Download Apostila de Eletromagnetismo: Universidade Federal Do Rio Grande Do Norte Departamento De Física Teórica E Expe...
UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
Apostila de Eletromagnetismo
Prof. Marcio Assolin Corrêa
Natal, 28 de Julho de 2011.
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Prefácio
apoio
Esta apostila tem como objetivo ser um material de aos alunos do curso de Eletricidade e Magnetismo dos cursos de Física e Engenharias da UFRN. Os exemplos foram retirados retirados de livros textos tradicionalmente utilizados nos cursos de graduação de Física e Engenharias, tais como os livros dos autores: Tipler & Mosca, Halliday & Resnick, Sears & Zemansky Zemansky e Moisés Moisés e Alaor Chaves. Chaves. O texto pode conter erros erros e gostaria gostaria de pedir a ajuda de meus alunos enviando as correções para o email: marciocorrea@dft
[email protected] e.ufrn.br.. Esta apostila está montada até circuitos RC. Falta ainda a conclusão da parte do Magnetismo, circuitos de corrente alternada e Equações de Maxwell. No transcorrer do semestre tais tópicos poderão ser adicionados. Abraços a todos e vamos ao estudos.
Sumário 1 Eletri Eletricid cidade ade 1.1 Carga Carga Elétri Elétrica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quantizaç Quantização ão da Carga Carga Elétrica Elétrica . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Conserva Conservação ção da Carga Carga Elétrica Elétrica . . . . . . . . . . 1.2.2 Condutores Condutores e Isolantes Isolantes . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Carga Carga por Indução Indução - Eletroscópio Eletroscópio . . . . . . . . 1.3 Lei de Coulom Coulombb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Princípio Princípio da Superp Superposiçã osiçãoo e a Lei Lei de Coulomb: Coulomb: .
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2 Campo Campo Elétri Elétrico co 2.1 Dipolo Dipoloss Elétri Elétricos cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Linhas Linhas de Campo Elétrico: Elétrico: . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Movimento Movimento de carga carga elétrica elétrica em em campos campos elétri elétricos: cos: 2.1.3 Dipolos Dipolos elétricos elétricos nos campos campos elétric elétricos: os: . . . . . .
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3 Campo Elétrico: Elétrico: Distribuiç Distribuições ões contínu contínuas as de carga carga 3.1 Campo Campo Elétrico Elétrico gerado gerado por por um segmento segmento reto finito finito de carga: carga: . 3.1.1 Campo Campo Elétric Elétricoo sobre sobre o eixo eixo do segmento: segmento: . . . . . . 3.2 Campo Campo elétric elétricoo fora fora do eixo do segment segmento: o: . . . . . . . . . . . sobre 3.3 3.3 Camp Campoo E sobre o eixo de um anel carregado: . . . . . . . . . sobre 3.4 Campo Campo elétric elétricoo E sobre o eixo de um disco carregado . . . . . 3.5 3.5 O fluxo fluxo Elét Elétric rico: o: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Lei de Gauss para Eletricidad Eletricidadee . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Cálculo Cálculo do campo campo elétrico elétrico a partir da Lei Lei de Gauss: Gauss: . . . . . . 3.7.1 3.7.1 Simetr Simetria ia Plana: Plana: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 3.7.2 Simetr Simetria ia Esféri Esférica: ca: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 O Potencial Potencial Elétrico Elétrico 4.1 Diferença Diferença de Potencial Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Potencial Elétrico devido a um sistema de de cargas cargas puntiformes . . . . . . . . 4.2.1 Sistemas Sistemas de Cargas Cargas Pontuais Pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Cálculo Cálculo do Campo Campo Elétrico Elétrico a partir partir do Potenci Potencial al . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Cálculo Cálculo do potencial potencial V para distribuições contínuas de carga: carga: . . . . . . . . 4.4.1 Potencial Potencial V no eixo de um um anel anel carre carregado: gado: . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Potencial Potencial elétric elétricoo V no eixo eixo de um disco disco uniforme uniformemente mente carregado carregado:: 5 Capaci Capacitân tância cia
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13 . . 14 . . 15 . . 16 . . 17
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33 . 33 . 33 . 35 . 36 . 38 . 38 . 39
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19 . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . 20 . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . 25 . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . 27
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7 7 7 8 8 8 10 11
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41 3
4 5.1 Capac Capacito itores res:: . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Capacitor Capacitor de placas placas paralelas: paralelas: 5.1.2 Capacitor Capacitor Cilíndricos Cilíndricos:: . . . . 5.2 Armazenam Armazenamento ento de energia energia elétrica: elétrica: . 5.3 Associação Associação de Capacitore Capacitores: s: . . . . . . 5.3.1 5.3.1 Paral Paralelo elo:: . . . . . . . . . . . 5.3. 5.3.22 Séri Série: e: . . . . . . . . . . . . . 5.4 Dielét Dielétric ricos: os: . . . . . . . . . . . . . .
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SUMÁRIO . . . . . . . .
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6 Corrente Elétrica e Circuitos Circuitos de Corrente Contínua (CC): (CC): 6.1 A corrent correntee e o movimen movimento to ddas as cargas cargas:: . . . . . . . . . . 6.1.1 Sentido Sentido da corrente corrente elétrica: elétrica: . . . . . . . . . . . 6.2 Resistênci Resistênciaa e Lei de Ohm: . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Energia Energia nos Circuitos Circuitos Elétricos: Elétricos: . . . . . . . . . . . . . 6.4 Força Força Eletro Eletro Motriz Motriz (E ) e Baterias: . . . . . . . . . . . . 6.5 Associação Associação de Resistores: Resistores: . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 6.5.1 Associ Associaçã açãoo em série: série: . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Associação Associação em Paralelo: Paralelo: . . . . . . . . . . . . . 6.6 Leis Leis de Kirchh Kirchhof off: f: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Circui Circuitos tos RC: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Carga Carga de um Capacitor Capacitor:: . . . . . . . . . . . . .
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41 41 42 43 43 43 44 45
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47 47 48 48 50 50 51 51 52 52 52 53
Lista de Figuras 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.6
Forma Forma de verific verificar ar se o objeto objeto está ou não não eletrizad eletrizado. o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Série Triboelét Triboelétrica rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eletrizaçã Eletrizaçãoo po porr indução indução - Polariz Polarização ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eletrizaçã Eletrizaçãoo po porr indução indução - Polariz Polarização ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eletrizaçã Eletrizaçãoo po porr indução indução - Polariz Polarização ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carg Cargas as q 1 e q 2 dispostas sobre um plano cartesiano para definor o vetor posição de cada uma.
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7 7 9 9 9 10
2.1 Cargas localizadas em um plano cartesiano cartesiano e suas respecitivas respecitivas posições. . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Represent Representação ação do dipolo dipolo elétrico elétrico.. Duas cargas cargas de mesma mesma intensidade intensidade porem porem de sinais sinais opostos opostos separados por uma distância |L| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Represent Representação ação das das linhas de campo campo elétrico elétrico gerado gerado por cargas cargas pontuai pontuais. s. (a) campo campo para carga carga positiva com as linhas divergindo da carga pontual. (b) campo para a carga negativa com as linhas convergindo convergindo da carta pontual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Dipolo Dipolo elétrico elétrico submetido submetido a um campo campo elétric elétricoo E
13 15
16 17
3.1 Corpo com com formato aleatório carregado, carregado, destacando um elmento elmento de carga dq que que será considerado para o inicio do calculo do campo elétrico no ponto P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Linha de carga carregada para o calculo do campo no ponto P. P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Linha de carga carga para o cálculo cálculo do campo campo fora fora do eixo eixo do mesmo mesmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Anel Anel carre carregad gadoo no plano plano y z para o cálculo do campo sobre o eixo do anel, neste caso também sobre o eixo x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 Disco carregado carregado para o cálculo do campo campo elétrico no ponto sobre o eixo x. . . . . . . . . . . . . . 24 3.6 Fluxo elétrico onde podemos perceber as linhas de campo campo elétricos atravessando a área A . . . . . 25 3.7 Carga Carga pontua pontuall q no no centro de uma superfície gaussiana de raio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.8 Três Três carga cargass puntifor puntiformes, mes, sendo que q 3 encontra-se fora da superfície, não contribuindo assim para o fluxo elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.9 Plano infinito carregado e a superfície cilindrica caussiana escolhida escolhida para calcular o campo. Nesta figura ˆn é a normal a superfície e E o o campo elétrico gerado pelo plano. . . . . . . . . . . . . . . 27 3.10 Casca esférica carregada carregada com uma uma carga Q e raio R , a linha tracejada refere-se a superfície gaussiana de raio r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.11 Esfera não não condutora condutora de raio R carregada com uma densidade de carga ρ uniformemente distribuída. Nesta situação temos que r > R, onde r é o raio da superfície gaussiana. . . . . . . . . . . 30 3.12 Grafico do campo campo elétrico elétrico E r em função do raio r da gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.13 Grafico para o comportamento comportamento do campo elétrico de uma casca esferica. . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Diferença Diferença de potenci potencial al elétrica elétrica entre dois pontos pontos a e b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Carga Carga puntif puntiform ormee q e dois pontos de referência referência para o cálculo cálculo da diferença de potencial. potencial. Nesta figura dl é o elemento de deslocamento e ˆr é o versor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Anel carregado para o cálculo do potencial potencial elétrico elétrico no ponto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
34 34 38
6
LISTA DE FIGURAS 4.4 Anel carregado uniformemente para o calculo do potencial elétrico no ponto "P"sobre o eixo do disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Capacitor de placas cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Associação de capacitores em paralelo, ligado a uma fonte de tensão submetida a uma diferença de potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Associação em série de capacitores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Fio condutor submetido a uma diferença de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fio condutor acoplado com uma bateria que gera uma tensão V com a chave S aberta. Perceba o movimento aleatório dos elétrons, provavelmente gerado pela agitação térmica. . . . . . . . . . . 6.3 Representação da direção da corrente elétrica em um circuito elétrico. . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 (a) Curva I × V para um elemento resistivo com comportamento Ôhmico. (b) Curva I × V para um elemento resistivo não ôhmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Resistor com a codificação de cores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 (a) Bateria Ideal onde a queda de potencial no resitor é igual a FEM gerada pela fonte. (b) Bateria real, onde a queda de potencial sobre o resistor é diferente da FEM produzida pela bateria. Nesta figura r é a resistência interna da bateria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Associação de resistores em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Associação de resistores em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Circuito de múltiplas malhas onde existe a necessidade de solução a partir das Leis de Kirchhoff. . 6.10 Circuito RC utilizado para o cálculo da carga e descarga de capacitores. . . . . . . . . . . . . . .
39 42 42 43 44 47 47 48 48 50
51 51 52 53 53
Capítulo 1
Eletricidade 1.1 Carga Elétrica A existência de carga elétrica foi percebida através da fricção de diferentes materiais. Quando isso ocorre cargas elétricas (elétrons) são transferidos de um corpo para outro, dependendo da composição do material atritado, estes podem permanecer carregados localmente ficando assim com excesso de carga positiva ou negativa localmente. Existe uma série denominada Série Triboelétrica. Nesta série quanto mais abaixo o material se encontrar maior será sua afinidade com os elétrons. Desta forma se dois materiais desta tabela forem atritados o que estiver mais abaixo ficará carregado negativamente.
Série Triboelétrica Amianto Vidro Nylon Madeira Couro Alumínio Papel Algodão Plástico Borracha de Silicone Figura 1.2: Série Triboelétrica
Figura 1.1: Forma de verificar se o objeto está ou não eletrizado.
1.2 Quantização da Carga Elétrica A transferência de carta elétrica de um corpo para outro só pode ser realizado em números inteiros de carga elétrica. Desta forma, um analise atômica torna-se necessária. Um átomo é formado pelo núcleo com prótons (Carga positiva) e Nêutrons (carga elétrica total nula) e pelos elétrons que orbitam ao redor do núcleo com carga elétrica negativa. Considerando que são os elétrons que tem a capacidade de se ”movimentar” então a carga elétrica transferida com a movimentação de um elétron é 7
CAPÍTULO 1. ELETRICIDADE
8
e = 1.6
× 10
−19
C
(1.1)
Assim, a carga elétrica total transferida de um material para outro é um número inteiro do valor da carga elétrica do elétron, ou seja
Q = N e
·
(1.2)
Onde N = 0, 1, 2, 3 é um número inteiro. A unidade no SI para a carga elétrica é o Coulomb (C).
1.2.1 Conservação da Carga Elétrica Quando dois corpos são friccionados os elétrons de um corpo são transferidos para o outro. Considerando que, inicialmente, os dois corpos estavam neutros eletricamente estes ficarão com o mesmo valor cargas elétricas porem com sinais contrários. Isso ocorre pois existe o que denominamos de conservação de carga elétrica. Ou seja, durante este processo não ocorre o surgimento nem mesmo o desaparecimento de carga elétrica. Exemplo: Uma moeda de cobre ( Z = 29) possui uma massa de 3g . Qual a carta elétrica total de todos os elétrons desta moeda? Solução: Em um átomo de ”Cu” existem 29 elétrons de modo que a carga elétrica de elétrons em um átomo é Q =
−29e
Devemos descobrir agora quantos átomos de cobre existem em 3g de ”Cu”. Levando em consideração que a massa molar é 63, 5g/mol para o cobre. Assim temos que N =
N A m M
onde N A é o número de Avogrado, m a massa da amostra e M a massa molar. Substituindo os valores temos 3 6, 02 102 3 N = = 2, 84 63, 5
·
×
× 1022
Com isso a carga total de elétrons é Q =
−29 · 2, 84 × 1022 · 1, 60 × 10
−19
= 1, 32
× 105C
1.2.2 Condutores e Isolantes Existem determinados materiais, como o cobre, qe apresentam uma relativa mobilidade nos elétrons das camadas mais afastadas do núcleo. Esta mobilidade de elétrons caracteriza os materiais ditos condutores. No entanto, existe ainda materiais que não permitem a mobilidade de elétrons com no cobre, a estes materiais denominamos de isolantes. Vale salientar que existe ainda os materiais denominados semi-condutores que não serão estudados nesta etapa de estudos.
1.2.3 Carga por Indução - Eletroscópio Considerando duas esferas idênticas e condutoras e uma haste isolante carregada eletricamente (positivamente) podemos realizar a eletrização por indução tomando os seguintes procedimentos. Exercícios: Duas esferas condutoras idênticas, uma com carga inicial +Q e outra inicialmente descarregada, são colocadas em contato. (a) Qual é o valor da nova carga em cada uma das esferas? (b) Enquanto as esferas estão em contato, uma barra com carga negativa é aproximada de uma das esferas, fazendo com que ela fique com uma carga igual a +2Q. Qual será o valor da carga na outra esfera?
1.2. QUANTIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA
9
Situação 01 Os elétrons são atraídos pela haste carregada positivamente polarizando a esfera metálica, ou seja, separando as cargas elétricas positivas e negativas. Se a haste for retirada estas cargas irão se redistribuir e a esfera se tornará não polarizada novamente. Figura 1.3: Eletrização por indução - Polarização
Situação 02 Devido ao contato elétrico entre as duas esferas os elétrons se ”aglomeraram” próximo ao bastão carregado. Se as esferas forem afastadas imediatamente, elas irão se tornar carregadas com a mesma carga elétrica porem com sinais opostos. Figura 1.4: Eletrização por indução - Polarização
Situação 03 Após os bastão se afastar as esferas estão eletrizadas e a carga irá se distribuir uniformemente por toda superfície. Figura 1.5: Eletrização por indução - Polarização
CAPÍTULO 1. ELETRICIDADE
10
Exercícios: Duas esferas idênticas são carregadas por indução e, em seguida, separadas. A esfera 1 possui uma carga +Q e a esfera 2 uma carga −Q. Uma terceira esfera idêntica está inicialmente descarregada. Se as esfera 3 entra em contato com a esfera 1 e se afasta, e em seguida, entra em contato com a esfera 2 e é separada, qual será as cargas finais em cada uma das 3 esferas?
1.3 Lei de Coulomb A atração ou a repulsão entre cargas elétricas é um conhecimento intuitivo atualmente, contudo foi Charles Coulomb que em 1785 desenvolveu uma relação matemática capaz de quantizar a tal interação. Se considerarmos duas cargas q 1 e q 2 localizadas nas posições r1 e r2 representada na figura 1.6. Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas desta figura podemos escrever os vetores r1 e r2 na forma:
Figura 1.6: Cargas q1 e q2 dispostas sobre um plano cartesiano para definir o vetor posição de cada uma.
r1 = x 1ˆi + y1 jˆ
(1.3)
r2 = x 2ˆi + y2 jˆ
(1.4)
A distância entre r1 e r2 é dada por, r2
ˆ r21 − r1 = (x2 − x1)ˆi + (y2 − y1) j =
(1.5)
onde podemos definir o versor (vetor com módulo unitário) como sendo rˆ21 =
r21 r21
| |
(1.6)
Considerando esta representação vetorial, Coulomb formulou que a força de repulsão que a carga q 2 gera sobre a carga q 1 (considerando que temos duas cargas positivas) tem a forma, 21 = k q 1 q 2 rˆ21 F r21 2
| |
(1.7)
onde a constante de Coulomb ( k) é dado por k =
1 1 = = 8, 99 4π o 4π8, 85 10−12
×
× 109N · m2/C 2
Para calcular o módulo da força basta tomar
|F 21| = k |q 1r||2q 2|
(1.8)
1.3. LEI DE COULOMB
11
Exemplo: Em um átomo de Hidrogênio, o elétron é separado do próton por uma distância média de aproximadamente 5 , 3 × 10−11 m. Calcule o módulo da força eletrostática de atração exercida pelo próton sobre o elétron. Solução: Considerando que o módulo da carga do elétron e do próton é |qe | = | qp | = 1, 6 × 10−19 o módulo da força é calculado com F = k
|q ||q | = 8, 19 × 10− N e
p
8
r2
Tal força pode ser considerada muito pequena, contudo se considerarmos que esta força pode estar atuando sobre um elétron,que tem uma massa extremamente pequena (9, 109 × 10−31 kg) ela irá acelerar consideravelmente o elétron.
1.3.1 Princípio da Superposição e a Lei de Coulomb: Da mesma forma que na gravitação, o princípio da superposição é válido também para a eletrostática, desta forma o cálculo da força resultante sobre uma determinada carga torna-se relativamente simples, pois passa a ser uma operação de adição vetorial. Para comprovar isso iremos desenvolver um exemplo simples. Exemplo: A carga q1 = +25nC está na origem, a carga q2 = −15nC está sobre o eixo x em x = 2m e a carga qo = +20 nC está posicionada em um ponto com as coordenadas x = 2m e y = 2m conforme mostrado na figura abaixo. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante sobre qo . Inicialmente precisamos encontrar os vetores que posicionam as partículas no plano cartesiano ro = 2ˆi + 2 jˆ r1 = 0ˆi + 0 jˆ r2 = 2ˆi + 0 jˆ
Desta forma a distância entre as partículas pode ser calculado facilmente
− r = 2ˆi + 2 jˆ r − r = 2 jˆ =
r10 = ro r20
1
o
1
de onde podemos calcular os versores que tem a forma rˆ10 =
√ 2 2
ˆ i +
√ 2 2
jˆ
rˆ20 = ˆ j
Podemos utilizar os principio da superposição e calcular a força que a carga q1 atua sobre a carga qo e a força que a carga q2 atua sobre a carga qo independentemente e depois somar vetorialmente. Desta forma, temos 10 = k qo q1 ˆ F r10 r10 2 20 = k qo q2 ˆ F r20 r20 2
| | | |
R é a soma destes dois últimos, assim O vetor resultante, representado na figura F 2
R = F
k
i=1
qo qi
|r|
2
rˆi
i
Substituindo os valores numéricos do enunciado e os vetores temos que R = 8, 99 F
9
× 10
20
9
9
× 10−√ · 25 × 10 |2 2| 2
√
2
2
ˆ i +
√ 2 2
jˆ
+
20
3, 973
× 10− ˆi − 2, 767 × 10− jˆ 7
9
2
Resultando em uma força dada por
R = R
9
7
× 10− · −15 × 10 jˆ |2|
12
CAPÍTULO 1. ELETRICIDADE
Capítulo 2
Campo Elétrico Considerando uma carga inicial q em uma determinada região do espaço. Aproximando uma carga −q desta primeira verificamos que as duas cargas se atraem mutuamente e a intensidade desta força pode ser calculada a partir da Lei de Coulomb. Em um segundo momento, se aproximarmos uma carga +q da primeira carga citada acima, uma força de repulsão com o mesmo módulo surge. Assim podemos pensar que ao entorno da primeira carga existe um "campo"de força característico, da mesma forma que pensamos em campos gravitacionais em torno se corpos que contem massa. Este campo existe independentemente de aproximarmos uma outra carga teste. Denominaremos este campo como sendo o campo elétrico. Este campo pode ser calculado a partir da Lei de Coulomb. O campo elétrico pode ser obtido retirando-se a carga teste da Lei de Coulomb, ou seja, divide-se a Lei de Coulomb pela carta teste. = F E q o
(2.1)
onde, neste equação q o é a denominada carga teste, que será sempre positiva para nós. A unidade no SI tem a forma [E ] = N/C . Poemos perceber desta última equação que o campo elétrico é uma grandeza vetorial assim como a força, se considerarmos que a carga é um escalar, o vetor campo elétrico é um vetor com mesma direção e sentido da força obtida da Lei de Coulomb, contudo seu módulo é menor que o da Força. Pode existir situações em que precisamos calcular o campo elétrico total atuante sobre uma carta teste q o gerado por varias outras cargas localizadas no espaço. Um exemplo está exposto na figura ?? O campo elétrico atuante sobre a carga q o é a soma vetorial do campo gerado por cada uma das cargas q 1, q 2 e q 3 localizadas nas posições r1, r2 e r3 , respectivamente. Assim temos que = k E
|
q i ri,0
|2 ˆri,0
(2.2)
onde ri é o vetor posição de cada uma das cargas que geram um campo na posição onde se encontra q o localizada na posição ro .
Figura 2.1: Cargas localizadas em um plano cartesiano e suas respectivas posições.
13
CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉTRICO
14
Exemplo: Quando uma carga de prova de 5nC é colocada em um certo ponto, ela fica sujeita à ação de uma força de 2 × 10−4N no sentido do aumento da coordenada x . Qual o valor do campo atuante naquele ponto. elétrico E Solução: Neste caso temos um exemplo bastante simples, basta substituir na expressão para o campo elétrico os valores indicados no enunciado, assim = F = 2 E q 5
× 10 × 10
−4
ˆi = 4 −9
ˆi × 104 N C
Exemplo: Uma carga positiva q 1 = +8nC é posicionada na origem, e uma segunda carga positiva q 2 = +12nC é colocada sobre o eixo x a uma distância a = 4m da origem. Determine o campo elétrico resultante em (a) no ponto P 1 sobre o eixo x em x = 7m e (b) no ponto P 2 sobre o eixo x em x = 3m Solução:
O campo elétrico no ponto P pode ser calculado a partir da expressão = k E
q i ˆ ri ri 2
| |
Inicialmente iremos definir os vetores ˆri onde i = 1, 2 neste caso, para a carga q 1 r1,p = r p
onde r p = 7ˆi e r1 = 0ˆi assim temos que rˆ1,p = ˆi
− r1 |r1,p| = 7
Substituindo estes valores no cálculo do campo elétrico vem 1,p = E
kq 1 N ˆ ˆ r = 1, 47 i ,p 1 r1,p 2 C
| |
Para a carga q 2 temos que: r2,p = r p = r2
onde r p = 7ˆi e r2 = 4ˆi assim temos que rˆ2,p = ˆi
|r2,p| = 3
Substituindo estes valores no cálculo do campo elétrico vem 2,p = E
kq 2 N ˆ r2,p = 11, 98 ˆi 2 r2,p C
| |
somando as contribuições de cada uma das cargas = 1, 47 N ˆi + 11, 98 N ˆi = 13, 45 N ˆi E C C C
b) Este item fica como um exercício, o procedimento é o mesmo realizado acima.
2.1 Dipolos Elétricos Quando duas cargas iguais porem com sinais contrários estão separadas por um pequena distância L definimos o momento de dipolo elétrico como sendo
2.1. DIPOLOS ELÉTRICOS
15
p = q L
(2.3)
onde L é o vetor que vai da carga negativa até a carga positiva. A figura 2.2 representa o dipolo descrito acima. Esta configuração de carga é importante para algumas aplicações práticas como iremos verificar adiante. Alguns materiais tem a capacidade de polarizar suas moléculas tornando-se assim dipolos elétricos que poderão ser utilizados para aumentar a capacitância de um capacitor.
Figura 2.2: Representação do dipolo elétrico. Duas cargas de mesma intensidade porem de sinais opostos separados por uma distância |L|
Exemplo: Uma carga +q é posicionada em x = a e uma segunda carga −q é colocada em x = −a, conforme figura abaixo. (a) Determine o campo elétrico sobre o eixo x em um ponto arbitrário x > a. (b)Determine o valor limite do campo elétrico para x >> a. Solução: O cálculo do campo elétrico pode ser realizado utilizando a expressão geral para o campo elétrico, ou seja p = k E
|
q i ri,p
|2 ˆri,p
para encontrar a solução devemos encontrar os vetores r1,p e r2,p . Tais vetores tem a forma r1,p = r p
− r1 = (x + a)ˆi
rˆ1,p = ˆi
|r1,p| = (x + a)
r2,p = r p
− r2 = (x − a)ˆi
rˆ2,p = ˆi
|r2,p| = (x − a)
com isso podemos escrever o campo elétrico na forma p = E
−kq
(x
+ a)2
ˆi +
kq ˆ i (x a)2
−
ou ainda, manipulando algebricamente (fica com exercício para você)
4xa p = kq ˆi E 2 (x a2 )2
−
b) Quando tomamos ( x >> a) então podemos realizar uma aproximação de modo que (x2 + a2 )2 ≈ (x2 + 0 2 )2 ≈ x4 , ou seja, se x >> a então x 2 é muito maior que a 2 de forma que podemos desprezar este termo no denominador do resultado anterior. O resultado fica então na forma p = 4qa ˆi E x3
Considerando a segunda parte do exemplo acima, verificamos que se trata de um dipolo elétrico onde a distância entre as cargas é 2a. Desta forma podemos escrever a intensidade do vetor campo elétrico em função do momento de dipolo elétrico como sendo E =
2k2aq 2kp = 3 x3 x
(2.4)
2.1.1 Linhas de Campo Elétrico: O campo elétrico pode ser representado por linhas que indicam a direção do campo e da força em qualquer posição do espaço. Para uma carga pontual positiva o campo elétrico é radial e direcionado para fora da mesma, já para
CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉTRICO
16
uma carga pontual negativa o campo é também radial contudo direcionado na direção da carga, a figura 2.3 mostra esta configuração.
Figura 2.3: Representação das linhas de campo elétrico gerado por cargas pontuais. (a) campo para carga positiva com as linhas divergindo da carga pontual. (b) campo para a carga negativa com as linhas convergindo da carta pontual.
2.1.2 Movimento de carga elétrica em campos elétricos: ) esta partícula ficará sujeita a Quando uma partícula carregada com carga q é submetido a um campo elétrico ( E uma força dada por, = Eq F
(2.5)
= ma podemos calcular a aceleração de uma partícula com massa "m"carregada Lembrando a 2o Lei de Newton F com uma carga "q".
a =
F q = E m m
(2.6)
Esta expressão se tornou importante, principalmente, pela possibilidade de se obter a razão carga/massa de uma determinada partícula. Isto possibilitou a obtenção da massa do elétron. No entanto mudanças importantes foram feitas quando as velocidades são da ordem da velocidade da luz (correções relativísticas necessitam ser feitas). Exemplo: 1000N/C ˆi, com uma velociUm elétron é projetado em um campo elétrico uniforma E = 6 ˆ dade inicial vo = 2 × 10 m/si. Qual é a distância percorrida pelo elétron antes de parar momentaneamente? Solução: Considerando que a massa do elétron é dada por me = 9, 11 × 10−31 kg e a carga e = −1, 6 × 10−19 C é possível calcular a aceleração imposta sobre o elétron com a =
− × 10 19) · 1000 = −1, 76 × 1014m/s2 × 10 34)
q ( 1, 6 E = m (9, 11
−
−
Da equação de Torricelli podemos calcular o espaço percorrido antes de parar momentaneamente v 2 = v o2 + 2a∆x
onde a velocidade final v é nula e o restante dos dados foram calculados ou estão no enunciado do exemplo 02 = (2
× 106)2 − 2 · 1, 76 × 1014 · ∆x ∆x = 1, 14cm
2.1. DIPOLOS ELÉTRICOS
17
2.1.3 Dipolos elétricos nos campos elétricos: Algumas moléculas possuem momentos de dipolo elétrico permanente devido a uma distribuição não uniforme das cargas elétricas em seu interior. Em outras moléculas uma polarização acontece quando submetidas a um campo 1 e a força F 2 elétrico. A água é um exemplo importante deste efeito. Conforme mostrado na figura 2.4 a força F atuantes sobre as cargas fazem com que o dipolo sofra um torque para se alinhas na direção do campo elétrico. com isso o torque pode ser dado por
Figura 2.4: Dipolo elétrico submetido a um campo elétrico E
τ = p
× E
(2.7)
o módulo do produto vetorial descrito acima pode ser calculado com τ = pEsen(θ)
(2.8)
Se tal dipolo elétrico sofre um torque, então o campo elétrico está realizando um trabalho sobre dipolo, podemos associar este trabalho com a energia potencial elétrica associada ao dipolo elétrico. Podemos escrever o elemento de trabalho associado a um elemento de rotação como sendo dW =
−τ dθ
(2.9)
substituindo a equação 2.8 na equação 2.9, vem dW = pEsen(θ)dθ
−
(2.10)
O sinal negativo nesta equação indica que o torque é oposto a qualquer incremento no ângulo θ . Fazendo uma ligação entre o trabalho e a energia potencial na forma dU =
−dW = pEsen(θ)dθ
(2.11)
tomando a integral de 2.11
dU =
pEsen(θ)dθ
(2.12)
lembrando que sen(θ)dθ = −cos(θ) podemos escrever a energia potencial elétrica associada ao dipolo, U = pEcos(θ) = p E
−
p e E que é exatamente o produto escalar entre
− ·
(2.13)
CAPÍTULO 2. CAMPO ELÉTRICO
18
Exemplo: Um dipolo com momento de p = 0, 02e · nm faz um ângulo de 20o com um campo elétrico uniforme de E = 3 × 103 N/C . Determine (a) o torque sobre o dipolo. (b) a energia potencial do sistema. Solução: Sendo e = 1, 6 × 10−19 C e lembrando que 1nm = 1 × 10−9 m o torque pode ser calculado através de
|τ | = pEsen(θ) = 0, 02 · 1, 6 × 10 19 · 10 9 · 3 × 103 · sen(20o) |τ | = 3, 28 × 10 27N m −
−
−
vale ressaltar que o cálculo acima indica apenas o módulo do torque. b) Para calcular a energia potencial devemos usar 2.13, assim U = pEC os(θ) =
−
−27
−9, 02 × 10
Aqui temos um escalar, uma vez que energia é um escalar.
J
Capítulo 3
Campo Elétrico: Distribuições contínuas de carga Até o momento estudamos as interações e os campos entre cargas elétricas pontuais. No entanto, existe a possibilidade de encontrarmos corpos extensos carregados eletricamente. Estes corpos, por sua vez, irão gerar campos elétricos em seu entorno. Neste capítulo iremo calcular os campos elétricos gerados por formas simétricas e distribuições contínuas de carga. Para isso precisamos definir densidade de carga elétrica, da mesma forma como é definida densidade de massa. Conforme a forma do corpo carregado podemos ter 3 tipos de densidades: Volumétrica, Superficial e Linear. ρ =
∆Q ∆V
(3.1)
σ =
∆Q ∆A
(3.2)
λ =
∆Q ∆L
(3.3)
Se considerar um corpo com uma forma contínua conforme representado na figura 3.1 onde um corpo "C"apresentase uniformemente carregado podemos calcular o campo elétrico no ponto P selecionando-se um elemento de carga dq e calculando o campo no pondo requerido. Para calcular o campo elétrico total basta "varrer"todo corpo e utilizar o princípio da superposição (integrando) sobre todo volume do corpo.
Figura 3.1: Corpo com formato aleatório carregado, destacando um elemento de carga dq que será considerado para o inicio do calculo do campo elétrico no ponto P.
Como exemplo temos o campo elétrico gerado pelo elemento de carga dq no ponto P na forma = dE
kdq rˆ1 r12
O campo total é calculado integrando a equação 3.4 19
(3.4)
20
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
= E
kdq rˆ r2
V
(3.5)
onde dq pode ser escrito em função da densidade de carga com dq = ρdV , ou dq = σdA, ou dq = λdL. A partir deste ponto iremos descrever o campo elétrico gerado pro algumas distribuições simétricas de cargas. Todos os cálculos serão realizados a partir da Lei de Coulomb.
3.1 Campo Elétrico gerado por um segmento reto finito de carga: 3.1.1 Campo Elétrico sobre o eixo do segmento: Vamos considerar uma barra carregada, no qual denominamos de segmento finito de cargas representados na figura 3.2.
Figura 3.2: Linha de carga carregada para o calculo do campo no ponto P.
Nosso objetivo é calcular o campo elétrico no ponto P, para isso vamos descrever o campo elétrico gerado no ponto P. Tal campo pode ser escrito pelo elemento de carga dq mais escuro nesta figura gerando um campo dE como sendo, x = dE
kdq ˆ i r2
(3.6)
(3.7)
onde r é a distância entre a carga dq e o ponto P, que neste caso é dado por r = (x p
− x)ˆi
substituindo na expressão acima x = dE
kdq ˆ i (x p x)2
−
(3.8)
para integrar esta equação precisamos mudar o elemento de integração, para isso utilizaremos as definições de densidade de carga, neste caso temos uma densidade linear de carga, assim o elemento de carga dq pode ser escrito como sendo dq = λdx, substituindo na equação acima vem, x = dE
kλdx ˆ i (x p x)2
−
(3.9)
o campo elétrico total é dado pela integração desta última, para este exemplo, entre os limites −L/2 até L/2. Como, neste caso k , λ e x p são constantes, então = kλˆi E
L/2
dx
−L/2
(x p
− x)2
resolveremos esta integral realizando uma mudança de variáveis da seguinte forma u = x p
então, derivando u em função de x
−x
(3.10)
3.2. CAMPO ELÉTRICO FORA DO EIXO DO SEGMENTO: du d = (x p dx dx
21
− x) = −1
assim du =
−dx
os limites de integração deverão mudar também de modo que xi =
− L2
ui = x p +
L 2
uf = x p +
xf =
L 2
L 2
retornando a expressão para o campo elétrico x = E
x = kλˆi E
− 1 u
−
xp −L/2 xp +l/2
kλˆi
xp −L/2
du u2
xp +L/2
= kλˆi
1
x p
− L/2 −
1 x p + L/2
(3.11)
(3.12)
manipulando algebricamente encontramos x = E
(x p2
kλL ˆi = (L/2)2 ) x p2
−
−
kq ˆi (L/2)2
(3.13)
onde reescrevemos novamente o resultado em função da carga total da barra.
3.2 Campo elétrico fora do eixo do segmento: Generalizando o problema anterior vamos calcular o campo elétrico fora do eixo do segmento, para direcionar nossos estudos observe a figura 3.3, nesta figura a barra está sobre o eixo x com extremidades em x 1 e x 2 . O no ponto P sobre o eixo y . Este campo pode ser decomposto em elemento de carga dq gera um campo elétrico dE campos na direção x e y do plano cartesiano exposto na figura. Na direção y temos o campo dE y , já na direção x temos o campo dE x , neste caso direcionado na direção negativa do eixo x . A linha que liga extremidade x 1 até o ponto P é direcionada através do ângulo θ 1 , já a outra extremidade é direcionada através do ângulo θ 2 , por outro lado, o elemento de carga dq é direcionada através do ângulo θ. Este ângulos serão úteis durante a integração posteriormente.
Figura 3.3: Linha de carga para o cálculo do campo fora do eixo do mesmo
Da mesma forma que o caso anterior devemos calcular o campo elétrico gerado pelo elemento de carga dq sobre o ponto P. = dE
kdq ˆ r r2
||
(3.14)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
22
substituindo o elemento de carga por dq = λdx = dE
kλdx rˆ r2
||
(3.15)
Devemos encontrar o vetor r que liga o elemento de carga dq até o ponto localizado sobre o eixo y . Sendo a localização deste elemento dado por rq = xˆi e do ponto P r p = y jˆ, assim r = r p
− rq = −y jˆ − xˆi = −xˆi + y jˆ
(3.16)
Podemos colocar os componentes do campo em função dos ângulos θ, de acordo com a figura 3.3 na direção y temos que cos(θ) dE y = dE
| |
(3.17)
(3.18)
| vem que substituindo |dE dE y =
kλdx cos(θ) r2
Observando as identidades relacionadas aos triângulos retângulos da figura 3.3 podemos escrever y r
cos(θ) =
(3.19)
assim temos para o campo na direção y dE y =
kλy dx r3
(3.20)
Para calcular E y devemos integrar a ultima expressão. Para facilitar os cálculos podemos fazer uma mudança de variáveis para não integrar sobre os limites x1 e x2 . Da figura temos tg(θ) =
x y
(3.21)
escrevendo x em função de tg(θ) e derivando em função de θ dx d = (ytg(θ)) dθ dθ
dx = ysec2 (θ)dθ
(3.22)
podemos escrever r em função de θ , de modo que r =
y cos(θ)
(3.23)
Substituindo as duas ultimas na expressão para o campo, temos dE y =
kλy 2 sec2 (θ)dθ
dE y =
(3.24)
y3 cos(θ )3
kλ cos(θ)dθ y
(3.25)
Integrando 3.25 vem
kλ dE y = y E y =
θ2
cos(θ)dθ =
θ1
kq (sen(θ2 ) Ly
kλ sen(θ) θθ y
− sen(θ1))
|
(3.26)
2 1
(3.27)
SOBRE O EIXO DE UM ANEL CARREGADO: 3.3. CAMPO E
23
Com procedimento semelhante podemos calcular a componente do campo elétrico na direção x (fica como exercício para você), onde encontramos que E x =
kλ (cos (θ2 ) y
− cos (θ2))
(3.28)
sobre o eixo de um anel carregado: 3.3 Campo E
Antes de iniciar nossos cálculos, vamos observar que teremos campo elétrico apenas na direção x (veja figura 3.4) uma vez que estamos calculando o campo sobre o eixo do anel. A figura 3.4 mostra os componentes dos vetores onde podemos observar tal simetria.
Figura 3.4: Anel carregado no plano yz para o cálculo do campo sobre o eixo do anel, neste caso também sobre o eixo x.
Considerando o ponto localizado a uma distância x conforme mostrado na figura ?? o campo elétrico na direção x tem a forma x = dE
kdq ˆ i r2
(3.29)
ou ainda, em função do ângulo θ , dE x
kdq cos(θ) r2
(3.30)
como cos(θ) = xr vem que kdq x kdq = 3 x 2 r r r
dE x =
(3.31)
a distância r entre o ponto e o elemento de carga dq 1 pode ser escrita em função do raio do anel e da distância x , que para este caso são duas constantes, r =
Substituindo r na expressão para o campo dE x =
(3.32)
x2 + a2
kdqx
(x2 + a2 )3/2
(3.33)
o campo elétrico na direção tem o valor a partir da integral da expressão acima
dE x =
Assim
kx (x2 + a2 )3/2
dq
(3.34)
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
24
E x =
kxq
(x2 + a2 )3/2
(3.35)
sobre o eixo de um disco carregado 3.4 Campo elétrico E
Da mesma forma que o anel, a simetria do disco possibilita o cálculo do campo apenas na direção x . Temos aqui dq uma densidade superficial de carga σ = dA . Onde dA neste caso é dado por
Figura 3.5: Disco carregado para o cálculo do campo elétrico no ponto sobre o eixo x.
dA = 2πada
de forma que a carga dq = σ2πada. Para calcular o campo do disco, vamos partir do resultado encontrado para o anel da seção anterior. podemos escrever o campo elétrico dE x na seguinte forma, kx2πσada (x2 + a2 )3/2
dE x =
(3.36)
No entanto, neste caso o raio a pode variar de a = 0 até a = R como pode ser visto na figura 3.5, desta forma a integral toma a forma:
R
dE x =
0
kx2πaσda (x2 + a2 )3/2
(3.37)
Para resolver esta integral vamos utilizar uma mudança de variáveis da seguinte forma u = x 2 + a2 du = 2ada
(3.38)
(3.39)
Os limites de integração tomam a forma a = 0 a = R
→ u = x2
→ u = x2 + R2
Substituindo os limites na integral temos que x2 +R2
E x =
x2
Integrando vem que
kxπσdu u3/2
(3.40)
3.5. O FLUXO ELÉTRICO:
25
u−1/2 E x = kxπσ 1/2
− |
x2 +R2 x2
(3.41)
O campo gerado pelo disco é então dado por
− →
E x = 2πkσ
1
1
1+
3.5
R2 x2
x > 0
(3.42)
O fluxo Elétrico:
A descrição das linhas de campo elétrico não possibilita tomar uma análise quantitativa do campo elétrico. Nesta seção iremos descrever o conceito de "fluxo elétrico"( ΦE ). O fluxo é uma grandeza que relaciona a quantidade de linhas (campo elétrico) com uma área perpendicular a este campo. Uma representação é feita através da figura 3.6 (a), onde podemos calcular o fluxo na forma
Figura 3.6: Fluxo elétrico onde podemos perceber as linhas de campo elétricos atravessando a área A
ΦE = E A
(3.43)
onde a unidade no SI é dado por N m2 /C . Se a superfície com área A não se encontra perpendicular ao campo então o fluxo é alterado de acordo com o angulo θ entre a normal a superfície e o campo (figura 3.6 b). elétrico E Para calcular nesta situação temos que:
ΦE = EAcos(θ)
(3.44)
Para uma situação onde o campo elétrico e a normal à área varia em função da posição precisamos calcular de forma diferente o fluxo elétrico total ao circuito. Poderá ser relativamente mais fácil calcular um pequeno elemento de fluxo de cada vez. Assim teremos i ∆A i ∆ΦE = E i ∆Ai cos(θ) = E
·
(3.45)
i cada vez menor podemos encontrar o limite onde, Se tomarmos os elementos ∆A
ΦE = lim
i = E i ∆A
∆Ai →0
dA E
sup.
·
(3.46)
Para o cálculo do campo elétrico, muitas vezes estamos interessados em campos em uma determinada região do espaço, ou seja, dentro de uma superfície fechada como por exemplo uma esfera, Desta forma 3.46 fica sendo uma integral fechada e é representada como sendo ΦE =
· dA = E
E n dA
onde E n representa o campo elétrico perpendicular a superfície fechada.
(3.47)
26
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
3.6 Lei de Gauss para Eletricidade Se considerarmos uma carga puntiforme +q situado no centro de uma esfera de raio R que representa uma superfície fechada onde queremos calcular o fluxo elétrico, como representado pela figura 3.7, o campo elétrico calculado a partir da Lei de Coulomb pode ser escrito como sendo E n =
kQ R2
Lembramos também que o campo elétrico gerado por uma carga positiva é um campo que diverge da carga, desta forma, em cada ponto da superfície esférica pontilhada da figura 3.7 o campo é perpendicular a ela. Utilizando 3.47 podemos calcular o fluxo elétrico na superfície fechada, de modo que, como o campo elétrico é uniforme sobre esta superfície temos ΦE =
E n dA = E n
dA
(3.48)
Figura 3.7: Carga pontual q no centro de uma superfície gaussiana de raio R .
A integral do lado direito de 3.48 é na verdade a integral dupla que define a área de uma superfície esférica que é dada por 4πR 2 . Assim o fluxo elétrico tem como resultado. ΦE =
kQ 4πR 2 = 4πkQ R2
(3.49)
onde utilizamos o campo de uma carga pontual, esta expressão demonstra que o fluxo resultante sobre uma esfera com raio R depende, acima de tudo, da intensidade de carga Q, uma vez que 4πK é uma constante. Este resultado mostra também que o fluxo elétrico de qualquer superfície fechada que envolva uma carga puntiforme é dado por 4πK Q. Desta forma, para um sistema de cargas puntiformes como o representado na Figura 3.8, o fluxo irá depender da carga total DENTRO da superfície fechada.
Figura 3.8: Três cargas puntiformes, sendo que q3 encontra-se fora da superfície, não contribuindo assim para o fluxo elétrico.
Neste caso, independente do sinal da carga q 3 todas as linhas que partem da carga e penetram na superfície irão sair em outro ponto da mesma, de modo que a carga q 3 não afeta no fluxo total. No entanto as linhas de campo proveniente das cargas q 1 e q 2 irão penetrar ou sair da superfície e deverão contar para o cálculo do fluxo. ΦE = 4πK (q 1 + q 2 )
o valor do fluxo final irá depender do sinal e do valor das cargas aprisionadas na superfície fechada.
(3.50)
3.7. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DA LEI DE GAUSS:
27
3.7 Cálculo do campo elétrico a partir da Lei de Gauss: De acordo com a distribuição de carga e da simetria desta distribuição muitas vezes é mais fácil calcular o campo a partir da Lei de Gauss. Para isso, precisamos de uma superfície denominada Superfície Gaussiana que é uma superfície fechada que envolve as cargas, ou distribuição de cargas. A escolha da superfície gaussiana é escolhida de forma que em cada ponto desta superfície o campo elétrico seja paralelo ou perpendicular a normal nˆ desta superfície.
3.7.1 Simetria Plana: Considerando um plano infinito apresentado na figura 3.9 que apresenta uma densidade constante de carga σ . é perpendicular ao plano nas "tampas"da superfície cilíndrica escolhida e o Devido a simetria, o campo elétrico E mesmo campo é perpendicular ao cilindro em sua lateral.
Figura 3.9: Plano infinito carregado e a superfície cilindrica caussiana escolhida para calcular o campo. Nesta figura ˆn é a normal a superfície o campo elétrico gerado pelo plano. e E
é paralelo ao vetor normal Observando a figura 3.9 verificamos que o fluxo através de cada área do cilindro, onde E n ˆ é dado por E n A, onde A é a área de cada uma das faces. Como temos duas faces, o fluxo total é igual a 2E n A. A carga resultante no interior da superfície é σA , assim Qint = 0 ΦE
(3.51)
σA = 0 2E n A
(3.52)
com isso vem que
Com isso o campo toma forma E n =
σ = 2πK σ 20
(3.53)
A direção é ˆi, a direita da placa infinita carregada e −ˆi no lado esquerdo da placa se a densidade de carga for positiva. Esta forma de cálculo é extremamente mais simples de calcular o campo elétrico quando comparamos o cálculo a partir da Lei de Coulomb. No entanto, para cada distribuição de carga é importante que uma superfície gaussiana adequada seja escolhida. Exemplo: (Calcule em casa) Um plano infinito com densidade superficial de carga σ = 4, 5nC/m2 situa-se no plano de coordenada x = 0, e um segundo plano infinito com densidade superficial de carga σ = −4, 5nC/m2 situa-se em um plano paralelo ao anterior na coordenada x = 2m. Determine o campo elétrico em: (a) x = 1, 8m. (b) x = 5m
3.7.2 Simetria Esférica: Para uma carga pontual, uma esfera ou uma casca esférica a melhor superfície gaussiana para o cálculo a partir da Lei de Gauss é uma esfera com a carga em questão no seu centro. Desta forma, em qualquer ponto da superfície
28
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
· n gaussiana o campo elétrico é paralelo ao vetor ˆn que é normal a superfície.Assim o campo E n = E ˆ = E r , onde E r é o campo radial a superfície. O fluxo pode ser calculado a partir de ΦE =
n E ˆ dA =
·
S
E r dA
(3.54)
S
como, sobre a superfície E r é uma constante, então podemos reescrever a equação acima na forma ΦE = E r
dA = E r 2πr 2
(3.55)
S
sendo o fluxo elétrico ser dado por ΦE =
Qint 0
(3.56)
Campo devido a uma carga puntiforme: Então para uma superfície gaussiana que engloba uma carga puntiforme q o resultado torna-se E r 4πr 2 =
q 0
(3.57)
isolando E r vem que E r =
q 4π 0 r2
(3.58)
que é exatamente o mesmo resultado encontrado utilizando-se a Lei de Coulomb.
Campo devido a uma casca esférica carregada : Para uma casca esférica de raio R carregada com uma carga Q o procedimento é exatamente o mesmo que no caso da carga pontual. Se tomarmos uma superfície gaussiana com raio r > R então teremos um fluxo dado por:
Qint n E ˆ dA = 0 S
ΦE =
(3.59)
·
como, sobre a superfície o campo elétrico é uniforme e constante, então podemos utilizar o mesmo procedimento anterior e reescrever a equação acima na forma E r 2πr 2 =
Q 0
(3.60)
de onde vem que, para r > R E r =
1 Q 4π 0 r2
(3.61)
Que é o mesmo resultado encontrado para a carga pontual. O cálculo para o campo elétrico para uma superfície gaussiana com r < R , como representado na figura 3.10 Escrevendo a Lei de Gauss
Qint n E ˆ dA = 0 S
·
(3.62)
o lado esquerdo desta equação tem resultado igual ao dos cálculos anteriores, contudo no lado esquerdo, não temos nenhuma carga liquida aprisionada dentro da superfície gaussiana, de modo que Qint = 0, deste modo temos que
3.7. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DA LEI DE GAUSS:
29
Figura 3.10: Casca esférica carregada com uma carga Q e raio R , a linha tracejada refere-se a superfície gaussiana de raio r .
E r 4πr 2 =
Qint =0 0
(3.63)
o campo elétrico é então E r = 0
(3.64)
Este resultado era esperado, uma casca elétrica carregada irá blindar o campo elétrico dentro dela deixando este espaço com campo elétrico nulo. Se considerarmos, uma esfera maciça e condutora, a mobilidade das cargas elétricas irá fazer com que toda carga se concentre na superfície deste esfera maciça, assim, para efeitos de cálculos de campos o procedimento é o mesmo adotado aqui nesta seção. Contudo, se a esfera maciça for não condutora devemos levar em consideração uma distribuição volumétrica de carga, os cálculos serão apresentado na próxima seção.
Campo devido a uma esfera isolante carregada uniformemente: Para desenvolver esta situação iremos encontrar o campo elétrico para duas situações distintas, quando r > R e r < R, onde r é o raio da superfície gaussiana e R o raio da esfera carregada. Considerando que a carga está distribuída uniformemente em todo volume, então teremos uma distribuição volumétrica de carga, de forma Q que ρ = V , onde V = 43 πr 3 . Inicialmente vamos calcular o campo elétrico para a situação em que r > R, na figura 3.11 verificamos a superfície gaussiana nesta situação, podemos perceber que toda carga Q está concentrada dentro da referia superfície, assim a Lei de Gauss tem a forma
Qint n E ˆ dA = 0 S
(3.65)
·
a integral a esquerda tem como resultado, sobre a superfície gaussiana, E r 4πr 2 =
Qint 0
(3.66)
nesta situação, a carga dentro da superfície gaussiana ( Qint ) é a carga total sobre a esfera maciça não condutora, de forma que Qint = Q , assim a equação acima toma a forma E r =
1 Q 4π 0 r2
(3.67)
Quem mais uma vez é o mesmo resultado que obtivemos no caso de uma carga pontual, como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera maciça. Vamos considerar agora a situação em que r < R, ou seja, a superfície gaussiana está dentro da esfera maciça, com isso podemos calcular o campo elétrico dentro da esfera maciça não condutora. Diferentemente dos
30
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
Figura 3.11: Esfera não condutora de raio R carregada com uma densidade de carga ρ uniformemente distribuída. Nesta situação temos que r > R, onde r é o raio da superfície gaussiana.
outros exemplos, nesta situação teremos uma carga liquida dentro da superfície gaussiana independente do valor r < R , desde que r = 0. Aplicando novamente a Lei de Gauss
Qint n E ˆ dA = 0 S
(3.68)
·
o lado esquerdo terá o mesmo resultado que a situação anterior, vamos resolver então o lado direito desta equação. Neste caso a carga interna será parte da carga total distribuída na esfera maciça. A relação entre a carga interna Qint a superfície gaussiana e a carga total pode ser descrita através da densidade volumétrica de carga, onde ρ =
Q Qint = V V G
(3.69)
onde V G é o volume da gaussiana, assim podemos reescrever esta última V G Qint = Q = V
4 πr 3 3 4 πR3 3
(3.70)
de onde podemos tirar que Qint =
Qr3 R3
(3.71)
Substituindo a carga interna na Lei de Gauss E r 4πr 2 =
Qr3 R3 0
(3.72)
isolando E r o campo elétrico para esta situação tem a forma E r =
Q r R3 0 4π
(3.73)
onde podemos perceber que para dentro da esfera maciça não condutora temos um campo que cresce linear com relação ao raio da superfície gaussiana. Analisando os resultados obtidos para r > R e r < R verificamos dois comportamentos distintos para o campo. Tais comportamentos são resumidos na figura 3.12. Neste gráfico o eixo horizontal representa a distância radial r do centro da esfera e o eixo vertical o campo elétrico E r . A curva representa o comportamento linear até r = R e um comportamento proporcional a 1/r2 para r > R . A mesma análise podemos fazer para o campo elétrico da casca esférica calculado anteriormente. Naquela situação o campo elétrico apresenta uma descontinuidade em r = R uma vez que dentro da esfera o campo é nulo e fora dela o campo é proporcional a 1/r2 . Assim o gráfico para esta situação é o apresentado na figura 3.13. Percebe-se claramente uma descontinuidade no campo elétrico.
3.7. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DA LEI DE GAUSS:
Figura 3.12: Gráfico do campo elétrico E r em função do raio r da gaussiana.
Figura 3.13: Gráfico para o comportamento do campo elétrico de uma casca esférica.
31
32
CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉTRICO: DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
Capítulo 4
O Potencial Elétrico 4.1 Diferença de Potencial Da mecânica clássica sabemos que a variação da energia potencial elétrica ( dU ) está associada ao trabalho realizado sobre o elemento, no caso da eletricidade o trabalho é realizado pela força elétrica ( F E ) sobre um determinada carga l. Matematicamente temos que (q ) fazendo com que a mesma se desloque de um valor d dU =
−F E · d l
(4.1)
onde F E é a força devido a lei de coulomb dada por = q 0 E F
(4.2)
substituindo esta equação na equação para energia potencial elétrica vem dU =
−q 0E · d l
(4.3)
Podemos calcular a diferença de potencial elétrico tomando então dU = q 0
dV =
−E · d l
(4.4)
perceba a diferença importante entre a energia potencial elétrica ( dU ) e o potencial elétrico ( dV ) definidos aqui. A figura ?? abaixo mostra uma forma de medir a diferença de potencial elétrica entre os pontos a e b em um sistema para medir a diferença de resistividade entre dois substratos S 1 e S 2 normalmente utilizados em métodos geofísicos. O cálculo da diferença de potencial elétrico entre os pontos citados acima pode ser realizado a partir da integral de dV .
b
∆V =
−
b
dV =
a
Ed l
(4.5)
a
A diferença de potencial V b − V a é igual ao negativo do trabalho por unidade de carga, realizado pelo campo elétrico sobre um pequena carga de prova positiva quando esta se move de um ponto " a"até um ponto " b". Este cálculo é valido se mantivermos fixas todas as outras cargas do sistema.
4.2 Potencial Elétrico devido a um sistema de cargas puntiformes Podemos calcular o potencial elétrico a uma distância r de uma carga puntiforme a partir de seu campo elétrico. Lembrando que o campo elétrico de uma carga puntiforme pode ser escrito por = kq ˆ E r r2
33
(4.6)
CAPÍTULO 4. O POTENCIAL ELÉTRICO
34
Figura 4.1: Diferença de potencial elétrica entre dois pontos a e b .
l a diferença de potencial pode ser escrito como sendo Considerando um deslocamento d kq l = 2 ˆ r · d l −Ed r
dV =
(4.7)
Da figura 4.2 temos que dr = dlcos(φ)
rˆ d l = d l cos(φ)
·
dr = rˆ d l
·
l é o elemento de Figura 4.2: Carga puntiforme q e dois pontos de referência para o cálculo da diferença de potencial. Nesta figura d deslocamento e ˆr é o versor.
Substituindo o produto escalar para o cálculo dV dV =
kq dr r2
(4.8)
integrando desde o ponto de referência até o ponto r p temos,
−
rp
dV =
r
kq dr = r2
rp
−kq
r
1 dr r2
(4.9)
resultando em V =
−kq
− | 1 r
rp r
=
kq r p
− krq
Se tomarmos r no infinito, o segundo termo da expressão acima tende a zero e o potencial toma a forma
(4.10)
4.2. POTENCIAL ELÉTRICO DEVIDO A UM SISTEMA DE CARGAS PUNTIFORMES
V =
kq r
35
(4.11)
Com isso, podemos calcular a energia potencial de uma carga de prova puntiforme colocada a uma distância r de uma carga pontual q .
U = q o V =
kq o q r
(4.12)
onde q o é a carga de prova puntiforme. Exemplo: Qual o potencial elétrico a uma distância r = 0, 529 × 10−10 m de um próton? (distância entre o núcleo e o elétron em um átomo de hidrogênio). Qual é a energia potencial elétrica do elétron e do próton a essa distância de separação? Solução: Para calcular o potencial V devido ao próton basta tomar V =
kq ke 8, 99 109 1, 6 10−19 = = r r 0, 529 10−10
×
· × ×
(4.13)
V = 27, 2Nm/C = 27, 2V
O cálculo da energia potencial é dada por
U = q o V
(4.14)
onde neste caso q o = e ou q o = −e para o caso do elétron. Assim U = q o V =
−e(27, 2) = −27, 2eV
(4.15)
Esta unidade se chama Elétron-volt e está diretamente relacionada a carga elementar.
4.2.1 Sistemas de Cargas Pontuais Para calcular o potencial em um ponto específico pode-se utilizar o princípio da superposição, de modo que
V =
i
kq i ri
Para desenvolver melhor esta ideia iremos resolver um exemplo prático.
(4.16)
CAPÍTULO 4. O POTENCIAL ELÉTRICO
36
Exemplo: Duas cargas puntiformes de +5nC estão sobre o eixo x, uma na origem e outra em x = 8cm. Determine o potencial (a) no ponto P 1 sobre o eixo x em x = 4cm (b) no ponto P 2 sobre o eixo y em y = 6cm. Solução: No ponto P 1 temos, V =
i
kq i ri
onde r i é a distância de cada uma das cargas até o ponto em questão
Assim temos que,
V =
i
kq i kq 1 k q 2 = + ri r1 r2
onde r1 = 4cm, r2 = 4cm, q 1 = q 2 = +5nC . Passando para o SI e substituindo acima vem que V =
8, 99
× 109 · 5 × 10
−9
+
0, 04
8, 99
× 109 · 5 × 10
−9
0, 05
= 2, 25kV.
Para o ponto P 2 tomamos o mesmo procedimento, contudo agora mudam as distâncias r 1 e r2 , assim V =
i
kq i kq 1 k q 2 = + ri r1 r2
Neste caso, r1 = 6cm = 0, 06m, r2 = 10cm = 0, 1m, substituindo V =
8, 99
× 109 · 5 × 10
−9
0, 06
+
8, 99
× 109 · 5 × 10
−9
0, 1
= 1, 20kV.
Exercício 1: Uma carga q 1 é posicionada na origem e uma segunda carga q 2 é colocada sobre o eixo x em x = a . Determine o potencial sobre o eixo " x"para um ponto qualquer.
Exercício 2: Um dipolo elétrico consiste em uma carga positiva +q sobre o eixo x em x = +a e uma carga negativa em x = −a, conforme a figura abaixo. Determine o potencial no eixo x para x >> a em função do momento de dipolo elétrico p = 2qa.
4.3 Cálculo do Campo Elétrico a partir do Potencial O campo é o potencial elétrico estão intimamente relacionados a partir da equação da diferença de potencial d dV = E l
·
o campo elétrico naquela região do espaço. Se considerarmos um pequeno lé um vetor deslocamento e E onde d
4.3. CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL
37
deslocamento (dx), apenas na direção x a única componente do campo elétrico que contribui para a diferença de potencial é a componente E x do campo. pois é a componente paralela a dx. Desta forma dV =
−E x · dx
(4.17)
de onde podemos tirar que E x =
− dV dx
(4.18)
com isso temos que o campo elétrico é o negativo da derivada espacial do potencial elétrico. Como exemplo podemos calcular o campo elétrico gerado por uma carga pontual a partir do potencial elétrico dado por V =
kq r
(4.19)
neste caso o campo é radial a carga, assim iremos calcular a componente radial do campo E r =
−
dV d kq rˆ = rˆ dr dr r
(4.20)
resolvendo, temos E r =
kq ˆ r r2
(4.21)
que é exatamente o campo elétrico gerado por uma carga pontual, conforme já havíamos demostrado a partir da Lei de Coulomb. Se o campo elétrico tiver componentes nas três direções, então o campo toma a forma = E xˆi + E y j + ˆ E z kˆ E
(4.22)
l tiver componentes nas três dimensões o potencial pode ser escrito como se além disso o deslocamento d d V = E l
·
(4.23)
para cada componente do campo elétrico teremos uma derivada direcional de forma que = E
ˆi − ∂ V jˆ − ∂ V kˆ − ∂V ∂x ∂y ∂z
(4.24)
ou ainda, considerando que ∂ ˆ ˆ k ∇ = ∂x∂ ˆi + ∂y∂ j + ∂z
o campo elétrico pode ser calculado como sendo = E
−∇ · V
ou seja, o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico.
(4.25)
CAPÍTULO 4. O POTENCIAL ELÉTRICO
38
Exemplo: Calcule o campo elétrico em uma região do espaço onde o potencial elétrico é dado por V = (3x2 y + y2 + yz)volts
Solução: Para calcular o campo elétrico devemos tomar o negativo do gradiente do potencial elétrico. Assim = E
−∇ · V =
podemos reescrever na forma = E
− ∂x∂
resultando em
·
3x2 y + y 2 + yz
∂ 3x2 y + y2 + yz ∂y
− −
3x2 y + y 2 + yz
= E
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i + j + k ∂x ∂y ∂z
∂ 3x2 y + y 2 + yz ∂z
−
ˆ y kˆ V /m 6xyˆi + 3x2 + 2y + z j +
4.4 Cálculo do potencial V para distribuições contínuas de carga: Da mesma forma que para o campo elétrico, no capítulo anterior, podemos calcular o potencial elétrico para um pequeno elemento de carga dq e, logo após, utilizar o princípio da superposição para calcular o campo elétrico total da distribuição de carga, ou seja, V =
k dq r
(4.26)
4.4.1 Potencial V no eixo de um anel carregado: Considerando um elemento de carga dq do anel da√ figura 4.3, este irá gerar um potencial elétrico V no ponto P distante r da posição do elemento. Neste caso r = a2 + x2 . Para calcular o potencial elétrico V basta tomar
Q
V =
0
k k dq = r r
Q
dq
(4.27)
0
a fração kr foi retirado do integrando pois tanto k quanto r são constantes neste caso. Assim o potencial elétrico tem a forma V =
kQ = r
√ a2kq + x2 =
kq
|| x
1+
a2 x2
Figura 4.3: Anel carregado para o cálculo do potencial elétrico no ponto P .
(4.28)
4.4. CÁLCULO DO POTENCIAL V PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA:
39
Exemplo: Um anel com 4cm de raio está apoiado no plano xy com seu centro na origem do plano cartesiano. O anel possui uma carga uniformemente distribuída de 8nC . Uma pequena partícula de massa m = 6mg e carga q o = 5nC é colocada em x = 3cm e liberada. Determine a velocidade da partícula quando estiver a uma grande distância do anel. Admita que os efeitos gravitacionais sejam desprezíveis. Solução: Devido ao sinal da carga, ao ser liberada ela será repelida e acelerada na direção positiva do eixo x. Desta forma, toda energia potencial elétrica armazenada pela carga irá se transformar em energia cinética. Assim, inicialmente iremos calcular a energia potencial. U = q o V = q o
√ xkQ 2 + a2
substituindo os valores numéricos temos U =
5
× 10 9 · 8, 99 × 109 · 8 × 10 −
0, 032
−9
= 7, 18
+ 0, 042
× 10
−6
J
igualando a energia potencial inicial com a energia cinética final vem que 1 mv 2 = 7, 18 2
× 10
−6
de onde podemos calcular a velocidade v = 1, 54m/s
4.4.2 Potencial elétrico V no eixo de um disco uniformemente carregado: Podemos utilizar o resultado do anel para calcular o potencial elétrico do disco carregado uniformemente. Considerando que o eixo do disco seja o eixo x , podemos imaginar que o disco seja uma série de anéis carregados criando um certo potencial elétrico em um ponto dobre este eixo. O anel de raio " a"e espessura da mostrado na Q figura 4.4 tem uma área de 2πada e sua carga é dq = σdA = 2πσada, onde σ = πR é a densidade superficial de carga. O potencial devido a carga desse anel no ponto P é dado pela equação 4.28. Assim podemos integrar entre os limites a = 0 até a = R para determinar o potencial elétrico total divido a carga do disco. 2
Figura 4.4: Anel carregado uniformemente para o calculo do potencial elétrico no ponto "P"sobre o eixo do disco.
O potencial dV devido a um anel de raio " a"é dado por dV =
kdq (x2 +
a2 )1 /2
=
kσ2πada (x2 + a2 )1 /2
para calcular V basta integrar a expressão acima entre os intervalos a = 0 até a = R , assim
(4.29)
CAPÍTULO 4. O POTENCIAL ELÉTRICO
40
R
dV =
0
kσ2πada
(x2 + a2 )1/2
(4.30)
para facilitar o cálculo desta integral vamos tomar uma mudança de variáveis, tal como: u = x 2 + a2 du = 2ada
se a = 0 então u = x 2 se a = R então u = x 2 + R2 Assim a integral 4.30 fica x2 +R2
V = kσπ
u−1/2 du = kσπ
2
x
assim o potencial fica V = 2kσπ
finalmente temos
x2
+
||
V = 2πkσ x
R2
−
R2 1+ 2 x
x2 +R2 u1/2
1/2
√ 2
(4.31)
x2
x
(4.32)
−1
(4.33)
Capítulo 5
Capacitância O Potencial V devido a uma carga Q de um condutor isolado é proporcional a própria carga e as dimensões do condutor. O potencial de um esfera carregada eletricamente com uma carga Q é dado por: V =
kQ R
(5.1)
(5.2)
A relação entre a carga Q e o potencial V é chamado de capacitância Q V
C =
Apesar desta dependência a capacitância de um condutor é função das dimensões e da forma do condutor. Para um condutor esférico temos que C =
Q Q R = = V kQ/R k
(5.3)
assim a capacitância de um condutor esférico tem a forma C = 4πo R
(5.4)
a unidade no S I é o C/V denominado Farad, onde 1F = 1C/V . Normalmente a capacitância é em função de seus submúltiplos,como por exemplo, 1µF = 10−6F ou 1 pF = 10−12 F .
5.1 Capacitores: Dispositivo constituído de dois condutores isolados eletricamente e carregados com cargas de sinais opostos. Desta forma a capacitância do dispositivo é dado por Q/V onde V é a intensidade da diferença de potencial.
5.1.1 Capacitor de placas paralelas: É um capacitor constituído de duas placas planas separadas por uma distância " d". Já é de nosso conhecimento que o campo elétrico gerado por um placa infinita carregada é dada por E =
σ 2o
(5.5)
e que σ = Q/V , desta forma a capacitância pode ser escrita como sendo V = E d =
·
σ Qd d = o o A
a capacitância é então 41
(5.6)
CAPÍTULO 5. CAPACITÂNCIA
42
Figura 5.1: Capacitor de placas paralelas
C =
Q o A = V d
(5.7)
Exemplo: As placas de um capacitor de placas paralelas são quadradas, com 10cm de lado e separadas por 1mm. (a) Calcule a capacitância desse dispositivo elétrico. (b) Se esse capacitor for carregado com 12V , qual será a carga transferida de uma placa para a outra? Solução: (a) Para calcular a capacitância basta fazer C =
o A 8, 85 10−12 0, 12 = = 88, 5 pF d 0, 001
×
·
(b) a carga é dada por Q = C V = 88, 5
× 10 12 · 12 = 1, 06nC −
5.1.2 Capacitor Cilíndricos: Considerando que a capacitância é dada por C = Q/V devemos atribuir uma carga +Q para um dos cilindros e uma carga −Q para o outro. Da mesma forma podemos calcular a diferença de potencial V a partir da Lei de Gauss através de
Figura 5.2: Capacitor de placas cilíndricas.
dV =
−E · d l
(5.8)
se consideramos que d l = dr devido ao fluxo na superfície do cilindro ser radial, podemos escrever, ΦE =
S
E n dA =
Qint o
(5.9)
Sendo a área do cilindro dado por 2πRl , onde R é o raio da superfície gaussiana, onde R1 < R < R2 . Se a largura da gaussiana for "l"e dos cilindros "L"a carga interna a superfície tem a forma
5.2. ARMAZENAMENTO DE ENERGIA ELÉTRICA:
43
Qint =
Q l L
(5.10)
substituindo na Lei de Gauss temos E r 2πRl =
1 l Q o L
(5.11)
assim E r =
Q 2πL o R
(5.12)
com isso podemos calcular a diferença de potencial a partir de
V R2
V = V R
− V R
2
=
1
Q V = 2πLo
R2
dV =
V R1
R2
R1
dR = R
−
dR
(5.13)
(5.14)
R1
Q ln − 2πL o
R2 R1
finalmente a capacitância para um capacitor cilíndrico é dada então por C =
Q 2πo L = V ln (R2 /R1 )
(5.15)
5.2 Armazenamento de energia elétrica: Com um capacitor inicialmente descarregado existe o equilíbrio de cargas positivas e negativas. Logo após o capacitor ser ligado a uma bateria, as cargas negativas iniciaram seu movimento em direção a placa com diferente potencial. Inicialmente o trabalho será nulo, pois não há cargas repelindo as primeiras cargas " chegando"a placa. No entanto, com o acúmulo das cargas o trabalho irá aumentar gradativamente, armazenando assim energia elétrica. O potencial pode ser calculado como sendo. 1 Q2 1 1 U = = QV = CV 2 2 C 2 2
(5.16)
5.3 Associação de Capacitores: 5.3.1 Paralelo: Quando dois capacitores estiverem ligado conforme a figura 5.3 podemos concluir facilmente que a tensão V será a mesma nos dois capacitores. Desta forma a carga em cada capacitor será calculada por
Figura 5.3: Associação de capacitores em paralelo, ligado a uma fonte de tensão submetida a uma diferença de potencial V
Q1 = C 1 V
(5.17)
Q2 = C 2 V
(5.18)
a carga total " Q"armazenada no circuito é a soma das cargas Q1 e Q2 , assim
CAPÍTULO 5. CAPACITÂNCIA
44
Q = Q 1 + Q2 = C 1 V + C 2 V
(5.19)
Para simplificar o circuito deveríamos substituir C 1 e C 2 por um capacitor equivalente C eq que tenha a capacidade de armazenar a mesma carga Q quando submetido a mesma diferença de potencial V , ou seja C eq =
Q V
(5.20)
substituindo Q = Q 1 + Q2 C eq =
Q1 + Q2 Q1 Q 2 = + V V V
(5.21)
ou seja,
C eq = C 1 + C 2
(5.22)
a capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo é a soma algébrica de cada uma das capacitâncias.
C eq = C 1 + C 2 + ... + C n
(5.23)
5.3.2 Série: Quando associamos os capacitores na forma da figura 5.4 dizemos que é uma associação em série de capacitores. Neste caso a tensão em cada capacitor dependerá da capacitância de cada um. O terminal positivo da bateria irá induzir uma carga positiva na placa esquerda de C 2 . Da mesma forma o terminal negativo da bateria determinará uma carga −Q na placa da esquerda de C 1 . As placas da direita dos capacitores irão se carregar por indução. Com isso verificaremos uma mesma carga para os dois capacitores, de forma que a tensão sobre cada um será dada por
Figura 5.4: Associação em série de capacitores.
V 1 =
Q C 1
V 2 =
Q C 2
o potencial elétrico total do circuito dever ser a tensão da fonte de corrente, ou seja
V = V 1 + V 2
(5.24)
substituindo V 1 e V 2 temos que Q Q V = + = Q C 1 C 2
1 1 + C 1 C 2
(5.25)
tomando o mesmo procedimento que no caso da associação em paralelo, podemos simplificar o circuito substituindo esta associação por um capacitor equivalente que armazene a mesma carga Q quando submetido a mesma diferença de potencial gerado pela fonte V , ou seja
5.4. DIELÉTRICOS:
45
C eq =
Q V
(5.26)
sendo V = V 1 + V 2 então 1 1 1 = + C eq C 1 C 2
(5.27)
5.4 Dielétricos: Um dielétrico é um material não condutor com uma certa capacidade de polarização, que, quando inserido entre as placas dos capacitores, tem o poder de aumentar a capacitância do mesmo de um fator κ. Exemplos de dielétricos são: ar, vidro, papel, plástico. Com a inserção de um dielétrico entre as placas de um capacitor carregado o campo elétrico entre as placas irã atuar na estrutura molecular do dielétrico polarizando o material. Esta polarização, por sua vez, irá diminuir o campo elétrico resultante entre as placas do capacitor, a consequência é a diminuição do potencial elétrico e o aumento da capacitância do capacitor. Matematicamente temos que E =
E o κ
(5.28)
onde E o é o campo elétrico entre as placas do capacitor sem o dielétrico e κ a constante dielétrica do elemento inserido entre as placas. Utilizando este campo elétrico no potencial vem que V = E d =
·
E o d V o = κ κ
(5.29)
onde aqui V o é o potencia elétrico sem a presença de um dielétrico. A capacitância é então dada por C =
onde
Q V o
Q Q Q = = κ V V o /κ V o
(5.30)
é a capacitância antes da inserção do dielétrico, ou seja, C o , assim
C = κC o
(5.31)
com isso podemos concluir que a capacitância de um capacitor é multiplicado pelo fator κ quando inserido um dielétrico. Para um capacitor de placas paralelas, por exemplo, os propriedades dielétricas irá alterar a permissividade do meio de modo que = κo . Na tabela ?? listamos alguns valores da constante dielétrica de alguns materiais. Material Ar Vidro Baquelita Papel Porcelana
κ
1,00059 5,6 4,9 3,7 7
46
CAPÍTULO 5. CAPACITÂNCIA
Capítulo 6
Corrente Elétrica e Circuitos de Corrente Contínua (CC): 6.1 A corrente e o movimento das cargas: Quando submetemos um fio condutor a uma determinada diferença de potencial, automaticamente tal condutor estará sujeito a um campo elétrico E . Tal campo atuará sobre os elétrons livres dos átomos que compõe o condutor, fazendo com que os mesmos sofram um deslocamento na direção do campo elétrico. Assim se tomarmos uma secção transversal do fio, como representado na figura 6.1 teremos uma certa quantidade de carga ( ∆Q) atravessando esta área ( A) em um determinado intervalo de tempo ( ∆t). Assim a corrente elétrica será definida como sendo I =
∆Q ∆t
(6.1)
Figura 6.1: Fio condutor submetido a uma diferença de potencial
. a unidade no SI é o Ampère onde [I ] = C/s = A. Quando a diferença de potencial é retirada, o campo elétrico cessa automaticamente, consequentemente a corrente elétrica torna-se nula, pois não haverá uma corrente liquida de cargas em uma única direção, a energia dos elétrons é consequência da agitação térmica apenas, uma representação simplificada pode ser vista na figura 6.2.
Figura 6.2: Fio condutor acoplado com uma bateria que gera uma tensão V com a chave S aberta. Perceba o movimento aleatório dos elétrons, provavelmente gerado pela agitação térmica.
Exercício: Considerando um circuito onde passa uma corrente elétrica de 5mA em um determinado condutor metálico. Qual a quantidade de elétrons que atravessa a secção transversal deste condutor em 1s? 47
48
CAPÍTULO 6. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC):
6.1.1 Sentido da corrente elétrica: Sabemos que a mobilidade de carga elétrica está associada aos elétrons de um átomo. Assim temos cargas negativas em movimento no interior de um fio metálico. No entanto, por convenção, a corrente elétrica em circuitos é orientado no sentido oposto ao movimento das cargas negativas. A representação correta em um circuito é então mostrada na figura 6.3
Figura 6.3: Representação da direção da corrente elétrica em um circuito elétrico.
6.2 Resistência e Lei de Ohm: no interior do Levando em consideração que a corrente elétrica I está na mesma direção do campo elétrico E condutor. Desta forma, a corrente I percorre um segmento de fio de um potencial maior V a até um potencial menor V b . Se o fio tiver um comprimento ∆L a diferença de potencial elétrica pode ser calculado como sendo V = V a
− V b = E · ∆L
(6.2)
a razão entre a diferença de potencial " V "e a corrente " I "denomina-se de resistência elétrica. R =
V I
(6.3)
A unidade no SI é o "Ohm"( Ω), onde 1Ω = 11V . A A resistência elétrica dos materiais é uma função dimensões e das características atômicas que definirá o que denominamos de resistividade dos materiais. Se a resistividade for constante a resistência é uma constante, consequentemente a relação entre a tensão e a corrente destes materiais tem um comportamento linear, para este tipo de material denominamos de Materiais Ôhomicos . Caso a relação entre a tensão e a corrente não tenha um comportamento linear, denominamos o material de Material não Ôhomico .
Figura 6.4: (a) Curva I × V para um elemento resistivo com comportamento Ôhmico. (b) Curva I × V para um elemento resistivo não ôhmico.
A resistência elétrica de um elemento metálico é calculado levando em consideração o seu comprimento L a área A e a resistividade ρ a partir de, R = ρ
L A
(6.4)
6.2. RESISTÊNCIA E LEI DE OHM:
49
Em alguns casos prefere-se calcular a condutividade elétrica que é definida como o inverso da resistividade. A unidade da condutividade é dada por (Ωm)−1 denominado de Simiens ( S ). A condutividade ou resistividade dos materiais depende da temperatura do elemento resistivo. Em muitos materiais a relação entre ρ e T é linear e pode ser calculado a partir da resistividade a temperatura ambiente ( 20o C ). α =
(ρ
− ρ20)/ρ20 T c − 20
(6.5)
Aqui α representa o coeficiente de temperatura para um determinado material. A tabela 6.1 traz alguns coeficientes de temperatura e resistividade de elementos utilizados no cotidiano em circuitos elétrico e componentes eletrônicos. Material Cobre Ferro Alumínio Silício
Resistividade ρ(20o C )
Coef. Térmico α(20o C )
−8
1, 7 10 Ωm 10 10−8 Ωm 2, 8 10−8 Ωm 640Ωm
× × ×
3, 9 10−3 K −1 5, 0 10−3 K −1 3, 9 10−3 K −1 7, 5 10−2 K −1
× × × − ×
Tabela 6.1: Tabela de Resistividades Elétricas
Exercício: Um fio de Nichrome ( ρ = 10−6Ωm ) possui um raio de 0, 65mm. Que comprimento desse fio é preciso para que se obtenha uma resistência de 2, 0Ω? (Resposta: L = 2, 65m) Comercialmente os fios são fabricados em dimensões padronizadas. O diâmetro da secção transversal circular de um fio é identificado pro um número, o Calibre com valores maiores para diâmetros menores. A tabela 6.2 apresenta as características dos fio para cada dimensão. Calibre
Diâmetro (mm)
Área (mm2 )
4 6 8 10 12 14 20
5, 189 4, 115 3, 264 2, 588 2, 053 1, 628 0, 812
21, 15 13, 30 8, 366 5, 261 3, 309 2, 081 0, 517
Tabela 6.2: Tabela de referência e calibres
Exemplo: Calcule a resistência por unidade de comprimento de um fio de cobre calibre 14. Solução: Vamos calcular a resistência por unidade de comprimento utilizando R = ρ
queremos calcular a razão
R , L
L A
assim R ρ = L A
utilizando os valores da tabela 6.2 temos R ρ 1, 7 10−8 = = = 8, 17 L A 2, 08 10−6
× ×
× 10
−3
Ω/m
Grande parte dos resistores encontrados nos equipamentos são de carbono, que apresentam uma resistência alta. Para facilitar a identificação, os resistores são vendidos com um código de cores que identificam o valor de sua resistência. A seguir será apresentado um exemplo simples baseado na figura 6.5.Para fazer a leitura da resistência devemos fazer o seguinte procedimento: A leitura deve ser feita a partir da linha mais próxima da extremidade do resistor. As duas primeiras linhas indicam um numero entre 00 até 99 . A terceira linha irá indicar o expoente do fator que deverá ser multiplicada pela dezena formada anteriormente 10 x . A quarta linha indica a tolerância do
50
CAPÍTULO 6. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC):
resistor, caso não esteja presente a tolerância é de 20%. Utilizando a figura 6.5 o valor da resistência é 33 × 100Ω, ou seja, 33Ω. Para exercitar você pode acessar www.areaseg.com/sinais/resistor.html.
Figura 6.5: Resistor com a codificação de cores.
6.3 Energia nos Circuitos Elétricos: Quando um condutor fica sujeito a uma diferença de potencial (d.d.p) os elétrons os responsáveis pela corrente elétrica adquirem energia cinética que rapidamente é dissipada em forma de calor. Este mecanismo de dissipação recebe o nome de Efeito Joule. O cálculo da variação da energia potencial pode ser escrita na forma ∆U =
−∆Q(V b − V b )
(6.6)
onde V a e V b estão relacionados a diferença de potencial entre dois pontos de um condutor cilíndrico com área de secção transversal "A"e ∆Q a quantidade de carga que se desloca em um intervalo de tempo ∆t, o sinal negativo na equação acima é devido a diminuição da energia devido a dissipação. Para calcular a taxa de variação de energia em função do tempo, tomamos ∆Q = − ∆U · V = I V ∆t ∆t
(6.7)
a potencia dissipada é então P = I V
(6.8)
utilizando a Lei de Ohm V = RI podemos reescrever esta última na forma V 2 P = I V = I R = R 2
(6.9)
6.4 Força Eletro Motriz ( E ) e Baterias: Existem duas principais forma de gerar uma determinada d.d.p. Uma é através de um processo químico, dispositivos que funcionam baseado neste processo denominamos de Baterias. Caso a energia elétrica seja gerada por energia mecânica, denominamos de Geradores. A diferença de potencial gerada por uma bateria é denominado de Força Eletro Motriz ( E ). No entanto, em uma bateria real, nem toda E produzida é liberada ao circuito. Uma parcela deste valor é "gasta"pela própria bateria ou gerador para o seu funcionamento, para representar este gasto inserimos no circuito uma resistência interna r em série com a bateria, com isso podemos ter duas representações de fontes de tensão, as ideais e as reais como apresentadas na figura 6.6. A potência entregue por uma bateria ideal ao circuito é dado por
6.5. ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES:
51
Figura 6.6: (a) Bateria Ideal onde a queda de potencial no resistor é igual a FEM gerada pela fonte. (b) Bateria real, onde a queda de potencial sobre o resistor é diferente da FEM produzida pela bateria. Nesta figura r é a resistência interna da bateria.
P = I
E
(6.10)
Para uma bateria real, podemos calcular a diferença de potencial entregue ao circuito através de V =
E − Ir
(6.11)
onde E é a FEM produzida pela bateria e I r = V d é a tensão dissipada devido ao funcionamento da bateria. O cálculo da corrente em um circuito contendo uma bateria real pode ser feita a partir da associação de resistores em série. A expressão para a corrente I é dada por I =
E
R + r
(6.12)
uma forma de representar a especificações de uma bateria é através do valor Ampère-hora (Ah) onde 1Ah = (1C/s)(3600) = 3600C
6.5 Associação de Resistores: A prática de substituição de diversos resistores em circuitos elétrico é comum. Existem duas possibilidades de combinar resistores em m circuito elétrico, associação em série e em paralelo, a seguir iremos analisar cada uma das situações.
6.5.1 Associação em série: Considere o circuito representado na figura 6.7.
Figura 6.7: Associação de resistores em série
Nesta situação a queda de potencial em cada um dos resistores pode ser calculado com V 1 = R1 I V 2 = R2 I
CAPÍTULO 6. CORRENTE ELÉTRICA E CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA (CC):
52
onde foi considerado que a corrente I em cada um dos resistores é a mesma. A tensão total dever ser a soma das tensões em cada um dos resistores, de forma que V = V 1 + V 2
Podemos substituir os dois resistores do circuito da figura 6.7 por um único resistor equivalente, que submetido ao mesmo potencial V dever gerar a mesma corrente I . Desta forma V = R eq I
(6.13)
ou ainda V 1 + V 2 = Req I
(6.14)
substituindo V 1 e V 2 encontramos R1 I + R2 I = R eq I
→
Req = R1 + R2
(6.15)
6.5.2 Associação em Paralelo: Utilizando o mesmo procedimento anterior e lembrando que neste caso a tensão é a mesma para os dois resistores presentes no circuito da figura ?? encontramos a seguinte expressão para a associação de resistores em paralelo 1 1 1 = + Req R1 R2
(6.16)
Figura 6.8: Associação de resistores em paralelo.
6.6 Leis de Kirchhoff: A figura 6.9 representa um circuito de múltiplas malhas, neste circuito existem algumas fontes e alguns receptores que irão dissipar a energia liberada por elas. Em cada ramo das malhas estão indicadas as direções das correntes que estão circulando neste circuito. Para resolver este tipo de circuito e encontrar as variáveis precisamos utilizar as duas leis de Kirchhoff, que são: 1. Ao percorrer uma malha fechada em um circuito, a soma algébrica das variações de potencial dever ser igual a zero. 2. Em qualquer nó do circuito, a soma das corrente que chegam ao nó dever ser igual a soma das corrente que saem deste nó.
6.7 Circuitos RC: Como vimos nas seções anteriores, os capacitores tem a capacidade de armazenar energia elétrica em um circuito elétrico, por outro lado, os resistores tem a capacidade de dissipar energia elétrica a partir do chamado Efeito Joule. Vamos agora associar estes dois dispositivos elétricos em um mesmo circuito e analisar fisicamente e matematicamente as consequências disso. Inicialmente iremos fazer uma análise qualitativa.
6.7. CIRCUITOS RC:
53
Figura 6.9: Circuito de múltiplas malhas onde existe a necessidade de solução a partir das Leis de Kirchhoff.
6.7.1 Carga de um Capacitor: Considere o circuito representado na figura 6.10, inicialmente o capacitor C 1 está completamente descarregado, ao fecharmos a chave S uma corrente I irá fluir no circuito no sentido horário, de modo que, utilizando as Leis de Kirchhoff temos
Figura 6.10: Circuito RC utilizado para o cálculo da carga e descarga de capacitores.
Q (6.17) =0 E − Ir − C o primeiro termo é o aumento do potencial elétrico E , o segundo termo é a queda de potencial no resistor e o dQ
terceiro é a queda de potencial no capacitor. Com isso, substituindo neste equação I = Q =0 E − R dQ − dt C
dt
vem
(6.18)
manipulando podemos reescrever na forma Q dQ = R E = C dt
(6.19)
ou ainda
E − Q = RC dQ dt
C
(6.20)
(6.21)
separando os termos para a integração dQ C
E −Q
=
dt RC
integrando a carga de 0 até Qf para o intervalo de tempo entre 0 e t, vem
Qf
0
dQ C
E −Q
Tomando uma mudança de variáveis de forma que
t
=
0
dt RC
(6.22)
