Apostila de Teoria de FT - Parte II - Versão 2015 PDF

 

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Capítulo 1 Fenômenos de Transporte - Introdução  1.1 Generalid Generalidades ades

Para entender do que se trata Fenômenos de Transporte, serão analisados alguns casos práticos, tais como: a) Respiração animal:  ar em movimento; ar  fluido; movimento  Mecânica; portanto: Me Mecânica cânica dos Fluidos Flui dos ; b) Circul Circulação ação sangüínea sangüínea::  sangue em movimento; sangue  fluido; movimento  Mecânica; portanto: Me Mecânica cânica dos Fluido s ; c) Fazer café na forma líquida:   aquecer a água para depois colocar o pó de café; aquecer a água  aquecer primeiro o recipiente  condução de calor  aquecer a água  convecção; portanto, passando calor do recipiente para a água tem-se uma Transferência de Calor ; d) “Bronzear-se” na praia:  um processo recomendado somente antes da 10h da manhã e após às 16h da tarde, com uso de protetor solar ou filtro; radiação solar que atinge a pele humana  calor que se transfere do Sol à pessoa   portanto: Transferência de Calor ; e) Secar roupa no varal:  com a umidade relativa do ar baixa (menor que 50%) as gotículas de água saem da roupa e vão para o ar seco, gradativamente; isto é acelerado pelo ar em movimento (ventilação); ar em movimento   Mecânica dos Fluidos ; gotículas de água saindo da roupa e indo para o ar  Transferência de Massa; f) Fa Fabri bricação cação de leite em pó : retirar água do leite; se aquecer o leite de forma bruta, direta, poderá destruir suas propriedades alimentícias; portanto, a água deve ser retirada do mesmo de forma gradativa, utilizando-se o mesmo processo da secagem da roupa no varal, mas com ar muito seco e quente; de Massa ; submarinos, mísseis, automóveis, g) portanto: Projeto Transferência de aeronaves, navios, projéteis; trens:  contato do veículo com ar, água ou ambos; ou o veículo fica estático e o fluído move-se ao seu redor ou o contrário; em ambos os casos  Me Mecânica cânica dos Flui Fluidos dos ;

Em todos estes casos familiares, que fazem parte do cotidiano, e mais em uma centena de outros casos, é aplicado algum estudo de Fenômenos de Transporte (FT). Por isto, pode-se definir Fenômenos de Transporte  como a ciência  que estuda toda a fenomenologia na transferência (transporte) de um ponto A até um ponto B de três áreas (ou situações), a saber:

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-  Fluidos:  líquidos e gases  Transferência de Quantidade de Movimento; -  Calor:  fluxo térmico  Transferência de Calor; -  Massa: difusividade molecular  Transferência de Massa;

1.2 Apl Aplic icações ações d de e FT 1.2.1 Aeronáutica

Como projetar um avião como os das figuras 1.1 e 1.2 sem saber de FT? O futuro engenheiro deve tentar imaginar a complexidade destes aparelhos sem o conhecimento do engenheiro que os projetou em FT.

Fig. 1.1: 1.1: avião para uso com comercial ercial

Fig. 1.2: 1.2: avião para uso mil militar itar

1.2.2 Automobilística

Estudar a aerodinâmica dos automóveis, colocando o protótipo num túnel de vento já é tarefa corriqueira para um engenheiro com conhecimentos em FT (fig. 1.3).

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Fig. 1.3: 1.3: carro esporte

1.2. 1.2.3 3 Projeto de coração artif artifici icial al e hemodiáli hemodiálise se

Imagine o futuro engenheiro a Medicina sem o auxílio de engenheiros com conhecimentos em FT. Talvez alguns pacientes demorassem um pouco mais para serem curados de seus problemas cardíacos ou renais (figs. 1.4 e 1.5).

Fig. 1.4: projeto de coração artificial elétrico

Fig. 1.5: bomba peristáltica utilizada em hemodiálise  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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1.2.4 1.2 .4 Estação de Tratament Tratamento o de Esgot Esgoto o

Muito se deve ao bem estar da população pela existência de engenheiros e químicos com conhecimentos em FT capazes de projetar estas edificações que tanto bem fazem à humanidade (fig. 1.6), principalmente ao nosso querido Rio Sorocaba.

Fig. 1.6: 1.6: Estação de Tratamento de Esgoto

1.2. 1.2.5 5 Formação de ondas oceâ oceânicas nicas e estudos cli climático máticoss

Base para a Meteorologia, FT deslumbra como matéria fundamental para a previsão de ondas gigantes (tsunamis) e furacões em alguns países cujas populações tem que se precaver destes fenômenos meteorológicos (fig. 1.7 e 1.8).

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Fig. 1.7: 1.7: furacão visto do espaço po r satélites

Fig. 1.8: 1.8: formação de ond ondas as no oceano

1.2.6 1.2 .6 Usina Maremotr iz

Sabia o futuro engenheiro que é possível conseguir-se gerar energia elétrica através da força das marés? Esta edificação é denominada usina maremotriz e já é aplicada em alguns países já faz algum tempo (fig. 1.9).

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Fig. 1.9: 1.9: modelo d de e usina maremotri maremotrizz

1.2.7 1.2 .7 Extr Extração ação Petrol Petrolífera ífera e Sondagem na Águ Água a

Hoje já existem plataformas decosta petróleo em alto que são totalmente automatizadas, cujo controle é feito na marítima, semmar haver a necessidade de técnicos na plataforma, evitando assim inúmeros acidentes que, infelizmente, fizeram várias vítimas. Imagine o futuro engenheiro se isto poderia funcionar sem os conhecimentos básicos em FT (figs. 1.10 e 1.11).

Fig. 1.10: 1.10: plataform plataforma a para e extr xtração ação petrolífera em alto mar

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Fig. 1.11: 1.11: so sondagem ndagem na água

1.2. 1.2.8 8 Projeto de embarcações de grande porte

Será realmente que quem ter projetou o Titanic  tinha reais conhecimentos emprojetadas FT? Será com que ele deveria afundado? Hoje todas as embarcações são o máximo de segurança possível e seus engenheiros são altamente gabaritados em FT para cumprir tal nobre missão na Engenharia (fig. 1.12).

Fig. 1.12: 1.12: trans transatlântic atlântico o Queen Ma Mary ry 2

1.2.9 1.2 .9 Fontes a altlternati ernativas vas de geração de energi energia a elétri elétrica ca

O vento vem sendo uma das formas mais estudadas para geração de energia elétrica, considerada como forma alternativa ainda a ser amplamente aplicada nos  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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dias atuais. Logicamente, estudar os geradores eólicos somente se faz com conhecimentos profundos profundos em FT. Na fig. 1.13 se faz um comparativo entre as pás de um gerador eólico e um avião comercial.

Fig. 1.13: 1.13: geradores eólico eólicoss

1.2. 1.2.10 10 U Usinas sinas hidr elétricas

Logicamente, para se projetar, construir e manter o funcionamento de Itaipu é formada uma equipe de engenheiros, biólogos, químicos e vários outros profissionais que, sem os conhecimentos básicos em FT, seria impossível suprir esta tão complexa tarefa (fig. 1.14).

Fig. 1.14: UH de Itaipu  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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1.2. 1.2.11 11 Pa Pasteuri steuriza zação ção do leite e ffabricação abricação do leite em p ó

Pasteurizar o leite é purificá-lo das bactérias nocivas à saúde, para depois secá-lo, sem tirar-lhe suas propriedades nutritivas, fabricando-se assim o leite em pó. E isto é feito com os conhecimentos básicos em FT (figs. 1.15 e 1.16).

Fig. 1.15: 1.15: processo de pasteurização do leite (1)-Leite Crú; (2)-Bomba; (3)-Água Fria; (4)-Água Quente; (5)-Homogeneizador; (6)-Serpentina de Contro le; (7)(7)-Água Água Superaquecid Superaquecida; a; (8) (8)-Va -Vapor por de Aqu Aquecimento; ecimento; (9) (9)-Leite -Leite Pa Pasteuri steurizado zado

Fig. 1.16: 1.16: desidratador p para ara leite em pó (1 (1)-D )-Desidratador; esidratador; (2) (2)-Ar -Ar Aq Aquecido; uecido; (3) (3)-Leite -Leite Líquido Líquido;; (4 (4))-Bomb Bomba a de Pressão; (5 (5)-Atomizador; )-Atomizador; (6)-Ciclone; (7)-Filtro; (8)-Saída do Ar; (9)-Saída do Leite em Pó    _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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1.2.12 1.2 .12 Fabric Fabricação ação d de e cervej cerveja a

Quem não conhece, pelo menos teoricamente, esta bebida famosa no mundo inteiro? Para suprir a demanda mundial, os fabricantes têm que automatizar seus processos de fabricação, aprimorando ainda mais os seus conhecimentos de FT nesta aplicação (fig. 1.17).

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Fig. 1.17: 1.17: modelo de fabric fabricação ação de cerveja  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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1.2.13 1.2 .13 Fabric Fabricação ação do aço

Considerando-se que para fundir o aço, a temperatura mínima necessária, à pressão normal, é de 1480 oC, pode-se fazer uma idéia de quão necessário é o conhecimento mínimo em FT para se controlar esta temperatura num forno propício para tal (fig. 1.18).

Fig. 1.18: 1.18: fabric ação do aço

1.2.14 1.2 .14 E a vid a con contitinua... nua...

Em outras palavras, não há nenhuma área de Engenharia que não precise de FT. É por isto e por muitos outros motivos que o futuro engenheiro precisa fundamentalmente dos conhecimentos adquiridos em FT para sua formação profissional.

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Capítulo 2 Sistemas de Unidades  2.1 Grandeza – defi definiç niç ão

Grandeza é tudo o que pode ser medido. A grandeza obedece à seguinte equação característica característica::

Grandeza Gra ndeza = valor medido + unid unidade ade O valor medido pode ser obtido por um método direto (instrumento de medição) ou indireto (cálculo). Se a grandeza não tiver unidade (ou dimensão) ela é denominada adimensional.  2.2 Sist Sistemas emas de Unid Unidades ades A unidade deve ser obtida por um sistema de unidades adequado. São quatro os sistemas de unidades mais utilizados em FT, a saber: I) Sistema Sist ema Intern Internacio acional nal de Unid Unidades ades (SI (SI): ):   é composto de 7 grandezas básicas, chamadas FUNDAMENTAIS, de onde deduzem-se as outras, denominadas DERIVADAS. As grandezas básicas do S.I. são resumidas na tabela 2.1. Tab. Tab. 2.1: grandezas fund fundamentais amentais do SI Grandeza

Unidade

Símbolo da unid ade

Comprimento Massa Tempo

metro quil ograma segundo

m kg s

Intensidade de corrente elétrica Temperatura termodi nâmica Intensidade lumi nosa Quantidade de matéria

ampère kelvin candela mol

A K cd mol

Algumas grandezas possuem suas unidades homenageando alguns cientistas  Alguns exemplos: a) Força: Newton

N

Em homenagem a Isaac Newton, cientista inglês.

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Isaac Newton New ton (164 (1643 3 – 1727)

b) Ene Energi rgia, a, trabalho: Ne Newton wton . metro = Joul Joule e

J

Em homenagem a James Prescott Joule, cientista inglês.

James Prescott Joule (1818 – 1889)

c) Potência: Joul Joule/ e/segundo segundo = J/s = Wa Watt tt

W

Em homenagem a James Watt, cientista escocês.

James Watt (1736 – 1819)

d) Intensidade Intensid ade de Corrente Elétrica: Ampère

A

Em homenagem a André Marie Ampère, cientista francês.

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 Andr  An dré é Marie A Amp mpère ère (1775 – 183 1836) 6)

e) Te Temperatura mperatura Absol uta: Kelvin

K

Em homenagem a Whilliam Thonpson (mais conhecido pelo seu título, Lord Kelvin), cientista inglês.

Whilli am Thonpso n, Lord Kelvin (18 (1824 24 – 1 190 907) 7)

f) Pressão, tens tensão: ão: Pascal Pa Em homenagem a Blaise Pascal, cientista francês.

Bl Blaise aise Pasc al (1623 – 1 1662 662))

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g) Ca Carga rga elétrica: Coulomb

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C

Em homenagem a Charles Augustin Coulomb, engenheiro militar francês.

Charles August Au gust in Coulomb (17 (1736 36 – 18 1806 06))

II) Sistema Sist ema Ingl Inglês ês Gravit Gravitacio acional nal (SI (SIG): G):   as grandezas fundamentais do SIG são resumidas na tabela 2.2. Tab. 2.2: 2.2: grandezas fund fundamentais amentais do SIG Grandeza

Unidade

Símbolo da unid ade

Comprim ento Massa Massa Tempo Temperatura Termodinâmic a Força

foot (pé) slug segundo rankine libr a-força

ft slug s R lbf

III) Sistema Sist ema Ingl Inglês ês de Engenhar Engenharia ia (SI (SIE): E): basicamente, o que muda do SIE para o SIG é a unidade de massa que, no SIE, é a libra-massa  (l bm ). A relação das unidades de massa dos dois sistemas está no valor da aceleração gravitacional no SIE, que vale: Ao nível do mar : g o = 9,80665 m/s 2 1   Como : 1 ft = 0,3048 m → 1 m = ft 0,3048 9,80665 2 ∴go = ft/s → g o = 32,17405 ft/s 2 ≅ 32,17 ft/s 2 0,3048

Assim, a relação entre a libra-massa e o slug é: 1 slug = 32,1 32,17 7 lbm IV) Sist Sistema ema Prátic o (SP (SP): ):  basicamente, as grandezas fundamentais no SP estão resumidas na tabela 2.3.

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Tab. Tab. 2.3: grandezas fund fundamentais amentais do SP Grandeza

Unidade

Símbolo da unid ade

Força Comprim ento Temperatura

quilograma-força quilograma-força inch (polegada) graus Celsius/graus Fahrenheit

kgf in o o C/ F

2.3 2.3 Constr Construção ução de um fator de conv conversão ersão de uni unidade dade comp compost osto o

Pelo apêndice N sabe-se, por exemplo, que: 1 kgf kg f = 9,80665 N 1 lbf lb f = 4,448 N 1 ft = 0,304 0,3048 8 m 

Deseja-se saber quanto vale 1 kgf/m 2  em lbf/ft 2 (também denominado psf = pound square foot ). O raciocínio para construir este tipo de fator de conversão é da seguinte forma: Se : 1 kgf  = 9,80665 N E : 1 lbf  = 4,448 N 9,80665 Então : 1 kgf  = lbf  4,448 kgf  9,80665 lbf  Ou ainda : 1  2 = 4,448 m 2 m Mas, se : 1 ft = 0,3048 m 1 1 Então : 1 m = ft → 1 m 2 = ft 2 2 0,3048 (0,3048) kgf  9,80665 Portanto : 1  m 2 = 4,448 .

∴1 

1

 

lbf  9,80665.(0,3048)2 lbf 

ft 2 = 1 2 (0,3048)

4,448

ft 2

kgf  lbf  = 0,2048  2 2 m ft

2.4 Símbolos dimensionais

O símbolo dimensional leva em consideração a dimensão mais básica da grandeza e não depende do sistema de unidades adotado. Assim sendo, os símbolos dimensionais das grandezas fundamentais são assim definidos na tabela 2.4.

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Tabela 2.4: símbolos dimensionais das grandezas fundamentais Grandeza

Símbolo dimens ion al L M T I θ  Io  

Comprimento Massa Tempo Intensidade de corrente elétrica Temperatura termodinâmica Intensidade luminosa Quantidade de matéria

N

Assim, através do símbolo dimensional das fundamentais, pode-se deduzir o símbolo dimensional das grandezas derivadas. Exemplos: a) Velocidade:  V = d/t = distância/tempo Símbolo dimensional: [V] = [d/t] = L /T = L . T-1  b) Aceleração:  a = V/t = velocidade/tempo Símbolo dimensional: [a] = [V/t] = L . T-1/T = L . T-2  c) Força:  F = m . a = massa . aceleração ( 2 a Lei de Newton ) Símbolo dimensional: [F] = [m [ m . a] = M . L . T-2 = F

Neste caso da força, ela reúne em si toda a base dimensional do sistema, isto é, a base MLT . Assim pode-se obter outra base dimensional, isto é, a base F. Ou seja, toda grandeza que depender da força para sua definição básica, utilizará a base F ou a base MLT , conforme o caso. Um exemplo disto é o trabalho  (ou energia). Seu símbolo dimensional pode ter duas bases, MLT ou F, da seguinte forma: Trabalho Traba lho = F . d = for força ça . dist ância

[Trabalho] = [F.d] = F . L = M . L 2.T-2 

Como o símbolo dimensional independe do sistema de unidades utilizado, ele poderá ser utilizado para se saber qual a unidade da grandeza no sistema adotado. Por exemplo, a unidade de velocidade no SI pode ser deduzida pelo símbolo dimensional da velocidade, da seguinte forma: lembrando que o símbolo -1

dimensional da velocidade . T  tem-se que adaunidade velocidade no de SI será a unidade representativa de éLL  vezes o inverso unidadedarepresentativa T, no mesmo sistema (isto é, o SI). Isto é: [V] = m . s -1 = m/s

E, assim analogamente, podem-se determinar as unidades das grandezas derivadas, sabendo-se seus símbolos dimensionais e o sistema de unidades em estudo. Na tabela 2.5 estão ilustrados os símbolos dimensionais de várias grandezas derivadas estudadas em Mecânica dos Fluídos.

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Tabela Tabela 2. 2.5: 5: símbolo símboloss di dimension mensionais ais de várias grandezas derivadas Grandeza Grandez a derivada Definição mais básica Símbolo dimens dimensional ional na base MLT 1 2 -3 Potência (dW/ (dW/dt) dt) Energia/tempo M .L .T   Massa/volume M1.L -3.T0  Massa Ma ssa específi específica ca (ρ) Pe Peso/vo so/volume lume M .L- .T-   Peso específico (γ) Força/á Força /área rea M .L- .T-   Tensão ou Pressão (τ ou p) Carga de pressão (H) Pressão/peso específico M0.L 1.T0  Taxa de deform deformação ação angular  Ângu  Ân gulo lo/tem /tempo po M0.L 0.T-1  (d  /dt) Viscosidade dinâmica ou Tensão/taxa Tensão/ taxa de defo deformação rmação M1.L -1.T-1  angular absoluta (µ) Viscosidade dinâmica/massa M .L .T-   Viscosidade cinemática (υ) específica Módulo de elastici elasticidade dade (E (E)) Tensão/de Tensão/deform formação ação relativa M .L- .T-   Vazão Vaz ão em volu volume me ou Volume Vo lume/t /te empo M .L .T-   volumétrica (Q) Vazão Vaz ão em massa ou máss mássica ica Massa/tempo M1.L 0.T-1  (dm/dt)

2.5 Grupos adimensionais

Define-se grupo adimensional   ao conjunto de grandezas cuja dimensionalidade é unitária, isto é, o símbolo dimensional do grupo todo é unitário. Isto não significa que o grupo adimensional é formado por grandezas adimensionais. Mas, no conjunto, o grupo adimensional possui dimensão unitária. Um exemplo de grupo adimensional muito importante na Mecânica dos Fluidos é o Número de Reynolds , em homenagem a Osborne Reynolds, cientista irlandês (ver apêndice L ):

Osborne Reynolds (1842 – 1912)

O Número de Reynolds estuda a relação entre forças de inércia e forças de viscosidade presentes num escoamento escoamento de fluido e é dado pela relação a seguir:

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 ρ .V    .L Rey =  µ    Onde:

V = velocidade média do fluido em escoamento L  = dimensão característica do escoamento  [L] = L  

Para provar que o Número de Reynolds é adimensional basta substituir, no lugar das grandezas que o compõem, seus símbolos dimensionais, da seguinte forma:

 ρ .V  L .   M 1. L−3  L . 1.T −1 L . 1 [Rey] =  = = 1   1 −1 −1  M   L . .T   µ   Portanto, como o símbolo dimensional do Número de Reynolds é unitário, o Número de Reynolds é um grupo adimensional. 2.6 2.6 Te Teorema orema de Bri Bridgmann dgmann

Em homenagem a Percy Williams Bridgmann, cientista norte americano (ver apêndice E).

Pe Percy rcy Williams Bri dgman dgman  (1882 – 1961)

O enunciado do Teorema de Bridgman é: “ Se Seja ja um conjunt con junt o de grandezas, grandezas, pertencentes pertencentes a um fenômeno físico. f ísico. Qualquer grandeza G, pertencente ao conjunto das grandezas envolvidas, pode ser escrita como um produto de uma constante adimensional mais o produto das demais grandezas grandezas do co njun to, cada qual elevado elevado a um expoente próprio própri o .”

Isto é: γ  ζ  G = k .G1α .G β  G G . .... 2 3 n    _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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O presente teorema implica que, se as grandezas envolvidas possuem praticamente a mesma base dimensional, elas estão relacionadas entre si como um produto das mesmas grandezas onde os expoentes próprios são determinados pelos expoentes da base dimensional. Por exemplo, no experimento do pêndulo simples, foram medidas as grandezas envolvidas período de oscilação (T), comprimento do pêndulo (L) e a aceleração da gravidade (g). Deseja-se escrever a relação funcional entre as grandezas envolvidas, com relação ao período de osc ilação (T) (T),, isto é:

T  =  f ( L, g )   De acordo com o Teorema de Bridgmann, tem-se que:

. α .g β    T  = k  L A próxima etapa é substituir as grandezas envolvidas pelo respectivo símbolo dimensional, colocando-os na mesma base dimensional, isto é:   −  L0 .T 1 = 1 L . α   L .  β  .T    2. β  =  Lα + β  .T −2. β   

Aplicando-se homogeneidade dimensional (para mesma base expoentes iguais), isto resulta no seguinte sistema de equações lineares:

α  = 1 α  = − β    α  +  β  = 0  2 → →    1 − =  β  1  2 . 1 = −  β     2  β  = − 2 Com estes valores retorna-se à equação principal completando-se a relação funcional, isto é:  

1

T  = k  L . .g 2

−

1 2

=  k .

 L g

→ T  = k .

 L g

 

É bom lembrar que a constante k   pode ser determinada pelos dados experimentais ou através da aplicação de equações íntegro-diferenciais no fenômeno, NUNCA  pela análise dimensional.

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2.7 2.7 Conta de maluco

Para o futuro engenheiro saber manipular as unidades dos diversos sistemas é de fundamental importância para a sábia resolução das situações que serão expostas nos exercícios e no cotidiano. A título de curiosidade sobre saber manipular os sistemas de unidades, leia o artigo a seguir: Conta de malu co Confusão de medidas medidas de derr r uba sonda espacial espacial e mostr a como é ur g ente esque esquece cerr pé péss e poleg poleg adas ( M ar cos Gusmão - R evista V eja, São Paulo: Abr il, n. 1618, 1618, p. 11 118-11 8-119, 6 out. 1999 1999 .  ))

 A escola ensina que, para qualquer operação que envolva padrões diferentes de pesos e medidas, é necessário fazer a conversão para um único sistema de unidade. Sem isso, é confusão na certa. Na semana  passada, a agência espacial americana, a Nasa, admitiu que um erro e rro primário como esse pode ter sido a causa do desvio, e depois da perda, da sonda M ar s C li m at e Or O r bi ter , que custou 125 milhões de dólares. A nave foi enviada ao espaço para estudar o clima de Marte e espatifou-se ao entrar desastradamente na atmosfera marciana. Para o constrangimento dos cientistas americanos, a única explicação é a sonda ter recebido informações conflitantes dos controladores de voo. Ou seja, ao se aproximar do planeta vermelho, foi abastecida de dados em metro e em quilograma, do Sistema Métrico Decimal, e também em pé e em libra, unidades do  Sistema Imperial Britânico. A comissão de cientistas que investiga o caso acredita que os programas de computador da Nasa não foram capazes de detectar as diferenças entre valores expressos em dois sistemas. time de navegadores espaciais do mundo acabouem com uma esse navesistema caríssima por causa da teimosia O dosmelhor Estados Unidos e de outros países de origem anglo-saxã manter de medidas criado há oito séculos e que já deveria ter virado peça de museu. "  Somente o sistema métrico deveria ser usado", diz  Lorde Young, a presidente da Associação Métrica dos Estados Unidos.  Unidos.  "Ele é a língua de toda ciência sofisticada.". sofisticada .". De fato, é inconcebível para uma cabeça adaptada ao sistema decimal a quantidade de cálculos necessária para trabalhar com medidas como polegadas, jardas e pés. A dificuldade de associação rápida é assombrosa. Um pé se divide em 12 polegadas. A jarda tem 3 pés e uma milha equivale a 1 760 jardas. Para responder quantas polegadas existem em uma milha sem fritar os neurônios só apelando de imediato para uma calculadora. São 63 360 polegadas. E em três quartos de milha? É melhor esquecer. Pelo sistema métrico, para se chegar a quantos centímetros existem em um quilômetro, é só pensar nas 100 subdivisões do metro e acrescentar mais os três zeros do milhar. O resultado: 100000 centímetros em cada quilômetro. Em três quartos de quilômetro? Na ponta da língua: 75 000 centímetros.

 Para abastecer o carro, o inglês e o americano pedem o combustível em galão e não em litro, bebe cerveja em e não aem212 mililitro. Mede o peso emFahrenheit libra ou onça. Para a temperatura um estranhíssimo sistema compint ebulição graus, batizado como e completamente diverso adota dos graus Celsius que o resto do mundo usa. Quando se leva em conta a origem dos sistemas então, parece piada. Houve um tempo em  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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que a jarda era a distância que ia do nariz à extremidade do braço esticado do rei no poder, senhor de todos os  padrões. O pé era exatamente do tamanho do pé real r eal e a polegada pol egada ia pelo mesmo caminho, vinculada ao dedo do soberano. Hoje não é assim, óbvio. A polegada não é o dedão da rainha Elizabeth II, mas sim 2,5 centímetros.  Para se chegar à jarda também não é preciso medir medi r o braço real: fechou-se a questão em 91,4 centímetros. E o  pé, então, é uma lancha de 30,4 centímetros, que claramente não corresponde às dimensões do de sua majestade. Os padrões do chamado Sistema Imperial Britânico foram adaptados ao sistema métrico para poder  funcionar como medidas modernas. “  Mesmo com os ingleses mantendo os conceitos antropomórficos, antropomórf icos, o metro e as demais unidades do sistema decimal acabaram vencendo a batalha", batalha ", afirma Giorgio Moscati, professor do  Instituto de Física da Universidade de São Paulo e membro do Comitê Internacional dos Pesos e Medidas. Medi das. E por quê? Porque o metr metr o  já nasceu com conceituação científica e filosófica e não apenas prática. Ele surgiu como uma unidade de medida física imutável, no caso, a dé décima cima mi lionésim a parte da dis tância entr e o Pólo Norte e o Equador, medida pelo meridiano que passa por Paris . Foi um produto do iluminismo  francês, para acabar com as medidas arbitrárias da Antiguidade e da Idade Média ainda em vigor no século  XVIII. E até se sofisticou. H oje o met metrr o é calculado calculado com com base no espaço espaço per per co corr r ido pela luz no vácuo em determi determi nado perí odo de tempo, o que permite uma calibragem de instrumentos com precisão indiscutível. O problema é que, por motivos culturais diversos países, entre eles a maior potência do planeta, relutam em abrir mão de suas medidas arcaicas. O que foi disputa entre as pretensões imperiais da França e da  Inglaterra nos últimos dois séculos virou um problemão científico para o futuro, como prova a bobagem cometida pelos cientistas da Nasa na semana retrasada. "  Não dá para trocar as medidas de uma hora para outra", outra ", explica o professor Moscati. "  Assim como a jarda é incompre incompreensível ensível para nós, o metro me tro não passa de uma abstração para a maioria dos americanos e ingleses", ingleses", diz ele. O resultado é um conflito de comunicação entre metade do planeta que pensa de um jeito e o outro lado que pensa de outro, insustentável numa sociedade globalizada. Para resolver pendengas como essa, na próxima segunda-feira a Conferência Geral dos Pesos e  Medidas se reúne mais uma vez em Paris, na França. Os especialistas discutirão exatamente quais são as maneiras de acelerar o processo de unificação que adotará definitivamente o sistema internacional de unidades (SI) que decimal regulamenta o metro, quilograma, o litro e os graus Celsius como padrão. "  A unificação no padrão métrico é inevitável  ", oafirma ", Moscati, que participará da reunião. Os Estados Unidos aderiram ao sistema internacional em 1959. Há quatro anos, por força da União Européia, a Inglaterra resolveu dar adeus definitivo à velharia baseada em pés, polegares e narizes reais. Em ambos os países, o sistema métrico convive com o imperial, mas a maioria da população só faz contas no estilo antigo. Por isso as trapalhadas como a ocorrida na Nasa. A confusão está longe de acabar.

 M ar s C I i m at e Or bi ter : d des escom com pa s s o ent r e metr met r os e pés d er r u bou a son s on da

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Capítulo 3 Fluidologia - fluidos e suas propriedades  3.1 Generalidades

FLUIDO:   é uma substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço (tensão) tangencial, NÃO IMPORTANDO quão diminuto seja este esforço. Outra definição:  definição:  é uma substância que se adapta totalmente ao recipiente que a contém (mesmo volume). Outra definição: definição: é  é uma substância que tem facilidade de se escoar (embora seja visto em FT que este conceito é relativo). Em FT como fluidos se entendem os líquidos e os gases. Por sua vez, na área industrial, os fluidos mais importantes são água, ar, óleo e vapor de água.  FLUIDA:   é certa quantidade de fluido que possui certa continuidade PARTÍCULA FLUIDA: (ausência de espaços vazios em seu interior). ADERÊNCIA: ADERÊNCIA:   corresponde à condição de deslocamento do fluido quando em contato com alguma superfície, expressa da seguinte forma: “ A  A camada de fluido em contato com a superfície possui a mesma velocidade da superfície .” Na matéria, quando há uma interação entre moléculas da mesma substância, tem-se uma força de coesão . Quando a interação se dá entre moléculas de substâncias diferentes , há uma força de adesão . Os sólidos possuem forças de coesão muito altas, ao passo que nos líquidos esta força é fraca e nos gases ela é praticamente inexistente. Ambas as forças, coesão e adesão, são de natureza elétrica (forças eletrostáticas que obedecem obedecem à Lei de Coulomb). O fluido, ao escoar, pode entrar em contato com alguma superfície (placas, paredes de tubulações). Ao fazê-lo, surge um fenômeno de interação entre as partículas fluidas e a constituição física da superfície (adesão = rugosidade do tubo + viscosidade do fluido), fazendo surgir entre elas esforços tangenciais opostos ao movimento das partículas. Nesta interação as partículas que estão em contato com a superfície ficam agregadas à mesma superfície, fazendo-se com que a primeira (e muito pequena) camada de fluido em contato com a superfície adquira a velocidade da superfície. Ou seja, entre a primeira (e muito pequena) camada de fluido e a superfície não há “escorregamento”. FLUIDO : é o gráfico que relaciona a DIAGRAMA PRESSÃO X TEMPERATURA DO FLUIDO: pressão absoluta em função da temperatura sobre o fluido e fornece o ponto triplo do fluído, para estudo dos limites de mudança de estado. Na figura 3.1 ilustra-se um diagrama pressão x temperatura para qualquer substância.

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Fig. 3.1: 3.1: diagrama pressão x ttemperatura emperatura gené genéric rico o

Como exemplo, a figura 3.2 fornece o diagrama pressão x temperatura do dióxido de carbono (CO2).

Fig. 3.2: 3.2: diagrama pressão x temperatura do CO2 – na fase sólida, sólid a, o CO2 é denominado gelo “seco”

A importância de se definir os limites de pressão e temperatura para um fluido em estudo, estando ele em repouso (Fluidostática) ou em movimento (Fluidocinemática) é que, pelo menos em FT, não será estudada a possibilidade de mudança de estado do fluido. Assim sendo, se num escoamento o fluido inicia seu movimento como líquido terminará o escoamento como líquido. Se o fluido inicia seu escoamento como gás, ele terminará o escoamento como gás. ABSOLUTA: define-se massa específica (ρ   MASSA ESPECÍFICA OU DENSIDADE ABSOLUTA: define-se = rô ) ou absoluta de no uma substância como sendo a relação entre sua massa e odensidade volume que ela ocupa espaço, dada por:  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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  ∆m   dm  =  ρ  = lim  ∆V  → ∆V  ' ∆V    ol   dV ol ol

Onde: específica.

ol

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Vol ’   = volume mínimo onde ainda se pode determinar a massa

Unidades: No SI: [ ρ ] = kg/m 3  No SIG: [ ρ ] = slug/ft 3 

Os instrumentos mais utilizados para medir-se a massa específica são: I)

Areômetro ou densímetro: o funcionamento do densímetro basea-se no princípio do empuxo : uma força de resistência causada pelo fluido em

contato com alguma superfície em seu interior; a força de empuxo é aplicada no densímetro em sentido contrário à força peso sobre ele; quando estas forças se equilibram, no nível do líquido se mede a densidade do líquido na escala do densímetro; nas figuras 3.3 e 3.4 ilustram-se o densímetro utilizado em laboratório e o mesmo densímetro medindo a densidade de uma amostra de água, onde se oberva aproximadamente o valor de 1 g/cm 3  para esta amostra. 

Fig. 3.3: areômetro ou densímetro utilizado em laboratórios

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Fig. 3.4: 3.4: areômetro ou densímetro em us o para a água – le leitu itura ra aproxim aproximada ada de 1 g/cm 3 

II)

Picnômetro:   o picnômetro é um recipiente de volume padronizado, geralmente 50 mL, e, além do recipiente, ele é composto ainda de um termômetro e um obturador; o processo de medição da densidade pelo picnômetro é o seguinte: mede-se a massa do conjunto a vazio (sem líquido no interior do recipiente) com o auxílio de uma balança digital, em gramas; retira-se o termômetro e a tampa do obturador do picnômetro e enche-se o picnômetro com o líquido do qual se quer saber a densidade; recoloca-se primeiro o termômetro no picnômetro e depois a tampa do obturador, pois o excesso de líquido no recipiente vazará pelo obturador; se limpa, com pano ou toalha de papel, todo o conjunto para se retirar excesso de líquido no lado externo do picnômetro; mede-se a massa do conjunto com a balança digital, em gramas; calcula-se a diferença das massas do picnômetro a vazio e com 3 ele completo; dividi-se esta diferença de massa peloem seug/mL volume e, assim, obtém-se a leitura da densidade do líquido estudado   ou g/cm ; na figura 3.5 ilustra-se o picnômetro utilizado em laboratórios; na figura 3.6 ilustra-se o picnômetro a vazio na balança; na figura 3.7 ilustra-se o conjunto completo na balança com uma amostra da mesma água utilizada no densímetro da figura 3.4; e, na figura 3.8, ilustra-se o termômetro utilizado no picnômetro, para se registrar a que temperatura foi medida a amostra.

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Fig. 3.5: 3.5: picnômetro completo ut ilizado em laboratórios

Fig. 3.6: 3.6: picn picnômetro ômetro c ompleto e a vazio na balança digit digital al – leitura de 42 42,9 ,9 g

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Fig. 3.7: 3.7: picn picnômetro ômetro c ompl ompleto eto e com a amostra de água na bala balança nça digi tal – leitura de 93, 93,6 6g

Fig. 3.8: termômetro utilizado no picnômetro medindo a temperatura da amostra de água leitura leitur a de 23 oC

Pelas leituras dos instrumentos apresentados nas figuras 3.4, 3.6 e 3.7 podese tirar as seguintes conclusões: I) Pelo areômet areômetro ro a amostra ddee água possui de densidade nsidade de 1 g/cm3;  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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II) Pela leitura do picnômet picnômetro ro a densidade da amost amostra ra de água será dada po por: r: densidade =

massa picnômetro _ completo − massa picnômetro _ vazio  

50

=

93,6 − 42,9 50

 

∴ densidade = 1,014 g/mL = 1,014 g/cm 3 III) Na temperatura de 23 oC, de acordo com dados da tabela A1  do apêndice A , a água deverá ter uma densidade dada por: 23 − 25 20 − 25

=

densidade − 0,9965

0,998 − 0,9965

→ densidade = 0,9929 g/cm 3  

Comparando-se os valores das densidades medidas e considerando o valor dado pela temperatura medida como o mais preciso, têm-se os seguintes erros de comparação: Erro entre a medida do termômetr o e do densímetro : ε  % = 100.

1 − 0,9929

Erro entre a medida do termômetr o e do picnômetro : ε 2 % = 100.

= 0,7151 % ≤ 5% → OK!

0,9929

1

1,014 − 0,9929 0,9929

  = 2,1251 % ≤ 5% → OK!

Por estes valores, fica a cargo do futuro engenheiro escolher o método de medição da densidade da água mais preciso para a sua aplicação. PESO ESPECÍFICO: ESPECÍFICO: defini-se  defini-se peso específico (γ  = gama) de uma substância como sendo a relação entre o seu peso e o volume que a substância ocupa no espaço, dado por:

  ∆   W  dW  γ  = ∆V lim →∆V  ' ∆V   = dV    ol   ol   ol

ol

Unidades: No SI: [ γ ] = N/m 3  No SIG: [ γ ] = lbf/ft 3 

A relação entre γ  e ρ  é dado por:

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Como :  ΔW = Δm.g Dividindo por ΔVol tem − se que : 

ΔW ΔVol

=γ=

Δm ΔVol

.g = ρ.g  

∴ γ = ρ.g RELATIVA: define-se densidade relativa ( DR ou S ou  δ ) como sendo DENSIDADE RELATIVA: define-se a relação entre a massa específica (ou peso específico) da substância com a massa específica (ou peso específico) de uma substância padrão (ou conhecida). A substância padrão mais utilizada é a água a 4 oC. Sendo assim, a equação da densidade relativa define-se como sendo:

 DR = S  = δ  =

 ρ substância

 

 ρ água

=

γ substância γ água

 

Como a DR  é uma relação entre grandezas de mesma espécie, a DR  é adimensional. E, para todas Aas ela variada com tabela  A1 , presente no apêndice , ésubstâncias, descrita a variação DRa  temperatura. da água em Na função da temperatura. Mas, para efeito da determinação do valor da DR de uma dada substância, os valores padronizados de ρ água e γ água, ambos a 4 oC, são: ρ água =

1000 kg/m 3 = 1,94 1,94 slug /ft 3 

γ água =

1000 kgf/m 3 = 9806,65 N/m 3 = 62,41 lbf/ft 3 

Algumas substâncias em FT são conhecidas e devem ser familiarizadas pelos futuros engenheiros, a saber:

0,7 ≤  DRóleo  ≤  0,85 DRgasolina  DRálcool  = 0,7 DRágua do mar 1,025 DRar   1,2256.10-3  DRHg  13,6 Um exemplo de aplicação : deseja-se misturar, num único recipiente, dois fluidos de densidades relativas DR1 e DR2, respectivamente. Sabe-se que o volume do primeiro fluido é Vol_1 e o volume do segundo fluido é Vol_2. Deseja-se saber qual a DR da mistura de ambos os fluidos no mesmo recipiente, desde que estejam todos à mesma temperatura. Aplicando o princípio de conservação de massa  (não se

perde massa e nem se cria massa) e o princípio d e conserva conservação ção de volume (não se perde volume e nem se cria volume) tem-se que:  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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Tem − se que : m mistura Mas : m mistura

∴ DR mistura =

= m1 + m 2 → Vol_mistura = Vol_1 + Vol_2 = ρ mistura .Vol_mistura = DR mistura .ρ água .Vol_mistura m mistura

ρ água .Vol_mistura

=

m1 + m 2

ρ água .(Vol_1 + Vol_2 )

=

DR 1 .ρ água .Vol_1 + DR 2 .ρ água .Vol_2 ρ água .(Vol_1 + Vol_2 )

 

∴ DR mistura = DR 1 .Vol_1 + DR 2 .Vol_2 → média ponderada Vol_1 + Vol_2 3.1: utilizando  utilizando os dados do apêndice A, determinar a massa Exemplo resolvido 3.1: específica específi ca da água a 42 o C e do ar a 1 atm e 42 o C. Solução: para p ara a água, basta aplicar in interpol terpolaçã ação o nos dados da tabela A1, o que significa signif ica faz fazer er o seguinte: 42 − 45  DRágua − 0,9895 = →  DRágua = 0,9907 40 − 45 0,9915 − 0,9895 ∴ ρ água =  DRágua . ρ água _  padrão = 0,9907.1000 = 990,7 kg/m 3

 

∴ ρ água =  DRágua . ρ água _  padrão = 0,9907.1,94 = 1,921958 slug/ft 3 Para Pa ra o ar, uti utiliza-se liza-se a e equação quação de Clape Clapeyron yron , o sig nif nifica ica faze fazerr o seguint seguinte: e: 1.101325 = 1,1206468 kg/m 3 286,9.(42 + 273,15)  R.θ abs   1,1206468.1,94 = 0,00217405 5 slug/ft 3  ρ ar  = 1000  ρ ar 

=

Pabs

=

HIPÓTESE DO CONTÍNUO: enunciado: “ O fluido é um meio contínuo, isto é, pode ser dividido infini infinitas tas vezes, vezes, em partículas fluidas, fl uidas, entre as quais se supõe não haver haver espaços vazios.” vazios .”

Problema 1:  1:  divide-se o fluido em partículas fluidas e corre-se o risco de, num determinado volume muito pequeno, não encontrar-se mais moléculas o suficiente para determinar-se os valores de ρ   e γ , pois as moléculas do fluido SE MOVEM CONTINUAMENTE em qualquer volume, por menor que seja. SOLUÇÃO ADOTADA NA ENGENHARIA: adota-se um volume mínimo (  Vol ’ ) onde se encontre um número razoável r azoável de moléculas, onde se pode ainda determinar suas propriedades. MAS, AFINAL AFINAL,, QUAL SE SERIA RIA ESTE VALOR D DE E Vol’ ol ’ ?

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ESTUDO DO PIOR CASO: O AR

Em CNTP (condições normais de temperatura e pressão: 15 oC = 288,15 K e 1 atm = 101325 Pa), em 1 m3 de ar o número de moléculas de ar é dado pela Lei dos Ga Gases ses Pe Perfeit rfeitos os , definida como sendo: P.V ol

=  N moléculas . R.θ  → N moléculas = P.V ol . N  Avogadro  R.θ 

 N  Avogadro

∴ N moléculas =

101325.1.6,0221413.10 23 8,314472.288,15

 

∴ N moléculas = 2,547.10 25 moléculas de ar  E este número é muito mais que suficiente para o cálculo das propriedades do ar (ρ   e γ ). Mas, se se tomar um volume de 10-12  m3 de ar (que é o volume de um cubo com 0,1 mm de aresta), tem-se um número de 2,547.1013 moléculas que, ainda assim, é muito mais que suficiente para os cálculos das propriedades do ar. Para se ter uma ideia prática do que é um cubo com 0,1 mm de aresta, numa 20 garrafa PET de 600 mL,(BA), há 600 milhões de cubos dehá aresta. barragem de Sobradinho o maior reservatório decom água0,1 do mm Brasil, 341.10Na   cubos com 0,1 mm de aresta. -12 3 Portanto, se na Engenharia, adotar-se que o valor de Vol’ ol ’  é 10  m , pode-se considerar que os fluidos estudados são meios contínuos, isto é, podem ser divididos infinitas vezes, em partículas fluidas, entre as quais se supõe não haver espaços vazios.

Problema 2: então, pode-se dizer que a hipótese do contínuo vale sempre. RESPOSTA ENCONTRADA NA ENGENHARIA: Não, ENGENHARIA: Não, nem sempre. NOVAMENTE, ESTUDANDO NOVAMENTE, ESTUDANDO O PIOR CASO: CA SO: A ATMOSFER ATMOSFERA. A.

A uma altitude de 90 km acima do nível do mar, tem-se uma redução de 99% na massa específica do ar. Estes dados foram fornecidos por cuidadosas e complexas medições através de balões meteorológicos combinados com técnicas computacionais avançadas. Neste caso, portanto, a aplicação da hipótese do contínuo é arriscada. Geralmente, em casos deste tipo, se recorre a métodos probabilísticos para se determinar as propriedades do ar. FORÇAS ATUANTES: ATUANTES:   em FT há duas classes de forças atuantes: as forças de campo (peso, eletromagnética) e as forças de contato. A força de contato ainda se divide em força normal à superfície (Fn ) e a força tangencial à superfície (Ft ), conforme ilustra a figura 3.9.

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Fig. 3.9: 3.9: decompos ição da for força ça F e em m norm normal al e tangencial à superfície

Dividindo-se a força normal à superfície pela área da superfície (A) tem-se a tensão normal σ, isto é:

F

σ = An

 

Analogamente, dividindo-se a força tangencial à superfície pela área da superfície (A) tem-se a tensão de cisalhamento τ, isto é:

τ=

Ft A

 

Observação importante: O fluido não suporta esforços tangenciais, embora saiba saiba suportar mu ito bem esforços normais. E são os esforços tangenciais o assunto da próxima propriedade do fluido. 3.2 3.2 Viscosi Viscosidade dade - defini definição ção

Define-se viscosidade  como sendo a resistência que o fluido oferece ao movimento relativo de qualquer de suas partes. O fluido é denominado ideal  quando sua viscosidade é praticamente nula. Na prática, isto é um conceito relativo, se comparar-se, por exemplo, o gás metano com a glicerina pois, a 20 oC, a glicerina possui uma viscosidade da ordem de 15.10 4  vezes maior que o metano. Isto é, relativamente é mais difícil escoar glicerina do que o metano, na mesma temperatura, o que torna o metano um fluido relativamente ideal se comparado à glicerina. Pela propriedade da aderência, quando um fluido entra em contato com uma superfície, adquire a velocidade superfície. Este fenômeno estádeintimamente ligado com ele a força de adesão entre odafluido e a superfície e esta força adesão se dá pelos efeitos combinados da rugosidade da superfície e a viscosidade do fluido.  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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Portanto, quando o fluido escoa no interior de uma tubulação, o contato do fluido com as paredes da tubulação causam forças de atrito contrárias ao movimento relativo do fluido na tubulação que, por sua vez, causam perdas de energia mecânica na forma de calor. Isto será estudado com mais profundidade no capítulo 6 desta apostila. Para se estudar os efeitos da viscosidade de fluidos em contato com uma superfície modelo de duas placas planas paralelas e horizontais, separadas adota-se por uma o distância infinitesimal dy   (infinitesimal = muito pequena, -5 geralmente da ordem de 10   m), onde, entre elas há um fluido viscoso. A placa inferior está em repouso e a superior é móvel, conforme ilustra a figura 3.10.

Fig. 3.10: modelo físico de placas planas paralelas e horizontais

À placa superior aplica-se uma força F na horizontal que faz a placa adquirir uma velocidade dU . A relação entre a força F e a área da placa  A  resulta da tensão τ . EmA t variação α ,  chamado de cisalhamento + dt   o fluido deforma-seangular, sob umà ângulo deformação angular. da deformação medida dque o tempo passa de t   para t + dt , denomina-se taxa de deformação angular d α /dt . A velocidade das camadas do fluido varia de 0, na placa fixa, até dU , na placa móvel, de acordo com a propriedade da aderência. Como a distância entre as placas dy   é infinitesimal, a variação do módulo do vetor velocidade das camadas do fluido é de forma linear e denomina-se perfil linear de velocidades  (PLV ). Matematicamente, podem-se deduzir as seguintes relações, de acordo com o modelo físico ilustrado na figura 3.10:

Como d α é muito pequeno (0 ≤ d α ≤ 9 o ) →  tg (d α ) ≅ d α =

 d α  −1 1 ∴ dt = dt.dy = dy →  dt  = s = s d α

dx

dU

dx dy

 

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Ao estudar o modelo físico ilustrado na figura 3.10, o cientista inglês Sir Isaac Newton enunciou uma lei que relaciona a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação angular, conhecida como a Lei de Newton Newton da Viscosidade Viscosi dade.

Isaac Newton New ton (164 (1643 3 – 1727)

Enunciado da Lei de N Newton ewton da Viscosidade Viscosi dade: “A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação deformaçã o angula angular.” r.”

Isto é:

d α  dU    .   = µ . τ  yx = µ  dt  dy   Onde: µ  (mi) = viscosidade dinâmica ou absoluta do fluido Unidades: No SI: [ µ ] = N.s/m 2 = Pa.s Pa.s = kg/m kg/m.s .s No SIG: [ µ ] = lbf.s/ft 2 = psf.s = slug/ft.s

A unidade mais utilizada de µ  é do SP e chama-se cP   (centi-Poise   pronuncia-se “centi poáze”). Esta unidade foi dada em homenagem a Jean Louis Marie Poiseuille, cientista francês.

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Jean Louis Marie Poiseuille (1797 – 1869)

Defini-se viscosidade cinemática  υ   (ni)  (utilizada na análise de escoamentos)) como a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica do escoamentos fluido, ou seja:

υ   =

µ   ρ   

Unidades: No SI: [ υ ] = m 2/s No SIG: [ υ ] = ft 2/s

Analogamente a unidade de υ  mais utilizada é do SP e chama-se St  (Stoke   pronuncia-se “estouque”). Esta unidade foi dada em homenagem a George Gabriel Stokes, cientista irlandês.

George Gabriel Gabri el Sto Stokes kes (181 (1819 9 – 19 1903) 03)

Observação muito importante: o fluido que obedece à Lei de Newton da Viscosidade é denominado newtoniano. Como exemplos de fluidos newtonianos tem-se a água, o ar, o óleo diesel, o gás metano, a glicerina. Exemplo resolvido 3.2: 3.2:   utilizando os dados do apêndice A no SI, obter a viscosid ade dinâmica pa para ra os seguintes fluid os:

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a) Ág Água ua a 32 oC: Solução: aplicando-se a equação que relaciona a viscosidade dinâmica com a temperatura tem-se que: −5

  570 , 6          θ +133,15 

µ  = 2,414.10 .e

−5

  570 , 6    32 +133,15     

= 0,0007642623 Pa.s  

= 2,414.10 .e

b) Ar a 32 o C: Solução: idem i dem à da água, tem-se que: 1, 5 1, 5  (θ  + 273   ,15)  −6  (32 + 273,15)  µ  = 1,458.10 .  = 1,458.10 . 32 + 383,55  θ  + 383 , 55      ∴ µ  = 0,0000187027 Pa.s

−6

c) Glic Glicerin erina a a 32 o C: Solução: aplicando-se apli cando-se interpo interpolação lação na tabela tabela A3 tem-se que: 32 − 35 µ  − 0,5 = → µ  = 0,59 Pa.s   30 − 35 0,65 − 0,5

3.2. 3.2.1 1 Fluidos Nã Não o Newtoni anos

Os fluidos não newtonianos podem obedecer à lei exponencial   entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação angular dada por:

 dU    τ  = k .   dy  

n

 

Onde: k  = índice de consistência do fluido n  = índice de comportamento de escoamento do fluido Para: n = 1   k  k = µ    fluido  fluido newtoniano (ex.: água, óleo diesel, glicerina, metano) 1   fluido n > 1   fluido dilatante (ex.: suspensão de partículas sólidas em líquidos, sumo de pera, sumo de laranja)

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n 0    IG  > 0    A > 0    ho  > 0    hC  > ho    em geral, a profundidade do centro de pressões é maior que a profundidade do centro de gravidade da superfície na sua parte imersa.  ____________________________________  _________________ ______________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________

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Exemplo resolvido 4.5: determinar 4.5:  determinar o momento que deve ser aplicado em A na fig.. a fig abaixo baixo para que a compo comporta rta permaneça em em equil equilíbrio. íbrio.

Solução: Soluçã o: o m momento omento do empuxo é dado por:  M  =  E . y

=  E .(hc −  (10  − 6 )) =  E .(hc − 4)  

Onde: 6   = 10484,8464 lbf  2  4.6 3   .1 I G .sen 2α    6  12 = 7,42857143 ft = 10 −  + hc = ho + 6  A.ho 2      6.4.10 −  2   

   

 E  = γ água  . A.ho = 1,94.32,17.6.4.10 −

Portanto:  M  =  E .(hc − 4) = 10484,8464.(7,42857143 − 4)

∴ M  = 35948,0448 lbf.ft

 

4.9.3 4.9 .3 Flutu Flutuação ação

Seja um corpo imerso num fluido de peso específico figura 4.25.

γ fluido   como

ilustra a

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Fig. 4.25: corpo imerso em fluido

O corpo está sujeito às forças peso ( W) e empuxo (E). Portanto, define-se peso aparente do corpo à diferença W - E, isto é:

W ap =  W  − E   Da equação geral do empuxo pode-se escrever que:

 E  = γ . A.h o = γ    .V ol _  deslocado = W deslocado   Assim sendo, pode-se enunciar a Lei de Arquimedes: “O empuxo total sobre um corpo em flutuação é igual ao peso do fluido deslocado desloca do pelo mesmo.”

A equação geral do peso aparente fica assim definida:

W ap W ap

= W  − E  = γ corpo .V ol _ corpo − γ  fluido .V ol _ deslocado = γ água .( DRcorpo .V ol _ corpo − DR fluido .V ol _ deslocado )  

Pela equação geral do peso aparente, podem-se tirar as seguintes conclusões: Wap > 0 →   DRcorpo > DRfluido →  Vol_deslocado = Vol_corpo  →  corpo afunda  afunda  Wap < 0 →  DRcorpo < DRfluido →  Vol_deslocado < Vol_corpo  →  corpo f lutua acima da superfície do fluido  fluido   Wap = 0 →  DRcorpo = DRfluido →  Vol_deslocado = Vol_corpo  →  corpo flutua no interior do fluido  ____________________________________  _________________ ______________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________

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Ainda, no caso de Wap  < 0, o corpo só atinge a posição de equilíbrio quando parte do seu volume estiver fora do contato direto com o fluido. Neste ponto, ocorre a igualdade de W e E, o que resulta: W  =  E  → DRcorpo .V ol _ corpo

=  DR fluido .V ol _ deslocado

∴ V ol _ deslocado =  DRcorpo →    V ol _ deslocado  % = 100. DRcorpo → percentual do corpo imerso no fluido   V ol _ corpo  DR fluido  DR fluido   V ol _ corpo   Por exemplo, uma gota de óleo, com DR = 0,8, em contato com água do mar, com DR =1,025, possui 78,05% de seu volume imerso (no interior) da água do mar. Por este exemplo, fica a cargo do futuro engenheiro refletir como é difícil retirar o óleo derramado no mar devido a vazamentos em petroleiros ou outras fontes. Exemplo resolvido 4.6: 4.6: um  um corpo pesa 800 N no ar e, quando imerso em água tem um peso aparente de 500 N. Determinar o volume do corpo e seu peso específico. Solução: neste caso, deve-se aplicar a lei de Arquimedes duas vezes, isto é, para que: o caso do corpo no ar e para o caso do corpo na água. Portanto, tem-se  No ar : E ≅ 0 → Wap

≅ W = 800 N  Na água : Wap = W - E = 500 N ∴ E = W - 500 = 800 - 500 → E = 300 N Mas : E = γ água .Vol_des = 9,80665.1000.Vol_des = 300 ∴ Vol_des =  E:W

300 9,80665.1000

 

→ Vol_des = 0,0305915 m 3

= γ corpo .Vol_corpo → γ corpo =

W Vol_corpo

=

800 0,0305915

∴ γ corpo = 26151,055031 N/m 3 4.9. 4.9.4 4 Aplicação da Lei de Arqu Arquimedes imedes – O motivo de um navio não afundar

Sabe-se que, pelo princípio do peso aparente, que corpos cuja densidade é maior do que a da água afundam, quando em contato com este fluido. Então, surge a dúvida: como pode um navio feito de aço, cuja densidade é maior do que a da água, não afundar em contato com a água do mar? A explicação é de que não é o peso do navio que conta, mas a sua densidade. O navio não é construído de aço maciço, mas é oco, isto é, possui ar dentro de si e, se dividir-se o peso todo do navio pelo seu volume, este valor é menor do que se dividir o peso da água que ocupa o mesmo espaço do navio, dividido pelo mesmo volume. Isto pode na figura ondeo se ilustra o volume o navio ocupa parasersevisto deslocar. Se 4.26, dividir-se peso deste volumededeágua águaque pelo volume que ocupa o valor é inferior à densidade do navio.  ____________________________________  _________________ ______________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________

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Fig. 4.26: 4.26: volume de água que o navio ut utili iliza za pa para ra se deslocar

Em contrapartida, se o navio se acidenta e surge um rombo (rasgo ou ruptura) no casco, a água começa a entrar e a densidade do navio aumenta, afundando-o. E isto foi o que aconteceu com o navio mais famoso da história da Real Marinha britânica, o RMS Titani Titanicc , no dia 14 de Abril de 1912, conforme ilustra a figura 4.27.

Fig. 4.27 4.27:: ilust il ust ração do RMS Titanic afundando Titanic  afundando

Quando o RMS Titanic   navio bateu no iceberg, por volta das 23h40min, a água já estava em uma temperatura extremamente baixa. A lâmina de gelo que cortou o casco do RMS Titanic  possivelmente permitiu que isso ocorresse devido ao fato do metal utilizado na construção do casco não ser o ideal. É possível que, pela baixíssima temperatura, o casco em sua área inferior estava gélido, ou quase congelado, o que facilitou sua abertura no atrito com o gelo. Caso o gelo tivesse cortado o casco pouco antes do quinto compartimento, o RMS Titanic  estaria salvo. Ele foi feito para flutuar com quatro compartimentos estanques cheios d’água, mas o  ____________________________________  _________________ ______________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________

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gelo havia cortado, além disso, o quinto e o sexto compartimento, como ilustra a figura 4.28. Por isso não havia nada a ser feito para salvar o navio, pois seu naufrágio era inevitável. O RMS Titani Titanicc  afundou totalmente às 2h20min do dia 15 de Abril de 1912.

Fig. 4.28: RMS Titanic e Titanic  e suas divisórias

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Capítulo 5 Fluidocinemática 5.1 Generalidades

Analogamente à Mecânica dos Sólidos, a Cinemática dos Fluidos estuda o movimento do fluido (escoamento) sem se importar com as causas que provocam este efeito. 5.2 5.2 Escoamento – defini definição ção

Define-se ESCOAMENTO como qualquer simples alteração na forma inicial do Define-se ESCOAMENTO fluido, sob ação de esforço tangencial. Também pode ser chamado de “fluidez”. 5.2. 5.2.1 1 Mé Método todo s de Anális Análise e de Escoamento

Dois são os métodos de análise de escoamento mais estudados em FT, a saber: I) MÉTODO DE LAGRANGE: em homenagem a Joseph Louis Lagrange, matemático e cientista francês.

Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)

Neste método o observador desloca-se, simultaneamente, com a partícula fluida. As trajetórias serão linhas, descritas pelas partículas em movimento. Para cada partícula fluida, uma linha é definida. O método é simples quanto à descrição do movimento, mas apresenta grandes dificuldades nas aplicações práticas. Na maioria dos casos, o que interessa não é o movimento de uma partícula em si, mas de um conjunto partículas escoamento; o método de Lagrange é análogo a um de surfista que que estáconstituem com sua oprancha na crista da onda , fazendo  ____________________________________  _________________ ______________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________

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suas manobras; o surfista acompanha o escoamento e pode descrevê-lo onde ele estiver; II) MÉTODO DE EULER: em homenagem a Leonard Euler, cientista suíço (ver apêndice J ).  ). 

Leonard Euler (170 (1707 7 – 1783 1783))

Neste método adota-se certo intervalo de tempo, escolhe-se um ponto do espaço e consideram-se todas as partículas que passam por esse ponto. Neste método, observador O método apresentados grandes facilidades práticas e poré isto é o opreferido paraé fixo. estudar o escoamento fluidos. O método de Euler análogo a um pescador, que fica à margem do rio, obervando o deslocamento da água. 5.2. 5.2.2 2 Linh Linha a de Corrente, T Tubo ubo de Corrente e Filamento de C Corr orrente ente

Para se estudar o escoamento dos fluidos, adotam-se os seguintes modelos físicos, a saber: CORRENTE:   é uma curva imaginária, tomada através do fluido, para LINHA DE CORRENTE: indicar a direção do vetor velocidade em diversos pontos. As linhas de corrente nunca se cruzam pois se isto ocorrer, a partícula que estiver no ponto de cruzamento terá velocidades diferentes, o que é impossível na prática. TUBO DE CORRENTE: é CORRENTE: é um conjunto de linhas de corrente, formando uma figura espacial fechada (tubo), onde não há escoamento perpendicular às suas paredes. FILAMENTO DE CORRENTE: é a porção de fluido que escoa no interior do tubo de corrente. A figura 5.1 ilustra os conceitos de linha de corrente, tubo de corrente e filamento de corrente.

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Fig. 5.1: linha de corrente, tubo de corrente e filamento de corrente .

Para ilustrar o conceito de linhas de corrente, as figuras 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 e 5.6 mostram as linhas de corrente que se formam ao redor de um cilindro quando submetido ao escoamento de ar e numa asa de avião (ou ( ou aerofólio).

Fig. 5.2: linhas de corrente num cilindro em meio ao fluxo de ar com v elocidade V1

Fig. 5.3: linhas de corrente num cilindro em meio ao fluxo de ar com v elocidade V2 > V1 

Fig. 5.4: linhas de corrente num cilindro em meio ao fluxo de ar com velocid ade V3 > V2 

Fig. 5.5 5.5:: li nhas de corrente num ci lindro em meio ao fluxo de ar com v elocidade V4 > V3 

Fig. 5.6: 5.6: li nhas de co rrente ao redor de um uma a asa de a avião vião (ou aerofó aerofólio) lio)  ____________________________________  _________________ ______________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________

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5.2. 5.2.3 3 Classific açã ação o do escoamento I)

Quanto à direção da trajetória: -  laminar:  as linhas de corrente formam como “lâminas” paralelas que escoam em baixa velocidade; a figura 5.2 ilustra um exemplo de escoamento laminar ao redor de um cilindro; -  turbulento:   as linhas de corrente formam pequenos turbilhões (vórtices) ao longo do escoamento, geralmente em altas velocidades; o conceito de vórtice está voltado à formação de movimentos de rotação da partícula fluida em torno do seu eixo de rotação, ao longo do escoamento, fato este visto altamente nos escoamentos rotacionais; as figuras 5.7, 5.8, 5.9 e 5.10 ilustram alguns exemplos de vórtices.

Fig. 5.7 5.7:: exemplo de vórti ce violento – to rnado “ Elie M Manitoba” anitoba”

Fig. 5.8: formação de vórtices nas asas de um avião comercial

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Fig. 5.9: “ caminho caminho”” de vórtices vórt ices de Von Kármán (em homenagem a Theodore Von Kármán, cientista húngaro), que se formam atrá atráss de um cil indro s ubmetido ao escoame escoamento nto de um f luido (ver fig. 5.4)

Theodore von Kármán (1881 – 1963)

Fig. 5.10: 5.10: vórt ices d de e von Kármán n nas as Ilhas Guadalupe – M Mar ar do Caribe – América Central

 

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II)

Quanto à variação no tempo: -  permanente:  as propriedades do fluido e sua velocidade não variam no tempo, num dado ponto do escoamento, podendo variar de ponto a ponto; -  não permanente:  as propriedades do fluido e sua velocidade variam no tempo, num dado ponto do escoamento, podendo variar também de ponto a ponto;

III)

Quando à variação da trajetória: -  uniforme:   numa dada trajetória em todos os pontos a velocidade é constante no intervalo de tempo considerado, podendo variar de uma trajetória para outra; -  variado:   os diversos pontos da trajetória não apresentam velocidade constante no intervalo de tempo considerado; Na figura 5.11 ilustram-se os escoamentos uniforme (externo à tubulação) e variado (interno à tubulação);

Fig. 5.11 5.11:: escoamento unif uniforme orme (externo à tubul ação) e variado (interno à tubulação)

IV)

Quanto ao movimento de rotação: -  rotacional:  cada partícula fluida é submetida a uma velocidade angular ω 

com relação ao seupara centro de massa, devido aosé efeitos de viscosidade; na prática, se saber se o escoamento rotacional, basta tomar dois palitos de fósforo e colá-los em forma de cruz; após a secagem da cola, esta pequena “cruzeta” de fósforos deverá ser colocada no escoamento; se a “cruzeta” possuir um movimento de rotação além do movimento de translação , o escoamento é rotacional; -  irrotacional:   as partículas não são submetidas a um movimento de rotação ao redor do seu centro de massa; na prática, para se saber se o escoamento é rotacional, basta tomar dois palitos de fósforo e colálos em forma de cruz; após a secagem da cola, esta pequena “cruzeta” de fósforos deverá ser colocada no escoamento; se a “cruzeta” não possuir um movimento de rotação além do movimento de translação , o escoamento é irrotacional ;

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V)

Quanto à compressibilidade: -  compressível:  as propriedades do fluido variam conforme a posição da partícula, podendo variar também no tempo; -  incompressível:  as propriedades do fluido não variam conforme a posição da partícula, podendo variar no tempo; Nos gases, o limite de compressibilidade é de 20% (na realidade, é 30% mas adota-se 20% como um fator de segurança, para se evitar ondas de choque no interior das tubulações, na presença de conexões ou dispositivos no meio do escoamento) da velocidade do som no ar seco, isto é, considerando que a velocidade do som no ar seco é 340 m/s, o limite de compressibilidade para os gases é de 68 m/s ou 244,8 km/h; nos líquidos, como a velocidade do som é de 1500 m/s, o limite de compressibilidade é muito alto, isto é, cerca de 300 m/s ou 1080 km/h; portanto, o escoamento nos líquidos é praticamente sempre incompressível e, nos gases, só o será se a sua velocidade média for abaixo de 68 m/s ou 244,8 km/h;

VI)

Quanto à dimensão: -  unidimensional:   quando o campo de velocidades varia apenas em

uma dimensão; como exemplo tem-se os escoamentos em tubos circulares; -  bidimensional:   quando o campo de velocidades varia em duas dimensões; como exemplo tem-se os escoamentos em dutos retangulares, como nos sistemas de ar condicionado; -  tridimensional:   quando o campo de velocidades varia em três dimensões; como exemplo tem-se os escoamentos das massas de ar na atmosfera; 5.3 5.3 Va Vazã zão o vol volumétri umétrica ca (ou de volum volume) e) e va vazã zão o mássi mássica ca (ou de massa) (Q)  como sendo a relação Defini-se VAZÃO VOLUMÉTRICA ou DE VOLUME (Q) entre o volume de fluido deslocado na unidade de tempo.  Equacionalmente pode-se escrever a vazão volumétrica como sendo:

dV ol  ∆V    ol   =  ∆t →0 t  dt    ∆  

Q = lim 

 

Unidades: No SI: [Q] = m 3/s No SIG: SIG: [Q] [ Q] = ft 3/s  

Defini-se VAZÃO MÁSSICA ou  DE MASSA (dm/dt)  como sendo a relação entre a massa em escoamento na unidade de tempo. Equacionalmente pode-se escrever a vazão de massa como sendo:

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 = m

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 ∆m  = lim    ∆ → t  0 ∆ dt    t  

dm

Unidades: No SI: SI: [dm/dt] [ dm/dt] = kg/s No SIG SIG:: [d [dm/dt] m/dt] = slu slug/s g/s

 

5.3.1 Relação entre as vazões de volume e de massa

 

A relação entre as vazões de volume e de massa é definida da seguinte forma: Como : ∆m =  ρ .∆V ol

∴ m =

dm dt 

→ m =

  ρ .∆V ol    ∆V    =  lim  =  ρ . lim  ol  =  ρ .Q  ∆t →0 dt  ∆t →0  ∆t      ∆t   

dm

 

=  ρ .Q

Outra forma de escrever-se a equação de Q  é através da variação da velocidade das partículas em cada ponto da seção transversal do escoamento, da seguinte forma:

  A.∆s  =  A. lim  ∆s  =  A.V  =  A.∆s → Q = lim     ∆t →0  ∆t    ∆t →0 ∆t       ∴ Q = V . A = ∫ V  d  A → m =  ρ .Q =  ρ .V . A = ∫ ρ .V  d  A Como : ∆V ol

 A

V  =

Q  A

1





 A

 

= .∫ V  d  A  A  A

Onde : V  = velocidade média do escoamento

Por exemplo, seja o escoamento laminar numa tubulação de secção circular, cujo perfil é ilustrado na figura 5.12.

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Fig. 5.12: perfil de velocidades de um escoamento laminar numa tubulação de secção circular

A equação que rege o perfil de escoamento laminar é dada por (ver apêndice F):

  r 2   v(r ) = V máx .1 − 2     R  

 

Onde: Vmáx  = velocidade do escoamento medida no centro da tubulação (r = 0). r = variável polar raio, que varia no intervalo 0 ≤  r ≤  R  R = raio da tubulação Lembrando-se que, numa secção transversal circular, tem-se que:

 A = π  R . →    dA = 2.π .r .dr   2

Substituindo-se estes dados e a equação do perfil no conceito de velocidade média, tem-se que, num escoamento laminar , o valor da velocidade média é dado por:  R   r 2   2.V máx   r 3   . V    .1 − 2 .2.π .r .dr = .∫  r − 2 .dr  V  = 2 ∫ máx  2 π . R 0  R  R      R   0    R  R 4  2.V máx  R 2  R 2  2.V máx  R 2 2.V máx  r 2 r  . V  = − 2  = 2 . −  = 2 . 2 4  R  2 0 4. R 0   R  2 4   R  R

1

∴V  =

V máx

2

 

= 0,5.V máx → velocidade média do escoamento laminar 

A figura 5.13 ilustra além do perfil de velocidades do escoamento laminar numa tubulação, o perfil de velocidades de um escoamento turbulento numa tubulação de diâmetro D.

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Fig. 5.13 5.13:: perfi s de veloci dades numa tubu lação de diâmetro D para regime de escoamento laminar e turbulento

A equação que rege o perfil de escoamento turbulento é dada por: 1

  r     r   N  v(r ) = V máx .1 −  = V máx .1 − 

k 

     R     R  Onde : 7 ≤ N ≤ 8,8 → intervalo experimental Onde: Vmáx  = velocidade do escoamento medida no centro da tubulação (r = 0). r = variável polar raio, que varia no intervalo 0 ≤  r ≤  R  R = raio da tubulação k = 1/N = índice de comportamento do escoamento turbulento Lembrando-se que, numa secção transversal circular, tem-se que:

→    dA = 2.π .r .dr    A = π  R . 2

estes dados e a equação do, perfil no da conceito de velocidade escoamento turbulento o valor velocidade média é média,Substituindo-se tem-se que, num dado por:

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k 

 R

 R

 

96

k 

 1 − r     .2.π .r .dr = 2.V máx .  1 − r   .r .dr  V  = V  . .    máx  2  R  R π . R 2 0  R       0   1

∫

∫

Fazendo : u = 1 −

r   R

→ du = −

dr   R

→ dr = − R.du → r = R.(1 − u )

0  0 k   k  V  = u  R u  R du V  u . . . 1 . . 2 . . .(u − 1).du ( ) ( ) − − =   máx 2 ∫ ∫  R 1 1  0 0 0 k + 2 k +1   u u k +1 k   V  = 2.V máx .∫ (u − u ).du = 2.V máx . − k  k  2 1 + +  1 1 1  1 1    1 − 1  = 2.V  . k + 2 − k − 1  V  = 2.V máx .0 − V  2 . . −0+ = máx  máx   k + 1  k + 2  k + 1 k + 2   (k + 1).(k + 2 )

2.V máx

V  =

2.V máx

2.V máx     1

2.V máx =  1  + N    1  + 2. N  

= (k + 1).(k + 2)   1     N    + 1 .  N    + 2    

 N 

 .  

 N 

=

2. N 2 .V máx

(2. N + 1).( N + 1)

 

2

∴V  =

2. N  .V máx

(2. N + 1).( N + 1)

→ velocidade média do escoamento turbulento

 

Tomando-se um valor médio de N, no intervalo experimental, tem-se que N = 7,9. Determinando-se a velocidade média para o escoamento turbulento numa tubulação de secção circular para N = 7,9 tem-se que:  .V máx → 66,961% maior do que a velocidad e média do escoamento laminar !   V  ≅ 0,8348  

Em termos gerais, a vazão em volume numa tubulação de secção circular pode ser dada por: 

Q



 R

 R

= ∫ V   d  A = ∫ v(r ).2.π .r .dr  = 2.π .∫ v(r ).r .dr 

  Onde : v(r ) = perfil de velocidad es na secção circular   A

0

0

Experimentalmente, se medir-se o perfil de velocidades na secção circular da tubulação, deve-se levantar um gráfico de v(r).r x r , e que terá a forma dada na figura 5.14.

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Fig. 5.14: gráfico v(r).r x r na secção circular de uma tubulação

gráfico da figura pode-seforma: determinar a área total do gráfico que está entre aDo curva e o eixo de r , 5.14 da seguinte (V . r ) 2 + (V .r )1  →  A2 =    .(r 2 − r 1 ) 2 2      (V . r ) 3 + (V .r ) 2  .(r  − r  ) →  A =  (V . r ) 4 + (V .r ) 3  .(r  − r  )  A3 =   3 2   4 3 4 2 2          (V . r ) 5 + (V .r ) 4  .(r  − r  ) → A = (V .r ) 5 .( R − r 5 )    A5 =   5 4 6 2 2      A1

=

(V .r )1 .r 1

 R

 Ag

=  A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 →  Ag =

v(r ).r   .dr 

∫ 0

Assim sendo, a vazão em volume numa tubulação de secção circular é dada experimentalmente experimentalment e por:

Q = 2.π . Ag   Por exemplo, seja a tabela 5.1 que ilustra os valores de v(r) em função de r   do estudo do fluxo de água em escoamento turbulento numa secção circular com diâmetro de 3 in cujos raios são normalizados conforme a norma americana PTC-11 (1946):

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Tab. Tab. 5.1 5.1:: dados d e v(r) x r para uma aplicação de flfluxo uxo d de eá água gua em escoamento tur bulento numa tubulação de 3 in 2

r (m m ) v (r ) (m /s ) v(r) . r (m /s) 0,0 3,3759 0,0000 12,3 3,3759 0,0415 21,4 3,3017 0,0707 27,6 3,1085 0,0858 32,6 2,9448 0,0960 37,5 2,8157 0,1056 38,1 0,0000 0,0000  

Po n t o 0 1 2 3 4 5 6

O gráfico que ilustra a variação de v(r).r  x  r  é  é dado na figura 5.15. Gráfico Grá fico v v.r .r x r - escoa escoamento mento turbulento 0,12 0,1    ) 0,08   s    /

   2

0,06    (   m   r  .   v0,04 0,02 0 0

10

20

30

40

50

r(mm)

 

Fig. 5.15: 5.15: gráfico vv(r). (r).rr x r p ara o fluxo d e á água gua em escoamento tu turbulent rbulento o - exemplo

A área total sob a curva traçada no gráfico da figura 5.15 é dada por:  A 1 = 0,0002553732 m 3/s

A 2 = 0,0005104247 m 3/s

A 3 = 0,000484999 m 3/s

 A 4 = 0,0004544833 m 3/s

A 5 = 0,0004938933 m 3/s

A 6 = 0,000031677 m 3/s

 A g = 0,0022308505 m 3/s

Portanto, a vazão em volume do escoamento será dada por: Q = 2.π .A g = 0,014017 m 3/s = 14,017 L/s

E, para este escoamento, o método experimental determina a seguinte velocidade média: V  =

Q

=

Q 2

=

4.Q

π  D π  D . . 4 ∴V  = 3,07362 m/s  A

2

=

4.0,014017 2

π .(3.0,0254)  

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Mas, se o escoamento é turbulento, a velocidade média também pode ser dada por: V  ≅ 0,8348.V máx = 0,8348.3,3759 = 2,81820132 m/s

3,07362 - 2,81820132

= Erro : ε % 100.

2,81820132

=

> 9,0632%

 

→ 7%

não OK!

A justificativa de este erro ser maior que 7% (limite experimental) está no fato de que a velocidade média (utilizando a equação em função de N = 7,9) foi calculada para um valor específico de N. Como N varia na faixa 7 ≤   N ≤   8,8, certamente o valor de N não é 7,9 para este caso . 5.3.2 Equação da Continuidade

De acordo com o apêndice D  a Equação da Continuidade, na sua forma geral, pode ser dada por:

∂  A −  ρ .V   A + ∂t  ρ .dV ol = 0  ρ .V   d     d   Entrada Saída VC  ∫ ∫ ∫ 







Onde : 







∫ ρ.V  d A = taxa de massa que entra no sistema de controle  

Entrada

∫ ρ.V  d A = taxa de massa que sai do sistema de controle

Saídaa

∂ ∫ ρ.dVol = taxa de massa acumulada no sistema de controle ∂t VC Por sua vêz, de acordo com o  o  Princípio da Continuidade, enunciado pelo Dr. Hunter Rouse  (cientista norte americano, diretor do Centro de Pesquisas em Engenharia Hidráulica, Universidade do Iowa, USA) tem-se que: “ A menos que se tenha tenha contração contração ou compressã com pressão o do vol ume no interior de um tubo de corrente (escoamento (escoamento incom i ncompressível), pressível), a vaz vazão ão líquida de fluido flui do que passa por ele é a soma das vazões vazões da entrada e da saída saída do mesmo.” m esmo.”

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100

Hunter Hunt er Rou Rouse se (1906 – 196 1966) 6)

Assim sendo, considerando-se um EPI  (escoamento permanente e Equação o da Continuidade Continu idade para um EPI é definida como sendo: incompressível) a Equaçã  EPI :

    ∂    ρ  dV   ρ  V  d   A  ρ  V  d   A . 0 . . = → = ∫ ol ∫ ∫ ∂t VC   Entrada Saída

n

m

i =1

 j =1

∴ ∑ ( ρ entrada .V entrada . Aentrada )i = ∑ ( ρ saída .V saída . Asaída ) j

 

Onde : n = número de entradas → m = número de saídas

Um exemplo de aplicação: seja o sistema de escoamento ilustrado na figura 5.16, onde na entrada 1 escoa água com vazão em volume Q 1 e na entrada 2 escoa óleo com vazão em volume Q2. Deseja-se saber a DR do fluido que sairá na secção 3.

Fig. 5.15: 5.15: sis tema de escoamento com duas entr entradas adas e uma saída - exemplo

Para tal, considera-se que todo o sistema de escoamento se comporte como um EPI. Aplicando-se a Equação da Continuidade tem-se que:

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 ρ 1 .Q1 +  ρ 2 .Q2

∴ ρ 3 =

=  ρ 3 .Q3  ρ 1 .Q1 +  ρ 2 .Q2

 Mas : Q3

Q3

= Q1 + Q2

= DR1 . ρ água →  ρ 2 = DR2 . ρ água →  ρ 3 = DR3 . ρ água    DR . ρ  .Q + DR2 . ρ água .Q2 ∴ DR3 . ρ água = 1 água 1 Q1 + Q2  DR .Q + DR2 .Q2 ∴ DR3 = 1 1 → média ponderada Q1 + Q2

 E :  ρ 1

Se o futuro engenheiro notar, esta mesma equação já foi utilizada na Fluidostática, no caso da mistura de dois fluidos em repouso num recipiente, mas, agora, está sendo utilizada para escoamentos de dois fluidos num sistema de escoamento. Exemplo resolvidona5.1: 5.1:    água escoacom em um regime nokg/s. dutoDetermine de seção circular mostrado figura abaixo, fluxopermanente de massa 50 a vazão vazão em vol volume ume do escoamento e as veloc velocidades idades médias n nas as seções 1 e 2.

Solução: aplicando-se a relação entre as vazões em massa e em volume e a relação entre a vazão em volume e a velocidade média na secção do escoamento tem-se que:  = ρ.Q → Q = m

Q = V1 .A1 = V1 .

 m

ρ

π  4

Q = V2 .A 2 = V2 .

=

50 1000

= 0,05 m 3 /s = 50 L/s

. 12 → V1 =  D

π  4

4.Q π.D12

. D22 → V2 =

4.Q π.D 22

=

4.0,05 π .0,20 2

=

4.0,05 π .0,10 2

→ V1 = 1,59155 m/s   → V2 = 6,3662 m/s

Exemplo resolvido 5.2:  5.2:   um propulsor a jato queima 1 kg/s de combustível quando o avião voa à veloci velocidade dade de 2 200 00 m/s. S Sendo endo dados ρ ar   = 1,2 kg/m 3, ρ gases = 0,5 kg/m 3, A 1 = 0,3 m 2, A 2 = 0,2 m 2, determinar a velocidade dos gases na seção de d e saída.

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Solução: aplicando a equação da Continuidade para um EPI sem atrito no sistema do pro pulsor, ttemem-se se que:  ar  + m  combustível = m  gases m  combustíve l =  ρ gases .Q gases  ρ ar .Qar  + m  combustíve l =  ρ gases .V gases . A2  ρ ar .V ar . A1 + m

∴V gases = ∴ Vgases

 combustível  ρ ar .V ar . A1 + m

=

 ρ gases . A2 = 730 m/s

1,2.200.0,3 + 1

 

0,5.0,2

 Al  Algu gumas mas ob obser servaç vações ões co com m r elaç elação ão a est este e cas caso: o: a vel veloc ocii dad dade e do ar aqu aquii adotada é, é, na realidade, a veloci velocidade dade relativa entre o avião e o ar ao redor dele; se o ar ao ao redor esti vesse numa velocidade velocid ade em sentido cont c ontrário rário ao do avião, a velocidade do ar seria maior do que a adotada; se o ar ao redor estivesse numa velocidade em sentido a favor do avião, a velocidade do ar seria menor do que qu e a adotada; portanto, port anto, a veloc velocidade idade do ar aqui adotada denota que o ar ao redor do avião está em em repouso; por favor, f avor, não não pergunte ao seu professor por que é necessário levar em consideração a vazão mássica de combustível no prop ulso r; se s e acaso acaso ainda não percebeu, sem sem ela o avião iria iri a cair. cair. 5.4 5.4 Equaçã Equação o de Be Bernou rnou lli para um EPI sem a atri trito to

Em homenagem a Daniel Bernoulli, cientista holandês (ver apêndice I).

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Daniel Bernoulli (1700 – 1790)

A figura 5.16 ilustra um tubo de corrente onde se evidencia as forças de pressão (p.A ), as velocidades do fluido (V) e sua cota (z) na sua entrada (ponto 1) e na sua saída (ponto 2).

Fig. 5.16: tubo de corrente e suas características fluidocinemáticas

Daniel Bernoulli percebeu, através de seus estudos, que um sistema fluidocinemático sem atrito possui três formas de energia associadas, a saber: I)

Energi Ene rgia a de pressão por unid ade de massa:  E  pressão

II)

=

F  pressão .∆ l m

 p. A.∆l

= 

m

=

 p.V ol m

=

 p

 ρ 

Energi Ene rgia a cinéti cinética ca por unid ade de massa:

 E cinética  =

F R .∆l m

m.a.∆l

=  

m

2

= a.∆l =

V 

2

 

 

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III III))

104

Energi Ene rgia a potenci potencial al gravit gravitacional acional por unid ade de massa:    potencial

=

 E 

F peso . z m

m.g . z

=

m

= g. z  

Daniel Bernoulli percebeu que, num sistema isento de atrito ou onde o fluido é ideal (sem viscosidade), fazendo-se o balanço energético do sistema, tem-se que:  E  pressão + E cinética + E  potencial = constante

∴

 p  ρ 

2

+

V 

2

+ g . z = constante → Equação de Bernoulli para um EPI sem atrito

 

O fato de que a soma das três formas de energia, num EPI sem atrito, ser um valor constante não significa que os valores de pressão, velocidade e cota em todos os pontos do escoamento sejam iguais, mas, sim, que a soma das parcelas das três formas fo rmas de ene energi rgia a é que devem ser iguais. Daniel Bernoulli percebeu que, uma consequência sua equação, é que, de alguma três delas formasfor deaenergia se compensamdeao longo do escoamento, isto é, forma, quandoasuma menor naquele ponto do escoamento, as demais serão as maiores no mesmo ponto. Outra forma de escrever a mesma equação de Bernoulli é dividindo-se todos os termos da equação de Bernoulli pela aceleração da gravidade local, fazendo-se com que as três formas de energia sejam determinadas por unidades de peso e não mais por unidade de massa, resultando na seguinte equação:

 p

 ρ .g

2

+

V 

2. g

+

g . z g

=

 p

γ 

2

+

V 

2. g

+ z =

constante g

Onde :  p γ

= H p = carga piezométrica

V2 2.g

 

= H c = carga cinética

z = Hg

= carga geométrica

A vantagem da segunda forma da equação de Bernoulli com relação à primeira forma é de que na primeira forma cada parcela possui a seguinte unidade:

 p  m 2  p  ft 2  No SI :   = 2 →    No SIG :   = 2   ρ ρ s s  

 

E na segunda forma cada parcela possui a seguinte unidade:

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 p   p   No SI :   = m →   No SIG :   = ft    γ    γ   Ou seja, na prática é mais simples aplicar as três formas de energia com unidade de comprimento do que com unidade científica. Finalmente, para o tubo de corrente ilustrado na figura 5.16 a equação de Bernoulli para um EPI sem atrito resulta:

 p1

γ 

2

+

V 1

2. g

+ z1 =

 p 2

γ 

2

+

V 2

2. g

+ z 2  

5.4.1 Aplicações da equação de Bernoulli para um EPI sem atrito – casos gerais

Algumas aplicações em casos gerais da equação de Bernouli para um EPI sem atrito serão analisadas a seguir: I)

Escoamento de ar ao redor de um perfi perfill da série NAC NACA A (ou ae aerof rofóli ólio o ou flap da asa de um avião): na figura 5.17 ilustra-se o escoamento de ar ao redor de um perfil da série NACA  (National Advisory Committee for  Aeronautics - Comitê Consultivo Nacional para a Aeronáutica); a NACA  foi criada pelo governo dos  dos Estados Unidos em em 1915;  1915;   após um início tímido, chegou à década à década de 1930 com quatro grandes grandes laboratórios,  laboratórios, 500  500 funcionários e sendo considerada uma referência na solução de todo tipo de problema relacionado ao voo ao voo e à fabricação de de aviões;  aviões; sua  sua importância cresceu durante a Segunda Guerra Mundial, Mundial, e  e em em 1947  1947 desenvolveu oo X-1,  X-1, o  o primeiro avião a quebrar a barreira a barreira do som. 

Fig. 5.17: 5.17: escoamento d de e ar ao redor de um perf perfilil d da a série NACA

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De acordo com a Cinemática, como a velocidade média é diretamente proporcional ao deslocamento, no ponto 1 da figura 5.17 a velocidade do ar é maior do que no ponto 2, uma vez que ar possui um deslocamento maior no ponto 1 do que no ponto 2. Considerando-se que a diferença de cotas entre os pontos 1 e 2 é desprezível, isto é, a diferença da energia potencial por unidade de peso entre os pontos 1 e 2 é desprezível em comparação com as demais formas de energia, pela equação de Bernoulli para um EPI sem atrito, tem-se que:  p2

−  p1 γ 

2

=

V 1

− V 2 2

2. g

→  p2 −  p1 =

γ 

2.g

.(V 12

− V 22 ) → Princípio de Bernoulli  

Ou seja, pelo Princípio de Bernoulli, como V1 > V2  p 2 > p 1. E como Fpressão   = p.A Fpressão2  > Fpressão1. Isto é, surgirá uma força de pressão resultante de baixo para cima no perfil, denominada força de sustentação (Fs ), que fará com que o perfil se eleve, como ilustra a figura 5.18.

Fig. 5.18: 5.18: força de sust entação num perfi perfill da série NACA NACA  

É desta forma que um avião consegue decolar, desde que consiga um impulso (força horizontal) que faça com que o ar ao redor de suas asas provoque este efeito demonstrado para o perfil NACA, ilustrado nas figuras 5.17 e 5.18. Escoamento de líquid líquido o através de um ori orifício fício inst alado na parede de um I) grande reservatório (ou grande tanque):   a figura 5.19 ilustra um grande reservatório com um orifício instalado na sua parede por onde se escoa um líquido.

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Fig. 5.19: escoamento de líquido por um orifício instalado na parede de um grande tanque

O PHR (plano de horizontal de referência ou datum ) foi referenciado no ponto 2. Por sua vez, datum, do do latim  latim dado , refere-se ao modelo matemático teórico da representação da superfície da Terra da Terra ao nível do mar utilizado pelos cartógrafos numa dada carta ou mapa. ou mapa. Assim  Assim sendo, a cota no ponto 2 é nula ( z2  = 0). Por sua vez a cota no ponto 1 é z1 = h. h .  Como o tanque está aberto à atmosfera local a pressão no ponto 1 é nula (em termo efetivos). A mesma consideração se faz no ponto 2 (jato livre). Como a área do ponto 1 (secção reta do tanque) é muito maior do que no ponto 2, pelo princípio da Continuidade, pode-se concluir o seguinte:  ρ 1 .V 1 . A1 =  ρ 2 .V 2  . A2 →  ρ 1 = ρ 2 → V 1 . A1 = V 2 . A2

  A   ∴V 1 = V 2 . 2      A1   2 2 2 Como : A1 >>  A2 → V 1 106: escoamento escoamento TURBULENTO  TURBULENTO RUGOSO

Por exemplo, alguns valores de Rey  são típicos, resumidos na tabela 6.1.

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128

Tab. 6.1: situações práticas de fluxo e sua classificação conforme Rey Fluxo de Rey Escoamento Sa Sangue ngue no cérebro humano 1,0 1,00.1 0.10 0 Laminar Sangue na aorta 1,0 1,00.1 0.10 0 Laminar 2 Óleo diesel em oleodut os 9,5 9,53.1 3.10 0  Laminar 4  Água  Ág ua em rresi esidên dênci cias as 2,86.10   Turbulento liso 5 Vapor de água (0 a 30 psi psia) a) 9,28 9,28.10 .10   Turbulento misto  Água  Ág ua em i nd ndús ústr trias ias 2,89.10 Tur Turbu bulen lento to ru rugo goso so  Ar em iind ndús ústr trias ias (0 a 30 psi psia) a) 1,74.10 Tur Turbu bulen lento to ru rugo goso so Gáss natural em gasodutos Gá 1,66 1,66.1 .10 0 Turbulento rugoso

O Número de Reynolds não tem como função apenas a de classificar o escoamento. Pode-se afirmar com certeza que praticamente tudo o que está relacionado com escoamento tem seu estudo em função de Rey, desde a calibração de instrumentos até o estudo de modelos reduzidos de barragens, eclusas, comportas e, juntamente com os Números de Froude e de Mach, em estudos de modelos reduzidos de aviões, automóveis etc. 6.3 Perda de carga - definição

Define-se perda de carga como sendo atérmica, conversão irreversível dedo energia mecânica ao longo do escoamento em energia devido ao contato fluido com uma superfície (atrito) ou o atrito entre suas próprias moléculas, ambos efeitos da viscosidade. Se o fluido fosse considerado ideal (viscosidade nula) o escoamento seria admitido como sem atrito, a velocidade numa seção seria uniforme e a equação de Bernoulli para escoamento ideal preveria perda de carga nula. Portanto, no estudo de um fluido real a viscosidade não é nula e, como consequência, o atrito é relevante. Assim sendo, para estudar um escoamento de um fluido real deve-se completar a equação de Bernoulli com o termo de perda de carga, que se denominará a equação de Bernoulli para escoamento real , dada por: 2

ht  =  p1 −  p2  ρ 

2

2

2

+ V 1 +2 V 2  + g.( z1 − z 2 ) →    H t  = hgt  =  p1 −γ  p2 + V 1 2+.gV 2 + z1 − z 2  

Onde: Ht  = perda de carga total entre os pontos de estudo. Unidades: No SI: [Ht] = m No SIG: SIG: [H [ Ht ] = ft  

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Num sistema fluidodinâmico, a perda de carga se divide em perda de carga distribuída   Hl   e a perda de carga localizada ou concentrada ou singular   Hs . Portanto, a perda de carga total é a soma destas perdas de carga e é dada por:

  l  H t  = H 

+ H s  

As perdas de carga localizada e distribuída serão estudadas a seguir. 6.3.1.1 Perda de carga distribuída (H (Hl )

A perda de carga distribuída Hl   ocorre devida à ação das tensões de cisalhamento ao longo da tubulação e é função das seguintes grandezas: velocidade média V do fluido escoante (ou vazão em volume Q), massa específica ρ  do fluido escoante, comprimento L   da tubulação (ou do trecho considerado), viscosidade dinâmica µ  do fluido escoante, diâmetro D da tubulação, rugosidade e do material do tubo (altura média da rugosidade da parede da tubulação, cujos dados para tubos novos estão do apêndice G) e a aceleração da gravidade g . Relacionando-se dimensionalmente estas grandezas (ver apêndice E) pode-se escrever a perda de carga distribuída pela equação a seguir, denominada Equação de Darcy-Weisbach :  L V 2  H l =  f . .  D 2.g

 L 8.Q 2 =  f . 5 . 2    D π  .g

Onde: f  =  = fator de atrito da tubulação ou fator d e atri atrito to de Darcy Darcy  que, por sua vez, é função de e/D (rugosidade relativa da tubulação) e de Rey.  A Equação de Darcy-Weisbach   tem este nome em homenagem a Henry Darcy , cientista francês e Julius Ludwig We Weisbach isbach , cientista alemão.

Henry Darcy (180 (1803 3 – 1858 1858))

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Julius Jul ius Lugw ig Weisb Weisbach ach (18 (1806 06 – 18 1871 71))

Estes cientistas foram praticamente os pioneiros nos estudos do fator de atrito f  em  em tubulações e fizeram várias experiências utilizando-se de tubos horizontais e de diâmetro constante, como a tubulação utilizada no modelo físico da figura 6.4.

Fig. 6.4: modelo físico de uma tubulação horizontal e de diâmetro constante

Em suas experiências, eles deduziram o valor de f igualando-se a equação de Bernoulli para escoamento real com a equação de Darcy-Weisbach, valor este de f   denominado fator de de a atri trito to de Da Darcy rcy experi experimental mental , dado por: Se : D1 =  D2 → P.C . :  ρ 1 .V 1 . A1 =  ρ 2 .V 2 . A2 →  A1 =  A2 → V 1 = V 2 Tubulação horizontal : z1 =  z 2

∴

P1 - P2 γ 

 L V   L 8.Q 2.g D . .∆ p π   D . .g.∆ p =  f . 5 . 2 →  f  = = .  D 2.g  D π  .g γ  L . .V 2 8.γ  L . .Q 2 2

=  f .

2

2

5

 

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131

6.3. 6.3.1. 1.2 2O Obtenção btenção do ffator ator de atrit atrito o de Da Darcy rcy experi experimental mental – métodos g gráfico ráfico s

No início do século XX o cientista alemão Johann Nikuradse (1894 –1979) realizou experiências sobre a relação entre f   e e Rey  com tubos de vidro e simulou a perda de carga em seu interior utilizando grãos de areia colados delicadamente nas paredes dos tubos, com uma cola especial. Os grãos de areia eram selecionados com máxima precisão, o que levou a Nikuradse a ter alto conhecimento em granulometria. Seus estudos foram correlacionados em diagramas, denominados ábacos cos de d e Niku Nikuradse radse, ilustrados na figura 6.5. ába

Fig. 6.5: 6.5: ábacos de Nikuradse

Nota-se que, pelos ábacos de Nikuradse, ilustrados na figura 6.5, que até Rey < 2300, o fator de atrito de Darcy varia inversamente proporcional com relação a Rey e em forma linear, característica de escoamento laminar, e independe do valor de e/D. A partir de Rey > 104, o fator de atrito de Darcy varia com Rey   e e/D  até tomar um valor constante, característica de escoamento turbulento . Conjuntamente, Lewis F. Moody , cientista norte americano (1880 – 1953), utilizando tubos comerciais, levantou dados da correlação de f   e e Rey , mostrando-os num diagrama que leva seu nome, o diagrama de Moody , ilustrado na figura 6.6.

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Fig. 6.6: 6.6: Diagrama de Moody

Nota-se que, no diagrama de Moody, ilustrado na figura 6.6, o valor de f , para o escoamento laminar , possui a mesma forma de variação descrita por Nikuradse. Todavia, o fator de atrito de Darcy varia com relação a Rey   e e/D, para o escoamento turbulento, e é inversamente proporcional a Rey   até a faixa de turbulência plena, quando permanece constante.

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No diagrama de Moody para se obter o valor de f   (eixo vertical esquerdo), toma-se o valor de e/D (eixo vertical direito) e determina-se a curva de e/D empírica (se esta curva já existir no gráfico, utiliza-se a existente). Após isto, toma-se o valor de Rey  (eixo horizontal) e sobe-se verticalmente até a curva de e/D. Ao encontrar-se a curva de e/D, dirige-se até o eixo vertical esquerdo de f . Se o escoamento for laminar, não há a necessidade do valor de e/D, pois a reta do escoamento laminar encontra-se no lado esquerdo do gráfico, antes  do valor de Rey  igual a 2300. A figura 6.7 ilustra a metodologia descrita anteriormente.

Fig. 6.7: 6.7: diagrama de M Moody oody - descrição de ut utili ilização zação

6.3.1.3 Obtenção do fator de atrito de Darcy experimental – métodos equacionais

Analisando os métodos gráficos citados dos estudos de Nikuradse e Moody, alguns cientistas deduziram algumas equações que, computacionalmente, abrangem a maioria das situações práticas, a saber: laminar:   como já foi citado nos métodos gráficos de Nikuradse I) Escoamento laminar: e Moody, Moody, o valor de f para este escoamento não depende de e/D; sua determinação é dada pelos estudos conjuntos de dois cientistas: Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen , físico alemão e engenheiro hidráulico e a Jean Louis Marie Poiseuille, médico e cientista francês, que estudaram o escoamento laminar em tubos capilares (tubos de pequeno diâmetro como, por exemplo, as veias e artérias do sistema circulatório sangüíneo); com estes estudos, estes cientistas deduziram uma equação que leva seus nomes (ver apêndice F), a Equação de Hagen-Poiseuille:  

∆ p =

128.µ . L.Q π  D . 4

 

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Onde: Q = vazão em volume no interior do tubo capilar; p  = variação de pressão entre as extremidades do tubo; D = diâmetro efetivo do tubo; µ = viscosidade dinâmica do fluido escoante; L  = comprimento do tubo;

Gotthilf Heinrich L udwig Hagen (1797 - 1884)  1884)  

Jean Louis Marie Poiseuille (1797 – 1869)

Como a única perda de carga no interior do tubo é a distribuída, pode-se escrever a variação de pressão em termos da equação de Bernoulli para escoamento real juntamente com a equação da perda de carga distribuída, considerando o tubo com diâmetro constante e na horizontal, o que resulta: Se : D1 = D2 → P.C . : ρ 1 .V 1 . A1 =  ρ 2 .V 2 . A2 → A1 =  A2 → V 1 = V 2

Tubulação horizontal : z1 = z 2

∴

P1 - P2 γ 

2

  2

2

 L V   L γ .V   L  ρ .V  . → ∆ p =  f . . =  f . .  D 2.g  D 2.g  D 2

=  f .

Igualando-se as equações da variação de pressão da Equação de HagenPoiseuille e Poiseuille  e da Equação de Bernoulli para escoamentos reais e isolando-se o fator de atrito f  tem-se  tem-se que:

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128.µ . L.Q . 4 π  D

∴  f  =

2  L  ρ .V  =  f . .  D 2

64  ρ .V . D

→ f  =

→

64 Rey

128.µ . L.V  4 D . 2

2  L  ρ .V  =  f . .  D 2

→  f  =

128.µ . L.V .2. D 4. D 2 . L. ρ .V 2

=

135

64.µ   ρ .V . D

→ fator de atrito de Darcy para escoamento laminar 

µ 

II) Equação de Blasius: Blasius:   em homenagem a  a  Paul R. H. Blasius , engenheiro hidráulico alemão.

Paul R. H. Blasiu Bl asiuss (1883 – 1 1970 970)) 

Balsius correlacionou os dados dos outros cientistas e determinou que, numa faixa de Rey da ordem de 4000 < Rey < 105 e somente para tubos  poderia ser calculado por: lisos lis os (e (e/D /D ≤  10-6 ) o valor de f  poderia

 f  = 0,3164   Rey 0,25 III) Eq. de Colebrook: Colebrook:  em homenagem a Cyril Frank Colebrook , cientista galês:

 

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Cyril Frank Colebrook (1910 – 1997)

Utilizada em escoa escoamento mento turbul turbulento ento misto  (105 < Rey < 106) e com e/D ≤   10-6  e em escoamento turbulento rugoso   (Rey > 106) com e/D ≥   0,02. Colebrook propôs a utilização, por meio dos cálculos dos coeficientes de resistência ao fluxo, uma dependência linear entre Rey   e e/D. Esta proposta é fundamentada nas observações de Prandtl   e Nikuradse. A equação de Colebrook é largamente utilizada no mundo inteiro, com diferentes denominações e é dada por:



 e/D 2,51    + 0,5     3,7 Rey.f   

−2

f  = − 2. log



 

O futuro engenheiro deve ter percebido que a equação de Colebrook é uma equação transcendente (implícita), isto é, para ser resolvida é necessário cálculo iterativo (Cálculo Numérico). ler , P. K. Swamee e A. K. Jai Jain n (séc. XX), cientistas estudiosos Mas, R. W. Mil Miller  a dos trabalhos de Colebrook, sugeriram que, se a 1  iteração fosse calculada por sua equação, o valor de f  por   por Colebrook teria um erro de cálculo da ordem de 1%, erro mais do que aceito em todas as aplicações práticas vistas aqui em FT. Portanto, para se utilizar a equação Colebrook (a amenos que um computador ou calculadora programável o faça)dedeve-se calcular 1 a  iteração de Colebrook pela equação de Miller-Swamee-Jain , dada por:

  e/D 5,74    + f o = 0,25.log 0,9      3,7 Rey  

−2

 

Assim sendo, após o cálculo de f o   deve-se substituí-lo no lugar do valor de f   no interior da equação de Colebrook e efetuar o cálculo do fator de atrito f   final, formando, assim, a equação combinada de Miller-Swame Miller-Swameee-Jain Jain + Colebrook Colebroo k , dada por:

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−2

  e/D   e/D 5,74   2,51     → f  = − 2. log + f o = 0,25.log + 0,5   0,9       3,7 Rey     3,7 Rey.f o  

137

−2

 

IV) Equação Geral deesta Swamee-Jain SwameeJain: :   apresentada por casos P. K. onde Swamee  A. K. Jain, em 1976, equação geral é utilizada nos nem  eBlasius prevalece e nem Colebrook prevalece, isto é, em escoa escoamento mento tturbulento urbulento -6 5 liso   (4000 < Rey < 10 ) e e/D > 10 , em escoamento turbulento misto   (105 < Rey < 106) e e/D > 10-6 e escoamento turbulento rugoso  ( Rey > 106) e e/D < 0,02;

   e / D 5,74    2500    64     −    + 9,5.ln +  f  =  0, 9   Re y     3,7 Re y     Re y    8

6

  

−16 0,125

   

 

Resumidamente, para se calcular o fator de atrito de Darcy são adotados os seguintes métodos, ilustrados na tabela 6.2. Tab. 6.2 6.2:: métod métodos os equacion ais para determinação do fato fatorr de atrito de Da Darcy rcy Escoamento Faixa Faixa de e/D Método Lamin Lam inar ar (Rey < 2300) ---------------------f = 64/Rey 5 -6 Equação de Blasius Turbulento liso lis o (400 (4000 0 < Re Reyy < 10 ) ≤ 10   5 -6 Turbulento liso lis o (400 (4000 0 < Re Reyy < 10 ) Equação Geral de Swamee-Jain 10   -6 Equação de Miller-Swamee-Jain + Turbule Tur bulento nto misto (1 (10 0 10 ) Equação Geral de Swamee-Jain ≤ 0,02 Turbulento rugoso (Rey (Rey > 10 ) Equação de Miller-Swamee-Jain + 0,02 Colebrook

compêndio todos os métodos equacionais de obtenção fator deUm atrito de Darcydemonstrando para escoamento turbulento encontra-se no apêndice O. do 6.3.1.4 Pe Perda rda de carga localizada ou si singul ngular ar ou conc concentrada entrada ou acidental ((H Hs) 

Esta perda surge devido à perda de energia em pontos específicos do escoamento, tais como dispositivos (bombas, turbinas, reatores etc...), medidores (placas de orifício, tubo de Venturi, tubo de Pitot etc...) e conexões (curvas, cotovelos, tês, válvulas etc...) instalados ao longo da tubulação. A equação que determina o valor de Hs  é dada por:

V 2

8.Q 2 .  H S  = k . = k . 2 4   π   D 2.g . .g

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Onde: k  = coeficiente de perda de carga localizada da conexão ou dispositivo; V = velocidade média do escoamento à jusante (após) a conexão; Q = vazão em volume do escoamento à jusante da conexão; D = diâmetro da tubulação à jusante j usante da conexão; O valor k   é tabelado e dado pelo fabricante dispositivo (ou conexão) para uma dadade situação. Em geral, podem-se adotar osdo seguintes valores práticos, ilustrados na tabela 6.3. Tab. 6.3 6.3:: valor valores es de k para várias sing singularidades ularidades Tipo de singularidade k Vá Válvul lvul a de comp comporta orta tot totalmente almente aberta 0,2 Vá Válvul lvul a de comp comport orta a metade aberta 5,6 Curva de 90o  1,0 o Curva de 45   0,4 Válvula de cri crivo vo ou de pé 2,5 Entrada em um tubo 0,5 Saída de um tub o 1,0 2  Al  Alarg argament ament o b bru rusc sc o     D1   2  1 −             D2     2 Redução brusc a de seçã seção o (contr ação)     D   2  0,5.1 −  1        D2   

 

 

Pode-se substituir a perda de carga localizada por uma perda distribuída de comprimento L eq que, como o próprio nome diz, é equivalente à perda localizada no ponto. O valor de L eq   é denominado comprimento equivalente  da conexão (ou dispositivo) e é determinado igualando-se a perda de carga distribuída com a localizada no tubo ao qual está conectado, isto é:

 Leq V 2  f .  D . 2.g

2

V 

= k . 2.g → Leq =

k  D .  f   

Onde f  é  é o fator de atrito de Darcy onde a conexão está acoplada. O efeito de se substituir a conexão por um pedaço de tubo de comprimento L eq  que forneça a mesma perda de carga do que a conexão é exclusivamente para efeito de projeto, pois L eq é um valor virtual, isto é, na prática ele não existe. O valor de L eq  também é fornecido pelo fabricante da conexão ou dispositivo e a figura 6.8 ilustra alguns valores de L eq .

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Fig. 6.8: 6.8: vvalores alores de L eq para várias conexões

139

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140

6.3. 6.3.2 2C Crit ritério ério d de e velocidade econômi econômica ca ((V Ve)

Para se minimizar os efeitos da perda de carga, a velocidade média do fluido em escoamento não deve ultrapassar um determinado valor padronizado, denominado velocidade econômica (Ve). Este valor depende do tipo de tubo a ser utilizado, do fluido e da aplicação. Como referência básica, adotam-se os valores ilustrados na tabela 6.4. Tab. 6.4: valores das velocidades econômicas para várias aplicações Fluido Ve (m/s) Tubo  Água  Ág ua - res resid idênc ências ias 1a2 Aç Aço o  Água  Ág ua - iind ndús ústr trias ias 2a3 Aç Aço o Óleo lubr lubrifi ificante cante 0,7 0,75 5 Aço  Ar (0 a 30 psi psia) a) 20 a 30 Aç Aço o Gáss natural Gá 30 Aço Vapor d’ág d’água ua (0 a 30 psia) ps ia) 20 a 30 Aç Aço o Vapor d’ág d’água ua (30 a 150 psi a) 30 a 50 Aç Aço o Vapor d’ág d’água ua (>15 (>150 0 psia) ps ia) 50 a 75 Aç Aço o Va Vapor por d’água – linh linhas as curt as 75 Aço  Ácid  Ác ido o ssul ulfú fúri rico co 88 a 98% 1,2 FoFo

6.3. 6.3.3 3 Considerações fifinais nais ssobre obre a perda de carga

O futuro engenheiro deve ter percebido que a perda de carga é algo que deve ser minimizado ao máximo possível, para que o sistema de escoamento tenha o maior rendimento possível. Minimizar a perda de carga não é uma tarefa tão simples assim. A priori, pelas equações apresentadas, o futuro engenheiro deve ter percebido também que, para diminuir a perda de carga é necessário escolher tubos com diâmetros grandes ou escolher tubos lisos ou trechos de tubulações mais curtos ou sistemas com baixas vazões. Justamente estas considerações é que devem ser levadas para os projetos de tubulações e, mais ainda, tentar minimizar os custos relevantes do projeto, bem como atingir a maior relação custo-benefício do mesmo. Está lançado o desafio para quem quiser ser um bom profissional nesta área. Exemplo resolvido 6.1: um 6.1:  um viscosímetro simples e preciso pode ser feito com um t ubo capilar. Se a va vazã zão o em volum vo lume e e queda de pressão forem m medidas, edidas, e a geometria do tubo for conhecida, a viscosidade de um fluido newtoniano poderá ser calculada. Um teste de certo líquido num viscosímetro capilar (figura abaixo) forneceu os seguintes dados: Q = 880 mm 3/s (880.10-9  m 3/s) e 3 ρ fluido  = 999 kg/m . Aplicando a Equação de Hagen – Poiseuille e com base no viscosímetro fornecido determine a viscosidade do fluído ensaiado e prove que o escoamento escoamento dentr o do tub tubo o é la laminar. minar.

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141

Solução: a equaçã equação o de Hagen – Poiseuille é:

∆ p =

128.µ  L . .Q π . D 4

 

Por esta equação, equação, o valor da visco viscosidade sidade dinâmi dinâmica ca é dado por por:: µ  =

. 4 .∆ p π  D 128 L . .Q

− π .(5.10 4 ) .1.10 6 4

=

128.1.880.10 −9

 

∴ µ  = 0,00174316 Pa.s = 1,74316 cP

Para se provar que o escoamento do fluido no tubo capilar é laminar deve-se calcular calcul ar Re Reyy e verif verificar icar se seu valo valorr é menor que 23 2300 00,, o que resul resulta: ta: Re y

=

4. ρ .Q . .µ  π  D

=

4.999.880.10 −9 π .5.10 − 4.1,74316.10 −3

= 1284,2543 < 2300 → escoamento laminar! 

6.2: O  O diagrama de Moody for fornece nece o fator de atrito de D Darcy arcy Exemplo resolvido 6.2: (f D) em termos do número de Reynolds (Rey) e da rugosidade relativa (e/D). O fator de atrito de Fa Fanning nning para e escoame scoamento nto em tubos é definido com como: o:  f F  =  

τ w

1 2

  2

. ρ .V 

onde τ w  é a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Obtenha uma relação entre os fatores de atrito de Darcy e de Fanning para escoamento plenamente desenvolvido. Mostre que: f D = 4.f F. Solução: Soluçã o: adotando o escoame escoamento nto do fluido no tubo como llamina aminar, r, temtem-se se que o perfil de velocidades típico para este escoamento é dado, de acordo com o que está está descrit descrito o no capítulo 5, por:

    r 2   V  v( r ) = V máx .1 − 2  → V  = máx → V = velocidade média 2    R     2   r 2   r  ∴ v(r) = 2.V.1 − 2  = 2.V  − 2.V . 2  R    R   Considerando Conside rando o fluido como newtoniano, te tem-se m-se que: que:

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τ rz = − µ . τ rz = µ .

dv(r ) dr 

= − µ .

d  

2 r  

dr 

 R 

2.V  − 2.V .

4.V .r   R

2

142

  

2

Como a tensão de cisalhamento é na parede do tubo, deve-se fazer, nesta equação, equaçã o, r = R, o que result a:

τ w = τ rz 

r = R

=  µ .

4.V   R

8.V 

= µ .  

 D

→ D = diâmetro da tubulação  

Substituindo-se este valor da tensão de cisalhamento na equação do fator de atrito atrit o de F Fanning anning ttem-se em-se que: µ .8.V  τ w

 

 f F 

= 1 . ρ .V 2 = 2

 D  ρ .V 2

2

16.µ 

16 . . =  ρ .V  D =  ρ .V  D µ 

16

= Re y  

Por sua vez, o fator de atrito de D Darcy, arcy, para o escoamento laminar, é dado por:  f  D

=

64 Re y

 

Portanto, se dividir-se o fator de atrito de Darcy pelo fator de atrito de Fanning, resulta: 64  f  D  f F 

=

64 Re y Re y = = 4 →  f  D = 4. f F    . 16 Re y 16 Re y

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143

Gasparetto”):   um oleoduto é formado por uma Exemplo resolvido 6.3 (“a la Gasparetto”): tubulação horizontal de aço comercial de 20 km de extensão e a cada 1 km existe uma válvula gaveta (L eq_vg = 0,25 m). O diâmetro efetivo do oleoduto é 40” (1,016 m) e óleo diesel ( ρ  = 750 kg/m 3  γ  = 7,3575.103 N/m 3  µ = 0,6 Pa.s g = 9,81 m/s 2) escoa no sistema a uma velocidade de 0,75 m/s. Sabendo que a potência do sistema que abastece o oleoduto ser dada por Potência = Q. dep, bombeamento onde p é a variação de pressão total dopode sistema prove que a potência do sistema de bombeamento que abastece o oleoduto é de, aproxim apro ximadamente, adamente, 227, 227,5 5 HP. Solução: antes de se aplicar a equação de Berno Bernoull ullii para escoamento real temse que se verif verificar icar que titipo po de escoamento o ól óleo eo terá na tub tubulação, ulação, a através través de Rey; dependendo do valor de Rey, calcula-se o fator de atrito de Darcy mais adequado ade quado ao escoamento; port portanto, anto, calculando calculando-se -se R Rey ey tem-se que que:: Re y

=

 ρ .V    .D µ 

=

64

750.0,75.1,016 0,6

= 952,5 → escoamento laminar!  

64

∴ f D = Rey  = 952,5 = 0,0671916 O comprimento compri mento real da tub tubulação ulação será dado por:  Lreal

=  L  + 19  .Leq _ válvula = 20.10  3 + 19.0,25 = 20004,75 m  

Considerando que o oleoduto está na hori Considerando horizonta zontall e po ssui diâme diâmetro tro constante, tem-se que:

cota de entrada = cota de saída → z 1 = z 2  D1 =  D2 →  A1 =  A2 → V 1 = V 2 → equação da Continuidade    Aplili can  Ap cando do-se -se a eq equaç uação ão d de e Ber Berno noul ullili par para a esc escoam oament ento o rreal eal ttem-s em-se e qu que: e:  H t  =

P1 − P2

P1 − P2

γ 

γ 

V 1 − V 2 2

+

2

2.g

2

 L V  + z1 − z2 =  f  D . real .  D 2.g

2 2  Lreal γ .V   Lreal V  . . + 0 + 0 =  f  D . → ∆P =  f  D .  D 2.g  D 2.g 2

∴ ∆P = 0,0671916.

20004,75 7357,5.(0,75) . 1,016 2.9,81

∴ ∆P = 279066,816273 Pa = 279,066816273 kPa (man.) Calcul Ca lcul ando-se a va vazã zão o em vo volum lume e do escoamento, tem-se que:

 

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Q = V . A = V .

π   4

. D 2 = 0  ,75.

π  4

144

2

.(1,016) → Q = 0,608048975 m 3 /s = 608,048975 L/s  

Portanto, calculando-se a potência do sistema de bombeamento do oleoduto, tem-se que: dW  dt  dW  dt 

= Q.∆P = 0,608048975.279,066816273.10 3 3

169,68629157.10 = 169,68629157 kW =  = 227,461517 HP 746

 

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145

Capítulo 7 Primeira Lei da Termodinâmica aplicada a um volume de controle 7.1 7.1 Ba Balanço lanço energético em um ssist istema ema de cont control role e

Seja o sistema de controle ilustrado na figura 7.1.

Fig. 7.1: modelo físico de um sistema de controle

Onde: E = energia interna total do sistema W = trabalho realizado pelo sistema  Q = quantidade de calor acumulada pelo sistema A primeira declaração explícita da Primeira Lei da Termodinâmica (PLT), dada por Rudolf Julius Emanuel Clausius, físico e matemático alemão, um dos fundadores da Termodinâmica como ciência, em 1850, refere-se a processos termodinâmicos cíclicos.

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146

(1822 822 – 1888 1888))  Rudolf Juli us Emanuel Clausius (1

Clausius dizia que sempre que o trabalho for produzido pelo órgão gerador de calor, certa quantidade desta energia é consumida, que é proporcional ao trabalho realizado. Por outro lado, pelo gasto de uma quantidade igual de trabalho a mesma quantidade de calor é produzida. Clausius descreveu a PLT utilizando a denominação matemática taxa de variação, referindo-se à existência de uma função do estado do sistemadachamada energia interna (E), expressa em termos de uma equação diferencial para os estados de um processo termodinâmico, ou seja, calor (Q) e trabalho (W). Esta equação pode ser traduzida em palavras como se segue: " Em um processo termodi t ermodinâmico nâmico fechado, f echado, a alteraçã alteração o da energia energia interna int erna do sist ema é igual à diferença entr entre e a alteraçã alteração o do calor acumulado pelo sist s istema ema e a alteraçã alteração o do tr aba abalho lho r ea ealizado lizado pelo sis tema". tema".  

Assim sendo, aplicando a PLT no modelo físico ilustrado na figura 7.1 tem-se que:

dE 

dQ

dW 

     E  Q W  dt  = dt  − dt  → = −

A energia E de um sistema um sistema termodinâmico, termodinâmico, composto  composto por um grande número de partículas tais como íons, como íons, moléculas,  moléculas, átomos  átomos ou mesmo mesmo fótons,  fótons,   pode ser decomposta em três partes: I)  As  As  energias cinéti cinéticas cas  atreladas ao movimento de todo o sistema e ao movimento das partículas que o constituem; II)  As  As   energias potenciais  do sistema devidas às interações com o ambiente externo (expressas via campos via campos gravitacionais, gravitacionais, elétricos  elétricos ou ou magnéticos)  magnéticos),, e devidas às interações internas entre as moléculas, íons, moléculas, íons, átomos,  átomos, elétrons,  elétrons,  

núcleos, e demais elementos que constituem esse sistema;

III) As III)  As   energias de campos radiantes  confinados pelas fronteiras do sistema, tipicamente as energias de fótons térmicos confinados.  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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147

Existem, portanto, dois níveis de escala para a energia total do sistema: I) Nível macroscópico:   sensível aos sentidos, ou seja, definido em escala humana ou superior, abarcando a energia cinética macroscópica do sistema quando em movimento em relação a um referencial inercial e à

parte dele, e as energias potenciais do sistema quando imerso em campos gravitacionais, elétricos ou magnéticos macroscopicamente estabelecidos por fontes externas; II) Nível microscópico:   inacessível aos sentidos, abarcando a soma das energias cinéticas das partículas constituintes, atrelada ao movimento térmico destas; as energias potenciais de todas as interações entre tais partículas microscópicas, com destaque para a elétrica no caso das energias nas ligações químicas (energia química) e para a nuclear no caso das energias de interação entre núcleos (energia nuclear); e a soma das energias das partículas das partículas de campo confinadas.

Assim sendo, com exceção da energia das partículas de campo confinadas, que é praticamente negligenciável, a energia total E do sistema termodinâmico será a soma das seguintes formas de energia:

E = E cinética

+ E potencial + E interna_intermolecular  Onde : E interna_intermolecular  = U = E cinética_molecular  + E potencial_ molecular  + E nuclear    Se dividir-se a energia total do sistema E pela massa do fluido escoante, que é o objeto de estudo, tem-se a energia total por unidade de massa e, dada por: e=

E m

=

E cinética m

+

E potencial m

+

E interna_intermolecular  m

2

m.V    2 m . g .  z U  V  ∴e = 2 + +  → e = + g. z + u m m m 2

No apêndice D, para o volume de controle, foi deduzida a variação total da grandeza N ao longo do escoamento da massa fluída, dada por:

∂ = ∫ η . ρ .V  d  A + ∫ η .ρ .dV ol     ∂t VC  dt  SC 

dN 





Pela PLT aplicada a um volume de controle tem-se que:

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148

 N  =  E  → η  = e

∴

dE  dt 

=

dQ dt 

−

dW  dt 

∫

=





e. ρ .V   d   A +

 

SC 

∂ e.ρ .dV ol   ∫ ∂t VC 

Lembrando-se que, num EPI tem-se que:

 EPI  :

∴

dQ dt 

∂ e. ρ .dV ol = 0 ∫ ∂t VC  −

dW  dt 

=





∫ e. ρ .V   d  A →

dQ dt 

SC 

−

dW  dt 

       V 2 = ∫  + g. z + u . ρ .V   d  A 2   SC  

O objetivo da aplicação da PLT no volume de controle é determinar o trabalho de eixo que dispositivos como bombas e turbinas podem fornecer (ou receber) do sistemaPor desua controle. vez, o trabalho W compõe-se das seguintes parcelas: W = WS + Wnormal + Wcisalhamento + Woutros Onde : WS = trabalho de eixo transferido para fora da superfície de controle (bombas e turbinas) Wnormal = trabalho realizado por tensõe tensões normais na superfície de controle (pressões) Wcisalhamento = trabalho realizado por tensõe tensões de cisalhamento na superfície de controle Woutros = trabalho realizado por outras formas de energia → Woutros = 0

Os valores de Wnormal  e Wcisalhamento  são dados por:

Wnormal

∴

= F pressão .d = p.A.d = p.Vol =

dWnormal dt

Wcisalhamento

 p dm = . ρ dt 

ρ





 p

 p.m

= . ∫ ρ.V  d A ρ



SC

= ∫ τ  d .dA →



dWcisalhamento dt

SC





Mas, na SC : V//dA → τ  V = 0 →



= ∫τ SC

d  dt

dWcisalhamento dt

.dA =



∫ τ  V.dA  

SC

=0



 

Assim a PLT, na forma resumida, é dada por:  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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149

 V 2      A −  A − . ∫ ρ .V   d  = ∫  + g. z + u . ρ .V   d  2 dt   ρ  SC  dt    SC    dQ   V 2      p dW S   A + . ∫ ρ .V  d   A − ∴− = ∫  + g. z + u . ρ .V  d  SC  dt  dt   ρ  SC    22      V    dW   p dQ ∴ − S  = ∫  + g. z + + u . ρ .V   d   A − 2  ρ    dt  dt  SC       dQ  V 2 dW S   p ∴ = − ∫  + g. z + + u . ρ .V  d   A + 2  ρ    dt  dt  SC   dQ

 p





dW S 

Pode − se escrever que :

dQ dt 

=

  dQ dm dQ . .  ρ .V  d   A = dm dt  dm SC 

∫

   V 2     dQ  p . ∫ ρ .V  d  ∴ = − ∫  + g. z + + u . ρ .V  d   A  A + 2  ρ  dt  dm   SC   SC 

dW S 

2

   V  + g. z +  p + u − dQ . ρ .V   d  ∴ dW S  = − ∫    A 2  ρ  dt  dm  SC  

 

Define-se perda de carga h t  como sendo:

ht  =  u −

dQ dm

 

Assim, para dois pontos do sistema de controle, onde o ponto 1 é a entrada e o ponto 2 é a saída, a PLT pode ser assim descrita:

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150

 V 2      p = − ∫  + g. z + + ht  . ρ .V   d  A dt  2  ρ    SC   2 2   dW S  dm   p 2 −  p1 V 2 − V 1 ∴ = − . + + g .( z 2 − z1 ) + ht   dt  dt     ρ  2   2 2     dW  V  − V 2 dm  p −  p ∴ S  = . 1 2 + 1 + g.( z1 − z 2 ) − ht   dt  dt     ρ  2     p1 −  p2 V 12 − V 22   dW S  ∴ =  ρ .Q. + + g.( z1 − z 2 ) − ht   dt  2    ρ        dW S   ρ .(V 12 − V 22 ) ∴ = Q. p1 −  p2 + +  ρ .g.( z1 − z 2 ) − ρ .ht   dt  2          ρ .(V 12 − V 22 ) Onde : ∆ p =  p1 −  p 2 + +  ρ .g.( z1 − z 2 ) − ρ .ht   2      E : ∆ p = variação de pressão total do sistema dW S 

∴

dW S  dt 

= Q.∆ p

 

Isto é, o termo dW S/dt   é o produto de vazão em volume pela variação de pressão total do sistema, o que dimensionalmente resulta:

 dW S   3 −1   −1 −2 2 −3 [ ] . . . . . . . = ∆ = = Q  p  L T   M   L T   M   L T     dt   Que é o símbolo dimensional da potência (ver capítulo 2). Em outras palavras, a potência de eixo do dispositivo (bomba ou turbina) instalado no meio do escoamento é o produto da vazão em volume do sistema pela variação de pressão total. Nesta variação de pressão total estão incluídas todas as pressões possíveis do sistema e, principalmente, a perda de pressão pela existência da perda de carga. Unidades de dW s /dt: No SI: SI: [dW [ dWs/dt] = N.m.s -1 = W

Watt

No SIG: [dWs/dt] = lbf.ft.s -1  No SP:  [ dW s /dt] = CV (cavalo-vapor) (cavalo-vapor) ou o u HP (horse-power) 

Pelo modelo adotado para a aplicação da PLT (fig. ( fig. 7.1) convenciona-se que:

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151

Se dWS/dt > 0  existe uma turbina entre 1 e 2 Se dWS/dt < 0  existe uma bomba entre 1 e 2 Se dWS/dt = 0  não existe nem uma bomba e nem uma turb turbina ina  entre 1 e 2

Se analisar-se a PLT aplicada no volume de controle têm-se alguns casos particulares muito importantes que devem ser de conhecimento do futuro engenheiro, a saber:

Ausência de dispositivo no sistema : Como : Q > 0 → p1 − p 2 +

dWS =0 dt

ρ.(V12

− V22 ) + ρ.g.(z1 − z 2 ) − ρ.h t = 0 2

V12 − V22 ∴ht = + + g.(z1 − z 2 ) → Equação de Bernoulli para escoamento real ρ 2   dWS Ausência de dispositivo no sistema + ausência de perda de carga : dt = h t = 0 ρ.(V12 − V22 ) Como : Q > 0 → p1 − p 2 + + ρ.g.(z1 − z 2 ) = 0 2  p1 − p 2 V12 − V22 ∴ + + g.(z1 − z 2 ) = 0 → Equação de Bernoulli para escoamento ideal ρ 2  p1 − p 2

Portanto, pela aplicação da PLT no volume de controle pode-se voltar à Equação de Bernoulli, como foi definida no capítulo 5, desde que sejam aplicadas as restrições já citadas e com muita cautela. 7.2 Ca Caso so part particul icul ar de a apli plicação cação da P PLT LT em sistemas de cont control role e – sist sistema ema de bombeamento simples   Seja o sistema simples de bombeamento ilustrado na figura 7.2.

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152

Fig. 7.2: sistema de bombeamento simples

O sistema é formado por duas tubulações distintas, a saber: sucção  (vai do reservatório inferior ou poço até a bomba centrífuga) e recalque  (vai da bomba centrífuga até o reservatório superior ou caixa d’água). Os diâmetros destas tubulações podem ser diferentes (geralmente Dsucção > Drecalque ) ou iguais. Neste sistema destacam-se os seguintes componentes: I)

Bomb a centrífu Bomba centrífuga ga (BC) (BC)::  dispositivo que tem a função de retirar a água do reservatório inferior (geralmente um poço) e enviá-la para o reservatório superior (geralmente uma caixa d’água); seu princípio de funcionamento baseia-se na aplicação da força centrífuga na água quando ela se encontra dentro do impulsor; as figuras 7.3 e 7.4 ilustram uma BC.

Fig. 7.3: 7.3: bomba cent centrífuga rífuga – vist vista a externa

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153

Fig. 7.4: bomba centrífuga – vista interna em corte

II)

Motor de acionamento da BC: BC:   pode ser elétrico, de combustão interna (gasolina, álcool) ou à explosão (diesel); também pode ser empregada uma turbina a vapor no lugar do motor; sua função é mover o rotor da bomba em regime permanente, para garantir o funcionamento da parte hidráulica; no caso de um motor elétrico em regime CA (corrente alternada) a figura 7.5 o ilustra.

Fig. 7.5: 7.5: motor elétrico em CA

III)

Coto velo de 90o: geralmente é metálico mas, para algumas aplicações Cotovelo em baixa potência, hoje já existem em PVC rígido; na figura 7.6 ilustra-se uma cotovelo em aço inox.

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154

Fig. 7.6: 7.6: cot cotovelo ovelo d de e 90o em aço inox

IV)

Válvul a de retenç Válvula retenção: ão:   utilizada para reter a água na tubulação de recalque; geralmente é metálica e tem que ser fabricada com rígido controle de qualidade, a figura 7.7 ilustra uma válvula de recalque.

Fig. 7.7: 7.7: vválvula álvula de rretenção etenção

V)

Regist ro de gaveta:  utilizado para controle da vazão do sistema; sua Regist fabricação também deve seguir o mesmo rigor da válvula de retenção; na figura 7.8 ilustra-se um registro de gaveta.

Fig. 7.8: 7.8: regis tro de gaveta  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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VI)) VI

155

Válvul a de cri Válvul crivo vo ou de pé:  utilizada para controle da entrada da água na sucção; possui uma grelha para evitar a entrada de rochas e outros objetos na tubulação de sucção, a figura 7.9 ilustra uma válvula de crivo ou de pé.

Fig. 7.9: válvula de crivo em aço inox

Para o sistema da fig. 7.2 deve-se considerar que: a) os pontos 1 e 2 para aplicação da PLT serão, respe respectivamente, ctivamente, o nível de água do reservatório inferior (onde p 1 = Patm , em termos absolutos) e a saída da tubulação de recalque no reservatório superior (onde p 2  = Patm , também em termos absolutos); b) a velocidade de recalque V2  é muito maior que a velocidade do ponto 1 (princípio dos grandes reservatórios, já aplicado no capítulo 5) de tal forma que, no termo de carga cinética tem-se que:

(V 12 − V 22 ) 2

≅

− V 22 2

=

− V 2 2

=

− 8.Q 2 4 . recalque π 2  D

 

c) cada tubulaçã tubulaçãoo e conexão contribuirá ccom om sua perda de carga; so somando-as, mando-as, tem-se a perda de carga total do sistema, dada por:

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 f rec . Lrec

 H t  = 0,60304.Q 2 .

+

156

 f suc . Lsuc 

 [m]   D   D  Onde : [Q] = m 3 /h → [L] = m → [D] = in   E : L suc = a + L eq_cotovelo de 90 + L eq_válvula de crivo L rec = A + L eq_cotovelo de 90 + L eq_registr o de gaveta + L eq_válvula de retenção 5 rec

5 suc

o

o

Os dados de L eq  para estas conexões estão dispostos do apêndice H. d) a diferença de cotas entre os pontos 1 e 2 resulta:

∆ z =  z1 − z 2 = −( H  + h )   e) a altura manométrica total do sistema ( AMT  AMT ), que considera toda altura necessária para para a elevação ddaa água mais as perdas de carga do sistema, é dada pela expressão:

 AMT  = H   + h + H t   [m]   Porém, devido ao fato da BC   também provocar uma perda de carga localizada no sistema, adota-se que a  AMT  real deve ser o produto da  AMT  por um coeficiente de segurança (da ordem de 20% ou mais). Por isto, a  AMT real  é dada por:

 AMT real = 1,2. AMT   =  1,2.( H  + h + H t )  [m]   Substituindo-se os dados dos itens a até d  na PLT tem-se que:

 0,150262.Q 2  ∆ p  = ρ . + g. AMT real    [Pa] 4   Drec    dWS Q.∆ p   [W] ∴ = dt

3600

A rigor, o valor de p  deveria ser negativo, mas este sinal foi omitido, uma vez que já se sabe que o dispositivo é uma bomba. Finalmente, com os dados da potência dW s /dt   e  AMT real  basta consultar um catálogo fabricante de e dimensionar a bomba adequada para a aplicação.doGeralmente, osbombas catálogos fornecem curvas que mais auxiliam o projetista

dimensionar corretamente a BC  mais adequada ao sistema. Um exemplo de curva de BC  é ilustrada na figura 7.10.  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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Fig. 7.10: 7.10: exemplo d e curva A MT x Q de uma BC

É claro que, num projeto mais completo, deve-se considerar também a determinação do parâmetro NPSH, de fundamental importância para o dimensionamento da BC . Por sua vez, NPSH é um acrônimo um acrônimo para o termo em lingua inglesa Net Positive Suction Head (algo como altura livre positiva posit iva de sucção). É a energia (carga) medida em pressão absoluta disponível na entrada de de sucção  sucção de uma BC. O NPSH disponível  (NPSHdisp ), é a energia que o sis sistema tema disponibiliza ou chega na entrada de sucção da bomba ou é a energia de pressão absoluta resultante é expressa normalmente em metros de coluna de água (mca). O NPSH requerido e(NPSH req ) é a energia de pressão absoluta que a bomba requer na sua entrada de sucção para evitar que o fenômeno da cavitação ocorra que, por sua vêz, depende das caracteristicas construtivas da bomba, da sua rotação e da vazão. Ele é informado pelo fabricante da bomba. Quando o NPSHdisp > NPSHreq , provavelmente não ocorrerá o fenômeno da cavitação. da  cavitação.   Por sua vez, cavitação  é o nome que se dá ao fenômeno de vaporização de um líquido pela redução da sua pressão quando em movimento. Em certos pontos do escoamento, devido à aceleração do fluido, como em um vertedor, em uma turbina hidráulica, em uma BC, em um bocal ou em uma válvula, a pressão do fluido pode cair a um valor menor que a pressão mínima em que ocorre a vaporização do mesmo (Pv ) na temperatura To. Então ocorrerá uma vaporização local do fluido, formando bolhas de vapor que, por sua vez, poderão explodir, ocasionando ondas de choque que, ao entrarem em contato com a superfície mais próxima, provocam nela cavidades ou corrosão. A cavitação deve ser sempre evitada por causa dos

prejuízos financeiros que causa devido à erosão associada, seja nas pás de turbinas, de bombas, em pistões ou em canais.  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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Nas figuras 7.11 e 7.12 ilustram-se o efeito da cavitação nas pás das turbinas hidráulicas.

Fig. 7.11: 7.11: e exemplo xemplo d e cavitação nas pás de uma turb turbina ina hidr hidráulica áulica

Fig. 7.12: exemplo de cavitação numa turbina tipo Francis

7.1:   Por um tubo horizontal de PVC com 2 in de diâmetro Exercício resolvido 7.1:  efetivo e 6 m de comprimento escoa água a 20  o C. Se o tubo está submetido a uma variação de pressão de 100 kPa, determine a sua máxima vazão em volume (em (em lit litros/s), ros/s), utili utiliza zando ndo o aplicativo “ SisH SisHidra” idra” Solução: observe na tela principal do aplicativo o ícone “Ensaios”, no canto superior esquerdo. Ao entrar nele digite os dados, na janela “Calcular a vazão máxima do sistema” . N Note ote que, pe pelo lo ffato ato do tubo ser horizontal, qua qualquer lquer valor em z1  e z2  pode ser digitado, desde que sejam iguais. Outra observação importante é que, neste caso, não há nenhum dispositivo (bomba ou turbina) no meio d o sis tema. Portanto a pot potência ência do mesmo é nul nula. a. C Como omo a variação de

pressão é p 1  – p 2 o valor dado (100 kPa) está em p 1 para p 2 nulo. Após digitar estess dados, no ícone “ Ca este Calcular lcular dados ffundame undamentais ntais do sistema” escolheescolhe-se se o  _______________________________________________________  ____________________________________ _____________________________________ ______________________________________ ____________________________ ________ Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba

 

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tipo do material do tubo, neste caso o PVC. Confirmando o dado do tubo, o aplicativo executa os cálculos necessários e expõe a resposta pedida, conform conf orme e a te tela la a seguir:

Exe Exempl mplo o resolvido resolv ido 7.2: 7.2:  Pa  Para ra o sis sistema tema a seguir são dados: Comprimento total do tubo: 17 175 5m Tipo de tubo: fofo (ferro fundido) Diâmetro Diâ metro do t ubo: 2 in Veloci Ve loci dade econômi econômica: ca: Ve = 2 m/s Pede-se Pe de-se a potência da bomba (e (em m HP) HP),, utili za zando ndo o apli aplicativo cativo “ SisHidra” . Sistema:

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Solução: novamente, deve-se entrar no ícone “Ensaios”, abrindo agora a  janela  jan ela “ Calc Calcul uland ando o a po pott ênc ência ia do disp di spos osii ti vo” vo ” . Nest Nesta a jan janela ela no nota-s ta-s e qu que, e, pel pelo o sistema fluidodinâmico dado, as pressões em 1 e 2 são nulas (pressões atmosféricas). atmosf éricas). N Nota-se ota-se també também, m, que a cota do pon ponto to 1 é negativ negativ a, poi poiss o datum (plano horizontal de referência) está no dispositivo. Como o aplicativo só calcula calcul a o escoame escoamento em termos de e va vazã zão em vol volume, ume,volume, com osque d ados de VeQ  e =o diâmetro do tubo, nto é possível se d saber ao vazão em resulta 4,05366 litros/s. Deve-se tomar extremo cuidado com o número de cotovelos que, neste caso, são 4. Após digitar os dados na janela, deve-se escolher o tipo de tubo, da mesma forma do teste 1, e confirmar o dado. Após isto, o aplicativo executa os cálculos necessários e expõe o resultado pedido, conform conf orme e a te tela la a seguir:

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