APOSTILA EE 2016 Com Anotações

Engenharia

Econômica

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Regina

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 APOSTILA DE ENGENHARIA ECONÔMICA

Regina Maura Martins Dias Chiquetano

2016

Maura

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1 INTRODUÇÃO A ENGENHARIA ECONÔMICA  A administração de uma empresa requer que em todo momento sejam tomadas decisões de diversos tipos, que devem ter como meta o objetivo da empresa. Se considerarmos uma empresa inserida em uma economia de livre iniciativa e em regime de concorrência, podemos dizer que o objetivo da administração é a maximização maximização da riqueza dos proprietários. Os recursos são limitados, por isso deve-se administra-los para que possam ser utilizados da melhor maneira possível, visando atingir os objetivos da empresa. O objetivo de uma análise econômica é: obter a melhor oportunidade possível para o emprego dos recursos limitados. Muitas decisões são tomadas a partir da experiência dos administradores, o que muitas vezes pode levar a escolha de alternativas que podem não ser as melhores economicamente. A experiência proporciona ao administrador uma sensibilidade que é muito importante, na tomada de decisão, mas que por si só não é suficiente. Que atitude pode-se tomar quando se estuda a viabilidade de uma nova tecnologia onde não existe a experiência experiência anterior com o equipamento? Dessa forma, a Engenharia Econômica é utilizada para avaliar a viabilidade de um determinado investimento. Definição: podemos definir Engenharia Econômica como um conjunto de princípios e

técnicas que permitem quantificar monetariamente e avaliar economicamente as alternativas de investimento, possibilitando ao administrador a tomada de decisão. 1.1 MATEMÁTICA FINANCEIRA O cálculo financeiro é muito importante na análise de investimentos, sendo necessário o estudo dos fundamentos da matemática financeira. Em Matemática Financeira estuda-se o crescimento do capital aplicado por um período de tempo. Capital pode ser qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. O Capital é inicial quando aplicado por um determinado período de tempo, resulta em um Montante ao final deste período. O Montante, então, é a soma do Capital Inicial e uma parcela que é a fração do capital inicial, chamada de Juros. O Juro pode ser definido como: 

lucro obtido na aquisição e venda de materiais e equipamentos; equipament os;



valor recebido por empréstimo de uma determinada quantidade de capital;

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

a remuneração remuneração do capital capital pela não realização de uma uma satisfação satisfação atual ou pelo adiamento do consumo. O Juro é cobrado em função de um coeficiente chamado taxa de juro, dado em percentagem e se refere a um intervalo de tempo: mês, trimestre, semestre, ano, etc., chamado de período financeiro.  A taxa de juros deve deve ser olhada olhada sob três aspectos: aspectos: a. risco de perda; b. despesas administrativas; administrativas; c. remuneração pura ou lucro. Quando o prazo da operação é dado considerando-se anos constituídos por meses de 30 dias, os juros são chamados comerciais. Quando o número de dias corresponde àqueles do ano civil (365 dias), são chamados juros exatos. Nesta disciplina, disciplina, serão considerados considerados anos comerciais c omerciais (360 dias).

1.2 FLUXO DE CAIXA O fluxo de caixa pode ser representado de forma analítica ou gráfica. Imaginemos investir, no instante inicial zero, $5.000,00; nos instantes 1 e 2 receber, respectivamente $2.000,00 e $4.000,00; no instante 3, investir $1.000,00; e no instante 4, receber $9.000,00. O fluxo de caixa analítico representativo das contribuições monetárias poderia ser assim: Instantes

Entradas

Saídas

0

5.000

1

2.000

2

4.000

3

1.000

4

9.000

Convencionando que as entradas de dinheiro são positivas e as saídas negativas, a representação é: Instantes

Entradas (+) Saídas (-)

0

- 5.000

1

+2.000

2

+4.000

3

- 1.000

4

+ 9.000

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O fluxo de caixa pode ser representado por um diagrama: 9.000 Dividendos, Receitas,

4.000

Economias.

2.000

0

1

2

3

4

Despesas, Aplicações de

1.000

dinheiro, Custos de aplicações ou Parcelas não recebidas.

5.000

1.3 JUROS SIMPLES (JS) No regime de capitalização simples, os juros incidem apenas sobre o capital inicial ou principal, pois não existe capitalização de juros nesse regime. Portanto, o rendimento será sempre o mesmo em cada período. O capital crescerá a uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao tempo. Por isso, a taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base em multiplicações e divisões, mantendo a proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes taxas.  Aplicando um capital durante um determinado período de tempo, ao final desse tempo, o capital se transformará em um valor capitalizado (montante), pois está acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. Isto pode ser representado por um fluxo de caixa: Montante ( F ) Capital Final

0

Principal ( P ) Capital Inicial

n

 período de tempo

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O rendimento ou juro (J) ganho na aplicação é dado por: J = F – P 

(1)

onde: J – juros ou rendimento F – Montante; Valor Futuro P - Principal ; Valor presente

Como no regime de capitalização simples, os juros de cada período são sempre calculados sobre o mesmo principal, aplicando-se um capital durante n períodos de tempo, o juro será: J = P. i . n 

(2)

onde: J – juros ou rendimento; P – principal; i – taxa de juros; n – período de tempo. Igualando-se a equação (1) com a (2), obtém-se o Montante em função do Principal, da taxa e do período de capitalização: S – P = P. I . n

S = P + P. i . n

 P  

O Principal é dado por:

S = P. (1 + i. n) (3)

 F 

1  i .n

O processo de capitalização e de desconto de capitais no regime de juros simples, graficamente é dado por: F = P.(1+i.n)

0 P= F.(1+i.n)-1

n

tempo

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1.4 JUROS COMPOSTOS (J.C.) No regime de juros compostos, a remuneração gerada pela aplicação será somada ao capital inicial e fará parte da geração do rendimento no período seguinte. Neste regime, os juros são capitalizados, ou seja, os juros incidem a cada período sobre o capital inicial mais os juros do período anterior. É o chamado juros sobre juros. Problema 1: Se aplicarmos $1.000,00 à taxa de 20% ao ano durante 3 anos, com pagamento no final da aplicação, teremos: Juros Simples  Ano

Rendimento

Montante

Juros Compostos Rendimento

Montante

1 2 3 O crescimento do dinheiro a J.C. cresce exponencialmente, devido sua incorporação ao saldo anterior.

1.4.1 CÁLCULO DO MONTANTE NO J.C. O montante de um capital aplicado a juros compostos por três anos, é gerado assim: Término do ano 1: F = P x (1 + i) Término do ano 2: F = P x (1 + i) x (1 + i) Término do ano 3: F = P x (1 + i) x (1 + i) x (1+i) Generalizando para n períodos, podemos calcular diretamente o montante S resultante da aplicação do principal P durante n períodos a uma taxa de juros composta i: F = P x (1+i)n

O fator (1+i)n é chamado fator de capitalização ou fator de valor futuro para aplicação única.

Problema 2: Aplicando-se um capital de $1.000,00 à taxa de 20% a.a., qual será o montante obtido ao final de 3 anos?

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1.4.2 CÁLCULO DO VALOR PRESENTE NO J.C. O valor presente de um valor futuro, têm sua fórmula deduzida da fórmula do

 P  

 F 

1  i n

valor futuro: Onde:

1

1  i n é o fator de valor presente, fator de atualização para pagamento único ou fator de desconto

Esquematicamente temos: F

(1+i) - n

tempo 0

1

2

3 .................................................n

(1+i) n P

Problema 3: Uma pessoa fez um empréstimo que deverá pagar daqui a 3 anos, no valor de $1.728,00. Sendo a taxa de 20% a.a., qual o valor do empréstimo hoje?

1.4.3 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A J.C. O princípio da equivalência de capitais é fundamental e essencial a todas as abordagens aplicadas aos problemas de cálculo financeiro. Dois capitais com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.

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Problema 4: Analisar se os quatro capitais abaixo são equivalentes na data zero. Capital

Mês de vencimento

$2.000

1

$2.200

2

$2.420

3

$2.662

4

1.5 PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO – TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA DE JUROS Período de capitalização é o período em que uma quantia rende a uma taxa de  juros i, após o qual, os valores dos juros são somados à quantia inicial ou acumulada.

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1.5.1 TAXA DE JUROS NOMINAL Quando os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere à taxa, ou seja, quando os juros são incorporados ao principal mais de uma vez no período, a taxa é dita nominal. Suas características são: 

Aplica-se diretamente em operações de juros simples.



É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) ‘k’ vezes em seu período referencial, de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros compostos.



É uma taxa referencial que não incorpora capitalizações.



É calculada com base no valor nominal da aplicação ou empréstimo. Exemplos de taxas nominais:



18% ao ano capitalizada mensalmente;



5% ao mês capitalizada diariamente;



8% ao semestre capitalizada mensalmente.  A taxa nominal é uma taxa declarada ou taxa cotada  que não incorpora

capitalizações, sendo necessário o cálculo da taxa efetiva equivalente quando pretendemos efetuar cálculos e comparações no regime de juros compostos.

1.5.2 TAXA EFETIVA  A taxa efetiva pressupõe incidência de juros apenas uma única vez em cada período a que se refere à taxa; isto é, a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, ou seja, a taxa efetiva é a taxa por período de capitalização. Os juros antecipados, os impostos, as comissões e os artifícios usados nos cálculos de juros fazem com que, tanto no regime de capitalização a juros simples quanto no regime de capitalização a juros compostos, as taxas efetivas e nominais difiram. Exemplos de taxas efetivas: 

12% a.m. capitalizados mensalmente;



10% a.a. capitalizados anualmente;



47% a.t. capitalizados trimestralmente.

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Quando o período da taxa de juros coincide com a periodicidade com que os  juros são capitalizados, a taxa declarada é a própria taxa efetiva. Assim, evitando redundâncias, nos exemplos acima se diz somente 12% a.m., 10% a.a. e 47% a.t., ficando subentendido o período de capitalização. Quando não se verifica essa coincidência entre os períodos, a taxa de juros costuma ser definida como taxa nominal.

1.5.3 TAXAS EQUIVALENTES Nos juros simples, a taxa equivalente é a própria taxa proporcional. Assim, 2% a.t. é uma taxa proporcional (equivalente) a 8% a.a., pois: 4 trimestres x 2% a.t. =8% a.a. Nos juros compostos, duas taxas são ditas equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Problema 5: Um capital de R$1.000,00 aplicado pelo prazo de um ano, à taxa efetiva de 42,5761% a.a. por um ano, ou à taxa efetiva de 3% a.m. durante 12 meses, resultará em um mesmo montante? 1o Caso:

F=

0

ano 1

R$1.000

2o Caso:

F=

mês 0

1

R$1.000

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

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Considerando o ano comercial (360 dias), a seguinte identidade permite relacionar algumas taxas efetivas:

(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + i t)4 = (1 + im)12 = (1 + i d)360

Genericamente: a) Para aumentar o período de capitalização da taxa: Taxa Efetiva (if ) = (1 + i) q – 1

b) Para diminuir o período de capitalização da taxa: Taxa Efetiva (if ) =

q

(1  i )  1

onde: q - número de períodos de capitalização dos juros.

Problema 6: Determinar as seguintes equivalências entre taxa efetivas: a) Taxa bimestral equivalente à taxa semestral de 35%: (10,52% a.b.) b) Taxa semestral equivalente à taxa mensal de 5%: (34,01% a.s.) c) Taxa diária equivalente à taxa trimestral de 90%: (0,7157% a.d.) d) Taxa anual equivalente à taxa diária de 0.5%: (502,26% a.a.)

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1.6 SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES Denominam-se rendas ou séries periódicas uniformes a uma sucessão de recebimentos ou pagamentos iguais, a intervalos de t empos iguais. Os vencimentos de uma renda ou série periódica uniforme podem ocorrer: a) no final de cada período – termos postecipados. Ex.: fatura de cartão de crédito. 

Séries uniformes postecipadas: U

0

1

2

3

4 ........................................ n

b) no início de cada período – termos antecipados. Ex.: Financiamentos com pagamento à vista. 

Séries uniformes antecipadas: U

0

1

2

3.................................... n - 1

c) ao término de um período de carência – termos diferidos. Ex.: Compre hoje e comece a pagar daqui a “x” dias. 

Fluxo de séries uniformes diferidas antecipadas: U

carência 0.....................c



c+1

c+2

c + 3 ....................... c + n

Fluxo de séries uniformes diferidas postecipadas: U

carência 0.....................c

c+1

c+2

c + 3 ....................... c + n + 1

1.6.1 VALOR PRESENTE DE SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES O Valor Presente de uma série uniforme representa a soma das parcelas atualizadas para a data inicial do fluxo (data 0), considerando a mesma taxa de juros.

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Quando esta série é postecipada o Valor Presente é dado pela soma dos valores atuais dos termos da série. O diagrama abaixo mostra o processo de desconto: PV U (1 + i)-n U (1 + i)-4 U (1 + i)-3 U (1 + i)-2 U (1 + i)-1

 U 0

U

1

U

2

U

U

3

4

n

O valor presente da série uniforme, é:  PV  

U 



U 

1  i  1  i  1

2



U  3

1  i 

2

  

3

U 

1  i n n

 PV   U 1  i   1  i   1  i    1  i 

O somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica finita.  A fórmula da soma de uma P.G. é dada por:

 a1  an  q    1 q 

 PV   U 

onde: a1 – primeiro termo da série = (1+i)-1 an – n-ésimo termo da série = (1+i)-n q – razão = (1+i)-1

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 1  i 1  1  i  n  1  i 1   PV   U   1 1  1  i     1  i n  1  PV   U   n    i  i 1   Substituindo as expressões respectivas, o valor presente é dado por: O valor unitário dos termos da série U é dado por: U  

 PV 

 1  i n  1   n   i i 1    

ou

 1  i n  i  U    PV   n 1 i 1      

Fator de valor presente de S.U.

Problema 7: Um bem cujo preço à vista é de $4.000, será pago em 8 prestações mensais iguais pagas ao final de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das prestações.

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1.6.2 MONTANTE DE SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES O montante ou valor futuro de uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes postecipados é igual à soma dos montantes de cada prestação em uma determinada data futura. Esta série apresenta o seguinte esquema: FV

PV

0

1

2

3

4

5....................................... n

tempo

U

O cálculo do montante de uma série uniforme postecipada é dado por:  FV    PV 1  i 

n

 1  i n  1  PV   U   n  1  i   i 

 1  i n  1  1  i n  1 n  FV   U    1  i    FV   U   n i   1 i i       Fator de valor futuro de uma S.U.

Problema 8: Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse a cada final de mês $350 em uma aplicação de paga juros efetivos de 5% ao mês?

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1.7 PERPETUIDADES Uma ‘perpetuidade’ se constitui de um conjunto de rendas cujo número de parcelas não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito, como por exemplo, os dividendos pagos pelas empresas. As rendas perpétuas também pode ser postecipadas, antecipadas e diferidas. O diagrama de fluxo de uma perpetuidade postecipada é apresentado abaixo: 0

1

2

3

4

5......................................... ∞

tempo

U

O valor presente P da perpetuidade, depositado em um fundo, a uma taxa de  juros igual a i%, por período, de tal forma a fornecer indefinidamente um valor uniforme U por período, é dado por:

 P  

U  i

Problema 9: Uma pessoa investe $1.000 em uma aplicação bancária que paga juros efetivos de 2% a.m. Qual o valor da renda mensal que esta pessoa poderá retirar indefinidamente?

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1.8 EXERCÍCIOS Problema 10: Se depositarmos agora $500 em uma conta de poupança que paga taxa de juros de 6% a.a., quanto teremos ao final de três anos? Problema 11: Suponhamos que o banco altere seu sistema de juros do problema 1, para “taxa de 6% ao ano com capitalização trimestral”. Qual seria o montante, ao final de três anos, de $500 depositados hoje? Problema 12: Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição, calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos juros seja: a) Mensal: (26,82% a.a.) b) Trimestral (26,25% a.a.) c) Semestral (25,44% a.a.) Problema 13: Se quisermos ter $800 em uma conta de poupança ao final de quatro anos, à taxa de 5% a.a., quanto devemos depositar hoje? Problema 14: Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10% a.m., qual deveria ser seu valor à vista? Problema 15: Quanto devo depositar mensalmente para ter, no momento do quarto depósito, o saldo de $2.022,61, se receber juros de 0,75% a.m? Problema 16: Uma mercadoria que custa a vista $1.693,61 foi vendida em quatro prestações mensais, com a primeira paga 1 mês após a compra. Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 7% a.m., qual é o valor de cada prestação? Problema 17: Uma mercadoria que custa a vista $1.693,61 foi vendida em prestações mensais de $500, a taxa de 7% a.m., pagando-se a primeira um mês após a compra. Quantas prestações devem ser pagas? Problema 18: Uma mercadoria foi vendida em 36 prestações mensais de $422,91, com a primeira paga um mês após a compra, à taxa de 2,6% a.m. Calcule o preço da mercadoria a vista. Problema 19: Qual é o investimento inicial de uma ponte que terá um custo anual de manutenção de $60.000, considerando ser a taxa anual de juros de 5%?

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1.9 PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS  A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. As parcelas ou prestações são formadas por duas partes: 

Amortização: devolução do principal emprestado;



Juros do período: serviço da dívida correspondente ao saldo do empréstimo ainda não reembolsado.

PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS

O termo carência designa o período que vai desde a data de concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação. Em geral, esse período é negociado entre o credor e o mutuário. Qualquer sistema de amortização pode ter ou não o prazo de carência. Os principais e mais usados sistemas de amortização de empréstimos são: a) Sistema Francês de Amortização – Tabela Price; b) Sistema de Amortização Constante - SAC;

1.9.1 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – TABELA PRICE  Essa denominação vem do fato desse sistema ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. Este sistema é o mais utilizado por instituições financeiras e pelo comércio em geral. Caracteriza-se por pagamentos do  principal   em prestações iguais, periódicas e sucessivas. Ou seja, a parcela da amortização mais a dos juros resulta num mesmo valor de prestação. Como os juros incidem sobre o saldo devedor, que por sua vez decresce na medida em que as prestações são pagas, eles decrescem, então, as amortizações são crescentes. O sistema ou Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos, no século XVIII. A Tabela Price é um caso particular do Sistema Francês de Amortização. No SFA a taxa de juros é dada em termos nominais, já na Tabela Price, as prestações são feitas usando a taxa proporcional calculada a partir da taxa nominal.

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Problema 21: Um empréstimo de $200.000,00 será pago pelo Sistema Francês de  Amortização em 4 prestações mensais postecipadas. Se a taxa de juros efetiva contratada for de 10% a.m., construir a planilha de amortização.

Mês

Saldo Devedor

 Amortização

Juros

Prestação

(t)

(SDt = SDt-1 – At)

(At = Rt – Jt)

(Jt = i x SDt-1)

(Rt)

0 1 2 3 4

1.9.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC No SAC, a amortização é dada pelo valor do principal dividido pelo número de períodos de pagamento. Neste caso, a amortização é constante, as prestações são decrescentes e os juros são decrescentes também. Esse tipo de sistema é usado às vezes pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários e também, às vezes, em certos casos, em empréstimos às empresas privadas através de entidades governamentais. Problema 22: Elabore a planilha de amortização para o seguinte financiamento: 

Valor do financiamento: $200.000,00;



Reembolso em 4 meses pelo sistema SAC;



Taxa de juros efetiva: 10% a.m.

Cálculo das amortizações

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Mês

Saldo Devedor

 Amortização

Juros

Prestação

(t)

(SDt = SDt-1 –At)

(At = Rt – Jt)

(Jt = i x SDt-1)

(Rt)

0 1 2 3 4

2. ALTERNATIVAS ECONÔMICAS: MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO Quando temos várias alternativas econômicas, há a necessidade de compará-las a fim de selecionarmos a mais conveniente. Os principais métodos para essa análise são: 1. Método do Valor Presente Líquido – VPL 2. Método do Valor Futuro Líquido – VFL 3. Método do Valor Uniforme Líquido - VUL 4. Método da Taxa Interna de Retorno - TIR 5. Método do Payback Descontado - PB

2.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL O método do valor presente líquido – VPL, tem a finalidade de determinar um valor no instante considerado inicial, a partir de um fluxo de caixa formado de uma série de receitas e dispêndios. Valor Presente Líquido (VPL) é a somatória de todos os valores envolvidos nos n períodos considerados no instante zero.

VPL   I  

n

 FC t 

 1  i  t 1

t 

Onde: VPL – valor presente líquido do fluxo de caixa I – investimento inicial FCt – fluxo de caixa no t-ésimo período

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i – taxa mínima de atratividade ∑ - somatório: indica que deve ser realizada a soma da data 1 até a data n dos fluxos de caixa descontados ao período inicial. O objetivo do VPL é encontrar alternativas de investimento que valham mais do que custam para os patrocinadores – alternativas que tenham valor presente líquido positivo.  Analisando-se uma única alternativa, o VPL pode resultar em: 

VPL > 0, aceita-se a proposta;



VPL < 0, rejeita-se a proposta;



VPL = 0, significa que o VPL rendeu exatamente a taxa, ou seja, tanto faz aceitar a proposta ou aplicar o dinheiro à TMA.

Problema 23: Considere uma alternativa de investimento que requer um desembolso inicial de $200.000, e gere fluxos de caixa de $75.000 por ano, durante 5 anos. A um custo de capital de 15% ao ano, este investimento é viável?

Problema 24: A gerência de uma fábrica está considerando a possibilidade de instalar uma nova máquina. A proposta de investimento envolve um gasto inicial de R$10.000, objetivando uma redução de custo da ordem de $2.000 por ano, durante os próximos dez anos. Sendo a taxa mínima de atratividade para a empresa igual a 10% a.a., deseja-se saber se é atrativo o investimento.

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2.1.1 SELEÇÃO DA MELHOR ALTERNATIVA Se tivermos várias alternativas será escolhida aquela que apresentar o MAIOR VALOR PRESENTE LÍQUIDO. Em caso de receitas, onde o sinal será positivo, escolhe-se o maior VPL. Em caso de custos, onde o sinal é negativo, escolhe-se o menor VPL, pois será o de menor custo. 2.1.2 ALTERNATIVAS DE DURAÇÕES IGUAIS Problema 25: Considerando duas alternativas mutuamente excludentes, X e Y, apresentadas no quadro abaixo, e um custo do capital de 10% a.a., qual é a preferível? Equipamento Investimento ($)

Fluxo de caixa/ano ($)

Vida útil (anos)

X

-12

3,0

8

Y

-13

2,5

8

Engenharia

Econômica

–

Profª.

Regina

Maura

22

Problema 26: Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. A primeira, consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $2.000 durante dez anos, após os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de nova linha de produção no valor de $35.000 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $5.000.

Esta alternativa deverá

proporcionar ganhos de $4.700 por ano, apresentando ainda um valor residual de $10.705, após dez anos. Sendo a TMA para a empresa igual a 8% a.a., qual das alternativas deve ser a preferida pela gerência?

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23

2.1.3 ALTERNATIVAS DE DURAÇÕES DESIGUAIS  A Engenharia Econômica compara sempre alternativas que devem apresentar durações iguais. Caso as alternativas tiverem originariamente durações desiguais, precisamos estudá-las a fim de conclui como é possível transformá-las em alternativas de durações iguais. Existem, primordialmente, duas maneiras básicas de tornar duas alternativas de durações desiguais em alternativas de durações iguais: a) cortar parte de uma das alternativas ou de ambas; b) adotar como duração final comum das duas alternativas o m.m.c. das duas durações originais (repetitividade do ciclo original do fluxo de caixa). Será utilizado neste curso a repetitividade do ciclo original do fluxo de caixa. Problema 27: Qual das alternativas mutuamente excludentes, X e Y, apresentadas no quadro abaixo, deve ser escolhida se o custo do capital for de 10% a.a.? Equipamento

Ano 0 ($)

Ano 1 ($)

Ano 2 ($)

Ano 3 ($)

X

-10

6

6

--------

Y

-9

4

4

4

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–

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24

2.2 MÉTODO DO VALOR FUTURO LÍQUIDO - VFL O método do VFL tem por finalidade determinar um valor no instante considerado final, partindo-se de um fluxo de caixa.  A somatória algébrica de todos os valores envolvidos no n períodos, reduzidos ao instante final, com a taxa i, se chama valor futuro líquido.

VFL 

n

 FC  1  i 

n

t 

0

Onde: VFL – valor futuro líquido de um fluxo de caixa da alternativa; FCt – cada um dos valores envolvidos no fluxo de caixa i – taxa comparativa ou TMA ∑ - somatório: indica que deve ser realizada a soma da data 1 até a data n dos fluxos de caixa descontados ao período inicial. Sendo o VFL a soma dos valores futuros dos benefícios (positivos) e dos valores futuros dos custos (negativos), o VFL pode resultar em: - VFL > 0: predominância dos VF dos benefícios em relação aos VF dos custos; - VFL < 0: escassez dos VF dos benefícios em relação aos VF dos custos; - VFL = 0: os custos investidos renderam exatamente, apenas e tão-somente a taxa característica de juros, que pode ser a TMA. Quando, em um fluxo de caixa houver predominância de custos, pode-se inverter a convenção de sinais adotada. Então, convencionam-se os benefícios como negativos e os custos como positivos, chamando, portanto o VF de Custo Futuro Líquido. CFL = -VFL Problema 28: Um terreno é comprado por $240.000. As despesas anuais são de $2.000. Ao final do terceiro ano ele será vendido. Sendo 15% a.a. a TMA, qual o valor mínimo que este terreno deve ser vendido?

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–

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25

2.2.1 Seleção da melhor alternativa Se tivermos várias alternativas, devemos selecionar aquela que apresentar o valor mais conveniente para o problema em questão. Devemos escolher a alternativa que apresentar o MAIOR VFL, adotando-se receita como positivo e custos, negativo. Quando tivermos somente custos, escolhe-se a alternativa de MENOR custo. 2.2.2. Alternativas de durações iguais Problema 29: Dois equipamentos são examinados. Considerando ser a TMA i=20%a.a., qual o equipamento que deve ser adquirido analisando-se pelo método do VFL? Equipamento K

Equipamento L

Custo

$50.000

$80.000

Custo anual de conservação

$20.000

$15.000

Valor residual p/ venda

$4.000

$8.000

10

10

Duração em anos

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–

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26

2.2.3 Alternativas de durações desiguais Valem aqui as mesmas observações já apresentadas por ocasião da explanação do método do VPL. Problema 30: Tenho a oportunidade de adquirir um equipamento, recebendo duas ofertas. Qual oferta devo aceitar, analisando-se pelo método do VFL e considerando ser a TMA de 20% a.a.? Equipamento K

Equipamento L

Custo inicial

$10.000

$20.000

Vida útil

3 anos

4 anos

Custo manutenção 1º ano

$500

$1.000

Custo manutenção 2º ano

$2.000

$1.000

Custo manutenção 3º ano

-

$4.000

$1.000

$5.000

Valor residual de venda

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27

2.3 MÉTODO DO VALOR UNIFORME LÍQUIDO - VUL Imaginemos que, como resultado de um investimento, obtemos uma série de valores diferentes. A uma TMA, podemos transformar essas contribuições de valores diferentes em valores uniformes iguais, formando uma série uniforme equivalente. Problema 31: Dados os dividendos 20, 30, 10 e 40 recebidos nos períodos 1, 2. 3 e 4, transformá-los numa S.U.E., considerando ser 20% a.p. a T MA.

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28

2.3.1 Seleção da melhor alternativa Valor Uniforme Líquido (VUL) é a soma algébrica de todos os valores uniformes dos benefícios (positivos) com os valores uniformes dos custos (negativos). Se VUL > 0, há predominância dos benefícios em relação aos custos, a uma dada taxa. Se VUL < 0, há uma escassez dos benefícios em relação aos custos, a uma dada taxa. Se VUL = 0, os benefícios são iguais aos custos, a uma mesma taxa. Se tivermos várias alternativas, devemos selecionar aquela que apresentar o MAIOR VUL e seus fluxos de caixa. 2.3.2 Alternativas de durações iguais Problema 32: A gerência de marketing de uma firma industrial está analisando duas possibilidades para a localização de uma central de distribuição para seus produtos.  Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as seguintes estimativas: Investimento

Redução Anual

Valor Residual

Necessário

nos Custos de

Do Projeto – R$

Localização

R$

Distribuição – R$

 A

38.000

6.200

31.000

B

44.000

7.200

35.000

Sendo a TMAR para a empresa de 15% ao ano, determinar qual a localização mais adequada, utilizando o método do Valor Uniforme Líquido.

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29

2.3.3 Alternativas de durações desiguais Valem aqui as mesmas observações já apresentadas pelo método do VPL. Para cada alternativa consideramos uma duração igual ao m.m.c. das durações. Cada duração original é considerada como sendo um ciclo que se repete até esgotar a duração do m.m.c. O VUL de cada alternativa será o mesmo VUL na repetição do ciclo. Portanto, não há necessidade, nesse método de achar o m.m.c. de cada alternativa, pois os valores do VUL da alternativa original serão iguais ao VUL na repetição do ciclo. Problema 33: Qual das alternativas mutuamente exclusivas X e Y, deve ser escolhida se o custo do capital é de 10% a.a.? Utilizar o método do VUL.  Alternativa

Ano 0

Ano 1

 Ano 2

K

-$10

$6

$6

L

-$9

$4

$4

 Ano 3 $4

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30

2.4 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO  A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa de juros que torna o valor presente líquido igual a zero. Ou seja, é nesta taxa que a somatória das receitas se torna igual à somatória dos dispêndios. VPL = B – C Se VPL = 0, então → B = C

VPL   I  

n

 FC t 

 1  i 

t 

t 1

0

Quando o VPL = 0, obteremos, em conseqüência, a taxa de retorno a qual seria muito apreciada se fosse superior ou no mínimo igual à TMA, ou seja: i*  TIR

e

ie  TMA

i*  ie

ou

TIR  TMA

Então se: 

i*  ie  aceita-se a proposta



i*  ie  rejeita-se a proposta

VPL VPL1

i1

TIR

i2

VPL2

Um método de resolução é por semelhança de triângulos.

i

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31

Problema 34: Uma firma industrial, desejando expandir sua capacidade produtiva, elaborou um projeto de viabilidade, cujas consequências econômicas prospectivas foram as discriminadas na tabela abaixo. Sendo a TMA para a empresa igual a 10% a.a., que recomendação deverá ser efetuada a respeito de sua expansão?

Período

Investimento necessário ($)

Receitas ($)

Custos ($)

Valor residual ($)

Fluxo de caixa do projeto ($)

0

-12.000

-

-

-

-12.000

1

-5.000

14.800

-14.650

-

-4.850

2

-4.000

29.550

-27.550

-

-2.000

3

-

32.225

-29.175

-

3.050

4

-

36.600

-29.920

-

3.680

5

-

36.600

-29.920

-

3.680

6

-

36.600

-29.920

-

3.680

7

-

36.600

-29.920

-

3.680

8

-

36.600

-29.920

-

3.680

9

-

36.600

-29.920

-

3.680

10

-

36.600

-29.920

-

3.680

11

-

36.600

-29.920

-

3.680

12

-

36.600

-29.920

-

3.680

13

-

36.600

-29.920

-

3.680

14

-

36.600

-29.920

-

3.680

15

-

36.600

-29.920

-

3.680

16

-

36.600

-29.920

-

3.680

17

-

36.600

-29.920

-

3.680

18

-

36.600

-29.920

-

3.680

19

-

36.600

-29.920

-

3.680

20

-

36.600

-29.920

6.965

10.645

Resolução:

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2.5 MÉTODO DO PAYBACK DESCONTADO O “payback” descontado consiste na determinação do número de períodos necessários para recuperar o capital investido. Então a empresa, baseada nos padrões de tempo para recuperação do investimento, decide sobre a aceitação ou não do projeto.

VPL   I  

n

 FC t 

 1  i  t 1

t 

Problema 35: Uma alternativa de investimento requer um desembolso inicial de $200.000, e gera fluxos de caixa de $75.000 por ano. Sendo o c usto do capital de 15% a.a., em quanto tempo este capital será recuperado?

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34

3. DEPRECIAÇÃO: Método de Depreciação Linear Depreciação: é a diminuição do valor de um bem resultante do desgaste pelo uso, ação da natureza ou obsolescência normal. A depreciação pode ser real ou contábil. Depreciação Real: é diminuição efetiva do valor de um bem resultante do desgaste pelo uso, ação da natureza ou obsolescência normal. Como exemplo, podemos citar a diminuição efetivado valor de uma ferramenta motivada pelo desgaste físico, a diminuição do valor de uma TV pelo uso ou diminuição do valor de uma máquina fotográfica pela obsolescência. Depreciação Contábil: é a diminuição do valor contábil de um bem, resultante do decurso do prazo decorrido desde a sua aquisição até o instante atribuído ao desgaste físico, ao uso e à obsolescência.

 A depreciação linear é assim calculada: Onde:

 D 

1  x P   R  n

D = depreciação periódica P = custo do bem adquirido R = valor residual n = número de períodos da vida útil contábil

4 INFLUÊNCIA DO IMPOSTO DE RENDA NA COMPARAÇÃO ENTRE  ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO Uma empresa seja ela de qualquer natureza (industrial, comercial etc.) caracterizase pela existência de documento fiscal chamado Contrato Social que compõe a relação das atividades que serão exercidas (Objetivo ou Objeto Social) e que determinarão o enquadramento da empresa perante suas obrigações (impostos, taxas, encargos e etc.) com os governos federal, estadual e municipal. Um dos impostos a serem devidos é o Imposto de Renda, que é igual a uma porcentagem aplicada sobre os lucros demonstrados pelo Balanço Geral Anual. O lucro é a diferença entre a Receita anual e a Despesa anual. Contabilmente, qualquer gasto de dinheiro de uma empresa pode ser considerado Despesa se ele se referir à aquisição de objetos ou serviços, tendo finalidades dirigidas ao Objeto Social. Se a aquisição for de utilização curta (material de escritório, MP, etc.) seu lançamento contábil como despesa é realizado juntamente com seu pagamento.

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35

Se a aquisição for de um bem de utilização relativamente longa (compra de equipamento, automóvel, etc.) o gasto de dinheiro realizado para sua aquisição será contabilizado como despesa durante tantos meses quanto forem os meses de sua depreciação, mesmo que seu pagamento tenha sido feito a vista. Problema 36: Uma empresa industrial deseja utilizar um equipamento e está em dúvida se deve comprá-lo ou aluga-lo. O equipamento tem uma vida contábil de 10 anos, sendo o seu custo, a vista, igual a $300.000,00. A conservação anual deste equipamento é igual a $12.000,00. Pretende-se vender o equipamento após 10 anos por $30.000,00. Por outro lado, o equipamento poderia ser alugado por $60.000,00 anuais. Considerando que a empresa paga 35% de Imposto de Renda e que é de 10% a.a. a taxa mínima de atratividade, dizer qual a melhor alternativa.

 Mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alternativa: Compra Fx Cx antes

Depreciação

Lucro Trib.

IR

Fx Cx após o IR

do IR (a)

anual (b)

c=a+b

d = 0,4 x c

e=a+d

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36

 Mês

Alternativa: Aluguel Fx Cx antes

Depreciação

Lucro Trib.

IR

Fx Cx após o IR

do IR (a)

anual (b)

c=a+b

d = 0,4 x c

e=a+d

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS Quando um equipamento está em uso, há ocasiões em que convém analisar a conveniência ou não de uma eventual substituição. As principais razões para uma substituição são: 1. custo exagerado da operação e da manutenção devido a desgaste físico: 2. inadequação para atender a demanda atual; 3. obsolescência em comparação aos equipamentos tecnologicamente melhores e que produzem produtos de melhor qualidade; 4. possibilidade de locação de equipamentos similares com vantagens relacionadas com o Imposto de Renda. 5.1 HORIZONTE DO PLANEJAMENTO Chamamos de horizonte de planejamento ao limite do prazo analisado. Esse horizonte de planejamento também será o limite do prazo onde analisaremos todas as alternativas existentes para essa substituição. 5.2 SUBSTITUIÇÃO DE UM EQUIPAMENTO POR OUTRO SELECIONADO ENTRE DOIS OUTROS COM VIDAS ÚTEIS IGUAIS Problema 37: Uma empresa adquiriu há 5 anos um equipamento por $5.000.000,00, possuindo vida útil contábil de 15 anos, com valor residual nulo e custos operacionais iguais a $800.000,00 por ano. A empresa paga 40% de IR e sua taxa mínima de

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atratividade é de 20% a.a. Este equipamento possui hoje um valor de mercado igual a $750.000,00. Em virtude da inadequação de atendimento à demanda atual, a empresa decidiu substituir o equipamento por outro a ser selecionado entre dois equipamentos tecnicamente equivalentes. O equipamento K custa $2.000.000,00 e tem uma vida útil contábil de 10 anos, custos operacionais de $500.000,00 por ano e poderá ser vendido no final da vida útil por $400.000,00. O equipamento L custa $4.000.000,00, tem uma vida útil contábil de 10 anos, custos operacionais de $200.000,00 por ano e poderá ser vendido no final da vida útil por $800.000,00. Qual equipamento que deve ser selecionado? 

Mês

Equipamento K: Fx Cx antes Depreciação

do IR (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * Depreciação anual: ** Despesa contábil = D =

anual (b)

Lucro Trib.

IR

Fx Cx após o IR

c=a+b

d = 0,4 x c

e=a+d

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38 

Mês

Equipamento L: Fx Cx antes do Depreciação anual

IR (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * Depreciação anual: ** Despesa contábil = D =

(b)

Lucro Trib.

IR

Fx Cx após o

c=a+b

d = 0,4 x c

IR e = a + d