Apostila - Matemática

MATEMÁTICA Prof. Sandro Godeiro

Números e Operações Operações com conjuntos: união, interseção e complementar. Sistemas de numeração e conjuntos numéricos: números inteiros, racionais, irracionais e reais. Problemas envolvendo as operações e seus significados. Divisibilidade, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Razão e proporção. Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Regra de Três simples ou composta. Porcentagem. Juros simples. Equações, inequações e sistemas de equações de primeiro grau. Equações e inequações polinomiais de 2º grau. Expressões algébricas: monômios, polinômios, produtos notáveis e fatoração. Funções afim e quadrática.

Um conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. Exemplo: A = { } ou A = . Dois conjuntos são iguais quando eles possuem exatamente os mesmos elementos. Exemplo: Se A = {x  N/ x < 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} então A = B. Dois conjuntos são disjuntos quando eles não têm nenhum elemento em comum. Exemplo: A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 7, 9}.

CONJUNTOS Um conjunto é uma coleção de elementos ou de objetos. Para representar um conjunto usamos uma letra maiúscula do alfabeto e entre dois parêntesis escrevemos os elementos pertinentes ao conjunto. Exemplo: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e A = {2, 4, 6}. Um conjunto também pode ser representado por uma propriedade que caracteriza os seus elementos. Exemplo: U = {x/x é um algarismo do sistema de numeração decimal }; A = {x/x é um número natural maior que 1 e menor que 7} e B = {x  N/ 4  x  8}. Para indicarmos que um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo  que se lê “pertence” e para indicarmos que um elemento não pertence a um conjunto usamos o símbolo  que se lê “não pertence”. Estes símbolos são usados exclusivamente para relacionar elementos com conjuntos.

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, e indicamos A  B, que se lê “A está contido em B”, se todos os elementos do conjunto A também forem elementos do conjunto B. Quando A é subconjunto de B também dizemos que B contém A, que indicamos por B  A. Se um conjunto B não é subconjunto de um conjunto A dizemos que B não está contido em A e indicamos por B  A. Exemplo: Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} então A é subconjunto de B, ou seja, A  B, mas B não é subconjunto de A, ou seja B  A. O conjunto Universo é o conjunto que contém os demais conjuntos, ou que os demais conjuntos são subconjuntos dele. Exemplo: Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então o conjunto U é o conjunto universo para os conjuntos A e B, como no diagrama de Venn a seguir:

Exemplo: Se A = {2, 3, 4, 5, 6} dizemos que 2  A, 5  A mas 7  A e 0  A. Um conjunto unitário é aquele que tem apenas um elemento. Exemplo: A = {5}. POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

2

 Operações com conjuntos Dados dois conjuntos A e B, chama-se UNIÃO, reunião ou junção de A com B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Exemplo: Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então A  B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Se A é qualquer subconjunto do conjunto universo U, ou seja se A  U, chama-se conjunto complementar do conjunto A em relação ao conjunto U, o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A mas não pertencem a U. Exemplo: Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {2, 3, 4, 5, 6} então

A  U  A = {0, 1, 7, 8}.

Dados dois conjuntos A e B, chama-se INTERSEÇÃO de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B. Exemplo: Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então A  B = {4, 5, 6}.  Propriedades básicas As seguintes propriedades são válidas quando estamos operando com conjuntos: I) (A  B) = (B  A); II) (A  B) = (B  A); III) A  (B  C) = (A  B)  (A  C); Dados dois conjuntos A e B, chama-se DIFERENÇA entre os dois conjuntos A e B, nesta ordem, ao conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, ou seja, pertencem somente ao conjunto A.

IV) A  (B  C) = (A  B)  (A  C);

Exemplo: Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8} então A – B = {2, 3}.

VII) Número de elementos da união n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B); VIII) Número de subconjuntos de um conjunto A com n elemento: P(A) = 2n.

V) A  B  A  B ; VI) A  B  A  B ;

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

3

OS NÚMEROS NATURAIS Representamos por N o conjunto dos números naturais, ou seja, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

3) A Multiplicação: Na operação de multiplicação o primeiro número chama-se multiplicando e o segundo número chama-se multiplicador. O resultado da multiplicação chama-se produto.

Este conjunto é fechado apenas para as operações de Adição e Multiplicação pois se adicionarmos ou multiplicarmos dois números naturais quaisquer o resultado também é um número natural. Contudo este conjunto não é fechado para as operações de divisão e subtração pois, por exemplo, 3 – 5 =  2 e 2  4 = 0,5 que evidentemente não são números naturais.

Exemplo: Na multiplicação 32 x 45 = 1440 tem-se que 32 é o multiplicando, 45 é o multiplicador e 1440 é o produto. Numa multiplicação, os números que são multiplicados são chamados fatores.

Observamos ainda que este conjunto tem infinitos elementos, os dez primeiros são os algarismos arábicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, com os quais formamos qualquer número do sistema decimal. Então os algarismos são símbolos com os quais formamos os números, por exemplo, 10, 2012, 46780, etc. Representação decimal de um número natural: Para escrever um número usamos o Princípio da Posição Decimal, isto é, cada algarismo que se escreve imediatamente à esquerda de outro ocupa uma posição de ordem 10 vezes maior que esse outro. Assim, o número 2345 tem a seguinte Representação Decimal: 234 = 200 + 30 + 4 = 100×2 + 10×3 + 4. De um modo geral, se abcd é um número de 4 algarismos, então:

4) A Divisão: Dados dois números inteiros A e d, sendo d  0, existe um único par de números inteiros (q; r) tal que A = dq + r e 0  r < |d|. Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de A por d (A é o dividendo e d é o divisor). Algoritmo da divisão Dividendo



A r  Resto

d q

 

Divisor Quociente

A = d.q + r onde 0  r < |d| abcd = 1000a + 100b + 10c + d.

 As operações fundamentais

Em toda divisão o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente mais o resto. Em toda divisão com inteiros positivos o maior resto possível é igual ao divisor menos 1: r = d – 1.

1) A Adição: Na operação de adição os números que somamos chamam-se parcelas e o resultado final da operação de adição chama-se soma ou total. Exemplo: Na adição 32 + 45 = 77 tem-se que 32 e 45 são as parcelas e 77 é a soma ou total. 2) A Subtração: Na operação de subtração o primeiro número chama-se minuendo e o segundo número chama-se subtraendo, o resultado da subtração é a diferença ou o resto. Exemplo: Na subtração 77 – 32 = 45 tem-se que 77 é o minuendo, 32 é o subtraendo e 45 é o resto.

OS NÚMEROS INTEIROS Representamos por Z o conjunto dos números inteiros relativos: Z = {..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...}, que como vemos é formados por todos os números inteiros positivos e negativos, inclusive o zero, e é um conjunto infinito à esquerda e à direita. O valor absoluto, “| |”, de um número inteiro não nulo é sempre o seu valor natural correspondente, ou seja, independente de sinal, por exemplo: | 5| = |+ 5| = 5. Um número inteiro é menor (maior) do que outro número inteiro se o valor absoluto do primeiro for maior

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

4

(menor) que o valor absoluto do segundo, por exemplo:  5   3, pois, 5  3. É por esta razão que quando estamos resolvendo uma inequação substituímos, por exemplo,  2x  8 por 2x   8, para finalmente obtermos x   4. Assim, temos: I) O módulo de um número positivo x é igual ao próprio x, isto é, se x > 0, então |x| = x. II) O módulo de um número negativo x é igual ao oposto de x (que é positivo), isto é, se x < 0, então |x| = – x. III) O módulo de zero é igual ao próprio zero: |0| = 0. x, s e x  0 x   x, s e x  0 Os números inteiros são muito utilizados quando resolvemos expressões numéricas que envolvem chaves, parênteses e colchetes. Os inteiros relativos têm as seguintes propriedades:

 Na potenciação de inteiros prevalecem as regras da multiplicação, pois, por definição, uma potenciação é um produto de fatores iguais. Exemplo: ( 3)4 = ( 3).( 3).( 3).( 3) = 81.  Toda potência de expoente inteiro par tem seu resultado sempre positivo. Exemplo: ( 3)4 = 81.  E toda potência de expoente inteiro ímpar tem seu resultado sempre negativo. Exemplo: ( 3)3 =  27.  Toda potência de expoente nulo é igual a unidade. Exemplo: ( 3)0 = 1.

 Na adição de inteiros com sinais iguais, somamos e conservamos o mesmo sinal. Exemplo: ( 5) + ( 3) =  8.

 Toda potência que vier com o sinal negativo continuará com o sinal negativo. Exemplo:  34 =  81.

 Na adição de inteiros com sinais diferentes, subtraímos e conservamos o sinal do inteiro que tiver maior valor absoluto. Exemplo: ( 5) + (+ 3) =  2.  Na multiplicação de inteiros com sinais iguais, o resultado será sempre positivo. Exemplo: ( 5).( 3) = 15.  Na multiplicação de inteiros com sinais diferentes, o resultado será sempre negativo. Exemplo: ( 5).(+ 3) =  15.

OS MÚLTIPLOS Chamamos de múltiplo de um número inteiro positivo ao produto desse número por um número inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 5, M(5), é dado por: 5.0 = 0 5.( 1) =  5 5.( 2) =  10 5.( 3) =  15 5.( 4) =  20

M(5) = {0,  5,  10,  15, ...}

  Conjunto dos múltiplos de um número diferente de zero é infinito.  Zero é múltiplo de qualquer número.  Todo número é múltiplo de si mesmo.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

5

OS NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS Um número natural, diferente de 1, é primo, se admite apenas dois divisores naturais diferentes: ele e a unidade. São exemplos de números primos: 2 19 47 79

3 23 53 83

5 29 59 89

7 31 61 97

11 37 67 

13 41 71

17 43 73

Um número natural, diferente de 1, é composto se ele admite mais de 2 divisores naturais. Exemplo: O número 4 é um número composto pois o conjunto de sues seus divisores positivos é D = { 1, 2, 4}. Dois números naturais são primos entre si se o único divisor comum entre eles é a unidade. Exemplo: 15 e 28. OS DIVISORES DE UM NÚMERO Dados dois números inteiros, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo (também podemos dizer que o primeiro é múltiplo do segundo) e o (segundo é divisor do primeiro) também podemos dizer que o (segundo é fator do primeiro). Veja que o número 20 pode ser dividido exatamente por  1,  2,  4,  5,  10 e pelo próprio  20 (divisores de 20). A este conjunto de números damos à denominação de conjunto dos divisores de um número que pode ser escrita da seguinte forma: D(20) = { 1,  2,  4,  5,  10,  20}. Existe um processo que torna mais prático a determinação do conjunto de todos os divisores positivos de um número inteiro. Trata-se do método da decomposição em fatores primos. (I) Efetua-se a decomposição do número em fatores primos; (II) À direita dos fatores primos encontrados, fazemos um traço vertical, em seguida, à direita desse traço e na linha acima, colocamos o número 1, que é divisor de todos os números;

(III) Multiplica-se o primeiro fator primo pelo número 1 e coloca-se o produto obtido na linha correspondente ao número; (IV) Em seguida, multiplicam-se cada fator primo seguinte por cada um dos divisores já obtidos, colocando os produtos em sua linha correspondente (não é necessário e repetição de produtos); (V) Todos os números que se encontram a direita do traço vertical, determinado no item (ii) formam o conjunto dos divisores positivos do número. Observação: para cada divisor positivo encontrado pelo método acima, há um correspondente inteiro negativo. Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores positivos de 30: Decompondo 30 em fatores primos, temos: 30 2 15 3 ou seja, 30 = 2. 3. 5 5 5 1 2.3.5 Com base no que foi dito, temos que: 1 30 2 2 15 3 3, 6 5 5 5, 10, 15, 30 1 D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Todo número composto pode ser expresso por um produto de potências de números primos, ou seja, N = ax.by.cz...., onde a, b e c são números primos. Exemplo: 90 = 21  32  51. Propriedade: Se N é um número natural e N se decompõe em fatores primos como N = ax.by cz...., então o número de divisores positivos do número N é obtido por: n[D+(N)] = (x + 1).(y + 1).(z + 1)..... Exemplo: Determinar o número de divisores positivos do número 60:

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

6

Resolução: Aplicando o Teorema Fundamental da Aritmética teremos: Efetuando a decomposição do número 60 em fatores primos: 60 30 15 5 1

2 2 3 5 22.3.5

ou seja, 60 = 22. 31. 51

Para finalizar, temos que: n[D+(60)] = (2 + 1).(1 + 1).(1 + 1) n[D+(60)] = 3 . 2 . 2 = 12 divisores

OS CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE De acordo com o conceito de divisibilidade, sabe-se que um número é divisível por outro quando a divisão é exata, ou seja, deixa resto nulo. No entanto nem sempre a primeira vista, conseguimos perceber se um número é ou não, divisível por outro. Existem, algumas regras que nos permitem verificar se um número é ou não divisível por outro, são chamados de CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE.

Um número natural N é divisível por: 2

se seu algarismo da unidade é par.

3

se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

4

se o número formado por seus dois últimos algarismos são zeros ou divisível por 4.

5

se seu algarismo da unidade é 0 ou 5.

6

se é divisível por 2 e por 3.

7

se ao subtrairmos, sucessivamente, o dobro do último algarismo da direita do número restante à esquerda, obtivermos resto zero ou um número divisível por 7 (Exemplo: 3192) Exemplo: 319 – (2.2) = 315; 31 – (2.5) = 21 é divisível por 7.

8

se o número formado por seus três últimos algarismos são zeros ou divisível por 8.

9

se a soma de seus algarismos é divisível por 9.

10

se seu algarismos das unidades é 0.

11

se a diferença entre soma dos algarismos de ordem par (SP) pela soma dos algarismos de ordem ímpar (SI) resultar em um número divisível por 11. Exemplo: 12232 é divisível por 11, pois

(3  2)  (2  2  1)  5  5  0 . E como foi    SP

SI

visto, zero é divisível por qualquer número, logo é também divisível por 11.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Apesar de ser um assunto do domínio de todos, o MDC de dois ou mais números é, como o próprio nome sugere, o maior número que é divisor simultaneamente de todos os números dados. Entre as técnicas utilizadas para achar o MDC apresentaremos aquela que permite maior rapidez para obtê- lo. Exemplo: Qual o máximo divisor comum de 40, 60, 80 e 120? Resolução: Dividimos todos os números envolvidos pelo mesmo número, de preferência o maior divisor possível, e assim sucessivamente com os restos obtidos. Quando não pudermos mais dividir os últimos restos obtidos por um mesmo número o MDC será o produto dos quocientes encontrados. A saber: 40, 60, 80, 120 10 4, 6, 8, 12 2 2, 3, 4, 6 Logo, o MDC(40, 60, 80, 120) = 10×2 = 20.

O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Entre os vários métodos que existem para calcular o MMC de dois ou mais números, o método das divisões sucessivas ainda é o mais indicado. Dividimos sucessivamente todos os números dados, de preferência pelo maior divisor possível e quando não pudermos dividir simultaneamente todos pelo mesmo número continuamos a dividi-los separadamente até obtermos no final, restos iguais a unidade para todas as divisões. O MMC será o produto dos quocientes obtidos.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

7

Exemplo: Numa corrida o primeiro atleta dá a volta completa numa pista em 10 minutos, o segundo em 11 minutos e o terceiro em 12 minutos. Se eles partiram no mesmo instante, qual o tempo que decorrerá até que se encontrem novamente?

OS NÚMEROS RACIONAIS São números que se escrevem na forma de fração com termos inteiros e denominador diferente de zero. Exemplo:

Resolução: Se ao invés de três atletas nos restringirmos a apenas dois atletas, digamos A e B, entenderemos com mais facilidade a resolução do problema. Se o atleta A é mais rápido que o atleta B então este passará a ser retardatário em relação aquele, e isto significa que em um dado instante o atleta A alcançará pela primeira vez, após o início da corrida, o atleta B. Porém, como A é mais rápido do que B, haverão outros instantes em que B será ultrapassado por A. Logo, aquela primeira vez será o menor instantes de todos os instantes que venham a ocorrer. Se considerarmos os três atletas teremos que a resposta será o MMC de 10, 11 e 12, a saber:

ou compostas, são números racionais.

10, 5, 5, 5, 1, 1,

11, 11, 11, 11, 11, 1,

12 6 3 1 1 1

2 2 3 5 11

0,5 

2 17 5 , 3  , etc. As dízimas periódicas, simples 10 5 5

Para obtermos a fração geratriz de uma dízima periódica simples usamos a seguinte regra: “Toda dízima periódica simples é igual a uma fração mista cuja parte inteira corresponde a parte inteira da dízima e a parte fracionária tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos algarismos formem o período”. Exemplo: 3 1  . 9 3 15 5 71 2  b) 2,1515... = 2 . 99 33 33

a) 0,333... =

Logo: MMC(10, 11, 12) = 223511 MMC(10, 11, 12) = 43511 MMC(10, 11, 12) = 660 minutos

Os três atletas levarão 223511 = 660 minutos = 11 horas para se encontrarem novamente.

Para obtermos a fração irredutível que gerou uma dízima periódica composta usamos a seguinte regra: “Toda dízima periódica é igual a uma fração que tem para numerador a parte não periódica (sem a vírgula), seguida de um período, menos a parte não periódica. E para denominador tantos noves quantos algarismos formem o período, seguidos de tantos zeros, quantos sejam os algarismos da parte não periódica depois da vírgula”. Exemplo:

AS PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS

2,1 3 2 5 2 5 2.5 .. 

(I) Se dois números são primos entre si o M.M.C. é o produto deles e M.D.C. é 1;

Os números racionais fracionários se escrevem na forma de fração com termos inteiros e denominador

(II) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o M.M.C. e o menor é o M.D.C.;

diferente de zero. Por exemplo:

(III) O produto de dois números a e b, diferentes de zero, é igual ao produto do M.D.C. pelo M.M.C. desses números, ou seja:

MDC(a, b).MMC(a, b) = a.b

2 1 3 2 5 2 1 3 2 1 1 1 2 5 2 7 8   . 9900 9900 2475

3 2 1 , , , etc. Frações 5 3 2

como estas representam partes de um inteiro.

 As operações com frações As seguintes regras facilitam as operações com frações ordinárias: 1) Para compararmos duas ou mais frações, basta reduzilas ao mesmo denominador achando o MMC.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

8

Exemplo:

Exemplo:

3 2 1 18 As frações , , são equivalentes às frações , 5 3 2 30 20 15 15 18 20 , , pois o MMC(5, 3, 2) = 30. Como < < , 30 30 30 30 30 1 3 2 então < < . 2 5 3

43 64 8 4  6   3  2 1 6  2 7 . 6  

2) Para somarmos ou subtrairmos duas ou mais frações de mesmo denominador, conserva-se o denominador e somam-se os numeradores. Exemplo: 2 5 23 4 2  5  2 3 4 3 0 4 2 6        2. 13 13 13 13 13 13 13

3) Para somarmos ou subtrairmos duas ou mais frações com denominadores diferentes, inicialmente calculamos o MMC dos denominadores e a seguir o dividimos por cada um dos denominadores e multiplicamos o quociente de cada divisão pelo respectivo numerador. Em seguida procedemos como no caso anterior.

Exemplo: 2 5 1 5 8 15 2 3 0 8  1 5 2  3 0 2 5 3 0 5           . 3 4 6 2 12 12 12 12 12 12 12

4) Para multiplicarmos duas ou mais frações, multiplicamos todos os numeradores e todos os denominadores, e a seguir simplificamos os termos da fração resultante.

3

7) Para elevarmos uma fração a um expoente inteiro negativo, inicialmente invertemos a fração e trocamos o sinal do expoente, e em seguida procedemos como no caso anterior. Exemplo: 3   2

2

2    3

2



4 . 9

8) Para se converter uma fração mista em uma fração ordinária, multiplicamos o denominador pela parte inteira da fração mista e somamos o resultado com o numerador. Exemplo: 2

7 9  2  7 18 7 25    . 9 9 9 9

9) Para se converter qualquer número decimal em uma fração ordinária, contamos quantas casas decimais existem após a vírgula e em seguida escrevemos uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e cujo denominador é a unidade seguida de tantos zeros quantas sejam as casas decimais contadas após a vírgula. E seguida simplificamos a fração resultante. Exemplo: 2,2 5 

225 45 9   . 100 20 4

Exemplo: 2 4 9 72 3     . 3 5 8 120 5

5) Para dividirmos uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda, e a seguir simplificamos a fração resultante.

10) Para extrair a raiz quadrada de uma fração devemos extrair a raiz do numerador e a raiz do denominador. Exemplo: 12  25

12 25



22  3 2 3  . 5 5

Exemplo: 9 3 9 2 18 3 :     . 8 2 8 3 24 4

6) Para elevarmos uma fração a um expoente inteiro positivo, elevamos cada termo da fração a esse expoente, e em seguida, simplificamos a fração resultante.

11) Toda potência de expoente fracionário é uma raiz cujo índice é o denominador da fração do expoente da potência, e cujo radicando é a base da potência elevada ao valor do numerador da potência. Exemplo: 2

83 

3

82 

3

64 

3

43  4

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

9

RAZÃO E PROPORÇÃO Uma Razão é o quociente entre dois números. Por exemplo:

2 . 5

Uma Proporção é a igualdade de duas ou mais razões. Por exemplo:

2 4 .  5 10

 As seguintes propriedades são importantes para as proporções: Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios:

grandezas são envolvidas a regra de três é simples, e quando mais de duas grandezas são envolvidas a regra de três é composta. Para resolver uma regra de três colocamos uma seta referencial com o sentido voltado para o valor a determinar da grandeza desconhecida, e após cada análise das demais grandezas com esta, colocar setas com o mesmo sentido da seta referencial se as grandezas forem diretamente proporcionais, ou sentido contrário ao da seta referencial, se as grandezas forem inversamente proporcionais. Qualquer que seja a regra de três, simples ou composta, o valor desconhecido será obtido rapidamente efetuando o seguinte cálculo:

2 4   2  10 5  4 . 5 10

 Em toda proporção à soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como, cada antecedente está para seu consequente: 2 4 24 6 .    5 10 5  10 16

x=

Valor da cauda da seta referencial  Os valores das pontas das setas Produto dos valores das caudas restantes

 Casos de proporcionalidade:

 Duas sucessões de números são diretamente proporcionais quando a razão, divisão ou quociente entre seus valores correspondentes é uma constante k de proporcionalidade. Exemplo: As sucessões: (A: 2, 4, 8, e B: 8, 16, 32) são diretamente proporcionais, pois k 

2 4 8 1    . 8 16 32 4

 Duas sucessões de números são inversamente proporcionais quando o produto ou multiplicação entre seus valores correspondentes é uma constante k de proporcionalidade. Exemplo: As sucessões: (A: 2, 4, 5, 8 e B: 20, 10, 8, 5) são inversamente proporcionais, pois k = 2  20 = 4  10 = 5  8 = 8  5 = 40.

PORCENTAGEM Uma porcentagem denominador igual a 100.

uma

razão

com

Exemplo: Numa cidade de 4.000 habitantes, 1200 são crianças. Então a porcentagem de crianças que residem nesta cidade

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA Uma Regra de Três é um processo prático para resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas proporcionais. Quando apenas duas

é

é

dada

por

1200 30  0,3 0  , 4000 100

que

representamos por 30%. Vejamos algumas regras básicas:

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

10

I) 20% significa:

20 = 0,20. 100

J  C  i  n , então M  C  C  i  n . Colocando C em evidência teremos:

II) 20% + 30% = 50% e 50%  30% = 20%.

M  C  (1  i  n)

III) 20% de R$ 1.000,00 significa: 20%1000 = 0,201000 = R$ 200,00.

POTENCIAÇÃO DE INTEIROS RELATIVOS O conjunto dos números inteiros relativos é representado por ℤ = {...,  2,  1, 0, 1, 2,...}

IV) 20% de 30% significa: 20%30% = 0,200,30 = 0,06 = 6%. V)

A

razão

de

30%

para

20%

significa:

3 0% 0,3 0 3 150    1,5   1 5 0% . 2 0% 0,2 0 2 100

Na potenciação de inteiros relativos prevalecem as regras da multiplicação, pois, por definição, uma potenciação é um produto de fatores iguais.

VI) Aumentar R$ 1.000,00 em 20% significa: 1.000(1 + 0,20) = 1.0001,20 = R$ 1.200,00.

Exemplo: ( 3)4 = ( 3).( 3).( 3).( 3) = 81.

VII) Aumentar, sucessivamente, R$ 1.000,00 em 20% e 30% significa: R$ 1.000,00(1 + 0,20) (1 + 0,30) = 1.0001,201,30 = 1.0001,56 = R$ 1.560,00. VIII) Descontar R$ 1.000,00 em 20% significa: R$ 1.000,00(1 – 0,20) = 1.0000,80 = R$ 800,00. IX) Descontar, sucessivamente, R$ 1.000,00 em 20% e 30% significa: R$ 1.000,00(1 – 0,20)(1 – 0,30) = 1.0000,800,70 = 1.0000,56 = R$ 560,00. X) Aumentar R$ 1.000,00 em 20% e em seguida dar um desconto de 30% significa: R$ 1.000,00(1 + 0,20)(1 – 0,30) = 1.000  1,20  0,70 = 1.000  0,84 = R$ 840,00.

 Regras básicas:  Toda potência de expoente inteiro par tem seu resultado sempre positivo: ( 3)4 = 81.  Toda potência de base negativa e expoente ímpar tem seu resultado sempre negativo: ( 3)3 =  27.  Toda potência de expoente nulo é igual a unidade: ( 3)0 = 1.  Toda potência que vier com o sinal negativo continuará com o sinal negativo:  34 =  81.  Toda potência de expoente negativo, inverte a base

1 2

3

e troca o sinal do expoente: 2 3    . JUROS SIMPLES Juros é a compensação financeira, prêmio ou aluguel, devido na aplicação de um capital. Na capitalização simples o juro produzido em vários períodos financeiros é constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros. Então, um capital C colocado a juros à taxa i, ao final de n períodos financeiros produzirá um juro: J  Cin

 Para se elevar uma fração a um expoente, eleva-se

2 3

3

cada termo da fração a esse expoente:   

23 33

.  Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes: 35  34 = 37.

Montante é o capital mais os juros, ou seja, M = C + J. Então, em capitalização simples, que se tem POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

11

 Para dividir potências de mesma base, conserva-se a 5

base e subtraem-se os expoentes:

3  32 . 3 3

 Para elevar uma potência um expoente, conservase a base e multiplicam-se os expoentes:

2 

3 5

 215 .

 Toda potência de expoente fracionário é igual a uma raiz que tem para índice o denominador da fração e para expoente do radicando o numerador,

Exemplos: a) 3x + 7x – 8x = 2x; b) 3xy² + 5x²y – 4xy² + 6x²y = 11x²y – xy². II) Para multiplicar um polinômio por outro multiplicamos cada termo do primeiro por todos os termos do segundo polinômio e depois reduzimos os termos semelhantes. Exemplo: a) (3x – 5y)(x + y) = 3x² + 3xy – 5xy – 5y²= 3x²  2xy – 5y². III) Para dividir um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

2

e vice versa: 5 3  5 2 . 3

Exemplo: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POLINOMIAIS Chama-se Polinômio toda expressão algébrica formada por vários termos algébricos. Os polinômios que possuem apenas um termo algébrico são chamados MONÔMIOS. Por exemplo: 3x, 5x², 7xyz, etc. Os que possuem dois termos algébricos são os BINÔMIOS: 2x² + 7x, 4x – 5y, etc. Os que possuem três termos são os trinômios: x² – 5x + 6, etc. O Valor Numérico de um Polinômio se obtém substituindo as letras de sua parte literal por valores dados e efetuando as operações indicadas. Exemplo: No polinômio P(a, b) = ab – ba, qual o valor de P( 2 ,  3)? Resolução: Com a =  2 e b =  3 no polinômio teremos: 3) =

P( 2, 

P(2;3)  (2)3  (3)2  3

2

1 1 98 17  1  1 . P(2;3)              2 3 8 9 7 2 72    

8x7  1 2x5  4x3 3

4x



8x7 3

4x



1 2x5 3

4x



4x3 4x3

 2x4  3x2  1 .

IV) Para dividir um polinômio por outro polinômio usamos o MÉTODO DA CHAVE: Após ordenar o polinômio dividendo e o polinômio divisor com os expoentes dos seus termos literais em ordem decrescente, dividimos o primeiro termo do polinômio dividendo pelo primeiro termo do polinômio divisor. A seguir multiplicamos o quociente obtido por todos os termos do polinômio divisor e colocamos o resultado, com os sinais trocados, e na mesma ordem quanto aos expoentes, abaixo das parcelas do polinômio dividendo. Subtraímos os resultados. Baixando o próximo termo do polinômio dividendo procedemos como antes até obtermos resto zero, se a divisão for exata, ou resto com maior expoente na sua parte literal inferior ao expoente do polinômio divisor. Exemplo: Dividir A(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 por B(x) = x – 1. Resolução: Pelo método da chave, teremos:

Operações com polinômios I) Só podemos somar ou subtrair monômios semelhantes, isto é, que possuem a mesma parte literal.

Logo obtivemos o quociente Q(x) = x2 – 2x + 1 e resto R(x) = 0.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

12

PRODUTOS NOTÁVEIS 1º Caso: Quadrado da soma de dois números: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

equação. Toda equação do 1º grau é uma equação do

 b .  a 

tipo ax + b = 0, com a  * e b  , onde S = 

2º Caso: Quadrado da diferença de dois números: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3º Caso: Quadrado da soma de três números: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 4º Caso: Produto da soma pela diferença de dois números: (a + b).(a – b) = a2 – b2 5º Caso: Cubo da soma de dois números: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 6º Caso: Cubo da diferença de dois números: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 1º caso: Fator comum em evidência ax + bx = x(a + b) 2º Caso: Agrupamento ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b).(x + y) 3º Caso: Diferença de quadrados a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4º Caso: Trinômio quadrado perfeito a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 5º Caso: Cubos perfeito a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 6º Caso: Soma e diferença de cubos a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2)

EQUAÇÃO DO 1º GRAU É toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade, onde o número 1 é o expoente da

 Discussão:  1º Caso: Se a  0, a equação é possível e determinada, e neste caso apresenta uma única solução obtida pela resolução anterior. Exemplo: 7x – 8 = 3x + 12  7x – 3x = 12 + 8  4x = 20. Como a = 4  0 x 

20  5  S = { 5 }. 4

 2º Caso: Se a = 0 e b = 0, a equação é possível e determinada, e neste caso apresenta várias soluções. O conjunto solução é o conjunto dos números reais. Exemplo: 7X – 8 =  8 + 7x  7x – 7x = 8 – 8  0.X = 0. Como a = b = 0  S = R.  3º Caso: Se a = 0 e b  0, a equação é impossível, e neste caso não tem solução. Exemplo: 7x – 8 = 5 + 7x  7x – 7x = 5 + 8  0.x = 13. Como a = 0 e b = 13  0  S = .

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

ax  b; ax  b;  Formas gerais  , com a  0. ax  b; ax  b. Resolução das inequações do 1º grau (1) Se a > 0 e ax  b  x 

b . a

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

13

b . a b (3) Se a < 0 e ax  b  x  . a b (4) Se a < 0 e ax  b  x  . a (2) Se a > 0 e ax  b  x 

Exemplo:

2x  3y  13 2 3 13    . Logo o sistema não tem  4 6 17 4x  6 y  17 solução é S = .

Exemplo: 7x – 8 < 9x + 6  7x – 9x < 6 + 8   2x < 14  2x > 14  x

 14  x >  7. 2

EQUAÇÕES DO 2º GRAU É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax2 + bx + c = 0, com a  *, b   e c  . A sentença ax2 + bx + c = 0 é equivalente a

x

b  onde   b 2  4ac . 2a

 Discriminante

 (Delta) é o discriminante da equação.

SISTEMAS DO 1º GRAU

Assim, sendo S o conjunto solução, em ,

a 1 x  b1 y  c1 . a 2 x  b 2 y  c 2

Forma geral: 

I)   0  A equação tem duas raízes reais distintas

 Discussão:

obtidas por x 

 1º Caso: Se

a 1 b1 , o sistema é possível e  a 2 b2

determinado, apresentando uma única solução (x, y). Exemplo:

2x  3y  13 2 3  . Logo o sistema tem uma   5 x  3 y  1 5  3  única solução: S = {( 2, 3)}.  2º Caso: Se

temos:

b  . 2a

II)   0  A equação tem duas raízes reais e iguais obtidas por x 

b . 2a

III)   0  A equação não tem raízes reais, e neste caso S   .  Relações de Girard

a 1 b1 c1 , o sistema é possível e   a 2 b2 c2

indeterminado, e neste caso apresenta várias soluções. O conjunto solução é o conjunto dos pares ordenados (x, y)  S = R  R.

S  x   x    P  x   x  

b a

c a

Exemplo:

2x  3y  13 2 3 13  . Logo o sistema tem    4 6 26 4x  6 y  26 várias soluções é S = R  R.  3º Caso: Se

a 1 b1 c1 , o sistema é impossível,   a 2 b2 c2

e neste caso não tem solução

é S = .

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU Consiste de sistema de equações com duas incógnitas x e y que resolvidos por substituição, adição ou comparação, acarretam em equações do 2º grau. Exemplo: Se x + y = 7 e xy = 12, quais os possíveis valores de (x, y)?

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

14

Resolução: Se x + y = 7  y = 7 – x, substituindo y na outra equação temos: x(7 – x) = 12  7x – x² = 12  x² – 7x + 12 = 0.

Como  = (7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 = 1  x 

7 1 2

 x = 3 ou x = 4. Se X = 3  y = 4 e se x = 4  t = 3. Logo o conjunto solução do sistema é S = {(3, 4); (4, 3)}.

I) Para se obter o gráfico da função polinomial do 1º grau são suficientes, pois, dois pontos. Em geral são

 b  ,0  e (0, b).  a 

escolhidos os interceptos:  

II) A função polinomial do 1º grau é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o gráfico apenas num ponto. III) A função polinomial do 1º grau é sobrejetora, pois Im() = CD() = . IV) A função polinomial do 1º grau de  em  é, portanto, injetora.

A FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função f: R  R definida por f(x) = ax + b, onde “a” e “b” são números reais, com a  0, é denominada função do 1º grau de variável real.

Estudo do sinal da função do 1º grau Estudar os sinais de uma função y = (x) significa estabelecer, para cada x  D(), qual das sentenças é verdadeira:

A função do 1º grau observa-se que: y=0

y>0

ou

y 0 então a função é estritamente crescente.

1º Caso: a > 0: Neste caso a função é crescente. Como para

x

b b temos y =    0 , vem: a  a  

V) Se a < 0 então a função é estritamente decrescente Vejamos os gráficos abaixo:



b b   ( x )   y0 a  a  b b x   ( x )   y0 a  a  x

Conclusões:

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

15

2º Caso: a < 0: Neste caso a função é decrescente. Também para x 

b b temos y =    0 , logo: a  a 

2º Situação: a < 0 (concavidade voltada para baixo)

 x 

b b   ( x )   y0 a  a 

x

b b   ( x )   y0 a  a 

FUNÇÃO DO 2º GRAU Dados os números reais a, b e c, com a  0, chama-se função polinomial do 2º grau, ou função quadrática, a toda função :    definida por y= (x) = ax2 + bx + c. Podemos observar que a forma algébrica (y = ax2 + bx + c), onde a, b e c

 Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau Os zeros de uma função do 2º grau são os valores da variável x para os quais a função se anula, ou seja: (x) = ax2 + bx + c  (x) = 0  ax2 + bx + c = 0 Para obter os “zeros” da função do 2º grau, utiliza-se a fórmula de Bhaskara: x 

b  . 2a

Exemplos: a) (x) = 2x2 + 3x – 10, em que a = 2, b = 3

e c = – 10.

b) (x) = x2 – 25, em que a = 1, b = 0 e c = – 25. c) y = – x2 + 5x + 6, em que a = – 1, b = 5 e c = 6. d) y = 3x2, em que a = 3, b = 0 e c = 0.  Gráfico O gráfico de toda função do 2º grau da forma (x) = ax2 + bx + c é uma curva denominada de parábola no plano cartesiano. Graficamente, existem duas situações a considerar: 1º Situação: a > 0 (concavidade voltada para cima)

Exemplo: Determine os zeros da função definida por 2x2 – 5x – 3.

(x) =

Resolução: Fazemos: (x) = 0, temos 2x2 – 5x – 3 = 0. Cálculo do discriminante (delta):   b 2  4ac

  (5) 2  4.2.(3)    25  24    49 Cálculo das raízes:

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

16

g) Se   b 2  4ac  0 então  não admite raízes reais.

5  7 12  3 1  57 4 4 , S ,3 x 5  7  2 1 4 2  x"    4 4 2 x' 

A parábola não intercepta o eixo Ox . Conclusão: Graficamente, os zeros da função polinomial do 2º grau são pontos onde a parábola intercepta o eixo das abscissas. Existem seis situações a considerar:

Exemplo: Obtenha os valores de x que tornam nula a função (x) = x2 – 4x + 9. Resolução: Fazemos: (x) = 0, temos x2 – 4x + 9 = 0. Cálculo do discriminante (delta):   b 2  4ac  = (– 4)2 – 4.1.9   = 16 – 36   = – 20 Cálculo das raízes:

x

4   20  Não existe valor de x real que anule a 2

função . A Função do 2º Grau:  :    definida por ax2 + bx + c, a  0. Observa-se que:

(x) =

a) A função polinomial do 2º grau é sempre uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo Oy . b) Se a > 0 então a parábola tem a “concavidade voltada para cima”. c) Se a < 0 então a parábola tem a “concavidade voltada para baixo”. d) A parábola sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0, c). e) Se   b 2  4ac  0 então  admite duas raízes reais. A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

f) Se   b 2  4ac  0 então  admite uma raiz real. A parábola tangencia o eixo Ox .

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

17

a < 0  O ponto Vx V ; y V  é o ponto de máximo de y = (x) e o yV é o máximo da função.

Exemplo: Obtenha as coordenadas do vértice da parábola correspondente à função definida por (x) = – x2 – 4x + 3.

 Vértice da parábola O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau da forma (x) = ax2 + bx + c é o ponto

  b   b  b  V ; ;   ou V   .  2a 4a   2a  2a   Este ponto extremo pode representar um ponto de mínimo ou um ponto de máximo, dependendo da concavidade da parábola. Se a > 0 então V é o ponto de mínimo de . Se a < 0 então V é o ponto de máximo de . a > 0  O ponto Vx V ; y V  é o ponto de mínimo de y = (x) e o yV é o mínimo da função.



xV 

 (4) b  xV   x V  2 2a 2(1)



yV 

  28  yV   yV  7 4a 4(1)

Logo, o vértice é V(– 2; 7)  Conjunto imagem

 

     ;  se a > 0  4a   4a 

 

     se a < 0     ; 4a   4a 

Im() = y   / y 

Im() = y   / y 

Exemplo: Obtenha o conjunto imagem da função definida por y = 4x2 – 8x. 

yV 

  64  yV   y V  4 4a 4(4)

Logo, o conjunto imagem da função é: Im() = [– 4; + ) ou Im() = y   / y  4 Observação: y = – 4 é a imagem mínima da função. Exemplo: Determine o conjunto imagem da função quadrática definida por y = – x2 + 3x – 1.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

18



 5 5 yV   yV   yV  4a 4(1) 4

Logo, o conjunto imagem da função é:



5



5

Im() =   ;  ou Im() =  y   / y   4 4   Observação: y =

5 é a imagem máxima da função. 4

 Estudo do sinal da função do 2º grau Estudar o sinal de uma função do 2º grau da forma y = (x) = ax2 + bx + c é obter a variação da imagem, ou seja, de y. A aplicação de estudo do sinal de uma função é a resolução de inequações.

Questões Propostas Questão 01 De dois conjuntos A e B, sabe-se que:

(COMPERVE)

I) O número de elementos que pertence a A  B é 45; II) 40% destes elementos pertencem a ambos os conjuntos; III) O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B. Então o número de elementos de cada conjunto é: A) n(A) = 27 e n(B) = 18. B) n(A) = 30 e n(B) = 21. C) n(A) = 36 e n(B) = 27.. D) n(A) = 28 e n(B) = 29.

 Se a > 0 e  > 0, a função do 2º grau é positiva , ou seja, ax2 + bx + c > 0, para x < x’ ou x > x” e é negativa, ax2 + bx + c < 0, para x’ < x < x’’.  Se a > 0 e  = 0, a função do 2º grau é não negativa, ou seja ax2 + bx + c  0, para todo valor de x.  Se a > 0 e  < 0, a função do 2º grau é positiva, ou seja, ax2 + bx + c > 0, para todo valor real de x.  Se a < 0 e  > 0, a função do 2º grau é positiva, ou seja ax2 + bx + c > 0, para x’ < x < x’’ e é negativa, ou seja, ax2 + bx + c < 0, para x < x’ ou x > x’’.  Se a < 0 e  = 0, a função do 2º grau é não positiva, ou seja ax2 + bx + c  0, para todo valor de x.

Questão 02 (COMPERVE) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que frequentavam ambas as praias era de: A) 20%. B) 35%.. C) 40%. D) 25%.

 Se a < 0 e  < 0, a função do 2º grau é negativa, ou seja , ax2 + bx + c < 0, para todo valor de x. Questão 03 (COMPERVE) Dos 140 alunos que fizeram uma prova constituída de duas questões, 90 acertaram a primeira, 110 acertaram a segundo e 60 acertaram as duas questões. Sabendo-se que nenhuma questão foi deixada sem resposta, o número de alunos que acertaram apenas a segunda foi: A) 60. B) 30. C) 40. D) 50..

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

19

Questão 04 (COMPERVE) No ano de 2008, um posto de saúde promoveu uma campanha de vacinação contra a hepatite B e contra a tuberculose. Das pessoas vacinadas, 39 receberam vacina apenas contra hepatite B, 74 contra tuberculose e 29 receberam as duas vacinas. Portanto, pode-se afirmar que, em 2008, ao final da campanha, esse posto de saúde vacinou contrar essas duas doenças um total de A) 94 pessoas. B) 113 pessoas.. C) 108 pessoas. D) 84 pessoas.

Questão 05 (COMPERVE) Uma metalúrgica tem 4.000 funcionários contratados para trabalhar no turno vespertino, 500 funcionários contratados para trabalhar no turno matutino e 240 para trabalhar no turno noturno. Se 5% dos funcionários contratados para o turno vespertino também foram contratados para trabalhar no turno matutino, se 4% dos contratados para o turno matutino também o foram para o turno noturno, se 0,5% dos que foram contatados para o turno vespertino também foram para o turno noturno e se somente 4 funcionários foram contratados para trabalhar em qualquer um dos três turnos, é correto afirmar que o número de funcionários dessa empresa é A) 5.020. B) 4.740. C) 4.248. D) 4.504..

Questão 06 (COMPERVE) A figura abaixo representa uma região de ruas de mão única. O número de carros se divide igualmente em cada local onde existem duas opções de direções conforme a figura.

Se 128 carros entram em E, podemos afirmar que o número de carros que deixam a região pela saída S é: A) 24.. B) 48. C) 64. D) 72.

Questão 07 (COMPERVE) Fernando, brincando com uma calculadora, digitou o número 897 e em seguida começou a subtrair sucessivamente o número nove, só parando quando obteve um número negativo. A quantidade de vezes que Fernando apertou a tecla do número nove foi A) 99. B) 100.. C) 85. D) 84.

Questão 08

(COMPERVE)

13  7  2  4 é igual a: A) 4.. B) 5. C) 6. D) 7.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

20

Questão 09 (COMPERVE) Observe os dois termômetros da figura abaixo, os quais expressam valores de temperatura, em graus centígrados:

Questão 11 (COMPERVE) Um consumidor faz um balanço de seu consumo de água em relação aos seis meses anteriores e chega à seguinte expressão matemática: X

1 0  (1,2).(5)  2.(6  2)

O valor de X é: 1 .. 2 2 B)  . 3 2 C) . 3 1 D)  . 2

A)

Questão 12

(COMPERVE)  1

A diferença entre a temperatura indicada no termômetro 1 e a indicada no termômetro 2 é de: A) + 8.. B) – 8. C) – 6. D) + 6.

Questão 10

1

A)

1 . 2

B) 2. C) 5.. D)

1 . 3

7( x 1  x 3 ) x2  x3

x1  x 3 2x 1  3x 2 e  . x2 x1 C al c ule os va lo re s d e , ,  e , e m se g ui da, assi nale a o p çã o ve rd a d e i ra. A)     . B)      . C)      . D )      ..

 1

(COMPERVE)

C on side re x 1 = 9 , x 2 = 4, x 3 = – 8 ,   , 

1

O valor da expressão S  5  2   5  3  na 2  2 3  3 sua forma mais simples é:

Questão 13 (COMPERVE) Um agente de saúde visitou 32 residências durante um mês. No 25º dia já tinha visitado 3/4 das residências. Após essas visitas, faltava ainda visitar A) 12 residências. B) 16 residências. C) 8 residências.. D) 10 residências.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

21

Questão 14 (COMPERVE) O dono de um sítio de 6 hectares decide utilizar 3/5 da área total para plantio e 2/3 da que sobrou para a criação de animais. A área do sítio, em metros quadrados, que não está ocupada com plantio ou criação é de A) 17.600. B) 16.000. C) 8.000.. D) 6.400.

Questão 15 (COMPERVE) O salário de um funcionário público é 3.600 reais. O funcionário gasta 1/4 do seu salário com alimentação e 1/2 com outras despesas. Do que resta, usa 2/3 para o lazer. A quantidade de dinheiro do salário destinado ao lazer é: A) 450 reais. B) 600 reais. C) 150 reais. D) 300 reais..

Questão 16 (COMPERVE) A letra que ocupa a 1248ª posição na sequência A, B, C, D, E, A, B, C, D, E, A, B, C, D, E,... é: A) D. B) B. C) A. D) C..

Questão 17 (COMPERVE) Em uma calculadora, a tecla T transforma o número x (não nulo), que está no visor, em

1 , e a tecla V duplica o x

número que se encontra no visor. Se o número 2 estiver no visor e forem digitadas, alternadamente, as teclas T e V, iniciando-se por T, num total de 1999 digitações, será obtido um número igual a: A) 21999. B) 1.. C) 2. D)

1 . 2

Questão 18 (COMPERVE) Deseja-se cortar 3 peças de material acrílico de comprimentos 240 cm, 270 cm e 300 cm, respectivamente, em partes iguais e de maior comprimento possível. O comprimento que cada parte deverá ter é de A) 15 cm. B) 30 cm.. C) 60 cm. D) 90 cm.

Questão 19 (COMPERVE) A UFRN comprou, para seus laboratórios de Química, as seguintes vidrarias: 44 pacotes de Becker com 36 unidades cada; 18 pacotes de tubo de ensaio com 100 unidades cada; 24 pacotes de bureta com 10 unidades cada e 70 pacotes de proveta contendo 12 unidades cada. Para distribuir esse material, ele foi separado em caixas, que ficaram com a mesma quantidade máxima de unidades e, obrigatoriamente, cada caixa ficou com um único tipo de vidraria. O menor número possível de caixas utilizadas é uma quantidade A) maior que 210. B) menor que 150. C) entre 190 e 210. D) entre 150 e 190..

Questão 20 (COMPERVE) Para os festejos natalinos, uma fábrica de doces lançará uma caixa de chocolates. O número de chocolates poderá ser dividido igualmente (sem fracioná los) entre 2, 3, 4, 5 e 6 pessoas, não havendo sobra. O menor número de chocolates que essa caixa deverá conter será: A) 180. B) 120. C) 60.. D) 30.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

22

Questão 21 (COMPERVE) No piso de uma sala com 3,36 m de largura e 4,00 m de comprimento, um construtor deseja colocar peças de granito quadradas, do mesmo tamanho. A menor quantidade dessas peças que ele pode usar para cobrir completamente o piso é: A) 500. B) 525.. C) 550. D) 575.

Questão 24 (COMPERVE) Em uma obra, 7 trabalhadores constroem 2.800 m de cerca trabalhando 8 horas diárias durante 5 dias. Mantendo-se o mesmo ritmo de trabalho, para construir outra cerca de 2.160 m, trabalhando 6 horas diárias durante 9 dias, deverão ser reduzidos do grupo A) 4 trabalhadores. B) 3 trabalhadores.. C) 5 trabalhadores. D) 6 trabalhadores.

Questão 22 (COMPERVE) Em um hotel, há comida suficiente para que seus 20 hóspedes se alimentem por 10 dias. Ao final do quarto dia, 5 hóspedes deixam o hotel. Mantendo-se o mesmo consumo diário por pessoa, o número máximo de dias para os quais ainda há alimento é: A) 10. B) 6. C) 8.. D) 12.

Questão 25 (COMPERVE) O motorista de um laboratório costuma percorrer 1.260 km em 5 dias, viajando 6 horas por dia. Para percorrer 3.360 km, viajando 8 horas por dia mantendo a mesma velocidade média, ele precisará de A) 15 dias. B) 20 dias. C) 10 dias.. D) 5 dias.

Questão 23 (COMPERVE) Se um carro percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h, a redução do tempo de viagem para percorrer essa mesma estrada com velocidade 50% maior é de A) um terço do tempo de viagem.. B) metade do tempo de viagem. C) um quarto do tempo de viagem. D) um quinto do tempo de viagem.

Questão 26 (COMPERVE) Em um Departamento de Administração onde cada servidor tem um computador para trabalhar, 10 funcionários, trabalhando 8 horas por dia durante nove dias, preenchem 650 formulários. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, o número de funcionários necessários para preencher 1300 formulários em oito dias, trabalhando 6 horas por dia, é A) 50. B) 40. C) 30.. D) 60.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

23

Questão 27 (COMPERVE) A razão entre o número de médicos e de técnicos em enfermagem em um hospital é de 2 para 3. Se esse hospital possui 18 enfermeiros, o número de médicos é igual a A) 16. B) 14. C) 12.. D) 10.

Questão 30 (COMPERVE) 30. No mês de julho, dois funcionários de uma empresa, Adaílton e José, devem dividir um bônus de R$ 160,00, de forma que cada um receberá um valor inversamente proporcional ao número de faltas cometidas naquele mês. Adaílton faltou 3 dias e José, 2 dias. A quantia em reais que José deverá receber é: A) 64,00. B) 96,00.. C) 55,00. D) 88,00.

Questão 28 (COMPERVE) Fábia e Ângela moram próximas ao Laboratório de Petróleo onde trabalham, conforme mostra a Figura abaixo:

Medindo em linha reta, a casa de Fábia, assinalada por F, está a 550 m do laboratório (M). A razão entre as distâncias FM e AM, nessa ordem, é de 3 para 7. A distância entre a casa de Ângela, assinalada por A, e o laboratório M é de aproximadamente A) 1.220 m. B) 1.283 m.. C) 1.457 m. D) 1.340 m.

Questão 29 (COMPERVE) Um laboratório em que trabalham três auxiliares, deve coletar 720 amostras de água de uma lagoa de captação. Os auxiliares combinam distribuir a coleta das amostras em quantidades diretamente proporcionais aos anos de trabalho de cada um no laboratório. Considerando-se que um deles tem 10 anos de trabalho, outro tem 8 anos e outro 6 anos, a quantidade de amostras que cada funcionário deve coletar é, respectivamente, A) 300, 240 e 180.. B) 320, 300 e 100. C) 280, 240 e 200. D) 300, 220 e 200.

Questão 31 (COMPERVE) Um comerciante aumenta o preço de determinado produto em 15% e, posteriormente, em função da redução nas vendas, ele dá, nesse mesmo produto, um desconto de 13%. O preço final desse produto ficou, aproximadamente, A) o mesmo que antes das alterações.. B) um por cento mais caro que antes das alterações. C) dois por cento mais caro que antes das alterações. D) um e meio por cento mais barato que antes das alterações.

Questão 32 (COMPERVE) Ao iniciar uma viagem, Adailton encheu completamente o tanque de combustível de seu carro, que estava totalmente vazio, com gasolina, e pagou R$ 155,10 por esse abastecimento. O preço pago pelo litro da gasolina, na ocasião, foi 20% mais caro que o do álcool, que custava R$ 2,35. Na volta, com o tanque totalmente vazio outra vez, optou por abastecer com álcool. Sabendo que não houve aumento no preço dos combustíveis, para encher completamente o tanque do carro nessa nova situação, Adailton deve pagar A) R$ 145,50. B) R$ 118,45. C) R$ 129,25.. D) R$ 136,20.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

24

Questão 33 (COMPERVE) O salário dos funcionários administrativos de uma escola é composto de duas partes: o vencimento base e uma gratificação que corresponde a um percentual desse vencimento. Em 2010, o vencimento base era de R$ 600,00 e o percentual de gratificação, de 25%. Na negociação salarial de 2011, a categoria obteve duas conquistas: o vencimento base teve um reajuste de 10%, e o percentual de gratificação aumentou para 30%. Com base nesses dados, é correto afirmar que, em relação ao ano de 2010, o salário desses funcionários teve um aumento de A) 34,5%. B) 12%. C) 43%. D) 14,4%..

Questão 34 (COMPERVE) Uma empresa de cartão de crédito cobra, de encargos financeiros por atraso no pagamento da fatura, multa de 2% mais juros de 14% ao mês, que incidem, individualmente, sobre o valor original da fatura. Marta atrasou o pagamento de uma fatura no valor de R$ 600,00 por um mês e, em negociação com a empresa, conseguiu reduzir os juros em 8% do valor devido. Portanto, Marta quitou sua dívida no cartão de crédito com A) R$ 702,28. B) R$ 688,32.. C) R$ 689,28. D) R$ 703,68.

Questão 35 (COMPERVE) Um auxiliar de laboratório comprou uma impressora e pagou-a à vista, com um desconto de 25%. Para isso ele usou suas economias, que eram de R$ 300,00, e um empréstimo de R$ 100,00 que fez de sua irmã. Sem desconto, o preço dessa impressora seria de, aproximadamente, A) R$ 575,00. B) R$ 612,00. C) R$ 533,00.. D) R$ 678,00.

Questão 36 (COMPERVE) Numa cidade, as tarifas de ônibus passaram de R$ 3,50 para R$ 5,00. O percentual de aumento da tarifa foi de, aproximadamente, A) 43%.. B) 57%. C) 63%. D) 27%.

Questão 37 (COMPERVE) A diferença entre os 3/4 e o 1/3 do preço de um projetor a ser comprado por um departamento da UFS é de R$ 2.400,00. O preço do projetor é A) R$ 2.900,00. B) R$ 3.300,00. C) R$ 4.840,00. D) R$ 5.760,00..

Questão 38 (COMPERVE) Em uma festa em família, Miguel, professor de matemática, brincava com seus dois sobrinhos: Marcos e Marcela, quando propôs um desafio a Marcos: “Descubra minha idade”. Miguel passou as seguintes informações: “A minha idade hoje é igual à soma da idade de vocês dois adicionada de 20 anos. Três anos atrás, a minha idade era o triplo da idade de Marcos e, daqui a três anos, minha idade será o quíntuplo da idade de Marcela.” Baseado nessas informações, é correto afirmar que Miguel tem hoje A) 38 anos. B) 45 anos C) 42 anos.. D) 34 anos.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

25

Questão 39 (COMPERVE) Marta, Maria, Márcia e Manu foram a uma loja e gastaram juntas R$ 52,00. Marta gastou R$ 2,00 a mais que Maria; Maria gastou R$ 3,50 a mais que Márcia e Márcia gastou a metade do valor que Manu gastou. A garota que gastou menos, nessa loja, foi A) Maria. B) Manu. C) Márcia.. D) Marta.

Questão 40 (COMPERVE) Todo mês, Gabriela recebe dos pais a sua mesada. No mês de janeiro de 2012, ela verificou que, da mesada recebida, gastou a quarta parte com o pagamento de dívidas, a terça parte com a compra de materiais para a escola e restaram-lhe ainda R$100,00 para outras despesas. O valor da mesada que Gabriela recebeu em janeiro de 2012 foi de A) R$ 230,00. B) R$ 200,00. C) R$ 210,00. D) R$ 240,00..

Questão 41 (COMPERVE) Um pequeno investidor aplicou R$ 10.000,00 a uma taxa de juros simples de 2,2% ao mês, com a finalidade de obter um rendimento de R$ 3.300,00 de maneira a poder comprar um equipamento de informática. Para que ele tenha o rendimento desejado, o tempo mínimo que esse dinheiro deve ficar aplicado é de A) 1 ano e 5 meses. B) 1 ano e 4 meses. C) 1 ano e 3 meses.. D) 1 ano e 2 meses.

Questão 42 (COMPERVE) Ana emprestou R$ 1.800,00 para José comprar uma televisão de 32 polegadas. Pelo acordo, José pagaria, ao final de 10 meses, o valor que tomou emprestado acrescido de juros simples de 30% ao ano. Findo o prazo, ana recebeu de José um montante de A) R$ 2.150,00. B) R$ 2.250,00.. C) R$ 2.340,00. D) R$ 2.460,00.

Questão 43 (COMPERVE) Maria aplicou um capital de R$ 1.000,00 a juros simples, durante três meses, à taxa de 2% ao mês. No final do período, Maria recebeu de juros, pela aplicação: A) R$ 160,00. B) R$ 120,00. C) R$ 60,00.. D) R$ 80,00.

Questão 44 (COMPERVE) Uma garota juntou 53 cédulas de R$ 10,00 e de R$ 20,00, perfazendo o valor de R$ 630,00. O número de cédulas de dez reais que ela juntou foi, portanto: A) 43.. B) 48. C) 45. D) 42.

Questão 45 (COMPERVE) A soma de dois números é 180. O dobro do maior é igual ao triplo do menor. Os valores dos números maior e menor são, respectivamente: A) 108 e 65. B) 108 e 72.. C) 130 e 72. D) 130 e 65.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

26

Questão 46 (COMPERVE) No alvo representado pela figura abaixo, uma certa pontuação é dada para a fle cha que cai na região sombreada S e outra para a flecha que cai no círculo central R.

Questão 48 (COMPERVE) Sendo x e y números inteiros tais que x  y  16 e

xy  64 , então o valor numérico da expressão

E  x 2  y 2 é igual a: A) 128.. B) 512. C) 169. D) 480.

Diana obteve 17 pontos, lançando três flechas, das quais uma caiu em R e duas em S. Guilherme obteve 22 pontos, lançando o mesmo número de flechas, das quais uma caiu em S e duas em R. Considerando-se o desempenho dos dois arremessadores, pode-se afirmar que o número de pontos atribuídos a cada flecha que cai na região S é: A) 2. B) 3. C) 4.. D) 5.

Questão 47 (COMPERVE) Para assistir a um espetáculo musical, as pessoas identificadas como estudantes pagam R$ 10,00 e as que não são estudantes, R$ 30,00. Sabe-se que 1.575 pessoas compareceram ao show e que o valor arrecadado foi de R$ 26.950,00. O número de estudantes que assistiram ao espetáculo foi A) 1.015.. B) 1.030. C) 1.005. D) 1.040.

Questão 49 (COMPERVE) A figura abaixo apresenta dois quadrados de lados x e y.

Se a soma das áreas desses quadrados é 41 e a diferença de seus perímetros é 4, os valores de x e y, em metros, são, respectivamente A) 5 e 4.. B) 10 e 6. C) 6 e 2. D) 15 e 5.

Questão 50 (COMPERVE) Na campanha salarial de 2009, os Técnicos de Enfermagem de um hospital negociaram um plano de cargos e salários de modo que o vencimento passou a ser composto por um valor fixo de R$ 1.100,00 mais um valor variável equivalente a 7% da produtividade. Com base nessas informações, a expressão que melhor representa o salário y recebido pelo técnico em função da produtividade x é dada por A) y = 1.100 – 0,07x. B) y = 1.100 + 0,07x.. C) y = 1.100 – 0,07x2. D) y = 1.100 + 0,07x2.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

27

Questão 51 (COMPERVE) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para estudo de um fenômeno.

Questão 53 (COMPERVE) O gráfico abaixo mostra o consumo de combustível de um carro popular em relação à quantidade de quilômetros rodados.

De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática. B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear. D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática..

Questão 52 (COMPERVE) O Sr. Gilberto, proprietário da “Bolaria Natal”, procurou seu amigo Eduardo para receber orientação quanto ao número mínimo de unidades de bolo que deveria vender para não ficar no prejuízo ao final do mês, ou seja, o valor arrecadado com a venda dos bolos deve ser, no mínimo, igual ao custo total de produção. Para tanto, entregou a ele os seguintes dados anotados em um papel:

Em relação ao gráfico, afirma-se: I) O gráfico representa duas grandezas que são inversamente proporcionais. II) O consumo de gasolina do carro popular ao percorrer 60 km é o dobro do consumido ao percorrer 30 km. III) Mantendo-se o mesmo comportamento entre as variáveis, ao percorrer 90 km, o carro consumirá 6 litros de gasolina. IV) A função que melhor representa a relação entre as variáveis do gráfico apresentado é a linear com coeficiente angular positivo.

Eduardo analisou os dados e afirmou para o Sr. Gilberto que, considerando um mês de 30 dias, para não se ter prejuízo, sua venda diária, em média, deverá ser de, pelo menos, A) 56 bolos.. B) 57 bolos. C) 54 bolos. D) 55 bolos.

Das afirmativas, A) I, II e IV são corretas. B) apenas I e II são corretas. C) apenas III e IV são corretas. D) II, III e IV são corretas..

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

28

Questão 54 (COMPERVE) Uma aluna do curso de Engenharia gastou R$ 8.000,00 para desenvolver um jogo para telefone celular. Ela estimou que, se cobrasse reais por cada download, conseguiria vender ( ) download desse jogo. Sabendo que lucro é a diferença entre o valor arrecadado pela venda e o custo de produção de um produto, o lucro obtido por essa aluna se ela decidir vender cada download do jogo por R$ 2,00 é A) R$ 23.986,00. B) R$ 31.996,00.. C) R$ 32.004,00. D) R$ 28.060,00.

Questão 55 (COMPERVE) Um comerciante decidiu fabricar camisetas de malha para vendê-las na praia, ao preço de R$ 8,00 a unidade. Investiu no negócio R$ 320,00. Sabendo que o lucro(y) obtido é função da quantidade de unidades vendidas(x), o gráfico que mais se aproxima da representação dessa função é:

Questão 56 (COMPERVE) Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100 m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao solo, em função do tempo (t), é dada pela expressão h(t) = – 5t2 + 40t + 100. Então a altura máxima atingida pela pedra é A) 100 m. B) 160 m. C) 180 m.. D) 200 m.

Questão 57 (COMPERVE) O Sr. João dispõe de 180 metros de tela, para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele (veja figura).

x

x

x

muro

y Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de x e y são, respectivamente: A) 45 m e 45 m. B) 30 m e 90 m.. C) 36 m e 72 m. D) 40 m e 60 m.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

29

Questão 58 (COMPERVE) Em uma competição de saltos ornamentais, um atleta mergulha na piscina segundo uma trajetória parabólica, conforme apresentado na figura abaixo.

Questão 59 (COMPERVE) Em uma negociação para comprar 20 computadores com o objetivo de equipar um laboratório de informática, uma escola conseguiu um preço de R$ 900,00 por computador. Para vender mais, a empresa propôs baixar em R$ 20,00 o preço de cada computador que fosse comprado além dos 20 já negociados inicialmente pela escola. A expressão que determina o preço pago em função do número total de computadores comprados é dada por A) y = – 20x2 + 1.700x – 8.000.. B) y = 10x2 – 850x + 4.000. C) y = 20x2 – 1.700x + 8.000. D) y = 10x2 + 850x – 4.000.

O ponto A da piscina e o ponto B do trampolim pertencem a uma mesma reta perpendicular à superfície da piscina. O atleta mergulha e sai da piscina, respectivamente, a 1 m e 5 m de distância do ponto A. Se seu mergulho atinge 4 m de profundidade em relação à superfície d’água da piscina, é correto afirmar que o trampolim está a uma altura H de A) 5,5 m. B) 4,5 m. C) 4,0 m. D) 5,0 m..

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

30

Grandezas e Medidas Sistema Métrico Decimal: medidas de comprimento, de superfície, de massa, de volume e de capacidade. Medidas de tempo. Problema envolvendo unidades monetárias. Perímetro e área de figuras planas. Teorema de Tales. Teorema de Pitágoras. Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno cosseno e tangente. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS 





Unidades de comprimento quilômetro hectômetro km hm 8

Unidades de capacidade quilolitro hectolitro kℓ hℓ 3

Unidades de massa quilograma hectograma kg hg 7

decâmetro dam 4, 1

metro m 2 5, 2

decímetro dm 8 0 4,

centímetro cm

milímetro mm

4 2

8

decalitro daℓ 4, 3

litro ℓ 2 4, 3

decilitro dℓ 8 2 4,

centilitro cℓ

mililitro mℓ

8 2

8

grama g 2 3, 7

decigrama dg 8 2 3,

centigrama cg

miligrama mg

8 2

8

decagrama dag 3, 7

Observação: 1) Qualquer unidade nestas escalas é dez vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e dez vezes menor do que a unidade imediatamente superior. 2) 1 kg = 1ℓ. 

Unidades de área quilômetro hectômetro quadrado quadrado km2 hm2

decâmetro quadrado dam2

metro decímetro quadrado quadrado m2 dm2 15, 80 1 89, 30 0, 93 21 Lê-se: (15 metros quadrados e 8012 centímetros quadrados)

centímetro quadrado cm2 12

milímetro quadrado mm2

Observações: 1) Observe que cada grupo de dois algarismos corresponde a uma unidade de áreas. 2) Qualquer unidade na escala de Área é 100 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor do que a unidade imediatamente superior. 3) Qualquer quantidade nesta escala deve ter (com exceção, às vezes, dos extremos) apenas dois algarismos correspondentes a uma dada unidade, com a vírgula abaixo da unidade na qual se expressa a quantidade. 4) Nas medições de grandes lotes de terras, são usadas as medidas agrárias: hectare (he) are (a) centiare (ce)

1 ha = 1 hm2 = 10.000 m2 1 a = 1 dam2 = 100 m2 1 ca = 1 m2

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

31



Unidades de volume quilômetro cúbico km3

hectômetro cúbico hm3

decâmetro cúbico dam3

metro cúbico m3 75, 12, 000 0, 000 000 002 Lê-se: (75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos)

decímetro cúbico dm3 840 006 470

centímetro cúbico cm3

milímetro cúbico mm3

400

Observações: 1) Qualquer unidade na escala de Volume é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor do que a unidade imediatamente superior. 2) Qualquer quantidade nesta escala deve ter (com exceção, às vezes, dos extremos) apenas três algarismos correspondentes a cada unidade, com a vírgula abaixo da unidade na qual se expressa a quantidade. 3) Para se mudar de uma unidade para outra, deslocamos a vírgula três casas para a esquerda ou para a direita, conforme se queira uma unidade inferior ou superior. 4) Relações importantes: dm3 = 1ℓ 1 cm3 = 1mℓ 1 m3 = 1000ℓ

PERÍMETROS E ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1 ha = 1 hm2 = 10.000 m2 1 a = 1 dam2 = 100 m2 1 ca = 1 m2

Trapézio:

Retângulo:

 Perímetro: 2P = 2(b + h).  Área: S = bh.

 Área: S 

(B  b).h . 2

Paralelogramo: Quadrado:

 Perímetro: 2P  4 .  Área: S   2 .

 Perímetro: 2P = 2(a + b).  Altura: h = b.Sen().  Área: S = b.h.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

32

Losango:

Círculo:

 Perímetro: 2P  4 .  Área: S 

Dd . 2

 Perímetro: 2P = 2R.  Área: S = R².

Coroa circular:

Fórmula geral do triângulo:

 Área da coroa circular: S = (R²  r²).  Perímetro: 2P = a + b + c.

b.h  Área: S  . 2

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS RETÂNGULO

NO

TRIÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC, indicado a Triângulo equilátero:

 Perímetro: 2P = 3ℓ.

 3 . 2 ² 3  Área: S  . 4  Altura: h 

seguir.

 Hipotenusa: BC  a .  Catetos: AC  b e AB  c .  Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2.  Ângulo reto: Â = 90º.  Ângulos complementares:     90º .

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

33

Sendo  a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos as seguintes razões trigonométricas. I) Chama-se seno de  ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida  e a medida da hipotenusa.

Sen  

C.O b  H a

II) Chama-se cosseno de  ao quociente entre a medida do cateto adjacente ao ângulo de medida  e a medida da hipotenusa.

Cos 

C.O b  C.A. c

 Ângulos notáveis 30º

45º

60º

sen

1 2

cos

3 2 3 3

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3

tg

Questão 60 (COMPERVE) Um reservatório de água de um laboratório tem 5 m3 de volume. A massa de 1 litro de água é de 1 kg. A massa total de água correspondente à capacidade do reservatório é, portanto, A) 2,5102 Kg. B) 5102 Kg. C) 2,5103 Kg. D) 5103 Kg..

C.A c  H a

III) Chama-se tangente de  ao quociente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida  e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

tg 

Questões Propostas

Questão 61 (COMPERVE) Num laboratório, são lavados, por dia, 200 recipientes. A lavagem de cada recipiente consome, em média, 4,5 gramas de sabão em pó. Para se formar um estoque suficiente para o consumo de 30 dias, a quantidade mínima de quilogramas de sabão em pó a ser comprada será A) 37 kg. B) 90 kg. C) 54 kg. D) 27 kg..

Questão 62 (COMPERVE) No Sistema Métrico Decimal, são unidades de comprimento, massa e volume, respectivamente, A) polegada, libra e tonelada. B) polegada, grama e decilitro. C) metro, libra e galão. D) metro, grama e metros cúbicos..

Questão 63 (COMPERVE) O terreno no qual está situado um laboratório foi cercado com 5 voltas de arame, e, para isso, foram gastos 10 rolos, cada um com 45 metros de arame. O perímetro do terreno é A) 450 metros. B) 50 metros. C) 225 metros. D) 90 metros..

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

34

Questão 64 (COMPERVE) Em uma reforma das salas de aula de uma instituição de ensino, Antônio foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5 m por 4,5 m. Para não respingar tinta no chão, ele decidiu cobrir o piso com jornal. Se uma folha de jornal mede 75 cm  60 cm, o número mínimo de folhas utilizadas é A) 55. B) 45. C) 60. D) 50..

Questão 67 (COMPERVE) Um terreno triangular apresenta as dimensões mostradas na figura ao lado. O perímetro desse terreno é de aproximadamente A) 18,20 m. B) 11,74 m. C) 14,20 m. D) 16,97 m..

Questão 65 (COMPERVE) Um posto de saúde vai ampliar as instalações físicas conforme a planta apresentada na figura abaixo:

Questão 68 (COMPERVE) A figura abaixo representa um terreno em forma de trapézio.

Com base na figura, a área a ser ocupada pelas duas salas é: A) 30 m2. B) 40 m2. C) 36 m2.. D) 42 m2.

Questão 66 (COMPERVE) Um senhor resolveu fazer caminhadas ao redor de uma praça, em formato circular, que tem 246 m de diâmetro. Se ele deu três voltas completas nessa praça, é correto afirmar que percorreu, aproximadamente, (Utilize:  = 3,14) A) 1.158,66 m. B) 2.317,32 m.. C) 3.089,76 m. D) 4.634,64 m.

A área desse terreno é: A) 72 m2. B) 164 m2. C) 84 m2.. D) 120 m2.

Questão 69 (COMPERVE) Na figura abaixo, existem dois círculos concêntricos, de raios 10 cm e 8 cm, respectivamente. A área do anel circular, parte hachurada no diagrama é igual a: A) 25. B) 50. C) 64. D) 36..

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

35

Questão 70 (COMPERVE) Um dos prédios de um laboratório ocupa a área não pintada (em branco) do terreno representado na figura abaixo. Sabe-se que 1 cm da figura equivale a 2 metros.

Questão 72 (COMPERVE) Considerando o triângulo retângulo abaixo, qual das alternativas é falsa?

3 5

A) cos . B)     90 .

4 5

C) sen  . D) tg

A área do terreno não ocupada pelo prédio do laboratório é de A) 240 m2. B) 289 m2. C) 480 m2.. D) 169 m2.

4 5

..

Questão 73 (COMPERVE) Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25 m e cos  = 0,6. A) h = 22,5 m. B) h = 20 m.. C) h = 15 m. D) h = 18,5 m.

Questão 71 (COMPERVE) A figura abaixo mostra a representação de um terreno que deve ser cercado com uma tela de proteção.

O terreno tem a forma de um quadrado de 121 m2 de área e, em um dos lados, existe um muro. Sabendo-se que em um dos lados que tem tela será aberto um portão de 1,5 m de largura, a quantidade de tela utilizada para cercar esse terreno foi de A) 25,5 m. B) 35,5 m. C) 28,5 m. D) 31,5 m..

Questão 74 (COMPERVE) Pelas normas de acessibilidade, uma rampa deve ter uma inclinação de, no máximo, 8º com a horizontal. Uma instituição pública decidiu desenvolver um projeto arquitetônico que garanta acessibilidade a pessoas portadoras de necessidades especiais e, para tanto, está construindo uma rampa que tem 1 m de altura. O comprimento dessa rampa deve ser de aproximadamente: Dados: sen(8º) = 0,139; cos(8º) = 0,99 e tg(8º) = 0,14. A) 7 m.. B) 6 m. C) 8 m. D) 10 m.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

36

Espaço e Forma Congruência e semelhança de triângulos. Noções geométricas de paralelismo, perpendicularismo e ângulo em figuras bidimensionais e tridimensionais. Cálculo de área e volume de paralelepípedo retângulo e de cilindro.

CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são congruentes se, e somente se, seus lados e seus ângulos são ordenadamente congruentes.

3) Lado, Lado, Lado (LLL) Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.

4) Lado, Ângulo e Ângulo oposto (LAAo) Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse mesmo lado, sendo assim respectivamente congruentes.

Notação: ΔC DE ΔC 'D'E '

 Casos de congruência 1) Lado, Ângulo, Lado (LAL) Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente congruentes.

TEOREMA DE TALES Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.

AB DE  BC EF

2) Ângulo, Lado, Ângulo (ALA) Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente congruentes.

AB DE  AC DF

BC EF  AC DF

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

37

ÂNGULOS COMPLEMENTARES Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 90°. Dizemos que um é o complemento do outro. Exemplo: Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.

x  y  90º

Note que:     

ângulos correspondentes são congruentes; ângulos alternos internos são congruentes; ângulos alternos externos são congruentes; ângulos colaterais internos são suplementares; ângulos colaterais externos são suplementares.

Dica importante: Nos oito ângulos, temos: agudo = agudo obtuso = obtuso e agudo + obtuso = 180º

ÂNGULOS SUPLEMENTARES Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 180°. Dizemos que um é o suplemento do outro. Exemplo: Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.

x  y  180º

ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Paralelepípedo:

ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA RETA TRANSVERSAL Quando uma transversal a duas retas distintas intercepta essas retas em dois pontos distintos, os oito ângulos determinados são classificados, conforme a figura, em  Área total: ST = 2(ab + ac + bc).  Volume: V = abc.

Cilindro:

    

ângulos correspondentes: a e e; b e f; c e g; d e h. ângulos alternos internos: b e h; c e e. ângulos alternos externos: a e g; d e f. ângulos colaterais internos: b e e; c e h. ângulos colaterais externos: a e f; d e g.

 Área lateral: AL = 2Rh.  Área total: AT = 2R(R + h).  Volume: V = R2h.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

38

Questões Propostas Questão 75 (COMPERVE) Para garantir a acessibilidade e oferecer um acesso mais seguro e confortável a seus visitantes, uma prefeitura pretende construir uma rampa de acesso ao lado da escada de entrada de um de seus prédios. Para tanto, vai instalar 3 vigas de sustentação: uma (I) a 10 cm do início da rampa, outra (II) a 90 cm da primeira e a última (III) a 80 cm da segunda, como esquematizado na figura abaixo.

O comprimento, em metros, da rampa a ser construída nesse prédio é de A) 3,50. B) 2,50. C) 3,25. D) 2,25..

Questão 77 (COMPERVE) A Figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1, R2 e R3 são paralelas entre si.

Paulo encontra-se na posição (A) da rua (R1) e quer ir para a rua (R2) até à posição (B). Se a escala de representação for de 1:50.000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente, A) 1.333.. B) 750. C) 945. D) 3.000.

Questão 78 (COMPERVE) Como anexo a um Centro de Pesquisa foi construído um laboratório. A forma e dimensões do laboratório são mostradas na figura abaixo:

Questão 76 (COMPERVE) Dois postes, um de 10 m e outro de 6 m, devem ser sustentados, respectivamente, por cabos de aço de comprimentos a e b, conforme ilustra a figura abaixo.

Os pontos de fixação F1, F2 e F3 devem ser determinados de modo que a quantidade de cabo de aço seja mínima. A distância do ponto F2 até a base do poste menor deverá ser: A) 10 m. B) 15 m.. C) 20 m. D) 25 m.

Deseja-se revestir as quatro paredes com azulejos, até o teto. Sabendo-se que cada porta tem 2,00 m2 de área e a janela possui uma área de 1,60 m2, a quantidade de metros quadrados de azulejos necessários para esse propósito é A) 24,80. B) 34,20. C) 32,20.. D) 28,40.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

39

Questão 79 (COMPERVE) A caixa-d’água, com faces retangulares, de um laboratório, tem capacidade definida pelas dimensões a seguir: 10 metros de largura, 3 metros de comprimento e 3 metros de altura. Por mês, é gasto o volume correspondente a 10 caixas-d’água. Considerando-se que o preço de 1 m3 é 1,36 reais, o preço total da água consumida em um mês é A) 1.350,00 reais. B) 675,00 reais. C) 1.224,00 reais.. D) 612,00 reais.

Questão 80 (COMPERVE) Uma caixa de água tem dimensões de 2 m de largura por 3 m comprimento, por 4 m de altura. A capacidade dessa caixa de água é de A) 2,4103 litros. B) 4,8104 litros. C) 4,8103 litros. D) 2,4104 litros..

Questão 81 (COMPERVE) Uma caixa d´água em forma de cilindro circular reto, de raio da base igual a 5 m e altura igual a 9 m, está completamente cheia de água. Se a densidade da água é de 1 g/cm3 e considerando  igual a 3,14, a massa total de água contida na caixa d’água é A) 314.000 kg. B) 706.500 kg.. C) 352.750 kg. D) 605.500 kg.

Questão 82 (COMPERVE) A piscina de uma escola, cujo formato é de um paralelepípedo retângulo, tem as seguintes dimensões: 9,00 metros de largura; 22,50 metros de comprimento e 1,50 metros de profundidade. A escola vai revestir internamente a piscina (paredes e fundo) com azulejos de dois tipos diferentes. O preço do metro quadrado para o revestimento das paredes internas é de R$ 27,33 e para o do fundo é de R$ 19,90. Os dois tipos de azulejos só são comprados em caixas de 2 metros quadrados, não sendo possível comprar fração de caixa. O valor mínimo que a escola vai gastar para revestir internamente a piscina será de A) R$ 6.437,72. B) R$ 6.511,19. C) R$ 6.581,82. D) R$ 6.683,28..

Questão 83 (COMPERVE) O relógio ao lado marca 8 horas. O menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio é: A) 100º. B) 125º. C) 130º. D) 120º..

Questão 84 (COMPERVE) Para armazenar água da chuva, um agricultor construiu um reservatório no formato de paralelepípedo retângulo de dimensões seguintes: 10 m de comprimento por 5 m de largura e 4 m de altura. Em determinado momento, o reservatório estava com água até uma altura de 3 m. Com a falta de chuva e o calor, 1/5 do volume existente evaporou-se. Além disso, o agricultor utilizou 60 m3 para consumo. A água que ficou no reservatório atingiu uma altura igual a A) 30% da altura do reservatório.. B) 40% da altura do reservatório. C) 45% da altura do reservatório. D) 55% da altura do reservatório.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

40

Exemplo Primeiro observe os gráficos, depois responda:

O AVANÇO DOS TELEFONES Número de telefones (x 1 000 000)

Questão 85 (COMPERVE) Deve ser construído um estacionamento num Campus do IFRN, em um terreno que forma um barranco, como mostra a Figura abaixo:

Número de telefones (x 1 000 000)

Para planificar o terreno, será removida terra do barranco, usando-se um caminhão que carrega 6 m3 de terra em cada viagem. Por cada viagem, deve-se pagar R$ 450,00. O custo mínimo pelo serviço de remoção de toda a terra do barranco é: A) R$ 5.400,00.. B) R$ 10.350,00. C) R$ 7.237,00. D) R$ 3.240,00.

Tratamento da Informação Leitura e interpretação de tabelas e gráficos. Média aritmética simples e ponderada. Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento.

Competição acelera expansão dos celulares.... 15

9

4 0,6

1,26

1994

1995

2,4

1996

1997

1998

1999

¨... enquanto telefonia fixa manteve ritmo de crescimento do ano passado 28,6 22 17 12

13,3

1994

1995

14,9

1996

1997

1998

1999

Gráficos Os gráficos são usados frequentemente em jornais, revistas, emissoras de televisão, e seu objetivo é apresentar diversas informações que envolvam dados numéricos. Nesta unidade veremos os gráficos de segmentos e de barras, estudaremos e estabelecemos relações entre os dados apresentados, identificando o que eles querem comunicar e quais são as conclusões que podemos tirar quando os analisamos. 

Gráficos de Segmentos:

a) Quantos telefones fixos existiam no Brasil em 1994? E celulares? b) Qual o crescimento percentual desses dois tipos de telefones no período de 1997 a 1998? Resolução: a) 12 milhões de telefones fixos; 600 mil celulares. b)

1997: 17 1998: 22

Fixos: 

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

41

Crescimento percentual:

MA 

2 2 1 7 5 variaç ão P P    0,2 9 4 valor inic ial 17 17

ou

x1  x 2  x 3    x n . n

29,4%.  Média Aritmética Ponderada:

1997: 4 94 5 P   1,25 ou 125%. 4 4 1998: 9

Celulares 

MP 

x1  p1  x 2  p2  x1  x 3  p3    xn  pn . p1  p2  p3    pn

 Gráficos de Barras: Exemplo: (COMPERVE) Numa pesquisa de opinião, feitas para verificar o nível de aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administração da cidade, escolhendo uma – e apenas uma – dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico abaixo mostra o resultado da pesquisa. De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que consideram a administração ótima, boa ou regular é de:

MG 

nx 1

 x 2  x 3    xn .

PROBABILIDADE Os experimentos cujos resultados podem ser previstos, isto é, podem ser determinados antes mesmo de sua realização, são chamados experimentos determinísticos. Por exemplo, é possível prever a temperatura em que a água entrará em ebulição desde que conhecidas as condições em que o experimento se realiza. Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. Por mais que sejam mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado ao lançarmos uma moeda. Esses são chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte). Experimentos aleatórios São aqueles que, repetidos em condições idênticas, não produzem sempre o mesmo resultado. As variações de resultado é devido ao que chamamos de acaso.

A) 28%. B) 65%. C) 71%. D) 84%.

A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de ocorrência num experimento aleatório.

Resolução: Ótima:

 Média Geométrica:

130 520  13% , Boa:  52% ou 1000 1000

Regular:

190  19% . 1000 Logo: 13% + 52% + 19% = 84%.

MÉDIAS: ARITMÉTICA, PONDERADA E GEOMÉTRICA Média é o valor representativo de um conjunto de valores:  Média Aritmética Simples:

Vamos estudar experimentos aleatórios com resultados equiprováveis ou Laplacianos (mesma chance de ocorrência). Desta forma, define-se: Espaço amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Indicaremos o espaço amostral pela letra maiúscula U. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral U. Indicaremos um evento pela letra maiúscula A.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

42

Probabilidade de um evento Dado um espaço amostral equiprovável U e um evento A  U, definimos a probabilidade de ocorrência do evento A como sendo: P(A) 

n ( A) . n (S)

Em que: n(A) = número de elementos do evento A. n(U) = número de elementos do espaço amostral U. Que intuitivamente, pode ser interpretado como:

Probabilidade 

númerode casos favoráveis númerode casos possíveis

n(U) = 6 · 6 = 36. A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} n(A) = 6. n(A) 6 1 Assim, P(A)    16,67% . n(S) 36 6

Probabilidade do Evento União Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A  B (evento união) é ocorrer pelo menos um dos eventos A ou B.

Probabilidade do evento complementar __

Se A é um evento e

A seu complementar,

__

n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

então P(A) P(A)  1 .

__



n(S) n(A) n(A)    1  PA   P A  1 n(S) n(S) n(S) Exemplo Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei? Resolução: número de casos favoráveis P(A) número de casos possíveis 4 1 P(A)   7,69% 52 13 Exemplo Em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais? Resolução:

U = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Dividindo ambos os membros da equação por n(U), temos: n(A  B) n(A) n(B) n(A  B)    n(U) n(U) n(U) n(U) Ou seja:

P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) Podemos enunciar essa conclusão assim:

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B).

Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A  B = , P(A  B) = 0 a fórmula acima se reduz a:

P(A  B)  P(A)  P(B)

Exemplo Qual é a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar? Resolução:

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

43

Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 n(U) = 6

Evento A: obter o número 3. A = {3}  n(A) = 1 Evento B: obter um número ímpar. B = {1, 3, 5}  n(B) = 3

1º modo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. É sabido, porém, que nesse caso ocorreu um número menor que 5 e que, portanto, o espaço amostral se reduz a A = {1, 2, 3, 4}, em que n(A) = 4.

Note que: A  B  {3}  n(A  B)  1

Observando que, no espaço amostral reduzido A, existem dois números maiores que 2, que são 3 e 4, concluímos que a probabilidade P solicitada no

Então,

enunciado é: P 

P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) P(A  B) 

2 1  . 4 2

n(A) n(B) n(A  B)   n(U) n(U) n(U)

1 3 1   6 6 6 1 P(A  B)   50%. 2 P(A  B) 

Portanto, a probabilidade de se jogar um dado e se obter o número 3 ou um número ímpar são de 50%.

Probabilidade Condicional Seja B um evento arbitrário em um espaço amostral U com P(B) > 0. A probabilidade de evento A ocorrer, uma vez que B tenha ocorrido ou, em outras palavras, a probabilidade condicional de A dado B, escrita P(A/B), definida como:

P(A / B) 

2º modo: Vamos esquematizar a situação pelo diagrama abaixo, em que:  U é o espaço amostral do experimento “lançamento do dado”.  A é o evento de E cujos elementos são os números menores que 5;  que 2.

B é o evento de E cujos elementos são maiores

n(A  B) P(A  B) ou P(A / B)  n(B) P(B)

P(A/B) é lido como probabilidade de A dado B.

Exemplo No lançamento de dado, sabe-se que ocorreu um número de pontos menor que 5 na face voltada para cima. Qual é a probabilidade de que esse número de pontos seja maior que 2?

Sabemos que ocorreu o evento A; logo, o espaço amostral fica reduzido a esse evento. O evento B somente poderá ocorrer na intersecção de A e B. Assim temos: P(A / B) 

n(A  B) 2 1   . n(B) 4 2

Resolução: Vamos resolver esse problema de três modos diferentes.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

44

Questões Propostas

Questão 86 (COMPERVE) Durante uma semana, os valores da temperatura numa cidade da Europa foram registrados diariamente e estão apresentados no quadro abaixo.

De acordo com esses valores, a temperatura media em o C nessa cidade europeia, durante essa semana, foi aproximadamente de A) 3,3.. B) 5,8. C) 4,7. D) 2,5.

Questão 87 (COMPERVE) Uma escola pública utiliza a média aritmética ponderada para calcular a média de aprovação dos seus alunos, que é seis. Os bimestres ímpares têm peso dois e os pares, peso três. Caso não atinja a média, é permitido ao aluno fazer uma avaliação de recuperação. No quadro a seguir, estão listadas as notas que uma aluna dessa escola tirou em Matemática, Língua Portuguesa e Geografia nos quatro bimestres, em 2011.

Questão 88 (COMPERVE) A média aritmética das idades de Ana, Maria, Francisco, Pedro e Carlos é igual a 35,8 anos. Desconsiderando-se a idade de Pedro, a nova média passa a ser de 38,5 anos. Portanto, Pedro tem A) 25 anos.. B) 23 anos. C) 31 anos. D) 36 anos.

Questão 89 (COMPERVE) O quadro abaixo apresenta o salário mensal, em reais, de um grupo de 15 funcionários de um departamento de uma empresa.

Para incrementar a renda desses funcionários, o chefe decidiu dar um apoio financeiro complementar para todos aqueles que recebessem um salário mensal inferior à média dos salários do grupo. De acordo com os dados do quadro, a quantidade de funcionários que tem direito a receber o apoio financeiro é igual a A) 11. B) 9.. C) 10. D) 5.

Considerando as notas apresentadas no quadro e o cálculo da média nessas disciplinas, é correto afirmar que a aluna está A) aprovada em Matemática e Língua Portuguesa e em recuperação em Geografia. B) aprovada em Matemática e Geografia e em recuperação em Língua Portuguesa.. C) em recuperação em Matemática e aprovada em Geografia. D) em recuperação em Geografia e aprovada em Matemática. POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

45

Questão 90 (COMPERVE) A nota final de um concurso público é o resultado da média aritmética simples das notas obtidas nas provas de Matemática, Português e Redação. Está aprovado o candidato que tirar, no mínimo, média 7,0. O quadro abaixo apresenta as notas das provas realizadas por cinco candidatos identificados através de códigos.

Está correto o que se afirma em, A) III e IV. B) I e II. C) I e III. D) II e IV..

Questão 92 (COMPERVE) Escolhe-se, aleatoriamente, um número inteiro dentre os números naturais de 1 até 100. A probabilidade de que, pelo menos, um dos dígitos do número escolhido seja 3 é: A) 1/100. B) 19/100.. C) 15/100. D) 11/100. Os candidatos aprovados no concurso foram A) 02E; 02B e 02D. B) 02B; 02C e 02D. C) 02C; 02D e 02A. D) 02A; 02C e 02E..

Questão 93 (COMPERVE) O gráfico abaixo representa a quantidade de amostras coletadas por um auxiliar de laboratório durante 10 dias.

Questão 91 (COMPERVE) O gráfico a seguir representa o consumo de água dos dias de uma semana, no mês de março, em uma instituição de ensino.

Com relação ao gráfico, afirma-se:

De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, A) no final do segundo dia, tinham sido coletadas 60% a menos, de amostras, que no final do nono dia. B) no final do décimo dia, tinha havido um aumento de coleta de amostras em relação ao final do nono dia. C) no final do quinto dia, a quantidade de amostras coletadas era menor que no final do sétimo dia. D) no final do oitavo dia, o auxiliar de laboratório tinha coletado 100% a mais, de amostras, que no final do quinto dia..

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

46

Questão 94 (COMPERVE) José, Eduardo, Teresa, Ester e André sentaram-se aleatoriamente, em fila, lado a lado. A probabilidade de Eduardo sentar entre Teresa e Ester (ou Ester e Teresa) é A) 1/8. B) 1/5. C) 1/10.. D) 1/15.

Questão 95 (COMPERVE) Uma pesquisa do Sistema de Informações da Educação Superior (SINAES), no ano de 2007, apresentou o seguinte Gráfico sobre os funcionários técnicoadministrativos do IFRN, segundo o grau de formação.

De acordo com o Gráfico, é correto afirmar que: A) o percentual de funcionários que completou o 1º Grau é inferior a 10%. B) o número total de funcionários técnicoadministrativos é inferior a 280. C) o percentual de funcionários com Mestrado é superior a 10%. D) os funcionários com 2º Grau e Graduação somam mais de 65% do total de técnico-administrativos..

Questão 96 (COMPERVE) Para conhecer melhor o aluno, uma escola solicita, no ato da matrícula, o preenchimento de um formulário em que ele informa, entre outros dados, a renda familiar. O quadro a seguir é a síntese da renda familiar dos alunos matriculados nessa escola, em 2011.

Escolhendo um aluno ao acaso, a probabilidade de ter renda familiar na faixa de 6 a 10 salários mínimos é, aproximadamente, de A) 10,94%.. B) 13,17%. C) 19,78%. D) 17,23%.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

47

Questão 97 (COMPERVE) Em determinado hospital, no segundo semestre de 2007, foram registrados 170 casos de câncer, distribuídos de acordo com a tabela abaixo:

Questão 98 (COMPERVE) O Gráfico abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre a participação de homens e mulheres no Mercado de Trabalho entre 1976 e 2002 segundo a FCC.

A probabilidade de uma dessas pessoas, escolhida ao acaso, ser mulher, sabendo-se que tem câncer de pulmão, é: A) 5/11.. B) 7/17. C) 6/17. D) 3/11.

Sobre o Gráfico, é correto afirmar: A) Em relação a 1976, a participação feminina no Mercado de Trabalho em 2002 teve um aumento de aproximadamente 47,6%.. B) Em relação a 1976, a participação masculina no Mercado de Trabalho em 2002 teve uma queda de aproximadamente 30%. C) A participação dos homens no Mercado de Trabalho aumentou entre 1976 e 1995. D) A participação das mulheres no Mercado de Trabalho diminuiu entre 1976 e 1995.

POINT DOS CONCURSOS – O POINT de todo Concurseiro | (84) 3082-1006 | www.pointdosconcursos.com.br

48