Apostila de Teoria das Filas v.022012 (1).pdf

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Total de Veículos

xemplo

3 2 2 3 2 3 3 2 1 6 0 2 3 7 0 2 2 0 4 1 1 1 1 8 4 3 1 4 120

3 4 5 6 7 8 9 10

9 4 1 1 1 1 0 0

0,1500 0,0667 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167 0,0000 0,0000

0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002 0,0000

Ritmo Versus Frequência Relativa Frequência Relativa   a   v    i    t   a    l   e    R   a    i   c   n    ê   u   q   e   r    F

POISSON

0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 0

1

2

3

4 5 Ritmo

6

7

8

9

10

Em uma fábrica chegam em média 7 pedidos por semana (segundo a distribuição de Poisson). Qual a probabilidade de ocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo em uma mesma semana? a) zero pedido 27

b) 7 pedidos c) até 7 pedidos d) Acima de 7 pedidos

Processo de Atendimento X

f(x)

F(x)

X

f(x)

0

2

0

0

3

0,2

1,34064

0,32968

0,2

1,646435

0,4

0,898658

0,550671

0,4

0,903583

0,6

0,602388

0,698806

0,6

0,495897

0,8

0,403793

0,798103

0,8

0,272154

1

0,270671

0,864665

1

0,149361

1,2

0,181436

0,909282

1,2

0,081971

1,4

0,12162

0,93919

1,4

0,044987

1,6

0,081524

0,959238

1,6

0,024689

1,8

0,054647

0,972676

1,8

0,01355

FUNÇÃO DENSIDADE

 f ( x) = λ e −

λ x

FUNÇÃO CUMULATIVA

F ( x) = 1 − e

− λ x

Função Densidade da Distribuição Exponencial 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Tempo entre Chegadas

1,2

Média 2

Função Cumulativa Distribuição Exponencial com Média 2

1 0,8 0,6 0,4 0,2

28

2

0,036631

0,981684

2

0,007436

2,2

0,024555

0,987723

2,2

0,004081

2,4

0,016459

0,99177

2,4

0,00224

2,6

0,011033

0,994483

2,6

0,001229

2,8

0,007396

0,996302

2,8

0,000675

3

0,004958

0,997521

3

0,00037

3,2

0,003323

0,998338

3,2

0,000203

3,4

0,002228

0,998886

3,4

0,000112

3,6

0,001493

0,999253

3,6

6,12E-05

3,8

0,001001

0,9995

3,8

3,36E-05

4

0,000671

0,999665

4

1,84E-05

4,2

0,00045

0,999775

4,2

1,01E-05

4,4

0,000301

0,999849

4,4

5,55E-06

4,6

0,000202

0,999899

4,6

3,05E-06

4,8

0,000135

0,999932

4,8

1,67E-06

5

9,08E-05

0,999955

5

9,18E-07

5,2

6,09E-05

0,99997

5,2

5,04E-07

5,4

4,08E-05

0,99998

5,4

2,76E-07

5,6

2,73E-05

0,999986

5,6

1,52E-07

5,8

1,83E-05

0,999991

5,8

8,33E-08 29

6

1,23E-05

0,999994

6

4,57E-08

6,2

8,24E-06

0,999996

6,2

2,51E-08

6,4

5,52E-06

0,999997

6,4

1,38E-08

Considere um posto de pedágio, onde λ  = 2 chegadas por minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC = 30 segundos. A) Calcule a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja de até 30 segundos (0,5 min).

Solução: F(0,5) = 0,632 b) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja maior que 30 segundos. Solução: 1-F(0,5) = 0,368 c) Cálculo da probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas esteja compreendido entre 12 e 24 segundos (isto é, entre 0,2 minutos e 0,4 minutos) Solução: F(0,4) - F(0,5) = 0,221 = 22,1%

Fórmulas do Modelo M/M/1 P0

=

 L =

W q

1−

λ   µ 

λ   µ − λ 

=

 λ  Pn = P0    µ   Lq

λ   µ (µ − λ )

=

n

λ 2  µ (µ − λ ) λ   ρ  =  µ 

 λ  P( n > k ) =    µ  W  =

P(T

k +1

1

Fórmulas de Little  Lq

L−

 L = Lq

 µ − λ 

>

=

+

λ  = λ W q  µ  λ  = λ W   µ 

Wq

= W  −

W

= W q +

t ) = e − µ (1− ρ ) t 

1  Lq  µ

=

λ 

1  L  µ

=

λ 

Tempo de Atendimento = TA =

1  µ 

30

Exemplos M/M/1 Exemplo 1 Em uma fábrica observou-se o funcionamento de um dado setor, em que λ  = 20 clientes por hora, µ = 25 clientes por hora e tempo médio de permanência no sistema igual a 0,3 hora. Pede-se o tamanho médio da fila. Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

20

por hora

Taxa de Atendimento

µ

25

por hora

Taxa de utilização

ρ 

80,00%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

20,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

3,20

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

4,00

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,20

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,16

horas

t

0,25

horas

P(T > t)

28,65%

Medidas de Desempenho

31

Exemplo 2 Para o mesmo sistema acima, calcular o número médio de clientes no sistema e o número médio de clientes que estão sendo atendidos. Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

20

por hora

Taxa de Atendimento

µ

25

por hora

Taxa de utilização

ρ

80,00%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

20,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

3,20

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

4,00

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,20

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,16

horas

t

0,25

horas

P(T > t)

28,65%

Medidas de Desempenho

32

Exemplo 3 Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com uma duração média entre chegadas de 20 minutos. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada cliente. a) Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido ? b) Qual o número esperado de clientes no salão de barbeiro? E na fila ? c) Quanto tempo, em média, um cliente permanece no salão? d) Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila? e) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no salão? f) O barbeiro está estudando a possibilidade de colocar outro barbeiro desde que o tempo de permanência médio de cada cliente no salão passe a 1,25 horas. Para quanto deve aumentar a taxa de chegada de modo que este segundo barbeiro fique justificado? Solução  = 3/hr

λ 

a) P0

=

= 4/hr

���� ���� ��� ����� �� ����� � � � � � ���� � � �������� ����� ������ ������� ��� � ��������

λ  3 1 − =1 − 4  µ 

(��� ������� ��� �� �� ����� � ������� ��� ���� ����� �������� ���� ���������

�� ����� � ������ ����� �� �������� �� ������� (�� � � ������ ����� �� �������� �� ���� �� ������� (����� ���������� � ���������� ����� �� �������� ��������� ��� ������� �� ����� � � ��������� � ����� ��� � ������ �� ����� � �������� ���� �������

 L

3 λ  = = 3 fregueses  µ − λ  4 − 3

=

b)

2

 Lq   =

λ 

 µ ( µ − λ )

1

c)

W  =

d)

W q =

 µ − λ 

=

=

2,25 fregueses

1 hora

λ   µ ( µ − λ )

=

0,75 horas 33

t 

3 4( )0,5

−

e) P(T > 0,5) = e  µ (1 ρ ) = e 4 = 0,61 = 61% f) Queremos λ  de modo que W  = 1,25 horas 1 1,25 =   ⇒ λ  = 3, 2 fregueses / hora 4 − λ  −

−

Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

3

por hora

Taxa de Atendimento

µ

4

por hora

Taxa de utilização

ρ

75,00%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

25,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

2,25

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

3,00

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

1,00

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,75

horas

t

0,50

horas

P(T > t)

60,65%

Medidas de Desempenho

34

Exemplo 4 Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada pessoa gasta em média 20 segundos para comprar um ingresso. a) Se uma determinada pessoa chega 2 minutos antes do jogo começar e se ela gasta exatamente 1,5 minutos para chegar ao seu lugar após comprar o seu ingresso, ela estará sentada antes do jogo começar? b) Qual a probabilidade da pessoa do item a estar sentada antes do jogo começar? c) Com que antecedência deve a pessoa chegar para ter 99% de certeza de estar sentada antes do jogo começar? Solução

= 3/min

 = 1/min

λ 

1 =0,5minutos µ-λ  Logo o tempo médio para comprar o ingresso e achar o lugar é 0,5 + 1,5 = 2 minutos, ou seja, a pessoa deverá estar sentada antes do jogo começar. a)

W=

b) É igual à probabilidade do ingresso ser comprado em tempo menor ou igual a 0,5 minutos.

0,5) = 1 − P(T > 0,5) = 1 − e  µ (1 P (T  ≤ 0,5) = 0,63 = 63% P (T

−

≤

)t 

− ρ 

=

1−e

1 3(1− )0,5 3

−

b) Queremos achar t  de modo que: P (T

) 0,1

> t  = t 

e− µ (1− ρ ) ⇒ e

1 3(1− )t  3

−

t  = 2,3minutos

Logo:

P (T

>

2,3) = 0,1

P(T

2,3) = 0,99

≤ 

Como a pessoa gasta 1,5 minutos para achar seu lugar ela deve chegar 1,5 + 2,3 = 3,8 minutos antes do jogo começar. 35

Importante Como já foi dito anteriormente, a taxa de ocupação ( λ  /µ), tem que ser sempre menor que 1 pois, em caso contrário, a fila tende ao infinito. ?Vamos aproveitar este exemplo para mostrar que, mesmo sendo menor que 1, se ela se aproxima de 1 a fila já tende ao infinito. No quadro a seguir, para um µ fixo igual a 3/min, mostramos os valores de L, Lq, W (em minutos) e Wq (em minutos) para valores crescentes de λ , e conseqüentemente de ρ. Podemos ver que, a medida que ρ vai se aproximando de 1, a fila se torna inviável. Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

1

por minuto

Taxa de Atendimento

µ

3

por minuto

Taxa de utilização

ρ

33,33%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

66,67%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

0,17

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

0,50

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,50

minutos

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,17

minutos

t

0,50

minutos

P(T > t)

36,79%

Medidas de Desempenho

36

Exemplo 5 Fregueses chegam aleatoriamente a uma padaria à taxa média de 12/hora. O único empregado da padaria pode servir fregueses à taxa média de 20/hora. O empregado recebe $3/hora enquanto que o tempo que os fregueses “perdem” na padaria está estimado em $8/hora. O dono da padaria está considerando a instalação de um equipamento de auto-serviço que fará com que a taxa de atendimento aos fregueses passe para 42 fregueses/hora. O custo do equipamento de auto-serviço é de $30/dia. Considerando que a padaria funciona 12 horas/dia, justifique economicamente se o equipamento de auto-serviço deve ou não ser comprado?

Solução  = 12/hora

λ 

Situação Atual µ = 20/hora Custo do empregado=$3/hr x 12 hr/dia = $36/dia ⇒  Custo do serviço W = tempo médio que um freguês permanece na padaria. W= 0,125 horas Custo = 0,125 horas x 8/hr = $1 Custo da fila = $1 x 12 fregueses/hr x 12hr/dia = $144 Custo total = $36 + $144 = $144 = $180/dia

Situação Proposta µ = 20/hora 37

W= 0,0333 horas Custo = 0,0333 horas x 8/hr = $0,266 Custo da fila = $0,266 x 12 fregueses/hr x 12hr/dia = $38,40/dia Custo do Serviço = $36 + $30 = $66/dia Custo total = $66 + $38,40 = $104,40/dia

Resposta: A situação proposta é melhor.

Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

12

por hora

Taxa de Atendimento

µ

42

por hora

Taxa de utilização

ρ

28,57%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

71,43%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

0,11

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

0,40

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,033

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,010

horas

Medidas de Desempenho

38

t

0,50

P(T > t)

0,00%

horas

Exemplo 6 Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedecem a lei de Poisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e suponhamos que siga a distribuição exponencial. Pede-se: a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar? b) Qual o número médio de pessoas na fila? c) Qual o número médio de pessoas no sistema? d) Qual o número médio de clientes usando o telefone? e) Qual o tempo na fila? f) Para qual ritmo de chegadas teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila seria de 3 minutos? g) Qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso? Respostas: a) 0,70 b) 0,128 c) 0,428 d) 0,30 e) 1,28 minutos f) 10 chegadas/hora g) 30%

39

Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

6

por hora

Taxa de Atendimento

µ

20

por hora

Taxa de utilização

ρ

30,00%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

70,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

0,129

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

0,43

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,071

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,021

horas

t

0,50

horas

P(T > t)

0,09%

Medidas de Desempenho

40

Exemplo 7 Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ  = 1 chegada/min) e o ritmo de atendimento (µ = 1,2 atendimentos por minuto) seguem o modelo marcoviano M/M/1. A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e $18,00 ao operário. Pede-s e: a) O custo horário do sistema. b) A fração do dia em que o atendente não trabalha. Respostas: a) $99,00 b) P0 = 1 - λ  / µ = 0,16 Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

1

por minuto

Taxa de Atendimento

µ

1,2

por minuto

Taxa de utilização

ρ

83,33%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

16,67%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

4,167

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

5,00

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

5,000

minutos

Tempo médio de espera na Fila

Wq

4,167

minutos

t

0,50

minutos

P(T > t)

90,48%

Medidas de Desempenho

41

Exercício 2- Contratação de um reparador Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui 2 opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um ritmo de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é de $3,00 e o do reparador rápido é de $5,00. Qual contratação deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo? Sabe-se que uma máquina parada implica um custo horário de $5,00.

42

Modelo M/M/s (s>1) Neste tipo de modelo, considera-se que as estações de serviço são equivalentes e prestam serviço, individualmente, a mesma taxa média µ. Taxa de chegadas descrita por processo POISSON. Taxa de aterndimento descrita por processo POISSON. S servidores. População infinita.

 ρ  =

λ 

P0

s

=

1 s 1 1  λ ∑    n 0 n !   µ  −

=

n

s  1  λ  +    s !(1 − ρ)  µ 

n  1  λ    P0   ,se n < s n!   µ    Pn =  n  1  λ    P0 s !s n s   µ   ,se n ≥ s    −

 λ     λ  s   µ t  s 1        P0  1 − e   µ        µ      e  µ t  1 +   λ    s !(1 − ρ )  s − 1 −       µ      se  s − 1 − λ  P(T > t ) =    µ     λ  s   P     µ t    µ  0   λ  e 1 + s !(1 − ρ ) µ t  se  s − 1 − µ  = 0         −

− −

−

 L = Lq

 L q

+

λ 

 λ     µ  

=

s

×

W  = s +1

L

λ 

W q

=

 Lq

λ 

≠

0

−

P0

s !(1 −  ρ )

2

43

Exemplo 1 Um escritório tem 3 datilógrafas e cada uma pode datilografar, em média, 6 cartas por hora. As cartas chegam para serem datilografadas a taxa média de 15 por hora. a) Qual o número médio de cartas esperando para serem datilografadas? b) Quanto tempo, em média, uma carta demora para ficar pronta? c) Qual a probabilidade de que uma carta demore mais de 20 minutos para ficar pronta? d) Vamos supor que cada datilógrafa receba individualmente 5 cartas por hora, em média, para datilografar. Quanto tempo em média uma carta demora para ficar pronta? Dados de Entrada Taxa de Chegada

λ 

15

hora

Taxa de Atendimento

µ

6

hora

Número de servidores

s

3

Medidas de Desempenho Taxa de utilização

ρ

Probabilidade de não haver cliente no P0 sistema

83,33% 4,49%

Cálculos Intermediários n

fatorial(n)

0

1

1

1

1

2,5

s-1 2

2

3,125

Soma

6,625

15,625

44

Número médio de Clientes na Fila

Lq

3,51

Número médio de Clientes no Sistema L

6,01

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,40

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,23

t

20

0,33

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)≠0

46,19%

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)≠0

0,461942

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)=0

-

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)=0

0,33

i

a) Lq = 3,511 cartas b) W = 0,40 horas c) P(T > 0,333 h) = 0,461 = 46,1% d) Modelo I λ  = 5/h, logo W = 1 hora

45

Este exemplo serve para mostrar a vantagem em se ter uma fila única quando temos várias estações de serviço prestando o mesmo tipo de atendimento. Com uma única fila, cada carta demora, em média, 0,40 horas para ficar pronta. Com fila individual demorará, em média, 1 hora.

Exemplo 2 Deseja-se determinar o número ótimo de caixas em uma agência bancária. O tempo que cada cliente "perde" dentro da agência está estimado em $5/hora e o custo de funcionamento de uma caixa bancária é de $4/hora. Os clientes chegam a taxa média de 40 por hora e as caixas podem atender, em média, 30 clientes por hora.

Dados de Entrada Taxa de Chegada

λ 

40

hora

Taxa de Atendimento

µ

30

hora

Número de servidores

s

1

Medidas de Desempenho Taxa de utilização

ρ

1,333333333

Probabilidade de não haver cliente no P0 sistema

-

Número médio de Clientes na Fila

-

Lq

A Fila tende s-1 ao infinito!!!!

Cálculos Intermediários n

fatorial(n)

0

1

1

1

1

2,5

2

2

3,125

Soma

6,625

#VALOR!

46

Número médio de Clientes no Sistema

L

-

Tempo médio de espera no Sistema

W

-

Tempo médio de espera na Fila

Wq

-

t

20

-

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)≠0

-

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)≠0 #VALOR!

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)=0

-

P(T > t) se (s-1-λ  / µ)=0 #VALOR!

Solução  = 40/hr

λ 

= 30/\hr

s = 1 ⇒ ρ = 1,333 > 1, a fila tenderia ao infinito

Para se resolver este tipo de problema tem que se ir por tentativa, incrementando o número de estações de serviço de 1. Como já vimos, a curva de custo total vem diminuindo, passa por um mínimo e volta a crescer. No exemplo o mínimo é s = 3. 47

Modelo M/M/1: Fila Finita Esta é a situação na qual a fila pode acomodar somente um número finito de unidades, ou seja, se uma unidade chega e a fila está cheia, ela vai embora sem esperar o atendimento . Deve ser observado que neste caso a taxa de chegada ( λ ) não precisa ser menor que a taxa de serviço (µ) pois a fila tem tamanho fixo. Neste tipo de modelo aparece uma nova variável (M), que é o número máximo de unidades que podem estar no sistema, sendo M -1 o número máximo permitido na fila. As fórmulas para este modelo são: λ   1−   µ    M  1   λ    se λ ≠ µ  P0 =  1 −     µ     1  se λ = µ    M  + 1

 λ   P  seλ ≠ µ   Pn =   µ   0   P0 se λ = µ  n

+

 M  1   λ   ( M  + 1)      µ    seλ ≠ µ   λ  −  M  1  µ − λ   λ    L =  1−      µ     M    se λ = µ  2  +

+

A taxa de chegada das unidades no sistema é λ . No entanto, algumas unidades chegam e encontram a fila cheia, ou seja, vão embora. A taxa de chegada efetiva  ( λ ef) dá a taxa média das unidades que realmente permanecem no sistema, ou seja, ( λ ef) é a taxa média de entrada no sistema.

λef

=

µ (1 − P0 ) = λ (1 − PM  )

As demais fórmulas ficam então:

W  =

 L

λ ef 

W q

=

 Lq

λ ef 

 ρ  =

λ ef  48

Exemplo 1 Uma barbearia com 1 barbeiro tem 6 cadeiras para acomodar fregueses esperando atendimento. Os fregueses que chegam quando as 6 cadeiras estão cheias, vão embora sem esperar. Os fregueses chegam a taxa média de 3/hora e ficam em média 15 minutos na cadeira do barbeiro. a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro? b) Qual o número médio de fregueses esperando por atendimento? c) Qual a taxa de chegada efetiva? d) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia? e) Que percentual dos fregueses potenciais vai embora sem esperar atendimento?

Unidade de hora Tempo

Dados de Entrada Taxa de Chegada

λ 

3

por hora

Taxa de Atendimento

µ

4

por hora

Número máximo de entidades no sistema

M

7

Taxa de Chegada Efetiva

λ ef 

2,89

Taxa de utilização

ρ

72,22%

Entidades

Clientes

Medidas de Desempenho

Probabilidade de não haver cliente no sistema P0

27,78%

Número médio de Clientes na Fila

1,388

Lq

2,89

Clientes por hora

Clientes

49

Número médio de Clientes no Sistema

L

2,11

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,730

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,480

horas

Número de entidades

n

7

Clientes

Probabilidade de haver n clientes no sistema

Pn

3,71%

Solução M = 7 λ = 3/hr µ=4/hr a) P0 = 0,2778 = 27,78% b) L = 2,11 fregueses Lq = 1,39 fregueses  c)

λ ef

=

2, 89 frergueses / hr  

 d) W = 0,73 horas

e)

λ ef  λ 

=

2,89 3

=

0, 963 ⇒ Percentual de fregueses atendidos.

Resp.: 1 – 0,963 = 0,037 = 3,7%

50

Exemplo 2 Em uma barbearia de um único barbeiro a taxa média de chegadas é de 3 fregueses por hora. A barbearia só tem lugar para acomodar 2 pessoas esperando e os eventuais fregueses que chegam quando o salão está cheio, tem de ir embora. O barbeiro é capaz de atender em média 2 fregueses por hora e cobra $7 por cada corte de cabelo. Como muitos fregueses estão indo embora sem poder serem atendidos, o barbeiro está pensando em mudar o seu método de trabalho. Após alguns estudos ele identificou 2 alternativas: a) Trabalhar um pouco mais rápido do que atualmente, diminuindo um pouco a qualidade do corte de cabelo mas diminuindo o preço do corte para $6 para evitar reclamações. Com esta alternativa a sua taxa de serviço média iria para 3 fregueses por hora. b) Trabalhar bem mais rápido do que atualmente, cobrando somente $5 por corte de cabelo pois haveria uma queda acentuada na qualidade. Neste caso, sua taxa de serviço média passaria a 4 fregueses por hora. O barbeiro deseja fazer uma avaliação econômica entre a situação atual e as 2 alternativas estudadas. O tempo perdido pelos fregueses na fila de espera está estimado em $2/hora e como o serviço feito pelo barbeiro é muito cansativo, ao tempo que ele pode descansar (por não ter nenhum freguês esperando) foi atribuído o valor de $4/hora, ou seja, cada hora que ele descansa é como se tivesse ganho $4. Considerando que o dia tem 8 horas de trabalho, faça a análise econômica para o barbeiro.

Unidade Tempo

Dados de Entrada Taxa de Chegada

λ 

3

por hora

Taxa de Atendimento

µ

2

por hora

Número máximo de entidades no sistema

M

7

λ ef 

1,96

de

hora

Entidades

Clientes

Medidas de Desempenho Taxa de Chegada Efetiva

1,96

Clientes por hora

51

Taxa de utilização

ρ

97,97%

Probabilidade de não haver cliente no sistema

P0

2,03%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

4,345

Clientes

Número médio de Clientes no Sistema

L

5,32

Clientes

Tempo médio de espera no Sistema

W

2,718

horas

Tempo médio de espera na Fila

Wq

2,218

horas

Número de entidades

n

7

Clientes

Probabilidade de haver n clientes no sistema

Pn

34,69%

Solução Situação atual λ = 3/hr

µ=2/hr

M=3

Receita com os cortes = Nº médio de fregueses atendidos/dia x $7/corte

λ ef

×

8hr/dia

×

$7 = 98,21/dia

$ Equivalente do tempo ocioso = $ Equivalente do tempo ocioso =

P 0 × 8hr / dia × $4 = 3, 94 / dia   W q × λ ef

×

8 hr / dia × $2 / hs

=

17, 43 52

Rendimento líquido = $98,21 + $3,94 - $17,73 = $84,42/dia

Alternativa A λ = 3/hr

µ=3/hr

P0 = 0,250

M=3

Wq = 0,333 hr λ ef = 2,25 fregueses/hr

Rendimento Líquido = $104/dia.

Alternativa B λ = 3/hr

µ=4/hr

P0 = 0,3657

M=3

Wq = 0,20209 hr λ ef = 2,537 fregueses/hr

Rendimento Líquido = $104,96/dia.

Resp.: A alternativa B é a melhor solução.

53

Modelo M/M/s: Fila Finita (s>1) Vamos definir 2 variáveis (a e c) ressaltando que elas não tem nenhum significado e são usadas apenas para simplificar as fórmulas:

a=

λ

ec=

 1 n  n ! a P0  se n ≤ s  n  a P0 Pn =   se s < n ≤ M n s  s!s 0 se n > M    

λ  s µ 

−

s

 Lq

=

P0 a c

1 − c M 2  s !(1 − c )

W  =

 L

λ ef 

−s

−

W q

P0

=

1  s 1 n  1 s  M  n s  ∑ n ! a  + s ! a  ∑ c  n 0  n s 1  −

 

=

= +

s −1

(M − s )c M s (1 − c ) −

 L = Lq

+

s−

∑0 ( s − n) P

n

n=

=

 Lq

λ ef 

 ρ  =

λ ef  s µ 

Exemplo 1 Uma barbearia com 2 barbeiros tem 5 cadeiras de espera. Os fregueses que chegam quando as 5 cadeiras estão ocupadas, vão embora. Os fregueses chegam a uma taxa média de 6/hora e ficam em média 15 minutos na cadeira de barbeiro. a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira de barbeiro? b) Qual o número médio de fregueses esperando para serem atendidos? c) Qual a taxa de chegada efetiva? d) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia? e) Que percentual de fregueses vai embora?

54

Unidade hora de Tempo

Dados de Entrada

EntidadesFregueses

Taxa de Chegada

λ 

6

hora

Taxa de Atendimento

µ

4

hora

Número de servidores

s

2

n

fatorial(n) a^n

(1/n!)*a^n c^(n-s) Pn

(s-n)*Pn

7

0

1

1

1

1,7778 16,13%

0,3226277

s-1

1

1

1,5

1,5

1,3333 24,20%

0,2419707

Número máximo de entidades no sisteM ma

Cálculos Intermediários

a

λ  / µ

1,5

s

2

2

2,25

1,125

1

18,15%

c

λ  /sµ

0,75

s+1

3

6

3,375

0,5625

0,75

13,61%

s+1

3

4

24

5,0625 0,210938 0,5625 10,21%

s-1

1

5

120

7,59375 0,063281 0,4219 7,66%

6

720

11,3906 0,01582 0,3164 5,74%

7

5040

17,0859 0,00339 0,2373 4,31%

Medidas de Desempenho Probabilidade de não haver cliente no P0 sistema

16,13%

8

40320

25,6289 0,000636 0,178 0,00%

Número de Clientes no Sistema

1

9

362880

38,4434 0,000106 0,1335 0,00%

10

3628800 57,665 1,59E-05 0,1001 0,00%

11

39916800 86,4976 2,17E-06 0,0751 0,00%

n

Probabilidade de haver n clientes no Pn sistema

24,20%

Número médio de Clientes na Fila

1,0150

Lq

M Fregueses

55

Número médio de Clientes no Sistema L

2,4504

Fregueses

12

4,79E+08 129,746 2,71E-07 0,0563 0,00%

Taxa de Chegada Efetiva

λ ef 

5,7416

por hora

13

6,23E+09 194,62 3,13E-08 0,0422 0,00%

Tempo médio de espera no Sistema

W

0,4268

hora

14

8,72E+10 291,929 3,35E-09 0,0317 0,00%

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,1768

hora

Taxa de utilização

ρ

0,7177

Percentual de fregueses atendidos

λ ef/ λ 

95,693%

3,625

2,2881

0,5645984

2,5741

Percentual de fregueses que vão embora1-λ ef/ λ  4,307%

Solução M=7

λ = 6/hr

µ=4/hr

s = 2

a) P0 + P1 = 0,4232 = 40,32% b) Lq = 1,014 fregueses

c) λ ef = 5,741 fregueses/hr d) W = 0,426 horas e) 1 − λ ef  = 0,0431 = 4,31% λ 

56

Exemplo 2 Uma oficina mecânica tem 4 mecânicos sendo que cada carro necessitando conserto é atendido por um único mecânico. Além dos carros sendo consertados só cabem mais 6 automóveis no pátio da oficina e quando ele está cheio os fregueses tem que procurar outra oficina. A taxa média de chegadas de carros para conserto é de 3 por dia. Cada mecânico conserta, em média, 1 carro por dia. a) Qual a probabilidade da oficina estar vazia? b) Qual o número médio de carros esperando conserto? c) Qual o número médio de carros na oficina? d) Dos automóveis que procuram a oficina, quantos em média ficam? e) Quanto tempo em média um carro espera na fila? f) Quanto tempo em média um carro fica na oficina? g) Qual a probabilidade de um carro chegar e ter vaga na oficina? Unidade dia de Tempo

Dados de Entrada

EntidadesCarros

Taxa de Chegada

λ 

3

dia

Taxa de Atendimento

µ

1

dia

Número de servidores

s

4

n

fatorial(n) a^n

(1/n!)*a^nc^(n-s) Pn

(s-n)*Pn

10

0

1

1

1

3,1605 4,05%

0,1619566

1

1

3

3

2,3704 12,15%

0,3644025

2

2

9

4,5

1,7778 18,22%

0,3644025

Número máximo de entidades no sisteM ma

Cálculos Intermediários

a

λ  / µ

3

c

λ  /sµ

0,75

s-1

3

6

27

4,5

1,3333 18,22%

0,1822012

s+1

5

s

4

24

81

3,375

1

13,67%

0

s-1

1

s+1

5

120

243

2,025

0,75

10,25%

-0,1024882

57

Medidas de Desempenho

6

720

729

1,0125

0,5625 7,69%

-0,1537323

7

5040

2187

0,433929 0,4219 5,76%

-0,1729488

Probabilidade de não haver cliente no P0 sistema

4,05%

8

40320

6561

0,162723 0,3164 4,32%

-0,1729488

Número de Clientes no Sistema

10

9

362880

19683

0,054241 0,2373 3,24%

-0,1621395

10

3628800 59049

0,016272 0,178 2,43%

-0,1459256

n

Probabilidade de haver n clientes no Pn sistema

2,43%

Número médio de Clientes na Fila

0,9102

Carros

11

39916800 177147 0,004438 0,1335 0,00%

0

Número médio de Clientes no Sistema L

3,8372

Carros

12

4,79E+08 531441 0,001109 0,1001 0,00%

0

Taxa de Chegada Efetiva

λ ef 

2,9270

por dia

13

6,23E+09 1594323 0,000256 0,0751 0,00%

0

Tempo médio de espera no Sistema

W

1,3110

dia

14

8,72E+10 4782969 5,49E-05 0,0563 0,00%

0

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,3110

dia

Taxa de utilização

ρ

0,7318

Percentual de fregueses atendidos

λ ef/ λ 

97,6%

Lq

M

16,375

2,4661

1,0729628

8,323

Percentual de fregueses que vão embora1-λ ef/ λ  2,432%

Solução M = 10

λ = 3/dia

µ=1/dia

s = 4

a) P0 = 0,040 = 4% b)  Lq = 0,91 Carros 58

c)  L = 3,83 Carros d)

λ ef = 2,92 carros/dia

Wq = 0,31 dias W = 1,31 dias P vaga = 1 – P10 = 1 – 0,02 = 0,98 = 98%

Modelo M/M/s: População Finita (s>1) 59

Em muitos problemas práticos a consideração de que a população é de tamanho infinito leva a resultados distorcidos porque na verdade a população é pequena para ser considerada de tamanho infinito. Quando isto ocorre, a presença de uma ou mais unidades no sistema tem um forte efeito na distribuição das chegadas futuras e o uso de um modelo com população infinita conduz a resultados errados. Um exemplo típico é de um pequeno grupo de máquinas que quebram de tempos em tempos necessitando conserto. Um outro exemplo, é o caso de um pequeno grupo de mecânicos que vão a determinado balcão pegar peças ou ferramentas. No caso extremo, por exemplo, se todas as máquinas estão quebradas, nenhuma chegada pode ocorrer. Isto contrasta com os modelos de população infinita nos quais a taxa de chegada é independente do número de unidades que já estão no sistema. Neste tipo de modelo, a taxa de chegada λ , é a taxa de chegada de cada unidade, ou seja, 1/ λ é o tempo médio entre chegadas de cada unidade. No caso das máquinas, por exemplo, seria o tempo médio entre quebra de cada máquina. A taxa de chegada efetiva λ ef  dá a taxa média de chegada, considerando todas as unidades. As fórmulas para este tipo de modelo são bastante complexas e por causa disso tem sido calculadas e tabeladas para facilitar o seu uso. Para entrar nas tabelas abaixo precisamos de 3 informações:

 X  =

λ  λ + µ 

⇒ Fator de Serviço

s ⇒  número de estações de serviço  M  ⇒  Tamanho da população

Da tabela obtemos a seguinte medida: F = Fator de Eficiência Temos então:

 Lq  L

=

M (1 − F ) λ ef  W 

λef  W q

=

=  Lq

FX µ   ρ  =

W

= W q +

1

 MFX 

n   λ    M !  se 1 ≤ n < s P  0 ( M − n)!n !  µ     n  λ    M !  1 se s ≤ n ≤ M   Pn =  P0 P0 = ( M − n)! s ! s n s  µ   n n   s −1  M !  λ   M   λ   M !  0 se n > M  +    o tamanho da população solicitante é finito (N). Suponha agora que o único desvio do modelo M/M/s seja a fonte de entradas limitada, ou seja,     n − s seja   n =0 ( M − n)! n !    n= s ( M − n)! s ! s   µ   

=

λ ef 

s

−

∑

∑

60

A aplicação mais importante desse modelo foi a do problema do conserto de máquinas, no qual um ou mais técnicos de manutenção recebem o encargo de manter em operação certo grupo de N máquinas reparando cada uma que quebrar. A equipe de manutenção é considerada como atendentes individuais no sistema de filas se eles trabalharem individualmente em diferentes tipos de máquinas, ao passo que toda a equipe é considerada um único atendente se os membros da equipe trabalharem juntos em cada máquina. As máquinas constituem a população solicitante. Cada uma delas é considerada um cliente no sistema de filas quando se encontrar quebrada aguardando ser reparada, ao passo que ela se encontra fora do sistema de filas enquanto ela estiver operacional.

Formulário sem o uso da tabela: n   λ    N !    para n = 0,1,2,..., s  ( N − n)!n!  µ    n  λ    N !  Cn =   para n = s, s + 1,..., N n s   ( N − n)!s !s   µ    0 para n > N     −

 

Portanto,

n   λ    N !    P0 para n = 0,1,2,..., s  ( N − n)!n!   µ    n  λ    N !  Pn =   P0 para n = s, s + 1,..., N n s   ( N − n)!s !s  µ    0 para n > N     −

 

61

Em que P0

=

1 n n s 1  λ  N   λ     N ! N ! ∑   +∑   n s   n 0 ( N − n )!n !   µ  n s ( N − n )!s !s  µ    −

−

=

=

s −1

 N 

Finalmente,  Lq

=

∑ (n − s) P  e  L = ∑0 nP + L n

n

n=

n= s

q



1

+ s −





s −1

∑0 P  . n

n=

Assim, W  =

 L

λ 

 e W q

=

 Lq

λ 

.

Em que:  N 

∞

λ

=

∑0 λ P =∑0 ( N − n)λ P =λ ( N −  L) n

n=

n

n

n=

Todos os exemplos relativos ao modelo M/M/s população finita podem ser realizados pela planilha do Excel sem o uso das tabelas.

Exemplo 1 Uma companhia pesqueira tem 2 estaleiros para conserto de seus barcos. Cada barco quebra, em média, de 4 em 4 semanas. Cada estaleiro gasta, em média, 1 semana para consertar cada barco. A frota atual da companhia é de 10 barcos. a) Qual a probabilidade do estaleiro estar vazio? b) Em média quantos barcos quebrados ficam aguardando conserto? c) Em média, quantos barcos estão parados no estaleiro? d) Qual a taxa de chegada de barcos no estaleiro? e) Quanto tempo, em média, um barco aguarda para começar a ser consertado? f) Quanto tempo, em média, um barco fica parado? 62

Dados de Entrada

Unidade de Tempo semana

Taxa de Chegada

λ 

0,25

semana

Taxa de Atendimento

µ

1

semana

Número de servidores

s

2

Tamanho da População

M

10

Clientes Barcos

n

(M!/(Mn)!n!)*(λ  / µ)^n

(M!/(M-n)!s!s^(ns))*(λ  / µ)^n

0

1

2

s-1

1

2,5

2,5

s

2

2,8125

2,8125

X

λ  /(λ +µ)

0,2

3

1,875

2,8125

Fator de Eficiência

F

0,854

4

0,8203125

2,4609375

1

5

0,24609375

1,845703125

6

0,051269531

1,153564453

7

0,007324219

0,576782227

8

0,000686646

0,216293335

9

3,8147E-05

0,054073334

10

9,53674E-07

0,006759167

3,5

11,93911314

s-1

Medidas de Desempenho Lq

1,46

Barcos

λ ef 

1,708

Barcos por semana

Wq

0,855

semana

W

1,85

semana

L

3,17

Barcos

ρ

0,85

M

63

P0

6,48%

n

5

Pn

11,95%

Solução M = 10 X=

λ = 0,25/Semana

µ=1/Semana

s = 2

0,25 =0,2 0,25+1

F= 0,854 => (tabela página 232) a) P0 = 0,065 = 6,5% b)  Lq = 1,46 barcos c)  L = 3,16 barcos d) λ ef =  1,708 barcos/semana

Wq = 0,85 semanas W = 1,85 semanas Exemplo 2 Dois mecânicos tem a tarefa de consertar 5 máquinas. Cada máquina quebra a uma taxa média de uma vez a cada hora. Cada mecânico pode reparar as máquinas a taxa média de 4/hora. a) Qual o número médio de máquinas esperando reparo? b) Qual o número médio de máquinas que estão fora de serviço? c) Qual a taxa de chegada quando consideramos as 5 máquinas? d) Quanto tempo, em média, uma máquina quebrada espera na fila? e) E no sistema? 64

Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

1

hora

Taxa de Atendimento

µ

4

hora

Número de servidores

s

2

Tamanho da População

M

5

hora

Clientes

máquinas

n

(M!/(Mn)!n!)*(λ  / µ)^n

(M!/(M-n)!s!s^(ns))*(λ  / µ)^n

0

1

2

s-1

1

2,5

2,5

s

2

2,8125

2,8125

X

λ  /(λ +µ)

0,2

3

1,875

2,8125

Fator de Eficiência

F

0,976

4

0,8203125

2,4609375

5

0,24609375

1,845703125

6

0,051269531

1,153564453

7

0,007324219

0,576782227

8

0,000686646

0,216293335

s-1

1

M

Medidas de Desempenho Lq

0,12

máquinas

9

3,8147E-05

0,054073334

λ ef 

3,904

máquinas por hora

10

9,53674E-07

0,006759167

Wq

0,031

hora

3,5

9,931640625

W

0,28

hora

L

1,096

máquinas

ρ

0,49 65

P0

7,45%

n

5

Pn

13,74%

Solução M=5 X=

λ = 1/hr

µ=4/hr

s = 2

1 = 0,2 1+4

Da tabela () F = 0, 976

a)  Lq = 0,12 máquinas b)  L = 1, 093 máquinas c) λ ef = 3, 904 máquinas/hr d) Wq = 0,03 hr

W = 0,28 hs Exemplo 3

Uma empresa de frete aéreo tem 20 terminais (buferizados) em uma linha de comunicação. Os terminais são usados para entrada de dados no sistema central de computação. O tempo médio necesário para digitar uma entrada no buffer do terminal é 80 segundos e este tempo de digitação é exponencialmente distribuído. Cada mensagem enviada de um terminal, consome, em média 2 segundos de CPU (exponencial). Calcule quantas requisições dos terminais são enviadas para a CPU e qual tempo de resposta médio para cada requisição. Dados de Entrada

Unidade de Tempo minuto

Clientes

máquinas

66

Taxa de Chegada

λ 

0,75

minuto

Taxa de Atendimento

µ

30

minuto

Número de servidores

s

1

Tamanho da População

M

20

n

(M!/(Mn)!n!)*(λ  / µ)^n

(M!/(M-n)!s!s^(ns))*(λ  / µ)^n

s-1

0

1

1

s

1

0,5

0,5

2

0,11875

0,2375

X

λ  /(λ +µ)

0,02439024

3

0,0178125

0,106875

Fator de Eficiência

F

0,982

4

0,001892578

0,045421875

0

5

0,000151406

0,01816875

6

9,46289E-06

0,006813281

7

4,73145E-07

0,002384648

8

1,92215E-08

0,000775011

s-1

Medidas de Desempenho Lq

0,36

máquinas

9

6,40717E-10

0,000232503

λ ef 

14,371

máquinas por minuto

10

1,76197E-11

6,39384E-05

Wq

0,025

minuto

11

4,00448E-13

1,59846E-05

W

0,0584

minuto

12

7,5084E-15

3,59653E-06

L

0,839

máquinas

13

1,15514E-16

7,19307E-07

ρ

0,48

14

1,44392E-18

1,25879E-07

P0

52,13%

15

1,44392E-20

1,88818E-08 67

n

1

16

1,12806E-22

2,36023E-09

Pn

26,07%

17

6,63567E-25

2,36023E-10

18

2,76486E-27

1,77017E-11

19

7,27596E-30

8,85085E-13

20

9,09495E-33

2,21271E-14

1

0,918255455

M

Solução M = 20

λ = 0,75/min

0,75 X= = 0,244 0,75+30

µ=30/min ≅

s = 1

0,024

Da tabela => F = 0,982 Requisições enviadas para a CPU:

λ eff 

λ eff 

= MFXµ  = (20)(0,982)(0,024)(30) = 14,14/min.

Tempo de Resposta: (W)F = 0, 976 Lq= M (1-F)= 20 (1 - 0,982) = 0,36 0,36 W q = =  0,0255 min . 14,14

W = Wq + 1/µ = 0,0255 + 1/30 = 0,0558 min. = 3,53 segundos Exemplo 4 Considere um sistema de time sharing com 20 terminais ativos. Cada terminal submete um  job ao processador a cada 3 segundos (seguindo uma distribuição exponencial). O processador central tem capacidade de processar 500.000 instruções por segundo e cada  job, em média (exponencial), necessita do processamento de 100.000 instruções. 68

Determine quantos jobs, em média, estão no processador central e qual o tempo médio de resposta para cada job submetido. Dados de Entrada

Unidade de Tempo minuto

Clientes

máquinas

n

(M!/(Mn)!n!)*(λ  / µ)^n

(M!/(M-n)!s!s^(ns))*(λ  / µ)^n

Taxa de Chegada

λ 

20

minuto

Taxa de Atendimento

µ

300

minuto

Número de servidores

s

1

s-1

0

1

1

Tamanho da População

M

20

s

1

1,333333333

1,333333333

2

0,844444444

1,688888889

X

λ  /(λ +µ)

0,0625

3

0,337777778

2,026666667

Fator de Eficiência

F

0,768

4

0,095703704

2,296888889

0

5

0,02041679

2,450014815

6

0,003402798

2,450014815

7

0,000453706

2,286680494

8

4,91515E-05

1,981789761

s-1

Medidas de Desempenho Lq

4,64

máquinas

9

4,36903E-06

1,585431809

λ ef 

288,000

máquinas por minuto

10

3,20395E-07

1,162649993

Wq

0,016

minuto

11

1,94179E-08

0,775099996

W

0,0194

minuto

12

9,70894E-10

0,465059997

L

5,600

máquinas

13

3,98316E-11

0,248031999 69

ρ

0,96

14

1,32772E-12

0,115748266

P0

4,56%

15

3,54058E-14

0,046299306

n

1

16

7,37622E-16

0,015433102

Pn

6,08%

17

1,15705E-17

0,004115494

18

1,28562E-19

0,000823099

19

9,02186E-22

0,000109747

20

3,00729E-24

7,31643E-06

1

20,93308779

Solução M = 20

λ = 20/min

20 X= = 0,0625 320

≃

µ=500.000/1000.000 = 0,2/Segundo = 300/min

s = 1

0,062

Da tabela => F = 0,768

λ ef f = MFXµ  = (20)(0,768)(0,062)(300) = 285,196/min = 4, 7533/segundo Lq= M (1-F)= 20 (1 - 0,768) = 4,64 4,64  Lq W q =  0,0163min. = λ eff  285,196 Tempo de resposta médio: (W)

W = Wq + 1/µ = 0, 0196 min. = 1,1762 segundos

Jobs no processador: (L)

L = λ eff W = (4,7533) (1,1762) = 5,59 jobs

Tabelas para modelos com população finita 70

As tabelas a seguir 1 tem como objetivo facilitar os cálculos para modelos de filas com população de tamanho finito. As tabelas aqui contidas, por problema de espaço, só abrangem os modelos com população igual a 5, 10, 20 e 30 elementos. Sendo assim, os exercícios apresentados só tratam modelos com populações de um daqueles tamanhos. No acesso a tabela, deve-se observar que, em cada página, existem 3 colunas, cada uma com 4 valores: X, S, D e F. A seqüência dos valores é por coluna. Sendo assim, iniciamos na 1ª coluna, descemos até embaixo na página e, ao chegar ao final, subimos para a 2ª coluna. Quando esta acaba, embaixo na página, subimos para a 3ª coluna e quando chegamos ao final, mudamos para a próxima página onde a seqüência é a mesma. Na própria tabela está impresso onde ela começa a valer para uma determinada população. Assim, após encontrar impresso População 10, por exemplo, passam a valer os valores para esta população.

Modelo M/G/1 Como já citamos, a análise matemática de modelos de filas com distribuições diferentes da Poisson (Exponencial) é muito difícil e poucos modelos têm solução analítica. A distribuição das chegadas segue a Poisson, mas a distribuição do serviço segue uma distribuição qualquer (Geral) da qual se conhece a 2 média 1/ µ e a variância σ . As fórmulas para o modelo são:

 ρ  =

λ 

P0

=

1−

 Lq

=

λ 2σ 2 + ρ 2

2(1 − )

 L = Lq

+

ρ 

W q

=

 Lq

λ 

W

= W q +

1  µ 

Exemplo 1 71

Pessoas chegam a um pequeno posto do correio a taxa de 30 por hora. O serviço é executado por apenas um funcionário e o tempo de serviço é normalmente distribuído, ou seja, segue uma distribuição normal com média de 1 minuto e σ = 0,30 minutos. a) Quanto tempo, em média, uma pessoa espera na fila? b) Quanto tempo, em média, uma pessoa fica no posto do correio? c) Qual o número médio de pessoas na fila? d) Qual o número médio de pessoas no posto de serviço? e) Qual a probabilidade do funcionário estar ocioso?

Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

0,5

por minuto

Taxa de Atendimento

µ

1,00

por minuto

Desvio-padrão

σ

0,30

por minuto

minuto

Clientes

pessoas

Medidas de Desempenho

72

Taxa de utilização

ρ

50,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

0,2725

pessoas

Número médio de Clientes no Sistema

L

0,7725

pessoas

Tempo médio de espera no Sistema

W

1,5450

minutos

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,5450

minutos

P0

50,00%

Solução λ = 0,5/min

µ=1/min

0,75 X= = 0,244 0,75+30

≃

σ2 = (0,30)2 = 0,09M = 20

0,09 ρ = 0,5

0,024

Tempo de Resposta: (W)F = 0, 976 Lq= M (1-F)= 20 (1 - 0,982) = 0,36 0,36 =  0,0255 min . W q = 14,14

W = Wq + 1/µ = 0,0255 + 1/30 = 0,0558 min. gundos

Exemplo 2 Repetir o exemplo 1 supondo a duração do serviço constante, ou seja,

= 3,53 se-

2

σ

 = 0. 73

Dados de Entrada

Unidade de Tempo

Taxa de Chegada

λ 

0,5

por minuto

Taxa de Atendimento

µ

1,00

por minuto

Desvio-padrão

σ

0,00

por minuto

Taxa de utilização

ρ

50,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq

0,2500

pessoas

Número médio de Clientes no Sistema

L

0,75

pessoas

Tempo médio de espera no Sistema

W

1,50

minutos

Tempo médio de espera na Fila

Wq

0,50

minutos

minuto

Clientes

pessoas

Medidas de Desempenho

P0

50,00%

Solução ρ = 0,5

P0= 0,5 = 50% (e)

 L = 0,75 pessoas (d)

 Lq = 0,25 pessoas (c)

Wq = 0,5 minutos (a)

W = 1,5 minutos (b)

74

Modelo M/Ek /1 Neste tipo de modelo, a distribuição da duração do serviço segue uma distribuição de Erlang com parâmetro k. No último exemplo do modelo anterior, supomos uma variação igual a zero para a duração do serviço ( σ = 0) enquanto que a distribuição exponencial tem um alto grau de variabilidade (σ = 1/ µ). Entre estes 2 casos extremos temos uma área intermediária (0 < σ < 1/ µ) onde cai uma boa parte das distribuições reais da duração do serviço. Uma distribuição que "preenche" este intervalo é chamada distribuição de Erlang. Sua média e desvio-padrão são:

 x =

1

σ  =

1 1 k  µ 

, onde k  ≥ 0 e inteiro

Pode-se ver que k é o parâmetro que especifica o grau de variabilidade das durações de serviço em relação à média. Na verdade para cada k temos uma distribuição e por isto vamos considerar a distribuição de Erlang como uma família de distribuições. Assim a constante ( σ = 0) e a exponencial (σ = 1/ µ) são elementos desta família com k = ∞ e k = 1, respectivamente. A distibuição de Erlang tmabém é muito importante em teoria das filas pela seguinte propriedade: Suponha que T1, T2, ..., Tk são k variáveis aleatórias independentes com uma distribuição exponencial idêntica cuja média é 1/kµ. Então a soma T = T 1 + T2 + ... + T k segue uma distribuição de Erlang com parâmetros µ e k. É muito comum que o serviço prestado a uma unidade em um sistema de filas seja constituído de k tarefas consecutivas onde a duração de cada uma delas segue a mesma distribuição exponencial, com média 1/kµ. Então a duração total (ou seja, a execução das k tarefas) segue uma distribuição de Erlang com parâmetros k e µ. Para este modelo temos:

 Lq

=

(1 + k )λ 2 2k  µ (µ − λ ) W

= W q +

1  µ 

W q

=

(1 + k )λ  2k  µ ( µ − λ )

 L = λ W  75

Exemplo 1 Uma oficina de manutenção de uma linha aérea só tem meios para fazer a manutenção de um motor de cada vez. Por isso, para fazer com que os aviões regressem ao serviço tão logo seja possível, a política adotada tem sido de alternar a manutenção dos 4 motores de cada avião, ou seja, só se faz a manutenção de 1 dos motores cada vez que o avião vai para oficina. Sob esta política os aviões tem chegado segundo um Processo de Poisson a taxa média de 1 por dia. O tempo necessário para reparar um motor (uma vez que se tenha iniciado o trabalho) tem uma distribuição exponencial com média de 0,5 dias. Existe uma proposição de se trocar a política de maneira que se reparem os 4 motores, consecutivamente, cada vez que o avião for a oficina. Embora isto quadruplique o tempo esperado de serviço, a freqüência com que os aviões necessitariam ir a oficina seria 1/4 da atual. Deve-se implantar a nova proposta? Dados de Entrada Taxa de Chegada

λ 

0,25

por dia

Taxa de Atendimento

µ

0,5

por dia

Parâmetro k

k 4

Medidas de Desempenho Taxa de utilização

ρ

50,00%

Número médio de Clientes na Fila

Lq 0,31

Número médio de Clientes no Sistema

L 0,81

Tempo médio de espera no Sistema

W 3,25

dias

Tempo médio de espera na Fila

Wq 1,25

dias 76

Solução Situação atual Modelo I: λ  = 1/dia µ = 2/dia W = 1/(µ - λ ) = 1 dia Como temos 4 motores para cada avião temos: W = 4 x 1 = 4 dias Situação proposta Modelo VII: λ   = 0,25/dia T = T1 + T2 + T3 + T4 => Erlang com k = 4 1/kµ = 0,5 1/4µ= 0,5 µ = 0,5/dia Wq = 1,25 dias W = 3,25 dias A situação proposta é melhor (3,25 < 4).

Exemplo 2 Um alfaiate faz ternos sob medida. Cada terno, para ser feito, implica na execução de 4 tarefas distintas. O alfaiate faz as 4 tarefas de cada terno antes de começar outro. O tempo para executar cada tarefa segue uma distribuição exponencial com média de 2 horas. Os pedidos chegam a taxa média de 5,5 por semana (8 horas por dia, 6 dias por semana). Quanto tempo em média um terno demora para ficar pronto? Dados de Entrada

77

Taxa de Chegada

λ 

0,114583 por semana

Taxa de Atendimento

µ

2

Parâmetro k

k 4

por hora

Medidas de Desempenho Taxa de utilização

ρ

5,73%

Número médio de Clientes na Fila

Lq 0,00

Número médio de Clientes no Sistema

L 0,06

Tempo médio de espera no Sistema

W 0,52

dias

Tempo médio de espera na Fila

Wq0,02

dias

Solução K=4 =7

= 3/hr µ=4/hr

λ 

1/4µ = 2 µ = 0,125/hr λ = 5,5/semana = 0,11458/hr Wq 55 hs W = Wq + 1/µ = 63hr

78

����� �� ��������� O �������� ����� ������ � ��������� �� � ������������ �������� ��������� ���� ������ �� ����� �� ��������� ��� ���� ����������� ������� ������ �������. 2 E������ ���� ������ ����������� �� ���������: � ����� ������������ (χ  ) � � ����� �� K����������S������ (K�S), ��� ����� ���������� � ��� ����. O� ������ �� ��������� ��������� � ��������� ��� ��� ���� �����������������, ���� � �������� ������� ��������� � ����� �� ������, ��� ��� ���� ����������. A ������� �� ������ ������� �� �� ����� �� ��� ��������� �� ������� �� ������� ���������� � �� �������� �� ������������. O ����� K�S � ������ ������ ���� ������������� ��������� �������� ��� � Q����������� ���� ��� �������� � ����� �� �����, ��������� � ���������. E� ������ �� ����������� �� ���� ����� ����� ����������� ��� ������ � �� ������ �������� �� ����� �� ���������, ��� � ������������ � ��������� �� ����� Q����������� � �������� ��������. G���������, � ��������� ����� ����� ����� ��������� ��� ���� ����� 100 �������, ��� ����� ������ ������� (PEDGEN, 1990; LA�, 1991). J� � ����� K�S, � ��������� � �������� ��������. ������������ ���������� ������ � �������� �� ��� � �������� �� ����� ���������� ��� ������, �� ������� �������������, ������� ����� ���� �� ��� ������������ ������� ������������.

����� �� ������������ O ����� �� Q����������� ��������� �� ������� ��� ������� ����� �� ����������� ���������� ���������� �� ���� ������ � �� ����������� �������� (��������� � ������ ���������) ��� ������ �������. E� ���� ������ k  (k = 1, 2, ..., K ), ���������� � �����  E k  , ��� � � ��������� ����� � ������ ��������� �� ��������� ( Ok  ), � � ����� ������ �� �� ������ ( T k  ) ������������ � ����� ������ ��� ���� ����� ������� �� ������:  Ek  =

(Ok − T k )2 T k 

, k = 1,2,..., K 

A ��������� ��� ������� ��  E k  �� ��������, ���� ����� �� K   ������� ����������, ��������� � ����������� E, ���� ������������ � �� ���� �������� ��� K-1-n ����� �� ���������, ���� � � � ������ �� ���������� ��������� � ������ �� ������� ��������: K 

 E

=

∑1 E 

k 

k =

79

E������������ �� ����� �� ������������� 100( α   )% � K-1-n ����� �� ���������, ��������, �� ������ �� ������������ �� ������������, � �����  E crítico . S� E  ��� ����� ���  E crítico , ���������� � �������� �� ��� � ������� ��������� ������ �� ��� ��������� ��� � ������������ ������� �������. �� ������� ���������� ���� ��� �����������: � �������� �� ��� � �����������  E  ����� � ������������ �� ������������ � ���������� ��� ���������� ����� ��� ����� �� ������� ������ ���������� ����� �� ����� � 5. C��� ������ ������ ��� ������ ���� ��������������, ��� ���� ��� �� ������ �� ���� ��� � �������� ����� ��� ����������. E��� ���� �� �������� ������� �� ��� ���������� ��� ����� �� ���������, K-1-n � ������, ��� � �����������, � ������ �� ������� K  �������.

������� 1� ������, ������ � ����� �� χ 2 (������������), �� � ������������ ������, ������ �� ��� ����������, � ��� ������������ �� P������ ��� ����� λ = 2/���.

��������/���. (��)

������ �� �����������

0 1 2 3 4 5 6 7

39 91 67 59 28 10 4 2

300

80

Frequência da amostra x Frequência teórica 100 90 80 70   a    t   u    l   o   s    b   a   a    i   c   n    ê   u   q   e   r    F

60 50 40 30 20 10 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Chegadas por minuto Amostra

Poisson

M���� λ = 2/���. P��� � ��������� �� �����, ���������� �������� � ���������� ��������� � � ���������� �������. N���� ����, � ��� ������� ������ �� � ��������� ���� �������:

Probabilidade(n o de observações = k )=

λ  e− λ 

k 

k !

����� �����:

81

������ �� �������� / ���.

�(������ �� ����������� � �)

���������� ��������

0 1 2 3 4 5 6 7

0,135 0,270 0,270 0,180 0,090 0,036 0,012 0,003

300�0,135=40,5 300�0,270=81 81 54 27 10,8 3,6 0,9

2

N� ����� �� χ  , ������ � ���������� ��������� � ����� ��� 5, ������� ������� ��� �� ������ ����� �� ����� � 5. N���� �������, � ��������� ����� �� �������� ������ (=4) � ������ � ������ ����� (=2) ���� ����� ��� �� ����� ��� ����� ����� � 6. O ����� ���� ��� ����� ���� � ��� � ���������� ��������. L���, 2  χ calculado

=

(Frequência observada-Frequência esperada) 2 ∑ Frequência esperada

N� ����� �������, �����: 2  χ calculado

=

(39 − 40, 5)2 (91 − 81) 2 (67 − 81) 2 (59 − 54) 2 (28 − 27) 2 (10 −10, 8) 2 (6 − 4, 5) 2 + + + + + + 40, 5 81 81 54 27 10, 8 4, 5

=

4,76

����� �� H��������: H0: A ������������ �� ��������� � P������ ��� λ  = 2 H�: A ������������ �� ��������� ��� � P������ λ  = 2 . 2 ������ S�  χ c2aallc uull ad , ����� ���������� � �������� ���� (H0) �� ��� � ������������ � ��� P������ P ������ ��� λ  = 2 . ad o > χ t ab ab eell ad ad o

82

2 P��� ����� �  χ tabelado , ����� ��� �������� � ������ �� ����� �� ��������� (v) �� �������� �����:

v  =

Número Número de pares( pares(Fre Freq. q. Observ Observada ada / Freq Freq.. Esperada Esperada)) − 1 − Número Número de parâm parâmetr etros os estimad estimados os pela pela amostra amostra

N� P������, � ����� ��������� �������� ���� ������� � � ����� λ  .  . L���, v = 7 − 1 − 1 = 5 . 2 O���� ���������� ���������� ���� ����� �  χ tabelado � � ����� �� ������������� α  ,  , ��� � � ����� �� ��� � �������� ���� ��������� ������ ������� ��� ������. N� ����� �� ���������, � ������ ����� � ���� 5% ���� � ����� �� �������������. C������� �� ����������� �� v � α  �� ������ Q�I� 2 Q�ADRADO �� ������ 97, �����  χ tabelado = 11,07 . A ��������� �� ����� Q�I�Q�ADRADO � ��� �������� � �������� ����, �� ����, � ������������ �� �������� ����� ��� P������.

������� 2� ������, ������ � ����� �� χ 2, �� � ������������ � ������, ������ �� ��� ���������� �� ��� ������� �� �������, � ��� ����������� ��� �����

1  µ 

=

20 ��������, �� ����, � ���� ����� �� ������� �  µ  = 3 / minu minuto to .

������� �� ������� (��������)

���������� ���������

0 � 30 30 � 60 60 � 90 90 � 120 120 � 150

480 33 19 7 1

540 C��� � ������������ ����������� � ��� ������������ ��������, �����: t 2

∫

P (t1 ≤ t ≤ t2 ) =  µ e

− µ t 

dt =e

− µ t1

−e

− µ t 2

t 1

83

������� �� ������� (��������)

�(�)

0 � 30

540�0,7768=419,47

30 � 60

0,7768 3 0,5 31 −e = 0,1773 e

60 � 90 90 � 120 120 � 150

0,0386 0,0086 0,0019

20,84 4,64 1,02

e

30

− ×

− ×

−e

3 0 ,5

− ×

=

− ×

���������� �������� 540�0,1773=93,58

84

Frequência da amostra x Frequência teórica

600

500

400

300

200

100

0 0 – 30

30 – 60

60 – 90 Amostra

90 – 120

120 – 150

Exponencial

L�������� ��� ����� ��� ������ �� ��� ����� ��������� �� 2 ������� ������ �� ���������� ��������� (7 � 1 ), ������� ����� �����: 2  χ calculado

=

(480 − 419,47) 2 (33 − 93,58) 2 (8 − 5,66) 2 + + ... + 419,47 93,58 5,66

=

49,08

v = 4 − 1 − 1 = 2 (na Exponencial só a média é estimada pela amostra) 2 Com α  = 0,05 = 5%  obtemos da tabela da página 97:  χ tabelado

=

5,99 .

85

2 2 Como o  χ calculado � ����� ��� �  χ tabelado , ��� ���������� � �������� ���� �� ��� � ������������ �� ������� �� ����������� ���� ��� �����

������� ���  µ  = 3 / minuto .

����� �� ������������������ O ����� �� K����������S������ (K�S) ������� � ������ ��������� �� ������ ������� ��� � ������ ��������� �� ������������� ��������� (����� � ������ ��� ������� ����������). A ����� � ��� �������: ���� �������� �� � ������ ��������� ����� �� ������ �������, � ����� ������� � ���� ������ �������� ������ ����� �� ���� ������������� ����������, ������� �� �����������:

 D = max F ( x ) − S ( x)  x

A ������ � ������ ������� � ����������� �� ����������� D �� ����� �� K�S, ���������� � ����� ��������� �������� ������ ����� � ������ ��������� ������� � � ���������.

F����� � A����� �� ������ �� K�S 86

C��� �� ����� �� ������������, � �������� ���� �: H0: � ������ � �������� ���� ����������� � ������������ �� ���������. H�: � ������ ��� � �������� ���� ����������� � ������������ �� ���������. O K�S ���� �������� �� �������� �� ������������ �� �������� ������ �� A��������. P��� ����������� � �����, �� ����� ���������� ��� ��������� �� ����� ���� � ����� �����. A ������ � ������ ��������� � ������������.

Valor observado

Frequência observada

Frequência acumulada observada

S(x)

Fesq(x)

Fdir(x)

Desq = abs(Fesq(x) - S(x))

Ddir = abs(Fdir(x) - S(x))

0

13

13

0,07

0,00

0,14

0,07

0,07

1

23

36

0,18

0,14

0,25

0,05

0,07

2

18

54

0,27

0,25

0,35

0,02

0,08

3

26

80

0,40

0,35

0,44

0,05

0,04

4

16

96

0,48

0,44

0,52

0,04

0,04

5

15

111

0,56

0,52

0,58

0,04

0,03

6

9

120

0,60

0,58

0,64

0,02

0,04

7

9

129

0,65

0,64

0,69

0,01

0,04

8

10

139

0,70

0,69

0,73

0,01

0,03

9

12

151

0,76

0,73

0,77

0,03

0,01

87

10

5

156

0,78

0,77

0,80

0,02

0,02

11

5

161

0,81

0,80

0,83

0,01

0,02

12

10

171

0,86

0,83

0,85

0,03

0,01

13

4

175

0,88

0,85

0,87

0,03

0,01

14

1

176

0,88

0,87

0,89

0,01

0,00

15

2

178

0,89

0,89

0,90

0,01

0,01

16

1

179

0,90

0,90

0,92

0,00

0,02

17

2

181

0,91

0,92

0,93

0,01

0,02

18

4

185

0,93

0,93

0,94

0,00

0,01

19

4

189

0,95

0,94

0,95

0,01

0,00

20

3

192

0,96

0,95

0,95

0,02

0,01

21

0

192

0,96

0,95

0,96

0,01

0,01

22

1

193

0,97

0,96

0,97

0,01

0,00

23

0

193

0,97

0,97

0,97

0,00

0,00

24

1

194

0,97

0,97

0,97

0,00

0,00

25

0

194

0,97

0,97

0,98

0,00

0,00

26

0

194

0,97

0,98

0,98

0,00

0,01

27

2

196

0,98

0,98

0,98

0,00

0,00

28

2

198

0,99

0,98

0,99

0,01

0,01

29

0

198

0,99

0,99

0,99

0,01

0,01

88

30

0

198

0,99

0,99

0,99

0,01

0,01

31

0

198

0,99

0,99

0,99

0,01

0,00

32

0

198

0,99

0,99

0,99

0,00

0,00

33

0

198

0,99

0,99

0,99

0,00

0,00

34

0

198

0,99

0,99

0,99

0,00

0,00

35

0

198

0,99

0,99

0,99

0,00

0,00

36

0

198

0,99

0,99

1,00

0,00

0,00

37

0

198

0,99

1,00

1,00

0,00

0,00

38

0

198

0,99

1,00

1,00

0,00

0,00

39

0

198

0,99

1,00

1,00

0,00

0,00

40

0

198

0,99

1,00

1,00

0,00

0,00

41

0

198

0,99

1,00

1,00

0,00

0,00

42

0

198

0,99

1,00

1,00

0,00

0,00

43

1

199

1,00

1,00

1,00

0,00

0,00

N� ������ �����, �� ������� �� S(�) , ������ �� ������� ��� ����� ����������, ��� ����������� ������� ���� �������:

S ( x) =

número de eventos ≤ x total de valores observados

O� ������� �� F(�), ������ ��������� �� ������ �������, ��� ������� ���� � ����� ��������� �� ������������ �����������:

F ( x) = 1 − e− λ 

 x

=

1− e

−

0,146 x

89

O ������� �� ����������� D (������ � ������ ������� �� ������ �����) � ����� � �������� � � ������� �� ���� ��������� �� ������ �� ���������� � � ����� ������� � �������� ���� ����� ����� ����� �� ����:

 D = max{Desq , Ddir }  C��� � ����� ������ � 0,08 � � ������� �� ������� � 199, ���� �� ����� �� ������������� �� 5%, ������� �������� � �������� �� ������ �� ������ 100:

 Dcrítico

=

1,36 n

=

1,36 199

=

0,0964

P�������, ����  D < Dcrítico , ��� �� ���� �������� � �������� �� ��������� ��� �����.

Lista de Exercícios 1) Chegadas a uma oficina que conserta relógios são com uma taxa de 10 por cada 8 horas. O empregado que conserta tem um tempo médio de serviço de 30 minutos por relógio. a) Se ele conserta os relógios na ordem de chegada, quanto tempo, em média, o empregado fica ocioso por dia? b) Quantos relógios, em média, estarão na frente de um relógio que acabou de chegar? 2) Chegadas a um centro de informações que tem apenas um atendente são com tempo médio de 10 minutos entre uma chegada e a próxima (Poisson). O tempo que as pessoas gastam recebendo informação de um tipo ou de outro é suposto como sendo de 3 minutos (Exponencial). a) Qual a probabilidade de que uma pessoa chegando ao centro não tenha que esperar? b) Qual a probabilidade de que a pessoa chegando ao centro tenha que esperar? c) Qual a probabilidade de termos 3 pessoas no sistema? d) O diretor da organização irá contratar um outro atendente se ele se convencer que uma pessoa tenha que esperar no mínimo 3 minutos. De quanto o fluxo de chegadas deve aumentar de maneira a justificar o segundo atendente? 3) O proprietário de uma firma distribuidora de gás espera um cliente a cada 5 minutos. O serviço de atendimento leva em média 4 minutos. a) Qual a probabilidade de que um freguês não tenha que esperar? b) Qual a probabilidade de que se tenha uma fila de espera? c) O proprietário irá contratar um atendente se ele verificar que um freguês tenha que esperar, em média, 2 minutos ou mais para ser servido. A taxa de chegada justifica tal contratação? d) Qual a probabilidade de termos 4 clientes no sistema? 90

c) Em qual das situações a máquina espera mais para ser reparada? 9) Uma firma têxtil tem um grande número de máquinas idênticas cuja taxa de falhas é estimada em 60 por dia. Existem 3 estações de reparo cada uma tendo uma taxa de serviço de 25 por dia. a) Quantas horas, para uma jornada de 8 horas por dia, está uma estação de serviço ocupada? b) Qual a probabilidade que todas as estações estejam ociosas em um certo instante? c) Qual o comprimento médio da fila? d) Qual o número médio de máquinas no sistema de reparos? 10) Ainda em relação ao problema nº 9 responda as seguintes perguntas: a) Qual a probabilidade de se ter somente uma estação ociosa? Somente duas estações? b) Qual é o número esperado de estações de reparo ociosas? c) Qual é, em média, o tempo de uma máquina que chega no sistema tem de esperar? d) Qual é a perda diária, estimada, da companhia se cada máquina que não trabalha dá um prejuízo de R$300 por dia?

11) A taxa de chegada a uma oficina de reparos é de 180 por dia. A oficina tem 3 setores de atendimento com uma taxa de 100 por dia. Qual é a probabilidade de que: a) A oficina esteja sem clientes? b) Um freguês tenha que esperar? c) Somente 2 setores estejam ociosos? d) Somente um setor esteja ocioso? e) Que proporção média do tempo um setor está ocioso? f) Qual é o tempo médio de espera de um freguês que chega? g) Qual o comprimento médio da linha de espera? 12) Uma firma têxtil tem um grande número de máquinas idênticas cuja taxa de falhas é estimada em 50 por semana. Existem atualmente 3 setores de reparos, cada um tendo uma taxa de serviço de 20 máquinas por semana. a) Qual a perda semanal, estimada, da companhia se cada máquina que não trabalha dá uma perda semanal de R$10.000,00? b) Qual é a perda total do sistema se o custo semanal do sistema de atendimento é R$6.000,00? c) Vale a pena aumentar o número de setores de atendimento para 4? 13) Há 4 guichês em um banco para atender os clientes. A taxa de chegada dos clientes é 60 por 6 horas de serviço. Em cada guichê um funcionário gasta um tempo variável servindo os usuários, porém o tempo médio de atendimento é 20 minutos por cliente. Os clientes são atendidos à medida que chegam. 92

a) Quantas horas, por cada 30 horas de serviço de uma semana, um funcionário gasta executando o seu serviço? b) Qual é o tempo médio que um cliente fica preso no sistema? c) Qual é a probabilidade de que um funcionário esteja esperando por um cliente? d) Qual o número esperado de funcionários sem trabalhar num certo instante? e) Supondo que cada funcionário recebe $5 por hora e se soubermos que para cada cliente que tiver que esperar há uma perda de $0,25 por minuto, pergunta-se o que é melhor: reduzir para 3, aumentar para 5 ou manter em 4 o número de funcionários? 14) Temos as informações na tabela abaixo quanto a chegadas de operários no guichet  do almoxarifado: a) Calcule o número médio de chegadas para o intervalo de tempo igual a 10 minutos. b) Podemos dizer que os resultados seguem uma Poisson com λ  = 1,6 chegadas/min? X

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Fo

1

0

1

2

1

3

5

6

9

10

11

X

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Fo

12

8

9

7

5

4

3

1

1

1

c) Qual teste de aderência pode ser aplicado? Explique.

15) O escritório de uma empresa aérea tem 2 funcionários atendendo telefonemas para reserva de vôos. Além disso, uma chamada pode ficar em espera até uma das funcionárias estar disponível para atender. Se as 3 linhas estão ocupadas, a chamada recebe o sinal de ocupado e a reserva é perdida. As chamadas ocorrem aleatoriamente (Poisson) a uma taxa média de uma por minuto. A duração de cada ligação tem uma distribuição exponencial com uma média de 0,5 minuto. Achea probabilidade de que: a) Uma chamada seja imediatamente atendida por uma funcionária. b) A chamada ficará na linha de espera. c) A chamada receberá o sinal de ocupado. 93

16) Uma estação de serviço espera um usuário a cada 4 minutos em média. O serviço dura em média 3 minutos. Assumindo entrada Poisson e serviço exponencial responda: a) Qual o número médio de usuários esperando serviço? b) Quanto tempo um usuário esperará para ser servido? c) Qual a probabilidade de que um usuário fique menos de 15 minutos no sistema? d) Qual a probabilidade que um usuário fique menos de 15 minutos no sistema? 17) Suponha que em média 9 usuários cheguem a cada 5 minutos (Poisson) e o mecanismo de serviço pode servir usuários a uma taxa média de 10 usuários a cada 5 minutos. O tempo de serviço é exponencial. a) Qual o número médio de usuários esperando serviço? b) Qual o tempo médio de espera na fila? c) Como a) e b) são afetados se a taxa de serviço é dobrada?

18) Se usuários chegam para serviço de acordo com uma distribuição de Poisson a taxa média de 5/dia, qual deve ser a taxa de serviço média (exponencial) para que o número de usuários no sistema seja menor que 4? 19) Considere um sistema de filas com entrada Poisson. A taxa média de chegadas é 4/hora. O tempo médio no sistema não deve exceder 1 hora. Qual deve ser a taxa de serviço mínima? 20) Uma máquina de Xerox é operada por um funcionário que ganha $3 por hora. O tempo de execução de cada tarefa varia de acordo com uma distribuição exponencial com média de 6 minutos. Assuma chegada Poisson com taxa média de 5 tarefas/hora. Se um dia de 8 horas é usado determine: a) A ociosidade (em %) da máquina. b) O tempo médio de espera de uma tarefa no sistema. c) Se o funcionário só ganhar por horas trabalhadas, qual o ganho médio diário do funcionário? 21) Durante a estação de caça, caçadores chegam a um posto de controle a taxa média de 10/hora. Qual deve ser a taxa mínima de verificação para assegurar que a espera do caçador não será maior que 20 minutos, quando a distribuição da verificação é: a) Constante b) Exponencial As chegadas são Poisson. 22) No exemplo anterior, que fração do tempo o posto estará ocupado? 94

29) Durante as horas de pico, um barbeiro tem fregueses chegando aleatoriamente à taxa de um a cada 25 minutos. Ele tem registrado o tempo de serviço para 100 fregueses. Em horas, a média é de 0,30 e o desvio padrão 0,092. a) Durante as horas de pico, qual o tamanho esperado da fila? b) Se o tempo de serviço fosse exatamente de 20 minutos, qual o tamanho esperado da fila? 30) Uma grande oficina de automóveis tem uma sala com um balcão onde os mecânicos vão apanhar as peças necessárias para consertar os carros. Os mecânicos chegam aleatoriamente para serviço à taxa de 10 por hora. Os mecânicos são atendidos aleatoriamente para serviço à taxa de 12 por hora. O tempo dos mecânicos é avaliado em $7 por hora. Como os mecânicos estão reclamando, a oficina está pensando em contratar assistentes para o balcão de peças. Um assistente deve melhorar a taxa de serviço em 50%. Um segundo assistente deve melhorar a taxa de serviço em 80%. Um assistente custa no entanto, $36 por dia. Considerando o dia com 8 horas de trabalho, faça a justificativa econômica da situação. 31) Um posto de gasolina com uma única bomba recebe fregueses aleatoriamente à taxa de um cada 5 minutos. Um simples atendente pode prestar serviço completo em 4 minutos. Cada freguês dá em média um lucro de $1. Sabe-se que se já existem 3 carros no sistema, os fregueses procuram outro posto. O posto está aberto das 07:00 às 22:00 horas. a) Considerando que as taxas de chegada e de serviço são aplicáveis para todas as horas em que o posto está aberto, qual o lucro diário esperado? b) Se os fregueses esperassem na fila, independente do seu tamanho, qual seria o lucro diário esperado? c) Se o posto contratasse um segundo atendente a taxa média de serviço poderia ser reduzida para 2,5 minutos. Se o atendente ganha $2,50 por hora deve-se contratá-lo? d) Se o posto oferecesse aos fregueses bombons, chaveiros, belas recepcionistas, etc..., a taxa de chegada passaria a um a cada 3 minutos mas em compensação o lucro por freguês passaria a $0,30. Considerando 1 atendente, deve-se implantar esta política? e) E com 2 atendentes?

96

TABELA QUI-QUADRADO �

0,25

0,10

0,05

0,025

0,01

0,005

0,001

1

1,32

2,71

3,84

5,02

6,63

7,88

10,83

2

2,77

4,61

5,99

7,38

9,21

10,60

13,82

3

4,11

6,25

7,81

9,35

11,34

12,84

16,27

4

5,39

7,78

9,49

11,14

13,28

14,86

18,47

5

6,63

9,24

11,07

12,83

15,09

16,75

20,52

6

7,84

10,64

12,59

14,45

16,81

18,55

22,46

7

9,04

12,02

14,07

16,01

18,48

20,28

24,32

8

10,22

13,36

15,51

17,53

20,09

21,95

26,12

9

11,39

14,68

16,92

19,02

21,67

23,59

27,88

10

12,55

15,99

18,31

20,48

23,21

25,19

29,59

11

13,70

17,28

19,68

21,92

24,72

26,76

31,26

12

14,85

18,55

21,03

23,34

26,22

28,30

32,91

13

15,98

19,81

22,36

24,74

27,69

29,82

34,53

14

17,12

21,06

23,68

26,12

29,14

31,32

36,12

15

18,25

22,31

25,00

27,49

30,58

32,80

37,70

16

19,37

23,54

26,30

28,85

32,00

34,27

39,25

97

17

20,49

24,77

27,59

30,19

33,41

35,72

40,79

18

21,60

25,99

28,87

31,53

34,81

37,16

42,31

19

22,72

27,20

30,14

32,85

36,19

38,58

43,82

20

23,83

28,41

31,41

34,17

37,57

40,00

45,31

21

24,93

29,62

32,67

35,48

38,93

41,40

46,80

22

26,04

30,81

33,92

36,78

40,29

42,80

48,27

23

27,14

32,01

35,17

38,08

41,64

44,18

49,73

24

28,24

33,20

36,42

39,36

42,98

45,56

51,18

25

29,34

34,38

37,65

40,65

44,31

46,93

52,62

26

30,43

35,56

38,89

41,92

45,64

48,29

54,05

27

31,53

36,74

40,11

43,19

46,96

49,64

55,48

28

32,62

37,92

41,34

44,46

48,28

50,99

56,89

29

33,71

39,09

42,56

45,72

49,59

52,34

58,30

30

34,80

40,26

43,77

46,98

50,89

53,67

59,70

31

35,89

41,42

44,99

48,23

52,19

55,00

61,10

32

36,97

42,58

46,19

49,48

53,49

56,33

62,49

33

38,06

43,75

47,40

50,73

54,78

57,65

63,87

34

39,14

44,90

48,60

51,97

56,06

58,96

65,25

98

35

40,22

46,06

49,80

53,20

57,34

60,27

66,62

36

41,30

47,21

51,00

54,44

58,62

61,58

67,99

37

42,38

48,36

52,19

55,67

59,89

62,88

69,35

38

43,46

49,51

53,38

56,90

61,16

64,18

70,70

39

44,54

50,66

54,57

58,12

62,43

65,48

72,05

40

45,62

51,81

55,76

59,34

63,69

66,77

73,40

41

46,69

52,95

56,94

60,56

64,95

68,05

74,74

42

47,77

54,09

58,12

61,78

66,21

69,34

76,08

43

48,84

55,23

59,30

62,99

67,46

70,62

77,42

44

49,91

56,37

60,48

64,20

68,71

71,89

78,75

45

50,98

57,51

61,66

65,41

69,96

73,17

80,08

46

52,06

58,64

62,83

66,62

71,20

74,44

81,40

47

53,13

59,77

64,00

67,82

72,44

75,70

82,72

48

54,20

60,91

65,17

69,02

73,68

76,97

84,04

49

55,27

62,04

66,34

70,22

74,92

78,23

85,35

50

56,33

63,17

67,50

71,42

76,15

79,49

86,66

VALORES CRÍTICOS PARA O TESTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV 99

Nível de significância n

α

 = 0,10

α

 = 0,05

 = 0,01

α

1

0,900

0,975

0,995

2

0,684

0,842

0,929

3

0,565

0,708

0,829

4

0,493

0,624

0,734

5

0,447

0,563

0,669

6

0,410

0,519

0,617

7

0,381

0,483

0,576

8

0,358

0,454

0,542

9

0,339

0,430

0,513

10

0,323

0,409

0,489

11

0,308

0,391

0,468

12

0,296

0,375

0,449

13

0,285

0,361

0,432

0,349

0,418

14

0,275

15

0,266

0,338

0,404

16

0,258

0,327

0,392

17

0,250

0,318

0,381

100

18

0,244

0,309

0,371

19

0,237

0,301

0,361

20

0,232

0,294

0,352

25

0,208

0,264

0,317

30

0,190

0,242

0,290

35

0,177

0,224

0,269

40

0,165

0,210

0,252

1,07

1,36

1,63

n

n

n > 40

n

101