Apostila Notacao Indicial UTFPR

TENSORES C ARTESIANOS  ARTESIA NOS Tensores:

• representam uma generalização generalização dos vetores • são independentes independentes do sis sistema tema de coordenadas coordenadas •  são representados através de suas componentes em um dado sistema Exemplos de Tensores Escalar - número (tensor de ordem zero): 1 5 energia

⎧−1⎫ ⎪ ⎪ Vetor (tensor de primeira ordem): ⎨ 2 ⎬ , ⎪ 1⎪ ⎩ ⎭

⎧u ⎫ ⎪ ⎪ ⎨v⎬ , ⎪w⎪ ⎩ ⎭

⎡ 1 2 5⎤ Matriz (tensor de segunda ordem): ⎢⎢4 3 2⎥⎥ , ⎢⎣8 9 5⎥⎦

⎧ a1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨a2 ⎬ ⎪a ⎪ ⎩ 3⎭ ⎡1 0 0⎤ ⎢0 1 0⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

⎡σ xx σ xy σ xz ⎤ ⎢ ⎥ matriz de tensões ⎢σ yx σ yy σ yz ⎥ ⎢⎣σ zx σ zy σ zz ⎥⎦ ⎡a11 a12 ⎤ ⎢a ⎥ ⎣ 21 a22 ⎦

NOTAÇÃO INDICIAL Algumas das equações que regem os problemas de Engenharia podem ser formuladas em termos de quantidades independentes das coordenadas. Estas equações, normalmente, são bastante longas e seu “manuseio” pode ser extremamente tedioso. Neste tópico serão fornecidas algumas regras para notação destas equações, que propiciam uma substancial economia de tempo, sem perda da capacidade de fornecer informações por parte das equações. Adicionalmente, este conjunto de

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

2

regras possui um formato bastante adequado à implementação computacional. Esta notação i ndicial  (NI). notação é denominada notação

1. Representação Representação de Tensores em Notação Indi cial

Seja a (a ou a) um vetor de dimensão dimensão 3:

⎧ a1 ⎫ ⎪ ⎪ a = ⎨a2 ⎬ ⎪a ⎪ ⎩ 3⎭

O vetor a pode ser representado por somente um símbolo subscrito (índice), o qual representa a i-ésima coordenada do vetor a: ai Convenção: • índices latinos (i, j, k, l, ...) variam variam de 1 a 3 (representam (representam o espaço espaço tridimensional) • índices gregos (α, β, γ, ...) variam de 1 a 2 (representam o espaço bidimensional Exemplos:  ⎧P ⎫ Vetores: Pα  ou Pβ  ou Pγ : P = ⎨ 1 ⎬ (bidimensional - 2 componentes) ⎩P2 ⎭ ⎧P1 ⎫ ⎪ ⎪ Pi ou P j ou Pk  : P = ⎨P2 ⎬ (tridimensional - 3 componentes) ⎪P ⎪ ⎩ 3⎭ ⎡A 11 A 12 A 13 ⎤  ⎡ A A ⎤ Matrizes: A ij  :  A = [A] = ⎢⎢A 21 A 22 A 23 ⎥⎥ , Aαβ :  A = [A] = ⎢ 11 12 ⎥ ⎣A 21 A22 ⎦ ⎢⎣A 31 A 32 A 33 ⎥⎦

⎡σ11 σ12 σ13 ⎤ σij : ⎢⎢σ21 σ22 σ23 ⎥⎥ ⎢⎣σ31 σ32 σ33 ⎥⎦

2. Convenção Soma - Índices Mudo s Considere a soma s = a1 x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 +



+ a n xn ,

a qual pode ser escrita em forma simplificada como

(1)

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3

n

s=

a i xi . ∑ i =1

(2)

Uma implementação computacional desta operação, utilizando a linguagem Fortran 77, é mostrada abaixo: s = 0.0 do i = 1, n  s = s + a(i) * x(i) end do

Naturalmente, esta rotina e a eq. (2) podem ser escritas de forma diferente, mas exatamente com o mesmo significado. Ou seja n

s=

a j x j , ∑  j = 1

(3.a)

n

s=

a m xm , ∑ m=1

(3.b)

etc. Os índices i, j e m, nas eqs. (2) e (3) são denominados índices mudos , visto que o resultado final da equação é independente do índice utilizado. Convenção de Soma de Einstein: Sempre que um índice aparece repetido em uma equação, este é um índice mudo e indica uma soma ao longo do intervalo 1, 2, 3, … n.

Desta maneira, as eqs. (1) a (3) podem ser escritas, em formato simplificado, suprimindo o símbolo de somatório, como: s = a i xi = aj xj = a m x m

com i, j, m = 1, 2, 3, …, n.

(4)

Devido a natureza vetorial das equações que definem problemas de Engenharia e destas serem escritas, normalmente, nos espaços bi e tridimensional, pode-se adicionar uma nova convenção à convenção de soma de Einstein, desta feita relacionada ao intervalo de validade dos índices das equações. Assim: Índices gregos:

α, β, δ, γ, κ, ξ, ζ, etc.

Intervalo de variação: 1 a 2.

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Índices latinos:

4

i, j, k, l, m, n, p, r, s, t, etc. Intervalo de variação: 1 a 3.

Note-se que um índice nunca poderá aparecer mais de duas vezes em uma equação. Ou seja, a expressão a mm xm xp não   possui significado algum em NI. Além disso, a convenção soma pode ser empregada para somatórios duplos, triplos, etc. A seguir, alguns exemplos de utilização da convenção soma de Einstein: 2

v = v i v i = v1 v1 + v 2 v 2 + v 3 v 3 

(5.a)

u ⋅ v = u α v α = u1 v 1 + u 2 v 2  

(5.b)

a ij xi xj = a i1 xi x1 + a i2 xi x 2 + a i3 xi x 3 =

= a11 x1 x1 + a 12 x1 x2 + a 13 x1 x3 + + a 21 x 2 x1 + a 22 x2 x2 + a 23 x2 x3 +

 

(5.c)

+ a 31 x 3 x1 + a 32 x3 x2 + a 33 x3 x3

3. Índices Livres Considere o seguinte sistema de equações: v1 = a 11 x1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 v 2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3  

(6)

v 3 = a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3

Utilizando NI, as eqs. (6) podem ser escritas como v1 = a 1m x m v 2 = a2m x m  

(7)

v3 = a3m x m

Através de uma notação simplificada, o conjunto de eqs. (7) pode ser escrito como v i = a im x m .

(8)

Um índice que aparece somente uma vez em cada termo de uma equação (como o índice i  acima) é denominado índice livre  e pode variar em qualquer

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5

intervalo. No caso de índices gregos, estes variam de 1 a 2. No caso de índices latinos, variam de 1 a 3. A quantidade de índices livres em uma equação, escrita em NI, indica a ordem da variável final. Assim, um termo que não possua índice livre indica que este é um escalar. Caso ocorra somente um índice livre, este termo é um vetor, e assim por diante. No caso da eq. (8), esta indica que a i-ésima componente de um vetor (vi) é igual à i-ésima componente de outro vetor, calculado a partir do produto de uma matriz ([a]) por um vetor ({x}). Uma rotina em Fortran 77, representando este produto é: do i = 1, 3 v(i) = 0.0 do m = 1, 3 v(i) = v(i) + a(i,m) * x(m) end do end do

Deve-se enfatizar que, na rotina acima, o termo destacado em negrito corresponde exatamente à eq. (8). O índice livre que ocorre em um termo de uma equação deve ser exatamente o mesmo índice livre dos outros termos desta equação. Assim, na soma de dois vetores a e b  resultando em um vetor c , as equações podem ser escritas em formato expandido como: c 1 = a1 + b1 c2 = a 2 + b 2  c 3 = a 3 + b3 .

(9)

E em NI, esta pode ser simplificada para c n = a n + bn .

(10)

A ocorrência de dois índices livres em uma equação indica que o resultado é uma matriz, sendo que todos os termos desta equação terão os mesmos índices livres. Assim, seja a seguinte equação escrita em NI: Dij = L im Ujm .

Expandindo a soma implícita no índice mudo m, tem-se

(11)

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6

Dij = L i1 Uj1 + L i2 Uj2 + L i3 Uj3 .

(12)

Note-se que esta equação corresponde a 9 termos ( i = 1, 2, 3 e  j = 1, 2, 3), os quais podem ser expandidos como D11 = L 1m U1m = L11 U11 + L12 U12 + L13 U13 D12 = L 1m U2m = L11 U21 + L12 U22 + L13 U23 D13 = L 1m U3m = L11 U31 + L12 U32 + L13 U33 D21 = L 2m U1m = L 21 U11 + L 22 U12 + L 23 U13 







 

(13)



D33 = L 3m U3m = L31 U31 + L32 U32 + L33 U33 É interessante comparar o volume das eqs. (13) com a simplicidade da eq. (11). Novamente, é importante frisar que uma expressão do tipo R mn = Smp   não possui qualquer significado em NI.

4. Delta de Kronecker O delta de Kronecker ( δ ij ) é a representação da matriz identidade e é definida, utilizando NI, como

⎧1 δ ij = ⎨ ⎩0

se i = j   se i ≠ j

(14)

Ou seja, a matriz delta pode ser visualizada como

⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ ⎢ δ = δ δ δ [ ij ] ⎢ 21 22 23 ⎥ = ⎢ 0 ⎢δ 31 δ 32 δ 33 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎣ ⎦

0 1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ . 1 ⎥⎦

(15)

A matriz delta de Kronecker possui algumas propriedades que podem ser visualizadas abaixo. a) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 1 + 1 + 1 = 3

(16)

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7

b) Seja a expressão δim am = a i , bastante comum em expressões em NI. Expandindo-a tem-se

δ1m am = δ11 a1 + δ12 a2 + δ13 a3 = a1 δ2m am = δ 21 a1 + δ 22 a2 + δ 23 a3 = a2   δ3m am = δ 31 a1 + δ 32 a2 + δ 33 a3 = a3

(17)

Reescrevendo as equações acima: para i = 1 → δ im am = a1 para i = 2 → δ im am = a2   para i = 3 → δ im am = a3

(18)

Pode-se notar que as eqs. (18) representam a versão expandida de δim am = a i . c) δim Amj = A ij  

(19)

Expandindo a equação acima

δ1m Amj = δ11 A1j + δ12 A2 j + δ13 A3 j = A1j δ2m Amj = δ 21 A1j + δ 22 A2 j + δ 23 A3 j = A2 j   δ3m Amj = δ 31 A1j + δ 32 A2 j + δ 33 A3 j = A3 j

(20)

Em forma geral tem-se

δim Amj = A ij  

(21)

d) δ im δ mj = δ ij  

(22)

Esta equação é idêntica à eq. (21), sendo que a matriz A, neste caso, é igual à matriz identidade. e) δ im δ mn δ np δ pj = δ ij  

(23)

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8

f) Se e 1 , e 2  e e 3  são vetores unitários normais entre si (por exemplo, vetores-base de um sistema cartesiano de coordenadas), então e i e j = δ ij .

(24)

Definindo dois vetores ( a e b ) neste sistema de coordenadas, estes são dados por a = a 1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 = a i e i

(25.a)

b = b 1 e1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 = b i e i .

(25.b)

e

O produto interno entre dois vetores pode ser escrito como a ⋅ b = (a i ei ) ⋅ (b j e j ) = a i b j (ei ⋅ e j ) = a i b j δi j =

= a i bi = a j b j = a 1 b1 + a 2 b2 + a3 b3

 

(26)

5. Símbolo de Permutação O símbolo de permutação, denotado por ε ijk , é definido em NI como

ε ijk

⎧+1 ⎪ = ⎨−1 ⎪0 ⎩

se permutacao par  se permutacao impar    se quaisquer indices i, j, k forem iguais

(27)

ou seja,

ε 123 = ε 231 = ε 312 = +1 ε 321 = ε 132 = ε 213 = −1 ε 111 = ε 112 = ε 113 = ε 211 = ε 212 =

  

(28)

= ε 333 = 0

Deve-se notar a seguinte propriedade neste símbolo:

ε ijk = εkij = ε jki = − ε jik = − εik j = −εkji  

(29)

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2

9

1

1

+

-

3

(a) - Permutação par

2

3

(b) - Permutação ímpar.

Figura 1: Definição de tipos de permutação entre 3 números.

Sejam e 1 , e 2 e e 3  os vetores unitários normais que definem os vetores-base de um sistema cartesiano de coordenadas. Assim o produto externo (produto vetorial) entre estes vetores pode ser escrito como

e 1 × e2 = e3

e 2 × e 3 = e1

e 3 × e1 = e 2

e 2 × e1 = − e 3

e 3 × e 2 = − e1

e 1 × e3 = − e2  

(30)

e 1 × e1 = e 2 × e 2 = e 3 × e 3 = 0

Estes produtos vetoriais podem ser escritos, em NI, de maneira simplificada como ei × e j = εijk ek = εkij e k = ε jki e k .

(31)

Note-se a existência de índices mudos (soma implícita) na eq. (31). É deixada ao leitor a tarefa de expandir as eqs. (31) e mostrar que estas são equivalentes às eqs. (30). Sejam os dois vetores (a e b ) definidos, neste sistema de coordenadas, pelas eqs. (25). Realizando o produto externo entre ambos e igualando a um vetor c , esta operação pode ser realizada como c = a × b = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) × (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) =

= ( a i e i ) × (b j e j )

 

(32)

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Note-se que, na equação acima, ocorrem duas somas implícitas (índices mudos) e que os termos a i  e bi  representam as componentes de cada vetor e são escalares. Assim a eq. (32) pode ser simplificada como c = ( a i ei ) × (b j e j ) = a i bj (e i × e j ) = a i b j ε ijk e k ,

(33)

o que representa que o vetor c  possui componentes cuja forma final é c1 = a i b j ε ij1 ⎫ ⎪ c 2 = a i b j ε ij2 ⎬ log o, c k = a i b j ε i jk . c 3 = a i b j ε ij3 ⎪⎭

(34)

Assim, o vetor c  pode ser escrito como c = ck ek,

(35)

onde as componentes c k são calculadas através da eq. (34).

6. Manipulações com Notação Indici al A manipulação algébrica de equações escritas em NI, na maioria das vezes, é de grande valia, podendo simplificar extremamente o número de operações envolvidas. A seguir serão mostradas algumas destas manipulações e os cuidados a serem tomados quando de sua realização.  A) Substit uição:

Sejam os dois escalares p e q, calculados a partir do produto interno de vetores conhecidos. Assim, p = ambm 

(36.a)

q = c m dm .

(36.b)

e

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11

O produto destes dois escalares pode ser realizado normalmente em NI, resultando em um outro escalar r . Entretanto, a expressão para r   não poderá conter o índice mudo m repetido 4 vezes. Assim, é requerida a substituição  dos índices mudos da expressão para o escalar p ou de q. r = p ⋅ q = a m bm c n d n = a n bn c m d m . (37) Note-se que a expressão (37) possui dois índices mudos indicando duas somas implícitas. É interessante o leitor realizar a expansão destas somas e mostrar que a expressão final corresponde ao produto de dois escalares (p e q), os quais são resultado de dois produtos internos. B) Fatoração:

Seja uma matriz [ T] , conhecida e que define uma transformação de coordenadas no sistema cartesiano. Quando [ T]  é aplicada sobre um vetor genérico {n} , resulta em um vetor {p} . A transformação [ T]  é responsável por uma rotação e um escalonamento do vetor {n} . Esta operação pode ser escrita, em notação matricial, como

⎧ p 1 ⎫ ⎡ T11 T12 T13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎨p 2 ⎬ = ⎢T21 T22 T23 ⎥ ⋅ ⎨n 2 ⎬ . ⎪p ⎪ ⎢T ⎪ ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎣ 31 T32 T33 ⎥⎦ ⎩n 3 ⎭

(38)

Esta operação representa uma transformação linear   através da aplicação do operador linear [ T]  sobre a variável {n} , resultando em um vetor {p} . Em NI, esta transformação pode ser escrita como p i = T ij n j .

(39)

O problema de autovalores/autovetores, associado à matriz de transformação [ T] , corresponde à busca de três escalares (autovetores) relacionados a três vetores (autovetores). A característica principal do problema é que quando é realizada a transformação sobre um autovetor qualquer {n} , irá resultar em um vetor {p}  na mesma direção do vetor {n} . A relação entre os módulos dos vetores {p}  e {n}   é o escalar λ  (denominado autovetor associado à esta direção {n} ). Este problema pode ser escrito em notação matricial como

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⎧ p 1 ⎫ ⎡ T11 T12 T13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎧n1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎨p 2 ⎬ = ⎢T21 T22 T23 ⎥ ⋅ ⎨n 2 ⎬ = λ ⋅ ⎨n 2 ⎬   ⎪p ⎪ ⎢T ⎪ ⎪ ⎪n ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎣ 31 T32 T33 ⎥⎦ ⎩n 3 ⎭ ⎩ 3⎭

(40)

Em NI, a eq. (40) corresponde a p i = T ij n j = λ n i .

(41)

Utilizando a matriz delta de Kronecker, tem-se que o último termo da eq. (41) pode ser escrita como

λ n i = λ δ ij n j  

(42)

e a eq. (41) resulta em Tij n j − λ n i = T ij n j − λ δ ij n j = ( T ij − λ δ ij ) ⋅ n j = 0 .

(43)

Ou seja, a eq. (43) deve ser solucionada para obter os três valores característicos do problema. Note-se que, em notação matricial a eq. (43) corresponde a

⎡ T11 T12 T13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎧ n1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢T ⎥ ⋅ − λ ⋅ T T n ⎨ ⎬ ⎨n 2 ⎬ = ⎢ 21 22 23 ⎥ 2 ⎪n ⎪ ⎢⎣T31 T32 T33 ⎥⎦ ⎪⎩n 3 ⎪⎭ ⎩ 3⎭ ⎡ T11 T12 T13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎡δ 11 δ 12 δ 13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎢⎢T21 T22 T23 ⎥⎥ ⋅ ⎨n 2 ⎬ − λ ⋅ ⎢⎢δ 21 δ 22 δ 23 ⎥⎥ ⋅ ⎨n 2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎢⎣T31 T32 T33 ⎥⎦ ⎪⎩n 3 ⎪⎭ ⎢⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥⎦ ⎪⎩n 3 ⎪⎭ ⎪⎩0⎪⎭

 

(44.a)

Simplificando, tem-se a forma final do problema de autovalores/autovetores associado à matriz [T]: T12 T13 ⎤ ⎧ n1 ⎫ ⎧0 ⎫ ⎡T11 − λ ⎢ T ⎥ ⋅ ⎪n ⎪ = ⎪0 ⎪   − λ T T 22 23 ⎥ ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ 21 ⎢⎣ T31 T32 T33 − λ ⎥⎦ ⎪⎩n 3 ⎪⎭ ⎪⎩0 ⎪⎭

(44.b)

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C) Contração:

Seja uma matriz [ T] , conhecida. Define-se traço da matriz como sendo a soma dos termos da diagonal da mesma. Assim, pode-se calcular este escalar utilizando a matriz delta de Kronecker (também denominado tensor de contração), da seguinte maneira: tr[ T] = T11 + T22 + T33 = Tkk = Tij δ ij .

(45)

Ou seja, a soma dos termos da diagonal de uma matriz qualquer pode ser calculada fazendo o “produto” desta matriz pela matriz delta de Kronecker. Isto resulta em uma contração dos índices. Exemplo: A matriz de tensões em um ponto material P qualquer de um sólido pode ser calculada em função da matriz de deformações (se o material é isotrópico, elástico e linear) através da lei de Hooke generalizada, dada por

⎡ σ ij = 2 G ⎢ε ij ⎣

⎤ ⎛  ν ⎞ +⎜ ε δ ⎟ ⎥. ⎝ 1 − 2 ν ⎠ kk ij ⎦

(46)

Neste caso, G é o módulo de elasticidade transversal e ν é o coeficiente de Poisson. Esta equação pode ser invertida, resultando em

ε ij =

⎤ 1 ⎡ ⎛  ν ⎞ σ − σ δ . ⎜ ⎟ 2 G ⎢⎣ ij ⎝ 1 + ν ⎠ kk ij ⎥⎦

(47)

A deformação volumétrica ( ε v )  em um ponto pode ser calculada através da soma das três componentes de deformações lineares neste ponto. Assim, pode-se determinar a relação entre a deformação volumétrica e as tensões responsáveis pela mesma através da contração desta matriz. Esta operação e a operação de inversão da eq. (46) são deixadas como atividades para o leitor.

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

14

7. Tensores A manipulação algébrica de equações escritas em NI, freqüentemente, recai em equações com dois ou mais índices livres. Neste caso, buscando uma homogeneidade da nomenclatura, define-se tensores . Pode-se mostrar que tensores transformações lineares e, como tal, possui todas as propriedades destas operações matemáticas. Não é função deste texto mostrar estas propriedades. Entretanto, será fornecida somente a nomenclatura. Assim, em uma sentença escrita em NI, tem-se termo com 0 índice livre

escalar

tensor de ordem zero

termo com 1 índice livre

vetor

tensor de primeira ordem

termo com 2 índices livres

matriz

tensor de segunda ordem

termo com 3 índices livres

---

tensor de terceira ordem

termo com 4 índices livres

---

tensor de quarta ordem

e assim por diante.

8. Simetria e Anti-simetria de Tensores de Segunda Ordem T Um tensor de segunda ordem (matriz) é dito ser simétrico se [ T] = [ T] , T

onde o símbolo [ •]  denota o transposto da matriz. Assim, um tensor simétrico tem a propriedade Tij = TijT = T ji ,

(48)

ou seja, T12 = T21, T13 = T31 , e T32 = T23 . Um tensor de segunda ordem (matriz) é dito ser anti-simétrico se T [ T] = −[ T] . Assim, as componentes de um tensor anti-simétrico têm a propriedade Tij = − TijT = − T ji ,

(49)

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ou seja, T11 = T22 = T33 = 0 e T12 = − T21 , T13 = − T31 , e T32 = − T23 . Qualquer tensor [T] pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico e de um tensor anti-simétrico, ou seja, Tij = TijS + TijAs .

(50)

Neste caso, estes tensores são dados por TijS

Tij + TijT Tij + Tji = =   2 2

(51.a)

e TijAs

Tij − TijT Tij − Tji . = = 2 2

(51.b)

É deixado como atividades para o leitor, mostrar que as eqs. (50) e (51) são válidas para qualquer tensor [T] de segunda ordem.

9. Operadores Diferenciais 1 A consideração de uma grandeza tensorial qualquer (escalar U, vetor {v} , matriz [T] ou tensor de ordem superior), dependente da posição de um ponto P, conduz ao conceito de função tensorial de ponto (ou função de posição), sendo do tipo escalar U(P) , vetorial {v(P)} , matricial [ T(P)] ou tensorial de ordem superior. Se a cada ponto P de uma região Ω do espaço corresponde uma grandeza escalar ou vetorial, diz-se que esta grandeza é um campo escalar ou um campo vetorial. Generalizando, diz-se que é uma grandeza tensorial. Assim, a temperatura em cada um dos pontos em um ambiente qualquer é um campo escalar, enquanto que as velocidades das partículas de um fluido, internas a um recipiente, é um campo vetorial e a inércia de um ponto material em relação a um sistema de eixos de coordenadas é uma grandeza matricial. Tendo como base estes campos tensoriais, pode-se definir uma série de outras funções denominadas operadores diferenciais. Alguns dos principais 1

 Visando a aplicação da notação indicial, é conveniente denominar as direções cartesianas x, y, e z por x1, x2 e x3.

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

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operadores diferenciais são gradiente, divergente e rotacional. Estes operadores possuem grande aplicação em problemas da Engenharia e é de vital importância o conhecimento dos conceitos relacionados aos mesmos. 9.1 Convenção

Comma

Inicialmente, será discutida uma notação bastante simples e empregada na maioria das bibliografias relacionadas à área. Trata-se da convenção comm a. Esta convenção é baseada na substituição, pura e simples, do operador derivada parcial por uma vírgula. Assim, têm-se as seguintes equivalências matemáticas, válidas para qualquer campo tensorial:

∂U = U,1  ∂x

(52.a)

∂2 U ∂2 U = = U,12 = U,21   ∂ x∂ y ∂ y∂ x

(52.b)

∂3 U ∂3 U = = U,112 = U,121 = U,211   2 2 ∂x ∂y ∂y∂x

(52.c)

∂2 v x ∂2 v x = = v , = v132 ,   ∂ y ∂ z ∂ z ∂ y 123

(52.d)

∂ Txy = T12, 2   ∂y

(52.e)

9.2 Gradiente

Seja um campo U(P) ou U(x, y, z), onde as variáveis x (ou x 1), y (ou x 2) e z (ou x 3) são as coordenadas do ponto P em relação a um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal fixo, uma função escalar característica de campo. Denomina-se gradiente da função escalar U e se indica por grad U ao vetor grad U =

∂U ∂U ∂U e1 + e2 + e , ∂x ∂y ∂z 3

(53)

cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação às coordenadas x , y  e z. Os vetores e1, e2 e e3 são os vetores unitários fundamentais do triedro do sistema de coordenadas de referência.

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O operador gradiente associa um campo vetorial a um campo escalar e representa, resumidamente, a direção de maior crescimento da função escalar U no ponto onde foi calculado. A forma final do operador, aplicado a um campo escalar, escrito em NI é

(grad U)i =

∂U = U,i . ∂ xi

(54)

Seja um campo v(P) ou v (x, y, z), uma função vetorial característica de campo, dado por v = v1( x, y, z ) e1 + v 2 ( x, y, z) e2 + v3 ( x, y, z) e3 .

(55)

Alguns exemplos de campos vetoriais são deslocamentos de pontos em uma estrutura quando carregada, as velocidades dos pontos de um fluido em escoamento, as forças de inércia em uma estrutura sólida sob aceleração, forças de superfície aplicadas sobre o contorno de um corpo, etc. O gradiente deste campo pode ser calculado, sobre cada componente, resultando em

⎡ ∂ v1 ⎢ ∂x ⎢ ⎢∂ v2 = grad v [ ] ⎢ ∂x ⎢∂ v ⎢ 3 ⎢⎣ ∂ x

∂ v1 ∂y ∂ v2 ∂y ∂ v3 ∂y

∂ v1 ⎤ ∂ z ⎥⎥ ∂ v2 ⎥ . ∂z ⎥ ∂ v 3 ⎥⎥ ∂ z ⎥⎦

(56)

Note-se que a i-ésima linha da matriz corresponde ao vetor gradiente da função escalar que define i-ésima componente ( vi ) do vetor v . Uma interpretação geométrica deste tensor será dada posteriormente no estudo da cinemática de deformação de sólidos. Por outro lado, a eq. (56) pode ser escrita, em NI, como

∂v

[ grad v] ij = ∂ x i = v i,j .  j

(57)

Da mesma maneira, o gradiente de um campo tensorial de ordem superior (tensões, por exemplo) pode ser calculado, resultando em

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

[grad [ T]]ijk

18

∂Tij = = Tij,k . ∂xk

(58)

Note-se que a aplicação do operador gradiente resulta no aumento da ordem da variável resultante. Ou seja, o gradiente de um escalar (tensor de ordem zero) resulta em um vetor (tensor de primeira ordem), o gradiente de um vetor resulta em uma matriz (tensor de segunda ordem), e assim por diante. 9.3 Divergente

Seja um campo tensorial T de qualquer ordem, uma função tensorial característica de campo. O divergente deste campo, o qual é associado a um parâmetro de crescimento desta função no ponto, pode ser calculado como div ( T ) = tr(grad T) .

(59)

No caso de um campo vetorial u , o divergente deste campo é dado por div (u) = tr(grad u) = u i, j ⋅ δij = u k,k = u 11 , + u 2,2 + u 3,3 .

(60)

O divergente de um campo tensorial de segunda ordem T é calculado por div ([ T]) = tr(grad [ T]) = Ti j , k ⋅ δ jk = Tik, k = Ti11 , + Ti2,2 + Ti3,3 .

(61)

Será mostrado, no transcorrer do curso, a relação existente entre estas definições puramente matemáticas e conceitos e variáveis de grande importância para a compreensão do processo de deformação dos meios contínuos em geral. 9.4 Rotacional de um Campo Vetorial

Seja  A   um campo vetorial. O rotacional desse campo é dado pelo produto vetorial entre o operador gradiente ( ∇ ) e o vetor  A . rot( A ) =

xA =

 ∂ A j ε e ∂xi ijk k

ou

(rot( A ))k = A j,i ε ijk

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

19

10 Transformação de Coordenadas

Sejam x ( x1 , x2 , x3 ) e x ' ( x'1 , x'2 , x'3 ) dois sistemas de coordenadas cartesianos, tendo em comum a origem. Um ponto P, de coordenadas xi  em relação ao primeiro sistema de coordenadas, terá coordenadas xi'  no segundo sistema. A seguir será visto como essas coordenadas se relacionam e desta forma como faz-se a transformação de coordenadas de tensores. 10.1 Sistema de Coordenadas Bidimensional

θ

P

x2 x'2

x'1

θ

x1 Figura 2: Transformação de coordenadas: sistema bidimensional. x'1 = x1 cos θ + x2 sen θ x'2 = − x1 sen θ + x2 cos θ Observando a figura 2, tem-se cos(x1' , x1) = cos θ = α11 cos(x1' , x2 ) = cos(90 − θ) = sen θ = α12 cos(x'2 , x1) = cos(90 + θ) = − sen θ = α 21 cos(x'2 , x2 ) = cos θ = α22 e  x' 1

= α 11 x1 + α 12 x 2

' 

= α 21 x1 + α 22 x2

 x 2

ou

⎧x'1 ⎫  ⎡α11 α12 ⎤⎧x1 ⎫ ⎨ '⎬=⎢ ⎥⎨⎪ ⎬⎪ α α x ⎣ ⎦⎩x2 ⎭ 21 22 ⎩ 2⎭

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

20

Em notação indicial:

xα' = ααβ xβ

Lei de Transformação de Coordenadas para Tensor es de Primeira Ordem

ααβ = cos(xα' ; xβ )

cossenos diretores do sistema x ' .

10.2 Sistema de Coordenadas Trid imensional

x3

x'3

P  x3'   x3

 x1

 x2

x'2  x1' 

x2

 x2' 

x1 x'1

Figura 3: Transformação de coordenadas: sistema tridimensional. Da mesma forma que para o sistema de coordenadas bidimensional, tem-se

xi' = α ij x j

αij = cos(xi' ; xj )

Característica dos cossenos diretores: αki αkj = δij Transformação de coordenadas para tensores de várias ordens

• Ordem zero - escalar: invariante com o sistema de coordenas A i' = α ij A j • Primeira ordem - vetor: • Segunda ordem - matriz:

A ij' = α ik α jl A kl

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

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EXERCÍCIOS • Exercício 1. Dados os tensores, ⎡ 1 0 −3⎤ [ T] = ⎢⎢ 0 −4 2 ⎥⎥ ⎢⎣−3 2 4 ⎥⎦

e

⎧ 1⎫ 1 ⎪ ⎪ {n} = ⎨−1⎬ , 3⋅ 2 ⎪ ⎪ ⎩4⎭

calcule: b) Hij =

a) Tpp d) S ij = Tij −

Tpp δ 3 ij

g) Tij n j

Tpp δ 3 ij

c) H qq

e) S qq

f) Tij Tij

h) Tij n i n j

i) n i n i

• Exercício 2. Dada a seguinte relação entre os tensores tensão [ σ]  e deformação [ ε] ⎡ σ ij = 2 G ⎢ε ij ⎣

⎤ ⎛  ν ⎞ +⎜ ε δ , ⎟ ⎝ 1 − 2 ν ⎠ kk ij ⎥⎦

mostre que a energia de deformação específica U, calculada através da expressão U =

1 2

(σ11 ε11 + σ12 ε12 + σ13 ε13 + σ21 ε21 +

pode ser escrita em NI como U =

1 σ σ 4G ij ij

− 2νE (σ

onde E = 2 G (1 + ν) .

kk

2 ) ,



+ σ33 ε33 ) ,

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

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• Exercício 3. Dados os tensores, ⎡0 1 2⎤ [ S] = ⎢⎢ 1 2 3⎥⎥ , ⎢⎣2 3 1⎥⎦ a) calcule r k = εijk p i q j

⎧1⎫ 1 ⎪ ⎪ ⋅ ⎨−1⎬ {p} = 3⋅ 2 ⎪ ⎪ ⎩4⎭

e

⎧3 ⎫ 1 ⎪ ⎪ {q} = ⋅ ⎨0 ⎬ 25 ⎪ ⎪ ⎩4 ⎭

e mostre que este resultado é o mesmo que o produto

vetorial r = p × q ; b) calcule ε ijk p i p j  e mostre que este resultado é válido para qualquer vetor p ; 1 Sij + S ji ) e mostre que o tensor SijS   é simétrico e válido para ( 2 qualquer tensor [S]; 1 d) calcule SijAs = ( Sij − S ji ) e mostre que o tensor SijAs   é anti-simétrico e válido 2 para qualquer tensor [S]; e) calcule os traços dos tensores SijS e SijAs .

c) calcule SijS =

• Exercício 4. Seja o campo vetorial u (P) ou u   (x, y, z), uma função vetorial característica de campo, dado por u = u1( x, y, z ) e1 + u2 (x, y, z ) e 2 + u3 (x, y, z ) e3

a) mostre a obtenção do tensor gradiente de u , em NI e em formato expandido (matriz expandida); b) obtenha o divergente de u; c) obtenha a parcela simétrica  do tensor gradiente de u , nos dois formatos especificados acima; d) idem para a parcela anti-simétrica;

• Exercício 5. A seguir é fornecido o campo de deslocamentos u  na estrutura visualizada abaixo.

u1 ( x, y, z) = −

ν ν 1 ⋅ z2 − ⋅ x2 +   ⋅ y2 − m ⋅ z + α ⋅ y + γ 2⋅R 2⋅R 2⋅R

Tensores Cartesianos - Notação Indicial

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ν ⋅ x⋅ y − n⋅ z − α ⋅ x + β R 1 u 3 ( x, y, z) = + ⋅ x ⋅ z + m ⋅ x + n ⋅ y + p R u 2 ( x, y, z) = −

Neste caso, R é o raio de curvatura da viga, ν o coeficiente de Poisson e m, n, p, α, β e γ são constantes a serem determinadas. Assim, para este problema pede-se: a) obtenha o tensor gradiente de u ; b) obtenha o divergente de u ; c) obtenha a parcela simétrica do tensor gradiente de u ; d) obtenha a parcela anti-simétrica do tensor gradiente de u ; P2 M

M

P1 z P3

x

x

Figura 4 - Viga prismática submetida a flexão pura.

• Exercício 6. Encontre a forma final das equações a seguir: a) ε ijk ε k ji b) ε ijk δ ij

M y