Apostila de Circuitos Elétricos I
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
INDICE UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - ............................................... 3 1.1. Circuitos Concentrados .................................................................................. ..................................................................................................... ................... 3 1.2. Elementos Concentrados ............................................................................... .................................................................................................. ................... 3 1.3. Sentido de referência ............................................................. ......................................................................................................... ............................................ 4 1.3.1. Sentido de referência para tensão t ensão de braço ............................................................... 4 1.3.2. Sentido de referência para corrente co rrente de braço ............................................................ ............................................................ 5 1.3.3. Sentido de referência associado ................................................................................. 5 1.4. Corrente Elétrica e Tensão ............................................................................................. ............................................................................................. 6 1.5. Leis de Kircchoff .......................................................... ................................................................................................................. ....................................................... 7 1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff .................................................................................... .................................................................................... 7 1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff .................................................................... ....................................................................................... ................... 8 UNIDADE 2 – 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS - ................................................................................. ................................................................................. 14 2.1. Resistores ......................................................................................................................... ......................................................................................................................... 14 2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente ............................................................. ................................................................... ...... 16 2.3. Equivalente Thevenin e Norton.............................................. Norton........................................................................................ .......................................... 18 2.4. Divisão de corrente .......................................................................................................... .......................................................................................................... 18 2.5. Divisão de tensão ............................................................................................................. ............................................................................................................. 20 2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – (estrela – triângulo) ..................................................................................... ..................................................................................... 23 2.7. Formas de ondas típicas ............................................................................................. ................................................................................................... ...... 27 2.8. Capacitores .................................................................. ....................................................................................................................... ..................................................... 32 2.9. Indutores .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 35 2.10. Potência e Energia ...................................................................................... .......................................................................................................... .................... 41 2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos .............................................................. .............................................................. 45 UNIDADE 3 – 3 – CIRCUITOS SIMPLES -.............................................................. ............................................................................................. ............................... 48 3.1. Ligação L igação série de elementos ........................................................................................ .............................................................................................. ...... 48 3.2. Ligação L igação paralela de elementos .......................................................... ......................................................................................... ............................... 53 UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - .................................................. 63 4.1. Definições e propriedades dos circuitos .......................................................................... 63 4.2. Análise nodal ................................................................................................... .................................................................................................................... ................. 63 4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito........................ 66 4.4. Análise por malhas ........................................................................................................... ........................................................................................................... 69
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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - ............................................................................................ 74 5.1. Teorema de Thevenin........................... Thevenin................................................................................................. ............................................................................ ...... 74 5.2. Teorema de Norton ................................................................ .......................................................................................................... .......................................... 76 5.3. Teorema da superposição .................................................................... ................................................................................................ ............................ 77 5.4. Teorema da máxima transferência de potência .............................................................. 80 UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – ORDEM –................................................................... .................................................................................... ................. 85 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem ............................................... 85 6.1.1. Resposta a excitação zero ......................................................................................... ......................................................................................... 85 6.1.2. Resposta ao estado zero ........................................................................................... 91 6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente...................................... permanente............................................ ...... 97 6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário .................................................................................... 98 UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM – ORDEM –................................................................... .................................................................................. ............... 104 7.1. Resposta a Excitação Zero ................................................................... ............................................................................................. .......................... 104 7.1.1. Circuito RLC paralelo ............................................................................................... 104 7.1.2. Circuito RLC série............................................................. ..................................................................................................... ........................................ 111 7.2. Resposta ao Estado Zero ................................................................................ ............................................................................................... ............... 114 7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante ............................................................. 114 7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante ............................................................ ................................................................ .... 116 7.3. Resposta Completa ................................................................ ........................................................................................................ ........................................ 117 UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA TRANSFOR MADA DE LAPLACE .................................................... 120 9.
AULAS PRÁTICAS ........................................................... ............................................................................................................... .................................................... 122 9.1
1° AULA PRÁTICA – PRÁTICA – CIRCUITOS I ............................................................................ ................................................................................ .... 122
9.2
2° AULA PRÁTICA – PRÁTICA – CIRCUITOS I ............................................................. ............................................................................... .................. 129
10. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................... ...................................................................................................................... ............... 132
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UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF 1.1. Circuitos Concentrados É qualquer ligação de elemento concentrado, de tal forma que as dimensões sejam pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta freqüência de interesse. Se esta relação existir, são válidas as leis de Kircchoff. EXEMPLO a) Circuito de áudio
b) Circuitos de computador
- Não é um circuito concentrado-
1.2. Elementos Concentrados A corrente elétrica circula através de um elemento e a diferença de potencial entre os terminais do mesmo é bem definida. A partir destas considerações, obtemos um elemento concentrado.
Principais elementos concentrados Com dois terminais:
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quantidades bem definidas
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Com mais de dois terminais:
DEFINIÇÕES
Braço - Elemento concentrado de dois terminais; Nós – São os terminais dos braços; Tensão de braço – Tensão entre nós; Corrente de braço – Corrente que flui entre os braços
1.3. Sentido de referência 1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço Dada a polaridade da tensão, por convenção, a tensão de braço num instante t é positiva sempre que o potencial elétrico no ponto A for maior que o potencial no ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referência.
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1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço Dado o sentido de referência para a corrente de braço, por convenção, ela é positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas elétricas entrar num terminal (+) e sair num (-).
1.3.3. Sentido de referência associado Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal negativo (-), a potência entregue ao circuito é POSITIVA.
*P(+), P(-)
P(+), *P(-) EXEMPLO:
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1.4. Corrente Elétrica e Tensão
Corrente elétrica
A proporção básica de um circuito é a de mover ou transferir cargas de um percurso fechado específico. Este movimento de cargas é a corrente elétrica denotada pelas letras:
Formalmente a corrente é a taxa de variação de carga no tempo
Tensão elétrica
As cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m. Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tensão sobre um elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga através dos terminais de um elemento.
EXEMPLO:
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1.5. Leis de Kircchoff 1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus nós, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço que chegam a um nó e saem desse nó é zero.
Convenção
Corrente chegando no nó negativa (-) Corrente saindo do nó positiva (+)
EXEMPLO:
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NOTAS
A LCK, impõe uma dependência linear entre as correntes de braço e as equações são lineares e homogêneas; A LCK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, isto é, independe da natureza do elemento; A LCK expressa a conservação da carga em todos os nós. Não há nem acúmulo nem perda de carga.
1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff Para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer um de seus percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica das tensões de braço ao redor de qualquer malha fechada é zero.
OBS.: 1) Percurso fechado - É o caminho percorrido a partir de um nó passando por outros nós e voltando ao mesmo nó inicial. 2) Malha Fechada – É um percurso fechado que não contém braços no seu interior.
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EXEMPLO
Usa-se o sentido horário para percorrer o percurso fechado
NOTAS
A LTK, impõe uma dependência linear entre as tensões de braço de uma malha; A LTK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, não importando se os elementos do circuitos são lineares, não-lineares, ativas, passivos, etc... A LTK é independente da natureza dos elementos.
EXEMPLOS
1) Algumas das correntes de braço do circuito abaixo são conhecidas, tais como: . É possível determinar todas as correntes de braço restantes?
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2) Suponhamos que no exemplo 1, nós empregamos sentido de referência associado para a tensão e corrente de braço, com as seguintes tensões: . É possível determinar as demais tensões de braço?
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Como não podem ser calculados, é impossível de se resolver pois o número de incógnitas é maior que o número de variáveis.
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EXERCÍCIOS
1) No circuito abaixo usando os sentidos de referência associados para as direções de referência das variáveis de braço
a) Aplicar a LCK aos nós 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao nó 4 é uma conseqüência das outras 3 equações. b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursos fechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equações são conseqüência das 3 equações de malhas.
2) Calcule
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3) Dado o circuito onde . Determine as outras tensões de braço possíveis.
4) Com o mesmo circuito anterior, onde . Determine as outras correntes de braço possíveis.
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UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS 2.1. Resistores Um elemento com dois terminais, que possuem resistência, é chamado de resistor e
se, a qualquer tempo a sua tensão como uma curva no plano
e sua corrente
satisfazem uma relação definida
. Além disso, é necessário que exista uma relação entre a
corrente instantânea e a tensão instantânea.
Símbolo:
Classificação: o
Linear: resistor
o
Não linear: diodo, mosfet, etc.
o
Não variável no tempo
Em circuitos I, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo.
Resistor invariável no tempo e linear: é um elemento com dois terminais cuja
característica é uma reta passando pela origem no plano
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.
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Unidades: o
o
o
o
Casos particulares: a) Circuito aberto: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tensão nos seus
terminais (tensão de braço), e corrente (corrente de braço) é igual a zero.
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b) Curto circuito: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente de braço), sua tensão (tensão de braço) é igual a zero.
2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente a) Fonte de tensão: Um elemento de dois terminais é chamado de fonte de tensão ideal ou independente, se ele mantém uma tensão especificada
nos terminais do circuito ao qual está ligado,
independente da corrente através do circuito (carga).
Potência (+): absorvida Potência (-): fornecida
É conveniente usar direções de referência para a tensão e a corrente de uma fonte
independente.
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OBS.: A fonte de tensão real pode ficar em circuito aberto, mas não em curto, pois a corrente vai a
. b) Fonte de corrente: É o elemento de dois terminais que mantém uma corrente especificada
terminais, independente da tensão aplicada.
em seus
OBS.: A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas não pode ficar em circuito aberto, pois sua tensão vai a
.
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2.3. Equivalente Thevenin e Norton
Equivalente Thevenin → fonte de tensão
Equivalente Norton → fonte de corrente
A equivalência só é válida nos terminais, ou seja, produz a mesma tensão e corrente
nos terminais. As potências envolvidas no interior do circuito não são equivalentes.
A relação entre os equivalentes Thevenin e Norton é dada por:
2.4. Divisão de corrente
Seja o circuito com dois terminais abaixo:
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Aplicando:
Lei das Correntes de Kircchoff (LCK):
Lei das Tensões de Kircchoff (LTK):
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para V:
Logo:
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Circuito com
resistores em paralelo:
2.5. Divisão de tensão Seja o circuito abaixo:
Aplicando:
LTK:
LCK:
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para I:
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Logo:
Para um circuito com
resistores em série:
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Exercícios: 1) Calcule a
vista pela fonte e encontre
2) Uma carga requer
e absorve
:
. Se apenas uma fonte de
calcule o valor da resistência a ser colocada em paralelo com a carga.
3) Calcule a
vista pela fonte e calcule .
4) Encontre os valores de
.
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está disponível,
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5) Calcule
6) Calcule
e a potência entregue pela fonte.
e a potência entregue pela fonte.
2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo)
OBS.: Para esta relação ser válida, é necessário que seja respeitada a posição dos resistores no circuito, caso contrário, a transformação não valerá.
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a) Transformação de Y - ∆:
Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para triângulo (∆), usamos as seguintes relações de resistências:
b) Transformao de ∆ - Y:
Quando temos o circuito em triângulo (∆), e necessitamos t ransformar para estrela (Y) usamos as seguintes relações de resistências:
Dica: Para facilitar a transformação e a localização dos resistores corretamente, desenha-se o Y dentro do ∆, assim é possível ter uma visualização exata da posição dos resistores.
Exercícios: 1) Determinar a resistência equivalente entre a)
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.
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b)
c)
d)
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2) Quando
, a potência será de
3) Determine as correntes indicadas:
4) Calcule :
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. Determine
e o valor de .
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5) Calcule
:
6) Calcule
aplicando as LTK e LCK:
2.7. Formas de ondas típicas
a) Constante:
, para qualquer tempo .
b) Função seno (ou cosseno):
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Onde:
c) Função degrau unitário:
é definida como:
d) Função degrau unitário defasado:
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e) Função de pulso:
OBS.: a área de um pulso é sempre .
para todo .
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f) Função impulso unitário:
Relação entre δ(t) e u(t):
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g) Função rampa unitária:
Relação entre
e
Exercícios:
a) Faça os seguintes gráficos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
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2.8. Capacitores
Um elemento de dois terminais é chamado capacitor se, a qualquer instante de carga e sua tensão satisfazem uma relação definida por uma curva chamada de curva característica do capacitor.
Símbolo:
Classificação:
o
Linear
o
Não linear: capacitância em MOSFETs, diodos, etc.
o
Variável com o tempo
o
Invariante no tempo
Capacitores lineares e invariáveis no tempo:
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sua
Esta curva é
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Unidades:
Parâmetros:
a) Carga no capacitor:
b) Corrente no capacitor:
c) Tensão no capacitor:
Características do capacitor: a) Se a tensão num capacitor não variar com o tempo, então a corrente nele será nula.
Como a tensão não varia com o tempo a derivada em relação ao tempo será nula:
Obs.: Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua.
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Ex.: Capacitor carregado
.
b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente através dele seja nula. Ex.: Capacitor carregado com tensão constante.
c) É impossível alterar instantaneamente a tensão nos terminais de um capacitor, pois a corrente tenderia ao infinito. Temos que:
Se alterarmos a tensão, instantaneamente, temos:
d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu campo elétrico.
e) Um capacitor carregado descarregado em
é equivalente a ligação série de um capacitor
e uma fonte constante
é a condição inicial de tensão no capacitor em é a tensão no capacitor se, em
.
.
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.
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2.9. Indutores
•
Símbolo:
• Comparação do indutor com o capacitor:
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• Parâmetros:
• Classificação: ◦
Linear
◦
Não linear
◦
Invariante no tempo
◦
Variável no tempo
A grande maioria dos indutores são não lineares, mas, dependendo da aplicação, podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Então, se o indutor for projetado para trabalhar nesta região, teremos um indutor linear.
Obs.: Se não há variação de corrente, a tensão nos terminais do indutor é zero.
Não variando ,
é zero, portanto
.
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Obs.: Um indutor, para corrente contínua é um curto circuito.
a) Energia armazenada:
b) Quando a chave é aberta, a corrente I 0 cai a zero num tempo muito curto, fazendo com que haja uma sobre tensão na chave.
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Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão nos seguintes casos:
2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nos seguintes casos:
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3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor é a seguinte, calcule e esboce a forma de onda da tensão:
4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão no indutor para os seguintes casos:
5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para os seguintes casos:
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6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboçar a forma de onda de corrente.
7) Seja o circuito abaixo, calcule
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na fonte de
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8) A corrente no capacitor é dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com
. Calcular e esboçar a forma de onda de
instantânea e média entregue pela fonte.
para
2.10. Potência e Energia
•
•
•
•
– não armazena energia, mas dissipa. – armazena energia em seu campo elétrico.
– armazena energia em seu campo magnético.
Corrente que entra igual a corrente que sai. a) Potência instantânea:
b) Energia: é a integral da potência instantânea a partir de
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até .
e a potência
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c) Potência média e ativa:
Obs.: A expressão
só é válida para corrente cotínua. Para corrente
alternada, a potência média em um resistor, por exemplo, é dado por Desenvolvendo:
=
Indutor:
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Obs.: Num sistema periódico,
portanto
.
Obs.: O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor. Exercícios: 1) Seja o seguinte circuito:
Esboce a tensão, potência instantânea e média para:
c)
d)
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2) Calcular e esboçar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tensão por:
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é dada
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2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos
Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos são indispensáveis na análise e síntese de circuitos físicos. a) Faixa de operação: Qualquer elemento ou componente físico é especificado pela faixa de operação, como:
•
•
•
•
Ex.: Um resistor de
,
, pode ter circulando no máximo a seguinte corrente:
Então, a tensão máxima aplicada deverá ser:
b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, são sensíveis à temperatura. Esta variação de temperatura acarreta na variação dos parâmetros dos dispositivos. c) Efeito parasita:
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Nos transformadores, além da resistência do fio, existe uma indutância de dispersão. d) Valores típicos dos componentes físicos:
• Resistores:
• Capacitores:
,
valores
múltiplos
de:
.
• Indutores:
.
Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo:
Esboçar a tensão, potência instantânea e média em cada elemento, nos seguintes casos:
c)
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d)
2) Repetir o exercício anterior para o seguinte circuito:
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UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES 3.1. Ligação série de elementos
a) Resistores
LTK:
LCK:
Obs.:
são percorridos pela mesma corrente.
Característica da curva
:
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b) Fontes de tensão: Considerando
fontes de tensão em série:
LTK:
LCK:
Todas as fontes de tensão são percorridas pela mesma corrente.
c) Fontes de corrente: Considerando n fontes de corrente em série:
LTK:
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Para não violar a LCK, esta ligação só é possível se as fontes de correntes forem iguais.
d) Capacitores: Considerando n capacitores ligados em série:
LTK:
LCK:
Obs.: Todos os capacitores são percorridos pela mesma corrente.
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e) Indutores: Considerando n indutores em série:
LTK:
LCK:
Obs.: Todos os indutores são percorridos pela mesma corrente.
f) Resistor e fonte de tensão:
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LTK:
Equação Característica
Se
são conhecidos, a equação relaciona tensão e corrente.
Para:
g) Resistor e diodo:
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Para:
3.2. Ligação paralela de elementos
a) Resistores:
LCK:
LTK:
Como
são submetidos à mesma tensão, temos:
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Para
resistores:
Obs.: A
é sempre menor do que a menor das resistências ligadas em paralelo.
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b) Fontes de corrente:
LCK:
LTK:
Obs.: Todas as fontes estão submetidas a mesma
c) Fontes de tensão:
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.
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LCK:
LTK:
Obs.: Para a ligação das fontes de tensão em paralelo todas as fontes devem ser iguais. • Princípio de paralelismo de transformadores:
no secundário.
d) Indutores:
LCK:
LTK:
Todos os indutores estão submetidos a mesma tensão, então temos:
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e) Capacitores:
LCK:
LTK:
Todos os capacitores estão submetidos ao mesmo potencial, então temos:
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f) Resistor e fonte de corrente:
LTK:
LCK:
Para:
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g) Resistor e diodo:
Para:
h) Resistor, diodo e fontes de corrente:
Se:
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Se:
Conclusões: 1) Para ligação de elementos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos e a tensão é a soma algébrica das tensões em cada elemento. 2) Numa ligação de elementos em paralelo, é válido o princípio da dualidade, aplicado no item 1. Obs.: Caso singular:
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Exercícios:
1) Determine as resistências equivalentes e a corrente em cada resistor.
2) Determine
:
a)
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b)
3) Para os circuitos abaixo:
a) b) c) d)
Determine a característica nos pontos Descrever a característica no plano . Obter o equivalente Thevenin. Obter o equivalente Norton.
4) Descrever analítica e graficamente a característica
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.
do circuito abaixo:
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UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO 4.1. Definições e propriedades dos circuitos
Componentes: • Lineares
podem ser:
• Não lineares • Variantes no tempo • Invariantes no tempo.
Circuitos com: • Componentes lineares → circuitos lineares • Componentes lineares invariantes → circuitos lineares e invariantes no tempo.
4.2. Análise nodal Nesta seção consideremos métodos de análise de circuitos nos quais as tensões são incógnitas.
Temos:
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Passos para a análise nodal:
a. Contar o número de nós Pela LTK o somatório das tensões em qualquer percurso fechado é zero. A LTK obriga uma dependência linear entre as tensões de braço.
b. Escolher uma referência (nesse caso, ) Como o foi adotado como referência
, temos:
Em geral, escolhemos um nó como referência e chamamos as tensões dos outros nós em relação a esta referência. Concluímos que em um circuito com
nós, teremos
Exemplos: 1)
Pela LCK:
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equações e
incógnitas.
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Logo:
2)
Logo:
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Obs.: Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, o determinante pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutância do circuito.
Características da matriz condutância: • É simétrica em relação à diagonal principal quando no circuito só tiver fontes de corrente. • Os elementos da diagonal são positivos e os outros negativos.
4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito
Evitamos o uso do ramo com fonte de tensão, tratando os nós 2 e 3 como super nó. Super nó: Como o somatório das correntes que chegam no nó 2 e 3 são zero, quando tratarmos de corrente, o nó 2 e 3 será um super nó.
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LCK:
Logo:
Equação do super nó: como temos três incógnitas e dois nós (duas equações são obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equação para termos o número de equações igual ao número de incógnitas. Procedimentos práticos para a análise nodal: a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes e elementos. b) Se o circuito possuir n nós, escolher um como referência e escrever as tensões dos nós em ralação a referência. c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz condutância. d) Se o circuito possuir fontes de tensão, substitua-a por um curto circuito criando um super nó.
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Exercícios:
1) Encontrar as tensões nos nós
2) No circuito abaixo, usar análise nodal para determinar
3) Substituir a fonte de por uma fonte de corrente dependente com seta para cima com valor de , onde ib é a corrente dirigida para baixo na condutância de Determine 4) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão de dirigida para cima. Determine
com referência positiva
5) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão dependente, referência positiva dirigida para baixo e definida como Determine
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4.4. Análise por malhas
• Só é possível se o circuito for uma superfície plana. • Somente malhas, não percursos fechados. • n malhas, n equações • Corrente de malha no sentido horário. • Na malha que estamos trabalhando, a corrente é positiva em relação às outras.
Exemplos:
1)
LTK:
Logo:
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2)
3)
Como criamos uma super malha, temos 3 incógnitas e somente 2 equações. Para conseguirmos a terceira equação, teremos que conseguir através da fonte de corrente.
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4)
5)
6)
Use a análise de malhas para determinar
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7)
Use análise de malhas para determinar
8)
Use análise de malhas para determinar
9)
Use análise de malhas para determinar
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Procedimentos práticos para análise de malhas:
a) b) c) d)
Só é aplicada a uma rede de circuito planar. Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horário, aplicando a LTK. Emprega-se valores de resistência ao invés de condutância. Se o circuito tiver apenas fonte de tensão, a matriz resultante (matriz resistência) é simétrica em relação diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o resto dos elementos negativos. e) Se o circuito houver fontes de corrente: 1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin. 2) Fonte de corrente em série com resistor, substituir por um circuito aberto.
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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES -
5.1. Teorema de Thevenin Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de tensão em série com uma resistência de Thevenin, onde é a tensão em circuito aberto e a éa resistência equivalente vista pelos terminais , com todas as fontes internas do circuito zeradas.
Obs.: As fontes de tensão são substituídas por um curto circuito.
Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo:
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Primeiramente, substituímos a fonte de tensão por um curto circuito. Depois calculamos o
Através da análise por malhas podemos achar o valor de
Então:
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5.2. Teorema de Norton Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de corrente em paralelo com uma resistência de Norton, onde a fonte de corrente é a corrente nos terminais em curto circuito e é a resistência vista pelos terminais com todas as fontes zeradas.
Obs.: As fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto.
Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo:
Curto circuitando os terminais
, temos a resistência equivalente
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Com isso, podemos calcular o
5.3. Teorema da superposição Para redes lineares é válido o princípio da superposição, que estabelece: A resposta de I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente de corrente ou tensão, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ação de cada uma das fontes atuando isoladamente, isto é, estando as demais fontes zeradas.
Obs.: Cuidar as polaridades das fontes de tensão e de corrente.
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Exemplo 3:
1) Para fonte de
Logo:
2) Para a fonte de aberto.
a fonte de
é um curto e a de
a fonte de
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é um circuito aberto.
é um curto e a de
é um circuito
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Logo:
3) Para a fonte de
Temos então:
a fonte de
e
são um curto circuito.
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5.4. Teorema da máxima transferência de potência Um teorema muito útil sobre a potência pode ser desenvolvido com referência a uma fonte de tensão ou corrente.
A potência fornecida para
é:
Sendo:
Portanto:
Para obter a máxima transferência de potência, faz-se:
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Para verificar se a função é de máximo ou de mínimo:
Portanto:
Exercícios:
1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos: a)
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b)
c)
d)
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e)
2) Determine
aplicando análise nodal:
3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando análise nodal:
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4) Determine Ix usando: a) Análise nodal. b) Análise de malhas.
5) Determine fontes.
empregando o princípio da superposição e a potência gerada pelas
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UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta poderá ser tensão, corrente ou a combinação das duas. Além disso, os circuitos de primeira ordem são caracterizados por possuírem apenas um elemento capaz de armazenar energia, podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto irá resultar, em uma equação diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, já que está sendo considerados circuitos lineares invariantes no tempo. A resposta destas grandezas no circuito será devido a:
Fontes independentes, que são as entradas ou excitações; Condições iniciais do circuito.
6.1.1. Resposta a excitação zero Ocorrerá num circuito que não possui entradas ou excitações. O comportamento de tal circuito será função somente das condições iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito no instante de tempo t=0. Estudaremos então dois circuitos de primeira ordem:
Circuito RC Circuito RL
6.1.1.1. Circuito RC (Resistor- Capacitor)
Figura 6.1- Circuito RC
Para t
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