Apostila de Cálculo 1

Profª. Dra. Isabel Cristina Machado de Lara

MATEMÁTICA 2º Grau - Supletivo Isabel Cristina Machado de Lara cosseno

expoente A

log

B

-2 . 0. 3.

α,β

tangente

. -3 . -1 .0 .2 .6

(x,y) 1° Trim. 2° Trim. 3° Trim. 4° Trim.

f:A B

seno

8

y

B A x

C

fog(x)

+ R

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VETORES NO PLANO Grandeza Escalar: Quantidades que podem ser definidas completamente por um único número real (magnitude, módulo) e com uma unidade de medida adequada (cm2, m3, cm, g ou s) são denominadas de grandeza escalar, e o número correspondente é um escalar. Exs.: comprimento, área, volume, temperatura, massa, energia e tempo. O perímetro do retângulo ao lado, fica completamente definido quando são especificados o seu módulo (14) e sua unidade de medida (centímetro).

Grandeza Vetorial: Quantidades que além da magnitude, ou módulo, necessitam também de uma direção e um sentido para serem completamente definidas são denominadas de grandeza vetorial e são representadas por um segmento de reta orientado, chamado de vetor. Exs.: velocidade, força, aceleração, impulso, deslocamento Se um móvel se desloca de um ponto A para um ponto B, não basta afirmar que o móvel deslocou-se 10m. é necessário que além da distância (módulo), seja informada a direção e o sentido em que ocorre este deslocamento. No exemplo temos o vetor AB com módulo = 10m, direção de 60º com a horizontal, no sentido de A para B. Podemos ainda nos referir ao sentido horário e anti-horário.

Na figura ao lado, as retas a e b tem a mesma direção e sentido, já as retas c e d tem a mesma direção, porém sentidos contrários.

1

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Podemos representar qualquer ponto do espaço por um vetor nulo que é representado por 0. E a todo vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto –v, que possui o mesmo módulo, a mesma direção, e o sentido contrário.

Representação no plano Podemos representar um vetor v por um par cartesiano (x1, y1), teremos v = (x1, y1).

2

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara Exs.: Represente no plano cartesiano abaixo os vetores: u = (3, 4), v = (-2, 1) e w = (-6, -2):

Um vetor não parte necessariamente da origem, sendo definido por dois pontos. Neste caso, podemos encontrar o seu vetor posição. Infinitos vetores possuem o mesmo vetor posição.

Os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) determinam o vetor AB , tal que:

AB = (x2, y2) – (x1, y1) = (x2 – x1, y2 – y1)

Exs.: a) Encontre o vetor definido pelos pontos A(-2, 3) e B(4,5), represente o vetor definido pelo segmento orientado AB e o vetor posição AB : b) Encontre o vetor posição definido pelos pontos P(-3, -1) e Q(5, -3), represente-o geometricamente:

3

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Operações com vetores Sejam o u = (x1, y1), v = (x2, y2) e k ∈ R, definimos: a) Adição de vetores u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) b) Produto de um vetor por escalar ku = k(x1, y1) = (kx1, ky2) Exs.: 1) Sendo u = (2,3) e v = (4,1), encontre o vetor w = u + v e o vetor z = u – v e represente-os geometricamente. 1 2) Dado o vetor u = (4, -2) determine o vetor v = 3u e o vetor z = u e represente-os 2 geometricamente.

Observação: (STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987)

Temos como propriedades da adição e da multiplicação de vetor por escalar:

4

5

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Igualdade entre vetores Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são iguais se e somente se x1= x2 e y1 = y2, dizemos que u = v. Exs: 1) Os vetores u = ( 2, 5) e v = ( 2, 5) são iguais. 2) Calcule o valor de x e y para que o vetor u = (x+3, 6) seja igual ao vetor v = (7, 2y -4):

EXERCÍCIOS 1) Determine x para que se tenha AB = CD , sendo A(x,1), B(4,x+3), C(x, x+2) e D(2x, x+6). 2) Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3,-7), sabendo que sua origem é o ponto A(2,1). 3) Sendo u = (2,3), v = (-1,4) e w = (-2,-1), represente graficamente os vetores: a) u + 2v

b) – u

c) u – v

d) 3u – 2v + w

e) – u – v + 2w

4) Dados os vetores u = (2,-1) e v = (1,3), determine um vetor w tal que: a) 3(u + w) − 2(v − w) = 0 b)

1 2

[3(u + w) − 4(v − w)] = 5[u − 3w + 4(3v − 2w)]

5) Dados os vetores u e v, determine os vetores z e w tais que:

Respostas: 1) x = 2 3) a) (0,11)

2) (5, -6) b) (-2,-3)

4) a) (-4/5, 9/5) 5) z = 1/19(13u+9v)

c) (3,-1)

d) (6,0)

b) 1/117(138, 365) w = 1/19(15u-13v)

e) (-5,-9)

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Produto escalar

Módulo de um vetor

Vetor Unitário

Ângulo entre vetores

6

7

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u

Exs.: Calcule o ângulo entre os vetores u = (-2,-2) e v = (0, -2)

Propriedade do Produto escalar

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Aplicações Vetor Deslocamento Se uma partícula move-se de um ponto A(x1, y1) para um ponto B(x2, y2), o vetor AB ,

AB = (x2 – x1, y2 – y1) é chamado vetor deslocamento da partícula.

Resultante

8

9

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara Lembre-se: cos α =

x catadj ⇒ cos α = 1 ⇒ x1 = u . cos α hip u

senα =

y catopo ⇒ senα = 1 ⇒ y1 = u .senα hip u

y

y1

α x1

x

Logo a resultante é:

= (2,2088;4,6213) Calculando o módulo de F, encontramos:

que é aproximadamente igual a 5,12.

EXERCÍCIOS 1) Dados A(2, y) e B(3, 3), determine y para que o módulo do vetor AB seja igual a

5.

2) Dado B(3, 4) e sendo | AB | = 2, qual é o valor máximo que a primeira coordenada de A pode assumir? E o mínimo?

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7) Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto O da figura abaixo, sabendo que |F1| = 3, |F2| = 1 e |F3| = 2.

Respostas: 1) y = 1 ou y = 5

2) valor máximo: 5

6  18 24  3) a ) (3,4) =  ,  5 5 5 

b) − 5 (−1,2) = ( 5 ,−2 5 )

5) a) (1,2)

c) (5/3,3) d) (-17/5,-23/5)

b) (0, ½)

6) (7,-1)=(4,-4)+(3,3)

valor mínimo:1 4) k1=-1/4 e k2 =7/4

3−2 3 3 3   = (-0,2321;2,5981) 7)  ,  2 2  

Paralelismo e Perpendicularismo

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EXERCÍCIOS

5) Verifique se os pontos A (2,7), B(2,-6) e C(5,-6) são os vértices de um triângulo retângulo, se for calcule em que vértice? 6) Sendo A (3,1), B(-2,2) e C(4,-4) vértices de um triângulo, podemos afirmar que esse triângulo é: (A) Equilátero. (B) Isósceles e retângulo. (C) Isósceles e não-retângulo. (D) Retângulo e não-isósceles. (E) N.d.a. 7) São dados os pontos A(2,y), B(1, -4) e C(3, -1). Qual deve ser o valor de y para que o triângulo ABC seja retângulo em B?

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Profª Isabel Lara Respostas: 1) a) 14 b) 57,53° 2) Mostre que u.v = u.w = 0 3) a) 5 (1,2) ou - 5 (1,2) b) x = 2 ou x = -2. 4) Aˆ ≅ 74,75° ≅ 74°44’41”, Bˆ ≅ 57,53° ≅ 57°31’43”e Cˆ ≅ 47,73° ≅ 47°43’48” 5) Retângulo em B. 6) C 7) - 14/3

FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

Funções Uma função de uma variável x é uma relação que associa a cada valor de x um único número y, f(x), chamado de valor da função em x. Em outras palavras: Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de variável x. A variável x é chamada de variável independente. O conjunto de valores que a variável independente pode assumir é chamado de domínio da função. A imagem da função é o conjunto de valores y que a função assume. O número real y é o valor da função f no ponto x, ou imagem de x pela f, e é representado também por f(x).

Conceito Sejam A e B dois subconjuntos não vazios do conjunto de números reais ℜ . Chamamos de função real f de A em B a qualquer regra ou lei que associa a cada x ∈ A um único número y ∈ B.

f(2) = 0 ⇔ (2,0) ∈ f

f(3) = 1 ⇔ (3,1) ∈ f

f(4) = 3 ⇔ (4,3) ∈ f

Dom f = A

f(5) = 3 ⇔ (5,3) ∈ f

Im f = {0,1,3}

Exemplos 2: Os diagramas abaixo representam relações entre dois conjuntos A e B. Verificaremos porque cada um deles representa ou não função de A em B.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara Exemplos 3: Dentre os gráficos abaixo, justifique porque cada um deles representa ou não y como função de x. a) y

0

b)

y

x

0

e) y

0

c) y

f) y

x

0

x

0

d) y

x

g) y

x

0

0

x

h) y

x

0

x

Justificativas:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Não é função, pois existe valor de x associado a dois valores distintos de y. É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y. Não é função, pois o valor de x associado a infinitos valores distintos de y. Não é função, pois existe valor de x associado a dois valores distintos de y. É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y. Não é função, pois existe um valor de x associado a dois valores distintos de y. Não é função, pois existem dois valores de x associado a infinitos valores distintos de y. É função, pois cada valor de x está associado a um único valor de y.

As funções que iremos estudar serão definidas em geral, por fórmulas algébricas. Nosso objetivo principal é analisar situações-problema que encontramos no nosso cotidiano ou no âmbito de nossa profissão e conseguirmos transcrevê-las da linguagem natural para uma linguagem matemática, para uma linguagem simbólica. Trabalharemos com situações que apresentam dependências entre duas variáveis, x e y, e podem ser expressas por diferentes modelos algébricos, ou seja, diferentes funções. Desse modo, o nosso objetivo é encontrar o modelo matemático que melhor representa uma situação proposta.

Vamos resolver algumas situações-problema onde aplicaremos o conceito de funções. Em cada uma dessas situações encontraremos um modelo matemático que expressa a dependência entre as variáveis envolvidas através de diferentes tipos de funções. Exemplo: Quando dizemos que o volume ocupado por uma massa constante de um gás, em condições de pressão constante, depende unicamente da temperatura do gás, queremos dizer que conhecida a medida da temperatura T, podemos determinar o seu volume V, através do modelo matemático V = kT. O modelo V =kT , onde k é uma constante, define V como função de T , pois dado o valor da variável independente T , existe, em correspondência, um único valor para a variável dependente V.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Observe o exemplo a seguir. A tabela abaixo, construída experimentalmente, apresenta a relação entre pressão e volume de um gás ideal numa certa temperatura. P(atm) 1 2 4 5 8 10 V(L) 40 20 10 8 5 4

Observe que a cada valor de V esta associado um único valor de P e vice versa. Portanto, podemos pensar numa função de V em P ou numa função de P em V. Na físico-química, considera-se P com função de V, sendo então V a variável independente e P a variável dependente. Nota: As tabelas são importantes porque com frequência é a forma como as funções aparecem. Esta mesma função de V em P, poderia ser dada através do gráfico abaixo.

Notas: a) A variável independente V não é uma variável discreta e sim uma variável contínua, pois assume valores numéricos num intervalo e não em valores isolados. b) Através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por exemplo: domínio, imagem, velocidades de crescimento e decrescimento, etc... Outra forma de apresentar esta função de V em P é através de uma fórmula. Da tabela, P.V = 40 portanto, a função pode ser dada pela equação 40 P (V ) = V Nota: As fórmulas são exatas e sujeitas à análise.

EXERCÍCIOS Valor Numérico 1) Sendo f( x) = 3x - 2, calcule f( 2 ):

2) Dada a função f(x) = -2x + 5, calcule: a) f ( -1 ) =

b) f ( 0 ) =

c) f ( ½ ) =

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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Profª Isabel Lara 3) Se f(x) = x² - 4, determine o valor de f( -2) - 3 f ( 3 ) + 2 f(3):

4) Encontre a imagem de 2, na função f( x ) = x³ - 3x² + 4x - 5 :

5) Seja f a função cujo domínio é constituído por todos os números reais e que é definida pelo modelo matemático f(x) = 3x3- x2 – 3x +7. Encontre: a) f(2) b) f(-2) 6) Encontre os valores do domínio para que a função f(x) = 2x2 – 12x – 6 tenha imagem igual a 8: 7) Encontre os valores do domínio para que a função f(x) = 3x2 – 6x – 4 tenha imagem igual a 20: Respostas: 1) f(2) = 4

2) a) 7

3) 13

4) -1

6) x = -1 ou x = 7

b) 5

c) 4

5) a) 21

b) -15

7) x= -2 ou x = 4

Domínio de uma função real na variável x 1º tipo ⇒

Função RACIONAL INTEIRA

EXEMPLOS: a) f( x ) = 5x - 2

b) f( x ) = x ² - 7x - 11

Dom f(x) = ................

Dom (f) = ..................

2º tipo ⇒

Função RACIONAL FRACIONÁRIA

EXEMPLOS: a)

f ( x) =

1 x

Dom f(x) = ...........

b) f ( x) =

2x − 5 3 x − 12

Dom f(x) = ............

c) f ( x) =

x−3 x − 3x + 4 2

Dom f(x) = ................

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara 3º tipo ⇒

Função IRRACIONAL

EXEMPLOS: a) f ( x) = x

b) f ( x) = 2 x + 6

Dom f(x) = ................

Dom f(x) = ................

c) f ( x) = 4 15 − 3 x

d) f ( x) = 3 8 − 2 x

Dom f(x) = ................ e) f ( x) =

Dom f(x) = ................

3x − 5

f) f ( x) =

x−2

Dom f(x) = ................

10 − 2 x 3 x + 18

Dom f(x) = ................

EXERCÍCIOS 1) Seja a função dada por f(x) =

− x 2 −1 . Determine f(-1), f(0), f(1/2) e f(-2). x+2

2) Encontre os domínios das funções abaixo: a) f(x) = 5 e) f(x) =

c) f(x) = x2 + 2x

b) f(x) = 2x – 1

1 x −3

i) f(x) = 3+

x

f) f(x) =

j) f(x) =

2x − 1 5x + 7

6 − 3x

g) f(x) =

3− x

x

k) f(x) =

3− x

x

m)f(x) =

q) f(x) =

x +3 x −4 2

4 x +4 2

n) f(x) =

2x 3 − 4x + x

2

o) f(x) =

1 3

x−4

d) f(x) = x3 + x2 + 2x – 1 2x − 4

h) f(x) =

l) f(x) =

p) f(x) =

1 ( x + 2) 2 5

2x − 1

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3) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Encontre uma lei que relacione essas variáveis. 4) A tarifa de uma corrida de táxi em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fixa chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o táxi percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$ 2,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80. Expresse o preço y a pagar em função do número x de quilômetros rodados. RESPOSTAS 1) a) -2

2) a) IR

b) -1/2

b) IR

h) [2, +∞)

45 ,x x

d) IR

i) [0, +∞)

m) IR − {−2,2} 3) y =

c) IR

c) -1/2

n) IR − {1,3}

∈ {1,2,3,4,5}

d) NE

e) IR - {3} j) (0, +∞) o) IR − {4}

7 5

f) IR − {− } k) [0, +∞) -{9} p) IR

g) (−∞,2] l) IR − {−2} q) IR

4) y = 0,8x + 2,8

FUNÇÃO POLINOMIAL Exemplos: a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 1 (polinomial de grau 3) b) f(x) = 2 – 5x2 (função quadrática, polinomial de grau 2) c) f(x) = 3x + 1 (função linear, polinomial de grau 1) d) f(x) = – 5 (função constante, polinomial de grau 0) e) f(x) = 0 (função constante, não se atribui grau) f) f(x) =

2x 4 1 − 2 .x 2 − 5x + (polinomial de grau 4) 3 2

Notas: a) Uma função polinomial y = f(x) tem a forma f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2...+ an , com a0, a1, a2,....,an ∈ IR e n ∈ {0,1,2,...}. b) O domínio de uma função polinomial y = f(x) éIR, pois existe o valor da função para cada x ∈ IR.

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FUNÇÃO CONSTANTE Situação-problema: Em uma microempresa, o custo total mensal com gastos com funcionários, energia elétrica, telefonia, água, aluguel e demais demandas é de R$ 6.200,00. Represente numa tabela o custo em cada mês e encontre um modelo matemático que represente essa situação, na forma de equação e de gráfico.

Conceito:

Função constante é uma função definida por f(x) = c, onde c é um número real. O gráfico da função constante é uma reta horizontal que corta o eixo das ordenadas em c.

Exemplo: f(x) = 3 y

Dom f = IR

3

Im f = { 3 } x 0

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = mx + b ou y = mx + b, com m ∈ R, b ∈ R e a ≠ 0, definida para todo x real, é denominada função do 1° grau. Na sentença matemática y = mx + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto m e b são denominadas coeficientes. Uma função linear é uma função que muda a uma taxa constante em relação a sua variável independente. Formalmente, diz-se que se m e b são ≠ 0, temos uma função afim, e se b = 0 , essa equação se reduz a y = mx definindo a chamada função linear. No entanto, mesmo existindo uma diferença entre função afim e linear, os matemáticos costumam usar apenas a designação de “função linear” para ambos os casos. Isso se justifica pelo fato de que, em qualquer um dos casos, o gráfico dessas funções será sempre uma reta.
Temos que:
m é a inclinação, ou taxa de variação de y em relação a x.
b é a intersecção vertical, ou o valor de y quando x é zero ( b é o termo independente).
Uma função f é crescente, quando x1 > x2 temos f(x1) > f(x2).

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Uma função f é decrescente, quando x1 < x2 temos f(x1) > f(x2).
O gráfico de uma função crescente sobe à medida que se desloca da esquerda para direita. O gráfico de uma função decrescente desce à medida que se desloca da esquerda para direita.

Exemplo 1: Numa festa o preço da cerveja é de R$ 4,00 e a entrada custa R$ 15,00. a) Encontre o modelo matemático que representa o custo total em função do número de cervejas compradas. b) Construa o gráfico dessa situação. c) Quanto será gasto se forem compradas 5 cervejas? d) Quantas cervejas foram compradas se o custo total foi de R$ 43,00? e) Encontre o domínio e a imagem nesta situação. f) Classifique a função em crescente e decrescente.

Exemplo 2: Uma máquina foi adquirida por R$ 18.480,00. Sabendo que seu valor se deprecia R$ 840,00 ao ano: a) Encontre o modelo matemático que representa o valor da máquina em função do tempo. b) Construa o gráfico dessa situação. c) Quanto a máquina valerá daqui a 13 anos? d) Em quanto tempo a máquina perderá totalmente o seu valor? e) Encontre o domínio e a imagem nesta situação. f) Classifique a função em crescente e decrescente.

Cálculo do coeficiente angular – taxa de variação Dados os pontos P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2), com x1 ≠ x2, o coeficiente angular m da reta que passa por estes pontos é o número real. Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo α que a reta faz com o eixo das abscissas. Portanto, pode ser visto como a inclinação da reta, sua declividade.

m = tgα =

y − y1 catetooposto ⇒m= 2 catetoadjacente x 2 − x1

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Ex.: Situação-problema: Para estimular pessoas a usarem o sistema de transporte solidário, o departamento de trânsito de uma certa região metropolitana ofereceu um desconto especial no pedágio para veículos que transportassem quatro ou mais pessoas. Quando o programa começou, há 30 dias, apenas 157 veículos obtiveram desconto durante o horário matinal de maior movimento de carros. Desde então, o número de veículos com direito ao desconto aumentou a uma razão constante. Hoje, por exemplo, 247 veículos receberam desconto. a) Encontre um modelo matemático que represente o número de veículos com direito ao desconto, em cada manhã e represente graficamente. b) Daqui a 14 dias, se essa tendência se mantiver, quantos veículos terão direito ao desconto?

EXERCÍCIOS Respostas na p.22

1ª Situação-problema: Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 100,00 e outra variável que corresponde a uma comissão de 6% do total de vendas que ele fez no mês. a) Encontre um modelo matemático que represente o salário do vendedor e represente graficamente. b) Qual será seu salário se as vendas totalizaram R$ 1.250,00? 2ª Situação-problema: A capacidade de uma caixa d’água é de 1.000 litros. Estando totalmente cheia, precisou ser esvaziada para limpeza. Para isso, uma bomba, que retira água à razão de 40 l/min, foi acionada. a) Encontre um modelo matemático que represente o volume da caixa d’água e represente graficamente. b) Após 15 minutos, quantos litros de água tem na caixa d’água? c) Quanto tempo a bomba teve que ficar aberta para que o tanque ficasse com 200 l? d) Em quanto tempo a caixa ficou vazia? 3ª Situação-problema: Numa cidade existem duas empresas de telefone. Na empresa A a taxa mensal custa R$ 23,00 e cada minuto falado custa R$ 0,86. Já, na empresa B a taxa mensal custa R$ 35,00 e o minuto falado custa R$ 0,56. a) Encontre um modelo matemático que represente o preço pago a cada empresa. b) Represente graficamente utilizando um mesmo plano cartesiano. c) Analisando a situação descubra a empresa mais vantajosa e justifique a sua resposta. 4ª Situação-problema: Carlos recebeu três ofertas de emprego. No local A, receberá como salário mensal 10% sobre o total das vendas efetuadas no mês; no local B receberá salário fixo de R$ 350,00 e mais 5% sobre as vendas do mês e no local C receberá salário fixo de R$ 600,00. a) Sabendo que Carlos estima vender R$ 6.000,00 mensais de mercadorias, qual oferta lhe será mais vantajosa? Justifique sua resposta. b) Sabendo que Carlos não tem estimativa o valor que conseguirá vender, qual oferta lhe será mais vantajosa? Justifique sua resposta. c) Construa num mesmo plano os gráficos das três situações.

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Profª Isabel Lara 5ª Situação-problema: Em uma determinada localidade, uma empresa de táxis A cobra a seguinte tarifa: bandeirada R$ 2,00 e R$ 2,00 por km rodado. Uma outra empresa B cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada. Determine: a) Uma lei de formação (função) para cada uma das empresas; b) O gráfico de cada uma destas situações, no mesmo plano cartesiano; c) Qual é a empresa mais vantajosa para o passageiro? Justifique sua resposta a partir dos coeficientes. 6ª Situação-problema: Um encanador A cobra por cada serviço feito um valor fixo de 100 u.m. mais 50 u.m. por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de 80 u.m. mais 60 u.m. por hora de trabalho. A partir de quantas horas de trabalho o encanador A é preferível ao B? 7ª Situação-problema: Suponha que a função C(x) = 20x + 40 represente o custo de produção de um determinado artigo, onde C é o custo (em reais) e x é o número de unidades produzidas. Determine: a) O custo de fabricação de 5 unidades produzidas. b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 1.200,00? c) Os valores de x para os quais o problema tem interpretação gráfica, ou seja, o Domínio da função. d) O gráfico da função. 8ª Situação-problema: Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização pelo seu uso, representada pela função P(t) = 50 – 5t, onde P é o preço da máquina (em reais) e t é o tempo de uso (em anos). Determine: a) O gráfico da função. b) O custo da máquina ao sair da fábrica. c) O custo da máquina pós 5 anos de uso. d) O domínio e a imagem da função. 9ª Situação-problema: Sabendo que para produzir 10 unidades de uma mercadoria o gasto é de R$ 2350,00 e para produzir 25 unidades dessa mesma mercadoria o gasto será de R$ 2875,00, encontre a expressão que representa o gasto em função das unidades produzidas, considerando um crescimento linear. Quanto será gasto para produzir 50 unidades dessa mercadoria? 10ª Situação-problema: Desde o começo do mês, um reservatório local está perdendo água a uma taxa constante. No décimo segundo dia do mês, o reservatório contém 200 milhões de litros de água, e no vigésimo primeiro dia ele contém apenas 164 milhões de litros. a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e construa o gráfico. b) Quanta água estava no reservatório no oitavo dia do mês? 11ª Situação-problema: Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato tem gasto fixo de R$ 600,00 e, em material, gasta R$ 25,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$ 175,00. a) Quantas unidades os estudantes terão de vender para existir o equilíbrio? b) Quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de R$ 450,00?

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Profª Isabel Lara 12ª Situação-problema: A pontuação média dos estudantes aprovados em uma faculdade de ciências humanas no exame de Matemática tem decaído a uma taxa constante nos últimos anos. Em 1990 a pontuação média foi de 575, enquanto em 1995 foi de 545. a) Expresse a pontuação matemática média em função do tempo b) Se a tendência continuar, qual será a pontuação média dos estudantes aprovados por volta do ano 2003? c) Se a tendência continuar, quando a pontuação média atingirá 527? 13ª Situação-problema: Para pequenas variações de temperatura, a fórmula para a dilatação de uma barra de metal submetida a mudanças de temperatura é l −l0 = al0 (t –t0) , onde l é o comprimento do objeto quando a temperatura é 0 t,l é o comprimento inicial na temperatura 0 t , e a é uma constante que depende do tipo de metal. a) Expresse l como função linear de t . Encontre a inclinação e a intersecção vertical. b) Suponha que você tenha uma barra que, inicialmente, mede 100cm a uma temperatura de 10ºC, e feita de um metal com a igual a 10-5 . Obtenha a equação que dá o comprimento da barra em função da temperatura t. c) O que diz o sinal da inclinação a respeito da dilatação de um metal sob uma variação de t ? 14ª Situação-problema: Às 9h20min da manhã, uma sonda lunar está a 1.000 pés acima da superfície da lua e começa uma descida vertical atingindo o solo lunar às 10h 13min da manhã. Supondo que a sonda mantenha uma velocidade constante, ache uma função D tal que D(t) expresse aproximadamente a altitude da sonda acima da lua como uma função de t.

Respostas 1ª) a) y = 0,06x + 100

b) R$ 175,00 2)

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara 4ª)

A

C

a) Se Carlos estima vender exatamente R$ 6000,00, a escolha melhor seria a empresa B. b) Se ele não tiver estimativas de vendas teremos: - vendas de até R$ 5000,00 a melhor escolha será a empresa C; - vendas entre R$ 5000,00 e R$ 7000,00 a melhor escolha será a empresa B; - vendas acima de R$ 7000,00 a melhor empresa será a empresa A. Isso ocorre devido a taxa de variação (coeficiente angular) de cada uma das empresas. Embora a empresa B tenha um salário fixo (coeficiente linear) maior que a empresa A, a taxa de variação de A é maior, o que faz que ela cresça mais rapidamente ultrapassando o valor de B em R$ 7000,00, a qual já ultrapassou C em R$ 5000,00.

[Obs.: Sabemos que muitas variáveis pessoais do empregado poderiam ser consideradas aqui, por exemplo a certeza de ganhar pelo menos R$ 600,00. No entanto, ao analisarmos uma situação envolvendo modelos matemáticos devemos levar em conta apenas os dados matemáticos. A menos que a análise solicitada se refira a uma vida pessoal]. 5a) a) A ⇒ y = 2x+2 B ⇒ y = 3x 3x = 2x + 2 3x-2x = 2 x = 2 ⇒I (2, 6)

b)

c) Até 2km rodados,a empresa mais vantajosa é a B. Em exatos 2km, ambas. Acima de 2km rodados a mais vantajosa será a A, pois embora a empresa A tenha um custo fixo [coef. Linear] maior, sua taxa de variação [coef. Angular] é menor fazendo com que seu valor aumente mais devagar sendo ultrapassado por B em 2km.

B A

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara 6a ) 7 a)

11)

12)

13) a) l = al0t + l0 – al0t0 , b) l = 0,001t + 99,99 14) D(t) = −

inclinação = al0 , intersecção = l0 – al0t0

1000t + 1000 , t em minutos, 0 ≤ t ≤ 53 53

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2° GRAU - QUADRÁTICA Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função quadrática. O gráfico de uma função quadrática, a qual possui domínio real, é uma curva chamada parábola.

Para construirmos uma parábola precisamos conhecer:

* Intersecções no eixo x: x’ e x’’ * Intersecção no eixo y : c * Ponto do vértice:

xv =

−b 2a

yv =

−∆ 4a

∆ = b 2 − 4ac

Eixo de simetria

y Assim, o xv é o valor médio entre x’ e x’’ x’

xv

x’’

yv é a imagem

do xv

Assim, o yv é o valor CONCAVIDADE da função em xv

yv

V (xv, yv)

x

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Concavidade voltada para cima ⇔ a > 0

voltada para baixo ⇔ a < 0

y

y

x

x

Possibilidades de gráficos

∆>0

∆=0

∆0 Dom f(x) = IR Im f(x) = [ yv, + ∞[

em ambos os casos

a0. A função pode ser CRESCENTE ou DECRESCENTE, observe: y

y a>1 crescente

0 0 dx x ln b

3.11 Derivada da Função Seno d sen [f(x)] = cos[f(x)] . f ' (x) dx

d sen x = cos x dx

3.12 Derivada da Função Cosseno d cos [f(x)] = - sen[f(x)] . f ' (x) dx

d cos x = - sen x dx

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara Exemplos: Derive cada função abaixo: a) f(x) = ln (2x 3 + 1)

c) f(x) = x lnx

b) f ( x) = e x

2

+1

d) f(x) = x e 2x

e) y = sen 3t

f) y = (t 2 + 3 sent)5

g) y = cos (x 2 + 1)

h) y = cos 2 x

i) y = x 2 cos 3x

j) y =

sen 2x x

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EXERCÍCIOS Exercício 1: Derive cada função abaixo em relação a t ou x: função

Resposta - derivada

a) y = ln (2x)

y’= 1/x

b) y = ln(x+3) + ln5

y’= 1/(x+3)

c) y = e ln x + x

1  y’=  + 1e ln x + x x 

d) y = (ln x) 2 + ln (x2)

y’=

e) y = 2x3. e x

3

−2

2 (1 + ln x) x

y´= 6 x 2 .e x

3

−2

.(1 + x 3 )

f) y= e2x. ln(2x+1)

1   y´= 2e 2 x ln (2 x + 1) + 2 x + 1 

g) y = sen 4t

y’= 4 cos 4t

h) y = 4sen t

y’= 4 cos t

i) y = 2 cos 3t j) f(x) = (1 + cos x) k) f ( x) =

y’= -6 sen 3t 8

f’(x) = -8sen x (1+cos x)7

sen x cos x

f’(x) = cos–2 x

l) f(x) = 4 tg (x2 + x + 3)

f’(x) = (8x+4) sec 2 (x2 + x + 3)

m) f(x) = (1 + tg 2x)3

f’(x) = 6(1 + tg 2x)2 sec 2 2x

Situação-problema 2: A partir do ano 2000 o consumo de um produto rico em soja admite como modelo a função C ( x) = e 2 x +ln x mil quilogramas por ano. Calcule a taxa de variação do consumo em 2014. Resp.: C’(14) = 4,194145 x 1013 Situação-problema 3: A temperatura média semanal em Washington, t semanas após o início do ano é  2π  f (t ) = 54 + 23 sen  (t − 12 ) :  52  a) qual é a temperatura média semanal durante a 18a semana? b) Na 20a semana, com que rapidez a temperatura estava variando? Resp.: a) 69,25º F

b) 1,578º F/ semana

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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Profª Isabel Lara Situação-problema 4: Em qualquer localidade, a temperatura de água encanada varia durante o ano. Em Dallas, no Texas, a temperatura de água encanada (em graus Fahrenheit) t dias após o começo do  2π (t − 208) , 0 ≤ t ≤ 365. ano é aproximadamente f (t ) = 59 + 14 cos   365  a) Qual é aproximadamente a temperatura em 14 de fevereiro, ou seja, quando t = 45? b) Com que rapidez a temperatura está variando no dia 1o de maio, supondo que o ano não seja bissexto, ou seja, no 121o dia? Resp.: a) 45,781o F

b) 0,2403o F/dia

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Respostas E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8

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4 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Ex.: Dada a função f(x) = x5 – 2x3 + 4x2 + 12x – 7, calcule f’’’(-1):

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EXERCÍCIOS

5 REGRA DE L’HOPITAL

EXERCÍCIOS

Respostas

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6 A utilização da derivada de primeira e segunda ordem na construção do esboço de gráficos O esboço do gráfico de uma função f(x) deve apresentar a forma geral do gráfico – deve mostrar onde f(x) é definida e onde ela é crescente e decrescente, devendo indicar quando for possível, a concavidade de f(x). Além disso, um ou mais pontos devem ser indicados cuidadosamente no gráfico. Estes pontos geralmente incluem extremos relativos, pontos de inflexão e as intersecções nos eixos x e y. 1o) A partir de f(x), obtemos f’(x) e f”(x). 2o) Fazemos a análise do crescimento de f(x) através da derivada de primeira ordem, f’(x). 3o) Depois, localizamos todos os pontos de máximo relativo e mínimo relativo. 4o) Estudamos a concavidade de f(x) e localizamos todos os pontos de inflexão através da derivada de segunda ordem f”(x).e f’(x) > 0 ∀x ∈ (a,b) ⇒ f é crescente em (a,b). 5o) Fazemos o esboço do gráfico incluindo também as possíveis intersecções aos eixos. a) Se f’(x) > 0 ∀x ∈ (a,b) ⇒ f é crescente em (a,b). b) Se f’(x) < 0 ∀x ∈ (a,b) ⇒ f é decrescente em (a,b). c) Se f’(x) = 0 ∀x ∈ (a,b) ⇒ f é constante em (a,b). d) Se f’(c) = 0 ⇒ c é um ponto crítico.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara Ponto de Máximo Relativo

f’> 0

Ponto de Mínimo Relativo

Ponto de Inflexão

f’> 0

f’< 0 f’< 0

c

f’> 0

f’> 0

c

e) Se f’’(x) > 0, quando x = c ⇒ concavidade para cima e (c, f(c)) é um Ponto de Mínimo Relativo. f) Se f’’(x) < 0, quando x = c ⇒ concavidade para baixo e (c, f(c)) é um Ponto de Máximo Relativo. g) Se f’’(x) = 0 ou não existe, quando x = c ⇒ (c, f(c)) é um Ponto de Inflexão.

c

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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EXERCÍCIOS Exercício: Faça o esboço completo do gráfico das funções abaixo, indicando domínio, imagem, análise do crescimento e da concavidade, extremos relativos e pontos de inflexão, quando existirem: Verifique suas respostas por meio de um software gráfico 1) f(x) = x2 - 2x – 8 2) f(x) = x3 - 4x2 + x + 6 3) f(x) = x 4 + 4x3 + 4x2 4) f(x) = -x2 - 2x +15 5) f(x) = - 3x5 + 5x3 6) f(x) = x3 - 3x2 + 5

7 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

EXERCÍCIOS

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22. Suponha que a pressão arterial de uma pessoa no tempo t, em segundos, é dada por P(t) = 100 + 20 cos 6t. Encontre o valor máximo de P (chamado de pressão sistólica) e o mínimo valor de P (chamado de pressão diastólica) e forneça um ou dois valores de t onde os valores maxímo e mínimo de P ocorrem.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara Respostas

7. a) P. Min. (3, -1)

8. P. Max. (1, 30) min.

b) P. Max. (1,4)

P. Min. (4,3)

10. A receita máxima é de 3,5 milhões de reais quando a produção for 7 unidades.

9. A população máxima de 18mil bactérias em 40

11. A concentração máxima será de 0,08333.. após 54 min.

12. a) Q’(t) = 0,1 t + 0,1 b) Q’(1) = 0,2 13. P’(9) = 20 hab/no mês 14. T’(6) = 280 reais/ no ano 15. P’(2) = 27,85 16. N’(3) = 108 17. x = 4m 3 20. R(3) = 54450 18. x = 20m , Custo de R$ 1680,00 19. 74,074cm 21.16 mesas 22. P(0 º) = P (60º) = 120mm/gr P(30º) = P(90º) = 80 mm/gr

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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8 TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO

EXERCÍCIOS

Resposta: 100

Resposta: 5

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9 DIFERENCIAIS (Material fornecido pela prof. Cármen Regina Jardim Azambuja) Quando Leibniz publicou suas descobertas do cálculo, usou para derivada a notação

dy , isto é, se dx

dy dy ( ou y ' = ). dx dx Os símbolos dy e dx , que aparecem na notação, são chamados de diferenciais e vamos definir esses y = f (x) então f ' ( x) =

símbolos com o objetivo de tratar

dy como uma razão em lugar de apenas um símbolo para a derivada dx

de y em relação a x . Vamos então usar uma função f e considerar um x do seu domínio como sendo fixo. A seguir vamos definir dx como sendo uma variável independente que se pode atribuir um valor arbitrário e se f for uma função derivável definimos dy pela fórmula

dy = f ' ( x ) dx Significado geométrico O significado geométrico das diferenciais pode ser melhor compreendido com o auxílio das figuras abaixo.

Fig. 1

Fig. 2

Observe na Fig. 1 que f ' (x ) é a inclinação da reta tangente de f em x. Vamos considerar um acréscimo de ∆x = dx unidades a x. Nestas condições, temos que:

● ∆y representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao longo da curva y = f (x ) até que ∆x (= dx ) unidades sejam percorridas no eixo x. ●

dy representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao longo da reta tangente até que dx (= ∆x ) unidades sejam percorridas no eixo x. A Fig. 2 destaca a diferença entre o incremento ∆y e a diferencial dy .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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Profª Isabel Lara Exemplo: A forma diferencial da função y = x 2 é dy = 2x dx Se tomarmos x = 1 , teremos dy = 2 dx . Isto significa que se percorrermos a reta tangente à curva y = x 2 em x = 1 , então uma variação de dx unidades em x produz uma variação de 2 dx unidades em y. Considerando-se ainda, por exemplo, um avanço de dx = 2 unidades, isto produzirá uma elevação dy = 4 unidades ao longo da reta tangente. Confira estes resultados no gráfico abaixo:

Observe:

dy = 2 x dx dy = 2 (1) (2) dy = 4

e

∆y = f (3) − f (1) ∆y = 9 − 1 ∆y = 8

Isso significa que quando nos movemos ao longo da reta tangente à curva da função y = x 2 em x = 1 , usando uma variação dx de 2 unidades, a variação de y ( dy ) ao longo da tangente é de 4 unidades, enquanto que sobre a curva a variação seria de 8 unidades.

Aproximação linear local do ponto de vista diferencial Mesmo que ∆y e dy sejam geralmente diferentes, a diferencial dy é uma boa aproximação de ∆y quando ∆x = dx estiver próximo de zero. Lembre que: f ' (x ) = lim

∆y ∆ x → 0 ∆x

Sabemos que ∆y = f ( x + dx) − f ( x) e se ∆x = dx estiver próximo de zero temos ∆y ≅ dy e podemos escrever: dy ≅ f ( x + dx) − f ( x)

ou

f ( x + dx) ≅ f ( x) + dy , que é chamada de fórmula de

aproximação linear para f ( x + dx). Ou seja, para valores de dx próximos de zero, a diferencial dy aproxima muito bem o incremento ∆y . Isto ocorre porque o gráfico da reta tangente é a aproximação linear local do gráfico de f.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profª Isabel Lara

Exemplo: O raio r de uma circunferência aumenta de r = 10m para r = 10,1m . Utilize a diferencial dA para estimar o aumento na área A da circunferência. Compare este resultado com a área real após o aumento considerado. Solução: Sendo A = π r 2 a área da circunferência, o aumento estimado é dado por dA = A ' (r ) dr = 2 π a dr = 2 π (10 ) (0,1) = 2 π m 2 Logo, 2 A (10 + 0,1) ≈ A(10 ) + 2 π = π (10 ) + 2 π = 102 π Conclusão: A área de um círculo de raio r = 10,1m é aproximadamente A = 102 π m 2 O verdadeiro valor da área após o aumento de raio é dado por

A(10,1) = π (10,1) = 102,01π m 2 2

2 Erro da estimativa: Erro = ∆A − dA = 0,01π m

EXERCÍCIOS 1. Use aproximação linear para encontrar o valor aproximado de 1,1 e de ln 0,97 . Respostas: 1,1 ≅ 1,05 ; ln 0,97 ≅ − 0,03 2. Uma esfera metálica dilata-se por efeito de aquecimento e tem seu raio aumentado de 6 dm para 6,01 dm . Use diferencial para encontrar o acréscimo aproximado de volume. Resposta: 1,44π cm 3 . 3. Um objeto de madeira com forma cilíndrica, de 4 cm de diâmetro e 20 cm de altura, é posto numa lixadeira e seu diâmetro é reduzido para 3,9 cm. Calcule o valor aproximado do volume do material removido. Resposta: 4 π cm 3 4. O raio de uma esfera tem 50 cm , com um erro de medida de ± 0,02 cm . Estime o erro no volume computado da esfera. Resposta: 628 cm 3 5. Encontre as diferenciais das funções abaixo relacionadas: a) d (2 x 3 + 7 x) = b) d ( sen( x)) = c) d (ln(3 x)) = d) d (e 4 x ) =