APOSTILA DE ESTRUTURA METÁLICA.pdf

ESTRUTURAS METÁLICAS

 Prof. Glauco José de de Oliveira Rodrigues Rodrigues Rev. 0 (15/06/2007) Rev. 1 (28/11/2007) Rev. 2 (06/08/2008) Rev. 3 (16/02/2009)

ÍNDICE BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA..................................................................................................................1 1

INTRODUÇÃO ........................................................... ........................................................... ....................... 2 1.1 DEFINIÇÕES ............................................................................................................................................2 1.2 TIPOS DE AÇOS ESTRUTURAIS..................................................................................................................2 1.3 PROPRIEDADES MECÂNICAS ....................................................................................................................3 1.4 TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM AÇO ..........................................................................................4 1.5 ELEMENTOS CONSTITUINTES DA SEÇÃO “I” ........................................................... ................................. 6 1.6 MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES.............................................................................................................6

2

PEÇAS TRACIONADAS ..................................................... ........................................................... ............. 9 2.1 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS À TRAÇÃO ............................................................................................9 2.2 ÁREA LÍQUIDA .......................................................................................................................................10

3

LIGAÇÕES PARAFUSADAS....................................................................................................................16 3.1 TIPOS DE PARAFUSOS ............................................................................................................................16 3.2 DIMENSIONAMENTO..............................................................................................................................16

4

LIGAÇÕES SOLDADAS ..................................................... ........................................................... ........... 25 4.1 TECNOLOGIA DE SOLDAGEM.......................................................................................................25 4.2 PATOLOGIAS NAS LIGAÇÕES SOLDADAS ................................................................................................26 4.3 POSIÇÕES DE SOLDAGEM .......................................................................................................................27 4.4 TIPOS DE SOLDA E SEUS RESPECTIVOS PROCESSOS DE DIMENSIONAMENTO ...........................................27 4.5 SIMBOLOGIA DE SOLDA.........................................................................................................................31 4.6 EXEMPLOS DE REPRESENTAÇÃO ............................................................................................................33

5

BARRAS COMPRIMIDAS........................................................................................................................39 5.1 CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO .......................................................................................................39 5.2 CARGA CRÍTICA E TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM.............................................................................39 5.3 RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DE BARRAS COMPRIMIDAS ..........................................................................40

6

BARRAS FLETIDAS..................................................................................................................................49 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

CONCEITOS GERAIS ...............................................................................................................................49 CLASSIFICAÇÃO DAS VIGAS ..................................................................................................................49 RESISTÊNCIA AO MOMENTO FLETOR .....................................................................................................53 FLAMBAGEM LATERAL COM TORÇÃO [FLT] ......................................................... ............................... 53 FLAMBAGEM LOCAL DA MESA [FLM]..................................................................................................55 FLAMBAGEM LOCAL DA ALMA [FLA]..................................................................................................56

7

CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE PERFIS “I” SOLDADOS DA USIMINAS.........................65

8

CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE PERFIS “I” LAMINADOS DA AÇOMINAS....................69

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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA [1] Pinheiro, A. C. F. B., Estruturas Metálicas Metálicas, Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 2001; [2] Ferreira, W. G., Dimensionamento de Elementos de Perfis da Aço Laminados e Soldados, Vitória, 2004; [3] ABNT NBR 8800, Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios , ABNT, Rio de Janeiro, 1986;  Estruturas de Aço, Ed. LTC, Rio de Janeiro, 2000; [4] Pfeil, W. Pfeil, M., Estruturas  Informações Técnicas, www.gedauacominas.com.br; [5] Perfis Gerdau Açominas, Informações www.gedauacominas.com.br; [6] Perfis Usiminas Mecânica, Catálogo de Perfis , www.usiminasmecanica.com.br; www.usiminasmecanica.com.br;

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1 INTRODUÇÃO 1.1

DEFINIÇÕES

Os aços estruturais são aqueles que, devido a sua resistência, ductilidade, e outras propriedades, são utilizados em elementos estruturais que suportam e transmitem esforços mecânicos. A sua classificação pode ser feita sob diversas formas, onde podemos citar suas propriedades mecânicas, quantidade de carbono, elementos de liga etc. O aço é uma liga de carbono, com outros elementos adicionais, como silício, manganês, fósforo, enxofre etc. O teor de carbono pode variar desde 0% ate 1,7%. O carbono aumenta a resistência do aço, porém o torna mais duro e frágil. Os aços com baixo teor de carbono, têm menor resistência à tração, porém são mais dúcteis. As resistências à ruptura por tração ou compressão dos aços utilizados em estruturas são iguais, variando entre amplos limites, desde 300 MPa até valores acima 1200 MPa.

1.2

TIPOS DE AÇOS ESTRUTURAIS

Segundo a composição química, os aços utilizados em estruturas são divididos em dois grupos: aços-carbono e aços de baixa liga . Os dois tipos podem receber tratamentos térmicos que modificam suas propriedades mecânicas. O aço-carbono é o aço mais empregado nas construções, e o aumento da sua resistência é obtido, principalmente, através do acréscimo de carbono em relação ao ferro puro. Este acréscimo de carbono na composição do aço, conforme anteriormente mencionado, implica em algumas modificações em suas propriedades, como a redução da sua ductilidade, dificultando a soldagem. Os aços de baixa liga são aços-carbono acrescidos de elementos de liga (Nióbio, Manganês, Cobre, Silício, etc.) em pequenas quantidades, com teor de carbono da ordem 0,20%. Estas adições garantem ao aço a elevação da sua resistência mecânica, permitindo ainda, uma boa soldabilidade. Os aços de baixa liga e alta resistência mecânica resistentes à corrosão atmosférica, são fabricados a partir de aços-carbonos, com teor de carbono igual ou inferior a 0,25%, com adição de alguns elementos de liga (Vanádio, Cromo, Cobre, Níquel e Alumínio) não ultrapassando a quantidade de 2%, e limite de escoamento igual ou superior a 300 MPa. Em combinações adequadas, os elementos de liga adicionados promovem ao aço melhoras na sua ductilidade, tenacidade, soldabilidade, resistência à abrasão e a corrosão (até 4 vezes). A elemento cobre ( Cu), é o responsável pela criação de uma camada de óxido compacta e aderente que dificulta a corrosão do aço. Esta proteção é desenvolvida quando a superfície metálica é exposta a ciclos alternados de molhamento (chuva, nevoeiro, umidade) e secagem (sol, vento). Esses tipos de aço resistentes à corrosão atmosférica são denominados  patináveis. Tabela 1 - Resistência de alguns aços-carbono  f  y (MPa)

f u (MPa)

Tipo de Aço

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ASTM-A36

250

400

ASTM-A570 (gr.36)

250

365

NBR 6648/CG-26

255*

410*

ASTM-A572 (gr.50)

345

450

NBR 6650/CF-24

240

370

MR-250

250

400

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* Válido para espessuras t ≤ 16mm

1.3

PROPRIEDADES MECÂNICAS

A Figura 1 apresenta o diagrama Tensão x Deformação  para alguns aços. Para obtenção deste diagrama, ensaia-se em laboratório uma haste metálica (corpo de prova), devidamente presa à uma prensa hidráulica, e aplica-se nesta haste esforços de tração, medindo-se as deformações do aço. O aparelho responsável pela medição das deformações na haste é conhecido como extensômetro. Caso o corpo de prova seja descarregado e imediatamente recarregado, durante o período elástico, a peça não apresenta nenhuma deformação residual e o caminho a ser percorrido será igual ao inicial. Caso esse alívio de tensões ocorra após o escoamento, a peça apresentará deformações residuais representadas no gráfico abaixo por 0,002%, onde a reta tracejada é paralela à reta inicial do ensaio. As tensões f  y e f u, são denominadas, respectivamente como tensão de escoamento e tensão de ruptura, que serão usadas no dimensionamento dos elementos estruturais, de acordo com as propriedades mecânicas do aço ensaiado.

Figura 1 - Diagrama Tensão x Deformação para alguns aços

Constantes Físicas • Módulo de Elasticidade: E = 205000 MPa • Coeficiente de Poisson:  ν = 0,3 • Coeficiente de Dilatação Térmica: β = 12 x 10-6 °C-1 • Peso Específico: γ a = 77 kN/m3 Ductilidade É a capacidade que alguns materiais possuem de se deformarem antes da ruptura, quando sujeitos a tensões elevadas. Quanto mais dúctil o aço, maior a redução de área ou alongamento antes da ruptura. A ductilidade pode ser medida a partir da deformação ( ε) ou da estricção. Este comportamento fornece avisos de ocorrência de tensões elevadas em pontos da estrutura. Em outras palavras é a capacidade do material de deformar-se sob a ação de cargas sem que haja colapso imediato.

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Fragilidade Oposto da ductilidade. Propriedade muito importante e merece ser cuidadosamente estudada, pois o corpo se deforma pouco antes da ruptura, que ocorre sem aviso prévio (ruptura frágil). Elasticidade É definida como a capacidade que o material possui de retornar ao seu estado inicial após o descarregamento, não apresentando deformações residuais. Plasticidade A deformação plástica é uma deformação provocada por tensão igual ou superior ao limite de escoamento. Neste tipo de deformação, ocorre uma mudança na estrutura interna do metal, resultando em um deslocamento relativo entre os seus átomos (ao contrário da deformação elástica), resultando em deformações residuais. Corrosão Promove a perda da seção das peças de aço. 1.4

TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM AÇO

As peças estruturais podem ser encontradas no mercado sob diversas formas. Nas Figuras 2, 3, 4, 5 e 6 mostradas a seguir, são apresentadas algumas das mais usadas. •

Chapas São laminados planos assim denominados quando uma das dimensões (espessura) é muito menor que as demais. Sua especificação, de acordo com a norma, é através das letras CH seguida da espessura (mm) e o tipo de aço empregado.

Figura 2 - Chapa

•

Barras Quando o diâmetro é muito menor que o seu comprimento. Sua especificação é através do símbolo φ  seguido do diâmetro da barra em mm. As barras que possuem seção transversal redondas são geralmente empregas nas estruturas metálicas como tirantes, contraventamentos e chumbadores..            

Figura 3 - Barra

Perfis Laminados Peças que apresentam grande eficiência estrutural podendo ser encontradas sob diversas geometrias, sendo algumas apresentadas nas figuras abaixo. Os perfis H, I, C podem ter abas •

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paralelas (padrão europeu, ver [5]) ou não (padrão americano), de acordo com sua especificação. Já os perfis tipo L ou cantoneiras, são formados por duas abas perpendiculares entre si, podendo apresentar larguras iguais ou diferentes.

Figura 4 - Perfis Laminados

Perfis Soldados São elementos que surgiram de forma a suprirem as limitações impostas pelos perfis laminados tipo I. Podendo ser encontrados sob diversas geometrias, como H, I, L. A norma também permite que sejam criados perfis especiais, de modo a suprir as necessidades do projetista. Também possuem grande eficiência estrutural. A nomenclatura é dada pelo símbolo do perfil utilizado seguido pela sua altura em mm e a massa em kg/m. •

Figura 5 - Perfis Soldados

Perfis de Chapas Dobradas São perfis formados a frio, padronizados sob as formas L, U, UE, Z, ZE. Porém, oferecem grande liberdade de criação ao projetista. O seu dobramento deve obedecer a raios mínimos (não muito pequenos) evitando a formação de fissuras nestes pontos. Esse tipo de perfil apresenta cantos arredondados e utilização de aços com alto teor de carbono. •

Figura 6 - Perfis de Chapa Dobrada

Dentre os acima apresentados, ainda podemos ter os trilhos, tubos, e perfis compostos, como por exemplo, o perfil caixão composto da união de dois perfis I. O leitor deve consultar as mais variadas bibliografias, bem como os catálogos dos fabricantes, bem como a NBR 14762:2001, destinada exclusivamente aos perfis de chapa dobrada, a fim de ficar a par dessas formas e/ou composições, bem como seus critérios específicos de projeto.  Notas de Aula de Estruturas Metálicas

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1.5

ELEMENTOS CONSTITUINTES DA SEÇÃO “I”

Figura 7 - Elementos constitutivos da seção "I"

1.6

MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES

Os diversos métodos de verificação visam atender os seguintes objetivos: • A estrutura, em nenhuma de suas partes deve sofrer colapso; • Deslocamentos ou vibrações excessivas não devem comprometer a utilização da estrutura, garantindo o bom desempenho da mesma. O método de dimensionamento no qual se baseia este curso é o Método dos Estados Limites, que é o método que trata a NBR 8800/86 [3]. Um estado limite ocorre sempre que a estrutura deixa de satisfazer um de seus objetivos. Eles podem ser divididos em: • Estados limites últimos; • Estados limites de utilização; Os estados limites últimos estão associados à ocorrência de cargas excessiva e conseqüente colapso da estrutura. Os estados limites de utilização (associados a cargas em serviço) incluem deformações excessivas e vibrações excessivas. A garantia de segurança no método dos estados limites é traduzida pela equação de conformidade, para cada seção da estrutura: S d  = S(

∑γ

 fi

F i ) <  Rd  = φ   Rn

A solicitação de projeto S d  deve ser menor que a resistência de projeto  Rd . A solicitação de projeto (ou solicitação de cálculo) é obtida a partir de uma combinação de carga F i, cada uma majorada pelo coeficiente γ   fi, enquanto a resistência última  Rn é minorada pelo coeficiente φ   para compor a resistência de projeto.  Notas de Aula de Estruturas Metálicas

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De acordo com a NBR 8800/86 [3], as combinações de cargas normais e aquelas referentes a situações provisórias de construção podem ser dadas por: S d  =

∑γ G + γ g

Q1 +

q1

∑γ

qj ψ  j

Q j

As ações excepcionais ( E ), tais como explosões, choques de veículos, efeitos sísmicos etc., são combinadas com outras ações de acordo com a equação: S d  =

∑ γ G + E + ∑ γ ψ  g

q

q

Q1 – ação variável básica; Q j – demais ações variáveis;

γ  qj – coeficiente de majoração de cargas variáveis; ψ  j - fator de combinação; G – ações permanentes;

γ  g – coeficiente de majoração de cargas permanentes;  E   –

ações excepcionais.

As Tabelas 2 e 3 que se seguem, fornecem os valores dos coeficientes de cargas variáveis, cargas permanentes e fatores de combinação. Tabela 2 - Coeficientes de Segurança de solicitação, no Estado Limite de Proj eto  Ações permanentes

Ações variáveis Cargas variáveis

 Ações

Grande Variabilidade

Pequena

decorrentes do uso da

Variabilidade

edificação

(*)

(cargas de

Outras ações

 Recalques

Variação de

variáveis

diferenciais

temperatura

utilização)(**)

γ g

γ g

γ q

γ q

γ q

γ q

Normais

1,4 (0,9)

1,3 (1,0)

1,5

1,4

1,2

1,2

Durante a construção

1,3 (0,9)

1,2 (1,0)

1,3

1,2

1,2

1,0

Excepcionais

1,2 (0,9)

1,1 (1,0)

1,1

1,0

0

0

Os valores entre parênteses correspondem a ações permanentes favoráveis à segurança. (*) Peso próprio de elementos metálicos e de elementos pré-fabricados com controle rigoroso de peso. (**) Sobrecargas em pisos e coberturas, cargas em pontes rolantes, variações de temperatura provocadas por equipamentos etc.

Tabela 3 - Fatores de combinação no Estado Limite de Projeto Caso de carga

ψ  j

Sobrecarga em pisos de biblioteca, arquivos, oficinas e garagens

0,75

Carga de vento em estruturas

0,60

Cargas de equipamentos, incluindo pontes rolantes; sobrecargas em pisos diferentes dos anteriores

0,65

Variação de temperatura

0,60

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Para combinações que envolvem ações de mesma natureza da ação variável predominante Q1, adota-se ψ  j  = 1. Por exemplo, todas as ações variáveis decorrentes do uso de uma edificação (sobrecarga em pisos e coberturas, cargas de pontes rolantes e de outros equipamentos) são consideradas da mesma natureza. O fator ψ  j deve ser tomado igual a 1,0 para as ações não listadas na tabela.  Exemplo 1.1:

Uma viga de edifício comercial está sujeita a momentos fletores oriundos de diferentes cargas:  M g1 = 10 kNm - peso próprio de estrutura metálica - peso de outros componentes não-metálicos permanentes  M g2 = 50 kNm - ocupação da estrutura  M q = 30 kNm  M v = 20 kNm - vento Calcular o momento fletor solicitante de projeto M d . Solução:

As solicitações  M g1 e  M g2 são permanentes e devem figurar em todas as combinações de esforços. As solicitações  M q e  M v são variáveis e devem ser consideradas, uma de cada vez, como dominantes nas combinações. Têm-se então as seguintes combinações: 1,3 M g1 + 1,4 M g2 + 1,5 M q + 1,4 x 0,6 M v (1,3x10)+(1,4x50)+(1,5x30)+(1,4x0,6x20) = 144,8 kNm 1,3 M g1 + 1,4 M g2 + 1,4 M v + 1,5 x 0,65 M q (1,3x10)+(1,4x50)+(1,4x20)+(1,5x0,65x30) = 140,2 kNm O momento fletor solicitante de projeto M d = 144,8 kNm.  Exemplo 1.2:

Um montante tracionado de uma treliça em tesoura utilizada na cobertura de um galpão industrial, está sujeito à solicitação axial, oriunda as seguintes cargas, com seus respectivos valores:  N g1 = 5 kN - peso próprio da treliça  N g2 = 10 kN - peso das telhas e elementos de fixação  N q = 15 kN - sobrecarga de manutenção do telhado  N v = 12 kN - vento (sucção) Calcular a solicitação axial de projeto  N d . Solução:

(1,3x5)+(1,4x10)+(1,5x15)+(1,4x0,6x12) = 53,1 kN (1,3x5)+(1,4x10)+(1,4x12)+(1,5x0,65x15) = 51,9 kN A solicitação axial trativa de projeto N d = 53,1 kN.

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2 PEÇAS TRACIONADAS 2.1

DIMENSIONAMENTO DE BARRAS À TRAÇÃO

Peças tracionadas são elementos estruturais onde atua força axial, perpendicularmente ao plano da seção. No caso particular, quando a força axial é aplicada no centro de gravidade da seção, denomina-se de Tração Simples. São as peças de verificação mais simples, pois não envolvem o perigo de instabilidade, ao contrário da compressão, que será vista adiante. Na prática, existem inúmeras situações em que encontramos elementos estruturais sujeitos a tração, podendo citar: tirantes, contraventamentos de torres e barras de treliças. Encontram-se diversas formas para estes elementos, como barras circulares, barras chatas ou perfis laminados simples (todos estes constituídos de uma seção simples) ou perfis laminados compostos (ou seja, constituídos por duas ou mais seções). Os critérios de dimensionamentos verificados são: o escoamento da seção bruta , que é responsável pelas deformações excessivas e ruptura da seção líquida efetiva , responsável pelo colapso total da peça. Um dos conceitos de maior importância neste dimensionamento é a determinação correta da área da seção transversal e os coeficientes envolvidos. A partir dos resultados obtidos pelos dois critérios, admite-se o menor valor entre os dois.

a) Estado limite de escoamento da seção bruta  N d  ≤ φ t  Ag  f  y , com φ t  = 0,90  Ag = área bruta

b) Estado limite de ruptura da seção líquida efetiva  N d  ≤ φ t  Ae f u , com φ t  = 0,75  Ae = área líquida efetiva

Tabela 4 - Valores de esbeltez limite para peças tracionadas AISC / NB AASHTO Peças dos vigamentos principais

240

200

Peças de contraventamento e outros vigamentos secundários

300

240

Consideremos, agora, a peça tracionada da Figura 8, cuja conexão ao restante da estrutura é feita através de parafusos. A presença dos furos enfraquece a seção transversal, causando uma concentração de tensões. A tensão máxima, em regime elástico, chega a ser três vezes superior à tensão média (Figura 9). Aumentando-se a força de tração, chega-se à ruptura. Porém, antes de se alcançar a ruptura, toda a seção entrará em escoamento de forma que a concentração de tensões pode ser deixada de lado. O escoamento da seção líquida conduz a um pequeno alongamento e não constitui um estado limite.

Figura 8 - Peça submetida à tração  Notas de Aula de Estruturas Metálicas

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Figura 9 - Tensões normais de tração axial, em uma peça tracionada com furo

2.2

ÁREA LÍQUIDA

Numa barra com furos (Figura 10a e 10b), a área líquida ( An) é obtida subtraindo-se da área bruta ( Ag) as áreas dos furos contidos em uma seção reta da peça (linha de ruptura). Assim, temos  Ag = soma dos produtos largura bruta vezes a espessura (área bruta)  Ae = C t   An. C t  = coeficiente de redução;  An =

área líquida: a definição desta área visa levar em consideração o enfraquecimento da seção transversal devido aos furos. Caso não haja furos  An = Ag. Para fins de cálculo adota-se: d  f = d  p +2 mm d  f = d  p +3,5 mm (furo padrão).

= diâmetro do furo; d  p = diâmetro do parafuso. d  f 

(a)

(b) Figura 10 - Seção líquida de peças com furos

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Se a linha de ruptura fizer “zigue-zague” (Figura 10b), a área líquida será:  An =ln t

Onde: ln = l g −

s2

∑ d  +∑ 4 g .  f 

Calcula-se para cada linha de ruptura, uma área líquida e utiliza-se a mais crítica. Ainda considerando a Figura 11, podemos ter as seguintes linhas de ruptura:

Figura 11 - Seção líquida de peças com furos

No caso de cantoneiras com furos em abas opostas rebate-se uma aba no plano da outra para transformá-la em uma chapa. O valor de C t  é encontrado pelos seguintes critérios: •

Quando a força de tração é transmitida a todos os elementos da seção, por ligações parafusadas ou soldadas: C t   = 1

•

Quando a força de tração é transmitida apenas a alguns elementos da seção, encontramos o valor de C t   conforme os critérios descritos abaixo:

A) Para Perfis I ou H, quando (b /d)>=(2/3)d, ou para perfis T obtidos a partir daqueles, com f  ligações apenas nas mesas (Caso forem ligações parafusadas, deve ser composta de no mínimo 3 parafusos alinhados na direção da força) C t   = 0,90

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B) Para Perfis I ou H, quando (b /d) T d  = 92kN (atende )



Verificação quanto ao cisalhamento do fuste das barras rosqueadas:  Rnv =  Aeτ u = 0,7 A p 0,6 f u = 0,7 × 201 × 0,6 × 825 = 69646,5N(69,7kN ) φ v Rnv = 0,65 × 69,7 = 45,3kN  Considerando 5 parafusos, a resistência total passa a ser: 5 × 45,3 = 226,4kN  > 76,6kN (atende ) .



Verificação quanto a pressão de contato nos furos:  Rn = tdf uα  = 10 × 16 × 450α  = 72000α  

Esmagamento sem rasgamento: α  = 3,0

Rasgamento entre dois furos consecutivos:   s    686  α  =   − η 1 =   − 0,5 = 42,375(α  = 3,0)  d     16  



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

Rasgamento entre o furo e aborda da placa de apoio:   e    30  α  =   − η 2 =   − 0 = 1,875  d    16  76,6 = 15,3kN (atende )  Rn = 72000 × 1,875 = 135000 N (135kN ) > 5 Conclusão: A

ligação está suficientemente dimensionada.

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4 LIGAÇÕES SOLDADAS 4.1

TECNOLOGIA DE SOLDAGEM

As ligações soldadas caracterizam-se pela coalescência das partes em aço a serem unidas por fusão. A fusão do aço é provocada pelo calor produzido por um arco voltaico que se dá entre um eletrodo metálico e o aço a soldar, havendo a deposição do material do eletrodo. Entretanto, o material fundido deve ser isolado da atmosfera para evitar a formação de impurezas na solda. Este isolamento pode se dar, na grande maioria dos casos, por duas maneiras, conforme mostra a figura abaixo. Os principais tipos de eletrodos para soldas em estruturas metálicas são: (a) Eletrodo manual revestido: Há desprendimento gasoso do revestimento do eletrodo, proveniente da fusão. Os gases criam uma atmosfera inerte de proteção para evitar a porosidade (introdução de O2), a fragilidade (introdução de N 2), bem como estabilizar o arco voltaico, permitindo maior penetração da solda. (b) Arco submerso em material granular fusível: O eletrodo nu é acompanhado de um tubo de fluxo com material granulado, que funciona como isolante térmico, garantindo assim proteção quanto aos efeitos da atmosfera. O fluxo granulado funde-se parcialmente, formando uma camada de escória líquida que posteriormente se solidifica. Os principais eletrodos utilizados na indústria da construção metálica são: E70xx, com resistência à ruptura por tração: f w = 70ksi = 485MPa (mais comum); E60xx, com resistência à ruptura por tração: f w = 60ksi = 415MPa Obs: ksi, uma antiga unidade inglesa de tensão (e, consequentemente de pressão), significa kilo pound per square inch , ou seja kilo libras por polegada quadrada. Máquina de solda (gerador de corrente contínua)

Arco Submerso Revestimento

Eletrodo

Eletrodo

Eletrodo Revestido

Escória Material fusível

Arco

Metal da solda solidificado

Gases

Escória

Máquina de solda

Metal-base

Metal da solda solidificado

Metal-base Metal da solda fundido

Figura 15 – Tipos de eletrodo

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4.2

PATOLOGIAS NAS LIGAÇÕES SOLDADAS

As soldas podem apresentar uma grande variedade de defeitos. Podemos observar os mais comuns, nas figuras a seguir: (a) Penetração inadequada : decorre em geral da insuficiência ou instabilidade da corrente elétrica demandada pelo arco voltaico de fusão.

(b) Porosidade : decorre da retenção de pequenas bolhas de gás durante o resfriamento, ocasionadas principalmente pelo excesso de distância entre o eletrodo e a chapa ou excesso de corrente.

(c) Trincas ou Fissuras : decorrem, principalmente por resfriamento excessivamente rápido do material, ocorrendo, na maior parte das vezes nos aços de baixa liga. Pode-se minorar este efeito com pré-aquecimento do metal base (chapa) e utilização de eletrodos revestidos com carbonato de sódio (baixo hidrogêneo).

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4.3

POSIÇÕES DE SOLDAGEM

As posições de soldagem mostradas nas figuras a seguir, relacionam-se diretamente com o custo da operação de soldagem, devido ao aumento do grau de dificuldade de execução. R$(a) 6,3 mm

A verificação estrutural das soldas em filete é dada em função do menor dos dois valores que verificam, separadamente o metal base e a solda: 

metal base:  Am = bl

φ  Rn = 0,9 Am (0,6 f  y ) 

4.5

metal da solda:  Aw = t l = 0,7bl φ  Rn = 0,75 Aw (0,6 f w )

SIMBOLOGIA DE SOLDA Tabela 11 - Símbolos de solda

Contra Solda

Entalhe Filete

Chapa de espera

Tampão

Sem Chanfro

Em toda volta

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V

De campo

Bisel

U

J

Acabamento Plano

Convexo

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C A

TIPO DE ELETRODO

S

L-P

S

{

}

 {

}

L-P

PERNAS VERTICAIS SEMPRE A ESQUERDA

Figura 18 - Simbologia de solda

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4.6

EXEMPLOS DE REPRESENTAÇÃO

E60

50

5 1

3

2

4

Figura 19 - Solda de filete, de oficina, ao longo das faces 1-3 e 2-4; as soldas têm 50mm de comprimento com perna de 5mm; o eletrodo a ser usado é E60

CORTE A−A

A

A

8

Figura 20 - Solda de filete, de oficina, com perna de 8mm em todo contorno

5

40-150 5 40-150

B

B

CORTE B−B

Figura 21 - Solda de filete, de oficina, com perna de 5mm itermitente e alternada; o comprimento do filete é de 40mm e o passo (ou espaçamento) é de 150mm

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C

C

CORTE C−C

Figura 22 - Solda de entalhe em bisel de um só lado, de campo, com chapa de espera; a seta aponta na direção da peça com chanfro; chapas de espera são indicadas em soldas de penetração total de um único lado, com intuito de evitar fuga de material da solda e a conseqüente penetração inadequada

D

D

CORTE D−D

Figura 23 - Solda de entalhe com chanfro em bisel duplo a 45º

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 Exemplo 4.1

Uma chapa de aço de 12mm de espessura, está solicitada à uma força de tração axial de 40kN, e está ligada à uma outra placa de mesma espessura, formando um perfil em “T”, por meio de solda. Dimensionar a solda utilizando eletrodo E60 e aço ASTM A36, nas duas situações possíveis, ou seja, solda de filete (corte AA) e solda de penetração total (corte BB). Admitir a carga como sendo de utilização variável. 12mm CORTE A−A

A

A

40kN

CORTE B−B B

B

40kN

Esforço solicitante de projeto: S d  = 1,5 × 40 = 60kN 





Dimensionamento com solda de filete:

Admitindo filete de solda com o lado mínimo especificado na Tabela 10 (b=5mm). Verificação quanto ao metal base:  R d  = 0 ,9 Am 0 ,6  f  y = 0 ,9 (2 × 10 × 0 ,5 )(0 ,6 × 25 ) = 135 kN  Verificação quanto ao metal da solda:  Rd  = 0,75 Aw (0,6 f w ) = 0,75(2 × 10 × 0,5 × 0,7 )(0,6 × 41,5) = 131kN  Portanto,  Rd  = 131kN  > S d  = 60kN (atende ) Dimensionamento com solda de penetração total:  Rd  = 0,9 Aw f  y = 0,9(10 × 1,2)25 = 270 kN  

Portanto,  Rd  = 270kN  > S d  = 60kN (atende) Conforme observado, no exemplo acima, a solda de penetração total oferece uma margem de segurança superior à solda de filete.

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 Exemplo 4.2

Verificar o comprimento e a espessura (perna) para uma solda de filete, requeridos para a conexão da figura. Admitir aço ASTM A36 e eletrodo E60. Considerar o esforço solicitante como variável. 12x127mm CORTE C−C

C

90kN

180kN

C

10x75mm

Conforme o exercício 4.1 anterior, admite-se para perna do filete de solda, o lado mínimo especificado na Tabela 10. Desta forma temos, para a chapa mais grossa, b=5mm. Esforço solicitante de projeto: S d  = 1,4 × 180 = 252kN  Verificação quanto ao metal base:  Rd  = 0,9 Am 0,6 f  y = 0,9(4 × l × 0,5)(0,6 × 25) = 27l Verificação quanto ao metal da solda:  Rd  = 0,75 Aw (0,6 f w ) = 0,75(4 × l × 0,5 × 0,7 )(0,6 × 41,5) = 26,1l Condição de segurança para a ligação soldada:  Rd  > S d  Então: 26,1l > 252 ∴ l > 9,7cm . Adotado l = 100mm .

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 Exemplo 4.3

Calcular a ligação de um perfil L 127 x 24,1kg/m, submetido à tração axial permanente de pequena variabilidade, com uma placa de gusset , conforme indicado na figura. Considerar aço MR250, bem como eletrodo E70. CORTE D−D

F1

D

l 1

150kN F2

A

 l 2

D

12.5mm

Como a espessura da cantoneira é de 12,7mm, assim como da placa de gousset, a perna mínima do filete é b=5mm, à exemplo dos casos anteriores. A força de tração de 150kN atua no centro de gravidade da seção transversal. Em se tratando de uma cantoneira, o centro de gravidade não está eqüidistante das abas da mesma. Portanto, a parcela de força absorvida por cada um dos cordões de solda, deve ser proporcional à sua respectiva distância ao centro de gravidade da seção, de modo a evitar efeitos de flexão nos cordões de solda e no perfil. Para determinar os valores de F1 e F2, proporcionais às suas distâncias ao centro de gravidade, será escrita a equação de equilíbrio de momentos, em relação ao ponto A, mostrado na figura acima. 150 × 3,63 ∴ F 1 = 42,8kN  F 1 × 12,7 − 150 × 3,36 = 0 ∴ F 1 = 12,7 F 2 = 150 − 42,8kN ∴ F 2 = 107,2kN  Verificação quanto ao metal base:  Rd  = 0,9 Am 0,6 f  y = 0,9(l1 × 0,5)(0,6 × 25) = 6,75l1 Verificação quanto ao metal da solda:  Rd  = 0,75 Aw (0,6 f w ) = 0,75(l1 × 0,5 × 0,7 )(0,6 × 48,5) = 7,64l1 Condição de segurança para a ligação soldada:  Rd  > S d  Então: 6,75l1 > 1,3 × 42,8 ∴ l1 > 8,24cm . Adotado l1 = 90mm . 107,2 107,2 l2 = l1∴ l 2 = × 8,24 ∴ l 2 = 20,6cm . Adotado l2  = 210mm . 42,8 42,8

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 Exemplo 4.4

Avaliar os comprimentos dos cordões de solda l1 e l2 , do exercício anterior, com o acréscimo de um cordão de solda vertical, ao longo de toda aba da cantoneira, conforme mostrado na figura abaixo. CORTE D−D

 l 1 150kN

F1

F3 F2

A

 l 2

12.5mm

Conforme visto no exemplo anterior, pudemos observar que a ligação soldada da figura acima, é menos resistente quanto ao metal base do que quanto ao metal de solda. Portanto, considerando apenas a verificação quanto ao metal base temos: F 1d  = 0,9 Am 0,6 f  y = 0,9(l1 × 0,5)(0,6 × 25) = 6,75l1 F 2 d  = 0,9 Am

0,6 f  y = 0,9(l 2 × 0,5)(0,6 × 25) = 6,75l 2

F 3 d  = 0,9 Am

0,6 f  y = 0,9(12,7 × 0,5)(0,6 × 25) = 85,7 kN 

Equação de equilíbrio de forças: S d  = F 1d  + F 2 d  + F 3 d  S d  = 6,75l1 + 6,75l 2 + 85,7 ∴ S d  = 6,75(l1 + l 2 ) + 85,7 S d  = 1,3 × 150 ∴ S d  = 195kN 

6,75(l1 + l2 ) + 85,7 = 195 ∴ (l1 + l2) =

(195 − 85,7 ) ∴ (l1 + l 2 ) = 16,19 6,75

Equação de equilíbrio de momentos: F 1d  × 12,7 + F 3 d  × 6,35 − 1,3 × 150 × 3,63 = 0 6,75l1 × 12,7 + 85,7 × 6,35 − 1,3 × 150 × 3,63 = 0 ∴ 85,7l1 + 544,2 − 707,85 = 0 ∴ l1 = 1,91cm

(l1 + l2) = 16,19 ∴ l 2 = 16,19 − 1,91∴ l2 = 14,28cm Adotados: l1 = 20mm ; l2 = 143mm . Pode-se observar que houve uma redução nos comprimentos do cordão de solda l 1 e l2 , quando adicionado um cordão de solda vertical na aba da cantoneira, em comparação com o exemplo anterior ( l1 = 90mm e l2 = 210mm ). Porém o comprimento total do filete de solda (20+143+127=290mm), ficou ligeiramente inferior ao caso estudado no exemplo anterior (90+210=300mm).

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5 BARRAS COMPRIMIDAS 5.1

CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO

Elementos estruturais quando sujeitos a esforços de compressão, devem ser dimensionados corretamente de forma a resistirem à estes esforços, não sofrendo ruína por flambagem. A flambagem é um fenômeno de segunda ordem que induz a peça e a estrutura global à ruína sem aviso prévio. As peças comprimidas sejam por flexão, torção ou flexo-torção sofre a flambagem global e, quando apenas um elemento da seção sofre compressão temos a flambagem local.

5.2

CARGA CRÍTICA E TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM É a carga a partir da qual a barra está sendo comprimida mantém-se em posição indiferente. Pcr  =

π  2 EI   L2 fl

Onde  E  = módulo de elasticidade;  I  = menor momento de inércia da barra;  L fl = comprimento de flambagem da barra .  L fl = kL k  é o parâmetro de flambagem.

Associado à flambagem, temos ainda, o índice de esbeltez λ. λ  = r  é o menor raio de

giração da barra.

kL r 

Conforme a NBR 8800 λ max = 200 . Com isso podemos definir a tensão crí tica como π  2 E   f cr  = 2 . λ 

P

L

δ

Figura 24 – Barra bi – rotulada (caso fundamental), com efeito de flambagem  Notas de Aula de Estruturas Metálicas

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Tabela 12 – Valore de k para diversas condições de contorno Representação Gráfica do Eixo e da Linha Elástica de Flambagem da Barra

Valores Teóricos de k Valores Recomendados para o Dimensionamento

5.3

0,50

0,70

1,0

2,0

0,65

0,80

1,0

2,1

RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DE BARRAS COMPRIMIDAS

A redução na capacidade de carga das colunas devida à ocorrência de flambagem local é considerada pelas normas através do coeficiente redutor Q. O esforço axial resistente de cálculo em hastes com efeito de flambagem local é então dado por: φ c N n = φ c ρ QAg  f  y

Onde: φ c = 0,90  f cr 

 ρ  =

 f  y −

Se 0 ≤ λ  ≤ 0,20 ⇒  ρ  = 1 1

−

Se λ  > 0,20 ⇒  ρ  =  β  −  β 2 −

−2

λ  −2 − 2 1   β  = 1 + α  λ  − 0,04 + λ   −2  2 λ   −

λ  =

λ  Qf  y π   E 

Valores de α :: Curva a: α  = 0,158; Curva b: α  = 0,281; Curva c: α  = 0,384; Curva d: α  = 0,572.

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Tabela 13 - Classificação de seções por curvas de flambagem

Notas: 1. Seções não incluídas na tabela devem ser consideradas de forma análoga; 2. As curvas de flambagem indicadas entre parênteses, podem ser adotadas para aços com f  y>340MPa.

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Curva Lambda Barra x Rô 1.200

1.000

0.800       ô 0.600       R

0.400

0.200

0.000    0    2   4    6    8    0    2   4    6    8    0    2   4    6    8    0 .    0 .    0 .    0 .    0 .    1 .    1 .    1 .    1 .    1 .    2 .    2 .    2 .    2 .    2 .

Lambda Barra Curva "a"

Curva "b"

Curva "c"

Curva "d"

Figura 25 – Gráfico para determinação de ρ (Rô)

Sendo:  b   b  Q = 1, para   ≤     t     t   max

Considerando atuação exclusiva da força axial:  E   b  , para perfis I, H ou U;   = 0,55  f  y   t   max  E   b  , para perfis L (cantoneiras);   = 0,44  f  y   t   max  E   b  , para perfis tubulares.   = 0,11 t   f      max  y

 b    t  

 b  , Q < 1 e são considerados os seguintes casos: t      max

Para   >  

a) Cantoneiras simples ou duplas ligadas de forma intermitente: Q = 1,37 − 0,77 Q=

 f  y

b

t   E 

0,52 E   b   f  y     t  

2

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, para 0,44

, para

b t 

> 0,90

 E   f  y  E   f  y

<

b t 

≤ 0,90

 E   f  y

.

.

42

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b) Chapas ou abas em projeção de cantoneiras, ligadas continuamente com pilares ou outros elementos comprimidos; mesas de perfis I, U ou H : Q = 1,42 − 0,76 Q=

0,67 E   b   f  y     t  

2

 f  y

b

, para 0,55

t   E 

, para

b t 

> 1,02

 E   f  y

 E   f  y

<

b t 

≤ 1,02

 E   f  y

.

.

 Exemplo 5.1

Para a coluna dada, com 3,0m de comprimento e rotulada nas extremidades, verificar sua resistência ao esforço normal de compressão. Aço MR 250.



Perfil: I 160 x 17,9 kg/m

Nd = 80 kN

bf  = 74 mm tw = 6,3 mm A = 22,8 cm2

tf  = 9,51 mm d = 160 mm ry = 1,55 cm

Verificando a relação largura/espessura:  E  205000  b  = 0,55 = 15,8   = 0,55 t   f  250     max  y

74  b  b f  = = 3,86 < 15,8 , OK!  = × t  t  2 2 9 , 5      f  Com isso podemos usar Q =1. 

Verificando o limite de esbeltez da peça:



1 × 3000 = 193,55 < 200 , OK! r  15,5 Para calcularmos o valor de  ρ  , temos que conhecer o valor de: λ  =

−

λ  =

kL

=

λ  Qf  y 193,55 1 × 250 = = 2,15 π   E  π  205000

com 160 = 2,16 , t < 40 mm (Curva b: α  = 0,281) 74 b f  1  β  = [ 1 + 0,281 2,15 2 − 0,04 + 2,15 2 ] = 0,673 2 2 × 2,15 1  ρ  = 0,673 − 0,673 2 − = 0,187 2,15 2 A resistência de cálculo da peça é: d 



=

φ c N n = 0,9 × 0,187 × 1 × 2280 × 250 = 95931 N  φ c N n = 95,9kN  >  N d  = 80kN , (Atende)  Notas de Aula de Estruturas Metálicas

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 Exemplo 5.2

Uma viga treliçada tem uma diagonal com 2,50m de comprimento, com as extremidades rotuladas devido à sua fixação se dar por meio da utilização de parafusos. Determinar o esforço máximo nesta diagonal, quando for constituída por cantoneira L 2”x1/4”, nas seguintes disposições:

 

(a)

Utilizar aço ASTM A36: f y=250MPa; f u=400MPa; E=205GPa Características geométricas da Cantoneira L 2”x1/4”: A=6,06cm 2; tf =6,35mm; Ix=Iy=14,60cm 4; rx=ry=1,55cm; rz=0,99cm; x=15mm; bf =50,8mm Cantoneira singela: 205000  E   b  = 0,44 = 13   = 0,44 t   f  250     max  y 5,08  b  b f  = = 8 < 13  (Q=1)  = t  t  0 , 635      f  λ  Qf  y λ  1 × 250 = = 0,0111λ  π   E  π  205000 kL 1,0 × 250 λ  = = = 252 > 200( falha )  - Não é possível utilizar a cantoneira singela −

λ  =

r 

0,99

(b) Cantoneiras duplas lado a lado: kL 1,0 × 250 λ  = = = 161 < 200(atende ) r  1,55 5,08  b  b f   b  = = 8 <   = 13  (Q=1)  =   t   t  f  0,635   t   máx −

λ  = 0,0111λ  = 0,0111 × 161 = 1,787

Como se trata de cantoneira, temos: Curva c, α  = 0,384. 1  β  = [ 1 + 0,384 1,787 2 − 0,04 + 1,787 2 ] = 0,7633 2 2 × 1,787 1  ρ  = 0,7633 − 0,7633 2 − = 0,244 1,787 2 A resistência de cálculo da peça é: φ c N n = 0,9 × 0,244 × 1 × (2 × 6,06 × 10 −4 )× (250 × 10 6 ) = 66811 N   Notas de Aula de Estruturas Metálicas

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66,8 = 47,7 kN  1,4 Obs: Em caso de seções compostas (mais de um perfil), é necessário que se garanta que as seções trabalhem em conjunto. Segundo a NBR 8800, para que seja garantido este trabalho em conjunto das seções, quando se tem barra associada em cantoneiras, deve-se prever um calço entre os perfis, cujo afastamento mínimo entre os mesmos (l) , deve ser calculado como: φ c N n = 66,8kN  >  N d  = 1,4 N ∴ N  =

 kL     r    conjunto

l

 N d  = 1,4 N ∴ N  = = 68,3kN  1,4 Adotado ainda, calço de 8mm de espessura a cada 50cm (idem letra b). (d) Cantoneiras duplas formando caixa: 2   5,08     I  x1 = 2[ I  x +  Ad  ] = 2 14,6 + 6,06 − 1,50   = 42,30cm 4   2     2

r  x1 =

 I  x1

2 A

=

42,30 = 1,86cm 2 × 6,06

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λ  =

kL r  z1

=

1,0 × 250 = 134 < 200(atende ) 1,86

5,08  b  b f   b  = = 8 <   = 13  (Q=1)  =   t   t  f  0,635   t   máx −

λ  = 0 , 0111 λ  = 0 , 0111 × 134 = 1, 487

Neste caso, as cantoneiras formam uma caixa (perfil tubular quadrado), e assim será considerada. Temos: Curva A, α  = 0,158. 1 [ 1 + 0,158 1,487 2 − 0,04 + 1,487 2 ] = 0,7788 2 2 × 1,487 1  ρ  = 0,7788 − 0,7788 2 − = 0,386 1,487 2 A resistência de cálculo da peça é: φ c N n = 0,9 × 0,386 × 1 × (2 × 6,06 × 10 −4 )× (250 × 10 6 ) = 105233 N  105,3 φ c N n = 105266,32kN  >  N d  = 1,4 N ∴ N  = = 75,2kN  1,4

 β  =

Neste caso, não são dimensionados calços, porém o espaçamento do cordão de solda intermitente que garante o trabalho em conjunto da seção. Como mos casos anteriores temos, como espaçamento entre os cordões de solda, 50cm. A partir da análise da tabela a seguir, podemos concluir que, a disposição entre os perfis em cantoneira apresentada na letra (d), consiste na disposição capaz de apresentar maior resistência. Tabela 14 - Resumo

Disposição das cantoneiras duplas Carga máxima que suporta (kN) (a) Lado a lado 47,7 (b) Opostas pelo vértice 68,3 (c) Em forma de caixa 75,2

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 Exemplo 5.3

Uma coluna de aço foi composta por perfis 2U 4”x 7,95, conforme mostra a figura. Determinar o máximo esforço normal N ao qual a coluna resiste e o afastamento do travejamento. Considerar a coluna como bi-rotulada. Aço ASTM A36: f y=250MPa f u=400MPa E=205GPa L=6,0m (comprimento da coluna) γ   = 1,4

A=10,10cm2 Ix=159,5cm4 rx=3,97cm Iy=13,1cm4 ry=1,14cm

Solução:  5  d = (4,01 - 1,16) +   = 5,35cm  2  rx = 3,97cm I y = 2[I y1 + Ad 2 ] = 2[13,1 + 10,10 × 5,35 2 ] = 604,37cm 4

604,37 = 5,46cm 2 A 2 × 10,10 rmin = rx = 3,97cm kL 1 × 600 λ  = = = 151,13 r min 3,97 r  y =

 I  y

=

4,01  b  = 5,34 <   = 16 ∴ Q = 1,0 t  0,75 t      max

b

=

λ  Qf  y λ  1,0 × 250 × 10 6 λ  = = = 0,0111λ  π   E  π  205 × 10 9 λ  = 0,0111 × 151,13 = 1,6775

Curva C: (α  = 0,384) 1  β  = [ 1 + 0,384 1,6776 2 − 0,04 + 1,6776 2 ] = 0,7913 2 2 × 1,6776  ρ  = 0,7913 − 0,7913 2 −

1 = 0,271 1,6776 2

 N n = ρ QAg  f  y = 0,271 × 1,0 × (2 × 10,10 × 10 −4 )× (250 × 10 6 )

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 N n = 136796 N  = φ   N n = 0,9 × 136796 = 123116 N   N  =

φ  N n 123116 = ∴ N  = 87940 N ∴ N  = 87,9kN  γ   1,4

Travamento: l

r min

≤ λ ∴ l ≤ 151,13 × 1,14 ∴ l ≅ 172cm

Adotado travejamento a cada 150cm.

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6 BARRAS FLETIDAS 6.1

CONCEITOS GERAIS

No projeto no estado limite último de vigas, sujeitas à flexão simples, calcula-se para as seções críticas, o momento e o esforço cortante resistente de projeto para compará-los aos respectivos esforços solicitantes. Além disso, deve-se verificar os deslocamentos no estado limite de utilização. A resistência à flexão das vigas pode ser afetada pela flambagem local  e pela flambagem lateral. A flambagem local  é a perda de estabilidade das chapas comprimidas componentes do perfil, a qual reduz o momento resistente da seção. Na flambagem lateral  a viga perde seu equilíbrio no plano principal de flexão (em geral vertical) e passa a apresentar deslocamentos laterais e rotações de torção. Para se evitar a flambagem lateral de uma viga I, cuja rigidez à torção é muito pequena, é preciso prover contenção lateral à viga. Os tipos de seções transversais mais adequados para o trabalho à flexão, são aqueles com maior inércia no plano de flexão, isto é, com as massas mais afastadas do eixo neutro. No caso de barras fletidas, a NBR 8800 é aplicável no dimensionamento de barras em seções transversais I, H, caixão duplamente simétrico, tubulares de seção circular e U,  simétrica em relação ao eixo perpendicular a alma. A norma também é aplicável ao dimensionamento de seções cheias, podendo ser redondas, quadradas ou retangulares. ret angulares. Todo material deste capítulo está voltado para as vigas de perfil I em flexão no plano da alma.

6.2

CLASSIFICAÇÃO DAS VIGAS

As barras de aço fletidas poderão ter as tensões t ensões internas variando do campo elástico ao campo plástico. O momento resistente, igual ao momento de plastificação total da seção  M  pl corresponde a grandes rotações desenvolvidas na viga. Neste ponto, a seção do meio da viga (considerando-a biapoiada) transforma-se em uma rótula plástica, ou seja, a seção da viga não é capaz de absorver mais esforços. ε  ε  < ε  ε y  σ  σ  = f y 

Completamente  elástica 

M 1 M 1 ε  ε y 

M 1  Lr , a viga se comporta elasticamente e,  M n = M cr 

Para Lb