Apostila de Desconto Simples e Composto

1 Desconto Comercial Simples.

Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, e à taxa fixada. É o desconto simples aplicado sobre o valor nominal  do título. Valor do desconto comercial simples.

Chamando de:

                                          Temos a seguinte fórmula.

        Que é o valor do desconto comercial. Valor Atual comercial simples.

O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A=N- d. Fórmula (2) Substituindo d pelo seu valor obtido pela fórmula fórmula do desconto segue: A= N- N.i.n. Daí: A = N(1-in). Fórmula (3) ( 3) ATENÇÂO: O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título. Exemplos: 1- Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a- O valor do desconto comercial; b- O valor atual comercial. Resolução: Temos: N= 6.000; n= 45 dias; i= 2,1% am. = 0,021 am. = 0,0007 a.d. a- Sabemos que d= N. i. n, Logo: d=6.000. 0,0007.45. d= 189. Isto é, o desconto comercial é de: R$ 189,00. b- Como: A = N  – d. Vem A = 6.000 – 189,00 . A = 5.811. Isto é o valor comercial é de R$ 5.811,00. Obs. Obteríamos o mesmo resultado aplicando: A = N(1-in). 2- Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao mês. N= 6.900; A = 6.072,00; i= 4% am. Ou 0,04 am.

                     

2 Exercícios:

1- Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial simples? 2- Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de  juro contratada foi de 54% ao ano, qual o valor comercial descontado? 3- Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. Taxa de Juro Efetiva. A taxa de juro, que no período “n” torna o capital “A” igual ao montante “N”, é a taxa que realmente está sendo

cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva.

(   )                    (    )    (   )                    Assim, simbolizando a taxa efetiva por

.                      Utilize também:        Atenção para que todos estejam na mesma   unidade de tempo. Exemplo. 1- Um título de R$ 6.000,00 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 189,00, calcule a taxa de juro efetiva. Resolução: Temos: N= 6.000,00; d= 189,00, n= 45 dias. Como A= N-d ; A= 6.000  – 189; A = 5.811. Vem :

                     Equivalência de Capitais.

Às vezes temos necessidades de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos*. Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. A solução deste tipo de problema consiste em estabelecer uma data  – data de comparação  – e comparar os valores atuais dos títulos em questão, nessa data. Se resultar uma igualdade, podemos concluir que esses capitais diferidos são equivalentes.

3 No regime de juro simples, essa data de comparação deve ser a data zero, isto é, a data em que a dívida foi contraída; isto porque, neste regime, não podemos fracionar o prazo de aplicação, já que o juro é admitido como formato no fim do período de aplicação.

*Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. Por exemplo, títulos de crédito com vencimentos diferentes. Exemplos. 1- Quero substituir um título de R$ 5.000,00, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? Resolução: Temos: Para que exista equivalência, devemos ter: . Como: A = N(1-in).

                                           Vem :   . Logo o valor do novo título é de: R$ 5.424,00.

2- Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 3.000,00 e o outro de R$ 3.600,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de  juro igual a 3% ao mês, qual será o valor do novo título? Resolução: N1=3.000,00; n1=2 meses; N2=3.600,00; n2 = 6 meses; i=i1=i2= 3% am. = 0,03 am.; n = 4meses. Para que exista a equivalência pretendida, devemos ter: A = A1 + A2. Como: A = N(1-i*n), vem : A= N(1-0,03*4) ; A= 0,88N.

                 Logo, o valor do novo título será de: R$ 6.559,00. Desconto Racional Simples.

Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. É o desconto simples aplicado sobre o valor do título. Obs. Na prática, somente o desconto comercial simples é utilizado; porém, é necessário fazermos um rápido estudo do desconto racional simples, porque o desconto composto está ligado a esse conceito. Valor do desconto Racional Simples.

Chamando:

               Pela definição:

4

       Fórmula (4) Valor do desconto racional em função do valor nominal.

Como:

      Fórmula (5). Substituindo (5) em (4), temos:

                                                

    

Fórmula (6). Valor atual racional.

O valor atual ou descontado racional é dado por:

     . Substituindo desconto racional pelo seu valor, obtido em (6), vem:                         ( ) () ()

    .

Fórmula (7). Exemplo.

1- Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a- O valor do desconto racional simples; b- O valor atual racional simples; Resolução: Temos: N= 6.000,00; n= 45 dias; i= 2,1% a.m. = 0,07% ao dia = 0,0007 a.d. a- Como: b- Como:

                   

         . Desconto Composto.

O conceito de desconto composto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes de seu vencimento. Empregamos o desconto composto para operações de longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo. Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial. O desconto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim observaremos com mais atenção o estudo do desconto composto racional.

5 Desconto composto racional. Cálculo do valor atual.

Valor atual, em regime de juro composto de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o Montante N. Assim, em virtude dessa definição, temos:

              Logo:     



Exercícios resolvidos. 1- Determine o valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês. Resolução: N= 800,00; n= 4 meses; i= 2% am = 0,02 am.. Logo: . : R$ 739,00 2- Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120,00, com vencimento de R$ 1.120,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 18% ao semestre. Resolução: Temos: N= 1.120,00; i= 18% a.s. 0,18 as.; n= 2 a e 6m ou 5 semestres.

                

       

3- Qual o desconto composto que um título de R$ 5.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? Resolução: Temos: N= 5.000; n= 3; i = 2,5% am. = 0,025 am. Como: d = N – A. Calculamos inicialmente o valor de A, isto é:

                      

4- Um título com valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? Resolução: Temos: N= 1.500; n=3 meses; i= 30% aa. 0,3 aa. Como na pergunta ele diz capitalizados mensalmente você deve pegar a taxa anual e dividir por  12 para ter a taxa mensal em função da capitalização ser mensal. Ou seja: i= 0,3/12= 0,025 am.

         

6 5- Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 36.954,00 como valor do resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual foi a taxa de juro mensal adotada? Resolução: Temos: N= 36.046 + 3.046 = 40.000; A= 36.954; n= 4 meses.

                  √  √                     

Desconto Comercial Composto. As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo a um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples, aplicadas período a período. Chamando de o valor atual comercial composto do título, n períodos antes de sua data de vencimento, temos:

                                       Sabemos que     . Onde:

                          Exemplos: 1- Obter o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% am. Resolução: Temos: N= 50.000; n= 2 meses;

                        

2- Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se a taxa composta de 4 % am, sob o critério do desconto comercial ? Resolução: Temos: N= 100.000; n= 3 meses; .

                 

EXERCÍCIOS Parte I – DESCONTO SIMPLES COMERCIAL E RACIONAL. 1- Determine o desconto comercial simples de uma nota promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes de seu vencimento.(comercial simples) 2- Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 234.375,00 cinquenta dias antes de seu vencimento, à taxa de 45% ano. Qual o seu valor Nominal? (comercial simples) 3- Ao pagar um título de R$ 3.600,00 com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$ 486,00. Qual é a taxa de desconto? (comercial simples).

7 4- O valor atual de um título de R$ 4.800,00 é R$ 4.380,00. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 3,5% ao mês, qual o tempo de antecipação? (comercial simples). 5- Uma empresa possui um título cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, com vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias antes de seu vencimento devo descontá-lo, à taxa comercial de 36% ao ano, para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ 6.790,00? (comercial simples) 6- Um comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 17.900,00, qual o valor da promissória? (comercial simples) 7- Um título de R$ 27.000,00 foi descontado faltando 60 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto foi de R$ 1.800,00, calcule a taxa de desconto. (comercial simples) 8- Calcule o valor nominal de um título com vencimento para 60 dias, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional , à taxa de 3% ao mês, é de R$ 408,00. 9- Um comerciante desconta em um banco uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1% de taxa administrativa. Sabendo que o líquido creditado para o comerciante foi de R$ 10.800,00 qual o valor da nota promissória? (comercial simples) 10- Um banco deseja ganhar 48% ao ano de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deveria usar, se o prazo do desconto comercial é de 120 dias? (comercial simples) 11- Calcule o tempo de antecipação de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é cinco vezes o do desconto, a 30% ao ano. (comercial simples). 12- Sou portador de duas notas promissórias, uma de R$ 8.000,00, vencível em 150 dias, e outra de R$ 4.000,00, vencível em 120 dias. Pretendo descontá-las dentro de 90 dias, qual o valor recebido, à taxa de desconto de 3,5% ao mês? (comercial simples). 13- Um título no valor nominal de R$ 7.000,00, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de 36% ao ano, determine o valor nominal do novo título. (comercial simples). 14- Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R$ 6.462,50, 2 meses antes da data de vencimento. Qual o desconto a que fará jus se a taxa corrente no mercado é de 60% ao ano e o critério adotado foi o do desconto racional simples?(desconto racional simples) 15- Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500,00, 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 60% ao ano?(Considere o desconto racional simples). 16- Uma nota promissória, resgatada 90 dias antes do seu vencimento, foi negociada por R$ 53.409,00, à taxa de desconto racional simples de 84% ao ano. Qual era o valor nominal desse título? 17- Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa simples adotada nessa operação, se o desconto concedido foi igual à metade do seu valor atual na data de resgate? 18- Qual o valor líquido de uma nota promissória de valor nominal R$ 70.213,15, resgatada 2 meses antes de seu vencimento, a 17% ao mês, pelo critério do desconto racional simples? 19- (Metro D.F.-IDR-94) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de US$ 2.040,00, quatro meses antes de seu vencimento. Qual o valor, em dólar, que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? 20- O valor atual de um título 5 dias antes de seu vencimento é igual a 10 vezes o desconto racional  simples a ele relativo. Qual a taxa envolvida nessa operação.

EXERCÍCIOS PARTE II – DESCONTO COMPOSTO RACIONAL.

8 1- Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de R$ 7.000,00, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule seu valor atual, sabendo que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês. Desconto Racional Composto. 2- Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000,00, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 24% ao ano. Desconto Racional Composto. 3- O valor nominal de um título é de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descontá-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcule o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 28% ao ano, capitalizados trimestralmente. Desconto Racional Composto. 4- Determine o valor do desconto composto de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes de seu vencimento à taxa de 3% ao mês. Desconto Racional Composto. 5- Calcule o desconto obtido em um título de valor nominal de R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em regime de juro composto, de 30% ao ano, capitalizados bimestralmente. Desconto Racional Composto. 6- Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês. Desconto Racional Composto. 7- Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4% ao mês, 3 meses antes de seu vencimento?Por ter pago uma dívida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de desconto racional nessa operação? Desconto Racional Composto. 8- Uma empresa tomou emprestada de um banco a quantia de R$ 2.000.000,00, à taxa de juro composto de 12% ao mês, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 15% ao mês? Desconto Racional Composto. 9- Uma indústria obteve um empréstimo para ser pago, em um único pagamento de R$ 2.000.000,00, após 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquidá-lo. Qual o desconto racional a que fez jus se a taxa adotada na operação foi de 5% ao mês? Desconto Racional Composto. 10- Com base na taxa composta de 10% ao mês, um título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual desse título se o seu valor nominal é de R$ 400.000,00? Desconto Racional Composto. 11- O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de US$ 465,85 para US$ 350,00. Qual a taxa bimestral racional composta,adotada nessa operação? 12- Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um título de R$ 975.000,00, sabendo que o título sofreu um desconto de R$ 125.344,50 a 4 meses de seu vencimento. Desconto Racional Composto. 13- Por um título de R$ 1.000.000,00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipação de antecipação desse título, se o desconto racional composto deu-se a 2% ao mês? Desconto Racional Composto. 14- Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1,5% ao mês. 15- Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 2% ao ano. 16- Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 2% ao ano.

9 17- O desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% ao mês, qual foi o prazo de antecipação do pagamento? 18- Um título de crédito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 é quitado 2 meses antes do vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1% ao mês. Calcule o valor do atual do título. 19- Calcule o desconto racional composto de um título de crédito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% ao mês? 20- Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma credora do título propõe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto racional composto? 21- Um título de crédito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% ao ano, capitalizados anualmente. 22- Desejo descontar um título de crédito de R$ 2.000 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% ao ano? 23- Qual será o desconto racional composto que um credor dá pelo débito de R$ 1.600,00 com antecipação de 1 ano, a taxa de 1,5% ao mês? 24- O valor atual de um título é de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto racional composto é de 2,5% ao ano, com a antecipação de 6 meses. Qual é o valor nominal do mesmo? 25- Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto?