Apostila Matemática Financeira PDF
March 5, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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FACULDADES INTEGRADAS DE TAQUARA
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Professor Silvio Quintino de Mello
SUMÁRIO
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA............................................................................. .
1.8 das das operações de Aplicações............................................ eE Empréstimos................... mpréstimos................... 1.9 Regulamentação Regimes de Capitalização....................................................... Capitalização................................. ...................... 1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa........................................................................
04 04 04 04 05 05 05 05 05 06 07
2 JUROS SIMPLES................................................................................................ 2.1 Fórmulas Derivadas....................................................................................... 2.2 Montante (M)................................................................................................. 2.3 Juros Simples pela HP-12C: INT....................... INT.............................................. ............................................ .....................
09 10 10 22
3 JUROS COMPOSTOS.........................................................................................
23
3.1 Montante (M).................................................................................................. 3.2 Capital (C)...................................................................................................... 3.3 Juros Compostos (jc)...................................................................................... 3.4 Taxa de Juros Compostos (i)......................................................................... 3.5 Tempo (n)....................................................................................................... 3.6 Juros Compostos pela HP-12C......................................................................
23 24
4 DESCONTO.........................................................................................................
35
4.1 Desconto Simples........................................................................................... 4.1.1 Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro (Dd)................... 4.1.2 Desconto Comercial Simples ou Desconto por Fora (Df)...................... 4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros (i).......................... 4.2 Desconto Composto....................................................................................... 4.2.1 Valor do Desconto Composto (DC)....................................................... 4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)...........................................................
35 35 36 37 48 49 49 49 50
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Capital (C)...................................................................................................... Juros (j).......................................................................................................... Taxa de juros (i).................... (i).......................................... ............................................. ............................................. ............................ ...... Tempo (n)...................................................................................................... Montante (M).................................................................................................. Juro Ordinário................................................................................................ Juro Exato......................................................................................................
4.2.3 TempoEquivalentes............................................................................... (n).............................................................................................. 4.2.4 Taxas
24 24 26
2
5 TAXAS DE JUROS
57
5.1 Taxa Efetiva.................................................................................................... 5.2 Taxas Proporcionais....................................................................................... 5.3 Taxas Equivalentes........................................................................................ 5.4 Taxa Nominal................................................................................................. 5.5 Taxa Over....................................................................................................... 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida............................................................................. 5.6 Taxa Aparente e Taxa Real............................................................................
57 57 58 61 62 62 63
6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS..................................
69
6.1Equivalência de dois Capitais........................................................................... 6.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais............................ 6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes..................................................................
69 70 71
7 RENDAS (ANUIDADES).......................................................................................
78
7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos................................... 7.1.1 Classificação das Séries Uniformes....................................................... 7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas.................................... Postecipadas..................................................... .................
78 78 79
7.2.1 – PV (Postecipado)...................................... 7.2.2 Cálculo Cálculo do de Valor Valor Presente Futuro - FV (Postecipado)........................................... 7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas........................................................ 7.3.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado)........................................ 7.3.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Antecipado)............................................. 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais.....................................................
79 80 80 80 80 84
8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS..................................................................
91
8.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC................................................. 8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE..................................... 8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE....................................... 8.2.2 Sistema PRICE pela HP-12C................................................................. 8.3 Sistema de Amortização Americano – SAA....................................................
91 94 95 96 98
9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO.............................................................................
107
9.1 Análise do Fluxo de Caixa............................................................................... 9.2 Valor Presente Líquido (NPV)......................................................................... 9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR)........................................................................ 9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa....................................................................
107 109 114 119
3
1. MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
1.1 Capital (C) O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
1.2 Juros (j) Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador . De uma forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pago pelo uso de um dinheiro.
1.3 Taxa de juros (i) A taxa t axa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere. A taxa de juros pode ser expressa expressa de duas maneiras diferentes: Taxa percentual:
•
Exemplos: 8 % a.a. (ao ano); 10 % a.t. (ao trimestre). Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
•
Exemplos: 0,15 a a.m. .m. (ao mês); 0,10 a.q. (ao quadrimestre).
4
Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP–12 C as taxas devem ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrário, ou seja, na utilização de fórmulas matemáticas, devemos expressar as taxas na forma unitária.
1.4 Tempo (n) Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano, etc...).
1.5 Montante (M) É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital.
M=j+C 1.6 Juro ordinário É o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias, ano de 360 dias, etc...).
1.7 Juro Exato É o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias, março 31 dias, setembro 30 dias, etc...).
1.8 Regulamentação da dass operações de de Aplicação e Em Empréstimos préstimos As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de de uma instituição financeira, que capta recursos
de um lado e os
empresta de outro. A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicações (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem a sua disposição, por exemplo, a Caderneta de Poupança, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os
5
tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, quer seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc... . Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor é remunerado (quando um investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Da mesma forma ocorre com os fundos de previdência e pensão, no qual o aplicador visa o recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria.
1.9 Regimes de Capitalização Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de
capitalização. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime de capitalização composta ou juros compostos.
a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples Simples Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação. Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 % a.a. , em regime de juros simples. 100
100
100
1000
1300 0 1 2 3 (anos) Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos foi de R$ 1.300,00.
6
b) Regime de Capitalização Capitalização Compos Composta ta ou Jur Juros os Compostos Neste caso, o juro do 1º período se agrega ao capital dando o montante M1. O juro do 2º período se agrega a M 1 dando o montante M2. O juro do 3º período se agrega a M2 dando o montante M3. Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 % a.a. , em regime de juros compostos. 100
110
121
1000 0
1
2
1331 3 (anos)
Portanto, o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos foi de R$ 1.331,00.
1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica de uma situação financeira. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma pessoa, de um investimento, de um empréstimo, etc... . Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, é representado da seguinte forma: Uma reta horizontal onde são colocados, em escala, os períodos de tempo onde
•
houve ou haverá movimentação financeira. Flechas verticais, verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as
•
saídas de dinheiro ou pagamentos. Flechas verticais, verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as
•
entradas de dinheiro ou recebimentos.
7
Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 à vista ou, se financiado, três prestações mensais de R$ 150,00 sem entrada. 300
VENDEDOR
150
150
150
COMPRADOR
-150
- 150
-150
- 300
Observações.: a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento.
b) Como podemos ver, é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de cálculo serão sempre os mesmos.
8
2. JUROS SIMPLES Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual, ao final de cada período de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o capital inicialmente empregado. Sabemos que: Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C);
•
Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i);
•
Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n).
•
Então:
j = C . i . n
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de: Utilizar sempre a taxa unitária.
•
Utilizar sempre sempre a mesma unidade unidade de tempo a qual está associada à taxa.
•
2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao tempo, ou seja, 1% ao dia corresponde a 30% ao mês, da mesma forma 120% ao ano corresponde a 10% ao mês, convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez que no regime de capitalização composta ela não existe. Para deixarmos o tempo e a taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo. t empo. 15 dias correspondem a:
15 30
•
de um mês comercial
15 360
15 365
20 dias correspondem a:
•
20 90
de um ano exato
de um trimestre comercial
20 180
de um ano comercial
de um semestre comercial
9
8 meses correspondem a:
•
8 12
8 6
de um ano comercial
de um semestre comercial
240 dias
•
3 meses e 20 dias correspondem a:
110 30
de um mês comercial
110 360
de um ano comercial
2.1 Fórmulas derivadas da expressão expressão j = C . i . n
C
j =
i.n
i
j =
n
C.n
j =
C.i
2.2 Montante (M) O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital pode ser expresso por: M=C+j como j = C Cin in , temo temoss que M = C + Cin, ou seja,
(
)
1+ in M=C
Obs.: A calculadora HP-12C, através de suas teclas financeiras, calcula somente juros simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. É portanto, mais fácil, nos utilizarmos somente das fórmulas matemáticas.
10
Exemplos: a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20% ao trimestre, durante 1 ano, 4 meses e 17 dias. Solução: j = ? C = R$ 900,00 i = 20% a.t
!
i = 0,2 a.t
n = 1 ano, 4 meses e 17 dias
j = Cin
!
j = 900 . 0,2 .
!
497 90
n = 497 497 dias
!
!
n=
497 90
trimestres
j = R$ 994,00
b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses um juro de R$ 600,00. Solução: C=? i = 30% a.t
!
n = 6 meses
i = 0,3 a.t
!
n = 2 trimestres
j = R$ 600,00 j = Cin
!
600 = C . 0,3 . 2
!
600 = 0,6 C
!
C = R$ 1.000,00
c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre produziu um montante de R$ 1.500,00, após 8 meses. Solução: C=? i = 20% a.s
!
i = 0,2 a.s
M = R$ 1.500,00 n = 8 meses
(
)
1+ in M=C
!
n=
!
8 6
semestres
1500 = C 1 + 0,2. 8 6
!
C=
1500 8 + 1 0,2. 6
!
C = R$ 1.184,21
11
Exercícios: 1) Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% a.s. Determine: a) os juros; b) o montante. .
2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m?
3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a e paga imposto de renda igual a 20% do juro. Sabendo-se que o imposto pago é no resgate, pergunta-se: a) Qual o monta montante nte líquido de uma aplicação de R$ 8 8.000,00? .000,00? b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$ 9.500,00?
12
Exercícios Complementares: 1) Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: $21.333,33
2) Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: $1.070,00
3) Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m.
13
4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos
5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00
6) Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos
14
7) Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m.
8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? fi nanciamento? Resposta: 5,99% a.m.
15
9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos
10) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses
11) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses
16
12) Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses
13) Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% a.m.
17
14) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a.
15) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: $1.050.000,00
18
16) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de $102.000,00
17) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m.. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $1.125.000,00. Resposta: $250.000,00
19
18) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do do imposto de ren renda) da) de uma aplicação de $4.000,00? Resposta: $4.172,80 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? Resposta: $3.450,92
19) Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do do imposto de ren renda) da) de uma aplicação de $12.000,00? Resposta: $12.704,00 b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $11.500,00? Resposta: $10.862,72
20
20) Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,61 e $417,39
21) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $1.824,00. Resposta: $1.800,00 e $1.200,00
21
2.3 Juros Juros Simples pela HP-12C: HP-12C: (INT) Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias. Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 150% ao ano, por 218 dias.
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
200000 (CHS) (PV)
-200.000,00
Introduz o valor do capital
150 (i)
150,00
Introduz a taxa anual
218 (n)
218,00
Introduz o prazo
(f) (i) (+)
181.666,67 381.666,67
Calcula os juros Calcula o montante
22
3. JUROS COMPOSTOS Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este novo montante a produzir juros no período seguinte.
3.1 Montante (M) Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa) MONTANTES
C
M1
M2 ......................................................M n
0
1
2...................................... 2................... ...................................... ................... n PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO
Montante após o 1º período:
•
M1 = C + j1
!
j1 = C . i . 1
!
M1 = C + Ci
!
M1 = C(1 + i) (1)
Montante após o 2º período:
•
M2 = M1 + j2
!
j2 = M1 . i . 1
!
M2 = M1 + M1 i
!
M2 = M1(1 + i) (2)
Substituindo o valor de M1 de (1) em (2) temos que: M2 = C(1 + i) . (1 +i)
!
M2
(1 i)
= C
2
+
É fácil perceber, por generalização, que após “n” períodos, o montante será dado por: Mn
(1 i)
= C
n
+
ou simplesmente:
M
(1 i)
= C
n
+
23
3.2 Capital (C) M
(1 i)
= C
n
!
+
M
C
=
(1 i)
n
+
3.3 Juro Composto (jc) M = C + jc
"
jc
=
M!C
"
jc
=
C (1+ i)
n
!
C
"
jc
=
C (1+ i)
n
!
1
3.4 Taxa de Juro Composto (i)
M = C 1+ i
(
n
)
M
C
(
=
1+ i
(
n
)
(
' M$ %& C "#
1 n
1
=
1+ i
' M$ n 1 i = %& C "# !
(
3.5 Tempo (n) M = C(1 + i)
n
M
'
C
=
(1 i)n ' +
&M# ! = n. log(1 + i) %C"
log$
&M# ! %C"
n=
log(1 + i)
&M# ! %C"
ln$
log$
ou
n=
ln(1 + i)
Exemplos: a) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, à taxa de 2,5% a.m produz um montante de R$ 3.500,00, após um ano? Solução: C=? i = 0,025 a.m
24
M = R$ 3.500,00 n = 1 ano C=
!
n = 12 meses
M
(1 i)n
!
C =
+
3500
(1
+
0,025)
12
!
C = R$ 2.602,45
b) Um capital de R$ 5.520,00, aplicado a juros compostos, após 4 meses, gerou um montante de R$ 6.000,00. Calcule a taxa mensal de juros da operação. Solução: i=? C = R$ 5.520,00 M = R$ 6.000,00 n = 4 meses ' M$
1 n
" !1 &C#
i % =
(
' 6000 $
1 4
" ! 1 & 5520 #
i % =
!
i = 0,0211
!
i = 2,11% a.m
Exercícios: 1) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Pergunta-se: a) Qual o montante? b) Qual o total dos juros auferido auferidos? s?
2) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a para dar um montante de R$ 1.610,51?
25
3.6 Juros Compostos pela HP-12C: Na HP-12C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n),
(i), (PV) e (FV). A unidade de tempo utilizada para o período período deve ser a mesma da taxa de juros. Exemplo: Um capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a uma taxa de 15% a.m. Determine os juros e o montante no final de 6 meses. meses.
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
500000 (CHS) (PV)
-500.000,00
Introduz o valor do capital
15 (i)
15,00
Introduz a taxa
6 (n)
6,00
Introduz o prazo
(FV)
1.156.530,38
Calcula o montante
Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV – PV, aproveitando os dados já armazenados na calculadora.
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
(RCL) (FV)
1.156.530,38
Chama o FV
(RCL) (PV)
-500.000,00
Chama o PV
(+)
656.530,38
Calcula os juros
Observações: 1) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-12C, devemos introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo. A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo de caixa, ou seja, com (PV) e (FV) de sinais contrários. 2) A calculadora HP-12C trabalha também com p período eríodo “n” fracionário, simplificando a solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir:
26
(STO) (EEX). Note que aparecerá no visor a letra “C”, anunciando que a máquina está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e fracionários. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação “C” no visor.
Exemplo: A empresa J. Alves Ltda. formalizou uma operação de capital de giro de R$ 800.000,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 26% a.m. Determine o montante a pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês. A fim de compatibilizar as unidades de “n” e “i”, va vamos mos transformar 75 dias em
•
meses. n
75 =
30
!
n
=
2,5 meses
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
800000 (CHS) (PV)
-800.000,00
Introduz o valor do capital
26 (i)
26,00
Introduz a taxa
2,5 (n)
2,50
Introduz o prazo
(FV)
1.425.661,26
Calcula o montante
Se a letra “C” não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário (15dias), juros simples e, no período inteiro, juros compostos, resultando em R$ 1.435.190,40, o que não é verdadeiro. Considerando o exemplo anterior, com os mesmos dados do problema, vamos calcular o prazo “n” na HP-12C:
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
800000 (CHS) (PV)
-800.000,00
Introduz o valor do capital
26 (i)
26,00
Introduz a taxa
1425661,26 (FV) (n)
1.425.661,26 3,00
Introduz o montante Calcula o prazo
27
O resultado acima revela uma limitação da HP-12C: o cálculo do prazo por intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro. A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro imediatamente superior (3,00). Contudo, se necessitar, use a fórmula:
n=
ln '% 1425661,26 $" ln '% FV $" ln 1,78 & PV # ! n = & 800000 # !n= ! n = 2,5 meses ln 1,26 ln (1+ 0,26) ln (1 + i)
Exercícios Complementares: 1) Qual o montante de uma aplicação de $50 $50.000,00 .000,00 a juros compostos, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $56.308,12
2) Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos:
Capital
Taxa
Prazo
a)
$80.000,00
36% a.a.
2 anos
b)
$65.000,00
3% a.m.
1 ano
c)
$35.000,00
7% a.t.
1 ano e meio
Resposta: a)$147.968,00
b)$92.674,46
c)$52.525,56
28
3) Um capital de $7.00 $7.000,00 0,00 foi aplicado a juros compostos, durante durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: $3.917,61
4) Uma pessoa aplica hoje $4.000 $4.000,00 ,00 e aplicará $12.000,00 daqui a 3 meses num fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu montante daqui a 6 meses? Resposta: $17.626,54
5) Qual capital que, aplicad aplicado o a juros compostos, compostos, durante 9 anos, à taxa de 10% a.a. produz um montante de $175.000,00? Resposta: $74.217,08
29
6) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, gerando um montante de $3.500,00. Qual a taxa mensal? Resposta: 1,55% a.m.
7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 10 me meses, ses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7,18%
a.m.
8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
Resposta: 44,22% a.t.
30
9) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou então então à prazo, sendo 20 20% % do preço à vista como entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7,04% a.m.
10) Durante quanto tempo um capital de $5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $5.767,00?
Resposta: 8 meses
31
11) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% a.m. para que duplique? Resposta: 31,85 meses
12) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.. a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00 b) Qual a taxa taxa mensal d de e juros da aplicação? Resposta: 1,81% a.m. c) Qual a taxa semes semestral tral de juros da aplicação? Resposta: 11,36% a.s.
32
13) Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m.. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22
14) Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos?
Resposta:1,46% a.m.
33
15) Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o regime de juros compostos. Resposta: $900,93
16) Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é $192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta:
2,06% a.m.
17) Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês. Ao final de 18 meses retirou o montante de $31.855,17. Qual foi o capital aplicado?
Resposta: $20.000,00
34
4. DESCONTO Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200,00.
4.1 Desconto Simples
•
Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu vencimento.
Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa
•
data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal. FV = PV + PV . i . n
!
FV = PV(1 + i.n)
!
PV
FV 1 i . n
4.1.1 Desconto racional racional simples ou Desco Desconto nto por dentro (Dd)
Nesta modalidade, o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente calculado a juros simples, sendo “n” o prazo de vencimento do título e “d” a taxa de desconto utilizada na operação. Dd = FV - PV
FV
=
PV
+
Dd
!
Dd = PV(1+ d.n) - PV ! Dd = PV + PV.d.n " PV
!
FV
=
PV
+
PV.d.n
!
FV
=
PV (1 + d.n)
!
!
Dd
PV
=
=
PV.d.n
FV 1 + dn 35
Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$ 1.500,00, descontado 40 dias antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? Dd=? FV=1500 n=40 dias
1500
PV !
n
=
=
40
!
PV
=
1442,31
+
1 0,03. 30
40 meses 30
Dd = PV.d.n ! Dd = 1442,31.0,03.
d=0,03 a.m.
40 30
!
Dd = R$ 57,69
4.1.2 Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df) ( Df) Nesta modalidade, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV) pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto Bancário. Valor Futuro (FV): valor escrito no título;
•
Valor Presente Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. FV > PV;
•
Tempo (n);
•
Taxa de desconto (d)
•
Df
=
PV
=
FV . d . n
FV " Df
!
PV
=
FV - FV.d.n
!
PV
=
FV(1- d.n)
!
FV
PV =
1 - dn
Exemplo: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.. Calcule: a) O valor do desconto; =
Df
FV . d . n
!
Df 18000.0,025 .2 ! Df R$900,00 =
=
36
b) O valor líquido recebido recebido pela empresa. PV
=
FV " Df ! PV 18000 " 900 ! PV =
=
R$17.100,00
.
4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i)
Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i), temos então: PV
=
FV 1 + in
FV
1 + in
PV
=
FV(1 ! dn)
FV
=
FV(1 " dn).(1 + in)
FV
=
FV(1 + in " dn " din2 )
=
FV (1 ! dn) 1
FV FV
=
1 + in " dn " din2
1 = 1 + in " dn " din2
!
1 + in " dn " din2 " 1 = 0
!
in " dn " din2
=
0
n=0 n(i - d - din)
=
i = d + din
0
i = d(1+ in)
!
!
d
!
n(i - d - din) = 0
i 1 in
i – d - din = 0 "
d
d = "i + din
i =
1 + i.n
!
d = i - din
i
d =
1 - d.n
!
d = i(1- dn)
!
i
d 1 dn
37
Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.a. de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação? i
=
n
0,3 a.a.
=
2 meses ! n
2 =
anos
12
d=
i 1 + in
!
d=
0,3 1 + 0,3.
2
!
d = 0,2857 a.a.
!
d = 28,57 a.a.
12
Exercícios: 1) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual a taxa mensal de juros para o tomador?
2) Uma duplicata de R$ 180.000,00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento. Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto nas modalidades de desconto racional e desconto comercial.
38
3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com vencimento para 180 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% ao ano.
Exercícios Complementares: 1) Uma promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. a) Qual o desconto comercial? Resposta: $1.080,00 b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $18.920,00 c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simple simpless da operaç operação? ão? Resposta: 1,9% a.m.
39
2) Uma empresa desc descontou ontou num banco um título de valor nominal igual igual a $90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a.. a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3.000,00 b) Qual o valor líquido recebido recebido pela empresa, sabend sabendo-se o-se que o banco cobrou cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título? Resposta: $86.100,00
3) Um título governamental com valor de face de $100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a.. a) Qual o preço preço da da aquisição? aquisição? Resposta: $95.138,89 b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionad proporcionada a pela aplicação? aplicação? Resposta: 26,27% a.a.
40
4) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $15.000,00. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Resposta: $15.750,00
5) Um banco deseja gan ganhar har 30% ao ano de juros ssimples imples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28,57% a.a.
6) Uma empresa descontou uma duplicata de $12.000,00, 45 dias antes vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $11.720,00, calculedo a taxa mensal de desconto comercial da operação. Resposta: 1,56% a.m.
41
7) Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. Resposta: 85 dias
8) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título. Resposta: $3.739,32
9) Umavencimento, empresa descontou num banco co umacomercial duplicatade de3,5% $15.000,00, 67 diaso antes de seu a uma taxa de ban desconto a.m.. Obtenha valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: $13.786,30
42
10) Uma duplicata de $55.900 descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $1.006,20
11) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial, a 25 dias do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3,08% a.m.
12) Para pagar uma dívida de $1.055.500,00 uma empresa juntou um cheque de $266.500,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de comercial $980.000,00, três meses antes6,5% do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto utilizada. Resposta: a.m.
43
13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7.954,55
14) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal, se os prazos de vencimento forem: a) um mês; Resposta: 3,09% a.m. b) dois meses: Resposta: 3,19% a.m. c) cinco meses. Resposta: 3,53% a.m.
15) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2.500,00, paga em 25 dias antes do seu vencimento, teve uma redução comercial de $50,00. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28,8% a.a.
44
16) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 10 meses
17) Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa d de e serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A
45
18) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá cobrar, se os prazos de vencimento forem: a)um mês; Resposta: 2,91% a.m. b)três meses. Resposta: 2,75% a.m.
19) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89,17, sendo o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. Qual o valor nominal do título? Resposta: $12.000,00
20) Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses, qual a taxa mensal de desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período?
Resposta: 2,83% a.m.
46
21) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, indique a taxa mensal de desconto comercial que deverá ser utilizada, se os prazos de vencimento forem: a)1 mês; Resposta: 2,91% a.m. b)3 meses; Resposta: 2,75% a.m. c)25 dias. Resposta: 2,93% a.m.
22) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa do período, neste caso, nos três meses).
Resposta: 11,11% a.p.
23) Um desconto de 20% para pagamento à vista, de um produto cujo preço é dado para pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período?
Resposta: 25% a.p.
47
4.2 Desconto Composto A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples. Existem duas modalidades de desconto composto, o racional e o comercial. Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é muito mais usado que o comercial. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto racional. Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o valor presente de um documento financeiro.
Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN)
•
É o valor de face do documento. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a fórmula do Montante Composto.
M
=
C.(1. i) n onde M = Valor Futuro
C = Valor Presente i = d (taxa de desconto) n = período de antecipação Logo:
n FV = PV .(1 + d)
Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA)
•
É o valor do resgate, valor líquido, valor presente de um título resgatado ou descontado antes do seu vencimento.
FV
=
PV.(1 + d)n
!
PV
=
FV (1 + d)n
48
4.2.1 Valor do Desconto Composto: DC É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente, cujo compromisso foi saldado antes do vencimento.
DC = FV ( PV
DC = FV (
FV (1 + d)n
&
'
DC = FV.$1-
%
# ! (1 + d)n " 1
4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)
FV = PV(1 + d)n ' FV PV
=
1 n
(1+ d)n
' &$ FV #! % PV "
d
' FV $ " ! 1 % PV # &
=
(1+ d)
1 .n n
'
&$ FV #! % PV "
1 n =
1+ d
1 n
=
4.2.3 Tempo (n)
FV
=
PV(1 + d)n
!
FV PV
& FV # ! = log(1+ d)n % PV "
log$
=
!
(1 + d)n
log&$
FV #
! = n. log(1 + d) % PV "
& FV # ! % PV "
log .$ n=
log .(1 d) +
& FV # ! % PV "
ln.$ ou
n=
ln .(1 + d)
49
4.2.4 Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas num mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais. Assim, se
" i1" e " i2 " forem
as taxas e
" n1" e " n2 " o
referido prazo expresso na
mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: C.(1 + i1 ) n1
e, portanto,
(1 + i1 ) n 1
=
=
C .( 1 + i 2 ) n2
(1 + i 2 ) n2
Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Resolução: Chamamos " i1" a taxa procurada e prazo padrão de 1 ano teremos t eremos então: i1
" i2 " a
taxa conhecida e adotando um
? ( taxa anual)
=
n1 = 1 ano i2 n2
=
2% a.m.
=
!
i2
=
0,02 a..m.
12 meses
(1 + i1 )n1
=
(1 + i2 )n 2
!
(1 + i1 )1 = (1 + 0,02)12
!
1 + i1
=
1,0212
1 + i1
=
1,2682 ! i1
=
0,2682
!
i1
=
26,82% a.a.
Exemplo: Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente?
Resolução: FV
=
n
9 meses
d
=
=
PV
16.504,40 !
0,4641 a.a. =
n
=
3 trimestres
?
50
d1 = ? (a.t.)
d2
=
0,4641 a.a.
n1
n2
=
1 ano
=
4 trim.
1 n1
(1 + d1 ) 1 + d1
PV
=
=
=
n2
(1 + d2 )
1,1
!
FV
(1
+
n
d)
d1
!
!
=
(1 + d1 )
1,1 " 1
PV
=
!
4
=
1
(1 + 0,4641)
d1
16504,4 (1 + 0,1)3
=
!
!
(1 + d1 )
4
1
.4 =
(1,4641)
4
0,1 a.t.
PV
=
R$ 12.400,00
Exercícios: 1) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?
2) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontado dois meses antes do vencimento a taxa de desconto desconto composto de 15% a.m. Qual o valor do desconto?
51
3) O desconto racional composto de um título de R$ 85.000,00 foi de R$ 7.903,00. Sendo a taxa de desconto de 5% a.m., qual o prazo de antecipação?
Exercícios Complementares: 1) Um título de valor nominal de $50.000,00 foi descontado três meses antes do vencimento à taxa de 5% a.m.. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional composto? Resposta: $43.191,88
2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC), 25 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 105,30% a.a., oferece $540.000,00 ao credor da letra . Qual o valor dessa LC? Resposta: $567.658,88
52
3) Na venda de uma Letra de Câmbio, 36 dias antes do resgate, o comprador, desejando um ganho de 43,30% a.a., ofereceu $30.500,00 ao credor da letra . Qual o valor dessa LC na data do resgate? Resposta: $31.617,28
4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três anos é de $10.500,00. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a.a. com capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24.923,08
5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $250.000,00 foi de $44.518,22. Sendo de 4% a.m. a taxa de desconto cobrada, qual o prazo de antecipação do resgate? Resposta: 5 meses
53
6) O desconto racional composto de um título de $50.000,00 foi de $12.698,22. Sendo a taxa de desconto mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação. Resposta: 6
meses
7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de dez meses. O valor de resgate desse título é de $125.000,00. Qual o seu valor nominal? Resposta: $156.250,00
54
8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional, caso a antecipação seja de oito anos. Sendo o valor de resgate do título de $500.000,00, determine: a) A taxa de desconto anual. Resposta: 2,31% a.a. b) O valor nominal. Resposta: $600.000,00
9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $120.563,28. Esse amigo diz que só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.m.. Sendo o valor do título $250.000,00, qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses
55
10) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada empresa, que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $1.500.000,00. Qual o valor que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento final em $1.350.000,00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4% a.m.. Resposta: $113.987,67
11) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2% a. m. para ser liquidado em dois pagamentos. A primeira parcela será de $250.000,00 e deverá ser paga no final do quarto mês. A segunda parcela será de 300.000,00 e deverá ser paga no final do oitavo mês. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único pagamento de $593.660,60. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a taxa de 2% a.m. não se altere? Resposta: 10 meses
56
5 TAXAS DE JUROS Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao estudo das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos onde são usadas ape apenas nas taxas “referenciais” em que que a ca capitalização pitalização não ocorre na periodicidade indicada pela taxa. Vamos, então, conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações financeiras.
5.1 Taxa Efetiva Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do investimento. Por exemplo: 10% ao mês com capitalização mensal; 1,5% ao dia com capitalização diária. Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer simplesmente: 10% ao mês e 1,5% ao dia.
5.2 Taxas Proporcionais Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros simples. Ao falar nisto, devemos lembrar que uma das das características é a linearidade e, conseqüentemente, a validade da regra de três simples. Exemplos: 36% ao ano e 3% ao mês;
•
36% ao ano e 9% ao trimestre;
•
36% ao ano e 12% ao quadrimestre;
•
36% ao ano e 18% ao semestre.
•
As taxas proporcionais podem podem ser assim relacionadas: i a..a.
=
2.i a.s.
=
3.i a.q.
=
4 .i a.t.
=
12.i a.m.
=
360.i a.d.
57
5.3 Taxas Equivalentes Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros compostos Assim, se
" i1" e " i2 " forem
as taxas e
" n1" e " n2 " o
referido prazo expresso na
mesma unidade das respectivas taxas, então deveremos ter: C.(1 + i1 ) n1
e, portanto,
(1 + i1 ) n 1
=
=
C .( 1 + i 2 ) n2
(1 + i 2 ) n2
Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Resolução: Chamamos " i1" a taxa procurada e prazo padrão de 1 ano teremos t eremos então: i1 i2 n2
taxa conhecida e adotando um
? ( taxa anual)
=
n1
" i2 " a
1 ano
= =
2% a.m.
!
i2
=
0,02 a.m.
12 meses
=
n1
(1 + i1 )
=
n2
(1 + i2 )
!
(1 + i1 )1
=
(1 + 0,02)12
1 + i1 = 1,0212
!
1 + i1
=
1,2682 ! i1
=
0,2682
!
i1
=
26,82% a.a.
Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão:
i
p
(1 i) q ! 1
+ eq =
onde: " i eq " é a taxa equivalente;
•
“i” é a taxa fornecida;
•
“p” é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente); “q” é o período fornecido em dias que se refere a taxa t axa fornecida.
•
•
58
58
59
Exemplos: a) Calcule a taxa mensal equivalente a 413% a.a.. No programa da HP-12C, só usaremos as teclas:
(i) Taxa conhecida; (PV) Período desconhecido; (FV) Período conhecido. Então teremos: i = 413% a.a. PV = 1 mês FV = 1 ano = 12 meses
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
413 (i)
413,00
Insere a taxa conhecida em i.
12 (FV)
12,00
Insere o período da taxa conhecida em FV.
1 (PV)
1,00
Insere o período da taxa desconhecida em PV.
(R/S)
Running
Roda o programa.
14,60
Calcula a taxa equivalente ao mês.
b) Determine a taxa diária equivalente a 25% a.t.. i = 25% a.t. PV = 1 dia FV = 1 trimestre = 90 dias
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
25 (i)
25,00
Insere a taxa conhecida em i.
90 (FV)
90,00
Insere o período da taxa conhecida em FV.
1 (PV)
1,00
Insere o período da taxa desconhecida em PV.
(R/S)
Running
Roda o programa.
0,25
Calcula a taxa equivalente ao dia.
60
c) Aplicando a fórmula, determine em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.? ieq = ? i = 0,02 am p = 360 dias q = 30 dias
Obs.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias, pois é comum , no mercado financeiro, períodos em dias. i
p
(1 i) q ! 1
+ eq =
i eq
=
(1
+
360
0, 02)
! 1
30
!
i eq
=
0,2682
!
ieq
=
26,82% a. a.
5.4 Taxa Nominal É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, quadrimestrais, trimestrais, bimestrais, mensais ou diários, Exemplos: 20% ao ano, capitalizados mensalmente;
•
36% ao ano, capitalizados semestralmente.
•
A taxa nominal, antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo, deve ser “efetivada”, isto é, deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal em questão, através da expressão: n
' iN $ i = %1 + " ! 1 n # &
onde: “iN” é a taxa nominal;
•
“n” é o número de períodos de capitalização.
•
Exemplo: Qual a taxa efetiva anual , com capitalização mensal, cuja taxa nominal é de 6% ao ano?
61
i=? iN = 6% a.a.
!
iN = 0,06 a.a.
n = 12 períodos n
12
( 0,06 % ( iN % i = &'1 + n #$ - 1 ! i = &'1 + 12 #$ " 1 ! i
=
0,0617
!
i 6,17% a.a.
5.5 Taxa Over A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária, porém válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de funcionamento do mercado financeiro. Exemplo: 3% ao mês, por dia útil
A taxa efetiva correspondente é expressa expressa por: n
io $ ' i = %1 + " ! 1 30 # &
onde: “io” é a taxa over;
•
“n” é o número de dias úteis do mês.
•
5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira. A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o desconto do imposto de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira.
62
5.7 Taxa aparente e taxa real A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é aquela calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários As taxas aparente e real relacionam-se relacionam-se da seguinte forma:
(1 + i) = (1 + i r ).(1 + I) onde: “i” é a taxa aparente;
•
“ir ” é a taxa real;
•
“I” é a taxa de inflação.
•
Por exemplo, a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.m., considerando uma inflação para o mesmo período de 15%, é: (1 + i) = (1 + ir ).( 1 + I) (1 + 0,2) = (1 + ir ).(1 + 0,15) " 1,2 = (1 + ir ).1,15 "
ir = = 0,043478
!
1,2 1,15
=
1 + ir " ir = 1,043478 ! 1
ir = = 4,3478% a.m.
Exercícios Complementares: 1) Calcular os montantes acumulados, no final de 3 anos, a partir de um principal de $ 1.500, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. Resp.: $ 2.040, $ 2.040 e $ 2.040.
63
2) Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 36% a.a. Resp.: 18% a.s., 3% a.m. e 0,10% a.d.
3) Qual a taxa mensal equivalente a 10% a.a.? Resp.: 0,7974% a.m.
4) Um capital foi aplicado a 3% a.m. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito? Resp.: 19,4052% a.s.
64
5) Se a taxa de juros é de 2,5% para 28 dias, qual a taxa equivalente para 42 dias? Resp.: 3,7733% a.p.
6) Uma instituição cobra juros de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente? Resp.: 2% a.m., 26,8242% a.a.
7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente? Resp.: 1,9613% a.m.
65
8) Qual a taxa anual, com capitalização trimestral, cuja taxa efetiva é de 20% a.a.? Resp.: 18,65% a.a., capitalizada trimestralmente
9) Uma aplicação de $ 10.000 proporcionou um montante líquido de $ 10.273,26 ao final de três meses. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação, qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.: 1,20% a.m.
10) Um investidor aplicou $ 25.000 por um período de 180 dias à taxa de 12% a.a. Se o IR é de 20% para este tipo de aplicação, qual a taxa líquida mensal auferida peloincidente investidor? Resp.: 0,7627% a.m.
66
11) Se a taxa aparente é de 2% a.m. e a inflação no período de 0,85%, qual a taxa real? Resp.: 1,1403% a.m.
12) Se a taxa de inflação é de 0,78% a.m. e no mesmo período a taxa real é de 0,5%, qual a taxa aparente resultante? Resp.: 1,2839% a.m.
13) A taxa aparente é de 1,2% a.m. Se a taxa real embutida é de 0,5% a.m., qual a taxa de inflação? Resp.: 0,6965% a.m.
67
14) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de 1,2% a.m., sendo de 21 o número de dias úteis deste? Resp.: 0,8434% a.m.
15) Se a taxa efetiva foi de 0,8098% a.m. para um mês com 22 dias úteis, qual a taxa over considerada? Resp.: 1,1% a.m.
68
6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS JUROS COMPOSTOS
O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras equivalentes e, conseqüentemente, efetuar comparações entre elas. Consideremos o seguinte exemp exemplo: lo: um prédio é vendido por R$ 5.000.000,00 5.000.000,00 à vista ou então à prazo, em 3 parcelas mensais de R$ 1.700.000,00 cada uma, sem entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos à taxa de 2% 2% ao mês e tem fundos suficientes para p pagar agar à vista? Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo, após um mês de aplicação ele terá R$ 5.100.000,00. Pagando R$ 1.700.000,00 de prestação, sobram-lhe R$ 3.400.000,00. Aplicando R$ 3.400.000,00 por mais um mês, ele terá no final R$ 3.468.000,00; pagando a 2ª prestação, sobram-lhe R$ 1.768.000,00. Aplicando finalmente R$ 1.768.000,00 por mais um mês, ele terá ao final R$ 1.803.360,00, o que dá para pagar a última prestação e ainda lhe sobram R$ 103.360,00. Vê-se que é melhor pagar a prazo. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. Contudo, situações em que o número de prestações seja 36, 48 ou mais, seria muito trabalhoso. Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo.
6.1 Equivalência de dois capitais Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, por exemplo, o primeiro na data 0 e o segundo na data n. Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se: x(1 + i)n
=
y
ou seja :
x
=
y (1 + i)n
Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, R$ 1.500.000,00, daqui a 3 meses equivalem quanto hoje? 1.500.000 y
0
3
69
Sendo x o capital hoje, temos: x
0
x
=
y (1 + i)
n
!
x
=
3
1500000
(1 0,02) +
x = R$ 1.413.483,50
!
3
6.2 Valor Presente ou Valor Valor Atual de um Conjunto de Capitais Considerando os capitais
y0, y1, y2,......., yn, nas
datas 0, 1, 2, 3,......,n,
respectivamente. Chamamos Valor Presente (PV) ou valor atual (VA) na data 0 desse conjunto, a uma taxa de juros i, à soma dos valores equivalentes desses capitais na data
0. y0
0
y1
y 2 ........................................... y n
1
2.........................................n
Chamando de PV, o valor presente, teremos:
PV = y0 +
y1
(1 i) +
1
+
y2
(1 i) +
2
+
...... +
yn
(1 i) +
n
Exemplo: Uma empresa prevê o pagamento de R$ 200.000,00 daqui a um mês e R$ 500.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos, á taxa de 1,5% ao mês para fazer f azer frente a essas despesas?
70
200.000 y1 0
PV =
y1 1
(1 i) +
+
1
y3 3
(1 i) +
500.000 y3
!
PV =
2
200000
(1
+
1
0,015)
+
3
500000
(1
+
3
0,015)
!
PV = R$ 675.202,83
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
0 (g) (CF0)
0,00
Introduz o pagamento no instante 0
200000 (g) (CF j)
200.000,00
Introduz o pagamento no instante 1
0 (g) (CF j)
0,00
Introduz o pagamento no instante 2
500000 (g) (CF j)
500.000,00
Introduz o pagamento no instante 3
1,5 (i)
1,50
Introduz a taxa
(f) (NPV)
675.202,83
Calcula o Valor Presente
6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes Consideremos os conjuntos de capitais: y0, y1, y2,..........,y n, nas datas 0, 1, 2, 3,.........,n, 3,.. .......,n, respectivamente.
y0
y1
y 2 ........................................... y n
0 1 2.........................................n y’0, y’1, y’2,..........,y’m, nas datas 0, 1, 2, 3,........,m, 3,.... ....,m, respectivamente.
71
y '0
y'1
y'2 ........................................... y'm
0
1
2.........................................m
Dizemos que esses conjuntos são equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se seus valores atuais forem iguais. Assim chamando de PV1 e PV2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter: PV1 = PV2 Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$ 1.000,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 600,00, mais duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m. , qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes? 1ª Forma:
1.000
1.200
y1
y0
0
1
y1 1 =
PV
y
0 +
1200
(1 i)
1 !
+
2ª Forma:
1 =
PV
1000 + (1 + 0,03)1
y
600
y1
y0
0 PV 2
=
y
+
0
y1
+
1
(1 i) +
como PV1=PV2;
y y2
1 y2
!
2
(1 i) +
PV 2
=
2 y
600 +
(1
+
y
+
1
0,03)
(1
+
2
0,03)
72
1000 +
1200 1,03
= 600 +
y 1,03
1565,0485=1,91346y
!
+
y
y 1,032
!
1000 + 1165, 0485 = 600 + 0,97087 y + 0,94259 y
1565,0485 =
!
y
=
R$ 817,91
1,91346
Exercícios Complementares: 1) Uma Nota Promissória, cujo valor nominal é $50.000,00, vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra Nota Promissória, a vencer daqui a três meses. Qual deve ser o valor nominal da nova Nota Promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $52.020,00
2) Uma pessoa tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a dois meses e outra de $80.000,00 para daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 2% a.m. para fazer frente a essas dívidas? Resposta: $133.055,91
3) Resolva o problema anterior, considerando as taxas: a)2,2% a.m. Resposta: $132.388,71 b) 1,8% a.m. Resposta: $133.727,93
73
4) Uma empresa prevê pagamentos de $250.000,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a taxa de 1,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos? Resposta: $726.624,98
5) Um aparelho de TV é vendido por $1.500,00 ou por 20% de entrada, mais duas parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6% a.m., qual o valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? Resposta: $654,52
6) Resolva o problema anterior, supondo que haja três pagamentos mensais, além da entrada. Resposta: $448,93
7) Um aparelho de som é vendido por $3.000,00 à vista ou, então, com uma entrada e mais três parcelas mensais de $800,00 cada uma. Se a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor valor da entrada? Resposta: $758,69
74
8) Um terno é vendido em uma loja por $800,00 de entrada mais uma parcela de $400,00, após um mês. Um comprador propõe dar $200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal, sabendo que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m.? Resposta: $1.024,00
9) Um aparelho de som é vendido à vista por $3.000,00, podendo também se financiado da seguinte forma: a) entrada: 30%; b) duas parcelas mensais, sendo a 2ª igual ao dobro da 1ª e vencendo a 1ª dois meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4% a.m.?
Resposta: $777,04 e $1.554,09
10) Um conjunto de sofás é vendido à vista por $1.500,00, ou a prazo por três prestações mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Resposta: $559,92
11) Carlos pretende vender o seu terreno por $50.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento:
75
a) entrada de $10.000,00; b) $10.000,00 no fim de três meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em seis meses e um ano, respectivamente. Admitindo-se que a taxa de juros do financiamento é de 4% a.m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela. Resposta: $27.017,59
12) Uma determinada loja vende um conjunto de som em três parcelas, sendo $1.500,00 de entrada, $2.000,00 de juros três meses $3.500,00 depois meses. Considerando-se que adepois taxa de mensal ecobrada é de 5% de e oseis regime de capitalização composta e, ainda, que o comprador precisou adiar a terceira parcela por mais dois meses, a entrada deverá ser alterada para que valor? Resposta: $1.742,82
13) Bruno pretende imóvel por a$600.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de vendavender à vista,seu está disposto fazer o seguinte plano de pagamento: a) entrada de $120.000,00; b) $250.000,00 no fim de seis meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em um ano e 15 meses, respectivamente. Admitindo-se que a taxa t axa de juros de mercado é de 6% a.m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela. Resposta: $405.782,03
76
14) Em uma butique do Shopping Praia de Belas, uma senhora é atendida por um vendedor, que afirma: “O preço desse vestido é de $2.100,00, mas a senhora poderá comprá-lo em três parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada”. Se a taxa de juros cobrada pela butique, nas vendas a prazo, é de 4% a.m., que porcentagem do preço dado pode a loja dar de desconto para pagamento à vista? Resposta: 3,8%
15) Uma empresa deve pagar três títulos. O primeiro de $250.000,00 exigível em três meses; o segundo de $300.000,00 exigível em seis meses e o terceiro de $450.000,00 exigível em nove meses. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de $1.542.683,00. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 8%, determine o prazo do novo título. Resposta: 12 meses
77
7 RENDAS (ANUIDADES) Renda é uma série de pagamentos vencíveis ou de capitais disponíveis (recebimentos) em datas diferentes. Cada um dos pagamentos ou recebimentos da série se chama termo, prestação ou simplesmente pagamento ou desembolso da renda . Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos ou recebimentos consecutivos são chamados períodos da renda.
7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais e é feito em períodos homogêneos, ou seja, os pagamentos e recebimentos têm vencimentos, valores e número pré-estabelecidos e a taxa de juros fixada. Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data anterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada. Chama-se Valor Futuro, Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada.
7.1.1 Classificação das Séries Uniformes a) Quanto ao prazo: Temporárias: o prazo de pagamentos ou recebimentos é finito.
•
Perpétuas: Perpé tuas: o prazo é infinito.
•
b) Quanto aos valores dos termos: Uniforme: termos iguais.
•
Variável: termos distintos.
•
78
c) Quanto à periodicidade: Periódica: períodos iguais.
•
Não periódica: períodos distintos.
•
d) Quanto à ocorrência do primeiro termo: Imediata: Ocorre no primeiro período de pagamento ou recebimento.
•
Diferida: Ocorre após o primeiro período de pagamento ou recebimento.
•
Obs.:
As séries imediatas e diferidas classificam-se ainda em postecipadas e
antecipadas: POSTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos finais dos períodos de
•
pagamentos ou recebimentos. ANTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos inícios dos períodos de
•
pagamentos ou recebimentos.
7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas Postecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado um período antes do primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado juntamente com o último pagamento ou recebimento. FV PV 0
1
2
3
4
5
7.2.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado)
&1 ' (1+ i)'n # PV = PMT$ ! i
%$
"!
PV = Valor Presente FV = Valor Futuro PMT = Valor do pagamento ou recebimento i = taxa de juros n = número de pagamentos, depósitos ou recebimentos
79
7.2.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Postecipado)
& (1+ i)n ' 1# FV = PM PMT T$ ! i $% !"
7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas Antecipadas O Valor Presente (PV) é avaliado juntamente com o primeiro pagamento ou recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado um período após o último pagamento ou recebimento. FV PV 0
1
2
3
4
5
7.3.1 Cálculo do do Valor Presente Presente – PV (Antecipado)
&1 ' (1 + i)'n # PV = PMT$ ! .(1 + i) i $% !"
7.3.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Antecipado)
n
+ FV = PM PMT T& $ 1 i
%$(
) ' 1#!.(1 i) i
+
!"
80
É importante relacionar as fórmulas utilizadas para os cálculos dos Valores Presentes e dos Valores Futuros das séries imediatas antecipadas e postecipadas com os momentos em que estas variáveis são avaliadas, o que podemos observar nos diagramas sobrepostos abaixo. FV1
PV2
FV2
PV1
Série Imediata Antecipada Série Imediata Postecipada
0
1
2
3
4
5
Exemplos: a) Uma Concessionária de Automóveis vende um carro em quatro prestações iguais de de R$ 10.250,00, sendo a primeira dada com entrada. Sabendo que os juros do mercado são aproximadamente 3% ao mês, qual é o preço do carro à vista? PV &1 ' (1 + i)'n # PV = PMT.$ ! .(1 + i) i !"
%$Série Antecipada (Entrada) 0
1
2
3
&1 ' (1 + 0,03)' 4 # PV = 10250.$ !.(1 + 0,03 ) 0 , 03 %$ "! PV
=
R$ 39.243,27
PMT = 10.250,00 RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
(g) (7)
BEGIN (Início)
Informa que se trata de série Antecipada
(f) (REG)
0,00
Limpa todos os dados registrados
(f) (2)
0,00
Introduz 2 casas decimais
10250 (CHS) (PMT)
-10.250,00
Introduz a prestação
3 (i)
3,00
Introduz a taxa
4 (n)
4,00
Introduz o número de prestações
(PV)
39.243,27
Calcula o Valor Presente
81
Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o Valor Presente do carro, utilizando uma operação financeira com prestações postecipadas, ou seja, sem entrada, da seguinte forma:
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
(g) (8)
39.243,27
Informa que se trata de série Postecipada
(PV)
38.100,26
Calcula o Valor Presente
b) Qual é o valor das prestações a serem pagas, sem entrada, na compra de um televisor de R$ 900,00 (à vista), em cinco parcelas mensais, iguais, sabendo-se que a taxa de mercado é 2,5% ao mês? PV = 900,00 Série Postecipada (sem entrada) 0
1
2
3
4
5
&1 ' (1 + i)'n # PV = PMT.$ ! i %$ "! &1 ' (1 + 0,025)' 5 # 900 = PMT.$ ! 0,025 $% !" PMT
=
R$ 193,72
PMT = ?
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
(g) (8)
0,00
Informa que se trata de série Postecipada
(f) (REG)
0,00
Limpa todos os dados registrados
(f) (2)
0,00
Introduz 2 casas decimais
900 (CHS) (PV)
-900,00
Introduz o Valor Presente
2,5 (i)
2,50
Introduz a taxa
5 (n) (PMT)
5,00 193,72
Introduz o número de prestações Calcula o valor das Prestações
82
Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível calcular o valor das Prestações, utilizando uma operação financeira com prestações antecipadas, ou seja, com entrada, da seguinte forma:
TECLAS
VISOR
(g) (7) (PMT)
SIGNIFICADO
BEGIN (Início) 189,00
Informa que se trata de série Antecipada Calcula o valor das Prestações
c) Calcule o Montante (Valor Futuro) que uma pessoa acumulará se desembolsar 4 parcelas de R$ 4.000,00, mensalmente, sendo a primeira no ato da operação, à taxa de 2,2% ao mês. FV Série Antecipada (com entrada)
& (1 + i)n ' 1# FV = PMT.$ !.(1 + i) i
0
1
2
%$
3
"!
4 & (1 + 0,022 ) ' 1# FV = 4000.$ !.(1 + 0,022) 0 , 022 $% !"
PMT = R$ 4.000,00
FV
=
R$ 16.899,57
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
(g) (7)
BEGIN (início)
Informa que se trata de série Antecipada
(f) (REG)
0,00
Limpa todos os dados registrados
(f) (2)
0,00
Introduz 2 casas decimais
4000 (CHS) (PMT)
-4.000,00
Introduz o valor dos depósitos
2,2 (i)
2,20
Introduz a taxa
4 (n)
4,00
Introduz o número de depósitos
(FV)
16.899,57
Calcula o Valor Futuro (Antecipado)
(g) (8) (FV)
16.889,57 16.535,79
Informa que se trata de série Postecipada Calcula o Valor Futuro (Postecipado)
83
7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da série uniforme de prestações, existem prestações extras (ou reforços). Nesse caso, o Valor Presente do conjunto é a soma do Valor Presente da seqüência uniforme com o Valor Presente das prestações de reforço. Exemplo: Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de 5.000 UR cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em 6 e 12 meses após a compra, cada uma de 20.000 UR. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m.?
0
20
20
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
&1 ' (1 + i)'n # y6 PV = PMT$ !+ 6 i $% !" (1 + i)
+
y12
(1 i)12 +
&1 ' (1+ 0,032)'12 # 20000 20000 ( PV = 5000$ + !+ 6 12 0,032 $% !" 1,032 1,032
PV = 49.181,02 + 16.555,86 + 13.704,83
!
PV = 79.441,71 UR
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS
VISOR
SIGNIFICADO
(f) (2)
0,00
Introduz 2 casas decimais
(f) (REG)
0,00
Limpa todos os dados registrados
(g) (8)
0,00
Informa que se trata de série Postecipada
12 (n)
12,00
Introduz o número de prestações
84
3,2 (i)
3,20
Introduz a taxa
5000 (CHS) (PMT)
-5.000,00
Introduz o valor das prestações
(PV)
49.181,02
Calcula o Valor Presente das prestações
(STO) (1)
49.181,02
Armazena na memória 1 o PV das prestações
(f) (FIN)
49.181,02
Limpa todos os registros financeiros
6 (n)
6,00
Introduz o período do primeiro Reforço
3,2 (i)
3,20
Introduz a taxa
20000 (CHS) (FV)
-20.000,00
Introduz o valor do primeiro Reforço
(PV)
16.555,86
Calcula o Valor Presente do primeiro Reforço
(STO) (2)
16.555,86
Armazena na memória 2 o PV do 1º Reforço
(f) (FIN)
16.555,86
Limpa todos os registros financeiros
12 (n)
12,00
Introduz o período do segundo Reforço
3,2 (i)
3,20
Introduz a taxa
20000 (CHS) (FV)
-20.000,00
Introduz o valor do segundo Reforço
(PV)
13.704,83
Calcula o Valor Presente do segundo Reforço
(RCL) (1) (+)
62885,85
Soma o PV do 2º Reforço com PV das prestações
(RCL) (2) (+)
79.441,71
Calcula o valor Presente de toda operação
Exercícios Complementares: 1) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 será pago em 10 prestações mensais iguais, consecutivas, postecipadas. Considerando que a taxa de juros a ser cobrada é de 2,5% a.m, calcular o valor das prestações. Resp.: $571,29
2) Um automóvel é vendido por $10.000,00 à vista, mas pode ser financiado a prazo em 6 prestações bimestrais iguais e postecipadas. Qual o valor das prestações, se a taxa de juros anunciada é de 3% a.m.? Resp.: $2.039,38
85
3) Quanto se deve aplicar hoje de forma que se possa receber $2.000,00 no final de cada um dos próximos 12 meses, considerando uma taxa de juros de 14,4% a.a., capitalizada mensalmente? Resp.: $22.326,36
4) Depositando-se hoje a quantia de $5.000,00 à taxa de 22% a.a. tem-se recebimentos anuais e postecipados de $1.320,56. Qual o número de recebimentos? Resp.: 9
recebimentos
5) Uma empresa financia as suas vendas a prazo aplicando juros de 3% a.m. Calcular o valor da prestação para uma venda de $6.000,00, considerando 2 pagamentos, aos 45 e aos 90 dias. Resp.: $3.205,52
86
6) A compra de um veículo pode ser feita, a prazo, através de 6 prestações mensais iguais, consecutivas, antecipadas. O valor das 3 primeiras é de $7.500,00 e das 3 restantes, de $10.000,00. Considerada uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual o valor à vista do veículo? Resp.: $49.394,33
7) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador e dispõe de 3 alternativas de pagamento: a) à vista, $2.300,00; b) 8 prestações mensais postecipadas postecipadas de de $321,00; c) 6 prestaçõ prestações es men mensais sais antecipadas antecipadas de $412 $412,00. ,00. Se a taxa de juros é de 2% a.m, qual o esquema de pagamentos mais favorável para o comprador? Resp.: à vista
8) Um financiamento de $10.000,00 será pago em 5 prestações mensais postecipadas. Se as últimas três são de $2.800,00 cada e a taxa de juros aplicada de 3% a.m, determinar o valor de cada uma das duas primeiras prestações. Resp.: $1.324,58
87
9) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 pode ser pago, na condição a prazo, em ttrês rês prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira a 90 dias da data da compra. Se a taxa de juros praticada for de 2,5% a.m, qual o valor das prestações? Resp.: $1.839,31
10) Um imóvel pode ser adquirido à vista por $40.000,00. A prazo, através de entrada de 20% do valor à vista, 12 prestações mensais iguais e consecutivas à compra de $2.000,00 cada e dois reforços, ao final do 6º mês e do 12º mês, respectivamente. Se a taxa de juros adotada na transação for de 3% a.m, qual o valor de cada reforço? Resp.:
$7.857,28
11) Quanto uma pessoa acumularia ao final de 12 meses, numa conta que remunera 0,9% a.m., se nela efetuasse 6 depósitos mensais imediatos antecipados iguais de $1.000,00 ? Resp.: $6.533,84
88
12) Uma poupança que paga juros de 1% a.m. foi aberta com um depósito inicial de $10.000,00. O poupador, nos meses em seguida, efetuou 12 depósitos mensais iguais de $500,00. Qual o montante à sua disposição imediatamente após a realização do último depósito? Resp.: $17.609,50
13) Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 14,4% a.a., capitalizados mensalmente. Um investidor fez um depósito inicial de $20.000,00 mais 24 depósitos mensais iguais e consecutivos, o primeiro 30 dias após o depósito de abertura. Sendo de $68.063,56 o montante ao final do período, qual o valor dos depósitos mensais? Resp.:
$1.529,64
89
14) Um automóvel cujo valor à vista é de $35.000,00 será pago mediante uma entrada de 10%, 24 prestações mensais de $1.200,00 e 4 parcelas semestrais iguais. Considerandose uma taxa de juros de 2% a.m., qual o valor das parcelas semestrais? Resp.: $2.936,05
15) Um empréstimo contratado à taxa de 2,5% a.m. foi liquidado através de 12 prestações mensais postecipadas de $600,00 cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período?
Resp.: $1.045,34
16) Desejando dispor de $10.000,00 dentro de 12 meses, uma pessoa começa hoje a depositar mensalmente em uma conta que rende 2% a.m. Calcular o valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao término do 12º mês? Resp.:
$730,98
90
8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS Freqüentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal ou valor do empréstimo (S0). Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3,........., n, na unidade expressa pela taxa de juros (em tudo que segue admitiremos o regime de capitalização composta). Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se chamarmos de amortização no instante t (indicado por At) à diferença entre Pt e jt, teremos: A t
=
Pt ! jt
ou
Pt = A t + jt
sendo : jt
=
St !1.i
O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t -1), acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t. St
=
S( t !1) + jt ! Pt
ou
St
=
S( t !1) ! A t
Notação: St
"
S( t
1)
!
Saldo devedor no ins tan te t; "
Saldo devedor no ins tan te anterior (t - 1);
i " Taxa de juros juros;; Pt jt
" "
Pagamento efetivado no ins tan te t; Juros no período que vai de ( t ! 1) a t.
Assim, existem inúmeras seqüências de amortizações que têm por soma o principal.
8.1 Sistema de Amortizações Constantes Constantes – SAC Entre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal, o Sistema de Amortizações Constante (SAC) é bastante utilizado na prática. Tal sistema consiste consiste em se fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. A1
=
A 2
=
A 3
.......... .
=
=
A n
S0 =
n
91
O valor da prestação é dado por:
A + jn
Pn
=
Percebe-se, assim, que as prestações do SAC constituem uma progressão é – A.i. aritmética decrescente, cujo primeiro termo a1 é A + S0.i e cuja razão r é
Observação: Para progressão aritmética (Pa) temos:
an
=
(
)
a1 + n ! 1 . r
O gráfico da prestação em função do tempo tem o seguinte aspecto:
Prestação
j1
j2
j3
jn
A 0
A 1
A 2
A 3................... 3....................................n .................n
Tempo
Exemplos: a) Um empréstimo de 800.000 dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% ao semestre. Construa a planilha de amortização. S0
=
U$ 800.000,00
n = 5 prestações i = 0,04 a. s.
A
=
S0 n
!
A
=
800000 5
!
A
=
U$160.000,00
92
Período Semestral
Saldo devedor St
Amortização At
Juros Jt
Prestação Pt
0
800.000
0
0
0
1
640.000
160.000
32.000
192.000
2
480.000
160.000
25.600
185.600
3 4
320.000
160.000
19.200
179.200
160.000
160.000
12.800
172.800
5
0
160.000
6.400
166.400
800.000
96.000
896.000
6 7
TOTAL
b) Um empréstimo de 800000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais amortização, com 2 semestres de carência, ou seja, a primeira devida no 3ºdesemestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que parcela a taxa ésódeé 5% a.s., obtenha a planilha. S0
=
U$ 800.000,00
n = 5 parcelas i = 0,05 a. s.
Período
A
=
S0 n
!
A
800000 =
5
!
A
=
U$ 160.000,00
Saldo devedor St
Amortização At
Juros Jt
Prestação Pt
0 1
800.000
0
0
0
800.000
0
40.000
40.000
2
800.000
0
40.000
40.000
3
640.000
160.000
40.000
200.000
4
480.000
160.000
32.000
192.000
5
320.000
160.000
24.000
184.000
6
160.000
160.000
16.000
176.000
7
0
160.000
8.000
168.000
800.000
200.000
1.000.000
Semestral
8
TOTAL
93
8.2 Sistema de Amortização Francês Francês ou Sistema PRICE
No sistema de amortização Francês ou Tabela Price as prestações são iguais e consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações). &1 ' (1 + i)'n # Lembrando que o fator $ ! é chamado de fator de Valor Presente (PV) e i % " &1 ' (1 + i)'n # que PV = PM PMT T$ ! . Como PV = S0 , teremos então que S0 i $% !"
Logo:
PMT
=
S0
'n
&$1 ' (1 + i) i
%$&1' (1 + i)'n # = PMT$ ! . i $% !"
#! !"
Por outro lado, se os juros j1, j2, j3,......,jn formam uma seqüência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo) as amortizações A 1, A2, A3,........,A n formam uma seqüência crescente. Assim o gráfico das prestações em funçã do tempo tem o seguinte aspecto. Prestação
A1 A2
A3
An
J3
Jn
J1 J2 0
1
2
3
n Tempo
94
Exemplo: Um empréstimo de 800000 dólares deve ser amortizado pelo sistema Francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha de amortização. S0 = U$ 800.000,00 n = 5 prestações
PMT =
i = 0,04 a.s.
Período
S0
'1 ( (1 + i)(n $ % " i &% #"
! PMT =
800000
'1 ( (1,04)( 5 $ % " 0 , 04 &% #"
! PMT = U$ 179.701,69
Semestral
Saldo devedor St
Amortização At
Juros Jt
Prestação Pt
0
800.000,00
0
0
0
1
652.298,31
147.701,69
32.000,00
179.701,69
2 3
498.688,55
153.609,76
26.091,93
179.701,69
338.934,40
159.754,15
19.947,54
179.701,69
4
172.790,09
166.144,31
13.557,38
179.701,69
5
0
172.790,09
6.911,60
179.701,69
800.000,00
98.508,45
898.508,45
TOTAL
8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema Price, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a vencer; com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim esse valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor . Exemplo: Num empréstimo de R$ 100.000.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 meses e à taxa de 3 % a.m., qual o saldo devedor no 25º mês?(supor paga a prestação desse mês). S0 = 100.000.000 n = 40 prestações i = 003 a.m.
S0
100.000.000
PMT = '1 ( (1 + i)(n $ ! PMT = '1 ( (1,03 )( 40 $ ! PMT = R$4.326.237,79
% %&
i
" "#
% %&
0,03
" "#
95
Prestações a vencer: 15 prestações
25
26
27
28..................................40
O saldo devedor no 25º mês é o valor presente da seqüência uniforme das prestações a vencer (15 prestações).
S25
S25
=
&1' (1 + i)'n # = PMT$ ! i $% !"
'1 1,03 (15 $ 4.326.237,79 % ( (0,03) " ! S25 #" &%
=
R$ 51.646.345,92
8.2.2 Sistema Price pela HP-12C: Vamos resolver utilizando, inicialmente, a já conhecida Série Uniforme de Pagamentos, calculando o (PMT) postecipado (prestação). Utilizaremos, ainda, a função (f) (AMORT), que aciona um programa interno da máquina para apuração dos valores referentes aos juros, amortização do capital e saldo devedor. Voltemos à planilha do exemplo anterior Período Semestral
Saldo devedor St
Amortização At
Juros Jt
Prestação Pt
0
800.000,00
0
0
0
1
652.298,31
147.701,69
32.000,00
179.701,69
2
498.688,55
153.609,76
26.091,93
179.701,69
3
338.934,40
159.754,15
19.947,54
179.701,69
4
172.790,09
166.144,31
13.557,38
179.701,69
5
0
172.790,09
6.911,60
179.701,69
800.000,00
98.508,45
898.508,45
TOTAL
96
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS (f) (FIN) (REG)
VISOR 0,00
SIGNIFICADO Limpa os registros financeiros e o visor.
0,00 (g) (8) 800.000 (CHS) (PV) -800.000,00
Pagamento postecipado. Valor Presente (saldo devedor no período zero).
4 (i)
4,00
Taxa de juros.
5 (n)
5,00
Número de prestações.
(PMT)
179.701,69
Valor das prestações.
1 (n) (f) (AMORT)
32.000,00
Valor dos juros no primeiro período.
(x>
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