APOSTILA DE FENOMENOS DE TRANSPORTE
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Apostila fenomenos...
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Eduardo Emery Cunha Quites Luis Renato Bastos Lia
segunda edição
APRESENTAÇÃO Esta apostila é uma coletânea de notas de aula e a tem a finalidade exclusiva de servir de material de apoio da disciplina Fenômenos de Transporte nos Cursos de Engenharia da Universidade Santa Cecília de Santos, não tendo valor comercial e não sendo autorizado seu uso com outras finalidades. Esta apostila não se destina a substituir a bibliografia b ibliografia básica e complementar da disciplina, servindo unicamente como roteiro de estudos, fornecendo aos alunos os conceitos fundamentais básicos da mesma forma que são ministrados em sala de aula. Esta abordagem tem por objetivo permitir que os alunos se concentrem nas explanações dadas em aula, livrando-os da tarefa de reproduzir o que for apresentado no quadro negro. Também estão incluídos diversos exercícios resolvidos e exercícios propostos com as respectivas respostas. Os exercícios aqui apresentados, em sua grande maioria, fizeram partes das provas ministradas durante os últimos anos. Nesta segunda edição desta apostila, devido ao grande número de modificações, certamente ainda estarão presentes erros e imperfeições. Entretanto, estamos certos de que os alunos nos auxiliarão apontado os erros, comentado e sugerindo, de forma que nas próximas edições este trabalho possa ser ainda mais aperfeiçoado.
Eduardo Emery Cunha Quites Engenheiro Metalúrgico, MSc.
Luis Renato Bastos Lia Engenheiro Químico, PhD.
1
1.
INTRODUÇÃO............................................................. INTRODUÇÃO............................. ................................................................ ............................................................... ............................................................... ....................................................... ....................... 4 1.1. CONCEITO E MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR .......................................................... .......................................................................................... .................................................. .................. 4 1.2. MECANISMOS COMBINADOS COMBINADOS............................................................ ............................................................................................ ................................................................. ............................................................. ............................ 6 1.3. RELAÇÃO ENTRE A TRANSFERÊNCIA DE CALOR E A TERMODINÂM TERMODINÂMICA ICA .......................................................... ......................................................................................... .................................. ... 6 1.4 REGIMES DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ............................................................. ............................................................................................. ............................................................... ............................................ ............. 8 1.5 REVISÃO DE SISTEMAS DE UNIDADES UNIDADES ............................................................. ............................................................................................ ............................................................... .................................................. .................. 8
2.
CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE.......................................................... ......................................................................................... ................................. 13 2.1. MECANISMO DA CONDUÇÃO CONDUÇÃO............................................................ ............................................................................................ ................................................................. ........................................................... .......................... 13 2.2. LEI DE FOURIER FOURIER ............................................................. ............................................................................................. ............................................................... ............................................................... ................................................ ................ 13 2.3. CONDUÇÃO ATRAVÉS DE PAREDES PLANAS................... PLANAS................................................... ............................................................... ............................................................... ................................................ ................ 15 2.4. ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA ELÉTRICA .............................................................. ............................................................................................. ................................. 18 2.5. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE........................................................... ........................................................................................... ............................................................... ..................................... ...... 18 2.6. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM PARALELO PARALELO ............................................................. ............................................................................................. ........................................................... ........................... 19 2.7. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS ............................................................. ............................................................................................ ................................. 22 2.8. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES ESFÉRICAS ESFÉRICAS ........................................................... .......................................................................................... ..................................... ...... 24
3.
.............................................................................................. ............................................................... .......................................... ........... 29 FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO .............................................................. 3.1. MECANISMO DA CONVECÇÃO CONVECÇÃO............................ ............................................................ ............................................................... ................................................................ ........................................................... .......................... 29 3.2. LEI BÁSICA DA CONVECÇÃO.. CONVECÇÃO................................. ............................................................... .............................................................. .............................................................. ........................................................... ........................... 29 3.3. CAMADA LIMITE LIMITE ........................................................... ........................................................................................... ............................................................... ............................................................... ................................................ ................ 30 3.4. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA PELÍCULA ........................................................... ........................................................................................... ............................................................... ................................. 32 3.5. RESISTÊNCIA TÉRMICA NA CONVECÇÃO CONVECÇÃO............................................................. ............................................................................................. ............................................................... .......................................... ........... 34 3.6. MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR (CONDUÇÃO E CONVECÇÃO CONVECÇÃO)) .......................................................... .......................................................... 34
4.
.......................................................................................... .............................................................. ............................................................... ...................................... ...... 46 RADIAÇÃO TÉRMICA ........................................................... 4.1. MECANISMO DA RADIAÇÃO TÉRMICA TÉRMICA........................................................... .......................................................................................... ............................................................... ................................................ ................ 46 4.2. CORPO NEGRO E CORPO CINZENTO CINZENTO .............................................................. ............................................................................................. ............................................................... ................................................ ................ 47 4.3. LEI DE STEFAN-BOL STEFAN-BOLTZMANN TZMANN ............................................................. ............................................................................................. ................................................................ ........................................................... ........................... 48 4.4. FATOR FORMA.............................................................. .............................................................................................. ............................................................... ............................................................... ................................................ ................ 49 4.5. CÁLCULO DA TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO RADIAÇÃO.............................................................. .............................................................................................. .................................. 49 4.6. EFEITO COMBINADO CONDUÇÃO - CONVECÇÃO - RADIAÇÃO................... RADIAÇÃO.................................................. ............................................................... ..................................................... ..................... 50
............................................................................................ ............................................................... ................................................................. ........................................................... .......................... 54 5. ALETAS AL ETAS ............................................................. 5.1. CONCEITO CONCEITO.......................................................... .......................................................................................... ................................................................ ................................................................ .......................................................... .......................... 54 5.2. FLUXO DE CALOR ATRAVÉS DE UMA SUPERFÍCIE COM ALETAS ALETAS .......................................................... .......................................................................................... ........................................... ........... 54 5.3. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA ALETA............................................................ ........................................................................................... ............................................................... ............................................................... ................................. 55 5.4. TIPOS DE ALETAS ALETAS........................................................... ........................................................................................... ............................................................... ............................................................... ................................................ ................ 56 5.5. EFICÁCIA DE UMA ALETA ALETA............................................................... .............................................................................................. ............................................................... ............................................................... ................................. 58 6.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS ....................................................... ....................................................................................... ............................................................... .......................................... ........... 66 6.1. DEFINIÇÃO DE FLUIDO ............................................................ ............................................................................................ ................................................................ ............................................................... ..................................... ...... 66 6.2. VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINÂMICA DINÂMICA ............................................................ ............................................................................................ ............................................................... .......................................... ........... 67 6.3. MASSA ESPECÍFICA, PESO ESPECÍFICO E DENSIDADE DENSIDADE........................... ........................................................... ................................................................ .......................................................... .......................... 70 6.4. VISCOSIDADE CINEMÁTICA CINEMÁTICA ........................................................... .......................................................................................... ............................................................... ............................................................... ................................. 71
7.
ESTÁTICA DOS FLUIDOS ............................................................ ............................................................................................ ................................................................ ............................................................... ..................................... ...... 76 7.1. CONCEITO DE PRESSÃO PRESSÃO............................................................ ........................................................................................... ............................................................... ............................................................... ..................................... ...... 76 2
7.2. TEOREMA DE STEVIN ................................................................................................................................................................... 76 7.3. LEI DE PASCAL .............................................................................................................................................................................. 77 7.4. PRESSÃO ATMOSFÉRICA .............................................................................................................................................................. 79 7.5. ESCALAS DE PRESSÃO................................................................................................................................................................... 79 7.6. APARELHOS MEDIDORES DE PRESSÃO.......................................................................................................................................... 80 8.
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS ............................................................................................................................................................ 89 8.1. VAZÃO EM VOLUME .................................................................................................................................................................... 89 8.2. VAZÃO EM MASSA ....................................................................................................................................................................... 89 8.3. VAZÃO EM PESO .......................................................................................................................................................................... 89 8.4. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE ........................................................................................................ 89
9.
EQUAÇÃO DE BERNOULLI .............................................................................................................................................................. 95 9.1. FORMAS DE ENERGIA MECÂNICA ................................................................................................................................................. 95 9.2. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA .................................................................................................................................. 96 9.3. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL ............................................................................................................................. 96 9.4. O TUBO VENTURI ......................................................................................................................................................................... 98 9.5. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL COM MÁQUINA NO ESCOAMENTO ....................................................................... 99 9.6. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MÁQUINA NO ESCOAMENTO ...................................................................... 103
10.
APÊNDICE................................................................................................................................................................................. 110
APÊNDICE A: CÁLCULO DA EFICIÊNCIA DA ALETA ................................................................................................................................. 110
3
FENÔMENOS DE TRANSPORTE O processo de transporte é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição onde não ocorre nenhuma variação. Os fatos comuns a todos os processos de transporte são descritos abaixo
Fatos comuns aos processos de transporte A Força Motriz
O movimento no sentido do equilíbrio é causado por uma diferença de potencial
O Meio
A massa e a geometria do material onde as variações ocorrem afetam a velocidade e a direção do processo
O Fenômeno de Transporte
Alguma quantidade física é transferida
Alguns exemplos de processos de transporte: • •
•
Os raios solares aquecem a superfície externa de uma parede e o processo de transferência de calor faz com que energia seja transferida através da parede, tendendo a um estado de equilíbrio onde a superfície interna será tão quente quanto à externa. Quando um fluido está entre duas placas paralelas e uma delas se movimenta, o processo de transferência de quantidade de movimento faz com que as camadas de fluido adjacentes à placa se movimentem com velocidade próxima à da placa, tendendo a um estado de equilíbrio onde a velocidade do fluido varia de V na superfície da placa em movimente até zero na superfície da placa estacionária. Uma gota de corante é colocada em recipiente com água e o processo de transferência de massa faz com que o corante se difunda através da água, atingindo um estado de equilíbrio, facilmente detectado visualmente.
TRANSFERÊNCIA DE CALOR
Transferência de Calor é energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura. Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. Por exemplo, se em um sistema composto por dois corpos, em diferentes temperaturas, os corpos são colocados em contato direto, como mostra a Figura 1-1, ocorrera transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura até que haja equivalência de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico.
>
⟹
> >
Figu ra 1-1
Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor. Um corpo contém energia interna e isto é representado pela temperatura. O calor é identificado com tal quando a energia cruza a fronteira de um sistema. O calor é, portanto, um fenômeno transitório, que cessa quando não existe mais uma diferença de temperatura. Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como mecanismos de transferência de calor. Existem três mecanismos: Condução, Convecção e Radiação. 4
É condução quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário (onde as partículas têm apenas movimento microscópico) e em virtude de uma diferença de temperatura no me io. Simplificadamente, a transferência de energia se dá pelo choque de partículas com mais energia com partículas com menor e nergia. A Figura 1-2 ilustra a transferência de calor por condução através de uma barra de metal quando existe uma diferença de temperatura entre as extremidades da barra.
Figu ra 1-2
É convecção quando a transferência de energia ocorrer entre uma superfície e um fluido em movimento em virtude da diferença de temperatura entre eles. Simplificadamente, a transferência de energia se dá pelo transporte de massa em conjunto com a transferência de calor por condução junto à superfície. A Figura 1-3 ilustra uma transferência de calor de calor por convecção quando ar quente de um secador de cabelo escoa sobre a supe rfície da cabeça de uma pessoa, transferindo calor, pelo contato com a superfície. Neste caso, o calor é transferindo pelo movimento das moléculas de ar e condução na superfície. A convecção pode ser natural (o movimento do fluido é causado por forças de flutuação) ou forçada (o movimento de fluido é causado por agente externo), como na Figura 1-3.
Figu ra 1-3
É radiação quando, na ausência de um meio interveniente, ocorre uma troca líquida de energia entre duas superfícies em diferentes temperaturas. Simplificadamente, a transferência de energia se dá pela propagação de ondas eletromagnéticas que são geradas proporcionalmente às temperaturas de cada corpo. A Figura 1-4 ilustra a transferência de calor por radiação entre as superfícies quentes de uma lareira para as superfícies mais frias do ambiente e das pessoas no ambiente.
Figu ra 1-4
A Tabela 1-1 resume as principais características dos três mecanismos descritos, em termos de força motriz, meio onde ocorre e fenômeno físico preponderante. 5
Tabela 1-1
Condução
Convecção
Radiação
A Força Motriz
A diferença de temperatura
A diferença de temperatura
A diferença de temperatura
O Meio
Meio estacionário
Fluido em movimento
Não precisa de meio
O Fenômeno
Choque entre partículas
Condução + transporte de massa
Ondas Eletromagnéticas
Na maioria das situações práticas ocorrem ao mesmo tempo dois ou três mecanismos de transferência de calor atuando em conjunto. Nos problemas da engenharia, quando um dos mecanismos domina quantitativamente, soluções aproximadas podem ser obtidas desprezando-se todos, exceto o mecanismo dominante. Entretanto, deve ficar entendido que variações nas condições do problema podem fazer com que um mecanismo desprezado se torne importante. Como exemplo de um sistema onde ocorrem, ao mesmo tempo, vários mecanismos de transferência de calor, consideremos uma garrafa térmica. Neste caso, podemos ter a atuação conjunta dos seguintes mecanismos esquematizados na Figura 1-5.
Figu ra 1-5
q1 : convecção natural entre o café e a parede do frasco de vidro q2 : condução através da parede do frasco de vidro q3 : convecção natural do frasco de vidro para o ar q4 : radiação entre as superfícies externa do frasco de vidro e interna da capa plástica q5 : convecção natural do ar para a capa plástica q6 : condução através da capa plástica q7 : convecção natural da capa plástica para o ar ambiente q8 : radiação entre a superfície externa da capa e as vizinhanças Melhorias, não representada na Figura 1-5, no projeto de uma garrafa térmica estão associadas com uso de superfícies aluminizadas (bloqueio de radiação) para a parede interna do vidro e utilização de vidro de parede dupla, com o ar evacuado do espaço entre as paredes de vidro (bloqueio de condução e co nvecção).
Iremos nos referir as energias cinética e de rotação, entre outras, dos átomos ou moléculas de um sistema como energia interna e a transferência desta energia como transferência de calor ou simplesmente calor. A energia pode ser transportada de ou para um dado sistema por dois mecanismos: calor (Q) e trabalho (W). Um transporte de energia é transferência de calor se sua força motriz é uma diferença de temperatura. Caso contrário, é trabalho. O movimento de um pistão, um eixo em rotação e energia elétrica fluindo em um cabo são todos associados com realização de trab alho. 6
A relação entre calor e trabalho é regida pela primeira lei da termodinâmica: "A variação líquida de energia de um sistema é sempre igual à transferência líquida de energia na forma de calor e trabalho". A Figura 1-6 ilustra quantitativamente a relação: ao transferir calor para um gás em um recipiente com êmbolo, o mesmo tem aumento de energia interna e realiza trabalho.
Figura 1-6
Se um sistema não realiza trabalho, como no caso de um fluido aquecendo ou resfriando em trocador de calor ou uma peça de metal sendo aquecida em uma estufa, a quantidade de calor transferido é igual à variação da energia interna, conforme Equação 1-1.
= ∆ ⏞
Equação 1-1
⟹ ∆ ∆ . . ∆
A partir da definição de calor especifico (c p) de uma substância, que é a energia requerida para elevar a temperatura de uma unidade de massa da substância em um grau, pode ser derivada uma expressão da termodinâmica para o cálculo da variação de energia interna ou a quantidade de calor transferido em processos que não realizam trabalho, conforme Equação 1-2. Equação 1-2
⁄. :: í ∆:çã
A quantidade de calor transferida durante um processo é simbolizada por “Q” e pode ser obtida pelas relações Termodinâmicas. Entretanto, somente na Transferência de Calor pode obter a quantidade de calor transferido por unidade de tempo, também denominada de taxa de transferência de calor ou fluxo de calor (simbolizado por “ ”, onde o ponto acima significa “por unidade de tempo”).
̇
A termodinâmica trata com estados de equilíbrio da matéria onde inexistem gradientes de temperatura. A termodinâmica pode ser usada para determinar a quantidade de energia requerida na forma de calor para um sistema passar de um estado de equilíbrio para outro, entretanto ela não pode quantificar a taxa (velocidade) na qual a transferência do calor ocorre. A disciplina de transferência de calor procura fazer aquilo o que a termodinâmica é inerentemente incapaz de fazer. Exercício R.1.1. Um cubo de 10 cm de lado de cobre inicialmente a 25 ° C é colocado em uma estufa cujo interior está a 150 ° C. Após um intervalo de 30 minutos o cubo entre em equilíbrio com o interior da estufa, alcançando uma temperatura média de 150 ° C. Considerando a massa específica e calor específico do cobre neste intervalo de temperatura a iguais a = 8950 kg/m3 e cp = 0,395 kJ/kg·°C, respectivamente, determine: (a) a quantidade total de calor transferida para o cubo de cobre; (b) o fluxo de calor médio transferido
Q
∆t = 30min
T1 = 25 °C T1 = 25 °C
=150 25 °C TT21 = °C
d
Calor específico (cp), uma propriedade de cada substância, é a energia necessária para elevar a temperatura de uma unidade de massa de uma substância por um grau de temperatura (kJ/kg·°C). Assim a variação da energia interna do cubo pode ser obtida assim: 7
∆ . .∆ [ × .º ×° 0,1 0,001 10 0, 1 → ⟹ . 800 × 0,001 8,95 ∆ . . ∆ 8,95 ×0,395 .º ×15025 ° 441,9 ̇ 441,30×609 0,245 0,245 245
a) A massa de cobre pode ser calculada a partir da massa específica e das dimensões do cubo.
A quantidade de calor transferida para o cubo de cobre é igual à variação da energia interna do cubo (não existe realização de trabalho).
b) O fluxo de calor pode variar ao longo do tempo. No entanto, pode-se determinar o fluxo de calor médio através da divisão da quantidade total de transferência de calor pelo intervalo de tempo. Portanto,
O conceito de regime de transferência de calor pode ser melhor entendido através de exemplos. Analisemos, por exemplo, a transferência de calor através da parede de uma estufa. Consideremos duas situações: operação normal e desligamento ou religamento. Durante a operação normal, enquanto a estufa estiver ligada, a temperatura na superfície interna da parede não varia. Caso a temperatura ambiente externa não varie significativamente, a temperatura da superfície externa também é constante. Sob estas condições a quantidade de calor transferida por condução através da parede é constante e o perfil de temperatura ao longo da parede, mostrado na Figura 1-7 (a), não varia. Neste caso, dizemos que estamos no regime permanente.
Figu ra 1-7
Na outra situação consideremos, por exemplo, o desligamento. Quando a estufa é des ligada as temperaturas diminuem gradativamente, de modo que o perfil de temperatura varia com o tempo, como pode ser visto da Figura 1-7 (b) e (c). Como consequência, a quantidade de calor transferida para fora é cada vez menor e após algum tempo a estufa entra em equilíbrio térmico com o ambiente e fluxo de calor é nulo. Neste caso, a temperatura em cada ponto da parede varia com o tempo e dizemos que estamos no regime transiente. Os problemas de fluxo de calor em regime transiente são mais complexos. Entretanto, a maioria dos problemas de transferência de calor são ou podem ser tratados como regime permanente.
Unidades são meios de expressar numericamente as dimensões. As dimensões fundamentais (previamente definidas) são quatro: tempo, comprimento, massa e temperatura. As unidades são agrupadas em sistemas coerentes. Apesar de ter sido adotado internacionalmente o sistema de unidades denominado Sistema Internacional (S.I), o Sistema Inglês e o Sistema Métrico ainda são amplamente utilizados em vários países do mundo. Na Tabela 1-2 estão as unidades fundamentais para os três sistemas citados:
8
Tabela 1-2
Sistema
Tempo
Comprimento
Massa
Temperatura
S.I.
segundo, s
metro, m
quilograma, kg
Kelvin, K
MÉTRICO
segundo, s (hora, h)
metro, m
quilograma, kg
Celsius, °C
INGLÊS
segundo, s (hora, h)
pé, ft *
libra-massa, lbm **
Fahrenheit, °F ***
* 1 pé (ft) = 12 polegadas (inch)
1 ft = 0,305 m
** 1 lbm = 0,45 kg
*** T(°F) = T(°C) x 1,8 + 32
Todas as outras unidades são derivadas a partir das unidades fundamentais por meio de definições relacionadas a leis ou fenômenos físicos. Como exemplo, são derivadas a seguir algumas das unidades mais importantes para a transferência de calor (Força, Energia e Potência) e também mostradas resumidamente na Tabela 1-3.
Força: as unidades de força são definidas a partir da Segunda Lei de Newton (F = m.a):
•
➢
Newton (N) é a força necessária para acelerar uma massa de 1 Kg a uma taxa de 1 m/s2.
a = 1 m/s 2
1 kg ➢
1 N = 1 kg . 1 m/s2
kilograma-força (kgf) é a força necessária para acelerar uma massa de 1 utm (=9,8 kg) a uma taxa de 1 m/s2.
1 utm ➢
F=1N
a = 1 m/s 2
F = 1 kgf
1 kgf = 9,8 kg . 1 m/s2 ou
1 kgf = 1 utm . 1 m/s2
libra-força (lbf) é a força necessária para acelerar uma massa de 1 slug (=32,2 lbm) a uma taxa de 1 ft/s2.
1 slug
a = 1 ft/s 2
F = 1 lbf
1 lbf = 32,2 lbm . 1 ft/s2 ou
1 lbf = 1 slug . 1 m/s2
A unidade de massa de um corpo é frequentemente usada incorretamente para expressar o peso do corpo, como nas balanças de farmácia. Na verdade, o peso (G) é uma força resultante da aceleração gravitacional (g) sobre a massa (m) de um corpo e sua intensidade é determinada pela segunda lei de Newton (G = m.g). Ao nível do mar uma massa de 1 kg pesa 9,8 N:
. 1 .9,8 9,8 . . 9,18 .9,8 1 .
A mesma massa de 1 kg (1 kg = 1/9,8 utm) pesará 1 kgf em unidades do sistema métrico.
•
➢
Pressão é a relação entre a força normal aplicada e a área (P = F/A), então:
Pascal (Pa) é a pressão resultante quando uma força normal de 1 N é aplicada em uma área de 1 m2. FN = 1 N
A = 1 m 2
P = 1 Pa 1 Pa = 1 N / 1 m2
( 1 kPa = 1000 Pa)
➢
Kgf/m2 é a unidade no sistema métrico, porém Kgf/cm2 é mais usado (1 Kgf/cm2 = 10000 Kgf/m2).
➢
lbf/pol2 (psi – pound per square inch) é a unidade mais comum no sistema inglês. 9
•
➢
Trabalho (uma forma de Energia) é definido como produto da força pela distância ( = F.x), então:
Joule (J) é o trabalho ou a energia despendida por uma força de 1 N em um deslocamento de 1 m.
F=1N
F=1N
1J=1N.1m
x=1m
➢
kgf.m (kgm) é a unidade no sistema métrico, kilocaloria (kcal) é mais usada (1 kcal = 1000 calorias).
➢
lbf.ft é a unidade no sistema inglês, porém o Btu (British thermal unity) é mais usado.
As unidades mais usuais de energia (Btu e Kcal) são baseadas em fenômenos térmicos, e definidas como: ➢ ➢
Btu é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1lb de água de 67,5 °F a 68,5 °F kcal é a energia requerida na forma de calor para elevar a temperatura de 1 kg de água de 14,5 °C a 15,5 °C •
➢
Potência é a capacidade de realizar trabalho na unidade de tempo ( = / t), então:
Watt (W) é a potência dissipada quando um trabalho de 1 J é realizado em um tempo de 1 s
F=1N
F=1N
t=1s 1W=1J/1s
x=1m
➢
kcal/h é a unidade mais comum no sistema métrico.
➢
Btu/h é a unidade mais comum no sistema inglês.
Tabela 1-3
Sistema
Força
Pressão
Energia
Potência
S.I.
Newton, N
Pascal, Pa
Joule, J
Watt, W
MÉTRICO
kilograma-força, kgf
Kgf/cm2
kgm (kcal)
kcal/h
INGLÊS
libra-força, lbf
lbf/pol 2
lbf-ft (Btu)
Btu/h
̇
O fluxo ou taxa de calor transferido ( ) é a quantidade de calor (Q) transferido na unidade de tempo (t). Neste caso, as seguintes unidades são, em geral, utilizadas:
̇ : f l u xo de c a l o r t r a ns f e r i d o p ot ê nc i a e m [ , , ̇ , :quantidade de calor transferida energia em, ℎ, ℎ }
10
Algumas relações de conversão entre os sistemas de unidades: Força:
1N
= 0,225 lbf
= 0,102 kgf
Energia:
1J
= 0,000948 Btu
= 0,000239 Kcal
Potencia:
1W
= 3,412 Btu/h
= 0,860 Kcal/h
= 0,00136 CV
= 0,00134 HP
Tabela de prefixos padrões do Sistema Internacional: Múltiplo Prefixo
1012
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
tera,T
giga,G
mega,M
kilo,k
hecto,h
deca,da
deci,d
centi,c
mili,m
micro,µ
nano,n
pico,ρ
Exercício R.1.2. Converter para o sistema internacional (SI) a seguinte massa especifica: = 624 lb/ft3, sendo dado que: 1 kg = 2,205 lb e 1 m = 3,281 ft.
1 3, 2 81 624 × 2,205 × 1 9.995,5 . × 1 ×× 1 ×
Exercício R.1.3. Determinar a unidade de peso específico () no SI a partir da formula: = . g
Exercício R.1.4. Converter para o sistema SI o seguinte coeficiente de película: h = 10 Kcal/h.m2. °C, sendo dado que: 1 W = 0,86 Kcal/h e 1 K = 1 °C. (Nota: 1 °C equivale dimensionalmente a 1 K, porém para converter uma temperatura em Celsius para Kelvin devemos somar uma constante: T[°C] = T[K] + 273).
ℎ10 ℎ.. ° × 0,186 ℎ × 11 ° 11,63 .
Exercício R.1.5. Determinar a unidade de energia cinética (Ec) no SI a partir da formula: Ec = ½m.v2, sendo dado que: [N] = Kg . m/s2 e [v] = m/s.
× × × ××
̇ SI: ̇ Métrico: ̇ ℎ Inglês: ̇ ℎ
Exercício R.1.6. Determinar a unidade de fluxo de calor ( ) no SI, no Sistema Métrico e Sistema Inglês a partir da formula: q = Q/t , onde: Q = quantidade de calor ( Kcal, J ) e t = tempo.
11
Exercício R.1.7. Se uma maçã pesa 100 g (0,1 kg), quantas maçãs são aproximadamente necessárias para que o peso total seja equivalente a 1 N, 1 lbf e 1 kgf? Dado: g = 9,8 m/s2 (SI e métrico) e g = 32,2 ft/s2 (sist. Inglês) e 1 lbm = 0,45 kg.
. 00,,11.. × 9,8 1 . ⟹ 1,02 maçãs . 09,,18. × 9,8 1 . ⟹ 10 maçãs . 0,45 × 32,2 1 . ⟹ 4,5 maçãs
Exercício P.1.1. Determinar a unidade de peso específico () no Métrico a partir da formula: = . g
Exercício P.1.2. Converter para o sistema SI o seguinte coeficiente de película: h = 10Btu/hft 2. °F , sendo dado que: 1 W = 3,412 Btu/h, 1 ft = 0,305 m e 1 °F = 1,8 K . (Nota: 1 °F equivale dimensionalmente a 1,8 K, porém para converter uma temperatura emFahrenheit para Kelvin devemos a seguinte relação T(°F) = [T(K) – 273] * 1,8 + 32.
Exercício P.1.3. Determinar a unidade de energia potencial (Ep) no SI a partir da formula: Ep =m.g.h, sendo dado que: [N] = Kg . m/s2, [m] = kg, [h] = m e [g] = m/s2.
12
A condução pode ser definida como o processo pelo qual a energia é transferida de uma região de alta temperatura para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre meios diferentes em contato direto. Este mecanismo pode ser visualizado como a transferência de energ ia de partículas mais energéticas para partículas menos energéticas de uma substância devido a interações entre elas. O mecanismo da condução pode ser mais facilmente entendido considerando, como exemplo, um gás submetido a uma diferença de temperatura conforme mostra a Figura 2-1. Nestas condições (T 1 > T 2), observamos os seguintes fenômenos:
Figu ra 2-1
1.
O gás ocupa o espaço entre as duas superfícies (1) e (2), mantidas a diferentes temperaturas (T1 > T2). Consideremos que o gás não está sujeito a nenhum movimento macroscópico, apenas a movimento microscópico. 2. Como altas temperaturas estão associadas com energias moleculares mais elevadas, as moléculas próximas à superfície (1) são mais energéticas (movimentam-se mais rápido). 3. O plano hipotético X é constantemente atravessado por moléculas de que vem de cima e de baixo. Entretanto, as moléculas de cima estão associadas com mais energia que as de baixo. Portanto existe uma transferência líquida de energia de (1) para (2) por condução. Para os líquidos o processo é basicamente o mesmo, embora as moléculas estejam menos espaçadas e as interações sejam mais fortes e mais frequentes. Para os sólidos existem basicamente dois processos (ambos bastantes complexos): •
Sólido mau condutor de calor: ondas de vibração da estrutura cristalina
•
Sólido bom condutor de calor: movimento dos elétrons livres e vibração da estrutura cristalina.
A lei de Fourier é fenomenológica, ou seja, foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente, como mostra a Figura 2-2.
Figu ra 2-2
13
Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a distância entre as extremidades, chegase a seguinte relação de proporcionalidade:
̇ ∝ . ∆∆ ̇ ..
Equação 2-1
A relação de proporcionalidade pode ser convertida para igualdade através da introdução de um coeficiente de proporcionalidade (k ) dando origem à Equação de Fourier na forma diferencial (Equação 2-2). Equação 2-2
̇ ⁄
: fluxo de calor por condução (W, no SI); K : condutividade térmica do material; A: área da seção através da qual o calor flui por condução, medida perpendicularmente à direção do fluxo (m2, no SI); : gradiente de temperatura na seção, isto é, taxa de variação da temperatura T com a distância, na direção x do f luxo de calor (K/m). Se o regime for permanente (temperaturas não variam com o tempo), o gradiente é constante e a distribuição de temperatura é uma linha reta como na Figura 2-3.
⁄
A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x deve ser a direção do fluxo de calor positivo (Figura 2-3). Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo só será positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1).
Figu ra 2-3
O coeficiente de proporcionalidade k, denominado de condutividade térmica, que surge da equação de Fourier é uma propriedade de cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que um material apresenta à condução de calor. As unidades de condutividade térmica são facilmente obtidas da própria equação de Fo urier(Equação 2-2), conforme mostrado a seguir:
No SI: No Sistema Métrico: No Sistema Inglês:
̇ .. ⇒ .̇ ./ . /.° ..° .° ..° ⁄
̇
Considerando a equação de Fourier, para uma mesma condição de fluxo de calor ( ), quando menor a condutividade do material (k ), maior o gradiente de temperatura ( ) no mesmo, ou seja, quanto menor o k , maior a inclinação da linha de distribuição de temperatura, ou seja, maior a variação da temperatura no material. Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, é isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como em 14
alguns aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura. A Tabela 2-1 abaixo lista a condutividade de alguns materiais (no SI) comuns na temperatura ambiente e a Figura 2-4 ilustra as faixas de condutividades térmicas de diferentes grupos de materiais.
Tabela 2-1
Material
Diamante
Cobre
Ouro
Alumínio
Gelo
Vidro
Tijolo
Madeira
Fibra de Vidro
Isopor
Ar Parado
k (W/m.K)
2300
401
317
237
2,21
0,78
0,72
0,17
0,043
0,026
0,024
Figu ra 2-4
Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede plana submetida a uma diferença de t emperatura. Ou seja, submetida a uma fonte de calor, de temperatura constante e conhecida, de um lado, e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Um bom exemplo disto é a transferência de calor através da parede de um forno de um fogão de cozinha. Consideremos, na Figura 2-5, uma parede como esta, que tem espessura L, área transversal A e foi construída com material de condutividade térmica k . Do lado de dentro a fonte de calor (combustão de gás) mantém a temperatura na superfície interna da parede constante e igual aT1 e externamente o sorvedouro de calor (ambiente externo) faz com que a superfície externa permaneça constante e igual aT2.
Figu ra 2-5
15
̇ .. ̇. ..
Para calcular a transferência de calor por condução através da parede plana, partimos da equação de Fourier(Equação 2-2):
Fazendo a separação de variáveis, obtemos: Equação 2-3
Na Figura 2-5 observamos que na face interna ( x =0) a temperatura é T1 e na face externa ( x =L) a temperatura é T2. Considerando que, no regime permanente, o fluxo de calor transferido não varia com o tempo e que a área transversal da parede é uniforme e a condutividade térmica k é um valor médio, a integração da Equação 2-3, entre os limites que podem ser verificados na Figura 2-5, fica assim:
̇q. ∫dx k.A. ∫dT ̇. 0 . . ̇. ..
)
)
Considerando que ( T = T 1-T 2) é a diferença de temperatura entre as faces da parede, o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condução é:
̇ . . ∆
Equação 2-4
Para melhor entender o significado da Equação 2-4, consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela fabricação de um forno de fogão de cozinha necessita reduzir as perdas térmicas pelas paredes do forno por razões econômicas (economizar gás). Considerando os termos da Equação 2-4, o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na Tabela 2-2.
Tabela 2-2
Var
Sentido
Ação
Explicação
k
Diminuir
Utilização de material de baixa condutividade
Na Equação 2-4 quanto menor a condutividade (k), menor a transferência de calor ( )
L
Aumentar
Aumentar a espessura da parede
Na Equação 2-4 quanto maior a espessura (L), menor a transferência de calor ( )
A
Diminuir
Diminuir a área do forno
Na Equação 2-4 quanto menor a área ( A), menor a transferência de calor ( )
ΔT
Diminuir
Diminuir a diferença de temperatura
q̇
q̇ q̇
∆ q̇ ∆ ,
Na Equação 2-4 quanto menor a diferença de temperatura menor a transferência de calor ( )
Comentário: Obviamente o engenheiro teria dificuldade em diminuir a área do forno ( A) e a diferença de temperatura , que são necessidades inerentes ao projeto. A melhor solução de engenharia seria trabalhar com o isolamento térmico do forno, reduzindo a condutividade térmica e aumentando a espessura do isolante, considerando também o aspecto de custo versus benefício.
Exercício R.2.1. Uma sala tem 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura e as paredes são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.°C e espessura de 25 cm de espessura. Um equipamento condicionador de ar deve manter a face interna das paredes a 22 °C, enquanto que a face externa das paredes pode estar até a 40 °C em um dia de verão. Determine o fluxo de calor a ser extraído da sala pelo condicionador (em Btu/h). Considere as seguintes hipóteses simplificadoras: sala sem janela e sem pessoas no interior. Despreze a transferência de calor pelo piso e pelo teto. (Dado: 1Btu/h = 0,252 Kcal/h). 16
0, 4014°⁄ℎ.22. ° ° 25 0,25 ,
2×6 ×3 2×1 5×3126 ̇ . . ∆ ,⁄,..° × ×4022° 1270 ⁄ℎ ̇1270 ⁄ℎ × ,⁄⁄ 5039,6 ℎ⁄
Desconsiderando a influência de janelas, a área lateral das paredes, desprezando o piso e o teto, é:
Utilizando a Equação 2-4, podemos calcular o fluxo de calor que entra na sala por condução:
Este mesmo fluxo de calor deverá ser extraído pelo condicionador de ar. Usando a relação de conversão de kcal/h para Btu/h fornecida:
A potência térmica que deve ser removida de um ambiente condicionado para manter a temperatura em um valor estipulado costuma ser chamada de carga térmica e envolve, além da transferência de calor pelas estruturas da construção, as condições climáticas, o perfil de ocupação pelas pessoas, a presença de iluminação e equipamentos, etc. Exercício R.2.2. As faces internas das paredes de uma casa devem ser mantidas a 20 °C, enquanto que a temperatura média nas faces externas é -20 °C. Para isto, um sistema de aquecimento utiliza óleo combustível. As paredes da casa medem 25 cm de espessura, e foram construídas com tijolos de condutividade térmica de 0 ,75 W/m.K. a) calcule a perda de calor para cada metro quadr ado de superfície por hora. b) considerando que a área total de transferência de calor das paredes da casa é 250 m2 e que o poder calorífico do óleo combustível é de 37.215 kJ/litro, determine o volume de óleo combustível a ser utilizado no sistema de aquecimento durante um período de 24 h. Supor o rendimento do sistema de aquecimento igual a 70%.
0, 2075°⁄. 20 ° 25 0,25
a) desprezando o efeito das janelas, utilizamos a equação para a condução em paredes planas. Portanto, o fluxo de calor transferido por cada metro quadrado de parede ( A = 1 m2 ) é:
̇ . . ∆ ,,⁄. × × 20 20 120 ̇120 × 250 2 30.000 30.000 30 ̇ ⇒ ̇ × 30 × 24 ℎ ×60 ℎ ×60 2.592.000 2.592.0,70000 3.702.857
(por m2 de área)
b) esta perda de calor pelas paredes da casa deve ser reposta pelo sistema de aquecimento, de m odo a manter o interior a 20 °C. A perda pela área total do edifício de 250 m2 é:
O tempo de utilização do sistema de aquecimento é 24 horas. Neste período a energia perdida para o exterior é:
Com o rendimento do sistema é 70% a quantidade de calor a ser fornecida pelo óleo é:
ó 37.3.2702.15857⁄ 99,5
Cada quilo de óleo pode fornecer 37215 kJ/litro, e ntão o volume de óleo combustível é:
17
Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Isto significa que a equação de descrição de um sistema pode ser transformada em uma equação para outro sistema pela simples troca dos símbolos das variáveis. Por exemplo, a Equação 2-4 que fornece o fluxo de calor através de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma:
̇ . . ∆ ∆.
Equação 2-5
O denominador e o numerador da Equação 2-5 podem ser entendidos assim: • •
T : a diferença entre a temperatura da face quente e da face fria, consiste no potencial que causa a transferência de calor
.
: é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à transferência de calor
̇ ∆ : .
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma:
Equação 2-6
(resistência térmica da parede plana)
Se substituirmos na Equação 2-6 o símbolo do potencial de temperatura (ΔT) pelo de potencial elétrico, isto é, a diferença de tensão (ΔU), e o símbolo da resistência térmica (R) pelo da resistência elétrica (Re), obtemos a Equação 2-7 (lei de Ohm) para i, a intensidade de corrente elétrica:
̇ ∆
Equação 2-7
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma not ação semelhante à usada em circuitos elétricos, quando representamos a resistência
̇
térmica de uma parede ou associações de paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e atravessada por um fluxo de calor , pode ser representada como na Figura 2-6:
Figu ra 2-6
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma fonte de calor, de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de uma camada interna de refratário (condutividadek 1 e espessura L1), uma camada intermediária de isolante térmico (condutividade k 2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço (condutividade k 3 e espessura L3). A figura 3.7 ilustra o perfil de temperatura ao longo da espessura da parede composta:
18
T1
k1
k3
k2
T2
. q
T3 T4
L1
L3
L2
Figu ra 2-7
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente: Equação 2-8
̇ . . ̇ . . ̇ . . ̇̇.. ̇.. .. ̅ ̇ .. ̇ .. ̇ .. ̇
Colocando em evidência as diferenças de temperatura na Equação 2-8 e somando membro a membro, obtemos:
̇. . . . ̇ ̇ . −
Eliminando as temperaturas T2 e T3 e colocando o fluxo de calor ( ) em evidência, obtemos: Equação 2-9
Substituindo os valores das resistências térmicas em cada parede na Equação 2-9, obtemos o fluxo de calor pela parede composta:
Equação 2-10
++
̇ ∆ ⋯.
Portanto, para o caso geral, em que temos uma associação de “n paredes planas associadas em série o fluxo de calor é dado por: ”
Equação 2-11
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em paralelo, submetidas a uma fonte de calor, de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida, do outro lado. Assim, haverá a transferência de um fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de uma metade inferior de refratário especial (condutividade k 2) e uma metade superior de refratário comum (condutividade k 1), como mostra a Figura 2-8. Faremos as seguintes considerações: •
Todas as paredes estão sujeitas a mesma diferença de temperatura;
•
As paredes podem ser de materiais e/ou dimensões diferentes; O fluxo de calor total é a soma dos fluxos por cada parede individual.
•
19
Figu ra 2-8
̇ . . ̇ . . ̇ ̇ ̇ . . . . . .. . ⇒ . ̇ . − O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes planas individualmente: Equação 2-12
O fluxo de calor total é igual à soma dos fluxos da Equação 2-12: Equação 2-13
A partir da definição de resistência térmica para parede plana (Equação 2-6), temos que: Equação 2-14
Substituindo a Equação 2-14 na Equação 2-13, obtemos:
onde:
̇ ∆ :
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de “n paredes planas associadas em paralelo o fluxo de calor é dado por: ”
Equação 2-15
Em uma configuração em paralelo, embora se tenha transferência de calor bidimensional, é frequentemente razoável adotar condições unidimensionais. Nestas condições, admite-se que as superfícies paralelas à direção x são isotérmicas. Entretanto, a medida que a diferença entre as condutividades térmicas das paredes (k 1 e k 2) aumenta, os efeitos bidimensionais tornam-se cada vez mais importantes.
Exercício R.2.3. (Questão ENADE 2014). Visando ao conforto térmico e à economia de energia, um engenheiro propõe a instalação de um sistema de isolamento nas janelas de uma unidade industrial situada em um local frio, com vento intenso e constante, onde a temperatura do ambiente externo é de 4,8 °C ao longo do ano. Para manter a temperatura da face interna da janela em 25 °C, as janelas foram adaptadas de modo a criar uma lacuna de 50 mm preenchida por ar estagnado entre duas lâminas de vidro com espessura de 10 mm cada, conforme o esquema abaixo.
Com base no exposto e admitindo que o sistema se encontra no estado estacionário, pede-se: 20
a) represente, por meio de um esquema, a direção do fluxo de calor no sistema e os perfis de temperatura nas lâminas de vidro e na camada de ar estagnado; b) calcule o fluxo de calor que deve ser suprido no sistema para que a temperatura da face interna da janela seja mantida em 25 °C nas condições especificadas no problema; c) explique o que acontecerá se a camada de ar interna não for estagnada, ou seja, se houver convecção nesta região. Resolução a) a figura abaixo apresenta um esquema em que a direção do fluxo de calor e os perfis de temperatura nas duas lâminas de vidro e na camada de ar são representados, observando-se que a inclinação no vidro é menor do que a no ar devido a maior condutividade do vidro.
b) o fluxo de calor pode ser calculado considerando que a temperatura da parede externa é igual ao do ambiente externo e que há somente condução na camada de ar interna. (ar e stagnado). Para uma área unitária de 1 m2, temos
1 10 0,01 50 0,05 1 ⁄. 0,025 ⁄.
05 2 . 1×10,01 0,01 . 0,00,25×1 Cálculo das resistências térmicas:
254,801 ⁄ 10 ̇ 0,0120, Cálculo do fluxo de calor por m2 de janela:
c) caso a camada de ar interna não for estagnada, na resposta deverá ser mencionado pelo menos um dos itens abaixo: •
Haverá aumento no fluxo de calor ou maior troca térmica ou maior perda de calor;
•
Haverá diminuição da resistência térmica à transferência de calor;
•
Mais energia térmica deverá ser fornecida para manter a temperatura da face interna da janela em 25 °C (maior gasto de energia ou haverá menor “eficiência” no isolamento térmico);
•
A temperatura interna irá diminuir caso a energia térmica fornecida seja mantida.
Exercício R.2.4. A figura abaixo mostra, fora de escala, um corte em uma parede de 1 metro de altura, 1 metro de largura e espessura total mede 16 cm. A parede é composta por vários materiais associados e as condutividades térmicas de cada material da parede são indicadas na tabela abaixo. Para uma temperatura da face quente de 1000 °C e da face fria de 100 °C, determine o fluxo de calor transferido através da parede composta:
Material
a
b
c
d
e
f
g
k (W/m.K)
100
40
10
50
30
40
20
Usando a analogia elétrica, o circuito equivalente à parede composta fica assim:
21
3 003 2 002 8 0,08 1×11 10020 ×10,2 10060 ×10,6 10050 ×10,5 . 100 .0,03×1 0,0003 40 .0,0×0,2 2 0,0025 10 .0,02×0,6 0,003333 50 .0,02×0,2 0,002 30 .0,03×1 0,001 40 .0,08×0,5 0,004 20 .0,08×0,5 0,008 1 1 1 1 0,01025 0,003333 1 0,0102 1200 ⟹ 0,000833 1 1 1 1 0,0104 0,0108 90 ⟹ 0,002667 0,00030,008330,0010,0026670,0048 ̇ ∆ 1000100 0,0048 187.500 As espessuras das paredes são obtidas da figura:
Para uma área unitária de transferência de calor ( A= 1x1 = 1 m2), as áreas de cada camada são:
As resistências térmicas de cada parede individual são:
Para os circuitos paralelos, temos:
Para os circuitos em série:
Portanto,
Consideremos um cilindro vazado submetido à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como ilustra a Figura 2-9. Se a temperatura de toda a superfície interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura de toda a superfície externa se mantém constante e igual a T2, teremos uma transferência de calor por condução unidimensional e no regime permanente. Como exemplo, analisemos a transferência de calor em uma tubulação de comprimento L que conduz vapor em alta temperatura. Neste caso calor é transferido de dentro para fora.
Figu ra 2-9
O fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja:
22
Equação 2-16
Onde (
̇ ̇ . .
) é o gradiente de temperatura na direção radial
. . .
Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio: Equação 2-17
̇ .2 . ̇ . . . ̇ ̇. ∫ . 2 . . . ∫ ̇. ln l n . 2 . . . ̇.ln() . 2 . . .
Levando a Equação 2-17 na Equação 2-16, obtemos:
Considerando regime permanente ( é constante), fazendo a separação de variáveis e integrando entre de r1 a r2 e de T1 a T2, conforme condições da Figura 2-9, chega-se a:
Utilizando propriedades dos logaritmos e usando o s inal “-“ para inverter o ΔT, obtemos:
̇ .(..) .
O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então:
Equação 2-18
Para melhor entender o significado da Equação 2-18 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela linha de distribuição de vapor em uma empresa necessita reduzir as perdas térmicas da tubulação por razões econômicas (economizar energia nas caldeiras que produzem o vapor). Considerando os termos da Equação 2-18, o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na Tabela 2-3.
Tabela 2-3
Var
Sentido
Ação
Explicação
q̇ q̇ q̇
Na Equação 2-18 quanto menor a condutividade (k), menor a transferência de calor ( ) Aumentar o é o mesmo que aumentar a Na Equação 2-18 quanto maior a espessura da tubulação , menor Aumentar espessura da parede da tubulação a transferência de calor ( ) Na Equação 2-18 quanto menor o comprimento (L), menor a L Diminuir Diminuir o comprimento da tubulação transferência de calor ( ) Na Equação 2-18 quanto menor a diferença de temperatura Diminuir Diminuir a diferença de temperatura ΔT menor a transferência de calor ( ) Comentário: Obviamente o engenheiro teria dificuldade em diminuir o comprimento da tubulação (L), e a diferença de temperatura , que são itens inerentes ao projeto. A melhor solução de engenharia seria trabalhar no isolamento térmico do tubo, reduzindo a condutividade térmica e aumentando a espessura do isolante, considerando também o aspecto de custo versus benefício.
k
Diminuir
Utilização de material de baixa condutividade
⁄
∆
∆,
q̇
O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede cilíndrica também pode ser representado como:
̇ .2(...) . .(2.. )
Então para a parede cilíndrica, a resistência térmica é:
23
Equação 2-19
( . ..)
Para o caso geral em que temos uma associação de paredes “ n” cilíndricas associadas em série, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por:
̇ ∆ ⋯. ̇ ∆ : 1 1 1
Paredes cilíndrica associadas em paralelo não são comuns, mas também s eria tratado de maneira similar ao caso das paredes planas:
Uma das utilizações mais frequentes das configura ções esféricas na indústria é na armazenagem de fluidos em baixa temperatura. Devido a uma maior relação volume/superfície da esfera, os fluxos de calor são minimizados. Consideremos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na Figura 2-10. Se a temperatura da superfície interna for constante e igual a T1, enquanto que a temperatura da superfície externa se mantém constante e igual a T2, teremos uma transferência de calor por condução no regime permanente. Como exemplo analisemos a transferência de calor em um reservatório esférico de raio r que contém um fluido em alta temperatura:
Figu ra 2-10
̇ ̇ . . . .
O fluxo de calor que atravessa a parede esférica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja: Equação 2-20
Onde (
) é o gradiente de temperatura na direção radial
Para configurações esféricas a área é uma função do raio: Equação 2-21
̇ .4 .̇ . . ̇ ̇.∫ . 4 . . ∫ − ̇ . ∫ − − . 4 . . ∫ ̇. .4 . .
Levando a Equação 2-21 na Equação 2-20, obtemos:
Considerando regime permanente ( é constante), fazendo a separação de variáveis e integrando entre de r1 a r2 e de T1 a T2, conforme condições da Figura 2-10, chega-se a:
24
̇.1 1 1 1 . 4 . . ̇. .4 . .∆
Manipulando e usando o sinal “ -“ para inverter o ΔT , obtemos:
̇ .−. . ∆
O fluxo de calor através de uma parede esférica será então:
Equação 2-22
Para melhor entender o significado da Equação 2-22 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável um reservatório esférico em uma empresa necessita reduzir as perdas térmicas pelas paredes do reservatório por razões econômicas (economizar energia). Considerando os termos da Equação 2-22, o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na Tabela 2-4. Tabela 2-4
Var
Sentido
Ação
Explicação
k
Diminuir
Utilização de material de baixa condutividade
Na Equação 2-22 quanto menor a condutividade (k), menor a transferência de calor ( )
Aumentar
Aumentar esta relação é o mesmo que aumentar a espessura da parede
Na Equação 2-22 quanto maior a espessura da tubulação , menor a transferência de calor ( )
Diminuir
Diminuir a diferença de temperatura
Na Equação 2-22 quanto menor a diferença de temperatura menor a transferência de calor ( )
ΔT
∆, ∆
q̇
q̇
q̇
Comentário: Obviamente o engenheiro teria dificuldade em diminuir a diferença de temperatura , que é uma necessidade inerente ao projeto. A melhor solução de engenharia seria trabalhar com o isolamento térmico do reservatório, reduzindo a condutividade térmica e aumentando a espessura do isolante, considerando também o aspecto de custo versus benefício. O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede esférica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede esférica também pode ser representado como:
̇ 11.4 .12 . ∆ 11 12 .4 .
Então para a parede esférica, a resistência térmica é:
Equação 2-23
− ..
Para o caso geral em que temos uma associação de “ n” paredes esféricas associadas em série, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por:
̇ ∆ ⋯. ̇ ∆ : 1 1 1
Paredes esféricas associadas em paralelo não são comuns, mas também seria tratado de maneira similar ao caso das paredes planas:
Exercício R.2.5. Uma tubulação industrial tem a configuração de parede cilíndrica, composta de três camadas de diferentes materiais (tubo de metal, isolante e revestimento), conforme esquema simplificado da figura abaixo. Sendo forne cidos os dados abaixo, calcular: 25
a) o fluxo de calor transferido por metro de comprimento do tubo ,b) a temperatura na interface entre a camada isolante e a camada de revestimento
901200, 0 9 100 0, 1 0 0, 1 2 130 0, 1 3 22,0,0051.⁄.⁄ tubocamadametáliiscoolante 210 0,212°s⁄u.perfícicae inmteadarnadedorevtuboestimento 30 ° superfície externa do revestimento 0, 1 0 l n l n 0, 0 9 0,000762 .2. . 22,0 . ×2××1 0, 1 2 0, 1 3 l n l n 0, 1 0 0, 1 2 0,0601 0,051 . ×2××1 0,569 0,212 . ×2××1 ̇∆ −0,000762 0, 5 69 0, 0 601 0, 6 30 K/W − 285,7 a) considerando um comprimento do duto de um metro (L = 1 m), temos:
Todas as resistências estão em série:
,
b) para calcular a temperatura de interface isolante/revestimento usamos a analogia com a eletricidade, de modo que o fluxo de calor calculado no item anterior pode ser expresso como:
̇ ⟹ 285,7 0,060130 ⟹ 47,2 ° 210569 ⟹ 47,2 ° ̇ ⟹ 285,7 0,0007620,
Observe que também poderia ser usada a expressão abaixo para obter o mesmo resultado
Exercício R.2.6. Um tanque de aço (k=40 Kcal/h.m.°C), de formato esférico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha (k=0,04 Kcal/h.m.°C). A t emperatura da face interna do tanque é 220 °C e a da face externa do isolante é 30 °C. Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também de 1½" de espessura. Foi então notado um aumento de 10% no calor perdido para o ambiente (mantiveram-se as demais condições). Determinar: a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha.
0,0,55 0, 0050,505 0,405051, 5 "×0, 0 2540, 5 431 ⁄ ℎ . . ° 220 0,04°⁄ℎ. 30.° °
a) no caso, temos duas resistências térmicas de parede esférica associadas em série:
26
ç (−..) ,×−×, 0,0000394 .° 122.41.3 10,0,50504×14×0,5431 0,2764 .° 220300,2764 ° ℎ.° 687,41 ℎ ̇ ç 0,0000394 ′ ̇ 1,1 ×̇ 1,1 ×687,41756,15 ⁄ℎ ℎ. ° ′ ̇ ç ⟹ ̇ ç 22030 0, 0 0003940, 2 512 756,15 10,5431 ⟹ ′2 0,044 ℎ..° 1′22. 41. 3 ⟹ 0,2512 10,505′ ×4× 2 1 1 1 1 ′ 0, 5 05 2 ′ 3 3 ′2.4. ⟹ 0,2764 0,044× 4× ⟹ ′3 0,5472 ′3 2 0,54720,5050,0422 4,22 1,66" Observando que a resistência do aço é muito menor que a do isolante, podemos calcular o fluxo de calor assim:
b) levando em conta a elevação de 10% no fluxo de calor, após a troca do isolamento:
Somente a resistência térmica da parede isolante é alterada. Com novo fluxo de calor é possível calcular o seu novo valor:
A partir do valor da nova resistência pode ser calculada a condutividade do novo isolante:
c) para obter o mesmo fluxo de calor de antes, a res istência do isolante deve ter o mesmo valor de antes. Como o novo isolante é de pior qualidade (maior condutividade), será necessário usar uma maior espes sura isolante:
A nova espessura é calculada pela diferença de raios ;
Exercício P.2.1. Em uma indústria farmacêutica, pretende-se dimensionar uma estufa. Ela terá a forma cúbica de 1 m de lado e será construída de aço (k = 40 kcal/h.m.°C), com 10 mm de espessura, isolada com lã de vidro (k= 0,08 kcal/h.m.°C) e revestida com plástico (k= 0,2 kcal/h.m.°C) de 10 mm de espessura. O calor será inteiramente gerado por resistências elétricas de 100 , pelas quais passará uma corrente de 10 A (Potência Gerada = R . i 2 ). Não pode ser permitida uma perda de calor superior a 10 % do calor gerado. Sabendose que as temperaturas nas faces das paredes, interna e externa, são respectivamente 300 °C e 20 °C, pede-se: a) a resistência térmica exigida na parede da estufa; b) a espessura da lã de vidro. Dado: 1 W = 0,86 Kcal/h
Exercício P.2.2. Um reservatório metálico (k = 52 W/m.K), de formato esférico, tem diâmetro interno 1,0 m, espessura de 5 mm, e é isolado com 20 mm de fibra de vidro (k = 0,034 W/m.K). A temperatura da face interna do reservatório é 200 °C e a da face externa do isolante é 30 °C. Após alguns anos de utilização, a fibra de vidro foi substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a troca do isolamento, notou -se uma elevação de 15% na transferência de calor, bem como uma elevação de 2,5 °C na temperatura da face externa do isolante. Determinar: a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições de temperatura e fluxo voltassem a ser as mesmas de antes.
Exercício P.2.3. Um tubo de aço (k = 35 kcal/h.m.°C) tem diâmetro externo de 3”, espessura de 0,2”, 150 m de comprimento e transporta amônia a -20 °C (resistência de convecção desprezível). Para isolamento do tubo existem duas opções: isolamento de espuma de borracha (k = 0,13 kcal/h.m.°C) de 3” de espessura e isolamento de isopor (k = 0,24 kcal/h.m.°C) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento é 40 °C, pede-se: a) as resistências térmicas dos isolantes; 27
b) calcule o fluxo de calor para cada opção e diga qual isolamento deve ser usado; c) para o que não servir, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite de fluxo de calor.
Exercício P.2.4. Um forno de 6 m de comprimento, 5m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de 0,4 m é de tijolos refratários (k=1,0 kcal/h.m.°C). A camada intermediária de 0,30 m tem a metade inferior de tijolos especiais (k=0,20 kcal/h.m.°C) e a metade superior de tijolos comuns ( k=0,40 kcal/h.m.°C). A camada externa de 0,05m é de aço (k=30 kcal/h.m.°C). Sabendo-se que a superfície interna está a 1700 °C e a superfície externa está a 60 °C. Pede-se: a) o fluxo de calor pela parede, desprezando o piso e o teto do forno. b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 % devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno e que a temperaturas são as mesmas.
Exercício P.2.5. Uma longa camada isolante de 9 mm de espessura é utilizada como isolante térmico de um equipamento. A camada isolante é composta de borracha e possui um grande número de vazios internos de seção quadrada e preenchidos com ar parado, conforme mostra o esquema na figura abaixo. A condutividade térmica da borracha é 0,097 W/m.K e a condutividade térmica do ar parado é 0,022 W/m.K. Considerando que a temperatura da face quente da camada é 120 °C e a da face fria é 45 °C, determine: a) a fluxo de calor transferido por unidade de área da camada isolante; b) a percentagem de variação do fluxo de calor caso a camada isolante seja substituída por outra de borracha maciça de mesma espessura. 3 mm 3 mm 3 mm
Ar parado Borracha
3 mm 3 mm
Exercício P.2.7. (Questão ENADE 2014). Um ambiente termicamente confortável é uma das condições que devem ser consideradas em projetos de edificações. A fim de projetar um ambiente interno com temperatura de 20 °C para uma temperatura externa média de 35 °C, um engenheiro considerou um fluxo de ca lor através de uma parede externa de 105 W/m2, conforme a figura abaixo
A fim de se obter a temperatura interna desejada, qual deve ser o material selecionado, entre os apresentados na tabela acima, para composição da parede externa.
28
3. FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO
A convecção pode ser definida como o processo pelo qual energia é transferida das porções quentes para as porções frias de um fluido através da ação combinada de: condução de calor, armazenamento de energia e movimento de mistura. O mecanismo da convecção pode ser mais facilmente entendido considerando, por exemplo, um circuito impresso (chip) sendo refrigerado por um fluxo de ar ventilado, como mostra a Figura 3-1:
Figu ra 3-1
No exemplo da Figura 3-1, a velocidade da camada de ar próxima à superfície tende a zero em razão das forças viscosas (atrito). Nesta região o calor pode ser transferido por condução (meio estacionário). Ocorre, portanto, um armazenamento de energia pelas partículas presentes nesta região. Na medida que estas partículas passam para a região de velocidade mais alta, devido ao movimento aleatório das mesmas, elas são carreadas pelo fluxo de ar, transferindo calor para as partículas mais frias. No caso acima dizemos que a convecção foi forçada, pois o movimento de mistura foi induzido por um agente externo, no caso um ventilador. Suponhamos que o ventilador seja retirado. Neste caso, as partículas que estão próximas à superfície continuam recebendo calor por condução e armazenando a energia. Estas partículas têm sua temperatura elevada e, portanto, a densidade reduzida. Já que são mais leves elas sobem trocando calor com as partículas mais frias (e mais pesadas) que descem. Neste caso dizemos que a convecção é natural e o movimento do fluido é causado por forças de flutuação induzidas pelas diferenças de densidade causadas por diferenças de temperatura no fluido. É óbvio que, na convecção forçada, a quantidade de calor transferida é maior na convecção natural. Um exemplo bastante conhecido de convecção natural é movimento do ar no interior de uma geladeira, como mostrado na Figura 3-2. Neste caso, o ar frio proveniente do freezer desce, trocando calor com os alimentos. À medida que a temperatura do ar aumenta, pela troca de calor e pela absorção do calor que entra pelas paredes, o mesmo volta a subir para transferir este calor novamente no freezer e reiniciar o processo.
Figu ra 3-2
O calor transferido por convecção, na unidade de tempo, entre uma superfície e um fluido em diferentes temperaturas, pode ser calculado através da relação proposta por Isaac Newt on:
Equação 3-1
̇ ℎ . .∆
29
̇ ∆ℎ
: fluxo de calor transferido por convecção (W, kcal/h Btu/h) : área de transferência de calor da superfície para o fluido (m2, ft2) : diferença de temperatura entre a superfície ( e o fluido ( em um local bastante afastado da superfície (K, °C, °F) : coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de película
∆
A Figura 3-3 ilustra o perfil de temperatura e o para o caso de um fluido escoando sobre uma parede aquecida ou resfriada. Observamos que existe uma película, a ser discutida no próximo item, onde ocorrem as variações de temperatura.
Figu ra 3-3
A simplicidade da equação de Newton é ilusória, pois ela não explícita as dificuldades envolvidas no estudo da convecção, servindo apenas como uma definição do coeficiente de película (h). O coeficiente de película é, na realidade, uma função complexa do es coamento do fluido, das propriedades físicas do meio fluido e da geometria do sistema. Seu valor numérico não é, em geral, uniforme sobre a superfície. Por isto utiliza-se um valor médio para a superfície. A partir da Equação 3-1, podem ser obtidas as unidades do coeficiente de película.
̇ ℎ . . ∆ ⟹ ℎ .∆̇ ℎ ./ ℎ / . ° ..° No SI:
No Sistema Métrico: No Sistema Inglês:
. ° . . °
A Tabela 3-1 mostra, para diversos meios, ordens de grandeza do coeficiente de película em unidade do sistema internacional:
Tabela 3-1
Condição de Transferência de Calor
h (W/m2.K)
Convecção natural no ar
5 a 30
Convecção natural na água
30 a 100
Convecção forçada no ar
30 a 300
Convecção forçada em óleo leve
60 a 1.800
Convecção forçada na água
300 a 18.000
Água evaporando ou condensando
3.000 a 120.000
Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em regime laminar ou turbulento, as partículas na vizinhança da superfície são desaceleradas em virtude das forças viscosas. A porção de fluido contida na região de variação substancial de velocidade, ilustrada na Figura 3-4, é denominada de camada limite hidrodinâmica (). 30
Figu ra 3-4
Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície quando existe uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície. Neste caso, O fluido contido na região de variação substancial de temperatura é chamado de camada limite térmica ( t). Por exemplo, analisemos a transferência de calor para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida, como mostra a Figura 3-5. Para que ocorra a transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente de temperatura (camada limite térmica) em uma região de baixa velocidade (camada limite hidrodinâmica).
Figu ra 3-5
O mecanismo da convecção pode então ser enten dido como a ação combinada de condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na região de alta velocidade. Portanto, na região de baixa velocidade a condução é mais importante, por outro lado, a região de alta velocidade a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio contribui substancialmente para a transferência de calor. Na camada limite térmica tem-se, portanto, elevados gradientes de temperatura e pode-se dizer que o estudo do fenômeno da convecção se reduz ao estudo da condução através da mesma. Portanto, considerando a camada limite térmica como uma "parede" hipotética de espessura t e condutividade térmica k t, temos:
̇ . . Δ ̇ ℎ . .Δ
Fluxo de calor por condução (Equação 2-4) na camada limite térmica: Equação 3-2
Pela equação de Newton (Equação 3-1), temos que o fluxo de calor por convecção: Equação 3-3
. . Δ ℎ . . Δ
Igualando a Equação 3-2 e a Equação 3-3, obtemos:
Equação 3-4
Embora essa imagem seja consideravelmente simplificada, a Equação 3-4 mostra que o coeficiente de película é inversamente proporcional à espessura da camada limite térmica. Desta forma, pode ent endida, por exemplo, a ação de um ventilador. O aumento da velocidade do fluido causado pela rotação das pás resulta aumento da velocidade de escoamento e, como consequência, em redução da camada limite térmica sobre a nossa pele. A Equação 3-4 mostra que isto resulta em uma elevação do coeficiente de película. Esta 31
elevação do coeficiente de película é responsável pelo aumento da transferência de calor por convecção, conforme Equação 3-1, e pela consequente sensação de alívio do calor.
Como visto anteriormente, o coeficiente h é uma função complexa de uma série de variáveis dos seguintes tipos (unidades no SI): •
Dimensão Característica L: é a dimensão que domina o fenômeno da convecção. Exemplo: diâmetro de um tubo, altura de uma placa, etc. (m)
•
Propriedades Físicas do Fluido : viscosidade dinâmica do fluido (N.s/m2) : massa específica (densidade) do fluido (kg/m3) c : calor específico do fluido ( J/kg.K ) k : condutividade térmica do fluido (W/m.K ) : coeficiente de expansão volumétrica (1/K )
•
Estado de Movimento do Fluido V : velocidade do fluido (m/s) g: aceleração da gravidade (m/s2) T : diferença de temperatura entre a superfície e o fluido (K )
ℎ ,,,,,,,,Δ…
Logo, o coeficiente de película é uma função das seguintes variáveis:
Uma fórmula que levasse em conta todos estes parâmetros seria extremamente complexa. O problema é, então, contornado dividindose o estudo em casos particulares. Por exemplo, o estudo da convecção pode ser subdividido em convecção forçada ou natural. A convecção forçada pode ser em parede plana ou c ilíndrica. A parede plana pode horizontal ou vertical, etc. Para cada caso particular são obtidas equações empíricas através da técnica de análise dimensional combinada com experiências, onde os coeficientes de película são calculados a partir de equações empíricas obtidas correlacionando-se os dados experimentais com o auxílio da análise dimensional. Os resultados são obtidos na forma de equações dimensionais conforme o regime de escoamento:
, : ℎ . : . . ; : . ℎ: , 3 . . . ∆ •
Para Convecção Forçada a equação é do tipo:
Onde,
•
Onde,
Para Convecção Natural a equação é do tipo:
2
Os exemplos a seguir ilustram algumas equações dimensionais utilizadas em alguns casos específicos: Exemplo 1: Escoamento forçado de um fluido no interior de um tubo de diâmetro D no regime de escoamento turbulento (Re > 3300). Neste caso, usamos a seguinte equação:
0,00,23 .3, . {0,4 Onde,
32
Exemplo 2: Convecção natural sobre placas verticais de altura L e cilindros de grande diâmetro e altura D e quando Gr.Pr < 108. Neste caso, usamos a seguinte equação:
0,56 . , ,
Exercício R.3.1. Em uma placa plana horizontal de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura a temperatura deve ser mantida em 135 °C, por meio de aquecimento elétrico, enquanto que o ar ambiente está a 25 °C. Para estas condições específicas, sabe-se que o número de Grashof é 2,2 x 107 e o número de Prandt é 0,7. Sabendo que a equação empírica, obtida com o auxílio da análise dimensional, que descreve a convecção natural (regime laminar) em uma p laca plana é dada pela equação abaixo:
0,555 . . , ℎ. : comprimento da placa
Calcular o fluxo de calor por transferido por convecção, por ambos lados da placa, para o ar atmosférico, considerando a condutividade térmica do ar igual a 0,026 Kcal/h.m.°C. Resolução: No caso, a dimensão característica (L) é comprimento da placa: L = 0,15 m O coeficiente de película do ar em volta da placa é calculado a partir da equação dimensional
. 0, 5 55 . ℎ0,026×0,15 0,555 ×2,2×10− × 0,7 ⟹ ℎ 6,03 ℎ.. ° ℎ..° ̇ ̇ ℎ19,.86.Δ6, 0 3 × 2 × 0 , 1 0 ×0, 1 5 × 1 3525 ° ℎ. . ° ⁄ℎ O fluxo de calor por convecção é obtido pela equação de Newton:
Exercício R.3.2. Em uma instalação industrial, ar quente a 300 °C flui sobre uma fina placa metálica plana, com velocidade de 36 km/h. Como a placa contém alguns sensores, a mesma deve ser mantida a uma temperatura de 27 °C. Para isto, utiliza-se um sistema de refrigeração composto por tubos sob a placa, por onde circula água de refrigeração. Considerando que a placa é quadrada, com 1,5 m de lado, determine o fluxo de calor a ser extraído pelo sistema de refrigeração para manter a placa na temperatura de 27 °C. Dados/Informações Adicionais para o Exercício: - Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação e da condução. - Para fluxo laminar (Re < 500.000) seguinte corre lação adimensional é apropriada:
0,664 . . 0,0296 . . .
- Para fluxo turbulento (Re > 500.000) seguinte correlação adimensional é apropriada:
- Número de Nulsselt: Onde:
.
h: coeficiente de película W/m2.K), L: largura da placa (m) e k : condutividade térmica do ar (W/m.K)
- Número de Reynolds:
Onde: V : velocidade do fluxo de ar (m/s) e : viscosidade cinemática do ar (m2/s) - Número de Prandt: Pr (função da temperatura da película) - As propriedades do ar e o número de Prandt são tabelados em função temperatura da película. Calculando a temperatura da película (média entre a superfície o fluxo de ar), obtemos, em uma tabela de propriedades do ar, os seguintes dados:
í 2 273002 163,5 °
33
•
Condutividade térmica do ar:
k = 0,0364 W/m.K
•
Viscosidade cinemática do ar:
= 3,13 X 10-5 m2 /s
Número de Prandt: Resolução: V= 36 km/h = 10 m/s L= 1,5 m •
Pr = 0,687 Ar Quente
3,13E-05 m2 /s K= 3,64E-02 W/m.K T ar = 300 °C T chapa = 27 °C Pr = 0,687 Cálculo do número de Reynolds: =
1,5 m
. ,××, 479233,2
. 0, 6 64 . 0,664 .479233,2 . 0,687 405,59 ℎ. ⟹ ℎ . 405,591,×0,5 0364 9,84 . ̇ ̇ 6041, ℎ . .2 9,85 . × . 1,5 ×1,5 . 30027 Portanto, como Re < 500.000, a equação escolhida é:
Com o número de Nulsselt, calculamos o coeficiente de película:
O fluxo de calor transferido por convecção para a placa é também o fluxo de calor que tem que ser extraído pelo sistema de refrigeração:
=
̇ ℎ . .∆ ̇ ∆ ∆ ℎ . . ∆
Como visto anteriormente, a expressão para o fluxo de calor transferido por convecção é dada pela Equação 3-1:
Um fluxo de calor é também uma relação entre um potencial térmico e uma resistência: Equação 3-5
Igualando a Equação 3-1 e a Equação 3-5, obtemos a expressão para a resistência térmica na convecção:
Equação 3-6
.
Note que, pela Equação 3-6, a resistência térmica da convecção diminui à medida que aumenta o coeficiente de película (h). Por exemplo, quando nos colocamos em frente de um ventilador e, por consequência, elevamos o coeficiente de película em relação ao ar ambiente devido à uma maior velocidade do ar em movimento, estamos aumentando o coeficiente de película e reduzindo a resistência da convecção. Como resultado, aumentamos a transferência de calor po r convecção.
Consideremos uma parede plana situada entre dois fluidos a diferentes temperaturas, conforme ilustra a Figura 3-6. Se as temperaturas T1 e T4 dos fluidos são constantes, será estabelecido um fluxo de calor constante através da parede (regime permanente). 34
Um bom exemplo desta condição é o fluxo de calor t ransferido de dentro de um forno de cozinha para o ambiente externo. Neste caso, o calor é transferido por convecção até a face interna da parede plana, atravessa a parede plana do fogão por condução e se dissipa, novamente por convecção, no ar ambiente.
Figu ra 3-6
Utilizando a equação de Newton para a convecção (Equação 3-1) e a equação para o fluxo de calor por condução em uma parede plana (Equação 2-4), podemos obter as seguintes equações para o fluxo de calor transferido pelo forno em cada região específica: Convecção interna: Condução na parede plana: Convecção externa:
̇ ̇ ℎ .... ̇ ℎ . . ℎ̇ ̇. ..̇ ℎ . ̅ ̇ ℎ ̇. ̇.. ℎ ̇ .
Colocando as diferenças de temperatura nas equações acima em evidência e somando membro a membro, obtemos:
̇. . . .
Eliminando as temperaturas T2 e T3 e colocando o fluxo de calor ( ) em evidência, obtemos: Equação 3-7
Substituindo os valores das resistências térmicas em cada parede na Equação 3-7, obtemos o fluxo de calor na condição de convecção, condução e convecção combinadas:
̇. ̇
Portanto, também quando ocorre a ação combinada dos mecanismos de cond ução e convecção, a analogia com a eletricidade continua válida; sendo que a resistência total é igual à soma das resistências que estão em série, não importando se por convecção ou condução. 35
Exercício R.3.3. Um forno industrial tem a configuração de paredes planas, conforme esquema simplificado da figura abaixo. Sendo fornecidas as espessuras e as condutividade dos materiais das duas camadas da parede e os coeficientes de película interno e externo, conforme figura abaixo, calcular: a) o fluxo de calor transferido por unidade de área; b) as temperaturas T 2 , T 3 e T 4.
40100, 0 4 0, 0 1 22 . 0,212 . ℎℎ 3020. . 210 ° 30 °
Resolução: a) Cálculo das resistências térmicas (duas de convecção e d uas de condução) para uma área de 1 m2:
. ⁄,. × 0,0,000182333 . ×,0,0,05000472 . ⁄. × . , × 0,03330,001820,0472 0,05000,132 3 0273 ̇ ∆ 210273 0,132 / 1363,6 ̇ ⟹ 1363,6 210 ⟹ 164,6 ° 0, 0 333 ̇ ⟹ 1363,6 164,0,00182630 ⟹ 162,1 ° ̇ ⟹ 1363,6 0,0500 ⟹ 98,2 ° Cálculo do fluxo de calor:
Obs.: note que para uma diferença de temperatura, os fatores de convecção (273) se cancelam, sendo então desnecessários. b) Calculo da Temperatura T2, T3 e T4:
Exercício R.3.4. (Questão ENADE). Após uma aula de transferência de calor, um estudante de engenharia, cansado de passar frio em seu apartamento, decidiu que iria cobrir todas as paredes internas com uma camada grossa de papel de parede. Para isso, avaliou os dados da figura a seguir
Considerando os valores de condutividade térmica indicados na figura, assim como as espessuras da parede e do papel e os coeficientes estimados de convecção para os ambientes interno e externo, seria correto o estudante chegar à conclusão de que o valor da razão (fluxo de calor sem o papel) / (fluxo de calor com o papel) estaria no intervalo de: 36
A. 1 a 2. B. 2 a 3. C. 3 a 4. D. 4 a 5. E. 5 a 6. Resolução: Cálculo das resistências, considerando os dados da figura e uma área de 1 m2:
. × 0,,20 1,00 . × 0,050, 2,50 . , × . , × 0,202,20500,5 050 5,45 ̇ ∆ 5 0,201,020 ̇ ∆ 02,500,050 4,0 ã ̇̇ 5,4,405 1,36 ⟹ : á 1 2
A = 1 m2
L papel = 1 cm = 0,01 m
L parede = 10 cm = 0,1 m
Cálculo do fluxo de calor, por m2 de parede, sem o papel:
Cálculo do fluxo de calor, por m2 de parede, com o papel:
Portanto, razão (fluxo de calor sem o papel) / (fluxo de calor com o papel) é:
Exercício R.3.5. Um aquecedor elétrico de água de 800 W de potência, com resistência elétrica tubular de 0,5 centímetros de diâmetro e 50 cm de comprimento (zona quente), é colocado um recipiente contendo 60 kg de água inicialmente a 20 °C. A temperatura da superfície externa da resistência durante o aquecimento pode ser considerada em 120 °C. Dado calor específico da água é 4,18 KJ/Kg.K e considerando que as perdas de calor pelas superfícies externas do recipiente são desprezíveis, calcule: a) quanto tempo vai demorar em este aquecedor para aumentar a temperatura da água até 80 °C. b) os coeficientes de película no início e no final do processo de aquecimento.
∆. . 60 ×15048 . ×8020 15.048.000 ⁄ 15.048.000 ℘̇ ̇ 800 800 ⟹ ̇ 800 ⁄ 18.810 5,22ℎ ̇ ℎ ..∆
a) a quantidade total de calor necessária para aquecer a água é igual à variação da energia interna do volume de água:
Considerando a potência gerada no aquecedor é igual ao fluxo de calor transferido para água, temos:
b) desprezando a transferência de calor por radiação, temos pela lei de Newton, que a taxa de transferência de calor por convecção da superfície da resistência para a água é:
2 0,25 0,25 0,0025 50 0,5 → 2...2××0,0025 ×0,50,00785 A área da resistência que dissipa calor para a água é:
37
̇ ℎ . . ( á ) ⟹ ℎ . (̇ á ) 0,00785 800 ×12020 1019,1 . ̇ ℎ . . ( á ) ⟹ ℎ . ( ̇ á ) 0,00785 800 ×12080 2547,8 . No início a temperatura a temperatura da água é 20 °C e, portanto, o coeficiente de película é:
No final a temperatura a temperatura da água é 80 °C e, portanto, o coeficiente de película é:
Exercício R.3.6. (Questão ENADE). Uma operação importante na indústria de cerâmica é o tratamento térmico que deve ocorrer em fornos a altas temperaturas. Para avaliar e supervisionar de maneira eficiente a operação desses fornos é importante conhecer como acontece a transferência de calor nesses equipamentos, em suas diferentes formas, como a condução e a convecção. Suponha que uma fábrica de materiais cerâmicos tem como parte de seu processo um forno retangular que é isolado do meio externo por 2 camadas, que formam a sua parede. A primeira camada, de espessura L1, está em contato com o material que está dentro do forno e é constituída de material refratário especial (k = 0,50 W/m.K). A segunda camada é constituída de um material isolante (k = 0,1 W/m.K) e tem espessura L2. A temperatura na face interna do forno (Tint) é igual a 925 °C e a temperatura ambiente (Tamb) é igual a 25 °C. O fluxo de calor através da parede do forno é constante e igual a 1000 W/m2 e a espessura total da parede é de 0,30 m. São dadas as seguintes expressões matemáticas:
em que: •
k é a condutividade térmica;
•
h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (h = 10 W/m2.K para o ar);
R é a resistência a transferência de calor; Com base na situação-problema acima e considerando que a á rea A é igual a 1 m2, faça o que se pede nos itens a seguir. a) esboce um desenho que represente o circuito térmico equivalente, ou seja, o circuito formado pela resistência à transferência de calor entre a parte interna do forno e o meio externo, usando analogia com resistências elétricas. b) determine a espessura de cada uma das camadas que formam a parede do forno. c) determine a temperatura da superfície externa das camadas. Resolução: a) O circuito térmico equivalente é da forma: •
− ̇ − 0,9 ℎ1. 101×1 0,1 . 0,5 ×1 2. . 0,1 ×1 10. ⟹ 0,9 0,1 2. 10. 0,3 ⟹ 0,3 0,9 0,1 2. 10.0,3 ⟹ 0,275 0,025 b) A resistência térmica total pode ser calculada:
As resistências individuais são dadas por:
A resistência total é a soma das individuais: A outra relação envolvendo
e
surge da espessura total da parede do forno:
Resolvendo o sistema formado por estas duas equações, obtemos:
c) a temperatura externa pode ser obtida no último trecho do circuito:
38
̇ ⟹ 1000 0,251 ⟹ 125 ° Exercício R.3.7. Em uma indústria, um tanque de formato cúbico, com 2 metros de aresta, é utilizado para armazenar um produto químico a 210 °C, com coeficiente de película interno de 80 W/m 2.K. A parede do tanque é constituída de três camadas: uma camada interna à base de carbono (k = 22 W/m.K) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário (k = 0,212 W/m.K) e um invólucro de aço (k = 60 W/m.K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 °C. Considerando que a temperatura ambiente é 30 °C, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine: a) a espessura do refratário para que a temperatura na superfície externa seja 60°C; b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por uma de isolante (k = 0,0289 W/m.K) de mesma espessura.
a) a área da parede corresponde a área de um cubo de 2 m de aresta:
4010 0, 0 4 0, 0 1 220,212. ′ 0,0289 . . ℎ 8060 . ℎ 20 210°. 60 °. 30 °
A = 6 x (2 x 2) = 24 m2
̇ ℎ1. 6030 120.24 14400 ̇ ℎ1. . . . ⟹ 14400 80.124 22×24 0,04 21060 0, 0 1 0, 2 12×24 60×24 0,05 50 21030 ̇ ℎ1. . . . ℎ1. 80.124 22×24 0,04 0,0289×24 0,05 60×24 0,01 20.124 2407,2 ̇ 2407,2 ℎ 1. 20. 30124 ⟹ 35 ° O fluxo de calor poder ser calculado na película externa:
De posse do fluxo, e considerando as resistências térmicas entre 210 e 60 °C podemos fazer:
b) o novo fluxo de calor, menor devido ao uso do isolante de baixa condutividade (k = 0,0289 W/m.K), é obtido considerando as duas únicas temperaturas que não variam:
Novamente, na película externa, podemos obter a temperatura da superfície do aço:
Exercício R.3.8. Um chip de silício de formato quadrado, com 2 cm de lado, est á engastado em substrato de tal forma que a face inferior e os lados estão termicamente isolados, enquanto que a face superior está exposta a um fluxo de ar a 25 °C, proveniente de uma ventoinha de alta velocidade, modo que o coeficiente de película e 250 W/m2.K. Considerando que, nestas condições, a temperatura de trabalho do chip e 65°C, calcule: a) o fluxo de calor transferido para o ar. b) considerando que a resistência elétrica dos circuitos internos do chip seja de 0,85 , determine a corrente elétrica necessária no chip. 39
c) a temperatura do chip caso o mesmo continue dissipando a mesma potência e a ventoinha seja substituída por outra da baixa velocidade, de modo que o coeficiente de película seja reduzido para 100 W/m2.k. Ar
L
Chip
a) O fluxo de calor transferido por convecção para o pode ser obtido assim:
q= h Achip T chip − T ar As temperaturas e o coeficiente de película são dados. A área pode ser calculada:
T chip = 65 o C = 338 K
T ar = 25 o C = 298 K
h = 250 W m 2 . K Achip = 0,02 x 0,02 = 0,0004 Portanto, o fluxo de calor pode ser calculado:
q= 250 0,0004 (338 − 298) = 4 W b) A corrente elétrica pode ser calculada assim:
P = R i 2
4
=
0,85 i 2
i = 2,17 A
c) Após a troca da ventoinha, como o coeficiente de película diminui, o chip terá sua temperatura elevada de modo a continuar a dissipar a mesma potência:
h = 100 W m 2 . K
− T ar ) T chip = T ar + q= h Achip (T chip
q 4 = 298 + T chip = 398 398 K = 125 125 o C h Achip 100 0,0004
Exercício R.3.9. Em um equipamento eletrônico um delgado chip de silício de resistência térmica desprezível tem formato de um quadrado com 5 cm de lado. O chip é colado a uma base de metálica (k = 40 W/m.K) de 20 mm de espessura por uma cola com resistência térmica conhecida e igual a 0,721 K/W. A face superior do chip e a face inferior da base metálica estão expostas a um fluxo de ar na temperatura de 25 °C e com coeficiente de película de 250 W/m2.K. A temperatura do chip, nestas condições é 77 °C. Determine:
a) o fluxo de calor dissipado pela face superior e pela face inferior do chip; b) o fluxo calor total gerado no chip; c) calcule a temperatura do chip caso a base de alumínio seja trocada por uma base feita de material isolante, de modo que o calor total gerado no chip seja dissipado apenas pela face superior do chip. Resolução q sup
ℎ 10040⁄⁄.. 20 0,02 0,25 °721 ⁄ 77 °
5 0,05 → 0,0,00250025
R Ar
q
Circuito Elétrico Equivalente
Rcola q inf R Alum ínio
O chip tem 5 cm de lado, portanto a área de face é:
Rar
a) conforme circuito elétrico equivalente, no fluxo de calor pela face superior consideramos apenas a resistência da convecção: 40
52 ̇ ℎ1. 2507725 1×0,0025 1, 6 ⁄ 32,32,5 .40 ×0,0,020025 7725 0,2 ⁄ ̇ 0,7210,21,6 20,20,6 ̇ ̇ ̇ 32,520,653,1 ̇ ℎ1. ⟹ 53,1 250 ×0,1025025 ⟹ 110110 °
para calcular o fluxo de calor dissipado pela face inferior do chip consideramos três resistências: a cola, a base metálica e a da convecção:
b) o fluxo total gerado no chip é a soma das duas parcelas:
c) se a base for isolante, todo o calor gerado será dissipado pela face superior por convecção:
Exercício R.3.10. Um cabo elétrico de 10 mm de diâmetro tem resistência elétrica por unidade de comprimento de 0,001 Ω/m (resistência elétrica por metro de comprimento do cabo). O cabo é reves tido por uma camada de material plástico de 1 mm de espess ura e condutividade térmica 0,20 W/m.K. O cabo vai ser utilizado em um ambiente cujo ar está na temperatura de 27 °C, com coeficiente de película de 22 W/m2.K. Para as condições de regime permanente, determine: a) a temperatura da interface cabo/plástico quando uma corrente de 47 A passa pelo cabo. b) se o plástico usado suporta no máximo 150 °C sem se derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo. c) para uma situação em que a aplicação da camada de material plástico não foi bem executada, resultou na f ormação de uma resistê ncia de contato significativa entre o plástico e o cabo de inox, da ordem de 0,40 K/W por metro de comprimento do cabo. Se o p lástico usado suporta no máximo 150 °C sem se derreter, determine a máxima corrente elétrica que pode passar pelo cabo neste caso.
105251 0,0605 0,006 ℎ 222 272 °⁄. 1 1 0,20⟹⁄. 0,001 Ω 47 . 0,0,001001 . 4747 2,2,2121 ln0,0,02,00×2×1 060,⁄ 005 0,1451 / ℎ . 2. 1. . 22×22 × 2×× 12 ×× × 1 .ln2.⁄.1,1,2057 2057 // 272057 ⟹ 30 ° ̇ ⟹ 2,21 0,14511, 150272057 91,06 ̇ 0,14511, ℘ . → 91,06 0,0,001 × ⟹ 301,7 ̇ 0,400,15027 14511,2057 70,25 ℘ . → 70,25 0,0,001 × ⟹ 265,1 . q
Plástico
r2
r1
Cabo
a) a potência gerada para uma corrente de 47 A é:
A potência gerada no cabo é dissipada para o ambiente na forma de calor. Entre o cabo e o ambiente existem duas resistências:
Cálculo da temperatura no cabo quando dissipa 2,21 W:
b) Cálculo do calor transferido na temperatura máxima do plástico (150 °C):
Determinação da corrente máxima:
c) Cálculo do calor transferido na temperatura máxima (150 °C) cons iderando a resistência de contato.
Determinação da corrente máxima:
41
Exercício R.3.11. Considere uma geladeira de dimensões são 1,8 m X 1,2 m X 0,8 m. As paredes da geladeira tem de 3 cm de espessura e são compostas de três camadas em série: 2 mm de aço (k = 40 W/m.K) do lado externo, uma camada intermediária de 19 mm de material isolante (k = 0,075 W/m.K) e 9 mm de plástico (k = 5,03 W/m.K) do lado interno. Verificou-se que, em média, o motor da geladeira se mantém ligado durante 20 min. a cada hora (1/3 do tempo). Se a temperatura média no interior da geladeira é de 5°C, com coeficiente de película 11 W/m 2.K e no exterior da geladeira é 25°C, com coeficiente de película 16 W/m2.K, determine: a) o fluxo de calor transferido para o interior da geladeira (ou removido do interior da geladeira); b) o custo mensal de funcionamento da geladeira para uma relação COP (fluxo de calor removido do interior da geladeira/potência consumida em funcionamento) de 1,5. Considere o custo u nitário da eletricidade igual a R$ 0,28/kWh.
ç 52° 0,0,002002 25 ° ℎ19 111 1 0,0,⁄019019. ℎ161 96 ⁄0. ,009 ̇ ç 40 ⁄. 2 × 1,1,8×1, 20,0752×⁄1,1,.8×0,8 2 ×1,1,2×0,5,803 9,9,.121⁄2 ̇ ç ℎ1. çç. . . ℎ1. ̇ 16 ×9,1 12 400,×9,00212 0,0750,255 019×9,12 5,00,3 0×9,09 12 1,4 ×9,1 12 446 ℘̇ ⟹ ℘ 4461,5 298 0,298 ℘ ⟹ ℘ . 0,298 × 240 ℎ 71,43 ℎ 71,43 ℎ × $ℎ0,28 $ 20,00
a) no cálculo do fluxo transferido para o interior da geladeira, devem ser consideradas 5 resistências: , Área da geladeira:
b) O fluxo de calor a ser removido é igual ao fluxo de calor transferido para o interior da geladeira e a relação COP (coeficiente de performance) é definida como a relação entre fluxo de calor removido do interior da geladeira pela potência consumida pelo sistema de refrigeração em funcionamento e potência é a relação entre ene rgia consumida e o tempo. Para COP igual 1,5, temos:
Para um mês de 30 dias, como a geladeira funciona 1/3 do tempo, obtemos um período de 10 dias (240 horas):
Para um custo unitário da eletricidade igual a R$ 0,28/kWh. 0 ,28/kWh.
Exercício R.3.12. Um aquecedor elétrico é usando para manter a água presente em um tanque cilíndrico de 1 metro de diâmetro e 1 metro de altura na temperatura constante de 80 °C. As paredes do tanque são feitas de aço e tem resistência térmica desprezível. Na face interna do tanque o coeficiente de película é 55 W/m2.K e na face externa o coeficiente de película é 10 W/m2.K. Considerando a transferência de calor apenas pela área lateral do tanque e que a temperatura do ambiente externo é 20°C, determine: a) a potência necessária no aquecedor elétrico para manter a temperatura da água constante. b) o gasto mensal com energia elétrica considerando que o aquecedor opera continuamente. O custo da energia elétrica é R$ 0,36 por kWh. c) a nova potência necessária no aquecedor elétrico para manter a temperatura da água constante se tanque for revestido com uma camada de 10 mm de um material isolante (k = 0,035 W/m.K). d) a economia mensal (R$/mês) após o isolamento do tanque. 42
ℎ 8055 °⁄. 20 °ℎ 10 ⁄. 22..120,. 25 ××0,15 ×13, 1416 1 1 ℎ1 . 55×31,18020 0, 0 0579 0, 0 318 416 ℎ . 10×3,1416 ̇ 0,005790,0318 1595 ℘ , 1 ê720 ℎ $ 1148, ℘4ℎ .× 1595 ×720ℎ1. 1 48. 3 73 ℎ1148, 4 ℎ $ℎ0,36 $ 413,14 . 0,5 ln⁄10 0, 0 1 ⟹ 0, 5 0, 0 10, 5 1 0, 0 35 0,510,⁄ 5 0,0901 / . 2 . . 0, 0ln35×2××1 ′ 2.1 .. 21 ××0,0,51×13, 2 044 0 312 ℎ . 10× 3 , 2 044 ̇ ′ 0,005790,802009010,0312 472 ℘′ ′′339, 8℘′ℎ× . $ 4720,36 ×720ℎ339840 ℎ339, 8 ℎ ℎ $ 122,33 $ 413,14$ 122,33$ 290,81
a) para manter a temperatura da água contante a potencia do aquecedor deve ser igual ao fluxo de calor tranferido pelas paredes do tanque:
b) dado o tempo de operação e o custo da energia, temos:
c) com o isolamento do tanque é introduzida uma resistência de condução:
A área externa do tanque aumenta com o isolamento, alterando a resistência da convecção na pe lícula externa:
Como o tempo de operação e o custo da energia são os mesmos, temos:
d) A economia é a diferença de custos:
Exercício P.3.1. Um forno retangular de uma fábrica de cerâmica está isolado com duas camadas, se ndo a primeira, que está em contato com a carga do forno, de refratário especial (k= 0,6 kcal/h.m.°C) e a outra de um bom isolante (k = 0,09 kcal/h.m.°C). Sabe-se que a temperatura da face interna do forno é 900 °C e que a temperatura do ar ambiente é 20 °C (h = 20 kcal/h.m2.°C). O fluxo de calor através da parede do forno, de 40 cm de espessura, é igual a 800 kcal/h por m2. Pede-se: a) a espessura de cada camada que forma a parede do forno b) a temperatura da interface das camadas c) se for especificada uma temperatura máxima de 30 °C na parede externa do forno, qual a nova espessura isolante necessária?
43
Exercício P.3.2. Em uma fábrica, uma grande folha de plástico (k=1,94 kcal/h.m.°C), com 12 mm de espessura, deve ser colada a uma folha de cortiça (k=0,037 kcal/h.m.°C) de 25 mm de espessura. Para obter ligadura, a cola deve ser mantida a 50 °C por um considerável período de tempo. Isto se consegue aplicando uniformemente um fluxo de calor sobre a superfície do plástico. O lado de cortiça, exposto ao ar ambiente a 25 °C, tem um coeficiente de película de 10 Kcal/h.m2. °C. Desprezando a resistência térmica da cola, calcule: a) o fluxo de calor por m2 aplicado para se obter a temperatura na interface com cola; b) as temperaturas nas superfícies externas do plástico e da cortiça.
Exercício P.3.3. Um chip de silício de resistência térmica desprezível e uma base de alumínio de 8 mm de espessura (k = 238 W/m.K) são separados por uma cola de epóxi de resistência térmica 0,9 x 10-4 K/W. A face superior do chip e a face inferior da base de alumínio estão expostas ao ar na temperatura de 298 K e com coeficiente de película de 100 W/m2.K. O chip dissipa calor na razão de 104 W por m2 de superfície (inferior e superior) e sua temperatura deve ser mantida abaixo de 358 K (desprezar a transferência de calor pelas áreas laterais). a) responda se a temperatura do chip ficará abaixo da máxima temperatura permitida. b) calcule qual deveria ser a resistência da cola para que o limite de temperatura do chip seja ultrapassado em 1 K.
Exercício P.3.4. O interior de um refrigerador, cujas dimensões são 0,5 X 0,5 m de área da base e 1,25 m de altura, deve ser mantido a 4 °C. As paredes do refrigerador são construídas de duas chapas de aço (k= 36 kcal/h.m.°C) de 3 mm de espessura, com 65 mm de material isolante (k=0,213 kcal/h.m.°C) entre elas. O coeficiente de película da superfície interna é 10 kcal/h.m2.°C, enquanto que na superfície externa varia de 8 a 12,5 kcal/h.m2.°C. Calcular: a) a potência elétrica (em HP) do motor do refrigerador para que o fluxo de calor removido do interior da geladeira mantenha a temperatura especificada, numa cozinha cuja temperatura pode variar de 20 a 30 °C (Dados: COP = 2,5 e 1 HP = 641,2 Kcal/h); b) as temperaturas das superfícies interna e externa da parede.
Exercício P.3.5. Uma casca esférica (k = 1,65 kcal/h.m.°C) de diâmetro externo 1,2 m e interno 1,1 m é aquecida internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90 °C. Quando água de chuva a 25 °C flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na resistência é 140 KW. Quando ar atmosférico a 25 °C, flui pelo lado externo do reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW. a) calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e vento. (Dado: 1 KW = 860 kcal/h). b) calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos.
Exercício P.3.6. Ar na temperatura de 300 °C, fluí com velocidade de 10 m/s sobre uma placa plana de comprimento 0,5 m e 0,25 m de largura. Determine a taxa de transferência de calor necessária para manter a superfície da placa na temperatura de 27 °C. Dados: - Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação. - Para fluxo laminar ( ) seguinte correlação adimensional é apropriada para este tipo de escoamento: , onde:
Nu L =
T2), conforme Figura 4-4.
Figu ra 4-4
:: ççãã í 1 é í 2 í 2 é í 1
Em relação às superfícies A1 e A2 temos os seguintes fatores forma:
̇→ . . . . ̇→ . . . . ̇ ̇→ ̇→ . . . . ̇ 0 0 . . . . . .
Usando a definição de Poder de Emissão, a energia radiante que deixa A1 e alcança A2 pode ser calculada assim:
.
A energia radiante que deixa A2 e alcança A1 pode ser calculada assim:
.
A troca líquida de energia entre as duas superfícies será: Equação 4-3
Consideremos agora a situação em que as duas superfícies estão na mesma temperatura. Neste caso, o poder de emissão das duas superfícies negras é o mesmo (E n1 = E n2) e não pode haver troca líquida de energia ( ). Então a Equação 4-3 fica assim:
Como E n1 = E n2, obtemos: Equação 4-4
Como tanto a área e o fator forma não dependem da temperatura, a relação dada pela Equação 4-4 é válida para qualquer temperatura. Substituindo a Equação 4-4 na Equação 4-3, obtemos: 49
̇̇ . . . . . . . ̇ . . . Pela lei de Stefan-Boltzmann, temos que:
Portanto:
̇ . .
Obtemos assim a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas:
Equação 4-5
O Fator Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas emissividades (). Nos livros e manuais, encontramos para diversos casos, tabelas e ábacos para o cálculo do fator forma para cada situação (placas paralelas, discos paralelos, retângulos perpendiculares, quadrados, círculos, etc.). Exemplos de Fator Forma para algumas configurações geométricas são mostrados a seguir: •
Equação 4-6 •
+−
Superfícies (1) e (2) cinzentas, grandes e paralelas:
Equação 4-7 •
Superfícies (1) e (2) negras, paralelas e de grandes dimensões:
Superfície cinzenta (1) muito menor que superfície cinzenta (2):
Equação 4-8
A configuração superfície cinzenta (1) muito menor que superfície cinzenta (2) (Equação 4-8) é bastante comum e corresponde a situações como um aquecedor em um grande recinto, uma resistência elétrica em uma estufa, uma tubulação aquecida em um galpão, etc.
Suponhamos, como exemplo, uma parede plana qualquer submetida à uma diferença de temperatura. Na face interna a temperatura é T1 e na face externa tem-se uma temperatura T2 maior que a temperatura do ar ambiente T3, como mostra a Figura 4-5. Neste caso, através da parede ocorre uma transferência de calor por condução até a superfície externa. A superfície transfere calor por convecção para o ambiente. Porém existe também uma parcela de transfe rência de calor por radiação da superfície para as vizinhanças.
Figu ra 4-5
̇çã ̇çã ̇çã
Neste caso, é possível estabelecer o seguinte balanço:
Equação 4-9
50
Exercício R.4.1. Duas placas muito grandes de metal, separadas de 2" uma da outra, são aquecidas a 300 °C e 100 °C, respectivamente. As emissividades são 0,95 e 0,3 respectivamente. Calcular a taxas de transferência de calor por radiação através do par de placas em unidades do sistema métrico.
300 ° 573 100 ° 373 0,95 0,30
1 11 1 0,195 10,130 1 0,295
Para o cálculo do fator forma utilizaremos a Equação 4-7 (duas superfícies cinzentas grandes e paralelas):
̇ . . 4,88× 10− ℎ. . ×1 ×0,295 ×573 373 1273,2 ℎ / Como T1 é maior que T2, existe um fluxo de calor líquido de (1) para (2). Para uma área unitária, temos:
Exercício R.4.2. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93 °C, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21 °C. O ar no compartimento está a 27 °C e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m2.°C. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se: a) o duto é de estanho (= 0,1) b) o duto é pintado com laca branca (= 0,9)
9327°°366 0,211°ℎ5294 ⁄ℎ.. ° 22 → 11 0,11 1
a) para um comprimento unitário do duto de estanho (sem pintura), temos: = 0,1 Como o tubo atravessa um grande compartimento, ou seja, a superfície do tubo é muito menor que a superfície do compartimento, o fator forma é calculado através da Equação 4-8, assim:
0,1
̇̇ 4,8. 8× . 10 −( )×.2××, 2...11×1 . ( ×0,) 1 ×366 294 35 ⁄ℎ . ℎ. ×9 327° 228, 1 ⁄ℎ ̇̇ℎ̇ . .̇ 35228, 5 ℎ.1263, 2 ××0, 1 1×1 . ° ×1 ⁄ℎ ̇ 4,88×0,109− ×2 ××0, 1 1×1 ×0,9 ×366 294 315 ⁄ℎ ℎ. . ̇ ̇ ̇ 315228,1 543,1 ⁄ℎ o fluxo de calor é composto de duas parcelas (convecção e radiação):
b) quando o tubo é pintado com laca branca (= 0,9) apenas a transferência de calor por radiação é afetada:
51
Exercício R.4.3. Um dispositivo eletrônico, que pode ser considerado como um cilindro de altura 8 mm e diâmetro 6 mm, é montado sobre uma placa de circuito. O dispositivo é resfriado com ar fluindo a 25 °C e com coeficiente de película 30 W/m2.K. Desconsiderando qualquer transferência de calor para a base e sabendo que a temperatura na superfície do dispositivo é 80 °C, calcule: a) o fluxo de calor dissipado por convecção; b) o fluxo de calor dissipado por radiação, considerando que a emissividade da superfície do dispositivo é 0,95 e a temperatura das paredes vizinhas é 22 °C; c) a corrente elétrica no dispositivo, considerando a resistência elétrica interna igual a 0,44 .
6 80 °→ 30, 25 °003 228° 0, ℎ30 008⁄. 0,95 2...2 × ×0,003×0,0081,508×10− . ×0,003
0,4 cm
− 2, 8 27×10 1,508×10− 2,827×10− 1,791×10− 1 ℎ. 1 30 8⁄025 186, 1 47 . × 1,791×10− ̇ 186,147 0,295 ̇̇ 5,6.7×ℎ10 . ε8. (4ℎ ×41,79×10) 4 2 ×0,95 × 802734 222734 4 0,0767 2. 4 ℘℘ ̇ . ̇ 0,⟹2980,0,30720, 7670,44372× ⟹ 0,92 a) O fluxo de calor transferido por convecção pode ser obtido assim:
Dipositivo Eletrônico
0,6 cm
Ar, 25 °C
b) O fluxo de calor transferido por radiação pode ser obtido considerando que a área do chip é pequena perto das paredes vizinhas:
c) A potência gerada no dispositivo é igual ao calor transferido por convecção e rad iação:
Exercício R.4.4. Em uma instalação industrial, uma tubulação de 20 m de comprimento, termicamente isolada, atravessa um grande galpão em linha reta conduzindo água quente. O tubo, que tem diâmetro externo d e 8” (oito polegadas), é feito de aço de alta condutividade e tem as paredes bem finas. O isolamento d o tubo é feito com 1” (uma polegada) de um isolante à base de sílica (k = 0,095 W/m.K). A temperatura da superfície externa da tubulação, na face externa do isolante, é igual a 30 °C e a emissividade da superfície do isolante é 0,68. Considerando que dentro do galpão a temperatura do ar ambiente é igual a 20 °C, com coeficiente de película de 16 W/m2.K e que as paredes do galpão estão a 17 °C, determine: a) a transferência de calor da tubulação considerando apenas a radiação; b) a transferência de calor da tubulação considerando apenas a convecção; c) considerando a transferência de calor total, obtida através dos itens anteriores, calcule a temperatura da água quente no interior do tubo considerando o coeficiente de película interno igual a 1 58,5 W/m2.K
958/2"° 4" 0,301016°m r2 204"2° 5"170,127° 20 . 0,095 ⁄. 0,68 ℎ 2.16.⁄.2××0, 1 018×2012, 7 7 2... 2××0,127×2015,96 ̇ . . ε . ( )5,67× 10− ×15,96 ×0,68 ×30273 17273 834,43 ̇ ℎ. . 16×15,96×30202553,5 a) fluxo de calor por radiação:
b) fluxo de calor por convecção:
52
̇ ̇ ̇ 834,432553,3 3387,9 0, 1 27 l n l n 1 1 0, 1 016 ℎ . 158,5×12,77 0,000494 30 .2.. 0,095 . 2. .20 0,01869 ̇ → 3387,9 0,0004940,01869 ⟹ 95 ° c) O fluxo de calor total transferido a partir da água quente é a soma das parcelas:
Devido o tubo aço ter alta condutividade e paredes bem finas, a sua resistência térmica pode ser desprezada.
Exercício P.4.1. Duas superfícies planas negras e de grandes dimensões são mantidas a 200 °C e 300 °C. Determine: a) determine o fluxo líquido de calor entre as placas, por unidade de área; b) repita para o caso em as temperaturas de ambas placas são reduzidas em 100oC e calcule a percentagem de redução da transferência de calor.
Exercício P.4.2. Repetir o exercício P.4.1 (itens a e b) considerando que as superfícies são cinzentas com emissividades 0,73 e 0,22.
Exercício P.4.3. Considere uma sala de aula com 30 alunos. A temperatura ambiente na sala é 24 °C e o coeficiente de película interno é 12 W/m2.K. Considerando que a área média de uma pessoa é 1,6 m2 e que a temperatura média e a emissividade média da superfície de uma pessoa são 30 °C e 0,75, respectivamente, calcule (em W e Btu/h) a carga t érmica resultante da presença dos alunos na sala. Dados: Temperatura da face interna das paredes igual a 26 °C e 1 W = 3,41 Btu/h
Exercício P.4.4. Os gases quentes do interior de uma fornalha são separados do ar ambiente a 25 °C (h = 17,2 Kcal/h.m 2.°C) por uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os tijolos têm uma condutividade térmica de 1,0 kcal/h.m.°C e uma emissividade de 0,8. No regime permanente mediu-se a temperatura da superfície externa da parede da fornalha como sendo 100 °C. Considerando que a fornalha está em um grande compartimento cuja temperatura da superfície interna é igual a temperatura ambiente, calcule a temperatura da superfície interna da parede da fornalha
Exercício P.4.5. Um amplo recinto de 34 ft de comprimento é atravessado por uma tubulação de ferro oxidado (= 0,71) de 9,5" de diâmetro externo. Se a temperatura superficial do tubo é 680 °C e a temperatura das paredes do recinto é 80 °C. Determinar: a) a perda de energia radiante para o recinto; b) a redução da perda quando se utiliza um tubo de alumínio oxidado (= 0,08).
Exercício P.4.6. Em uma indústria, vapor d'água saturado a 255 °C escoa por um tubo de parede fina de diâmetro externo igual a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo recinto de 10 m de comprimento e cujas paredes estão à mesma temperatura de 25 °C do ambiente e com coeficiente de película de 5 kcal/h.m2.°C). Deseja-se pintar a superfície externa do tubo de maneira que ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5% de sua massa não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas emissividades são: tinta A: A = 0,99; tinta B: B = 0,86 e tinta C: C = 0,65. Sabendo que o calor latente de vaporização nestas condições é 404 Kcal/Kg e que as resistências de convecção interna e condução no tubo são desprezíveis, determinar: a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2 kg/h b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura c) a vazão de vapor se utilizarmos a tinta A
53
5. ALETAS
Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferência de calor consideremos um exemplo prático. Em um processador (CPU) de computador o principal mecanismo de dissipação de calor é a convecção para o ar. Devido à contínua elevação da capacidade de processamento, a taxa de geração de calor também aumenta. A taxa de dissipação de calor por convecção a partir da superfície da CPU, em uma temperatura T S, para o ar circundante, em uma temperatura T , pode calculada conforme a Equação 5-1.
̇ ↑ ↓ ↓ ↑ . ↑ { ↑ ⟹↑ ⟹çãçãí
Equação 5-1
Quando as temperaturas TS e T são fixadas pelas condições de projeto e/ou ambientais, a taxa de transferência de calor pode ser maximizada pela minimização da resistência térmica da convecção. Neste caso, existem duas formas de reduzir a resistência térmica da convecção, que são aumentar o coeficiente de película h e aumentar a área A da superfície de troca de calor da CPU. Aumentar o coeficiente h pode exigir a instalação de um ventilador, ou a substituição do existente por um maior. A umentar a área A exige a anexação à superfície da CPU de uma base com superfícies estendidas, chamada de aletas, feitas de materiais altamente condutores tal como o alumínio. A Figura 5-1 ilustra a instalação de um “cooler” de CP U, que é um conjunto de aletas e ventilador.
Figu ra 5-1
É interessante observar que a base das aletas deve ficar bem ajustada sobre a superfície da CPU mas sempre existem algumas imperfeições, não notadas a olho nu, que ficam preenchidas de ar estagnado que age como um isolante térmico. Neste caso, é comum a utilização de uma “pasta térmica” entre a CPU e a base das aletas. A pasta térmica é um composto químico pastoso elaborado com elementos que conferem elevada condutividade térmica.
Consideremos uma superfície base, na temperatura T S, sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal uniforme, como mostra a Figura 5-2, transferindo calor por convecção para um fluido ambiente. O fluido está na temperaturaT , menor que T S, e o coeficiente de película no local é h. 54
Figu ra 5-2
̇
̇
O fluxo de calor total dissipado através da superfície com as aletas é igual a soma do fluxo ( ) transferido pela área exposta das aletas, denominada A A, mais o fluxo ( ) transferido pela área exposta da superfície base, denominada AR.
̇ ̇ ̇̇
̇ ℎ . . ̇ ̇ ℎ . . ̅ ̇ ̇ ̇ ℎ . . ∞ ℎ . . ̅ ∞ ̇ . . ∞ . . . ∞ ̇ ℎ . . . A parcela (
) transferida pela área restante da base, que está na temperatura TS, pode ser calculada pela Lei de Newton (Equação 3-1):
Aplicando o mesmo raciocínio para parcela ( ) transferida pela área das aletas, observamos que a temperatura das aletas não é a mesma da base pois à medida que a aleta perde calor, a sua temperatura diminui. Portanto, usaremos uma temperatura média das aletas ( ), que obviamente é menor que TS, no cálculo do fluxo de calor dissipado pela área A A. Assim, o fluxo de calor total dissipado será:
Dado a dificuldade de se calcular a temperatura média das aletas (
), será utilizada a própria temperatura da base (T S) porém com a
introdução de um fator de correção denominado eficiência das aletas (), que é um número menor que 1,0, que multiplica o potencial térmico da base: Equação 5-2
A Equação 5-2 pode ser simplificada, colocando o T e o h em evidência:
Equação 5-3
̅
O problema encontrado com relação à temperatura média das aletas foi contornado utilizado a eficiência das aletas (). Para melhor entender o conceito da eficiência analisemos as distribuições de temperatura na Figura 5-3 para duas aletas (a) e (b) de diferentes características. Observamos na Figura 5-4 que, à medida que afastamos da base, a temperatura das aletas diminui. A taxa de variação da temperatura vai depender de diversas características das aletas e do fluido ambiente, tais como a condutividade térmica e o coeficiente de película. Obviamente, a aleta (a) na Figura 5-3 dissipa mais calor que a aleta (b), pois mantém uma maior diferença de temperatura em relação ao fluido ambiente (T) ao longo da aleta. Portanto, a aleta (a) é mais eficiente que a aleta (b). No caso idealizado, com uma condutividade térmica infinita para o material da aleta (aleta ideal ), a temperatura da aleta seria a mesma da base ao longo de toda a aleta, conforme ilustra também a Figura 5-3.
55
Figu ra 5-3
A partir destes conceitos, é definida assim a Eficiência da Aleta ():
ê ê Numericamente, temos para a Eficiência da Aleta ():
.. .. −− ℎℎ .. .. ̅ ̅ ⟹ ̅ . . . : .. . . ℎ . . . Equação 5-4
Assim, chegamos à expressão utilizada para a correção da temperatu ra média da aleta:
A expressão matemática para a eficiência da aleta, mostrada na Equação 5-5, pode obtida por meio de um balanço diferencial de energia em uma aleta, conforme demostrado no Apêndice A:
A tangente hiperbólica, além de facilmente obtida em qualquer calculadora científica, também pode s er calculada da seguinte forma:
A Equação 5-5 mostra que a eficiência de uma aleta é uma função do produto "m.l ". Observando uma tabela de funções hiperbólicas nota-se que a medida que o produto "m.l " aumenta a eficiência da aleta diminui, pois, o numerador aumenta em menor proporção. Portanto, quanto maior o coeficiente da aleta “m” e/ou quanto maior a altura “l ”, menor é a eficiência. Em compensação quanto maior a altura, maior é a área de transferência de calor da aleta (AA).
Superfícies aletadas são comumente usados na prática para melhorar a transferência de calor e geralmente aumentam várias vezes a taxa de transferência de calor a partir de uma superfície. O radiador de automóvel é um exemplo de uma superfície com aletas. Neste equipamento, finas chapas de metal, densamente espaçadas, são afixadas na superfície dos tubos de água quente, proveniente da refrigeração do motor, para aumentar a área superficial e, assim, aumentar várias vezes taxa de transferência de calor por convecção a partir dos tubos para o ar. Existe uma grande variedade de modelos de aletas disponíveis no mercado, e que parece ser limitado apenas pela imaginação. A seguir veremos alguns dos tipos mais encontrados industrialmente. 56
Aletas de Seção Retangular
Figu ra 5-4
Na Figura 5-4 observamos uma aleta de seção retangular assentada em uma superfície plana. Considerando que a aleta tem largurab e espessura e (com espessura muito pequena em relação à largura), o coeficiente da aleta “m , da Equação 5-5, pode ser calculado assim:
..
ℎ..2 ..
como,
2 . 2. ≅ 2. ⟹ 2.. ℎ
”
e
.
, temos:
Aletas de Seção Não-Retangular
Figu ra 5-5
Neste caso, temos uma aleta de seção triangular, como mostra a Figura 5-5. Aletas de seção parabólica, trapezoidal, etc., também são comuns. O cálculo do coeficiente “m pode ser feito de modo similar ao caso anterior, considerando uma área transversal média. ”
Aletas Circulares
Figu ra 5-6
As aletas colocadas sobre superfícies de tubos podem ter colocação radial (transversal) como na Figura 5-6 ou axial (longitudinal), assentando aletas do tipo retangular nos tubos, como mostrado no Exercício R.5.1. A escolha do assentamento radial ou axial de aletas sobre superfícies de tubos depende da direção do escoamento do fluido externo, pois a aletas devem prejudicar o mínimo possível o coeficiente de película, ou seja, não podem provocar es tagnação do fluido. 57
O cálculo do coeficiente “m” para a aleta circular da Figura 5-6 é feito da seguinte forma:
..
como,
.ℎ.24.....
2 . 2..2. ≅ 4.. ⟹ 2.. ℎ
e
2...
, temos:
Aletas Pino
Em certas aplicações aletas tipo pino são necessárias para não prejudicar demasiadamente o coeficiente de película. A figura 6.6 mostra uma aleta pino de seção circular. Neste caso, o cálculo do coeficiente “m para pino de seção circular é:
..
ℎ.. 2...
como,
⟹
2 . .
”
e
2.. ℎ
.
, temos:
Aletas são usadas para melhorar a transferência de calor, e a utilização de aletas sobre uma superfície só pode ser recomendada se o aumento na transferência de calor justifique o cus to agregado e a complexidade associada com a introdução das aletas, conforme ilustra a Figura 5-7. Na verdade, nem sempre há garantia de que acrescentando aletas em uma s uperfície a transferência de calor irá aumentar.
Figu ra 5-7
O desempenho das aletas deve ser julgado com base no aumento da transferência de calor em relação ao caso sem aletas. O desempenho
í í ̇̇ ..+. . .−− , é das aletas expresso em termos da Eficácia da Aleta () é definido como:
Numericamente, temos para a Eficácia da Aleta ( ):
Equação 5-6
Dado o custo e a complexidade adicionada pela instalação de aletas em uma s uperfície, o seu uso somente é justificado se a eficácia for no mínimo maior que 2. 58
Exercício R.5.1. Em uma indústria eletrônica, a dissipação de calor em um transistor de formato cilíndrico com raio externo (r1) de 3 mm e altura (b) de 6 mm, pode ser melhorada inserindo um dissipador de calor que consiste de um cilindro vazado (luva) de alumínio (k = 200 W/m.K) que possui 12 aletas retangulares de alumínio fixadas sobre a sua superfície externa. O cilindro base, cuja espessura (r2-r1) é 1 mm, está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica desprezível. As aletas têm altura de 10 mm e espessura de 1 mm. Sabendo que ar fluindo a 20 °C sobre as superfícies das aletas resulta em um coeficiente de película de 25 W/m2.K, calcule: a) o fluxo de calor que pode ser dissipado pelo conjunto base mais aletas, quando a temperatura do transistor for 80 °C. b) considerando que a taxa de geração de calor no transistor é 17000 W por m2 de área lateral do transistor, quando a temperatura for 80 °C, determine se o dissipador é adequado para esta aplicação.
12 200 . 10 0, 0 1 10, 0 01 30, 0 03 1 ⟹ 1314 0, 0 04 6 0, 0 06 80 ° 80 ° ℎ25 .
2... . . 2××0,004×0,00612×0,006×0,0017,8796×10− 2. . . 2×0,01×0,006×120,00144 Cálculo de AR:
Cálculo de AA (desprezando as áreas laterais):
2×25 2 . ℎ . 200 . ×0,.001 250 − 15,8114 − − Cálculo da eficiência da aleta:
. 15,ℎ8114. 0,1×0,56809010,0,9191758114 ℎ. ℎ0,1581140,156809 . 0,158114 q̇ h .AR η. A . T T25 . . 7,8796×10− 0,9917×0,00144 . 80 20 2,26 − ̇ 2..1700.2××0, 0 03×0, 0 061, 1 31×10 ̇ ⟹ 1700 ×0,0001131 1,92
Cálculo do fluxo de calor: Desprezando as resistências de contato entre o transistor e o cilindro e do próprio cilindro, a temperatura da base das aletas pode ser considerada como 80 °C.
b) A área externa do transistor é:
Como o calor que pode ser dissipado no transistor é menor que a capacidade do dissipador o mesmo é adequado para esta aplicação. Exercício R.5.2. Uma placa plana de alumínio (k = 175 Kcal/h.m.°C), de resistência térmica desprezível, tem formato quadrado com 1 m de lado. Afixadas sobre a placa existem aletas retangulares de 1,5 mm de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de uma distância de 12 mm, ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a 40 °C e com coeficiente de película de 25 Kcal/h.m2. °C. Do outro lado, sem aletas, escoa um fluxo de óleo a 150 °C e com resistência de convecção desprezível. Calcule: a) o número de aletas afixadas sob a placa; b) fluxo de calor dissipado pela placa aletada desprezando a resistência de convecção da película de óleo; b) idem item anterior levando em conta a resistência de convecção de película de óleo de 225 kcal/h.m2. °C. 59
12: 0, 1 0121 1, 1 5 0, 0 015 ∆12 0, 0 12 150 ° 40 ° ℎ25 ℎ. . ° ℎó 25 ℎ. . ° 175 ℎ..°
a) desprezando a resistência da película do óleo, a temperatura da base das aletas é a mesma do fluxo de óleo (TS = 150 °C) Cálculo do número de aletas:
∆. ⟹ ∆ 0,00150,1 012 74,07 ≅74
2×25 2 . ℎ . 175 ℎ..°ℎ.×0,0. °015 190,47 − 13,801 − . 13,ℎ801.1 ×0,0,1064112 0,1656 ℎ. ℎ0,16560,1641 b) cálculo da eficiência da aleta:
. 0,1656 0,9909 . . . . 1×174×1×0,00150,889 2. . . 2×1×0,012×741,776 ̇ ℎ . . . 25 ℎ.2. ° . 0,8890,9909×1,776 . 150 40 ° 7279,91 ℎ ̇ Tℎóó .1T′ 225150×11T′×1 33750225× T′ ′ ̇ ℎ . . . ′ 25 . 0,8890,9909×1,776. ′ 40 66,181×′ 2647,24 33750225× 66,181× 2647,24 ⟹ 125 ° ̇ 25 ℎ.2. ° . 0,8890,9909×1,776 . 125 40 °5628,8 ℎ Cálculo da área não aletada:
Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais): Cálculo do fluxo de calor:
b) O novo fluxo deve ser obtido considerando a resistência da película do óleo (lembrando que a resistência da placa é desprezível). Neste caso, a temperatura da base é T’S < TS. O fluxo de calor transferido por convecção do óleo para a base das aletas é:
Este é também o fluxo pela placa aletada:
Igualando as equações acima obtemos a temperatura da base T’S:
Portanto, o fluxo de calor considerando a resistência da película de óleo será:
Exercício R.5.3. Em um dispositivo eletrônico, um delgado chip de silício de resistência térmica desprezível está perfeitamente ajustado a uma base de material isolante, de modo que a transferência de calor se dá apenas pela superfície superior do chip, conforme a figura (a). A face superior do chip está exposta a um fluxo forçado de ar na temperatura de 25 °C e com coeficiente de película de 150 W/m2.K. O formato da superfície do chip é um quadrado de lado 3 cm e a taxa de geração de calor no chip é d e 9 W. Nestas condições determine: a) a temperatura do chip na situação da figura (a); b) para reduzir a temperatura do chip, foi instalado sobre o chip um dissipador de calor composto de uma base de alumínio quadrada, de 3 cm de lado e resistência desprezível, sobre a qual estão montadas 9 aletas retangulares de alumínio (k = 220 W/m.K) com 1 mm de
60
espessura de 10 mm de altura, conforme a figura (b). Considerando que a dissipação é mantida em 9 W e que o coeficiente de película não é alterado, determine a nova temperatura do chip após a instalação do dissipador. Aletas Base das aletas
(a)
(b)
Chip
̇ 9 9 10 0, 0 1 10, 0 01 0,0009 3 0, 0 3 → ? 25 ° ℎ150 . 220 .
̇ 9 é ̇ ℎ. 1 ℎ . . ⟹ ℎ . ̇ 150 ×0,9 0009 2591,66 ° Base isolada
a) O calor dissipado (
por convecção, temos:
b) Cálculo da eficiência da aleta:
2.. ℎ 2202×150×0,001 36,9274 − . 36,9274 − ×0,010,3693 ℎ. . ℎ0,30693,3693 0,0,33534693 0,9569 . 2 . . 0,00099×0,03×0,0010,00063 2. . . 2×0,03×0,01×90,0054 ̇ 35,ℎ . 4°. . ′ ⟹ ℎ . .̇ 150×0,000630,9 9569×0,0054 25 Cálculo da área não aletada:
Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais): Cálculo da temperatura do chip:
Exercício R.5.4. A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio (k=186 W/m.K) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaçadas com espessura de 6 mm e altura de 20 mm. Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e está exposta ao ambiente a 300 K, com coeficiente de película de 50 W/m 2.K quando a moto está em movimento. Quando a moto está parada o coeficiente cai para 15 W/m2.K. Qual é a elevação percentual da transferência de calor quando a moto está em movimento.
15 0, 1 5 5 50 →25 0, 0 25 20 0,020, 60250,0,020,006045 500 300 ℎ 50 . ℎ 15 . 186 . Raio da aleta:
,
. 2.... 2...2××0,025×0,155×2××0,025×0,0060,01885 2. . . ×2× ×0,045 ×0,025×50,04398 Cálculo da área não aletada: Cálculo da área das aletas:
Cálculo da eficiência da aleta (para a moto em movimento):
61
2..ℎ 1862×50×0,006 9,466 − . 9,466 − ×0,020,1893 ℎ. . ℎ0,18930,1893 0,0,11893871 0,9884 2..ℎ 1862×15×0,006 5,1848 − . 5,1848 − ×0,020,1037 ℎ. . ℎ0,10037,1037 0,0,11037036 0,9990 ̇ ℎ . . . 50×0,018850,9884×0,04398×500300623,198 ̇ ℎ . ( . ) . 15×0,018850,9990×0,04398×500300188,358 ̇ ̇ 3 58 % ̇ × 100 623,1188,98188, 358 ×100230,86% Cálculo da eficiência da aleta (para a moto parada):
Cálculo do fluxo de calor (para a moto em movimento): Cálculo do fluxo de calor (para a moto parada):
Cálculo da percentagem de elevação do fluxo de calor para a moto em movimento:
Exercício R.5.5. Calcule a eficácia que poderia ser obtida de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas tipo pino de alumínio (k = 178 Kcal/h.m.°C), de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300 °C, enquanto que o ambiente está a 20 °C com coeficiente de película de 120 Kcal/h.m2.°C.
Cálculo da eficiência:
5 1→2, 56400 0, 0 025 30 0, 0 3 300 ° 20 ° ℎ 120 ℎ.. ° 178 ℎ..°
− − 2.. ℎ 1782×120 23, 2 234 . 23, 2 234 ×0,030,6967 ×0, 0 025 ℎ. . ℎ0,69670,6967 0,0,66967023 0,8645 . . . 16400× ×0,00250,874 2.... 2××0,0025×0,03×64003,016 ̇/ ℎ . . . 120×0,8740,8645×3,016×30020116.972,7 ℎ ̇ ℎ . . 120×1×3002033.600 ℎ Cálculo da área não aletada:
Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais): Cálculo do fluxo de calor:
Antes da colocação das aletas o fluxo é:
Portanto, a eficácia é:
62
̇ ̇// 116.33600972,7 3,48 Exercício R.5.6. Uma empresa fabrica dissipadores (“cooler”) para “chips” de computador. Os dissipadores têm 10 aletas retangulares de 1 mm de espessura e 1 cm de altura, montadas sobre uma base retangular com dimensões a = 5 e b =10 cm, conforme a figura abaixo. O material da aleta é uma liga de aço de condutividade 40 W/m.K. Para uma temperatura na base do dissipador de 65 oC e uma temperatura do ar de 25 oC, com coeficiente de película de 200 W/m 2.K, calcule: a) O fluxo de calor dissipado nestas condições; b) Para elevar a dissipação de calor, um dos engenheiros novatos da empresa propõe fazer as aletas com 0,5 cm de altura (metade da altura), usando agora 20 aletas (o dobro de aletas) montadas na base. Calcule o fluxo de calor dissipado nesta nova proposta e diga se ela é uma boa opção para elevar a dissipação de calor, considerando que ambas as soluções terão praticamente o mesmo custo de produção.
5 0, 0 5 10 0, 1 10 1 0, 01 1 0, 0 01 ℎ200 . 40 . 65 ° 25 ° Base:
a
l
a) Cálculo da eficiência da aleta:
− − 2.. ℎ 402×200 100 . 100 × 0,011 ×0, 0 01 ℎ. . ℎ1 1 0,71616 0,7616 . . . . 0,1×0,0510×0,05×0,0010,0045 2. . . 2×0,05×0,01×100,01 ̇ ℎ . . . ( )200×0,00450,7616×0,01×652596,9 − − 2.. ℎ 402×200 100 . ′ 100 ×0,0050,5 ×0, 0 01 ′ ℎ.′ .′ ℎ0,50,5 0,0,45621 0,9242 ′ ′. . ′ . . 0,1×0,0520×0,05×0,0010,0040 ′ 2. .′. ′ 2×0,05×0,005×200,01 ′ ̇ ℎ . ′ ′.′ . ( )200×0,00400,9242×0,01×6525105,9 Cálculo da área não aletada: Cálculo da área das aletas: Cálculo do fluxo de calor:
b) Cálculo da nova proposta:
l
=
0,5 cm = 0,005 m
n
=
20aletas
Cálculo da eficiência da aleta:
Cálculo da área não aletada: Cálculo da área das aletas: Cálculo do fluxo de calor:
Concluímos que a solução proposta pelo novo engenheiro é uma boa opção para elevar a transferência de calor
63
Exercício P.5.1. Em uma indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um local onde o coef iciente de película é 3 Kcal/h.m2.°C. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 x 10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de 80 °C, com temperatura ambiente de 30 °C. Para uma condutividade térmica das aletas de 35 Kcal/h.m.°C, pede-se: a) a eficiência da aleta; b) calor dissipado pela placa aletada; c) a eficácia das aletas
Exercício P.5.2. Um dissipador de calor (cooler) para chips de computador consiste de uma placa aletada e um ventilador acoplado. A placa, de resistência térmica desprezível, é quadrada com 5 cm de lado e tem 10 aletas retangulares de 1 mm de espessura e 1 cm de altura. O material das aletas é uma liga de aço de condutividade 40 W/m.K. O ventilador acoplado faz uma circulação forçada de ar a 25 °C, de modo que o coeficiente de película fica em 200 W/m2.K Para uma temperatura do chip de 65 °C, calcule: a) o fluxo de calor dissipado pelo “chip” através da superfície aletada nestas condições; b) a eficácia das aletas nestas condições; c) considerando que o calor dissipado pelo “chip” é mantido, calcule a nova temperatura do “chip” caso o ventilador seja danificado e o coeficiente de película diminua para 50 W/m2.K.
Exercício P.5.3. Um tubo metálico de diâmetro exte rno 4" e resistência térmica desprezível conduz um produto a 85 °C, com coeficiente de película interno 1230 Kcal/h.m2. °C. O tubo é de aço, tem 0,8 m de comprimento, e está mergulhado num tanque de água a 20 °C, com coeficiente de película externo 485 Kcal/h.m2. °C. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas são circulares e feitas de chapa de aço, de 1/8 " de espessura e 2 " de altura. Considerando desprezível a resistência térmica da parede do tubo, calcular: a) o fluxo de calor pelo tubo, sem aletas; b) a temperatura da superfície externa do tubo, sem aletas; c) o fluxo de calor pelo tubo aletado, considerando a mesma temperatura calculada anteriormente na superfície externa do tubo e que a condutividade térmica das aletas é 40,31 Kcal/h.m.°C
Exercício P.5.4. Em uma indústria, deseja-se elevar em 20 % a transferência de calor em um reator de formato cilíndrico e para isto, sua superfície externa vai ser aletada com aletas tipo pino. O reator tem 2 m de altura e 50 cm de diâmetro e sua superfície trabalha a 250 °C em um local onde a temperatura do ar é 25 °C e o coeficiente de película é 22 W/m2.K. Para isto, dispõe-se de aletas tipo pino de aço (k = 45 W/m.K) com seção circular de 5 mm de diâmetro e com 25 mm de altura. Considerando que a superfície externa exposta ao ar e que deve receber aletas é somente a área lateral do reator, calcule: a) o fluxo de calor dissipado antes do aletamento; b) calcular o número de pinos de seção circular necessários;
Exercício P.5.5. Um tubo de diâmetro 4" e 65 cm de comprimento deve receber aletas transvers ais, circulares, de 1,5 mm de espessura, separadas de 2 mm uma da outra. As aletas têm 5 cm de altura. No interior do tubo circula um fluido a 135 °C. O ar ambiente está a 32 °C, com coeficiente de película 12 Kcal/h.m 2.°C. A condutividade térmica do material da aleta é 38 Kcal/h.m.°C. Determinar o fluxo de calor pelo tubo aletado.
64
Exercício P.5.6. Uma empresa fabrica dissipadores de calor. Os dissipadores têm 10 aletas retangulares de 1 mm de espessura e 1 cm de altura, montadas sobre uma base quadrada de 5 cm de lado, de resistência desprezível. O material da aleta é liga de aço de condutividade 40 W/m.K. Para uma temperatura do chip de 65 oC e uma temperatura do ar de 25 oC, com coeficiente de película de 200 W/m 2.K, calcule: c) O fluxo de calor dissipado nestas condições; d) Para elevar a dissipação de calor, um dos engenheiros da empresa propõe uma solução A, que é utilizar uma nova liga de alta condutividade, com k = 200 W/m.K (5 vezes mais condutora). Outro engenheiro propõe uma solução B, que é fazer uma aleta de 5 cm de altura (5 vezes mais alta), usando a liga de aço. Calcule qual é a melhor opção para elevar a dissipação de calor, considerando que ambas soluções terão praticamente o mesmo custo de produção.
Exercício P.5.7. No laboratório de uma indústria pretende-se testar um novo tipo de aletas, na forma de prisma reto, de seção transversal triangular (equilátera) com 1 cm de lado. Essas aletas têm altura de 5 cm e serão colocadas, durante o teste, sobre placas de 10 cm X 10 cm, submetidas a uma temperatura de 150 °C na base e expostas ao ar a 40 °C. Por razões técnicas, no máximo 30 % da área das placas poderá ser aletada. Sabendo que a condutividade térmica do material do aleta é 130 Kcal/h.m.°C e o coeficiente de película do ar é 5 Kcal/h.m2.°C, pede-se o fluxo de calor pela placa aletada.
Exercício P.5.8. Um tubo de aço de 0,65 m de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de 60 oC na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a 20 oC e com coeficiente de película de 5 Kcal/h.m2. °C, a uma taxa de 40 kcal/h. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica 40 Kcal/h.m.°C. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de 0,057 m de altura e 0,002 m de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de 0,05m de altura e 0,0015 m de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você adotaria, considerando os custos de instalação iguais.
Exercício P.5.9. Um tubo de 14 cm de diâmetro externo deve receber aletas retangulares longitudinais de aço (k = 40 Kcal/h.m.°C) com 58 mm de altura e 2 mm de espessura. As aletas são montadas com espaçamento de 8 mm (na base). O ar ambiente está a 20 °C, com coeficiente de película igual a 5 Kcal/h.m2. °C. A temperatura da superfície do tubo é 60 °C. Calcular: a) O número de aletas; b) O fluxo de calor, por unidade de comprimento, pelo tubo aletado. c) A eficácia das aletas.
Exercício P.5.10. Um tubo de aço (k = 35 kcal/h.m.°C), cuja emissividade () é igual a 0,55, com diâmetro externo 5,1 cm e 2,2 m de comprimento conduz um fluido a 600 °C, em um ambiente onde o ar está a 35 °C, com coeficiente de película 20 kcal/h.m2.°C. Existem duas opções elevar a transferência de calor. Na primeira o tubo deve receber 10 aletas de aço de 5 mm de espessura e 10,2 cm de diâmetro (aletas circulares) e, na segunda, o tubo deve ser pintado com uma tinta de emissividade () igual a 0,83. Determinar: a) O fluxo de calor por convecção pelo tubo com aletas; b) O fluxo de calor por radiação pelo tubo com aletas; c) O fluxo de calor por convecção pelo tu bo pintado com a tinta especial; d) O fluxo de calor por radiação pelo tubo pintado com a tinta especial; e) A opção que produz o maior fluxo de calor (aletamento ou pintura?).
65
MECÂNICA DOS FLUIDOS
Fluido é uma substância que não possui forma pró pria (assume o formato do recipiente) e que, se em repouso, não resiste a tensões de cisalhamento (deforma-se continuamente). Para melhor compreender o significado da definição de fluido, considere uma superfície de área “A” do bloco mostrado na Figura 6-1. Considere uma força F atuando sobre a superfície. Quando a força for normal à superfície ela é denominada de força de press ão. Quando a força for tangente à superfície ela é denominada de força de cisalhamento.
Figu ra 6-1
•
•
Tensão de Cisalhamento () é a razão entre a o módulo da componente tangencial da força e a área da superfície sobre a qual a força é aplicada.
, ç , ç ã
Pressão é a razão entre a o módulo da componente normal da força e a área da superfície sobre a qual a força é aplicada.
A Experiência das Placas Consideremos na Figura 6-2 um fluido em repouso entre duas placas planas também em repouso, como por exemplo, um óleo lubrificante entre duas peças.
Figu ra 6-2
1. 2. 3. 4. 5.
Suponhamos que a placa superior em um da do instante passe a se movimentar sob a ação de uma força tangencial Ft. A força Ft , tangencial ao ao fluido, gera uma tensão de cisalhamento no fluido. As porçções de fluido adjacentes à placa superior adquirem a mesma velocidade da placa ( princípio da aderência ) As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a distância da placa superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Também pelo p rincípio da aderência, a velocidade do fluido adjacente à placa inferior é zer o. Como existe uma diferença de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrerá então uma deformação contínua do fluído sob a ação da tensão de cisalhamento, conforme ilustra a Figura 6-3. 66
Figura 6-3
Fluidos são diferentes de sólidos. Um sólido, quando submetido a ação de uma tensão de cisalhamento, experimenta uma deformação reversível até que o seu limite de elasticidade seja atingido. A Figura 6-4 (a) nos mostra um bloco de material sólido submetido a uma tensão de cisalhamento. Por outro lado, um fluido, quando submetido a uma tensão de cisalhamento, experimenta uma deformação contínua e irreversível durante todo o tempo de atuação da tensão de cisalhamento. A Figura 6-4 (b) mostra um fluido em deformação quando submetido a uma tensão de cisalhamento.
Figura 6-4
A definição de viscosidade está relacionada com a Lei de Newton. Considerando a experiência das placas, podemos estabelecer a seguinte relação de proporcionalidade entre a força tangencial ( Ft ) as seguintes variáveis: área da placa (A), diferença de velocidade entre as placas ( v ) e distância entre as placas ( y )
F t
A.v y
F t v A y
v y
Na forma diferencial, podemos dizer que “a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à variação da velocidade ao long o da direção normal às placas”
dv dy
A relação de proporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem à Equação 6-1, que é conhecida como Lei de Newton da viscosidade.
Equação 6-1
.
,
A viscosidade dinâmica ( ) é o coeficiente de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. O seu significado físico é a propriedade do fluido através da qual ele oferece resistência às tensões de cisalhamento. Os fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação(Equação 6-1) são chamados fluidos newtonianos, em homenagem a Sir Isaac Newton, que os definiu primeiro em 1687. A grande maioria dos fluidos são newtonianos, tais como água, ar, gasolina e óleos. Sangue e plásticos líquidos são exemplos de fluidos não newtonianos. A Figura 6-5 abaixo (lado a) mostra que um gráfico tensão de cisalhamento contra a taxa de deformação (gradiente de velocidade) para um fluido newtoniano é uma reta cuja declividade é a própria viscosidade. Nota-se q ue a viscosidade é independente da taxa de deformação. 67
A Figura 6-5 abaixo (lado b) mostra que para fluidos não newtonianos, a relação entre a a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação é não linear.
Figura 6-5
O valor da viscosidade varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta viscosidade depende muito da temperatura. Os gases e líquidos tem comportamento diferente co m relação à dependência da temperatura, conforme mostra a Tabela 6-1.
Tabela 6-1 - Comport amento dos fl uidos com relação à viscos idade
Fluido
Comportamento
Fenômeno
Líquidos
A viscosidade temperatura
a
Tem espaçamento entre moléculas pequeno e ocorre a redução da at ração molecular com o aumento da temperatura.
Gases
A viscosidade aumenta com a temperatura
Tem espaçamento entre moléculas grande e ocorre o aumento do choque entre moléculas com o aumento da temperatura.
➔ Análise
diminui com
dimensional da viscosidade ( sistema [F][L][T] ):
F F = = 2 = F .L− 2 A L
dv dy
=
LT
−1
L
= T −1
dv F . L−2 F .T = = −1 = 2 = . dv dy T L dy Portanto, as unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns são :
dina s = poise cm 2
•
CGS : =
•
Métrico Gravitacional ( MK*S ) : =
•
Sistema Internacional ( SI ) : =
{ poise = 100 cetipoise (cp) }
kgf s
m N s
m2
2
= Pa s
N
{1
m2
= 1 Pa ( Pascal ) }
Algumas viscosidades de fluidos newtonianos, na temperatura de 25 °C, estão listadas abaixo: Gases Hidrogênio 2
Visc (N.s/m )
-6
8,4 x 10
Líquidos
Ar
Xebônio -6
17,4 x 10
-6
21,2 x 10
Alcool
Benzeno -3
0,25 x 10
-3
0,64 x 10
Água
Mercúrio -3
1,003 x 10
-3
17 x 10
Óleo de Oliva -3
81 x 10
Glicerol 1,49
68
Na figura abaixo pode ser visualizada, em unidades do sistema internacional, a variação da viscosidade com a temperatura para diversos líquidos e gases:
➔ Simplificação
Prática : a velocidade varia linearmente com y se a distância entre placas é pequena (e < 4 mm)
Esta simplificação ocorre quando consideramos a espessura do fluido entre as placas (experiência das duas placas) o suficientemente pequena para que a função representada por uma parábola seja substituída por uma função linear
Por semelhança de triangulos temos:
A' B' AB = A' C ' AC
dv V 0 = dy
∆ ≈ ∆′′′
. ⟹ .
Neste caso, a Equação 6-1 pode ser escrita como na Equação 6-2:
Equação 6-2
Exercício R.6.1. Um bloco de madeira de peso 20 kgf é deslocado para cima em um plano inclinado, delisando sobre uma película de óleo de 2 mm de espessura, com o auxílio de um sistema de fios e polias ideais, sobre o os quais é fixando um peso de 40 kgf, conforme 69
ilustra a figura. Determinar a viscosidade do óleo para que o bloco tenha uma velocidade de deslocamento igual a 2 m/s constante, considerando que a face do bloco em contato com o óleo é um quadrado de 1,0 m de lado.
− 2 2 ×101×11
bloco
Área da placa: Para fios e polias ideais temos:
T
Gt
G = T = 40 kgf
2 mm
Balanço de Forças:
⟹ . 0 ⟹ T . 30° 20 ×0,5 10 40 10 ⟹ 30 301 × 2 ×102 /− ⟹ 30 × 10− . A componente tangencial do peso do bloco é:
Fluido lubrificante
F Gbloco
Fios e polias ideais
A através do balanço de forças calculamos a força tangencial sobre o óleo
G
Como a espessura da película de óleo é menor que 4 mm, pode ser usada a Equação 6-2
= .
V 0
como : =
F t A
F t V = . 0 A
Massa Específica ( ) é a massa (m) de uma unidade de volume (V ) de um fluido, conforme a Equação 6-3.
Equação 6-3 As unidades de massa específica são:
CGS :[ ] = g cm 3 kg M [ ] = 3 SI : [ ] = 3 L m utm * MK S :[ ] = m 3 Peso Específico ( ) é o peso (G) de uma unidade de volume (V ) de um fluido, conforme a Equação 6-4.
Equação 6-4 As unidades de massa específica são:
CGS :[ ] = dina cm 3 M L T − 2 F N SI [ ] = : [ ] = = L3 L3 m3 Kgf * MK S :[ ] = m 3 70
A relação entre peso especíco e massa específica é;
=
G m.g = V V
➔
= . g
Se a massa especifica da água pura é 1000 kg/m 3, o seu peso específico será:
Densidade (
é a relação entre o peso específico (
. 1000 ×9,8 9800
de uma substância e o peso específico da água (
temperatura, conforme a Equação 6-5. A densidade é um valor adimensional.
Equação 6-5
) a uma determinada
A Densidade de algumas substâncias comuns são listadas abaixo:
Susbstância Densidade
Água 1,0
Sangue Água do mar Gasolina 1.05 1,025 0,7
Álcool 0,79
Mercúrio 13,6
Gelo 0,92
Ar (1 atm) 0,0013
Ouro 19,2
Ossos 1,7~2,0
É frequente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica aparecer combinada com a massa es pecífica, dando origem à viscosidade cinemática, conforme a Equação 6-6.
Equação 6-6 As unidades de viscosidade cinemética são:
cm 2 CGS :[ ] = s ( stoke− st ) M L−1 T −1 L2 m2 [ ] = = SI : [ ] = M L−3 T s * m2 MK S :[ ] = s
Exercício R.6.2. A massa específica de um combustível leve é 805 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade deste combustível. ( considerar g=9,8 m/s2 )
= .g = 805
kg m N 9,8 2 = 7889 3 3 m s m
( N = kg.
m ) s2
A massa específica da água é aproximadamente 1000 kg/m3. Portanto, o peso específico será:
H 2O
= .g = 1000
kg m N 9 , 8 = 9800 m3 s2 m3
A densidade é calculada a partir da relação com o peso específico da água: 71
r
=
H 2O
=
7889 9800
= 0,805
Exercício R.6.3. Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determine o peso específico, a massa específica e a densidade do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 )
V = 500 ml = 0,5 l = 0,5 10−3 m 3 = .g
r
=
=
H 2O
=
g
=
=
12000 N / m 3 9,8 m / s 2
12000 N / m 3 9800 N / m 3
=
G V
6 (kg. m
s 9,8 m
2
=
6 N 0,5 10
) / m3
−3
m
= 12 000
3
= 1224,5
s2
N m
3
Kg m3
= 1,22
Exercício R.6.4. Um frasco cheio de gasolina possui massa de 31,6 g. Quando cheio de água, ele pesa 40 g e, quando vazio, pesa 12 g. Determinar a densidade da gasolina.
m f + g = 31,6 g = 0,0316kg
m f + a = 40 g = 0,040 kg
mv = 12 g = 0,012 kg
Descontando o peso do fraco vazio, temos as massas de gasolina e de água.
mg = 0,0316− 0,012 = 0,0196kg
ma = 0,040 − 0,012 = 0,028 kg
Como o peso específico da água é conhecido, podemos calcular o volume do frasco.
a =
Ga m .g = a V frasco V frasco
V frasco =
ma . g a
=
0,028 9,8 9800
= 0,000028m3
Agora podemos calcular o peso específico da gasolina e a densidade da gasolina
g
=
Gg m . g 0,0196 9,8 = g = = 6860 N 3 m 0,000028 V frasco V frasco
gr = ➔
g H 2O
=
6869 9800
= 0,70
Exercício R.6.5. Os tanques da figura estão totalmente preenchidos com um óleo leve cuja densidade é 0,82. Calcule a pressão sobre a base em cada um dos casos.
r
= 0,82
= r . H 2O
V 1 = 2 2 2 = 8 m 3 G = G = .V V Tanque 1
P1 =
= 0,82 . 9800 = 8036 N m 3
V 2 = 2 2 6 = 24 m 3 G1 = .V 1 = 8036.8 = 64288 N G 64288 = = 16072 N / m 2 Tanque 1 Abase 2.2
G2 = .V 2 = 8036. 24 =192864 N
P1 =
G 192864 = = 16072 N / m 2 Abase 2.6
Exercício R.6.6. A viscosidade cinemática de um óleo leve é 0,033 m2/s e a sua densidade é 0,86. Determinar a sua viscos idade dinâmica em unidades dos sistemas Métrico. Dado: peso específico da água é 1000 kgf/m3.
72
r
=
H 2O
= .g =
= r H 2O
=
g
=
= 0,86 1000
860 kgf / m 3 9,8 m / s 2
= . = 0,033
m2 s
= 87,75
87,75
kgf m3
= 860
Kgf .s 2 m4
kgf .s 2 m4
kgf m3
utm 3 m
= 2,86
kgf .s m2
Exercício R.6.7. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo ( = 0,15 stokes e = 905 kg/m3 ) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cisalhamento que agirá sobre o óleo. 2 2 cm 2 −4 m −5 m = 0,15 stokes = 0,15 cm / s = 0,15 10 = 1,5 10 s s cm 2 2
= = 1,5 10 −5
= .
905 = 0,0136
N s m2
v0 N s 4 m / s N = 0,0136 2 =18,1 2 = 18,1 Pa e 0,003 m m m
Exercício R.6.8. Uma placa quadrada com 2 m de lado, desloca-se com velocidade constante sob a ação de uma força F de 20 N sobre uma película de óleo de 1mm de espessura, conforme a figura abaixo. O óleo tem densidade 0,75 e viscosidade 0,03 N.s/m2, calcule: a) a viscosidade cinemática do óleo; b) a velocidade de deslocamento da placa móvel.
10 10,001 0,03 .⁄ 2 ×24 ó 0,75 ⁄ ⁄ ⁄ ó 0,0,7503 .⁄ó 0,75 ×98007350 . ⟹ 7350 9. 8 750 750 ⁄ 0,00004 104 2,5 . ⟹ . 2,0,5 03×0,.0⁄01 0,0833 / a) cálculo da viscosidade cinemática do óleo
b) cálculo da velocidade de deslocamento da placa móvel
Exercício R.6.9. Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, com velocidade constante, e se apoia sobre uma película de óleo de 1 mm de espess ura e de = 0,01 N.s/m2. Se o peso da placa é 100 N, quanto tempo levará para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado.
sen 30 o
=
10
S
S =
10 0,5
= 20 m A = 5 4 = 20 m 2
F T = G. cos 60o = 100 0,5 = 50 N v F v = . 0 e = T , então : . o = e A e
S
FT 60o
F T A
G
10 m
30o
73
F T .e 50 0,001 = = 0,25 m / s A. 20 0,01 20 m S S t = = vo = vo 0,25 m / s t vo =
t = 80 s
Exercício P.6.1. A massa específica de um fluido é 610 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade.
Exercício P.6.2. A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m2/s e sua densidade é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica no sistema métrico.
Exercício P.6.3. Um engenheiro deseja verificar se um barra de ouro é verdadeira. Para isto, primeiro ele pesa a barra e anota do valor de 152 g. Em seguida, ele coloca a barra em um recipiente granduado que contém inicialmente água na marca de 100 ml. Após megulhar a barra, a indicação de volume do recipente para a ser de 108 ml. Ele sabe que a densidade do ouro deve estar na faixa de 18.300 a 19.300 kg/m3. Com base nestes dados, calcule se a barra de ouro é verdadeira.
Exercício P.6.4. Um tanque de ar comprimido contém 6 kg de ar a 80 oC, com peso específico de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque.
Exercício P.6.5. Em um dos pratos de uma balança, conforme figura, são colocados dois litros de água. Para que a balança fique em equilíbrio, determine qual deverá ser o volume de mercúrio (em mililitros) que deve ser colocado no outro prato da balança. Dado:
13,6
Exercício P.6.6. O peso de 3 dm3 de uma substância é 2,7 Kgf. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g é 10 m/s 2, determine a viscosidade dinâmica no sistema métrico.
Exercício P.6.7. Um fiscal de pesos e medidas vai checar a qualidade da gasolina de um posto de combustíveis que está vendendo o produto por um preço muito abaixo da concorrência. Ao verificar que o seu equipamento de análise apresentava defeito e, de modo a não perder a viagem, o mesmo utilizou uma balança para a checagem preliminar. Primeiramente ele pesou um recipiente graduado e anotou uma massa de 384,2 g. A seguir ele preencheu o recipiente com gasolina até a marca de 500 ml e pesou, anotando uma massa de 749,2 g. O fiscal sabe que a densidade do tipo de gasolina vendido no posto deve ser exatamente 0,68. Determine se ele constatou algum tipo de adulteração.
Exercício P.6.8. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em plano inclinado de 30 0. A velocidade da é placa é constante e igual a 2 m/s. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo s e a espessura da película é 2 mm ?
74
Exercício P.6.9. Um tanque cilíndrico, de massa 50 kg, tem diâmetro igual a 0,5 m e altura igual a 2,5 m. Este tanque é totalmente preenchido com um líquido de peso específico 8600 N/m3. Determine a força necessária para imprimir uma aceleração de 2,5 m/s2 ao conjunto tanque+líquido.
Exercício P.6.10. Um recipiente contém 30 kg de água ( = 9800 N/m3 ) e está completamente cheio. Após algum tempo 2/3 (dois terços) da água do recipiente é consumida e o recipiente é novamente completado, desta vez com um óleo leve ( = 7742 N/m3 ) que, evidentemente, sobrenada sobre a água. Para estas novas condições, determine a massa total de fluido ( óleo + água ) presente no recipiente.
Exercício P.6.11. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em plano inclinado de 30°. A partir da posição indicada na figura, é necessário um intervalo de tempo de 20 segundos para que a placa atinja o final do plano. Considerando que a espessura da película de ó leo é 2 mm, determine a viscosidade dinâmica do óleo.
FT 10 m G 30o
Exercício P.6.12. Duas placas de grandes dimensões são paralelas. Considerando que a distância entre as placas é de 5 mm e que este espaço está preenchido com um óleo de viscosidade dinâmica 0,02 N.s/m2, determine a força necessária para arrastar uma chapa quadrada de 1 m de lado, de espessura 3 mm, posicionada a igual distância das duas placas, a uma velocidade constante de 0,15 m/s
5 mm
Óleo
3 mm
F
1m
Exercício P.6.13. Colocam-se 5 kg de mercúrio (densidade = 13,6) em um recipiente alto, em forma de prisma reto. A base do prisma é quadrada, com 10 cm de lado, e a sua altura é 1 m. Calcule: a) a pressão exercida pela coluna de mercúrio sobre a base; b) a altura a que se elevaria o mercúrio no recipiente; c) substituindo o mercúrio por gasolina (densidade = 0,7), qual é a altura a que se elevaria a mesma massa de gasolina (5 kg) no recipiente.
75
É muito comum confundir pressão com força. A pressão, no entanto, leva em conta não só a força como também a área em que ela atua. Pressão é a força dividida pela área. A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão.
FN
P = P=
Força aplicada perpendicular ao plano Área do plano
F N A
Kgf 2 cm
;
N = Pa 2 m
A
A relação entre a unidade usuais de pressão são mostradas abaixo: kgf/cm² lbf/pol² (psi) BAR ATM mmHg mmH2O KPa
kgf/cm²
lbf/pol² (psi)
BAR
ATM
mmHg
mmH2O
kPa
1
14,233
0,9807
0,9678
735,58
10003
98,0665
0,0703
1
0,0689
0,068
51,71
70329
6,895
1,0197
14,504
1
0,98692
750,06
10200
100
1,0332
14,696
1,0133
1
760,05
10335
101,325
0,00135
0,019337
0,00133
0,001316
1
13,598
0,13332
0,000099
0,00142
0,00098
0,00009
0,07353
1
0,0098
0,010197
0,14504
0,01
0,009869
7,50062
101,998
1
fluido
Consideremos uma coluna de fluido de peso es pecífico e altura h
G
=
V
P=
P=
➔
G = V
V G = Abase Abase
Abase
Abase
h
➔
como
V = Abase h , temos :
h
P = h
.
Abase
P
“A pressão em um ponto do fluido é diretamente proporcional à profundidade deste ponto e ao peso específico do fluido”
Com base neste teorema, temos duas considerações importantes a fazer : •
O fluido deve estar em repouso. Se o fluido estiver em movimento o teorema não é válido;
•
Devemos notar que a pressão em um ponto de um fluido em repouso depende a apenas da profundidade do ponto e independe do formato do recipiente, conform mostra a figura abaixo.
P 1 = P 2 = P 3 76
•
Pelo teorema de Stevin, podemos concluir que a pressão é a mesma em qualquer ponto situado em um mesmo plano em um fluido em equilíbrio, ou seja, todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão.
•
Consideremos o caso de dois líquidos imissíveis, como óleo e água em um tubo em formato U. Para o plano AB, que passa exatamente pela interface entre os fluidos, pelo teorema de Stevin, concluimos que as pressões P1 e P2 são iguais se o fluido está equilíbrio. Assim, conhecendo as altura de cada líquido em relação ao plano AB (h1 e h2), podemos obter a seguinte relação:
P1 = P2 H 2 O . h1 = Óleo . h2
Exercício R.7.1. Determine a distância x na figura, considerando que o peso específico da água e 9800 N/m3 e que o peso específico do óleo é 7350 N/m3.
h = 30 cm = 0,3 m Como : P1 = P 2, temos H 2O h = Óleo X 9800 0,3 = 7350 X X = 0,4 = 40 cm Exercício R.7.2. Calcule a densidade do líquido X.
H 2O (2,5 + 0,8) = X 0,8
9800 (3,3) = X 0,8 r X = X
H 2O
X = 40425 N / m3
= 404259800 = 4,125
“A pressão aplicada em um ponto de um fluido incompressível (líquidos) em repouso é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido.”
Para um melhor entendimento do enunciado acima consideremos os exemplo do tanque com água da Figura 7-1. No lado (a) da Figura 7-1 as pressões nos pontos (1) e (2) do fluido podem ser calculadas atraves do teorema de Stevin:
. ℎ 9800 × 1 9.800 . ℎ 9800 × 2 19.600
77
Figura 7-1
No lado (b) da Figura 7-1, ao aplicar uma força de 100 N, por meio de um êmbolo de área 0,1 m2, tem-se um acréscimo de pressão sobre a superfície livre da água, conforme calculado abaixo:
0,1001 1000 . ℎ 9800 ×1 1000 10.800 . ℎ 9800 × 2 1000 20.600
Então, conforme a Lei de Pascal, esta pressão será transmitida a todos os pontos do fluido. Portanto, a pressão nos pontos (1) e (2) do fluido podem ser calculadas somando o acréscimo de pressão:
A Lei de Pascal tem grande importância na análise de problemas de dispositivos que transmitem e ampliam uma força através da pressão aplicada em um fluido como, por exemplo, em prensas, freios e elevadores hidráulicos. F2
P= F 1 A1
F 1 A1
=
F 2 A2
P=
F 2 A2 F 2
A2
A = F 1 2 A1
.
P
F1
.
P
A1
➔ A
Força F2 será tantas vezes maior que a Força F 1 quantas vezes for a área A 2 for maior que a área A 1. Por exemplo, em uma prensa hidráulica cuja área do cilindro maior for 10 vezes maior que a área do menor cilindro, consegue-se multiplicar a força aplicada por 10.
Exercício R.7.3. A figura mostra, esquematicamente, um elevador hidráulico. Os dois êmbolos têm, respectivamente, as áreas
A1 = 10 cm2 e A2 = 100 cm2. Se for a aplicada uma força F1 = 200 N no êmbolo (1), qual será a força transmitida em (2)?
78
10200 20 20 ⟹ 20 100 ⟹ 2.000 A pressão transmitida pelo êmbilo (1) será:
Mas, pela Lei de Pascal, essa pressão será integralmente transmitida ao êmbolo (2). Portanto, P 1 = P2:
Nota-se, então, que se pode, por meio deste dispositivo, não só transmitir uma força, mas também ampliá -la.
A atmosfera do planeta terra consiste de uma camada de fluido (ar) que se estende por mais de 50 quilômetros acima da superfície. Em precipício a pressão exercida pela coluna de fluido atmosférico poderia ser calculada pelo teorema de Stevin:
ha r TERRA
Patm = ar . har , onde: har : altura da camada atmosférica e ar = peso específico do ar No entanto, devido a rarefação do ar em grandes altitudes, as medidas de altura da camada atmosférica e de peso especifico do ar variam amplamente. Um físico italiano chamado Torricelli resolveu o problema fazendo uma medição indireta da pressão atmosférica através de uma famosa experiência. ➔ A Experiência de Torricelli
Torricelli utilizou um tubo de vidro com uma das extremidades fechadas. Primeiramente ele mergulhou inteiramente o tubo em um tanque com mercúrio e levantou a extremidade fechada. Desta forma, foi observado que a coluna de mercúrio s empre media 760 mm se a experiência fosse realizada no nível do mar (note que na extremidade fechada a pressão tende à do vácuo). Portanto uma coluna de mercúrio de 760 mm de altura se equilibra contra a pressão da atmosfera n o nível do mar. Assim, pelo Teorema de Stevin, a altura (h =760 mm) da coluna de mercúrio, multiplicada pelo peso específico do mercúrio ( Hg), equivale a pressão atmosférica no nivel do mar. •
Cálculo da Pressão Atmosférica no Sistema Internacional
Patm = Hg . hHg
Como Hg = 133.280 N/m3 e hHg = 760 mm = 0,76 m
Patm = 133.280. 0,76 = 101.292,8 N/m2 = 101,3 kPa •
Cálculo da Pressão Atmosférica no Sistema Métrico
Patm = Hg . hHg
Como Hg = 13600 Kgf/m3 e hHg = 760 mm = 0,76 m
Patm = 13600 . 0,76 = 10330 Kgf/m2 = 1,033 Kgf/cm2
Dependendo da referêcia adotada (o zero da escala), podemos ter pressões absolutas ou pressões efetivas.
79
Escala de pressão absoluta ➔ é aquela que adota como referência a pressão do vácuo (Pv = 0) Escala de pressão efetiva
➔ é aquela que adota como
referência a pressão atmosférica (Patm = 0)
A Figura 7-2 mostra esquematicamente os valores absolutos e efetivos de uma pressão maior que a atmosférica (P 1) e de uma pressão menor que a pressão atmosférica (P 2). Note que a pressão absoluta é sempre positiva e que a pressão efetiva pode ser positiva (quando maior que a pressão atmosférica) ou negativa (quando menor que a pressão atmosférica).
Figu ra 7-2
Normalmente se utiliza mais a pressão efetiva e, portanto, não é costume usar a palavra “efetiva”. Pressões absolutas são usadas em situaçãoes especiais como, por exemplo, cálculos termodinâmicos. Para converter de pressão efetiva, que é o valor normalmente medido pelos aparelhos de medição, para pressão absoluta, usamos a expressão abaixo:
P abs = P ef + P atm
a) Piezômetro Consiste apenas de um tubo de vidro ligado a um reservatório, onde se pode ler diretamente a altura da coluna. A pressão é calculada a partir da altura h e do peso específico do fluido. P A = . h Apesar de simples, o piezômetro tem algumas desvantagens: • • •
Não serve para depressões Não serve para gases Não serve para pressões elevadas
b) Manômetro com tubo em “U”
Consiste de um tubo de vidro em formato “U” onde se pode armazenar um
fluido manométrico de elevada densidade (normalmente o mercúrio com densidade 13,6). Medindo as alturas h1 e h2, a pressão pode ser calculada conforme abaixo: P A = 2 . h2 - 1 . h1 Se o fluido de trabalho for um gás: P A = 2 . h2
80
d) Manômetro Metálico (Tubo de Bourdon) São instrumentos usados para medir as pressões dos fluidos através de um tubo metálico curvo e oco (Tubo de Bourdon) que, quando preenchido por fluido, distende acionando um mecanismo que faz avançar um ponteiro sobre uma escala indicadora de valor da pressão. São os medidores mais utilizados em aplicações industriais.
um
O manômetro metálico mede a diferença entre a pressão interna do reservatório e a pressão atmosférica, ou seja, mede a pressão efetiva. Pman = Pint – Patm Pint : pressão interna Patm: pressão atmosférica Pman: pressão do manômetro Geralmente: Patm = 0 (escala efetiva), então:
Pman = Pint
A Figura 7-3 abaixo ilustra alguns aspectos internos de um manômetro metálico.
Figu ra 7-3
Exercício R.7.1. Uma empresa está desenvolvendo um relógio para ser usado em mergulho de profundidade no mar. Calcule: a) a pressão efetiva que o vidro do relógio deve resistir quando o mesmo estiver a 90 metros b) a força exercida pela água sobre o vidro do relógio, considerando que o mesmo tem diâmetro de 3 cm. a)
h = 90 m
H 2O
= 9800 N / m 3
→ P = H 2O . h = 9800 90 = 882000 N / m 2 = 2
→ A =
. d
(0,03)2
= 7,0686 10 − 4 m 2
b) d
= 3 cm = 0,03 m
P=
F N F = P . A = 882000 2 7,0686 10 − 4 = 623,5 N A m
4
=
4
882 kPa
81
Exercício R.7.2. Um tubo U é conectado a um tanque que contém vários fluidos. Um manômetro situado na parte superior do tanque indica uma pressão de 12 kPa. Sabendo que a densidade de glicerina é 1,36 e que a densidade do óleo é 0,80, calcule: a) a altura h na figura. b) a pressão absoluta do gás considerando o tanque no nível do mar
Na base do tanque a pressão é igual dos dois lados do tubo “U”, portanto:
+ óleo 0,60 + água 0,30 + glicerina 0,20 = glicerina h 12000 + (0,8 9800) 0,60 + 9800 0,30 + (1,36 9800) 0,20 = (1,36 9800) h h =1,67 m pGás
b) cálculo da pressão absoluta no nível do ma r: hHg = 760 mm = 0,76 m
Patm = Hg hHg = (13,6 9800) 0,76 = 101292,8 N / m2 = 101,3 kPa abs = PGás + Patm = 12 + 101,3 = 113,3 kPa PGás
Exercício R.7.3. Os tanques da figura estão totalmente preenchidos com um óleo leve cuja densidade é 0,82. Calcule a pressão sobre a base em cada um dos casos. 2m
2m
2
1
2m
2m 6m
2m
r
= 0,82
= r . H 2O
= 0,82 . 9800 = 8036 N m 3
Pelo teorema de Stevim, as pressões exercidas na base são iguais, pois os dois tanques tem a mesma altura :
P1 = .h1 = 8036. 2 = 16072 N / m2 P2 = .h2 = 8036. 2 = 16072 N / m 2 Exercício R.7.4. A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma profundidade máxima de 40 m. Se a pressão barométrica local é 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região mais profunda (Hg = 133280 N/m3). Cálculo da pressão atmosférica no local:
Patm = Hg . hHg = 133280 N m3 0,598 m = 79701,44 N / m 2 A pressão absoluta é obtida somando a pressão efetiva com a pressão atmosférica: abs P fundo
= Patm +
Pef
= Patm + H 2O . h H 2O = 79701,44 + 9800 40 = 471701,44 N / m2
abs P fundo = 472 kPa
82
Exercício R.7.5. Os tanques da figura contêm um mesmo produto químico de densidade 1,2. Na parte superior de cada tanque, sobre o produto químico, existe um gás cuja pressão é medida por manômetros. Considerando que sistema da figura está em equilíbrio, calcule a pressão indicada pelo manômetro (3), sabendo que o manômetro (1) indica 60 kPa.
1,2 × 1,2 ×980011760 ⁄ 60 60000 ⁄ 60000 ×5 ×211760×2 ⟹ 95280 ⁄ 11760×5 95280 ×3 ×7 11760×7 11760×3 ⟹ 142320 ⁄ Igualando a pressão no nível da conexão entre o primeiro e segundo tanque, obtemoa::
Igualando a pressão no nível da conexão entre o terceiro e quarto tanque, obtemoa::
Exercício R.7.6. No piezômetro inclinado da figura, temos 1 = 800 Kgf/m2 e 2 = 1700 Kgf/m2, L1 = 20 cm e L 2 = 15 cm, = 30 oC. Qual é a pressão em P1? L2 h1 = L1.sem h2 = L2.sem L1 h2 P1 = h1. 1 + h2. 2 = L1.sem . 1 + L2.sem . 2 P1 h1 P1 = 0,20 x sen 30 o x 800 + 0,15 x sen 30o x 1700
2
P1 = 207,5 Kgf/m
Exercício R.7.7. Dois tanques de combustível pressurizados estão interconectados por uma tubulação conforme mostra a figura abaixo. Dado que o manômetro metálico M1 indica uma pres são de 40 KPa e que o peso específico do combustível é 7000 N/m3, determine: a) a pressão indicada pelo manômetro M2; b) a pressão indicada pelo manômetro M3.
PM1 = 40 kPa = 40000 N/m 2
comb = 7000 N/m3
a) A pressão ao longo do plano AA’ é constante, portanto podemos fazer:
PM1 + comb . 10 = PM2 + comb . 6 40000 + 7000 . 10 = Pm2 + 7000 . 6
➔
PM2 = 68000 N/m2 = 68 kPa
b) O manômetro M3 mede a pressão no plano AA’, então:
PM3 = PM1 + comb . 10 = 40000 + 7000 . 10
➔
PM3 = 110000 N/m2 = 110 kPa
83
Exercício R.7.8. O sistema da figura está em equilíbrio e são conhecidas as seguintes medidas: h1 = 140 cm h2 = 180 cm h3 = 120 cm. Considerando que os pesos específicos do mercúrio, água e óleo são 133280 N/m3, 9800 N/m3 e 8800 N/m3 respectivamente, determine: a) a pressão do Gás A. b) a pressão do Gás B. c) a indicação do manômetro (m) m kPa. a) Considerando que a pressão é igual nos pontos e , obtemos:
Hg h1
=
pOleo
133280 1,4
=
h2 + PGasA
8800 1,80
+ PGásA PGásA =170952 N/m 2 =170,95 kPa
b) Considerando que a pressão é igual nos pontos e , obtemos:
PGásA = H 2O h3 + 170952
=
9800 1,20
PGasB
+ PGásB PGásB =158992 N/m 2
c) O manômetro (m) mede a pressão do gás B
Pman = PGásB =158992 N/m2 =158,9 kPa Exercício R.7.9. Na figura ao lado são conhecidas as seguintes medidas: h1 = 180 cm e h2 = 250 cm. Considerando que o peso específico do mercúrio é 133280 N/m3 e que o sistema está em equilíbrio, determine: a) a pressão do Gás A b) a indicação do manômetro (1), considerando que o manômetro (2) indica uma pressão de 115000 N/m2 para o Gás B
Considerando o manômetro em U com mercúrio do lado esquerdo, temos: Hg . h1
= PGasA +
H 2O . h 2
PGasA =
Hg . h1 − H 2O . h2
= 133280 1,8 −
9800
2,5
=
215404 N m 2
O manômetro metálico (2) indica a pressão do Gás B : PGasB = PM 2 = 115000 N m 2 O manômetro Metálico (1) indica a diferença de pressão entre os Gases ( A – B ):
P M 1 = PGasA − PGasB = 215404 − 115000 = 100404 N m 2 = 100,4 kPa Exercício R.7.10. O sistema da figura está em equilíbrio e a massa m sobre o pistão é de 10 kg. Sabendo que a altura h é 100 cm, determinar a pressão do Gás 2. Dados/Informações Adicionais: ➢
H2O = 9800 N/m3
➢
Desprezar o peso do pistão
A pressão do gás 1 pode ser calculada pelo delocamento da água ( h ) : h = 100 cm = 1 m PGas1
=
H 2O . h
= 9800
N 3
1 m = 9800
m A força exercida pelo gás 1 no pistão é :
N m
2
84
A = 400 cm 2 = 400 10 −4 m 2 F N PGas1 = Gás1 F Gás1 = PGás1 . A = 9800 2 400 10 − 4 m 2 = 392 N A m m A força peso da massa sobre o pistão é : G = m.g = 10 kg x 9,8 2 = 98 N s O balanço de forças do sistema é o seguinte : a força exercida pelo gás 1 mais o peso da massa sobre o pistão é quilibrado pela força exercida pelo gás 2.
F Gás 2 = F Gás1 + G F Gás 2 = 392 + 98 = 490 N A pressão do gás 2 é então :
PGas 2 =
F Gás 2 A
=
490 400 10
PGás 2 =
−4
12250
N = 12,25 kPa m2
Exercício R.7.11. O tubo tipo “U” da figura está preenchido com um óleo de peso específico 7552 N/m3. Um dos ramos tem diâmetro de 1,2 m e o outro tem diâmetro de 1,0 cm. No ramo de maior diâmetro existe um embolo de massa desprezível e sobre embolo uma massa de 500 kg. Calcule a altura “h” na figura.
D =1,2 m
A =
. D 2
4
=
2
(1,2)
4
= 1,131 m2
A pressão exercida pelo embolo é:
P=
G m.g 500 9,8 N = = = 4332,5 2 A A 1,131 m
Óleo
Esta pressão é a mesma no plano que passa pela base do embolo. Então:
P = .h
4332,5
N = 7552 h m2
h = 0,57 m
Exercício R.7.12. No dispositivo da figura a altura h da coluna de água é 50 cm e o jabuti pesa 12,65 N e o peso dos pistões são desprezíveis. As áreas do pistão sob o homem é A1 = 1000 cm2 e do pistão sob sobre o jabuti é A2 = 20 cm 2. A área da haste que sustenta o jabuti é A3 = 5 cm2. Como o sistema está em equilíbrio, calcule: a) a pressão do Gás 2; b) a pressão do Gás 1; c) o peso do homem. h = 50 cm = 0,5 m A2 = 20 cm2 = 20 x 10-4 m2 a) A pressão do Gás 2 é:
A1 = 1000 cm2 = 0,1 m 2 A3 = 5 cm2 = 5 x 10-4 m2
á .ℎ 9.800 ×0,5 4.900 á á ⟹ á á × 4.900 × 20×10− 5×10− 7,35 ∑ 0 ⟹ á á 0 ⟹ á 7,35 12,65 0 ⟹ á 20 á á 20×1020 − 10.000 Cálculo da força exercida pelo gás 2:
Como o sistema está em equilíbrio o somatório das forças deve ser zero. Pode-se então calcular a força exercida pelo gás 1: Cálculo da pressão do gás 1::
85
á ⟹ × 10. 0 00 á ×0,10 1000 Cálculo do peso do homem:
Exercício P.7.1. A pressão sanguínea das pessoas é usualmente especificada pela relação entre a pressão máxima (pressão sistólica) e a pressão mínima (pressão diastólica). Por exemplo, um valor típico de um ser humano adulto é 12 x 7 , ou seja, máxima de 12 cm de Hg e mínima de 7 cm de Hg. Determine o valor destas pressões em Pascal. Dado: Hg = 133280 N/m3
Exercício P.7.2. A figura mostra um tanque fechado que contém água. O manômetro indica que a pressão do ar é 48,3 kPa. Determine: a) a altura h da coluna aberta; b) a pressão no fundo do tanque; c) a pressão absoluta do ar no fundo do tanque se a pressão atmosférica for 101,13 kPa
Ar 0,6 m
h
Água
0,6 m
Exercício P.7.3. No manômetro da figura, o fluido A é água (peso específico de 1000 Kgf/m3) e o fluido B é mercúrio (peso específico de 13600 Kgf/m3). As alturas são h1 = 5 cm, h2 = 7,5 cm e h3 = 15 cm. Qual é a pressão no ponto P1. B h3 P1
A h2 h1
Exercício P.7.4. Um tanque tem a parte superior dividida em duas por uma chapa que não chega até o fundo, conforme figura. Inicialmente o tanque contém água. Em um dos lados é colocado um fluido desconhecido, que não se mistura com a água, até que as d imensões mostradas na figura sejam h1 = 80 cm e h2 = 45 cm. Considerando o sistema em equilíbrio, determine para o fluido desconhecido o peso específico, a massa específica e a densidade.
Exercício P.7.5. Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm, calcular : a) A pressão do Gás 2 b) A pressão do Gás 1, sabendo que o manômetro metálico indica uma pressão de 15000 N/m2 c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando que a pressão atmosférica local é 730 mmHg 86
Dados : oleo = 8000 N/m3
Hg = 133280 N/m3
agua = 9800 N/m3
H2O Gás 2 h3
Gás 1 Óleo
h1
h2
h4
Exercício P.7.6. No dispositivo da figura o manômetro indica 61600 N/m2 para a diferença de pressão entre o Gás 2 e o Gás 1. Dados água = 9800 N/m3 e Hg = 133280 N/m3, determinar:
a) A pressão do Gás 2 b) A distância x na figura.
Exercício P.7.7. O sistema da figura está em equilíbrio e o peso do porquinho é 200 N. Sabendo que a altura h é 50 cm, determinar a pressão do Gás 2. Dados/Informações Adicionais: ➢
Hg = 133280 N/m3
➢
Desprezar o peso do pistão e da plataforma.
h A= 50cm
2
Gás 1 Hg Gás 2
Exercício P.7.8. Considerando que o peso específico do óleo é 7000 N/m3 e que o sistema da figura está em equilíbrio, determine a altura x na figura.
87
Exercício P.7.9. A tubulação da figura transporta tetracloreto de carbono com densidade de 1,6 e o tanque B, conectado à tubulação, contém uma solução salina com densidade 1,15. Sabendo que a pressão do ar na parte superior do tanque B é 150 kPa, determine a pressão do tetracloreto de carbono no ponto A da tubulação.
Exercício P.7.10. Os três tanques da figura são interconectados e contém o mesmo produto químico cuja densidade é 0,95. Na parte superior de cada tanque existe um gás cuja press ão é medida por manômetros. Considerando que h1 = 8 m e h2 = 10 m e que a pre ssão indicada pelo manômetro M3 é 196 kPa, calcule: a) A pressão indicada pelo manômetro M2; b) A pressão indicada pelo manômetro M1.
Exercício P.7.11. No dispositivo da figura, que está em equilíbrio. Dados h1 = 1 m , h2 = 0,5 m e h3 = 0,5 m, determinar: a) a pressão do Gás 2. b) dado que o manômetro M1 indica 21740 N/m2 para a diferença de pressão entre o Gás 2 e o Gás 1, qual é a pressão do Gás 1. c) a indicação do manômetro M2. Dados/Informações Adicionais •
H2O = 9800 N/m3
e
Hg = 133280 N/m3
Exercício P.7.12. O sistema da figura está em equilíbrio. Considerando as alturas h1 = 160 mm e h2 = 25 mm, calcule: a) A pressão do Gás A b) A pressão absoluta do Gás A se para o local onde a pressão atmosférica equivale a 662 mmHg. c) A altura h3.
HO
Gás A
h1 h2
h3
HO
H
88
Vazão em Volume é o volume de fluido que escoa através de certa seção em um intervalo de tempo.
Q=
volume que passou pela seção
como
tempo
V = A . s Q =
=
V t
A
m 3 l m 3 cm 3 , , , s s h s
A . x x = A. = A . v t t
x
Q = v . A onde, v é a velocidade média do fluido e A é a área da seção
Vazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de certa seção em um intervalo de tempo.
Qm =
m t
como =
kg , kg , utm , utm s s h h m m = .V , V
Qm = . Q
e como
portanto :
Qm
=
.V
t
= .
V t
= . Q
Q = v . A , temos :
Qm = . v . A
Vazão em peso é o peso de fluido que escoa através de certa seção em um intervalo de tempo.
QG = como
G t
N N Kgf Kgf , , , s s h h
G = m . g QG =
m. g = Qm . g = . Q . g = . g . Q = .Q = . v . A , portanto: t
QG = . v . A
Consideremos um fluido escoando por uma tubulação no regime permanente. O regime permanente se caracteriza por não haver variações das propriedades do fluido em cada ponto, ou seja, as propriedades na seção [1] ( v1 , 1 , etc. ) são constante e as propriedades na seção [2] ( v2 , 2 , etc. ) também são constantes.
89
(2) (1)
Fluido
Como as propriedades ficam constantes, não pode haver acúmulo de massa entre [1] e [2], pois neste caso, pelo menos a massa específica variaria. Portanto, concluímos que no regime permanente a mass a em cada seção é a mesma, ou seja :
Qm1 = Qm2 = constante
( . v . A ) = k 1 . v1 . A1
em qualquer seção
(equação da continuidade)
= 2 . v2 . A2
Fluido incompressível: No caso em que o fluido é incompressível, como a sua massa específica é constante, a equação da continuidade poderá então ser escrita:
1 . v1 . A1
v1 . A1
= 2 . v2 . A2 , como 1 . = 2 .
= . v 2 . A2
Q 1 = Q 2 = constante
em qualquer seção
Portanto, se o fluido é incompressível a vazão em volume á a mesma em q ualquer seção. A partir desta equação pode-se obter a relação de velocidades em qualquer seção do escoamento.
v1 . A1 = v2 . A2
v 2 = v1 .
A1 A2
Portanto, a velocidade é maior nas seções de menor área.
Exercício R.8.1. Na tubulação convergente da figura, calcule a vazão em volume e a velocidade na seção 2 sabendo que o fluido é incompressível. A1 = 10 cm2 A2 = 5 cm2
Q1 = Q2 v1 . A1 = v2 . A2
v 1 = 5 m/s
v 2 = v1 .
A vazão em volume é :
A1 10 = 5 . =10 m / s 5 A2 (1)
(2)
2 m 2 − 4 m = 5 .10 −3 m 3 / s = 5 dm 3 / s = 5 l / s Q1 = v1 . A1 = 5 .10(cm ).10 2 s cm
Exercício R.8.2. Uma mangueira de jardim conectada a um bocal é usada para encher um balde de 40 litros. O diâmetro da mangueira é 2,0 cm e na saída do bocal o diâmetro é 0,8 cm. São necessários 50 s para encher o balde com água. Calcule: a) As vazões em volume e em massa de água na mangueira b) As velocidades da água na mangueira e na saída do bocal 90
a)
V balde
= 40 l = 40 10 −3
m3
t = 50 s
Cálculo da vazão em volume
Q
=
V t
=
40 10 −3 m 3 50 s
= 0,0008 m 3
s
Para o cálculo da vazão em massa, utilizamos a massa específica da água que é ρ = 1000 kg/m3
kg m3 Qm = . Q = 1000 3 0,0008 = 0,8 kg / s s m b) Para o cálculo das velocidades, precisamos calcular a área das seções da mangueira e da s aída do bocal.
d mang
= 2 cm → r mang = 1cm = 0,01m
Amang
d bocal = 0,8 cm → r mang = 0,4 cm = 0,004 m Q
= v . A
vmang vbocal
v
=
= . (r mang )2 = . (0,01)2 = 3,14 10−4 m 2 Abocal = . (r bocal )2 = . (0,004) 2 = 5,026 10−5 m 2
Q A
0,0008 m 3 s Q = = = 2,5 m / s Amang 3,14 10 −4
=
Q Abocal
=
0,0008 m 3 s 5,026 10 −5
= 15,9 m / s
Exercício R.8.3. Ar escoa em regime permanente num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 20 cm2 e a da menor seção é 10 cm2. A massa específica do ar na seção (1) é 0,12 utm/m3 enquanto que na seção (2) é 0,09 utm/m3. Sendo a velocidade na seção (1) 10 m/s, determine: a) a velocidade na seção (2); b) a vazão em massa de ar nas seções (1) e (2); c) a vazão em volume de ar nas seções (1) e (2). a) Como o ar é um fluido compressível, a equação da continuidade é:
1 . v1 . A1 = 2 . v2 . A2 utm m 0,12 3 .10 . 20(cm 2 ) . v . A m s v2 = 1 1 1 = = 26,7 m / s utm 2 . A2 2 0,09 3 .10(cm ) m
Qm1 = Qm2
(1)
2
b) As vazões em massa em (1) e (2) são iguais ( regime permanente ):
Qm
2 utm m 2 − 4 m = 1 . v1 . A1 = 0,12 3 .10 . 20(cm ).10 2 = m s cm
2,4 .10 −3
utm s
c) As vazões em volume em (1) e (2) são são diferentes ( fluido compressível ):
m Q1 = v1 . A1 = 10 . 20 10 − 4 (m 2 ) = 20 10 −3 m 3 s Q1 = 20 l s s m Q21 = v2 . A2 = 26,7 .10 10− 4 (m2 )= 26,7 10−3 m3 s Q1 = 26,7 l s s
91
Exercício R.8.4. No tanque misturador da figura 20 l/s de água ( = 1000 Kg/m 3) são misturados com 10 l/s de um óleo ( = 800 Kg/m3) formando uma emulsão. Determinar a massa específica e a velocidade da emulsão formada. Água
Óleo
A=30 cm2
Qe = Qa + Qo = 20 + 10 = 30 l / s Qme = Qma + Qmo
e .Qe = a .Qa + o Qo l kg l kg l e . 30 = 1000 3 . 20 + 800 3 .10 s m s m s Qe
= ve . A
e
kg = 933,33 3 m
2 l −3 m 3 2 − 4 m 30 .10 = ve . 30 (cm ).10 2 s l cm
ve = 10 m / s
Exercício R.8.5. Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo tempo, pela tubulação indicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da água na seção A, supondo desp rezível a variação de vazão com a altura.
Qtanque1 + Qtanque2 = Qtubo
V 1 V 2 + = v. A t t 2 . 2 . 2 m 3 4 . 4 . 4 m 3 + = v . 45 .10 − 4 (m 2 ) 500 s 500 s v = 32 m / s
2m
4m
45 cm2 (A)
Exercício R.8.6. Em uma indústria de sucos, um tanque cilíndrico refrigerado de 2 m de altura e 1,5 m de diâmetro é utilizado como reservatório de uma linha de engarrafamento de sucos. No início do expediente de trabalho, o indicador de nível está na marca que indica 1500 litros de suco. Depois de iniciado o engarrafamento o reservatório passa a ser passa a ser alimentado pela parte superior com suco novo que escoa por um tubo de ¼” de diâmetro a uma velocidade de 1,97 m/s. Na linha de engarrafamento, alimentada pelo reservatório, devem ser engarrafadas 7000 garrafas de 600 ml de volume até o final do expediente de 12 horas. Considerando que a massa especifica do suco é 1125 kg/m3, determine: a) A massa de suco no reservatório no início do expediente. b) A % do volume do tanque ocupado pelo suco no início do expediente. c) Determine a vazão, em litros/minuto, de suco novo que alimenta o reservatório após o início do engarrafamento. d) Determine a vazão, em litros/minuto, de suco necessário para enchimento das 7000 garrafas, considerando que a produção é continua. e) Determine a massa de suco no tanque ao final do expediente a) V suco
= 1500l = 1,5 m 3 , suco = 1125 kg
m
3
suco
=
m suco m suco = suco .V suco = 11251,5 = 1687,5 kg V suco
. (1,5)2 . D 2 . 2 = 3,53 m 3 %Vol = V suco .100 = 1,5 = 42,44% . H = b) H = 2m , D = 1,5 m V tan que = 3,53 V tan que 4 4 2 2 . d 0 , 00635 ( ) d = 1 4 = 0,00635m AS = = = 3,1669 10 −05 v = 1,97 m / s c)
4
4
QE = v . AS = 1,97 3,1669 10 −05 = 6,2388 10 −05 = 3,74 litros / min 92
d) Vgarr e)
= 600 ml = 0,6
litro
t = 12h = 720 min n = 7000 QS =
= QS − Q E = 5,83 − 3,74 = 2,09 litros / min V final 0 V inicial = 1500litros Q L
V consumido
Vgarr . n
t
=
0,6 * 7000 720
= 5,83 litros / min
= Q L . t = 2,09 720 = 1504litros
Exercício R.8.7. Água é descarregada de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de diâmetro localizado na base. A vazão de água descarregada pelo tubo é 10 litros/s. Determinar: a) o tempo que a superfície livre da água levará para descer 20 cm. 5m 5 m b) a velocidade da água no tubo
x = 20 cm = 0,2 m D = 5 cm = 0,05 m Q = 10 l / s =10 10−3 m3 s a) O volume descarregado é: V desc = x. L. L = 5 5 0,2 = 5 m 3 a) L = 5 m
A vazão de descarga é:
Q=
0,2 m
V desc V 5 t = desc = = 500 s t Q 10 10 −3
b) A área da seção do tubo é:
A =
. D 2
4
=
(0,05)
4
2
= 0,001963m 2
D
Q 10 10−3 A velocidade na descarga é: Q = v. A v = = = 5,1 m / s A 0,001963
Exercício P.8.1. Água é descarregada de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de diâmetro localizado na base. A vazão de água no tubo é 10 l/s. Determinar a velocidade de descida da superfície livre da água do tanque e, supondo desprezível a variação de vazão, determinar o tempo que o nível da água levará para descer 20 cm.
Exercício P.8.2. Dois reservatórios cúbicos de 10 m e 5 m de aresta, são enchidos por água proveniente de uma mesma tubulação em 500 s e 100 s, respectivamente. Determinar a velocidade da água na tubulação sabendo que o seu diâmetro é 1,0 m.
Exercício P.8.3. O avião esboçado na figura voa a 971 km/h. A área da seção frontal de alimentação de ar da turbina é igual a 0,8 m2 e o ar, neste local, apresenta massa específica de 0,736 kg/m3. Um observador situado no avião detecta que a velocidade dos gases na exaustão da turbina é igual a 2021 km/h. A área da seção transversal da exaustão da turbina é 0,558 m2 e a massa específica dos gases é 0,515 kg/m3. Determine a vazão em massa de combustível utilizada na turbina.
93
Exercício P.8.4. Ar escoa em um tubo divergente, conforme a figura abaixo. A área da menor seção do tubo é 60 cm2 e a da maior seção é 120 cm2. A velocidade do ar na seção (1) é 16 m/s enquanto que na seção (2) é 5 m/s. Sendo a massa específica do ar na seção (1) é 0,025 kg/m3, determine: a) a massa específica do ar na seção (2); b) a vazão em massa de ar nas seções (1) e (2); c) a vazão em volume de ar nas seções (1) e (2).
Dados/Informações Adicionais: •
Considere regime permanente e lembre-se que o ar é um fluido compressível
Exercício P.8.5. Calcule o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente.
Exercício P.8.6. Uma pistola d’água tem um reservatório de água com volume de 100 ml. Quando a pistola é acionada o reservatório é totalmente esvaziado em 2 segundos. O bocal por onde o esguicho de água sai tem diâmetro de 1,5 mm. Calcule: a) a vazão da água da pistola em m3/s; b) a velocidade da água na saída do bocal; c) considerando que a pistola é acionada na posição horizontal e desprezando a resistência do ar, qual é tempo para que o jato de água percorra uma distância de 5 metros.
Exercício P.8.7. Um reservatório cilíndrico com 4 m de altura e 3 m de diâmetro, completamente cheio com água, é completamente descarregado para um reservatório inferior, de formato cúbico com 3 m de aresta, através de uma tubulação de diâmetro 9 cm situada na base na base do reservatório cilíndrico. Determine: a) se a água descarregada para o reservatório cúbico transborda ou não e qual é o volume que sobra ou falta. b) a velocidade média da água no tubo de descarga, considerando que é gasto um tempo de 5 minutos para encher o reservatório cúbico.
94
Premissas Simplificadoras : • • •
Fluido ideal ( = 0 , escoa sem perda de energia ) Regime permanente Fluidos incompressíveis ( líquidos )
➢
Energia Potencial de Posição ( EPPo )
G z
Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento
EEPo = G . z ,
como G = m . g
EEPo = m.g. z ➢
onde, m : massa
g : aceleraçãoda gravidade
z : altura
Energia Potencial de Pressão ( EPPr )
P = .h h =
Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento
h
P
P
EPPr = G . h
EE Pr = G.
➢
P
onde, G : peso pe so
P : pressã pre ssãoo
pe so específico : peso
Energia Cinética ( Ec )
Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento
Ec = F . x ,
como: F = m . a
x = ½ .a.t 2
v = a.t
Ec = (m.a). ½ at 2 = ½ . m.(a.t) 2 = ½ . m . v 2
1
Ec = .m.v 2 2
➢
onde, m : massa
v : velocidade
Energia Total ( E )
A energia total do fluido é a soma das parcelas. E = EPPo + EPPr + Ec
95
Como exemplo ilustrativo das três forma da energia, consideremos o escoamento de água em uma seringa, conforme mostra a figura abaixo. A força aplicada aplicada no êmbolo produz uma pressão maior que a atmosférica no ponto (1) do (1) do escoamento. A água escoa pela agulha, ponto (2), (2), em alta velocidade e atinge o ponto (3) onde (3) onde para antes volta a cair. Portanto, a energia que foi foi passada para o líquido através do êmbolo se manisfeta no ponto (1), (1), principalmente na forma de pressão. No ponto (2) a (2) a energia está preponderante na forma cinética e no ponto (3) a (3) a energia está essencialmente es sencialmente na forma potencial.
(3)
(2)
Tipo de Energia
(1)
Ponto
Cinética
Potencial
Pressão
(1)
Pequena
Zero
Grande
(2)
Grande
Pequena
Zero
(3)
Zero
Grande
Zero
“No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante”
E1 = E2
ou
EPPo1 + EPPr1 + Ec1 = EPPo2 + EPPr2 + Ec2
m.g. z1 + G.
P1
+
1 2
.m.v12
ou
P2
= m.g. z 2 + G.
+
1 2
.m.v 22
Pelo princípio de conservação da energia, temos :
m.g. z1
+ G.
P1
+
2 m.v1
2
= m.g. z 2 + G.
P2
+
2 m.v 2
2
Como, G = m.g , temos :
G . z1
+ G.
P1
2
+
G.v1
2.g
= G. z 2 + G.
2
P2
+
G.v 2
2.g
Dividindo ambos membros por G, temos :
z1
+
P1
+
v12
2.g
= z 2 +
P2
+
v 22
2.g
ou H 1 = H 2
ç ã ã ⁄⁄ ã ã ⁄ 2.2. ãã ⁄ onde,
96
Exercício R.9.1. R.9.1. O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água descarregada, se a seção do tubo é 10 cm2. (1) 10 m
(2) 2m
Para aplicar a equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície livre da água e (2) a saída do tubo. Portanto, temos que q ue :
z1
H1 = H2 , ou seja:
+
P1
2
+
v1
2.g
= z 2 +
P2
2
+
v2
2.g
Como adotamos a escala efetiva de pressão, as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica. Em relação ao plano de referência, temos que : z1 = 10 e z2 = 2 Como o tanque tem grandes dimensões, a velocidade da superfície livre da água pode ser considerada desprezível. Portanto : v1 = 0 Logo, a equação de Bernoulli fica reduzida à :
z1 = z 2
+
v 22 2.g
➔
v2
=
m (10 − 2)(m) s 2
2 . g . ( z1 − z 2 ) = 2 9,8
➔
v 2 = 12,5 m s
A vazão em volume será :
m 10 − 4 (m 2 ) = 0,0125 m 3 s Q = v 2 . A2 = 12,5 10 s
Q = 12,5 l s
➔
Exercício R.9.2. Um R.9.2. Um tanque cilíndrico de grandes dimensões contém água. Em ponto situado a 5 metros abaixo da superfície da água é feito um furo circular de 1/2 polegada de d iâmetro. Considerando a água como um fluido ideal, calcule: a) a velocidade da água na saída pelo furo; b) a vazão de água (em m3/s) que flui através do furo; c) a vazão de água em litros/minuto.
v12 P2 v22 z1 + + = z 2 + + onde : 2.g 2.g z 2 = 5 m P2 = 0 ( pressão pres são atmosférica efetiva) v2 = 0 ( reservatór io de grandes dim ensões) P1
5+0+0
d =
= 0+0+
v22 2.9,8
1 " = 0,0254 = 0,0127 m 2 2
Q = v . A = 9,9 1,27 10 −4
A =
z 2 = 0 (nível de referência) P2 = 0 ( pressão pres são atmosférica efetiva) v2 = ?
v2 = 9,9 m / s
.d 2 d 4
=
2
.(0,0127)
4
= 1,27 10 − 4
Q = 0,00125 m 3 / s
m3 litros s Q = 0,00125 1000 3 60 = 75,2 litros / min s min m 97
O venturi consiste de uma tubulação cuja seção varia até um minímo e, novamente, volta a ter a mesma seção inicial. Este tipo de estrangulamento é denominado de garganta. A equação de Bernoulli aplicada entre as seções (1) e ( 2) na figura abaixo fornece :
z1
+
P1
2
+
v1
2.g
= z 2 +
P2
2
+
− v12
2
v2
v2
2.g
=
2g
−
P1
P2
Como v2 > v1 , temos que P1 > P2 , pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferença de pressão entre as seções (1) e (2). Portanto, medindo-se a diferença de pressão e conhecendo-se as áreas da seções, p ode-se calcular a vazão com este dispositivo, pois pela equação da continuidade, temos :
Q
= v1 A . 1 =
v 2 . A2
Exercício R.9.3. No Venturi da figura água escoa como fluido ideal. A área na seção (1) é 20 cm2 enquanto que a da seção (2) é 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio ( Hg = 13600 kgf/m3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível “h” de 10 cm. Pede-se a vazão em volume de água ( H2O = 1000 kgf/m3 ) (1) (2) x h
(a)
(b) Hg
H1 = H2
z1
ou
+
P1
+
v12
2.g
= z 2 +
P2
+
v 22
2.g
Como os centros geométricos das seções (1) e (2) estão na mesma altura : z1 = z2 , portanto :
P1
+
v12 2. g
=
P2
+
v 22 2.g
P1
−
P2
=
v 22 2.g
−
v12
2. g
P1
− P2
=
v 22
− v12
2.g
Como A2 < A1 ➔ v 2 > v 1 ( energia cinética aumenta ) ➔ energia de pressão diminui ( P2 < P1 ) A pressão em (a) é igual a pressão em (b) : Pa = Pb , ou : P1 + H2O . x + H2O . h = P2 + H2O . x + Hg . h P1 – P2 = ( Hg - H2O ) . h = ( 13600 – 1000 ) . 0,10 = 1260 kgf/m2 Substituíndo em , temos :
P1
− P2
2
=
v2
− v12
2.g
− v12 = 1000 2 9,8 1260
2
v2
v
2 2
− v = 24,7 2 1
m s
2
2
Pela equação da continuidade, temos :
Q1
= Q2
v1 . A1 = v 2 . A2
v1
= v2 .
A2 A1
= v2 .
( ) 20 (cm )
10 cm 2
2
v1 =
v2 2
Substituíndo em , temos :
98
2
v v − 2 = 24,7 v2 = 5,7 m / s 2 2 2
Portanto, a vazão em volume será :
Q = v2 . A2 = 5,7 10 10−4 = 5,7 10−3
Q = 5,7 l / s
Máquina é qualquer elemento, que introduzido no escoamento, é capaz de fornecer ou retirar energia do fluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos : Bomba : qualquer máquina que fornece energia ao fluido Turbina : qualquer máquina que retira energia do fluido
• •
Consideremos um escoamento de um fluido. Se não houver máquina no escoamento, sabemos que :
(1)
z1
+
P1
+
v12
2.g
= z 2 +
P2
+
(2)
v 22
ou
2.g
H1 = H2
Caso haja uma máquina no escoamento, teremos o seguinte
M (1) a) Se for bomba :
H1
+
(2)
HB = H2
( H1 < H2 )
onde , HB = carga manométrica da bomba ( m ) a) Se for turbina :
H1
-
HT = H2
( H1 > H2 )
onde , HT = carga manométrica da turbina ( m ) Portanto, a equação de Bernoulli ficará assim :
H 1
+
H M = H 2
ou
onde H M = +H B ( se bomba )
z1
+
P1
2
+
v1
2.g
+ H M =
z 2
+
P2
2
+
v2
2.g
ou H M = -H T ( se turbina )
Potência Retirada ou Fornecida e Rendimento Da definição de trabalho, temos : Trabalho = Força x Deslocamento
W = G H M
W =
como : =
G G = V , então : V
V H M 99
dividindo pelo tempo, obtemos :
W V H M = t t
=
=
como :
W ( potência ) e t
Q=
V , obtemos : t
Q H M
Unidades de Potência :
N m J N m 3 = 3 m= = = W s s s m
Sistema Internacional →
kgf m kgm kgf m 3 kgm Sistema Métrico → = 3 m= = ( 1 CV = 75 ) s s s s m potência útil O Rendimento ( ) é definido como : = potência realmente fornecida •
No caso da bomba a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potência da máquina, assim :
Na Bomba : B
=
B
B =
B
onde B é o rendimento da bomba. •
No caso da turbina a potência útil da máquina é menor que a potência fornecida pelo fluido, assim :
Na Turbina : T
=
T
T = T
onde T é o rendimento da turbina.
Exercício R.9.4. O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da s eção do tubo é 10 cm2. (1) 20 m
(2) 5m
M A velocidade na saída do tubo pode ser obtida através da vazão
Q = v 2 . A
→
v2
=
Q A
=
(
10 10 −3 m 3 / s 10 10
−4
(m ) 2
) = 10 m / s
Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v 1=0 ) e (2) a saída do tubo. H1
+
HM = H2
z1
+
P1
+
v12 2.g
+ H M =
z 2
+
P2
+
v 22 2.g
100
Como as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica, temos que :
10 2
20 + 0 + 0 + HM = 5 + 0 +
2 9,8
Hm = - 9.9 m
➔
Como no sentido do escoamento o HM ficou negativo, então a máquina é uma turbina. A potência é: 3 N m N J −3 m = Q H M = 9800 3 (10 10 ) 9,9 m = 970,2 = 970,2 = 970,2W s s s m
Nem toda potência posta em jogo pelo fluido é aproveitada pela turbina, assim :
T
=
T
T = T = 970,2 0,75 =
727,6 W
Exercício R.9.5. Uma empresa de energia utiliza um sistema de “armazenamento” de energia confor me mostra a figura. A noite, quando sobra energia, é feito um bombeamento de água de um lago para um reservatório elevado e, durante o dia esta água é utilizada para gerar energia em uma turbina. Considerando que a vazão de água é sempre 500 litros/s e que os rendimentos da bomba e da turbina são 70%, calcule: a) a potência ( em kW ) necessária na bomba; b) a potência ( em kW ) recuperada na turbina
a) Tomando a seção (1) como a superfície livre do lago e a seção (2) como a superfície livre do reservatório e aplicando Bernoulli para máquina no escoamento, temos:
v12 P v2 + H M = z 2 + 2 + 2 2.g 2.g z1 = 0 (nível de referência) P1 = 0 ( pressão atmosférica efetiva) v1 = 0 ( lago de grandes dim ensões) z1 +
P1
+
+ 0 + 0 + H M = 80 + 0 + 0 H M = + H B H B = 80 m 0
onde : z 2 = 80 m P2 = 0 ( pressão atmosférica efetiva) v 2 = 0 ( reservatór io de grandes dim ensões)
H M = 80 m ( é uma Bomba )
A vazão de 500 litros/s, correspode a 0,5 m3/s. Portanto, a potência requerida para o bombeamento é:
= Q H B = 9800
N m N m3 J m ( ) = = = 392000 W 0 , 5 80 392000 392000 s s s m3
A potência requerida na bomba deve levar em conta o rendimento, assim : B
=
B
B =
B
=
392000 0,70
= 560000 W
B = 560 KW 101
b) Tomando a seção (2) como a superfície livre do reservatório e a seção (3) como a superfície livre do lago e aplicando Bernoulli para máquina no escoamento, temos:
z 2 +
P2
+
P v2 v 22 + H M = z 3 + 3 + 3 2. g 2. g
onde :
z 2 = 80 m P2 = 0 ( pressão atmosférica efetiva) v 2 = 0 ( reservatór io de grandes dim ensões)
+ 0 + 0 + H M = 0 + 0 + 0 H M = − H T H T = 80 m
80
z 3 = 0 (nível de referência) P3 = 0 ( pressão atmosférica efetiva) v 3 = 0 ( lago de grandes dim ensões)
H M = − 80 m ( é uma Turbina )
A potência fornecida pelo fluido é:
= Q H T = 9800
N m N m3 J ( ) m 0 , 5 80 392000 392000 = = = 392000 W s s s m3
A potência aproveitada na turbina deve levar em conta o rendimento, assim : T
=
T
T = T =
39200
0,70 =
274400 W
T =
274,4 KW
Portanto, levando em conta as perdas nas máquinas, a energia aproveitada é bem menor que a energia utilizada para o “armazenamento”.
Exercício R.9.6. Uma bomba é utilizada para transferir 600 litros/minuto de combustível entre dois grandes tanques conforme detalhado na figura. A pressão na parte superior do primeiro tanque é mantida em 60 kPa enquanto que a parte superior do segundo reservatório é mantida em 40 kPa. A tubulação para transporte do combustível tem diâmetro interno de 1,5” (polegadas). Considerando que o
combustível tem peso especifico de 8000 N/m3 e pode ser considerando fluido ideal, determine : a) a velocidade do combustível na descarga do tubo no interior do segundo tanque; b) a potencia da bomba considerando rendimento de 70%
Q = 600 litros / min =
600 10 −3 m 3 60 s
= 0,01 m3 s
Comb = 8000 N
m3
a) A velocidade na descarga pode ser obtida a partir da vazão e da área da seção do tubo:
d = 1,5 = 1,5 0,0254 = 0,0381 m Q = v . A v =
A =
2 .d
4
=
(0,0381)
4
2
= 0,00114 m 2
Q 0,01 = = 8,771 m / s A 0,00114
b) Escolhendo a seção (1) como a superfície do combustível no primeiro tanque e a seção (2) como o ponto de descarga no interior do segundo tanque, podemos obter dos dados as cargas de posição, pressão e velocidade: 102
z1 = 5 m
z 2 = 17 m
P1 = 60 kPa = 60000 N / m 3 v1 0 ( tan que grande )
P2 = 40 kPa = 40000 N / m 3 v 2 = 8,771 m / s (calculado no item " a")
Aplicando Bernoulli, obtemos a carga manométrica da bomba:
v12 P2 v 22 z1 + + + H M = z 2 + + 2.g 2.g P1
5
+
60000 8000
+
02
+ H M = 17 +
2 9,8
40000 8000
+
(8,771)2
H M = 13,425 m
2 9,8
Calculo da potência, considerando rendimento de 70%:
= B =
. Q . H M
B
=
=
8000 0,01 13,425
1074,018 0,7
=
= 1074,018 W
1534,311 W
B
1,5
KW
Se o fluido não for ideal, devido ao efeito do atrito, ocorrerá uma dissipação da energia do fluido entre as seções (1) e (2). Energia dissipada
(1)
(2)
Neste caso, temos que : H1 > H2 Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portanto, a equação de Bernoulli ficará assim : H1 = H2 + HP onde, HP = energia dissipada entre (1) e (2) ou “perda de carga” Levando em conta a presença de uma máquina no escoamento, teremos : H1 + HM = H2 + HP
ou z1
+
P1
+
v12 2.g
+ H M =
z 2
+
P2
+
v 22 2.g
+
H P
A perda de carga (perda de energia) de um fluido escoando por um circuito hidráulico depende de: •
diâmetro da tubulação. vazão, ou mais especificamente, da velocidade de escoamento.
•
rugosidade interna do tubo e, portanto, do material de fabricação do tubo (aço, PVC, etc.).
•
comprimento da tubulação.
•
singularidades existentes no circuito. São chamadas de singularidades as peças, dispositivos ou conexões (curvas, válvulas, registros, válvulas de retenção, luvas de redução etc.) nos quais ocorrem perdas de carga localizadas. A perda de carga em função da vazão, para os vários diâmetros e tipos de tubos, é normalmente apresentada em tabelas ou ábacos, usualmente para cada metro de comprimento de tubulação, nos livros de Mecânica dos Fluidos. •
Exercício R.9.7. Na instalação da figura a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). 103
(1) 5m (2) B A vazão de água pelo tubo é :
Q = v . A = 5 (10 10−4 ) = 0,005 m 3 / s A altura manométrica da bomba é obtida considerando que :
= H B =
Q H B e B
=
B
ou = B B
→
H B =
B B Q
0,80 = 58,8 m 9800 0,005 3600
Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v 1=0 ) e (2) a saída do tubo. ou z1
H1 + HM = H2 + HP
5
+0+
0
+ 58,8 =
0
+
0
+ +
P1
+
v12 2.g
52 2 9,8
(+ H B ) =
z 2
+
P2
+
v 22 2.g
+
H P
+ H P H P = 62,5 m
Exercício R.9.8. Uma cidade capta água em um lago de 86400 m2 de área. O sistema de captação utiliza uma tubulação de 20,6 cm de diâmetro e bombeia água até um reservatório na cidade. Não sendo abastecido, o nível da água no lago abaixa 10 cm em dia (24 horas). Considerando a água um fluido ideal, determine: a) a vazão de água em m3/s b) a velocidade da água na descarga em m/s c) a potência da bomba ( em kW ), considerando que seu rendimento é 65%. a) A vazão de água na descarga pode ser obtida a partir do abaixamento do lago no tempo:
A = 86400m 2
x = 10 cm = 0,1 m
V H O = A. x = 86400 0,1 = 8640 m3 2
t = 24h = 86400s V 8640 Q H O = H O = = 0,1 m3 / s t 86400 2
2
b) Cálculo da velocidade da água na descarga:
d = 20,6 cm = 0,206 m Q = v . A v =
A =
.d 2
4
(0,206)
2
=
4
= 0,0333m 2
Q 0,1 = = 3m / s A 0,0333
Escolhendo a seção (1) como a superfície do lago e a seção (2) como o ponto de descarga no reservatório da cidade, podemos obter dos dados as cargas de posição, pressão e velocidade: 104
z1 = 0 m P1 = 0 (atmosfera) v1 0 ( lago grande)
z2 = 20 m P2 = 0 (atmosfera) v2 = 3 m / s
Aplicando Bernoulli, obtemos a carga manométrica da bomba:
z1
0
+
P1
+ 0+
+
v12
2.g 02
2 9,8
+ H M = z2 +
P2
+
v22
2 .g
2 3) ( + H M = 20 + 0 +
2 9,8
H M
= 20,45 m
Calculo da potência, considerando rendimento de 70%:
= B =
. Q . H M
B
=
=
20050 0,65
9800 0,1 20,45
=
= 20050W
B
30846 W
30,8
KW
Exercício R.9.9. Em uma instalação hidráulica uma bomba é utilizada para levar água de um grande lago para um tanque elevado através de uma tubulação de 2” (2 polegadas) de diâmetro interno a uma vazão de 36 m 3 por hora. A perda de carga (HP1-2) entre as seções (1) e (2) é 10 m e a perda de carga (HP2-3) entre as seções (2) e (3) é 7 m. a) Considerando que a pressão P2 indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 313,6 kPa, calcule a potência da bomba para rendimento de 82%. b) Calcule o valor da distância x indicada na figura.
a) Cálculo da velocidade da água na descarga:
d = 2" = 0,0508m Q = v . A v =
A =
2 .d
4 0,01
(0,0508)
2
=
4
= 0,00203m 2 Q = 36 m3 / h = 0,01 m3 / s
Q = = 4,93 m / s A 0,00203
A seção (1) é a superfície do lago e a seção (2) é o ponto medição da pressão P2.
Seção (1) z1 = 0 ; P1 = 0 ; v1 0
Seção (1) z2 = 7 m ; P2 = 313,6 kPa = 313600 N / m3 ; v2 = 4,93 m / s
Aplicando Bernoulli, obtemos a carga manométrica da bomba:
z1 +
P1
+
v12 P v2 + H M = z 2 + 2 + 2 + H P1−2 2.g 2. g
0 + 0 + 0 + H M = 7 +
313600 9800
+
(4,93)2 2 9,8
+ 10 H M = 50,24 m
Calculo da potência, considerando rendimento de 70%:
105
= B =
. Q . H M
B
=
=
9800 0,01 45,24
4923,7 = 6004 W 0,82
= 4923,7 W
B
6
KW
b) Agora a seção (2) é o ponto medição da pressão P2 e seção (3) é o ponto de descarga na atmosfera:
Seção (2) z2 = 7 m ; P2 = 313,6 kPa = 313600 N / m3 ; v2 = 4,93 m / s Seção(3) z3 = ? ; P3 = 0 ; v3 = 4,93 m / s Aplicando Bernoulli, obtemos a carga manométrica da bomba:
P2
v22 P3 v32 z2 + + + H M = z3 + + + H P 2−3 2.g 2.g 7
+
313600 9800
+
(4,93)2 2 9,8
+ 0 = z3 + 0 +
(4,93)2 2 9,8
+ 7 z3 = 32 m e x = z3 − 7 = 32 − 7 = 25 m
Exercício P.9.1. A água contida em um reservatório elevado, de grandes dimensões, alimenta por gravidade a linha de engarrafamento, em uma fábrica de água mineral gasosa, conforme mostra a figura. O reservatório é pressurizado e o manômetro no topo indica uma pressão de 50 kPa. O diâmetro da tubulação de descarga é 1,6 cm. Considerando a água um fluido ideal, determine : a) a velocidade da água mineral na saída da tubulação de descarga b) o número de garrafões de 20 litros que podem ser enchidos por hora.
Exercício P.9.2. No Venturi da figura querosene ( densidade: r = 0,85 ) escoa como fluido ideal. A área na seção (1) é 24 cm2 enquanto que a da seção (2) é 12 cm2. As velocidades médias do querosene nas seções (1) e (2) são 4,5 m/s e 9 m/s, respectivamente. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio ( = 133280 N/m3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível “h”. Pede-se desnível “h” indicado.
106
Exercício P.9.3. A seringa da figura contém água. A área do êmbolo em contato com a água é de 1,7 x 10-4 m2. Considerando que a força exercida no êmbolo é de 5 N e que a velocidade de deslocamento do êmbolo é 1 cm por segundo, determine a altura alcançada (z2) pelo jato de água. OBS: considere a água um fluido ideal.
Exercício P.9.4. Em uma indústria de engarrafamento de água mineral, a água de um reservatório de grandes dimensões situado no piso inferior, deve ser bombeada para alimentar a linha de engarrafamento. O diâmetro da tubulação de recalque é 1,6 cm. Considerando que a altura manométrica (HB) da bomba é 13 m e que a água se comporta como um fluido ideal, determine : a) a vazão de água recalcada b) o número de garrafões de 20 litros que podem ser enchidos por hora. B
5m
Patm 15 m
,
Exercício P.9.5. Deseja-se elevar água do reservatório , que tem grandes dimensões, para o reservatório a uma vazão de 4 litros/s. Sabe-se que a tubulação de sucção (antes da bomba) tem diâmetro interno de 2” (2 polegadas) e que a tubulação de recalque (após a bomba) tem diâmetro interno de 1” (1 polegada). Considerando que os dois reservatórios são abertos para a atmosfera, determine: a) A velocidade da água na tubulação de sucção. b) A velocidade da água na tubulação de recalque. c) A potência da bomba para rendimento de 70% d) O tempo necessário para se encher o reservatório sabendo que o volume do mesmo é 10 m3.
20 m
B 2m
107
Exercício P.9.6. Na instalação da figura a máquina é uma turbina e o fluido é água. A turbina tem potência de 500 W e seu rendimento é 85%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 3 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm 2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). (1) 25 m (2) T
Exercício P.9.7. Água escoa através da instalação esboçada na figura. A canalização que conduz a água tem um diâmetro interno de 10 cm. A água deve ser considerada como fluido ideal e o tanque da figura tem grandes dimensões. a) Dado que a vazão de água é 126,33 litros/s, determinar a potência fornecida ( ou recebida ) pela água pela máquina M, indicando se é uma bomba ou uma turbina. b) Determine a potência da máquina se o seu rendimento for 65%.
Exercício P.9.8. Em um pequeno edifício, uma bomba é utilizada para recalcar água de um reservatório subterrâneo para uma caixa d´agua situada no topo do edifício. A tubulação de recalque, conforme mostra a figura, tem diâmetro de ½” ( 0,5 polegadas ) e a vazão de água é 3 litros/s. Considerando a água um fluido ideal, determine : a) a altura manométrica da bomba b) a potência da bomba ( em HP ), considerando que o seu rendimento é 65% Dados/Informações Adicionais • •
reservatório subterrâneo tem grandes dimensões e está aberto para a atmosfera g= 9,8 m/s
1”=2,54 cm
1 HP =745,7 W
108
Exercício P.9.9. Em uma pequena usina hidroelétrica, uma única turbina é acionada pela água de uma represa de 360000 m 2 de área superficial, situada em uma região elevada. Não sendo abastecida, o nível da água na represa abaixa 10 cm em uma hora ( 60 mi nutos ). A tubulação que conduz a água tem 1,1 m de diâmetro e, após passar pela turbina, descarrega a água em um rio. Considerando a água como fluido ideal, determine: a) a vazão de água em m3/s b) a velocidade da água na descarga em m/s c) a potência da turbina (em MW), considerando que seu rendimento é 66%.
Represa
40 m
120 m
T Descarga para o rio
Exercício P.9.10. Em uma indústria de engarrafamento de água mineral gasosa, a água de um reservatório de grandes dimensões, situado em um nível inferior, é utilizada para alimentar uma linha de engarrafamento. O reservatório é fechado e um manômetro indica uma pressão de 49 kPa para o gás na parte superior do reservatório. Para elevar a água existe uma instalação de bombeamento cuja tubulação tem 1,0” (uma polegada) de diâmetro interno. Cons idere que a perda de carga (HP) na instalação equivale a 5 m.
a) sabendo que a linha de engarrafamento opera continuamente e que engarrafa 3600 garrafas de 2 litros por hora, calcule a vazão de água bombeada; b) calcule a potência da bomba para rendimento de 75%; c) calcule qual deveria ser a pressão do gás na parte superior para manter a vazão de água mesmo com a bomba retirada da instalação (considerar a mesma perda de carga).
109
Consideremos uma aleta de seção uniforme, conforme mostrado na Figura 10-1, afixada em uma superfície base com temperatura TS e em contato com um fluido com temperatura T e coeficiente de película h. Para um elemento diferencial de volume, localizado em uma distância x da base e com um comprimento dx , o balanço de energia pode ser expresso como:
Figu ra 10-1
ã ç ã [ ç ã [ ç [
̇ ̇+ ̇. . .. .. . .. Na forma simbólica esta equação torna-se:
Equação 10-1
onde P é o perímetro da aleta, At é a área da seção transversal da aleta e (P.dx ) a área entre as seções x e ( x+dx ) em contato com o fluido.
ℎ... . . ℎ.. . .
Se h e k podem ser considerados constantes a Equação 10-1 pode ser simplificada para:
Equação10-2
. : .. , −
A Equação 10-2 é uma equação diferencial linear ordinária de segunda ordem. A teoria das equações diferenciais afirma que tal equação tem duas soluções linearmente independentes. As soluções são f unções exponenciais, múltiplos delas ou combinação linear de fun ções exponenciais como a funções hiperbólicas. A solução geral é, po rtanto, da forma apresentada na Equação 10-3. Equação 10-3
. . −
onde C1 e C2 são constantes para serem determinadas através de duas condições de contorno apropriadas. A primeira das condições de contorno é que a temperatura da base da barra é igual à temperatura da superfície na qual ela está afixada, ou seja:
•
Primeira condição de contorno:
0 →
Levando a condição acima na Equação 10-3 e considerando que e0 = 1, obtemos: 110
. . . −.
Equação 10-4
De acordo com a segunda condição de contorno, que depende das condições adotadas, teremos três casos básicos:
•
Segunda condição de contorno: Caso A: Aleta muito longa
Neste caso, a temperatura da aleta se aproxima da temperatura do fluido ou T = T quando x → . Substituindo essa condição na Equação 10-3, obtemos: Equação 10-5
. . . −
Como o segundo termo da Equação 10-5 é zero (1/), a condição de contorno é satisfeita apenas se C1=0.
T T
Substituindo C1 por 0, na Equação 10-4, na condição da base da aleta, obtemos:
∞ ∞.
Levando os valores de C1 e C2 na Equação 10-3 a distribuição de temperatura torna-se: Equação 10-6
̇ .. =
Como o calor transferido por condução através da base da aleta deve ser transferido por convecção da superfície para o fluido, temos: Equação 10-7
Diferenciando a Equação 10-6 e substituindo o resultado para x = 0 na Equação 10-7, obtemos:
̇ k.A.(. T T. −.)]= k.A. .ℎ. . T T. . . √ h..P . T T Equação10-8
̇ ... .
A Equação 10-8 fornece uma aproximação razoável do calor transferido, na unidade de tempo , em uma aleta finita, se seu comprimento for muito grande em comparação com a área de sua seção transversal.
•
Segunda condição de contorno: Caso B: Aleta de comprimento finito, com perda de calor pela extremidade desprezível
Neste caso, a segunda condição de contorno requererá que o gradiente de temperatura em x=L seja zero, ou seja,
dT dx = 0
em x=L.
A condição na base da aleta permanece a mesma. Com a aplicação dessas duas condições de contorno sobre a equação geral produz, após algumas manipulações, a seguinte relação para a distribuição de temperatu ra:
S∞∞ cosh.cosh.
A transferência de calor pode ser obtida através da Equação 10-7, substituindo o gradiente de temperatura na base:
̇ .. = . . . . . . . . .. . . .
̇ .... ..
O calor transferido, na unidade de tempo, é então: Equação10-9 •
Segunda condição de contorno: Caso C: Aleta de comprimento finito, com perda de calor por convecção pela extremidade
̇ .... . ..++⁄⁄.... ..
Neste caso, a álgebra envolvida é algo mais complicada, entretanto o princípio é o mesmo e o fluxo de calor transferido é: Equação10-10
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