Apostila de Trigonometria Esférica e Ortodromia by CLC Vivekananda

CENTRO DE INSTRUÇÃO ALMIRANTER BRAZ DE AGUIAR  – CIABA

TRIGONOMETRIA ESFÉRICA & NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICA

POR

PROF. CLC CLC J. VIVEKANANDA VIVEKANANDA

2009

Prefácio

 A Trigonometria Esférica estuda as relações entre os elementos de elementos de um triângulo esférico. Qualquer triângulo plano, ou esférico, é composto de três lados e três ângulos, sendo, portanto, seis elementos  elementos  no total. As relações entre eles, os elementos, servem para resolver os triângulos esféricos, o que significa calcular três desses elementos quando elementos quando são conhecidos os outros três.  A grande aplicação da Trigonometria Esférica  para o Oficial de Náutica é na navegação, seja a Astronômica ou Ortodrômica. Na primeira, quando se considera o céu como uma esfera de raio infinito e a terra como o centro dessa esfera, a Trigonometria Esférica é aplicada com extrema propriedade visto que existe íntima relação entre ela e o sistema de coordenadas geográficas, no qual se considera a terra como uma perfeita esfera. esfera. Na segunda, também a Trigonometria Esférica é relacionada com o sistema de coordenadas geográficas, o qual, em suma, é o responsável pelo posicionamento de qualquer lugar ou embarcação na superfície do nosso planeta. Nesta publicação estudaremos, da Trigonometria Esférica, o necessário e suficiente para que possamos aplicá-la na Navegação Ortodrômica. É importante observar que os princípios matemáticos necessários ao estudo que ora apresentamos serão sucintamente aqui explicados, simplesmente para que o leitor não venha a necessitar folhear outra qualquer publicação, motivado pelo esquecimento ou desconhecimento daqueles princípios.

O AUTOR

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Prefácio

 A Trigonometria Esférica estuda as relações entre os elementos de elementos de um triângulo esférico. Qualquer triângulo plano, ou esférico, é composto de três lados e três ângulos, sendo, portanto, seis elementos  elementos  no total. As relações entre eles, os elementos, servem para resolver os triângulos esféricos, o que significa calcular três desses elementos quando elementos quando são conhecidos os outros três.  A grande aplicação da Trigonometria Esférica  para o Oficial de Náutica é na navegação, seja a Astronômica ou Ortodrômica. Na primeira, quando se considera o céu como uma esfera de raio infinito e a terra como o centro dessa esfera, a Trigonometria Esférica é aplicada com extrema propriedade visto que existe íntima relação entre ela e o sistema de coordenadas geográficas, no qual se considera a terra como uma perfeita esfera. esfera. Na segunda, também a Trigonometria Esférica é relacionada com o sistema de coordenadas geográficas, o qual, em suma, é o responsável pelo posicionamento de qualquer lugar ou embarcação na superfície do nosso planeta. Nesta publicação estudaremos, da Trigonometria Esférica, o necessário e suficiente para que possamos aplicá-la na Navegação Ortodrômica. É importante observar que os princípios matemáticos necessários ao estudo que ora apresentamos serão sucintamente aqui explicados, simplesmente para que o leitor não venha a necessitar folhear outra qualquer publicação, motivado pelo esquecimento ou desconhecimento daqueles princípios.

O AUTOR

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SUMÁRIO Prefácio

Unidade de Ensino I – A forma da terra................................................01 1.1 Conceitos preliminares indispensáveis indispensáveis para o estudo da trigonometria esférica.

Unidade de Ensino II - Fundamentos da Trigonometria Esférica.....................02 2.1 planos e esfera .............................................................................02 2.2 polos .............................................................................................02 2.3 meridianos, paralelos e equador..................................................03 2.4 a menor distância entre dois pontos ...........................................03 2.5 triângulo esférico ......................................................................04 2.6 propriedades gerais dos triângulos esféricos ..........................07 2.7 particularidades dos triângulos esféricos .................................08 2.8 relações entre os elementos de um triângulo esférico ............09 lei dos cosenos para os lados ................................................09 lei dos cosenos para os ângulos .............................................11 lei dos senos ............................................................................12 lei das tangentes ......................................................................12 usando calculadoras de bolso ..................................................14 aplicando logaritmos ...............................................................17 resolução pelo Excel ............................................................ 21 triângulos esféricos retângulos..................................................26 as dez fórmulas .......................................................................27 as analogias de NEPER ................................................................29

CAPÍTULO III – Navegação Ortodrômica ............................................32 3.1 navegação ortodrômica por pontos e por rumos iniciais ....... 33 3.2 casos particulares da navegação ortodrômica .......................33 3.3 o primeiro triângulo da ortodromia .........................................34 3.3 a diferença de longitude ( ) e o caminho em longitude ......37 3.4 os sentidos leste e oeste ......................................................37 3.5 constantes do círculo máximo ..........................................38 3

3.6 cálculo da distância ortodrômica ............................................39 3.7 distância ortodrômica pelo Excel ..........................................41 3.8 convertendo o ângulo de partida (Pt) em rumo inicial (Ri) ....44 3.9 rumo inicial pelo Excel ............................................................45

CAPÍTULO IV - Vertexes de uma derrota ortodrômica ......................54 4.1 cálculo das constantes do círculo máximo ........................ .....55 4.2 cálculo das coordenadas dos vertexes ...................................57 4.3 cálculo das constantes do círculo máximo pelo Excel ............58 4.4 visão básica dos vertexes ........................................................62

CAPÍTULO V - INFORMÁTICA APLICADA À ORTODROMA ...........67

5.1 a planilha do Excel ...................................................................67 5.2 inserindo dados ........................................................................68 5.3 calculando a diferença de longitude .......................................69 5.4 cálculo da distância a navegar .................................................72 5.5 cálculo do rumo inicial ............................................................72 5.6 cálculo de

e .........................................................................73

4

UNIDADE 1. A FORMA DA TERRA  A Terra, todos sabemos, não tem a forma perfeitamente esférica mas, sabemos também, pode vir a ser considerada assim, dada a diminuta diferença entre seus dois diâmetros (o maior, que é o equatorial e o menor que é o polar, diferentes em cerca de 40 km ou achatamento, em km, de 12.756/12.716). Para as navegações, então, A TERRA É UMA ESFERA e, sendo assim, devemos estudá-la como tal e, ao navegar em sua superfície, fazê-lo cônscios de que: a)

cada ponto de sua superfície admite um único plano tangente a ela como esfera;

b)

cada plano tangente a ela dista de seu centro de um valor linear igual à medida de seu raio, considerado a metade da média aritmética entre os seus diâmetros, o maior e o menor;

c)

seus diâmetros polar e equatorial são, em tese, iguais;

d)

seus “círculos máximos” são intercessões da sua superfície com planos que lhes contém o centro e todos os demais círculos, formados em sua superfície, oriundos de planos que não contenham seu centro, serão chamados de “círculos menores”;

e)

por dois pontos quaisquer de sua superfície, desde que não diametralmente opostos, admite-se passar um único círculo máximo;

f)

que qualquer de seus círculos máximos tem comprimento igual a medida linear de 2.π.r , onde r  é a medida de seu raio;

g)

que o equador terrestre, equivalendo a 360º, tem 60 x 360 = 21.600 minutos de arco;

5

h)

que cada minuto de arco, de qualquer de seus círculos máximos, equivale a uma milha náutica (1 M) ou 1853 metros;

i)

a menor distância a se navegar entre dois pontos de sua superfície é um arco de círculo máximo;

 j)

ORTODROMIA é navegação feita sobre um círculo máximo, assim como LOXODROMIA é navegação feita fora de círculo máximo.

Plano de Círculo Menor Círculo Menor

Círculo Máximo

Plano de Círculo Máximo

Figura 1 - O círculo máximo é originado de plano que passa pelo centro da esfera, o círculo menor , por plano que não passa pelo centro da esfera.

6

2. FUNDAMENTOS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA 2.1 - Planos e Esfera Uma esfera pode ser apenas tocada por um plano, em um único ponto, tangenciando-a, ou pode cortá-la, separando-a em duas partes. No segundo caso o plano determina, na sua intercessão com a superfície da esfera, uma figura geométrica plana chamada círculo. Se o plano, ao cortar a esfera, passar pelo seu centro, chamar-se-á plano

de círculo máximo; caso não passe pelo centro, tomará o nome de plano de círculo menor.  A explicação desses nomes é muito simples: O círculo obtido da intercessão de uma esfera por um plano terá o máximo diâmetro possível (igual ao diâmetro da esfera) se o plano contiver o centro da esfera, determinando, então, o círculo

máximo; todos os outros determinados por planos paralelos a este, serão, assim, menores.

Plano de Círculo Máximo

Círculo máximo centro

Figura 2 – Um círculo máximo e o plano que o gera.

7

2.2 - Polos  Ao cortar uma esfera, além do círculo que fica determinado pela sua intercessão com a superfície da esfera, o plano determinará também os dois pontos mais distantes, também da superfície da esfera, de si, plano. A esses dois pontos chamamos polos:  Polo

Plano de Círculo

Círculo menor 

Menor 

centro

Polo

Figura 3 – Um círculo menor e o plano que o gera.

2.3 - Meridianos, Paralelos e Equador  A T erra tem a forma de um elipsóide de revolução, isto é: “De uma esfera com achatamento nos pólos”, mas para o estudo das Navegações ela é considerada

de forma esférica. Essa é a razão de se estudar os Princípios da Trigonometria Esférica.

8

Os m e r i d i a n o s   e o e q u a d o r   terrestres são círculos máximos. Já os paralelos  , são círculos menores.

2.4 A menor distância entre dois pontos  A menor distância entre dois pontos quaisquer da superfície de uma esfera é um arco de círculo máximo.

Figura 4 – A menor distância entre dois pontos da superfície de uma esfera.

2.5 Triângulo Esférico Conceito É qualquer parte da superfície de uma esfera, limitada pelas seções de três círculos máximos que se interceptam dois a dois. É qualquer das partes triangulares da superfície de uma esfera quando esta é cortada por três planos de círculo máximo que se interceptam. Lembremos que um plano qualquer que intercepta uma esfera resulta em uma figura geométrica chamada círculo. Esse círculo será máximo (o maior obtido nessa mesma esfera, por ter seu raio igual ao da esfera) se o plano que o determina contiver o centro dessa esfera. Nesse caso, tal plano chamar-se-á Plano de Círculo Máximo. Se um plano corta uma esfera sem passar pelo seu centro, este não será de círculo máximo pois determinará, na sua intercessão com a superfície dessa esfera, um chamado círculo menor , já que sempre poderemos obter círculos maiores que este, a medida que aproximarmos o plano do centro da esfera.

Triângulos esféricos somente podem ser originados de planos de círculos máximos. Imaginemos uma esfera como, por exemplo, um melão perfeitamente esférico, sendo cortado por um plano de círculo máximo, que, no caso, seria uma faca que o cortasse passando exatamente pelo seu centro. Nesse caso teríamos apenas um plano cortando a esfera, o que, evidentemente, a separaria em duas 9

metades, mas nenhuma das superfícies (as cascas das duas metades) seria uma superfície triangular, logo, não temos triângulos esféricos quando apenas um plano de círculo máximo secciona a esfera.

Figura 5 - Quando um único plano de círculo máximo secciona uma esfera, as duas semi-esferas resultantes não tem superfícies triangulares, não constituindo Triângulo Esférico.  Agora imaginemos dois planos (  e ), ambos de círculo máximo, seccionando uma mesma esfera, como se fizéssemos dois cortes no mesmo melão, ambos passando pelo centro da fruta, de modo a dividi-la em quatro partes. Ainda assim não teríamos, em nenhuma das cascas dessas partes (quatro gomos), superfície triangular. Daí deduzimos que, também não temos nenhum triângulo esférico formado na superfície de uma esfera quando apenas dois planos de círculo máximo a interceptam.

10



 



Figura 6 - Dois planos de círculo máximo que seccionam uma esfera, dividem-na em quatro gomos, cujas superfícies não são triangulares.

 Ao analisarmos um dos quatro gomos que resultaram do corte da esfera por dois planos de círculo máximo, veremos que a superfície desse gomo não é triangular justamente porque os encontros das seções de círculo, pertencentes a este único gomo, são apenas duas (dois vértices), não caracterizando a formação de triângulo na seção de superfície esférica desse gomo:

Figura 7 - Dois planos de círculo máximo que seccionam uma esfera, dividem-na em superfícies que não são triangulares. Consideremos agora a esfera seccionada por três planos de círculo máximo. É como se cortássemos o melão esférico com três golpes de faca, todos esses golpes passando bem ao centro do melão. Desse modo teríamos o melão dividido em oito partes, sendo que a seção da superfície esférica de cada uma dessas partes (onde estaria a casca) seria um triângulo esférico. Assim, quando dividimos uma 11

esfera por três planos concorrentes no centro dessa esfera (planos de círculo máximo), determinamos, em sua superfície, oito triângulos esféricos, iguais dois a dois se os ângulos entre os planos forem desiguais entre si. Se dois dos ângulos formados entre os planos forem iguais entre si e diferentes do terceiro, teremos quatro triângulos iguais entre si e diferentes dos outros quatro que, por sua vez, serão também iguais entre si. Finalmente, se os três ângulos formados pela intercessão dos três planos forem todos iguais, o que acontece quando estes planos são perpendiculares entre si, teremos os oito triângulos iguais entre si. Para representarmos uma esfera, naturalmente tridimensional, num plano só, no caso o plano do papel, temos que considerar que um dos três planos é sempre o próprio papel, o qual chamaremos de  :  

D

’

C

B

A C



E

Figura 8 – A esfera seccionada por três planos de círculo máximo, ortogonais entre si. Do anteriormente exposto, concluímos que será facilitado o estudo da Trigonometria Esférica se nos limitarmos aos estudo dos menores  triângulos formados na superfície da esfera cortada por três planos de círculo máximo (planos formando ângulos desiguais entre si) porque, sendo eles apenas dois e iguais entre si, resumiríamos nosso estudo ao estabelecimento das relações entre os elementos de um só triângulo esférico. Assim é feito e, em qualquer situação em que tenhamos três círculos máximos a determinar oito superfícies esféricas, apenas uma delas, o 12

chamado

Triângulo

Esférico,

é

estudado

pela

Trigonometria

Esférica,

estabelecendo-se, para isso, algumas regras às quais chamaremos de propriedades dos triângulos esféricos, vistas a seguir.

2.6 - Propriedades Gerais dos Triângulos Esféricos. Em um triângulo ABC, onde os vértices são representados por letras maiúsculas e os lados por letras minúsculas: A

c b B C

a

Figura 9 – Um triângulo esférico qualquer ABC 1a ) A soma dos lados é maior do que 0 0 e menor do que 360 0 .

00 < a +b + c < 3600 2a) Qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença dos outro dois lados.

a+b>c>a-c a+c>b>a-c b+c>a>b-c

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3a) Os lados e os ângulos opõem-se na ordem sucessiva de suas respectivas grandezas: - Aos maiores ângulos opõem-se os maiores lados e vice-versa. - Aos menores ângulos opõem-se os menores lados e vice-versa. - A ângulos iguais opõem-se lados iguais e vice-versa. 4a) A soma dos ângulos de um Triângulo Esférico é maior que 180 0 e menor que 5400.

1800 < A + B + C < 5400 5a) A soma de quaisquer dois de seus ângulos é menor que o terceiro aumentado de 1800.

A + B < C + 180o A + C < B + 180o B + C < A + 180o 6a) A diferença entre quaisquer dois de seus ângulos é menor que o suplemento do terceiro.

A - B < 180o - C e B - A < 180o - C A - C < 180o - B e C - A < 180o - B B - C < 180o -A e C - B < 180o - A Para que as propriedades dos Triângulos Esféricos sejam obedecidas, é aconselhável que na escolha do polo  (N ou S) como vértice do Triângulo da Ortodromia, quando os pontos de partida e chegada tem mesmo sinal de Latitude, escolhamos, como terceiro vértice, o polo de mesmo sinal delas.

2.7- Particularidades dos Triângulos Esféricos Os triângulos esféricos podem ser retângulos, bi-retângulos ou tri-

retângulos, conforme tenham um, dois ou três ângulos medindo 90 o, respectivamente; podem também ser retiláteros, bi-retiláteros ou tri-retiláteros, conforme tenham um, dois ou três lados medindo 90 o, respectivamente.

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2. 8 - Relações entre os elementos de um Triângulo Esférico.  As relações entre os seis elementos de um mesmo triângulo esférico, são estabelecidas principalmente por três leis, chamadas de Lei dos Cossenos para os Lados, Lei dos Cossenos para os Ângulos, Lei dos Senos e Lei das Tangentes. Tais leis são suficientes para resolver qualquer caso de triângulo esférico aplicado à Navegação.

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3. DEDUÇÃO DAS RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO 3.1 - Lei dos Cossenos para os Lados “O cosseno de qualquer dos lados é igual ao produto dos cossenos dos

outros dois somado com o produto dos senos desses outros dois, multiplicado ainda pelo cosseno do ângulo oposto ao lado pedido”. ou cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C  A dedução de tais fórmulas é feita da seguinte maneira:

Figura 10 – Um triângulo esférico traçado a partir do centro "O", da esfera Do centro O da esfera, com um compasso, traçamos o triângulo ABC na superfície esférica. Do centro O da esfera traçam-se os raios que unem o centro aos vértices do triângulo e prolongam-se dois deles. No ângulo A do triângulo ABC tira-se duas tangentes aos lados c e b até encontrar os prolongamentos dos raios que passam por B e C. Esses encontros chamam-se, respectivamente, B‟ e C‟. Unindo B‟ a C‟ teremos formados os triângulos AB‟C‟ e OB‟C‟.

Pela trigonometria plana sabemos que num triângulo qualquer ABC: a2 = b2 + c2- 2.b.c.cos A  Aplicando aos triângulos AB‟C‟ e OB‟C‟ da fig.: 16

(B‟C‟)2 =(AB‟)2 +(AC‟)2 - 2 (AB‟) (AC‟) COS A

 AB‟C‟ :

(B‟C‟)2 = (OB‟)2 + (OC‟)2 - 2(OB‟) (OC‟) COS a

 OB‟C‟ :

Igualando-se os dois valores temos: 2

2

2

2

(AB’)  + (AC’)  - 2 (AB’) (AC’) COS A = (OB’) + (OC’)  - 2(OB’) (OC’) COS a

Notando-se que (AB‟) = tg c ; (AC‟) = tg b ; (OB‟) = sec c e (OC‟) = sec b, substitui-se: tg2 c + tg2 b - 2 . tg b . tg c . cos A = sen2 c + sec2 b - 2 . sec b . sec c . cos a Transformando-se os valores de tangente e secante em função de seno e cosseno: cos A =

sen2 c cos2 c 1 cos2 c

+

+

sen2 b cos2 b

-2

sen b . sen c cos b . cos c

1 2 cos a 2 cos b cos b . cos c

Eliminando-se os denominadores ( m.m.c. = cos2 b . cos2 c ) : sen2 c . cos2 b + sen2 b . cos2 c - 2 . sen b . sen c . cos b . cos c . cos A = cos 2 b + cos2 c - 2cos b . cos c . cos a

Passando o 2 o membro para o 1 o: sen2 c . cos2 b + sen 2 b . cos 2 c - 2 . sen b . sen c . cos b . cos c . cos A - cos 2 b - cos2 c + 2cos b . cos c . cos a = 0

Colocando-se em evidência (cos 2 b . cos2 c) : cos2 b (sen 2 c-1) + cos2 c (sen 2 b-1) -2sen b . sen c . cos b . cos c . cos A-cos 2 b-cos2 c+2cos b. cos c . cos A = 0

Como, pela trigonometria plana, sabemos que sen2 b + cos2 b= 1

;

sen 2 b - 1 = cos2 b

sen2 c + cos 2 c= 1

;

sen 2 c - 1 = cos 2 c 17

Substituímos: -cos2 b . cos2 c - cos c . cos 2 b - 2 sen b . sen c . cos b . cos c. cos A + 2 cos b . cos c . cos a = 0 -2 cos2 c.cos2 b - 2 sen b . sen c . cos b . cos c. cos A + 2 cos b . cos c .cos a = 0

Multiplicando ambos os membros por  – 2 / (cos b . cos c), fica: cos b . cos c + sen b . sen c . cos A - cos a = 0

onde: cos a = cos b . cos c + sen b . sen c cos A

Se tirarmos as tangentes aos outros dois ângulos: cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C

- Aplicação da Lei dos cossenos para os lados.  Ao verificarmos o conjunto das três fórmulas oriundas da Lei dos Cossenos para os lados percebemos que essas fórmulas relacionam os três lados e um dos ângulos de um triângulo esférico qualquer. Assim, deduzimos que tal lei serve para resolvermos dois tipos de problemas: a) Quando são dados os três lados (e aí então calcula-se cada um dos ângulos); ou b) Quando são dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles ( aí então calcula-se o terceiro lado e, já com os três lados, caímos no item a , onde são dados os três lados, para calcular os elementos que faltam.

3.2 - Lei dos Cossenos para os Ângulos. “O cosseno de qualquer dos ângulos de um triângulo esférico é igual ao

produto negativo dos cossenos dos outros dois ângulos, somado com o a multiplicação do produto de seus senos pelo cosseno do lado oposto ao ângulo que se quer calcular”:

18

cos A = - cos B . cos C + sen B . sen C . cos a cos B = - cos A . cos C + sen A . sen C . cos b cos C = - cos A . cos B + sen A . sen B . cos c  Aplicação da Lei dos Cossenos para os Ângulos.  As fórmulas resultantes dessa Lei, como o leitor já deve ter observado, relacionam os três ângulos e o lado oposto a um deles. Com tais fórmulas poderemos resolver também dois tipos de problemas: a) Quando são dados os três ângulos (e aí se calculam cada um dos lados); ou b) Quando são dados dois ângulos e o lado compreendido entre eles (nesse caso calcula-se o terceiro ângulo e prosseguimos resolvendo o triângulo já com os três ângulos conhecidos).

3.3 Lei dos Senos “Os lados são proporcionais aos seus ângulos opostos”.

 A Lei dos Senos resolve problemas quando: - São dados dois lados e o ângulo adjacente a um deles e - São dados dois ângulos e o lado adjacente a um, deles.  Aplicação da Lei dos Senos. Essa Lei relaciona tanto dois lados e o ângulo oposto a um deles como dois ângulos e o lado oposto a um deles. Dessa maneira, quando são dados dois lados e o ângulo oposto a um deles, pode-se calcular o ângulo oposto ao outro lado dado. Quando são dados dois ângulos e o lado oposto a um deles, pode-se calcular o ângulo oposto ao outro lado dado. 19

3.4 Lei das tangentes Em um Triângulo Esférico qualquer, ABC, se são conhecidos dois lados e o ângulo compreendido entre eles, podemos calcular um dos outros ângulos aplicando a relação:

a

C b c

B

A

Figura 11 – Triângulo esférico genérico ABC

O resumo da teoria sobre Trigonometria Esférica até aqui estudado é suficiente para que se aplique ao nosso objetivo maior que é a Navegação (tanto a  Astronômica quanto a Ortodrômica). Desta forma, evitaremos prolongar ou aprofundar esse estudo matemático sem resultados práticos, passando diretamente a exercitar em resoluções de problemas sobre triângulos esféricos quaisquer, aquilo que já aprendemos.

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Exercício Resolvido de Aplicação da LEI DOS COSSENOS PARA OS LADOS: - Aplicando arcos notáveis: Sabendo-se que, num triângulo esférico qualquer, a = 60 0 ; b = 450 e c = 45 0 , pede-se calcular o ângulo A : Solução: Cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A cos a - cos b . cos c Cos A = sen b . sen c

1/2 - 2/2 . 2/2 Cos A =

1/2 - 1/2 =

2/2 . 2/2

=0 1/2

 A = 900 Note-se que quando aplicamos os arcos notáveis  como valores dos elementos dados, para a resolução de um triângulo, o problema torna-se extremamente fácil, haja vista que não necessitamos consultar as Tábuas de Funções Trigonométricas já que temos memorizados os valores das funções trigonométricas daqueles arcos. Mas, na prática, isso geralmente não acontece e sempre nos deparamos com a necessidade de utilizar aquelas Tábuas e trabalhar com valores numéricos de, no mínimo, cinco casas decimais, que é o que dá a aproximação dos décimos de minuto de arco nas respostas.

21

4. RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS DE TRIÂNGULO ESFÉRICO 4.1 - Usando calculadoras de bolso.  Ao usarmos calculadora de bolso (científica) eliminamos, logicamente, a necessidade de utilização das Tábuas. Nelas podemos encontrar as teclas sen

cos

F

com as quais podemos resolver nossos problemas e,

caso sua calculadora tenha mais de uma memória será ainda mais facilitado o trabalho. Com a tecla

0

‘“

, caso exista na calculadora, o usuário pode digitar

diretamente os graus, minutos e décimos, sem ter a necessidade de transformar todos os arcos (dados em grau, minuto e décimo de minuto) para valores de grau e décimos de grau.

Quando trabalhamos com calculadora de bolso é importante definir, antes de qualquer operação, se a unidade de arco utilizada será o Grau, o Radiano ou o Grado. Estas unidades são indicadas pelas calculadoras como DEG, RAD e GRAD, respectivamente. É natural que o navegador prefira sempre trabalhar em Graus porque tanto os dados dos problemas devem estar sempre nessa unidade ( porque são latitudes e longitudes lidos nas Cartas Náuticas, em graus), como também os resultados obtidos, como o Rumo, são aplicados, na prática, em um Piloto Automático cuja Rosa de Manobras também está subdividida em graus e minutos de arco de horizonte. Exemplo: Dados :

a = 1360 02.9‟ ; b = 210 46.3‟ ; C  = 750 31.4‟

Calcular o lado c . Resolução:  A fórmula a ser aplicada será: cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C  1. Verificar se a calculadora está pronta para trabalhar em Graus (DEG), caso negativo, prepará-la para tal. 2. Dividir os minutos de a (2.9) por 60 e somar com os graus correspondentes (136), do resultado determina-se o cosseno: 22

(se sua calculadora tiver a tecla

0 

‘ “ digite diretamente os graus inteiros seguidos

dessa tecla, depois digite os minutos e décimos e novamente a mesma tecla: no visor já será apresentado o valor transformado para graus e décimos de graus,  pronto para ser determinado o cosseno).



2.9

60

+

136

=

cos

Se sua calculadora tiver várias memórias, armazene este resultado na

memória 1; caso ela só tenha uma só memória anote este resultado a parte ou substitua na própria fórmula arredondando-o para a quinta casa decimal. 3) Proceda com b como fez com a :



46.3

60

+

21

=

cos

 Armazene o resultado na memória 2, ou substitua-o na fórmula (com cinco casas decimais, no mínimo) 4) Repita a operação 2 trocando a tecla cos  pela tecla sen. Substitua o resultado na fórmula (sempre com um mínimo de 5 decimais) ou armazene na

memória 3. 2.9



60

+

136

=

sen

5) Repita a operação 3 trocando a tecla cos  pela tecla sen. Substitua o resultado na fórmula (sempre com um mínimo de 5 decimais) ou armazene na

memória 4. 46.3

 

60

+

21

=

sen

6) Repita a operação 3 trocando os valores de graus e minutos de b  pelos valores de C . 31.4



60

+

75

=

cos

Substitua na fórmula ou armazene na memória 5.

23

7) Resolva a equação armada só com os valores numéricos que você substituiu na fórmula (ou multiplique a memória 1  pela 2 , armazenando esse resultado na memória 6; multiplique também as memórias 3, 4 e 5  entre elas e armazene o resultado na memória 7, e some os resultados das memórias 6 e 7). 8) O resultado da operação anterior (7) será o cos C , a partir do qual você calculará o valor do  Arc cos C   que, em certas calculadoras, é obtido teclando INV  antes do Cos e , em outras, tecla-se F   antes de Cos. Estando no visor da calculadora o resultado 0.89268   da operação 8 , simplesmente tecla-se F

cos

ou

INV

O resultado aparecerá no visor como

cos

127,17333 , em graus e décimos de grau.

9) O resultado em graus, minutos e décimos de minuto será obtido, nas calculadoras que tem a tecla

0

calculadoras que não tem a tecla

„ “ , diretamente ao apertarmos essa tecla. Nas 0

„ “  precisaremos anotar o valor dos graus

inteiros e multiplicar o valor dos décimos de grau por 60 para determinarmos os minutos e décimos. O resultado será 127 0 10.4‟.

4.2 - Aplicando logaritmos Quando não dispomos de calculadoras de bolso, além da necessidade de procurar os valores das funções trigonométricas nas Tábuas, temos ainda que executar as operações de multiplicação e divisão entre aqueles valores, que tornam as operações extremamente demoradas e sujeitas a erros, já que temos que utilizar sempre o mínimo de cinco casas decimais. Nesse caso é preferível logaritimar as expressões já que, como sabemos, uma das principais utilidades dos logaritimos é transformar multiplicações em somas, e divisões em subtrações, segundo duas de suas propriedades:

24

log ( a . b ) = log a + log b log ( a / b ) = log a - log b  Assim, quando se calcula, por exemplo, um dos ângulos de um triângulo esférico qualquer, a partir dos três lados dados, aplicamos o logaritmo da seguinte maneira: Dados:

os lados

Calcular: o ângulo

a, b,c   A.

cos a = cos b . cos c   + sen b . sen c  . cos A cos a - cos b . cos c  cos A = sen b . sen c  cos a 

cos b . cos c 

cos A =

sen b. sen c  

sen b . sen c 

cos a  fazendo

x=

cos b. cos c  e

y=

sen b . sen c  

sen b . sen c 

e, logaritimando ( na base 10 por ser mais comum), fica : log x = log cos a - log sen b - log sen c  ;

log y = log cos b + log cos c  - log sen b -

log sen c  Como sabemos que

colog n  = - log n

,  podemos substituir os

LOGARITMOS negativos em cologarítimos, tornando todas as parcelas, de ambas as equações, positivas :

25

log x = log cos a + colog sen b + colog sen c  ; log y = log cos b + log cos c  + colog sen b + colog sen c   A forma usualmente dada à resolução destes problemas é: log cos a

=

log cos b =

colog sen b =

log cos c  =

colog sen c =

colog sen b = colog sen c =

log x =

log y = x=

y= cos A = x + y  A =

Nas resoluções dos problemas acima, chamamos atenção para os seguintes detalhes: - Quanto ao uso de tábuas: a) Quando utilizada a Tábua de Logaritmos das Funções Trigonométricas, obrigatoriamente teremos que considerar os sinais (positivo ou negativo) para x e para y, de acordo com os valores dos cossenos naturais das parcelas que constituem x e y. b) As Tábuas de Logaritmos das Funções Trigonométricas fornecem os valores com características negativas e mantissas positivas. Isto porque todos os valores dos cossenos e senos são maiores que zero e menores que um (arcos no primeiro quadrante), sendo, assim, as características de seus logaritimos, que representam o número de zeros antes do primeiro algarismo significativo, sempre números inteiros negativos ou subtraídos de dez. - Quanto ao uso de calculadoras: a) Quando usamos calculadora para resolver esses problemas (aplicando logaritmo) temos que trabalhar com os logarítmos em uma única base (geralmente 26

a base 10), já que as calculadoras quase sempre podem trabalhar também com a base e  (número neperiano) ou outra base qualquer. As calculadoras apresentam, em suas teclas, as iniciais Log  quando a base é decimal e Ln  quando a base é neperiana. b) Antes de teclarmos Log, depois de termos, no visor da calculadora, o valor de uma função trigonométrica, é necessário que se transforme esse valor em um valor positivo (caso ele seja negativo) sob pena de a calculadora indicar sinal de erro, já que, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Para inverter o sinal de um número negativo apresentado no visor da calculadora, basta que se aperte a tecla

+ -

O valor do logaritmo de um número encontrado na Tábua tem que ser o mesmo valor fornecido pela calculadora, depois de somado com 10, pois as calculadoras fornecem os valores com características e mantissas negativas. Em um triângulo esférico ABC, dados dois lados e o ângulo compreendido entre eles, calcular o terceiro lado. A

 A = 75O15‟4 ; b = 83o43‟8 ; c = 78o06‟4 Calcular o lado a

c

b a

B

C

Figura 12 – Triângulo ABC  Aplicando a Lei dos Cossenos para os Lados:

Cos a = Cos b . Cos c + Sen b . Sen c . Cos A - Por Função Natural: Cos a = Cos (83 o43‟8).Cos (78o06‟4) + Sen (83o43‟8) . Sen (78o06‟4). Cos (75o15‟4) = =

0,10921

.

0,20609

0,02251

a

+ +

0,99402 . 0,24754

0,97853 =

.

0,25449 0,27005

= 74o20’

27

Resolvendo por função logarítmica. Fazendo: (Cos b . Cos c) = x

e

(Sen b . Sen c . Cos A) = y

cos a = x + y resolvendo x e y: log x = log cos (83 o43‟8) + log cos (78o06‟4)

x

=

9.03828

=

0,02251

+

9.31406

= 8.35234

log y = log sen (83 o43‟8) + log sen (78 o06‟4) + log cos (75o15‟4)

y

=

9.99739

=

0,24754

+

9.99057

+

9.40567 =

9.39363

cos a = 0,02251 + 0,24754 = 0,27004

a = 074o20’ Resolvendo pelo Excel. Nas células G3 e H3, respectivamente, digitam-se as seguintes fórmulas:

G3=INT(GRAUS(ACOS(COS(RADIANOS(A4+B4/60))*COS(RADIANOS(C4+D4/60)) +SEN(RADIANOS(A4+B4/60))*SEN(RADIANOS(C4+D4/60))*COS(RADIANOS (E4+F4/60)))))

H3=60*((GRAUS(ACOS(COS(RADIANOS(A3+B3/60))*COS(RADIANOS(C3+D3/60) )+SEN(RADIANOS(A3+B3/60))*SEN(RADIANOS(C3+D3/60))*COS(RADIANOS(E3+ F3/60)))))-G3)

A

B

C

D

E

F

G

H

1

b

2

Gr

MIN

Gr

MIN

Gr

MIN

Gr

Min

3

83

43,8

78

6,4

75

15,4

74

20

c

A

a

28

Exercício de Aplicação da Lei dos Cossenos para os Ângulos (dados os três ângulos): - Aplicação da Lei dos Cossenos para os Ângulos. Grau

Min

 A

=

98

14,7

CosA= - cosB.cosC+senB.senC.cosa

B

=

33

42

cosa=(cosA+cosB.cosC)/(senB.senC)

C

=

57

11,8

x= (cosA)/(senB.senC)

cos A=

-0,1434

y= (cosB.cosC)/(senB.senC)

cos B=

0,83195

cos a=

x

cos C=

0,54176

cosa=

-0,3075

sen B=

0,55484

cosa=

0,658947

sen C=

0,84054

+

y +

0,966445

a=

48

log cosB=

9,920099

log cosC=

9,733805

46,8

log cosA sen A=

0,98966

=

9,156568

colog

colog

senB=

0,255829

senB=

colog

0,255829

colog

senC=

0,075444

senC=

0,075444

log x = x

=

9,48784

log y = 19,98518

-0,3075

y = 0,966445

cos a=

0,658947

a=

48,78035 48

46,8

cosB= - cosA.cosC+senA.senC.cosb cosb=(cosB+cosA.cosC)/(senA.senC) x = (cosB)/(senA.senC) y =(cosA.cosC)/(senA.senC) cosB= cos B = B =

x

+

1,000128

+

24

56,5

y

-0,09340

=

log cosA=

9,15657

log cosC=

9,73380

0,90673

log cosB =

9,92010

colog senA=

colog 0,004512

colog senC=

senA=

0,00451

colog 0,075444

senC=

0,07544 29

log x =

0,00006 x

log y = -1,02967

= 1,000128

y=

cos b=

0,90673

b=

24,94238

b=

24

-0,09340

56,5

Outros exercícios resolvidos pelas aplicações das duas leis dos cossenos (para os ângulos e para os lados). 1) Dados os lados a = 980 14.7‟ e

c  = 400 28.4‟

e o ângulo B = 1170 30.2‟ ,

Calcular o lado b . Solução: Grau

Min

a= 98

14.7

c= 40

28.4

B= 117

30.2

cosa= -0.14341

cos b = cos a . cos c + sen a .sen c . cos B x= cosa.cosc cos b =

y= sena.senc.cosb

x + y

cosb= -0.10909

+

-0.29665

cosb= -0.40574

b= 113

cosc= 0.760708

56.3

cosB= -0.4618

log cosa= 9.156568

log sena= 9.995488

sena= 0.989664

log cosc= 9.881218

log senc= 9.812308

senc= 0.649094 senB= 0.886984

log cosB= 9.664454 log x = 9.037786 x= 0.10909

log y = 9.47225 y= 0.296654

cosb= 0.405744 Com os lados a e c (dados) e o b (calculado) determinam-se os ângulos pela Lei dos Cosenos para os lados.

30

2) Calcular o ângulo A de um triângulo esférico, sabendo-se que seus lados valem: a = 1200 34.5‟

;

b = 1050 57.4‟

c  = 640 52.5‟

e

Solução: Grau

Min

a = 120

34.5

Cosa= cosb.cosc+senb.senc.cosA

b = 105

57.4

cosA=(cosa-cosb.cosc)/(senb.senc)

c

52.5

x= (cosa)/(senb.senc)

=

64

cos a= -0.50867

y= (cosb.cosc)/(senb.senc)

cos b= -0.27491

cos A=

cos c= 0.42459

cosA=

-0.58434

sen b= 0.96147

cosA=

-0.45025

x

sen c= 0.90538 sen a= 0.86096

-

y

-

-0.13409 A=

116

log cosb=

9.439191

log cosa = 9.70643

log cosc=

9.627974

colog senb= 0.01706

colog senb= 0.017064

colog senc= 0.04317

colog senc= 0.043167

log x

= 9.76666

log y =

19.12740

x = -0.58434

y=

-0.13409

cos A=

-0.45025

A=

116.7596

116

45.6

45.6

31

3) Calcular o lado a  do triângulo esférico que tem como ângulos  A = 1010 28.2‟ B = 750 36.8‟ C  = 530 22.1‟ Resolução: Grau

Min

 A

=

101

28.2

CosA= - cosB.cosC+senB.senC.cosa

B

=

75

36.8

cosa=(cosA+cosB.cosC)/(senB.senC)

C

=

53

22.1

x= (cosA)/(senB.senC)

cos A=

-0.1989

y= (cosB.cosC)/(senB.senC)

cos B=

0.24846

cos a=

cos C=

0.59667

cosa=

-0.25582 +

sen B=

0.96864

cosa=

-0.0651

sen C=

0.80249

sen A=

0.98003

x

+

y 0.19072

a= 93

44.0

log cosB= 9.395264 log

cosA 9.29854

log cosC= 9.775733

= colog

0.01384

colog

senB= colog

senB= 0.09556

colog

senC= Log x =

0.013837 0.095562

senC= 9.40793

log y = 19.28040

x = -0.2558

y = 0.19072

cos a= -0.0651 a = 93.73261 93

44.0

32

4) Calcular o ângulo C  do triângulo esférico que tem  A = 47 0 13.3‟ ; B = 1200 09.9‟ e c  = 1230 31.6‟. Resolução: Grau

Min

cosC = - cosA.cosB + senA.senB.cos c

 A=

47

13.3

x=

cosA.cosB

B=

120

9.9

cosC=

- x

c=

123

31.6

cosC=

-

y=senA.senB.cosc

+

y +

-0.3505

0.34127 4 cosA=

0.679164

cosC=

0.00922 7

cosB=

-0.50249

cosc=

-0.55233

C= log

90

31.7

9.83197

log senA= 9.86569

9.70113

log senB= 9.93681

cosA= senA=

0.733987

log cosB=

senB=

0.864582

senc=

0.833629

log cosc=

9.74219

log x =

9.5331

log y =

9.54469

x=

-0.34127

y=

-0.3505

33

5. TRIÂNGULOS ESFÉRICOS RETÂNGULOS. O caso particular dos triângulos retângulos, na Trigonometria Esférica, é largamente utilizado em resolução de problemas, tanto na Navegação Ortodrômica quanto na Navegação Astronômica. Esse caso particular, apesar de poder ser também resolvido pela aplicação das leis já aqui estudadas, merece, pela sua importância, um estudo mais detalhado, como faremos a seguir, pois este simplifica muito a memorização de suas fórmulas fundamentais e, consequentemente, aumenta a rapidez das resoluções desse tipo de problema. Quando se trata de um triângulo esférico retângulo, apenas dois de seus elementos devem ser dados do problema já que o terceiro é o próprio ângulo reto.  Assim, dados dois elementos quaisquer de um triângulo retângulo esférico, podemos calcular os outros três aplicando as Analogias de Neper .

5.1 - As dez fórmulas. Para resolver qualquer triângulo retângulo esférico é necessário o conhecimento de um conjunto de dez fórmulas, assim deduzidas:

Figura 13  – Triângulo esférico deduzido de triângulo plano.

Dado um triângulo ABC na superfície de uma esfera cujo centro é O, tal que esse triângulo tenha seu ângulo C   medindo 900, cujos lados a , b e c  menores que 900, unem-se os vértices desse triângulo de modo a formar o triedro O-ABC. Passando por B um plano perpendicular a OA, forma-se, nesse plano, o triângulo plano BDE. 34

Como OE é perpendicular ao plano BDE, também é perpendicular a EB e ED. Os triângulos BEO e DEO são, então, ambos retângulos, com seus ângulos retos em E. O ângulo BÊD mede o diedro B-OA-C (o ângulo A do triângulo esférico). Como o plano BDE é perpendicular a OE, também é perpendicular a OAC e sua intercessão nesse plano é OE. Sendo BD a intercessão dos planos OBC e BDE, ambos perpendiculares a ao plano OAC, é, também, perpendicular a OAC. Assim sendo, os triângulos BDO e BDE são retângulos, ambos com seus ângulos retos em D. Nos triângulos retângulos (1)

DB

(2) BDO, BDE e DEO: tg a =

OB

=

OB

(4)

DEO, BDE e BEO: tg b =

EB

=

OD

(3) BEO, DEO e BDO: cos c = OE

DB

=

BDO, BDE e BEO: sen a =

EB

x

ED

x

OB

= sen  Â . sen c  = tg  Â . sen b

OD

OE x

OD

OD

OB

OD = OB

ED x OD

EB OE

= cos b . cos a

= cos  Â . tg c

Trocando a  por b  e A por B nas fórmulas (1), (2) e (4), teremos: (5)

sen b = sen B . sen c

(6)

tg b = tg B . sen a

(7)

tg a  = cos B . tg c

O produto de (2) por (6) é tg a. tg b = tg A . tg B x sen a . sen b

a . sen b

Substituindo-se tg a por sen a  e tg b por cos a 

Teremos

_____1______

sen b e dividindo-se por sen sen b

= tg  A . tg B

cos a . cos b 35

substituindo-se em (3) , obtém-se

(8)

1 _________ cos c

= tg  A . tg B

ou

cos c = cotg A . cotg B Do produto de (5) por (4) obtém-se:

(9)

cos A  = sen B . cos a Do produto de (1) por (7) obtém-se:

(10)

cos B = sen A . cos b

5.2 - Analogias de Neper  A memorização das dez fórmulas acima pode ser feita com muita facilidade se usarmos o artifício de recorrer a um triângulo esquemático, obtido do triângulo esférico retângulo ABC, onde C = 90 0, o lado c  é substituído pelo seu complemento (900 - c), assim como os ângulos  A e B , tornando-os (90 0 - A) e (900 - B). Constróise um círculo, chamado Círculo de Neper , dividido em cinco partes, cada uma ocupada por um dos elementos do triângulo esquemático, rigorosamente na mesma ordem horária: co-B a

co-c co-A b

b a

co-A co-B co-c

Figura 14 – Comparação entre o triângulo esférico retângulo e o círculo de cinco setores, feita por Neper. No Circulo de Neper o elemento de qualquer dos setores terá sempre dois adjacentes e dois opostos, de tal maneira que as Regras de Neper   os associa, através de: I - O seno do meio é igual ao produto das tangentes dos adjacentes. II - O seno do maio é igual ao produto dos cossenos dos opostos. 36

Memorizados o círculo e as duas regras de Neper, poderemos deduzir qualquer das dez fórmulas que resolvem os triângulos retângulos esféricos.

5.3 Aplicações práticas A

c b C

a

B

Figura 15 – Triângulo esférico retângulo ABC Considerando o triângulo esférico da figura acima, retângulo em C , resolver os seguintes problemas: 1) Dados os lados a = 520 31.4‟ e b = 690 46.8‟ , calcular o ângulo A.  A. Resolução: Fazendo b  meio  (sendo  A e a adjacentes) e aplicando a primeira regra: sen b = tg a . tg (co- A)  A) donde

sen b = tg a . cotg A cotg A

Então: sen b  cotg A cotg A =

0,93837 =

tg a 

= 0,71943 1,30432

 A =  A = 540 16.0‟  Aplicando logaritmo: log sen b = 9.97237 colog tg a  = -0.11538 log cotg  A = 9.85699  A =  A = 540 16‟

37

2) Com os dados do problema anterior calcular o lado c  . Resolução: Fazendo co-c  co-c  ser  ser o meio (a  e  e b  sendo opostos), no Círculo de Neper: sen (co-c  (co-c ) = cos a . cos b cos c   = 0,60844 x 0,34563 cos c   = 0,21029 c  = 770 51.6‟  Aplicando logaritmo: log cos a = 9.78422 log cos b = 9.53861 log cos c   = 9.32283 c = 770 51.6‟ 3) Ainda considerando os dados do problema 1, indicar a fórmula utilizada para calcular o ângulo B. Resolução: Fazendo a  ser  ser meio, (co-B ) e b  serão adjacentes. Então sen a = tg (co-B (co-B) . tg b sen a cotg B = tg b

38

6. NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICA  A Navegação Ortodrômica é aquela em que o navio procura seguir um arco de círculo máximo limitado por dois pontos (o de partida e o de chegada). O objetivo desta navegação é seguir o menor percurso entre esses pontos, pois, como sabemos, na superfície de uma esfera (no caso a Terra), a menor distância entre dois pontos é exatamente o menor arco do círculo máximo que contém esses pontos. Por quaisquer dois pontos da superfície de uma esfera é possível, sempre, ser traçado um círculo máximo. Isto porque três pontos definem um plano e, nesse caso, além dos pontos de partida e de chegada, temos, como terceiro ponto, o centro da Esfera Terrestre. No caso da Terra (considerada esférica no nosso estudo), sejam quais forem os pontos de partida e chegada, sempre poderemos uni-los por um arco de círculo máximo. Em se tratando de portos, é evidente que nem sempre podemos seguir essa trajetória (navegando no círculo máximo que une os portos de partida e chegada) haja vista que podem haver obstáculos (terra, águas não navegáveis ou outros quaisquer) que nos impeçam de fazer tal navegação desde a saída de um porto até a chegada ao porto seguinte. Aí então, procuramos depois do porto de partida, um ponto que podemos considerar como inicial ou de partida e navegaremos até outro ponto (mesmo que este seja anterior ao porto de destino) que consideraremos como de chegada, daí seguindo em loxodromia até o porto de chegada ou até poder ser retomada a Navegação Ortodrômica. Quando navegamos em um círculo máximo temos a vantagem de percorrer o caminho mais curto. Mas para que se execute, na prática, tal navegação (Ortodrômica) se faz necessário que seja alterado o rumo do navio a maior quantidade de vezes possível já que, na verdade, o navio percorrerá as tangentes àquela curva. Isso acontece porque qualquer círculo máximo pertencente à esfera terrestre, não sendo ele o Equador ou um dos Meridianos, forma, em cada ponto da curva, um ângulo diferente com o meridiano que a intercepta naquele ponto. Assim, quanto mais vezes os rumos forem alterados, maior será o número de tangentes ao círculo máximo que procuramos seguir e, consequentemente, mais perfeita será a curva descrita pelo navio. 39

Cada vez que o rumo for alterado teremos que considerar a posição atual do navio (obtida por qualquer meio, como GPS, NAVSAT, Navegação Astronômica, etc.) como ponto de partida e, junto com o ponto de chegada (constante para toda a viagem), calcular o novo rumo (que geralmente é aplicado ao Piloto Automático levando em consideração (Erro ( Erro da Giro e abatimento), abatimento), o qual é considerado como

Rumo Inicial. 6.1 Navegação Ortodrômica por Pontos e por Rumos Iniciais.  A Navegação Ortodrômica por Pontos é aquela em que se traçam tangentes ao círculo máximo que pretendemos descrever com o navio e os encontros das sucessivas tangentes serão os pontos que constituem os objetivos intermediários do navio, isto é, os pontos que o navio deverá alcançar ( way points). points). É lógico que, sendo esses pontos pré-definidos, teremos instantes, também pré-determinados, para mudanças de rumo, ou seja, para mudanças da direção de uma tangente para a direção da tangente seguinte. Na Navegação Ortodrômica por Rumos Iniciais poderemos determinar, cada vez que obtemos uma Posição Observada, um novo Rumo Inicial.  Ambas as navegações acima descritas podem ser executadas nas cartas de Projeção Gnomônica, próprias para ortodromia, ou nas de Mercator (para loxodromia).

6.2 Casos Particulares de uma Navegação Ortodrômica. Existem dois casos em que podemos descrever um círculo máximo da superfície da Terra sem que tenhamos que mudar de rumo: a) Quando os pontos de partida e de chegada têm a mesma longitude . Neste caso navegaremos sempre sobre o mesmo meridiano (que é um círculo máximo) e o rumo será o mesmo durante toda a viagem: 000 0  se o ponto de chegada estiver ao norte do ponto de partida ou 180 0 se o ponto de chegada estiver ao sul do ponto de partida. b) Quando os pontos de partida e de chegada têm latitudes nulas . Sendo as latitudes de partida e chegada ambas iguais a zero, navegaremos sempre sobre 40

o Equador  (que é também um círculo máximo) e o rumo será o mesmo durante toda a viagem: 090 0 se o ponto de chegada estiver a Leste do ponto de partida ou 270 0 se o ponto de chegada estiver a Oeste do ponto de partida.

6.3 A formação do primeiro triângulo da ortodromia. - Associação da Trigonometria Esférica com a Navegação. Quando se une dois pontos quaisquer da superfície da Terra através de um arco de círculo máximo, estamos, na verdade, traçando um dos lados de um triângulo esférico. Os terceiro ponto da superfície da terra, necessário e suficiente para que possamos uní-los a cada um dos dois anteriores, traçando um Triângulo Esférico, é o Polo Terrestre (Norte ou Sul) mais próximo. Assim, se são dados quaisquer dois pontos da superfície da Terra, suponhamos que um deles seja o ponto de partida de uma navegação e o outro seja o de chegada, podemos unir cada um desses pontos (tanto o de partida como o de chegada) ao Pólo terrestre mais próximo desses pontos, formando assim uma superfície triangular esférica que, com certeza, é um triângulo esférico. Isto acontece porque os triângulos esféricos tem, como já afirmamos antes, os lados como arcos de círculos máximos (originados de planos que contém o centro da esfera), e, no caso agora estudado, quando unimos um dos pontos (o de partida ou o de chegada) a um dos pólos terrestres, nada mais estamos fazendo do que traçar uma seção do meridiano que passa por esse ponto (meridiano de partida ou meridiano de chegada), e, como sabemos, os meridianos são círculos máximos.

- O PrimeiroTriângulo da Navegação Ortodrômica. O Triângulo da Navegação Ortodrômica é aquele cujos vértices são os pontos de partida e de chegada da derrota, além de um dos polos terrestres. Daí podemos deduzir que: a) Um dos lados do Triângulo é própria distância a navegar (ou navegada) entre os pontos de partida e de chegada.

41

b) Um dos dois outros lados é a co-latitude de partida ou a soma de 90° com a latitude de partida, conforme os pontos de partida e chegada estejam no mesmo ou em hemisférios diferentes. c) O terceiro lado é a colatitude de chegada ou a soma da latitude de chegada com 90°, por motivo idêntico ao já citado. Caso os pontos de partida e chegada estejam no mesmo hemisfério, o polo terrestre escolhido para ser o terceiro vértice do triângulo, deverá ser de mesmo sinal dos pontos de partida e chegada. Dados dois pontos quaisquer da superfície da Terra, um deles chamado " de

partida" e outro " de chegada", por cada um deles traçamos um meridiano, além de uni-los por um círculo máximo:

Figura 16 - Triângulo da Ortodromia (Polo-Ponto de Partida-Ponto de Chegada), cujos lados são arcos dos meridianos de partida, de chegada, e do círculo máximo da derrota

42

Vértices: a) O primeiro dos vértices é um dos polos  (Norte ou sul): se as latitudes de partida e chegada tem o mesmo sinal, o vértice do triângulo será o polo

desse mesmo hemisfério. Se a partida e a chegada estão em hemisférios diferentes, então o polo escolhido para vértice do triângulo poderá ser qualquer dos dois. b) Os outros dois vértices serão o ponto de partida (PT) e o ponto de chegada (CH) .

Ângulos nos vértices: a) Em P  é a Diferença de Longitude (entre os pontos de Partida e Chegada:

 b) Ângulo de Partida (PT ), que se converte em Rumo Inicial (Ri) c) Ângulo de Chegada (CH) A

P b c



LPt

LCh

B

a

C

Ri Pt

dort

Ch

Figura 17 – Comparação entre os triângulos ABC e P, Pt, Ch (pólo-partida-chegada)

Lados: Dos três lados  do Triângulo Esférico c lás ic o da Ortodromia, dois são geralmente conhecidos (os originados das Latitudes de Partida e de Chegada) e o terceiro é á distância a navegar.

43

Existirão quase sempre duas situações distintas:

1. Quando os pontos de  partida e chegada estão no mesmo hemisfério . Ch)

Pt)

Pt Ch

Figura 18 – Relações entre os elementos do triângulo esférico e as coordenadas geográficas (partida e chegada no mesmo hemisfério). Nesse caso os lados do triângulo da ortodromia serão, cada um o complemento da latitude (de partida ou de chegada, conforme o caso)

Figura 19 – Relações entre os elementos do triângulo esférico e as coordenadas geográficas (partida e chegada em hemisférios diferentes).

44

2. Quando os pontos de Partida e Chegada estão em hemisférios diferentes. Nesse caso, um dos lados é o complemento da Latitude (Lp = 90º -

) e o

outro é a Latitude somada a 90º (Lc =  + 90º)

Ângulo entre os dois Lados - é a diferença de Longitude entre a Partida e a Chegada (

)

A Longitude  (de um Observador ou de um Lugar) - é o arco de Equador contado desde o Meridiano de Greenwich até o Meridiano do lugar (ou do observador), de 000o a 180o, para Leste (E) ou para Oeste (W).

Diferença de Longitude  –  é o menor dos dois arcos em que o Equador é dividido, quando cruzado pelos meridianos de dois lugares .

Caminho em Longitude – é a Diferença de Longitude orientada.  A Diferença de Longitude também é representada como um ângulo, formado no polo.

A DIFERENÇA DE LONGITUDE (

) e o CAMINHO EM LONGITUDE CAMINHO EM LONGITUDE

DIFERENÇA DE LONGITUDE

É a diferença de Longitude orientada (para E ou para W) no sentido da partida para a chegada.

É o menor dos arcos de Equador, limitado pelos meridianos de dois lugares (ou dois observadores).

Figura 20 – Diferença de Longitude  ()

45

6.4 - Os sentidos leste e oeste  Além de Pontos Cardeais, os termos Leste (E) e Oeste (W) são empregados para denominar sentidos de movimento: a) Leste é o sentido do movimento natural de rotação da Terra. É anti-horário

para quem olha do Polo Norte  e horário para quem olha do Polo Sul. b) Oeste é o sentido contrário à rotação da Terra . É horário para quem olha

do Polo Norte e anti-horário para quem olha do Polo sul PN E

E

PN

W

6.5 - Constantes de um círculo máximo Representadas pelas letras gregas

e

, as Constantes de um círculo

máximo de uma esfera são:

  o arco de Equador medido desde o meridiano de partida até o ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador; e

  é o ângulo diedro formado entre os planos do Equador e do Círculo Máximo da Derrota. Quando destacamos o triângulo esférico elementos

Pt , I , O

de uma ortodromia, com seus

e , constantes do círculo máximo dessa ortodromia. Poderemos ter o

ponto intercessão (I) a Leste do Meridiano de Partida.

46

Pt

I

Figura 21 – As constantes (  e ) de um círculo máximo. Como também pode essa intercessão (I), ficar a Oeste (w) do Meridiano de Partida. Em qualquer dos casos o arco

deve ser combinado com a Longitude de

Partida para resultar na Longitude da Intercessão (I), por isso o valor desse arco deve ser orientado (com sinal) para Leste ou para Oeste. Quando as latitudes forem de sinais iguais: se a Latitude de chegada for maior do que a Latitude de Partida ( ch> pt), o terá sinal contrário ao do Caminho em Longitude ( ).

Figura 22 – Os sinais de e . 47

Porém, se as latitudes de partida e chegada tiverem sinais diferentes, ou se a latitude de chegada for menor do que a de partida ( ch< pt), o sinal de será o mesmo caminho em longitude ( ).

6.6 Cálculo da Distância Ortodrômica (do). 1. Quando os pontos de partida (Pt) e Chegada (Ch) encontram-se no mesmo hemisfério (ambos de Latitude Norte ou ambos de Latitude Sul): a) Os dados do problema são as posições geográficas dos pontos de partida e chegada; Pt =

Pt =

Ch =

Ch =

b) Dos dados do problema, deduzimos os três (3) elementos conhecidos do Triângulo da Ortodromia, sendo dois lados e o ângulo compreendido entre eles.

Pt Ch

do

Pt

Ch

(90(90-

)

Pt

Ch)

Figura 23 – A distância ortodrômica como elemento do triângulo da ortodromia.

c) Calcula-se o valor de /

Ch

 – (+/-)

Pt

aplicando-se a fórmula

usando as convenções seguintes:

E→+ W→-

48

d) Aplica-se a Lei dos Cossenos para os Lados: cos do = cos (90 cos do = sen

Pt

) . cos (90 -

) + sen (90 -

Pt

. sen

Ch

 + cos

) . sen (90 -

Ch

. cos

Pt

Ch

) . cos

Pt

onde

Ch

. cos

2. Quando os pontos de partida (Pt) e Chegada (Ch) encontram-se em hemisférios diferentes (um tem Latitude Norte e outro tem Latitude Sul): a) Os dados do problema são sempre as posições geográficas dos pontos de partida e chegada;  =

Pt

 =

 =

Ch

Pt

 =

Ch

b) Dos dados do problema, deduzimos os três (3) elementos conhecidos do Triângulo da Ortodromia, sendo dois lados e o ângulo compreendido entre eles.

Ch) Ch)

Pt

Ch

Figura 24 – Os argumentos do triângulo da ortodromia. c) Aplica-se a Lei dos Cossenos para os Lados: cos do = cos (90 cos do = sen

cos do = - sen

Pt

) . cos (90+

Pt

. (- sen

Ch

  . sen

Ch

Pt

Ch

) + cos

 + cos

) + sen (90Pt

Pt

. cos

. cos

Pt

Ch

Ch

) . sen (90+

. cos

Ch

) . cos

onde

e, finalmente

. cos

49

d) Essa formula serve para calcular a distância ortodrômica aplicando diretamente as funções trigonométricas naturais: seno e cosseno, usando uma calculadora científica ou uma Tábua de Funções Trigonométricas Naturais comum ou a das Norie's Nautical Tables. e) No caso da falta de uma calculadora científica, o s cálculos tornam-se extremamente sujeitos a erros, haja vista a necessidade de executar os cálculos todos com cinco casas decimais para se conseguir a aproximação da distância até décimo de milha. Assim, as operações de números com tantas casas decimais não somente tornam os cálculos vulneráveis a erros, como também mais demorados, diminuindo o número de vezes que se calcula a distância a navegar e, principalmente, o rumo a seguir chamado rumo inicial (Ri) para continuar a ortodromia. f) Para agilizar os cálculos, convertendo as multiplicações entre números de vários algarismos em somas, assim como as divisões em subtrações, aplica-se a

função logaritmica chamando as duas parcelas da soma de x e y: cos do = - sen

onde x = - sen

Pt

  . sen

Ch

  . sen

Pt

 + cos

Ch

Pt

e

. cos

Ch

. cos

y = cos

Pt

. cos

Ch

. cos

Então,  cos do = y –x Depois, é só logaritmar os valores de x e de y, calculando seus valores em seguida: log sen

Pt

=

log cos

Pt

=

log sen

Ch

=

log cos

Ch

=

=

log . cos

 

log y

=

y

=

log x

x=

50

Distância Ortodrômica pelo EXCEL. a) Inserir os dados (posições geográficas do ponto de partida e do ponto de chegada) nas primeiras doze colunas, separando, tanto a Latitude como a Longitude de partida, em Graus, Minutos e Sinal (3) da Latitude de Partida; Graus Minutos e Sinal da Longitude de Partida (3), totalizando as primeiras seis (6) colunas e repedindo com a posição de chegada, mais três (3) colunas para a Latitude de chegada e três (3) para a Longitude de chegada, no total de doze colunas, só para os dados do problema clássico da Ortodromia. Todas as fórmulas serão inseridas nas colunas seguintes, como veremos mais adiante. A

B

 

C

D

Pt

Gr

Min

R

F

G

Pt

N/S

Gr

Min

H

I

J

Ch

E/W

Gr

Min

K

L Ch

N/S

Gr

Min

E/W

 

b) Na primeira linha mesclam-se as células, de ter em três, para inserção de cada uma das coordenadas, tanto de partida como de chegada. c) A segunda linha é reservada às unidades de medida e sinais de cada coordenada. d) Da terceira linha em diante, reservamos para cada problema, ou seja, a sequência da Navegação Ortodrômica, por way point , cada um com suas coordenadas, as de partida mudando com a evolução da navegação, a cada determinação da posição do navio, seja pelo GPS ou pela Navegação Astronômica. Quanto à posição de chegada, essa permanecerá constante até que mude o destino da viagem. e) As três colunas que sucedem as doze colunas dos dados, ou seja, as colunas M, N e O, são reservadas à inserção dos elementos do Triângulo da

51

Ortodromia, ou seja, as fórmulas que definem os valores dos dois lados e do ângulo compreendido entre eles, em função das coordenadas de partida e chegada. f) A coluna M  será, então, reservada ao lado deduzido com o auxílio da Latitude de Partida, a coluna N  ao lado deduzido com auxílio da Latitude de Chegada e a coluna O destinada ao ângulo compreendido entre esses lados, que é a Diferença de Longitude. g) Na linha dois (2) citamos as unidades de medida dos três elementos dados, que será radianos (Rad), unidade trabalhada pelo Ecxel. M

N

LPt

LCh

Rad

Rad

O

P

E/W Rad

h) As fórmulas que transformam as coordenadas geográficas dos pontos de partida e chegada em elementos do Triângulo da Ortodromia são: Em M3 : =RADIANOS(90-(A3+(B3/60))) Em N3 : =RADIANOS(SE(C3=I3;90-G3-H3/60;90+G3+H3/60)) Em O3 :

=RADIANOS(SE(F3=L3;ABS(J3+K3/60-D3-E3/60);SE((J3+K3/60+D3+E3/60)>180;360(J3+K3/60+D3+E3/60);(J3+K3/60+D3+E3/60))))

i) o último passo, o preenchimento das linhas da coluna P:

P1: célula vazia; P2: E/W como opções para o sinal da ; P3: a fórmula que calcula o sinal da : =SE(F3=L3;SE((J3+K3/60-D3E3/60)>0;L3;SE(L3="E";"W";"E"));SE((J3+K3/60+D3+E3/60)>180;F3;L3))

6.7 O Cálculo do Rumo Inicial  Após calcular a Distância Ortodrômica, como mostrado nos capítulos anteriores, ficamos com os três lados do Triângulo à nossa disposição para calcular o ângulo de partida (Pt), que será o principal argumento na determinação do Rumo

Inicial (Ri)

52

P (90-

Ch)

(90+

Ch

Pt)

Pt Pt do

do Ch

(90+ Pt)

(90-

Ch)

P

Figura 25 – Dois ângulos de partida (Pt) diferentes.

a) Como os ter lados já são conhecidos, aplica-se a Lei dos Cossenos para os Lados para calcular um dos ângulos, no caso o ângulo Pt, iniciando o

desenvolvimento da fórmula pelo lado oposto ao ângulo que se deseja calcular :  A relação abaixo será aplicada ao caso do gráfico à direita da figura anterior, ou seja, quando os pontos de partida e chegada encontram-se em hemisférios diferentes. cos(90-

Ch)

= cos do . cos (90 + Pt) + sen d o . sen (90 + Pt) . cos Pt onde

cos(90cos Pt =

cos do . cos (90+ Pt)

sen do . cos Pt)

sen cos Pt =

Ch)

cos do . sen Pt

Ch

sen do  . cos

sen do . cos Pt)

Pt

sen do . cos Pt

Quando aplicada a função logarítmica para tornar ágil a resolução, fica: sen x=

Ch

sen do  . cos

y= Pt

cos do . sen Pt sen do . cos Pt

53

logaritimando x e y : log sen

Ch

=

colog sen do = colog cos log x =

Pt

=

log cos do

=

log sen Pt = colog sen do

=

colog cos Pt = log y =

cos Pt  = x + y Pt =

Os sinais do ângulo Pt serão o do pólo escolhido como vértice do triângulo da ortodromia e o do Caminho em Longitude ( ).

Convertendo o Ângulo de Partida (Pt) em Rumo Inicial (Ri). O ângulo de partida, Pt, como é medido desde o Norte ou do Sul do horizonte, conforme o pólo escolhido para vértice do Triângulo da Ortodromia, tanto pode ser contado para Leste (E) como para Oeste (W), admitindo, assim, qualquer dos seguintes sinais: NE, SE. NW ou SW. Como o Rumo Inicial (Ri) é sempre contado exclusivamente a partir do Norte (N) e exclusivamente no sentido Leste (E), como todo e qualquer outro rumo, de 000 o a 360o, como mostra a Rosa dos Ventos, somente em uma condição o valor absoluto do Ri coincidirá com o valor absoluto do Pt : é no caso do sinal do Pt ser NE. Em todos os outros três casos, há que fazer a conversão do Pt para Ri, como mostrado a seguir:

54

Figura 26 – calculando o rumo verdadeiro inicial usando o ângulo na partida (PT) como dado.

Rumo Inicial pelo Excel Depois de calculada a Distância Ortodrômica (d o), na célula P3, como visto no capítulo anterior denominado Distância Ortodrômica pelo EXCEL, prosseguimos aproveitando toda a construção anteriormente feita. o ângulo Pt na mesma linha que abrigou a Distância Ortodrômica (d o) i. Primeiro inserimos, na coluna Q, a identificação da distância Ortodrômica, registrada em Milhas, para que seja aplicada na Lei dos Cossenos para os Lados, depois de convertida para Radianos, junto com os outros dois lados também conhecidos em radianos: Q1 : do Q2 : M Q3 : =60*(GRAUS(ACOS(COS(M3)*COS(N3)+SEN(M3)*SEN(N3)*COS(O3)))) 55

ii. Convertemos a distância ortodrômica para Radianos, compatibilizando as unidades de medidas dos três lados dados, na coluna R: R1 : do R2 : Rad R3 : =RADIANOS(Q3/60)

iii. Em seguida, com os três lados conhecidos, todos em radianos, aplica-se a Lei dos Cossenos para os Lados para calcular o ângulo P t , na célula S3, não sem antes identificar a coluna S, nas linhas S1 e S2: S1: Pt S2 : Gr S3 : = GRAUS(ACOS((COS(N3)-COS(M3)*COS(Q3))/(SEN(Q3)*SEN(N3)))) M

N

1

LPt

LCh

2

Rad

Rad

O

P

Q

R

S

E/W

do

do

Pt

M

Rad

Gr

Rad

T

U

N/S

E/W

V

3

iv. As duas colunas seguintes, T e U, são destinadas aos sinais do ângulo Pt : T1 : célula vazia

U1 : célula vazia

T2 : N/S

U2 : E/W

T3 : =C3

U3 : =P3

v. Com o valor de Pt (coluna S) e seus sinais (colunas T e U), calculamos o Rumo Inicial (Ri) na coluna V : V1 : Ri V2 : Graus V3 : =SE(T3="N";SE(U3="E";S3;360-S3);SE(U3="E";180-S3;180+S3))

56

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 4.1 - Da Lei dos Cossenos para os Lados 4.1.1 - Aplicando arcos notáveis: Sabendo-se que, num triângulo esférico qualquer, a = 60 0 ; b = 450 e c = 450 , pede-se calcular o ângulo A : Solução: Cos a = cos b .cos c + sen b .sen c . cos A cos a - cos b . cos c Cos A = sen b . sen c

1/2 - 2/2 . 2/2 Cos A =

1/2 - 1/2 =

2/2 . 2/2

=0 1/2

 A = 900 Note-se que quando aplicamos os arcos notáveis  como valores dos elementos dados, para a resolução de um triângulo, o problema torna-se extremamente fácil, haja vista que não necessitamos consultar as Tábuas de Funções Trigonométricas já que temos memorizados os valores das funções trigonométricas daqueles Arcos. Mas, na prática, isso geralmente não acontece e sempre nos deparamos com a necessidade de utilizar aquelas Tábuas e trabalhar com valores numéricos de, no mínimo, cinco casas decimais, que é o que dá a aproximação dos décimos de minuto de arco nas respostas.

57

4.1.2 - USANDO CALCULADORAS DE BOLSO.

 Ao usarmos calculadora de bolso (científica) eliminamos, logicamente, a necessidade de utilização das Tábuas. Nelas podemos encontrar as teclas cos

sen

com as quais podemos resolver nossos problemas e, caso sua

F

calculadora tenha mais de uma memória será ainda mais facilitado o trabalho. As calculadoras que tem a tecla

0

‘ “

também facilitam o trabalho do usuário pois

com elas pode-se digitar diretamente os graus, minutos e décimos, sem ter a necessidade de transformar todos os arcos (dados em grau, minuto e décimo de minuto) para valores de grau e décimos de grau.

Quando trabalhamos com calculadora de bolso é importante definir, antes de qualquer operação, se a unidade de arco utilizada será o Grau, o Radiano ou o Grado. Estas unidades são indicadas pelas calculadoras como DEG, RAD e GRAD, respectivamente. É natural que o navegador prefira sempre trabalhar em Graus porque tanto os dados dos problemas devem estar sempre nessa unidade (porque são latitudes e longitudes lidos nas Cartas Náuticas, em graus), como também os resultados obtidos, como o Rumo, são aplicados, na prática, em um Piloto Automático cuja Rosa de Manobras também está subdividida em graus e minutos de arco de horizonte. Exemplo: Dados :

a = 1360 02.9‟ ; b = 210 46.3‟ ; C  = 750 31.4‟

Calcular o lado c . Resolução:  A fórmula a ser aplicada será cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C  1) Verificar se a calculadora está pronta para trabalhar em Graus (DEG), caso negativo, prepará-la para tal. 2) Dividir os minutos de a (2.9) por 60 e somar com os graus correspondentes (136), do resultado determina-se o cosseno:

58

(se sua calculadora tiver a tecla

0 

‘ “ digite diretamente os graus inteiros seguidos

dessa tecla, depois digite os minutos e décimos e novamente a mesma tecla: no visor já será apresentado o valor transformado para graus e décimos de graus,  pronto para ser determinado o cosseno).



2.9

60

+

136

=

cos

Se sua calculadora tiver várias memórias, armazene este resultado na

memória 1; caso ela só tenha uma só memória anote este resultado a parte ou substitua na própria fórmula arredondando-o para a 5 a casa decimal. 3) Proceda com b como fez com a :



46.3

60

+

21

=

cos

 Armazene o resultado na memória 2, ou substitua-o na fórmula (com 5 casas decimais, no mínimo) 4) Repita a operação 2 trocando a tecla cos pela tecla sen. Substitua o resultado na fórmula (sempre com um mínimo de 5 decimais) ou armazene na memória 3. 2.9



60

+

136

=

sen

5) Repita a operação 3 trocando a tecla cos pela tecla sen. Substitua o resultado na fórmula (sempre com um mínimo de cinco decimais) ou armazene na memória 4. 46.3

 

60

+

21

=

sen

6) Repita a operação 3 trocando os valores de graus e minutos de b pelos valores de C . 31.4



60

+

75

=

cos

59

Substitua na fórmula ou armazene na memória 5. 7) Resolva a equação armada só com os valores numéricos que você substituiu na fórmula (ou multiplique a memória 1 pela 2 , armazenando esse resultado na memória 6; multiplique também as memórias 3, 4 e 5  entre elas e armazene o resultado na memória 7). e some os resultados das memórias 6 e 7). 8) O resultado da operação anterior (7) será o cos C , a partir do qual você calculará o valor do  Arc cos C  que, em certas calculadoras, é obtido teclando INV  antes do Cos e , em outras, tecla-se F   antes de Cos. Estando no visor da calculadora o resultado 0.89268   da operação 8 , simplesmente tecla-se F

cos

o resultado aparecerá no visor como

ou

INV

cos

127,17333 , em graus e décimos de grau.

9) O resultado em graus, minutos e décimos de minuto será obtido, nas calculadoras que tem a tecla

0

não tem a tecla

0

„ “ , diretamente ao apertarmos essa tecla. Nas calculadoras que „“

precisaremos anotar o valor dos graus inteiros e multiplicar o valor dos décimos de grau por 60 para determinarmos os minutos e décimos. O resultado será 127 0 10.4‟

4.1.3 - APLICANDO LOGARITMOS. Quando não dispomos de calculadoras de bolso, além da necessidade de procurar os valores das funções trigonométricas nas Tábuas, temos ainda que executar as operações de multiplicação e divisão entre aqueles valores, que tornam as operações extremamente demoradas e sujeitas a erros, já que temos que utilizar sempre o mínimo de cinco casas decimais. Nesse caso é preferível logaritimar as 60

expressões já que, como sabemos, uma das principais utilidades dos logaritimos é transformar multiplicações em somas e divisões em subtrações, segundo duas de suas propriedades: log ( a . b ) = log a + log b log ( a / b ) = log a - log b  Assim, quando se calcula, por exemplo, um dos ângulos de um triângulo esférico qualquer, a partir dos três lados dados, aplicamos o logaritmo da seguinte maneira: Dados:

lados

Calcular: ângulo

a , b

e c 

 A .

cos a = cos b . cos c   + sen b . sen c  . cos A cos a - cos b . cos c  cos A = sen b . sen c  cos a  cos A =

cos b . cos c  -

sen b. sen c  

sen b . sen c 

cos a  fazendo

x=

cos b. cos c  e

y=

sen b . sen c  

sen b . sen c 

e, logaritimando ( na base 10 por ser mais comum), fica : log x = log cos a - log sen b - log sen c  ;

log y = log cos b + log cos c  - log sen b -

log sen c 

61

como sabemos que

colog n  = - log n

,  podemos substituir os logaritimos

negativos em cologarítimos, tornando todas as parcelas, de ambas as equações, positivas : log x = log cos a + colog sen b + colog sen c  ; log y = log cos b + log cos c  + colog sen b + colog sen c   A forma usualmente dada à resolução destes problemas é: log cos a

=

log cos b =

colog sen b =

log cos c  =

colog sen c =

colog sen b = colog sen c =

log x =

log y = x =

y= cos A = x + y  A =

Nas resoluções dos problemas acima, chamamos atenção para os seguintes detalhes: 1) Quanto ao uso de tábuas: a) Quando utilizada a Tábua de Logaritmos das Funções Trigonométricas, obrigatoriamente teremos que considerar os sinais (positivo ou negativo) para x e para

y , de acordo com os valores dos cossenos naturais das parcelas que

constituem x e y . b) As Tábuas de Logaritmos das Funções Trigonométricas fornecem os valores com características negativas e mantissas positivas. Isto porque todos os valores dos cossenos e senos são maiores que zero  e menores que um  (arcos no primeiro quadrante), sendo, assim, as características de seus logarítimos, que representam

62

o número de zeros antes do primeiro algarismo significativo, sempre números inteiros negativos ou subtraídos de dez. 2) Quanto ao uso de calculadoras: a) Quando usamos calculadora para resolver esses problemas (aplicando logaritmo) temos que trabalhar com os logarítimos  em uma única base (geralmente a base 10), já que as calculadoras quase sempre podem trabalhar também com a base e (número neperiano) ou outra base qualquer. As calculadoras apresentam, em suas teclas, as iniciais Log quando a base é decimal e Ln quando a base é neperiana. b) Antes de teclarmos Log, depois de termos, no visor da calculadora, o valor de uma função trigonométrica, é necessário que se transforme esse valor em um valor positivo (caso ele seja negativo) sob pena de a calculadora indicar sinal de erro, já que, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Para inverter o sinal de um número negativo apresentado no visor da calculadora, basta que se aperte a tecla + O valor do logaritmo de um número encontrado na Tábua tem que ser o mesmo valor fornecido pela calculadora, depois de somado com 10, pois as calculadoras fornecem os valores com características e mantissas negativas.

CAPÍTULO IV - Vertexes de uma Derrota Ortodrômica Os vertexes de uma derrota ortodrômica são os mesmos vertexes do círculo máximo onde a derrota está inserida e os vertexes de um círculo máximo qualquer, da Esfera Terrestre, são os pontos mais afastados do Equador, aqueles de maiores latitudes de todos os que compõem o círculo máximo. Um tem latitude Norte (N), outro tem Latitude Sul (S), sempre diametralmente opostos. Portanto, distantes entre eles de um arco de Equador igual a 180º e, também, distantes, cada um, de um arco de 90º de Equador, de cada ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador, as duas Intercessões chamadas I1 e I2.

63

PN

Vertex Norte

Intercessão I2 Intercessão I1

Vertex Sul

PS

Figura 27 – Pontos notáveis do círculo máximo de uma derrota.

Vertex Norte

Intercessão I2

Intercessão I1

Vertex Sul

Figura 28 – Pontos notáveis do círculo máximo de uma derrota vistos do zênite.

64

Cálculo das Constantes do Círculo Máximo Para calcular as constantes do círculo máximo de uma derrota ortodrômica são necessários dois dados fundamentais, ambos constantes da primeira parte do problema fundamental já resolvido quando foram calculados o Rumo Inicial ( Ri) e a Distância Ortodrômica (do), são: 1.

As coordenadas do Ponto de Partida ,

2.

O ângulo Pt e seus sinais.

 e

Pt

 ; e

Pt

Com esses dados, procede-se do seguinte modo, armando um novo tr iângulo: i. Plotado o ponto de partida (primeiro vértice do novo triângulo), traça-se, por ele, o meridiano de partida, até que encontre o Equador, com quem fará um ângulo reto, intercessão essa que será o segundo vértice do novo triângulo (obviamente retângulo); ii. Também pelo ponto de partida traça-se um arco do círculo máximo da derrota no sentido do Equador, em cuja intercessão será indicado o terceiro vértice desse novo triângulo, como mostra a figura a seguir:

65

VN

Pt

pt

O

I

VS

Figura 29 – O segundo triângulo da ortodromia.

Elementos do Triângulo: O = 90º

Ângulos

= Constante Pt =

Constante

IO =

Lados

OPt =

pt

66

iii. Arma-se um círculo (chamado Círculo de Neper ) dividido em cinco setores, I Pt = neutro

alocando em cada um desses setores um dos elementos do novo triângulo, exceto

o ângulo de noventa graus , na mesma ordem em que são encontrados no novo triângulo, usando os complementos dos elementos não adjacentes ao ângulo de noventa graus:

Os elementos adjacentes ao ângulo reto não são antecedidos por co (indicando os complementos)

pt

Co-Pt

Co-Vazio

Co-

Figura 30 – O Círculo de NEPER aplicado ao segundo triângulo da ortodromia.

Cada um desses cinco setores tem dois outros, chamados opostos (sem lado em comum) e dois outros, chamados adjacentes (com lado em comum). iv. Fazendo com que um dos setores seja meio, relaciona-se com outros dois setores, adjacentes ou opostos, através das duas (2) analogias de Neper  : 1) O seno do meio é igual ao produto dos cossenos dos opostos; e 2) O seno do meio é igual ao produto das tangentes dos adjacentes. v. Para calcular as constantes  e , aplicamos o círculo e as analogias de Neper : a. fazendo  ser “meio”:

sen (co- = cos (co-Pt). cos

cos  = sen Pt . cos

b. fazendo

pt

ser “meio” : 

sen

pt

= tg(co-  . tg Pt

tg(co-  sen

pt

pt

onde

 . cotg Pt

pt

67

cotg

vi. Se aplicarmos a função logarítmica para calcular ambas as constantes, ficarão: log cos Pt =

log sen

log cos

pt

log cotg Pt

log cos

 =

=

pt

log cotg

=

Cálculo das Coordenadas dos Vertexes 1.

O

nada mais é do que o ângulo diedro formado entre os planos do

Equador e do Círculo Máximo da Derrota, portanto, é comum ao centro da Esfera Terrestre e na superfície dela. Assim: PN

Perfil do Plano do Equador do Círculo Máximo da Derrota Vertex Norte VN

Perfil do Plano do Equador VS

Vertex Sul

PS

Figura 31 – Os perfis de dois planos de círculo máximo.

O valor absoluto das latitudes dos vertexes Norte e Sul é o mesmo, e igual ao próprio valor de Então,

1.

VN

=  N e

VS

=  S

Quanto às Longitudes dos vertexes Norte e Sul, sabe-se que são defasadas

entre elas de um arco de Equador igual a 180º e calculadas a partir do valor de

 já

que essa constante expressa a distância equatorial entre o meridiano de partida e 68

uma das intercessões ( I), sendo possível, portanto, ao combinar a Longitude de partida (

PT)

com

, calcular a longitude desse ponto intercessão. Com o valor e o

sinal da longitude desse ponto intercessão e sabendo-se que cada intercessão dista 90º do meridiano de cada um dos vertexes, calcula-se a longitude de cada vertex somando ou subtraindo os 90º do valor da Longitude da intercessão conhecida.  Assim: i. I = PT (+/-) ii. V = lI (+/-) 90º

iii. Se a longitude calculada logo acima, em ii, for do vertex Norte, calcula-se a longitude do vertex sul somando ou subtraindo 180º à longitude calculada. iv. Caso seja primeiramente calculada a longitude do vertex Sul, a do vertex Norte será achada com o mesmo procedimento acima. Cálculo das Constantes do Círculo Máximo pelo Excel.

PT I

O

Figura 32 – O segundo triângulo da ortodromia e seus vértices.

I.

No Triângulo retângulo Pt, O, I, retângulo em O :

69

Pt é o ângulo que originou o Rumo Inicial (Ri) e em todos os casos os valores absolutos dos cossenos de Ri e Pt são iguais. Como a Latitude de cada vertex é igual a  e este depende do cosseno EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO (RESOLVIDOS). 1) Determine a distância a navegar e o Rumo Inicial da viagem de Honolulu a San Francisco, em ortodromia, sabendo que o ponto de partida (Honolulu) é pt = 210 18.3‟ N ; pt = 1570 52.3‟ W e o ponto de chegada (S.Francisco) é ch = 370 47.5‟ N

; ch = 1220 25.7‟ W.

RESOLUÇÃO: a) Como ambos os pontos (de partida e de chegada) tem latitudes Norte, o terceiro vértice do triângulo será o Pólo Norte. Assim, os lados do triângulo serão, além da distância a ser navegada, as colatitudes dos pontos de partida e de chegada. b) Como as longitudes de partida e chegada estão Oeste (W) , a diferença de longitude (ângulo formado no polo entre os lados co- pt  e diferença entre a maior e a menor longitude:

co-ch) é igual a

  pt - ch .

c) Já que temos dois lados e o ângulo compreendido entre eles, apliquemos a Lei dos Cossenos para os Lados para calcular, primeiramente, o terceiro lado (distância a ser navegada): cos a = cos b . cos c  + sen b . sen c  . cos A  a  é

onde

distância a navegar; b  é a colatitude de partida; c  é a colatitude de chegada e

 A é a diferença de longitude: cos d  = cos (co-pt) . cos (co-ch) + sen (co-pt) . sen (co-pt). cos  70

cos d  = sen pt . sen ch + cos pt . cos ch . cos  log sen (210 18.3‟) = 9.56030

log cos (210 18.3‟) = 9.96926

log sen (370 47.5‟) = 9.78732

log cos (370 47.5‟) = 9.89776 log cos (350 26.6‟) = 9.91099

log x

= 9.34762 x

log

y

y

= 0,59980

= 0,22265

= 9.77801

cos d = x + y = 0,82245 d  = 340  40.1 = 2080 M d) Já com os 3 lados (co- pt , co-ch e d   ) voltamos a aplicar a Lei dos Cossenos para os Lados com o fim de determinar o Rumo Inicial (que é o ângulo oposto ao lado co-ch ) : sen ch = sen pt . cos d  + cos pt . sen d . cos  sen ch 

sen pt . cos d 

cos  =

cos pt . sen d  

onde cos pt . sen d 

sen ch 

sen pt . cos d  = x

cos pt . sen d  

e

= y cos pt . sen d 

Fazendo: 71

log sen ch = 9.78731

log sen pt

= 9.56030

colog cos pt = 0,03074

log cos d 

= 9.91511

colog sen d  = 0,24500

colog cos pt = 0,03074 colog sen d  = 0,24500

log x = 0,06305 x = 1,15627

log y = 9.75115 y = 0,56384 cos  = x - y = 1,15627 - 0,56384 cos  = 0,59243

 = Ri = 530 40.2‟ 2) Calcular o Rumo Inicial e a distância de uma viagem de Natal (Brasil)

 =50 47.0

S ;  =350 13.0 W a Luanda (Angola)  = 80 50.0‟ S ;  = 130 15.0‟ E . cos d  = cos (co-pt) . cos (co-ch) + sen (co-pt) . sen (co-pt). cos  cos d  = sen pt . sen ch + cos pt . cos ch . cos  log sen (050 47.0‟ ) = 9.00332

log cos (050 47.0‟ ) = 9.99778

log sen (080 50.0‟ ) = 9.18628

log cos (080 50.0‟ ) = 9.99482 log cos (480 28.0‟ ) = 9.82155

log x

= 8.18960

x

= 0.01547

log

y

= 9.81415

y

= 0.65186

cos d = x + y = 0.66733 d  = 480 08.3‟ = 2888.3 M log sen ch = 9.18628

log sen pt

= 9.00332

colog cos pt = 0.00222

log cos d 

= 9.82434 72

colog cos pt = 0.00222

colog sen d  = 0.12798

colog sen d  = 0.12798 log x = 9.31648 x = 0.20724

log y = 8.95786 y = 0.09075 cos  = x - y = 0.11649 cos  = 0.11649

 = 830,31

Ri = 1800 -  = 960 41.4‟

Visão Básica dos Vertexes: Uma derrota é ortodrômica se estiver contida dentro de um círculo máximo. Esse círculo máximo em que a derrota ortodrômica está contida, salvo em uma única hipótese, que é quando coincide com o Equador Terrestre, estará inclinado em relação ao Equador, exatamente porque os planos que originam tais círculos máximos são concorrentes, isto é, estão inclinados um em relação ao outro. Os pontos do círculo máximo que contém a derrota, mais afastados da linha do Equador (de maiores latitudes), são chamados  Vertexes  da derrota. Eles são dois e, obrigatoriamente, ficam um no hemisfério norte e o outro no hemisfério sul.

vertex norte

vertex sul

Figura 33 – Os Vertexes norte e sul de um círculo máximo. 73

Sabendo que uma derrota ortodrômica é um arco de círculo máximo, podemos garantir que todas elas tem vertexes, à exceção daquelas já citadas, quando o plano que contém seu círculo máximo é coincidente com o plano do Equador. Sendo, cada um dos vertexes do círculo máximo de uma derrota ortodrômica, um ponto da superfície da Terra, hão de ter, ambos, latitude e longitude. É fácil deduzir que os vertexes de uma derrota ortodrômica são equidistantes do Equador, ficando um no hemisfério norte e o outro no hemisfério sul. O valor absoluto da latitude dos vertexes é exatamente igual ao ângulo diedro formado entre os planos do círculo máximo da derrota e o do Equador. Quanto às longitudes dos vertexes de uma derrota, não é difícil concluir que, estando cada um deles defasado do outro, em longitude, de 180 graus, é impossível que suas longitudes tenham sinais iguais. Para calcular as latitudes dos vertexes de uma derrota, basta que se arme um triângulo cujos vértices sejam:

 um ponto conhecido da derrota (de partida).  o ponto de encontro do meridiano que passa pelo ponto escolhido, com o Equador.

 o ponto em que o círculo máximo da derrota corta o Equador. Nesse triângulo: *

o ângulo cujo vértice é o cruzamento do círculo máximo da derrota com o

Equador, é chamado de  e representa o valor absoluto da latitude dos vertexes. *

o ângulo cujo vértice é o ponto escolhido (de partida ou de chegada)

representa uma relação com o Ri (no caso do ponto de partida) ou com o Rumo Final (no caso do ponto de chegada), calculado facilmente pela aplicação das Leis dos Cossenos, como explicado no item 6.3). *

o ângulo cujo vértice é o cruzamento do meridiano (que passa pelo ponto

escolhido) com o Equador, mede, evidentemente, 90 graus e caracteriza o referido triângulo como retângulo. *

um dos lados é exatamente a latitude do ponto escolhido e como tal, é

conhecida. 74

Usando como argumentos desse triângulo o ângulo de patida (PT) e a

pt, calcularemos o ângulo a latitude dos vertexes, cujo valor absoluto é representado por , aplicando as analogias e leis de Neper, nas resoluções de triângulos esféricos retângulos: PT

c

co-Pt

pt 



co-c



t

co-

Na figura anterior:

- Ângulo no ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador. PT – Ângulo no ponto de partida da derrota ortodrômica.

 – diferença entre as longitudes do ponto de partida e do ponto intercessão entre o círculo máximo da derrota e o Equador sen (co-) = cos (co-Pt) . cos ( pt) cos  =

sen (Pt) . cos pt

Calculado o valor de , atribuímos a ele os sinais N e S, transformando-os nas latitudes dos dois vertexes. Para calcular as longitudes dos vertexes de uma derrota ortodrômica, usamos o mesmo triângulo acima descrito e nele calculamos, com os mesmos argumentos, o lado que fica sobre o Equador, o qual chamaremos de b, ainda aplicando as analogias e leis de Neper para triângulos retângulos esféricos: sen (pt) = tg (co-Pt) . tg  tg  =

sen t cotg Pt

Esse lado   nada mais é do que a diferença entre as longitudes do ponto escolhido (no caso o ponto de partida) e o cruzamento do meridiano com o Equador; assim sendo, podemos determinar facilmente a longitude do ponto de 75

cruzamento do círculo máximo que contém a derrota com o Equador. Sabendo que esse ponto de cruzamento está defasado de um arco Equador de 90 o, de cada um dos vertexes, fica fácil determinar as longitudes dos vertexes: Gw Pt

Exemplo 1 Intercessão



pt

o

Se a longitude do ponto escolhido (de partida) for, por exemplo, 15 o W e o ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador estiver 20 o a oeste do meridiano do ponto escolhido, então a longitude do cruzamento será a soma da longitude do ponto escolhido com o valor de  (20o):

 I = ch +  = 15º + 20º = 35º W Sabendo que a o ponto de cruzamento (I) do círculo m áximo da derrota está distante do dos vertexes de arcos de 90 o, basta somar e subtrair os 90 o do valor de CR para se obter as longitudes dos dois vertexes. Exemplo 2 Se a posição de partida de uma derrota ortodrômica é pt = 12o N e pt = 45 o E; a posição de chegada é ch = 17o N e ch = 47o E, calcule as posições dos dois vertexes. Resolução: Em primeiro lugar temos que escolher um ponto (ou o de partida ou o de chegada) para tomar como base para o cálculo de  e b, já que as fórmulas para esses cálculos usam o Ri (se escolhido o ponto de partida) ou o Rf (se escolhido o ponto de chegada). Escolheremos o ponto de partida. Escolhido o ponto de partida temos que calcular o Ri. Para calcular Ri temos que achar a distância a navegar pela lei dos cossenos para os ângulos: cos d = cos (co-pt) . cos (co-ch) + sen (co-pt) . sen (co-ch) . cos  76

d = 322 M ou 5 o 22‟ Calculando agora o Ângulo Inicial (Pt), pela lei dos cossenos para ao lados, usando também a distância (d) como argumento: Cos (co-ch) = cos d . cos (co- pt) + sen d . sen (co- pt) . cos Pt sen ch

- cos d . sen pt = 20,9o

cos Pt = sen d . cos pt

Com o Pt é a posição de partida, podemos calcular as latitudes dos vertexes: cos  = sen Pt . cos pt

 = 69,6o , Vn = 69,6o N e Vs = 69,6o S Calculando as longitudes dos vertexes, fazemos: sen pt b = 4o 32,4‟

Tg b = cotg Pt

Como  é a diferença de longitude entre o ponto de partida da derrota e o cruzamento de seu círculo máximo com o Equador, estando b a oeste do ponto de partida, podemos subtrair b da longitude de partida para encontrar a longitude daquele cruzamento com o Equador:

I = pt - 

ou

I = 47o - 4o 32,4‟ = 42o 27,6‟ Como os vertexes estão defasados do cruzamento, de 90 o em longitude, podemos calcular as longitudes dos vertexes como:

Vn = 42o 27,6‟ + 90o = 132o 27,6‟ E

e 77

Vs = 42o 27,6‟ - 90o = 47o 32,4‟ W

78

5. INFORMÁTICA APLICADA À NAVEGAÇÃO ORTODRÔMICA. Escolhemos aplicar a Planilha do Excel, do Microsoft Office, à Navegação Ortodrômica, por ser o Office o software mais conhecido e usado no mundo inteiro e que acompanha a esmagadora maioria dos microcomputadores instalados a bordo dos navios mercantes brasileiros. Além disso, todas as planilhas eletrônicas tem uma coisa em comum que as tornam extremamente apropriadas para o uso na Navegação Ortodrômica: a simples inserção de fórmulas dá a praticidade da resolução dos mais variados problemas.  A viabilidade da aplicação da informática na navegação ortodrômica é comprovada através dos fatos seguintes: 1- O custo de um conjunto de cartas náuticas de projeções gnomônicas, em escalas diversificadas e de acordo com as necessidades de cada derrota, cobrindo todas as regiões navegáveis, tem o custo mais alto de um microcomputador e o software nele instalado para cumprir a mesma função. 2- A velocidade de cálculo dos objetivos da Navegação Ortodrômica (Rumo Inicial, Distância a navegar e posições dos vertexes) é bem maior quando feita no computador, comparado com qualquer outro método. Isso gera a possibilidade de se proceder um número de cálculos muito maior e, por conseguinte, seguir uma curva mais perfeita. 3- O programa pode ser guardado em um simples pen driver e elimina a necessidade de manuseio de quaisquer tábuas, tabelas, calculadoras, etc. 4- As derrotas feitas podem ser arquivadas com segurança e até mesmo podem servir de orientações múltiplas, como a respeito das influências de vento e corrente, numa região, ou alimentar automaticamente outros programas que venham a necessitar dos resultados da navegação, como distância navegada.

4.1 – A Planilha do Excel. Como qualquer outra, é uma grande área em branco dividida em pequenos retângulos chamados células, numeradas em ordem crescente, de cima para baixo em linhas e da esquerda para direita em colunas, na ordem alfabética. Assim, qualquer célula  pode perfeitamente ser identificada, e de todas as outras se distinguir, através de número seguido de letra, sendo que o número representa a 79

linha a que ela pertence e a letra representa a coluna. O usuário pode, de acordo com a sua necessidade, aumentar ou diminuir o tamanho das células.  A

B

C

D

E

F

G

1 2 3 O principal objetivo de uma planilha eletrônica, de efetuar cálculos, é cumprido quando inserimos, em uma determinada célula, uma fórmula qualquer relacionando os dados de duas (ou mais) outras células diferentes. Tais fórmulas devem iniciar sempre com o sinal de igualdade (=) pois é exatamente isso que indica ao computador tratar-se de uma fórmula. Por exemplo, se queremos somar o valor inserido, qualquer que seja ele, na célula A1, com o valor inserido, também qualquer que seja ele, na célula A2, e efetuar e registrar automaticamente essa soma na célula B5, por exemplo, basta digitar, na célula B5, a fórmula =A1+A2 , como aparece na planilha anterior, e teclar Enter .  A partir daí todos os valores que aparecerem na célula B5 serão o resultado da soma dos valores das células A1 e A2:  A 1

3

2

4

B

C

D

E

F

G

H

3 4 5

7

6

5.2 - Inserindo dados. Como,

na

Navegação

Ortodrômica,

os

cálculos

são

feitos

principalmente tendo como dados a posição de partida e a posição de chegada, com a latitude, a longitude e o sinal de cada uma coordenada, basta que se separem doze células específicas para os registros desses dados, ou seja, três células para o registro da latitude de partida (uma para os graus inteiros, uma para os minutos e 80

décimos, e outra para o sinal), três células para o registro da longitude de partida (graus, minutos e sinal), três para a latitude de chegada e três para a longitude de chegada, como mostrado a seguir:

 A

B

1

pt

2

Gr 

C

D

E

F

pt Min

N/S

G

H

I

ch

Gr 

Min

J

K

L

Min

E/W

M

N

ch

E/W Gr 

Min

N/S

Gr 

3 4  As abreviaturas as Gr  e Min  representam os valores em graus e minutos, respectivamente. Também podemos convencionar os sinais norte e sul , das latitudes, como  positivo e negativo, respectivamente, e os sinais leste e oeste, das longitudes, também como, respectivamente,  positivo e negativo. Desse modo eliminamos duas colunas, as dos sinais da latitude e da longitude, sem prejudicar os cálculos. Por exemplo:  A

B

C

D

E

F

G

H

1

pt

2

Gr 

Min

Gr 

Min

Gr 

Min

Gr 

Min

3

12

45,6

-163

-32,8

13

44,5

-161

05,4

pt

ch

I

ch

4 5 Os dados acima representariam valores, escolhidos aleatoriamente, de posições de partida e chegada, dadas pela latitude de partida 12 o 45,6‟ N (porque não há sinal negativo), longitude de partida 163 o 32,8‟ W (porque o sinal é negativo tanto nos graus como nos minutos), latitude de chegada 13 o 44,5 N e longitude de chegada 161 o 05,4‟ W.

81

5.3 - Calculando a diferença de longitude entre os pontos de partida e chegada.  Ao ocuparmos as colunas de A até H com as posições de partida e chegada, podemos notar que cada uma das linhas representará uma derrota ortodrômica diferente, ou trechos de uma mesma derrota, caso mantenhamos uma única posição de chegada com as sucessivas posições (consideradas pontos de partida) do mesmo navio. Desse modo podemos, considerando ainda o exemplo acima, calcular a diferença de longitude ( ) entre os pontos de partida e chegada, já que a mesma será utilizada para o cálculo da distância a navegar, na Navegação Ortodrômica. A fórmula aplicada será a Lei dos Cosenos para os Lados, digitada na célula I3, transformando os dados para radianos porque o Excel fornece as funções trigonométricas dos arcos quando estes são lidos em radianos. Para podermos aplicar cada uma das Leis é necessário que tenhamos os elementos exatos do triângulo, que serão representados pelos seguintes valores:

Lados:

 Colatitude de partida (fixa, tanto nos casos em que os pontos de partida e chegada estejam no mesmo hemisfério, como estando eles em hemisférios diferentes, com sinais diferentes para as suas latitudes). (co- pt)

 Colatitude de chegada, co-ch, (no caso dos pontos de partida e chegada estarem no mesmo hemisfério). Se os pontos de partida e chegada estiverem em hemisférios diferentes, isto é, tiverem sinais diferentes para as suas latitudes, esse lado será igual à latitude de chegada somada à 90 o : 90+ch .

 Distância a navegar (d). Ângulos: Diferença de longitude entre os pontos de partida e chegada ( ), ângulo oposto ao lado que representa a distância a navegar (d).

 Rumo final (Rf), ângulo oposto ao lado que representa a colatitude de partida.

 Rumo inicial (Ri), ângulo oposto ao lado que representa a colatitude de chegada (ou 90+ ch). 82

P

 co-ch co-pt d

Ri

Ch

Pt Caso em que os pontos de partida (PT) e chegada (CH) estão no mesmo hemisfério (norte ou sul) conforme o P. Polo Pt E uador Ch

Caso em que as latitudes de partida e chegada tem sinais diferentes. Para construir a planilha contendo os elementos que são dados do triângulo (dois lados e o ângulo compreendido), já transformados para radianos (porque o computador trabalha com arcos em radianos para determinar-lhes as funções trigonométricas), fazemos, para cada posição de partida e chegada:  A 1 2

VGM

B

C

D

DATA

HORA

pt Gr

E

F

G

H

I

pt Min

N/S

Gr

J

K

L

ch Min

E/W

Gr

M

N

O

ch Min

N/S

Gr

3

Min

E/W

P

Q

R



L1

L2

Rad

Rad

Rad

*

**

***

4

Na planilha acima deve-se digitar, nas células P3, Q3 e R3, que contém os asterísticos: * =RADIANOS(SE(I3=O3;(G3+H3/60)-(M3+N3/60);(G3+H3/60)+(M3+N3/60))) ** =RADIANOS(90-D3-E3/60) *** =RADIANOS(SE(F3=L3;(90-J3-K3/60);(90+J3+K3/60)))

83

S

Se a planilha for preparada exatamente como mostrada acima, sem qualquer erro de digitação, ainda que seja de simples espaços em branco ou palavras, cada vez que forem preenchidas as células referentes aos dados, na linha 3, as células que contém os asteríscos imediatamente mostrarão os valores dos três elementos dados no triângulo, já em radianos e prontos para serem aplicados às Leis dos cossenos já estudadas.

5.4 Cálculo da distância a navegar. Se adicionarmos uma coluna (S), e em uma de suas célula (S3) digitarmos a Lei dos Cossenos para os lados, usando as células que tinham asteríscos (P3, Q3 e R3), as quais são os elementos dados do triângulo, possibilitaremos o cálculo automático da distância a navegar:

1 2

 A

B

C

D

VGM

DATA

HORA

pt Gr

E

F

G

H

I

pt Min

N/S

Gr

J

K

L

ch Min

E/W

Gr

M

N

O

ch Min

N/S

Gr

Min

E/W

P

Q

R

S



L1

L2

d

Rad

Rad

Rad

M

3 4

S3 - Na célula S3 digitamos a fórmula: =60*Graus(cos(Q3)*cos(R3)+sen(Q3)*sen(R3)*cos(P3))

5.5 - Cálculo do rumo inicial. O Rumo Inicial é a direção e o sentido que o navio deve tomar, inicialmente, a partir do ponto onde inicia a ortodromia, ao seguir, em uma Navegação Ortodrômica, para um ponto ou porto de destino. Como qualquer ortodromia é feita através de um conjunto de linhas retas (loxodromias), todas tangentes à curva que em hipótese o navio deveria descrever, uma ortodromia é tanto mais perfeita quanto maior o número de tangentes o navio seguir e, por consequência, quanto maior o número de rumos o navio tiver navegado. Em cada ponto da trajetória do navio em que se tenha uma posição observada pode-se ter um Rumo Inicial.

84

Para calcular o Rumo Inicial de maneira automática, a partir da mesma planilha preparada anteriormente, simplesmente prossegue-se acrescentando mais uma coluna (coluna T):

1

 A

B

C

D

VGM

DATA

HORA

pt

E

F

G

H

I

pt

J

K

L

ch

M

N

O

c

P

Q

R

S

T



L1

L2

d

Ri

Rad

Rad

Rad

M Gr

h 2

Gr

Min

N/S

Gr

Min

E/W

Gr

Min

N/S

Gr

Min

E/W

3 4

Na célula T3 digita-se a seguinte fórmula que calculará o ângulo, do triângulo da navegação ortodrômica, formado no ponto de partida, chamado de Rumo Inicial (Ri), mas que ainda não será o rumo que o navio deverá seguir para percorrer a ortodromia desejada, a não ser que o ponto de chegada esteja a nordeste do ponto de partida. Caso o ponto de chegada esteja a noroeste do de partida, teremos que subtrair de 360o; se estiver a sudeste teremos que subtrair de 180 o; e se estiver a sudoeste teremos que somar com 180 o: T3 - A fórmula adicionada à célula T3 será: =GRAUS(ACOS((COS(R3)COS(RADIANOS(S3/60))*COS(Q3))/(SEN(RADIANOS(S3/60))*SEN(Q3))))

5.6 - Cálculo de e . O Ângulo formado entre o Equador e o círculo máximo que contém a derrota ortodrômica, ou melhor ainda, entre o plano do Equador e o plano que contém o círculo máximo da derrota, é indicado por

e é exatamente igual à latitude dos

vertexes Norte e Sul (apenas os sinais são diferentes, indicando que um é norte e o outro é sul). Para calculá-lo através da mesma planilha, acrescenta-se uma coluna a esta (coluna U) e na célula U3 digita-se a fórmula, originada das Leis e Analogias de

85

Neper para resolução de triângulos esféricos retângulos, aplicando-as a um triângulo retângulo cujos vértices são:

 o ponto de encontro entre o Equador e o círculo máximo da derrota  o ponto de partida da derrota ortodrômica  o ponto de encontro do meridiano do ponto de partida e o Equador  Nesse triângulo os ângulos são: (por definição, o ângulo formado no encontro do Equador com o círculo



máximo da derrota, e igual ao valor absoluto das latitudes dos vertexes) 

90o (porque é o encontro de um meridiano com o Equador)

  Ri (porque é oposto pelo vértice a Ri, formado pelo mesmo meridiano e



pela mesma derrota)  Ainda nesse mesmo triângulo os lados são:

 a própria latitude de partida (pt) - lado oposto a   a diferença entre as longitudes de partida e do ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador (lado oposto ao Ri), ao qual chamaremos de

 um lado que não será levado em conta para os cálculos, mas que chamaremos de K K

PT

pt

 

pt co-Pt



co-

co-K

Pelas analogias temos que: sen (co-) = cos (co-Ri) . cos pt

de onde cos   = sen Ri . cos pt 86

e

sen (co-Ri) = cos (co-) . cos 

de onde cos  = cos Ri /sen 

Essas fórmulas são digitadas, respectivamente, nas células U3 e V3, criadas nas colunas U e V da mesma planilha:

1

A

B

C

VGM

DATA

HORA

D

E

F

G

pt

2

H

I

J

pt

Gr

Min

N/S

K

L

ch

Gr

Min

E/W

Gr

M

N

O

P

ch Min

N/S

Gr

Min

E/W

Rad

Q

R

S

T

L1

L2

d

Ri

Rad

Rad

M

Gr

U

V

Gr 

Gr 

3 4

 As fórmulas a serem inseridas, respectivamente, nas células U3 e V3, são: EmU3: =GRAUS(ACOS(SEN(RADIANOS(T3))*COS(RADIANOS(D3+E3/60)))) Em V3: =GRAUS(ACOS(COS(RADIANOS(T3))/SEN(RADIANOS(U3))))

Como as latitudes dos vertexes são ambas iguais, em valor absoluto, a b. Como as longitudes dos vertexes são defasadas em 90 o do ponto de cruzamento do círculo máximo da derrota com o Equador, podemos criar, na planilha, mais 6 colunas (W, X, Y, Z, AA e AB) para designar duas para a latitude do vertex (W e X), duas para a longitude do vertex norte (Y e Z) e duas para a longitude do vertex sul (AA e AB), como mostra a planilha final, digitando as seguintes fórmulas em cada uma dessas colunas: A

B

C

D

E

F

1 VGM DATA HORA pt 2

Gr

G

H

I

pt Min

N/S

Gr

J

K

L

ch Min

E/W

Gr

M

N

ch Min

N/S

Gr

Min

O

P

Q

R

S

T



L1

L2

d

Ri

Rad

Rad

M

Gr Gr Gr Gr Min Gr Min

E/W Rad

U

V

W X v

Y

Z

AA AB

v

V

3 4

87

Gr Min