Apostila Calculo III

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

CÁLCULO III

CÁLCULO III

1

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INTRODUÇÃO Nos cursos de Cálculo I e II foram estudadas funções de uma variável real. Recordemos que uma função de uma variável  é uma ”lei f” que associa a cada valor de uma variável x , um único valor de uma variável y . Neste caso x é chamada variável independente  e y  a variável dependente . Representa-se y = f ( x ) ou de forma mais detalhada escrevemos: f : A → B 

x

a

y = f(x)

O conjunto A é o domínio  da função f  e indi indica camo moss A = D(f ) . Quando não se faz menção ao domínio da função fica subentendido que é o maior subconjunto dos reais onde a expressão (lei f) faz sentido. Alguns exemplos de funções de uma variável: 1) A área de um círculo é função f unção de seu raio, y

= f (r ) =

π  r 2  .

2) A pressão p , de certa massa gasosa, que se expande isotermicamente (temperatura constante), depende somente, do seu volume v , p =

k  ; k = cte   v 

Entretanto, freqüentemente, temos situações em que uma grandeza depende simultaneamente, simultaneamente, de várias várias variáveis. Por exemplo: 1) A área A de um retângulo de lados x  e y, depende dos valores de x  e y , A = xy . 2) A pressão P  é função do volume V  e da temperatura T  , P n, R = cte  .

=

n R 

T  ; V 

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se uma variável z  depende de duas outras, x  e y , de modo que a cada par ordenado ( x , y ) , está associado um único valor para z , temos uma função de duas variáveis z = f ( x, y ) . EXEMPLOS a) z  = 2 + x 2 + y 2 z = f ( x, y )  = 2 + 12 + 02 = 3 CÁLCULO III

ao par ordenado (1,0) corresponde o número

2

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INTRODUÇÃO Nos cursos de Cálculo I e II foram estudadas funções de uma variável real. Recordemos que uma função de uma variável  é uma ”lei f” que associa a cada valor de uma variável x , um único valor de uma variável y . Neste caso x é chamada variável independente  e y  a variável dependente . Representa-se y = f ( x ) ou de forma mais detalhada escrevemos: f : A → B 

x

a

y = f(x)

O conjunto A é o domínio  da função f  e indi indica camo moss A = D(f ) . Quando não se faz menção ao domínio da função fica subentendido que é o maior subconjunto dos reais onde a expressão (lei f) faz sentido. Alguns exemplos de funções de uma variável: 1) A área de um círculo é função f unção de seu raio, y

= f (r ) =

π  r 2  .

2) A pressão p , de certa massa gasosa, que se expande isotermicamente (temperatura constante), depende somente, do seu volume v , p =

k  ; k = cte   v 

Entretanto, freqüentemente, temos situações em que uma grandeza depende simultaneamente, simultaneamente, de várias várias variáveis. Por exemplo: 1) A área A de um retângulo de lados x  e y, depende dos valores de x  e y , A = xy . 2) A pressão P  é função do volume V  e da temperatura T  , P n, R = cte  .

=

n R 

T  ; V 

FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Se uma variável z  depende de duas outras, x  e y , de modo que a cada par ordenado ( x , y ) , está associado um único valor para z , temos uma função de duas variáveis z = f ( x, y ) . EXEMPLOS a) z  = 2 + x 2 + y 2 z = f ( x, y )  = 2 + 12 + 02 = 3 CÁLCULO III

ao par ordenado (1,0) corresponde o número

2

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b) z 

=

9 - x 2 - y2

Podemos utilizar a representação: f  : D ⊂ R2 → R onde R 2 ( x, y ) a z = f ( x, y ) 

=

{ ( x, y ) / x, y

∈

R}

DOMÍNIO Quando definimos f : D ⊂ R2 → R, ( x,y ) a z = f ( x, y ) , o  conjunto D é o domínio da função z  = f ( x, y ) . A menos, que o domínio domínio D , seja dado explicitamente, considere que ele é o conjunto mais “amplo” possível de pares ordenados ( x, y ) para os quais as operações que definem f ( x, y ) , es estão definidas. No exemplo a) temos D  = R2 , enquanto que no exemplo b) D  = { ( x, y ) ∈ R2 / x2 + y2 ≤ 9 } , ou seja, o círculo de raio 3 e centro (0,0). Graficamente: a)

b)

y 

y 

3

x

−3

3

−3

CONJUNTO IMAGEM Im(f ) = {z = f ( x, y ) / ( x, y ) ∈ D(f ) } No exemplo a) temos Im(f ) = [ 2, ∞ ) e no exemplo b) Im(f ) = [0, 3] EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Determine o domínio das funções abaixo. a) f ( x, y )

=

CÁLCULO III

1 x 2 + y 2

3

x 

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Devemos ter x 2 + y 2 ≠ 0 , ou ( x, y ) Logo: D  = { ( x, y ) ∈ R2 / ( x, y ) ≠ ( 0, 0)

≠

( 0, 0 ) .

=

R2 - { ( 0, 0) }

graficamente D  é constituído pelo plano R 2 exceto a origem (0,0 )

b) f ( x , y )

=

x 2 - y2

Devemos ter x 2 - y2 ≥ 0 , ou seja, x 2 Logo: D  = { ( x, y ) ∈ R2 / x ≥ y c) f ( x, y )

=

≥

y 2 , ou x 

=

1 x 2 + y 2 - a2

+

y .

1

cos ( x + y )   +

x 

Devemos ter x  ≠ 0 , logo, D  = { ( x, y ) ∈ R2 / x a função cosseno não há restrições sobre x e y . d) z 

≥

0 } . Observe que para

≠

y ;a〉0

Devemos ter x 2 + y 2 - a2 〉 0 e y  ≥ 0 . Logo: D  = { ( x, y ) ∈ R2 / x2 + y2 - a2 〉 0 e y

≥

0

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine o domínio de cada uma das funções abaixo: 1) f ( x , y )

=

3) f ( x , y )

=

5) f ( x , y )

=

x2

+

y 2 - 16

1 25 - x2 - y2 1 x-y

+ 3

x-y

2) f ( x , y )

= 3

4) f ( x , y )

=

6) f ( x , y )

=

sen ( x - y )

ln ( y - x2 )

RESPOSTAS

CÁLCULO III

9 - x2 - y2

4

+

x-y

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1) D 

=

3) D 

=

5) D 

=

{ ( x, y ) / x2 { ( x, y ) / x2 { ( x, y ) / y

+

y2

≥ 16

+

y2

≠

≠

2) D = R2

25 }

4) D 

x}

6) D 

{ ( x, y ) / y

=

=

≤

x}

{ ( x, y ) / y 〉 x2

GRÁFICO Recordemos que o gráfico G ( f ) , de uma função f  de uma variável definida em D ⊂ R , é o conjunto dos pares ordenados ( x , y ) , com x ∈ D e y = f (x) . A seguir é apresentado apresentado o gráfico da função y = f ( x ) = x 2  com domínio [− 2,2] y 4

3

2

1

x -2

D ⊂

-1

1

2

No caso de uma função de duas variáveis z = f ( x, y )  com domínio R 2 , o gráfico G ( f ) , é definido por:

G ( f ) = { ( x,

y, f ( x, y )  ) / ( x, y )

∈

D}

⊂

R3 . G ( f ) é uma superfície no  R 3

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Esboçar o gráfico das seguintes superfícies: 1) z = f ( x, y )  = 9 - x2 - y2 D  =

{ ( x, y )

Im ( f )

=

∈

R2 / x 2

+

y2

≤

9}

≡

círculo de centro c ( 0, 0 ) e raio r  = 3

R +

CÁLCULO III

5

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Para fazer um esboço do gráfico façamos inicialmente as intersecções de G ( f ) , com os planos coordenados x = 0 , y  = 0 e z = 0 que são os planos coordenados. 9 - x 2 - y 2 = 0 ⇒ x2 (plano xy ) plano xy de centro C (0,0) e raio r  = 3 . z = 0

+

y2

=

9

(circunferência no

y 3

2

1

x -3

-2

-1

1

2

3

-1

-2

-3

y = 0  ⇒

z

=

9 - x2

⇒ x2

+

z2

=

9 (semi-circunferência no plano xz )

=

9 (semi-circunferência no plano yz )

z 3

2

1

x -3

-2

x = 0  ⇒

-1

z

=

1

9 - y2

2

⇒ y2

3

+

z2

z 3

2

1

y -3

-2

-1

CÁLCULO III

1

2

3

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Esboço de G( f )

3 2 2

1 0 0 -2 0

-2 2

2) Parabolóide z 

=

x2

+

y 2 (parabolóide de revolução)

Intersecção com os planos coordenados: x  = 0 (intersecção com o plano yz ) ⇒ z = y 2 (parábola no plano yz ) z 4

3

2

1

y -2

-1

1

y = 0  (intersecção com o plano xz ) ⇒

2

z

=

x2 (parábola no plano xz )

z 4

3

2

1

x -2

-1

CÁLCULO III

1

2

7

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA z = 0  (intersecção com o plano  xy ) ⇒ x 2 +  y 2 = 0

(origem (0, 0 ) )

8 6 z

2

4 2

1

0 -2

0

y

-1 -1

0 x

1 2

3) Plano

-2

z = 2 − x − y 

Intersecção com os eixos coordenados: x = y = 0 ⇒ z  = 2 , x = z = 0 ⇒ y 

=

2, y

intersecção com os planos coordenados: x = 0 ⇒ z = 2 - y  (reta no plano yz ) y = 0 ⇒ z = 2 − x  (reta no plano xz ) z = 0 ⇒ y = 2 - x  (reta no plano xy ) z 2

y

2 x

CURVAS DE NÍVEL CÁLCULO III

8

=

z=

0 ⇒ x 

=

2

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Dada a função z = f ( x, y )  , as curvas do tipo z = c = cte   são chamadas curvas de nível constante, ou curvas de nível da função f  . EXEMPLOS 1) Obter as curvas de nível da função z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 . Para uma curva de nível c , temos x 2 + y 2 = c , c ≥ 0 . Estas curvas são circunferências no plano xy  de centro C ( 0,0 ) e raio c . Algumas curvas de : 1 1 ⇒ x 2 + y 2 = ; c  = c  = 4 ⇒ x 2 + y 2 = 4 ; c = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 4 4 y 2

c  = 4 1

c = 1 -2

c  =

-1

1 1 4

x 2

-1

-2

2) Obter as curvas de nível da função z = f ( x, y )  = c  = 4 ⇒ x 2 + y 2

=

1 ; c = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 4 c  =

1

1 4

c = 1 c = 4

-2

-1

x 1

2

-1

-2

CÁLCULO III

x 2 + y 2

; c  =

y 2

1

9

.

1 ⇒ x 2 + y 2 = 4 4

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Alguns casos especiais a) Se f ( x , y ) , é a temperatura do ponto ( x , y ) , de uma chapa plana D , as curvas f ( x, y ) = c , são chamadas curvas isotermas . b) Se f ( x , y ) , é a pressão de um gás de volume x  e temperatura y , as curvas f ( x, y ) = c ,  são chamadas linhas isóbaricas . c) Se f ( x , y ) , é o potencial (elétrico ou gravitacional), na região D , do plano x 0y , as curvas f ( x, y ) = c ,  são chamadas curvas equipotenciais. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Fazer um esboço dos gráficos das funções; a) f ( x, y ) = 1 − y 2   b) f ( x, y ) = 6 − x − y   c) f ( x, y ) = 25 − x 2   d) f ( x, y ) = 25 − x 2 − y 2   e) f ( x, y ) = 25 − x 2 − y 2   2) Represente no plano xy  as curvas de nível c = 0 , c = 1 e c = 4 para as funções indicadas: a) z = f ( x, y ) = x 2 + y 2  − 9 b) z = f ( x, y ) = x 2 + y 2  − 9 3) O

potencial

V ( x, y ) =

elétrico

4

17 − x para 4 volts.

2

2

no

ponto

( x, y )

é

definido

V  em volts. Determine a curva eqüipotencial

− y 

4) Seja f ( x, y ) = x 2 + y 2  .Determine as curvas de nível c 1 = 1 e c 2 = 2 .

CÁLCULO III

por

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CONTINUIDADE Seja uma função f , definida em D ⊂ R 2 , com valores em R . Sendo P0 = ( x0 , y 0 ) , um ponto do domínio de f , dizemos que f , é contínua  em P 0 , se para pontos P , “próximos” a P 0 , temos f ( P ) , “próximo” de f ( P 0 ) , ou seja: f é contínua em P0

⇔

P ≅ P0 ⇒ f ( P )

≅

f ( P0 )  

Intuitivamente a continuidade de uma função num ponto P 0 exprime que o gráfico de f  não apresenta um “furo ” ou uma “ruptura ” de qualquer espécie nesse ponto sobre o gráfico de  f  . EXEMPLOS 1) f ( x, y ) = 8 − x − 2y   z 

5

P (1,1,5)

1

y 

1

x 

f  é contínua em P 0 (1,1)

f  é contínua em todos os pontos ( x, y ) ∈ R 2

8 − x − 2y se ( x, y )  ≠ (1,1) 2) f ( x, y ) =  se ( x, y )  = (1,1) 9

CÁLCULO III

D(f ) = R 2

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Com esta definição f não é contínua em (1, 1) . Observe que para pontos próximos de (1, 1) , temos os valores de f ( x, y ) próximos de 5 e não de z 

9

5

1

y 

1

x 

f (1,

1) = 9 . f ( x, y ) é contínua em todos os pontos ( x, y ) ≠ (1, 1) .

DERIVADAS PARCIAIS Vamos relembrar o caso da derivada de uma função de uma variável (Cálculo I). Dada a função y = f ( x ) e x0 ∈ ( a, b ) . f ′ ( x 0 ) =

lim

∆x →0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x 

se o limite existir e for finito.

Geometricamente o número f ′ ( x 0 ) representa o coeficiente angular da reta tangente t  ao gráfico de f  no ponto ( x0 , f ( x 0 ) ) . f ′ ( x0 ) = tgα   y  y = f ( x )

t 

y 0 α 

x 0

CÁLCULO III

x 

12

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A existência da derivada de f ( x ) no ponto x 0 indica que o gráfico de f ( x ) ,

próximo de ( x0 , f ( x 0 ) ) apresenta-se “suave ”, no sentido que admite uma reta tangente. Funções que apresenta “bicos ” (pontos angulosos) ou rupturas não são deriváveis nestes pontos. Consideremos uma função de duas variáveis f : D ⊂ R 2 → R  dada por z = f ( x, y )  . A derivada parcial  de da função f  em relação à variável x  num ponto ( x0 , y 0 ) indicada por fx  ( x0 , y 0 ) ou existir): fx  ( x0 , y 0 ) =

∂f 

( x0 , y 0 ) , é definida pelo limite (se

∂x 

f ( x0 + ∆x, y 0 ) − f ( x0 , y 0 )

lim

∆x 

∆x →0

Analogamente a derivada parcial de da função f  em relação à variável y  num ponto ( x0 , y 0 ) indicada por fy  ( x0 , y 0 ) ou

∂f  ∂y 

( x0 , y 0 ) , é definida pelo limite

(se existir):

fy  ( x0 , y 0 ) =

lim

f ( x0 , y 0 + ∆y ) − f ( x0 , y 0 ) ∆y 

∆y →0

EXEMPLO Dada z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 . Num ponto ( x, y ) qualquer, temos:

fx  ( x, y ) =

lim

f ( x + ∆x, y ) + f ( x, y ) 

∆x →0

∆x

=

( x + ∆x )2 + y 2  − ( x 2 + y 2 )   = lim  ∆x 

∆x →0

2

=

lim

x 2 + 2x ∆x + ( ∆x ) + y 2 − x2 − y 2  

∆x →0

∆x 

=

lim ( 2x + ∆x ) = 2x 

∆x →0

Então se f ( x, y ) = x 2 + y 2  temos fx  ( x, y ) = 2x .  Analogamente mostra-se que fy  ( x, y ) = 2y .  Assim para obter a derivada parcial da função f  em relação à x , mantemos y  constante e derivamos f  em relação à variável x , enquanto que para obter a derivada parcial em relação à y , fazemos x constante. Outros exemplos:

CÁLCULO III

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FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ∂f   2 f = = 3 x + 3 y  x   ∂x   1) f ( x, y ) = x 3 + 2y 3 + 3 xy  ⇒  fy  = ∂f  = 6 y 2 + 3 x   ∂y  ∂f   f =  x  ∂x  = cos y  2) f ( x, y ) = x cos y  ⇒  fy  = ∂f  = − xseny   ∂y  

3) f ( x, y ) = x

2

+

2

y = (x

2

1 2 2 +y  

)

x  ∂f  f  = = x   ∂x  x 2 + y 2  ⇒  y  f y  = ∂f =  ∂y  x 2 + y 2 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: A) Para as funções abaixo, encontrar fx e f y  : 1) f ( x, y ) = x 4 + xy + y 3  2) f ( x, y ) = x 2sen y + x 3 y 4  3) f ( x, y ) = sen x.cos y + x 2 − y 2  4) f ( x, y ) = 5) f ( x, y ) =

x 2 − y 2 x 2 + y 2 sen x + cos y   tg y 

6) f ( x, y ) = tg x . sen y − y 2 cos x   7) f ( x, y ) = 8) f ( x, y ) =

2x 3 − 4 x + y  x 2 x 3 − 2 x + y  x 2 + 1 10

9) f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 )

CÁLCULO III

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10) f ( x, y ) = x −3senx + y ln x   11) f ( x, y ) = xe y  + y senx   12) f ( x, y ) = e x

2 − 2 x 

seny + y 2 − 3xy  

13) f ( x, y ) = x 2 − 2x 2 y + xy 2 + y 3  14) f ( x, y ) =

1 3

x 3 y 2

15) f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ) x +3 y +3

16) f ( x, y ) = e  

17) f ( x, y ) = sen( x 2 + y 2  ) B ) Calcule as derivadas parciais f x  e

 f  y

nos pontos indicados:

a) f ( x, y ) = 7 xy 2 − 7 x 2 y 3 ; P (1,1)

b) f ( x, y ) = x 2 + 2x 3 y 7 ; P (1,0)

C ) Mostre que, se z = ln x 2 + y 2 então x ⋅

∂z

D ) Sendo f ( x, y ) = x ⋅ e  x

2 + y 2

, calcule y ⋅

∂f ∂x

∂x

+ y ⋅

− x ⋅

∂z  ∂y 

= 1.

∂f  ∂y 

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA PARCIAL As derivadas parciais da função z = f ( x, y )  são interpretadas geometricamente do seguinte modo: ao calcularmos a derivada parcial  ∂f    ∂x  consideramos a variável y como constante e assim f ( x, y ) fica somente   em função da variável x, cujo gráfico é uma curva no espaço, intersecção do gráfico de f com o plano vertical correspondente a y = constante. Assim a ∂f  derivada parcial   é o coeficiente angular da reta tangente à curva no  ∂x 

CÁLCULO III

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ponto (x,y,f(x,y)) obtida por tal intersecção nesse ponto. Analogamente  ∂f   interpretamos a derivada parcial   .  ∂y 

OUTRAS INTERPRETAÇÕES Consideremos T ( x, y ) a temperatura no ponto ( x, y ) de uma chapa D , contida no plano xOy . Tx  ( x0 , y 0 ) =

∂T  ∂x 

( x0 , y 0 )  representa a taxa de variação da temperatura

em relação a distância percorrida na direção do eixo x , (sentido positivo), a partir do ponto ( x0 , y 0 ) (taxa instantânea) Ty  ( x0 , y 0 ) =

∂T  ∂y 

( x0 , y 0 )  representa a taxa de variação da temperatura

em relação a distância percorrida na direção do eixo y , (sentido positivo), a partir do ponto ( x0 , y 0 ) (taxa instantânea) Suponha que uma indústria produza dois artigos I e II, e que C ( x, y ) represente o custo de produção de x  unidades do produto I e y  unidades do produto II.

CÁLCULO III

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FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Cx  ( x0 , y 0 ) =

∂C  ∂x 

( x0 , y 0 )  representa o aumento aproximado no custo por

unidade de I, produzida a mais a partir de ( x0 , y 0 ) mantendo a produção de II constante. Analogamente,

Cy  ( x0 , y 0 ) =

∂C  ∂y 

( x0 , y 0 ) 

representa

o

aumento

aproximado no custo por unidade de II, produzida a mais a partir de ( x0 , y 0 ) mantendo a produção de I constante. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Encontrar o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de z = 10 − x 2 − 2y 2 com o plano y  = 1 no ponto onde x  = 2 . Resolução: O coeficiente angular pedido é dado por f x  ( 2,1) Como f ( x, y ) = 10 − x

2

− 2y

2

=

(10 − x

2

1 2 2 − 2y   ,

)

segue que

1 1 − x  2 2 −2 e, portanto fx  ( x, y ) = (10 − x − 2y ) ( −2 x ) =  2 2 2 10 − x − 2y  fx  ( 2,1) = tg α  = −1

2) A temperatura do ponto ( x, y ) (x,y  em cm e T  em graus Celsius) de uma chapa plana é T ( x, y ) = 30 + 50 − x 2 − y 2  . a) Determine domínio de T ( x, y ) (formato da chapa) e a temperatura do ponto ( 3,4 ) ; b) Se a partir do ponto ( 3,4 ) uma formiga caminhar na direção do eixo x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá? Qual o valor desta taxa? Resolução: a) D = {( x, y ) ∈ R 2 / x 2 + y 2  ≤ 50} . A chapa D  possui formato circular (raio r = 50 cm ). T ( 3,4 ) = 30 + 50 − 9 − 16 = 35o C  b) Como a formiga se moverá na direção do eixo x, teremos y = cte  . Logo T x  ( 3,4 ) representará a taxa de variação da temperatura neste ponto e CÁLCULO III

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nesta

1 1 2 2 2 Tx  ( x, y ) = ( 50 − x − y )  2

direção.

x 

=−

50 − x

2

2

e

assim

− y 

o  3 = −0,6 C  . Portanto a temperatura nesta direção diminuirá de cm  5 0,6 o C por cm .

T x  ( 3,4 ) = −

3) Numa empresa comercial, o lucro diário L é uma função do número de vendedores x e do capital investido em mercadorias y (y em milhares de reais). 2 2 Numa certa época tem-se L ( x, y ) = 400 − (12 − x ) − ( 40 − y ) .  a) Calcule o lucro diário se a empresa tem 7 vendedores e 30 mil reais investidos, b) Calcule

∂L

( 7,30 ) e

∂x 

∂L ∂y 

( 7,30)

c) O que é mais lucrativo, a partir da situação a? Aumentar de uma unidade o número de vendedores, mantendo o capital investido, ou investir mais 1 mil reais, mantendo o numero de vendedores? Resolução: 2 2 a) L ( 7,30 ) = 400 − (12 − 7 ) − ( 40 − 30 ) = 275 mil reais b)

∂L

( x, y ) = −2 (12 − x )( −1) ⇒

∂x 

de lucro por vendedor admitido, ∂L ∂y 

( x, y ) = −2 ( 40 − y )( −1) ⇒

∂L ∂y 

∂L

( 7,30 ) = −2 (12 − 7 )( −1) = 10 mil reais

∂x 

( 7,30) = −2 ( 40 − 30 )( −1) = 20 mil reais de

lucro por 1 mil reais investido, c) É mais lucrativo o investimento de mais 1 mil reais, pois o lucro deve aumentar de aproximadamente 20 mil reais enquanto que se admitindo mais 1 vendedor o lucro aumentaria aproximadamente de 10 mil reais. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Dada a função f ( x, y ) = y 2  + a) b)

1

x 2 + y 2 Determine o domínio de f  ∂f  ∂f  Calcule ( 3,4 ) e ( 3,4 ) ∂x  ∂y 

c) Calcule o coeficiente angular da reta tangente a curva que é a intersecção do gráfico de f  com o plano x  = 3 no ponto em que y  = 4 . 2) A temperatura do ponto ( x, y ) de uma chapa é dada por T ( x, y ) = 2x 2 + 3y 2 + 15 (T em oC e x,y em cm) CÁLCULO III

18

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

a) Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (1,2 ) b) Se a partir do ponto (1,2 ) nos movermos no sentido positivo do eixo x , a temperatura aumentará ou diminuirá? De quantos o C/cm  aproximadamente? c) Em que ponto ( a,b ) a temperatura vale 45 o C , sendo a taxa de variação da temperatura com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo,igual a 12 o C/cm ? (a,b positivos). 3) Para um gás ideal a temperatura T  é uma função do par ( P,V ) , P (pressão), V (volume). Sendo T  =

interprete o número obtido.

PV 

40

, calcule

∂T  ∂P 

no ponto (500,200) e

4) Um fábrica produz mensalmente x  unidades de um produto I e y  unidades de um produto II, sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por L ( x, y ) = 15000 + 2 x 2 + 8 y 2  (L em reais). Num certo mês foram produzidas 2000 unidades de I e 1000 unidades de II. a) Calcule o lucro da produção conjunta neste mês; b) Calcule

∂L

e

∂x 

∂L ∂y 

neste mês;

c) O que é mais conveniente a partir dessa situação: aumentar a produção de I mantendo constante a de II, ou aumentar a de II mantendo a de I? 5) Para um mol de um gás as grandezas P (pressão), V (volume) e T (temperatura absoluta) relacionam-se através da equação a    P +   (V − b ) = RT  com a, b, R constantes. V 2   a) Represente P em função de T e V, isto é P = P (T ,V  ) 8a  b) Calcule P (T0 ,V 0 ) onde T 0 = e V0 = 3b  27bR  c) Calcule

∂P 

∂P 

∂T 

∂V 

(T0 ,V 0 ) e

(T0 ,V 0 )

Respostas 1) a) D = R 2 − {( 0,0 )} c) tg β  = f y  ( 3,4 ) =

∂f 

( 3,4 ) = −

∂x 

3 125

∂f  ∂y 

( 3,4 ) =

996 125

996 125

2) a) 2 x 2 + 3 y 2 = 14 c) ( a, b ) = ( 3,2 ) CÁLCULO III

b)

b) aumenta de 4oC por cm aproximadamente

19

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

3)

∂T 

( 500,200 ) = 5 é o aumento aproximado na temperatura por unidade de

∂P 

pressão, a partir do ponto indicado. 4) a) L ( 2000,1000 ) = 19000

b)

∂L

( 2000,1000 ) = 1

∂x 

∂L ∂y 

( 2000,1000 ) = 2

c) é mais conveniente aumentar a produção de II 5) a) P  =

RT a  − V − b  V 2

b) P (T0 ,V 0 ) =

a 

c)

27b 2

∂P ∂T

(T0 ,V 0 ) =

R  2b 

∂P  ∂V 

(T0 ,V 0 ) = 0

DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS Dada z = f ( x, y )  , sabemos calcular as derivadas parciais f x  e f y  que ainda são funções de x  e y . As derivadas parciais de f x  e f y  são chamadas derivadas parciais de 2 a ordem. Existem, portanto quatro derivadas parciais de 2a ordem. São elas: Derivada parcial de f x  em relação à x indicada por f xx  ou Derivada parcial de f x  em relação à y indicada por f xy  ou Derivada parcial de f y  em relação à x indicada por f yx  ou Derivada parcial de f y  em relação à y indicada por f yy  ou Assim,  ∂f  ∂ 2f  f xx  =  = ∂x  ∂x  ∂x 2 2 ∂  ∂f  ∂ f  f xy  =  = ∂y  ∂x  ∂y ∂x   2 ∂  ∂f  ∂ f  f yx  =  = ∂x  ∂y  ∂x ∂y   2 ∂  ∂f  ∂ f  f yy  =  = ∂y  ∂y  ∂y 2 ∂

CÁLCULO III

20

∂

2

f 

2 ∂x  2 ∂ f  ∂y ∂x  2 ∂ f  ∂x ∂y  2 ∂ f  2 ∂y 

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

As derivadas parciais f xy  e f yx  são chamadas derivadas mistas de 2 a ordem. Pode-se mostrar que se f  , f x  , f y  , f xy  e f yx  são contínuas no domínio D então as derivadas mistas de 2 a ordem são iguais, isto é, fxy = f yx .  Este resultado é conhecido como teorema de Schwartz . As derivadas parciais das funções f xx  , f xy  , f yx  e f yy  são as derivadas parciais de 3a ordem e assim sucessivamente. O diagrama abaixo ilustra a geração das derivadas parciais de ordem superior. Para uma função de duas variáveis, existem 2n  derivadas parciais de ordem n . Por exemplo, existem 23 = 8 derivadas parciais de ordem 3.

f xx  =

f x  =

∂

f xxx  =

2

f 

∂

∂f  ∂x 

∂

f xy  =

f xyy  =

f yx  =

f y  =

2

f  ∂x ∂y 

∂y 

f yyx  = f yy  =

∂

∂

3

f 

2 ∂y ∂x 

3 ∂ f  f yxx = 2 ∂x ∂y 

f yxy  =

∂f 

3

f  ∂x ∂y ∂x 

f  ∂y ∂x 

∂

f 

∂

2

f 

3

2 ∂y ∂x 

f xyx  = ∂

f 

3 ∂x 

2 ∂x 

f xxy  =

3

2

f 

2 ∂y 

f yyy  =

∂

3

f  ∂y ∂x ∂y  ∂

3

f 

2 ∂x ∂y 

∂

3

f 

3 ∂y 

EXEMPLO Se f ( x, y ) = x 3 y 2 + x 5 + y 7 , temos: fx  = 3 x 2 y 2 + 5 x 4   ; fy  = 2 x 3 y + 7 y 6  

CÁLCULO III

21

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De fx  = 3 x 2 y 2 + 5 x 4   ⇒ fxx  = 6 xy 2 + 20 x 3   e fxy  = 6 x 2 y  De fy  = 2 x 3 y + 7 y 6   ⇒ fyx  = 6 x 2 y  e fyy  = 2 x 3 + 42y 5 De fxx  = 6 xy 2 + 20 x 3   ⇒ fxxx  = 6 y 2 + 60 x 2 e fxxy  = 12 xy  De fxy  = 6 x 2 y  ⇒ fxyx  = 12 xy  e fxyy  = 6 x 2 De fyx  = 6 x 2 y  ⇒ fyxx  = 12 xy  e fyxy  = 6 x 2 De fyy  = 2 x 3 + 42 y 5 ⇒ fyyx  = 6 x 2 e fyyy  = 210 y 4 Ainda de fxxx  = 6y

2

2

+ 60 x 

teríamos fxxxx  =

sucessivamente.

∂

4

f 

4 ∂x 

= 120 x 

;

∂

5

f 

5 ∂x 

= 120 ,

e assim

EXERCÍCIOS 1) Se f ( x, y ) admite derivadas parciais até 2a ordem, chama-se Laplaciano de  2

f à função ∇ f ( x, y ) =

a) f ( x, y ) = x 4 − y 4  d) f ( x, y ) =

∂

2

∂x

f

xy + 2( , )

b) f ( x, y ) =

∂

2

f 

xy   2 ( , ) . Calcule

∇

2

∂y 

1

f 

para as funções;

c) f ( x, y ) = sen ( x 2 − y 2  )

x 2 + y 2

2 x  x 2 + y 2

2) Uma função f ( x, y ) é Harmônica  se e somente se o Laplaciano de f  é sempre igual a zero. Mostre que são harmônicas as funções: a) f ( x, y ) = ln ( x 2 + y 2  )

b) f ( x, y ) = e x seny + e y  cos x  

3) Calcular as derivadas até 3a  ordem de : f ( x, y ) = x 4 + y 4 + senx + cos y ;  3

4) Se w = ( y − 2 x )

−

y − 2 x ,  mostre que w xx − 4w yy  = 0 .

5) Seja z = x cos y . Determine: a)

∂

2

z 

2 ∂x 

b)

∂

2

z 

2 ∂y 

c)

∂

2

z  . ∂y ∂x 

6) Seja f ( x, y ) = 3x + 2y .  Determine a inclinação da superfície z = f ( x, y )  no ponto (4,2) nas direções: a) x e b) y. 7) Sendo f ( x, y ) = y 3e − 5 x , determine: a) f xyy (0,1)

b) f yyy (0,1)

CÁLCULO III

22

c) f yyxx (0,1) .

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VARIAÇÃO REAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Se z = f ( x, y )  é uma função de duas variáveis, então os símbolos ∆x  e A notação ∆z  ∆y  denotam acréscimos a x  e y  respectivamente. representará o acréscimo correspondente á variável dependente, isto é: ∆z = f

( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) 

Deste modo ∆z  representa a variação do valor de f  quando P1 ( x, y ) varia para P2 ( x + ∆x, y + ∆y ) , ou seja, ∆z = f ( P2 ) − f ( P1 )  . EXEMPLO Se z = f ( x, y ) = 3 x 2 − xy ,  obter ∆z . Qual a variação de f ( x, y ) quando ( x, y ) varia de (1,2 ) para (1,01 ; 1,98) ? Resolução: 2 2 ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) = 3 ( x + ∆x ) − ( x + ∆x )( y + ∆y ) − ( 3 x − xy )  = 2

2

2

  = 3 x + 6 x ∆x + 3 ( ∆x ) − xy − x ∆y − y ∆x − ∆x ∆y − 3 x + xy = =

6 x ∆x + 3 ( ∆x )

2

− x ∆y − y ∆x − ∆x ∆y

 

Para achar a variação desejada em f ( x, y ) , fazemos x = 1 , y  = 2 , ∆x = 0,01 e ∆y  = −0,02 , obtendo-se ∆z = 0,0605 . Naturalmente poderíamos encontrar este valor calculando f (1,01;1,98 ) − f (1,2 ) . A DIFERENCIAL TOTAL DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS As derivadas parciais de z = f ( x, y )  indicam o quanto a função varia em relação a pequenas mudanças de suas variáveis. Em particular, se ∆x  e ∆y  são pequenos, então para um ponto ( x0 , y 0 ) uma variação em x de ∆x  ∂f  resultará uma variação em z = f ( x, y )  de aproximadamente  ( x0 , y 0 ) .∆x  e  ∂x   uma variação em y de ∆y  resultará uma variação em z = f ( x, y )  de  ∂f   aproximadamente  ( x0 , y 0 )  .∆y . Assim, quando ambas ∆x  e ∆y  estiverem  ∂y   ocorrendo, a variação da função z será dada por: ∆z =

∂f ∂x

∆x +

∂f  ∂y 

CÁLCULO III

∆y 

23

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

Definimos as diferenciais dx  e dy  das variáveis independentes x  e y  como dx = ∆x  e dy = ∆y . A diferencial total  dz  da variável dependente z  é definida por: dz = fx ( x, y ) ⋅ dx + fy  ( x, y ) ⋅ dy  

ou

dz =

∂f ∂x

( x, y ) ⋅ dx +

∂f  ∂y 

( x, y ) ⋅ dy  

EXEMPLO Se z = f ( x, y ) = 3 x 2 − xy ,  determinar a diferencial dz  e utilizá-la par obter uma aproximação da variação de z = f ( x, y )  se ( x, y ) varia de (1,2 ) para (1,01 ; 1,98) . Resolução: dz = fx ⋅ dx + fy  ⋅ dy = ( 6 x − y ) dx + ( − x ) dy  .

Fazendo x = 1 , y  = 2 , dx = ∆x  = 0,01 dz = ( 6 − 2 )( 0,01) + ( −1)( −0,02 ) = 0,06

e

dy = ∆y  = −0,02 ,

obtemos

Mostramos no exemplo anterior que ∆z = 0,0605 . Logo o erro cometido decorrente da utilização de dz  no lugar de ∆z  é de ∆z − dz = 0,0605 − 0,06 = 0,0005

Quando nos movemos de ( x0 , y 0 ) para um ponto próximo, podemos descrever a variação correspondente do valor de uma função z = f ( x, y )  como: Variação Absoluta Verdadeira (real) = ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )  Variação Absoluta Aproximada = dz = fx ( x, y ) ⋅ dx + fy  ( x, y ) ⋅ dy   DIFERENCIABILIDADE Dizemos que z = f ( x, y )  é diferenciável  no ponto ( x0 , y 0 ) se ∆z  puder ser escrito na forma ∆z = fx  ( x0 , y 0 ) ∆x + f ( x0 , y 0 ) ∆y + ε1∆x + ε 2 ∆y  onde ε 1 e ε 2 tendem a zero quando ( ∆x, ∆y ) → ( 0,0 ) . TEOREMA Se uma função z = f ( x, y )  é diferenciável em ( x0 , y 0 ) então f  é contínua em ( x0 , y 0 ) . CÁLCULO III

24

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

EXERCÍCIOS 1) Dada a função z = f ( x, y ) = x 2 + 3 y 2  e o ponto (1,2 ) , calcule; a) f (1 + ∆x,2 + ∆y )   ) b) ∆z = f (1 + ∆x,2 + ∆y ) − f (1,2 c) dz =

∂f ∂x

(1,2) ⋅ ∆x +

∂f  ∂y 

2) No exercício anterior se compará-los.

(1,2 ) ⋅ ∆y

∆x  =

0,02 e

  ∆y  = 0,01,

calcular

∆z ,

dz 

e

3) Uma lata cilíndrica fechada, de estanho deve ter raio interno de 2 dm  e altura interna 4 dm , sendo 5 mm  a espessura das paredes. Utilizando diferenciais, encontrar o volume aproximado do estanho necessário para fabricá-la. E 2 4) A potência consumida num resistor elétrico é P  = em watts. Num R  certo instante tem-se E = 200 volts   e R = 8 ohms  . Se E  diminui de 5 volts  e R  de 0,2 ohms , de quanto varia aproximadamente a

potência? 5) A superfície de um retângulo é dada por S = b .h , onde b é a base e h a altura. Usando diferenciais, calcule de quanto varia a superfície se h = 10m , b = 8m , a base varia de + 1cm  e a altura de + 5cm ? Respostas 1) a) 13 + 2∆x + 12∆y + ( ∆x )

b) ∆z = 2∆x + 12∆y + ( ∆x )

2

2

+ 3 ( ∆y )

+ 3 ( ∆y )

2

2

 

 

c) dz = 2∆x + 12∆y   2) ∆z = 0,1607

dz = 0,16

3) 3,77 dm 3 4) dP ≅ −125 W  5) dS = 0,5m 2

CÁLCULO III

25

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

A REGRA DA CADEIA No Cálculo I, quando tínhamos a situação y = f ( x ) com x  dependendo de t , a derivada

dy  dt 

podia ser calculada por substituição da variável x , ou

pela chamada regra da cadeia (derivada da função composta) dada por dy dy dx   = ⋅ . dt dx dt  

escrever y

=

ser obtida por

Por exemplo, se y = f ( x ) = x10  com x = t 2 + 1, podemos 10

x10 = ( t 2 + 1)

e a derivada de y  em relação à variável t , pode

9 dy dy dx   9 2 = ⋅ = 10 x ( 2t ) = 20t ( t  + 1) . dt dx dt  

O CASO DE MAIS DE UMA VARIÁVEL (1a Regra da Cadeia) Suponhamos que temos z = f ( x, y )  , onde as variáveis x  e y  dependem de uma nova variável t . Se substituirmos x  e y  pelas expressões segundo as quais dependem da variável t , z  depende de uma única variável t , ou seja, z = f ( x(t ), y (t )) = F (t ) . A derivada de z  em relação à t  pode ser obtida como função de uma variável, z′ = F ′(t ) . Esta mesma derivada pode ser obtida pela chamada primeira regra da cadeia, ou seja, por: F ′(t ) =

dz ∂z dx ∂z dy   = + dt ∂x dt ∂y dt  

EXEMPLOS 1) Se z = f ( x, y ) = π x 2 y  onde x = t 3 e y = 2t , calcular Resolução:

dz  dt 

2

1o modo: Por substituição: z = π x 2 y = π (t 3 ) ( 2t ) = 2π t 7  e 2o modo: Pela regra da cadeia:

dz  6 = 14π t  dt 

dz ∂z dx ∂z dy   2 2 = ⋅ + ⋅ = ( 2π xy ) ⋅ ( 3t ) + (π x ) ( 2 ) = dt ∂x dt ∂y dt   =

6π xyt 2 + 2π x 2 = 6π ( t 3 ) ( 2t ) t 2 + 2π ( t 3 )

2

6

= 12π t + 2π t

6

= 14π t

6

2) Sendo f ( x, y ) = u = x 2 + y 2  onde x = t + 1 e y = 2t , calcular Resolução: CÁLCULO III

26

  

du  . dt 

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA ∂u  ∂x 

=

∂u 

2 x 

∂y 

=

∂x 

2y 

∂t 

∂y 

=1

∂t 

=

2

du  = 2 x + 4 y = 2(t + 1) + 8 t = 10t +  2 dt 

A REGRA DA CADEIA GENERALIZADA Suponhamos que z = f ( x, y )  com x = x (u,v )  e y = y (u,v )  isto é, z  depende de x  e y  que por sua vez dependem de duas outras variáveis u  e v . Substituindo x  e y  em f  vemos que z  depende de u  e v . Isto é, z = f ( x, y ) = f ( x ( u,v ) , y ( u,v ) ) = F ( u,v )  . Sendo funções diferenciáveis, podemos obter as derivadas de z  em relação à u  e v . Temos: ∂z ∂u

=

∂z ∂x ∂z ∂y ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂y ∂u

   

e

∂z ∂v

=

∂z ∂x ∂z ∂y ⋅ + ⋅ ∂x ∂v ∂y ∂v

   

EXEMPLO Se z = f ( x, y ) = x 2 + y 2  onde x = r cosθ  e y = r senθ  , encontrar

∂z  ∂r 

e

Resolução: ∂z ∂r

=

∂z ∂x ∂z ∂y   ⋅ + ⋅ = ( 2 x )( cos θ ) + ( 2y )( senθ ) ∂x ∂r ∂y ∂r  

Se substituirmos x  e y  temos ∂z ∂θ

=

= −2r

∂z

⋅

∂x

∂x ∂θ

+

∂z

⋅

∂y

∂y  ∂θ 

 

= ( 2 x )( −r

∂z  ∂r 

=

2r cos2 θ + 2r sen2 θ  = 2r 

  θ ) = senθ ) + ( 2 y )( r cos

senθ cosθ + 2r senθ cos θ =  0

EXERCÍCIOS 1) Sendo u = ln x 2 + y 2 , x = r e s , y = r e  s  , determine −

∂u  ∂r 

2) Sendo z = x 2 + y 2 + xy ,  x = 2r + s , y = r − 2s , calcule 3

CÁLCULO III

27

e

∂z ∂r

∂u  ∂s 

+4

.

∂z  ∂s 

∂z  ∂θ 

.

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA dF  1 3) Se f ( x, y ) = x 3 y − y 4  ; x  = ; y = ln t , obtenha . t 

dt 

4) Por meio da regra da cadeia, ache r = pq 2

5) Calcule

∂w  ∂p 

∂w 

e

∂q 

sendo w = r 3 + s 2 ,

e s = p 2senq . ∂w  ∂x 

e

∂w  ∂y 

com w = u senv , u = x 2 + y 2 e v

=

xy .

Respostas 1) 3) 4) 5)

∂u  ∂r

=

1 r 

,

e2s − e −2s  = 2s e + e −2s  ∂s

∂u

2) 3

∂z ∂r

+4

∂z  ∂s 

= 30r + 15s 

dF −3ln t 1 4(ln t )3   = + 4 − dt t4 t t   ∂w  ∂p  ∂w  ∂x 

=

3 p 2q 6 + 4 p3sen 2q  

=

2xsenxy + y ( x 2 + y 2 ) cos xy  

CÁLCULO III

∂w  ∂q 

=

6 p3q 5 + 2 p 4senq cos q  

∂w  ∂y 

=

2ysenxy + x ( x 2 + y 2 ) cos xy  

28

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

A DERIVADA DIRECIONAL Seja z = f ( x, y )  numa função definida em D ⊂ R 2 e ( x0 , y 0 ) ∈ D . Sabemos calcular neste ponto a taxa de variação de f  em relação à x , mantido y  fixo, e a taxa de variação de f  em relação à y , mantido x  fixo. Estas taxas são as derivadas parciais de f  em relação x  e a y  respectivamente. Geometricamente elas descrevem o comportamento da função f ( x, y ) ( crescimento ou decrescimento) quando, a partir de um ponto ( x0 , y 0 ) caminhamos na direção do eixo x ( fx  ( x0 , y 0 ) ) e na direção do eixo y

( fy  ( x0, y 0 ) ) . y 

y 0

x 

x 0

Queremos agora descrever o comportamento da função f ( x, y ) quando a partir de ( x0 , y 0 ) , caminhamos numa direção qualquer determinada pela reta orientada r  que forma um ângulo α  como eixo x (sentido positivo). A taxa de variação de f  em relação à distância percorrida na direção de r  será chamada derivada direcional de f ( x, y ) no ponto ( x0 , y 0 ) na direção α  , e será representada por fα  ( x0 , y 0 ) . r 

y 

α  y 0

x 

x 0

CÁLCULO III

29

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

Vamos definir de modo mais preciso a derivada direcional. Tomando como parâmetro o comprimento de arco s  temos que a equação paramétrica de r  é:  x = x0 + s ⋅ cos α  α  fixado , s ∈ r  y y s  α  = + ⋅ sen 0 

r  : 

r  y  s sen α 

α  y 0 s cos α 

x 0

x 

Para obter os valores da função z = f ( x, y )  sobre os pontos da reta r  é  x ( s ) = x0 + s ⋅ cos α  suficiente compor f ( x, y ) com as funções  obtendo-se = + ⋅ sen y s y s   α   ( ) 0 F ( s ) = f ( x ( s ) , y ( s ) ) = f ( x0 + s ⋅ cos α , y 0 + s ⋅  senα )

Para calcular a taxa de variação de f ( x, y ) no ponto ( x0 , y 0 ) ∈ r  que é dada por F ′ ( s ) , podemos utilizar a regra da cadeia do seguinte modo: F ( s ) = f ( x0 + s ⋅ cos α , y 0 + s ⋅ sen   α ) ⇒ F ′ (s ) =

df ∂f dx ∂f dy ∂f ∂f   ( x, y )  = ⋅ + ⋅ = ⋅ cos α + ⋅ sen α  ds ∂x ds ∂y ds ∂x ∂y  

Portanto, fα  ( x0 , y 0 ) =

∂f ∂x

( x0 , y 0 ) ⋅ cosα +

∂f  ∂y 

( x0 , y 0 ) ⋅ se nα   

Ou fα  ( x0 , y 0 ) = fx ( x0 , y 0 ) ⋅ cos α + fy  ( x0 , y0 ) ⋅ s en   α 

CÁLCULO III

30

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

Casos particulares importantes: Para α  = 0o , temos f0o ( x0 , y 0 ) = fx  ( x0 , y0  )

•

Para α  = 90o , temos f90o ( x0 , y 0 ) = fy  ( x0 , y0  ) • Para α ′ = α + π  , temos: fα π  ( x0 , y 0 ) = fx ( x0 , y 0 ) ⋅ cos (α + π ) + fy  ( x0 , y0 ) ⋅ sen (α  + π )   •

+

∴ cos (α + π ) = − cos α  e sen (α + π ) = −senα   fα π ( x0 , y 0 ) = fx ( x0 , y 0 ) ⋅ ( − cos α ) + fy  ( x0 , y0 ) ⋅ ( − senα ) = −fα  ( x0 , y0 )   +

EXEMPLOS 1) Para a função f ( x, y ) = x 2 y  , obter a derivada direcional no ponto (1,2 ) , na direção α  = 30o . Resolução fx  ( x, y ) = 2 xy   Como  segue que 2 f x y x   = , ( )  y 

f x  (1,2 ) = 4 e, portanto,  f  = 1,2 1 ( )  y 

 3 1  1 o o  f f sen   = ⋅ + ⋅ = + (1)   = 2 3 + = 3,9641 1,2 1,2 cos30 1,2 30 4 ( ) ( ) ( ) ( )   o x y   2  30 2 2  

f

2) A temperatura de uma chapa é dada por T ( x, y ) = x 2 + y 2  + 15 , onde x  e y  são as coordenadas de um ponto, em cm , e T  é dada em o C . Calcule de quanto varia, aproximadamente, a temperatura se caminharmos 1 cm  a partir do ponto ( 3,4 ) na direção: a) α  = 30o  b) α  = 210o  Resolução: Tx  ( x, y ) = 2 x   T x  ( 3,4 ) = 6 Temos:  , ⇒  Ty  ( x, y ) = 2y   T y  ( 3,4 ) = 8 Logo:

a) T30o ( 3,4 ) = Tx ( 3,4 ) ⋅ cos30o + T y  ( 3,4 ) ⋅ sen30o  = =

6⋅

CÁLCULO III

3 1 + 8 ⋅ = 3 3 + 4 ≅ 9,2 2 2

31

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA o ( 3,4 ) ≅ 9,2 C cm , isto é, a temperatura deverá aumentar de 9,2 aproximadamente.

T 

30o 

o C 

cm 

b) T210o ( 3,4 ) = Tx ( 3,4) ⋅ cos210o + T y  ( 3,4 ) ⋅ sen210o  =  3  1 6 ⋅  −  + 8 ⋅  −  = −3 3 − 4 ≅ −9,2  2  2  o o T  o  ( 3,4 ) ≅ −9,2 C cm , e a temperatura deverá aumentar de −9,2 C cm  210 aproximadamente. Observe que a taxa de variação da temperatura no ponto ( 3, 4) , na direção do eixo x  (sentido positivo) é T0o ( 3,4 ) = T x  ( 3,4 ) = 6 o C cm  enquanto que =

na direção do eixo y (sentido positivo), a taxa é de T90o ( 3,4 ) = T y  ( 3,4 ) = 8 o C cm . A FORMA VETORIAL DA DERIVADA DIRECIONAL A direção da reta r  que forma um ângulo α  como o eixo x (sentido r positivo) pode ser definida pelo vetor unitário (versor, u = 1), r r r u = cos α i + senα  j .  y 

r

u 

α  cos α 

y 0

sen α 

x  x 0

A expressão da derivada direcional de fα  ( x0 , y 0 ) =

∂f ∂x

( x0 , y 0 ) ⋅ cos α +

∂f  ∂y 

 f 

no ponto ( x0 , y 0 )

( x0 , y 0 ) ⋅ senα  , pode ser escrita

produto escalar : r

r

r

r

fα  ( x0 , y 0 ) = ( fx ( x0 , y 0 ) i + fy  ( x0 , y0 ) j ) • ( cosα i + sen α  j )  

CÁLCULO III

32

como o

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA r

r

O vetor fx ( x0 , y 0 ) i + fy  ( x0 , y 0  ) j é conhecido como vetor gradiente  de ur

f ( x, y )

no ponto ( x0 , y 0 ) e é representado por ( gradf )( x0 ,y 0 ) ou símbolo ∇f  lê-se “nabla f  ”). ur

∇f

r

∇f

( x0 , y 0 ) (o

r

( x0 , y 0 ) = fx ( x0 , y0 ) i + fy  ( x0 , y0 ) j  

Portanto a forma vetorial da derivada direcional é; ur

r

fu  ( x0 , y 0 ) = ∇f ( x0 , y 0 ) • u   r

r

onde u  é o versor da direção sobre a qual calculamos a taxa de variação. EXEMPLO Encontrar a derivada direcional da função dada por f ( x, y ) = x 2 + y 2  + 15 no ponto ( 3,4 ) na direção α  = 300 . Resolução: Do exemplo anterior temos: r

r

r

direção (versor) é dada por u = cos30o i + sen30o  j ur

r

=

3r 1r i+ j   2 2

r

ur

r

r

o gradiente de f  , ∇f ( x, y ) = 2 xi + 2y j  no ponto ( 3,4 ) é ∇f ( 3,4 ) = 6i + 8 j  A derivada direcional será: ur

r

r

r

 3 r 1 r  2 i + 2 j  =  3 3 + 4 ≅ 9,2  

fu  ( 3,4 ) = ∇f ( 3,4 ) • u = ( 6i + 8 j ) •  r

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA DIRECIONAL Vamos rever o conceito de projeção de vetores visto no curso de r r Geometria Analítica. Sejam os vetores v 1 e v 2 formando um ângulo θ  . A r

r

r

projeção do vetor v 1 sobre o vetor v 2 é dada por r

r

No caso de v 2 ser unitário, isto é: v 2

= 1,

r

v • v  proj v 1 = 1 r 2 v 2 v 2 r

r

r

temos proj v1 r

r

. r

= v1 • v 2  ,

que é

v 2

exatamente a situação da derivada direcional. Assim,

ur

r

ur

r

fu  ( x0 , y 0 ) = ∇f ( x0 , y0 ) • u = proj ∇f ( x0 , y0 ) , uma vez que u  é unitário. r

r

u 

CÁLCULO III

33

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

y  r

∇f

( x0 , y 0 ) θ  r

u 

y 0

α 

x  x 0

VALOR MÁXIMO DA DERIVADA DIRECIONAL O valor máximo da derivada direcional (projeção) ocorre quando θ  = 0o  e, portanto temos,

( fα  ( x0 , y0 ) )

max

ur

= ∇f

( x0 , y0 ) 

e a direção em que ocorre esta taxa máxima de variação é definida pelo versor, ur

r

u  =

( x0 , y 0 ) ∇f ( x0 , y 0 ) ∇f r

EXEMPLO π  Calcule a derivada direcional da função f ( x, y ) = x 2 sen xy  no ponto  1,  e  2 na direção: a) do eixo dos x; b) do eixo dosr y;r c) do vetor 2i + j  ; d) em que ela é máxima.

Resolução: a) fx

=

2xsenxy + x 2 y cos xy

b) fy

=

x 3 cos xy

CÁLCULO III

π   π = + 2.1 .0 = 2  2 2  

f x   1,

 π   =0 2  

fy   1,  

34

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA r

r

c) v = 2i s

r

+

r

v =

j

r

fv  = ∇f • u = 2. r

d) ( fv  )max r

2 1 + 0. 5 5

s

= ∇f  =

r

5

u=

=

2 r 1 r i + j   5 5

4 5

2

EXERCÍCIOS 1) Calcule a derivada direcional de f ( x, y ) = x 3 − 2x 2 y + xy 2  − 1 no ponto r r (1,2) e na direção do vetor 4i + 6 j  . 2) Dada a função f ( x, y ) = x 2 − y 2 , calcule grad  f ( 0,1) e f u (1,0) onde r r u = −i  . r

3) Uma função tem no ponto (1,2 ) a derivada direcional: r r • igual a 2 na direção do vetor 2i + 2 j  e r r • igual a −3 na direção do vetor i − j  . Determine: b) o gradiente da função neste ponto, r r c) a derivada direcional na direção do vetor −2i − 2 j  , r r d) a derivada direcional na direção do vetor 4i + 6 j  4) O potencial V  associado a um campo elétrico é V ( x, y ) = ln x 2 + y 2   r r a) determine o vetor campo elétrico E , sabendo-se que E = −∇V , 1 1 no ponto  ,  , 2 2 1 1 b) em que direção, a partir do ponto  ,  , a derivada direcional de 2 2 V  é máxima? Qual o seu valor máximo?

5) O potencial elétrico V  em uma região do plano é dado por 1000 V ( x, y ) = 2 2 x + y 

r

r

r

a) determine a derivada direcional de V  na direção de u = 12i + 5 j  no ponto (4,3) b) dê o versor da direção, a partir de (4,3) em que a taxa de variação do potencial é máxima, 6) É dada a função f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2  , pede-se: CÁLCULO III

35

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

a) calcule o gradiente de f ( x, y ) no ponto (1,2) b) calcule a derivada direcional de f ( x, y ) no ponto (1,2) e na r r direção do vetor 4i − 3 j  c) calcule

∂

2

f  (1,2) ∂x ∂y 

e

∂

2

f  2 (1,2) ∂x 

Respostas 4 ≅ 1,11 1) 13 r r 2) ∇f ( 0,1) = −2 j  ; f u (1,0) = −2 2r 5 2r 26 j  ; b) –2; c) 3) a) − i + 2r 2 2 r r r 4) a) −i − j  ; b) na direção do vetor i + j ; c) 2 r

4r 3 r i − j  5 5 2 ∂ f  1r r 1 1 (1,2) = − , 7) a) ∇f (1,2) = − i − j  ; b) f u (1,2) = ; c) ∂x ∂y  4 2 5 5) a)

−

504 b) 13

−

r

CÁLCULO III

36

2

f  5 = − (1,2) 2 ∂x  8 ∂

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA MÁXIMOS E MÍNIMOS Dada uma função  f  , constitui um problema importante determinar para que valores da variável (ou das variáveis) independente(s) a função assume o seu valor  máximo,ou o seu valor mínimo. Recordando como este problema foi resolvido no Cálculo I. Se a função  y =  f  ( x) é contínua e derivável em  R . a) Determinamos os pontos críticos  x0 de  y =  f  ( x) resolvendo a equação  f  ′(x0 ) = 0 , b) Se  f  ′′( x0 ) < 0 ,  x0 será ponto de máximo relativo (ou local) e  f  ( x0 ) será o valor  máximo de  f  , c) Se  f  ′′( x0 ) > 0 ,  x0 será ponto de mínimo relativo (ou local) e  f  ( x0 ) será o valor  mínimo de  f  ,

EXEMPLO 1

5

Obter os pontos de máximo e mínimo relativos de  f  ( x ) =  x3 −  x 2 + 6 x + 1 3 2  x = 2 e  x = 3

a) pontos críticos:  f  ′( x ) = 0 ⇔  x − 5 x + 6 = 0 ⇔ b)  f  ′′( x ) = 2 x − 5 . Como  f  ′′(2 ) = −1 < 0 , ⇒  x = 2 é ponto de máximo relativo de  f  , Como  f  ′′(3) = 1 > 0 , ⇒  x = 3 é ponto de mínimo relativo de  f  . 2

 f  (2) =

17 3

é o valor máximo relativo de  f   e  f  (3) =

11 2

é o valor mínimo

relativo de  f  . y 5.9 5.8 5.7 5.6 5.5 5.4 x 1.5

2

2.5

3

3.5

4

No caso de funções de duas variáveis, a situação não é muito diferente.

EXTREMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Usaremos a expressão região retangular para designar o conjunto de pontos de um plano coordenado, interiores a um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados. Se quisermos incluir os pontos fronteira, usaremos a expressão região retangular fechada. CÁLCULO III

37

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Tal como no caso de uma variável, diz-se que uma função  f   de duas variáveis tem máximo local no ponto ( x0 , y0 ) se existe uma região retangular  D contendo ( x0 , y0 ) , tal que  f  ( x, y ) ≤  f  ( x0 , y0 ) para todos os outros pares ( x, y ) ∈ D . Geometricamente, se uma superfície S  é o gráfico de  f  , então os máximos locais correspondem aos pontos mais altos de S  . Se  f   y existe, então como  f   y ( x0 , y0 ) é o coeficiente angular da reta tangente à curva intersecção do gráfico de S  com o plano  x =  x0 , segue que se ( x0 , y0 ) é ponto de máximo local então esta reta é horizontal e portanto  f   y ( x0 , y0 ) = 0 . Analogamente  f   x ( x0 , y0 ) = 0 . A função  f   tem mínimo local em ( x1 , y1 ) se existe uma região retangular  D contendo ( x1 , y1 ) tal que  f  ( x1 , y1 ) ≤  f  ( x, y ) para todos os outros pares ( x, y ) ∈ D . Se  f   tem derivadas parciais primeiras, então conforme acima, elas devem ser nulas em ( x1, y1 ) . Os pontos de mínimos locais correspondem aos pontos mais “baixos” do gráfico de  f  . Dada uma função  f  ( x, y ) , os pontos que anulam simultaneamente as derivadas parciais  f   x ( x, y ) e  f   y ( x, y ) são chamados pontos críticos de  f  ( x, y ) . Entre os pontos críticos de  f  ( x, y ) existem os que são de máximo local, os que são de mínimo local, e os que não são nem de máximo nem de mínimo local; estes últimos são chamados pontos de sela.

 f   x ( x, y ) = 0 As soluções de  são os pontos críticos de  f  ( x, y ) , 0 ( ) =  f    x  y   y

( x0 , y0 ) é  ponto de máximo local ( x0 , y0 ) é ponto crítico ( x0 , y0 ) é ponto de mínimo local ( x0 , y0 ) é  ponto de sela MATRIZ HESSIANA Dada a função  z  =  f  ( x, y ) , a matriz,

  f   xx ( x, y )  f   xy ( x, y )   ( ) ( ) , ,  f    x  y  f    x  y  yy    yx   é chamada Matriz Hessiana da função  f   no ponto ( x,  y ) .  H ( x, y ) = 

TESTE DE EXTREMOS A seguir será apresentado um teste que permite identificar pontos de máximo, mínimo ou sela sem ter que recorrer ao gráfico de  f   ou à forma da função. Seja a  z  =  f  ( x, y ) contínua, com derivadas parciais de 2 ordem contínuas e ( x0 , y0 ) um ponto crítico de  f  . Calculamos o determinante da matriz Hessiana no ponto crítico: CÁLCULO III

38

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA  E ( x0 , y0 ) =

• • • •

 f   xx ( x0 , y0 )

 f   xy ( x0 , y0 )

 f   yx ( x0 , y0 )  f   yy ( x0 , y0 )

Se  E ( x0 , y 0 ) > 0 Se  E ( x0 , y 0 ) > 0 Se  E ( x0 , y0 ) < 0 Se  E ( x0 , y0 ) = 0

e  f   xx ( x0 , y0 ) < 0 então ( x0 , y0 ) é ponto de máximo local, e  f   xx ( x0 , y0 ) > 0 então ( x0 , y0 ) é ponto de mínimo local, então ( x0 , y0 ) é ponto de sela, nada se conclui.

EXEMPLOS 1) Determinar os pontos extremos da função  f  ( x, y ) = 4 −  x 2 − y 2 . Resolução  f   x = −2 x ;  f   y = −2 y ;

 f   xx

= −2 ;

 f   yy

= −2 ;

 f   xy

= f  yx = 0

 f   x = 0 Para obter os pontos críticos devemos resolver o sistema  , ou seja 0  f   =   y

− 2 x = 0 .   y − = 2 0 

Temos  x = y = 0 e assim  P 1 (0,0) é o único ponto crítico de  f  . Em  P 1 (0,0) temos  f   xx (0,0) = −2 ,  f   xy (0,0) = f  yx (0,0) = 0 e  f   yy (0,0) = −2 E assim,  E (0,0) =

 f   xx (0,0)  f   xy (0,0)  f   yx (0,0)  f   yy (0,0)

=

-2

0

0

-2

=4>0

Como  E (0,0 ) > 0 e  f   xx (0,0) = −2 < 0 segue que  P 1 (0,0 ) é ponto de máximo local de  f  ( x, y ) = 4 −  x 2 − y 2 . A seguir apresentamos um esboço do gráfico de  f  ( x, y ) = 4 −  x 2 − y 2

0 -1000

40

-2000

20

-3000 -40

0 -20 -20

0 20 40

CÁLCULO III

-40

39

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 2) Determinar os pontos extremos da função  f  ( x, y ) =  x 2 − y 2 (sela). Resolução  f   x = 2 x ;  f   y = −2 y ;

 f   xx

= 2;

 f   yy

= −2 ;

 f   xy

= f  yx = 0

 f   = 0 Para obter os pontos críticos devemos resolver o sistema   x , ou seja 0 =  f     y

 2 x = 0 .   y − = 2 0 

Temos  x = y = 0 e assim  P 1 (0,0) é o único ponto crítico de  f  . Em  P 1 (0,0) temos  f   xx (0,0) = 2 ,  f   xy (0,0) = f  yx (0,0) = 0 e  f   yy (0,0) = −2 E assim,  E (0,0 ) =

 f   xx (0,0)  f   xy (0,0)  f   yx (0,0)  f   yy (0,0)

=

2

0

0

-2

= −4 < 0

Como  E (0,0 ) < 0 , segue que  P 1 (0,0) é ponto de sela de  f  ( x, y ) =  x 2 − y 2 . Esboço do gráfico de  f  ( x, y ) =  x 2 − y 2

1000 40 0 20

-1000 -40

0 -20 -20

0 20 40

-40

3) Determinar os pontos críticos da função  f  ( x, y ) = 4 x 3 − 6 x 2 y − 2 y 3 + 3 x 2 − 6 xy + 6 y e classifique-os. Resolução Os pontos críticos são as soluções do sistema:

12 x 2 − 12 xy + 6 x − 6 y = 0  f   x = 0 (2 x + 1)( x −  y ) = 0 ou  f   = 0 . Portanto   2 2 2 2  6 6 6 6 0  x  y  x − − − + =  y −  x −  y −  x + 1 = 0   De (1) segue que  x = −

CÁLCULO III

1 2

ou  x =  y

40

(1) (2)

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA  x = −

1 2

em (2) resulta  y = ±

5 2

=  y em (2) resulta 2 x 2 + x − 1 = 0 cujas raízes são  x = −1 ou  x =

1 2

  1 5    1 5  Logo os pontos críticos de  f   são:  P 1  − ,  ,  P 2  − ,−  ,  P 3 (− 1,−1) e   2 2     2 2    1 1   P 4  ,  .  2 2  Calculando as derivadas parciais de 2a ordem e o deteminante  E ( x, y ) temos:  f   xx ( x, y ) = 24 x − 12 y + 6   f   xy ( x, y ) = −12 x − 6 =  f   yx ( x, y )  f   ( x, y ) = −12 y   yy  E ( x,  y ) =

24 x − 12 y + 6

− 12 x − 6

− 12 x − 6

12 y

= (12 y )(24 x − 12 y + 6) − (− 12 x − 6)2

ou  E ( x,  y ) = 36(2 x + 1)

2

+ 72 y(4 x − 2 y + 1)

  1 5  • No ponto  P 1 − ,  temos  E  = −260,498 < 0 e  f   xx = −19,4164 < 0 segue que   2 2     1 5   é ponto de máximo local.  P 1  − ,  2 2       1 5  • No ponto  P 2  − ,−  temos  E  = −99,5016 < 0 e  f   xx = 7,41641 > 0 segue que   2 2     1 5   é ponto de mínimo local.  P 1  − ,  2 2     • No ponto  P 3 (− 1,−1) temos  E  = 108 > 0 segue que P 3 (− 1,−1) é ponto de sela.  1 1   1 1  • No ponto  P 4  ,  temos  E  = 216 > 0 segue que P 4  ,  é ponto de sela.  2 2   2 2  A seguir, com o auxílio do Mathematica, é apresentado um esboço do gráfico da função  f  ( x, y ) = 4 x 3 − 6 x 2 y − 2 y 3 + 3 x 2 − 6 xy + 6 y

CÁLCULO III

41

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA

20 Z 10 1

0 -10 -1.5

0 -1

Y

-0.5 X

0

-1 0.5 1

EXERCÍCIOS 1) Seja  z  =  f  ( x, y ) = 2 x3 + 2 y 3 − 6 x − 6 y . Encontre os pontos críticos de  f   e classifique-os em máximo local, mínimo local ou ponto de sela. 2) Classificar os pontos críticos de  f  ( x, y ) = 3 xy 2 +  x3 − 3 x . 3) Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da industria pela venda de x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por  3  L( x, y ) = 60 x + 100 y −  x 2 2

3

−  y 2 −  xy . Supondo que toda a produção da 2

industria seja vendida, determinar o nível de produção que maximiza o lucro. Respostas 1) (1,1) ponto de mínimo local, (− 1,−1) ponto de máximo local, (1,−1) e (− 1,1) pontos de sela 2) (0,1) e (0,−1) são pontos de sela, (1,0) é ponto de mínimo local. 3) 10 unidades do produto A e 30 unidades do produto B.

INTEGRAIS DUPLAS Seja  f  ( x, y ) uma função contínua não negativa em  D ⊂  R 2 . Vamos calcular o volume da região sob o gráfico de  f  ( x, y ) , acima de  D . Se  f  ( x, y ) fosse constante e igual a k  , então o volume da região seria V  = k ⋅ A , onde  A é a área de  D . Não sendo  f  ( x, y ) constante, vamos subdividir o domínio  D em n pequenas sub-regiões ∆ i D de área ∆ i A , i = 1,2,L, n . Em cada uma delas escolhemos um ponto ( x i , y i ) e consideremos  f  ( x, y ) constante e igual a  f  ( x i , y i ). Assim o volume V  da região será aproximadamente igual à soma dos volumes dos pequenos sólidos de área da base ∆ i A e altura  f  ( xi , y i ), ou seja: V  ≅

n

∑  f  ( x , y )⋅ ∆ A i

i

i

i =1

O conjunto formado pelas n sub-regiões ∆ i D em que  D foi sub-dividido é chamado partição de  D . Estas sub-regiões se interceptam duas a duas apenas em pontos das respectivas fronteiras e, reunidas, reproduzem  D . O máximo das CÁLCULO III

42

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA distâncias entre dois pontos de um conjunto é chamado diâmetro do conjunto. Seja µ  o maior dos diâmetros das regiões ∆ i D . é chamado a norma da partição de  D . A integral dupla da função  f  ( x, y ) indicada por  ∫∫  f  ( x, y )dA , é definida pelo  D

limite, (se existir): n

∑ f (x i , yi )∆i A ∫∫  f  ( x, y )dA = lim µ → 0 i =1

 D

CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA A integral dupla de uma função  f  ( x, y ) contínua não negativa em  D ⊂  R 2 representa o volume da região sob o gráfico de  f  ( x, y ) , acima de  D . Vamos considerar vários casos para  D .

CASO 1.  D

a ≤  x ≤ b é um retângulo  D :  c ≤  y ≤ d  y d D c a

b

x

d  b  d        Neste caso, ∫∫  f  ( x, y )dA = ∫  ∫  f   ( x, y )dy dx = ∫  ∫  f  ( x, y )dx  dy  D a  c c  a     b

EXEMPLO Calcular 

∫∫ ( x  D

2

0 ≤  x ≤ 3 + 3 xy )dA onde  D :  1 ≤  y ≤ 2

1o modo:  2 2    dx + = + ( ) ( ) 3 3  x  xy dA  x  xy dy ∫∫  ∫  ∫    D 0  1   144  244  3 3

2

 A ( x )

CÁLCULO III

43

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA  y = 2

  2 3 xy 2  3   9  = (2 x 2 + 6 x ) −    A( x ) =  x  y +  x 2 +  x  =  x 2 + x 2    y =1 2   2     Logo, 3 3   x 2 + 9  x dx = 2 3 + = ( ) = ( )  x  xy dA  A  x dx ∫∫  ∫ 0 ∫ 0   2    D  x = 3

 x 3 9  x 2  81 117 =  + ⋅  = 9 + = 4 4   3 2 2    x = 0 2o modo:  3 2    dy 3 3 + = + ( ) ( )  x  xy dA  x  xy dx ∫∫  ∫  ∫    D   1  0 144  244  3 2

2

 B ( y )

 x = 3

  x 3 27  x 2  =9+ y  B( y ) =  + 3 y ⋅  2   2   3  x = 0

∫∫ ( x  D

2

2

2

+ 3 xy )dA = ∫  B( y )dy = ∫   9 + 1 1  

27 2

 x = 2

  27  y 2     y dy =  9 y + ⋅  = 2 2    y =1    

27  81 117 = (18 + 27 ) −   9 +  = 9 + = 4 4   4  

CASO 2:  D

a ≤  x ≤ b é da forma:  D :   y1 ( x ) ≤  y ≤  y2 ( x )

  y ( x )    , , ∫∫ D  f  ( x  y )dA = ∫a   y ∫( x f  ) (  x  y )dy dx  144 244    3 b

2

1

 A ( x )

 y2 ( x )

y

 y1 ( x )

a

EXEMPLO CÁLCULO III

44

b

x

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Calcular 

∫∫ ( x

2

 D

0 ≤  x ≤ 1 +  y 2 )dA onde  D :  2 0 ≤  y ≤  x

y 1

0.8

0.6

0.4

0.2

x 0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

 y = x  x 1 3          y ( x 2 +  y 2 )dA = ∫  ∫ ( x 2 +  y 2 )dy dx = ∫  x 2 y +  dx = ∫∫  3    D 0   0 0      y = 0  x =1 1   4  x 6   1 1 26  x 5  x 7 = ∫  x +  − (0 + 0 )dx = + = + = 3   5 21  x = 0 5 21 105 0    1

CASO 3:  D

∫∫

c ≤  y ≤ d  é da forma:  D :   x1 ( y ) ≤  x ≤  x2 ( y )       f  ( x, y )dx dy ∫c   x ∫( y )     144 244    3 d   x 2 ( y )

 f  ( x, y )dA =

 D

1

y

 B ( y )

d y1(x)

y 2 (x) D

c

x CÁLCULO III

45

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXEMPLO Resolver o exemplo anterior utilizando a seqüência de integração dA = dxdy  D

0 ≤  y ≤ 1 pode ser reapresentado na forma:  D :    y ≤  x ≤ 1

y 1

0.8

0.6

0.4

0.2

x 0.2

0.4

0.6

0.8

1

 x =1 1 1 3         ( x 2 +  y 2 )dA = ∫  ∫ ( x 2 +  y 2 )dx dy = ∫   x +  y 2 x  dy = ∫∫  3    x =  y  D 0    y 0     3     32 1 1   5  5  2   y    1 1  y     2  2 = ∫  +  y  −  +  y 2 dy = ∫  +  y − −  y 2 dy = 3 3 3    3   0   0          1

 y =1

=

 y 3  y + 3 3

1

5

7

 y 2 − 15

 y 2 − 7

2

2

1

1

2

3

3

15

= + −

2

26

7

105

− =

 y = 0

Caso Geral: Em geral se  D não puder ser descrito de um dos modos anteriores, subdividimos  D em partes que possam se enquadrar nos casos anteriores. Por  y exemplo:

1 ≤  x 2 +  y 2 ≤ 4  D :   y ≥ 0

−2

CÁLCULO III

−1

46

1

2

x

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA y D2 D1

D3 x

-2

-1

1

2

Temos: − 2 ≤  x ≤ −1  D1 :  0 ≤  y ≤ 4 −  x 2 − 1 ≤  x ≤ 1  D2 :   1 −  x 2 ≤  y ≤ 4 −  x 2 1 ≤  x ≤ 2 , cada umas como um dos casos anteriores.  D3 :  0 ≤  y ≤ 4 −  x 2 Como  D =  D1 ∪ D2 ∪ D3 de modo disjunto temos:

∫∫  f  ( x, y )dA = ∫∫  f  ( x, y )dA + ∫∫  f  ( x, y )dA + ∫∫  f  (  x, y )dA  D

1

D

2

D

3

D

Resumindo: a ≤  x ≤ b Se  D :  então ( ) ( ) ≤ ≤  y  x  y  y  x  1 2

  y ( x )     f  ( x, y )dy dx ( ) ,  f    x  y dA = ∫∫ D ∫a   y ∫( x)     144 244    3 b

2

1

 A ( x )

c ≤  y ≤ d  Se  D :  então ( ) ( )  x  y ≤  x ≤  x  y 1 2

∫∫

      f  ( x, y )dx dy ∫c   x ∫( y )     144 244    3 d   x 2 ( y )

 f  ( x, y )dA =

 D

1

 B ( y )

dA = dydx = dxdy

CÁLCULO III

47

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Principais interpretações:

∫∫  f  ( x, y )dA = ∫∫ dA = A representa a área da região  D . 2) Se  f  ( x, y ) > 0 , ∫∫  f  ( x, y )dA = V  representa o volume do sólido de base  D e altura 1) Se  f  ( x, y ) = 1 ,

 D

 D

 D

 f  ( x, y ) .

EXERCÍCIOS 1) Calcule 2) Calcule 3) Calcule 4) Calcule 5) Calcule

1 ≤  x ≤ 2 : onde  D  ∫∫  0 ≤  y ≤ 4  D 0 ≤  x ≤ 3 2  x  y dA : + ( ) , onde  D  ∫∫  1 ≤  y ≤ 4  D 1 ≤  x ≤ 2 3  xy dA :  D , onde  ∫∫  0 ≤  y ≤ 2 x  D 0 ≤  y ≤ 1 2 , onde  xy dA :  D  ∫∫   y ≤  x ≤  y  D 0 ≤  x ≤ 1 3  y  y dA : + ( ) , onde  D  ∫∫   D  x ≤  y ≤  x  xy 3dA ,

6) Calcule e interprete o resultado

0 ≤  y ≤ 4 dA , onde  D :  0 ≤  x ≤  y

∫∫   D

0 ≤  x ≤ 5  7) Calcule o volume do sólido determinado pelas desigualdades 0 ≤  y ≤ 1 0 ≤  z  ≤ 1 −  y 2  8) Expresse através de uma integral dupla a área da região limitada, no primeiro quadrante, pelas equações  y = 4 ;  y =  x 2 e o eixo y. Calcule o valor dessa área. 9) Calcule ∫∫  xdA , onde D é a região compreendida entre as curvas  y = 2 x ;  D

 y =  x

. 10)Calcule 2

∫∫ dA , onde D é a região compreendida entre as curvas

 y = 2 x 2

 D

 y =  x

+  x . 11)Calcule ∫∫ ( x 3 + 2 xy )dA , onde D é a região compreendida entre as curvas 2

 D

 y =  x 2 ;  y 2

=  x . 12) Seja A a área da região limitada pelas curvas  y =  x ;  y = 4 x e  xy = 36 a) Indique como você calcularia A utilizando integral simples, b) Indique como você calcularia A utilizando integral dupla c) Calcule A CÁLCULO III

48

−2;

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA 13) Seja V o volume do sólido determinado pelas superfícies  x = 0 ;  x = 8 e  z  = 8 − 2 y 2 a) Indique como você calcularia V utilizando integral simples, b) Indique como você calcularia V utilizando integral dupla c) Calcule V. 14) Calcule o volume do sólido determinado pelas superfícies  z  = 0 ;  z  = 2 −  x −  y , sendo  y ≤ 1 − x 2 ,  x ≥ 0 ,  y ≥ 0 ,  z  ≥ 0 . Respostas 1) 96

2)

10

8)

7)

3

13) V  = 96

153 2 16

14)

3 49

3) 42 9)

4)

4

1 40 9

10)

3

7

5)

11)

2

6) 8 (área de D)

60 2

12)  A = 36 ln 2

9

60

A INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES y

y

y

P

y

P r 

 ρ  > 0 0 ≤ θ  < 2π 

θ 

x

x

x

coordenadas retangulares

↔

coordenadas polares

 P ( x,  y )

↔

 P (r ,θ )

x

Temos:

 x = r cosθ    y = rsenθ 

r  =  x 2 +  y 2    y θ  = arctg   x 

x≠0

; r  ≥ 0

0 ≤ θ  ≤ 2π 

O determinante Jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas em polares é dado por:

∂ x ∂( x, y ) ∂r  =  J  = ∂(r ,θ ) ∂ y ∂r 

∂ x ∂θ  = cosθ  − rsenθ  = r  ∂ y  senθ  r cosθ  ∂θ  ∂(x, y ) = r  Como r  ≥ 0 , temos ∂(r,θ ) CÁLCULO III

49

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA E assim,

∫∫  f  ( x, y )dxdy = ∫∫ F ( r ,θ )rdrd θ 

 D

D

xy

θ 

r

 

EXEMPLO Calcular  ∫∫   x 2 +  y 2 dA onde  D : x 2 + y 2 ≤ 4  D

θ 

y 2π 

2

-2

2

x

 D xy

 Dr θ 

0 Temos  f  ( x, y ) =  x 2 + y 2 ⇒  F (r ,θ ) = (r cosθ )2 + (rsenθ )2 = r 

∫∫

 D

    = ∫∫ F ( r ,θ )rdrd θ  = ∫∫ r  drd θ  = ∫  ∫ r 2 dr d θ  = D  D 0  0   2π  2

 f  ( x, y )dxdy xy

2

r

θ 

 

r θ 

r = 2

2π   r 3  8 8 θ =2π  8 16π  = ∫   d θ  = ∫  d θ  = θ  θ =0 = (2π  − 0) = 3 3 3 3 3 0     r =0 0 2π 

EXERCÍCIOS  x 2 +  y 2 ≤ 1 1) Calcule ∫∫   x +  y dA , onde  D :   y ≥ 0  D 2

2) Calcule

∫∫  x  D

2

1 2

+  y + 1 2

dA , onde  D :  x 2

+ y2 ≤ 4

 x 2 +  y 2 ≤ 1 3) Calcule ∫∫ e dA , onde  D :   x ≥ 0 ,  y ≥ 0  D 4) Calcule o volume do sólido limitado por   x 2 + y 2 = 4 ;  y + z  = 4 ;  z  = 0 0 ≤  z  ≤ 4 −  x 2 −  y 2 5) Calcule o volume do sólido limitado por    x 2 +  y 2 ≤ 3 − x 2 − y 2

CÁLCULO III

50

2

r 

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Respostas 1)

π  3

CÁLCULO III

2) π  ln 5

3)

π  4

(1 − e −1 )

51

4) 16π 

5)

14π  3

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA INTEGRAIS TRIPLAS As integrais triplas são definidas de modo análogo às integrais duplas. Dada uma função w =  f  ( x,  y, z ) , definida em  D ⊂  R 3 definimos a integral tripla de  f   por: n

∫∫∫  f  ( x, y, z )dV  = lim ∑ f (x , y , z  )∆ V  µ →0

 D

onde

µ é a partição de  D

i

i

i

i

i =1

(maior dos diâmetros das n sub regiões).

No caso particular de função  f  ( x,  y, z ) = 1 , como n

n

∑ f (x , y , z  )∆ V  = ∑1 ⋅ ∆ V  =∑ ∆ V  = V  , temos i

i

i

i =1

i

i

i

i =1

∫∫∫ 1 ⋅ dV  =∫∫∫ dV  = volume de D = V  D

 D

CÁLCULO DA INTEGRAL TRIPLA Para o cálculo da integral tripla vamos considerar vários casos.

Caso 1:  D é um paralelepípedo com as faces paralelas aos planos coordenados a ≤  x ≤ b   D : c ≤  y ≤ d   p ≤  z  ≤ q 

CÁLCULO III

52

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA z q

D p c

d y

a Dxy

b x dV  = dxdydz  = dydxdz  = dzdxdy

= dxdzdy = dydzdx = dzdydx Agora temos seis possibilidades de seqüências de integração. No caso do paralelepípedo é suficiente remanejar os extremos para mudar a ordem de integração. d  q b      d   b               ∫∫∫  f  ( x, y, z )dV  =  p∫  ∫c  ∫a  f   ( x, y, z )dx dy dz  = ∫c   p∫  ∫ a  f  ( x, y, z )dx dz dy =     q b d  b q d                  = ∫  ∫  ∫  f  ( x,  y, z )dy dx dz  = ∫  ∫  ∫  f  ( x,  y, z )dy dz  dx  p  a  c a   p  c         d   b q b  d  q                = ∫ ∫ ∫  f  ( x,  y, z )dz  dx dy = ∫  ∫  ∫  f  ( x,  y, z )dz dy  dx       c  a   p a  c   p         q

CÁLCULO III

53

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXEMPLO 0 ≤  x ≤ 2  Calcular  ∫∫∫  xy 2 z 3 dV  onde  D : 0 ≤  y ≤ 3  D 0 ≤  z  ≤ 1  Vamos utilizar a seqüência de integração dV  = dzdydx , isto é: vamos integra primeiramente na variável  z , depois na variável  y e finalmente na variável  x .

             2 31  2 3   xy 2 z 3 dz dy dx =  xy  z  dV  ∫∫∫  ∫0  ∫0  ∫ 0    D   1424  3  I )  1 44 (2  3  44    ( II )     ( I ) =  xy 3

( II )

4 2  z 

 xy 2

= ∫  0

4

4

 z =1

=  z = 0

dy

∫∫∫

 xy 2 z 3 dV  =

 D

= 2

4

 x  y 3 4 3 9  xdx 4

∫   0

xy 2  y = 3

9

=  x  y = 0

=

4

9  x 2 4 2

 x = 2

=  x = 0

18 4

=

9 2

a ≤  x ≤ b  Caso 2: Se  D for descrito por  D :  y1 ( x ) ≤  y ≤  y 2 ( x ) então  z  ( x, y ) ≤  z  ≤  z  ( x,  y ) 1 2 b   b   y ( x )   z  ( x , y )            f  ( x,  y, z )dV  = ∫ ∫∫  f   ( x,  y , z )dA dx = ∫ ∫  f  ( x,  y , z )dz dy dx ∫∫∫ ∫         D a  D a   y ( x )   z  ( x , y )        yz 

2

2

1

1

A ordem em que as integrais iteradas são calculadas não pode ser alterada a menos que sejam recalculados os extremos que definem a região  D .

CÁLCULO III

54

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA EXEMPLO

0 ≤  x ≤ 1  Calcular  ∫∫∫ (5 x +  yz )dV  onde  D : 0 ≤  y ≤  x  D 0 ≤  z  ≤  x 2 +  y 2  ( II )  644 4 7 44 4  8           1  x   x + y   (5 x +  yz )dV  = ∫  ∫ ∫ (5 x +  yz )dz dy dx ∫∫∫   0   D 00 1 4 4  2 4 4  3    (  I  )             2

2

 x 2 + y 2

 z = x 2 + y 2

   z      ( ) 5 5 + = +  x  yx dz   xz   y ∫ 0  2      z =0

( I ) =

2

= 5x + 5 xy +  y 3

2

 x 4 2

+  x  y + 2

2

= 5 x( x 2 +  y 2 ) +

 y 2

( x

2

+  y 2 ) = 2

 y 5 2

  3  x 4  y 5   2 2 2 ( II ) = ∫  5 x + 5 xy +  y +  x  y + dy = 2 2   0    x

 y = x

  3 5 xy 3  x 4  y 2  x 2 y 4  y 6   =  5 x  y + + + +  = 3 2 2 4 12   y =   0 5

= 5 x +  x + 4

4

 x 6

3

4

+

 x 6 4

+

 x 6 12

=

20 x 4 3

+

7 x 6 12

Logo,  x =1

 20  x 5 7  x 7   20 4 7 6  4 1 17    = + = (5 x +  yz )dV  = ∫     x +  x dx =  + ∫∫∫ 3 12     3 5 12 7    x =0 3 12 12  D 0   Analogamente temos outros casos: 1

c ≤  y ≤ d   então  D :  x1 ( y ) ≤  x ≤  x2 ( y )  z  ( x, y ) ≤  z  ≤  z  ( x,  y ) 1 2 d    d    x ( y )   z  ( x , y )           ( ) ( ) ( ) = =  f    x,  y, z  dV  ∫ ∫∫  f     x, y , z  dA dy ∫ ∫  f    x,  y, z  dz dx dy ∫∫∫ ∫         D c  D c   x ( y )   z  ( x , y )        xz 

ou, se

CÁLCULO III

55

2

2

1

1

FIEL – FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA a ≤  x ≤ b  então  D :  z 1 ( x ) ≤  z  ≤  z 2 ( x )  y ( x, z ) ≤  y ≤  y ( x, z )  1 2 b   b   z  ( x )   y ( x , z )            f  ( x,  y , z )dV  = ∫ ∫∫  f   ( x,  y , z )dA dx = ∫ ∫  f  ( x,  y, z )dy dz  dx ∫∫∫ ∫         D a  D a   z  ( x )   y ( x , z )        xz 

2

2

1

1

EXERCÍCIOS Calcule as integrais triplas (coordenadas cartesianas): 0 ≤  x ≤ 2  1) ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z )dV  , onde  D : 0 ≤  y ≤ 3  D 0 ≤  z  ≤ 3  0 ≤  x ≤ 1  2) ∫∫∫  zdV  , onde  D : 0 ≤  y ≤ 2 x d  0 ≤  z  ≤ 2 x −  y  3) ∫∫∫  ydV  , onde D é a região do espaço limitada pelo plano 12 x + 20 y + 15 z − 60 = 0  D

e os três planos coordenados. Respostas: 1) 120

2)

1

3)

3

15 2

INTEGRAIS DE LINHA Seja C  uma curva no plano  xOy dada pelas equações paramétricas  x =  f  (t ) a ≤ t  ≤ b . C  :  = ( )  y  g  t   Sejam M ( x, y ) e  N ( x, y ) duas funções contínuas cujos domínios contém a curva C . A integral de linha ∫ M ( x, y )dx +  N ( x, y )dy é definida por  C 

b

∫ M ( f  (t ), g (t )) f  ′(t ) +  N ( f  (t ), g (t )) g ′(t )dt . a

EXEMPLOS 1) Calcular a integral de linha

∫ ( x

2

+ 3 y )dx + ( y 2 + 2 x )dy sobre a curva

C 

 x = t  C :  2  y = t  CÁLCULO III

+1

0 ≤ t  ≤ 1 .

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