Apostila Curso Cálculo de Estruturas Protendidas
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CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
ENGº MÁRCIO DOS SANTOS
Cálculo de Estruturas Protendidas
1.
2.
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................3 1.1.
Tipos de armaduras ................................................................................................3
1.2.
Vantagens das lajes protendidas – PROJETO .................................................5
1.3.
Vantagens das lajes protendidas – CONSTRUTIVO .......................................6
TIPOS DE CONCRETO QUANTO À ADERÊNCIA .....................................................6
3. CONCEITOS BÁSICOS USADOS NO CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS .........................................................................................................................9 3.1.
Parâmetros do concreto ......................................................................................11
3.2.
Aços de protensão ................................................................................................13
3.3. Limites de tensões nos aços de protensão de acordo com a NBR 6118:2014 (item 9.6.1.2.1) ................................................................................................19 4.
APLICAÇÃO EM VIGAS E LAJES ..............................................................................22
5.
PERDAS DE PROTENSÃO ..........................................................................................29
6.
5.1.
Perdas iniciais ou imediatas ...............................................................................29
5.2.
Exemplos de dimensionamento.........................................................................36
REFERÊNCIAS: ..............................................................................................................55
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1. INTRODUÇÃO Este curso visa auxiliar com informações básicas e conceituais, no tema estruturas protendidas, estudantes dos cursos de graduação em Engenharia Civil e engenheiros que estão iniciando na área de projetos estruturais protendidos. As teorias teor ias apresenta apres entadas das têm como base a NBR 6118:2014 6118:2 014 e referências referê ncias de alto nível, como os doutores BIJAN AALAMI, ROBERTO CHUST e LUIZ CHOLFE. Serão tratados assuntos sobre perdas iniciais de protensão, devidas à cravação das cunhas, desvios angulares e por desvios não intencionais. Não será abordado o tema de hiperestáticos de protensão, já que este requer um estudo mais aprofundado, isto pode ser encontrado nos softwares integrados de projetos estruturais estruturais como o ADAPT entre outros. Até o presente pres ente momento mome nto a NBR 6118:2014 6118: 2014 não faz distinção dist inção entre as estruturas de concreto armado e de concreto protendido, ambos os sistemas são tratados como sendo do mesmo tipo, com pequenas diferenças peculiares entre eles. A norma brasileira (NBR 6118:2014) engloba em seu conteúdo as estruturas de concreto simples, concreto armado e concreto protendido. A razão pela qual os dois sistemas são considerados iguais deve-se ao fato de que para confeccionar tanto um quanto o outro se utiliza dos mesmos materiais, a saber: agregado graúdo, agregado miúdo, água, cimento e aço. Pode-se destacar que as principais diferenças entre os mesmos, estão no tipo de aço empregado, e a diferença na forma construtiva. Os aços empregados nas estruturas de concreto protendido são aços de alta resistência, da ordem de 3 a 4 vezes mais resistentes do que os aços utilizados nas estruturas de concreto armado. Nas estruturas de concreto armado o aço frouxo ou passivo trabalha depois do concreto sendo assim mais difícil o controle das deformações. Ao contrário do que acontece no concreto armado, o aço nas estruturas protendidas trabalha antes do concreto, ou seja, antes da retirada do escoramento o aço já está em atividade, isto acontece porque o aço é tensionado pelo macaco hidráulico antes da desforma por isso a armadura de protensão leva o nome de armadura ativa. 1.1. Tipos de armaduras Pode-se conceituar conceituar as armaduras da seguinte forma: Passiva - Aquela Aque la cuja tensão tens ão só é mobilizada mobili zada pela deformaç defor mação ão do concreto concre to nela aderente. Ocorre normalmente nas estruturas de concreto armado, mas podem ser usadas como complementares complementares em estruturas protendidas. 3
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Ativas - Submetidas à tensão independentemente do concreto da estrutura estar sob tensão. Deforma-se após a operação de protensão e passa a funcionar independentemente da deformação do concreto da estrutura. Ocorre nas estruturas protendidas e precisa de meios externos para ser distendida para provocar a protensão (CHUST 2012). De acordo com Chust 2012, o concreto protendido pode ser considerado como um concreto armado em que parte ou quase a totalidade da armadura é ativa. Uma peça de concreto protendido deve estar sujeita a um sistema de forças aplicadas permanentemente, conhecidas como forças de protensão, estas devem agir simultaneamente com as demais ações, impedindo ou limitando a fissuração no concreto. A NBR 6118:2014 6118 :2014 em seu item 3.1.4 conceitua conc eitua os elementos eleme ntos protendidos prote ndidos da seguinte forma: “Considera-se “ Considera-se que os elementos de concreto protendido são aqueles nos quais parte das armaduras são previamente alongadas por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU (estado limite último) . ”
É notório que o principal objetivo da protensão é diminuir a fissuração do concreto, devido à aplicação de tensões de compressão nas regiões tracionadas. Sabe - se que o concreto sem armadura, ou concreto simples, tem resistência muito baixa à tração, sendo da ordem de 10 por cento da resistência à compressão, desta forma a eficiência do mesmo em peças submetidas à flexão é muito pequena. O principal e fundamental elemento para as peças de concreto protendido é a força de protensão, esta deve garantir que as seções de concreto permaneçam sobestado de tensão por protensão em toda a vida útil da estrutura. Para que os efeitos da protensão estejam dentro daquilo que se projeta e se espera precisa ter em mente a necessidade de outros componentes como bainhas, macacos hidráulicos, ancoragens ativas e ancoragens passivas. Outro fator relevante é a qualidade do concreto e dos aços de protensão, já que estes estarão permanentemente sob um regime de tensões, provenientes da protensão, e de todas as outras ações atuantes na estrutura. Atualment Atua lmente e no Brasil, Bras il, as publicaçõe public açõess referente refere ntess ao sistema siste ma estrutura estru turall com lajes lisas e lajes cogumelos protendidas com cordoalhas engraxadas, ainda carecem de maior divulgação. Este sistema que é usado nos EUA desde a década de 50 mostrou-se como uma tecnologia eficiente que atende muito bem as 4
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necessidades necessidades de projeto, tanto em serviço quanto no ELU. O projeto de lajes maciças com cordoalhas engraxadas torna-se cada dia mais atraente aos projetistas, devido à facilidade de cálculo nos métodos empregados para os mesmos. No ano de 1997, este sistema chega ao Brasil, as cordoalhas engraxadas e plastificadas começaram a ser produzidas pela Belgo Mineira, de acordo com as especificações especificações do PTI (Post Tensioning Institut). 1.2. Vantagens Vantagens das lajes protendidas – PROJETO As lajes protendida prote ndidass com cordoalhas cordo alhas engraxad en graxadas as tem capacidade capac idade de vencer venc er grandes vãos com pequenas espessuras e mesmo assim apresentam fissuração e flechas reduzidas, isto se deve ao fato da pré-compressão introduzida pela protensão e ao balanceamento das cargas permanentes, sabe-se que somente uma parcela das cargas totais é que ocasiona flechas e tensões de tração no concreto. Normalmente nas lajes protendidas com cordoalhas engraxadas, as tensões de tração no concreto são inferiores às tensões de tração resistente pelo mesmo, sendo assim o cálculo das flechas pode ser feito adotando-se o momento de inércia da seção bruta do concreto que é da ordem de duas a três vezes maior do que o momento de inércia da seção fissurada. A utilizaçã utili zação o de materiais mat eriais de alta resistên res istência cia como com o o aço CP190 e concreto conc reto s com Fck maior ou igual a 30 Mpa, também contribuem para um melhor desempenho desempenho destas estruturas, tanto em serviço quanto no ELU. As cordoalhas cord oalhas engraxadas engra xadas proporciona propo rcionam m melhor melho r desempenho desem penho quando falamos falam os
sobre perdas por atrito, estas possuem coeficientes muito baixos, =0,07/rd e k = 0,0035/m, isto faz com que as perdas por atrito sejam muito pequenas e dessa forma resultam numa maior força efetiva de protensão. O sistema individual das cordoalhas engraxadas denominado monocordoalha reduz significativamente as tensões concentradas introduzidas no concreto pelas ancoragens, ancoragens, diminui consideravelmente consideravelmente as armaduras de fretagem. Outra grande vantagem oferecida pela cordoalha engraxada é que, em função do seu pequeno diâmetro consegue-se obter maior excentricidade resultando assim em um maior balanceamento de cargas. Nós costumamos dizer que as lajes protendidas são estruturas testadas, porque no momento que aplicamos a protensão a cordoalha está sob uma tensão máxima de tração, da ordem de 80% de sua tensão de ruptura, além disso, a força
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que comprime o concreto na região das ancoragens também é máxima quando a resistência do concreto está na casa dos 70% de sua resistência final. 1.3. Vantagens das lajes protendidas – CONSTRUTIVO As lajes lisas protendidas permitem a redução na altura do pé direito, que faz com que as edificações tenham menor altura com maior número de pavimentos. Nas garagens é comum se trabalhar com pé direito de 2,50m e vãos da ordem de 7,5m a 8,0m, a solução com lajes lisas protendidas é a alternativa que se mostra mais viável, porque dentre outros fatores favoráveis já citados temos também uma redução de escavação nos subsolos. Uma das grandes vantagens oferecidas pelo sistema é a liberdade arquitetônica nos edifícios residências, é possível uma grande flexibilidade na personalização dos ambientes, tudo se deve ao fato da ausência de vigas. As lajes planas protendidas têm como maior característica construtiva a facilidade de execução, com a eliminação das vigas consegue-se obter formas mais simples, os materiais de protensão são de fácil manuseio, pois estamos tratando de monocordoalhas engraxadas. A fácil fixação das ancoragens nas formas e o tamanho reduzido das peças faz com que o processo de execução seja simples e rápido. 2. TIPOS DE CONCRETO QUANTO À ADERÊNCIA De acordo com Chust 2012, pode-se classificar os elementos protendidos de acordo com o mecanismo de aderência entre o aço de protensão e o concreto. Sendo assim têm-se os três tipos de concreto protendido descritos abaixo. Pré-tração com aderência inicial: a armadura é tracionada antes do lançamento do concreto, a aderência entre o concreto e o aço se inicia no lançamento do concreto. Pós-tração com aderência posterior : ao contrário do citado acima a armadura é tracionada após o lançamento do concreto e a aderência entre o concreto e o aço se dá após a aplicação da protensão. Essa aderência é garantida através da aplicação da calda de cimento na bainha que envolve as cordoalhas. Pós-tração sem aderência: neste sistema as cordoalhas não tem contato nenhum com o concreto. O lançamento do concreto é feito após a colocação das cordoalhas, depois do concreto ter atingido sua resistência mínima para protensão as cordoalhas são tensionadas.
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A transferência de forças ao concreto é única e exclusivamente feita pelas ancoragens fixadas nos extremos das cordoalhas. Exemplo de pista para pré-tração:
Exemplo de pós-tração com aderência posterior:
Destaque para ancoragem passiva em laço.
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Destaque para purgador. Exemplo de pós-tração sem aderência:
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Destaque para nichos de protensão. 3. CONCEITOS BÁSICOS
USADOS NO
CÁLCULO DE
ESTRUTURAS
PROTENDIDAS Quando se iniciou a aplicação da protensão, a teoria do ELU ainda não estava sendo usada, desejava-se apenas limitar ou anular as tensões de tração e, portanto bastava usar a teoria da resistência dos materiais para verificar os deslocamentos e esforços solicitantes. Mais tarde a partir dos anos 50 este conceito mudou, viu se a necessidade de verificar não apenas os deslocamentos e fissuras, mas também a importância da verificação da peça no ELU. Para o uso da protensão em serviço nada mudou, porém para verificação da peça no estado limite último quando a armadura terá o papel de garantir a segurança da peça na ruptura, pode se recorrer à teoria do concreto armado desde que sejam consideradas na armadura de protensão as tensões provenientes da força de protensão. Simplificadamente a protensão é idealizada como uma carga equivalente contrária às cargas gravitacionais. As cordoalhas são idealizadas com traçado parabólico ou retilíneo, a este esquema adotado chamamos de cabo equivalente. Quando calculamos com protensão admitimos que a força de protensão é constante em todo o perímetro da cordoalha.
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Nas condições de serviço, ou seja, para análise de fissuração e deformação excessiva, faz se necessário conhecer as ações que realmente atuarão na peça com uma frequência maior, desta forma é comum calcular as tensões máximas em cada seção transversal. Em uma seção transversal que está submetida um momento flet or “M”, com uma força de protensão “P” cuja força é considerada constante ao longo da cordoalha, e
tendo um traçado curvo com inclinação da tangente sendo internos isostáticos descritos abaixo.
"
”, obtem se os esforços
= Força normal em função da força de protensão: = Cortante em função da força de protensão:
Momento fletor isostático em função da força de protensão: Onde:
=
P = força resultante de protensão atuante no concreto. e = excentricidade da cordoalha de protensão, distância do centro de gravidade da cordoalha ao centro de gravidade da seção.
= ângulo de inclinação da tangente a cordoalha na seção.
As máximas tensões ocorrem nas linhas mais afastadas do “CG” localizados nas
bordas superior e inferior, cujas equações que as descrevem estão destacadas abaixo.
= - .e ± ANÁLISE BORDA INFERIOR = - .e ± = Tensão na borda superior = Tensão na borda inferior A = Área da seção de concreto = Módulo de resistência da seção em relação à borda inferior = Módulo de resistência da seção em relação à borda superior = = ANÁLISE BORDA SUPERIOR
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Outro método que pode ser aplicado é o método das cargas balanceadas, onde as cordoalhas são idealizadas como carregamento contrário às cargas gravitacionais, seguindo a equação descrita abaixo.
= ; Onde: = representa a carga balançada P = força efetiva de protensão
f = flecha do cabo em relação ao “CG” da peça l = vão livre entre apoios
3.1. Parâmetros do concreto Quando pensamos em estruturas protendidas, estamos pensando em estruturas que tenham um bom desempenho, sendo assim é bom conhecermos um pouco das propriedades do concreto, ou melhor, alguns parâmetros referentes à resistência.
= 25 KN/m³ - Peso específico = 10−/ °C Coeficiente de dilatação térmica = = Resistência à compressão característica aos 28 dias ,= –
Resistência à compressão média aos “j” dias
Resistência à compressão característica aos “j” dias
A NBR 6118: 2014 permite que na ausência de ensaios específicos a resistência à
compressão do concreto possa ser estimada pela fórmula descrita abaixo:
,= . , sendo = {.[−//] Sendo:
s = 0,38 para concreto com cimento CPIII e IV – lentos s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II – normais s = 0,20 para concreto de cimento CPV (ARI) – rápidos t = idade efetiva do concreto em dias, t < 28
Verificação da resistência do concreto com os três tipos de cimento citados acima: C30;
f ck,j aos 4 dias
β= e{,.[−//]. 30= 16,05 / CPI e PII, s = 0,25 β= e{,.[−/ ]. 30= 19,88 / CPV, s = 0,20 β= e{,.[−/ ]. 30= 21,60 CPIII e IV, s = 0,38;
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(adaptado de Chust, 2012)
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(adaptado de Chust, 2012) 3.2. Aços de protensão Os aços de protensão assim como os aços de concreto armado são facilmente identificados pelas suas siglas, no caso CP 190 = concreto protendido com
=
1900 MPa, além desta descrição pode-se adicionar a denominação RN ou RB que
quer dizer relaxação normal ou relaxação baixa, os aços de relaxação baixa são confeccionados por um procedimento especial onde recebem um alongamento em temperatura controlada, desta forma estes aços possuem menor perda em função da relaxação. Atualmente no Brasil tem-se as seguintes classes de aços fabricados: CP145 RB, CP150 RB, CP170 RN, CP 175 RB, CP175 RN, CP190 RB e CP210 RB. Pode-se adquirir estes aços de protensão nos formatos de fios, barras ou cordões também chamados de cordoalhas. 13
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3.3. Limites de tensões nos aços de protensão de acordo com a NBR 6118:2014 (item 9.6.1.2.1) Armaduras pré-tracionadas: AÇO TIPO RN
AÇO TIPO RB
≤ 0,0,970 7 ≤ 0,0,875 7
Armaduras pós-tracionadas: AÇO TIPO RN
≤ 0,0,877 4
AÇO TIPO RB
σpi ≤ 0,0,872f 4f ppyktk
= 1900 MPa; = 0,74.1900= 1406 Mpa = 0,9. = ; = 0,90.1900= 1710 Mpa = 0,82.1710= 1402 MPa. Verificar a tensão
para uma cordoalha ½” = 12,7 mm RB (pós-tração):
Obs.: a norma brasileira permite que, no caso de cordoalhas engraxadas com
citados acima possam ser elevados para:
aços de classe RB, os valores de “
”
e 0,88. , portanto faremos um novo cálculo. = 1900 Mpa; = 0,80.1900= 1520 Mpa = 0,90. = ; 0,90.1900= 1710 Mpa = 0,88.1710= 1504,8 MPa. Por isso adotamos 1500 MPa. Verificar a força de protensão para a cordoalha citada acima. Pi = σpi . Ap 1Mpa= 1N/m²; 1500Mpa= 1500MN/m²= 1500. 10 .N/m² . N = N = KN c² c² c² = 1 cm² KN. 1 cm² = 150KN= 15000Kgf = 15 tf = . = c²
0,80.
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Aplicação numérica. A viga abaixo será solicitada com uma carga permanente g = 15 KN/m e outra variável q = 12 KN/m.
= 0 No segundo caso vamos trabalhar com protensão excêntrica = 30 (constante) No primeiro caso vamos trabalhar com protensão centrada
Material: Concreto C40 Primeira hipótese; não serão permitidas tensões de tração. Segunda hipótese; compressão máxima no concreto = 0,60. . Características geométricas:
= 0,16 m²; = 0,00551 ; = 0,02319 m³; = 0,01520 m³
Primeiro caso: e = 0
= . = 120 KN.m = . = 96 KN.m
Tensões devido à carga permanente “g”
= , = 7894,7 KN/m² = ,− = -5194,8 KN/m²
Tensões devido à carga acidental “q”
= , = 6315,8 KN/m² = ,− = -4155,8 KN/m² 20
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; e = 0
Tensões devido à carga “
”
= , = em toda a extensão da viga Condição de tensão nula na fibra inferior
, + 7894,7 + 6315,80 ≤ 0
≥ , ≤ fibra superior; OK!! ≤ 0,60.40000
Condição de tensão de compressão 0,60. .
−, – 5194,8 – 4155,8 -23561,2 ,
Na seção junto aos apoios só atua a força de protensão, estamos admitindo os
momentos fletores como nulos, portanto a compressão será uniforme de – 14210,6
≤
KN/m² 0,60.40000
OK!!
Segundo caso: e = 0,30 m Tensões devido à carga permanente “g”
= , = 7894,7 KN/m² = ,− = -5194,8 KN/m² Tensões devido à carga acidental “q”
= , = 6315,8 KN/m² = ,− = -4155,8 KN/m²
Tensões devido à carga “
= - , - ,,. = , + ,,.
”; e = 0,30 m
Ao longo de toda a peça
Condição de tensão nula na fibra inferior
= - , - ,,. + 7894,7 KN/m² + 6315,8 KN/m² ≤ 0 ≥ 546,8KN Economia!! Condição de tensão de compressão ≤ 0,60. . fibra superior + ,., 5194,8 4155,8 = - 5666,8 KN/m² = −, , , - 5666,8 KN/m² ≤ 0,60. . 40000 OK!! –
–
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4. APLICAÇÃO EM VIGAS E LAJES Pode-se listar uma infinidade de campos onde é possível aplicar a protensão, obviamente com o avanço da tecnologia esse espaço torna-se ainda mais vastos, sendo assim devemos estar atentos aos novos produtos e as novas formas de abordagem dos assuntos que podem não estar explícito neste material. De acordo com Chust (2012), quando pensamos em infraestrutura logo sabemos os dois campos de aplicação mais empregados que são em fundações e pavimentos de concreto sobre solo, os chamados Radier’s que na verdade são também um tipo de
fundação direta. Podemos destacar ainda o uso da protensão em estacas, vigas de baldrame e reforços de blocos de fundação de pontes e de estádios de futebol, e pisos industriais. A protensão tem se tornado cada vez mais comum nas estruturas de edifícios comerciais e residenciais como pode-se ver a grande aplicação em lajes lisas, cogumelo, nervuradas e vigas. Ressalta-se também o uso da protensão em torres eólicas, estas torres podem chegar a altura de 120 m isto porque sua estabilidade é garantida pelo efeito da protensão.
ED. SEDE AMAZO N EVEHX SAN JOSÉ- CR
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ED. RESIDENCIAL EVEHX CURITIBA - BR
ED. AR 30 0 0 EVEHX CURITIBA -BR
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ED. KENN EDY TOW ERS EVEHX FLORIAN ÓPOLIS- BR
ED. RYAZBEK EVEHX SÃO PAULO -BR
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CVP HOSPITAL EVEHX PONTA GROSSA -BR
ED. ROYAL PALM PLAZ A EVEHX SÃO PAULO- BR
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PISO MC CONSTRUÇÕES EVEHX FLORIANÓPOLIS- BR
PISO HA NGAR 9 EVEHX ASUNCIÓN -PY
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PISO GIANN INI EVEHX CORDOBA -A R
ED. RESIDENCIAL EVEHX PORTO ALEGRE -BR
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ED. PALHA NO BUSSINESS EVEHX LONDRINA -BR
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ED. II CENTENÁRIO EVEHX CHAPECÓ - BR
5. PERDAS DE PROTENSÃO Quando se calcula protensão, o projetista deve prever as perdas da força de protensão relacionadas à força inicial que é igual a área do aço multiplicada pela tensão no aço
= .),
tal força é aplicada pelo aparelho tensor “macaco de
protensão”, as perdas ocorrem antes da transferência da protensão ao concreto (perdas por cravação), durante a transferência (perdas imediatas por atrito) e ao longo do tempo ou seja, durante toda a vida útil da estrutura (perdas progressivas). Neste trabalho trataremos especificamente das perdas por atrito que são as mais relevantes no ato da protensão. 5.1. Perdas iniciais ou imediatas Pode se considerar as seguintes perdas no instante 0: perdas por atrito entre o aço e a bainha, perdas por acomodação das cunhas e encurtamento imediato do concreto. Comumente adota se o traçado das cordoalhas como sendo curvos ou poligonais, quando inserimos a força de protensão as cordoalhas tendem a se retificar reagindo contra as paredes das bainhas criando assim atrito entre si. De acordo com a NBR
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6118:2014 em seu item 9.6.3.3.2.2 as perdas por atrito podem ser calculadas com a expressão descrita abaixo:
P (X) = . [−.∑ +.] Onde: = força inicial aplicada pelo macaco na ancoragem ativa.
X = é a distância medida a partir da ancoragem no sentido do cabo sempre em metros.
∑ = somatória dos ângulos de desvio, em radianos. = coeficiente de atrito entre cordoalha e bainha.
k = coeficiente de perda por metro, representa perdas parasitárias construtivas que provocam desvios não intencionais. Quando há carência de dados experimentais os coeficientes anteriores podem ser estimados como descritos a seguir:
= 0,50 = 0,30 = 0,20 = 0,05
Entre cabo e concreto sem bainha Entre barras ou fios com saliência e bainha metálica Entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica Entre cordoalhas e bainha engraxada
k = 0,01
O esquema acima representa uma viga contínua, pede-se para calcular a força final de protensão. Dados: a) Usar cordoalhas engraxadas de ½” CP 190 RB
= 1900 Mpa; = 0,80.1900= 1520 Mpa = 0,90. = ; 0,90.1900= 1710 Mpa = 0,88.1710= 1504,8 MPa. 1500 MPa adotado!
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Adotar área da armadura =
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Ap = 1 cm²
KN. 1 cm² = 150KN= 15000Kgf = 15 tf Pi = σpi . Ap = c² = 0,05 k = 0,01
b) Perdas por atrito
∑ α = 2. 0,75 0,15/8= 0,148 rd Px (8 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 148,3 KN trecho ABC: ∑ α = 0,148+ 2. 1,10 0,15/10= 0,338 rd Px (18 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 146,2 KN trecho ABCD: ∑ α = 0,338+ 2. 1,201,10/2= 0,438 rd Px (20 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 145,3 KN trecho ABCDE: ∑ α = 0,438+ 2. 1,201,10/2= 0,538 rd Px (22 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 144,4 KN trecho ABCDEF: ∑ α = 0,538+ 2. 1,10,15/10= 0,728 rd Px (32 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 142,3 KN trecho ABCDEFG: ∑ α = 0,728+ 2. 0,750,15/8= 0,878 rd Px (40 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 140,7 KN trecho AB:
Diagrama das forças calculadas acima:
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Cálculo do alongamento teórico
l = á .. . = 200. 10KPa.1.1.10−m²= 200 . 10KN Comprimento de alongamento = 40 m +, ,+, .10 + ,+, .2 + ,+, .2 + Área = .8 + .10 + ,+, .8 = 5812,2 KNm ,+, l = 5812,2/ (200 . 10KN) = 0,29 m l = 290 mm; l/l= 290/40= 7,25 mm/m Cálculo das perdas por atrito com traçado misto usando os mesmos dados da v iga acima.
∑ α = 0 Px (1 m) = 150 [e−,.+ ,.,.]= 149,9 KN trecho ABC: ∑ α = 0+ 2. 0,75 0,15/7= 0,171 rd Px (8 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 148,1 KN trecho ABCD: ∑ α = 0,171+ 2. 1,50,3/10= 0,41 rd Px (18 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 145,6 KN trecho ABCDE: ∑ α = 0,41+ 0 = 0,41 rd Px (20 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 145,5 KN trecho ABCDEF: ∑ α = 0,41+ 0 = 0,41 rd Px (22 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 145,35 KN trecho AB:
32
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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∑ α = 0,41+ 2. 1,50,3/10= 0,6488 rd Px (32 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 142,9 KN trecho ABCDEFGH: ∑ α = 0,648+ 2. 0, 7 50, 0 15/7 = 0,820 rd Px (39 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 141,2 KN trecho ABCDEFGHI: ∑ α = 0,820+ 0 = 0,820 rd Px (40 m) = 150 [e−,.,+ ,.,.]= 141,1 KN trecho ABCDEFG:
Diagrama das forças calculadas:
Cálculo do alongamento teórico
l = á . . . = 200. 10KPa.1.1.10−m²= 200 . 10KN Comprimento de alongamento = 40 m +, ,+, .7 + ,+, .10 + ,+, .2 Área = .1 + .2 + ,+, .10 + ,+,.7 ,+, .1 = 5819,85 ,+, KNm l = 5819,85/ (200 . 10KN) = 0,291 m l = 291 mm; l/l= 291/40= 7,275 mm/m
33
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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Pré-liminares por balanceamento de cargas. Dados: h = 20 cm; bw = 700 cm; peso específico do concreto = Balançar 80% do peso próprio.
³
No geral costuma equilibrar o peso próprio mais 10% das cargas totais. Para carga concentrada P = QL/4f cs
x1
x2
x3
d2
d1
a
b
L1 = 7 m
b
ci
L2 = 9 m
L3 = 10 m
a
L4 = 9 m
cs= cobrimento superior; ci= cobrimento inferior (valor adotado 4 cm) X1, X2 e X3, distância de ancoragem dos cabos adicionais. (valores adotados 0,20.L) Tramo L1
= - = 4 = 6 cm ℎ = 20 cm 4cm -4cm= 12 cm / / /1() ∗ / / 6 6 12 /1(12) ∗ 700 290cm = − = 700 290 = 410 cm / 2∗ ∗ / 2∗120 ∗ ,, = 1,71KN/m Número de cordoalhas = peso próprio/ –
Número de cordoalhas = 0,20m.
. 7m . 0,8 34
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
, 0,20. ³ .7.0,8}/ } = 16,4
Adotado 16
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cordoalhas
Reação no apoio A= 16*1,71*2,90= 79,34 KN Reação no apoio B = 16*1,71*4,10= 112,176 KN Força de levantamento = 16*1,71*7= 191,52 KN Tramo L2
/ 8∗ ∗ / 8∗120 ∗ , = 1,42 KN/m (L2) Número de cordoalhas = peso próprio/ ,} = 19,7 Adotado 20 cordoalhas 0,20. .7.0,8}/ ³
Reação no apoio B = 20*1,42*4,5= 127,80 KN
Reação no apoio C = 20*1,42*4,5= 127,80 KN Força de levantamento = 20*1,42*9= 255,60 KN Cordoalhas que nascem
∗∗ / = 29,4 KN/m Reação em B = 41,6 KN Tramo L3
/ 8∗ ∗ / 8∗120 ∗ , = 1,15KN/m Número de cordoalhas = peso próprio/ ,} = 24,3 Adotado 24 cordoalhas 0,20. .7.0,8}/ ³
Reação nos apoios C e D = 24*1,15*5= 138 KN Força de levantamento = 24*1,15*10= 276 KN Cordoalhas que nascem
∗∗ / = 17,80 KN/m Reação em B = 32 KN Tramo L4 análogo à L1
= - = 4 = 6 cm ℎ = 20 cm 4cm -4cm= 12 cm –
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SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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/ / /1 () ∗ / / 6 6 12 /1(12) ∗ 900 373cm = − = 900 373 = 527 cm / 2∗ ∗ / 2∗120 ∗ ,, = 1,03KN/m Número de cordoalhas = peso próprio/ , 0,20. ³ .7.0,8}/ } = 27,1 Adotado 27 cordoalhas
Reação no apoio D = 27*1,03*5,27= 146,56 KN Reação no apoio E = 27*1,03*3,73= 103,73 KN
Força de levantamento = 27*1,03*9= 250,29 KN Cordoalhas que nascem
∗∗ / = 10,80 KN/m Reação em D = 21,6 KN Verificar o somatório das reações. -79,34 KN - 112,176 KN + 191,52 KN –(2*127,80 KN) + 255,60 KN +41,6 KN – (29,4 KN/m*1,4) – (2*138 KN) + 276 + 32 KN – (1,8*17,80KN/m) -146,56 KN-103,73 KN+250,29 KN+21,6 KN-(2*10,80 KN/m) = 0 OK!!! 5.2. Exemplos de dimensionamento Dimensionar a viga a seguir usando cordoalha engraxada e depois usando cordoalhas aderentes, realizar as verificações de serviço e depois a verificação na ruptura. Dados da seção Área = 0,30 m²; wi= ws = 0,05 m³ Concreto C40 Aço CP 190 RB ½”
Aço CA 50
36
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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Caso 1
Pré-dimensionamento da armadura ativa Primeiro caso: e = 40 cm
++ = 797,36 KN.m
Tensões devido ao momento das car gas “g e q”
= ,, = 15947,2 KN/m² =- ,, = -15947,2 KN/m²
Condição de tensão nula na fibra inferior;
, - ,,. + ,, ≤ 0
≥ 1407 Condição de tensão de compressão ≤ 0,60. . fibra superior; ,. , = − , + , , = - 9,4 KN/m² - 9,4 KN/m² ≤ 0,60. . 40000 OK!! –
Caso 2
37
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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≤ 3684 KN/m² , - ,,. , ≤ 3648 ≥ 1374 Condição de tensão de compressão ≤ 0,70. . fibra superior; ,. = - 12,1 KN/m² = − + , , , - 12,1 KN/m² ≤ 0,70. . 40000 OK!! Condição de tensão tração inferior
–
Caso 3
≤ - 19600 KN/m² , - ,,. , ≥ 19600 ≤ 2462 KN/m² Condição de tensão de tração borda superior ≤ 3319 KN/m² , + ,,. , ≤ 3319 ≤ 2488 Condição de tensão compressão borda inferior
Verificação à ruptura
38
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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(adaptado de Alexandre Emerick)
(adaptado de Alexandre Emerick)
39
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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Roteiro para verificação à ruptura por flexão da viga acima com protensão aderente.
Calcular a posição da linha neutra a partir da equação de equilíbrio
.= 0,8x.b.0,85fcd.(dp-0,4x) 134500= .= 0,8x.30.0,85400/1,4.(90-0,4x) Md=
X= 29,5 cm
Valor de cálculo da protensão Pd= γP.P∞
Pd= 1*16000*9 Pd= 144000 Kgf/m
Calcular alpha “P”
p = Ep/EC p = 196/30,1 p = 6,5
Calcular tensão σcp Pd/bh+(12.Pd.ep^2)/(bh^3) 144000/30*100+(12.144000.40^2)/((30*100)^3) 48,10 Kgf/cm²
Calcular a força de neutralização Pn. Força fictícia que anulas as tensões no concreto na altura do CG da armadura. Pn= Pd+ p.Ap.IσcpI Pn= 144000 +6,5.12,6.48,10 147940 Kgf/m
. = (147940)/ (12,6*196) = 59,90/10= 5,99/1000
Calcular a pré-deformação ou pré-alongamento da armadura (e )
Deformação do aço relacionada à deformação do concreto ( )
,= (3,5/29,5)*90-3,5 = 7,17/1000 , * Deformação total do aço ( ) =+ , ,= 13,16/1000 Tensão na armadura protendida ( valores extraídos do gráfico acima
= *13,16+0,760= 0,79 = 0,79*(19000/0,98) = 15316 Kgf/cm²
Calcular a tensão de cálculo no aço de protensão (σpd) σpd = σp/γs sendo γs= 1,15
15316/1,15= 13318 Kgf/cm² 40
SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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Calcular a resultante de compressão no concreto (Rcc) Rcc = 0,8x.b.0,85.fcd 0,8*29,5*30*0,85*400/1,4 = 171943 kgf
Calcular a resultante de tração na armadura de protensão (Rpt) Rpt = σpd.Ap
13318*12,6 = 167807 Kgf Verificar se a seção está em equilíbrio, ou seja, Rpt deve ser igual a Rcc. Caso não esteja prosseguir para o tópico seguinte.
<
Rpt Rcc, portanto devemos adicionar armadura passiva.
Impor condição de equilíbrio Rst = Rcc – Rpt 171943-167807= 4136 Kgf
Calcular a armadura frouxa necessária As = 4136/4348 = 0,90 cm² Obs.: teoricamente não haveria a necessidade de armadura frouxa.
Roteiro para verificação à ruptura por flexão da viga acima com protensão não aderente.
Calcular a posição da linha neutra a partir da equação de equilíbrio
.= 0,8x.b.0,85fcd.(dp-0,4x) 134500= .= 0,8x.30.0,85400/1,4.(90-0,4x) Md=
X= 29,5 cm
Valor de cálculo da protensão Pd= γP.P∞
Pd= 1*16000*9 Pd= 144000 Kgf/m
Calcular alpha “P”
p = Ep/EC p = 196/30,1 p = 6,5
Calcular tensão σcp Pd/bh+(12.Pd.ep^2)/(bh^3) 144000/30*100+(12.144000.40^2)/((30*100)^3) 48,10 Kgf/cm²
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SUMÁRIO
CÁLCULO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS
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Calcular a força de neutralização Pn. Força fictícia que anulas as tensões no concreto na altura do CG da armadura. Pn= Pd+ p.Ap.IσcpI Pn= 144000 +6,5.12,6.48,10 147940 Kgf/m
Calcular a tensão de neutralização (σpn) σpn= Pn/Ap
147940/12,6 = 11741 Kgf/cm² ou 1174,1 MPa
Calcular a taxa geométrica de protensão (
= Ap/bd
)
12,6/30*100*100= 0,42%
Calcular a tensão no aço de protensão (σp)
σp= σpn + 700 + fck/100
≤ σpe + 4200 ≤ fpyk, para relação L/altura ≤ 35
σp= σpn + 700 + fck/300
≤ σpe + 2000 ≤ fpyk, para relação L/altura ≥ 35
11741+700+(400*100*0,0042)= 13393Kgf/cm² ou 1339,3 MPa
Calcular a tensão de cálculo no aço de prote nsão (σpd) σpd = σp/γs sendo γs= 1,15
13393/1,15 = 11646 Kgf/cm² ou 1164,6 Mpa
Calcular a resultante de compressão no concreto (Rcc) Rcc = 0,8x.b.0,85.fcd 0,8*29,5*30*0,85*400/1,4 = 171943 kgf
Calcular a resultante de tração na armadura de protensão (Rpt) Rpt = σpd.Ap
11646*12,6 = 146740 Kgf Verificar se a seção está em equilíbrio, ou seja, Rpt deve ser igual a Rcc. Caso não esteja prosseguir para o tópico seguinte.
>
Rcc Rpt, portanto necessita armadura frouxa.
Impor condição de equilíbrio Rst = Rcc – Rpt 171943-146740= 25203 Kgf
Calcular a armadura frouxa necessária As = Rst/fyd 25203/4348= 5,8 cm²
adotar 3Ø16m
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SUMÁRIO
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Exemplo de dimensionamento de protensão admitindo os dados a seguir: Laje de um edifício residencial Localização urbana Carga acidental de 1,5 KN/m² NBR 6120 Carga de revestimento 1,2 KN/m² Cargas de paredes 2,18 KN/m² CAA II Cordoalha engraxada ½” CP 190 RB
Concreto C30 com relação a/c ≤ 0,55 Cobrimentos, inferior e superior 30 mm Protensão limitada Nível 2 – tabela 13.4 NBR 6118:2014 Verificar ELS-F combinação frequente – tabela 13.4 NBR 6118:2014 Combinação frequente /Ψ1=0,4 - tabela 11.2 NBR 6118:2014
Classe de agressividade ambiental (CAA) de acordo com a (NBR 6118:2014)
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SUMÁRIO
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Requisitos para a qualidade do concreto de acordo com a classe de agressividade ambiental (CAA) – (NBR 6118:2014)
Prefixo “a” informa que tanto para CP quanto para CA, o concreto empregado deve
cumprir os requisitos da NBR 12655. Proteção das armaduras de acordo com a classe de agressividade ambiental (CAA) (NBR 6118:2014)
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Nível de Protensão de acordo com a classe de agressividade ambiental (CAA) (NBR 6118:2014)
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Combinações de serviço (NBR 6118:2014)
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Combinações últimas (NBR 6118:2014)
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Coeficientes de ponderação das ações (NBR 6118:2014)
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Dados da seção Bw= 800 cm ou 8 m Seção transversal = 8*0,20m =1,60 m² h=20 cm; wi=ws= 0,053 m³ Cargas atuantes Peso próprio = 25KN/m³*0,20m*8 m = 40 KN/m Revestimento + paredes = (2,18 KN/m²+1,2 KN/m²)*8m= 27 KN/m Carga acidental = 1,5 KN/m²*8 m= 12 KN/m Critério 1 – Método: Balanceamento de cargas Balançar peso próprio + 15 % das paredes mais revestimento e 10 % da acidental. Flecha = 0,06 m C= (0,707/1,707)*9 = 3,73 m Wb à equilibrar= 40KN/m + (0,15*27+0,10*12)= 45,25 KN/m P =(45,25 KN/m*3,73² m)/(2*0,06) = 5246KN/120KN= 44 cordoalhas Momento positivo combinação frequente
Critério 2 – Método: Resistência dos materiais Segunda opção pela resistência dos materiais. Para o momento positivo
≤
(-P/1,60)- (P0,06/0,053)+(356/0,053) 3041
≥
P 2100 KN = 18 cordoalhas
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Momento negativo combinação frequente
Para o momento negativo
≤
(-P/1,60)- (P *0,06/0,053)+(580/0,053) 3041
≥
P 4503 KN = 38 cordoalhas
Adotaremos 44 cordoalhas pelo balanceamento de cargas. Análise da borda inferior no vão combinação frequente (-5280/1,6) – ((5280*0,06)/0,053))+(354/0,053)= - 2598 KN/m² = -2,6 MPa OK! Análise da borda superior no vão combinação frequente (-5280/1,6) +((5280*0,06)/0,053))-(354/0,053)= - 4000 KN/m² = -4 MPa OK! Análise no ato da protensão Momento negativo (PP)
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Momento positivo (PP)
Análise da borda inferior no meio do vão somente PP
< Análise da borda superior no meio do vão somente PP (-5280/1,6) + ((5280*0,06)/0,053))-(196,5/0,053)= -1030,5N/m²
Rpt Rcc
Não há necessidade de armadura frouxa!
Verificar se a seção está em equilíbrio, ou seja, Rpt deve ser igual a Rcc. Caso não esteja prosseguir para o tópico seguinte.
Impor condição de equilíbrio Rst = Rcc – Rpt
Calcular a armadura frouxa necessária As = Rst/f
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