Apostila - Raciocinio Logico - Degrau Cultural

RACIOCÍNIO LÓGICO

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RACIOCÍNIO LÓGICO 1. CONJUNTOS 1.1 - Introdução A noção de conjuntos é intuitiva. Primitivamente, entende-se por conjunto todo agrupamento bem determinado de coisas, objetos, pessoas etc. Ex: Conjunto das vogais. 1.2 - Elementos São os objetos que formam o conjunto. Ex: Nos conjuntos das vogais, os elementos são: a, e, i, o, u. 1.3 - Representação Podemos representar um conjunto de dois modos: entre chaves ou através de uma linha poligonal fechada. Ex: Conjunto das vogais: V = {a, e, i, o, u }

1.7 - Conjunto unitário É o conjunto formado por um só elemento. Ex: Conjunto dos números primos pares e positivos: A={2} 1.8 - Conjunto Vazio É o conjunto que não possui elementos. Ex: Conjunto dos números inteiros entre 5 e 6. B = { } ou B = ‡ 1.9 - Conjunto Universo É o conjunto que admitimos existir para o desenvolvimento de certo assunto em matemática. É representado por U. Ex: {Segunda-feira, Sexta-feira, sábado} é o conjunto dos dias da semana que começam com a letra “s” .Neste caso o conjunto universo é: U ={x / x é dia da semana}. 1.10 - Subconjunto O conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. Ex: A = {1, 2, 3 } e B = {1, 2, 3, 4, 5} A é subconjunto de B. No diagrama:

1.4 - Caracterização Podemos caracterizar um conjunto por: a) Extensão: através da designação de todos os elementos que compõe o conjunto. Ex: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) Compreensão: através da indicação de uma propriedade de comum a todos os elementos. Ex: {x / x é algarismo indo-arábico} Obs: / (lê-se assim: tal que). 1.5 - Relação de Pertinência Para indicar que um elemento x pertence ou não a um conjunto A qualquer, escrevemos simbolicamente: x ∈ A (x pertence ao conjunto A) x ∉ A (x não pertence ao conjunto A) Ex: Dado o conjunto A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,}, podemos dizer que: 3 ∈A 1 ∈A 7∉A 1.6 - Tipos de conjuntos a) Finito: quando possui um número limitado de elementos: Ex: {a, e, i, o, u } {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) Infinito: quando possui um número ilimitado de elementos. Ex: {1, 3, 5,... } → {x ∈ IN / x é ímpar} {0, 1, 2, 3,... } → {x / x é natural }

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Para relacionar subconjuntos, conjuntos, usaremos os símbolos: ⊂ (está contido) ⊄ (não está contido) ⊃ (contém) (não contém) Se A é subconjunto de B, então: A ⊂ B; B ⊃ A Obs: 1) A ordem dos elementos não altera o conjunto. Ex: A = {3, 7, 8} é o mesmo que A = {7, 8, 3} 2) Os elementos dos conjuntos não devem ser repetidos. Ex: B = {1, 4, 4, 5, 4, 9} é o mesmo que B = {1, 4, 5, 9} 3) Representamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, ... 4) Os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, ... 1.11 - Igualdade de conjuntos Dois conjuntos A e B são iguais, se e somente se, simultaneamente A é subconjunto de B é subconjunto de A.

Central de Concursos / Degrau Cultural Ou seja, dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Ex: A = {3, 2, 1} e B = {1, 2, 3} A=B 1.12 - Conjuntos Numéricos a) IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} é o conjunto dos números naturais. b) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} é conjunto dos números inteiros. , a ∈ z, b ∈ z, b ≠ 0} é o conjunto dos c) Q = {x / x = números racionais. d) I = {x / x não é quociente de dois números inteiros} e) IR é o conjunto formado pelos conjuntos dos números racionais mais irracionais, chamados de reais.

RACIOCÍNIO LÓGICO C) Diferença Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B e indica-se por A - B, ao conjunto formado pelos que pertencem a A e não pertencem a B. A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B} Se: A = {1, 2, 3} e B = { 3, 4} então: A – B = {1,2} B – A = {4} Obs: A – B ≠ B - A Ex:

No diagrama temos:

Em diagramas temos: No diagrama temos:

D) Complementar Então: IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR 1.13 - União (U) Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A U B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} Ex: A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5} A U B = {1, 2, 3, 4, 5}

Dados dois conjuntos A e B tais que A é subconjunto de B, chama-se complementar de A em relação a B e indica-se por , ao conjunto dos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Ex:

= B –A A = { 1, 2, 3 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5 } = B – A = { 4, 5 }

No diagrama temos: Estruturas Lógicas Proposição é todo o conjunto de palavras, símbolos que representam um pensamento completo. Princípios A lógica matemática se fundamenta em dois princípios básicos: B) Intersecção ( ) Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. A B = {x / x ∈ A e x ∈ B} Ex: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4,} A B = {3} No diagrama temos:

I) Princípio da não contradição: Uma proposição não poderá ser ao mesmo tempo falsa e verdadeira. II) Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não existe um terceiro caso. Valor lógico de uma proposição Uma proposição poderá ter valor lógico verdade ou falsidade. Toda proposição tem um e, um só dos valores V ou F. Proposição simples ou proposição atômica É aquela que não tem nenhuma outra proposição como parte integrante. Representaremos pelas letras latinas minúsculas p, q, r, s... p: Antonio é alto. q: 2 é um número ímpar.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Proposição composta ou proposição molecular. É aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Representaremos pelas letras latinas maiúsculas P, Q, R, S... P: Antonio é alto ou 2 é um número ímpar.

Central de Concursos / Degrau Cultural d) Disjunção Exclusiva ( ) Representa a disjunção de duas proposições ligadas através do conectivo ou...ou.. (p q). Seus valores lógicos são:

Conectivos São palavras usadas para ligar proposições, assim criando novas proposições. Os Conetivos são: p q: lê-se ou p ou q, mas não ambos ou Carlos é engenheiro ou 5 é primo. e) Condicional ( ) Representa a conjunção de duas proposições ligadas através do conectivo se... então (p q). Seus valores lógicos são: TABELA-VERDADE Dispositivo prático na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes das proposições simples. p q: lê-se: se p então q; q se p; p somente se q. Poderemos também, interpretar da seguinte forma: (a) p é condição suficiente para q (b) q é condição necessária para p Se Carlos é engenheiro, então 5 é primo. Operações Lógicas sobre proposições Quando analisamos proposições realizamos uma série de operações, vamos conhecê-las e também as suas tabelas-verdade.

f) Bicondicional ( ) Representa a conjunção de duas proposições ligadas através do conectivo se...então (p q). Seus valores lógicos são:

a) Negação (~) Representa a negação de uma proposição. Seus valores lógicos são:

~p , lê-se: não p; não é verdade que p; não sucede p p: Antonio é professor ~p: Antonio não é professor. ∧) b) Conjunção (∧ Representa a conjunção de duas proposições ligadas através do conectivo e (p ∧q) . Seus valores lógicos são:

p ∧ q: lê-se: p e q; p mais q. Carlos é engenheiro e 5 é primo. c) Disjunção (∨) Representa a disjunção de duas proposições ligadas através do conectivo ou (p ∨ q). Seus valores lógicos são:

p ∨ q: lê-se: p ou q. Carlos é engenheiro ou 5 é primo.

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p q: lê-se: p se, e somente se, q; p é equivalente a q. Poderemos também, interpretar da seguinte forma: p é condição necessária e suficiente para q Carlos é engenheiro se e somente se 5 é primo. ER1. (FT_98) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano Resolução: Temos as seguintes proposições: Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. (I) Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. (II) Considerando a proposição: Ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Essa proposição será verdadeira se somente uma das proposições for verdadeira. Considerando que Caio é o mais velho, então Adriano não é o mais velho. Considerando a proposição: Ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.

Central de Concursos / Degrau Cultural Essa proposição será verdadeira se pelo menos uma das proposições for verdadeira. José é o mais velho é falso pela (II), então Adriano é o mais moço. Alternativa: B ER2. (FT_98) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Resolução: A negação da de uma proposição do tipo “Se A então B” (A B), é a afirmação da primeira e negação da segunda. ~ (A B) ⇔ A ∧ B Logo, a negação de: “Se estiver chovendo, (então) eu levo o guarda-chuva”. “Está chovendo, eu não levo o guarda-chuva”. Alternativa: E ER3. (FT_98_ESAF) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista Resolução: Do ponto de vista da lógica, a negação da primeira ou afirmação da segunda (~A ∨ B), é equivalente a dizer que a afirmação da primeira implica na afirmação da segunda (A B). ~A ∨ B ⇔ A B Logo: “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” ⇔ “se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista” Alternativa: A

RACIOCÍNIO LÓGICO Logo, essa proposição representa uma tautologia. Alternativa: A Lógica de Argumentação Chama-se de argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições tem como conseqüência uma proposição final. As proposições iniciais são as premissas do argumento, e a proposição final é a conclusão do argumento. Poderemos usar os termos hipótese no lugar de premissa e tese no lugar de conclusão. P1: Todos os diplomatas são gordos. P2: Nenhum gordo sabe nadar. C: Logo, os diplomatas não sabem nadar. Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se silogismo. Validade de um argumento Um argumento P1, P2,...,Pn |----- C diz-se válido, se e somente se a conclusão C é verdadeira todas as vezes que premissas P1, P2,...,Pn são verdadeiras. Um argumento não-válido recebe o nome de sofisma. Critério de validade de um argumento Um argumento P1, P2,...,Pn |------ C é válido, se e somente se a condicional: (P1 ∧ P2, ∧....∧Pn) ⇒ C é tautológica. ER5. (ICMS_SP_02) Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar. Segue-se que: a) Algum diplomata não é gordo b) Algum diplomata sabe nadar c) Nenhum diplomata sabe nadar d) Nenhum diplomata é gordo e) Algum gordo sabe nadar Resolução: Poderemos usar a teoria dos conjuntos para a resolução do exercício. Vamos representar cada frase por diagramas de conjuntos

TAUTOLOGIAS Sentenças moleculares que são sempre verdadeiras, independentemente do valor lógico das proposições que a constituem, são chamadas tautologias. ER4. (FT_98) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo Resolução: Analisando a proposição se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

Como não há intersecção entre o conjunto dos Gordos e o dos Nadadores, então não existe a possibilidade de algum diplomata saber nadar, logo nenhum diplomata sabe nadar. Alternativa: C

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REGRAS DE INFERÊNCIA

EXERCÍCIOS

As tabelas que se seguem contém alguns dos argumentos válidos mais importantes da lógica. O conhecimento da validade destes dez argumentos permite-nos inferir a validade de muitos outros argumentos. Por esse motivo eles são chamados de

01. (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: d) algum G é A a) algum A não é G b) algum A é G e) nenhum G é A c) nenhum A é G

Regras de Inferência. 02. (TTN) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1 , 3, x, 1 0, y, 6}. Sabendo que a interseção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y - (3x + 3) é igual a a) -28 d) 6 b) -19 e) 0 c) 32 03. (Fiscal do Trabalho/98) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em francês, 110 em inglês e 40 não estão matriculados nem em inglês, nem em francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado, em pelo menos uma dessas disciplinas (isto e, em inglês ou em francês) é igual a: a)

d)

b)

e)

c)

Exemplo: 1) Vamos usar a regra modus ponens para verificar a validade do argumento: Se Maria é francesa, então Guilherme é italiano. Se Guilherme é italiano, então Orlando é chinês. Mas Maria é francesa. ------------------------------------------------------------------------Logo Orlando é chinês. Representando simbolicamente as proposições por A: Maria é francesa, B: Guilherme é italiano e C: Orlando é chinês, o argumento dado é da forma: (1) Se A, então B (2) Se B, então C (3) A -----------------------(4) C onde (1), (2) e (3) são as premissas e (4) é a conclusão; das premissas (1) e (3) podemos concluir, via “modus ponens”, que a proposição B é verdadeira e assim, no nosso argumento, podemos usar a proposição proposição B como uma nova premissa. Temos então verdadeira as seguintes proposições (1), (2), (3) e (4), mostrando que o argumento é válido.

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04. (AFC/96) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo, a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 05. (AFC/96) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente, a) Preto, branco, azul. b) Preto, azul, branco. c) Azul, preto, branco. d) Azul, branco, preto e) Branco, azul, preto. 06. (AFC/96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que

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a) b) c) d) e)

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Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então, Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro. Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade. Carlos e João são mais moços do que Pedro. Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.

, e são operadoposições e os símbolos res lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.

07. (AFC/96) Os dois círculos abaixo representam, respectivamente, o conjunto S dos amigos de Sara e o conjunto P dos amigos de Paula.

a) b) c) d) e)

Sabendo que a parte sombreada do diagrama não possui elemento algum, então: Todo amigo de Paula é também amigo de Sara. Todo amigo de Sara é também amigo de Paula. Algum amigo de Paula não é amigo de Sara. Nenhum amigo de Sara é amigo de Paula. Nenhum amigo de Paula é amigo de Sara.

08. (AFC/96) Com relação a dois conjuntos quaisquer, Z e P, é correto afirmar que: a) Se (Z P) = P, então P ⊂ Z P) = Z, então Z⊂ P b) Se (Z c) Se (Z P) = φ , então (Z ∪ P) = φ d) Se (Z P) = φ, então Z = ou P = φ e) Se (Z P) = P, então Z = φ

11. Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes. a) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Q). b) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q. c) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como P Qé V, então a sentença representada por falsa. d) O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a 9. 12.

09. (ICMS_2002) Indique a alternativa em que as proposições formam um conjunto inconsistente. a) Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas. b) Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Bauru. c) Se o avião tem problema de motor, então não pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas. d) Se o avião tem problema de motor, então pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então pousa em Bauru. O avião não pousa em Campinas nem em Bauru. e) Se o avião tem problema de motor, então não pousa em Campinas. Se o avião não tem problema de motor, então não pousa em Bauru. O avião pousa em Campinas. 10. De quantas maneiras cinco pessoas: A, B, C, D e E, podem ser dispostas em fila indiana começando por A ou B? a) 120. d) 60. b) 24. e) 42. c) 48. Texto para os itens de 11 e 12 (TCU/2004) Considere que as letras P, Q e R representam pro-

As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada). Os símbolos e são operadores lógicos que significam, respectivamente, não e então, e a definição de V é dada na seguinte tabela verdade.

a)

b)

Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à forma de dedução. Considere a seguinte argumentação. Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros. Juízes cometem erros. Portanto, juízes não são deuses. Essa é uma dedução da forma IV. Considere a seguinte dedução. De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O réu roubou um carro. Portanto, o réu não roubou uma motocicleta. Essa é uma dedução da forma II.

7

RACIOCÍNIO LÓGICO c) d)

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Dadas as premissas P Q; Q; R P, é possível fazer uma dedução de R usando-se a forma de dedução IV. Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas premissas forem verdadeiras.

13. (TCU/2004) A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então Q(x) é verdade e, para x = c, se P(c) é verdade, então conclui-se que Q(c) é verdade. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. a) Considere o argumento seguinte. Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do responsável é julgada regular. A prestação de contas da Presidência da República expressou, de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da Presidência da República foi julgada regular. Nesse caso, o argumento não é válido. b) Considere o seguinte argumento. Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato antieconômico. Nessa situação, esse argumento é válido. 14. (TCU/2004) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. a) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos. b) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11.000 códigos distintos. c) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15.000. 15. (TCU/2004) 20. Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus (♣), espadas (♠), copas (♥) e ouros (♦). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes. a) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a b)

Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a

c)

8

.

.

A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter

uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 16. A) B) C)

a) b) s) d) e)

.

(AFTN/98) Considere as afirmações: se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas: são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga. implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga. implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga. são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga. são inconsistentes entre si.

17. (MPOG/2002) M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w - 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M + H = 1. Ora, M + H 1. Logo, a) 2w -3r = 0 d) 2x + 3y 2w - 3r b) 4p + 3r 2w - 3r e) M = 2w - 3r c) M2x + 3y 18. (MPOG/2002) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras. d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e) nenhuma menina alegre é loira. 19. (MPOG/2002) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio.- Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio: a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de Hélio. b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio. c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio. d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio. e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio. 20. (MPOG/2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador,

Central de Concursos / Degrau Cultural a) b) c)

ser amarela é igual a: 1/6. d) 1/3. e) 2/3.

4/5. 5/6.

21. (MPOG/2002) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. 22. Seis pessoas - A, B, C, D, E, F - devem sentar-se em tomo de uma mesa redonda para discutir um contrato. Há exatamente seis cadeiras em tomo da mesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da mesa e numa posição diametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição das pessoas à mesa deve satisfazer às seguintes restrições: F não pode sentar-se ao lado de C E não pode sentar-se ao lado de A D deve sentar-se ao lado de A Então uma distribuição aceitável das pessoas em tomo da mesa é: a) F, B, C, E, A, D. d) F, D, A, C, E, B. b) A, E, D, F, C, B. e) F, E, D, A, B, C. c) A, E, F, C, D, E. 23. Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à Africa, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então, Luís compra um Livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África. b) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro. c) Ana não vai à África e Luís compra um livro. d) Ana vai à África ou Luís compra um livro. e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma. 24. Dizer que é verdade que para todo x, se x é uma rã e se x é verde, então x está saltando é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que: a) “algumas rãs que não são verdes estão saltando”. b) “algumas rãs verdes estão saltando”. c) “nennuma rã verde não esta saltando”. d) “existe uma rã verde que não está saltando”. e) “algo que não seja uma rã verde está saltando”. 25. Dizer que “André é artista ou Bemardo não é engenheiro” é logicamente eqüivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bemardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bemardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bemardo é engenheiro. 26. Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,

RACIOCÍNIO LÓGICO a) b) c) d) e)

todo responsável é artista. tudo responsável é filósofo ou poeta. todo artista é responsável. algum filósofo é poeta. algum trabalhador é filósofo.

27. Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “Nenhum Músico é poeta’’, então, também e necessariamente ver que: a) nenhum músico é escritar. b) algum escritor é músico. c) algum músico é escritor. d) algum escritor não é músico. e) nenhum escritor é músico. 28. Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora. Beto não briga com Bia. Logo, a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia. b) Boa vai ao bar e Beatriz ouga com Bia. c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz. d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz. 29. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é fllna de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda. 30. A partir das seguintes premissas: Premissa 1: “X é A e B, ou X é C” Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C” Premissa 3: “Y não é C” Conclui-se corretamente que X é: a) A e B. b) não A ou não C. c) A ou B. d) A e não B. e) não A e não B. 31. Maria é magra ou Bemardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo. b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. c) César é careca e Maria é magra. d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e) Lúcia é linda e César é careca. 32. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos convidados a uma festa: A) Gustavo chegou antes de Alberto e depois de Danilo. B) Gustavo chegou antes de Beto e Beto chegou antes de Alberto se e somente se Alberto chegou depois de Danilo. C) Carlos não chegou junto com Beto se e so-mente se Alberto chegou junto com Gustavo. Logo. a) Carlos chegou antes de Alberto e depois de Danilo. b) Gustavo chegou junto com Carlos. c) Alberto chegou junto com Carlos e depois de Beto. d) Alberto chegou depois de Beto e junto com Gustavo.

9

RACIOCÍNIO LÓGICO e)

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Beto chegou antes de Alberto e junto com Danilo.

c)

33. Se Vera viajou, nem Camite nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vandertéia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo. a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram.

d) e)

34. Em uma pequena comunidade, sabe-se que “nenhum filósofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade: a) alguns filósofos são professores. b) alguns professores são filósofos. c) nenhum filósofo é professor. d) alguns professores não são filósofos. e) nenhum professor é filósofo. 35. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum então: a) nennum professor de violão é professor de canto. b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro. c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro. d) todos os professores de piano são professores de canto. e) todos os professores de piano são professores de violão. 36. Ou Anais será professora, ou Anelise será canto-ra, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: a) Anais será professora e Anelise não será cantora. b) Anais não será professora e Ana não será atleta. c) Anelise não será cantora e Ana será atleta. d) Anelise será cantora ou Ana será atleta. e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista. 37. Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que: a) todos não-artistas são não-atletas. b) nenhum atleta é não-artista. c) nenhum artista é não-atleta. d) pelo menos um não-atleta é artista e) nenhum não-atleta é artista. 38. Em uma cidade há dois irmãos gêmeos, Pedro e Paulo. Pedro sempre mente e Paulo sempre diz a verdade. Uma pessoa fez duas perguntas a eles; um dos irmãos respondeu à primeira, e o outro, à segunda. As perguntas foram: I) seu nome é Pedro? II) como seu irmão responderia à primeira pergunta? Pode-se afirmar que: a) As respostas obtidas foram sim e sim. b) As respostas obtidas foram sim e não.

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Se a segunda resposta for sim, o interpelado é Pedro. As respostas obtidas foram não e não. As respostas obtidas foram não e sim.

39. Num país há apenas dois tipos de habitantes: os verds; que sempre dizem a verdade e os falcs, que sempre mentem. Um professor de Lógica, recém chegado a este país, é informado por um nativo que glup e plug, na língua local, significam sim e não mas o professor não sabe se o nativo que o informou é verd ou falc. Então ele se aproxima de três outros nativos que estavam conversando juntos e faz cada um deles duas perguntas: 1º Os outros dois são verds? 2º Os outros dois são falcs? A primeira pergunta é respondida com glup pelos três mas à segunda pergunta os dois primeiros responderam glup e o terceiro respondeu plug. Assim, o professor pode concluir que: a) todos são verds. b) todos são falcs. c) somente um dos três últimos é falc e glup, significa não. d) somente um dos três últimos é verd e glup significa sim. e) há dois verds e glup significa sim. 40. (Adaptação do texto da revista seleções) Cada um dos membros dessa família tem um carro de cor diferente. As pessoas são Adão, Ângela, George, Júlia, Mila, Ronaldo e Stela. As cores dos carros são (não necessariamente nessa ordem): preto, azul, marrom, verde, cinza, rosa e vermelho. Quem é quem na árvore genealógica e qual a cor do carro de cada um?

a) b)

A irmã de Ronaldo tem um carro azul. Ângela tem um carro cinza, e seu pai, um carro preto. c) A filha de Mila tem um carro rosa. O marido de Mila (cujo carro não é marrom) não é George. d) Júlia às vezes pede emprestado o carro de sua prima, quando o dela está no conserto. e) Stela não é da mesma geração (de pais ou de filhos) que Adão (cujo carro não é nem marrom nem vermelho). Com base nas afirmações acima (todas verdadeiras), julgue os itens que se seguem: I – A pessoa A é Ronaldo e tem o carro azul. II – A pessoa B é Mila e tem o carro marrom se, e somente se, a pessoa C for George e tiver o carro cinza. III – A pessoa D é Júlia e tem o carro rosa. IV – Se a pessoa F é Adão e tem o carro verde, então a pessoa G é Ângela e tem o carro cinza.

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V – A pessoa E é Mila e a pessoa D é Stela. b)

(Papiloscopista/2004) Texto para os itens 41 e 44. Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P Æ Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras ∧ situações; a conjunção de P e Q, denotada por P∧ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. 41. A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes. a) As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q Æ ¬ P são iguais. ÆS) (QÆ ÆS) posb) As proposições (P v Q) ÆS e (PÆ suem tabelas de valorações iguais. c) O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24. 42. Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou ¬R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue os itens que se seguem. ÆQ é a) De acordo com a regra da contradição, PÆ

verdadeira quando ao supor P ∧ ¬ Q verdadeira, obtém-se uma contradição. Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

43. Considere as quatro sentenças enumeradas a seguir. I - Para cada y, existe algum x, tal que x < y. II - Para cada x e para cada y, se x < y então existe algum z, tal que x < z e z < y. III - Para cada x, se 0 < x, então existe algum y tal que x = y × y. IV - Existe algum x tal que, para cada y, x < y. Suponha que, nessas sentenças, x, y e z sejam variáveis que podem assumir valores no conjunto dos números naturais (IN), no dos números inteiros (Z), no dos números racionais (Q) ou no conjunto dos números reais (IR). Em cada linha da tabela a seguir, são atribuídas valorações V e F, para cada uma das quatro sentenças enumeradas acima, de acordo com o conjunto no qual as variáveis x, y e z assumem valores.

a) b)

Julgue os itens subseqüentes, a respeito dessas sentenças. As avaliações dadas para as sentenças I e III estão corretas. As avaliações dadas para as sentenças II e IV estão corretas.

44. Dadas as proposições: p: Pedro é pedreiro; q: Paulo é paulista. E as tabelas verdades:

I– II – III – IV – V–

Julgue os itens a seguir: “Se Pedro é pedreiro então Paulo é paulista” é equivalente a dizer “Se Paulo não é paulista então Pedro não é pedreiro”. p ⇔ ~p é uma contradição. (p q) (p q) é tautologia. p q é equivalente a p q. Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista tem como negação Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista. GABARITO 01. A 02. E 03. B 04. A 11. C, C, E, C 12. C, E, C, C 16. D 17. E 18. E 19. B 26. C 27. D 28. C 29. B 36. A 37. D 38. C 39. C 43. E, E 44. C, C, C, E, C

05. B 06. E 13. E, E 20. A 21. D 30. A 31. A 40. E, E, E, C, E

07. A 08. A 14. E, E, C 22. D 23. A 32. A 33. E 41. E, E, C

09. D 10. C 15. C, E, C 24. D 25. D 34. D 35. A 42. C, C

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PROVAS DE CONCURSOS ANTERIORES

•

Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho

a) b) c)

Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho. 60 alunos. d) 36 alunos. 48 alunos e) 32 alunos. 42 alunos.

AUXILIAR ADMINISTRATIVO NOSSA CAIXA NOSSO BANCO - 2002 01. Ao final de uma corrida com 5 atletas, sabe-se que: Antônio chegou depois de Carlos. Ricardo e Jurandir chegaram ao mesmo tempo. Dirceu chegou antes de Carlos. O corredor que ganhou, chegou sozinho. a) b) c)

Pode-se dizer que quem ganhou a corrida foi: Antônio. d) Jurandir. Carlos. e) Ricardo. Dirceu.

02. A tira a seguir foi composta, a partir do 3º número, por uma regra.

a) b) c) d) e)

Os três números que continuam essa seqüência são, respectivamente: 47, 76, 123. 38, 49, 58. 31, 43, 57. 58, 71, 97. 36, 72, 144.

03. Analise a seqüência de triângulos abaixo:

06. Indique a alternativa que mostra uma conclusão correta a partir da premissa. Todas as irmãs de Vera são loiras. a) Se Ana é irmã de Vera, então Ana não é loira. b) Se Joana é loira, então ela é irmã de Vera. c) Se Alice não é loira, então ela não é irmã de Vera. d) Vera é loira. e) Vera é morena. 07. Todo torcedor do time A é fanático. Existem torcedores do time B que são fanáticos. Marcos torce pelo time A e Paulo é fanático. Pode-se, então, afirmar que: a) Marcos é fanático e Paulo torce pelo time A. b) Marcos é fanático e Paulo torce pelo time B. c) Marcos também torce pelo time B e Paulo torce pelo time A. d) Marcos também torce pelo time B e o time de Paulo pode não ser A nem B. e) Marcos é fanático e o time de Paulo pode não ser A nem B. 08.

O triângulo que continua essa seqüência é: a)

d) a)

b)

e)

c)

b) c) d)

04. Analise a seqüência: e)

O número de quadrinhos claros na figura que ocupa a 10ª posição dessa seqüência é: a) 100 d) 40 b) 90 e) 10 c) 50 05. Uma professora levou alguns alunos ao parque de diversões chamado Sonho. Desses alunos: • 16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de montanha russa. • 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho. • Ao todo, 20 já andaram de montanha russa.

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Antônio tem alguns cartões. Cada cartão tem uma letra em uma das faces e um número em outra. Antônio disse a Pedro: “se na face de um cartão está escrita uma vogal, então no verso há um número par”. Antônio mostrou três cartões: o primeiro tinha a letra A e o número 4, o segundo tinha a letra B e o número 6, e o terceiro, a letra C e o número 7. Para esses três cartões, pode-se afirmar que a informação dada por Antônio estava: Incorreta, pois no verso do cartão da letra B deveria haver um número ímpar. Incorreta, pois no verso do cartão da letra A deveria haver um número ímpar. Incorreta, pois no verso do cartão da letra C deveria haver um número par. Correta, pois no verso do cartão com vogal deve haver um número par. Correta, pois no verso do cartão com vogal deve haver um número ímpar.

09. Todos os estudantes de medicina são estudiosos. Alguns estudantes de medicina são corintianos. Baseando-se apenas nessas duas afirmações, pode-se concluir que: a) Nenhum estudioso é corintiano. b) Nenhum corintiano é estudioso. c) Todos os corintianos são estudiosos. d) Todos os estudantes de medicina são corintianos. e) Existem estudiosos que são corintianos. 10. Veja a seqüência dos chamados números triangulares:

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a) b) c) d) e)

O quinto, o sexto e o sétimo termos dessa seqüência são: 15, 21 e 28. 16, 23 e 31. 20, 40 e 80. 14, 18 e 23. 17, 23 e 28. GABARITO 01. C 06. C

02. A 07. E

03. D 08. D

04. B 09. E

05. B 10. A

TÉCNICO DO MPU – APLICADA EM 04/07/2004 01.

a) b) c) d) e)

Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

02. Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor. e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 03. Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente. c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 04. Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qual-

RACIOCÍNIO LÓGICO a) b) c)

quer seqüência das teclas A e B, é 87. d) 85. 95. e) 96. 92.

05. Você está à frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem sempre dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Você não sabe se ambos são mentirosos, se ambos são verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qual das portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relação: P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e se você é veraz ele também o é)? P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P3: O outro guarda é mentiroso? P4: Você é veraz?

a) b) c) d) e)

Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião. P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme. P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme. P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme. P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião.

06. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a a) 1/7. d) 5/7. e) 4/7. b) 1/3. c) 2/3. 07. A operação ∇ x é definida como o triplo do cubo de x, e a operação Ω x é definida como o inverso de x. Assim, o valor da expressão

a) b) c)

é igual a: 15. 20. 25.

d) e)

45. 30.

08. Sejam as matrizes

e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a

13

RACIOCÍNIO LÓGICO a) b) c)

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razão entre x31 e x12 é igual a: 2. d) 1/3. 1/2. e) 1. 3.

09. A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S é igual a: a) 1. d) 2. b) 3. e) 6. c) 4. 10. Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações

a) b) c) d) e)

em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que se m 0 e a = 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. se m = 0, o sistema é impossível. se m = 6, o sistema é indeterminado. se m 0 e a 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. se m 0 e m 6, o sistema é possível e determinado. GABARITO 01. A 06. B

02. C 07. C

03. E 08. A

04. B 09. D

05. D 10. E

TÉCNICO ADMINISTRATIVO DO MPU APLICADA 17/10/2004 01. Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo, em horas, que o avião YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a: a) 2 / (x+y) horas. d) 1/ 2y horas. b) x / (y-x) horas. e) x / 2 (y-x) horas. c) 1 / 2x horas. 02. Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a: a) 1/3. d) 4/5. b) 1/5. e) 3/5. c) 9/20.

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03. Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a: a) 20. d) 120. b) 30. e) 360. c) 24. 04. Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Sheakespeare. A probabilidade de que Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a: a) 0,500. d) 0,072. b) 0,375. e) 1,000. c) 0,700. 05. Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a

a) b) c)

1. 2. 3.

d) e)

4. 5.

06. Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a:

Central de Concursos / Degrau Cultural a) b) c)

1/2. 1/3. 2/3.

d) e)

2/5. 1.

07. Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e) médico, músico, professor. 08. Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos completados, é igual: a) à idade de Júlia mais 7 anos. b) ao triplo da idade de Júlia. c) à idade de Júlia mais 5 anos. d) ao dobro da idade de Júlia. e) à idade de Júlia mais 11 anos. 09. Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que, a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo. c) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo. d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.

RACIOCÍNIO LÓGICO 01. a) b) c)

Complete a série: BDGLQ ...... R d) X T e) Z V

02. a) b) c)

ADFI : I J L

CFH...... d) N e) P

03. Relacione as séries que possuem a mesma seqüência lógica e assinale a opção que mantém a numeração correta. (1) A F B E ( ) HNLJ (2) B G E D ( ) LPNL (3) L H E B ( ) HNIM (4) G L I G ( ) UROL a) b) c)

2413 2143 2431

d) e)

1432 1423

MSOQ JMOQ JQPL

d) e)

JQOM GOMJ

d) e)

48 64

04. a) b) c) 05.

a) b) c)

9 36 42

06.

10. O determinante da matriz:

x=

a) b) c)

07.

onde a e b são inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é igual a: - 60a. d) 20ba2. 0. e) a(b-60). 60a.

a)

d)

b)

e)

GABARITO 01. E 06. C

02. A 07. E

03. D 08. D

04. C 09. B

05. B 10. A

BANCO CENTRAL - 1994 RACIOCÍNIO LÓGICO-NUMÉRICO Atenção: nas questões desta prova que envolvem seqüências de letras, utilize o alfabeto oficial que não inclui as letras k, w e y.

c)

08. Sabendo-se que se somarmos dois números pares encontraremos um número par; se somarmos dois números ímpares, também encontraremos um número par e somente, se somarmos um número par com um número ímpar, encontraremos um número ímpar, é correto pensar que, em um jogo de par-ou-ímpar:

15

RACIOCÍNIO LÓGICO a) b) c) d) e)

Central de Concursos / Degrau Cultural

terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número ímpar terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir impar e colocar um número par. terá maior probabilidade de sair vitorioso o jogador que pedir par e colocar um número par. terá maior probabilidade de sair vitorioso o jogador que pedir par e colocar um número ímpar os dois jogadores terão sempre a mesma probabilidade de vencer.

09.

abaixo. I - a bola amarela está depois da branca II - a bola azul está antes da verde. III - a bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes desta. IV - a bola verde é a menor de todas. a) b) c) d) e) 15.

10. Considerando as afirmativas abaixo, marque a única opção logicamente possível: I - Assinale a letra A, se E estiver certa. II - Assinale a letra C, se B for incorreta. III - a letra E será o gabarito, se D for a opção verdadeira. IV - se D estiver correto, B também estará. a) b) c)

A B C

d) e)

D E

11.

a)

12. Três dados idênticos, com as faces numeradas de 1 a 6, são sobrepostos de modo que as faces unidas tenham o mesmo número, como ilustrado abaixo. Desta forma, a soma dos números contidos nas faces traseiras dos dados é igual a:

b)

c) a) b) c)

4 5 7

d) e)

10 12

13. d)

a) b) c)

5 6 7

d) e)

8 9

14. Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas, de acordo com as alternativas

16

e)

branca, amarela, azul e verde branca, azul, amarela e verde branca, azul, verde e amarela. azul, branca, amarela e verde. azul, branca, verde e amarela.

Central de Concursos / Degrau Cultural 16. Considere a seguinte equivalência.

RACIOCÍNIO LÓGICO a) b) c)

21 25 30

d) e)

35 40

Agora, relacione a coluna da esquerda com a coluna da direita e assinale a opção que contém a numeração correta. (1) (2) (3) (4)

J3#XV 2H@L8 J&7V? %#L85

( ( ( (

) ) ) )

%LH5X 2H3?@ J#V&X %L78@

a) b) c)

3421 2432 3241

d) e)

4321 1432

160 135 120

d) e)

108 100

17. a) b) c)

18.

a)

d)

b)

e)

c)

19.

a) b) c)

19 T 20 U 21 V

d) e)

22 X 23 Z

20. Se considerarmos que cada valor expresso nos círculos representa a soma dos números que estão nos 2 vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo, a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a:

GABARITO 01. D

02. C

03. A

04. D

05. D

06. E

07. B

08. E

09. E

10. C

11. E

12. B

13. A

14. B

15. C

16. A

17. B

18. C

19. A

20. A

17