APOSTILA Completa Nelson Carnaval Raciocinio Logico

Raciocínio Lógico

LÓGICA PROPOSICIONAL

Prof. Nelson Carnaval 3) Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. (Princípio do terceiro excluído)

Proposição Chama-se proposição toda sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Letras são usualmente utilizadas para denotar proposições. As letras convencionais para esse propósito são p,q,r,s,... . O valor lógico de uma proposição verdadeira é denotado por V e o de uma proposição falsa é representado por F. São exemplos de proposições:

p : O Brasil exporta minérios. q : Márcia não foi ao shopping. r : O número 1 é primo. s: zero é um número par. Não são proposições: 1. 2. 3. 4. 5.

Que dia é hoje? Esta frase é falsa. x + 10 = 25 Ele é jogador de futebol. Que Deus lhe ajude.

As sentenças optativas, interrogativas, exclamativas e imperativas não são consideradas proposições. Também não são proposições as chamadas sentenças abertas ou funções proposicionais, como 3 e 4. Ao atribuirmos um valor para a variável, a sentença aberta se transforma em proposição. Sendo assim, são proposições as sentenças: 7 + 10 = 25 Lúcio é jogador de futebol. A sentença “Esta frase é falsa” não é uma proposição porque é impossível definirmos se ela é verdadeira ou falsa. Se dissermos que ela é verdadeira, então ela será falsa. E ao contrário, se dissermos que ela é falsa, então ela será verdadeira.

As três leis do pensamento A lógica formal ou aristotélica se baseia em três princípios fundamentais, chamados “leis do pensamento”.

Proposição composta Denomina-se proposição composta a proposição formada (ou conectada) por duas ou mais proposições simples. Ao fazermos uso da linguagem combinamos idéias simples através de conectivos como “e”, “ou”, “se..., então”, “se, e somente se” obtendo, então, proposições compostas. O valor lógico de uma proposição composta é totalmente determinado pelos valores lógicos das proposições simples que a constituem e pela forma como elas estão ligadas através do conectivo. Exemplos: 1) João é alto e Mário é gordo. 2) A governanta mentiu ou o cozinheiro é culpado. 3) Se Sócrates é homem, então ele é mortal. 4) Um número natural é par se e somente se não for ímpar.

Tabela-verdade É muito importante a organização da valoração das proposições em uma tabela que é chamada tabela-verdade. O número de linhas da tabela depende da quantidade das proposições iniciais. Se houver uma proposição, existirão duas linhas (V e F); se houver duas proposições, existirão quatro linhas (VV, VF, FV, FF); se houver três proposições, existirão oito linhas; se houver n proposições, existirão 2n linhas.

Conectivo “e” Quando duas proposições simples são ligadas pelo conectivo e, a proposição composta é chamada conjunção das proposições simples iniciais. A proposição composta “p e q” é representada simbolicamente por p  q Tabela-verdade: p V V F F

1) Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. (Princípio da identidade) 2) Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo, sob uma mesma condição. (Princípio da não-contradição)

q V F V F

pq V F F F

Conclusão:

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“ A proposição p  q só é verdadeira se as proposições p e q forem verdadeiras”.

que” ,”não é verdade que”, etc. Assim, a negação da proposição “O gato mia”, pode ser “O gato não mia”, “Não é verdade que o gato mia” ou “É falso dizer que o gato mia”.

Exemplos: (V) A Terra gira em torno do Sol e 3 é

ímpar.

Tabela-verdade:

(F) 2 é primo e 13 é composto.

p V F

~p F V

Conectivo “se..., então” As sentenças que têm a forma “se p, então q”, são chamadas de proposições condicionais e representadas simbolicamente por p  q.

Conectivo “ou”

Tabela-verdade: p V V F F

Quando duas proposições simples são ligadas pelo conectivo ou, a proposição composta resultante é chamada disjunção das proposições simples iniciais. A proposição “p ou q” é representada simbolicamente por p  q

pq V F V V

Conclusão : “A proposição composta p  q só é falsa se p é verdadeira e q é falsa”.

Tabela-verdade: p V V F F

q V F V F

q V F V F

p q V V V F

Conclusão: “A proposição p  q só é falsa se as proposições p e q forem falsas”. Exemplos: (V) 2+4 = 7 ou 3+5 = 8

Exemplos: (V) Se Maceió é a capital de Sergipe, então Belém é a capital do Piauí. (F) Se 2 é par e primo, então 3 é ímpar e composto.

Conectivo “se, e somente se” As sentenças que têm a forma “p se, e somente se, q” são chamadas de proposições bicondicionais e são representadas por p  q. Tabela-verdade:

(F) 4 é ímpar e 1 é primo.

p V V F F

Modificador “não” O operador “não” é utilizado para formar a negação de uma proposição. A negação de uma proposição p é representada por ~ p, que é verdadeira quando p é falsa e é falsa quando p é verdadeira. A negação de uma proposição pode também ser feita utilizando expressões como “é falso dizer

q V F V F

pq V F F V

Conclusão: “A proposição composta p  q só é falsa se só uma das proposições p e q for falsa”. Exemplos:

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Raciocínio Lógico (V) A Terra é quadrada se e somente se Pelé não foi um jogador de futebol. (F) 4+5 = 8 se e somente se Platão foi um grande filósofo

Prof. Nelson Carnaval sempre verdadeira. Contradição é a proposição composta que é sempre falsa. Contingência é a proposição composta que pode ser verdadeira ou falsa.

Exercícios com tabela-verdade Exercícios Básicos 01, Sejam as proposições p: Luísa é rica e q: Maria é inteligente. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

01. Construir a tabela-verdade de cada das seguintes proposições.

uma

a) p  ~ ( p  q)

a) Luísa é rica e Maria é inteligente. b) Se Luísa é rica, então Maria é inteligente.

b) (p  q)  ( ~p  ~q)

c) Não é verdade que Maria é inteligente. d) É falso dizer que Luísa é rica. c) (p

 q)  (p  ~q)

02. Se a proposição p é verdadeira e q é falsa, determinar o valor lógico da proposição: (~

p  q )  ( p ~ q )

03. Sejam as proposições: p: Pedro é alto q: Mário é rico

Equivalência lógica

Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a)

pq:

Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade 01. Demonstrar a equivalência:

b) p  q :

~ (p  q)  ~ p  ~ q

c) ~ p  q :

d)

p ~ q

Tautologia, contradição e contingência

02. Se p e q são proposições, então a proposição p  (~q) é equivalente a: a) b) c) d) e)

~(p  ~ q); ~(p  q); ~q  ~ p; ~(q  ~ p); ~(p  q).

Tautologia é a proposição composta que é

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03. Considere a seguinte proposição “na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza a) b) c) d) e)

um silogismo uma tautologia uma equivalência uma contingência uma contradição

04. Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e) médico, músico, professor.

03. Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é Juiz, então Breno não é inteligente. Se Carlos é carioca, então Breno é inteligente. Ora, Jorge é juiz. Logo: a) Jorge é juiz e Breno é inteligente b) Carlos é carioca ou Breno é inteligente c) Breno é inteligente e Ana é artista d) Ana não é artista e Carlos é carioca e) Ana é artista e Carlos não é carioca

a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

QUESTÕES DE CONCURSO 01. Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo.

02. Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamen-

04. Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, a) não durmo, estou furioso e não bebo b) durmo, estou furioso e não bebo c) não durmo, estou furioso e bebo d) durmo, não estou furioso e não bebo e) não durmo, não estou furioso e bebo

05. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês. b) Pedro é português e Alberto é alemão. c) Pedro não é português e Alberto é alemão. d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês. e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês.

06. Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luiz compra um livro. Se Luiz compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma. Logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África; b) Celso não compra um carro e Luiz não compra um livro; c) Ana não vai à África e Luiz compra um livro; d) Ana vai à África ou Luiz compra um livro; e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.

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Prof. Nelson Carnaval e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

07. André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Denis é culpado. Ora, Denis é culpado. Logo: a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentes c) André e Beto são inocentes d) Caio e Denis são culpados e) André e Denis são culpados

12. Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo: a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.

08. Uma professora de Matemática faz as três seguintes afirmações: X>QeZ Y e Q > Y, se e somente se Y > Z R  Q, se e somente se Y = X. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) b) c) d) e)

X > Y > Q > Z; X > R > Y > Z; Z < Y < X < R; X > Q > Z > R; Q < X < Z < Y.

09.Se a = b + p, então a = z + r. Se a = z + r, então a = w - r. Por outro lado, a = b + p, ou a = 0. Se a = 0, então a + u = 5. Ora a + u ≠ 5. Logo, a) b) c) d) e)

w-r=0 a≠b+p a=w-r z+r≠w-r b+p≠w-r

10. Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo. b) Bernardo é barrigudo ou César é careca. c) César é careca e Maria é magra. d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e) Lúcia é linda e César é careca. 11. Ou lógica é fácil ou Artur não gosta de lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então lógica é difícil. Daí, segue-se que, se Artur gosta de lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil d) Lógica é difícil e Geografia é difícil

c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro. d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto. e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro. 13. Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje: a) vejo Lucia, e não estou deprimido e não chove, e faz calor. b) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor. c) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove , e não faz calor. d) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor. e) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor. 14. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira” A expressão X + Y é positiva. O valor de 4  3  7 . Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? ( ) certo

( ) errado

15. Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. ( ) certo ( ) errado

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Raciocínio Lógico 16. Considere que as seguintes verdadeiras:

Prof. Nelson Carnaval afirmações sejam

• Se é noite e não chove, então Paulo vai ao cinema. • Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema, então Márcia vai ao cinema. Considerando que, em determinada noite, Márcia não foi ao cinema, é correto afirmar que, nessa noite, não fez frio, Paulo não foi ao cinema e choveu. ( ) certo

( ) errado

17.Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 1. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P  (¬R  ¬Q) ( ) certo ( ) errado 2. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P¬Q ( ) certo ( ) errado 3. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P  Q é falsa. ( ) certo ( ) errado 4. O número de valorações possíveis  ¬R)  P é inferior a 9. ( ) certo

para (Q

( ) errado

18. (CESPE) 1- Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P)  (¬ Q) também é verdadeira. ( ) certo

( ) errado

2- Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R  (¬ T) é falsa. ( ) certo ( )errado 3- Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição

(P  R)  (¬ Q) é verdadeira. ( ) certo ( ) errado 19. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. 20. (CESPE) Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. 1. ¬P  Q é verdadeira. ( ) certo ( ) errado 2. ¬ [(¬ P  Q)  (¬ R  S)] é verdadeira. ( ) certo ( ) errado 3. [P  (Q  S)]  (¬ [(R  Q)  (P  S)]) é verdadeira. ( ) certo ( ) errado 4. (P  (¬ S))  (Q  (¬ R)) é verdadeira. ( ) certo ( ) errado 21. (CESPE) A proposição simbólica (PQ)R possui, no máximo, 4 avaliações V. 22.(CESPE) Julgue os itens subsequentes. I. As tabelas de valorações das proposições PQ e Q¬P são iguais. ( ) certo

( ) errado

II. As proposições ¬(P  (¬Q)) e Q  (¬P) possuem tabelas de valorações iguais. ( ) certo

(

) errado

23. (CESPE) Uma proposição composta é uma tautologia quando todos os seus valores lógicos são V, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Então, a proposição

 A  ( A  B)   B é

uma

tautologia. ( ) certo

( ) errado

24. (CESPE) Julgue o item a seguir: As proposições (P v Q)  S e (P  S) v (Q  S) possuem tabelas de valorações iguais. ( ) certo

( ) errado

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(CESPE) Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Com base nessas informações, julgue os itens 25, 26, 27 e 28 . 25. Considere as seguintes proposições. A: Maria não é mineira. B: Paulo é engenheiro. Nesse caso, a proposição “Maria não é mineira ou Paulo é engenheiro”, que é representada por A  B ,é equivalente à proposição “Se Maria é mineira, então Paulo é engenheiro”, simbolicamente representada por (A)  B . ( ) certo

( ) errado

26. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta ( ) certo

 A  B  C

é igual a 6.

( ) errado

27. Atribuindo-se todos os valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição terá três valores lógicos F. ( ) certo

( ) errado

28. Considerando-se como V a proposição “sem linguagem, não há acesso à realidade”, concluise que a proposição “ Se não há linguagem, então não há acesso à realidade” é também V. ( ) certo

( ) errado

29. As proposições proposições A B e (¬B) (¬A) têm a mesma tabela verdade. 30.A proposição “Se a vítima não estava ferida ou a arma foi encontrada, então o criminoso errou o alvo” fica corretamente simbolizada na forma (¬A) B C. 31. Em um posto de fiscalização da PRF, cinco veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas de identificação cobertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como ilustradas abaixo, em que as interrogações indicam os caracteres ilegíveis. Os

policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par. Para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas

A) B) C) D) E)

I, II e V. I, III e IV. I, III e V. II, III e IV. II, IV e V.

32. A partir das seguintes premissas: Premissa 1: “X é A e B, ou X é C” Premissa 2: “Se Y não é C, então X não é C” Premissa 3: “Y não é C” Conclui-se corretamente que X é: a) A e B b) Não A ou não B c) A ou B d) A e não B e) Não A e não B 33. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos convidados a uma festa. - Gustavo chegou antes de Alberto e depois de Danilo - Gustavo chegou antes de Beto e Beto chegou antes de Alberto se e somente se Alberto chegou depois de Danilo. - Carlos não chegou junto com Beto se e somente se Alberto chegou junto com Gustavo. Logo, a)Carlos chegou antes de Alberto e depois de Danilo. b) Gustavo chegou junto com Carlos. c) Alberto chegou junto com Carlos e depois de Beto. d) Alberto chegou depois de Beto e junto com Gustavo. e) Beto chegou antes de Alberto e junto com Danilo. 34. Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Q > R, logo: a) S > T e Z ≤ P b) S ≥ T e Z > P c) X ≥ Y e Z ≤ P d) X > Y e Z ≤ P e) X < Y e S < T 35. Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1. Logo: a) 2w – 3r = 0 b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r c) M ≠ 2x + 3y d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r e) M = 2w – 3r 36. Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero

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é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo, a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo. c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo. e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo. 37. Dadas as proposições compostas:

I )3  4  7  53  125 II )3  2  6  4  4  9

III ) 3  1  ( não é um nº real) IV ) 2  1  20  2 V)2  0 2  0 A que tem valor lógico FALSO é a a) I

b) II

c) III

d) V

e) IV

38. Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial, então ele cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo: a) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial. b) Francisco não cometeu um grave delito. c) Francisco cometeu um grave delito. d) Alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. e) Alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial.

a) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa. 02. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. b) Rodrigo é culpado; c) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado; d) Rodrigo mentiu; e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 03. Dada a proposição: “ Se Carla é solteira, então Maria é estudante”. Uma proposição equivalente é: a) “Carla é solteira e Maria é estudante”; b) “Se Maria é estudante, então Carla é solteira”; c) “Se Maria não é estudante, então Carla não é solteira”; d) “Maria é estudante se, e somente se, Carla é solteira”; e) “Se Carla é solteira, então Maria não é estudante”.

Necessário e suficiente Na proposição condicional p  q, p é chamado de premissa, antecedente, hipótese, ou ainda condição suficiente para q. A proposição q é chamada de consequente, tese, conclusao ou ainda condição necessária para q. p é suficiente para q

EQUIVALÊNCIA LÓGICA : Modus Tollens Existe uma equivalência muito útil na resoluçao de problemas de concurso. Ela se denomina modus tollens. Esta equivalência é facilmente demonstrada através da tabela-verdade. pq

 ~q  ~ p

01. Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: "Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa". Uma proposição logicamente equivalente à do economista é:

pq q é necessário para p 01. Se chove, então faz frio. Assim sendo: a) Chover é condição necessária para fazer frio. b) Fazer frio é condição suficiente para chover. c) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio. d) Chover é condição suficiente para fazer frio. e) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover. 02. Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:

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Raciocínio Lógico a) Marcos estudar é conclusão necessária para João não passear; b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear; c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear; d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear; e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 03. Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha; b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha; c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha; d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha; e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. 04. O rei ir à caça é condição necessária para a duquesa sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 05. Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio: a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.

Prof. Nelson Carnaval d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

Outra equivalência para ...então

se,

p  q ~p  q 01. Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. d) se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. e) se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 02..Dizer que “Ana é alegre ou Beatriz é feliz” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer: a) b) c) d) e)

se Ana é alegre, então Beatriz é feliz; se Beatriz é feliz, então Ana é alegre; se Ana é alegre, então Beatriz é feliz; se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz; se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

03.Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é espanhol d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 04. A sentença “penso, logo existo” é logicamente equivalente a: a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo. d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso

Leis de De Morgan Negação do “e” e do “ou”

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Raciocínio Lógico

Prof. Nelson Carnaval

A negação de uma proposição composta cujo conectivo é “e” ou “ou” é feita com a utilizaçao das seguintes leis: 1) ~ (p  q)  ~ p  ~ q 2) ~ (p  q)  ~ p  ~ q Exemplo:

EXERCÍCIOS

1. A governanta mentiu e o mordomo é culpado. Negação: A governanta não mentiu ou mordomo não é culpado

o

01. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico

Quantificadores Para transformar uma sentença aberta em uma proposição, temos duas maneiras: 1) Atribuir um valor à variável 2) Quantificar a variável Assim, a sentença “x+5 = 9” não é uma proposição, mas, “Existe x, tal que x+5 = 9” é uma proposição. Existem dois quantificadores: Quantificador existencial:  (existe) Quantificador universal:  (para todo, qualquer que seja) Obs1.: Para negar que “Todo elemento do conjunto A tem a propriedade P”, basta afirmar que “Existe um elemento de A que não tem a propriedade P”. Exemplo: Proposição: Todos os advogados são honestos.

c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas. 02. Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 03. A negação da afirmação “Me caso ou compro sorvete” é:

Negação: Existe advogado que não é honesto.

a) b) c) d) e)

Obs2.: Para negar que “Existe um elemento no conjunto A que tem a propriedade P”, basta afirmar que “Todos os elementos do conjunto A não têm a propriedade P”. Exemplo: Proposição: Existe cobra listrada que não é venenosa. Negação: Toda cobra listrada é venenosa

me caso e não compro sorvete; não me caso ou não compro sorvete; não me caso e não compro sorvete; não me caso ou compro sorvete; se me casar, não compro sorvete.

04. A negação de “ x > 4 ou x < 2” é: a) b) c) d) e)

x < 4 e x > 2; x < 4 ou x > 2; x  4 e x  2; x  4 ou x  2; se x  4, então x < 2.

05. (CESPE) A negação da proposição O juiz de-

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Raciocínio Lógico terminou a libertação de um estelionatário e de um ladrão. É expressa na forma O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão ( ) certo

Prof. Nelson Carnaval d) Se estiver chovendo, eu não levo o guardachuva. e) Está chovendo e eu não levo o guardachuva.

( ) errado

06. A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 07. A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é: a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. 08. A negação da frase “Todos os homens dirigem bem” é: a) todos os homens dirigem mal. b) todas as mulheres dirigem bem. c) todas as mulheres dirigem mal. d) nenhum homem dirige bem. e) existe homem que dirige mal.

Negação de se...então Negar uma proposição equivale a obter a condição em que ela é falsa. A proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. ~(p  q)  p  (~q) 01. A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guardachuva. b) Não está chovendo e eu levo o guardachuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guardachuva.

02. A negação da sentença “se você estudou Lógica então você acertará esta questão” é: a) se você não acertar esta questão, então não estudou lógica; b) você não estudou lógica e acertará esta questão; c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão; d) você estudou lógica e não acertará esta questão; e) você não estudou lógica e não acertará esta questão. 03. Duas pessoas que sabiam lógica, um estudante e um garçom, tiveram o seguinte diálogo numa lanchonete: Garçom: “O que deseja?” Estudante: “Se eu comer um sanduíche, então não comerei salada, mas tomarei sorvete”. A situação que torna a declaração do estudante falsa é: a) o estudante não comeu salada, mas tomou sorvete; b) o estudante comeu sanduíche, não comeu salada e tomou sorvete; c) o estudante não comeu sanduíche; d) o estudante comeu sanduíche, mas não tomou sorvete; e) o estudante não comeu sanduíche, mas comeu salada. 04. Considere as seguintes proposições. A: Está frio. B: Eu levo o agasalho. Nesse caso, a negação da proposição composta “Se está frio, então eu levo o agasalho” A  B - pode ser corretamente dada pela proposição “Está frio e eu não levo o agasalho” A  ( B ) . ( ) certo

( ) errado

05. Considere a afirmação P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

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Raciocínio Lógico b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

Prof. Nelson Carnaval d) existem mais corruptos do que desonestos. e) existem desonestos que são corruptos. 03. Considerando-se que todos os virginianos são organizados e que Aurélio é organizado, temos que: a) b) c) d) e)

Aurélio não é virginiano. Aurélio não pode ser virginiano. Aurélio é virginiano. Aurélio pode ser virginiano. Aurélio possui ascendente em virgem.

04. Em uma cidade, é verdade que “algum físico é desportista” e que “nenhum aposentado é desportista”. Portanto, nessa cidade:

Diagramas lógicos É importante a representação através de diagramas de três proposições básicas: 1) Todo a é b.

a) b) c) d) e)

nenhum aposentado é físico; nenhum físico é aposentado; algum aposentado não é físico; algum físico é aposentado; algum físico não é aposentado.

05. Em uma pequena comunidade, sabe-se que “nenhum filósofo é rico” e que “alguns professores são ricos”. Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:

2) Algum a é b.

3) Nenhum a é b.

Exercícios 01. Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar. Segue-se que: a) algum diplomata não é gordo; b) algum diplomata sabe nadar; c) nenhum diplomata sabe nadar; d) nenhum diplomata é gordo; e) algum gordo sabe nadar. 02. Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos", é correto concluir que a) quem não é corrupto é honesto. b) existem corruptos honestos. c) alguns honestos podem ser corruptos.

a) alguns filósofos são professores. b) alguns professores são filósofos c) nenhum filósofo é professor d) alguns professores não são filósofos e) nenhum professor é filósofo. 06. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história c) nenhum aluno de português é aluno de matemática d) todos os alunos de informática são alunos de matemática e) todos os alunos de informática são alunos de português 07. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também professores de dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns

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Raciocínio Lógico professores de piano, são também professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então: a) nenhum professor de violão é professor de canto b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro d) todos os professores de piano são professores de canto e) todos os professores de piano são professores de violão

Cardinalidade de um conjunto 01. Em um grupo de 54 pessoas, 20 praticam futebol, 15 praticam natação, 12 praticam vôlei, 8 praticam futebol e natação, 6 praticam futebol e vôlei, 2 praticam natação e vôlei e 1 pratica todos os esses três esportes. O número de pessoas que não pratica nenhum esporte é: a) b) c) d)

22 23 24 25

02. Uma escola de uma cidade do interior fez uma excursão com alguns de seus alunos à cidade de São Paulo para visitar o zoológico. Desses alunos: * 18 já estiveram antes em São Paulo, mas nunca haviam ido a um zoológico; * 28 já tinham ido a algum zoológico, mas nunca haviam ido a São Paulo; * ao todo, 44 já haviam ido antes a um zoológico; * ao todo, 40 nunca estiveram antes em São Paulo. Pode-se concluir que a escola levou, nessa excursão: a) b) c) d) e)

84 alunos; 80 alunos; 74 alunos; 76 alunos; 66 alunos.

03. Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em Desenho, 7 em Matemática e em História, 5 em Matemá-

Prof. Nelson Carnaval tica e Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam:  v o número de aprovados em pelo menos uma das três disciplinas;  w o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas;  x o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas;  y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas;  z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas. Os valores de v, w, x, y, z são respectivamente: a) b) c) d) e)

30, 17, 9, 7, 2; 30, 12, 23, 3, 2; 23, 12, 11, 9, 7; 23, 11, 12, 9, 7; 23, 11, 9, 7, 2.

Argumento Argumentar é apresentar uma proposição como sendo uma conseqüência de uma ou mais proposições. Um argumento é constituído pelas proposições p1, p2,..., pn, chamadas premissas, nas quais nos baseamos para garantir a proposição c, chamada conclusão. Um argumento não é uma proposição que devemos classificar como verdadeira ou falsa; ele estabelece uma relação entre as premissas e a conclusão, garantindo a conclusão a partir das premissas. Dizemos que um argumento é válido quando as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras. O argumento que não é válido é chamado sofisma ou falácia. Se um argumento é constituído de duas premissas e uma conclusão, é denominado silogismo. Exemplos: 01. Todos os gatos são mamíferos. Todos os mamíferos têm pulmão. Portanto, todos os gatos têm pulmão.

02. Todos os cachorros miam. Os gatos não miam. Logo, cachorros não são gatos.

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Raciocínio Lógico

03. Das alternativas abaixo, assinale aquela que corresponde a uma argumentação correta.

Prof. Nelson Carnaval III Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os processos estavam sobre a mesa. IV O juiz não analisou os processos.

a) Toda pessoa elegante se veste bem. Como João se veste bem, então ele é elegante.

b) Todo cidadão honesto paga seus impostos. Como João não é honesto, então ele não paga seus impostos.

V Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja. A partir do texto e das informações e premissas acima, é correto afirmar que a proposição. 04. Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então ele estava lendo os processos na sala de audiências. é uma conclusão verdadeira. ( ) certo ( ) errado

c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele não é cliente satisfeito.

05. Se os processos não estavam sobre a mesa, então o juiz estava lendo os processos na sala de audiências não é uma conclusão verdadeira. ( ) certo ( ) errado 06. Os processos não estavam sobre a bandeja é uma conclusao verdadeira. ( ) certo ( ) errado

d) Todo bom empresário tem uma secretária eficiente. Como João não é um bom empresário, então a secretária dele não é eficiente.

07. Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve no escritório é uma conclusao verdadeira. ( ) certo ( ) errado

e) Todo político responsável promove projetos sociais. Como João não é político responsável, então ele não promove projetos sociais.

Uma dedução é uma sequência de proposições em que algumas são premissas e as demais são conclusões. Uma dedução é denominada válida quando tanto as premissas quanto as conclusões são verdadeiras. Suponha que as seguintes premissas sejam verdadeiras. I Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os analisou. II O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências.

ASSOCIAÇÃO LÓGICA 01. Os carros de Artur, Bernardo e César são não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente: a) b) c) d) e)

cinza, verde e azul azul, cinza e verde azul, verde e cinza cinza , azul e verde verde, azul e cinza

02. Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de

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Raciocínio Lógico sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo, a) O vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) O vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) Os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) Os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) O vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.

03. Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem: a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo. b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo. c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo. d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis. e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis.

04. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:

Prof. Nelson Carnaval a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha. 05. Alice, Maria, Úrsula, Pilar e Delma são amigas que cursaram juntas o ensino fundamental. Hoje, elas vivem nas cidades de Arapiraca, Maceió, União de Palmares, Palmeira dos Índios e Delmiro Gouveia, onde exercem as profissões de advogada, modelo, urologista, professora e dentista. Considere como verdadeiras as seguintes afirmações:  a letra inicial do nome de cada uma delas, bem como as iniciais de suas respectivas profissões e cidades onde vivem, são duas a duas distintas entre si;  a modelo não vive em União dos Palmares;  Maria não é urologista e nem dentista; também não vive em União dos Palmares e nem em Palmeira dos Índios;  Pilar vive em Delmiro Gouveia, não é modelo e tampouco advogada;  Alice e Delma não residem em Maceió;  Delma não é modelo e nem professora. Com base nas informações dadas, é correto concluir que, com certeza, Úrsula a) b) c) d) e)

vive em Maceió é advogada vive em Arapiraca é modelo vive em Palmeira dos Índios

06. Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.

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Raciocínio Lógico Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio” ! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,

Prof. Nelson Carnaval zado. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. Caso queira, use a tabela na coluna de rascunho como auxílio. I A CNH do motorista do veículo A era de categoria inferior à exigida. II Mário não era o condutor do veículo A. III Jorge era o condutor do veículo B.

a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa.

07. Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo, a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luís. b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático. c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo. d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do que o matemático. e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista. 08. Em um posto de fiscalização da PRF, os veículos A, B e C foram abordados, e os seus condutores, Pedro, Jorge e Mário, foram autuados pelas seguintes infrações: (i) um deles estava dirigindo alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH vencida; (iii) a CNH apresentada pelo terceiro motorista era de categoria inferior à exigida para conduzir o veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro era o condutor do veículo C; o motorista que apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B; Mário era quem estava dirigindo alcooli-

IV A CNH de Pedro estava vencida. V A proposição “Se Pedro apresentou CNH vencida, então Mário é o condutor do veículo B” é verdadeira. Estão certos apenas os itens a) I e II. b) I e IV. c) II e III. d) III e V. e) IV e V. 09. Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se ainda que ou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois, respectivamente: a) psicóloga, economista, arquiteta. b) arquiteta, economista, psicóloga. c) arquiteta, psicóloga, economista. d) psicóloga, arquiteta, economista. e) economista, arquiteta, psicóloga.

10. São cinco casas, cada uma de cor diferente, habitadas por homens de nacionalidades diferentes, fumando cigarros diferentes, tomando bebidas diferentes e tendo animais diferentes. 12345-

O inglês mora na casa vermelha. O espanhol tem um cachorro. Na casa verde bebe-se café. O ucraniano bebe chá. A casa verde fica na extrema direita e imediatamente à esquerda a casa de cor marfim. 6- O homem que fuma MINISTER é dono dos caramujos. 7- Fuma-se MALBORO na casa amarela. 8- Na casa do meio bebe-se leite.

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Raciocínio Lógico 9- O norueguês mora na primeira casa à esquerda. 10- O homem que fuma LS mora na casa ao lado do homem da raposa 11- Fuma-se MALBORO ao lado esquerdo em que se guarda o cavalo. 12- Quem fuma ORLEANS bebe suco de laranja. 13- O japonês fuma HOLLYWOOD. 14- O norueguês mora pegado à casa azul. 15- O dono do cachorro mora na casa cor de marfim.

Prof. Nelson Carnaval - Fernando que tinha um ótimo relacionamento com todos, sentou-se ao lado do homem excessivamente magro e defronte ao solteiro. Nessas condições, é correto afirmar que o homem de 25 anos era a) b) c) d) e)

Ari Bento Davi Élson Fernando

Pergunta-se: a) Quem bebe a água? b) Quem é o dono da zebra?

Questões de ordem 01. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo:

Em torno da mesa 01. Em torno de uma mesa quadrada, encontramse sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. 02. Seis membros de uma equipe de trabalho – Ari, Bento, Carlos, Davi, Élson e Fernando – sentaram-se nas seis cadeiras que estavam ao redor de uma mesa de formato circular. Sabe-se que um deles usava óculos, outro era tagarela, outro era excessivamente magro, outro detestava Davi, outro tinha 25 anos e o último era solteiro, características estas próprias de apenas um deles. Considere que - a pessoa que detestava Davi sentou-se à frente de Bento; - o que usava óculos sentou-se diante de Carlos que, por sua vez, estava entre o que tinha 25 anos e o que detestava Davi; - o homem excessivamente magro sentou-se à frente de Ari, ao lado do que usava óculos e imediatamente à esquerda daquele que detestava Davi; - a pessoa de 25 anos sentou-se entre Carlos e o homem que sentou-se à frente daquele que detestava Davi;

a) Fátima corre menos do que Rita; b) Fátima corre mais do que Marta; c) Juliana corre menos do que Rita; d) Marta corre mais do que Juliana; e) Juliana corre menos do que Marta. 02. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna, logo: a) b) c) d) e)

Vera é mais gorda do que Bruna; Cátia é menos gorda do que Bruna; Bruna é mais gorda do que Cátia; Vera é menos gorda do que Cátia; Bruna é menos gorda do que Vera.

03. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo: a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria; b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria; c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal; d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina; e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria. 04. Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas, de acordo com as afirmativas abaixo: I - A bola amarela está depois da branca; II - A bola azul está antes da verde; III - A bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes dessa;

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Raciocínio Lógico IV - A bola verde é a menor de todas. a) b) c) d) e)

branca, amarela, azul e verde branca, azul, amarela e verde branca, azul, verde e amarela azul, branca, amarela e verde azul, branca, verde e amarela.

Verdades e mentiras 01. Raul e Cida formam um estranho casal. Raul mente às 4as, 5as e 6as feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Cida mente aos domingos, 2as e 3as feiras, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia ambos declaram: “Amanhã é dia de mentir”. O dia em que foi feita essa declaração é: a) 3ª feira b) 4ª feira c) 6ª feira d) sábado e) domingo 02. Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente, a) preto, branco, azul b) preto, azul, branco c) azul, preto, branco d) azul, branco, preto e) branco, azul, preto 03. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade. Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são respectivamente: a) b) c) d)

Janete, Tânia, Angélica Janete, Angélica, Tânia Angélica, Janete, Tânia Angélica, Tânia, Janete

Prof. Nelson Carnaval e) Tânia, Angélica, Janete 04. Três pessoas – Amália, Beatriz e Cássia – aguardam atendimento em uma fila, em posições sucessivas. Indagadas sobre seus nomes, a que ocupa a primeira posição entre as três diz: “Amália está atrás de mim”; a que está na posição intermediária diz: “Eu sou a Beatriz”; a que ocupa a terceira posição diz: “Cássia é aquela que ocupa a posição intermediária”. Considerando que Amália só fala a verdade, Beatriz mente algumas vezes e Cássia só fala mentiras, então a primeira, a segunda e a terceira posições são ocupadas respectivamente por a) b) c) d) e)

Cássia, Amália e Beatriz Cássia, Beatriz e Amália Amália, Beatriz e Cássia Beatriz, Amália e Cássia Beatriz, Cássia e Amália

05. Três amigos – Luiz, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: “ Marcos é casado com Teresa” Luís: “ Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina”. Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra”. Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) b) c) d) e)

Sandra, Teresa, Regina Sandra, Regina, Teresa Regina, Sandra, Teresa Teresa, Regina, Sandra Teresa, Sandra, Regina

06. Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de

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Raciocínio Lógico Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 07. Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.” Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum. Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respectivamente: a) O feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa. b) A linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão. c) O valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão. d) A linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro. e) O feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro. 08. Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria

Prof. Nelson Carnaval do assaltante, segundo quatro características, a saber: estatura, cor de olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode. Testemunha 1: “ Ele é alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode”. Testemunha 2: “Ele é baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode”. Testemunha 3: “Ele é de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode”. Testemunha 4: “Ele é alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode”. Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do assaltante, e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas. Assim, o assaltante é: a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode; b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode; c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode; d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode; e) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode. 10. Um professor de lógica encontra-se em viagem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara-se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delfa e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é.Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: “ Beta é mentimano”; Beta: “ Gama é mentimano”; Gama: “ Delta é verdamano”; Delta: “ Épsilon é verdamano”. Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica conclui corretamente que o verdamano é: a) b) c) d) e)

Delta Alfa Gama Beta Épsilon

09. Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas deram quatro diferentes descrições

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Raciocínio Lógico

Prof. Nelson Carnaval d) Dedelim e) Ebelim

Quem é o culpado? 01. Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e crano é inocente. b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e crano é inocente. c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e crano é inocente. d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e crano é culpado. e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e crano é culpado.

SiSiSiSiSi-

02. Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente: a) b) c) d) e)

culpado, culpado, culpado; inocente, culpado, culpado; inocente, culpado, inocente; inocente, inocente, culpado; culpado, culpado, inocente.

03. Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei – que era um pouco surdo – não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: “Cebelim é inocente”. Cebelim: “Dedelim é inocente”. Dedelim: “Ebelim é culpado”. Ebelim: “Abelim é culpado”. O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, que embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era: a) Abelim b) Bebelim c) Cebelim

04. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Márcio e Paulo. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando “Sou inocente” Celso: “Edu é o culpado” Edu: “ Paulo é o culpado” Márcio: “ Armando disse a verdade” Paulo: “ Celso mentiu” Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Márcio e) Paulo 05. Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. A afirmou que C matou o líder. B afirmou que D não matou o líder. C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, quem matou o líder? a) A b) B c) C d) D 06. Carmem, Gerusa e Maribel são suspeitos de um crime. Sabe-se que o crime foi cometido por uma ou mais de uma delas. Já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se que, se Carmem é inocente, então Gerusa é culpada. Sabe-se também que ou Maribel é culpada ou Gerusa é culpada, mas não as duas. Maribel não é inocente. Logo: a) b) c) d) e)

Gerusa e Maribel são as culpadas; Carmem e Maribel são culpadas; Somente Carmem é inocente; Somente Gerusa é culpada; Somente Maribel é culpada.

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07. Três casas A, B e C – foram pintadas, cada uma, com uma das seguintes cores: verde, amarela ou branca, não necessariamente nesta ordem. Sabendo que somente uma das seguintes afirmações é verdadeira: A é verde B não é verde C não é amarela Então, pode-se afirmar que: a) b) c) d) e)

A é amarela, B é branca e C é verde. A é amarela, B é verde e C é branca. A é branca, B é verde e C é amarela. A é branca, B é amarela e C é verde. A é verde, B é amarela e C é branca.

Exercícios de travessias 01. Uma pessoa em viagem pelo interior do país, com uma raposa, uma galinha e um saco de milho, chega à margem de um rio, e o único meio de que dispõe para atravessar é um pequeno barco que não suporta mais do que o homem e um de seus pertences de cada vez. Ela imaginou que não seria prudente deixar a raposa sozinha com a galinha nem esta com o saco de milho, porque a raposa comeria a galinha e esta comeria o saco de milho. Determinar o número de travessias necessárias para chegar à outra margem salvando todos os seus pertences. a) b) c) d) e)

6 7 5 8 9

Moedas 01.Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos , totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser no máximo igual a a) 28 b) 30 c) 34 d) 38 e) 40 02. Das 30 moedas que estão no caixa de uma padaria, sabe-se que todas têm apenas um dos três valores: 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos. Se as quantidades de moedas de cada valor são iguais, de quantos modos poderá ser dado um troco de 1 real a um cliente, usandose exatamente 12 dessas moedas  a) três b) quatro c) cinco d) seis e) sete 04. No caixa de uma lanchonete há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos, sendo 15 unidades de cada tipo. Usando essas moedas, de quantos modos distintos uma pessoa pode receber de troco a quantia de R$ 1,00  a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

02. Determinar como pode uma caravana formada de 100 turistas, todos adultos, atravessar um rio nas seguintes condições: o único barco disponível está ocupado por duas crianças que sabem conduzir; contudo, ele é tão pequeno que se ambas as crianças saem, só um adulto pode ocupar o seu lugar. Diga, ainda, quantas viagens deverá dar o barco para atravessar a caravana, deixando as duas crianças do mesmo lado do rio onde foram encontradas? a) 400 b) 300 c) 296 d) 404 e) 200

Páginas de livro 01. Se um livro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro ? a) 160 b) 168 c) 170

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d) 176 e) 180 02. Se na numeração das páginas de um livro foram usados 405 algarismos, quantas páginas tem esse livro a) 164 b) 171 c) 176 d) 184 e) 181

Observe que no esquema do jogo seguinte duas das casas em branco foram sombreadas. Você deve preencher o esquema de acordo com as regras do jogo, para descobrir quais números deverão ser colocados corretamente nessas duas casas. 1 6

5 03. Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo usou 747 algarismos, então o número de páginas desse livro é a) b) c) d) e)

350 315 306 298 285

4 2 1

3 4

3 1 4

6

6 6

Assim, a soma dos números que deverão ocupar as casas sombreadas é igual a: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

04. Considere que a seqüência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados. 1234567891011121314151617181920... O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa seqüência é a) 9 b) 8 c) 6 d) 3 e) 1

SÓ PARA TREINAR

7 9

3 1

2 7

2 8 Sudoku

O Mini Sudoko é um interessante jogo de raciocínio lógico. Ele consiste de 36 quadrados de uma grade 6 X 6, subdividida em seis grades menores de 3 X 2. O objetivo do jogo é preencher os espaços em branco com os números de 1 a 6, de modo que os números colocados não sejam repetidos nas linhas e nem nas colunas de grade maior, e nem nas grades menores, como mostra o exemplo abaixo.

2 5 4 3 6 1

6 3 1 2 5 4

1 6 2 5 4 3

5 4 3 1 2 6

4 1 5 6 3 2

5 6 9 2 4 7 8 7 1 4 3 6 2 2 8 4 2 6 7 3 8 9 6

3 2 6 4 1 5

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Prof. Nelson Carnaval Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é a) b) c) d) e)

C I O P R

03. Na figura abaixo tem-se um triângulo composto por algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas.

Z

Seqüências

P

X ---- Q V ---- N R U ---- ? M S T

01. Abaixo tem-se uma sucessão de quadrados, no interior dos quais as letras foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

A

B

C

D

D

C

C

D

A

B

B

A

?

Segundo esse padrão, o quadrado que completa a A

D

A

C

B

A

B

C

D

B

D

C

sucessão é

B

C

D

B

D

A

C

A

d)

a)

02. O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério ? N M L J I - - E D C - A

a) b) c) d) e)

H L J U Z

04. São dados três grupos de 4 letras cada um:

e)

-

Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, se as letras foram dispostas obedecendo determinado critério, a letra que deveria estar no lugar do ponto de interrogação é

b)

c) (MNAB) : (MODC) : : (EFRS):

Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então o grupo de quatro letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que o segundo tem com primeiro é a) (EHUV) b) EGUT) c) (EGVU) d) (EHUT) e) (EHVU) 05. Observe que, no esquema abaixo as letras que compõem os dois primeiros grupos foram dispostas segundo determinado padrão. Esse mesmo padrão deve existir entre o terceiro grupo e o quarto, que está faltando.

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ZUVX : TQRS : : HEFG : ? Considerando que a ordem alfabética adotada, que é a oficial, exclui as letras K, W e Y, o grupo de letras que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) b) c) d) e)

QNOP BCDA IFGH DABC FCDE

06. Considere a seqüência: (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, x) Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a a) b) c) d) e)

12 10 9 7 5

Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é a) 210 b) 206 c) 200 d) 196 e) 188 10. Complete a série: B D G L Q ..... a) b) c) d) e)

R T V X Z

07. Os termos da seqüência (77,74,37,34,17,14,...) são obtidos sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa seqüência, obtidos segundo essa lei é a) 21 b) 19 c) 16 d) 13 e) 11

Casa dos pombos 08. Na seqüência seguinte o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 63(21)9; 186(18)31; 85(?)17 O número que está faltando é a) b) c) d) e)

15 17 19 23 25

01. Em certa escola, há 20 professores, 10 dos quais torcem pelo Flamengo, 6 pelo Vasco, 3 pelo Botafogo e 1 pelo Fluminense. Qual é o número mínimo de professores dessa escola que deve haver em um grupo para que possamos estar certos de que, nesse grupo, haja pelo menos três professores que torçam por um mesmo clube? a) b) c) d) e)

09. Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.

?

4 7 8 9 12

02. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados. Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta “estado civil” são “casados” ou “solteiro”, qual o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fa-

0

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zer essa pergunta para obtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados? a) b) c) d)

03 09 21 26

03. Em uma festa compareceram 500 pessoas. Podemos ter certeza que entre os presentes: a) existe alguém que aniversaria em maio; b) existem dois que não aniversariam no mesmo dia; c) existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia; d) existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia; e) nenhum aniversaria no mesmo dia que outro.

04. Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontra-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é: a) b) c) d) e)

6 4 2 8 10

05. Em um quarto totalmente escuro, há uma gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares de meias pretas. Devido à escuridão, é impossível ver a cor das meias. Quantas meias devem ser retiradas para que se tenha certeza de que, entre as meias retiradas, haja pelo menos um par de meias pretas? a) b) c) d) e)

8 6 5 4 2

Lógica com números 01. Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é a) 87. b) 95. c) 92. d) 85. e) 96. 02 Determinar o algarismo que deve ser colocado no lugar de A na operação a seguir: 847398654 x 638952 = 54144706A770608 a) b) c) d) e)

2 5 8 3 4

03. Um certo número X, formado por dois algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos algarismos de X é, por conseguinte, igual a: a) 7 b) 10 c) 13 d) 9 e) 11 04. Considerando que XYYXXYXYXYYXXY mesmo que 38833838388338 e WZVVZWVZWWZVZZ é o mesmo 69119619669199, pode-se concluir ZXVYYXWZWZVXYZ é o mesmo que

é o que que que

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a) a) b) d) e)

91388169693189; 93188369693189; 93188396961389; 93811369698319; 93188369691389.

05. Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm3 de volume, 3 cubos pretos, cada um com 2 cm3 de volume e 1 cubo azul de 3 cm3 de volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposição, necessariamente um deles a) terá volume menor do que 3 cm3. b) terá volume maior do que 3 cm3. c) será uma bola. d) será azul. e) será preto.

RACIOCÍNIO VERBAL 01. Em relação a um código de cinco letras, sabese que: - TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele; - PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta; - PARVO, CONTO e SENAL têm, cada um, duas letras comuns com o código, uma que se encontra na mesma posição, a outra não; - MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição; - TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta. O código a que se refere o enunciado da questão é a) b) c) d) e)

MIECA. PUNCI. PINAI. PANCI. PINCA.

02. Observe que, no esquema abaixo, há uma relação entre as duas primeiras palavras: AUSÊNCIA – PRESENÇA - GENEROSIDADE - ?

03. Observe que na sentença seguinte falta a última palavra. Na empresa, o comportamento funcional é regulado por normas bem definidas e rígidas que o servidor é obrigado a ....... . A palavra que melhor completa essa sentença é a) b) c) d) e)

contornar discutir admirar tolerar acatar

04. Na sentença abaixo falta a última palavra. Você deve procurar, entre as palavras indicadas nas cinco alternativas, a que melhor completa a sentença. O pobre come pouco porque não pode comer mais. O rico come mal porque não sabe comer melhor. A alimentação do primeiro é insuficiente e, a do segundo, ...... a) b) c) d) e)

saborosa. inadequada. racional. sóbria. perigosa.

05. Observe que em cada um dos dois primeiros pares de palavras abaixo, a palavra da direita foi formada a partir da palavra da esquerda, utilizando-se um determinado critério. ASSOLAR - SALA REMAVAM - ERVA LAMENTAM - ? Com base nesse critério, a palavra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) b) c) d) e)

ALMA LATA ALTA MALA TALA

06. Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua, existem 10 letras: 6 do tipo 1 e 4 do tipo II.

A mesma relação deve existir entre a terceira palavra e a quarta, que está faltando. Essa quarta palavra é

As letras do tipo I são b, d, h, k, l, t. As letras do tipo II são g, p, q, y.

a) b) c) d)

Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será acentuada se tiver uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I. Pode-se afirmar que:

bondade. infinito. largueza. qualidade.

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Raciocínio Lógico a) b) c) d) e)

dhtby é acentuada; pyg é acentuada; kpth não é acentuada; kydd é acentuada; btdh é acentuada.

07. Considere o conjunto: X = {trem, subtropical, findar, fim, preguiça, enxoval, chaveiro, ...}, em que todos os elementos têm uma característica comum. Das palavras seguintes, a única que poderia pertencer a X é: a) b) c) d) e)

PELICANO. FORMOSURA. SOBRENATURAL. OVO. ARREBOL.

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Questão de parentesco 01. João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a João, perguntalhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é: a) pai de João b) filho de João c) neto de João d) avô de João e) tio de João

08. Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum éa a) I. b) IV. c) II. d) V. e) III.

09. Na sentença abaixo falta a última palavra. Procure nas alternativas a palavra que melhor completa essa sentença. Padecia de mal conhecido e de tratamento relativamente fácil. Como era imprudente e não se cercava dos devidos cuidados, tornava impossível qualquer a) diagnóstico. b) observação. c) consulta. d) prognóstico. e) conjetura.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

OBJETIVOS DA COMBINATÓRIA Formação de agrupamentos

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Raciocínio Lógico

Prof. Nelson Carnaval Arranjos completos:

Contagem de agrupamentos

Arm , p  m p Tipos de Agrupamentos

Ex: Ar6,3 =

Arranjo Permutações simples:

Permutação

Pm = m!

Combinação Ex: P5 = Critério Diferenciador

Permutações com elementos repetidos:

Quando a ordem dos elementos é importante na formação do agrupamento, este agrupamento é um arranEm caso contrário, é uma combinação. Observação: Permutação é um caso particular de arranjo quando m = p.

m é o número de elementos disponíveis.

Pma ,  , ... 

m! a!  ! !...

Combinações simples:

C m, p 

Am , p Pp

ou C m , p 

m! p!(m  p)!

p é o número de elementos de cada agrupamento. Ex: C8,3 = Fatorial de um número natural n Fatorial de um número natural n é o produto de todos os fatores naturais de 1 a n.

EXERCÍCIOS 1. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quantos números de 3 algarismos distintos podemos obter?

n! = n(n – 1) (n – 2)...1 Ex: 3! = 4! =

2. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas dispondo de 10 pessoas?

0! =

Cálculo Combinatório

3. Quantos números ímpares formados de 3 algarismos distintos podemos formar a partir dos algarismos 1, 3, 4, 5, 6 e 8?

Arranjos simples (sem repetição do elemento)

Am , p 

m! (m  p)!

Ex: A6,4 =

4. Quantos são anagramas da palavra ESCOLA que começam com S e acabam com L?

5. Quantos são os anagramas da palavra AMIGO que começam por consoante?

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Raciocínio Lógico

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6. Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR que apresentam a sílaba VES?

7. Quantas placas de automóveis podem ser obtidas utilizando-se duas vogais distintas seguidas de 4 algarismos diferentes?

8. Resolver o problema anterior admitindo repetição.

9. Quantos anagramas tem a palavra ARARAQUARA?

16. A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é: a) 48 b) 66 c) 96 d) 120 e) ndra 17. Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6.000.000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los? a) 1.800 b) 720 c) 5.400 d) 5.040 e) 2.160

10. Quantos anagramas tem a palavra ITATIAIA? 11. Em um grupo existem 7 rapazes e 8 moças. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser constituídas com a participação de 3 rapazes e 2 moças? 12. Em uma assembléia existem 8 deputados de um partido A e 9 de um partido B, quantas comissões bipartidárias podem ser constituídas com 5 desses elementos e com maioria do partido A?

18. Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é: a) 1.680 b) 1.344 c) 720 d) 224 e) 136

13. Uma palavra tem 5 consoantes e 3 vogais, todas distintas. Quantos são os anagramas que podemos obter de modo que: a) As vogais fiquem juntas? b) As consoantes fiquem juntas: c) As vogais fiquem juntas e as consoantes também? 14. Em uma estante existem 5 livros de matemática e 4 de português todos distintos. De quantas maneiras podemos arrumá-los de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos?

15. Para abrir um cofre eletrônico deve-se digitar uma sequência formada por quatro algarismos distintos, sendo que o primeiro é o triplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa sequência pretende abrir o cofre. Qual é o maior número possível de seqüências que ela deve digitar?

PROBABILIDADE Experimento Aleatório Experimento aleatório é todo experimento que, mesmo repetido várias vezes sob condições seme-

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Raciocínio Lógico

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lhantes, apresenta resultados imprevisíveis. Exemplos: 1) Lançamento de uma moeda. 2) Extração de uma carta de baralho.

P( A) 

a( A) n(U )

Observação: O experimento cujo resultado é previsível é denominado experimento determinístico. Exemplos: 1) Velocidade com que um corpo em queda livre toca o solo. 2) Temperatura em que o leite ferve.

Observações: 1) 0  P(A)  1 2) A =  → P(A) = 0 3) A = U → P(A) = 1 Exemplo: Tirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho comum de 52 cartas, calcular a probabilidade de sair um rei.

Espaço Amostral

n(A) =

Espaço amostral de um experimento aleatório é conjunto de todos os resultados possíveis deste experimento. Notação: U

n(U) = P(A) = Probabilidade de não ocorrer um evento

Exemplos: No lançamento de um dado, temos:

A é o evento “não ocorrer A”. P(A) + P (A) = 1

U= No lançamento de uma moeda temos:

Exemplo: No lançamento simultâneo de dois dados, calcular a probabilidade de obter soma diferente de 11.

U= Evento Evento é o conjunto dos resultados desejados no experimento aleatório. Consequentemente, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Adição de Probabilidades A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é igual à probabilidade de ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade de ocorrer A e B.

Notação: A Exemplo: No lançamento de um dado, o evento obter um número menor que 4 é: A= Observações:

Observação: 1) A é um conjunto unitário → A é um evento ___________ A =  → A é um evento ___________ A = U → A é um evento ___________

Se A  B =  → A e B são chamados de eventos excludentes. Exemplo:

2) Um espaço amostral é equiprovável quando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. Probabilidade

Em uma comunidade de 300 pessoas, 120 lêem o jornal A, 200 lêem o jornal B e 70 os dois. Calcular a probabilidade de escolhendo uma pessoa, ao acaso, ler A ou B.

A probabilidade de ocorrer um evento A é o quociente entre o número de casos favoráveis o número de casos possíveis.

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Raciocínio Lógico Multiplicação de Probabilidade A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual à probabilidade de ocorrer A vezes a probabilidade de ocorrer B, depois que A ocorreu.

Exemplos: 1) Se retirarmos sucessivamente e sem reposição duas cartas de um baralho, qual é a probabilidade de obtermos duas cartas de ouro?

2) Uma urna tem 30 bolas sendo dez brancas e vinte pretas. Se sorteamos duas bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta.

EXERCÍCIOS 1. Um casal pretende ter três filhos. Qual é a probabilidade de serem dois homens e uma mulher?

Prof. Nelson Carnaval contendo os nomes dos candidatos) um candidato para responder a pergunta. Determine a probabilidade (percentual) de um mesmo candidato ser escolhido nos dois sorteios.

7. Numa urna existem 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola, ao acaso, qual é a probabilidade de se obter um número que seja divisor de 15 ou divisor de 20?

8. Dos 40 alunos de uma classe, 8 foram reprovados em Matemática, 10 em Física e 4 em Matemática e Física. Se um aluno é escolhido aleatoriamente, sabendo que ele foi reprovado em Física, qual é a probabilidade de ter sido reprovado também em Matemática? 9. Numa empresa trabalham 10 homens e 5 mulheres. Para formar uma comissão de 4 pessoas é feito um sorteio. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por 2 homens e 2 mulheres?

2. Se retirarmos uma carta de um baralho, qual é a probabilidade dela ser de espadas ou uma dama?

10. Numa turma de estudantes têm-se 15 rapazes e 10 moças. Se escolhermos, ao acaso, dois dos estudantes, qual é a probabilidade de que sejam um rapaz e uma moça?

3. Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um rei ou uma dama?

11. 90 jovens entrevistados para uma pesquisa eleitoral responderam de acordo com os dados da tabela:

4. No lançamento simultâneo de dois dados, determinar a probabilidade de termos números pares nas duas faces sabendo que a soma é 6.

5. Sabendo-se que a face sorteada de um dado é maior que 2, descubra a probabilidade de o número ser par.

6. Cinco candidatos a prefeito participam de um debate. De uma urna contendo os nomes dos cinco candidatos o organizador do debate sorteia um candidato que fará uma pergunta e a seguir sorteia (de uma segunda urna também

Rapazes Moças

Cand. A 20 15

Cand. B 22 20

Nenhum 8 5

Escolhida, ao acaso, uma dessas pessoas entrevistadas, qual é a probabilidade de: a) Ser eleitor do candidato A, se já se sabe que o escolhido é um rapaz? b) Ser um rapaz, sabendo-se que ele é eleitor do candidato B? c) Ser uma moça eleitora do candidato B? d) Não votar em nenhum destes candidatos? 12. Em uma caixa existem 7 lâmpadas boas e 6 defeituosas. Retirando-se três delas ao acaso, qual é a probabilidade de que sejam: a) Pelo menos uma boa? b) Duas boas e uma defeituosa?

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Raciocínio Lógico

Prof. Nelson Carnaval pectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes.

13. Enfileirando-se aleatoriamente sete crianças de idades diferentes, qual a probabilidade (P) de que cada uma das três crianças com idades menores fique intercalada entre duas das quatro crianças de idades maiores? Marque 35P.

14. Depois de escrever cartas para Júnior, Daniel, Renato e Samuel, Antônio lacra os envelopes sem identificar qual carta cada um deles continha. Se Antônio escreve aleatoriamente os endereços nos envelopes, seja p a probabilidade de Júnior e Daniel receberem as cartas que lhes eram destinadas. Indique o inteiro mais próximo de 100p.

18.1.

A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a .

18.2.

Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, concluise que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a .

18.3 A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a .

15. Escolhendo aleatoriamente um natural no conjunto {1, 2, ..., 100} de naturais sucessivos, seja p a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou por 3. Indique 100p.

16. Um economista apresenta proposta de trabalho às empresas X e Y, de modo que: a probabilidade de ele ser contratado pela empresa X é de 0,61, a de ser contratado pela empresa Y é de 0,53 e a de ser contratado pelas duas empresas é de 0,27. Determine a probabilidade (p) de o economista não ser contratado por nenhuma das empresas e indique 100p. 17. Uma escola comprou computadores das empresas X e Y. Quarenta por cento dos computadores foram comprados da empresa X e os demais da empresa Y. A probabilidade de um computador fabricado por X apresentar defeito no primeiro ano de uso é 0,10 e se fabricado por Y é de 0,15. Se um destes computadores é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade percentual de ele não apresentar defeito no primeiro ano de uso?

18. Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus , espadas , copas e ouros . Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, res-

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