qu´ımica extra´ıda de seres vivos?

ˆnica – Aula 1 Qu´ımica Orga

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (PUC-SP) Na f´ormula: H3C H \ | CH - C - CH2 - CH - CH3 / | | | H3C H CH3 CH3

177 5. Um composto c´ıclico, com 3 carbonos e uma dupla liga¸ca˜o, ter´ a f´ormula molecular. a) C3H2 b) C3H3 c) C3H4 d) C3H5 e) C3H6

6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial cl´assico do ´atomo de carbono, um tetraedro regular cujo centro ´e ocupado pelo ´atomo e cujos v´ertices representam as valˆencias, ´e devido a: as quantidades totais de ´ atomo de carbonos prim´ ario, se- a) Lavoisier; cund´ ario e terci´ ario s˜ ao, respectivamente: b) Faraday; a) 5, 1 e 3; c) W¨olher; b) 2, 3 e 4; d) Guldberg e Waage; c) 3, 3 e 2; e) Kekul´e. d) 2, 4 e 3; e) 5, 2 e 2. 7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 carbonos e uma dupla liga¸ca˜o, sendo constitu´ıdo apenas por carbo2. Sabe-se que uma cadeia carbˆ onica alif´ atica, homogˆenea e nos e hidrogˆenios, ter´ a f´ormula molecular: saturada apresenta dois ´ atomos de carbono secund´ario, dois a) C4H10 atomos de carbono quatern´ ´ ario e trˆes ´ atomos de carbono b) C4H8 terci´ ario. Logo, essa cadeia apresenta: c) C4H6 a) 12 ´ atomos de C; d) C4H4 b) 14 ´ atomos de C; e) C4H5 c) 16 ´ atomos de C; d) 13 ´ atomos de C; e) 15 ´ atomos de C. 3. Carbono quatern´ario ´e aquele que: a) tem, quatro liga¸co˜es; b) ´e tetravalente; c) est´ a ligado a quatro elementos quaisquer; d) est´ a ligado a quatro outros ´ atomos de carbono; e) n.d.a.

Exerc´ıcios Complementares

8. Qu´ımica orgˆ anica ´e a parte da Qu´ımica que estuda: a) O ´atomo de carbono. b) Todos os compostos do elemento carbono. c) Os compostos dos elementos organ´ogenos. d) Os compostos de todos os elementos qu´ımicos. 4. O n´ umero de liga¸co˜es (sigma) e o de liga¸co˜es (pi) na e) n.d.a. mol´ecula do ciclopenteno s˜ ao, 9. Os principais elementos organ´ogenos, s˜ ao: a) C, H, O, N b) C, H, O, S c) C, H, O, I d) C, H, S, N e) C, H, O, Cl 10. (PUC) Classifique a cadeia H O | || H - C - C | | H H

respectivamente: a) 5 e 1; b) 4 e 2; c) 10 e 2; d) 13 e 1; e) 12 e 2.

H H O || | // C - C - C | \ CH3 OH

segundo suas caracter´ısticas: a) aberta, ramificada, homogˆenea e saturada; b) aberta, normal, heterogˆenea e insaturada; c) aberta, ramificada, homogˆenea e insaturada; d) aberta, normal, homogˆenea e saturada; e) aberta, ramificada, heterogˆenea e insaturada 11. (UFCE) A “nicotina´´ pode ser representada pela f´ormula.

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A informa¸ca˜o do n´ umero de ´atomos de carbono que se encontram representados na cadeia principal ´e dada pelo prefixo do nome do composto em estudo.

Tabela de Prefixos

N N

CH 3

Quantos ´atomos de carbono e quantos ´ atomos de hidrogˆenio existem em uma mol´ecula deste composto? a) 10 e 13 b) 10 e 14 c) 9 e 12 d) 8 e 14 e) n.d.a.

Os prefixos num´ericos relacionados com o n´ umero de carbonos. Carbonos 1 2 3 4 5 6 7

Prefixo MET ET PROP BUT PENT HEX HEPT

Estrutura C C-C C-C -C C-C-C-C C-C-C-C-C C-C-C-C-C-C C-C-C-C-C-C-C

Em compostos que apresentem um n´ umero de ´atomos de carbono superior a 7, ´e adaptado o prefixo da numera¸ca˜o grega correspondente `a mesma, de modo an´ alogo ao prefixo das cadeias de 5, 6 e 7 ´atomos ligados, respectivamente. Alcanos (parafinas): s˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, saturada e de f´ormula geral:

12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura ´e:

Cn H2n+2 em que n ´e o n´ umero de ´atomos de carbono. Em condi¸co˜es ambientais alcanos apresentam os estados f´ısicos: gasoso (1 a 4 carbonos), l´ıquido (5 a 18 carbonos) e s´ olido (mais de 18 carbonos). S˜ ao obtidos do petr´ oleo e g´ as natural. Alcenos e alcinos apresentam propriedades f´ısicas semelhantes aos alcanos.

Nomenclatura Orgˆ anica Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO Apresenta cadeia: a) c´ıclica, ac´ıclica, insaturada; b) c´ıclica, arom´ atica, mononucleada; c) ac´ıclica, insaturada, ramificada; d) c´ıclica, arom´ atica, polinucleada; e) ac´ıclica, homogˆenea, insaturada.

• Prefixo: indica o n´ umero de ´atomos de carbono pertencentes `a cadeia principal. Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc. • Afixo ou infixo: indica o tipo de liga¸ca˜o entre os carbonos: Todas simples = an

Qu´ımica Orgˆ anica B Aula 2

uma dupla = em duas duplas = dien trˆes duplas = trien uma tripla = in duas triplas = diin

Nomenclatura A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade cient´ıfica, a IUPAC, os compostos orgˆ anicos mais simples e que constituem a base de todos os outros s˜ ao os hidrocarbonetos, constitu´ıdos por apenas dois elementos carbono e hidrogˆenio. Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididos em dois grandes grupos: hidrocarbonetos alif´ aticos e hidrocarbonetos arom´ aticos, caracterizando-se estes u ´ ltimos por apresentarem um ciclo de 6 ´atomos de carbono com caracter´ısticas muito espec´ıficas.

• Sufixo: indica a fun¸ca˜o qu´ımica do composto orgˆ anico:

hidrocarboneto = no ´alcool = ol alde´ıdo = al cetona = ona ´acido carbox´ılico = o ´ico amina = amina ´eter = o ´xi

Alcanos de Cadeia Normal Junta-se o prefixo + infixo + ano. Exemplo Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano, octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc.

ˆnica B – Aula 2 Qu´ımica Orga

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Alcenos (olefinas)

Fun¸c˜ oes Oxigenadas

S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma liga¸ca˜o dupla entre carbonos e de f´ ormula geral:

´ Alcoois

CnH2n em que n ´e o n´ umero de carbonos.

Alcenos Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia ramificada a nomenclatura ´e muito semelhante ` a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se ` a termina¸ca˜o ano do alcano por eno. Regras

S˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam um ou mais grupos hidroxilas (OH) ligados a ´atomos de carbono saturados. Os ´alcoois s˜ ao mais reativos que os hidrocarbonetos e apresentam car´ ater praticamente neutro. Na nomenclatura dos ´alcoois utilizamos o sufixo ol para indicar o grupo funcional (OH). ´ Classifica¸ c˜ ao dos Alcoois Quanto `a posi¸ca˜o do grupo OH: ´ I. Alcool prim´ ario: a hidroxila est´ a ligada a um ´atomo de carbono prim´ ario. ´ II. Alcool secund´ario: a hidroxila est´ a ligada a um ´atomo de carbono secund´ario. ´ III. Alcool terci´ ario: a hidroxila est´ a ligada a um ´atomo de carbono terci´ ario Quanto ao n´ umero de hidroxilas: I. Mono´ alcool : possui somente 1 grupo funcional OH II. Di´ alcool: possui 2 grupos funcionais OH III. Tri´ alcool: possui 3 grupos funcionais OH

1. A cadeia principal ´e a mais longa que cont´em a dupla liga¸ca˜o. 2. A numera¸ca˜o da cadeia principal ´e sempre feita a partir da extremidade mais pr´oxima da dupla liga¸ca˜o, independentemente das ramifica¸co˜es presentes na cadeia. No nome do alceno a posi¸ca˜o da dupla ´e dada pelo n´ umero do primeiro carbono da dupla; esse n´ umero ´e escrito antes do nome do alceno. Fen´ ois 3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia principal S˜ ao compostos orgˆ anicos em que o grupo OH se liga diretaadota-se a regra dos menores n´ umeros. mente ao anel benzˆenico. Os fen´ ois apresentam car´ ater ´acido, em sua nomenclatura usamos o prefixo hidroxi.

Alcinos

S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma liga¸ca˜o tripla entre carbonos e de f´ ormula geral: Cn H2n−2 em que n ´e o n´ umero de carbonos. Nomenclatura dos Alcinos Para os alcino de cadeia normal e de cadeia ramificada ´e muito semelhante `a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se a termina¸ca˜o ano do alcano por ino. `

Alde´ıdos S˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam o grupo carbonila na extremidade do composto. Os alde´ıdos s˜ ao desidratantes, em sua nomenclatura usamos o sufixo al. F´ ormula Geral O // R - C \ H

Ciclanos (cicloparafinas)

S˜ ao hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, s´ o apresenCetonas tam liga¸co˜es entre os ´atomos de carbono do ciclo, e de f´ormula geral: s˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam o grupo carbonila Cn H2n entre carbonos. Em sua nomenclatura usamos o sufixo ona. em que n ´e o n´ umero de carbonos. F´ ormula Geral

Ciclenos Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeia ramificada: I. O nome ´e dado adicionando-se o prefixo CICLO ao nome do alceno correspondente; II. Quando a cadeia for ramificada, a numera¸ca˜o da cadeia se inicia a partir do carbono da liga¸ca˜o dupla (a dupla deve ficar entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido hor´ ario ou anti-hor´ario, de maneira a se respeitar ` a regra dos menores n´ umeros; III. As ramifica¸co˜es devem ser citadas em ordem alfab´etica;

O // R - C - R Haletos Orgˆ anicos S˜ ao compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca de um ou mais hidrogˆenios por halogˆenios (F, Cl, Br, I). F´ ormula Geral R - X

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´ Eteres

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O // R - C \ X

Ss˜ao compostos orgˆ anicos que apresentam um oxigˆenio ligado a dois radicais orgˆ anicos. Os ´eteres s˜ ao obtidos a partir da desidrata¸ca˜o intermolecular dos ´ alcoois. Sua nomenclatura ´e composta pelo radical menor escrito com a termina¸ca˜o oxi, seguido do nome do hidrocarboneto correspondente ao radical ´ Anidridos de Acido Carbox´ılico maior. F´ ormula Geral S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos pela desidrata¸ca˜o inter- molecular de dois ´acidos carbox´ılicos. Sua nomenclatura ´e comR - O - R posta pela palavra anidrido seguido do nome do menor ´acido e por fim o nome do maior ´acido. Caso o anidrido possuir ´ Acidos Carbox´ılicos cadeias iguais, n˜ ao se deve repetir o nome do ´acido. F´ o rmula Geral : s˜ ao compostos orgˆ anicos que apresentam a hidroxila ligada ao grupo carbonila. Os ´ acidos carbox´ılicos tem car´ ater a´cido, em sua nomenclatura usamos o prefixo ´ acido e o sufixo o ´ico. F´ ormula Geral O // R - C \ OH ´ Esteres: s˜ ao compostos orgˆ anicos usados como essˆencias. Constituem tamb´em ´oleos vegetais e animais, ceras e gordura. S˜ ao obtidos a partir da rea¸ca˜o entre ´ alcool ou fenol e ´acido carbox´ılico. Sua nomenclatura ´e composta pelo nome do ´acido formador trocando a termina¸ca˜o ico por ato seguido pela preposi¸ca˜o de e pelo nome do radical correspondente ao ´alcool ou fenol. F´ ormula Geral O // R - C \ O - R

O // R - C \ O / R - C \\ O

Fun¸c˜ oes Nitrogenadas Aminas S˜ ao compostos orgˆ anicos derivados da amˆ onia (N H3 ) pela substitui¸ca˜o de um ou mais hidrogˆenios por radicais alquila ou arila. As aminas s˜ ao usadas como corantes. Em sua nomenclatura usa-se o nome do radical F´ ormula Geral H / R - N \

´ Sais de Acidos Carbox´ılicos S˜ ao compostos orgˆ anicos que derivam dos ´ acidos carbox´ılicos pela substitui¸ca˜o do hidrogˆenio da hidroxila por um metal. Em sua nomenclatura, d´ a-se o sufixo ato ao nome da cadeia de origem (igual aos ´esteres) seguido da preposi¸ca˜o de e do nome metal. Os sais de ´ acidos carbox´ılicos de cadeia longa s˜ ao denominados de sab˜ oes. F´ ormula Geral O // R - C \ + ONa ´ Haletos de Acidos

H

(amina prim´ aria)

H / R - N \ R

(amina secund´ aria)

R / R - N \ R

(amina terci´ aria)

Amidas

S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos normalmente da rea¸ca˜o de um ´acido carbox´ılico e uma amina. Em sua nomenclatura, S˜ ao compostos orgˆ anicos que derivam dos ´ acidos carbox´ılicos substitui-se a termina¸ca˜o ´oico do ´acido carbox´ılico por amida. pela substitui¸ca˜o da hidroxila por um halogˆenio. Em sua no- S˜ ao usados na prepara¸ca˜o de medicamentos. menclatura, o nome do ˆanion correspondente ao haleto seguido F´ ormula Geral da preposi¸ca˜o de e do nome do acido de origem com a termina¸ca˜o ila. O F´ ormula Geral //

ˆnica B – Aula 2 Qu´ımica Orga

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R - C \ NH2

Nitrilas S˜ ao compostos orgˆ anicos obtidos do ´ acido cian´ıdrico pela substitui¸ca˜o do hidrogˆenio por um radical derivado de hidrocarboneto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hidrocarboneto correspondente seguido do sufixo nitrila. F´ ormula Geral Assinale a op¸ca˜o que apresenta dois dos grupos funcionais presentes nesta substˆancia. ´ a) Alcool e ´ester. b) Amina e ´eter. ´ c) Alcool e cetona. ´ d) Acido carbox´ılico e amina. e) Amida e ´ester.

R - C \\\ N

Nitro Compostos S˜ ao compostos orgˆ anicos derivados do ´ acido n´ıtrico pela substitui¸ca˜o da hidroxila por um radical alquila ou arila. Em sua nomenclatura, usa-se o prefixo nitro seguido do nome do hidrocarboneto correspondente. F´ ormula Geral O // R - N

ou ‘. ‘O

Curiosidade

R - NO2

2. Escreva as f´ormulas de estrutura dos seguintes compostos: a) 2,2,4-trimetil pentano b) 2-bromopropeno c) propino d) 2,2-dicloro-1-fluoro-3-iodobutano e) 2,5-hexanodiol f) ´eter etilfen´ılico g) ´eter diprop´ılico h) etanol i) 5-etil-5-metil-heptanona-3 j) benzalde´ıdo k) ´acido 2-cloro-2-metil propan´oico l) etanoato de butilo m) pentanamida n) etilfenilmetilamina o) ciclopentano p) ciclobuteno

Computadores orgˆ anicos atualmente estudados, tem processa- 3. O teflon ´e usado em panelas como frigideiras com finalidadores ultra-pequenos, 100 bilh˜ oes de vezes mais r´ apidos que os des de n˜ ao permitir a aderˆencia de gordura atuais. a tecnologia adotada emprega ”Molecular Switches”, que, na verdade, s˜ ao mol´eculas orgˆ anicas que desempenham o FF papel dos mais variados componentes eletrˆ onicos de um micro|| processador. F - C - C - F Sua nomenclatura oficial ser´ a: a) fl´ u or-etano Pense um Pouco! b) difl´ uor-metano c) tetrafl´ uor-eteno • Os compostos orgˆ anicos s˜ ao usados largamente pela indusd) butano-fl´ uor tria qu´ımica. Vocˆe conhece alguns compostos? Comente e) n. d. a. e dˆe suas respectivas f´ ormulas estruturais. 4. (UFSCAR-2004) A morfina ´e um alcal´ oide que constitui 10% da composi¸ c a ˜ o qu´ ımica do ´ o pio, respons´ avel pelos efeitos • Uma das aminas respons´ aveis pelo cheiro de peixe ´e a narc´ o ticos desta droga. A morfina ´ e eficaz contra dores muito trimetilamina. Dˆe sua f´ ormula molecular. fortes, utilizada em pacientes com doen¸cas terminais muito dolorosas. Algumas das fun¸co˜es orgˆ anicas existentes na estrutura da morfina s˜ ao: Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao a) ´alcool, amida e ´ester. b) ´alcool, amida e ´eter. c) ´alcool, alde´ıdo e fenol. 1. (ITA-2004) A estrutura molecular da morfina est´ a repre- d) amina, ´eter e fenol. e) amina, alde´ıdo e amida sentada abaixo.

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5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietn˜ a (d´ecada de 60 d) s-butil e s-pontil. do s´eculo passado), foi usado um composto chamado agente e) n. d. a. laranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhante das ´arvores, impedia que os soldados vietnamitas (os vietcongues) se ocul- 9. Dˆe a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo: tassem nas florestas durante os ataques dos bombardeiros. Esse material continha uma impureza, resultante do processo de sua fabrica¸ca˜o, altamente cancer´ıgena, chamada dioxina. As f´ ormulas estruturais para estes compostos s˜ ao apresentadas a seguir. 10. (SUPRA-98) A partir de novembro do pr´oximo ano 1999, chegar´a ao estado de santa Catarina g´ as natural proveniente da Bol´ıvia, via Mato Grosso do Sul passando por S˜ ao Paulo, Paran´ a, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. O g´ as natural ´e utilizado com ˆexito nos pa´ıses desenvolvidos e estar´ a dispon´ıvel para uso industrial, comercial e residencial. A m´edio prazo trar´a economia aos seus usu´arios substituindo o emprego de ´oleo diesel nas ind´ ustrias. As vantagens ecol´ogicas s˜ ao as primeiras destacadas por quem conhece os resultados do uso do g´ as natural. O g´ as n˜ ao ´e poluente, porque n˜ ao emite cinzas e tem queima de 97%, n˜ ao necessita de tratamento efluentes gasoso e n˜ ao interfere na colora¸ca˜o dos produtos fabricados (especialmente a cerˆ amica). Registros da Petrobr´ as respons´ avel Esses compostos apresentam em comum as fun¸co˜es: pelo gasoduto Bol´ıvia- Brasil. a) amina e ´acido carbox´ılico b) ´ acido carbox´ılico e amida. Este texto refere-se ao g´ as: c) ´eter e haleto orgˆ anico. a) etano d) cetona e alde´ıdo. b) propano e) haleto orgˆ anico e amida. c) benzeno d) metano 6. O Biodigestor promove, atrav´es da atividade de bact´erias, e) acetileno a convers˜ ao dos esgotos em material inerte e em biog´ as. O 11. (ACE) A gasolina ´e constitu´ıda principalmente por: principal biog´ as obtido neste reator ´e: a) mistura de alcanos. a) CH4 b) Mistura de hidretos b) CH3CH2OH c) Mistura de ´alcoois c) NO2 d) Mistura de compostos de chumbo d) SO2 e) n. d. a. e) C2H6

Exerc´ıcios Complementares 7. (UFMA) A rea¸ca˜o: ´alcool + ´ acido carbox´ılico, produz: a) ´eter b) haleto de alco´ıla c) anidrido de ´acido d) ´ester e ´agua e) sal e ´ agua 8. Os grupos orgˆ anicos obtidos a partir dos alcanos pela perda dos ´ atomos de hidrogˆenio

CH3 - CH2 - CH - CH3 | H* CH3 - CH | H*

CH3

assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente: a) isobutil e s-pentil; b) isobutil e isopropil; c) s-butil e isopropil;

˜ CARLOS) Um alcanos encontrado nas folhas 12. (UF-SAO de repolho cont´em em sua f´ormula 64 ´atomos de hidrogˆenio. O n´ umero de ´atomos de carbono na f´ormula ´e: a) 29 b) 32 c) 30 d) 33 e) 31

Matem´ atica Matem´ atica A

Aula 1

Rela¸c˜ oes e Fun¸ c˜ oes

Representa¸ c˜ ao Podemos representar uma rela¸ca˜o por um diagrama de setas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 1, 4} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y = x2 }.

Fun¸c˜ oes

Rela¸ c˜ oes

O conceito b´ asico de fun¸ca˜o ´e o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associa¸ca˜o entre eles, que fa¸ca Definimos rela¸ca˜o como: corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um u ´ nico Dados dois conjuntos n˜ ao vazios S e T chama-se rela¸ca˜o R de elemento do segundo conjunto, ocorre uma fun¸ca˜o. ObserveS em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R est´ a contido mos os pares de conjuntos abaixo. em Sxt (R ⊂ SxT ). Exemplos Exemplo

1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ LxA/y = x2 }.

R = {(x, y)/x < y}

A

B 1 3

L

0 2

4 6

2

4

5

25

9

81

12

5

144

´ fun¸ca Figura 3.1: E ˜o.

Nota¸ c˜ ao Podemos escrever uma rela¸ca˜o de A em B das seguintes formas: • Nomeando os pares ordenados, por exemplo: {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}.

A

R =

• Atrav´es de uma senten¸ca matem´atica, por exemplo: R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 1}, sendo que A = {0, 1, 1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 9}.

2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y = 2x}. 3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y = x + 2}. 4. Dados A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a rela¸ca˜o R = {(x, y) ∈ AxB/y 4 = x}

Ser˜ ao reconhecidas como fun¸ca˜o as rela¸co˜es que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo que cada elemento de A deve estar ligado somente a um u ´ nico elemento Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pa- de B. res ordenados (x, y) de uma rela¸ca˜o damos o nome de dom´ınio e representamos por D(R). Dom´ınio, Imagem e Contradom´ınio Os segundos elementos desses pares formam o conjunto imagem da rela¸ca˜o: Im(R). Assim, na rela¸ca˜o R = Tomemos os exemplos acima que representam fun¸co˜es (Ex01, {(−1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {−1, 0, 1} e Im(R) = {3, 4, 5}. Ex03): Dom´ınio e Imagem

183

184

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

B

A

—

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B

A

20

10

24

12

−2

16

2

30

15 16

81

3

26

13

Figura 3.4: N˜ ao ´e fun¸ca ˜o. Figura 3.2: N˜ ao ´e fun¸ca ˜o.

B

A 7 5

6

14 15 12

16

26

25

23

Para ambos os exemplos, chamamos de dom´ınio o conjunto A, indicado pela letra D: Ex01: D = {2, 5, 9, 12}; Ex03: D = {5, 12, 23}. A imagem ser´ a o conjunto dos elementos y que tˆem correspondˆencia com x. EX01: I = {4, 25, 81, 144}; Ex03: D = {7, 14, 25}. O contradom´ınio ser´ a o conjunto B: EX01: CD = {2, 4, 6}; Ex03: CD = {5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}.

Tipos de Fun¸c˜ oes Fun¸ c˜ ao Par ´ a fun¸ca˜o em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorre E f (x) = f (−x). Exemplos

´ fun¸ca Figura 3.3: E ˜o.

f (x) = x2

A

L

2

4

5

25

9 12

f (x) = |x| f (x) = cos(x) Parabola

y

81 144

B

A 7 5

6

O

x

14 15 12 23

16 25

26

Fun¸ c˜ ao ´ Impar ´ a fun¸ca˜o em que para todo valor de x ∈ D ocorre f (x) = E −f (−x). Exemplos f (x) = 2x

´tica A – Aula 1 Matema

185

f (x) = sin(x)

y

f (x) = x3

f(x 1 ) f(x 2 )

y

O O

x1

x2

x

x

Figura 3.6: Esquema para compreender fun¸ca ˜o decrescente.

Fun¸ c˜ ao Crescente Uma fun¸ca˜o y = f (x) ´e crescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com x1 < x2 , tivermos f (x) < f (x2 ). Exemplos

A

L

2

4

5

25

9

81

f (x) = x + 2

144

f (x) = 10x f (x) = x3

Figura 3.7: Fun¸ca ˜o injetora

y Fun¸ c˜ ao Injetora

f(x 2 )

Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A → B ´e injetora, se somente se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do dom´ınio de f (x) possuem imagens distintas em B. Exemplos

f(x 1 ) O

x1

x2

x Fun¸ c˜ ao Sobrejetora

Figura 3.5: Esquema para compreender fun¸ca ˜o crescente.

Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A → B ´e sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem ´e igual ao contradom´ınio: Im(f ) = B Exemplos

Fun¸ c˜ ao Bijetora

Fun¸ c˜ ao Decrescente

Uma fun¸ca˜o y = f (x) : A → B ´e bijetora, se somente se, ´e Uma fun¸ca˜o y = f (x) ´e decrescente num conjunto A se, injetora e sobrejetora. somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto Na figura 3.11 temos que a fun¸ca˜o: A, com x1 < x2 , tivermos f (x1 ) > f (x2 ). Exemplos ´ injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos• E suem imagens distintas em B; f (x) = −x + 2 ´ sobrejetora, pois • E f (x) = 10−x Im = B = {4, 25, 81, 144}; f (f ) = −2x

´ bijetora porque ´e injetora e sobrejetora. • E

186

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

B

A 1

—

4

1

1

2

2

3

5

Figura 3.8: Fun¸ca ˜o n˜ ao injetora

3

Figura 3.10: Fun¸ca ˜o n˜ ao sobrejetora

B

A

B

A

2 3

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L

A

1

1

2

4

2

5

25

2

9

81

3

3

4

Figura 3.9: Fun¸ca ˜o sobrejetora Fun¸ c˜ ao Inversa Considere uma fun¸ca˜o y de L → A, sendo que D = L e Im = A. A fun¸ca˜o inversa de y ser´ a aquela fun¸ca˜o que fizer corretamente a rela¸ca˜o de A → L onde D = A e Im = L. Ou seja, a fun¸ca˜o inversa “transforma” o que antes era dom´ınio em imagem e imagem em dom´ınio. Por´em, isto s´ o poder´ a ocorrer se y for bijetora. Ent˜ ao, podemos definir: Dada fun¸ca˜o bijetora y = f (x) : A → B, chama-se fun¸ca˜o inversa de f a fun¸ca˜o f −1 : B → A tal que (a, b) ∈⇔ (b, a) ∈ f −1 . Exemplos y = f (x) = x2 ; D = {2, 5, 9, 12} Im = {4, 25, 81, 144} A fun¸ca˜o inversa ser´ a: p y = f (x) = (x) D = {4, 25, 81, 144} Im = {2, 5, 9, 12} Fun¸ c˜ ao Composta Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4}, C = {4, 16}, vamos considerar as fun¸co˜es: f : A → B definida por f (x) = 2x; g : B → C definida por g(x) = x2 . Observamos que:

12

144

Figura 3.11: Fun¸ca ˜o bijetora

• A cada x pertencente a A associa-se um u ´ nico y pertencente a B tal que y = 2x; • A cada y pertencente a B associa-se um u ´ nico z pertencente a C tal que z = x2 ; • A cada x pertencente a A associa-se um u ´ nico z pertence 2 C tal que z = y 2 = (2x) = 4x2 . Ent˜ ao, podemos afirmar que vai existir uma fun¸ca˜o h de A em C definida por h(x) = 4x2 , que indicamos por gof ou g(f (x)) (lˆe-se: g composta com f ). Logo: h(x) = gof = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}. Fun¸ c˜ ao Definida por Partes ´ aquela fun¸ca˜o que ´e definida por mais de uma rela¸ca˜o. E Exemplo   x + 1, se x > 2; x2 , se -2 ≤ x ≤ 2;  2, se x < −2 Fun¸ c˜ ao Constante Toda fun¸ca˜o f : R → R, definida por f (x) = C, com C pertencendo ao conjunto dos reais, ´e denominada fun¸ca˜o constante.

´tica A – Aula 2 Matema

L

187

A 2

L

4 25

5 9 12

A 2

4 25

5

81

9 12

144

81 144

(a)

(b)

C A h

4

2

16 f

g 2

4. (UA) Se f e g s˜ ao fun¸co˜es tais que f (x) = 2x−3 e f (g(x)) = x, ent˜ ao ´e igual a: a) (x + 3)/2 b) 3x + 2 c) 1/(2x − 3) d) 2x + 3

4 B

Figura 3.13: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)}

y

y

5. (UDESC) Seja f (x) = c − ax2 . Se f (−1) = 1 e f (2) = 2, ent˜ ao f (5) ´e igual a: a) 3 b) 11/3 c) 7/3 d) 9 e) -3

y

C>0

C=) O

x

O

x

O

C 0) ou decrescente (a < 0). O coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo 0y.

188

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

f(x) = −2x − 1

Y

—

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Y

f(x) = x − 2

1

−1

1

X 0

X

2

−1

~ (x=2) Zero da funçao

−2 Gr´ afico

Para construirmos gr´aficos de fun¸co˜es devemos seguir os se- Estudo do Sinal guintes passos: Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um exem• atribu´ımos valores a vari´ avel x; plo: Dada a fun¸ca˜o f (x) = 2x − 4, determinar os valores reais de x • substitu´ımos na fun¸ca˜o; para os quais: • encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y. a) f (x) = 0 Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y) que b) f (x) > 0 c) f (x) < 0 devemos encontrar no plano cartesiano. Solu¸ c˜ ao: Podemos verificar que a fun¸ca˜o ´e crescente pois a = 2 > 0. O zero da fun¸ca˜o ´e: 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 x y =x−2 (x, y) A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Obser0 y = 0 − 2 = −2 (0, −2) vando essas considera¸co˜es, vamos fazer um esbo¸co do gr´afico 1 y = 1 − 2 = −1 (1, −1) da fun¸ca˜o: 2 y =2−2=0 (2, 0)

Y

Y

f(x) = x − 2

f(x) = x − 1

1

f(x)>0 0

−1

1

X

f(x) 0 para {x ∈ R/x > 2} f (x) < 0 para {x ∈ R/x < 2} x y =x−2 (x, y) 0 y = 0 − 2 = −2 (0, −2) 1 y = 1 − 2 = −1 (1, −1) Fun¸c˜ ao Polinomial de 2o grau 2 y =2−2=0 (2, 0) A fun¸ca˜o dada f (x) : R → R dada por f (x) = ax2 +bx+c, com que: f (x) = 0 para x = 2. a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se fun¸ca˜o do 2o grau ou fun¸ca˜o

´tica A – Aula 2 Matema

189 • ∆ = 0, x1 = x2 e a par´ abola intercepta o eixo x em um u ´ nico ponto.

quadr´ atica. Exemplos: f (x) f (x)

= =

x2 − 4x − 3 (a = 1, b = −4, c = −3) −2x2 + 5x + 1(a = −2, b = 5, c = 1)

• ∆ > 0, n˜ ao existem ra´ızes reais e a par´ abola n˜ ao intercepta o eixo x.

O gr´ afico da fun¸ca˜o de 1o grau ´e uma curva aberta chamada par´ abola. Se o gr´afico da fun¸ca˜o tem a par´ abola com concavidade voltada para cima, a > 0. Gr´ afico Parab´ olico No gr´afico abaixo, da fun¸ca˜o f (x) = x2 − 8x + 12, marcamos um ponto v. Esse ponto tem o nome de v´ertice da par´ abola. As coordenadas de V (xv , yv ) s˜ ao dadas por:

Y a>0

Y 0

X

0

Se o gr´ afico da fun¸ca˜o tem a par´ abola com concavidade voltada para baixo, a < 0.

X

3

´ Vertice −4

V(3,−4)

Y b xv = − 2a ∆ yv = − 4a

a 0, x1 6= x2 e a par´ abola intercepta o eixo x Quando y assume o menor valor da fun¸ca˜o, ele ´e a ordenada do ponto m´ınimo da fun¸ca˜o (yv ): em dois pontos diferentes.

190

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Eixo de simetria

Y

a>0 x1 = x2 0

x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0 x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) > 0

X

3

X

x1 = x2

−4

V

X

a 0, f (x) possui duas ra´ızes reais:

a>0 0

xV

X

X Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) > 0

Estudo do Sinal Para estudar o sinal da fun¸ca˜o f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0, temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal do coeficiente a. Assim:

X

• ∆ > 0, f (x) possui duas ra´ızes reais e diferentes: x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) > 0 x1 < x < x2 ⇒ f (x) < 0

a 0 • ∆ > 0, f (x) possui raiz dupla:

• Quantos zeros pode ter, no m´aximo, uma fun¸ca˜o de primeiro grau? E a de segundo grau? ` esquerda e `a direita de um zero, a fun¸ca˜o de segundo • A grau tem sempre sinais contr´arios?

´tica A – Aula 3 Matema

191

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Fun¸c˜ oes Especiais

c˜ ao Modular 1. (FGV-SP) O gr´afico da fun¸ca˜o f (x) = mx + n passa pelos Fun¸ pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos ent˜ ao afirmar que: O m´odulo, ou valor absoluto, de um n´ umero real x, indicado a) m + n = −2 por |x|, ´e definido assim: b) m − n = −2  c) m = 3/4 x, se, x ≥ 0 d) n = 5/2 |x| = −x, se, x < 0 e) m.n = −1 umero 2. (PUC-SP) Para que a fun¸ca˜o do 1o grau dada por f (x) = Pela defini¸ca˜o, podemos concluir que o m´odulo de um n´ real ´e sempre maior ou igual a zero. (2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter: a) k = 2/3 b) k < 2/3 Cuidado! c) k > 2/3 d) k < −2/3 √ x2 = ±|x| e) k > −2/3 3. (UFC-CE) Considere a fun¸ca˜o f : R → R, definida por f (x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o v´ertice do gr´afico de f ´e o ponto (1, 4). b) f possui dois zeros reais distintos. c) f atinge um m´aximo para x = 1. d) O gr´afico de f ´e tangente ao eixo das abscissas.

Exemplos | − 10| = 10 |1| = 1 |1/3| = 1/3

Exerc´ıcios Complementares 4. (UFPA) A fun¸ca˜o y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Ent˜ ao, a − 2b ´e igual a: a) -12 b) -10 c) -9 d) -7 e) 0

|0| = 0 Definimos ent˜ ao a un¸ca˜o modular se a cada x real se associa |x|, ou seja: f (x) = |x| . Observa-se que o dom´ınio da fun¸ca˜o m´odulo ´e R e a imagem R+ .

5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das ra´ızes da equa¸ca˜o Representa¸ c˜ ao Gr´ afica x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra ´e: a) 1 Pela defini¸ca˜o de |x|, temos de considerar duas senten¸cas para b) 2 f (x), de RemR: c) 3  d) 4 x, se, x ≥ 0 e) 5 f (x) = −x, se, x < 0 6. (Santa Casa-SP) As dimens˜oes de um retˆ angulo s˜ ao numericamente iguais `as coordenadas do v´ertice da par´ abola de Construindo os dois gr´aficos num u ´ nico plano cartesiano, obequa¸ca˜o y = −128x2 + 32x + 6. A ´ area do retˆ angulo ´e: temos o gr´afico de f (x) = |x|: a) 1 b) 8 c) 64 Y f(x) = |x| d) 128 3 e) 256 7. O lucro mensal de uma empresa ´e dado por L = −x2 + 30x − 5, onde x ´e quantidade mensal vendida. a) Qual ´e o lucro mensal m´aximo poss´ıvel? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no m´ınimo igual a 195?

Matem´ atica A

Aula 3

2 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

Figura 3.1: Fun¸ca ˜o m´ odulo: f (x) = |x|.

X

192

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Fun¸ c˜ ao Exponencial

—

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2o− caso: 0 < a < 1

A fun¸ca˜o f : R → R dada por f (x) = ax (com a 6= 1 e a > 0) ´e denominada fun¸ca˜o exponencial de base a e definida para todo x real. Assim, s˜ ao fun¸co˜es exponenciais:

Y a x1

f (x) = 2x g(x) = (1/3)x

a x2 Gr´ afico da Fun¸ c˜ ao Exponencial

2

Y

x1

x

f(x) = a x

1

Vamos representar no plano cartesiano o gr´ aficos das fun¸co˜es f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x .

x2 x1 < x2

0

X a x1 > a x2

2

Figura 3.4: Exponencial decrescente ax com a < 1. 1 (1/2)

x

0 0

1/4

1/2

3/4

1

X

Figura 3.2: Fun¸co ˜es exponenciais: f (x) = 2x e g(x) = (1/2)x .

• O n´ umero de bact´erias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a fun¸ca˜o , sendo t o n´ umero de dias ap´ os o in´ıcio do experimento. Calcule: a)o n´ umero n de bact´erias no in´ıcio do experimento; b)em quantos dias o n´ umero inicial de bact´erias ir´ a triplicar.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Caracter´ısticas • D(ax ) = R • Im(ax ) = R+ • ax ´e uma fun¸ca˜o crescente se a > 1

1o− caso:

Pense um Pouco!

a>1

f(x) = a x

Y a x2

2. (PUC-SP) A equa¸ca˜o |2x − 1| = 5 admite: a) duas ra´ızes positivas b) das ra´ızes negativas c) uma raiz positiva e outra negativa d) somente uma raiz real e positiva e) somente uma raiz real e negativa

a x1 1

0 x1 < x2

1. (ITA-SP) Considere a equa¸ca˜o |x| = x − 6. Com respeito `a solu¸ca˜o real dessa equa¸ca˜o, podemos afirmar que: a) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [1,2] b) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [-2,-1] c) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo ]-1,1[ d) a solu¸ca˜o pertence ao intervalo [3,4] e) nenhuma resposta ´e correta

x1

x2

X

a x1 < a x2

Figura 3.3: Exponencial crescente ax com a > 1. • ax ´e uma fun¸ca˜o decrescente se 0 < a < 1 • ax ) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1

3. (PUC-PR) A equa¸ca˜o 16 · 52x = 25 · 20x, onde x pertence aos reais, admite: a) os n´ umeros -2 e 2 como solu¸co˜es b) apenas o n´ umero 2 como solu¸ca˜o c) apenas o n´ umero 21 como solu¸ca˜o d) os n´ umeros 2 e 21 como solu¸co˜es e) apenas o n´ umero como solu¸ca˜o

Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os n´ umeros reais x e y, a) se |x| < |y|, ent˜ ao x < y

´tica A – Aula 4 Matema

193

b) |xy| = |x||y| c) |x + y| = |x| + |y| d) | − |x|| = −x e) se x < 0, ent˜ ao |x| < x

• O logaritmo de um quociente ´e igual ao logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto ´e:

5. (PUC-SP) Resolvendo a equa¸ca˜o 4 + 4 = 5 · 2x , obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = −1 e x2 = −2 e) x1 = −4 e x2 = −5 6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y , o valor de x + y ´e: a) 4/3 b) 2/3 c) 1/3 d) 1 e) 2 f) -3

Matem´ atica A

logb (x/y) = logb x − logb y • O logaritmo de uma potˆencia ´e igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potˆencia, isto ´e: logb xn = n logb x Caso particular logb

√ 1 n x = logb x( 1/n) = logb x n

Mudan¸ ca de Base Suponha que apare¸cam logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa opera¸ca˜o ´e chamada mudan¸ca de base:

Aula 4

logb a =

logc a logc b

onde c ´e a nova base.

Fun¸c˜ oes Especiais (II) Fun¸ c˜ ao Logar´ıtmica

Exemplo log2 10 =

log1 010 1 = log1 02 log1 02

O logaritmo de um n´ umero real e positivo a, na base b, positiva c˜ ao Gr´ afica e diferente de 1, ´e o n´ umero x ao qual se deve elevar a base b Representa¸ para se obter a Ao estudar a fun¸ca˜o exponencial, vimos que ela ´e bijetora, logb a = x ⇐⇒ bx = a portanto admite fun¸ca˜o inversa, que ´e a logar´ıtmica. Do estudo das fun¸co˜es inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gr´aficos s˜ ao sim´etricos em rela¸ca˜o a bissetriz do 1◦ e 3◦ Observa¸ c˜ ao quadrantes. Assim, para as fun¸co˜es exponencial e logar´ıtmica, Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sistema de base 0 < a < 1 e a > 1, temos: de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante ´e o a>1 sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema ´e de base 10, ´e comum omitir-se a y=x base na sua representa¸ca˜o. Y Exemplo

y=a x log x a 2

Considerando a defini¸ca˜o dada, calcular o valor dos logaritmos:

1

log6 36 = 2 x1 1

log2 16 = 4 log3 0 = 1

X

loga x1

log1 01000 = 3 Propriedades dos Logaritmos

x2

y=loga x a>1

f(x) e´ crescente

• O logaritmo de um produto ´e igual ` a soma dos logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto ´e: logb (x · y) = logb x + logb y

Figura 3.1: Fun¸ca ˜o logar´ıtmica com base a > 1

194

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Radiano ´e o arco cujo comprimento ´e igual ao comprimento do raio da circunferˆencia que o cont´em.

00

−3

Terceiro Quadrante

0

1

−1

3

5

X

C

3

A

4

4

d

−4

Quarto Quadrante

x 0. 2o quadrante: x < 0 e y > 0. 3o quadrante: x < 0 e y < 0. 4o quadrante: x > 0 e y < 0.

Divis˜ ao de um Segmento Dados os pontos A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) de uma reta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa determinada raz˜ ao, denominada raz˜ ao de sec¸ c˜ ao e indicada por: rC =

Distˆ ancia entre Dois Pontos Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e B do ou seja plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distˆancia d(A, B). Aplicando o Teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo ABC, vem:

rC =

AC CB

yC − yA xC − xA = xB − xC yB − yC

Y

C

y3

Y

B

yB

B

y2 d

yB yA

A

y1

D

E

A

yA

C

xB xA

0

xA

0

xB

x1

x2

X

x3

X

Exemplo Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6), P (3, 4) e Q(1, 2), as raz˜ oes rP e rQ em que P e Q dividem AB s˜ ao:

d2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 logo

p d = (xB − xA )2 + (yB − yA )2

ser´ a a distˆancia entre os pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ). Exemplo Determinar a distˆancia entre os pontos A(1, −1) e B(4, −5). Analiticamente, temos p d = sqrt(4 − 1) + (−5 − (−1)) = 32 + 42 2

2

√ √ d = 9 + 16 = 25 = 5

ou graficamente,

y=x+1

Y

B

6 5

P

4 3 2

A Q

1

0

1

2

3

4

5

6

X

202

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´ Area de um Triˆ angulo rP =

xP − xA 3−2 1 = = xB − xP 5−3 2

Na geometria anal´ıtica podemos calcular a ´area de um triˆ angulo a partir das coordenadas de seus v´ertices. A ´area e S do triˆ angulo de v´ertices A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) 1−2 1 xQ − xA ´ e dada por: = =− rQ = 1 xB − xQ 5−1 4 S = |D| 2 onde D ´e o determinante da matriz de coordenadas Baricentro de um Triˆ angulo xA yA 1 Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersec¸ca˜o das meD = xB yB 1 dianas de um triˆ angulo. Esse ponto divide a mediana relativa xC yC 1 a um lado em duas partes. Condi¸ c˜ ao de Alinhamento de 3 Pontos

A

A figura mostra trˆes ponto, A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ), que est˜ ao alinhados, ou seja, s˜ ao pontos de uma mesma reta.

u M

u

v w

G

w B

P

w

Y

u

v C

N

N=

xC + xB yC + yB , 2 2

B

yB yA

C´ alculo das Coordenadas do Baricentro (G) Sendo A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) v´ertices de um triˆ angulo, se N ´e ponto m´edio de BC, temos: 

C

yC

v

0



A

E

xA

xB

D

xC

X

Para que trˆes pontos estejam alinhados, devemos ter: A

AB AE EB = = AC AD DC ou seja:

M

P G

B

Pense um Pouco! N

C

Mas: rG =

xB − xA yB − yA = xC − xA yC − yA

AG xG − xA = xN − xG GN

• O que acontece com a distˆancia entre dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ) se as coordenadas de ambos pontos forem: a) aumentadas de uma constante c? b) multiplicadas por 2? c) multiplicadas por -1?

de onde podemos encontrar: xG =

xA + xB + xC 3

e yG =

yA + yB + yC 3

e escrevemos finalmente   xA + xB + xC yA + yB + yC G = (xG , yG ) = , 3 3

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFES) Sendo r a distˆancia da origem ao ponto P (x, y), ent˜ ao, para que y/r seja negativo, o ponto P dever´a pertencer ao: a) 1o quadrante ou 2o quadrante b) 2o quadrante ou 4o quadrante c) 2o quadrante ou 3o quadrante d) 3o quadrante ou 4o quadrante e) 1o quadrante ou 3o quadrante

´tica A – Aula 8 Matema

203

2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2, −1), B(x, 4) e C(4, 9) pertencem a uma mesma reta, determine x. a) 2 b) -6 c) 1 d) 3 e) 4 3. (MACK-SP) No triˆ angulo ABC, A(1, 1) ´e um dos v´ertices, N (5, 4) ´e o ponto m´edio do segmento BC e M (4, 2) ´e o ponto m´edio do segmento AB. Calcule as coordenadas do baricentro G do triˆ angulo. a) G(3, 11/3) b) G(4/5, 3) c) G(11/3, 3) d) G(3, 3) e) G(11, 6)

Exerc´ıcios Complementares

Exemplo Determinar a equa¸ca˜o geral da reta que passa nos pontos A(1, 2) e B(7, 6).

Y B(7,6) 6 5

4

4 3 (0,4/3)

A(1,2)

2

C(7,2)

6

1 0

1

2

3

4

5

6

7

X

Figura 3.1: Equa¸ca ˜o geral da reta: exemplo.

4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, −1) e C(x, −16) pertencem a uma mesma reta se x ´e igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2

Para que um ponto qualquer (x, y) perten¸ca `a reta AB, temos que ter x y 1 D = 1 2 1 = 0 7 6 1 e desenvolvendo o determinante temos

2 4 5. O ponto m´edio de um segmento AB, sendo A(6, 4) e B(1, 2) D = (2x + 6 + 7y) − (14 + 6x + y) = 0 −→ y = x + 3 3 ´e: a) (3, 7/2) Confira a figura (3.1). b) (7/2, 4) c) (5, 3) Equa¸ c˜ ao Segment´ aria d) (6, 2) e) (7/2, 3) Considere a reta r n˜ ao-paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p 6= 0 e 6. Calcule a distˆancia entre os pontos A e M , sabendo que q 6= 0. A(5, √1), B(1, 3) e M ´e ponto m´edio do segmento AB a) √20 b) √3 Y c) √5 d) 5 2 e) 2

Q(0,q)

Matem´ atica A

Aula 8

q

P(p,0) 0

Geometria Anal´ıtica Equa¸ c˜ oes da Reta Equa¸ c˜ ao Geral

p

X

Podemos escrever a equa¸ca˜o da reta na forma segment´ aria: x y + =1 p q

A partir de uma condi¸ca˜o de alinhamento de trˆes pontos podemos determinar: Exemplo y = ax + b Por exemplo, para a reta mostrada na figura (3.1), pode-se aria onde a ´e o chamado coeficiente angular da reta, e b o coeficiente obter diretamente p = −2 e q = 4/3, e a equa¸ca˜o segment´ da reta ser´ a linear. y x + =1 Para x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b. −2 4/3

204

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ou reescrevendo 3y x − =1 4 2

Y r

Equa¸ co ˜es na Param´ etrica

α

S˜ ao equa¸co˜es da forma x = f (t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com o parˆ ametro 0 (vari´ avel) t. Exemplo As equa¸co˜es x(t) = t + 2 e y(t) = 1 − t definem uma reta, na Se 90◦ < α < 180◦ ⇒ tan α < 0 ⇒ m < 0 forma param´etrica. Para se obter a equa¸ca˜o geral da reta, pode-se eliminar o Y parˆ ametro t, isolando-o na primeira equa¸ca˜o:

X

r

t=x−2 e substituindo-o na segunda:

0

y = 1 − (x − 2) = −x + 3

X

Se α = 90◦ ⇒ ∄ tan α ⇒ m ´e indefinido. Nesse caso, a reta r se diz vertical. N´ umero real m que expressa a tangente trigonom´etrica de sua Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta r que passa por dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ): inclina¸ca˜o α, ou seja:

Coeficiente Angular ou Declividade

m = tan α Y

Podemos observar que:

Y

B

y2

r

α

A

y1

C

α 0

0

x1

x2

X

X m=

Se α = 0◦ ⇒ tan α = 0 ⇒ m = 0

yB − yA xB − xA

Posi¸c˜ oes Relativas entre Duas Retas Paralelismo

Y r α 0

Se 0◦ < α < 90◦ ⇒ tan α > 0 ⇒ m > 0

X

Duas retas r e s, distintas e n˜ ao-verticais, s˜ ao paralelas se, somente se, tˆem coeficientes angulares iguais. Se r e s s˜ ao paralelas αr = αs e ent˜ a o mr = ms Exemplo Determinar a posi¸ca˜o da reta r, da equa¸ca˜o 2x − 3y + 5 = 0, em rela¸ca˜o `a reta s, de equa¸ca˜o 4x − 6y − 1 = 0 Resolu¸ca˜o: vamos determinar o coeficiente angular mr da reta r, reescrevendo a sua equa¸ca˜o na forma geral y = (2x + 5)/3, e ent˜ ao mr = 2/3. Para a reta s, temos: y = (4x− 1)/6, de onde ms = 4/6 = 2/3, ou seja as retas r e s s˜ ao paralelas.

´tica A – Aula 8 Matema

205

Concorrˆ encia

Caso a reta 2 seja vertical: Se tan α1 = m1 e θ ´e agudo, temos: 1 Duas retas r e s ser˜ ao concorrentes se tiverem coeficientes dife tan θ = rentes, isto ´e, r e s s˜ ao concorrentes Longlef trightarrowmr 6= m1 ms. As retas s˜ ao ditas concorrentes porque concorrem para um, e Distˆ ancia entre um Ponto e uma Reta apenas um, ponto em comum. Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equa¸ca˜o ax + by + c = 0 , a distˆancia entre P e r ´e dada pela f´ormula: P Y axP + byP + c d(P, r) = √ 2 + b2 a l 1

θ

l2

α2

α1

A

0

B

X

Perpendicularismo Se r e s s˜ ao duas retas n˜ ao-verticais, ent˜ ao r ´e perpendicular a s se, somente se, o produto de seus coeficientes angulares ´e igual a −1.

Y

P

l1 A

0

θ

Pense um Pouco! • A equa¸ca˜o da reta j´a foi estudada em outro conte´ udo da matem´atica, com uma outra ”aparˆencia”. Qual era esse assunto?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

l2

α B

Exemplo Determinar a distˆancia entre o ponto A(2, 1) e a reta r, de equa¸ca˜o x + 2y − 14 = 0. 2 + 2 · 1 − 14 10 = √ d(A, r) = √ 12 + 22 5 √ d(A, r) = 2 5

X

Exemplo Verificar se as retas f e g, de equa¸co˜es 10x + 3y − 5 = 0 e 3x − 10y − 4 = 0, respectivamente, s˜ ao perpendiculares. C´ alculo de mf , coeficiente angular f : Reescrevemos a equa¸ca˜o da reta f , e obtemos, y = (5−10x)/3, de onde mf = −10/3. C´ alculo de mg , coeficiente angular g: Reescrevemos a equa¸ca˜o da reta g, e obtemos, y = (3x−4)/10, de onde mg = 3/10. Verificando a condi¸ca˜o de perpendicularismo: mf × mg = (−10/3)(3/10) = −1 ent˜ ao as retas f e g s˜ ao perpendiculares entre si. ˆ Angulo Formado por Duas Retas Se duas retas l1 e l2 , n˜ ao perpendiculares, tˆem coeficientes angulares m1 e m2 , respectivamente, o ˆ angulo θ, medido no sentido anti-hor´ario, desde a reta l1 at´e l2 , ´e considerando o angulo formado por elas. ˆ Se tan α1 = m1 e tan α2 = m2 e θ ´e agudo, temos: m2 − m1 tan θ = 1 − m1 m2

1. (Fuvest-SP) Se (m + 2n, m − 4) e (2 − m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, ent˜ ao mn ´e igual a: a) -2 b) 0 c) 2 d) 1 e) 1/2 2. (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triˆ angulo retˆ angulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triˆ a ngulo. √ a) 6 √13 b) 5√ 13/6 c) 5 √13 d) 6 13/5 e) 0 3. (UFMG) A reta r dada pela equa¸ca˜o 2x + 4y − 3 = 0 intercepta o eixo das ordenadas no ponto: a) −3/4 b) −1/2 c) 3/4 d) 1/2 e) 3/2 4. (PUC-MG) O valor de x para que os pontos (1, 3), (−2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares ´e: a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 5

206

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Exerc´ıcios Complementares

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constante R, o raio da circunferˆencia. p d(C, P ) = (x − xC )2 + (y − yC )2 = R

5. (Cesgranrio-RJ) A equa¸ca˜o da reta mostrada na figura abaixo ou seja,

(x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 ´e a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia.

Y

Y

3

P(x,y)

y R

−4

0

X

yC

0

6. (Fuvest-SP) A reta r tem equa¸ca˜o 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e ´e perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente: a) determine a equa¸ca˜o de s; b) calcule a ´area do triˆ angulo ABC.

yC

C( xC , yC ) x

´e: a) 3x + 4y − 12 = 0 b) 3x − 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x − 3y − 12 = 0 e) 4x − 3y + 12 = 0

y

xC

xC

x

X

Figura 3.1: Uma circunferˆencia de raio R, com centro no ponto C(xC , yC ).

A equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia e permite determinar diretamente os elementos essenciais para a constru¸ca˜o da circunferˆencia: as coordenadas do centro e o raio. 7. Se o ponto P (k, −2) satisfaz ` a rela¸ca˜o x + 2y − 10 = 0, Quando o centro da circunferˆencia estiver na origem, O(0, 0), ent˜ ao o valor de k 2 ´e: a equa¸ca˜o da circunferˆencia ser´ a simplesmente a) 200 x2 + y 2 = R2 b) 196 c) 144 d) 36 Exemplo e) 0 Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da circunferˆencia da equa¸ca˜o (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16. Comparando a equa¸ca˜o dada, com a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia temos:

Matem´ atica A

Aula 9

x − 3 = x − xC =⇒ xC = 3

Circunferˆ encia

y + 1 = y − yC =⇒ yC = −1 16 = R2 =⇒ R = 4

Conceito

ent˜ ao o centro da circunferˆencia ´e o ponto C(3, −1), e o possui ´ o conjunto de todos os pontos de um plano eq¨ E uidistantes raio R = 4. de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferˆencia. Equa¸c˜ ao Geral da Circunferˆ encia

Raio ´ o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer E da circunferˆencia.

Equa¸ c˜ ao Reduzida da Circunferˆ encia Sendo C(xC , yC ) o centro e P (x, y) um ponto qualquer da circunferˆencia, a distˆancia de C a P , chamada d(C, P ), ´e uma

Desenvolvendo a equa¸ca˜o reduzida, obtemos a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia: (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 =⇒

2 x2 + y 2 − 2xC x − 2yC y + x2C + yC − R2 = 0

Para determinar o centre e o raio de uma circunferˆencia, conhecendo a equa¸ca˜o geral, basta compar´a-la com a equa¸c˜ao geral da circunferˆencia em sua forma gen´erica.

´tica A – Aula 10 Matema Exemplo

207 d) x2 + y 2 + 4x + 4y + 3 = 0 e) n. d. a.

Determine o centro e raio da circunferˆencia com equa¸ca˜o geral igual a x2 + y 2 − 6x + 4y − 3 = 0 5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos Comparando com a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia temos: que distam 2 unidades da reta de equa¸ca˜o x − y − 3 = 0. Esses pontos pertencem todos: −2xC = −6 =⇒ xC = 3 a) `as retas de equa¸co˜es −x + y + 5 = 0 ou −x + y + 1 = 0 b) ao 1o ou 4o quadrante. −2yC = 4 =⇒ yC = −2 √ c) `as retas de equa¸co˜es −x + y + 3 = ±2 2 2 2 2 2 2 2 xC + yC − R = −3 =⇒ 3 + (−2) + 3 = R d) `a circunferˆencia de equa¸ca˜o x2 + y 2 − 9 = 0 √ e) `as retas de equa¸ca˜o −x − y − 3/2 = 0 ou −x − y + 3/2 = 0 a que procuramos um valor R > 0. e ent˜ ao R = + 16 = 4, j´ Logo, C(3, 2) e R = 4.

Pense um Pouco!

Matem´ atica A

Aula 10

• De que elementos da circunferˆencia precisamos conhecer para escrever a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia? • Como podemos saber se um ponto dado est´ a dentro ou fora de uma dada circunferˆencia?

Circunferˆ encia - II Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Posi¸c˜ ao Relativa a uma Reta

1. Qual a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia com centro no ponto Uma reta l e uma circunferˆencia podem ocupar as seguintes C(2, 3) e que passa pelo ponto P (−1, 2)? posi¸co˜es relativas: a) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 10 b) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10 c) (x − 2)2 + (y − 10)2 = 15 Reta Secante d) (x − 2/3)2 + (y − 1)2 = 10 e) (x − 10)2 + (y − 2)2 = 3 A reta l intercepta a circunferˆ encia em dois pontos. 2. (PUC-RS) O ponto P (−3, b) pertence ` a circunferˆencia de centro C(0, 3) e raio R = 5. Quais s˜ ao os valores poss´ıveis de b? a) 14 e 20 b) -20 e 14 A c) 8 e 2 d) -7 e 1 e) 7 e -1 3. A circunferˆencia com centro na origem (0, 0) e que passa no ponto (−3, −4) tem equa¸ca˜o: a) (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5 b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 c) x2 + y 2 = −5 d) x2 − y 2 = 25 e) x2 + y 2 − 25 = 0

d C B f

Exerc´ıcios Complementares Nesse caso, a reta e a circunferˆencia s˜ ao secantes. Pode-se 4. (UFAL) Para a quest˜ ao utilize os seguintes dados: verificar, facilmente, que a distˆancia do centro C at´e a reta l reta r de equa¸ca˜o x − 2y + 2 = 0 ´e menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r. reta s de equa¸ca˜o 2x + y − 6 = 0 pontos A(−1, 3) e B(3, 0). Seja C o ponto de intersec¸ca˜o de r e s. A equa¸ca˜o da circunReta Tangente ferˆencia de centro C e raio de medida igual a AB ´e: a) x2 + y 2 − 4x + 4y + 17 = 0 b) x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0 A reta l intercepta a circunferˆ encia em apenas um c) x2 + y 2 − 4x − 4y − 17 = 0 ponto.

208

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Vamos calcular a distˆancia do centro de C at´e s e compar´ala com o raio de α. Da equa¸ca˜o da circunferˆencia temos que C(0, 0) e r = 1, e ent˜ ao: 1 · 0 + 1 · 0 − 4 d(C, s) = √ 12 + 12 C

√ 4 d(C, s) = √ = 2 2 2

d

Como d(C, s) > r, a reta s ´e exterior a α. A

Posi¸c˜ ao Relativa entre Circunferˆ encias l

Para determinar a posi¸ca˜o relativa entre duas circunferˆencias quaisquer de raios R1 e R2 , com centros C1 e C2 , respectivamente, determinamos a distˆancia d(C1 , C2 ) entre seus centros Nesse caso, a reta e a circunferˆencia s˜ ao tangentes. Pode-se e comparamos com R + R ou com |R − R |, e classificamos 1 2 1 2 verificar, facilmente, que a distˆancia do centro at´e a reta l ´e os seguintes casos: igual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r Circunferˆ encias Exteriores

Exterior

Quando d(C1 , C2 ) > (R1 + R2 ) as circunferˆencias s˜ ao exteriores.

A reta l n˜ ao-intercepta a circunferˆ encia.

α R1

β

C1

C2

d C

l

R2 d(C1 ,C2 ) > R + R 1

2

Circunferˆ encias Secantes Quando |R1 − R2 | < d(C1 , C2 ) < (R1 + R2 ) as circunferˆencias s˜ ao secantes. Nesse caso, a reta e a circunferˆencia s˜ ao n˜ ao-secantes ou exteriores. Pode-se verificar, facilmente, que a distˆancia do centro C at´e a reta l ´e maior que o raio r, ou seja, d(C, l) > r.

α β

R1 C´ alculo da Posi¸c˜ ao Pode-se determinar a posi¸ca˜o de uma reta em rela¸ca˜o a uma circunferˆencia calculando a distˆancia da reta ao centro da circunferˆencia. Assim, dadas a reta l definida pela equa¸ca˜o ax + by + c = 0 e a circunferˆencia α definida por (x − xC )2 + (y − yC )2 = r2 , com centro C(xC , yC ) e raio r, temos: axC + byC + c d(C, l) = √ a2 + b 2

C2

C1

R2 |R 1 − R | < d(C1 ,C2 ) < R1 + R2 2

Circunferˆ encias Tangentes E uma vez determinada essa distˆancia, fazemos a sua compara¸ca˜o com r e classificamos a posi¸ca˜o em um dos trˆes casos Quando d(C1 , C2 ) = |R1 − R2 | ou d(C1 , C2 ) = (R1 + R2 ) as vistos acima: secante, tangente ou exterior. circunferˆencias s˜ ao tangentes. Exemplo

Circunferˆ encias Internas

Vamos determinar a posi¸ca˜o relativa da reta s : x + y − 4 = 0 Quando 0 < d(C1 , C2 ) < |R1 − R2 | as circunferˆencias s˜ ao inem rela¸ca˜o `a circunferˆencia α : x2 + y 2 = 1. ternas.

´tica A – Aula 10 Matema

209

β

R1

β

C2

C2

C1

R2

R2

Exerc´ıcios Complementares

α

R1

α

C1

d(C1 ,C2 ) = |R1 − R2 |

d(C1 ,C2 ) = R 1 + R 2

(a)

(b)

Figura 3.1: Circunferˆencias tangentes exteriores (a) e interiores (b).

α

R1 C2 C1

R1

β

β

R2 d(C1 ,C 2 ) < |R 1 − R2 |

α

C1= C2 R2 d(C1 ,C2 ) = 0

(a)

(b)

Figura 3.2: Circunferˆencias internas (a) e concˆentricas (b).

Circunferˆ encias Concˆ entricas No caso especial em que d(C1 , C2 ) = 0 as circunferˆencias s˜ ao concˆ entricas.

Pense um Pouco! • De que elementos da circunferˆencia precisamos conhecer para escrever a equa¸ca˜o geral da circunferˆencia?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFSC) Determine o raio da circunferˆencia C1 , cujo centro ´e o ponto de intersec¸ca˜o da reta r de equa¸ca˜o x−y −1 = 0 com reta s de equa¸ca˜o 2x − y + 1 = 0, sabendo que C1 ´e tangente exteriormente `a circunferˆencia C2 de equa¸ca˜o x2 + y 2 − 12x − 6y − 4 = 0. a) 10 b) 2 c) 3 d) 6 e) 1 2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) ´e o ponto m´edio de uma corda AB da circunferˆencia (x − 1)2 + y 2 = 4, ent˜ ao a equa¸ca˜o da reta que cont´em A e B ´e dada por: a) y = 2x − 3 b) y = x − 1 c) y = −x + 3 d) y = (3/2)x − 2 e) y = −x/2 + 2

3. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e ´e perpendicular `a reta AB, onde A(0, 0) e B ´e o centro da circunferˆencia x2 + y 2 − 2x − 4y = 20. Ent˜ ao a equa¸ca˜o de s ´e: a) x − 2y = −6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y − x = 3 e) 2x + y = 6 4. (MACK-SP) Em rela¸ca˜o `a circunferˆencia (x−1)2 +(y−2)2 = 169, a reta 5x + 12y − 198 = 0 a) ´e secante b) ´e tangente c) ´e externa d) coincide com reta que cont´em o diˆametro e) n. d. a.

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´tica B – Aula 1 Matema

211

Matem´ atica B

Aula 1

Matrizes Uma tabela de n´ umeros dispostos em linhas e colunas, como por exemplo:   3 1 4 2  6 −5 0 −1  7 11 −3 5

´e chamada matriz. Se essa tabela ´e formada por m linhas e por n colunas, dizemos que a matriz ´e do tipo m por n, e indicamos m×n. No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; ent˜ ao, A ´e do tipo 3 × 4: A(3 × 4). De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por parˆenteses como na matriz A acima. Podemos tamb´em utilizar colchetes ou duplas barras.

Exemplos 1. B =



2. C = 3. D =



 2 1/2 −3 ´e uma matriz (2 × 3) 5 0 −1 1 4 ´e uma matriz de ordem 2 5 −1  −1 0 3 5 ´e uma matriz (1 × 4)

Nota¸ c˜ ao Geral Normalmente representamos as matrizes por letras mai´ usculas e seus elementos por letras min´ usculas, acompanhadas por dois ´ındices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do tipo m × n ´e representada por:   a11 a12 a13 · · · a1n  a21 a22 a23 · · · a2n      A =  a31 a32 a33 · · · a3n   .. .. .. ..   . . . ··· .  am1 am2 am3 · · · amn

ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 ´e o elemento da 3a linha e da 1a coluna.

Exemplo Na matriz: A= temos



2 −5

 a11    a12 a21    a22

6 0

=2 =6 = −5 =0



Tipos de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas caracter´ısticas. • Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, ´ nica linha. Por exemplo, a matriz A = com uma u 5 8 −2 3 , do tipo 1 × 4. • Matriz coluna : matriz do  tipo m  × 1, ou seja, com uma 3 u ´ nica coluna. Por exemplo,  −5 , do tipo 3 × 1. 2

• Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja, com o mesmo n´ umero de linhas e colunas; dizemos que a matriz ´e de ordem n. Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal. Os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secund´aria. Por exemplo, a matriz   7 −9 C= 2 4 ´e do tipo 2 × 2, isto ´e, quadrada de ordem 2. • Matriz nula: matriz em que los; ´e representada por 0m×n .  0 02×3 = 0 .

todos os elementos s˜ ao nuPor exemplo,  0 0 0 0

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que n˜ ao est˜ ao na diagonal principal s˜ ao nulos. Por exemplo:   4 0 0 B3×3 =  0 5 0  0 0 −3 . • Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal s˜ ao iguais a 1 e os demais s˜ ao nulos; ´e representada por In , sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:   1 0 0 I3 =  0 1 0  0 0 1 Para uma matriz identidade  aij = 1 se i = j aij = 0 se i 6= j

• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a matriz que se obt´em trocando ordenadamente as linhas pelas colunas chama-se transposta de A, e ´e indicada por At (ou por At ). Por exemplo     2 3 2 5 0 t   A = 5 −1 =⇒ A = 3 −1 6 0 6

• Matriz sim´ etrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo   3 5 6 A= 5 2 4  6 4 8 ´e sim´etrica pois temos aij = aji .

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• Matriz anti-sim´ etrica: Uma matriz quadrada A = [aij ] 6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz B = ´e anti-sim´etrica se At = −A. Por exemplo (bij )2×3 , em que bij = 2i + j − 1   0 3 4 A =  −3 0 −6  −4 6 0

Matem´ atica B

• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, se   3 0 A= 4 −1 ent˜ ao



−3 0 −4 1

Aula 2

Opera¸c˜ oes com Matrizes Adi¸ c˜ ao



Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m×n), somar A com B ´e obter a matriz A + B, do tipo m × n, onde cada elemento ´e a soma dos elementos de mesma posi¸ca˜o de A e B. Por exemplo: Igualdade de Matrizes     2 3 5 8 −7 3 Se A = eB= −1 4 −2 2 4 6 Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, s˜ ao iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posi¸ca˜o ent˜ ao s˜ ao iguais. Por exemplo, se       x y 8 −1 2+8 3−7 5+3 A= eB= A + B = z t 5 3 −1 + 2 4 + 4 −2 + 6 A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3.   10 −4 8 A+B = 1 8 4 −A =

Pense um Pouco!

Propriedades da Adi¸ c˜ ao

• Qual a rela¸ca˜o entre uma matriz A e sua oposta?

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as • No que a matriz anti-sim´etrica difere da matriz sim´etrica? seguintes propriedades para a adi¸ca˜o: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m×n d) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0 1. Escreva a matriz A(3 × 3) = [aij ], onde aij = i + 2j. t Determine, em seguida, A (a matriz transposta de A). 2. 

Escreva a matriz aij = 2i, se i = j aij = j − 10 se i = 6 j

A(2 × 2)

=

[aij ]

onde

3. (ACAFE) Seja A = B, onde     2 x +1 0 10 y − 2 eB= A= 4 4 logx 81 y 2 ent˜ ao os valores de x e y ser˜ ao, respectivamente: a) 2 e 3 b) ±2 e ±3 c) 3 e 2 d) −3 e −2 e) ±3 e ±2

Exerc´ıcios Complementares

Para entendermos a subtra¸ca˜o de matrizes devemos saber o que ´e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M ´e a matriz −M , cujos elementos s˜ ao os n´ umeros opostos de mesma posi¸ca˜o de M . Por exemplo:     2 −3 −2 3 M= =⇒ −M = −5 7 5 −7 Com a matriz oposta podemos definir a diferen¸ca de matrizes: A − B = A + (−B) ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a oposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima, temos:

A − B = A + (−B)    2 3 5 −8 7 −3 A−B = + −1 4 −2 −2 −4 −6 Logo,   tal que aij = i2 +2j −5, calcule −6 10 2 A−B = −3 0 −8

4. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determine x, y e z   2 y−1 4 tais que A = . x z 5 5. Dada a matriz A = (aij )3×3 a12 + a31 .

Subtra¸c˜ ao



´tica B – Aula 2 Matema

Multiplica¸c˜ ao por um N´ umero Real Multiplicar um n´ umero k por uma matriz A ´e obter a matriz kA, cujos elementos s˜ ao os elementos de A multiplicados, todos por k.     2 1 6 3 A =  4 −3  =⇒ 3A =  12 −9  −1 5 −3 15 Propriedades

213

Pense um Pouco! • Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais) ? • (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2 , B3×3 e C2×3 . A alternativa em que a express˜ ao ´e poss´ıvel de ser determinada ´e: a) B 2 · (A + C) b) (B · A) + C c) (C · B) + A d) (A · C) + B e) A · (B + C)

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y n´ umeros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x · (yA) = (xy) · A b) distributiva de um n´ umero real em rela¸ca˜o ` a adi¸ca˜o de ma- Exerc´ ıcios de Aplica¸c˜ ao trizes: x · (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em rela¸ca˜o ` a adi¸ca˜o de dois   1 2 n´ umeros reais: (x + y) · A = xA + yA 1. Sendo A = , determine sua inversa, se existir. −2 1 d) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A   1/5 −2/5 A= 2/5 1/5   Multiplica¸c˜ ao de Matrizes 0 1 2. (ACAFE) Dada a matriz A = , seja At a sua 2 −2 Dadas as matrizes A = (aik )m × n e B = (bik )m × p, define-se transposta. O produto A · At ´e a matriz: como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal que matriz   0 1 o elemento cij ´e a soma dos produtos da i-´esima linha de A a) 2 −2 pelos elementos correspondentes da j-´esima coluna de B.   0 2 b) Pp  1 −2  C = A · B ⇒ cij = k=1 (Aik · Bik ) 1 −2 c) −2 0   1 0 Observa¸ c˜ ao d)  2 1  1 −2 Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz e −2 8 B se o n´ umero de colunas de A ´e igual ao n´ umero de linhas de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto Considere as    matrizes  ´e dado pelo n´ umero de linhas de A e pelo n´ umero de colunas 3. (ACAFE) 1 2 x de B. Pode existir o produto de A por B, mas n˜ ao existir o A = ,B= e −2 −1 y produto de B por A.   6 C= . Sabendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| ´e: 9 Propriedades a) 15 Verificadas as condi¸co˜es de existˆencia para a multiplica¸ca˜o de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A · B) · C = A · (B · C) b) distributiva em rela¸ca˜o ` a adi¸ca˜o: A · (B + C) = A · B + A · C ou (A + B) · C = A · C + B · C c) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Geralmente a propriedade comutativa n˜ ao vale para a multiplica¸ca˜o de matrizes (A · B 6= B · A). N˜ ao vale tamb´em o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n n˜ ao implica, necessariamente, que A = 0m×n ou B = 0m×n .

Invers˜ ao de Matrizes

b) 1 c) 57 d) 9 e) 39

Exerc´ıcios Complementares 

1 4. Dadas as matrizes A =  3 5   2 −1 0 B= , calcule X 1 3 4

 0 2 e 4

= 2A − 3B t .

5. A matriz A = (aij )3×3 ´e definida, de tal forma que:

( i−j se i>j Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma i∗j se i=j aij = ′ ′ ′ matriz A , de mesma ordem, tal que A · A = A · A = In , ent˜ ao i + j se i < j A′ ´e matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa por A−1 . Determinar a matriz inversa de A.

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6. Dada a matriz

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Exemplo 

cos θ M =  sen θ 0

−sen θ cos θ 0

Calcule M · M t .



0 0  1

M = [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5

Determinante de 2a Ordem

7. (ITA-SP)   Considere P a matriz inversa da matriz M = 1/3 0 . A soma dos elementos da diagonal principal da 1/7 1 matriz P ´e: a) 94 b) 49 c) 4 d) 59 e) − 91 8. (UECE) Oproduto da inversa   da matriz  1 1 1 0 A= pela matriz I = ´e igual a: 1 2 0 1   −2 1 a)  −1 1  2 −1 b) 1 −1   −2 1 c)  1 −1  2 −1 d) −1 1

Matem´ atica B

 a11 a12 , de ordem 2, por defini¸ca˜o a21 a22 o determinante associado a M , determinante de 2a ordem, ´e dado por: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21

Dada a matriz M =



Determinante de 3a Ordem

Para o c´ alculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra pr´atica, conhecida como Regra de Sarrus, que s´ o se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33 1o passo: terceira:

Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da

Aula 3

Determinantes

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

Determinante ´e um n´ umero que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante ´e indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo s´ımbolo det.   a b Assim, se A = , o determinante de A ´e indicado por: c d 2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos elemen  a b a b tos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela detA = det = c d c d multiplica¸ca˜o dos elementos das paralelas a essa diagonal: O c´ alculo de um determinante ´e efetuado atrav´es de regras ´ importante resespec´ıficas que estudaremos mais adiante. E saltarmos alguns pontos: 1. Somente `as matrizes quadradas ´e que associamos determinantes. 2. O determinante n˜ ao representa o valor de uma matriz. Lembre-se, matriz ´e uma tabela, e n˜ ao h´ a significado falar em valor de uma tabela.

Determinante de 1a Ordem

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 multiplicar e somar

Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11 ], o seu determinante ´e o n´ umero real a11 : 3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secund´ aria com os dois produtos obtidos pela multidet M = |a11 | = a11 plica¸ca˜o dos elementos das paralelas a essa diagonal:

´tica B – Aula 3 Matema

215 Exemplo

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 multiplicar e subtrair

 a11 a12 a13 Considerando M =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 calcularemos o co-fator A23 . Temos que i = 2 e j = 3, logo: 2+3 A23 = (−1) · M C23 . Devemos calcular M C23 . a11 a12 = a11 a32 − a12 a31 M C 23 = a31 a32 

Assim A23 = (−1) · (a11 a32 − a12 a31 )

Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como: D

= −

(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )

Menor Complementar

Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-fatores. Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:

Pm Chamamos de menor complementar relativo a um elemento det M = i=1 aij Aij aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determiP nante M C ij , de ordem n − 1, associado ` a matriz obtida de M em que m e o somat´ orio de todos os termos de ´ındice i, i=1 ´ quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Por variando de 1 at´e m, m ∈ N. exemplo, dada a matriz Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de Laplace: 2 3 −4 de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo D = −2 1 2 ao elemento a11 (M C 11 ), eliminamos a linha 1 e a coluna 2: 0 5 6 a11 a12 Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, te a21 a22 ⇒ M C 11 = |a22 | = a22 1+1 1 2 2+1 3 −4 mos: D = 2(−1) 5 6 + (−2)(−1) 5 6 + De modo an´ alogo, para obtermos o menor complementar rela3+1 3 −4 0(−1) 1 2 tivo ao elemento a12 , eliminamos a linha 1 e a coluna 2: D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68 a11 a12 ⇒ M C 12 = |a21 | = a21 a21 a22 Observa¸ c˜ ao M=



a11 a21

a12 a22



Para um determinante de ordem 3, o processo de obten¸ca˜o do Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, menor complementar ´e o mesmo utilizado anteriormente, por obteremos o mesmo n´ umero real. exemplo, sendo 

a11 M =  a21 a31

a12 a22 a32

 a13 a23  a33

Propriedades dos determinantes

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) s˜ ao nulos, o determinante dessa matriz ´e nulo. P2 ) Se duas filas de uma matriz s˜ ao iguais, ent˜ ao seu determide ordem 3, temos: nante ´e nulo. P3 ) Se duas filas paralelas de uma matriz s˜ ao proporcionais, a a23 ent˜ a o seu determinante ´ e nulo. M C 11 = 22 = a a − a a 22 33 23 32 a32 a33 P4 ) Se os elementos de uma matriz s˜ ao combina¸co˜es lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, ent˜ ao seu determinante ´ e nulo. Co-fator P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz n˜ ao Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matriz qua- se altera quando somamos aos elementos de uma fila, uma combina¸ca˜o linear dos elementos correspondentes de filas padrada o n´ umero Aij tal que ralelas. P6 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta s˜ ao i+j Aij = (−1) · M Cij iguais.

216

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P7 ) Multiplicando-se por um n´ umero real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse n´ umero. P8 ) Quando trocamos as posi¸co˜es de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. P9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal s˜ ao todos nulos, o determinante ´e igual ao produto dos elementos dessa diagonal. P10 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secund´aria s˜ ao todos nulos, o determinante ´e igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por

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a) k = 64 b) k = 96 c) k = 41 d) k = 32 e) k = 4

6. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A = 2 1 3 1 2 2 ´e: 0 1 2 a) 2 n(n−1) b) 1 (−1) 2 . P11 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, c) −1 det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 = d) −2 e) 3 1/det A. P12 ) Se k ∈ R, ent˜ ao det (k · A) = k n · det A.

7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, apresentada abaixo, cujo determinante ´e igual a 0, 75.

Pense um Pouco! • Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas?



sen x A= 0 2

0 −1 sen x

 1 2  0

Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tg x.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao log2 8 1. (ACAFE) O valor do determinante −1/2 4 a) 0 b) 4 c) 7 d) 17 2 e) 53 2

log10 ´e: 2 31

Matem´ atica B

Aula 4

Sistemas Lineares

c˜ ao Linear 2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A = Equa¸ (aij ) com aij = i2 − j 2 e B = (bij ) com bij = aij − 3 se i > j, Chamamos de equa¸ca˜o linear toda equa¸ca˜o da forma: e bij = aij + 3 se i ≤ j. Determine: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b a) a matriz A b) a matriz B onde a1 , a2 , a3 , . . ., an s˜ ao n´ umeros reais, que recebem o c) a matriz A · B nome de coeficientes das inc´ o gnitas x1 , x2 , x3 , . . ., xn , e b ´e d) o determinante da matriz A · B um n´ umero real chamado termo independente (quando b = 0, 3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2 , onde aij = a equa¸ca˜o recebe o nome de linear homogˆenea). n −1 se i≥j i+j se i0 r 0 a1 > 0 a1 < 0 a1 < 0 ∀a1 ∈ R a1 = 0

r r>1 r1 r 0 a) 2x − 1 > 0 =⇒ x > 1/2 b) x + 4 > 0 =⇒ x > −4 a) e b) simultaneamente nos d´ a que a solu¸ca˜o ´e x > 1/2

Inequa¸c˜ oes do Primeiro Grau

Relacionadas com as equa¸co˜es de 1o grau, temos as desigualdades de primeiro grau (ou inequa¸co˜es), que s˜ ao express˜ oes maSa tem´ aticas em que os termos est˜ ao ligados por um dos quatro x 0 1/2 < > ≤ ≥ Sb sinais: x menor maior menor ou igual maior ou igual 0 −4 Sa Sb Nas inequa¸co˜es, deseja-se obter um conjunto de todas os x 0 1/2 poss´ıveis valores que pode assumir uma ou mais inc´ ognitas na equa¸ca˜o. 2a ) 2x − 1 < 0 e x + 4 < 0 Uma propriedade importante das inequa¸co˜es ´e: a) 2x − 1 < 0 =⇒ x < 1/2 a > b ⇐⇒ −a < −b b) x + 4 < 0 =⇒ x < −4 a) e b) simultaneamente nos d´ a que a solu¸ca˜o ´e x < −4 Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um n´ umero negativo ”inverte-se o sentido”da desigualdade. S´a

Exemplo Resolvido Encontrar todos os valores de x tais que 3x + 6 > 5x − 4. Resolu¸ca˜o: 3x + 6 > 5x − 4 3x − 5x > −4 − 6

0 1/2

x

−4

0

x

−4

0

x

S´b S´a

S´b

Portanto o conjunto solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o ´e a uni˜ao das solu¸co˜es obtidas: 1 } 2 Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguinte quadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas o sinal de cada um dos fatores e na u ´ ltima linha, o sinal do produto: S = {x ∈ R | x < −4 ou x >

−2x > −10 e multiplicando-se por −1 2x < 10 finalmente x 0 f (x) ÷ g(x) < 0 Inequa¸c˜ ao-Produto f (x) ÷ g(x) ≥ 0 f (x) ÷ g(x) ≤ 0 Sendo f (x) e g(x) duas fun¸co˜es da vari´ avel x, as inequa¸co˜es: s˜ ao denominadas inequa¸ co ˜es-quociente. f (x) · g(x) > 0 Notando que as regras de sinais do produto e do quociente f (x) · g(x) < 0 para n´ u meros reais, s˜ a o an´ a logas, por exemplo: f (x) · g(x) ≥ 0 S = {x ∈ R | /x < 5}

f (x) · g(x) ≤ 0 s˜ ao denominadas inequa¸ co ˜es-produto. Exerc´ıcio Resolvido

f (x) > 0 ⇐⇒ f (x) · g(x) > 0 g(x) f (x) ≥⇐⇒ f (x) · g(x) ≥ 0 g(x)

Resolver a inequa¸ca˜o: (2x − 1)(x + 4) > 0 esta u ´ ltima para g(x) 6= 0 Resolu¸ca˜o: Isso significa que, na resolu¸ca˜o de uma inequa¸ca˜o-quociente, Para resolver essa inequa¸ca˜o, vamos analisar as duas possibi- podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na inequa¸ca˜o-produto. lidades em que (2x − 1)(x + 4) > 0, ou seja:

248

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Exerc´ıcio Resolvido

—

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Y

Resolva a inequa¸ca˜o: (x + 3)(1 − x) ≥0 (x − 2)

2

Resolu¸ca˜o: Vamos chamar de f (x) = x + 3, g(x) = 1 − x e h(x) = x − 2 e analisar os sinais individuais de cada fun¸ca˜o:

f(x) g(x)

x

1

h(x) f(x)g(x) h(x)

−3

1

2

x

2

x

X

Como devemos ter y > 0, os valores de x s˜ ao: S = {x ∈ R | 2 < x < 3}. 2. Resolva o sistema de inequa¸co˜es do 2o grau.

x

−3

3



2x2 − 18 < 0 −x2 + 5x − 4 ≥ 0

Resolu¸ca˜o: Para resolvermos o sistema de inequa¸co˜es acima, vamos analisar cada uma das inequa¸co˜es, separadamente. Assim: a) 2x2 − 18 < 0 Inequa¸c˜ oes do Segundo Grau Temos a = 2 e ∆ = 0 − 4 · 2 · (−18) = 144 > 0, e as ra´ızes: x′ = +3 e x′′ = −3. 2 2 2 As desigualdades ax +bx+c > 0, ax +bx+c < 0, ax +bx+c ≤ 0 e ax2 + bx + c ≥ 0, com a 6= 0 s˜ ao chamadas inequa¸co˜es do Sa = {x ∈ R | − 3 < x < 3}. b) −x2 + 5x − 4 ≥ 0 segundo grau. Para resolvermos essas inequa¸co˜es, devemos estudar a varia¸ca˜o Neste caso a = −1 e ∆ = 5 − 4 · (−1) · (−4) = 9 > 0, com ra´ızes: x′ = +1 e x” = +4 dos sinais das imagens da fun¸ca˜o do segundo grau. Seja a fun¸ca˜o f : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, com Sb = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}. c) Finalmente, a solu¸ca˜o geral do sistema ´e obtida pela intera 6= 0. Seu gr´ afico ´e uma par´ abola que se comporta conforme a tabela sec¸ca˜o dos intervalos-solu¸ca˜o obtidos: S = Sa ∩ §b = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3}. abaixo: de onde S = {x ∈ R | x < −3 ou 1 ≤ x < 2}.

∆>0

∆=0

Inequa¸c˜ oes Exponenciais

∆0 x

x

x

3x > 81

x

x

x

52x − 6 · 5x + 5 < 0 2

8x ≤ 16

a 0, a fun¸ca˜o exponencial f (x) = ax ´e crescente, isto ´e: Exerc´ıcios Resolvidos 1. Resolva a inequa¸ca˜o do 2o grau: −x2 + 5x − 6 > 0 Resolu¸ca˜o: Para resolver a inequa¸ca˜o acima, devemos determinar os valores de x para os quais a fun¸ca˜o f (x) = −x2 + 5x − 6 tem imagens positivas (y > 0), isto ´e, estudar o sinal da fun¸ca˜o. Como a = −1 e ∆ = (+5) − 4 · (−1) · 6 = +1 > 0 e as ra´ızes de f (x) s˜ ao: x′ = 2 e x′′ = 3 temos o gr´ afico:

ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 > x2 • Quando 0 < a < 1, a fun¸ca˜o exponencial f (x) = ax ´e decrescente, isto ´e: ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 < x2

´tica C – Aula 11 Matema

249

Pense um Pouco!

Exerc´ıcios Resolvidos

Resolva as equa¸co˜es exponenciais: ´ poss´ıvel se ter um sistema de inequa¸co˜es cujo conjunto • E a) 4x > 1/4 solu¸ca˜o seja ∅? Explique. Resolu¸ca˜o: Devemos procurar obter desigualdades de potˆencias de mesma Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao base. 1 x x − 4 > ⇐⇒ 4 > 4 1 4 1. A solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o (2x + 3)/(x + 2) ≥ 1 ´e: Como a base ´e maior do que 1, vem: a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} b) S = {x ∈ R | 1 ≤ x < 2} x > −1 c) S = {x ∈ R | x < −3 ou x > 2} d) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1} e e) n. d. a. S = {x ∈ R | x > −1} 2) O conjunto solu¸ca˜o do sistema de inequa¸co˜es b) (1/2)2x < (1/2)3x−1  2 x − 5x + 6 ≤ 0 Resolu¸ca˜o: 2x2 − 8x > 0 Como a base est´ a compreendida entre 0 e 1, temos que ter: ´e: f) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} g) S = {x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 ≤ x ≤ 2} h) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 < x < 2} i) S = {x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 < x < 2} j) n. d. a.

2x > 3x − 1 −x > −1 e ent˜ ao x 0, valem as seguintes propriedades: 1. |x| > a ⇐⇒ x < −a ou x > a

−a

0

x

a

3. Resolvendo, em R, a inequa¸ca˜o: x − 4 5x − 1 3 − ≤ 3 4 4

2. |x| < a ⇐⇒ −a < x < a

−a

2. (VUNESP) Quantos n´ umeros inteiros satisfazem a inequa¸ca˜o: x2 − 6x + 8 < 0 a) nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

0

a

x

Exerc´ıcio Resolvido Resolva a inequa¸ca˜o: |3x − 4| < 2 Resolu¸ca˜o: De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos:

temos que: a) S = {x ∈ R | x < −2} b) S = {x ∈ R | x > −2} c) S = {x ∈ R | x ≤ −2} d) S = {x ∈ R | x ≥ −2} e) n. d. a. 4. A solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o: 2x + 3 ≥1 x+2

ou seja, temos de resolver o sistema de inequa¸co˜es  −2 < 3x − 4 ⇒ x > 2/3 3x − 4 < 2 ⇒ x < 2

´e: a) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1} b) S = {x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1} c) S = {x ∈ R | x > −2 ou x > 2} d) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2} e) n.d.a

Fazendo a intersec¸ca˜o dos intervalos de solu¸ca˜o, vem:

5. Resolvendo a inequa¸ca˜o

|3x − 4| < 2 ⇒ −2 < 3x − 4 < 2

S = {x ∈ R |

2 < x < 2} 3

(2 − 5x)(x + 1) ≤0 (−x + 3)

250

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

temos que: a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2} b) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1} c) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2} d) S = {x ∈ R | x < −3 ou − 1 ≤ x ≤ 2/5} e) n. d. a.

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Equa¸ co ˜es Envolvendo sen α

Y

6. Ao resolver

sen θ

1

π−θ

x − 2 x + 3 < 1

1

X

Se dois arcos trigonom´etricos x e α tˆem senos iguais, ent˜ ao:

7. Qual a solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o abaixo:

sen x = sen α ⇐⇒

 x2 −5x+1   1 1 ≥ 2 2

com k ∈ N

 

x = α ± 2kπ ou  x = π − α ± 2kπ

Equa¸ co ˜es Envolvendo cos α

− 5 < x ≤ 0} − 5 ≤ x ≤ 0} − 5 ≤ x ≤ 0} − 5 < x < 0}

Matem´ atica C

θ 0

obtemos: a) S = {x ∈ R | x > 2} b) S = {x ∈ R | x < −2} c) S = {x ∈ R | x > −1/2} d) S = {x ∈ R | x ≤ −2} e) n. d. a.

a) S = {x ∈ R | b) S = {x ∈ R | c) S = {x ∈ R | d) S = {x ∈ R | e) n. d. a.

—

cos θ

Y 1

Aula 12

0

θ −θ

1

X

2π − θ = −θ

Equa¸c˜ oes Trigonom´ etricas ao: S˜ ao equa¸co˜es que envolvem pelo menos uma fun¸ca˜o trigo- Se dois arcos trigonom´etricos x e α tˆem cossenos iguais, ent˜ nom´etrica operando em alguma de suas vari´ aveis. Por exemcos x = cos α ⇐⇒ x = ±α ± 2kπ plo, cos θ = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o ˆangulo θ. com k ∈ N

Tipos Fundamentais

Equa¸ co ˜es Envolvendo tan α Se dois arcos trigonom´etricos x e α tˆem tangentes iguais, ent˜ ao:

Existem trˆes tipos de equa¸co˜es trigonom´etricas fundamentais. S˜ ao elas: a) sen x = sen α b) cos x = cos α c) tan x = tan α Equa¸co˜es de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessas fundamentais. Vejamos como resolver cada uma delas.

tan x = tan α ⇐⇒ x = α ± kπ com k ∈ N As equa¸co˜es a seguir tˆem suas solu¸co˜es mais facilmente obtidas pela representa¸ca˜o dos seus valores na circunferˆencia trigonom´etrica.

´tica C – Aula 12 Matema

251

Exemplos Resolvidos

cos x = 1/2

sen x = −1

Como o cosseno de π/3 ´e igual a 1/2, temos a solu¸ca˜o geral x = π/3 ± kπ k ∈ N

Como o seno de 3π/2 ´e igual a −1, temos a solu¸ca˜o geral x=

3π ± 2kπ k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x =

3π ± 2kπ, k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x = π/3 ± kπ, k ∈ N Exerc´ıcios Resolva em R as equa¸co˜es: 1) sen3x − senx = 0

sen x = 0 Como o seno de 0 ´e igual a 0, temos a solu¸ca˜o geral x = ±π k ∈ N logo

2) cos x =

√ 3 2

3) tan x =

√ 3 3

S = {x ∈ R | x = ±kπ, k ∈ N sen x = 1 Como o seno de π/2 ´e igual a 1, temos a solu¸ca˜o geral x=

π ± 2kπ k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x =

π ± 2kπ, k ∈ N 2

cos x = −1 Como o cosseno de π ´e igual a −1, temos a solu¸ca˜o geral x = π ± kπ k ∈ N logo S = {x ∈ R | x = π ± kπ, k ∈ N cos x = 0 Como o cosseno de π/2 ´e igual a 0, temos a solu¸ca˜o geral x=

π ± kπ k ∈ N 2

logo S = {x ∈ R | x =

π ± kπ, k ∈ N 2

cos x = 1 Como o cosseno de 0 ´e igual a 1, temos a solu¸ca˜o geral x = 2kπ k ∈ N logo S = {x ∈ R | x = 2kπ, k ∈ N

Pense um Pouco! • Existe solu¸ca˜o real para a equa¸ca˜o cos x = 2 ?

Exerc´ıcios Complementares 1. A solu¸ca˜o da equa¸ca˜o cos(2x) − cos(x − π) = 0, ´e: a) {x ∈ R | x = −π + 2kπ ou x = π/3 + 2kπ/3, kZ} b) {x ∈ R | x = −π + kπ ou x = +k, kZ} c) {x ∈ R | x = π + 2kπ ou x = +k, kZ} d) {x ∈ R | x = −π + kπ ou x = +k, kZ} e) n. d. a. 2. Resolvendo sen 2x + sen x = 0, obtemos: a) S = {x ∈ R | x = (π/2) + kπ, ; k ∈ Z} b) S = {x ∈ R | x = (3π/2) + kπ, ; k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = (−π/2) + 2kπ, ; k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = (π) + 2kπ, ; k ∈ Z} e) n. d. a. 3) O conjunto solu¸ca˜o da equa¸ca˜o cos x − cos(π/4) = 0 ´e: f) S = {x ∈ R | x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Z}

252

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

g) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z} h) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Z} i) S = {x ∈ R | x = ±π/2 + 2kπ, k ∈ Z} j) n. d. a. √ 3. A equa¸ca˜o trigonom´etrica 3 tan x − 3 = 0 , tem solu¸ca˜o: a) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + kπ, k ∈ Z} b) S = {x ∈ R | x = ±3π/2 + 2kπ, k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = ±π/4 + kπ, k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z} e) n. d. a. 4. Resolva a equa¸ca˜o cos(x − π/2) = cos(π/2) em R: a) S = {x ∈ R | x = π/4 + kπ, k ∈ Z} b) S = {x ∈ R | x = π/3 + kπ, k ∈ Z} c) S = {x ∈ R | x = 2π/3 + kπ, k ∈ Z} d) S = {x ∈ R | x = π/2 + kπ, k ∈ Z} e) n. d. a.

Matem´ atica C

—

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r A

• segmento de reta ´e a por¸ca˜o de uma reta entre dois pontos n˜ ao coincidentes A e B. r B A

• trˆes pontos n˜ ao co-lineares definem um plano.

Aula 13 s

r

C B A

Introdu¸ c˜ ao ` a Geometria A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo subconjunto, n˜ ao vazio, de pontos do plano. Quando dizemos que S ´e uma figura plana, estamos afirmando que S est´ a totalmente contida num plano. Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos n˜ ao definidos, dos quais temos a intui¸ca˜o clara e, um sistema de axiomas ou postulados, que s˜ ao proposi¸co˜es n˜ao demonstradas, aceitas intuitivamente, que d˜ ao caracter´ısticas aos elementos n˜ ao definidos.

Entes Geom´ etricos Fundamentais Ponto, reta e plano: s˜ ao id´eias primitivas, entes que n˜ ao possuem defini¸ca˜o.

α

Propriedades Gerais • por um ponto passam infinitas retas; • por dois pontos passa uma s´ o reta; • por dois pontos passam infinitos planos; • por trˆes pontos n˜ ao co-lineares passa um s´ o plano; • o plano ´e infinito e ilimitado;

Representa¸c˜ ao

• por uma reta passam infinitos planos;

Por conven¸ca˜o, usaremos a seguinte nomenclatura geral para - pontos: A, B ,C, . . . - retas: r, s, t, . . . - planos: α, β, γ, . . .

• toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regi˜oes chamadas semi-planos; • um plano divide o espa¸co em dois semi-espa¸cos;

Defini¸ c˜ oes • A reta ´e infinita, ou seja, cont´em infinitos pontos, e n˜ ao possui in´ıcio nem fim.

ˆ Angulo Plano Defini¸ c˜ ao ´ a uni˜ E ao de duas semi-retas de mesma origem.

r

A

• Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em dois conjuntos, chamados semi-retas. O ponto A ´e origem das semi-retas e pertence a ambas.

θ O

B

´tica C – Aula 13 Matema

253 ˆ Angulos Opostos pelo V´ ertice

Regi˜ ao Angular

´ a uni˜ ao opostos pelo v´ ertice quando os lados de E ao do conjunto dos pontos interiores com o conjunto Dois ˆangulos s˜ [ um s˜ ao semi-retas opostas aos lados do outro. dos pontos do ˆangulo. Indica-se por AOC. r

A

E ponto exterior

θ

α

ponto interior

I

α

s

O

B

O

Dois ˆangulos opostos pelo v´ertice s˜ ao congruentes. ˆ Angulos Adjacentes ˆ Angulo Raso Dois ˆ angulos s˜ ao adjacentes, quando possuem mesma origem e um lado em comum. Define-se um ˆ angulo raso quando os trˆes pontos A, O e B pertencem `a mesma reta. Por defini¸ca˜o o ˆangulo plano mede 180◦ . C

α

o

β = 180

B

O

β

O

A

ˆ Angulo Reto Chama-se de ˆ angulo reto o ˆangulo obtido pela bissec¸ca˜o de um ˆangulo plano. O ˆangulo reto mede 90◦ .

ˆ Angulos Congruentes Dois ˆ angulos s˜ ao congruentes quando possuem mesma medida, ou seja, s˜ ao coincidentes.

o

β = 90

.

O

C

α

O´ C´ B

α´ =α

O

B´

ˆ Angulo Agudo ˆ Angulo agudo ´e aquele cuja medida ´e menor que 90◦ .

Bissetriz

α

´ a semi-reta de origem no v´ertice do ˆ E angulo, que o divide em dois ˆangulos congruentes.

O

ˆ Angulo Obtuso C

ˆ Angulo obtuso ´e aquele cuja medida ´e maior que 90◦ .

α O

B

β A

β [ ≡ BOC \ Neste caso AOC

O

254

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

ˆ Angulos Complementares

—

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Pol´ıgonos

c˜ ao: Consideremos, num mesmo plano, N ≥ Dois ˆ angulos s˜ ao complementares, quando a soma de suas Defini¸ 3 pontos A1 , A2 , A3 , . . . , AN , ordenados de modo que trˆes medidas ´e um ˆangulo reto (90◦ ). consecutivos n˜ ao sejam colineares. Chama-se pol´ıgono A1 , A2 , A3 , . . . , AN , A1 `a figura formada pela uni˜ao dos N segmentos consecutivos entre os pontos: A2

θ = 90 ο − β

A1 A3

β

.

A5

O

A4

Regi˜ ao Poligonal

ˆ Angulos Suplementares Dois ˆ angulos s˜ ao suplementares, quando a soma de suas medidas ´e um ˆangulo raso (180◦ ). Exerc´ıcios 1. Qual ´e o ˆangulo que mede o dobro do seu complemento?

´ a regi˜ao do plano formada pela uni˜ao dos pontos do pol´ıgono E com os pontos do seu interior. Define-se que uma regi˜ao do plano ´e convexa quando quaisquer dois pontos dessa regi˜ao puderem ser unidas por segmentos de retas cujos infinitos pontos perten¸cam `a essa regi˜ao. Se essa condi¸ca˜o falhar, diz-se que a regi˜ao ´e cˆ oncava. Se a regi˜ao poligonal for convexa, o pol´ıgono ser´ a denominado pol´ıgono convexo.

2. Qual o valor de α na figura abaixo? D C

2α+10

o

Se a regi˜ao poligonal for cˆ oncava, o pol´ıgono ser´ a denominado pol´ıgono cˆ oncavo.

o

a+20 O

D C

3. Determine a medida do ˆ angulo β na figura: Classifica¸ c˜ ao

r o

3β+10 s o

6β−20

O

Pol´ıgono Eq¨ uil´ atero ´ o pol´ıgono que tem todos os lados congruentes: E Exemplos: losango, quadrado, etc... Pol´ıgono Eq¨ uiˆ angulo ´ E o pol´ıgono que tem todos os ˆangulos internos congruentes. Exemplos: retˆ angulo, quadrado, etc,... Pol´ıgono Regular ´ o pol´ıgono eq¨ E uil´ atero e eq¨ uiˆangulo simultaneamente. Exemplo: quadrado.

´tica C – Aula 13 Matema

3

4

255

5

6

R

7

11

8

12

9

10

13

14

C

Comprimento da Circunferˆ encia 15

20

25

O comprimento de uma circunferˆencia, ou per´ımetro ´e dado por L = 2πR

30

C´ırculo Nomenclatura De acordo com o n´ umero Nome N´ umero de Lados Triˆ angulo 3 lados Quadril´ atero 4 lados Pent´ agono 5 lados Hex´ agono 6 lados Hept´ agono 7 lados Oct´ogono 8 lados Ene´ agono 9 lados Dec´ agono 10 lados Undec´ agono 11 lados Dodec´agono 12 lados Pentadec´agono 15 lados Icos´ agono 20 lados

de

lados,

´ a regi˜ao limitada pela circunferˆencia, ou seja, ´e a uni˜ E ao do temos: conjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentes `a circunferˆencia. ´ Area do C´ırculo A ´area A de um c´ırculo ´e dada por A = πR2

Pense um Pouco! • Arquimedes considerava que a circunferˆencia poderia ser definida como um pol´ıgono regular com um grande n´ umero de lados (muito pequenos). O que vocˆe acha disso?

N´ umero de Diagonais Chama-se diagonal de um pol´ıgono a todo segmento de reta cujas extremidades s˜ ao v´ertices n˜ ao consecutivos. O n´ umero de diagonais D de um pol´ıgono convexo de N lados (N ≥ 3) ´e dado por: N (N − 3) D= 2 ˆ Soma dos Angulos

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Qual o n´ umero de diagonais do icos´agono? a) 150 b) 110 c) 210 d) 170 e) n. d. a.

2. Qual o n´ umero de lados de um pol´ıgono que possui 14 Em todo pol´ıgono convexo de N lados (N ≥ 3), sendo Si a diagonais? soma dos ˆangulos internos e Se a soma dos ˆ angulos externos a) 5 tem-se: b) 7 Si = (N − 2) · 180◦ c) 9 d) 11 e e) n. d. a. Se = 360◦ 3. Determine a ´area do c´ırculo limitado pela circunferˆencia cujo comprimento ´e de 10π cm. a) 25π cm2 Circunferˆ encia b) 16π cm2 Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distˆancia R n˜ ao c) 49π cm2 nula (raio), chama-se circunferˆencia o conjunto dos pontos do d) 36π cm2 plano que distam R do ponto C. e) n. d. a.

256

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Exerc´ıcios Complementares

—

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Triˆ angulos

c˜ ao 4. (FEI) Num pol´ıgono regular, o n´ umero de diagonais ´e o tri- Defini¸ plo do n´ umero de lados. A quantidade de lados desse pol´ıgono Dados trˆes pontos n˜ ao colineares A, B e C, chama-se triˆ angulo ´e: a uni˜ao dos trˆes segmentos AB, AC, BC. a) 7 b) 8 ∆ABC = AB + AC + BC c) 9 d) 10 Elementos do Triˆ angulo e) 11 5. (MACK) A soma dos ˆ angulos internos de um hept´ agono convexo ´e igual a: a) 540◦ b) 720◦ c) 900◦ d) 1.080◦ e) 1.260◦

• V´ertices: A,B e C; • Lados: AB, AC e BC; ˆ • Angulos internos: α, β e γ; ˆ • Angulos externos: s˜ ao os ˆangulos suplementares aos internos. Na figura, para o ˆangulo interno γ, por exemplo, γex. ´e o ˆangulo externo.

6. Num pol´ıgono convexo, a soma dos ˆ angulos internos ´e cinco vezes a soma dos ˆangulos externos. Calcule o n´ umero de diaClassifica¸c˜ ao gonais desse pol´ıgono. a) 35 Quanto aos Lados b) 44 c) 54 Eq¨ uil´ atero d) 90 Possui os trˆes lados iguais. e) n. d. a. 7. Dois ˆangulos s˜ ao complementares, sendo que um ´e o qu´ıntuplo do outro. Qual o valor do menor desses ˆ angulos: a) 10◦ b) 12◦ c) 17◦ d) 20◦ e) n. d. a.

B

8 cm

A

h

m a

8. Qual ´e o ˆangulo cujo suplemento ´e o triplo do seu complemento: a) 35◦ b) 45◦ Is´ oceles c) 60◦ Possui dois lados iguais. d) 15◦ e) n. d. a. 9. Cada um dos ˆangulos externos de um pol´ıgono regular mede 15◦ . Qual o n´ umero de diagonais desse pol´ıgono? a) 170 b) 252 c) 90 d) 144 e) n. d. a. 10. Cada um dos ˆangulos internos de um pol´ıgono regular Escaleno mede 150◦ . Qual ´e o pol´ıgono? Possui os trˆes lados diferentes. a) oct´ogono b) dec´ agono c) dodec´ agono d) icos´ agono e) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 14

6 cm

n C

´tica C – Aula 14 Matema

257

ˆ Quanto aos Angulos Retˆ angulo Possui um ˆangulo reto.

γ = α+β

α

β

Triˆ angulo Retˆ angulo Elementos Observe a figura abaixo: A

Obtusˆ angulo Possui um ˆangulo obtuso, ou seja, maior do que um ˆangulo reto.

c b

h

m

n

C

ο α > 90

B

a

Nesse triˆ angulo ABC, retˆ angulo em A, temos: • A, B, e C s˜ ao v´ertices;

Acutˆ angulo Possui todos os ˆangulos agudos, ou seja, menor do que um angulo reto. ˆ

• a ´e a hipotenusa (lado oposto ao ˆangulo reto); • b e c s˜ ao catetos; • h ´e a altura relativa `a hipotenusa; • m e n s˜ ao as proje¸co˜es dos catetos b e c sobre a base (hipotenusa), respectivamente. Rela¸ co ˜es M´ etricas As rela¸co˜es entre essas medidas s˜ ao chamadas de rela¸ co ˜es m´ etricas nos triˆ angulos retˆ angulos. As principais s˜ ao:

Observa¸ co ˜es 1. Se o ∆ABC ´e is´ oceles, ent˜ ao os ˆ angulos da base s˜ ao congruentes; 2. Se o ∆ABC ´e eq¨ uil´ atero, ent˜ ao os trˆes ˆ angulos internos s˜ ao congruentes.

a2

=

b 2 + c2

h2 a

= =

mn m+n

b2 ah

= =

am bc

c2

=

an

Triˆ angulos Quaisquer Propriedades

Lei dos Senos 1. existˆencia de triˆ angulo: para existir o triˆ angulo, cada um angulo qualquer, as medidas dos lados s˜ ao proporciodos trˆes lados deve ser menor do que a soma dos outros Num triˆ nais aos senos dos ˆangulos opostos.Isto ´e: dois; 2. soma dos ˆangulos internos: a soma dos ˆ angulos internos de qualquer triˆ angulo ´e 180◦, ou dois ˆ angulos retos;

a sen Aˆ

=

b ˆ sen B

=

c sen Cˆ

3. soma dos ˆangulos externos: em qualquer triˆ angulo, cada Exemplo Resolvido angulo abaixo: angulo externo ´e igual ` ˆ a soma dos internos n˜ ao adjacentes. Determine o valor de a, no triˆ

258

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

o

a

c=2,0 cm

60

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a) da hipotenusa;

B 75

—

b) da altura relativa `a hipotenusa;

o

A

Resolu¸ca˜o: ˆ + Cˆ = 180◦ , A = 60◦ e B = 75◦ , segue que Como Aˆ + B ◦ ˆ = 45◦ . Ent˜ C = 180 − Aˆ − B ao: a c a 2, 0 cm = ⇒ = sen 60◦ sen 45◦ sen Aˆ sen Cˆ √ 1/2 a = (2, 0 cm) √ = (2, 0 cm)/ 2 = 1, 4 cm 2/2

c) das proje¸co˜es dos catetos sobre a hipotenusa.

Lei dos Cossenos Num triˆ angulo qualquer, o quadrado da medida de um lado ´e igual ` a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ˆangulo formado entre eles. Por exemplo, para ˆ temos: o lado a, oposto ao ˆangulo A,

Pense um Pouco! • Como podemos obter quatro triˆ angulos eq¨ uil´ ateros, usando apenas seis palitos de f´osforo?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

a2 = b2 + c2 − 2bc cos Aˆ

Exemplo Resolvido 1. Determine a medida do menor cateto de um triˆ angulo Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem retˆ angulo, cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa `a ◦ √ 10 cm e 5 cm, e formam um ˆ angulo de 60 entre si. 3 cm. hipotenusa mede 2 √ a) 2√ 7 cm 10 cm A B b) √21 cm o 60 c) 3 √7 cm x d) 2 21 cm 5 cm e) n. d. a. D

2. Qual a altura relativa `a hipotenusa, de um triˆ angulo retˆ angulo is´ o celes, cujos catetos medem x. √ a) x √2 Resolu¸ca˜o: Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos ao b) x √2/2 c) 2x√ 2 triˆ angulo ABC: d) x 2/3 x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 − 2(10 cm)(5 cm) cos 60◦ e) n. d. a. C

x2 = (100 + 25 − 100 · (1/2)) cm2 √ √ x = 175 cm2 = 5 7 cm

3. Determine a diagonal de um retˆ angulo cuja ´area mede 2.700√ m2 , sabendo que o comprimento ´e o triplo da largura. a) 45 √2 m b) 30√ 2 m Exerc´ıcios c) 20 √10 m 1) No triˆ angulo ∆ABC, retˆ angulo em A, sabe-se que os catetos d) 30 10 m b e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente. Calcule o valor e) n. d. a. das medidas: 4. Calcule a altura de um triˆ angulo eq¨ uil´ atero cujos lados B

8 cm

A

h

m

6 cm

a n C

medem √ a. a) a √2/3 b) a√ 3/4 c) a √3/3 d) a 2/2 e) n. d. a. 5. Um triˆ angulo cujos lados menores medem 5 m e 12 m ´e retˆ angulo se, e somente se, o terceiro lado medir:

´tica C – Aula 15 Matema

259

a) 13 m b) 14 m c) 15 m d) 16 m e) n. d. a.

Paralelogramo Quadril´ atero com lados opostos paralelos e congruentes (iguais), dois a dois.

6. Um triˆ angulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm, formando um ˆangulo 30◦ . Qual a medida do outro lado, em cm? √ a) √19 b) √ 13 c) √11 d) 7 e) n. d. a.

D

C

A

B

7. A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de \ = 45◦ e, do ponto A, mediu-se o Propriedades B, mediu-se o ˆangulo ACB ◦ \ angulo BAC = 30 . Qual ser´ ˆ a o comprimento da ponte? • os lados opostos s˜ ao congruentes; a) 100 m b) 75 m • os ˆangulos opostos s˜ ao congruentes; c) 100 m d) 75 m • as diagonais se cortam ao meio mutuamente. e) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 15

Retˆ angulo Paralelogramo que possui todos os ˆangulos retos. D

C

A

B

Quadril´ ateros Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D ordenados de modo que trˆes consecutivos n˜ ao sejam colineares, chama-se quadril´ atero a uni˜ ao dos quatro segmentos AB, BC, CD e DA. ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA

Quadril´ ateros Not´ aveis

• as diagonais s˜ ao congruentes; • os quatro ˆangulos s˜ ao retos.

Trap´ ezio

Losango ou Rombo

Quadril´ atero que possui dois lados paralelos. D

• valem as propriedades do paralelogramo;

C

Paralelogramo com dois lados adjacentes congruentes.

r

C D s r A

B

B

ABkCD (bases)

A

AD e CB (lados transversais) Observa¸ co ˜es • se houver 1 ˆangulo reto ent˜ ao temos um trap´ ezio retˆ angulo; • se os lados transversais forem congruentes temos um trap´ ezio is´ oceles.

• valem as propriedades do paralelogramo; • as diagonais est˜ ao nas bissetrizes dos ˆangulos internos; • as diagonais s˜ ao perpendiculares; • os quatro ˆangulos s˜ ao congruentes.

260

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Quadrado

—

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Triˆ angulo Eq¨ uil´ atero

´ um losango retˆ E angulo. R

D

l

l

C

h

r=a l

A

B

• possui os lados e ˆangulos congruentes; • diagonais perpendiculares e congruentes; • as diagonais se cortam ao meio, mutuamente;

Elementos: l = lado h = altura R = raio da circunferˆencia circunscrita a = ap´ otema (=r raio da circunferˆencia inscrita) F´ormulas: √ h = l 3/2 R = 2h/3

• as diagonais est˜ ao nas bissetrizes dos ˆ angulos internos.

r = h/3

Hierarquia entre Quadril´ ateros

R = 2r

Rela¸co˜es de inclus˜ ao entre os conjuntos dos quadril´ ateros not´ aveis:

√ A ´area = l2 3/4

Quadrado

Quadrilateros Trapezios

L

Paralelogramos Retangulos

R

Quadrados

Losangos

d L

L a =L / 2

L

Exerc´ıcio Assinale a alternativa falsa. a) Todo quadrado ´e um retˆ angulo b) Todo quadrado ´e um losango c) Todo losango ´e um paralelogramo d) Todo retˆ angulo ´e um paralelogramo e) todo trap´ezio ´e um paralelogramo

Elementos: l = lado d = diagonal a = ap´ otema (= r raio da circunferˆencia inscrita) R = raio da circunferˆencia circunscrita. F´ormulas: √ d=l 2 R = d/2

Pol´ıgonos Regulares S˜ ao aqueles que possuem todos os lados e todos os ˆangulos iguais.

a = l/2 A ´area = l2

´tica C – Aula 15 Matema

261

Hex´ agono Regular

l l

R

l

l

a

l

L

l

Elementos: l = lado a = ap´ otema (raio da circunferˆencia inscrita) R = Raio da circunferˆencia circunscrita. F´ormulas: R=l a=h

√ A´ area = 3l2 3/2 Exerc´ıcio Resolvido Calcule a raz˜ ao entre as ´ areas dos c´ırculos circunscrito e inscrito em um triˆ angulo eq¨ uil´ atero. Resolu¸ca˜o: Sendo A1 a ´area do c´ırculo circunscrito e A2 a ´ area do circulo inscrito, temos:

4. Assinale a afirma¸ca˜o falsa: a) As diagonais de um paralelogramo s˜ ao congruentes b) as diagonais de um losango s˜ ao perpendiculares c) as diagonais de um losango s˜ ao bissetrizes dos ˆangulos internos d) As diagonais de um retˆ angulo s˜ ao congruentes e) As diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto m´edio 5. Calcule a ´area de um triˆ angulo eq¨ uil´ atero circunscrito em 2 circulo de a ´ rea igual a 25π cm . √ a) 25 √3 cm2 b) 15√ 3 cm2 c) 10√ 3 cm2 d) 5 3 cm2 e) n. d. a. 6. A ´area do circulo circunscrito a um quadrado mede 18π. Calcule a ´area do circulo inscrito no quadrado. a) 9π b) 8π c) 7π d) 6π e) n. d. a. 7. O valor da ´area sombreada na figura abaixo

7 cm

A1 πR2 (2a)2 = = =4 A2 πr2 a2

Pense um Pouco! • O quadrado ´e um losango?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1 cm

´e: a) 12 cm2 b) 14 cm2 c) 20√cm2 d) 6 7 cm2 e) n. d. a.

1. O lado de um hex´ agono regular inscrito em uma circun- 8. Qual a ´area do hex´ agono inscrito num c´ırculo cuja ´area ferˆencia mede 4 cm. Calcule: mede√16π cm2 . a) O raio da circunferˆencia; a) 36 √3 cm2 b) O ap´ otema do hex´ agono; b) 25√ 3 cm2 c) A ´ area do hex´ agono; c) 24 √3 cm2 d) A ´ area do circulo inscrito. d) 20 3 cm2 e) n. d. a. 2. Qual a ´area do c´ırculo que est´ a circunscrito a um quadrado 7) A ´area da regi˜ao sombreada na figura abaixo de ´ area igual a 100 cm2 ?

Exerc´ıcios Complementares 3. A raz˜ ao entre os comprimentos das circunferˆencias circunscrita e inscrita em um quadrado de lado 2 ´e: √ a) √2 b) 2/2 c) 2 √ d) 2 2 e) n. d. a.

20 cm

262

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—

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Determina¸c˜ ao do Centro e do Raio

´e: f) 50π cm2 g) 35π cm2 h) 25π cm2 i) 15π cm2 j) n. d. a.

Matem´ atica C

Aula 16

a) Dada a equa¸ca˜o (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 na forma reduzida, de imediato conclui-se que o centro ´e C(xC , yC ) e o raio ´e R. b) Dada a equa¸ca˜o x2 +y 2 +mx+ny+p = 0 na forma normal, o centro e o raio s˜ ao determinados comparando-se coma equa¸ca˜o: x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + p = 0 Centro: m m = −2xC =⇒ xC = − 2 n = −2yC =⇒ yC = −

Circunferˆ encia

finalmente

Defini¸ca˜o: Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distˆancia R n˜ ao nula (raio), chama-se circunferˆencia o conjunto dos pontos do Raio: plano que distam R do ponto C.

Equa¸ c˜ ao Reduzida

n 2

 m n C = − ,− 2 2

2 2 p = x2C + yC − R2 =⇒ R2 = x2C + yC −p

ou seja

q 2 −p R = + x2C + yC Seja a circunferˆencia de centro C(xC , yC ) e raio R e seja P (x, y) um ponto do plano. O ponto P pertence `a circunferˆencia se, e somente se, a Exemplos Resolvidos distˆancia de P a C for igual a R. Da´ı teremos: 1. Determinar o centro e raio da circunferˆencia de equa¸ca˜o: x2 + y 2 − 6x − 2y + 6 = 0. 2 2 2 (x − xC ) + (y − yC ) = R Solu¸ca˜o: A partir da equa¸ca˜o, temos: que ´e a equa¸ c˜ ao reduzida da circunferˆencia. M=-6a===3N=-2b===1r=+==2 Caso Particular Se C = (0, 0), ent˜ ao a equa¸ca˜o reduzida ser´ a: x2 + y 2 = R2

m = −6 =⇒ xC = −

m −6 =− =3 2 2

n = −2 =⇒ yC = −

n −2 =− =1 2 2

Exemplos: p 1. Obter a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia de centro p = 6 =⇒ R = + 32 + 12 − 6 = 2 C(3, −2) e raio igual a R = 5. Resposta: Resposta: centro C = (3, 1) e raio R = 2. (x − 3)2 + (y + 2)2 = 25 2. Determine a equa¸ca˜o da circunferˆencia que est´ a represen2. Obter a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia de centro tada no sistema de eixos cartesianos. C(0, 0) e raio R = 3. Resposta: x2 + y 2 = 9 Pense um Pouco!

Equa¸ c˜ ao Geral

• A circunferˆencia ´e uma linha plana? Comente.

Desenvolvendo-se a equa¸ca˜o reduzida (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 , obtemos:

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

2 x2 − 2xxC + x2C + y 2 − 2yyC + yC = R2 2 x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + x2C + yC − R2 = 0

Fazendo-se: 2 x2C + yC − R2 = p

resulta x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + p = 0 que ´e a equa¸ c˜ ao normal (ou geral) da circunferˆencia.

1. Determine o centro e o raio da circunferˆencia de equa¸ca˜o (x − 5)2 + (y + 3)2 = 10. 2. Dar a equa¸ca˜o cartesiana de circunferˆencia de raio R = 4 e que est´ a centrada na origem. 3. Determine a equa¸ca˜√ o geral da circunferˆencia de centro C = (−2, 2), cujo raio R = 5.

´tica C – Aula 17 Matema

Exerc´ıcios Complementares 4. Determine o centro C e o raio R da circunferˆencia x2 + y 2 − 8x − 6y + 21 = 0: a) C(4, 3) e R = 2 b) C(−2, 5) e R = 3 c) C(4, −2) e R = 2 d) C(−2, 3) e R = 3 e) n. d. a. 5. (FIC/FACEM) A equa¸ca˜o da circunferˆencia cujo centro est´ a na origem do sistema cartesiano e cujo raio ´e igual a 1/5 ´e: a) 25x2 + 25y 2 − 1 = 0 b) x2 + y 2 = 25 c) 25x2 + 25y 2 = 5 d) x2 + y 2 = 1/5 e) 25x2 + 25y 2 + 1 = 0

263 √ d) C = (2, −1) e r = 5/2 √ e) C = (1, −1/2) e r = 5/2

Matem´ atica C

Aula 17

Pol´ıgonos e Figuras Planas Per´ımetro

Chamamos de per´ımetro de um pol´ıgono `a soma dos comprimentos de seus lados. Geralmente, representa-se o per´ımetro por 2p, isto porque chama-se de p o semi-per´ımetro do pol´ıgono. Quando o pol´ıgono tem todos os lados iguais, o per´ımetro ´e igual ao produto do n´ umero de lados pelo comprimento de um 6. (PUC) Uma circunferˆencia de centro C(−2, 5) limita um deles. circulo cuja ´area ´e 3. Determinar a equa¸ca˜o da circunferˆencia. a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3√ ´ Areas de Figuras Planas b) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 3 2 2 c) (x + 2) + (y − 5) = 3 A ´area A de uma figura ´e um n´ umero (medida), associado `a sua d) (x − 2)2 + (y + 5)2 = √ 3 superf´ ıcie, que exprime a rela¸ c a˜o existente entre esta superf´ıcie 2 2 e) (x + 2) + (y + 5) = 3 e a superf´ıcie de um quadrado de lado unit´ ario. 7. Qual ´e a equa¸ca˜o reduzida da circunferˆencia, cuja equa¸ca˜o geral ´e x2 + y 2 − 8x + 7 = 0 ? Retˆ angulo a) (x + 4)2 + (y − 1)2 = 4 2 2 b) (x − 4) + (y − 1) = 9 Dado um retˆ angulo de comprimento (base) b e altura h: c) (x + 4)2 + y 2 = 4 d) (x − 4)2 + y 2 = 9 e) n. d. a.

8. O diˆametro da circunferˆencia x2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0, ´e: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) n. d. a.

h

b

A = bh

9. (UFSC) Assinale a equa¸ca˜o que representa uma circun- e ferˆencia: 2p = 2(b + h) a) 2x2 + 5y 2 − 2x + 10y + 1 = 0 b) x2 + y 2 + 2xy + 4x − 2y + 6 = 0 Quadrado c) x2 + y + 2x − 1 = 0 2 2 d) x + y + 4 = 0 Como um caso particular de retˆ angulo temos o quadrado de e) x2 + y 2 − x = 0 lado l 10.√(UFPA) O raio da circunferˆencia x2 + y 2 − 2x = 3 ´e: a) √2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 4 l 11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunferˆencia 2x2 + 2y 2 − 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respectivamente iguais a: √ a) C = (−2, 1) e r = 5√ b) C = (−1, 1/2) e r = 5 l c) C = (2, 1) e r = 5

264

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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onde: A = l2

l

l

d

e

h

D

2p = 4l

l

l

Como nem tudo a nossa volta s˜ ao retˆ angulos e quadrados, b tivemos a necessidade de calcular a ´ area de outras figuras. E o mais interessante, ´e que atrav´es da ´ area do retˆ angulo, podemos A diagonal maior do losango tem medida igual ao comprimento obter ´ areas de outras figuras. Veja: do retˆ angulo, D = b. A diagonal menor tem medida igual a altura do retˆ angulo, Triˆ angulo d = h. Se recortarmos o losango em quatro triˆ angulos, vemos que a Dado o triˆ angulo de base b e altura h sua ´area ´e a metade da ´area do retˆ angulo. A= a

c h

Dd 2

e 2p = 4l

b

Trap´ ezio Comparando-se o triˆ angulo com um retˆ angulo com o compri- O trap´ezio ´e composto por dois triˆ angulos, um de base B e mento b e altura h, temos, encaixando o triˆ angulo no retˆ angulo outro de base b, ambos com altura h. vemos que cabem dois triˆ angulos. Ent˜ ao, fica f´acil calcular a ´ area do triˆ angulo, pois esta ´e a b metade da ´area do retˆ angulo. Assim: A=

bh 2

c

a

e

B

2p = a + b + c Assim a ´area sua ´area:

Paralelogramo

A=

Observe o paralelogramo de altura h e base b:

B+b h 2

e 2p = a + b + c + B

a

h

C´ırculo

b

r

Recortando a parte sombreada do paralelogramo e colocando-a do outro lado, o paralelogramo transforma-se num retˆ angulo. Logo, conclu´ımos que a ´ area do paralelogramo ´e a mesma ´area do retˆ angulo. A = bh e 2p = 2(a + b) A = πr2

Losango Veja o losango de lado l, inscrito num retˆ angulo de base b e altura h:

e 2p = 2πr

h

´tica C – Aula 18 Matema

265

Pense um Pouco!

6. Qual a ´area de um losango, cuja soma das diagonais ´e igual a 27 cm e sua diferen¸ca 3 cm? • (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual fam´ılia que come a) 50 cm2 mais pizza: aquela que pede uma grande de 43 cm de b) 70 cm2 diˆametro ou aquela que pede duas m´edias de 30 cm de c) 85 cm2 diˆametro? d) 90 cm2 e) n. d. a.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

7. (Desafio) A ´area da parte hachurada da figura

1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 m um lado e em 3 m o outro, obteremos um retˆ angulo cuja ´area ´e 56 m2 . A medida do lado do quadrado ´e: a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 7 m e) n. d. a.

10 m

2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito em uma circunferˆencia de raio igual a 5 cm. A ´ area desse quadrado, em cm2 ´e: a) 64 b) 81 ´e: c) 100 a) (50π − 100) m2 d) 121 b) (50π − 75) m2 e) n. d. a. c) (75π − 50) m2 3. Qual o per´ımetro de uma circunferˆencia cuja ´ area do c´ırculo d) (75π − 25) m2 2 nela contido ´e de 32π m ? e) n. d. a. a) 16π m2 b) 8π m2 c) 16π m2 d) 5π m2 e) n. d. a.

10 m

Matem´ atica C

Aula 18

4. A ´ area sombreada na figura abaixo:

Retas e Planos

10 m

10 m ´e: a) 25 · (4 − π) m2 b) 75 m2 ˙ − π) m2 c) 100(4 d) 50 m2 e) n. d. a.

Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos n˜ ao definidos, dos quais temos a intui¸ca˜o clara, e um sistema de axiomas ou postulados, que s˜ ao proposi¸co˜es n˜ao demonstradas, aceitas intuitivamente, que d˜ ao caracter´ısticas aos elementos n˜ ao definidos.

Elementos Fundamentais Ponto, reta e plano: S˜ ao id´eias primitivas, entes que n˜ ao possuem defini¸ca˜o. Temos id´eias de ponto, por exemplo, um l´ apis tocando o papel, sendo apenas uma imagem, pois n˜ ao h´ a dimens˜ao para tanto. Analogamente, possu´ımos a intui¸ca˜o de reta e de plano.

5. O per´ımetro de uma circunferˆencia inscrita em um qua- Axiomas drado de ´area 36 cm2 ´e: Axiomas ou postulados, s˜ ao proposi¸co˜es aceitas como verdaa) 12π cm deiras sem demonstra¸ca˜o e que servem de base para o desenb) 6π cm volvimento de uma teoria. c) 9π cm d) 15π cm Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, e) n. d. a. retas e planos.

266

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Representa¸c˜ ao

( ) Seis pontos determinam no m´aximo vinte planos.

Pontos: A, B, C, . . . Retas: r, s, t, . . . Planos: α, β, γ, . . .

Posi¸c˜ oes Relativas de Dois Planos

Postulados: Pontos e Retas 1. A reta ´e infinita, ou seja, cont´em infinitos pontos. 2. Por um ponto passam infinitas retas. 3. Dois pontos distintos determinam uma reta. 4. Um ponto de uma reta, divide-a em duas semi-retas. 5. A intersec¸ca˜o de duas semi-retas, cada uma contendo a origem da outra, define um segmento de reta.

Postulados: Plano 1. Por trˆes pontos n˜ ao-colineares, passa um u ´ nico plano. 2. O plano ´e infinito e ilimitado. 3. Por uma reta passam infinitos planos. 4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semiplanos.

Posi¸ c˜ oes Relativas de Duas Retas

1. Dois planos podem ser coincidentes quando forem iguais (α = β). 2. Dois planos s˜ ao concorrentes quando sua intersec¸ca˜o ´e uma u ´ nica reta. 3. Dois planos s˜ ao paralelos quando sua intersec¸ca˜o ´e vazia.

Pense um Pouco! • Qual a quantidade m´ınima de pontos que se deve ter para que se obtenha 15 retas diferentes? ´ poss´ıvel que duas retas coplanares sejam reversas? • E • Quantos planos distintos, podem ser determinados, utilizando-se os v´ertices de um cubo?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1. Assinale as alternativas falsas: a) Existem infinitos planos. b) Existem infinitos pontos. c) Todo plano tem infinitos pontos 1. Duas retas s˜ ao paralelas se, e somente se, forem coplanares d) Podemos definir ponto. e) Por dois pontos distintos passa com intersec¸ca˜o vazia, ou retas coincidentes. uma u ´ nica reta. f) Toda reta tem infinitos pontos. g) Todo 2. Duas retas s˜ ao concorrentes, quando elas se interceptam triˆ angulo est´ a contido em u ´ nico plano. (concorrem) em um u ´ nico ponto. 3. S˜ ao retas que n˜ ao se interceptam e n˜ ao s˜ ao paralelas, pois 2. Classifique cada afirma¸ca˜o como verdadeira (V) ou falsa (F): ( ) N˜ ao existe plano que contenha duas retas reversas. ( est˜ ao em planos diferentes. ) Se uma reta intercepta um plano , ent˜ ao todo plano paralelo a essa reta intercepta. ( ) Dois planos podem ser iguais, Determina¸c˜ ao de um Plano concorrentes ou paralelos ( ) Se trˆes retas s˜ ao paralelas entre si, existe um u ´ nico plano que as cont´em. ( ) Duas retas Al´em do postulado que diz: quaisquer determinam um plano. ”trˆes pontos n˜ ao-colineares determinam um u ´ nico plano”, um plano tamb´em pode ser determinado por: 3. Sobe uma circunferˆencia s˜ ao marcados 8 pontos igualmente espa¸ c ados. Quantas retas diferentes eles determinam, 1. Uma reta e um ponto n˜ ao-pertencente a essa reta. no m´ a ximo? 2. Duas retas concorrentes. a) 56 3. Duas retas paralelas distintas. b) 44 c) 28 Exerc´ıcio d) 36 e) n. d. a. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirma¸ca˜o abaixo: 4. (ITA-SP) Quais as senten¸cas falsas nos itens abaixo? ( ) Dados dois pontos distintos, existe um u ´ nico plano I) Se dois planos s˜ ao secantes, todas as retas de um deles sempassando por eles. pre interceptam o outro plano. ( ) Os v´ertices de um triˆ angulo s˜ ao coplanares (est˜ao no II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas distinmesmo plano). tas paralelas ao outro plano, os planos s˜ ao sempre paralelos. ( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a cont´em em III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um s˜ ao paradois semi-planos. lelas ao outro plano. ( ) Por trˆes pontos distintos quaisquer, passa sempre um IV) Se uma reta ´e paralela a um plano, em tal plano existe u ´ nico plano. uma infinidade e retas paralelas `aquela reta. ( ) O n´ umero m´aximo de retas que quatro pontos podem V) Se uma reta ´e paralela a um plano, ´e paralela a todas as determinar ´e seis. retas do plano. ( ) Se duas retas distintas n˜ ao s˜ ao paralelas, ent˜ ao elas s˜ ao a) I, II e III concorrentes. b) I, II e V ( ) Se a intersec¸ca˜o entre duas retas ´e o conjunto vazio, ent˜ ao c) I, III e IV elas s˜ ao paralelas. d) II, III e IV ( ) Duas retas n˜ ao coplanares s˜ ao reversas. e) n. d. a.

´tica C – Aula 19 Matema

267

5. (MACK-SP) Uma reta r ´e paralela a um plano α. Ent˜ ao: Um poliedro ´e dito convexo se o plano de cada pol´ıgono (face) a) todas as retas de α s˜ ao paralelas a r deixa o poliedro em um s´ o semi-espa¸co, e portanto, n˜ ao o secb) a reta r n˜ ao pode ser coplanar com nenhuma reta de α ciona (divide) em dois s´ olidos menores. c) existem em α retas paralelas a r e tamb´em retas reversas a r. d) existem em α retas paralelas e perpendiculares a r. e) todo plano que cont´em r ´e paralelo a α.

Matem´ atica C

Aula 19 (a)

(b)

Figura 3.1: Poliedro cˆ oncavo (a) e convexo (b).

Poliedros ˆ Angulo poli´ edrico

Classifica¸ c˜ ao Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com Sejam n (n ≥ 3) semi-retas de mesma origem tais que nunca o n´ umero de faces, como por exemplo: fique trˆes num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ˆangulos em que o plano de cada uma deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espa¸co. A figura formada por esses ˆ angulos ´e o ˆ angulo poli´ edrico. Nome N´ umero de Faces (F ) tetraedro 4 pentaedro 5 S´ olidos Poli´ edricos hexaedro 6 heptaedro 7 S˜ ao s´ olidos limitados por faces planas e poligonais. octaedro 8 Veja alguns exemplos: dodecaedro 12 icosaedro 20

Rela¸ c˜ ao de Euler (a)

(b) Em todo poliedro convexo ´e v´alida a rela¸ca˜o seguinte: V −A+F =2

(a)

(b)

em que V ´e o n´ umero de v´ertices, A ´e o n´ umero de arestas e F , o n´ umero de faces. Exemplos

Elementos Faces (F ) S˜ ao os pol´ıgonos que constituem a superf´ıcie poli´edrica. Arestas (A) S˜ ao os lados dos pol´ıgonos (segmento e reta que une dois v´ertices consecutivos). V´ ertices (V ) S˜ ao os v´ertices ˆangulos poli´edricos do s´ olido. Diagonais S˜ ao os segmentos de reta que unem dois v´ertices opostos situados ou n˜ ao na mesma face. Tipos Poliedros Convexos

V = 8, A = 12, F = 6: 8 − 12 + 6 = 2

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Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 v´ertices. Calcule o n´ umero de arestas. a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) n. d. a.

V = 12, A = 18, F = 8: 12 − 18 + 8 = 2 Exemplo Resolvido Qual o n´ umero de arestas e de v´ertices que tem um poliedro convexo de 20 faces, todas triangulares? Resolu¸ca˜o: Nas 20 faces triangulares temos 20 × 3 = 60 arestas. Por´em, cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duas vezes, ou seja: A = F/2 = 30. Temos: F = 20 e A = 30 e da rela¸ca˜o de Euler, V = A − F + 2 = 30 − 20 + 2 = 12

2. Determine o n´ umero de arestas de um poliedro convexo com 5 faces quadrangulares e 6 faces triangulares. a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) n. d. a. 3. Em um poliedro regular o n´ umero de arestas excede o n´ umero de v´ertices em 10 unidades. Sabendo que o n´ umero de faces ´e igual 12, determine o n´ umero de v´ertices do mesmo. a) 8 b) 6 c) 20 d) 12 e) n. d. a.

4. Um poliedro platˆ onico tem 12 v´ertices e em cada v´ertice concorrem 5 arestas. Calcule o n´ umero total de arestas e de Diz-se que um poliedro ´e regular (ou platˆ onico) se, e somente faces do poliedro. a) 20 e 30 se: b) 30 e 20 a) for convexo; c) 20 e 15 b) em todo v´ertice concorrer o mesmo n´ umero de arestas; d) 15 e 20 c) toda face tiver o mesmo n´ umero de arestas; e) n. d. a. d) for v´alida a rela¸ca˜o de Euler. Poliedros Regulares ou de Plat˜ ao

5. Determine o n´ umero de v´ertices de um poliedro convexo sabendo que ele apresenta 2 faces hexagonais e 6 faces triangulares. a) 9 b) 11 (a) (b) c) 13 d) 15 Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro ´e platˆ onico e o e) n. d. a. segundo, n˜ ao-platˆonico. 6. Determine o n´ umero de arestas e v´ertices de um poliedro Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regulares ou convexo de 20 faces, das quais 11 s˜ ao triangulares, 2 quadrande Plat˜ao (THODI): gulares e 7 pentagonais. Poliedro Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

F 4 6 8 12 20

V 4 8 6 20 12

A 6 12 12 30 30

n 3 4 3 5 3

P 3 3 4 3 5

Onde: n ´e n´ umero de arestas em cada face; p ´e n´ umero de arestas que saem de cada v´ertice.

Pense um Pouco!

a) A = 36 e V b) A = 30 e V c) A = 38 e V d) A = 20 e V e) n. d. a.

= 20 = 25 = 20 = 36

Matem´ atica C

Aula 20

Prismas

• Uma pirˆ amide com base quadrada (tipo aquelas do Egito) Prisma ´e um s´ olido geom´etrico delimitado por faces planas, podem ser um s´ olido de Plat˜ao? Justifique. onde suas bases situam-se em planos paralelos (αkβ)

´tica C – Aula 20 Matema

269

Paralelep´ıpedos S˜ ao prismas cujas bases s˜ ao paralelogramos.

α

Paralelep´ıpedo Reto-Retˆ angulo

h

Ou paralelep´ıpedo retˆ angulo ´e todo paralelep´ıpedo reto cujas bases s˜ ao retˆ angulos.

β

Elementos: Altura h: ´e a distˆancia entre as bases; Arestas laterais: possuem a mesma medida e s˜ ao paralelas; Faces laterais: s˜ ao paralelogramos; Bases: s˜ ao pol´ıgonos congruentes.

D d c b

Natureza

a

Os prismas s˜ ao triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais etc., conforme suas bases sejam triˆ angulos, quadril´ ateros, pent´ agonos, hex´ agonos, etc... Num paralelep´ıpedo retˆ angulo de dimens˜oes a, b, e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais principais (internas), tem-se: p Classifica¸c˜ ao D = a 2 + b 2 + c2 Prisma Reto At = 2(ab + ac + bc) V = abc

As arestas laterais s˜ ao perpendiculares aos planos das bases.

Hexaedro Regular (CUBO)

Prisma Obl´ıquo

´ o paralelep´ıpedo reto-retˆangulo cujas seis faces s˜ ao quadraAs arestas laterais s˜ ao obl´ıquas em rela¸ca˜o aos planos das ba- E das. ses.

α

β

h

o

θ=90

D

l

d

Figura 3.1: Prisma reto (esquerda) e obl´ıquo (esquerda).

Prisma regular

l

´ um prisma reto cujas bases s˜ E ao pol´ıgonos regulares.

´ Areas e Volumes

l

Sendo Al a ´area lateral de um prisma (soma das ´ areas de cada Para um cubo de aresta l: face lateral). Ab a ´area de uma de suas bases e At a sua ´area √ total, temos: d=l 2 At = Al + 2Ab √ D=l 3 Num prisma cuja ´area da base ´e Ab e altura h, o volume ´e At = 6l2 dado por: V = Ab h V = l3

270

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Pirˆ amides Conceito e Elementos

g

e

Consideremos um pol´ıgono A, B, C, . . ., situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirˆ amide ` a uni˜ao dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do pol´ıgono. Uma pirˆ amide n˜ ao ´e um prisma.

R

h V

β ap al α

h

ab

onde: V: ˆ angulo s´ olido (ˆ angulo poli´edrico); h: altura (distˆ ancia) do v´ertice ao plano da base; al : aresta lateral; ab : aresta da base.

Elementos R: raio da base; h: altura; e: eixo do cilindro; g: geratriz.

Natureza A pirˆ amide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc..., conforme sua base seja um triˆ angulo, quadril´ atero, pent´ agono, etc... Pirˆ amide Regular ´ E aquela cuja base ´e um pol´ıgono regular e a proje¸ca˜o do v´ertice V sobre o plano da base coincide com o centro da base. ´ Area e Volume : Sendo: R: raio do circulo circunscrito ` a base; r: raio do circulo inscrito ` a base (ap´ otema da base); l: aresta da base; ap: ap´ otema da pirˆ amide; h: altura da pirˆ amide; al: aresta lateral. Tem-se que:

Sec¸ co ˜es de um Cilindro Sec¸ c˜ ao Transversal ´ E a intersec¸ca˜o do cilindro por um plano paralelo `as bases, gerando c´ırculos de raio R. Sec¸ c˜ ao Meridiana ´ E a intersec¸ca˜o do cilindro por um plano que cont´em o cont´em o eixo e, gerando um retˆ angulo de base 2R e altura h. ´ Areas e Volumes Al = 2πRh Ab = πR2 At = Al + 2Ab = πR(R + 2h) V = Ab h = πR2 h

Al = pap At = Al + Ab V =

Cilindro Circular Reto Conceito e Elementos

Ab h 3

Cone Conceito Cone circular reto ´e o s´ olido de revolu¸ca˜o ´e obtido pela rota¸ca˜o completa de um triˆ angulo retˆ angulo em torno de um dos seus catetos.

Classifica¸ c˜ ao Cilindro de revolu¸ca˜o ou cilindro circular reto ´e o s´ olido obtido pela rota¸ca˜o completa de um retˆ angulo em torno de um dos Cone Reto seus lados. Possui o eixo perpendicular `a base.

´tica C – Aula 20 Matema

271

e

e

V g h

R O

R

Considere a figura acima, tem-se: R: ´e o raio do cone; h: ´e a altura do cone; g: ´e a geratriz; V : ´e o v´ertice; O: centro do c´ırculo (base). ´ Rela¸ co ˜es, Areas e Volumes

Superf´ıcie Esf´ erica ´ o conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia ao cento O E ´e igual ao raio R. ´ Area e Volume At = 4πR2

g 2 = R 2 + h2 V = Ab = πR2

4πR3 3

Pense um Pouco! Al = 2πRg At = Ab + Al = πR(R + 2g) V =

Ab h πR2 h = 3 3

• Imagine uma esfera de massinha de modelar de raio R. Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer, com o mesmo volume total de massinha?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Cone Obl´ıquo Possui o eixo obl´ıquo em rela¸ca˜o ao plano da base. V

h g

α

Esfera Defini¸ca˜o: ´ o conjunto dos pontos do espa¸co cuja distˆancia ao centro O E s˜ ao menores ou iguais ao raio R.

1. (PUC) Com uma lata de tinta ´e poss´ıvel pintar 50 m2 de parede. Para pintar as paredes de uma sala (forma de prisma) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura, gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual a percentagem de tinta que resta na segunda lata? a) 22% b) 30% c) 48% d) 56% e) 72% 2. Um triˆ angulo retˆ angulo com hipotenusa de 13 cm e com um cateto de 5 cm ´e base de um prisma reto de 8 cm de altura. Calcular a ´area total do prisma. a) 150 cm2 b) 270 cm2 c) 240 cm2 d) 300 cm2 e) n. d. a.

272

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

3. Calcule o volume de uma caixa d’´agua em forma de prisma reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base ´e um losango cujas medidas das diagonais s˜ ao 7 m e 10 m. a) 190.000 litros b) 19.000 litros c) 210.000 litros d) 21.000 litros e) n. d. a.

Exerc´ıcios Complementares 4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de ´ area lateral. Seu volume vale: a) 16 m3 b) 32 m3 c) 64√m3 d) 4 √3 m3 e) 16 3 m3 5. Qual o volume de uma esfera cuja ´ area de sua superf´ıcie mede 36 cm2 ? a) 25 cm3 b) 16 cm3 c) 36 cm3 d) 49 cm3 e) n. d. a. 6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para que tenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio do cone e igual a 5 cm? a) 8 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 21 cm e) n. d. a. 7. Qual o volume de uma pirˆ amide quadrangular reta cuja ´area da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triplo da aresta da base. a) 750 cm3 b) 1000 cm3 c) 1250 cm3 d) 1500 cm3 e) n. d. a.

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L´ıngua Portuguesa L´ıngua Portuguesa

01

Variantes Ling¨ u´ısticas

Resumindo, as variantes ling¨ u´ısticas s˜ ao: • Modalidade escrita e modalidade falada; • Variantes Regionais;

Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma l´ıngua, como a portuguesa, n˜ ao ´e falada do mesmo modo por todos os seus falantes. Ao contr´ario, a l´ıngua varia conforme varie a classe social do falante, o local onde ele nasceu ou reside, a situa¸ca˜o em que ele deve falar ou escrever, etc. A descri¸ca˜o de um idioma n˜ ao pode desconsiderar esse tipo de fenˆ omeno e deve, portanto, englobar a no¸ca˜o de variantes ling¨ u´ısticas. Basicamente, uma l´ıngua sofre varia¸co˜es de acordo com cinco eixos. Uma varia¸ca˜o inicial diz respeito ` as modalidades escrita e falada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve, e infantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existe a varia¸ca˜o regional, que define, por exemplo, o sotaque e as express˜ oes t´ıpicas de cada lugar do pa´ıs. Bastante importante ´e a varia¸ca˜o social, que determina duas normas b´ asicas: a norma culta, transmitida pela tradi¸ca˜o escolar, e a norma popular. Existe tamb´em a varia¸ca˜o de ´epoca. Como se sabe, a l´ıngua sofre transforma¸co˜es com o tempo. As pessoas, inclusive, falam de modo diferente de acordo com a idade. Por fim, h´ ao eixo da varia¸ca˜o de estilo, que define, por exemplo, o modo formal e o modo informal de falar. Note que a varia¸ca˜o formal/informal n˜ ao ´e idˆentica ` a varia¸ca˜o culto/popular. Um advogado, por exemplo, fala de modo formal com o juiz num tribunal e de modo informal com a fam´ılia em casa, mas ser´ a sempre um falante culto.

• Variantes Sociais (norma culta e normal popular); • Variantes de ´epoca; • Variantes de estilo (formal e informal).

Pense um Pouco! O conhecido an´ uncio publicit´ ario a seguir, publicado em revistas de informa¸ca˜o, faz uso intencional de variante coloquial da l´ıngua portuguesa. Que marcas, presentes no texto do an´ uncio poderiam caracterizar essa variante?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega de classe nestes ternos: ”Venho respeitosamente solicitar-lhe se digne emprestar-me o livro”. A atitude desse aluno se assemelha `a atitude do indiv´ıduo que: a) comparece ao baile de gala trajando ”smoking”; b) vai `a audiˆencia com uma autoridade de ”short”e camiseta; c) vai `a praia de terno e gravata;

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274

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

d) p˜ oe terno e gravata para ir falar na Cˆ amara dos Deputados; e) vai ao Maracan˜ a de chinelo e bermuda. ˜ Texto para as duas quest˜ INSTRUC ¸ AO. oes seguintes. Observe uma pessoa contando para outra o procedimento para usar a nova impressora: ”Primeiro a gente pega as folhas e p˜ oe aqui, nessa parte de baixo. Da´ı, a gente liga nesse bot˜aozinho e d´ a o comando no computador. Da´ı a gente fica esperando um pouco e logo ela ´ super f´acil”. imprime. E 2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ”a gente”, responda: a) Est´ a adequado tanto na l´ıngua oral informal quanto na l´ıngua escrita formal porque refere-se a ”todos n´ os”. b) Est´ a adequado na l´ıngua oral informal por ser a forma usual de se dizer ”n´ os”, mas est´ a inadequado na l´ıngua escrita formal, a qual privilegia o uso de ”n´ os”. ´ o mais adequado na l´ıngua oral informal e na l´ıngua esc) E crita formal porque refere-se a ”n´ os”. ´ o mais adequado na l´ıngua oral informal e na l´ıngua esd) E crita formal por ser uma forma de dizer ”n´ os”. e) Est´ a adequado na l´ıngua oral formal, mas n˜ ao na l´ıngua escrita formal por querer dizer ”n´ os”. 3. (UNITAU-SP) As palavras de liga¸ca˜o ”Primeiro... Da´ı... Da´ı...”, comuns na l´ıngua oral informal, podem ser substitu´ıdas a contento na l´ıngua escrita formal pelos seguintes marcadores, respectivamente: a) Primeiro... Logo... Portanto... b) A princ´ıpio...Conclusivamente... Portanto... c) Primeiramente... Segundamente... Conclusivamente... d) Primeiramente... A seguir... Finalmente... e) A princ´ıpio... Finalmente... Logo...

Exerc´ıcios Complementares 4. (ENEM) O texto mostra uma situa¸ca˜o em que a linguagem usada ´e inadequada ao contexto. Considerando as diferen¸cas entre l´ıngua oral e l´ıngua escrita, assinale a op¸ca˜o que representa tamb´em o uso da linguagem inadequada ao contexto: a) ”O carro bateu e capotˆo, mas num deu pra vˆe direito.- um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro que vai passando. b) ”E a´ı, ˆo meu! Como vai essa for¸ca?- um jovem que fala para um amigo. c) ”S´ o um instante, por favor. Eu gostaria de fazer uma observa¸ca˜o.- algu´em comenta em uma reuni˜ ao de trabalho. d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar-me ao cargo de Secret´ aria Executiva desta conceituada empresa.algu´em que escreve uma carta candidatando-se a um emprego. e) ”Porque se a gente n˜ ao resolve as coisas como tˆem que ser, a gente corre o risco de termos, num futuro pr´oximo, muito pouca comida nos lares brasileiros.- um professor universit´ ario em um congresso internacional.

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(J. Amado) d) – Apesar dos pesares, ´e meu pai. N˜ ao quero que seja enterrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo, vocˆe gostava? (J. Amado) e) – Fala tamb´em, desgra¸cado... -Negro Pastinha, sem se levantar, espichava o poderoso bra¸co, sacudia o rec´em-chegado, um brilho mau nos olhos. - Ou tu acha que ele era ruim? (J. Amado) 6. (UEL-PR) A frase que cont´em uma marca de oralidade ´e: a) O sertanejo tem que falar cultura. b) Essa cultura ´e muito diferente da nossa. ´ um processo que n˜ c) E ao est´ a fundado na palavra escrita. d) Mas, como sou sertanejo, e filho de uma fam´ılia metade comunista metade reacion´aria, n´e? e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para que vocˆes me fa¸cam perguntas...

L´ıngua Portuguesa

02

Acentua¸c˜ ao Gr´ afica Princ´ıpios da Acentua¸c˜ ao Gr´ afica Na l´ıngua portuguesa, segundo o crit´erio de tonicidade, ou seja, a posi¸ca˜o da s´ılaba tˆ onica como sendo a u ´ ltima, a pen´ ultima ou a ante-pen´ ultima, as palavras s˜ ao classificadas como ox´ıtonas, parox´ıtonas ou proparox´ıtonas, respectivamente. Quando a palavra levar acento gr´afico, este cair´a sempre sobre a vogal da s´ılaba tˆ onica. Proparox´ıtonas Todas as proparox´ıtonas s˜ ao acentuadas.

TÔ − NI − CA é uma palavra proparoxítona Exemplos V´ıtima, m´edico, ˆanimo, titˆ anico, r´ apido, rid´ıculo, m´odulo, catastr´ ofico, hiperb´ olico. Parox´ıtonas

5. (UFU-MG) Assinale a u ´ nica alternativa em que n˜ ao ocorre Acentuam-se as parox´ıtonas terminadas em: o emprego de express˜ oes coloquiais: • r: car´ ater, rev´olver, cad´aver a) – Ele pode decidir... - disse P´e-de-Vento. Tinha esperan¸cas de ser escolhido por Quincas para herdar Quit´eria, seu u ´ nico • n: h´ıfen, p´ olen, pr´oton, nˆeutron bem. (J. Amado) b) – Calma, companheiro. N˜ ao tava querendo lhe lesar. (J. • l: f´acil, r´eptil, m´ıssil, f´ossil Amado) • x: t´ orax, l´ atex c) – Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria ver ele...

L´ıngua Portuguesa – 02

275

• i ou is: t´ axi, t´ axis, j´ uri

I. Se a s´ılaba tˆ onica for o segundo PA, a escrita deveria ser ´ PAPALIA, pois a palavra seria parox´ıtona terminada em ditongo crescente. II. Se a s´ılaba tˆ onica for LI, a escrita deveria ser PAPAL´IA, pois n˜ ao haveria raz˜ ao para o uso de acento gr´afico.

• u ou us: ˆanus, bˆ onus, ˆ onus • um ou uns: ´albuns, f´ orum • ps: b´ıceps, f´orceps • a ˜ ou a ˜s: ´ım˜ a, ´orf˜a • -o ˆo ou o ˆos: vˆoos, enjˆ oo, entˆ oo Acentuam-se tamb´em as parox´ıtonas terminadas em ditongo oral ou nasal, seguido ou n˜ ao de s. (´ orf˜ ao, ´ org˜ aos, col´egio, f´erias). N˜ ao se acentuam as parox´ıtonas terminadas pelas vogais a, e ou o, e pela consoante nasal m. (cantam, sorriam, batiam). Como particularidade, n˜ ao se acentuam as parox´ıtonas terminadas em ns, o que faz com que certos termos se acentuem no singular, mas n˜ ao no plural. (h´ıfen, hifens, p´ olen, polens).

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Acentue, se necess´ ario, os voc´ abulos destacados nas frases a seguir: a) N˜ ao posso atendˆe-lo no momento, mas minha secretaria, dona Vanessa, agendar´ a uma reuni˜ao para a pr´oxima semana.

b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediatamente `a secretaria da escola. c) Lu´ıs, que agora retornava `a casa paterna, com 30 anos rec´em-completados, dela partira aos vinte anos. d) Quando o sol raiar, Lu´ıs partira novamente. e) Acho inconceb´ıvel que alguns pais n˜ ao amem os filhos. Ox´ıtonas f) E que o arroz n˜ ao falte alem do toler´ avel. (Jos´e Saramago, Memorial do convento) Acentuam-se as ox´ıtonas terminadas em: g) O voo das aves sempre nos causa encantamento. ao muito mais raros os partos feitos com forceps. • a ou as: sof´as, Par´ a, Corumb´ a e futuros, como amar´ a e h) Hoje s˜ i) Acho desagrad´ avel rever velhos albuns de familia. morrer´ as.

2. (CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual os voc´ abulos obedecem `a mesma regra de acentua¸ca˜o da palavra n´ odoa: a) ˆansia, ˆambar, imund´ıcie; • o ou os: avˆo, av´o, cip´ o, gigolˆ os. b) m´ıope, im˜ a, enjˆ oo; • em ou ens: tamb´em, parab´ens. c) ´agua, tˆenue, sup´erfluo; d) ´ımpar, m´ıngua, lˆ anguida; uvo, argˆenteo, s´ ordido. N˜ ao se acentuam, portanto, ox´ıtonas terminadas com as vogais e) vi´ i(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante freq¨ uentes, n˜ ao s˜ ao adequados escritos em que se leia Pacaemb´ u, It´ u ou Barig¨ u´ı, 3. O trecho a seguir foi copiado sem acentua¸ca˜o. Leia-o atenabulos que assim o exigirem: para as palavras que se devem grafar Pacaembu, Itu e Barig¨ ui. tamente e acentue os voc´ ao do pa¸co imperial, que no tempo Ressalte-se tamb´em que as palavras terminadas em z n˜ ao est˜ ao ”Ainda hoje existe no sagu˜ contempladas pelas regras por serem sempre ox´ıtonas: capaz, em que se passou esta nossa historia se chamava Palacio delrei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povo com eles algoz. denominavam o Patio dos Bichos. Este apelido lhe fora dado Monoss´ılabos Tˆ onicos em consequencia do fim para que ele ent˜ ao servia: passavam Recebem acento os monoss´ılabos tˆ onicos terminados em a, e, ali todos os dias do ano tres ou quatro oficiais superiores, veo, seguidos ou n˜ ao de s. lhos, incapazes para a guerra e inuteis na paz, que o rei tinha Exemplos a seu servi¸co n˜ ao sabendo se com mais alguma vantagem de soldo, ou se so com mais a honra de serem empregados no 1. a(s): p´ a, m´a, l´ a, tr´ as; real servi¸co.”(Manuel Ant´ onio de Almeida, Mem´ orias de um sargento de mil´ıcias). 2. e(s): f´e, p´es, vˆe, lˆes; • e ou es: rap´e, caf´es, at´e, vocˆes.

3. o(s): l´ o, n´ os, v´os, pˆ os.

Pense um Pouco! Diante da vis˜ao de um pr´edio com uma placa indicando SAPATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a d´ uvida: como pronunciar a palavra PAPALIA? Levado o problema `a sua sala de aula, a discuss˜ ao girou em torno da utilidade de conhecer as regras de acentua¸ca˜o e, especialmente, do aux´ılio que elas podem dar ` a correta pron´ uncia de palavras. Ap´ os discutirem pron´ uncia, regras de acentua¸ca˜o e escrita, trˆes alunos apresentaram as seguintes conclus˜oes a respeito da palavra PAPALIA:

Exerc´ıcios Complementares 4. (UFRGS-RS) A grafia dos nomes pr´oprios nem sempre segue as regras ortogr´aficas da l´ıngua portuguesa. O nome L´ıvia, por exemplo, de acordo com a pron´ uncia com que ocorre usualmente, deve receber acento gr´afico. A regra que determina o uso do acento neste caso ´e a mesma respons´ avel pelo acento gr´afico em: a) epis´odios; b) a´ı; c) re´ une; d) estr´eia; e) n´ os.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

5. O trecho a seguir foi copiado sem acentua¸ca˜o. Leia-o atentamente e acentue os voc´ abulos que assim o exigirem: ”O documento acaba sendo o eco de uma polemica anterior `a cupula propriamente dita, surgida nas tres reuni˜ oes preparatorias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupo de ONGs (Organiza¸co˜es N˜ ao-Governamentais) lan¸cou documento condenando o texto da declara¸ca˜o final da Cupula do Homem, ja ent˜ ao em vers˜ ao praticamente definitiva. Diziam as ONGs: ”A confian¸ca exagerada colocada pˆelos documentos em for¸cas de mercado indefinidas e n˜ ao reguladas, como base para a organiza¸ca˜o das economias nacionais, contradiz nossa opini˜ao, segundo a qual tais for¸cas n˜ ao s˜ ao solu¸ca˜o, mas fatores que contribuem para as crises sociais do mundo atual”. Uma das ONGs signatarias ´e o Ibase, o instituto brasileiro dirigido pelo sociologo Herbert de Souza, o Betinho, agora membro do comite do Programa Comunidade Solidaria, do governo Fernando Henrique Cardoso. As ONGs n˜ ao est˜ ao sozinhas na critica ao mercado. No seu discurso na inaugura¸ca˜o da reuni˜ ao, o premie dinamarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata) foi claro: ”Nos aprendemos que o progresso social n˜ ao se realiza simplesmente por meio das for¸cas de mercado”. Ate o presidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chileno nas Na¸co˜es Unidas, expressa duvidas n˜ ao sobre o mercado propriamente mas sobre a austeridade fiscal, outro preceito zelosamente guardado pelo FMI. ”Equilibrar o or¸camento e uma boa coisa, mas por que deve-se alcan¸car um equil´ıbrio macroeconomico baseado em desequilibrios nas vidas das pessoas?”, pergunta Somavia. (Cl´ovis Rossi, Folha de S. Paulo, Agˆencia Folha, 07 mar. 1995.)

L´ıngua Portuguesa

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Observam-se boa disciplina, estudo e trabalho. 2. Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos trˆes possibilidades: Estudamos a civiliza¸ca ˜o grega e romana. Estudamos a civiliza¸ca ˜o grega e a romana. Estudamos as civiliza¸co ˜es grega e romana. 3. Mesmo, pr´ oprio, s´ o, anexo, incluso, junto, bastante, nenhum, leso, meio e partic´ıpios verbais: concordam em gˆenero e n´ umero com o termo a que se referem. Enviamos anexas as informa¸co ˜es solicitadas. Compraram duas meias entradas para o espet´ aculo. Resolvemos bastantes problemas dif´ıceis. Observa¸ca˜o: Meio e bastante como adv´erbios ficam invari´ aveis. Ela estava meio embriagada pelo sucesso. Suas id´eias eram bastante interessantes. 4. Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singular + adjetivo no plural. Houve um e outro homem escolhidos para o cargo. Nem um nem outro crime praticados foram apurados. 5. O(s) mais, menos, melhor(es) ... poss´ıvel(eis), pior(es), maior(es) e menor(es): Conheci mulheres o mais encantadoras poss´ıvel. Havia mestres os mais inteligentes poss´ıveis. 6. Adjetivo = Predicativo do Sujeito

Concordˆ ancia Nominal REGRA GERAL Os termos que dependem do nome (substantivo) com ele concordam em gˆenero e n´ umero. Exemplos Os nossos m´edicos descobriram a cura da doen¸ca. Passamos bons momentos juntos.

CASOS ESPECIAIS 1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em rela¸ca˜o a dois ou mais substantivos: • De mesmo gˆenero: adjetivo no singular ou plural. A vontade e a inteligˆencia humana(s). As conquistas e as descobertas portuguesas. • De gˆeneros diferentes: adjetivo concorda com o mais pr´oximo ou fica no masculino plural. O carro e a bicicleta envenenada(os). O trabalho e as realiza¸co ˜es conseguidas(os). Observa¸ca˜o: Adjetivo anteposto concorda com o mais pr´oximo.

• Sujeito composto posposto: adjetivo concorda com o mais pr´oximo ou fica no masculino plural. Estava morto o amor e a compreens˜ ao humana. Estavam mortos o amor e a compreens˜ ao humanos. • Sujeito n˜ ao determinado: adjetivo fica invari´ avel. ´ proibido entrada de estranhos. E Cerveja ´e bom para os rins.. • Sujeito determinado: adjetivo concorda em gˆenero e n´ umero. ´ E proibida a entrada de estranhos. Esta cerveja ´e boa para os rins. 7. Adjetivo = Predicativo do Objeto • Objeto simples: n´ umero.

adjetivo concorda em gˆenero e

Encontrei tristonha a mulher abandonada. • Objeto composto: adjetivo fica no masculino plural. Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abandonados.

8. Dois ou mais numerais + substantivo no singular ou plural. A primeira, a segunda e a u ´ltima aula(s).

L´ıngua Portuguesa – 04

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Pense um Pouco!

5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, n˜ ao .......... d´ uvidas a respeito das boas inten¸co˜es do diretor. A placa a seguir apresenta erro de concordˆ ancia entre o subs- a) Qualquer - fossem - restariam; b) Quaisquer - fosse - restaria; tantivo e o adjetivo em fun¸ca˜o do adjunto adnominal? c) Quaisquer - fossem - restaria; d) Qualquer - fosse - restariam; e) Quaisquer - fossem - restariam. 6. (UEL-PR) Est´ a adequadamente flexionada a forma destacada na frase: a) Ele n˜ ao deixou satisfeito nem a cr´ıtica, nem o p´ ublico. b) Todos achamos dif´ıceis, nas provas de F´ısica e Matem´ atica, a resolu¸ca˜o das quest˜ oes finais. c) O sof´a e a banqueta ganharam outro aspecto depois de consertado. d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas fei¸co˜es, denunciando-os. e) Ele considerou in´ uteis, na atual circunstˆ ancia, as medidas que ela sugeria. 7. (UEL-PR) Que ...... das lembran¸cas felizes se entre elas ........ l´ agrimas deslizando ........ pela face amada? a) seria - houvessem - copiosas; Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao b) seriam - houvessem - copiosas; c) seria - houvesse - copiosa; d) seriam - houvessem - copiosa; 1. Assinale a op¸ca˜o em que o emprego do voc´ abulo meio n˜ ao e) seria - houvesse - copiosas. obedece `as regras do portuguˆes culto: a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com os comandos. b) O soldado foi punido porque se apresentou meio bˆebado ao general. c) As mo¸cas estavam meias desatentas ` a explica¸ca˜o do professor, da´ı que ele as repreendesse. d) N˜ ao me venha com meias palavras: exijo que vocˆe se exConcordˆ ancia Verbal presse com objetividade. e) Era cedo, mas a sala j´ a se encontrava meio escura.

L´ıngua Portuguesa

2. (UEL-PR) Ao esfor¸co e ` a seriedade .......... ao estudo ´e que ........ os louvores que ele tem recebido ultimamente. a) consagrado - devem ser atribu´ıdos; b) consagrada - deve ser atribu´ıdo; c) consagrados - devem ser atribu´ıdos; d) consagradas - deve ser atribu´ıdo; e) consagrados - deve ser atribu´ıdo. 3. (UEPG-PR)Acho que a menina ficar´ a ........ aborrecida quando ........ que em sua caixa h´ a ........ balas. a) meio - vir - menas; b) meia - vir - menos; c) meia - ver - menas; d) meia - ver - menos; e) meio - vir - menos.

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REGRA GERAL Verbo concorda com o sujeito em n´ umero e pessoa. Exemplos O t´ecnico escalou o time. Os t´ecnicos escalaram os times.

CASOS ESPECIAIS 1. Sujeito Composto a) Anteposto: verbo no plural. O t´ecnico e os jogadores chegaram ontem a S˜ ao Paulo. b) Posposto: verbo concorda com o mais pr´oximo ou fica no plural.

Exerc´ıcios Complementares 4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio, alguns dos jovens pareciam ............ desanimados a) houve - meios; b) houve - meio; c) houveram - meio; d) houvem - meio; e) houve - meios.

Chegou(aram) ontem o t´ecnico e os jogadores. c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoa predominante. Eu, vocˆe e os alunos iremos ao museu. d) Com n´ ucleos em correla¸ca˜o: verbo concorda com o mais pr´oximo ou fica no plural. O cientista assim como o m´edico pesquisa(m) a causa do mal.

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedente do com ou vai para o plural. O professor, com os alunos, resolveu o problema. O maestro com a orquestra executaram a pe¸ca cl´ assica. f) Ligado por NEM: verbo no plural e, ` as vezes, no singular. Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia de Catifunda. g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural dependendo do valor do OU. Valdir ou Le˜ ao ser´ a o goleiro titular. Jo˜ ao ou Maria resolveram o problema.

2. Sujeito constitu´ıdo por a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singular ou plural. Um e outro m´edico descobriu(ram) a cura do mal. Nem um nem outro problema propostos foi(ram) resolvido.

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5. Verbo SER a) Indicando tempo, distˆancia: concorda com o predicativo. Hoje ´e dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanh˜ a ser˜ ao 4. b) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com o que prevalecer. Vinte milh˜ oes era muito por aquela casa. c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com o que prevalecer. O homem sempre foi suas id´eias. Santo Antˆ onio era as esperan¸cas da solteirona. A P´ atria n˜ ao ´e ningu´em, a P´ atria somos n´ os. d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com o sujeito. Deu duas horas o rel´ ogio do alto da montanha.

b) Um ou outro: verbo no singular.

e) Verbo parecer + infinitivo: flexiona-se um dos dois.

Um ou outro far´ a o trabalho.

Os cientistas pareciam procurar grandes segredos. Os cientistas parecia procurarem grandes segredos.

c) Coletivo geral: verbo no singular. Mais de um jogador foi elogiado pela crˆ onica esportiva. d) Express˜ oes que indicam quantidade aproximada seguida de numeral: verbo concorda com o substantivo. Cerca de dez jogadores participaram da briga. f) Pronomes (indefinidos ou interrogativos) seguidos de pronomes: verbo no singular ou plural. Qual de n´ os ser´ a escolhido?

6. Sujeito = nome pr´oprio plural: a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo no singular. O Amazonas des´ agua no Atlˆ antico. b) Com artigo no plural: verbo no plural. Os Estados Unidos enviaram tropas a ` zona de conflito.

g) Palavra que: verbo concorda com o antecedente. Hoje sou eu que fa¸co o discurso. h) Palavra quem: verbo na terceira pessoa do singular. Amanh˜ a ser˜ ao eles quem resolver´ a o problema. i) Um dos que: verbo no singular ou plural. Foi um dos alunos desta classe que resolveu o problema. j) Palavras sinˆ onimas: verbo concorda com o mais pr´oximo ou fica no plural. ´ A Etica ou a Moral preocupa-se com o comportamento humano. 3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronome apassivador: verbo concorda com sujeito paciente. Viam-se ao longe as primeiras casas. Ofereceu-se um grande prˆemio ao vencedor da corrida. b) se = ´ındice de indetermina¸ca˜o do sujeito: verbo sempre na terceira pessoa do singular. Necessitava-se naqueles dias de novas ideias. 4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam fenˆ omenos da na- Pense um Pouco! tureza, verbo haver indicando existˆencia ou tempo, verbos ˜ fazer, ir indicando tempo: esses verbos ficam sempre na EDUCAC ¸ AO: Governo diz que houve erro de interpreta¸ca ˜o terceira pessoa do singular. por causa da inclus˜ ao da palavra ”semestralidade”Reajuste de escolas se mantˆem anuais. Durante o inverno, nevava muito. Ainda havia muitos candidatos. O t´ıtulo da not´ıcia acima est´ a inadequado `a norma culta da Ontem fez dez anos que ela se foi. escrita do portuguˆes. Por quˆe?

L´ıngua Portuguesa – 05

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Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. (UEL-PR) .......... as providˆencias necess´ arias para o saneamento da cidade. a) Haver´a de ser tomado; b) Haver˜ao de ser tomadas; c) Haver´a de serem tomadas; d) Haver˜ao de serem tomadas; e) Haver˜ao de ser tomado. 2. (UEL-PR) At´e ontem, j´ a .... duas mil pessoas desabrigadas em todo o estado, e muitas mais ... se ... as chuvas torrenciais. a) existiam - haver´a - continuar; b) existiam - haver˜ao - continuarem; c) existia - haver´a - continuar; d) existia - haver˜ao - continuarem; e) existiam - haver´a - continuarem. 3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que n˜ ao h´ a concordˆ ancia inadequada ` a norma culta: a) Fazia dois anos que n˜ ao aconteciam desastres desse tipo. b) Faz alguns anos que n˜ ao acontece desastres desse tipo. c) Deve fazer um ano que aconteceu v´arios desastres a´ereos. d) Fazia algum tempo que n˜ ao acontecia desastres desse tipo. e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre desse tipo.

Exerc´ıcios Complementares 4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que n˜ ao h´ a concordˆ ancia inadequada ` a norma culta: a) Devem haver poetas que pensam no desastre a´ereo como sendo o arrebol. b) Deve existir poetas que pensam no desastre a´ereo como sendo o arrebol. c) Pode existir poetas que pensam no desastre a´ereo como sendo o arrebol. d) Pode haver poetas que pensam no desastre a´ereo como sendo o arrebol. e) Podem haver poetas que pensam no desastre a´ereo como sendo o arrebol.

a) Tipos de ora¸co˜es: – Ora¸co˜es interrogativas, quando iniciadas por palavra ou express˜ ao interrogativa (”quem”, ”o que”, ”como”, ”onde”, ”porque”, etc.): Quem me dar´ a o beijo que cobi¸co? – Ora¸co˜es exclamativas: Deus lhe fale n’alma! b) Palavras ”atrativas”: s˜ ao aquelas que, quando aparecem antes do verbo, obrigam a pr´oclise. S˜ ao as seguintes: Palavras negativas (”n˜ao”, ”nem”, ”nada”, ”nenhum”, ”ningu´em”, ”jamais”, etc.): Canudos n˜ ao se rendeu. (Euclides da Cunha) Conjun¸co˜es subordinativas e pronomes relativos (”que”, ”como”, ”onde”, ”se”, ”cujo”, ”quando”, ”embora”, ”porque”, ”enquanto”, etc.): Trabalho para homem que me respeite. (Jos´e Lins do Rego) Adv´erbios ”agora”, ”ainda”, ”amanh˜ a”, ”antes”, ”breve”, ”depois”, ”hoje”, ”j´ a”, ”jamais”, ”logo”, ”nunca”, ”ontem”, ”sempre”, ”bem”, ”mal”, ”demais”, ”muito”, ”pouco”, ”quase”, ”assim”, ”melhor”, ”pior”, al´em das palavras com sufixo menterapidamente”, ”certamente”, etc.: Mal se movia, com medo de espantar a pr´ opria aten¸ca ˜o. (Clarice Lispector) Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamar˜ ao potoqueiro. (Graciliano Ramos) Pronomes indefinidos ”algum”, ”algu´em”, ”todo”, ”tudo”, ”certo”, ”outro”, ’v´ arios”, ”qualquer”, etc.: E tudo se passa como eles querem. (Pˆero Vaz de Caminha) Ger´ undios precedidos da preposi¸ca˜o “em”: Em se tratando de futebol, o Brasil ´e um pa´ıs de primeiro mundo.

Mes´ oclise

O pronome ´e colocado no meio do verbo. S´ o ser´ a empregada no futuro do presente e no futuro do pret´erito, desde que n˜ ao haja palavra que exija a pr´oclise: As gera¸co ˜es futuras perguntar-se-˜ ao como foi poss´ıvel perdurar um governo de generais durante 21 anos. (Imprensa) 5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequadaRepetir-se-´ a , assim, o que neste ano j´ a aconteceu com tantos mente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ...... a outros feriados. (Vis˜ a o) produ¸ca˜o e a exporta¸ca˜o, e ...... funcion´ arios treinados em setores nos quais a empresa possa crescer. Agora veja: a) Existem - ca´ıram - faltam; As gera¸co ˜es futuras ainda se perguntar˜ ao como foi poss´ıvel... b) Existem - caiu - falta; N˜ ao se repetir´ a, assim, o que neste ano... c) Existe - caiu - faltam; (As palavras “ainda”e “n˜ ao” exigem a pr´oclise) d) Existem - ca´ıram - falta; e) Existe - ca´ıram - faltam.

ˆ Enclise

L´ıngua Portuguesa

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O pronome ´e colocado depois do verbo. Emprega-se, geralmente, a ˆenclise: a) Com verbos no in´ıcio do per´ıodo: Sabe-se que a temperatura global est´ a em m´edia cerca de meio grau Celsius mais alta do que h´ a 100 anos. (Veja) Coloca¸ c˜ ao Pronominal b) Com verbos no modo imperativo afirmativo: - Levante-se da´ı, senhor Belchior... (Bernardo Guimar˜ aes) Pr´ oclise c) Com verbos no ger´ undio, desde que n˜ ao venham precedidos ´ considerada obri- da preposi¸ca˜o em: O pronome ´e colocado antes do verbo. E Para tratar o enfermo ps´ıquico, n˜ ao basta ter pena dele, gat´ oria em, basicamente, duas situa¸co˜es:

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Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo) d) Com verbos no infinitivo impessoal: A poesia est´ a na cidade, no campo, no mar. O problema ´e descobri-la, surpreendˆe-la, flagr´ a-la. (Ferreira Gullar)

Pense um Pouco! Pronominais Dˆe-me um cigarro Diz a gram´ atica Do professor e do aluno E do mulato sabido Mas o bom negro e o bom branco Da Na¸ca ˜o Brasileira Dizem todos os dias Deixa disso camarada Me d´ a um cigarro

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c) (lhe) “A espa¸cos, quando o aborrecimento .. vinha .., sa´ıa.” d) (se)”.. Lembrou .. ent˜ ao do sangue do pre´ a, sujando o verde do capim.”(Jos´e Lins do Rego) e) (lhe) “Que .. importava .. a riqueza do velho Jos´e Paulino?”(Jos´e Lins do Rego) f) (se) “Depois, .. escutou .. um tiro seco, no silˆencio.”(Jos´e Lins do Rego) g) (se)”.. Levanta .. e passa os bra¸cos no pesco¸co de Guma.”(Jorge Amado) h) (se) “E que porcarias .. vendem .. por a´ı!”(Jos´e Lins do Rego) i) (me) N˜ ao conhe¸co ao certo o local onde .. levaram .. na noite passada. j) (se) “Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhinho.”(Dalton Trevisan)

2. (UDESC-SC) Assinale com V a coloca¸ca˜o verdadeira e com F a coloca¸ca˜o falsa dos pronomes obl´ıquos ´atonos nos per´ıodos abaixo: Oswald de Andrade ( ) Ele tem dado-se muito bem com esse nosso clima. ( ) Talvez a luz cont´ınua e ofuscante tenha-me afetado a vis˜ao. ( ) Ningu´em retirara-se antes do encerramento do conclave. ( ) Tudo me parecia bem at´e que me alertaram do perigo que corria. ( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divina m´ usica. ( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza n˜ ao mais ocorreriam. A seq¨ uˆencia correta de letras, de cima para baixo, ´e: a) F, F, V, F, V, V b) V, V, F, V, F, F c) F, V, F, V, V, V d) F, V, V, F, V, V e) V, F, F, V, F, F 3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente correias e em seguida fa¸ca a adi¸ca˜o dos valores a elas atribu´ıdos: 01) Vi ontem nosso mais jovem poeta ilh´eu. 02) Refiro-me `aquele jovem poeta ca¸cadorense. 04) Ele n˜ ao queixa-se nunca de seu trabalho. 08) Corri para ajud´ a-lo, quando o vi `a porta. 16) Pouco conhece-se a respeito de Let´ıcia. 32) Jamais te diria tamanha mentira!

Exerc´ıcios Complementares

Figura 4.1: Retrato a `o ´leo de Oswald de Andrade, por Tarcila do Amaral.

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao 1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomes entre parˆenteses, de acordo com a norma culta da l´ıngua portuguesa: a) (se) “Ningu´em ... arrepiava .., ningu´em manobrava para ficar.”(Jos´e Lins do Rego) b) (se) “N˜ao .. ouvia .. um barulho.”(Jo˜ ao Ant´ onio)

4. (UEL-PR) Logo que vocˆe ......, ´e claro que eu ........ da melhor maneira poss´ıvel, ainda que isso ........ o servi¸co. a) me chamar; atendˆe-lo-ei; me atrase b) chamar-me; atendˆe-lo-ei; atrase-me c) me chamar; o atenderei; me atrase d) me chamar; o atenderei; atrase-me e) chamar-me; atenderei-o; atrase-me 5. (PUC-PR) Observe a coloca¸ca˜o dos pronomes nas frases abaixo: 1. Ela pode auxiliar-me. 2. Ela pode-me auxiliar. 3. Ela me pode auxiliar. 4. Ela veio ver-me. 5. Ela n˜ ao quis vˆe-lo.

L´ıngua Portuguesa – 06

281 • prepositivas: Capit˜ ao Am´erica e Homem Aranha est˜ ao a ` beira da falˆencia. • conjuntivas: Os alimentos estocados foram vendidos a ` medida que crescia o consumo.

Dos itens acima expostos est˜ ao corretos: a) 1, 2 e 5 b) 3 e 4 c) 2 e 4 d) 4 e 5 e) todos est˜ ao certos 6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHE n˜ ao pode ser colocado depois do verbo CONTAR: a) Desejo-lhe contar minha vers˜ ao. b) Prometeu n˜ ao lhe contara verdade. c) N˜ ao podemos lhe contar tudo. d) Come¸cou a lhe contar o ocorrido. e) Tenho de lhe contar esse epis´odio.

L´ıngua Portuguesa

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˜ ocorre Casos em que a crase NAO 1. Diante de palavras masculinas, as quais n˜ ao admitem o artigo a: O passeio foi feito a cavalo. 2. Diante de verbos: As crian¸cas da favela s˜ ao obrigadas a pedir esmolas. 3. Diante de nome de cidade: Houve protestos na chegada do presidente a Recife.

Crase Crase ´e fus˜ao de duas vogais idˆenticas. Representa-se graficamente a crase pelo acento grave. A crase pode ser representada nos casos: a) A preposi¸ca˜o a e os artigos a e as: H´ a limites a ` tolerˆ ancia humana. b) A preposi¸ca˜o a e os pronomes demonstrativos aquele(s), aquela(s) e aquilo. Permaneci indiferente a `quele barulho. c) A preposi¸ca˜o a e aos pronomes demonstrativos a e as: Sua opini˜ ao ´e semelhante a ` de Rog´erio.

Observa¸ c˜ ao: Se o nome da cidade vier acompanhado de um adjetivo ocorre a crase: Vou frequentemente a ` antiga Ouro Preto. 4. Diante de pronomes que n˜ ao admitem artigo. • pronomes pessoais: N˜ ao dirigiu a palavra a n´ os. • pronomes de tratamento: Mandou dizer a Vossa Senhoria que n˜ ao viria ao encontro marcado. Observa¸ c˜ ao: Emprega-se geralmente o acento indicados da crase diante dos pronomes senhora e senhorita. • pronomes demonstrativos: ´ hora de dar um basta a essa barb´ E arie. • pronomes indefinidos: N˜ ao demonstravam seu sofrimento a ningu´em. • pronomes relativos: Aquela ´e a senhora a quem apresentamos nossas condolˆencias. 5. Diante da palavra casa quando n˜ ao vier determinada por adjunto adnominal: Quando cheguei a casa j´ a tinham sa´ıdo. Observa¸ c˜ ao: Quando a palavra casa vier determinada ocorre a crase. Chegamos a ` casa da cunhada. 6. Diante da palavra terra, quando esta designar terra firme: Os marinheiros chegaram a terra. 7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular: O sucesso n˜ ao deve conduzir a conclus˜ oes muito otimistas.

Outros casos 1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a e outra palavra que exija a preposi¸ca˜o a: Debate aponta risco a ` liberdade de express˜ ao. 2. Nas locu¸co˜es femininas: • adverbiais: Os deputados est˜ ao rindo a ` toa.

8. Nas locu¸co˜es formadas por palavras repetidas: Ficamos face a face com o inimigo. 9. Diante do artigo indefinido uma: Os alunos n˜ ao devem submeter-se a uma avalia¸ca ˜o como esta. 10. Diante da express˜ ao Nossa Senhora e de nomes de santos: Ela faz preces di´ arias a Nossa Senhora Aparecida.

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Pense um Pouco!

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admirar a pintura que tanto lhe dera fama e prest´ıgio em toda a Europa.

Ao entrar bata a porta. Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indicador da crase? 5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a frase incorreta quanto ao acento indicativo da crase? a) Uma mulher d´ a `a luz sobre uma pia enquanto dinheiro do ´ SUS (Sistema Unico de Sa´ ude) ´e desviado para comprar chope Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao e salgadinhos. b) Esse expediente levou `a lastim´ avel aprova¸ca˜o do IPMF. 1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de crase c) A ` absoluta ineficiˆencia do sistema de arrecada¸ca˜o, soma-se onde for necess´ ario: a m´a aplica¸ca˜o dos recursos p´ ublicos. a) ”Madalena foi a janela e esteve algum tempo debru¸cada, d) Na d´ecada de 70, a imagem externa do Brasil era frequenolhando a rua.”(Graciliano Ramos, S˜ ao Bernardo) temente associada `as den´ uncias de tortura. b) No in´ıcio do s´eculo, muitos jogadores aluavam apenas por e) A quest˜ ao social continua priorit´ aria demais para ser releamor a camisa. gada `a segundo plano. c) Os bons treinadores de futebol costumam ser inflex´ıveis quanto a disciplina de seus jogadores. d) O Departamento de Trˆ ansito recomenda cautela ao motorista que vai descer a serra hoje para assistir a virada do ano 6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal de crase est´ a empregado em todos os casos em que ´e necess´ ario: no litoral. a) A fam´ ılia ficou a ` mercˆ e do frio, a despeito do fogo que e) ”Ent˜ ao eu perguntava a mim mesmo se alguma daquelas n˜ ao estava a arder. teria amado algu´em que jazesse agora no cemit´erio.”(Machado b) O vento entrava `a vontade, restando a fam´ılia a expectativa de Assis, Dom Casmurro) f) ”O padre saiu para o p´ atio, aspirou profundamente o ar, de- de que amanhecesse logo. ao se entendessem `a contento. pois contemplou a estrada luminosa que atravessava a ab´ obada c) Falavam `a be¸ca, mas talvez n˜ d) A cachorra ficou a ` porta, ` a olhar as brasas. celeste de um lado a outro.”(Jos´e Saramago) e) A falta de melhor express˜ a o, recorriam `a discursos en´ergicos. g) ”Qualquer lei nova ´e sujeita a cr´ıticas.”(Walter Ceneviva, Folha de S. Paulo, 6/4/95) h) Qualquer lei nova ´e sujeita as cr´ıticas dos membros do Poder Judici´ ario. 2. (UEM-PR) Indicar o per´ıodo em que vocˆe colocaria o acento grave, indicativo da crase: a) Deu severas ordens a algumas relapsas. b) Desobedeceram a Sua Excelˆencia. c) Rogo as autoridades para que intervenham logo. d) Com certeza, disse tudo a esta colega. e) De Vieira a Drummond, muitos voc´ abulos descansam em paz. 3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta: a) Preferia brincar do que trabalhar. b) Preferia mais brincar a trabalhar. c) Preferia brincar a trabalhar. d) Preferia brincar `a trabalhar. e) Preferia mais brincar que trabalhar.

Exerc´ıcios Complementares ` 4. Preencha as lacunas com A ou A: a) Em uma viagem ......... It´ alia, Godard conheceu Martin Scorcese, de quem se tornaria grande amigo e colaborador. b) Minha u ´ nica chance de voltar ..... Europa seria ganhar a bolsa de estudos oferecida pela Universidade de Haia. c) Quando visitei ......Inglaterra, fiquei bastante decepcionado com o clima e a culin´aria. d) Retornei.........Bras´ılia ap´ os ter sido derrotado em duas elei¸co˜es para deputado federal. e) .... Am´erica que eu conheci n˜ ao ´e esta que se vˆe por a´ı passando necessidade. f) Ap´ os anos, o pintor Michelˆ angelo voltou ....... Roma para

L´ıngua Portuguesa

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Interpreta¸c˜ ao de Textos (UDESC - 2005) Toda l´ıngua tem seus mist´ erios, sua pele seu cheiro. O que caracteriza a linguagem ”correta”? N˜ ao uso essa ex´ mais ou menos como press˜ ao. Falo de adequa¸ca˜o ling¨ u´ıstica. E roupa. A gente usa de acordo com a situa¸ca˜o. O ideal seria que todos tivessem um guarda-roupa ling¨ u´ıstico bem recheado: ”roupa”para ir `a festa, ao tribunal, `a praia, ao supermercado. Seria necess´ ario que o sujeito tivesse dom´ınio da l´ıngua que usa no dia-a-dia, mas fosse tamb´em buscar as variedades. Da´ı a fun¸ca˜o da escola, do Estado: prover as pessoas do dom´ınio das variedades formais da l´ıngua. N´ os somos um pa´ıs essencialmente monoglota. N˜ ao me refiro ao conhecimento de l´ınguas estrangeiras, falo de poliglotismo na mesma l´ıngua. O que ´e? ´ ser capaz de ler o editorial do jornal, mais rebuscado, de E conversar com o vizinho e de conversar com a pessoa estranha. ´ ser capaz de ler um cl´assico, ouvir um rap, ler o Almanaque, E e por a´ı vai. O grosso da popula¸ca˜o ´e monoglota: domina s´ o a l´ıngua do dia-a-dia. P˜ oe o sujeito para ler um recado do banco, ele n˜ ao entende.

L´ıngua Portuguesa – 07

283 de quantidade. e) a palavra s´ o indica isolamento. 3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme a afirma¸ca˜o seja verdadeira ou falsa. ( ) Quem ´e capaz de ler um cl´assico, ouvir um rap, ler o Almanaque ´e poliglota. ( ) O grosso da popula¸ca˜o ´e monoglota, porque domina somente um dialeto. ( ) De acordo com o autor, n˜ ao existe linguagem correta, porque as l´ınguas s˜ ao um conjunto variado de formas ling¨ u´ısticas e cabe ao falante adequar seu uso `as diferentes situa¸co˜es de fala. ( ) A escola n˜ ao tem cumprido seu papel; por isso, n˜ ao conseguimos ler um editorial de jornal rebuscado.

Pense um Pouco!

Assinale a alternativa que apresenta a seq¨ uˆencia CORRETA, de cima para baixo. a) V - F - F - F A alternativa que melhor resume a id´eia central do texto ´e: f) A l´ıngua padr˜ ao ´e formada por um conjunto de formas con- b) V - F - V - F sideradas como modo correto e socialmente aceit´ avel de falar c) F - V - F - V d) V - V - F - V ou escrever. g) A adequa¸ca˜o ling¨ u´ıstica ´e como um guarda-roupa bem va- e) V - F - F - V riado, quanto `as formas ling¨ u´ısticas e revelador, ao mesmo tempo em que revela a classe social ` a qual se pertence. ´ fun¸ca˜o da escola e do Estado prover as pessoas dos h) E Exerc´ıcios Complementares dom´ınios das variedades formais da l´ıngua. i) O falante brasileiro ´e monoglota, por n˜ ao ter o conhecimento Texto para os testes de 01 a 03. de l´ınguas estrangeiras. Vai ent˜ ao, empacou o jumento em que eu vinha montado; j) A adequa¸ca˜o ling¨ u´ıstica se d´ a quando o falante ´e capaz de ler fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais trˆes, enfim mais editorial do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho um, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o p´e e de conversar com uma pessoa estranha. esquerdo me ficou preso no estribo; tento agarrar-me ao ventre do animal, mas j´a ent˜ ao, espantado, disparou pela estrada fora. Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos, Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao mas um almocreve, que ali estava, acudiu a tempo de lhe pegar na r´edea e detˆe-lo, n˜ ao sem esfor¸co nem perigo. Dominado o bruto, desvencilhei-me do estribo e pus-me de p´e. 1. Assinale a alternativa que reafirma a id´eia de que quem — Olhe do que vosmecˆ e escapou, disse o almocreve. E era sabe fazer uso da adequa¸ca˜o ling¨ u´ıstica ´e poliglota. verdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me deveras, a) A id´eia de poliglotismo est´ a associada ao conhecimento de e n˜ a o sei se a morte n˜ a o estaria no fim do desastre; cabe¸ca v´arias l´ınguas estrangeiras que s˜ ao faladas em algumas regi˜oes partida, uma congest˜ a o, qualquer transtorno c´ a dentro, l´ a se do pa´ıs. me ia a ciˆ e ncia em flor. O almocreve salvara-me talvez a vida; b) Quem domina apenas a l´ıngua que se usa no dia-a-dia, n˜ ao ter´ a dificuldades para ler e produzir um texto em l´ıngua era positivo; eu sentia-o no sangue que me agitava o cora¸ca˜o. Bom almocreve! Enquanto eu tornava `a consciˆencia de mim padr˜ ao. c) O falante que tem envolvimento m´ ultiplo nas rela¸co˜es sociais mesmo, ele cuidava de consertar os arreios do jumento, com geralmente possui um guarda-roupa ling¨ u´ıstico bem recheado. muito zelo e arte. Resolvi dar-lhe trˆes moedas de ouro das ao porque tal fosse o pre¸co da minha d) A atividade educacional n˜ ao ´e coordenada de forma devida cinco que trazia comigo; n˜ vida essa era inestim´ a vel; mas porque era uma recompensa pelo Estado; por isso, somos um pa´ıs essencialmente monodigna da dedica¸ c a ˜ o com que ele me salvou. Est´ a dito, dou-lhe glota. as trˆ e s moedas. e) Buscar as variedades da l´ıngua ´e o mesmo que saber usar orias P´ ostumas de Br´ as Cubas. a roupa adequada `a situa¸ca˜o, ´e saber que h´ a uma variedade Machado de Assis, Mem´ ling¨ u´ıstica. 4. Assinale a alternativa em que se estabelece rela¸ca˜o de causa 2. Em rela¸ca˜o ao trecho: ”O grosso da popula¸ca˜o ´e mono- e efeito: glota: domina s´ o a l´ıngua do dia-a-dia. P˜ oe o sujeito para a) ”Vai ent˜ ao, empacou o jumento em que eu vinha montado”; ler um recado do banco, ele n˜ ao entende.”(linhas 10 a 12), ´e b) ”...justifiquei-o, ele deu dois corcovos, depois mais trˆes, enINCORRETO afirmar: fim mais um...”; a) a palavra s´ o ´e um recurso ling¨ u´ıstico indicador de ˆenfase. c) ”...que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o p´e b) a flex˜ ao do verbo pˆ or foi usada com o sentido de deparar- esquerdo me ficou preso no estribo”; se. d) ”Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois salc) o pronome ele ´e o termo referente ao sujeito. tos...”; d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indicador e) ”O almocreve salvara-me talvez a vida...”

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5. Em ”...mas j´a ent˜ ao, espantado, disparou pela estrada fora.”e ”...contundia-me deveras...”, as palavras destacadas indicam, respectivamente: a) conclus˜ao e constata¸ca˜o; b) tempo e afirma¸ca˜o; c) modo e constata¸ca˜o; d) conclus˜ao e conseq¨ uˆencia; e) tempo e d´ uvida.

honestidade × desonestidade; higiˆenico × anti-higiˆenico.

6. Assinale a alternativa em que a palavra que est´ a empregada de forma diferente das demais: a) ”...empacou o jumento em que eu vinha montado...”; b) ”...enfim mais um, que me sacudiu fora da sela...”; c) ”...com tal desastre, que o p´e esquerdo me ficou preso no estribo...”; d) ”...eu sentia-o no sangue que me agitava o cora¸ca˜o; e) ”...mas porque era uma recompensa digna da dedica¸ca˜o com que ele me salvou.”

Exemplos

L´ıngua Portuguesa

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Parˆ onimos Voc´ abulos semelhantes na escrita e na pron´ uncia e que tˆem significados diferentes.

Flagrante (no ato) – fragrante (perfumado); ratificar (confirmar) – retificar (corrigir); vultoso (importante, de grande vulto) - vultuoso (inchado).

Homˆ onimos Palavras que tˆem a mesma pron´ uncia ou grafia, mas com significados diferentes. Dividem-se em: • Hom´ ografos - Heter´ ofonos: possuem mesma escrita e pron´ uncia diferente. o ele (letra L) - ele chegou; o controle - talvez controle.

Sinˆ onimos, Antˆ onimos e etc. Sinˆ onimos Voc´ abulos que apresentam significado b´ asico comum. Exemplos olhar = ver = mirar = observar; belo = bonito = lindo; honestidade = probidade.

• Hom´ ofonos - Heter´ ografos: pron´ uncia e grafia diferente.

possuem

mesma

cess˜ ao (ato de ceder) - sess˜ ao (reuni˜ ao); ch´ acara (quinta) - x´ acara (narrativa). • Hom´ ografos - Hom´ ofonos (ou homˆ onimos perfeitos): possuem mesma grafia e pron´ uncia. o mato - eu mato; cedo (verbo ceder) - cedo (adv´erbio).

Pense um Pouco! O lobo mal atacou a vovozinha ... Mandei meus sapatos para o concerto A cess˜ ao respons´ avel pela produ¸ca ˜o deste produto fica no final do corredor. Quais os erros nas frases acima?

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

Antˆ onimos Voc´ abulos que apresentam significados opostos. Exemplos grandeza × pequenez; feliz × infeliz; probidade × improbidade;

1. A hora da verdade est´ a ....... Aproveite-a. Os familiares est˜ ao de acordo com a ...... dos bens. ´ hora de ..... o fogo, pois o frio est´ E a pr´ oximo. O fato passou ..... at´e o momento. Os faltosos foram pegos em ...... A alternativa que preenche corretamente, e em seq¨ uˆencia, as lacunas das frases acima ´e: a) iminente – cess˜ao – acendermos – despercebido – flagrante. b) Eminente – sess˜ ao – acendermos – desapercebido – fragrante. c) Eminente – cess˜ao – ascendermos – despercebido – fragrante. d) Iminente – sess˜ ao – ascendermos – desapercebido – flagrante. e) n. d. a.

L´ıngua Portuguesa – 08 2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negrito apresentam sentidos diferentes ´e: a) Os velhos est˜ ao assistindo ` a reedi¸ca˜o de velhos h´ abitos. b) Os romˆ anticos atuais divergem dos romˆanticos centen´ arios. c) Os velhos casar˜ oes situam-se ao lado do velho supermercado. d) As cenas s˜ ao centen´ arias, bem como centen´ aria ´e a pe¸ca teatral. e) Os grandes homens s˜ ao avaliados por grandes a¸co˜es.

285 Com´ercio) c) As tumbas eg´ıpcias eram constitu´ıdas de uma .......cˆ amara, onde as oferendas eram depositadas, e outras salas e corredores que davam acesso a uma cˆ amara funer´ aria subterrˆanea. (Globo Ciˆencia)

7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando: (A) para sinˆ onimos (B) para antˆ onimos (C) para parˆ onimos (D) para hom´ ografos - hom´ ofonos (ou homˆ onimos perfeitos) ografos - heter´ofonos 3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferentes (E) para hom´ ofonos - heter´ografos significados, de acordo com sua fun¸ca˜o na frase. Assinale a (F) para hom´ alternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que se verifica na frase a seguir. Aos poucos, as id´eias iam ficando mais claras, mesmo que a) ( ) apressar – apre¸car b) ( ) eminente – iminente ainda sentisse fortes dores de cabe¸ca e no corpo. c) ( ) ´odio – amor d) ( ) asco – nojo e) ( ) a ´agua – ele ´agua a) Escute! H´ a mesmo necessidade de vocˆe vir? f) ( ) o acordo – eu acordo b) N˜ ao quero ser o mesmo que vocˆe. c) Ir´ a assim mesmo. 8. Complete os espa¸cos com h´ a ou a de acordo com o exigido d) N˜ ao percebeu nada, mesmo estando atento. pela frase: e) N˜ ao, mesmo! Fique a´ı! a) Daqui.........trˆes semanas ele vir´a trazer o material que lhe encomendamos. b) ........seis dias que ele tem faltado ao trabalho. Exerc´ıcios Complementares c) .......meses que eu n˜ ao a vejo por aqui. d) Daqui....... Ribeir˜ ao Preto, s˜ ao 300 km. 4. (UDESC-2005) A ´arvore caiu, embora estando bem presa 9. Empregue mal ou mau de acordo com o exigido pela frase: ao ch˜ ao. a) .......ela chegou, come¸cou a gritar com as crian¸cas. Vou agradecer-lhe a ajuda, logo que possa sair. b) O ........ pagador sempre arrumas suas desculpas. N˜ ao demonstrava, mas amava o filho. c) Ele nunca se comportou t˜ ao ......... Buscava um lugar silencioso para que pudesse pensar. As palavras e express˜ oes em negrito podem ser substitu´ıdas, sem altera¸ca˜o de estrutura e sentido da frase, respectivamente, por: a) mesmo – assim que – haja vista – a fim de que b) apesar que – assim que – ou – onde c) apesar de que – quando – logo – afim de que d) mesmo que – ao – portanto – em que e) mesmo – assim que – entretanto – a fim de que 5. Complete as lacunas com uma das palavras colocadas nos parˆenteses: a) Os pais agiram com muita ............ . (discri¸ca˜o/descri¸ca˜o) b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (retificar/ratificar) c) O chefe dos seq¨ uestradores exigiu do empres´ ario uma quantia ............. (vultuosa/vultosa) d) O ............. orador conseguiu convencer a multid˜ao de ouvintes. (eminente/iminente) e) Como ............. uma das leis de trˆ ansito, ele acabou recebendo uma pesada multa. (infringisse/infligisse) f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (tachado/taxado) g) Perdi ............. da minha conta banc´ aria. (estrato/extrato) 6. Preencha as lacunas com ante ou anti: a) H´ a um n´ umero cada vez maior de pessoas que tomam ....... depressivos e de m´edicos que recomendam esses rem´edios. (Jornal do Com´ercio) b) Luiz Mott faz cr´ıticas ` a nova lei ......-racismo. (Jornal do

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Hist´ oria Hist´ oria

Aula 1

Hist´ oria de Santa Catarina Colonizadores A hist´oria de Corup´ a est´ a vinculada ` as de Jaragu´ a do Sul e Joinville. As terras em que foi constru´ıda a atual cidade de Corup´ a pertenciam ao esp´ olio da Companhia Hamburguesa de Coloniza¸ca˜o, contratada para ocupar as terras do Pr´ıncipe de Joinville, Fran¸cois de Orleans e da Princesa Francisca Carolina, filha de D. Pedro I; e do Conde d’Eu com a Princesa Imperial Dona Isabel (herdeira do trono brasileiro). O esp´ olio da Hamburguesa foi assumido, em 30 de mar¸co de 1897 pela Companhia Hanse´atica de Coloniza¸ca˜o, que sob a dire¸ca˜o de Karl Fabri fundou a Colˆonia Hansa Humbold. No dia 7 de julho de 1897 foram entregues os primeiros t´ıtulos de propriedade aos colonizadores pioneiros. Otto Hillbrecht e Otto Hillbrecht filho (lotes 6 e 7) e o taxidermista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposa Dorethea (lotes 2 e 3) chegaram da Europa na mesma canoa e foram recebidos pelo agrimensor da Colˆ onia Hansa, Eduard Krish. Os primeiros colonizadores, de posse dos t´ıtulos de propriedade, foram acomodados no galp˜ ao de recep¸ca˜o e usando fac˜oes, machadinhas e machados, iniciaram a derrubada da mata para dar in´ıcio ` a constru¸ca˜o da atual cidade de Corup´ a. As duas fam´ılias, juntamente com a Companhia Colonizadora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cinco meses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavam `a Hansa os novos propriet´ arios Wilhelm R¨ osch, Heinrich Groth e fam´ılia, Josef Mischka e fam´ılia. Cinco dias depois Emil August Rosenberg tomava posse oficialmente de seu lote. Com eles chegou tamb´em L´eo Eschweiler. Vinte dias depois, no dia primeiro de janeiro de 1898, chegavam Bruno Muller e Heinrich Harm. Um total de 787 lotes foram vendidos a europeus na Colˆ onia Hansa. Os lotes eram pagos a longo prazo em pequenas parcelas. O contrato entre a empresa colonizadora e o governo da prov´ıncia determinava que a quantidade de imigrantes sem recursos para adquirir lotes, que viajavam com as despesas pagas pelo governo brasileiro, fosse equilibrada com a de imigrantes com dinheiro suficiente para pagar seu lote e ainda oferecer trabalho remunerado aos compatriotas. Os imigrantes que n˜ ao tinham recursos para saldar as d´ıvidas ou pagar as presta¸co˜es das terras, trabalhavam para a Sociedade Colonizadora ou para os compatriotas.

eram os ´ındios Xokleng (ou Botocudos), tamb´em conhecidos pela denomina¸ca˜o de bugres. Na primeira metade do S´eculo XIX, houve um aumento da coloniza¸ca˜o europ´eia, levando os ´ındios Xokleng a se fixarem pr´oximos aos limites de Santa Catarina e Paran´ a. Na disputa por terras entre os ind´ıgenas e os europeus emigrados, a ´area agr´ıcola aumentava para os colonizadores e diminu´ıa para os bugres que foram ficando confinados e sem alimentos. Mesmo assim, a hist´oria da regi˜ao n˜ ao registrou grandes conflitos entre os ind´ıgenas, os caboclos brasileiros e os colonizadores que, no ato da posse provis´oria da terra, ganhavam naturalidade brasileira. Esta era uma das vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes europeus espontˆ aneos. Poucos brasileiros moravam nesta regi˜ao no tempo da coloniza¸ca˜o. Na foz do rio Isabel, encontravamse os ranchos de Manoel Cipriano e de Manoel Floriano. Em Po¸co d’Anta moravam Alexandre Siqueira, Domingos Siqueira, Jos´e Afonso Moreira, Jo˜ao Cust´ odio, Romualdo Leopoldino, Maneco do Ros´ ario e Antˆ onio Felisbino. Muitos desses brasileiros ajudaram a transportar os primeiros imigrantes e os alimentos pelo rio Itapocu. Pouco antes da chegada dos colonizadores alem˜ aes, fam´ılias italianas estabeleceram-se nas imedia¸co˜es do Rio Novo e Itapocu: Domenico Minatti, David de Pauli e Francisco Bagattoli vieram de Blumenau. Logo em seguida, Antˆ onio Moretti passou a residir na comunjdiade de Po¸co d’Anta. E construiu a primeira capela em honra de Santo Antˆ onio, do qual havia trazido uma imagem da It´ alia. O terreno foi doado, a 23 de dezembro de 1900, pela Companhia Colonizadora Hanse´atica.

Aventureiros ou Exclu´ıdos?

A legisla¸ca˜o provincial estipulada a pedido do Dr. Hermann Blumenau, assinada no dia 16 de mar¸co de 1848, fixou normas para a coloniza¸ca˜o alem˜ a em terras catarinenses. E entre elas, estabelecia a responsabilidade das Companhias Colonizadores, em reunir, transportar, assentar e prestar assistˆencia integral aos colonos nos primeiros dois anos da chegada `as Colˆonias. O Governo Imperial contribu´ıa por quinze anos com subs´ıdios, entregues `a empresa colonizadora, para cada um dos colonos, independe de sexo ou idade, fixados nas colˆ onias de Santa Catarina. Esta assistˆencia inclu´ıa aux´ılio tanto no transporte entre a Europa e o Brasil quanto no desmatamento, na constru¸ca˜o das moradias e no oferecimento de alimenta¸ca˜o aos colonos, at´e que eles pudessem prover-se com as pr´oprias ro¸cas. A mesma lei proibia, em car´ ater definitivo, a manuten¸ca˜o de m˜ao-de-obra escrava nas Colˆonias. Assim, os imigrantes tinham, eles mesmos, que se incumbir do trabalho pesado do campo e da constru¸ca˜o ou pagar pelo trabalho dos negros, ´Indios e Caboclos dos caboclos ou mesmo de imigrantes sem posses, que viajam com todas as despesas pagas pelo governo brasileiro. No s´eculo XIX, a Europa vivenciava profundas transforma¸co˜es soAssim como em todo o pa´ıs, os primeiros habitantes da regi˜ao cioeconˆ omicas decorrentes da Revolu¸ca˜o Industrial e a vida no 287

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campo tornava-se invi´ avel. A grande maioria da popula¸ca˜o europ´eia eram os exclu´ıdos e eram explorados pelos grandes senhores de terras. O empobrecimento da popula¸ca˜o levou ao ˆexodo rural aumentando a urbaniza¸ca˜o. Com a tecnologia e a mecaniza¸ca˜o da economia, a Europa deparou-se com um batalh˜ ao de desempregados fazendo com que no per´ıodo de 1815 a 1920 cerca de 60 milh˜ oes de pessoas emigrassem da Europa, sendo desse total 10% de Alem˜ aes. Aproximadamente 100 a 200 mil vieram para o Brasil em busca de melhores condi¸co˜es de vida. As vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eram atrativas, tendo agradado at´e pessoas de situa¸ca˜o econˆ omica razo´avel. Muitos camponeses venderam suas propriedades para custear a viagem e tentarem a vida com maiores facilidades na Am´erica. Um dos principais interesses do governo imperial brasileiro era o de resolver o problema da ocupa¸ca˜o de v´arias regi˜ oes brasileiras at´e ent˜ ao desabitadas. Para isso, eram enviadas ` a Europa agentes que eram remunerados de acordo com o n´ umero de emigrantes e isto despertou tamb´em o interesse das companhias de navega¸ca˜o ciosas de lucro. Aliada a estes fatores, a dif´ıcil situa¸ca˜o financeira da Fam´ılia Real Brasileira leva a negociar para coloniza¸ca˜o, as terras localizadas na Prov´ıncia de Santa Catarina. Firmando contrato com o Senador Alem˜ ao Christian Mathias Schoroeder em Hamburgo, dono da agˆencia comercial ”Christian M. Schoroeder & Cia parte da sociedade fundada em 1842 chamada ”Sociedade de Prote¸ca˜o aos Imigrantes no Sul do Brasil”que procurava regularizar a emigra¸ca˜o espontˆ anea para o Brasil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757, projeto de uma estrada para interligar S˜ ao Francisco do Sul a Curitiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas em meio `a Mata Atlˆantica, delinearam o percurso da futura ferrovia S˜ ao Francisco do Sul - Rio Negro-Curitiba.

Antes da Cidade Os primeiros europeus a passarem por terras catarinenses teriam sido o alem˜ ao Hans Staden, em 1547 e o tamb´em alem˜ ao, o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos espanh´ ois com o prop´ osito de ensinar agricultura os ´ındios Carij´ os. Este segundo, na verdade, teria percorrido o c´elebre caminho de Peabiru, que se iniciava em Barra Velha e que ligava os Andes ao Oceano Atlˆantico. Os aventureiros, guiados pelos ´ındios, estavam interessados nos tesouros Incaicos dos Altiplanos An` ´epoca da coloniza¸ca˜o de Jaragu´ dinos. A a, em 1878, tropas de Em´ılio Carlos Jourdan, passaram por Corup´ a com gado adquirido no Paran´ a. O pr´oprio Jordan, em 1876, atribuiu nomes a acidentes geogr´ aficos da cidade. Em 9 de maio de 1879, uma expedi¸ca˜o chefiada pelo engenheiro alem˜ ao Albert Kr¨ ohne, partiu de S˜ ao Bento do Sul com a incumbˆencia de tra¸car um caminho entre S˜ ao Bento do Sul e Jaragu´ a, estabelecendo assim, a liga¸ca˜o entre Curitiba e S˜ ao Francisco do Sul e explorando a regi˜ao. Em 1883, o agrimensor, top´ ografo, engenheiro mecˆ anico e ca¸cador de bugres Antˆ onio Ferreira Lima, propriet´ ario de terras em Rio Negrinho foi morto pelos ´ındios botocudos. Entretanto, as picadas abertas pelas expedi¸co˜es e pela Companhia Hanse´ atica n˜ ao permitiam a passagem de carro¸cas ou carros de boi. At´e mesmo animais eram raros na ´epoca da coloniza¸ca˜o de Corup´ a. Atra´ıdos pelas ofertas alardeadas pelas companhias colonizadoras, os europeus atravessaram o atlˆ antico em busca de uma vida digna e melhor em sua nova p´ atria. Mas ap´ os chegarem sentiram-se abandonados

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`a pr´opria sorte e como n˜ ao tinham os recursos para voltar a` P´ atria M˜ ae, tomaram as providˆencias necess´ arias para oferecer escola, igreja, lazer e sustento para si e para os familiares e empregados. A ajuda vinha principalmente da p´ atria-m˜ae, distante, mas presente em solidariedade.

Casa e Comida Dif´ıcil A condi¸co˜es de vida dos primeiros colonizadores era muito prec´ aria. As dificuldades iam desde a adapta¸ca˜o ao clima tropical e `a cultura dos caboclos posseiros, `a presen¸ca invis´ıvel dos bugres, at´e `as dificuldades para conseguir alimentos e mantimentos, visto que precisavam ser transportados de Jaragu´ a de canoa, via rio Itapocu, u ´ nico acesso `a Hansa at´e 1900. O casal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casa comercial da Colˆonia. A casa comercial logo foi vendida para o comerciante Georg Czerniewicz, de Jaragu´ a. E em seguida, para o comerciante Heinrich Meyer, de Joinville. A filial era gerenciada por Leo Eschweiler. E, mais tarde, em 1907 por Otto Hillbrecht Jr., que a adquiriu e transformou em emp´ orio. Tamb´em em l899, o casal Wilhelm e Maria Pieper fundou o Hotel Schraut, o primeiro de Corup´ a. Este hotel foi transformado, mais tarde, num hospital pela ”Frauenverein”. Enquanto Pieper transferiu seu hotel para as imedia¸co˜es da esta¸ca˜o ferrovi´ aria. E ainda hoje l´ a funciona o Hotel Krelling. Um dos primeiros colonizadores, em seu relat´ orio, descreveu as dificuldades iniciais. ”O que foi dif´ıcil no primeiro ano, era conseguir alimentos. Dependia-se da turma de agrimensores quando eles, de tempos em tempos, navegavam numa canoa pelo Itapocu. T´ınhamos que aproveitar a oportunidade e pedir que trouxes` vezes acontecia de a canoa virar e as sem as mercadorias. As mercadorias se encharcarem”. O historiador Jos´e Kormann, no livro Hansa Humbolt ontem, hoje Corup´ a , na p´ agina 57, descreve que as primeiras casas eram constru´ıdas com palmito. ”Os troncos roli¸cos do palmito eram enterrados por uma das extremidades para servirem de esteio. Para fazer paredes, os palmitos eram rachados em quatro ou seis partes, formando ripas. O interior do palmito, a parte mole, servia de alimento. Essas ripas eram amarradas com cip´ o, que tamb´em eram cortados em duas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavam caibros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas de palmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de moradores locais, anteriores ao imigrante”. Conseguir fogo era dif´ıcil, era preciso mantˆe-lo acesso. Por isso o ch˜ ao era de barro batido.

Uma Nova P´ atria Com a chegada de novas levas de colonos, entre dezembro de 1897 a 1899, a dire¸ca˜o da Colˆonia reservou uma canoa s´ o para buscar mantimentos com canoeiros pr´oprios. Ao mesmo tempo, a constru¸ca˜o da estrada para transporte com carro¸ca era intensificada. A cada nova leva de colonizadores, chegavam mais pessoas dispostas a investir e construir uma cidade confort´ avel. A cidade finalmente come¸cou a se formar. Alem˜ aes, poloneses, su´ı¸cos e Italianos s˜ ao os principais ascendentes europeus da Corup´ a de hoje. Em 1899, era fundada a primeira escola para os filhos dos imigrantes e tamb´em come¸cava a funcionar o primeiro Turverein. Luiz Schr¨oeder foi o n´ umero um e Otto Hillbrecht filho o n´ umero dois. A sociedade escolar fundada em 17 de maio de 1899, atenderia `as crian¸cas das 20

´ ria – Aula 1 Histo fam´ılias residentes. O professor Ernesto Globig, mais tarde nomeada intendente de Hansa, iniciou as aulas na sede da Casa do Imigrante em 1900. Em 1909, foi constru´ıdo o pr´edio pr´oprio, em alvenaria. Em 5 de novembro de 1899 era fundada a comunidade evang´elica de Hansa Humbold. Os primeiros cultos eram realizados nas casas dos imigrantes. E, finalmente, no dia 16 de dezembro de 1906 foi lan¸cada a pedra fundamental da igreja evang´elica que levou alguns anos para ser constru´ıda. Assim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro neg´ocio de Hansa Humboldt. Otto L¨ offler, com um pequeno capital, construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na estrada Bomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigo do naturalista alem˜ ao Alexander Von Humboldt (homenageado com o nome da Colˆonia), foi instalada a primeira atafona que pertencia a Gustav Hoffmann.Luiz Schroeder abriu o primeiro a¸cougue. At´e 1906, os cultos das confiss˜ oes Cat´olica e Luterana eram realizadas no edif´ıcio da escola particular alem˜ a. Em 1906, o imigrante Roberto Seidel, abre sua ”arbori”e floricultura. A localiza¸ca˜o ´e a mesma de onde ainda hoje funciona o Orquid´ ario Catarinense. Seu filho Alvim Seidel dedica-se, desde o ano de 1950 ao orquid´ario, que al´em de comercializar e cultivar, desenvolve pesquisas, j´ a tendo descoberto e registrado mundialmente, quase uma centena de novas esp´ecies de orqu´ıdeas e brom´elias em suas incurs˜ oes pela mata da regi˜ao.

Autonomia Administrativa Em 1908, Hansa foi elevada ` a categoria de distrito de Joinville e ´e nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somente em 1910 teve in´ıcio a ilumina¸ca˜o p´ ublica ` a querosene .Os lampi˜ oes pendurados em postes de madeira, eram acesos ao anoitecer e apagados `as 22 horas diariamente por Christian Hunold. Num sal˜ ao de sua propriedade funcionou, tamb´em, a primeira escola. A primeira professora foi J´ ulia Fernandes. Neste per´ıodo um primeiro susto acometeu a comunidade de Hansa. A administra¸ca˜o central de Joinville recomendava que toda a correspondˆencia fosse escrita em Portuguˆes e al´em de ser habitada praticamente s´ o por alem˜ aes, Hansa n˜ ao tinha escola em Portuguˆes que possibilitasse aos imigrantes ou mesmo a seus filhos, aprenderem a L´ıngua Nacional. O primeiro trem chegou em julho de 19l0, vindo de S˜ ao Francisco do Sul. Com o trem chegou a esperan¸ca de um progresso mais r´ apido. Mas al´em de facilitar o transporte de toda sorte de produtos, desde alimentos a produtos para comercializa¸ca˜o, o trem trazia e levava pessoas. A ferrovia chegou a Rio Negrinho somente em 1913. E foi seguindo o trem que muitos moradores deixaram Hansa. Alguns foram trabalhar na constru¸ca˜o da ferrovia e outros seguiram para o planalto onde era mais f´ acil arrumar trabalho. H´ a cem anos, Hansa Humbold experimentava um crescimento surpreendente. No Distrito havia v´arias ind´ ustrias, serrarias, olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, f´ abricas de carro¸cas, barris, tamancos, chicotes, la¸cos, canoas, charutos e cigarilhas, instrumentos musicais, pinc´eis e escovas, m´oveis e refrigerantes; cervejarias, selarias, funilarias, construtores (pedreiros), queijarias, alfaitarias, tecelagens e dezenas de pequenos comerciantes de produtos artesanais e aliment´ıcios, bem como engenhos de arroz atendiam as necessidades dos habitantes e rendiam boas somas na comercializa¸ca˜o com outras localidades. Aumentava consideravelmente n´ umeros de sociedades e ligas formadas pelos moradores com o intuito de promover a educa¸ca˜o, a cultura, o lazer e assistˆencia aos habitantes.

289

Come¸car Tudo de Novo No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, a primeira grande enchente. Sociedades promoveram concertos, teatros, quermesses e recitais com o prop´ osito de angariar fundos para socorrer as fam´ılias atingidas. Os preju´ızos foram enormes. As rec´em-constru´ıdas pontes sobre os rios Humbold e Novo foram levadas pelas ´aguas. Reconstru´ı-las exigiu, al´em da doa¸ca˜o de 75% do sal´ ario do intendente, doa¸co˜es dos moradores.Em outubro de 1917, o Brasil declarou guerra `a Alemanha e as rela¸co˜es entre os dois pa´ıses prejudicou francamente os imigrantes em solo brasileiro. Iniciou-se o movimento nacionalista e a l´ıngua estrangeira foi gradativa, mas efusivamente proibida em solo nacional. Os imigrantes, embora tivessem sido nacionalizados no ato da coloniza¸ca˜o, eram brasileiros sem governo e alem˜ aes sem P´ atria. Logo ap´ os a 1a. Guerra Mundial (1914-1918) o movimento de nacionaliza¸ca˜o provocou o ´ fundada, ent˜ fechamento das escolas alem˜ as. E ao a primeira escola p´ ublica e brasileira. A vida cultural voltou a mover as sociedades de atiradores, a gin´ astica, a m´ usica do Jazz Elite, corais e grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem como a produ¸ca˜o e comercializa¸ca˜o dos produtos locais estavam em alta. Enfim, a tranq¨ uilidade voltou a reinar e o progresso acompanhava o crescimento do distrito. Em fins de 1931, foi conclu´ıda a Escola Apost´ olica Semin´ ario Sagrado Cora¸ca˜o de Jesus. Entretanto, os imigrantes alem˜ aes naturalizados brasileiros, ainda sofreram com nova investida do movimento de nacionaliza¸ca˜o, em 1943, durante a 2a. Guerra Mundial. Al´em da mudan¸ca do nome do ent˜ ao Distrito Hansa Humbold para Corup´ a, muitos de seus moradores, que constru´ıram com as pr´oprias m˜aos e dinheiro a cidade, foram perseguidos como se fossem inimigos da na¸ca˜o brasileira. Alguns tiveram que mudar o pr´oprio nome. Escolas, sociedades e igrejas foram fechadas e tudo o que fosse considerado alem˜ ao foi confiscado. A emancipa¸ca˜o pol´ıtica de Corup´ a se deu pela Lei 348, de 21 de julho, de 1958. A instala¸ca˜o no novo munic´ıpio foi no dia 25 de julho de 1958. Conforme dados do censo de1950, Corup´ a contava com 1592 habitantes (761 homens e 831 mulheres).

Os Dias Atuais A economia est´ a baseada na agricultura e pecu´aria, explorada por minif´ undios. Corup´ a ocupa o 94o lugar na arrecada¸ca˜o o de ICM do Estado e 25 em qualidade de vida. A agricultura baseia-se principalmente na produ¸ca˜o de banana, arroz, milho, mandioca, fumo e olericultura (hortali¸cas). Corup´ a ´e o maior produtor de bananas do Estado. Possui cerca de 68 ind´ ustrias de pequeno e m´edio porte, destacando-se as de vestu´ ario, metalurgia, artefatos de madeira e m´oveis. A cidade, que j´a possuiu uma esp´ecie de Spa na d´ecada de trinta, se prepara para liderar o roteiro tur´ıstico da regi˜ao. As belas paisagens, a rota das cachoeiras, o clima tranq¨ uilo de cidade interiorana e tranq¨ uila, grutas, orqu´ıdeas, vit´oria r´egia gigante e as constru¸co˜es do in´ıcio do s´eculo passado e os jardins cuidados com carinho e esmero pelos habitantes, s˜ ao algumas das atra¸c˜oes tur´ısticas de Corup´ a.

Bibliografia [1] Veja na internet www.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm

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Lista de Tabelas F´ ISICA Mecˆ anica – Aula 1 1 A) 1 N = 1 kg · 1 m/1 s2 1 B) n = 2 e p = 4 2 D) 3 D) 4 C) 5 A) 3, 600 km , B) 21, 600 km , C) 3 × 10−5 , D) 0, 5780 km , E) 27, 600 km , F) 5, 800 × 10−3 km 6 B) 7 A) 5, 70000 × 105 , B) 1, 2500 × 105 , C) 5, 0000000 × 107 , D) 1, 2 × 10−6 , E) 3, 2 × 10−2 , F) 7, 2 × 10−1 , G) 8, 2 × 104 , H) 6, 40 × 107 , I) 9, 150 × 100 , J) 2, 00 × 10−3 , K) 5 × 101 , L) 2, 5 × 10−7 Mecˆ anica – Aula 2 1 A) 6,5 cm

, B) 1,8 cm

, C) 3,7 cm

, D) 4,3 mm

, E) 51,2 mm

, F) 42,3 mm

2 E)

3 D)

4 C)

5 A)

Mecˆ anica – Aula 3 √ 3 vx = vy = 200 2 m/s 4 7, 0 N , 38, 2◦ c/ a horiz.

1 B) 130 m 2 100 N 7 940 km/h

5 6, 0 m/s 6 vx = 120 m/s e vy = 160 m/s

Mecˆ anica – Aula 4 1 B)

2 E)

3 A)

4 B)

5 C)

6 B)

Mecˆ anica – Aula 5 1 A) 1, 0 m/s2 , B) TAB = 3, 0 N e TBC = 11 N C) 16 N 5 3 m/s2 e 78 N 6 A) 7 C)

2 A)

3 A) 1, 0 m/s2

, B) 4, 5 N

4 A) 2, 0 m/s2

, B) 12 N

,

Mecˆ anica – Aula 6 1 D)

2 E)

3 C)

4 A)

5 vf = 17, 85 m/s

6 Fmed = 950 N

7 A) 580 J

, B) 72, 5 W

Mecˆ anica – Aula 7 1 A) Energia potencial el´ astica. , B) Energia potencial gravitacional. , C) Sim, ele possui energia potencial ´ dissipada pela for¸ gravitacional. 2 A) E ca viscosa (atrito) do ar e vira calor e energia cin´ etica. , B) N˜ ao. Como a for¸ ca resultante sobre ele ´ e nula, n˜ ao h´ a trabalho realizado sobre ele. 3 B) 4 E) 5 B) 6 A) Ep = 5, 0 J , B) vmax. = 10 m/s 7 ) W = 25 J 8 A) 150 J , B) 90 J Mecˆ anica – Aula 8 3 B) 4 C) 5 E) 6 A) 7 A) k = 50 N/m , B) Wext = 4, 0 J F = 40 N 8 A) WP = −150 J , B) ∆Ep = +150 J 9 ) 0, 30 m

, C) Wmola = −4, 0 J

, D) Wext = 16, 0 J

, E)

Mecˆ anica – Aula 9 1 B)

2 A) 1, 0 N

, B) 3, 0 N

3 A)

4 C)

5 C)

6 B)

Mecˆ anica – Aula 10 1 V V F V F 2 FVFFF 3 A) N˜ ao, pois sua velocidade ´ e constante. ) 1, 0 × 103 kg · m/s 6 C) 7 ) Fmed = 14 N Mecˆ anica – Aula 11 291

´ nulo. , B) E

, C) Zero.

4 ) 200 N · s

5

292

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√ √ 1 0, 700 kg · m/s a 135◦ com a dire¸ c˜ ao inicial da bola. 2 A) I = −m 2gh , B) ∆Q = −m 2gh , C) S˜ ao iguais, pois I = ∆Q 3 A) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = −2, 5 N · s , B) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 m temos I = −2, 0 N · s Mecˆ anica – Aula 12 1 0, 133 m/s 2 4, 0 m/s num sistema isolado.

3 0, 67 m/s

4 3, 75 m/s

5 70 kg

6 D)

7 ) 60 s

, ) Conserva¸ c˜ ao do momento linear

Mecˆ anica – Aula 13 1 A) 2 A) vn = −v0 /3 e vd = 2v0 /3 , B) vn = vf = v0 /3. N˜ ao, pois a energia cin´ etica n˜ ao ´ e mais conservada. 3 vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4 v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5 A) 45◦ com a horizontal. , B) v0 = 20 m/s , C) I = 10 kg · m/s 6 C) Mecˆ anica – Aula 14 1 B) 2 A) 3 A) Ambas as for¸ cas tem mesma intensidade pois s˜ ao do tipo a¸ c˜ ao-rea¸ c˜ ao. , B) Porque a m˜ ao est´ a protegida pela luva. 4 A) 20.000 N , B) O caminh˜ ao. , C) No autom´ ovel. 5 4, 0 m/s2 6 O remo empurra a ´ agua para tr´ as, sofrendo uma rea¸ c˜ ao para frente, que ´ e ransmitida ao barco. 7 A) 2, 0 m/s2 , B) 10 N 8 C) Mecˆ anica – Aula 15 1 B)

2 c)

3 B)

4 A)

5 A)

6 C)

6 C)

7 C)

5 E)

6 D)

Gravita¸ c˜ ao – Aula 1 2 E)

3 B)

4 E)

5 C)

Gravita¸ c˜ ao – Aula 2 1 B)

2 E)

3 A)

4 A)

7 D)

Gravita¸ c˜ ao – Aula 3 1 A) 39, 2 N , B) 6, 4 N 2 N˜ ao. A balan¸ ca de farm´ acia compara massas e portanto mede a massa do indiv´ıduo. 3 A) 4 D) 5 c) 6 A) Sim. , B) P = (1 kg) ∗ G , C) A mesma (1 kg) 7 4, 0 kg Gravita¸ c˜ ao – Aula 4 √ 1 TA C = 50 3 N e TB C = 50 N 2 B) 4 kg 3 FA = 300 N e FB = 100 N −3, 6 N · m, 0 e 4 N · m 6 A) 0 N , B) 48 N · m , C) 24 N · m

4 Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N

5

´ Otica – Aula 1 1 9, 46 × 1015 m

2 H = 90m

3 D = 30cm

4 i = 55◦

5 x = 2d + D

´ Otica – Aula 2 1 B) p′ = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2 A) p = 12 cm 5 B) 6 A) 35 cm do espelho. , B) 210 cm

, B) 0, 6 cm

3 A) 26, 7 cm

, B) 80 cm

4 A) −30 cm

, B) −60 cm

´ Otica – Aula 3 1 n = 1, 25 2 n = 2 3 A) na /nv = 8/9 , B) vv /va = 8/9 , C) O ´ındice de refra¸ c˜ ao de um meio ´ e inversamente proporcional ` a velocidade da luz no meio. 4 n = 1, 732 5 n = 1, 58 6 A) O meio A. Ao passar de B para A o feixe se aproxima da normal. , B) No meio B, pois ´ e menos refringente que o A. ´ Otica – Aula 4 1 p′ = −15 cm, imagem direta e menor. 2 A) Imagem real, invertida e maior. , B) p′ = 120 cm e i = 4 cm 3 5X 4 A) p′ = 10 cm, do mesmo lado do objeto. , B) Imagem virtual, direta e maior. 5 A) f = −20 cm , B) Divergente. 6 A) Divergente. , B) 5 di

´ ria – Aula 1 Histo

293

´ Otica – Aula 5 1 20 cm

2 A: +2 di (convergente) e B: −2 di (divergente)

3 +1 di

4 A) Divergente.

, B) −5 di

Fluidos – Aula 1 1 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2 11, 2 kg 3 A) 0, 3 g/cm3 , B) 1, 1 g/cm3 4 1, 05 × 104 P a, 0, 1 atm 5 A) Porque a ´ area de contato do pneu de bicicleta com o ch˜ ao ´ e muito pequena, a press˜ ao deve ser grande. , B) ptotal ≈ 2, 75 atm , C) A manom´ etrica, pois mede a diferen¸ ca de press˜ ao entre o interior e o exterior do pneu. Fluidos – Aula 2 1 B) 2 A) 3, 0 × 104 P a , B) 1, 5 × 105 P a , C) 8, 0 × 103 P a 3 1, 01 × 105 P a ou 1 atm ou 760 mmHg maior. , B) No menor. , C) 50 N 5 12, 8 cm 6 8% 7 16 N

4 A) No

Cinem´ atica – Aula 1 1 C)

2 B)

3 B)

4 D)

5 E)

6 B)

5 D)

6 E)

5 B)

6 C)

5 B)

6 C)

5 B)

6 C)

Cinem´ atica – Aula 2 1 D)

2 D)

3 E)

4 C)

Cinem´ atica – Aula 3 1 A)

2 D)

3 B)

4 A)

Cinem´ atica – Aula 4 1 A)

2 D)

3 E)

4 B)

Cinem´ atica – Aula 5 1 C)

2 C)

3 C)

4 E)

Ondas – Aula 1 2 C)

3 E)

4 θ ≈ 23◦

5 D)

6 L9 /L1 6 = (16/9)2

7 25, 3 cm

Ondas – Aula 2 1 C)

2 E)

3 C)

4 C)

5 E)

6 A)

4 B)

5 D)

6 A)

4 C)

5 B)

6 D)

7 D)

Ondas – Aula 3 1 E)

2 C)

3 D)

Ondas – Aula 4 1 E)

2 C)

3 B)

Ondas – Aula 5 1 A) 30 m/s , B) Se aproxima, pois a frq¨ uˆ encia aumenta. , C) Diminui 10%. 2 B) 3 A) Afastando-se do apito em alta velocidade, o seu som poderia ser ouvido. , B) vaf ast. = (4/5)vsom 4 C) 5 A) 6 D) Termodinˆ amica – Aula 1 1 B)

2 A)

3 D)

4 D)

5 B)

6 E)

5 A)

6 E)

5 C)

6 D)

Termodinˆ amica – Aula 2 1 A)

2 A)

3 E)

4 C)

Termodinˆ amica – Aula 3 1 D)

2 A)

3 C)

4 D)

294

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Termodinˆ amica – Aula 4 1 B)

2 A)

3 E)

4 D)

5 A)

6 A)

5 A)

6 E)

5 B)

6 B)

Termodinˆ amica – Aula 5 1 C)

2 B)

3 A)

4 B)

Termodinˆ amica – Aula 6 1 E)

2 B)

3 A)

4 D)

Termodinˆ amica – Aula 7 1 D)

2 E)

3 A)

4 C)

, E) 90 g

5 D)

6 C)

Termodinˆ amica – Aula 8 1 A)

2 B)

3 C)

4 B)

5 E)

6 D)

5 D)

6 C)

5 A)

6 B)

Termodinˆ amica – Aula 9 1 D)

2 A)

3 A)

4 B)

Termodinˆ amica – Aula 10 1 D)

2 A)

3 E)

4 C)

Termodinˆ amica – Aula 11 1 E)

2 A) No intervalo de t1 at´ e t2 .

, B) No intervalo de t3 at´ e t4 .

, C) 10, 2 kcal

3 C)

Eletricidade – Aula 1 1 qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2 A) L˜ a (-), vidro (+) , B) L˜ a (+), cobre (-) 3 D) 4 A) Enconstar as trˆ es esferas simultaneamente e afast´ a-las. , A) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , A) Imposs´ıvel. 5 D) 6 C) 7 A) Eletricidade – Aula 2 1 Diminui para F/16 2 F ′ = 3F/4 3 A) Empurra os el´ etrons do eletrosc´ opio para as extremidades (hastes), afastando-as. , B) Parte da carga do corpo passa para o eletrosc´ opio, afastando suas hastes. 4 2, 0 × 10−7 C 5 ) c) 6 D) Eletricidade – Aula 3 1 A) +7, 5 × 10−2 N , B) Para a direita, no sentido da for¸ ca el´ etrica. 1 C) −7, 5 × 10−2 N , para a esquerda. 3 2 2 A) 0, 144 N , B) 28, 9 kN/C 3 A) 2 × 10 m/s , B) 16.000 m/s 4 A) 4, 44 × 10−10 C , B) 44, 4 N/C 5 4, 9 mC 6 −0, 05 C Eletricidade – Aula 4 1 8 × 10−7 V 2 A) V = 0 , B) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , C) Que a soma de grandezas escalares e vetoriais ´ e diferente. 3 A) 1 kV , B) −1 kV 4 A) 1, 0 × 10−7 C , B) 900 V /m 5 5, 4 × 105 V , se a carga negativa e o v´ ertice A, pertencerem ao mesmo lado, sen˜ ao, 2, 22 × 106 V . 6 W = −45 mJ, negativo porque as cargas se repelem, e a for¸ ca esterna deve ser contr´ aria ao deslocamento. Eletricidade – Aula 5 1 2, 3 × 10−13 J 2 −0, 9 J 3 A) 1, 0 nC , B) −30 V carga positiva, e portanto, maior potencial el´ etrico.

, C) 10 µJ 5 E) 6 C)

4 A) V = mgd/q

, B) A inferior deve ter

Eletricidade – Aula 6 1 V V F V V 2 V V V F V 3 A) V = 180 V e E = 0 , B) V = 108 V e E = 216 V /m 4 A) qA = 3Q/4 e qB = 9Q/4 , B) VA = VB = 3kQ/4R 5 A) qA = 1, 0 µC e qB = 2, 0 µC , B) VA = VB = 9, 0 kV , C) De B para A, pois no in´ıcio

´ ria – Aula 1 Histo

295

a esfera B tinha excesso de el´ etrons. 6 A) 6, 25 × 1012 que a esfera A. 7 A) 6, 4 × 108 V , B) 4, 55 × 105 C

, B) A esfera A, pois a esfera B tem mais el´ etrons do

Eletricidade – Aula 7 1 A) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = −4 kV atingir a segunda placa. 5 E) 6 B)

2 ) C/2 3 56, 5 kV /m 7 1, 8 × 10−4 C

4 A part´ıcula n˜ ao tem energia suficiente para

Eletricidade – Aula 8 1 R$ 3,47

2 12, 5 µF

3 17, 1 µF

4 810 J

5 V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0 × 10−5 C

Eletricidade – Aula 9 1 C)

2 D)

3 A)

4 C)

5 E)

, E) R = 6 Ω

5 C)

6 C)

6 D)

Eletricidade – Aula 10 1 D)

2 C)

3 B)

4 A)

7 E)

Eletricidade – Aula 11 1 C)

2 B)

4 A) R2 = {101, 8 Ω, 0, 2 Ω}

3 D)

Eletricidade – Aula 12 1 D)

2 C)

QU´ IMICA

Qu´ımica – Aula 1 1 FV FV V V Qu´ımica – Aula 2 5 B) Qu´ımica – Aula 3 Qu´ımica – Aula 4 Qu´ımica – Aula 5 Qu´ımica – Aula 6 Qu´ımica – Aula 7 Qu´ımica – Aula 8 Qu´ımica – Aula 9 Qu´ımica B – Aula 1 1 C)

2 QQQF F F

3 B)

4 C)

5 E)

6 B)

3 E)

4 B)

5 D)

6 C)

Qu´ımica B – Aula 2 1 VVVVVV

2 A)

Qu´ımica B – Aula 3 1 C)

2 FFV V F

3 B)

4 E)

5 C)

6 E)

, B) P2 = {101, 7 W, 4, 1 W }

6 50 V

7 B)

296

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

Qu´ımica B – Aula 4 1 C)

3 C)

4 B)

5 B)

Qu´ımica B – Aula 5 1 61

2 C)

3 E)

4 D)

5 E)

6 E)

Qu´ımica B – Aula 6 1 D)

2 C)

3 D)

4 E)

5 C)

6 E)

4 C)

5 C)

6 E)

4 B)

5 D)

6 B)

5 C)

6 E)

7 C)

Qu´ımica B – Aula 7 1 C)

2 E)

3 A)

Qu´ımica B – Aula 8 1 E)

2 E)

3 D)

Qu´ımica B – Aula 9 1 E)

2 B)

3 E)

Qu´ımica B – Aula 10 1 D)

2 B)

3 E)

5 A)

6 B)

Qu´ımica B – Aula 11 3 E)

5 D)

6 D)

7 E)

8 B)

Qu´ımica B – Aula 12 2 21 Qu´ımica Orgˆ anica – Aula 1 Qu´ımica Orgˆ anica B – Aula 2 ´ MATEMATICA Matem´ atica A – Aula 1 Matem´ atica A – Aula 2 Matem´ atica A – Aula 3 Matem´ atica A – Aula 4 Matem´ atica A – Aula 5 Matem´ atica A – Aula 6 Matem´ atica A – Aula 7 1 D)

2 E)

3 C)

4 D)

5 E)

6 C)

5 B)

6 A) y = 2x

Matem´ atica A – Aula 8 1 A)

2 B)

3 C)

4 D)

, B) 9/8

7 B)

—

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´ ria – Aula 1 Histo Matem´ atica A – Aula 9 Matem´ atica A – Aula 10 Matem´ atica B – Aula 1 Matem´ atica B – Aula 2 Matem´ atica B – Aula 3 Matem´ atica B – Aula 4 Matem´ atica B – Aula 5 Matem´ atica B – Aula 6 Matem´ atica B – Aula 7 Matem´ atica C – Aula 1 Matem´ atica C – Aula 2 Matem´ atica C – Aula 3 Matem´ atica C – Aula 4 Matem´ atica C – Aula 5 Matem´ atica C – Aula 6 Matem´ atica C – Aula 7 Matem´ atica C – Aula 8 Matem´ atica C – Aula 9 Matem´ atica C – Aula 10 Matem´ atica C – Aula 11 Matem´ atica C – Aula 12 Matem´ atica C – Aula 13 Matem´ atica C – Aula 14 Matem´ atica C – Aula 15 Matem´ atica C – Aula 16

297

298

Apostila Preparat´ oria para o Vestibular Vocacionado UDESC

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Matem´ atica C – Aula 17 Matem´ atica C – Aula 18 Matem´ atica C – Aula 19 Matem´ atica C – Aula 20 L´ INGUA PORTUGUESA L´ıngua Portuguesa – 01 1 C)

2 B)

3 D)

4 E)

5 A)

6 D)

L´ıngua Portuguesa – 02 1 A) secret´ aria , D) partir´ a , F) al´ em , G) vˆ oo , H) f´ orceps , I) ´ albuns – fam´ılia 2 C) 3 hist´ oria, Pal´ acio, P´ atio, conseq¨ uˆ encia, trˆ es, in´ uteis, s´ o. 4 A) 5 polˆ emica, c´ upula, preparat´ orias, Ap´ os, u ´ ltima, C´ upula, j´ a, signat´ arias, soci´ ologo, comitˆ e, Solid´ aria, cr´ıtica, dinamarquˆ es, N´ os, At´ e, c´ upula, d´ uvidas, equil´ıbrio, macro-econˆ omico, desequil´ıbrios. L´ıngua Portuguesa – 03 1 C)

2 C)

3 E)

4 B)

5 E)

6 E)

7 E)

L´ıngua Portuguesa – 04 1 B)

2 E)

3 A)

4 D)

L´ıngua Portuguesa – 05 1 A) se arrepiava , B) se ouvia , C) lhe vinha , D) lembrou-se , E) lhe importava , F) escutou-se , G) Levanta-se , H) se vendem , I) me levaram , J) se babando 2 C) 3 43 (01,02,08,32) 4 C) 5 E) 6 C) L´ıngua Portuguesa – 06 1 A) ` a janela

, C) ` a disciplina

2 C)

3 C)

` A,A,A,A,A ` 4 A,

5 E)

6 A)

L´ıngua Portuguesa – 07 1 E)

2 E)

3 B)

4 C)

5 A)

6 D)

L´ıngua Portuguesa – 08 1 A) 2 A) 3 D) 4 E) 5 A) discri¸ c˜ ao tachado 6 A) anti , B) anti , C) ante ´ mau , C) mal HISTORIA Hist´ oria – Aula 1

, B) retificar , C) vultosa , D) eminente , E) infringisse 7 F CBADE 8 A) a , B) H´ a , C) H´ a , D) a 9 A) Mal

, G) , B)

Referˆ encias Bibliogr´ aficas ´ [1] LVARENGA, Beatriz e MAXIMO, Antˆ onio. F´ısica. vo- [22] ARCONDES, Carlos Alberto. Matem´ atica, Volume u ´ nico, ´ lume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora: Scipione. S˜ ao Paulo: Editora Atica, 2003. [2] ONGIOVANNI, Vicenzo; LEITE, Ol´ımpio Rudinin Vis- [23] ANTOS, Carlos A. M.; GENTIL, Nelson; GRECO, S´ergio ´ soto; LAUREANO, Jos´e Luiz Tavares. Matem´ atica e E. Matem´ atica. Volume Unico. 7a edi¸ca˜o. S˜ ao Paulo: ´ ´ Vida. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Atica, 1990. Atica, 2003. [3] ONJORNO, Jos´e Roberto. Matem´ atica Fundamental, vo- [24] ETO, ANTAR. Matem´ atica B´asica. Volume u ´ nico, S˜ ao lume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora FTD, 1994 Paulo: Editora Atual, 1984. ˜ [4] ARRON, Wilson e GUIMARAES, Osvaldo. F´ısica. vo- [25] LIVEIRA, Antˆ onio Narmo; SILVA, Agostinho. Biblioteca lume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Moderna, 1999. da Matem´ atica Moderna. Tomo III, S˜ ao Paulo: Impress˜ ao e encaderna¸ca˜o da comp. Melhoramentos de S˜ ao Paulo, o [5] on Bosco, Apostila. F´ısica. 3 ano, Curitiba: Editora Don 1970. Bosco, 2004. ´ DJALMA NUNES DA SILVA. F´ısica. volume [26] ARANA, [6] ELTRE, Ricardo. Qu´ımica. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: ´ u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Atica, 2002. Editora Moderna, 2003. [27] ovoamento-Imigra¸ca˜o Coloniza¸ca˜o.Edi¸ca˜o do Autor, [7] ERRARO, Nicolau Gilberto; PENTEADO, Paulo C´esar; Joinville-SC, 1983. Hist´oria de Santa Catarina, 1o SOARES, Paulo Toledo; TORRES, Carlos Magno. F´ısica. Volume, Grafipar, 1970. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Editora Moderna, 2001. [28] AMPAIO, Jos´e Luiz e CALC ¸ ADA, Caio S´ergio. Universo ´ [8] ASPAR, Alberto. F´ısica. vol. 1, Editora Atica, S˜ ao Paulo: da F´ısica, v. 1. S˜ ao Paulo: Atual, 2001, p. 483-484. ´ Editora Atica, 2000. DOS, [9] IOVANNI, Jos´e R. ; Bonjorno, Jos´e R. ; Giovanni Jr., Jos´e [29] ANTOS, CARLOS ALBERTO ´MARCONDES ´ILIO. MaGENTIL, NELSON e GRECO, S ERGIO EM ◦ ´ R. Matem´ atica Fundamental.2 Grau. Volume Unico. S˜ ao tem´ atica para o Ensino M´edio. Volume u ´ nico, S˜ ao Paulo: Paulo: FTD, 1994. ´ Editora: Atica. [10] ALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. ˆ ´ nico, S˜ ao Fundamentos de F´ısica. Volume 1, Rio de Janeiro: editora [30] ARDELLA, ANTONIO. Qu´ımica. Volume u ´ Paulo: Editora Atica, 2002. LTC, 1993. [31] CHNEIDER, Adolfo Bernardo; HANSA HUMBOLD on´ tem, hoje CORUPA-(Baseado no arquivo de Gerhardt Herrmann), Edi¸ca˜o do autor, Corup´ a-SC, 1985.

[11] ttp://sites.uol.com.br/helderj [12] ttp://sites.uol.com.br/helderjf [13] ttp://www.coladaweb.com/fisica/gravitacao.html

[32] OUSSEF, ANTONIO NICOLAU e FERNANDEZ, VICENTE PAZ. Matem´ atica. Conceitos fundamentais. Vols. 1 e 2, S˜ ao Paulo: Editora Scipione, 1993.

[14] ttp://www.educar.sc.usp.br/ciencias/quimica. [15] ttp://www.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm [16] ttp://www.merkquimica.com.br [17] ttp://www.qmc.ufsc.com.br [18] ttp://www.vestibular1.com.br [19] EZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; TEIXEIRA, Jos´e Carlos; MACHADO, Nilson Jos´e; GOULART, M´ arcio Cintra; CASTRO, Luiz Roberto Silveira e MACHADO, Antonio dos Santos, Matem´ atica, vol. 2, S˜ ao Paulo: Atual Editora, 1991. [20] MENES, Luiz M´ ario. Dicion´ ario de Matem´ atica. S˜ ao Paulo: Editora Scipione,1998 [21] ORMANN, Jos´e; Secretaria Municipal de Educa¸ca˜o, Apostila de Estudos Sociais, Corup´ a-SC, 2003.

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