Apostila Cálculo Financeiro

CÁLCULO FINANCEIRO MATERIAL DE APOIO

VICTOR BURNS

CÁLCULO FINANCEIRO

AULA INICIAL................................................................................................................................. 3 UNIDADE 1 - FUNDAMENTOS..................................................................................................... 4 UNIDADE 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ........................ 12 UNIDADE 3 – DESCONTO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.............................. 20 UNIDADE 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS .................. 27 UNIDADE 5 – DESCONTO COMPOSTO E EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ........................ 34 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ............................................................................................................ 40 UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 1) ............................................................. 44 UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 2) ............................................................. 50 UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 3) ............................................................. 55 UNIDADE 7 – HP12C..................................................................................................................... 60 LISTA DE EXERCÍCIOS 2 ............................................................................................................ 64 UNIDADE 8 – INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA......................................................... 66 UNIDADE 9 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (PARTE 1)..................................................... 72 UNIDADE 9 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (PARTE 2)..................................................... 78 LISTA DE EXERCÍCIOS 3 ............................................................................................................ 84 UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 1)........................................................ 87 UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 2)........................................................ 93 UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 3)........................................................ 97 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 .......................................................................................................... 102 LISTAS DE EXERCÍCIOS ........................................................................................................... 104 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DAS UNIDADES ................................................................. 118

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AULA INICIAL - APRESENTAÇÃO Professor:

Victor Alexander Contarato Burns [email protected] 61 8408 8853

Disciplina:

Cálculo Financeiro 186201

- OBJETIVO DO CURSO O objetivo do curso de Cálculo Financeiro é apresentar ao aluno o instrumental básico da Matemática Financeira, bem como suas aplicações e seu relacionamento com outras disciplinas (em especial a Administração Financeira). São utilizadas as principais tecnologias (Excel e HP12C), mas o foco principal é a mecânica dos cálculos, bem como suas aplicações práticas.

- METODOLOGIA Aulas expositivas Exercícios objetivos e conceituais Estudos de caso

- CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Prova 1 – 40% – ao fim da unidade 5 (Equivalência de Capitais) Prova 2 – 60% – ao fim da unidade 10 (Engenharia Econômica) Prova 3 – após Prova 2, opcional, para substituir a nota de uma das provas anteriores

- BIBLIOGRAFIA Matemática Financeira – Hazzan e Pompeo Matemática Financeira com HP12C e Excel – Bruni & Fama Manual de Matemática Financeira e Exercícios (186201-2008.01)

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UNIDADE 1 - FUNDAMENTOS O objetivo da Matemática Financeira é avaliar as diversas oportunidades de investimentos, visando escolher a melhor. No entanto, como definir qual a melhor alternativa? Será que a melhor é a mais lucrativa? A menos arriscada? A que leva menos tempo para se pagar? Se a melhor for a mais lucrativa, precisamos, ao menos, definir o que é lucro. Se for a menos arriscada, devemos decidir como medir e tratar o risco intrínseco. Mas o principal é: devemos saber qual o nosso perfil e o que consideramos um retorno adequado. Não somos todos iguais, de forma que nossas expectativas também não o são. Assim, nossas ferramentas devem ser flexíveis o suficiente para que possamos, conforme nossos critérios, tomar decisões. A Matemática Financeira estuda os investimentos em duas dimensões. A primeira, a vertical, analisa o comportamento do investimento para um período. A segunda, a horizontal, analisa o comportamento ao longo dos períodos. A primeira determina quais os resultados esperados. A segunda nos permite interpretar o que são estes resultados. Para exemplificar os principais conceitos que trabalharemos, pense em uma empresa produtora de peças. Esta empresa apresenta os seguintes dados em determinado período: a) Número de peças vendidas: 1.000 b) Valor de cada peça: R$ 200,00 c) Custo de cada peça: R$ 100,00 d) Custos fixos e outros custos: R$ 50.000,00 A empresa foi lucrativa no período? Aparentemente sim, pois: Lucro = a*b – a*c – d = 200.000 – 100.000 – 50.000 = 50.000 No entanto, como fica este resultado ao apresentarmos as seguintes informações? e) Capital Investido: R$ 1.000.000,00 f) Poupança: 6% no período A empresa continua lucrativa? L = 50.000 – e*f = 50.000 – 60.000 = -10.000 Se a poupança tivesse rendido g) Poupança: 4% no período, Qual seria o lucro da empresa neste período? L = 50.000 – e*g = 50.000 – 40.000 = 10.000 Se, em vez de poupança, estivéssemos usando o retorno de um fundo de alto risco, extremamente volátil: h) Retorno do fundo: 15% no período 4

Qual seria o resultado da empresa? L = 50.000 – e*h = 50.000 – 150.000 = -100.000 Você acha esta conta correta, considerando que o retorno do fundo é extremamente volátil? Por outro lado, seguindo a mesma lógica, você acha correto comparar o retorno da empresa com a poupança (risco muito baixo)? Observe os dados de venda de peças pela empresa nos últimos períodos: p Caso 1 Caso 2

1 990 300

2 1.002 1200

3 1.012 1700

4 980 600

5 1.010 400

6 1.000 1.000

Qual caso deveria ser comparado com a poupança? E com o fundo? Qual a conclusão que podemos tirar deste exemplo?

NÃO SE DEVEM COMPARAR DIRETAMENTE RETORNOS DE ATIVOS QUE REPRESENTEM RISCOS DIFERENTES

Os exemplos de fatores de risco são inúmeros, podendo, por exemplo, ser de ordem gerencial (proprietário inexperiente x empresário competente), negocial (empresa em setor sem barreira de entrada x setor com barreira).

Situação 2: Seu irmão (que ganha muito dinheiro) pede R$ 1.000,00 emprestado, para ajustar o fluxo de caixa dele, e pretende devolver R$ 1.000,00 em 6 meses. Você acha um bom negócio? Por que não? Suponha que você quer comprar um iPod que custa exatamente R$ 1.000,00, passou 1 ano economizando para comprá-lo, e seu irmão te pede este dinheiro? Você emprestaria? E se tivesse R$ 150.000,00 em dinheiro sobrando? Quanto você cobraria de juros, nos dois casos? As respostas a estas questões, embora óbvias, levam ao primeiro conceito: UTILIDADE = Investir implica deixar de consumir hoje, para consumir mais no futuro. A função utilidade varia de ator para ator. Você tinha R$ 1.200,00, economizados com muito suor, mas ainda assim emprestou R$ 1.000,00 ao seu irmão. No dia seguinte, em uma promoção, o preço do iPod baixou para R$ 500,00. Como você se sentiria? OPORTUNIDADE = se os recursos forem limitados, a posse deles no presente permite aproveitar oportunidades mais rentáveis que surgirem. O custo de oportunidade varia de ator para ator, mediante seu perfil de risco. 5

Por fim, vamos supor que seu irmão, em vez de ganhar muito dinheiro, não estuda, não trabalha, e sequer recebe mesada? Você emprestaria o dinheiro? RISCO = os planos podem não ocorrer conforme o previsto. Vários tipos de risco: Político (sinais confusos para o mercado, crises, barreiras protecionistas, guerras, etc.); Econômico (inflação disparar, crises, etc.), Negocial (concorrência, preço de matérias-primas, etc.), dentre outros. Devido a todos estes fatores, podemos depreender um dos corolários principais (talvez o principal) da Matemática Financeira: DINHEIRO TEM CUSTO ASSOCIADO AO TEMPO E isto quer dizer que: 1) Só se podem comparar valores se estes estiverem referenciados na mesma data. 2) Só se podem efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma data. Definições JURO = equivale ao aluguel do dinheiro por determinado período, é expresso em unidades monetárias. Normalmente é identificado pelas letras J ou I (maiúsculas). TAXA DE JUROS = relação entre os juros e uma unidade de tempo – i, j, tx, retorno, remuneração, remuneração do capital empregado, custo de capital, r, etc. Pode ser expresso de duas formas: Taxa Percentual: 5%, 10% (am – ao mês, aa, as, aq, ab, etc.) Taxa Unitária: 0,05, 0,1 (am, aa, as, aq, ab, etc.) – utilizada nas fórmulas. Lembrar de SEMPRE associar uma data à taxa de juros. A taxa de juros varia de ator para ator, assim como seus componentes:

Juro

Utilidade Oportunidade Risco Custo – Bancos, por exemplo

Aprofundando o estudo da taxa de juros (apesar de não ser objeto desta disciplina), temos que. (1+i) = (1+r)*(1+σ)*(1+θ) i = taxa de juros r = retorno esperado σ = risco envolvido na operação θ = perda do poder aquisitivo Ou seja, a taxa de juros tem que ser grande o suficiente para remunerar o dinheiro investido, de forma a representar um ganho real, cobrir o risco da operação (todos os riscos identificáveis) e, ainda, compensar a perda do poder aquisitivo decorrente, por exemplo, da inflação. 6

Risco

Risco x Retorno

Retorno Lembrar sempre que, para cada risco incorrido, há sempre um retorno mínimo exigido pelo investidor, uma vez que entre dois ativos com risco semelhante, será sempre escolhido o de maior retorno. Quanto maior o risco, maior o retorno esperado.

CAPITAL = quantidade de moeda que um ator tem disponível e concorda em ceder a outro, TEMPORARIAMENTE E MEDIANTE REMUNERAÇÃO – Valor Presente, Capital Inicial, P, C, VP, PV, etc. MONTANTE = resultado da aplicação do capital inicial – soma do capital com o juro – Valor futuro, S, VF, FV, F, etc. TEMPO = Período de capitalização – n, p.

Relações Básicas 1) VF = VP+J




J = VF-VP




VP = VF-J *

* Esta relação é extremamente importante, por significar que o VP no início do período é rigorosamente (e em termos financeiros) igual ao VF no fim do período, ou seja, R$ 1.000 hoje valem exatamente R$ 1100 ao fim do período, se a taxa para este período for de 10%.

2) J = VP*i




i = J/VP




i = (VF-VP)/VP = VF/VP - 1

Fórmula 1 combinada com 2: VF = VP + VP*i




VF = VP * (1+i) **

** Esta é a fórmula mais importante do dia, e será utilizada como ponto de partida para diversos outros raciocínios ao longo do curso. Exemplos: 1. Um capital de R$ 10.000 é aplicado por um ano à taxa de 20% aa. Qual o juro? Qual o montante? J = VP*i = 10.000*0,2 = 2.000 VF = VP+J = 10.000 + 2.000 = 12.000 ou VF = VP*(1+i) = 10.000 * (1+0,2) = R$ 12.000

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2. Um investidor comprou um título no valor de R$ 12.000. Três meses depois, o mesmo título valia R$ 12.540. Qual o retorno do título neste período? i = VF/VP – 1 = 12.540/12.000 – 1 = 1,045 – 1 = 0,045 (4,5%) ou, com a mesma fórmula, em sua forma original VF = VP*(1+i)
12.540 = 12.000 (1+i)
1+i = 12.540/12.000
i = 1,045-1 = 4,5%

Fluxo de Caixa de uma Operação – Representação esquemática O fluxo de caixa é elaborado com uma linha horizontal, representando o tempo, com setas para cima (entradas) e para baixo (saídas)

Ex.: Uma pessoa aplicou R$ 50 mil (VP) em um banco e recebeu R$ 6.500 (VF) de juros após 12 meses (n).

Ótica do aplicador:

56.500 12 50 mil

Ótica do banco:

50 mil 12 56.500

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Regimes de Capitalização Até o momento, conversamos sobre o valor do dinheiro no tempo, considerando apenas um período de avaliação. Ao acrescentarmos esta variável, começamos o estudo da capitalização. Os regimes de capitalização podem seguir duas lógicas:

Simples – juros simples Regimes de Capitalização Composta – juros compostos

Simples

Juro constante em cada período Igual a C * taxa Juro pago ao final da operação

Juros do período se agregam ao C Composta Soma passa a render juro no período seguinte

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Exercícios – Fundamentos

1. Um capital de R$ 2.000 é aplicado em cada uma das condições indicadas. Obtenha o juro e o montante em cada caso, e desenhe o fluxo de caixa da operação.

a)

Taxa 50%aa

Prazo 1 ano

b)

30%as

1 semestre

c)

12%at

1 trimestre

d)

5%ab

1 bimestre

e)

1,7%am

1 mês

f)

0,03%ad

1 dia

Resposta

2. Calcule o retorno obtido no período por um investidor em cada uma das situações:

a) b) c) d) e) f)

VF (R$) 10.000 15.000 7.200 3.300 2.420 4.002

VP (R$) 8.000 13.500 6.800 3.200 2.400 4.000

Prazo 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 mês 1 dia

Resposta

3. Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de empréstimos em cada uma das situações a seguir:

a) b) c) d) e) f)

VP (R$) 3.500 8.000 4.300 5.400 9.000 6.700

Juro (R$) 400 1.200 210 220 150 2,50

Prazo 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 mês 1 dia

Resposta

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4. Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações seguintes:

a) b) c) d) e) f)

Taxa 28%aa 12%as 3,8%at 4%ab 1,8%am 0,06%ad

Prazo 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 mês 1 dia

Juro (R$) 14.000 24.000 7.600 10.800 3.600 6.000

Resposta

5. Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje R$ 666,67 e receba R$ 1.000 daqui a um ano”. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco? Desenhe o fluxo de caixa do investimento. Resposta:

6. Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de R$ 10.000, foi adquirido hoje por um fundo por R$ 9.600. Qual a taxa de rendimento do papel no período? Resposta:

7. Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado? Resposta:

8. Um amigo pediu R$ 1.000,00 emprestado por determinado período, a uma determinada taxa de juros. Você tem este dinheiro e não precisa dele neste momento. No entanto, este amigo já ficou lhe devendo dinheiro outras vezes e você sempre perdoou a dívida. A sua decisão, dado o histórico do relacionamento, foi a de não emprestar o dinheiro. a) Com a sua negativa, o amigo ofereceu um computador, no valor de R$ 2.500,00 como garantia. Isto afetaria a sua decisão? Por quê?

b) Com a sua negativa, o amigo solicitou um valor bastante menor, R$ 50 reais. Isto afetaria a sua decisão? Por quê?

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UNIDADE 2 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Regime de Capitalização Simples No regime de capitalização simples, a taxa de juros incide somente sobre o valor inicialmente aplicado ou tomado emprestado. Ex.: R$ 100 aplicados a uma taxa de 10%, por 3 períodos:

$130 0

1 $10

2 $10

3 $10

$100

Fórmulas Conforme visto anteriormente: J = VP*i Contudo, estamos considerando diversos períodos. Como a capitalização é simples, ou seja, o rendimento de um período não é somado ao capital para o cálculo do juro, podemos simplesmente multiplicar o juro de cada período pelo número de períodos: J = VP*i*n
n = J/VP*i
i = J/VP*n
VP = J/i*n Dedução: Qual o juro gerado por R$ 100 aplicados a 10% am em 4 meses: VP = 100 i = 10% am n = 4 meses J=? Utilizando a fórmula vista anteriormente: P 1: J = 100*0,10 = 10 P 2: J = 100*0,10 = 10 P 3: J = 100*0,10 = 10 P 4: J = 100*0,10 = 10 Soma dos J = 40 = 10+10+10+10 = 4*(10) = 4*(100*0,1) = n*VP*i

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Se lembrarmos de outra fórmula anterior: VF = VP + J Podemos depreender que, na capitalização simples: VF = VP + VP*i*n = VP*(1+i*n) Ou, com outra notação: S=P*(1+i*n) Isolando outras variáveis, temos:

VP = VF/ (1+i*n) – repare que, para partir do presente para o futuro, multiplicamos. Do futuro para o presente, dividimos pelo mesmo fator. i = (VF/VP – 1) / n n = (VF/VP – 1) / i

Exemplos: 1. Uma aplicação de R$ 500,00 foi feita, com uma taxa de 5% am, por 5 meses, no Regime de Capitalização Simples. Qual o valor dos juros mensais? E os juros totais? E o valor da retirada, ao final dos 5 meses? VP = R$ 500 i = 5% am n = 5 meses J mensal = ? J=? VF = ? Juros mensais: Jm = VP*i = 500*0,05 = R$ 25,00 Juros totais: J = n*Jm = R$ 125 = J C*i*n = 500*0,05*5 = R$125 Retirada: VF = VP + J = 500 + 125 = R$625 = VP*(1+i*n) = 500*(1+0,05*5) = R$ 625 2. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 750, após 5 meses, a uma taxa de 10% am. Qual o capital inicial da operação? VF = R$ 750,00 VP = ? i = 10% am n=5 VP = VF/ (1+i*n) = 750/(1+0,1*5) = R$ 500,00

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3. O valor de R$ 200 foi aplicado por 5 meses, resultando em um total de R$ 400 ao fim do período. Sabendo que o regime de capitalização era simples, calcule a taxa de juro mensal praticada. i = (VF/VP – 1) / n = (400/200 – 1)/5 = 0,20 = 20% am

4. Qual o valor futuro de uma aplicação de R$ 1000 feita a uma taxa de 3% at, no regime de juros simples, durante 1,5 anos? Repare que a taxa de juros é trimestral, enquanto o prazo foi especificado em anos. VF = ? VP = R$ 1000 i = 3% at n = 1,5 anos = 6 trimestres VF = VP*(1+i*n) = 1000*(1+0,03*6) = 1000*1,18 = R$ 1.180

TAXAS DE JUROS E NÚMERO DE PERÍODOS DEVEM ESTAR SEMPRE NA MESMA BASE Sugestão: Sempre que possível, altere o número de períodos (n), evitando alterar a taxa (i).

Equivalência de Taxas A conversão dos períodos é intuitiva, e pode ser feita sem nenhuma dificuldade. No entanto, a conversão das taxas é um pouco menos óbvia, e, portanto, deve receber um pouco mais de atenção. Duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. J = VP*i*n (situação 1) J2 = VP*i2*n2 (situação 2) Se as taxas são equivalentes, J = J2: J = J2
VP*i*n = VP*i2*n2
i*n = i2*n2 Lembrando que os períodos têm que ser equivalentes, ou seja, devem representar a mesma quantidade de tempo.

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Exemplos: 1. Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% am? Temos: i = 1% am n = 12 meses (lembrem que estamos procurando a taxa anual, para tanto temos que trazer o período para a quantidade de tempo, no caso, um ano) i2 = ? n2 = 1 ano i*n = i2*n2
0,01*12 = i2*1
i2 = 0,12 = 12% aa Em juros simples, a taxa de 1% am é equivalente à taxa de 12% aa. 2. Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% at? i = 9% at n = 1 trimestre (1 trimestre = 3 meses) i2 = ? n2 = 3 meses 0,09*1 = i2*3
i2 = 0,03 = 3% am 3. Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 5.000, e que o valor de resgate foi de R$ 5.525,00 após 7 meses? VP = R$ 5.000 VF = R$ 5.525 n = 7 meses i=? Calculando i: i = (VF/VP – 1) / n = (5525/5000 – 1)/7 = 0,015 am = 1,5% am Com isto: i = 1,5% am n = 12 meses (queremos a taxa anual) i2 = ? n2 = 1 ano 0,015*12 = i2*1
i2 = 0,18 = 18% aa

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Juro exato ou comercial A conversão de taxas deve levar em conta qual a convenção para a contagem de tempo que está sendo utilizada, se exata ou comercial. Exata – Considera o ano civil, que tem 365 (ou 366 dias), e cada mês com seu número real de dias. Comercial – Considera o ano comercial, que tem 360 dias, e o mês comercial, que tem 30 dias. Os juros conforme a primeira convenção são chamados de juros exatos, e, conforme a segunda, de juros comerciais. Em geral, utiliza-se a segunda convenção.

Valor Nominal ou Valor Atual (Presente) Valor nominal (N) = valor na data de vencimento Valor atual (V) = valor aplicado a juros simples, em uma data anterior até a data de vencimento e que proporcione montante igual ao valor nominal Fórmula: V + Vin = N
N = V(1+in) – esta fórmula não lembra aquela da capitalização simples? Exemplos 1. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 11.000 a ser paga em 5 meses. Quanto ela deve aplicar hoje, a 2% am, para poder pagar a dívida no seu vencimento? V=? N = R$ 11.000 i = 2% am n = 5 meses V+V(0,02*5) = 11.000
V = 11.000/1,1 = 10.000,00 A pessoa deve aplicar hoje o valor de R$ 10.000,00. 2. Um investidor adquiriu um título por R$ 17.000, com valor de resgate de R$ 20.000, com prazo de vencimento igual a 12 meses. a) Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples? i = 20.000/17.000 – 1 = 17,65% no período (12 meses) Calculando a taxa mensal: i = 17,65% n = 1 período i2 = ? n2 = 12 meses (1 período) i2 = 17,65%/12 = 1,47% am

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b) Seis meses antes do vencimento, o investidor precisou vender o título. Nesta data, a taxa de juros para a aplicação caiu para 1,3% am. Qual o preço de venda do título? V=? N = R$ 20.000 i = 1,3% am n = 6 meses V = N/(1+in) = 20.000 /(1+0,013*6) = 18.552,88 O valor pago pelo título, a 6 meses do vencimento, foi R$ 18.552,88.

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Exercícios – Capitalização Simples e Equivalência de Taxas

1. Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 2.000,00

Taxa 1,2%am

Prazo 5 meses

b)

3.000,00

21%aa

2 anos

c)

2.000,00

1,3%am

3 anos

d)

6.000,00

15% at

2,5 anos

Resposta

2. Determine o montante obtido por juros simples nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 5.000,00

Taxa 2%am

Prazo 3 meses

b)

4.000,00

13%aa

2 anos

c)

2.000,00

0,1%ad

30 dias

d)

3.000,00

10% at

2,5 anos

Resposta

3. Determine o prazo de cada aplicação a juros simples nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 5.000,00

Taxa 3%am

Montante (R$) 5.750

b)

4.000,00

10%aa

6.800

c)

2.000,00

0,15%ad 2.135

d)

3.000,00

10% at

Resposta

4.500

4. Determine a taxa de juros simples de cada aplicação nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 5.000,00

Prazo 6 meses

Montante (R$) 6.050

b)

4.000,00

10 anos

7.200

Resposta

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c)

2.000,00

30 dias

2.060

d)

3.000,00

7 trim.

4.680

5. Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5% am b) 2,5% ab c) 3,5% at

d) 4,5% aq e) 6,5% as

6. Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000 à taxa de 35% aa pelo prazo de 7 meses.

7. Um capital de R$ 5.000 foi aplicado a juros simples à taxa de 24%aa. a) Qual o montante após 6 meses?

b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital inicialmente empregado?

8. Uma aplicação financeira tem prazo de três meses, rende juros simples à taxa de 1,8% am, mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (após o pagamento do imposto) de uma aplicação de R$ 4.000?

b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de R$ 3.600?

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UNIDADE 3 – DESCONTO SIMPLES E EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Desconto Simples é o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições, utilizando as premissas da capitalização simples. Normalmente representa o recebimento antecipado de valores futuros (títulos de crédito, como, por exemplo, notas promissórias ou cheques pré-datados). Como o dinheiro tem um custo associado ao tempo, a mesma lógica que leva o valor presente para o futuro deve ser utilizada para trazer um valor futuro ao presente. Os juros estão relacionados à capitalização, e o desconto se relaciona com a descapitalização. Sinônimos utilizados nas operações de desconto: Valor presente = Valor líquido = Valor descontado = Vd Valor nominal = Valor futuro = Valor de face = N Taxa de desconto = d Desconto = D Exemplo: 1. Um comerciante vende determinado produto por R$ 50, para pagamento em 40 dias. No entanto, se o pagamento for efetuado à vista, há um desconto de 10%. Qual o valor de cada unidade? Preço = R$ 50,00 Taxa de desconto = 10% Desconto = 50*10% = R$ 5,00 Cada unidade passa a custar, para pagamento à vista, R$ 45,00. Desconto comercial / bancário (por fora) Nas operações de desconto comercial e bancário, os juros incidem sobre o valor futuro da operação. D = VF*d*n Temos que: VP = VF – D = VF – VF*d*n = VF*(1–d*n) Reparem que esta forma de desconto foi desenvolvida utilizando a mesma lógica que usamos para determinar as relações de capitalização simples, mas não é uma decorrência direta dela. Variações da fórmula, isolando as demais variáveis: VP = VF*(1-d*n)
VF = VP/(1-d*n)
i = (1-VP/VF)/n
n = (1-VP/VF)/i

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Do exemplo anterior: VF = R$ 50,00 d = 10% a cada 40 dias n = 1 período de 40 dias VP = ? VP = VF*(1-d*n) = 50*(1-0,1*1) = 50*0,9 = R$ 45,00 Exemplos: 1. Uma duplicata de R$ 18.000 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% am. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, o desconto, o fluxo de caixa e a taxa efetiva de juros da operação. VF = R$ 18.000 d = 2,5% am n=2 VP = ? D=? VP = VF*(1-d*n) = 18.000 (1-0,025*2) = 18.000*0,95 = R$ 17.100 D = VF – VP = 18.000 – 17.100 = R$ 900 Utilizando a fórmula de capitalização simples, para o cálculo da taxa efetiva de juros da operação.: VF = VP*(1+i*n) i = (VF/VP-1)/n i = (18/17,1-1)/2 = 0,0526/2 = 0,0263 = 2,63%am Por que a taxa de juros foi diferente da taxa de desconto? Porque a primeira incide sobre PV para dar R$ 900,00, enquanto a segunda incide sobre FV para dar os mesmos R$ 900,00. 2. Uma nota promissória de R$ 12.000 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% am. a) Qual o desconto? D = VF*d*n D=? VF = R$ 12.000 d = 2% am n = 42 dias Convertendo a taxa: n = 30 dias d = x% ad n2 = 1 m d2 = 2%am dn = d2n2
d = 2%/30 ad A conversão da taxa de desconto simples é igual à conversão da taxa de juros simples. 21

Aplicando à fórmula: D = 12.000 * 0,02/30 * 42 = R$ 336,00 b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, pago no dia em que a empresa a descontou? Tx de serviço = 0,5%*12.000 = R$ 60 VP = 12.000 – 336 – 60 = R$ 11.604 c) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período? VF = VP(1+in) 12000 = 11604 (1+i*1) i = 12000/11604 – 1 = 3,41% ao período

Desconto Bancário O desconto bancário é similar ao comercial, com a diferença de que prevê a cobrança de uma taxa sobre a operação. De modo geral, o desconto bancário será igual ao desconto mais uma taxa prefixada que incidirá sobre o valor nominal, conforme mostrado no exercício anterior: Db = Dc + t*VF Em que t representa a taxa prefixada.

Desconto Racional (por dentro) No desconto racional, a taxa de juros incide sobre o valor presente. Representa a aplicação direta da fórmula dos juros simples, com o objetivo de encontrar o valor presente, ou seja: Fórmula dos juros simples: VF = VP * (1+ i*n) Logo: VP = VF/(1 + i*n) Como D = VF – VP, Temos: D = VF – VF/(1+i*n)

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Exemplo: 1. Um título, com valor nominal de R$ 500, com vencimento programado para daqui a três meses, foi descontado hoje. Sabendo que foi aplicado desconto racional no regime de capitalização simples, a uma taxa de 4,5% am, calcule o desconto e o valor líquido recebido. VF = 500 n = 3 meses d = 4,5% am D = VF-VF/(1+in) = 500 – 500(1+0,045*3) = 500 – 440,53 = 59,47 VP = VL = 440,53 Se tentarmos calcular, como nos exemplos dos exercícios com desconto comercial, a taxa efetiva, veremos que encontraremos exatamente a taxa inicial, como era esperado devido a tratar-se da mesma fórmula. Equivalência de capitais – Capitalização Simples Dois ou mais capitais nominais são ditos equivalentes quando, mediante a aplicação da mesma taxa de juros, seus fluxos de capitais somados igualam-se na mesma data focal. Deve-se especificar o tipo de desconto, pois o resultado da operação de desconto em juros simples depende da modalidade adotada. Data focal é a data considerada como base para comparação dos valores referidos a diferentes datas. Exemplo: 1. Sejam os dois fluxos de caixa seguintes Mês 1 2

Fluxo 1 110,00 120

Mês 3 6

Fluxo 2 65,00 240,00

Para verificar se estes fluxos são equivalentes mediante o desconto racional simples a uma taxa igual a 10% am na data focal zero, basta calcular o valor presente de cada um dos valores nominais apresentados, somando-os posteriormente. Se as somas forem iguais, os fluxos são equivalentes. Utilizando a fórmula do desconto racional, temos: VP = VF/(1+in) VP1 = 110/(1+0,1*1) = 100,00 VP2 = 120/(1+0,1*2) = 100,00 Soma dos VPs = 200,00

VP3 = 65/(1+0,1*3) = 50,00 VP6 = 240/(1+0,1*6) = 150,00 Soma dos VPs = 200,00

Repare que, utilizando os mesmos dados do exemplo, mas considerando mediante o desconto comercial simples, a conclusão a que chegamos é diferente: F1 = 99 + 96 = 195 F2 = 45,50 + 96 = 141,50 23

Exercícios – Desconto Simples e Equivalência de Capitais 1. Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comercial de 3%am. Qual a taxa efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem: a) Um mês.

b) Dois meses.

2. Um duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000 foi descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% am. Obtenha: a) O desconto comercial.

b) O valor descontado do título.

c) A taxa efetiva de juros no período.

d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação.

3. Uma promissória foi de R$ 20.000 foi descontada em um banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% am. Obtenha: a) O desconto comercial (por fora).

b) O valor atual comercial do título.

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c) A taxa efetiva de juros no período.

d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação.

4. Numa operação de desconto com prazo de 4 meses, o valor presente de um título é igual a 82% de seu valor de resgate. Determine a taxa anual de desconto racional desta operação, no regime de juros simples.

5. O valor de resgate de um título, em seu vencimento, é igual a 108 vezes o valor de seu desconto racional com uma taxa de 28% aa. Determine o prazo em dias desta operação de desconto racional, no regime de juros simples, assumindo-se ano com 360 dias.

6. Com base nos números apresentados nas tabelas seguintes, verifique se os fluxos de caixa são equivalentes, usando o desconto racional. Considere a data focal zero e i = 10% ap.

t 2 4 6 8

Fluxo 1 VF 150,00 72,54 400,00 750,00

t 3 4 6 8

Fluxo 2 VF 200,00 100,00 300,00 877,00

7. Com base nos mesmos dados do exercício anterior, verifique se os fluxos de caixa são equivalentes, usando o desconto comercial. Explique a diferença.

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8. Considere os dados das empresas abaixo nos 5 períodos: A tabela “Empresa 1+2” representa os resultados projetados da empresa resultante de uma fusão entre as empresas 1 e 2. Se você fosse o executivo responsável pela decisão de fundir as empresas, qual seria a sua posição, utilizando o desconto racional simples, com uma taxa de desconto de 10% e data focal zero? Explique.

Empresa 1 Qtdade. Vendida Preço Unitário Receita Total Custo Unitário CDT Custos fixos Resultado

1 100 50 5000 30 3000 1100 900

2 110 50 5500 35 3850 1100 550

3 130 60 7800 35 4550 1100 2150

4 120 65 7800 40 4800 1100 1900

5 150 70 10500 40 6000 1100 3400

Empresa 2 Qtdade. Vendida Preço Unitário Receita Total Custo Unitário CDT Custos fixos Resultado

1 130 70 9100 45 5850 1500 1750

2 120 70 8400 45 5400 1500 1500

3 100 75 7500 50 5000 1600 900

4 80 75 6000 50 4000 1600 400

5 70 75 5250 50 3500 1600 150

Empresa 1+2 Qtdade. Vendida Preço Unitário Receita Total Custo Unitário CDT Custos fixos Resultado

1 230 60 13800 35 8050 2500 3250

2 230 60 13800 35 8050 2400 3350

3 230 65 14950 40 9200 2350 3400

4 200 70 14000 40 8000 2400 3600

5 220 70 15400 45 9900 2400 3100

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UNIDADE 4 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS Nos juros compostos, conforme visto anteriormente, os juros do período se agregam ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte. Considerando R$ 100 aplicados à taxa de 10%am, pelo período de 4 meses, no regime de capitalização composta: N 1 2 3 4

VP 100 110 121 133,1

J (=VP*i) 10 11 12,1 13,31

VF (=VP+J) 110 121 133,1 146,41

Utilizando somente fórmulas para retratar o que aconteceu: N 1 2 3 N

VP VP VP(1+i) VP(1+i)2 ...

J (=VP*i) VP*i VP(1+i)*i VP(1+i)2*i ...

VF (=VP+J) VP+VP*i = VP(1+i) VP(1+i)+ VP(1+i)*i = VP(1+i)(1+i) = VP(1+i)2 VP(1+i)2 + VP(1+i)2*i = VP(1+i)2(1+i) = VP(1+i)3 VP(1+i)n

Ou seja, a fórmula principal do juro composto é VF = VP*(1+i)n E suas fórmulas decorrentes: VP = VF/(1+i)n i = (VF/VP)1/n - 1 n = LN (VF/VP)/LN (1+i) A demonstração da fórmula para cálculo do n é um pouco menos óbvia que as demais: VF = VF*(1+i)n (1+i)n = VF/VF Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, temos: LN (1+i)n = LN (VF/VF) n*LN (1+i) = LN (VF/VF) n = LN (VF/VF) / LN (1+i) Os LN dos valores encontrados podem ser obtidos facilmente com o uso de qualquer calculadora, ou por meio do uso de uma tábua de logaritmo.

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Exemplos: 1. Um capital de R$ 6.000 foi aplicado a juros compostos durantes três meses, à taxa de 2% am. a) Qual o montante? VF = R$ 6.000 n = 3 meses i = 2% am VF = ? VF = VF (1+i)n VF = 6.000 (1+0,02)3 = 6.367,25 b) Qual o total de juros auferidos? VF = VF + J J = VF – VF = 6.367,25 – 6000 = R$ 367,25 2. Que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% am, produz um montante de R$ 3.500 após um ano? VF = 3.500 i = 2,5%am n = 12 meses VF = ? VF = VF/(1+i)n VF = 3500/(1+0,025)12 = R$ 2.602,42 3. Um capital de R$ 2.500 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 3.500. Qual a taxa de juros? VF = 3.500 VF = 2.500 n = 4 meses i=? i = (VF/VF)1/n - 1 i = (3500/2500)1/4 – 1 = 0,0878 = 8,78% am 4. Durante quanto tempo um capital de R$ 1000 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% aa para resultar em um montante de R$ 1.610,51? VF = 1.610,51 VF = 1.000 i = 10% aa n=? n = LN (VF/VF)/LN (1+i) n = LN (1610,51/1000) / LN (1,1) = LN (1,61051) / LN (1,1) = 0,476551/0,09531 = 5 anos

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Convenções linear e exponencial Devido a uma relativa dificuldade em realizar cálculos com períodos não inteiros, antigamente se utilizava, por convenção, a convenção linear, ou seja, considerava-se a incidência de juros compostos durante os períodos inteiros de capitalização e a incidência de juros simples durante os períodos fracionários de capitalização. Uma fórmula para descrever esta relação pode ser: VF = VP(1+i)m*(1+i*r/s) Em que m representa a parte inteira do período e r/s o período fracionário de capitalização. No entanto, com a facilidade de acesso a novas tecnologias para cálculo financeiro, a convenção linear caiu em desuso e passou-se a adotar como padrão a convenção exponencial, que considera capitalização composta para todo o período, inclusive na parte fracionária (VF = VP(1+i)n).

Equivalência de Taxas Conforme visto anteriormente, em capitalização simples, duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. A mesma lógica vale para o juro composto, ou seja, duas taxas de juros a períodos diferentes serão equivalentes quando gerarem o mesmo valor futuro (ou juro), tendo sido aplicadas sobre o mesmo capital: VF1 = VF2 VP1(1+i1)n1 = VP2(1+i2)n2 Como VP1 = VP2, (1+i1)n1 = (1+i2)n2 Lembrando que a mecânica de cálculo é a mesma já vista para juros simples. Exemplos: 1. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2%am? i1 = 2%am n1 = 12 meses

i2 = ? %aa n2 = 1 ano

(1+i1)n1 = (1+i2)n2 (1+0,02)12 = (1+i2)1 i2 = (1,02)12 – 1 = 0,2682 = 26,82% aa O mesmo resultado seria obtido se houvéssemos utilizado qualquer outro prazo.

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Capitalização composta com taxas de juros variáveis A premissa de alguns fluxos de caixa é a variabilidade de suas taxas de juros, como, por exemplo, fundos de ações e outros instrumentos. Para calcular a rentabilidade do fluxo, utilizamos a mesma dedução da fórmula inicial de juros compostos: VF = VP* (1+i)n = VP*(1+i) (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)…. Considerando taxas de juros variáveis ao longo dos períodos, é fácil deduzir que: VF = VP* (1+i1) (1+i2) (1+i3) (1+i4) (1+i5) (1+i6), e assim por diante. Exemplo: 1. Em três meses consecutivos, um fundo de renda fixa rendeu, respectivamente, 1,3%, 1,7% e 2,1%. Se o capital aplicado no início do primeiro mês foi de R$ 16.000,00, pede-se: a) O montante ao final do terceiro mês VF = VP* (1+i1) (1+i2) (1+i3) = 16.000 * (1,013)(1,017)(1,021) = 16.829,69 b) A taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre i = VF/VP – 1 = 16.829,69/16.000 – 1 = 0,0519 = 5,19% no trimestre

Taxa Nominal x Taxa Efetiva Algumas vezes, o período da capitalização (formação dos juros) não coincide com o período da taxa. Quando isto ocorre, convencionou-se adotar a taxa por período de capitalização (taxa efetiva) como sendo proporcional à taxa considerada (nominal). Exemplo: 1. Um capital de R$ 1000 foi aplicado durante 1 ano à taxa de 12% aa, no regime de juros compostos, mas com capitalização mensal dos juros. Qual o montante? Tx. Nominal = 12% aa Tx. Efetiva = 12%/12 = 1% am = 12,683%aa VF = VP (1+i)n = 1.126,83 2. Um capital de R$ 5.000 é aplicado durante 8 meses a juros compostos à taxa de 36% aaccm (ao ano com capitalização mensal). Qual o montante? Tx Nominal = 36%aa Tx Efetiva = 36%/12 = 3%am = 42,576%aa VF = VP (1+i)n = 5000*(1,03)8 = 6.333,85

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Capitalização Contínua A tabela abaixo representa um capital de R$ 1.000, aplicado à taxa de 12%aa, durante um ano, representando vários tipos de capitalização: Tipo Anual Semestral Trimestral Mensal Diária Horária

Taxa Efetiva 12% aa 12%/2 as 12%/4 at 12%/12 am 12%/360 ad 12%/8.640 ah

Taxa Efetiva (aa) 12,000%aa 12,360%aa 12,551%aa 12,683%aa 12,747%aa 12,750

Montante 1.120,00 1.123,60 1.125,51 1.126,83 1.127,47 1.127,50

Repare que só chegamos até a capitalização horária, mas nada nos impede de buscarmos a capitalização por minuto, por segundo, etc. No limite, podemos pensar em uma capitalização contínua. Se houver k capitalizações ao longo do ano, a fórmula do montante será: VF = VF*(1+i/k)k À medida que k cresce, o montante cresce indefinidamente. No entanto, trazendo do Cálculo Diferencial, o limite da função f(x) = (1+m/x)x , quando x tende ao infinito, é igual a em . A variável e representa o número de Euler, e vale, aproximadamente, 2,718282. Logo, uma fórmula genérica para o cálculo do montante com capitalização contínua é: VF = VF * ei Sendo i a taxa nominal. Se formos considerar mais de um período de capitalização, temos: VF = VF * ein Exemplo: 1. Um capital de R$ 5.000 é aplicado à taxa de 10%as, durante dois anos, com capitalização contínua. Qual o montante? VF = VF * ei VF = 5000 i = 10%as n = 4 (dois anos = 4 semestres) VF = 5000* e0,1*4 = 7.459,12

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Exercícios – Capitalização Composta e Equivalência de Taxas

1. Calcule o montante, em juros compostos, das aplicações abaixo: C 5.000,00 2.100,00 4.000,00 2.500,00 3.000,00

i 14,0%aa 8,0%as 5,0%at 6,0%am 0,1%ad

n 2 anos 5 semestres 3 trimestres 4 meses 20 dias

S

2. Calcule a taxa de juros, em juros compostos, das aplicações abaixo: S 6.384,50 3.838,88 4.679,43 3.506,38 3.313,87

C 5.000,00 2.100,00 4.000,00 2.500,00 3.000,00

n 2 anos 7 semestres 4 trimestres 5 meses 10 dias

i

3. Calcule o capital inicial, em juros compostos, das aplicações abaixo: S 9.248,00 3.304,39 4.638,77 3.933,80 3.380,88

n 2 anos 4 semestres 6 trimestres 4 meses 15 dias

i 36,0%aa 12,0%as 2,5%at 12,0%am 0,8%ad

C

4. Calcule o número de períodos, em juros compostos, das aplicações abaixo: S 7.689,50 5.028,39 2.837,04 4.900,17 2.817,06

C 3.500,00 2.500,00 2.000,00 4.000,00 2.500,00

i 30,0%aa 15,0%as 6,0%at 7,0%am 1,0%ad

n

5. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% am, para que duplique?

6. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,8% am c) 4,5% at b) 2,5% ab d) 18% as

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7. Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 2,5% am?

8. Um banco empresta recursos a uma taxa de juros compostos de 20%as, com capitalização trimestral. Qual o montante a ser pago por um empréstimo de R$ 6.000 pelo prazo de 9 meses?

9. O que é melhor, aplicar R$ 6.000 a juros compostos à taxa de 36%aaccm ou aplicar o mesmo valor a juros simples à taxa de 3,5%am, sabendo que o prazo da aplicação é um ano e meio?

10. O Banco A oferece empréstimos pessoais por um ano a juros compostos, sendo a taxa de 18% aa. O Banco B, pelo mesmo empréstimo e prazo, cobra juros compostos à taxa de 9,6% aa, capitalizados mensalmente. a) Para um tomador de empréstimos por um ano, qual dos bancos é preferível?

b) Qual deveria ser a taxa nominal do Banco B para que fosse indiferente para o tomador a escolha do banco?

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UNIDADE 5 – DESCONTO COMPOSTO E EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Desconto composto é o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições, utilizando as premissas da capitalização composta. Seguindo a mesma lógica de aplicação que o desconto simples, é utilizado para calcular a antecipação de um fluxo financeiro, ou para movimentá-lo do futuro para o presente. O desconto composto também pode, tal qual o desconto simples, ser de duas formas: comercial (por fora) ou racional (por dentro). No desconto simples, a forma mais utilizada é a de desconto comercial. Já para o desconto composto, a referência é o desconto racional (alguns livros sequer mencionam o desconto comercial composto). As variáveis também recebem a mesma denominação, ou seja: Valor presente = Valor líquido = Valor descontado = Vd Valor nominal = Valor futuro = Valor de face = N Taxa de desconto = d Desconto = D

Desconto Comercial Composto (por fora) Embora pouco comum, o desconto comercial composto implica a incidência de sucessivos descontos sobre o valor nominal. O valor líquido pode ser definido como: VP = VF (1-i)n E o desconto, a diferença entre os valores futuro e presente: D = VF-VP Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 8.000 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3%am. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título. VF = 8000 d = 3%am n=4 VP = ?

VP = VF (1-i)n = 8000(1-0,03)4 = 7.082,34 D = VF-VP = 8000-7082,34 = 917,66

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Desconto Racional Composto (por dentro) Trata-se da aplicação direta da fórmula básica de juros compostos, para cálculo do valor presente, ou seja: VF = VP (1+i)n VP = VF/(1+i)n Como: D = VF – VP, D = VF – VF/(1+i)n

Exemplos: 1. Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 600, descontado cinco meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4%am. VF = 600 n = 5 meses i = 4% am D=?

D = VF – VF/(1+i)n D = 600 – 600/(1+0,04) 5 D = 106,84

2. Determine o valor do desconto racional, no regime de juros compostos, de um título de R$ 40.000,00, com vencimento no prazo de 85 dias, a uma taxa de juros de 1% ao mês, assumindo-se ano comercial. VF = 40.000 n = 85 dias i = 1%am D=?

i1 = 1%am i2 = ? n1 = 1 mês n2 = 30 dias (1+i1)n1 = (1+i2)n2 i2 = 0,0331733% ad D = VF – VF/(1+i)n D = 40000 – 40000/(1,000331733)85 = 1.111,96

Alternativamente, pode-se converter o prazo, em vez da taxa.

3. Uma empresa possui uma nota promissória com vencimento programado para 90 dias e valor nominal igual a R$ 34.000. Se a empresa descontasse este título com desconto racional composto, a uma taxa de 5% am, qual seria o valor líquido recebido? VF = 34000 n = 90 dias = 3 meses i = 5%am VP = ?

VP = VF/(1+i)n VP = 34000/(1,05)3 VP = 29.370,48

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Equivalência de Capitais Assim como foi visto para juros simples, dois ou mais capitais nominais são ditos equivalentes quando, mediante a aplicação da mesma taxa de juros, seus fluxos de capitais somados igualam-se na mesma data focal. Data focal é a data considerada como base para comparação dos valores referidos a diferentes datas. Em juros simples, era necessário especificar o tipo de desconto a ser utilizado. No regime de juros compostos, a forma de desconto será sempre a racional. No regime de juros compostos, qualquer período pode ser utilizado como data focal sem que o resultado da avaliação se altere.

Exemplos: 1. Sejam os dois fluxos de caixa seguintes Mês 1 3 7

VF1 864,00 377,91 428,46

Mês

VF2 2 5 8

816,48 367,33 740,37

Para verificar se estes fluxos são equivalentes mediante o desconto racional composto a uma taxa igual a 8% am, na data focal zero, basta calcular o valor presente de cada um dos valores nominais apresentados, somando-os posteriormente. Se as somas forem iguais, os fluxos são equivalentes. Utilizando a fórmula do desconto racional, temos: VP = VF/(1+i)n VP1 = 864/(1+0,08)1 = 800,00 VP3 = 377,91/(1+0,08)3 = 300,00 VP7 = 428,46/(1+0,08)7 = 250,00

VP2 = 816,48/(1+0,08)2 = 700,00 VP5 = 367,33/(1+0,08)5 = 250,00 VP8 = 740,37/(1+0,08)8 = 400,00

Soma dos VPs = 1350,00

Soma dos VPs = 1350,00

Os fluxos são equivalentes.

36

2. Utilizando os mesmos dados do exercício anterior, refaça os cálculos considerando o período 3 como data focal. 0 F1 n

1

2

3

864,00 n=2 VF 

377,91 n=0

V P3

864(1,08)2

1.007,77 1.700,61

377,91

Soma

0

1

F2 n

Soma

5

6

7

8

428,46 n=4  VP

428,46/(1,08)4

2

3

314,93

4

5

6

7

8

816,48 n=1 VF 

367,33 n=2  VP

367,33/(1,08)2

740,37/(1,08)5

881,80

314,93

503,88

816,5(1,08)1

V P3

4

740,37 n=5  VP

1.700,61

Os fluxos continuam equivalentes, mesmo no período 3. Repare ainda que R$ 1.350 (exemplo 1), por 3 períodos, a 8%ap equivale a R$1.700,61 (exemplo 2).

37

Exercícios – Desconto Composto e Equivalência de Capitais

1. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000, a vencer em 3 meses. Qual o seu valor hoje, considerando uma taxa de juros de 1,5% am?

2. Qual valor deverá ser aplicado hoje, a juros compostos e à taxa de 1% am para fazer frente a uma dívida de R$ 5.000, a ser paga em 2 meses, e outra de R$ 7.000, a ser paga em 5 meses?

3. Uma dívida de R$ 80.000 vence daqui a cinco meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3%am, obtenha o seu valor atual nas seguintes datas: a) Hoje

b) Em 2 meses

c) Dois meses antes do vencimento

4. Quanto devo aplicar hoje para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000 daqui a 2 meses, à taxa de: a) 1,5%am

b) 1,6%am

c) 2%am

d) 3%am

5. Considere as seguintes dívidas a pagar: a) R$ 60.000 em 2 meses b) R$ 70.000 em 3 meses c) R$ 80.000 em 4 meses Quanto deve ser aplicado hoje, a juros compostos com taxa de 2% am, para fazer frente a estes compromissos?

38

6. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes na data focal zero, mediante o emprego de uma taxa igual a 8%am. Período 2 3 5

FC1 ($) 900,00 480,00 401,00

Período 4 7 8

FC2 ($) 700,00 600,00 1038,27

7. Estime o valor de X de modo a tornar os fluxos de caixa apresentados nas tabelas seguintes equivalentes na data focal 6. Considere uma taxa de juros compostos de 18% ao período. Período 0 1 4

FC1 ($) 420,00 318,00 526,00

Período 3 7 9

FC2 ($) 960,00 320,00 X

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1 1. Uma pessoa fez uma aplicação a prazo fixo de 2 anos. Decorrido o prazo, o montante que era de R$ 224.000,00 foi reaplicado por mais um ano, a uma taxa de juros igual a 115% da primeira. Sendo o montante final de R$ 275.520,00, e o regime de capitalização simples, calcule o capital inicialmente depositado, considerando a segunda parte da operação. Resposta: R$ 160.000,00 n = 2 anos VPa = ? VF = 224.000 i = i1

n = 1 ano i = (VF/VP-1)/n ; 1,15*i1 = (275.520/224000-1)/1 ; i1 = 20% aa VPb = 224.000 VF = 275.520 i1 = 20% aa, logo, VPa = VF/(1+ i1*n) = 224.000/(1,4) = 160.000 i = 1,15*i1

3. Um investidor aplicou 20% de seu capital a 15% aa, 25% de seu capital a 18% aa e o restante a 12%aa, no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo que os juros acumulados no final de 2 anos foram iguais a R$ 14.100. Resposta: R$ 50.000 VPa = 0,2C i = 15% aa n = 2 anos

VPb = 0,25C VPc = 0,55C J1+J2+J3 = 14.100; como J = VP*i*n i = 18% aa i = 12% aa 0,2C*0,15*2+0,25C*0,18*2+0,55C*0,12*2 = 14100 n = 2 anos n = 2 anos VPa+b+c = 50.000

5. Dois capitais, o primeiro igual a R$ 1.100,00 e o segundo igual a R$ 500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. A que taxa foi aplicado o primeiro, se o segundo, aplicado à taxa de 10% am, rendeu R$ 246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% am VPa = 1100 n=3m i=?

VPb = 500 n = 3m i = 10% am

Ja = Jb+246 1100*3*i = 500*3*0,1+246 i = 0,12 = 12% am

9. Uma pessoa, dispondo de R$ 3.000,00, resolve aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples, à taxa de 8% am, por 6 meses, no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por 8 meses, à taxa de 10% am. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de R$ 1.824,00. Resposta: R$ 1.800 e R$ 1.200 i = 8% am n=6m VPa = ?

i = 10% am n=8m VPb = ?

Ja + Jb = 1824 VPa + VPb = 3000 VPa*0,08*6 + VPb*0,1*8 = 1824 VPb = 3000 – VPa 0,48*VPa + 0,8* (3000-VPa) = 1824 VPb = 3000 – 1800 = 1200 VPa = 1800

40

16. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 15.000,00 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% am. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou, na data da operação, um imposto igual a 0,0041% ao dia (IOF), aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: R$ 13.786,30 VF = 15000 n = 67 d = 67/30 m dc = 3,5% am IOF = 0,0041%*n*VF

VP = ? = VF (1-dn) - IOF VP = 15.000(1-0,035*67/30) – 0,000041*67*15000 VP = 13.786,30

18. Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de 2 meses até o vencimento. Tal operação pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% am mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do titulo; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% am sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A A B VP = VF*(1-dn) n = 2m n = 2m VPa = VF*(1-dn) – 0,008VF = 0,942VF dc = 2,5% am dc = 3,1% am taxa = 0,8%*VF VF = VF VPb = VF*(1-dn) = 0,938VF VF = VF Banco A, pois apresenta maior valor presente na operação, para o mesmo valor nominal.

20. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes, usando o desconto comercial simples. Considere a data focal zero e i = 4% ap. Fluxo 1 Fluxo 2 T VF t 3 100,00 1 5 50,00 7 7 200,00 8 9 300,00 Resposta: Não são equivalentes (VP = 464 e 474). 3 – VP = 100(1-0,04x3) = 88 5 – VP = 50(1-0,04x5) = 40 7 – VP = 200(1-0,04x7) = 144 9 – VP = 300(1-0,04x9) = 192 Soma 464

VF 200,00 250,00 150,00

1 – VP = 200(1-0,04x1) = 192 7 – VP = 250(1-0,04x7) = 180 8 – VP = 150(1-0,04x8) = 102 474

41

21. Uma empresa possui em seu contas a receber três notas promissórias com vencimentos previstos para daqui a dois, cinco e seis meses e com valores nominais respectivamente iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e R$ 900,00. Uma instituição financeira propôs-se a comprar os 3 títulos, oferecendo R$ 300,00 hoje e mais certa importância daqui a três meses. Qual deve ser o valor a ser recebido daqui a 3 meses, de forma a tornar os fluxos equivalentes no regime de juros simples com uma taxa de juros simples igual a 4% am? Resposta: O valor a ser recebido deveria ser, no mínimo, R$ 1.368,76. 2 – 500 5 – 400 6 – 900

0 – 300 3–X

VP2 + VP5 + VP6 = VP0 + VP3 500/(1+0,04*2)+400/(1+0,04*5)+900/(1+0,04*6)= 300+X/(1+0,04*3) X = 1.368,76

24. Um empréstimo no valor de R$ 700,00 foi liquidado em uma única parcela igual a R$ 780,00. A taxa de juros compostos vigente para a operação foi igual a 4,25%am. Qual o prazo decorrido? Resposta: 2,5999 meses VP = 700 VF = 780 i = 4,25% am n=?

n = LN(VF/VP)/LN(1+i) = LN(780/700)/LN(1,0425) = 2,5999

28. Em juros compostos o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa de 26% aa ou à taxa de 2,1% am? Resposta: 2,1% am i = 26% aa n=1a

i = 2,1% am n = 12 meses

VFa = VP(1+0,26) = 1,26VP VFb = VP(1+0,021)12 = 1,283VP

32. Uma empresa A possui um título de dívida com vencimento daqui a seis meses e de valor nominal igual a R$ 85.000,00. Uma empresa B propõe-lhe a troca por um titulo vencível daqui a 3 meses, de valor igual a R$ 75.000,00. Sendo de 4% am a taxa de juros composta de mercado, verifique se a troca é vantajosa para a empresa A. Resposta: Sim n = 6m VF = 85000 i = 4% am

n = 3m VF = 75000 i = 4% am

VPa = ? VPb = ? VPa = 85000/(1+0,04)6 = 67.176,73 VPb = 75000/(1+0,04)3 = 66.674,73

Sim, a troca é vantajosa pois a dívida B é menor. 35. O banco A cobra por um empréstimo de 45 dias a taxa de juros compostos de 25% aa. O banco B cobra pelo mesmo empréstimo e prazo a taxa de 21% aa, sendo os juros capitalizados trimestralmente. Qual a melhor alternativa para o tomador de empréstimo? Resposta: A oferecida pelo Banco B n = 45d = 45/360a i = 25% aa VPa = VP VFa = ?

n = 45d = 0,5t i = 21% aacct = 21/4%at VPb = VP VFb = ?

VFa = VP(1+0,25)0,125 = 1,0283VP VFb = VP(1+0,21/4)0,5 = 1,0259VP

42

37. Uma pessoa aplicou R$ 40.000,00 (valor presente) em um CDB com prazo igual a 220 dias que teve as seguintes rentabilidades: durante os primeiros 108 dias, o CDB foi remunerado a uma taxa igual a 2,45% am, e no restante do tempo a remuneração atingiu 22,80%aa. Calcule a taxa de juros compostos mensal efetiva da aplicação. Considere o ano comercial. Resposta: 2,0809% am VPa = 40000 VFa = 40000(1+0,0245)108/30 n = 108d = 108/30m VFa = 43.641,84 i = 2,45% am VFa = ?

VPb = VFa n=112d=112/360a i = 22,8% aa VFb = ?

VFb = VFa(1,228)112/360 VFb = 46.521,49

Para taxa mensal efetiva: i = (VF/VP)1/n -1 = 46251,4930/220 –1 = 2,0809% am

38. Uma aplicação em renda fixa por 200 dias apresentou a taxa de juros líquida, após dedução de impostos e tarifas, de 2,38% aos 30 dias. Se essa aplicação em renda fixa foi realizada com duas aplicações seguidas sendo que a primeira durante 84 dias apresentou a taxa de juros líquida de 1,95% aos 30 dias, qual foi a taxa de juros líquida da segunda aplicação? Resposta: 2,6925%am A B C n = 200d = 200/30m n = 84d = 84/30m n = 116d = 116/30m i = 2,38% am i = 1,95%am i=? (1+0,238)200/30 = (1+0,0195)84/30*(1+i)116/30
i = 0,026925 = 2,6925%am

42. Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 20% aa, capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, devem-se esperar quantos trimestres? Resposta: 14,2 trimestres VP = VP n = LN(VF/VP)/LN(1+i) = LN(2VP/VP)/LN(1+0,05) = LN(2)/LN(1,05) i = 20%aacct = 5%at VF = 2VP n=?

43

UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 1) Quando vimos equivalência de capitais, verificamos de que forma poderíamos levar um fluxo de capitais a qualquer data focal que escolhêssemos. O estudo de séries de pagamentos segue a mesma lógica. O preço a vista de um bem será o valor de todos fluxos financeiros trazidos a um valor presente, mediante uma determinada taxa de juros Ao estudo destes fluxos chamamos de Séries de pagamentos (ou anuidades, rendas, séries de capitais, etc). Séries de pagamentos são qualquer sucessão de pagamentos, finita ou infinita, que devem acontecer em datas preestabelecidas. As séries de pagamentos possuem diversas classificações, conforme suas características. A principal, para o início do estudo das séries, é relativa ao grau de confiança e conhecimento que se tem com relação aos fluxos. Com esta abordagem, as séries podem ser classificadas como: •

Séries Determinísticas (ou Certas) – Estudadas pela Matemática Financeira, trata de fluxos certos, conhecidos e preestabelecidos.

•

Séries Probabilísticas (ou Aleatórias) – Estudadas pela Matemática Atuarial, trata de fluxos incertos e não serão estudadas neste curso.

As Séries Determinísticas, objeto de nosso estudo, podem ser divididas conforme diversos critérios: 1º Critério – Número de prestações • •

Finitas (Temporárias) – ocorrem em um período predeterminado de tempo, possuindo início e fim. Infinitas (Perpétuas) – ocorrem de forma ad eternum, ou seja, os pagamentos e recebimentos duram infinitamente.

2º Critério – Periodicidade de pagamentos • •

Periódicas – os pagamentos e recebimentos ocorrem a intervalos constantes. Não periódicas – os pagamentos e recebimentos ocorrem em intervalos irregulares de tempo.

3º Critério – Valor das prestações • •

Uniformes (Constantes) – os pagamentos e recebimentos possuem valores iguais. Não uniformes (Variáveis) – os pagamentos e recebimentos apresentam valores distintos.

4º Critério – Primeiro Pagamento • •

Diferidas (com Carência) – prazo maior que um período para a realização do primeiro pagamento. Não diferidas (Imediatas) – o primeiro pagamento ocorre em prazo não maior que um período à partir da data do início da operação.

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5º Critério – Prazo dos Pagamentos • •

Postecipadas – os pagamentos ocorrem ao final dos períodos. Antecipadas – os pagamentos ocorrem ao início dos períodos.

Para o desenvolvimento das relações principais, utilizaremos a dinâmica da capitalização composta aplicada às Séries Finitas, Periódicas, Uniformes, Não diferidas e Postecipadas Exemplo: Um computador, com valor de R$ 1000 reais a vista, pode ser vendido em 4 pagamentos mensais iguais, no valor de R$ 265,00 cada, sendo que a primeira parcela vence no período seguinte à realização da compra. 1000

265

265

265

265

i = 2,37% ap

O fluxo pode ser representado, conforme vimos anteriormente em equivalência de capitais compostos, da seguinte forma: 1000 = 265/(1+0,0237)1+265/(1+0,0237)2+265/(1+0,0237)3+265/(1+0,0237)4 Ou seja, utilizando as variáveis já conhecidas, podemos dizer que: VP = VF/(1+i)1+ VF/(1+i)2+ VF/(1+i)3+… +VF/(1+i)n Como estamos falando em pagamentos uniformes, o VF em todos os períodos será o mesmo. Chamando o VF de pagamento (PMT), podemos dizer que: VP = PMT/(1+i)1+ PMT/(1+i)2+ PMT/(1+i)3+… +PMT/(1+i)n Logo: VP = PMT*[ 1/(1+i)1+ 1/(1+i)2+ 1/(1+i)3+… +1/(1+i)n] Analisando somente a parte final da equação acima: [ 1/(1+i)1+ 1/(1+i)2+ 1/(1+i)3+… +1/(1+i)n] Vemos uma PG (Progressão Geométrica) com primeiro termo a = 1/(1+i), de razão q = 1/(1+i). Para PGs com razão diferente de 1, temos que a soma dos n primeiros termos é dada por: Sn = a1(qn-1)/(q-1)

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No nosso caso: Sn = {1/(1+i)[1/(1+i)n-1]}/[1/(1+i)-1] = = [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] A este resultado chamamos de fator de valor atual, que é representado por an\i (a, n, cantoneira i). Existem tabelas financeiras que fornecem o valor do fator de valor atual, conforme o n e o i em questão. Logo, voltando à etapa anterior: VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] , ou VP = R* an\i Esta é a fórmula principal do estudo de rendas, e é utilizada para a solução de problemas de séries de pagamentos em grande parte dos critérios anteriormente mencionados. Partindo da equação anterior, se quisermos isolar o PMT teremos: PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1]

Para calcularmos o valor futuro de uma série de pagamentos, utilizaremos a fórmula do cálculo do VP em juros compostos: VP = VF / (1+i)n Juntando esta fórmula à do VP em séries de pagamento, temos que: VF/(1+i)n = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] Logo: VF = PMT * [(1+i)n-1]/i Isolando o PMT: PMT = VF * i/[(1+i)n-1]

Exemplos: 1. Um equipamento é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e iguais de R$ 550,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se o vendedor opera a uma taxa de juros de 5% am, qual o seu preço a vista? n = 4 meses PMT = R$ 550 i = 5% am

VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = 550 * [(1,05)4-1]/ [(1,05)4*0,05] VP = R$ 1.950,27

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2. Um equipamento é vendido a vista por R$ 30.000,00, mas pode ser vendido em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2%am, obtenha o valor de cada prestação. n = 12 meses VP = R$ 300.000 i = 2% am

PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] PMT = 30.000 * [(1,02)12*0,02]/ [(1,02)12-1] PMT = R$ 2.836,79

3. Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço do terreno a vista, se a taxa do financiamento for 4% am? VP = ?

150k 150k 150k 150k n = 3 meses PMT = R$ 150k i = 4% am

VP = VP0 + PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = 150.000 + 150.000 * [(1,04)3-1]/ [(1,04)3*0,04] VP = R$ 566.263,65

4. Um investidor aplica mensalmente R$ 2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros de 2% am. Se o investidor fizer 7 aplicações, qual será o montante no instante do último depósito? n = 7 meses PMT = R$ 2.000 i = 2% am

VF = PMT * [(1+i)n-1]/i VF = 2.000 * [(1,02)7-1]/ 0,02 VF = R$ 14.868,57

5. Quanto você deve começar a investir mensalmente para que, ao se aposentar, tenha R$ 2.000.000,00, considerando uma rentabilidade mensal de 1% am e que faltam 25 anos exatos para a sua aposentadoria? n = 25 anos = 300 meses VF = 2.000.000 i = 1% am

PMT = VF * i / [(1+i)n-1] PMT = 2.000.000 * 0,01 / (1,01)300-1 PMT = R$ 1.064,48

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Exercícios – Séries de Pagamentos (Parte 1)

1. Obtenha o preço a vista de um automóvel financiado à taxa de 3% am, sendo o número de prestações igual a 10 e R$ 1.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra.

2. Um carro é vendido a vista por R$ 40.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais e iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% am?

3. Um eletrodoméstico é vendido com uma entrada de R$ 70,00 e mais 5 prestações mensais de R$ 80,00 cada. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% am, qual o preço a vista?

4. Uma motocicleta é vendida em 5 prestações mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço a vista se a taxa de juros do financiamento for de 4,5% am?

5. Um apartamento, cujo preço a vista é de R$ 100.000,00, é vendido a prazo com 30% de entrada e o saldo em 100 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação, considerando uma taxa de juros de 1% am?

6. O aluguel mensal de um apartamento é R$ 2.000,00. Se o locatário quiser quitar antecipadamente o aluguel dos 6 primeiros meses, qual o valor a ser pago, se a taxa de juros for de 2,3% am?

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7. Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, R$ 3.500,00 em um fundo que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% am. Qual o montante no instante do último depósito?

8. No exercício anterior, qual o montante três meses após ser efetivado o último depósito?

9. Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente, durante 15 meses, em um fundo de investimentos que rende 1,8%am, para que, no instante do último depósito, tenha um montante de R$ 60.000,00?

10. Para o dono de uma loja, qual é a melhor alternativa: financiar uma mercadoria cujo preço a vista é R$ 1.200 em 10 prestações mensais e iguais de R$ 143,00, ou vender a vista e aplicar em um fundo que rende uma taxa mensal constante e tal que o montante após 10 meses seja R$ 1.652,00? Suponha que os valores recebidos das prestações da venda a prazo também sejam aplicados no referido fundo.

49

UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 2) Conforme concluímos anteriormente, as fórmulas para o estudo das séries de pagamentos finitas, periódicas, uniformes, não diferidas e postecipadas são: VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] VF = PMT * [(1+i)n-1]/i PMT = VF * i/[(1+i)n-1] Estas mesmas fórmulas podem ser utilizadas em situações diferentes, conforme os critérios de classificação das séries de pagamentos. A lógica utilizada para o desenvolvimento destas fórmulas se aplica a todas as possíveis situações. Séries Diferidas e Não Diferidas Vimos, até o momento, apenas séries não diferidas, ou seja, aquelas que não tem carência, aquelas cujo primeiro pagamento ocorre no período seguinte à data do início da operação. No entanto, em muitas operações (sobretudo em operações de financiamento), é normal que se conceda ao tomador do empréstimo um período de carência, em que o financiamento não é pago, apesar da incidência de juros. Para a solução de problemas envolvendo séries diferidas, deve-se tratá-los como problemas de séries não diferidas, trazendo o fluxo ao valor na data focal imediatamente anterior ao início dos pagamentos e, em seguida, trazer o valor encontrado ao valor presente. Exemplo: Um terreno é vendido a prazo em seis prestações mensais iguais a R$ 9.286,91, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% am, qual o valor a vista do terreno? VP = ?

V2

PMT PMT

PMT PMT PMT PMT

Para calcularmos o valor presente do terreno, calculamos o valor de V2, com a fórmula da série de pagamentos vista anteriormente: V2 = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] = 9.286,91 * [(1,02)6-1]/[(1,02)6*0,02] = 52.019,98 Com base no valor do fluxo no período 2, podemos facilmente calcular o seu valor no período 0, com a fórmula de juros compostos: VP = VF/(1+i)n = 52.019,98 / (1,02)2 = 50.000,00

50

Com o exemplo anterior, podemos deduzir uma fórmula geral para o cálculo de séries diferidas. Chamando o período de carência de m, e o período total, incluída a carência de n, temos: VP = {PMT * [(1+i)n-m-1]/[(1+i)n-m*i]} / (1+i)m Esta fórmula nos permite encontrar, ainda, o valor dos pagamentos.

Séries Periódicas e Não periódicas Normalmente encontramos apenas as séries periódicas nas situações cotidianas. As séries não periódicas, ou seja, aquelas que não ocorrem a intervalos regulares de tempo, apesar de mais incomuns, possuem solução semelhante às vistas em equivalência de capitais. Exemplo: Um equipamento é vendido em 3 parcelas de R$ 200,00, a primeira a ser paga 10 dias após a compra, a segunda, 5 dias após a primeira parcela, e a terceira, 20 dias após a segunda parcela. Qual o valor a vista do equipamento, considerando uma taxa de juros de 2% am? VP = ? 10d

15d

35d

200

200

200

VP = VFa/(1+i)na + VFb/(1+i)nb + VFc/(1+i)nc VFa = VFb = VFc = 200 i = 2%am na = 10d = 10/30 m nb = 15d = 15/30 m nc = 35d = 35/30 m VP = 200/(1,02)10/30 + 200/(1,02)15/30 + 200/(1,02)35/30 = 198,68 + 198,02 + 195,43 = 592,13

Séries Uniformes e Não uniformes Ao analisarmos as séries de pagamentos, é muito comum encontrarmos séries em que os termos não são iguais, seja devido a pagamentos extraordinários ao longo do financiamento (como na aquisição de imóveis, por exemplo), seja devido a um prazo diferente entre algumas das parcelas. A solução destas situações é sempre dividir o fluxo em fluxos menores e uniformes, na medida do possível. Uma vez divididos os fluxos, basta levar todos os termos a valor presente ou futuro, assim como foi feito para as séries diferidas e para as não uniformes.

51

Exemplos: 1. Qual o valor presente do fluxo de pagamentos abaixo?

200 300 200 200 350 200 350 O fluxo pode ser dividido em dois, de fácil resolução: Fluxo 1:

200

300

200

200

200

200

200

200

200

100

0

0

150

0

150

100

Fluxo 2:

0

E o resultado será o valor presente do fluxo 1 somado ao do fluxo 2. 2. Qual o valor presente do fluxo de pagamentos abaixo?

200

200

200

0

200

200

200

200

O fluxo pode ser dividido em dois, de fácil resolução: Fluxo 1:

200

200

200

Fluxo 2:

200

200

200

200

Assim como no primeiro exemplo, o resultado será o valor presente do fluxo 1 somado ao do fluxo 2.

52

Exercícios – Séries de Pagamentos (Parte 2)

1. Calcule o valor presente dos fluxos de caixa a seguir, supondo uma taxa de 12% a.a: a) 15.000 20.000 20.000 20.000 20.000 25.000 25.000 25.000 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 anos

b) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 6.000 7.000 8.000 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 anos

2. A Financeira Brasil S.A concede um financiamento ao Sr. João Ribeiro para aquisição de um trator, a ser liquidado num prazo de 24 meses, nas seguintes condições: 12 prestações iguais de $ 20.000,00, sendo as 6 primeiras pagas mensalmente a partir do final do 7o mês até o final do 12o mês, e as 6 últimas pagas mensalmente a partir do final do 19o mês até o final do 24o mês. Considerando uma taxa de juros de 4% a.m, calcule o valor financiado.

3. Um carro é vendido, a juros de 1% a.m, com os pagamentos efetuados da seguinte maneira: $ 5.000,00 de entrada e $ 4.000,00 a 1 mês, $ 6.000,00 a 2 meses, $ 1.000,00 a 3 meses e $ 3.000,00 a 4 meses da data da compra. Qual é o valor do carro à vista?

4. Uma empresa consegue um empréstimo de $ 30.000,00 para ser liquidado da seguinte maneira: 20% do empréstimo no final de 2 meses e o restante em 6 prestações mensais iguais vencíveis a partir do 4o mês. Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 3,4% a.m, determine o valor dos pagamentos.

53

5. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais e iguais de $ 400,00 com uma carência de 16 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de pagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m.? VP = 400[(1,02)16-1/(1,02)16*0,02]/(1,02)15 VP = 4.035,37

54

UNIDADE 6 – SÉRIES DE PAGAMENTOS (PARTE 3) Séries Antecipadas e Postecipadas Algumas operações são realizadas considerando o momento do pagamento como sendo o início do período, e não o final, como é mais comum. Estas situações são tratadas como as operações com entrada, vistas anteriormente: VP = PMT + PMT[(1+i)n-1-1/(1+i)n-1*i] Exemplo: Uma loja anuncia a venda de um equipamento por R$ 600,00 a vista ou em nove vezes, sendo a primeira paga no ato da compra. Sabendo que a taxa cobrada pela loja é de 4,8598% am, qual o valor de cada pagamento? PMT = ? i = 4,8598% am n=9 VP = 600

600 = PMT + PMT [(1,048598)8-1/(1,048598)8*0.048598] PMT = 80,00

Séries Finitas e Infinitas Conforme visto anteriormente, as séries infinitas são aquelas que ocorrem de forma ad eternum, cujos pagamentos ou recebimentos duram infinitamente, como, por exemplo, o fluxo de caixa de uma empresa, uma vez na maturidade, ou mesmo um plano de aposentadoria, como os de previdências privadas. O fluxo de caixa de uma série infinita é:

PMT

PMT PMT PMT ...

PMT

E o seu valor presente pode ser descrito como: VP = PMT/(1+i)1 + PMT/(1+i)2 + PMT/(1+i)3 + PMT/(1+i)4 + … + PMT/(1+i)n A expressão acima pode ser lida como uma progressão geométrica infinita, cujo primeiro termo é a1 = PMT/(1+i) com razão q = 1/(1+i). A soma de termos infinitos em uma PG é dada por S = a1/(1-q), o que em nosso caso representa: VP = [PMT/(1+i)]/[1-1/(1+i)] = [PMT/(1+i)] / [i/(1+i)] = PMT/i Uma aplicação financeira decorrente da fórmula anterior é a das perpetuidades com um crescimento constante. Imagine o fluxo de caixa de uma empresa em sua maturidade – ele pode ser 55

perpetuado, mas é razoável que se considere algum crescimento, mesmo que apenas vegetativo. Para tratar estas situações, a fórmula é: VP = PMT1/(i-g) Em que VP é o valor presente no período 0, PMT1 é o pagamento no primeiro período da perpetuidade e g é a taxa de crescimento do fluxo de caixa. Exemplos: 1. Quanto deve ser aplicado hoje, a uma taxa de 0,5% am, para ter uma renda perpétua mensal de R$ 8.000,00, considerando a retirada um mês após a primeira aplicação. VP = PMT/i = 8.000/0,005 = 1.600.000

2. Qual o valor presente de uma empresa cujo fluxo de caixa na perpetuidade é de R$ 100.000,00 ao período, com um custo de capital de 4%ap e uma taxa de crescimento de 1% ap? VP = PMT/(i-g) = 100.000/(0,04-0,01) = 3.333.333,34

Tabelas Financeiras Uma alternativa à utilização de planilhas de cálculos e calculadoras financeiras são as tabelas financeiras. Atualmente em relativo desuso, as tabelas apresentam, combinando diferentes taxas de juros e períodos, os seguintes fatores: 1. Acumulação de capital para pagamento único – (1+i)n VF = VP * (1+i) n 2. Valor atual – an\i = [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] = PMT * an\i 3. Acumulação de capital – sn\i = [(1+i)n-1]/i VF = PMT * [(1+i)n-1]/i = PMT * sn\i Exemplo de tabela financeira: i = 0,5% n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

(1+i) 1,00500 1,01003 1,01508 1,02015 1,02525 1,03038 1,03553 1,04071 1,04591

an\i 0,99502 1,98510 2,97025 3,95050 4,92587 5,89638 6,86207 7,82296 8,77906

sn\i 1,00000 2,00500 3,01502 4,03010 5,05025 6,07550 7,10588 8,14141 9,18212

56

10 11 12 13 14 15

1,05114 1,05640 1,06168 1,06699 1,07232 1,07768

9,73041 10,67703 11,61893 12,55615 13,48871 14,41662

10,22803 11,27917 12,33556 13,39724 14,46423 15,53655

57

Exercícios – Séries de Pagamentos (Parte 3)

1. Um microcomputador é vendido à vista por R$ 2.500,00 ou em 4 prestações mensais iguais e antecipadas. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 5,6% am?

2. Um terreno é vendido a vista por R$ 130.000,00 ou a prazo em 12 prestações mensais e iguais. Sendo a taxa de juros de 2,5% am, pede-se: a) O valor de cada prestação, se forem antecipadas.

b) O valor de cada prestação, se forem postecipadas.

3. Quando deve ser aplicado hoje em um fundo de investimentos para uma renda perpétua mensal de R$ 10.000, começando dentro de um mês? Considere as taxas: a) 0,2% am

b) 0,5% am

c) 0,8% am

d) 1% am

5. Qual a resposta do exercício anterior se a renda perpétua começasse hoje?

6. Uma pessoa se aposentará em 20 anos. Quanto ela deve começar a aplicar mensalmente hoje, para que, no momento de sua aposentadoria, possa contar com uma renda de R$ 10.000,00 mensais, considerando um retorno de 1% am sobre o seu capital, começando ao final do primeiro mês de aposentadoria?

58

7. Utilizando a tabela financeira abaixo e os dados de cada questão, determine: i = 1%

i = 2% n

n (1+i) 1 1,0100 2 1,0201 3 1,0303 4 1,0406 5 1,0510 6 1,0615

an\i 0,9901 1,9704 2,9410 3,9020 4,8534 5,7955

sn\i 1,0000 2,0100 3,0301 4,0604 5,1010 6,1520

n

n (1+i) 1 1,0200 2 1,0404 3 1,0612 4 1,0824 5 1,1041 6 1,1262

an\i 0,9804 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135 5,6014

sn\i 1,0000 2,0200 3,0604 4,1216 5,2040 6,3081

a) O valor dos pagamentos VP

n

i

197,04

2 meses

1% am

865,17

3 meses

2% am

951,93

4 meses

2% am

1941,37

5 meses

1% am

PMT

b) O valor do montante PMT

n

i

200

3 meses

1% am

300

2 meses

2% am

150

4 meses

2% am

220

6 meses

1% am

VF

c) O valor presente PMT

n

i

125

2 meses

2% am

230

3 meses

2% am

300

4 meses

1% am

450

6 meses

1% am

VP

59

UNIDADE 7 – HP12C A Calculadora HP12C Considerada a principal máquina financeira do mercado, a HP12C funciona com a lógica RPN – Notação Reversa, o que significa que, em vez de efetuar operações algébricas como em uma calculadora normal, nesta calculadora os dados são digitados para, em seguida, serem confirmados. A calculadora apresenta três opções de teclado. A primeira, com todas as teclas brancas, a segunda, acessível ao apertar a tecla f, com as teclas alaranjadas, e a terceira, acessível pela tecla g, com as teclas azuis. Com a popularização das planilhas de cálculos, como o Excel, o uso da HP12C ficou limitado às operações e cálculos mais rápidos e simples vistos até o momento nesta disciplina. OPERAÇÕES COM A HP12C Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão O procedimento para as 4 operações é o mesmo. Para efetuar uma soma, por exemplo, 3 + 4: Aperte 3 Aperte ENTER Aperte 4 Aperte + O resultado é apresentado no visor. Repare que a calculadora não possui a tecla “ = ”. Assim que o segundo valor é confirmado (pela tecla “ + ”, o resultado é imediato. Potenciação e Radiciação Para efetuar a operação 517: Aperte 5 Aperte ENTER Aperte 17 Aperte yx O resultado é apresentado no visor. Para efetuar a raiz 8ª de 12 (121/8): Aperte 12 Aperte ENTER Aperte 8 Aperte 1/x Aperte yx O resultado é apresentado no visor. Repare que a tecla 1/x transforma o numerador em denominador. Esta função é bastante útil para cálculos financeiros com razões. 60

Logaritmos Calcular o logaritmo neperiano de 20: Aperte 20 Aperte ENTER Aperte g Aperte LN O resultado é apresentado no visor. Para encontrar o logaritmo na base 10, basta dividir o logaritmo neperiano encontrado pelo logaritmo neperiano de 10. O mesmo vale para qualquer outra base. Armazenar e Recuperar Valores É possível armazenar valores para recuperá-los em seguida. Por exemplo, para resolver: a3\2 = [(1+0,02)3-1]/[(1+0,02)3*0,02] Aperte 1 Aperte ENTER Aperte 0,02 Aperte + Aperte 3 Aperte yn Aperte STO Aperte 1 O valor de 1,023 agora está salvo na memória 1. Aperte 0,02 Aperte X Aperte STO Aperte 2 O valor do denominador está salvo na memória 2. Aperte RCL Aperte 1 O valor de 1,023 foi recuperado. Aperte 1 Aperte – Foi encontrado o valor do numerador. Aperte RCL Aperte 2 O valor do denominador foi recuperado. 61

Aperte ÷ O valor de a3\2 é apresentado no visor. Para limpar a memória: Aperte f Aperte REG Cálculo de Juros Compostos / Séries de Pagamentos A programação da HP12C permite o cálculo direto de séries de pagamentos e juros compostos, apenas digitando os valores correspondentes a cada variável. As variáveis que definimos ao longo do curso são basicamente as mesmas que o teclado da calculadora apresenta: Períodos = n Taxa = i Valor presente = PV (Present Value) Valor futuro = FV (Future Value) Pagamentos = PMT Para o cálculo de juros compostos, basta informar que não haverá pagamentos durante o período, ou seja: Aperte 0 Aperte PMT

Exemplos: 1. Qual o valor futuro de R$ 100 aplicados a uma taxa de 10% ao mês por 3 meses? Aperte 100 Aperte PV Aperte 10 Aperte i Aperte 3 Aperte n Aperte 0 Aperte PMT Aperte FV O resultado é apresentado no visor. O cálculo de qualquer outra das variáveis segue o mesmo processo. Repare que a taxa de juros foi inserida na sua forma percentual, e não na forma unitária. 2. Qual o valor mensal a ser investido para que, após 5 meses, se tenha um montante de R$ 1.000, a uma taxa de 3% ao mês? Aperte 0 62

Aperte PV Aperte 3 Aperte i Aperte 5 Aperte n Aperte 1000 Aperte FV Aperte PMT O resultado é apresentado no visor. Repare que o valor apresentado foi negativo. Assim como, no desenho de fluxo de caixa convencionamos que entradas e saídas de capital seriam representadas por setas para cima e para baixo, na HP12C, a convenção é representar entradas com valores positivos e saídas com valores negativos. Para inserir um valor negativo, basta utilizar a tecla CHS (Change sign). A operação apresentada foi para séries postecipadas. Para séries antecipadas, basta colocar a calculadora na forma antecipada: Aperte g Aperte BEG (Begin) Para retornar à forma postecipada: Aperte g Aperte END A calculadora HP12C possui diversas outras funções, como o cálculo de somatórios, a opção de registro de fluxos de caixa não-uniformes, operações com datas, e mesmo a programação de funções em sua memória. No entanto, para estas funções específicas, as planilhas de cálculo se mostram mais práticas.

63

LISTA DE EXERCÍCIOS 2 1. Calcule o custo de capital de uma empresa, cujas ações estão cotadas a R$ 5,60 hoje. A empresa pretende distribuir dividendos no valor de R$ 0,80 no próximo ano e a taxa de crescimento anual dos dividendos é igual a 4%. Resposta: i = 18,2857% aa VP = 5,60 PMT = 0,80 g = 4% aa i=?

VP = PMT/(i-g) 5,60 = 0,80/(i-0,04) i = 18,2857%

4. Um equipamento cujo valor a vista é de R$ 30.000,00 será financiado em 20 prestações mensais e sucessivas, além de uma entrada de R$ 7.500,00, por ocasião da compra. Determine o valor das 20 prestações mensais, sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, considerando que a 1 ª prestação vencerá: a) 30 dias após a data da compra; b) no ato da compra. Resposta: 1278,46 e 1262,67 15% aa = 1,25% am a) 30.000 = 7.500 + PMT*[(1,0125)20-1]/[(1,0125)20*0,0125] => PMT = 1.278,46 b) 30.000 = 7.500 + PMT+ PMT*[(1,0125)19-1]/[(1,0125)19*0,0125] => PMT = 1.262,67

8. Um empréstimo de R$ 250.000,00 é realizado com uma taxa de 38% ao ano, no regime de juros compostos, e deve ser amortizado no prazo de 10 anos, com os dois primeiros anos de carência. Determine o valor das oito prestações anuais, iguais e sucessivas, que deverão ser pagas a partir do final do 3º ano, nas seguintes hipóteses: Resposta: 102.816,85 e 195.804,40 a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada ano; b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos, mas sim capitalizados. a) Como os juros são pagos, os 250.000 no p0 permanecem 250.000 no p2, logo: 250.000 = PMT*[(1,38)8-1//[(1,38)8*0,38] => PMT = 102.816,85 b) 250.000 = PMT*{[(1,38)8-1//[(1,38)8*0,38]}/(1,38)2 => PMT = 195.804,40

16. Uma debênture foi emitida com um valor de resgate de R$ 300.000,00, no final de oito anos, além de 16 cupons semestrais no valor de R$ 20.000,00. No regime de juros compostos, determine o preço de venda para que o comprador do título tenha uma remuneração efetiva de 22% ao ano até seu vencimento. Resposta: 213.530,13 n = 8 anos = 16 semestres i = 22% aa = 10,45% as PMT = 20.000 VP = ?

VP = 20.000*[(1,1045)16-1]/[(1,1045)16*0,1045] + 300.000/1.104516 VP = 213.530,13

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23. Uma loja afirma a seus clientes que a taxa de juro dela é a mais baixa do mercado: já que ela sempre pretende fidelizar seus clientes, cobra apenas 2% de juros, enquanto o mercado tem praticado uma taxa de juros igual a 3,5% a.m. Como exemplo, realizou a seguinte conta: os juros totais para um financiamento de R$ 800,00 em 20 prestações postecipadas iguais e mensais com taxa de juro de 2% ao mês são iguais a R$ 320,00; somando os R$ 800,00 financiados, tem-se o total de R$ 1.120,00, que, dividido por 20, dá uma prestação de R$ 56,00 por mês. Será que a loja está falando a verdade? Qual a verdadeira taxa de juro desse financiamento? Resposta: 3,44% - A loja está cobrando uma taxa maior que a anunciada. A loja diz que J = VP*i*n = 800*0,02*20 = 320, Somado com o preço do produto = 800 + 320 = 1120 Dividindo por 20 prestações = 1120/20 = 56,00. Só que: PMT = 56,00 800 = 56*[(1+i)20-1]/[(1+i)20*i] n = 20 i = 3,44% am VP = 800

26. Uma empresa realizou uma grande operação de captação de recursos no mercado de capitais brasileiro, onde emitiu 400 debêntures, alavancando recursos totais na ordem de R$ 160.000.000,00. Sabendo que as debêntures possuem valores nominais iguais a R$ 350.000,00, vencem em dois anos e pagam juros de cupom iguais a R$ 40.000,00 por trimestre, estime a taxa de juros anual paga pela empresa nessa operação. Resposta: Taxa trimestral – 8,86% at – Taxa anual = 40,44% aa VP = 160MM i = 8,86% at = 40,44% at VF = 400*350M PMT = 400*40M n = 2 anos = 8 trim.

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UNIDADE 8 – INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA O mercado financeiro brasileiro apresenta uma série de características que o tornam bastante peculiar quando comparado a outros países: as altas taxas de inflação do passado recente, as altas taxas de juros, a enorme maturidade do setor bancário de varejo, o monopólio governamental do crédito produtivo de longo prazo, dentre outros. Destas peculiaridades, uma das mais marcantes é a inflação. O fenômeno chamado inflação consiste do aumento persistente dos preços de bens e serviços, e tem como conseqüência a perda de poder aquisitivo da moeda. Inúmeros fatores afetam a inflação: escassez de produtos, déficit orçamentário do Governo com emissão descontrolada de dinheiro, balança de pagamentos, etc. A inflação normalmente é calculada sobre a variação de preços de uma cesta de produtos, que pode variar conforme o objetivo da medição efetuada. Devido ao seu poder de corroer o valor de uma moeda, a inflação deve sempre ser levada em conta na análise financeira. Principais Índices de Preços IPA – Índice de Preços por Atacado (FGV) – Variações de preços de centenas de produtos no atacado, com dados de todo o país. IPC – Índice de Preço ao Consumidor e ICV – Índice de Custo de Vida – Variações de preços de produtos de consumo de famílias com características bem definidas. Estes índices são calculados por diversas instituições por todo o país. INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor (IBGE) – Utiliza dados de 11 regiões metropolitanas do país, com dados de consumo de faixas de renda de 1 a 8 salários mínimos. O IPC-AMPLO (IPCA) amplia esta faixa para 1 a 40 salários mínimos. IGP – Índice Geral de Preços (FGV) – Um dos mais populares, representa a média ponderada do IPA, IPC do Rio de Janeiro, e do Índice Nacional do Custo de Construção (INCC). IGP-M é o mesmo índice, com datas de coletas de dados e divulgação diferentes. Cálculo da Variação dos Índices de Preços Considere um produto que custava R$ 100,00 no período base (ou período 0). Suponha que este produto, um mês depois, passou a custar R$ 110,00. A variação do preço do produto foi de: 110/100 - 1 = 0,1 = 10% Ou seja, j = pt/p0 – 1 Em que j representa a variação do preço do produto, pt o preço no momento t e p0 o preço no período base.

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Para o cálculo de uma variação acumulada, temos que: (1+jac) = (1+j1)*(1+j2)*... Exemplos: 1. Em dois anos sucessivos, um determinado produto aumentou 10% e 12%, respectivamente. Qual a taxa de aumento acumulada no período? (1+jac) = (1+j1)*(1+j2) (1+jac) = (1+0,1)*(1+0,12) jac = 0,232 = 23,2% 2. Os valores do IGP-M de fevereiro a julho de 1999 foram os seguintes: Mês Fev/99 Mar/99 Abr/99 Mai/99 Jun/99 Jul/99

IGP-M 154,933 159,325 160,459 159,996 160,573 163,060

Com base nestes dados, calcule as taxas de inflação de abril, maio e junho, bem como a do trimestre. Abril – j = 160,459/159,325 – 1 = 0,0071 = 0,71% Maio – j = 159,996/160,459 – 1 = -0,0029 = -0,29% Junho – j = 160,573/159,996 – 1 = 0,0036 = 0,36% Trimestre – 160,573/159,325 – 1 = 0,0078 = 0,78% = (1,0071)*(1-0,0029)*(1,0036)-1

Taxa Real de Juros x Taxa Aparente (ou Unificada) Chamamos de taxa aparente ou unificada aquelas que refletem as variações nominais do valor, incluindo a variação inflacionária. Por outro lado, chamamos de taxa real de juros as taxas em que a inflação é descontada. Por exemplo, um investidor obteve 15% de retorno sobre seu investimento em determinado período. A inflação para este período foi de 20%. O investidor obteve algum ganho real? A relação algébrica entre as taxas aparentes e unificadas é: (1+ia) = (1+ir)*(1+iθ) Em que: ia = taxa de juros aparente do período ir = taxa de juros real do período iθ = taxa de inflação do período

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Exemplo: 1. Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros de 22% aa. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros? (1+ia) = (1+ir)*(1+iθ) (1+0,22) = (1+ir)*(1+0,12) ir = 8,93% aa 2. Um capital foi aplicado por 6 meses a uma taxa de 7% as. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 9%. Qual a taxa real da aplicação? (1+ia) = (1+ir)*(1+iθ) (1+0,07) = (1+ir)*(1+0,09) ir = -1,83% aa

Atualização Monetária Com altas inflações, é praticamente impossível um contrato entre duas partes regido por taxas de juros prefixadas. O mecanismo, nestas situações, é combinar valores, já acrescidos de juros reais, corrigidos por algum indexador (índice de preços ou não). Após uma sucessão de indexadores diferentes utilizados para a correção, chegou-se, em 1991, à TR – Taxa Referencial. Esta taxa busca dar uma medida para a expectativa de inflação, a partir de taxas médias de aplicações financeiras prefixadas, eliminando-se a taxa real embutida. A TR é determinada pelas autoridades monetárias e varia mensalmente, conforme uma série de fatores. Seus valores são dados diariamente e valem para o mês seguinte. Outra taxa bastante utilizada para a indexação de contratos é a Taxa de Juros de Longo Prazo, determinada trimestralmente pelo Conselho Monetário Nacional, refletindo a inflação dos últimos 12 meses e mais o Risco Brasil. Independentemente do indexador, a atualização das parcelas é dada pela multiplicação do seu valor por (1+indexador): P + P*jac = P(1+jac) = P(1+j1)*(1+j2)*… Exemplo: Um indivíduo comprou um terreno pagando uma pequena entrada mais três prestações anuais de R$ 15.000 cada (estas prestações já embutem um juro real), corrigidas monetariamente pelas taxas de indexação entre a data da compra e a data do pagamento. Considerando que as taxas de indexação sejam de 10% no primeiro ano, 15% no segundo ano e 20% no terceiro ano, quais os valores das prestações corrigidas monetariamente? 1ª Prestação = P(1+jac) = 15.000 * (1+0,1) = 16.500 2ª Prestação = P(1+jac) = 15.000 * (1+0,1)*(1+0,15) = 18.975 3ª Prestação = P(1+jac) = 15.000 * (1+0,1)*(1+0,15)*(1+0,2) = 22.700

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Uma outra forma de abordar o problema é definir uma moeda hipotética de poder aquisitivo constante, chamada de unidade de referência (UR). Para tanto, basta definir que a UR na data 0 vale $ 1,00 e corrigir os seus valores nos demais períodos. No exemplo anterior: Ano 0 1 2 3

UR 1,00 1,00*(1,1) = 1,10 1,00*(1,1)*(1,15) = 1,265 1,00*(1,1)*(1,15)*(1,2) = 1,518

Prestação 15.000*1,1 = 16.500 15.000*1,265 = 18.975 15.000*1,518 = 22.770

A UR é muito utilizada para comparar valores em séries temporais, trazendo os valores para um mesmo denominador, chamado poder de compra. Exemplo: 1. Em janeiro, fevereiro, março e abril de 1999, um indivíduo recebia um salário de $ 3.000 por mês, ao final de cada mês. Utilizando o IGP-M deste período, determine o valor real de cada salário recebido. Mês Jan/99 Fev/99 Mar/99 Abr/99

IGP-M

UR 1,00 154,933 1,00*(1,0361) = 1,0361 159,325 1,0361*(1,0283) = 1,0654 160,459 1,0654*(1,0071) = 1,0730

Salário em UR 3.000/1,00 = 3.000,00 3.000/1,0361 = 2.895,47 3.000/1,0654 = 2.815,84 3.000/1,0730 = 2.795,90

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Exercícios – Inflação e Correção Monetária

1. Em 1º de março de certo ano, o preço de um produto era R$ 60,00 e, em 1º de dezembro do mesmo ano, o preço era R$ 70,00. Qual o aumento percentual de preço?

2. Em janeiro, fevereiro e março de um certo ano, as taxas de inflação foram, respectivamente, 1,6%, 0,76%, e 0,92%, Qual a taxa de inflação acumulada no trimestre?

3. A taxa de inflação acumulada em 5 meses foi de 8%. Qual deverá ser a taxa de inflação no sexto mês para que a taxa acumulada no semestre seja 10%?

4. Se em cada um de seis meses consecutivos a taxa de inflação for de 1,7%, qual a taxa acumulada no semestre?

5. A taxa de juros para aplicações em 60 dias em um banco é de 4,2% ab. Que taxa real de juros recebe um aplicador nas seguintes hipóteses de inflação no período: a) 3% b) 4% c) 5%

6. Calcule a taxa aparente dos rendimentos mensais da caderneta de poupança, supondo que os índices de atualização em três meses analisados foram iguais a 0,6099%; 0,5247% e 0,5314%. Sabe-se que o rendimento real da poupança é igual a 0,5% a.m.

7. Um investidor aplicou R$ 130.000,00 por três meses em uma instituição financeira, resgatando o montante de R$ 160.000,00. Pede-se para determinar qual a taxa de juros mensal: a) aparente da operação;

b) real da operação, sabendo que a taxa de inflação média mensal foi igual a 2%.

8. Um indivíduo aplicou R$ 20.000 por dois meses. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 1,8%. Qual o valor de resgate para que a taxa real no período seja nula?

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9. Uma dívida de R$ 40.000 deve ser atualizada monetariamente, por 2 meses, às seguintes taxas mensais de correção: 2,1% e 1,7%. Qual o valor corrigido?

10. Uma pessoa contraiu uma dívida de R$ 24.000 que deveria ser paga dois meses depois com juros compostos reais de 1% am, mais correção monetária. a) Qual o valor do montante antes da correção monetária?

b) Qual o valor do montante corrigido monetariamente, sabendo-se que as taxas de correção foram de 1,5% no primeiro mês e de 0,9% no segundo?

11. A tabela a seguir fornece as taxas mensais de inflação de agosto a dezembro de certo ano: Mês Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro

Taxa de Inflação -----1,2% 1,6% 0,8% 1,1%

No final de cada mês, de agosto a dezembro, o salário de uma pessoa era R$ 4.800. a) Construa uma unidade de referência no final de cada mês, admitindo que o valor desta unidade seja 1,00 no final de agosto.

b) Qual a taxa de queda real do salário de dezembro em relação ao de agosto?

c) Qual o salário médio real (média dos salários em UR)?

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UNIDADE 9 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (PARTE 1) Freqüentemente, seja por motivos metodológicos, contábeis, ou mesmo para a tomada de decisão, as operações de empréstimos são analisadas período a período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução do capital inicialmente empregado. Com estas duas informações, é possível determinar o saldo devedor (ou estado da dívida) de uma operação. Saldo devedor (S) é o valor atualizado do empréstimo no período em questão, levando em conta os pagamentos realizados, os juros pagos e a quantia já amortizada. Os pagamentos podem ser divididos em duas partes: a parte correspondente ao pagamento dos juros da operação e a parte correspondente ao pagamento do capital inicialmente empregado. Ao capital empregado, chamaremos de Principal (P), e ao pagamento da parte relativa ao Principal, chamaremos Amortização. O saldo devedor em dado período é definido como o saldo devedor do período anterior somado ao juro do período menos a prestação paga neste período, ou seja: St = St-1 + Jt - PMTt Em que: St = Saldo devedor no período t St-1 = Saldo devedor no período anterior Jt = Juros no período que vai de t-1 a t PMTt = Pagamento efetuado no instante t Temos também, conforme definido anteriormente, que: Jt = i * St-1 E que: PMTt = At + Jt Logo: St = St-1 + Jt – (At + Jt) , ou: St = St-1 – At E como esta expressão é válida para todos os períodos, temos: S1 = S0 – A1 S2 = S1 – A2 S3 = S2 – A3 . . . . . . Sn = Sn-1 – An

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Sabendo que Sn = 0, e que S0 = P: S1 + S2 + S3 + ... + Sn = P + S1 + S2 + S3 + ... + Sn-1 – (A1 + A2 + A3 + ... + An) Ou: Sn = P – (A1 + A2 + A3 + ... + An) 0 = P – (A1 + A2 + A3 + ... + An) P = (A1 + A2 + A3 + ... + An) Esta relação permite concluir que, quando os juros são pagos nos instantes 0, 1, 2, ..., n, a soma das amortizações é igual ao principal. Uma diferença que vale a pena pontuar neste momento é entre prestação e pagamento. Prestação normalmente implica em pagamento acrescido de impostos, encargos, correção monetária, etc. Pagamento é a prestação líquida destes acréscimos, sendo somente a soma da amortização com os juros. Para esta disciplina, estes termos serão utilizados como sinônimos, a menos que haja observação em contrário. Com as informações e relações obtidas, é possível montar um quadro demonstrativo, período a período, do estado e histórico da dívida. A este quadro, chamamos de Planilha da Operação. A planilha pode conter quaisquer informações apropriadas para a situação em questão, mas normalmente, possui o seguinte formato: Período N 1 2 3 ... n

Saldo Inicial

Pagamento Juros Amortização Total

Saldo Final

Exemplos: 1. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à taxa de juros de 5% as, com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores: A1 = R$ 5.000,00 A2 = R$ 10.000,00 A3 = R$ 15.000,00 A4 = R$ 20.000,00 Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 50.000 45.000 35.000 20.000

Pagamento Juros (0,05)*50.000=2.500 2.250 1.750 1.000

Amortização 5.000 10.000 15.000 20.000

Total 7.500 12.250 16.750 21.000

Saldo Final 45.000 35.000 20.000 0

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2. Um empréstimo de 50.000 UR deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à taxa de juros de 5% as, com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais são iguais. Se as amortizações semestrais são iguais, A1 = A2 = A3 = A4 = 50.000,00/4 = 12.500 Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 50.000 37.500 25.000 12.500

Pagamento Juros Amortização 2.500 12.500 1.875 12.500 1.250 12.500 625 12.500

Total 15.000 14.375 13.750 13.125

Saldo Final 37.500 25.000 12.500 0

Como esta planilha está definida em Unidades de Referência, para obter o valor das prestações em R$, basta converter os valores, conforme visto na aula passada.

3. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser devolvido em 4 prestações semestrais à taxa de juros de 5% as, com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que: A1 = A2 = A3 = 0 e A4 = 50.000,00 Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 50.000 50.000 50.000 50.000

Pagamento Juros Amortização 2.500 0 2.500 0 2.500 0 2.500 50.000

Total 2.500 2.500 2.500 52.500

Saldo Final 50.000 50.000 50.000 0

4. Um empréstimo de R$ 50.000,00 deve ser pago ao final de 4 semestres, à taxa de juros de 5% as. Contudo, tanto os juros como as amortizações têm 2 semestres de carência. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações no terceiro e quarto semestres são iguais. Como os juros não são pagos no primeiro e segundo semestres, eles são incorporados ao saldo devedor. Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 50.000 52.500 55.125 27.562,50

Pagamento Juros Amortização 2.500 0 2.625 0 2.756,25 27.562,50 1.378,13 27.562,50

Total 0 0 30.318,75 28.940,63

Saldo Final 52.500 55.125 27.562,50 0

Repare que, como não houve pagamento de juros em alguns períodos, a soma das amortizações não coincide com o valor do Principal. Na prática, esta situação dificilmente ocorre. O normal é a concessão de carência com pagamento de juros. Se trouxermos cada um dos pagamentos dos 4 exemplos ao valor presente, utilizando a taxa de 5% ao período, verificaremos que será sempre igual ao valor do principal.

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Sistemas e metodologias de cálculo de juros e amortizações As classificações dos sistemas de amortização são usualmente feitas com base na forma de cálculo dos pagamentos. Dentre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal e calcular os pagamentos, os principais são os sistemas americano, francês e o de amortizações constantes (SAC). No sistema americano, os juros são pagos periodicamente, mas o principal só é quitado ao final da operação. Alguns ativos financeiros como títulos de dívida (públicos ou corporativos) e debêntures utilizam este sistema. Para operações de financiamento direto, este sistema raramente é utilizado. No sistema francês (ou tabela Price, quando o período das capitalizações não coincide com o das prestações), as prestações são constantes, ou seja, as séries são sempre uniformes. Assim, o pagamento dos juros é decrescente, enquanto as amortizações do principal são crescentes. No sistema de amortizações constantes (SAC), as amortizações são uniformes e o pagamento de juros decai com o tempo, ou seja, as prestações são decrescentes.

O Sistema Americano Por este sistema, o pagamento do saldo devedor é feito de uma só vez, no final do período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente. No entanto, dependendo do acordo feito entre as partes, os juros podem ser capitalizados e pagos de uma só vez, juntamente com o principal. O fluxo de caixa de uma operação feita conforme o sistema americano é:

Pgto. dos Juros Pgto. do Principal

Repare que, no sistema americano, o pagamento de juros é constante. Exemplo: 1. Por um empréstimo de R$ 800.000, um cliente propõe-se a devolver o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% as. Obtenha a planilha da operação. Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 800.000 800.000 800.000 800.000

Pagamento Juros Amortização 32.000 0 32.000 0 32.000 0 32.000 800.000

Total 32.000 32.000 32.000 832.000

Saldo Final 800.000 800.000 800.000 0

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Exercícios – Sistemas de Amortização (Parte 1) 1. Um empréstimo de R$ 21.000 deve ser pago em 6 prestações semestrais à taxa de 8% as. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais têm os seguintes valores: A1 = R$ 1.000 A2 = R$ 2.000 A3 = R$ 3.000 A4 = R$ 4.000 A5 = R$ 5.000 A6 = R$ 6.000 Período N 1 2 3 4 5 6

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

2. Resolva o exercício anterior considerando amortizações iguais nos seis semestres. Período N 1 2 3 4 5 6

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

3. Um empréstimo de R$ 600.000 deve ser pago em 4 prestações trimestrais à taxa de juros de 4% at. Obtenha a planilha, sabendo-se que as três primeiras amortizações são: A1 = A2 = A3 = 0 Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

4. Um empréstimo de R$ 100.000 deve ser pago em quatro anos, à taxa de 10% aa. Tanto os juros como as amortizações têm 2 anos de carência. Sabendo-se que as amortizações do terceiro e do quarto ano são iguais, obtenha a planilha. Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

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5. O valor de R$ 1.500.000 é financiado à taxa de 10% aa, para ser amortizado pelo sistema americano, com três anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construa a planilha. Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

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UNIDADE 9 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO (PARTE 2) O Sistema de Amortizações Constantes O SAC é um dos sistemas de amortização mais utilizados na prática. Este sistema consiste em fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais. Assim, considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas, e supondo pagamento de juros em todos os períodos, teremos: A1 = A2 = A3 = ... = An = P/n = A Em que A é o valor da amortização constante. O valor das prestações é dado por: PMT1 = A + J1 = A + P*i PMT2 = A + J2 = A + (P-A)*i PMT3 = A + J3 = A + (P-A-A)*i . . . . PMTn = A + Jn = A + [P-(n-1)*A]*i

.

.

Percebe-se, então, que as prestações no SAC é uma progressão aritmética decrescente, cujo primeiro termo é A + P*i, e cuja razão é –A*i. O gráfico das prestações de uma operação no SAC tem o seguinte aspecto: PMT

0

J1

J2

A1 1

A2

J3

Jn

A3 2

An 3

n

tempo

Uma outra relação importante que encontramos no SAC, em virtude das amortizações constantes, é que o saldo devedor será sempre igual ao principal menos o valor da amortização vezes o número de períodos transcorridos: St = P – A*n

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Exemplos: 1. Um empréstimo de R$ 800.000 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% as. Obtenha a planilha. A = P/n = 800.000/5 = 160.000 Período N 1 2 3 4 5

Saldo Inicial 800.000 640.000 480.000 320.000 160.000

Juros 32.000 25.600 19.200 12.800 6.400

Pagamento Amortização 160.000 160.000 160.000 160.000 160.000

Total 192.000 185.600 179.200 172.800 166.400

Saldo Final 640.000 480.000 320.000 160.000 0

2. Um empréstimo de R$ 800.000 deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% as, obtenha a planilha. A = P/n = 800.000/5 = 160.000 Período N 1 2 3 4 5 6 7

Saldo Inicial 800.000 800.000 800.000 640.000 480.000 320.000 160.000

Pagamento Juros Amortização 40.000 0 40.000 0 40.000 160.000 32.000 160.000 24.000 160.000 16.000 160.000 8.000 160.000

Total 40.000 40.000 200.000 192.000 184.000 176.000 168.000

Saldo Final 800.000 800.000 640.000 480.000 320.000 160.000 0

3. Um empréstimo de R$ 50.000 deve ser pago pelo SAC em 50 parcelas mensais à taxa de 1% am mais correção monetária. Obtenha o estado da dívida (amortização, juros, prestação e saldo devedor) correspondente ao 31º mês, antes de ser corrigida monetariamente. Amortização = P/n = 50.000/50 = 1.000 Saldo devedor no 30º mês = P – A*n = 50.000 – 1.000*30 = 20.000 Juros no 31º mês = i*Sn-1 = 0,01*20.000 = 200 Prestação no 31º mês = A31 + J31 = 1.000 + 200 = 1.200 Saldo devedor no 31º mês = P – A*n = 50.000 – 1.000*31 = 19.000

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O Sistema Francês (ou Sistema Price) O Sistema Francês foi desenvolvido pelo matemático e físico belga Simon Stevin, no século XVI. No entanto, foi utilizado pelo economista e matemático inglês Richard Price, no cálculo previdenciário inglês da época. Assim, este sistema ficou conhecido como Sistema Price. Neste sistema, as prestações são iguais e periódicas, a partir do instante em que começam a ser pagas, constituindo, assim, uma série de pagamentos uniforme, conforme visto anteriormente. Como Rt = Jt + At, no sistema francês os juros formam uma seqüência decrescente (pois o saldo devedor vai diminuindo), enquanto que as amortizações formam uma seqüência crescente. O gráfico de uma operação no sistema francês segue o seguinte comportamento: PMT

0

A1

A2

A3

An

J1

J2

J3

Jn

1

2

3

n

tempo

Quando o período das capitalizações não coincide com o dos pagamentos, o sistema francês recebe o nome de Tabela Price, e a sua solução, por convenção é a mesma utilizada para taxas nominais com período de capitalização diferente da taxa, ou seja, a conversão por juros simples. O cálculo do valor de cada parcela no sistema francês é o mesmo utilizado para a determinação do valor de cada pagamento em uma série postecipada uniforme: PMT = VP*[(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] Para calcular o valor do saldo devedor no sistema francês, em um determinado instante, basta calcular o valor presente das prestações a vencer. Com isso, eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim, este valor atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor. Exemplos: 1. Um empréstimo de R$ 800.000 foi obtido por uma empresa por ocasião da compra de um prédio. O empréstimo deve ser devolvido pelo sistema francês em cinco prestações semestrais à taxa de 4% as, com atualização monetária posterior das prestações. Obtenha a planilha antes da atualização monetária. Valor das prestações = PMT = VP*[(1+i)n*i/(1+i)n-1] = 179.701,70 Período N 1 2 3 4 5

Saldo Inicial Juros 800.000 4%*800k = 32k 652.298,30 26.091,93 498.688,53 19.947,54 338.934,37 13.557,37 172.790,04 6.911,60

Pagamento Amortização T-J = 147.701,70 153.609,77 159.754,16 166.144,33 172.790,04

Total 179.701,70 179.701,70 179.701,70 179.701,70 179.701,70

Saldo Final Si-A = 652.298,30 498.688,53 338.934,37 172.790,04 0 80

2. Em um empréstimo de R$ 100.000 a ser pago pelo sistema francês em 40 meses e à taxa de 3% am, qual o saldo devedor no 25º mês? (Supor paga a prestação deste mês). Valor das prestações = PMT = VP*[(1+i)n*i/(1+i)n-1] = 4.326,24 Prestações a vencer = 26, 27, 28 ... 40 = 15 prestações Saldo devedor = PMT*[(1+i)n-1/(1+i)n*i] = 4.326,24*[(1,03)15-1/(1,03)15*0,03] = 51.646,37

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Exercícios – Sistemas de Amortização (Parte 2) 1. Um banco libera para uma empresa um crédito de R$ 120.000 para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% at. Período N 1 2 3 4 5 6

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

2. Resolva o exercício anterior supondo que haja dois trimestres de carência somente para as amortizações, mas não para os juros. Período N 1 2 3 4 5 6 7 8

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

3. Um empréstimo de R$ 40.000 deve ser devolvido pelo SAC em 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% am, obtenha a amortização, os juros, a prestação e o saldo devedor correspondentes ao 21º mês.

4. Resolva o exercício anterior, mas considerando o 35º mês.

82

5. Um banco libera um crédito de R$ 60.000 a uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% at. Obtenha a planilha até o terceiro trimestre. Período N 1 2 3

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

6. Se no exercício anterior houvesse, somente para as amortizações, uma carência de 2 trimestres, como seria a planilha até o quinto trimestre? Período N 1 2 3 4 5

Saldo Inicial

Juros

Pagamento Amortização

Total

Saldo Final

7. Uma pessoa recebeu um financiamento de R$ 5.000 para a compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de 1,5% am, para pagamento em 180 meses. Qual o estado da dívida no 64º mês?

83

LISTA DE EXERCÍCIOS 3 1. Montar as planilhas do Sistema Francês e SAC do financiamento abaixo: P = R$ 50.000,00 n = 4 pagamentos anuais i = 15% ao ano Sistema Francês Período Saldo N Inicial 1 50.000 2 39.986,73 3 28.471,47 4 15.228,93 SAC Saldo Período N Inicial 1 50.000 2 37.500,00 3 25.000,00 4 12.500,00

Juros 7.500 5.998 4.271 2.284

Pagamento Amortização 10.013,27 11.515,26 13.242,55 15.228,93

Juros 7.500 5.625 3.750 1.875

Pagamento Amortização 12.500,00 12.500,00 12.500,00 12.500,00

Total 17.513,27 17.513,27 17.513,27 17.513,27

Total 20.000,00 18.125,00 16.250,00 14.375,00

Saldo Final 39.986,73 28.471,47 15.228,93 0,00

Saldo Final 37.500,00 25.000,00 12.500,00 0,00

3. Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros da operação de 4% ao mês, determine o valor das amortizações mensais, o valor dos juros da 1ª prestação, e o valor da última prestação. Amortização = P/n = 80.000/40 = 2.000 Juros no 1º mês = i*Sn-1 = 0,04*80.000 = 3.200 Saldo devedor no 39º mês = P – A*n = 80.000 – 2.000*39 = 2.000 Juros no 40º mês = i*Sn-1 = 0,04*2.000 = 80 Prestação no 40º mês = A40 + J40 = 2.000 + 80 = 2.080

8. Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês no prazo de 24 meses à taxa de 6% a.m. Determine os juros pagos na 2ª prestação. Prestação = PMT = VP*[(1+i)n*i/(1+i)n-1] = 1.195,19 Juros no 2º mês = i*Sn-1 = 0,06* VP1 = 0,06*1.195,19*[(1+0,06)23-1/(1+0,06)23*0,06] = 882,29

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10. Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi contraído via Tabela Price, em 18 parcelas mensais, a uma taxa de 15% a.a. Construa a planilha financeira das 6 primeiras prestações. (i=15%/12) Período Saldo Pagamento N Inicial Juros Amortização 1 10.000,00 125,00 498,85 2 9.501,15 118,76 505,09 3 8.996,06 112,45 511,40 4 8.484,67 106,06 517,79 5 7.966,87 99,59 524,26 6 7.442,61 93,03 530,82

Total 623,85 623,85 623,85 623,85 623,85 623,85

Saldo Final 9.501,15 8.996,06 8.484,67 7.966,87 7.442,61 6.911,79

14. Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de financiamento pelo Sistema Francês, e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 5%, j2 = 6,85%, j3 = 8,7%, j4 = 10,75% e j5 = 11%. P = R$ 25.000,00 i = 10% a.a, com correção monetária n = 5 parcelas anuais Resposta: última prestação = R$ 9.887,71 Período Saldo N Inicial 1 25.000 2 20.905,06 3 16.400,63 4 11.445,76 5 5.995,40

Juros 2.500 2.091 1.640 1.145 600

Pagamento Amortização 4.094,94 4.504,43 4.954,87 5.450,36 5.995,40

Total 6.594,94 6.594,94 6.594,94 6.594,94 6.594,94

Saldo Final 20.905,06 16.400,63 11.445,76 5.995,40 0,00

Inflação Período 5,00% 6,85% 8,70% 10,75% 11,00%

PMT Corrigido 6.924,68 7.399,02 8.042,74 8.907,33 9.887,14

15. Um apartamento de R$ 250.000 foi comprado para pagamento em 5 prestações anuais, a uma taxa real de 12% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações atualizadas monetariamente pela taxa de inflação. Calcule o valor atualizado da 5ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 2%, j2 = 2,5%, j3= 3,0%, j4 = 3,5% e j5 = 4%. Resposta: R$ 64.911,70 Amortização = P/n = 250.000/5 = 50.000 Saldo devedor no 4º mês = P – A*n = 250.000 – 50.000*4 = 50.000 Juros no 5º mês = i*Sn-1 = 0,12*50.000 = 6.000 Prestação no 5º mês = A40 + J40 = 56.000 PMT5 Corrigido = 56.000*1,02*1,025*1,03*1,035*1,04 = 64.911,70

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21. Construa a Planilha de amortização, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), do seguinte financiamento: empréstimo de R$ 40.000, juros reais de 12% ao ano, a ser amortizado em 5 parcelas anuais, com 3 anos de carência, havendo pagamento de juros durante a carência. Após, construa a Planilha de correção monetária considerando as taxas de anuais de inflação abaixo: j1 = 12% j2 = 10,2% j3 = 12,2% j4 = 10,9% j5 = 11% j6 = 11,8% j7 = 9,9% Resposta: Prestação no ano 7 = R$ 18.766,98 Período N 1 2 3 4 5 6 7

Saldo Inicial 40.000 40.000,00 40.000,00 32.000,00 24.000,00 16.000,00 8.000,00

Juros 4.800 4.800 4.800 3.840 2.880 1.920 960

Pagamento Saldo Amortização Total Final 0,00 4.800,00 40.000,00 0,00 4.800,00 40.000,00 8.000,00 12.800,00 32.000,00 8.000,00 11.840,00 24.000,00 8.000,00 10.880,00 16.000,00 8.000,00 9.920,00 8.000,00 8.000,00 8.960,00 0,00

Inflação Período 12,00% 10,20% 12,20% 10,90% 11,00% 11,80% 9,90%

PMT Corrigido 5.376,00 5.924,35 17.725,66 18.183,43 18.547,09 18.906,04 18.766,98

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UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 1) O estudo da engenharia econômica tem por objetivo auxiliar administradores e gestores a tomar decisões que venham a aproximar a organização de seus objetivos. Para tanto, busca analisar as diversas alternativas de investimento e determinar as melhores, tendo em vista os diversos critérios que se possa utilizar, conforme cada situação.

Criação de Valor Há uma discussão bastante interessante na área financeira sobre qual o objetivo de uma empresa. Embora haja diversos defensores do papel ambiental, social, e mesmo democrático das companhias, a abordagem que parece ser a mais apropriada e ampla, calha de ser também a mais simples: as empresas existem para criar valor para os seus donos. No entanto, como definir valor? A abordagem mais corrente define valor como lucro econômico, ou seja, a criação de valor depende da obtenção de um retorno para o capital empregado superior ao retorno que poderia ser obtido se este mesmo capital estivesse empregado em um outro investimento com perfil semelhante de risco. Esta mesma lógica justifica a própria criação de empresas, uma vez que a convergência de meios de produção, os ganhos de escala e de escopo decorrentes da especialização, enfim, todos os diversos componentes de uma empresa são unidos com um único objetivo, que é fazer mais, melhor e por menos que em outras alternativas, e, em decorrência, criar mais valor para os seus donos. Uma segunda discussão cabe neste momento. Seriam apenas os donos de uma empresa os interessados em seu sucesso e beneficiários da criação de valor? O que dizer de seus funcionários, administradores, fornecedores, sociedade e todos os envolvidos no contexto criado pela empresa? Aos diversos atores envolvidos, ou mesmo tocados pelo sucesso de uma empresa chama-se stakeholders. Com base no discutido até o momento, podemos definir o objetivo da empresa como sendo a criação de lucro econômico para os diversos stakeholders envolvidos. Embora esta definição pareça insuficiente para abranger diversos tipos de organizações que não possuem uma finalidade econômica, como igrejas, governo, associações, sindicatos, organizações não-governamentais e outras, o mero aprofundamento do conceito de valor pode resolver a questão. Normalmente o valor criado é medido em unidades monetárias. O dinheiro é uma medida perfeita, considerando que pode ser trocado por qualquer bem ou serviço que se queira, sendo, assim, uma medida universal. No entanto, cada organização, independente de sua finalidade, somente existirá se a convergência dos recursos aplicados trouxer um resultado melhor que o que poderia ser obtido com sua aplicação independente. Estes resultados obtidos somente podem ser avaliados caso sejam estabelecidos metas e indicadores, que podem ser expressos em unidades monetárias ou qualquer outra unidade que se queira.

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Uma organização não-governamental que, por exemplo, se dedique à alfabetização de adultos, dificilmente concordará em expressar seus resultados em moeda. Dará preferência a indicadores, como, por exemplo, adultos alfabetizados. Mas o processo utilizado, a metodologia adotada, o pessoal envolvido, enfim, todos os recursos, se melhor aplicados, podem trazer resultados ainda melhores, ou seja, criar ainda mais valor. Considerando que, para esta organização, o valor criado se traduz em adultos alfabetizados, quanto mais adultos, maior o valor. Processo idêntico ao que ocorre dentro de empresas.

Projetos e Tomada de Decisão Um projeto pode ser definido como um empreendimento único, com início e fim determinados, que utiliza recursos, visando atingir objetivos predefinidos. Exemplos de projetos vão desde a compra de um equipamento à aquisição de uma empresa. Como pode ser depreendido, os projetos diferem entre si em uma enormidade de fatores, como o seu custo, duração, complexidade, necessidade, dentre outros. Como o processo de análise de investimentos possui um custo associado, a análise de projetos mais simples é feita de forma simplificada. Voltando à ONG para alfabetização de adultos, intuímos que, para um projeto que envolva a instalação de uma nova unidade, deve-se destinar muito mais tempo de análise que para um projeto que envolva apenas a criação de uma nova turma. O mesmo acontece para uma empresa: a decisão de iniciar um novo produto é certamente mais complexa que a decisão de substituir um equipamento obsoleto. Muitas vezes, uma empresa possui diversos projetos em carteira e deve decidir quais projetos vai realizar e em que ordem. A engenharia financeira é uma das ferramentas para a tomada de decisão. Os projetos da empresa podem ser independentes ou mutuamente excludentes: Os projetos independentes podem ser realizados simultaneamente, sem que a escolha de um dos projetos implique na desistência dos outros. Quando os projetos são independentes, os seus fluxos de caixa são independentes e, se os seus resultados esperados representarem a criação de valor para a empresa, normalmente serão realizados. Os projetos mutuamente excludentes são aqueles que não podem ser realizados simultaneamente, seja por possuírem objetivos concorrentes (modernizar equipamentos de uma linha de produção ou comprar novos equipamentos para esta mesma linha), ou por utilizarem os mesmos recursos (uma linha de produção somente pode ser utilizada para um dos produtos, não existência de capital para a execução dos dois projetos, etc.). Quando os projetos são mutuamente excludentes, opta-se pelo projeto que representa a maior criação de valor. Orçamento de Capital e Custo de Capital Dois fatores são fundamentais para o cálculo da criação potencial de valor de um projeto. O primeiro fator é o orçamento de capital. Orçamento de capital é um plano que detalha as entradas e saídas projetadas de capital durante algum período futuro, ou seja, é a delineação de investimentos planejados em ativos fixos. Por processo de orçamento de capital entende-se o processo completo da análise de projetos e decisão de quais incluírem no orçamento de capital. 88

O orçamento de capital pode ser feito para cada um dos projetos ou mesmo para toda a empresa ou grupo econômico, consolidando os diversos projetos aceitos. Para o nosso estudo, utilizaremos o orçamento de capital como o desenho dos fluxos de caixa de um projeto. O segundo dos fatores para o cálculo da criação de valor de um projeto é o custo de capital. Para compreender o custo do capital é importante que se entenda que todos os recursos empregados em uma empresa possuem um custo, tanto a dívida quanto os recursos próprios. O custo da dívida com terceiros é facilmente entendido e considerado, uma vez que está expresso em contratos e todos os balanços da empresa o demonstram. No entanto, os recursos próprios também possuem um custo, que normalmente é representado pelo retorno exigido pelos investidores para que continuem aplicando naquela determinada empresa. Normalmente o custo de capital de uma empresa é representado pela média ponderada dos custos da dívida e recursos próprios utilizados (WACC), mas a mesma empresa pode destinar dívidas específicas para projetos específicos, de forma a possuir custos de capital diferentes para cada projeto. Outras metodologias, como o CAPM, também são utilizadas para a determinação do custo de capital.

Principais métodos de classificação e decisões de orçamento de capital São os principais métodos de avaliação de projetos: Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) – Valor presente dos fluxos positivos do projeto menos o valor presente dos fluxos negativos. Período de Payback – Número esperado de períodos necessários para recuperar o investimento original. Período de Payback Descontado – Semelhante ao período de payback, com a diferença de que os fluxos de caixa esperados são descontados pelo custo de capital do projeto. Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) – taxa de desconto que iguala o valor presente das entradas de caixa ao valor presente dos custos deste projeto, ou seja, a taxa que força o VPL a ser igual a 0. Índice de Lucratividade (PI ou índice custo-benefício) – Valor presente dos benefícios do projeto dividido pelo valor presente dos custos.

Valor Presente Líquido O VPL é uma das metodologias de avaliação de projetos mais completas e utilizadas. Por meio das técnicas de desconto de fluxos de caixa aprendidas nesta disciplina, a abordagem do Valor Presente Líquido consiste em levar tanto os valores positivos quanto os negativos do projeto ao valor presente, na data focal 0, e subtrair um do outro. Caso o resultado seja um valor positivo, o projeto apresenta a criação de valor econômico, e deve ser realizado. Caso contrário, o projeto destrói valor e deve ser abandonado. Se houverem dois projetos mutuamente excludentes, deverá ser realizado o que apresentar o maior VPL.

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A lógica do VPL é bastante direta. Um VPL = 0 significa que o projeto somente gerou resultados suficientes para pagar o custo do capital do projeto. Se o projeto tiver VPL > 0, então estará gerando mais caixa do que é necessário para pagar o capital de terceiros e para oferecer a taxa de retorno exigida pelos acionistas.

Exemplos: 1. Uma empresa possui um custo de capital estimado em 20% aa, e deseja realizar um projeto que demandará investimentos da ordem de R$ 1.400.000. Estes investimentos serão realizados de uma só vez, no início da implantação do projeto. Durante os 5 anos de vida do projeto, a empresa espera obter os seguintes resultados: Ano Lucro

1 200.000

2 400.000

3 700.000

4 700.000

5 700.000

Desenhe o fluxo de caixa do projeto e determine, pelo método do VPL, se a empresa deverá ou não realizar o projeto. 1.400

200

400 700 700 700

VPL = 200/(1+20%)1 + 400/(1+20%)2 + 700/(1+20%)3 + 700/(1+20%)4 + 700/(1+20%)5 – 1.400 VPL = 68.428,50 A empresa deverá realizar o projeto, pois o mesmo apresenta uma criação de valor de R$ 68.428,50.

2. Uma empresa deseja realizar um projeto que possui os seguintes fluxos de caixa de investimentos e de retorno: Ano Investimentos Retorno

0 1.000 0

1 400 300

2 300 500

3 0 700

4 0 600

Considerando um custo de capital de 12% ao ano, determine se a empresa deverá realizar o projeto. VPL = VP Retorno – VP Investimento = 300/(1,12)1 + 500/(1,12)2 + 700/(1,12)3 + 600/(1,12)4 – [1.000 + 400/(1,12)1 + 300/(1,12)2] = - 50,29 A empresa não deverá realizar o projeto, pois o mesmo destrói valor, sendo melhor investir o dinheiro em outra atividade. 90

3. Se os projetos dos exemplos 1 e 2 forem mutuamente excludentes, qual dos projetos deverá ser realizado? E se forem independentes? Como o VPL do exemplo 2 é negativo, ele não deverá ser realizado, independente de sua relação com o projeto do exemplo 1.

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Exercícios – Engenharia Econômica (Parte 1) 1. Um projeto apresenta os valores de investimento e de retorno expressos na tabela abaixo. Utilizando a metodologia do valor presente líquido, e considerando uma taxa de juros de 10% aa, determine se o projeto deve ser realizado? Explique. Ano Investimentos Retornos

0 1.000,00 -

1 300,00 400,00

2

3

4

400,00

400,00

407,00

2. Refaça o exercício anterior considerando uma taxa de 12% aa. Ano Investimentos Retornos

0 1.000,00 -

1 300,00 400,00

2 400,00

3 400,00

4 407,00

3. Refaça o exercício anterior considerando uma taxa de 8% aa. Ano Investimentos Retornos

0 1.000,00 -

1 300,00 400,00

2 400,00

3 400,00

4 407,00

4. Uma empresa deve decidir entre dois projetos mutuamente excludentes, que apresentam os fluxos de caixa abaixo. Considerando uma taxa de juros de 8% aa, determine a decisão que a empresa deverá tomar. Projeto 1 Ano Investimentos Retornos Projeto 2 Investimentos Retornos VP Investimentos VP Retornos VPL

0 1.000,00 -

1 100,00

2 200,00

3 300,00

4 700,00

1.000,00 1.000,00 15,37

700,00 648,15

250,00 214,33

100,00 79,38

100,00 73,50

1.000,00 1.015,37

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UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 2) Taxa Interna de Retorno (TIR) Em uma pesquisa realizada em 1996, com executivos americanos, verificou-se que a TIR é a metodologia mais utilizada para a tomada de decisões rápidas no dia a dia empresarial. Embora menos completa que a análise do VPL, a TIR permite avaliar rapidamente projetos que criarão valor para a empresa, considerado o seu custo de capital. A Taxa Interna de Retorno representa a taxa de desconto que iguala o valor presente dos benefícios do projeto ao valor presente dos custos deste mesmo projeto. Ou seja, é a taxa que iguala o VPL a zero; é a taxa de retorno esperada para o projeto. Isto significa que: 1. Projetos com a TIR superior ao custo de capital devem ser realizados; 2. Projetos com TIR inferior ao custo de capital devem ser rejeitados. 3. Caso os projetos analisados sejam mutuamente excludentes, deve-se aprovar o projeto de maior TIR. 4. Caso a TIR seja igual ao custo de capital, o VPL do projeto é igual a zero, ou seja, cobre os custos da dívida e remunera os acionistas conforme estes esperam. Embora seja fácil calcular o VPL de um projeto sem uma calculadora financeira ou planilha de cálculos, o mesmo não é verdade para o cálculo da TIR. Há duas formas para calcular a TIR de um projeto sem uma ferramenta de cálculo. A primeira é por tentativa e erro – tente alguma taxa de desconto diferente e continue até que a taxa escolhida force a equação a ser igual a zero. A segunda forma, derivada da primeira, é utilizar o método da interpolação, ou seja, deve-se estimar duas taxas possíveis para a TIR e calcular o valor presente com estas taxas. Em seguida, utilizar a seguinte fórmula: (Tx1 – Tx2)/(Tx1-TIR) = (VPL1-VPL2)/(VPL1-0) Exemplo: 1. Considere o seguinte projeto: Anos 0 Investimentos 1.000,00 Retornos -

1 200,00

2 300,00

3 400,00

4 500,00

Utilizando o método da TIR, e considerando um custo de capital de 10% aa, determine se o projeto deverá ser realizado.

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Determinando a TIR: Considerando uma taxa de 10%, o VPL é igual a 71,784; Considerando uma taxa de 12%, o VPL é igual a 20,200; Utilizando a fórmula: (Tx1 – Tx2)/(Tx1-TIR) = (VPL1-VPL2)/(VPL1-0) (10%-12%)/(10%-TIR) = (71,784-20,200)/(71,784-0)
TIR = 12,8257% Como o custo de capital da empresa é de 10%, a taxa de retorno esperada para o projeto é maior, ou seja, o projeto permite a criação de valor.

Período de Payback O período de payback é definido como o número esperado de períodos para recuperar o investimento original. Trata-se de um método bastante rudimentar, e foi o primeiro a ser utilizado para avaliar projetos de orçamento de capital. A fórmula para o cálculo do payback é: Payback = Períodos antes da recuperação total + Custo não recuperado no início do período Fluxo de caixa no período Quanto menor o período de payback, melhor. Exemplo: 1. Qual o payback do seguinte projeto: Anos 0 Investimentos 1.000,00 Retornos Fluxo líquido acumulado

-1000

1 200,00

-800

2 300,00

-500

3 400,00

-100

4 500,00

400

Payback = 3 + 100/500 = 3,2 anos Este método possui diversas limitações, que serão discutidas na próxima aula. No entanto, a maior deficiência deste método é desconsiderar o valor no tempo, realizando operações algébricas com valores em períodos diferentes. Para minorar esta deficiência, utiliza-se outro método de cálculo de payback, o payback descontado.

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Período de Payback Descontado O cálculo do payback descontado é exatamente igual ao do payback comum. A diferença entre estes métodos é que o payback descontado considera o valor do dinheiro no tempo, ou seja, traz os valores de todos os períodos para a data focal zero considerando o custo de capital da empresa, para, em seguida, se calcular o payback. O payback descontado se define, então, como sendo o número necessário de anos para recuperar o investimento dos fluxos líquidos de caixa descontados. Exemplo: 1. Qual o payback do seguinte projeto, considerando que o custo de capital da empresa é de 10% aa: Anos 0 Investimentos 1.000,00 Retornos Fluxo descontado Fluxo líquido acumulado

-1000

1 200,00

2 300,00

3 400,00

4 500,00

181,82

247,93

300,53

341,51

-818,18

-570,25

-269,72

71,78

Payback = 3 + 269,72/341,51 = 3,79 anos Índice de Lucratividade (PI) O último dos métodos principais para a avaliação de projetos, e também o mais simples, é o Índice de Lucratividade (ou índice custo-benefício, como às vezes é chamado). Este índice representa o valor presente dos benefícios do projeto divido pelo valor presente dos investimentos, descontados ao custo de capital da empresa. Ou seja, o índice informa qual o retorno, em unidades de moeda para cada unidade desta mesma moeda aplicada no projeto. A fórmula para o cálculo do PI é: PI = VP Benefícios / VP Investimentos Quanto maior o PI, melhor. Exemplo: 1. Qual o PI do seguinte projeto, considerando um custo de capital de 10%: Anos 0 Investimentos 1.000,00 Retornos -

1 200,00

2 300,00

3 400,00

4 500,00

VP Investimentos = 1.000 VP Retornos = 1.071,78 PI = 1.071,78/1.000 = 1,07178 Ou seja, para cada R$ 1,00 investido, é obtido um retorno de R$ 1,07178. 95

Exercícios – Engenharia Econômica (Parte 2)

1. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 3 projetos de investimentos mutuamente excludentes. Determine qual projeto deverá ser realizado, com um custo de capital de 25% aa, conforme:

Ano A B C

0 -45.000 -45.000 -75.000

1 9.000 12.000 24.000

2 21.000 15.000 21.000

3 30.000 18.000 15.000

4 18.000 33.000 60.000

5 24.000 39.000 135.000

a) Valor Presente Líquido b) Período de payback c) Período de payback descontado d) Índice de Lucratividade e) Taxa Interna de Retorno

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UNIDADE 10 – ENGENHARIA ECONÔMICA (PARTE 3) Considerações sobre os métodos de avaliação de projetos Todos os modelos de avaliação de projetos estudados possuem limitações intrínsecas à sua forma de cálculo, não havendo um método definitivo (embora o VPL seja o mais completo e utilizado). O importante é entender qual a contribuição de cada um dos modelos à análise e como combinar os diversos indicadores obtidos de forma a aumentar a qualidade e a confiabilidade da decisão. Uma das limitações inerente a todos os métodos analisados é a pressuposição de que os projetos, uma vez analisados, não poderão ser alterados, nem para que se possa investir mais, em caso de sucesso superior ao esperado, e nem para desinvestir e destinar a estrutura existente a outra finalidade, em caso de resultado inferior ao projetado. Para tentar agregar a capacidade gerencial e de decisão à análise dos projetos, começa a ganhar relevância na área financeira uma disciplina chamada Análise de Opções Reais. Esta disciplina busca exatamente tentar agregar às análises de projetos os desdobramentos possíveis ao longo de sua vida. Outra limitação é considerar que os fluxos de caixa considerados possuem data de início e término, como é característica dos projetos. No entanto, há projetos que trazem retornos que não possui um final natural previamente conhecido, que muitas vezes podem ser considerados perpétuos, como, por exemplo, uma estrada, investimentos em publicidade, etc. Para estes casos, normalmente analisa-se o projeto até a sua maturidade e, em seguida, consideram-se os fluxos maturados como uma perpetuidade e utiliza-se esta perpetuidade como uma entrada de caixa.

Período de Payback / Período de Payback Descontado A principal limitação destes dois métodos é o fato de ambos ignorarem todos os fluxos de caixa ocorridos após o período de Payback. Considere, por exemplo, dois projetos mutuamente excludentes A e B, que apresentam os seguintes fluxos de caixa: Projeto A B

0 -1.000.000 -1.000.000

1 200.000 200.000

2 300.000 300.000

3 500.000 500.000

4 500.000 200.000

O período de payback de ambos os projetos é de 3 períodos, o que torna indiferente realizar um ou outro. No entanto, repare que o fluxo do projeto A, após o período de payback, é maior que o fluxo do projeto B e, por conseguinte, possui maior poder de criação de valor, devendo ser o escolhido. Outro grande defeito do método do período de payback é o fato de desconsiderar o valor do dinheiro no tempo, e pior, pressupor a realização de operações aritméticas com valores em tempos diferentes. Para resolver tal deficiência, foi criado o período de payback descontado. Embora melhor que o payback simples, o payback descontado também ignora os fluxos de caixa após o ponto de equilíbrio haver sido atingido.

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Ainda que ambos os métodos de payback possuam defeitos sérios como critério de classificação de projetos, ambos proporcionam informações sobre quanto tempo os fundos ficarão retidos em um projeto. Assim, quanto menor for o período de payback, mantidos os demais aspectos constantes, maior a liquidez do projeto. Além disto, como os fluxos de caixa gerados em um futuro distante são geralmente mais arriscados do que os fluxos de caixa de curto prazo, o payback é, muitas vezes, utilizado como um dos indicadores de risco do projeto. Se o payback isoladamente representa muito pouco, combinado com métodos mais robustos, como o VPL, ele ajuda a enriquecer a análise.

Valor Presente Líquido Apesar de ser o mais completo e utilizado, este método também possui limitações que cumpre conhecer, com o objetivo de qualificar os resultados obtidos e ponderar as decisões. A principal questão a ser observada é que a classificação decorrente do VPL depende do custo de capital. Quando trazemos um valor futuro ao valor presente, quanto mais distante este valor estiver de nossa data focal, maior será o impacto do desconto efetuado, e quanto mais perto estiver o valor, menor impacto. Isto quer dizer que fluxos de longo prazo são mais sensíveis à taxa de desconto que os fluxos de curto prazo. Ou seja, se os benefícios de um projeto estão localizados no longo prazo, certamente uma variação no custo de capital afetará mais o VPL do que se os benefícios estivessem no curto prazo. Considere, por exemplo, dois projetos A e B, mutuamente excludentes, que apresentam o seguinte fluxo: Projeto A B

0 (1.000.000,00) (1.000.000,00)

1 500.000,00 200.000,00

2 400.000,00 200.000,00

3 300.000,00 400.000,00

4 200.000,00 500.000,00

5 200.000,00 600.000,00

Os VPLs dos projetos A e B, se considerarmos um custo de capital de 15% ap, serão de R$ 148.280,94 e de R$ 172.330,93, ou seja, se tivermos que escolher apenas um dos projetos, o escolhido seria o projeto B. No entanto, os VPLs dos mesmos projetos serão de R$ 44.881,69 e R$ 19.290,12, com um custo de capital de 20% ap, e o projeto escolhido seria o A, em vez do B. O custo de capital que tornaria indiferente a escolha de um ou outro projeto é de aproximadamente 17,25% ap. À taxa que torna a escolha entre projetos com o VPL chamamos de Taxa de Intersecção. Na prática, a taxa de intersecção é utilizada como uma medida da confiabilidade dos resultados do VPL, pois quanto mais distante a taxa de intersecção estiver do custo de capital da empresa, maior a confiança na classificação do VPL.

Taxa Interna de Retorno 98

A principal limitação da TIR refere-se à análise de fluxos de caixa incomuns, ou seja, quando fluxos de saída são apresentados no início e em algum outro momento da vida do projeto, ou seja, quando há mudanças de sinal dos fluxos ao longo da vida do projeto. Quando o projeto apresenta fluxos de caixa incomuns, o projeto pode apresentar múltiplas TIRs. Imagine um projeto que possua o seguinte fluxo de caixa: 0 -1.600

1 10.000

2 -10.000

Para que o VPL seja igual a 0, podemos ter uma TIR igual a 25%, mas uma TIR igual a 400% também iguala o VPL a 0, de forma que ambas as TIRs são válidas. Os fluxos de caixa incomuns também podem produzir outros problemas, com a falta de uma TIR ou uma TIR que leve a uma decisão errônea de aceitar ou rejeitar. Em todos estes casos, o critério de VPL pode ser aplicado e leva a decisões conceitualmente corretas de orçamento de capital. Outro problema da TIR é presumir que os fluxos de caixa do projeto serão reinvestidos a uma taxa igual à taxa interna de retorno, o que nem sempre é razoável. Para tentar resolver este problema, foi criada a TIR Modificada, que leva todos os benefícios ao valor futuro, considerando o custo de capital, e depois encontra a taxa interna de retorno deste novo fluxo de caixa. A TIR Modificada não será estudada neste curso.

VPL x TIR Caso estejamos analisando projetos independentes, o método da TIR sempre nos levará aos mesmos resultados que o critério do VPL, ou seja, ambos recomendariam aceitar ou rejeitar um projeto. No caso de projetos mutuamente excludentes, se o custo de capital for maior que a taxa de intersecção, ambos os critérios trariam o mesmo resultado. No entanto, se o custo de capital for menor que a taxa de intersecção, o VPL indicaria o projeto de mais longo prazo como o melhor, enquanto a TIR indicaria o projeto de curto prazo como a escolha correta. A lógica sugere que o VPL é mais confiável para a decisão e, portanto deve ser o critério utilizado. Conflitos entre a VPL e a TIR podem advir de duas situações: quando houver diferenças na distribuição temporal do fluxo de caixa dos projetos, ou quando ocorrerem diferenças de tamanho/escala entre os projetos. Para resolver conflitos entre projetos mutuamente excludentes, a solução passa a por avaliar o quão útil é gerar fluxos de caixa mais cedo do que mais tarde. A utilidade dos fluxos de caixa depende do retorno que pode ser obtido sobre os fluxos gerados, ou seja, da taxa que pode ser obtida no reinvestimento dos fluxos gerados. Enquanto o VPL pressupõe que os fluxos podem ser reinvestidos ao custo de capital da empresa, a TIR pressupõe que a empresa pode reinvestir à taxa interna de retorno. É possível que a empresa possa reinvestir os fluxos gerados em outro projeto com a mesma taxa interna de retorno que o projeto em questão, mas certamente o mais razoável é que os fluxos podem ser reinvestidos ao custo de capital, ou seja, que o método do VPL é, de fato, o mais razoável.

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Índice de Lucratividade O índice de lucratividade é formado com a utilização da mesma lógica do VPL, de forma que possui as mesmas limitações e alcance.

100

Exercícios – Engenharia Econômica (Parte 3)

1. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos mutuamente excludentes. Determine qual projeto deverá ser realizado, considerando um custo de capital de 20% aa, e justifique a sua decisão, descrevendo ainda dificuldades e limitações da sua análise e a sua confiança nos resultados. Projeto A B

0 (1.000,00) (1.000,00)

1 200,00 600,00

2 200,00 400,00

3 300,00 200,00

4 600,00 200,00

5 800,00 200,00

2. Suponha que tanto o projeto A quanto o projeto B atingiram a sua maturidade no período 5 (sem nenhum crescimento). Calcule o novo VPL, considerando que as atividades do projeto trarão benefícios permanentes, e determine qual projeto deverá ser realizado.

Projeto A B

0 (1.000,00) (1.000,00)

1 200,00 600,00

2 200,00 400,00

3 300,00 200,00

4 600,00 200,00

5 800,00 200,00

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LISTA DE EXERCÍCIOS 4 1. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos mutuamente excludentes. Considerando um custo de capital de 20% aa, determine qual projeto deverá ser realizado, utilizando cada um dos métodos estudados, e justifique a sua decisão. Resposta: O projeto B deverá ser realizado, pois todos os indicadores o apontam como o melhor. Projeto 0 A (10.000,00) B (1.000,00) Descontado A (10.000,00) B (1.000,00) Indicadores VPL A 37,68 B 70,34

1 1.100,00 600,00

2 2.000,00 400,00

3 6.000,00 200,00

4 8.000,00 200,00

5 1.000,00 200,00

916,67 500,00

1.388,89 277,78

3.472,22 115,74

3.858,02 96,45

401,88 80,38

Payback 3,11 2,00

Pbk Desc 4,91 4,12

TIR 20,14% 24,11%

PI 1,00377 1,07034

2. Suponha que tanto o projeto A quanto o projeto B do exercício anterior atingiram a sua maturidade no período 5 (sem nenhum crescimento). Calcule o novo VPL, considerando que as atividades do projeto trarão benefícios permanentes, e determine qual projeto deverá ser realizado. Resposta: O projeto B deverá ser realizado, pois o seu VPL é maior que o do projeto B. Projeto A B

0

1

2

3

4

5

(10.000,00) (1.000,00)

1.100,00 600,00

2.000,00 400,00

6.000,00 200,00

8.000,00 200,00

1.000,00 200,00

Utilizando a fórmula de perpetuidade (PMT/i): Perpetuidades A B Fluxo Líquido A (10.000,00) 1.100,00 2.000,00 B (1.000,00) 600,00 400,00 VPL A 2.047,07 B 472,22

5.000,00 1.000,00 6.000,00 200,00

13.000,00 1.200,00

3. Considerando os mesmos projetos analisados no exercício 1, recalcule os VPLs de cada um, utilizando, agora, um custo de capital de 10%. Determine qual projeto deve ser realizado e explique as diferenças encontradas nos resultados. Resposta: O projeto A deverá ser realizado, pois seu VPL é maior (VPLa = 3.245,81; VPLb = 287,08). Esta diferença pode ser explicada pela diferença na distribuição dos fluxos. Como os maiores fluxos do projeto A estão concentrados nos períodos mais distantes, o VPL deste projeto é mais sensível a variações no custo de capital. Assim, se com o custo de 20%, o projeto B era mais interessante, com 10%, a situação se inverte. A taxa de intersecção se encontra entre estes dois valores. 102

4. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos independentes. Considerando um custo de capital de 10% aa, determine qual projeto deverá ser realizado, e justifique a sua decisão utilizando cada um dos métodos estudados (a TIR dos projetos A e B é 8,71% e 10,10%). Resposta: Somente o projeto B deverá ser realizado, pois é o único que apresenta VPL positivo, TIR maior que o custo de capital e PI superior a 1. Projeto 0 A (2.000,00) B (5.000,00) Descontado A (2.000,00) B (5.000,00) Indicadores VPL A (60,01) B 15,83

1 700,00 500,00

2 500,00 1.000,00

3 400,00 1.500,00

4 500,00 2.000,00

5 400,00 2.000,00

636,36 454,55

413,22 826,45

300,53 1.126,97

341,51 1.366,03

248,37 1.241,84

TIR 8,71% 10,10%

Payback 3,80 4,00

Pbk Desc 4,99

PI 0,96999 1,00317

5. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos independentes. Considerando um custo de capital de 20% aa, determine qual projeto deverá ser realizado, e justifique a sua decisão utilizando cada um dos métodos estudados (a TIR dos projetos A e B é 25,93% e 22,41%). Resposta: Ambos os projetos devem ser realizados, pois ambos apresentam VPL positivo, TIR maior que o custo de capital e PI superior a 1. Se tivéssemos que escolher apenas um, o escolhido seria o projeto B, por possuir maior VPL, apesar de a TIR e o PI do projeto A serem maiores. Projeto 0 A (2.000,00) B (5.000,00) Descontado A (2.000,00) B (5.000,00) Indicadores VPL A 219,01 B 249,81

1 1.000,00 2.000,00

2 1.000,00 2.000,00

3 500,00 1.500,00

4 500,00 1.500,00

5 400,00 1.500,00

833,33 1.666,67

694,44 1.388,89

289,35 868,06

241,13 723,38

160,75 602,82

TIR

Payback

Pbk Desc

25,93% 22,41%

2,00 2,67

3,76 3,59

PI 1,10950 1,04996

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LISTAS DE EXERCÍCIOS Lista de Exercícios 1 1. Uma pessoa fez uma aplicação a prazo fixo de 2 anos. Decorrido o prazo, o montante que era de R$ 224.000,00 foi reaplicado por mais um ano, a uma taxa de juros igual a 115% da primeira. Sendo o montante final de R$ 275.520,00, e o regime de capitalização simples, calcule o capital inicialmente depositado, considerando a segunda parte da operação. Resposta: R$ 160.000,00 2. Qual a taxa de juros simples trimestral referente a uma aplicação de R$ 7.500, durante o período de um ano e 8 meses, que rendem juros de R$ 1.238,00? Resposta: 2,48%at 3. Um investidor aplicou 20% de seu capital a 15% aa, 25% de seu capital a 18% aa e o restante a 12%aa, no regime de juros simples. Determine o valor do capital inicialmente aplicado, sabendo que os juros acumulados no final de 2 anos foram iguais a R$ 14.100. Resposta: R$ 50.000 4. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% am triplica em que prazo? Resposta: 25 meses 5. Dois capitais, o primeiro igual a R$ 1.100,00 e o segundo igual a R$ 500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. A que taxa foi aplicado o primeiro, se o segundo, aplicado à taxa de 10% am, rendeu R$ 246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% am 6. Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% aa, durante um ano; o restante foi dividido em 2 partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira taxa à de 28% aa e a segunda à de 32% aa. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido fosse igual à soma dos juros das 3 aplicações mencionadas. Resposta: 30% aa 7. Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% am no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% am. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de R$ 1.125.000,00. Resposta: R$ 250.000,00 8. Uma aplicação financeira tem prazo de 6 meses, rende juros simples à taxa de 2% am, mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de R$ 5000,00? b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de R$ 4.200? Resposta: a) R$ 5.480 e b) 3.832,12

104

9. Uma pessoa, dispondo de R$ 3.000,00, resolve aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples, à taxa de 8% am, por 6 meses, no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por 8 meses, à taxa de 10% am. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de R$ 1.824,00. Resposta: R$ 1.800 e R$ 1.200

10. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples de 24% aa. a) Qual é o montante após 6 meses? b)Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital inicialmente empregado? Resposta: R$ 5.600 e 50 meses 11. Um capital de R$ 3.000 foi aplicado em 23 de março de 1999, a juros simples e à taxa de 96% aa. O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros exatos e comerciais desta aplicação (o número de dias decorridos foi de 544). Resposta: Exatos – R$ 4.292,38; Comerciais – R$ 4.352,00 12. Uma pessoa depositou em uma instituição financeira uma quantia de R$ 680,00 por 83 dias e, em outra, depositou R$ 800,00 por 47 dias. Os juros auferidos na primeira aplicação excederam em R$ 94,20 os juros auferidos na segunda. Determine a taxa anual de juros, sabendo-se que foi a mesma em ambas as aplicações. Use a convenção de juros comerciais. Resposta: 180% aa 13. Uma empresa descontou um título com valor nominal igual a R$ 7.800,00 dois meses antes de seu vencimento, mediante uma taxa de desconto simples por fora (comercial) igual a 7% am e um percentual sobre o valor de face igual a 0,8%. Qual a taxa efetiva que incidiu sobre o valor líquido recebido pela empresa? Resposta: 8,6854%am 14. Uma duplicata de R$ 12.000,00 foi descontada em um banco 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1% am. Obtenha: a) O desconto b) O valor líquido recebido pela empresa. c) A taxa efetiva de juros no período. d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. Resposta: a) 403,20; b) R$ 11.596,80. c) 3,48% ap; d) 2,17% am 15. Um título governamental com valor de face de R$ 100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento, com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% aa. a) Qual o preço da aquisição? b) Qual a taxa efetiva de juros no período proporcionada pela aplicação? Resposta: a) R$ 95.138,89; b) 5,11% ap 16. Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 15.000,00 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% am. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou, na data da operação, um imposto igual a 0,0041% ao dia (IOF), aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: R$ 13.786,30

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17. Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% am e entrega ao cliente o valor liquido. Se uma pessoa precisar hoje de R$ 7.000,00, para pagamento daqui a três meses, que valor da promissória deverá assinar? Resposta: R$ 7.954,55

18. Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de 2 meses até o vencimento. Tal operação pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% am mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do titulo; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% am sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A 19. Um título de R$ 48.000,00 foi liquidado 56 dias antes de seu vencimento, com uma taxa de desconto comercial simples de 5,62% am. Determine o valor a ser descontado do título e a taxa anual de desconto racional, assumindo regime de juros simples e ano com 360 dias. Resposta: R$ 5.035,52 e 75,34% 20. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes, usando o desconto comercial simples. Considere a data focal zero e i = 4% ap. Fluxo 1 Fluxo 2 T VF t 3 100,00 1 5 50,00 7 7 200,00 8 9 300,00 Resposta: Não são equivalentes (VP = 464 e 474).

VF 200,00 250,00 150,00

21. Uma empresa possui em seu contas a receber três notas promissórias com vencimentos previstos para daqui a dois, cinco e seis meses e com valores nominais respectivamente iguais a R$ 500,00, R$ 400,00 e R$ 900,00. Uma instituição financeira propôs-se a comprar os 3 títulos, oferecendo R$ 300,00 hoje e mais certa importância daqui a três meses. Qual deve ser o valor a ser recebido daqui a 3 meses, de forma a tornar os fluxos equivalentes no regime de juros simples com uma taxa de juros simples igual a 4% am? Resposta: O valor a ser recebido deveria ser, no mínimo, R$ 1.368,76. 22. Uma pessoa tomou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, acertando um prazo de 230 dias e uma taxa efetiva de juros compostos igual a 38% aa. Os juros serão pagos no final junto com a devolução do capital. Calcule os juros da transação, considerando o ano comercial. Resposta: 11.423,87 23. Uma empresa possui duas notas promissórias que vencem dentro de 60 e 120 dias, com valores de R$ 22.000,00 e R$ 37.000,00, respectivamente, e deseja liquidá-las antecipadamente. Calcule o valor a ser desembolsado para uma taxa de 2,8% am. Considere o regime de capitalização composta. Resposta: 53.948,47

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24. Um empréstimo no valor de R$ 700,00 foi liquidado em uma única parcela igual a R$ 780,00. A taxa de juros compostos vigente para a operação foi igual a 4,25%am. Qual o prazo decorrido? Resposta: 2,5999 meses 25. Uma empresa vende um componente eletrônico por R$ 200,00 a unidade, sendo o pagamento feito dois meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 2,06% am 26. A política de vendas de uma empresa produtora de materiais de construção é conceder 3 meses de prazo para pagamento; se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 6% sobre o preço para pagamento em 3 meses. Qual a taxa trimestral de juros compostos do financiamento? Resposta: 6,383% at 27. Um banco emprestou para uma empresa um capital de R$ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de R$ 530.000,00, calcule: a) a taxa efetiva mensal (juros compostos) da operação b) a taxa efetiva mensal (juros compostos), considerando a liberação do dinheiro três dias após a assinatura do contrato. Resposta: a) 3,632% am e b) 3,873%am 28. Em juros compostos o que é preferível: aplicar um capital por um ano a taxa de 26% aa ou à taxa de 2,1% am? Resposta: 2,1% am 29. Um investidor pode aplicar seu capital por três meses a juros compostos à taxa de 33% aa ou à taxa de 2,5% am. Qual a melhor alternativa? Resposta: 2,5% am 30. Uma divida de R$ 50.000,00 vence daqui a dois meses e outra de R$ 60.000,00 vence daqui a quatro meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,8% am, para fazer frente a estes compromissos? Resposta: R$ 104.115,08 31. Um equipamento é vendido por R$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro a taxa de juros compostos de 1,8% am? Resposta: A prazo 32. Uma empresa A possui um título de dívida com vencimento daqui a seis meses e de valor nominal igual a R$ 85.000,00. Uma empresa B propõe-lhe a troca por um titulo vencível daqui a 3 meses, de valor igual a R$ 75.000,00. Sendo de 4% am a taxa de juros composta de mercado, verifique se a troca é vantajosa para a empresa A. Resposta: Sim 33. Em janeiro e fevereiro, um fundo de renda fixa rendeu 1,5% e 1,7%, respectivamente. Se um investidor aplicou R$ 25.000,00 no início de janeiro: a) Qual seu montante 2 meses depois? b) Qual a taxa de rentabilidade acumulada do fundo no período? Resposta: a) R$ 25.806,38 e b) 3,23% ap

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34. Em abril e maio, um fundo de ações rendeu 5% e – 4%, respectivamente. Qual deverá ser a taxa de rentabilidade em junho para que a taxa acumulada no trimestre seja de 5,5%? Resposta: 4,66% 35. O banco A cobra por um empréstimo de 45 dias a taxa de juros compostos de 25% aa. O banco B cobra pelo mesmo empréstimo e prazo a taxa de 21% aa, sendo os juros capitalizados trimestralmente. Qual a melhor alternativa para o tomador de empréstimo? Resposta: A oferecida pelo Banco B 36. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para ser devolvido em dois anos. Sabendo-se que a financiadora cobra uma taxa nominal composta de 24% aa, com capitalização trimestral, o montante a ser devolvido no vencimento será de quanto? Resposta: R$ 31.876,96 37. Uma pessoa aplicou R$ 40.000,00 (valor presente) em um CDB com prazo igual a 220 dias que teve as seguintes rentabilidades: durante os primeiros 108 dias, o CDB foi remunerado a uma taxa igual a 2,45% am, e no restante do tempo a remuneração atingiu 22,80%aa. Calcule a taxa de juros compostos mensal efetiva da aplicação. Considere o ano comercial. Resposta: 2,0809% am 38. Uma aplicação em renda fixa por 200 dias apresentou a taxa de juros líquida, após dedução de impostos e tarifas, de 2,38% aos 30 dias. Se essa aplicação em renda fixa foi realizada com duas aplicações seguidas sendo que a primeira durante 84 dias apresentou a taxa de juros líquida de 1,95% aos 30 dias, qual foi a taxa de juros líquida da segunda aplicação? Resposta: 2,6925%am 39. Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 600,00, descontado 5 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto racional composto igual a 4%am. Resposta: 106,84 40. Uma taxa de desconto comercial mediante juros simples igual a 28% ao ano, no regime de juros simples, deve ser aplicada numa operação de desconto com prazo de 57 dias. Determine a taxa efetiva anual de desconto racional desta operação, no regime de juros compostos. Assuma ano com 360 dias. Resposta: 33,162 41. Um cliente de um banco verificou que em uma operação de desconto com prazo de 7 meses, o valor presente de um título é igual a 82% de seu valor de resgate. Determine a taxa mensal de desconto “por dentro” dessa operação, no regime de juros compostos. Resposta: 2,8756 42. Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 20% aa, capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, devem-se esperar quantos trimestres? Resposta: LN(2)/LN(1,05) trimestres 43. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes na data focal zero, mediante o emprego de uma taxa de juros compostos igual a 5% am. Período FC1 ($) 2 800,00 3 530,00 5 450,00 Resposta: Sim

Período 4 7 8

FC2 ($) 650,00 598,00 851,46

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44. Estime o valor de X de modo a tornar os fluxos de caixa apresentados nas tabelas seguintes equivalentes na data focal 4. Considere uma taxa de juros compostos de 10% ao período. Período 0 1 4

FC1 ($) 400,00 320,00 540,00

Período 3 7 9

FC2 ($) 960,00 320,00 X

Resposta: 410,90

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Lista de Exercícios 2 1. Calcule o custo de capital de uma empresa, cujas ações estão cotadas a R$ 5,60 hoje. A empresa pretende distribuir dividendos no valor de R$ 0,80 no próximo ano e a taxa de crescimento anual dos dividendos é igual a 4%. Resposta: i = 18,2857% aa 2. Um empréstimo de R$ 50.000,00 é realizado à taxa de 4,8% a.m. para ser liquidado em seis prestações mensais, iguais e sucessivas. Qual o valor da prestação? Resposta: PMT = 9.787,96 3. Quanto é preciso aplicar mensalmente, num total de 48 prestações, numa poupança, para que se possa resgatar R$ 52.800,00 no final do período, à taxa de 4% a.m.? Resposta: 379,14 4. Um equipamento cujo valor a vista é de R$ 30.000,00 será financiado em 20 prestações mensais e sucessivas, além de uma entrada de R$ 7.500,00, por ocasião da compra. Determine o valor das 20 prestações mensais, sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, considerando que a 1 ª prestação vencerá: a) 30 dias após a data da compra; b) no ato da compra. Resposta: 1278,46 e 1262,67 5. Um automóvel no valor de R$ 20.000,00 é financiado em 13 prestações trimestrais, iguais e sucessivas, sendo que a 1 ª prestação deve ser paga 90 dias após a liberação do financiamento. Determine o valor dessas prestações para uma taxa de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. Resposta: 1.880,59 6. Qual deve ser o valor de cada prestação mensal de um financiamento no valor de R$ 3.000,00 a ser pago em 30 prestações mensais se a taxa de juro efetiva é igual a 38% ao ano? Assuma a série como postecipada. Resposta: 147,58 7. A compra de um apartamento no valor de R$ 185.000,00 é financiada em dezoito prestações semestrais, iguais e sucessivas. Determine o valor dessas prestações para uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Considere que o primeiro pagamento é feito no ato do financiamento. Resposta: 17.642,90 8. Um empréstimo de R$ 250.000,00 é realizado com uma taxa de 38% ao ano, no regime de juros compostos, e deve ser amortizado no prazo de 10 anos, com os dois primeiros anos de carência. Determine o valor das oito prestações anuais, iguais e sucessivas, que deverão ser pagas a partir do final do 3º ano, nas seguintes hipóteses: a) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência são pagos no final de cada ano; b) os juros devidos nos dois primeiros anos de carência não são pagos, mas sim capitalizados. Resposta: 102.816,85 e 195.804,40

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9. Ana Rosa pensa em começar a poupar mensalmente determinada quantia com o objetivo de pagar os estudos universitários de seu filho Pedro, que, atualmente, possui quatro anos e meio. Estima-se que Pedro ingressará na universidade com 20 anos. Sabendo-se que os gastos com o ensino superior estão estimados em R$ 25.000,00, quanto ela deverá começar a poupar hoje para poder custear os estudos do filho? A taxa de juros que mede a remuneração dos recursos poupados por Ana Rosa é igual a 1,2% ao mês. Resposta: 36,60 (36,17, se considerarmos como série antecipada) 10. Juliana gostaria de trocar de carro daqui a um ano e meio. Estima que gastará na troca do veículo cerca de R$ 18.000,00. Quanto ela deve começar a depositar mensalmente em uma caderneta de poupança que rende 1,5% ao mês para poder dispor da quantia desejada? Resposta: 878,50 (865,52) 11. Um financiamento no valor de R$ 12.000,00 deverá ser amortizado mediante a cobrança de uma taxa de juros mensal de 5% a.m., incidente sobre o saldo devedor. Calcule o valor de prestação mensal se forem previstas: a) 8 prestações sem entrada; b) 8 prestações com entrada; c) 16 prestações sem entrada; d) 16 prestações com entrada. Resposta: 1856,66; 1768,25; 1107,24; 1054,51 12. Qual o valor que, financiado a 3% a.m., pode ser pago, sem entrada, em 8 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 800,00? Resposta: 5615,75 13. A aquisição de um bem industrial deve ser financiada em 16 prestações mensais de R$ 40.000,00, que incluem juros calculados com a taxa de 2,48% ao mês. Determine o valor do principal deste financiamento, no regime de juros compostos, sabendo que a 1ª prestação ocorre no ato da realização da compra, a título de entrada. Resposta: 535.984,53 14. Uma loja anuncia a venda de um carro usado nas seguintes condições: R$ 1.500,00 de entrada mais seis prestações mensais iguais a R$ 3.200,00. Se a taxa de juros compostos é igual a 2,2% a.m., por quanto teria sido vendido a vista? Resposta: 19304,22 15. Um amigo ganhou R$ 160.000,00 na loteria esportiva e decidiu gastar todo esse dinheiro na compra de um pequeno sítio. Entusiasmado pelo corretor, considera a hipótese de pagá-lo em 24 prestações mensais (postecipadas) de R$ 8.600,00, aproveitando para aplicar o dinheiro à taxa líquida de 2% ao mês. Será melhor pagá-lo a vista ou seguir o conselho do corretor? Resposta: Será melhor pagar R$ 160.000 a vista (a prazo, o valor presente é 162.659,76). 16. Uma debênture foi emitida com um valor de resgate de R$ 300.000,00, no final de oito anos, além de 16 cupons semestrais no valor de R$ 20.000,00. No regime de juros compostos, determine o preço de venda para que o comprador do título tenha uma remuneração efetiva de 22% ao ano até seu vencimento. Resposta: 213.530,13 17. Determine o valor futuro de uma série de 18 aplicações mensais, iguais e sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, à taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês. Resposta: 34.259,70 111

18. Ana e Pedro estão pensando em aplicar suas economias na aquisição de um imóvel com preço estimado em R$ 60.000,00. O futuro proprietário do terreno deverá pagar um imposto territorial e predial urbano anual no valor de R$ 900,00, a iniciar um ano após a aquisição. Acredita-se que se essa propriedade for adquirida, será necessário esperar 14 anos até que possa ser vendida por um preço favorável. Qual deverá ser esse preço de modo que Ana e Pedro possam ter uma rentabilidade igual a 22% a.a.? Resposta: 1.033.041,15 19. Uma empresa financia a venda de seus produtos em nove vezes, com pagamentos mensais e iguais. A 1 ª prestação deve ocorrer 30 dias após a realização da venda. Em uma venda de R$ 16.400,00, a prestação a ser paga é de R$ 2.045,00. Determine a taxa de juros mensal efetiva da operação, no regime de juros compostos. Resposta: 2,37% am 20. Uma empresa tomou um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 que deve ser liquidado mediante o pagamento de 20 prestações mensais de R$ 4.600,00. Determine a taxa efetiva mensal desse financiamento, no regime de juros compostos, nas seguintes hipóteses: a) 1ª prestação ocorre 30 dias após a liberação do principal; b) 1ª prestação ocorre na mesma data da liberação do principal. Resposta: 1,37% am e 1,52% am 21. Uma loja anuncia que um produto pode ser comprado em 1 + 2 vezes sem juros, ou a vista com 10% de desconto. Qual a taxa de juros aparente do financiamento? Resposta: 11,55% 22. Quantas prestações no valor de R$ 800,00 uma pessoa deve aplicar semestralmente à taxa de 12% a.s., para acumular o montante de R$ 20.000,00? Resposta: 13 prestações (12 prestações, considerando a série antecipada) 23. Uma loja afirma a seus clientes que a taxa de juro dela é a mais baixa do mercado: já que ela sempre pretende fidelizar seus clientes, cobra apenas 2% de juros, enquanto o mercado tem praticado uma taxa de juros igual a 3,5% a.m. Como exemplo, realizou a seguinte conta: os juros totais para um financiamento de R$ 800,00 em 20 prestações postecipadas iguais e mensais com taxa de juro de 2% ao mês são iguais a R$ 320,00; somando os R$ 800,00 financiados, tem-se o total de R$ 1.120,00, que, dividido por 20, dá uma prestação de R$ 56,00 por mês. Será que a loja está falando a verdade? Qual a verdadeira taxa de juro desse financiamento? Resposta: 3,44% - A loja está cobrando uma taxa maior que a anunciada. 24. Uma loja está anunciando uma promoção de "seis vezes sem juros", mediante pagamentos mensais, iguais e sucessivos, a partir de 30 dias da data da venda. Assumindo mês com 30 dias, determine o percentual de acréscimo que essa cadeia de lojas tem que aplicar nos seus preços a vista, para obter uma remuneração efetiva de 1,5% ao mês, a juros compostos, nas vendas financiadas por esse plano. Resposta: Assumindo preço igual a 100, a prestação = R$ 17,55; Valor total = R$ 105,31; Percentual de acréscimo = 5,31% 25. Uma pessoa está indecisa entre duas alternativas de pagamento de um apartamento. Uma alternativa consiste em pagar duas prestações de 50 mil reais, uma hoje e outra dentro de um ano. A segunda alternativa consiste em 24 prestações mensais (sem entrada inicial) de cinco mil reais cada. Sabendo que ele pode efetuar aplicações financeiras à taxa de juro efetiva mensal igual a 2%, qual deverá ser a alternativa escolhida? Resposta: A primeira alternativa representa o menor valor presente. 112

26. Uma empresa realizou uma grande operação de captação de recursos no mercado de capitais brasileiro, onde emitiu 400 debêntures, alavancando recursos totais na ordem de R$ 160.000.000,00. Sabendo que as debêntures possuem valores nominais iguais a R$ 350.000,00, vencem em dois anos e pagam juros de cupom iguais a R$ 40.000,00 por trimestre, estime a taxa de juros anual paga pela empresa nessa operação. Resposta: Taxa trimestral – 8,86¨% at – Taxa anual = 40,44% aa 27. A venda de um imóvel está anunciada em 48 prestações mensais sem entrada iguais a R$ 4.500,00 ou uma entrada paga no ato e mais 60 prestações trimestrais no valor de R$ 8.600,00. Sabendo que a taxa de juros em vigor no mercado para operações desse tipo é igual a 34,5% a.a., estime qual deve ser o valor da entrada a ser paga. Resposta: 14.457,99 28. Uma pessoa está analisando a possibilidade de financiar uma construção. Estima que os gastos alcançarão R$ 14.000,00. Existem duas alternativas disponíveis: tomar os recursos emprestados em um banco que costuma cobrar 3% ao mês, ou aceitar o financiamento do vendedor do equipamento, que se propôs a financiar em seis parcelas mensais com entrada, no valor de R$ 2.800,00. Qual a melhor alternativa? Resposta: A melhor alternativa é o financiamento pelo banco.

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Lista de Exercícios 3 1. Montar as planilhas do Sistema Francês e SAC do financiamento abaixo: P = R$ 50.000,00 n = 4 pagamentos anuais i = 15% ao ano.

2. Um empréstimo de R$ 1.000,00 foi contraído via SAC em 5 parcelas anuais, a uma taxa de juro real de 10% a.a. Construa a planilha financeira de amortização da dívida.

3. Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. Sendo a taxa de juros da operação de 4% ao mês, determine o valor das amortizações mensais, o valor dos juros da 1ª prestação, e o valor da última prestação.

4. Um empréstimo de R$ 250.000,00 deve ser pago com juros reais de 8% ao ano, em 20 parcelas anuais pelo SAC. Calcule os valores do 2º e do último pagamento. 5. Um empréstimo de R$ 10.800,00 foi amortizado mensalmente pelo SAC em 3 anos. Os juros pagos na 1ª prestação foram de R$ 450. Calcule os juros pagos na última prestação. 6. Um imóvel no valor de R$ 110.000,00 foi amortizado em 36 prestações pelo SAC. A taxa de juros real aplicada foi de 3% a.m. Calcule o valor das prestações 1ª e 36ª. 7. Uma pessoa deseja comprar um equipamento utilizando o Sistema Francês para o pagamento da dívida. O valor do equipamento é de R$ 110.000,00 e o pagamento será feito em 6 prestações trimestrais. O valor da taxa real de juros é de 5% ao trimestre. Monte a Planilha Financeira desse financiamento.

8. Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será amortizado pelo Sistema Francês no prazo de 24 meses à taxa de 6% a.m. Determine os juros pagos na 2ª prestação.

9. Um imóvel no valor de R$ 350.000,00 foi financiado pelo Sistema de Francês em 10 prestações anuais com uma taxa real de juros de 12% a.a. Qual é o valor das amortizações das três primeiras prestações?

10. Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi contraído via Tabela Price, em 18 parcelas mensais, a uma taxa de 15% a.a. Construa a planilha financeira das 6 primeiras prestações.

11. Uma pessoa adquiriu um apartamento no valor de R$ 70.000,00, pagando R$ 7.000,00 de entrada e o restante foi financiado a juros de 42,58% a.a., para ser amortizado em 36 meses pela Tabela Price. Pede-se o valor das prestações, e o valor das amortizações e dos juros das 3 primeiras prestações 114

12. Uma empresa financiou um bem no valor de R$ 150.000,00 em 24 prestações mensais com uma taxa de 18% a.a, pela Tabela Price. Com base nesses dados, construa a planilha das 4 primeiras prestações.

13. Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de Financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 5%, j2 = 6,85%, j3 = 8,7%, j4 = 10,75% e j5 = 11%: P= R$ 25.000,00 i = 10% a.a com correção monetária n = 5 parcelas anuais Resposta: última prestação = R$ 8.245,61

14. Considerando os dados abaixo, construa a Planilha de financiamento pelo Sistema Francês, e atualize monetariamente os valores das prestações pelas seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 5%, j2 = 6,85%, j3 = 8,7%, j4 = 10,75% e j5 = 11%. P = R$ 25.000,00 i = 10% a.a, com correção monetária n = 5 parcelas anuais Resposta: última prestação = R$ 9.887,71

15. Um apartamento de R$ 250.000 foi comprado para pagamento em 5 prestações anuais, a uma taxa real de 12% a.a. O financiamento foi efetuado pelo SAC, sendo as prestações atualizadas monetariamente pela inflação pela taxa de inflação. Calcule o valor atualizado da 5ª prestação, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: j1 = 2%, j2 = 2,5%, j3= 3,0%, j4 = 3,5% e j5 = 4%. Resposta: R$ 64.911,70

16. Construa a Planilha de financiamento do empréstimo indicado abaixo, pelo SAC, e atualize monetariamente as prestações pelas taxas de inflação indicadas: P = R$ 137.250,00 i = 7,5% n=5 j1 = 1%, j2 = 2%, j3 = 3%, j4 = 4% e j5=5% Resposta: PMT5 = R$ 29.508,75

17. Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas. Ano 1: PMT = R$ 10.000,00 e j = 11,57% a.a. Ano 2: PMT = R$ 9.700,00 e j = 10,95% a.a. Ano 3: PMT = R$ 8.750,00 e j = 9% a.a. Ano 4: PMT = R$ 8.000,00 e j = 6% a.a. Ano 5: PMT = R$ 7.800,00 e j = 7,75% a.a. Resposta: Prestação no ano 5 = R$ 12.020,40

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18. Atualize monetariamente as seguintes prestações, considerando as taxas anuais de inflação indicadas. Ano 1: R = R$ 20.000,00 e j = 13% a.a. Ano 2: R = R$ 19.700,00 e j = 12,2% a.a. Ano 3: R = R$ 18.250,00 e j = 11,9% a.a. Ano 4: R = R$ 17.900,00 e j = 10,75% a.a. Ano 5: R = R$ 16.000,00 e j = 9,8% a.a. Resposta: Prestação no ano 5 = R$ 27.603,71

19. Construa a Planilha de amortização, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), do seguinte empréstimo e construa a planilha de correção monetária, considerando as taxas de inflação abaixo: P = R$ 50.000 i = 10% a.a. n = 5 parcelas anuais, com 3 anos de carência, havendo pagamento de juros durante a carência. j2 = 10,7% j3 = 9,37% j4 = 10,60% j5 = 11,4% j6 = 12% j7 = 9,0% j1 = 11% Resposta: Prestação no ano 7 = R$ 22.235,47

20. Construa a Planilha de amortização, pelo Sistema Francês, do seguinte financiamento e construa a Planilha de correção monetária considerando as seguintes taxas anuais de inflação: P = R$ 30.000 i = 15% a.a n = 5 parcelas anuais, com 3 anos de carência, havendo pagamento de juros durante a carência. j1 = 14,52% j2 = 11,5% j3 = 10,25% j4 = 10% j5 = 9,75% j6 = 9% j7 = 12% Resposta: Prestação no ano 7 = R$ 18,568,37

21. Construa a Planilha de amortização, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), do seguinte financiamento: empréstimo de R$ 40.000, juros reais de 12% ao ano, a ser amortizado em 5 parcelas anuais, com 3 anos de carência, havendo pagamento de juros durante a carência. Após, construa a Planilha de correção monetária considerando as taxas de anuais de inflação abaixo: j1 = 12% j2 = 10,2% j3 = 12,2% j4 = 10,9% j5 = 11% j6 = 11,8% j6 = 9,9% Resposta: Prestação no ano 7 = R$ 18.766,98

22. Em um empréstimo de R$ 100.000,00, efetuado à taxa de 10% a.a., pelo prazo de 4 anos, pago pelo sistema SAC, obtemos as seguintes prestações: R1 = R$ 35.000,00, R2 = R$ 32.500,00, R3 = R$ 30.000,00 e R4 = R$ 27.500,00. Atualize monetariamente as prestações, considerando as seguintes taxas anuais de inflação: ano 1 = 2,35%, ano 2 = 3,15%, ano 3 = 1,58% e ano 4 = 2,80%. Resposta: Prestação no mês 4 = R$ 30317,34

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Lista de Exercícios 4 1. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos mutuamente excludentes. Considerando um custo de capital de 20% aa, determine qual projeto deverá ser realizado, utilizando cada um dos métodos estudados, e justifique a sua decisão. Resposta: O projeto B deverá ser realizado, pois todos os indicadores o apontam como o melhor. Projeto A B

0 (10.000,00) (1.000,00)

1 1.100,00 600,00

2 2.000,00 400,00

3 6.000,00 200,00

4 8.000,00 200,00

5 1.000,00 200,00

2. Suponha que tanto o projeto A quanto o projeto B do exercício anterior atingiram a sua maturidade no período 5 (sem nenhum crescimento). Calcule o novo VPL, considerando que as atividades do projeto trarão benefícios permanentes, e determine qual projeto deverá ser realizado. Resposta: O projeto B deverá ser realizado, pois o seu VPL é maior que o do projeto B. Projeto A B

0 (10.000,00) (1.000,00)

1 1.100,00 600,00

2 2.000,00 400,00

3 6.000,00 200,00

4 8.000,00 200,00

5 1.000,00 200,00

3. Considerando os mesmos projetos analisados no exercício 1, recalcule os VPLs de cada um, utilizando, agora, um custo de capital de 10%. Determine qual projeto deve ser realizado e explique as diferenças encontradas nos resultados.

4. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos independentes. Considerando um custo de capital de 10% aa, determine qual projeto deverá ser realizado, e justifique a sua decisão utilizando cada um dos métodos estudados (a TIR dos projetos A e B é 8,71% e 10,10%). Resposta: Somente o projeto B deverá ser realizado, pois é o único que apresenta VPL positivo, TIR maior que o custo de capital e PI superior a 1. Projeto A B

0 (2.000,00) (5.000,00)

1 700,00 500,00

2 500,00 1.000,00

3 400,00 1.500,00

4 500,00 2.000,00

5 400,00 2.000,00

5. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos independentes. Considerando um custo de capital de 20% aa, determine qual projeto deverá ser realizado, e justifique a sua decisão utilizando cada um dos métodos estudados (a TIR dos projetos A e B é 25,93% e 22,41%).

Projeto A B

0

1

2

3

4

5

(2.000,00) (5.000,00)

1.000,00 2.000,00

1.000,00 2.000,00

500,00 1.500,00

500,00 1.500,00

400,00 1.500,00

117

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DAS UNIDADES Unidade 1 – Fundamentos 1. Um capital de R$ 2.000 é aplicado em cada uma das condições indicadas. Obtenha o juro e o montante em cada caso, e desenhe o fluxo de caixa da operação.

a)

Taxa 50%aa

Prazo 1 ano

Resposta 1.000 e 3.000

b)

30%as

1 semestre

600 e 2.600

c)

12%at

1 trimestre

240 e 2.240

d)

5%ab

1 bimestre

100 e 2.100

e)

1,7%am

1 mês

34 e 2.034

f)

0,03%ad

1 dia

0,60 e 2.000,60

2. Calcule o retorno obtido no período por um investidor em cada uma das situações:

a) b) c) d) e) f)

VF (R$) 10.000 15.000 7.200 3.300 2.420 4.002

VP (R$) 8.000 13.500 6.800 3.200 2.400 4.000

Prazo 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 mês 1 dia

Resposta 25% aa 11,11% as 5,88% at 3,31% ab 0,83% am 0,05% ad

3. Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de empréstimos em cada uma das situações a seguir:

a) b) c) d) e) f)

VP (R$) 3.500 8.000 4.300 5.400 9.000 6.700

Juro (R$) 400 1.200 210 220 150 2,50

Prazo 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 mês 1 dia

Resposta 11,43% aa 15%as 4,88%at 4,07%ab 1,67%am 0,04%ad

118

4. Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações seguintes:

a) b) c) d) e) f)

Taxa 28%aa 12%as 3,8%at 4%ab 1,8%am 0,06%ad

Prazo 1 ano 1 semestre 1 trimestre 1 bimestre 1 mês 1 dia

Juro (R$) 14.000 24.000 7.600 10.800 3.600 6.000

Resposta 50.000 200.000 200.000 270.000 200.000 10.000.000

5. Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje R$ 666,67 e receba R$ 1.000 daqui a um ano”. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco? Desenhe o fluxo de caixa do investimento. Resposta: 50% aa 6. Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de R$ 10.000, foi adquirido hoje por um fundo por R$ 9.600. Qual a taxa de rendimento do papel no período? Resposta: 4,17% no período 7. Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado? Resposta: 2,99% no período 8. Um amigo pediu R$ 1.000,00 emprestado por determinado período, a uma determinada taxa de juros. Você tem este dinheiro e não precisa dele neste momento. No entanto, este amigo já ficou lhe devendo dinheiro outras vezes e você sempre perdoou a dívida. A sua decisão, dado o histórico do relacionamento, foi a de não emprestar o dinheiro. a) Com a sua negativa, o amigo ofereceu um computador, no valor de R$ 2.500,00 como garantia. Isto afetaria a sua decisão? Por quê? Garantia – mitigador de risco Risco e utilidade da garantia Oportunidade

b) Com a sua negativa, o amigo solicitou um valor bastante menor, R$ 50 reais. Isto afetaria a sua decisão? Por quê? Menor valor – menor utilidade e menor custo de oportunidade

119

Unidade 2 – Capitalização Simples e Equivalência de Taxas

1. Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 2.000,00

Taxa 1,2%am

Prazo 5 meses

Resposta J = C*i*n = 120

b)

3.000,00

21%aa

2 anos

1.260

c)

2.000,00

1,3%am

3 anos

936

d)

6.000,00

15% at

2,5 anos

9.000

2. Determine o montante obtido por juros simples nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 5.000,00

Taxa 2%am

Prazo 3 meses

Resposta S = C(1+in) = 5300

b)

4.000,00

13%aa

2 anos

5.040

c)

2.000,00

0,1%ad

30 dias

2.060

d)

3.000,00

10% at

2,5 anos

6.000

3. Determine o prazo de cada aplicação a juros simples nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 5.000,00

Taxa 3%am

Montante (R$) 5.750

Resposta n = (VF/VP-1)/i = 5 meses

b)

4.000,00

10%aa

6.800

7 anos

c)

2.000,00

0,15%ad 2.135

45 dias

d)

3.000,00

10% at

5 trimestres

4.500

120

4. Determine a taxa de juros simples de cada aplicação nas seguintes condições.

a)

Capital (R$) 5.000,00

Prazo 6 meses

Montante (R$) 6.050

Resposta i = (VF/VP-1)/n = 3,5% am

b)

4.000,00

10 anos

7.200

8% aa

c)

2.000,00

30 dias

2.060

0,1% ad

d)

3.000,00

7 trim.

4.680

8% at

5. Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5% am b) 2,5% ab c) 3,5% at

= 18%aa = 15%aa = 14%aa

a) i = 1,5%am n = 12 meses

d) 4,5% aq e) 6,5% as

i2 = ?aa n2 = 1 ano

= 13,5%aa = 13%aa

i*n=i2*n2 i2 = 1,5%*12 = 18%

6. Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000 à taxa de 35% aa pelo prazo de 7 meses. VP = 4000 i = 35% aa n = 7 meses J = ? = C*i*n i = 35% aa

n = 1 ano

i2 = ?

n2 = 12 meses


n2 = 0,35/12 am

J = C*i*n = 4000*7*0,35/12 = R$ 816,67 7. Um capital de R$ 5.000 foi aplicado a juros simples à taxa de 24%aa. a) Qual o montante após 6 meses? VP = 5000 n = 6 meses i = 24%aa = 2%am VF = ? = C*(1+i*n) = 5000(1+0,02*6) = 5600 i = 24% aa

n = 1 ano

i2 = ?

n2 = 12 meses


n2 = 0,02am

b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital inicialmente empregado? J = C Como S = C + J, S = 2C
S = C*(1+i*n)
2C = C*(1+in)
1+in = 2
in = 1 i = 0,02 am, n = 1/0,02 = 50 meses 8. Uma aplicação financeira tem prazo de três meses, rende juros simples à taxa de 1,8% am, mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. a) Qual o montante líquido (após o pagamento do imposto) de uma aplicação de R$ 4.000? J = C*i*n C = 4000 i = 0,018am n = 3m IR = 20%*J J = 4000*3*0,018 = 216
IR = 0,2*J = 43,20 S = C + J – IR = 4000 + 216 – 43,20 b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de R$ 3.600? S = C + J – IR = C + J – 0,2J = C + 0,8J = C + 0,8*C*i*n = C (1+0,8*i*n) C = S/(1+0,8*i*n) = 3.600/(1+0,8*3*0,018) = 3.450,92 121

Unidade 3 – Desconto Simples e Equivalência de Capitais 1. Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comercial de 3%am. Qual a taxa efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. n=1mês d=3%am N = não informado D = N*d*n = N*1*0,03 = 0,03N Vd = N – D = N – 0,03N = 0,97N Taxa de juros: N = Vd(1+in)
i = (N/Vd-1)/n = (N/0,97N – 1)1 = 3,09%am b) Dois meses. n=2meses d=3%am N = não informado D = N*d*n = N*2*0,03 = 0,06N Vd = N – D = N – 0,06N = 0,94N Taxa de juros: N = Vd(1+in)
i = (N/Vd-1)/n = (N/0,94N – 1)2 = 3,19%am

2. Um duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000 foi descontada em um banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% am. Obtenha: a) O desconto comercial. N = 9000 d = 2%am n = 2 meses D = ? = Ndn = 9000*0,02*2 = R$ 360 b) O valor descontado do título. VP = VF-D = 9000-360 = R$ 8.640 c) A taxa efetiva de juros no período. i = (VF/VP-1)/n = (9000/8640 – 1)/1 = 4,17% no período d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. i = (VF/VP-1)/n = (9000/8640 – 1)/2 = 2,08% am

3. Uma promissória foi de R$ 20.000 foi descontada em um banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% am. Obtenha: a) O desconto comercial (por fora). N = 20.000 d = 1,8%am n = 3 meses D = ? = Ndn = 20.000*0,018*3 = R$ 1.080 122

b) O valor atual comercial do título. VP = VF-D = 20.000-1.080 = R$ 18.920 c) A taxa efetiva de juros no período. i = (VF/VP-1)/n = (20.000/18.920 – 1)/1 = 5,71% no período d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação. i = (VF/VP-1)/n = (20.000/18.920 – 1)/3 = 1,9% am

4. Numa operação de desconto com prazo de 4 meses, o valor presente de um título é igual a 82% de seu valor de resgate. Determine a taxa anual de desconto racional desta operação, no regime de juros simples. n = 4 meses VP = 82%*VF i = ? = (VF/VP-1)/n = (VF/0,82VF-1)/4 = 5,49%am in = i2n2
5,49*12 = i2*1
i2 = 65,88%aa 5. O valor de resgate de um título, em seu vencimento, é igual a 108 vezes o valor de seu desconto racional com uma taxa de 28% aa. Determine o prazo em dias desta operação de desconto racional, no regime de juros simples, assumindo-se ano com 360 dias. VF = 108*D VP = 108*D – D = 107*D i = 28%aa = 28/360%ad n = ? = (VF/VP-1)/i = (108/107-1)/(28/360) = 12,02 dias = 13 dias

6. Com base nos números apresentados nas tabelas seguintes, verifique se os fluxos de caixa são equivalentes, usando o desconto racional. Considere a data focal zero e i = 10% ap.

t 2 4 6 8

Fluxo 1 VF 150,00 72,54 400,00 750,00

t 3 4 6 8

Fluxo 2 VF 200,00 100,00 300,00 877,00

VP = VF/(1+in) F1: 125 + 51,81 + 250 + 416,67 = 843,48 F2: 153,85 + 71,43 + 187,50 + 487,22 = 900 Os fluxos não são equivalentes.

123

7. Com base nos mesmos dados do exercício anterior, verifique se os fluxos de caixa são equivalentes, usando o desconto comercial. Explique a diferença.

VP = VF*(1-dn) F1: 120 + 43,52 + 160 + 150 = 473,52 F2: 140 + 60 + 120 + 175,40 = 495,40 Os fluxos não são equivalentes. Desconto comercial – a taxa (0,1 ap) é aplicada sobre o valor futuro Desconto racional – a taxa é aplicada sobre o valor presente

8. Considere os dados das empresas abaixo nos 5 períodos: A tabela “Empresa 1+2” representa os resultados projetados da empresa resultante de uma fusão entre as empresas 1 e 2. Se você fosse o executivo responsável pela decisão de fundir as empresas, qual seria a sua posição, utilizando o desconto racional simples, com uma taxa de desconto de 10% e data focal zero? Explique.

Empresa 1 Qtdade. Vendida Preço Unitário Receita Total Custo Unitário CDT Custos fixos Resultado VPL VPL(1)

1 2 3 4 5 100 110 130 120 150 50 50 60 65 70 5000 5500 7800 7800 10500 30 35 35 40 40 3000 3850 4550 4800 6000 1100 1100 1100 1100 1100 900 550 2150 1900 3400 818,1818 458,3333 1653,846 1357,143 2266,667 6554,171

Empresa 2 Qtdade. Vendida Preço Unitário Receita Total Custo Unitário CDT Custos fixos Resultado VPL VPL(2)

1 130 70 9100 45 5850 1500 1750 1590,909 3918,931

Empresa 1+2 Qtdade. Vendida Preço Unitário Receita Total Custo Unitário CDT Custos fixos Resultado VPL VPL (1+2) VPL (1)+VPL(2)

1 2 3 4 5 230 230 230 200 220 60 60 65 70 70 13800 13800 14950 14000 15400 35 35 40 40 45 8050 8050 9200 8000 9900 2500 2400 2350 2400 2400 3250 3350 3400 3600 3100 2954,545 2791,667 2615,385 2571,429 2066,667 12999,69 10473,1

2 3 4 120 100 80 70 75 75 8400 7500 6000 45 50 50 5400 5000 4000 1500 1600 1600 1500 900 400 1250 692,3077 285,7143

5 70 75 5250 50 3500 1600 150 100

124

Utilizando apenas estes dados, a fusão é aconselhável, pois o VPL das empresas juntas é maior do que isoladamente (ou seja, há sinergias entre as empresas que justificam unificar as operações). Uma medida das sinergias pode ser observada nos custos fixos, que com a fusão, são menores que isoladamente. No entanto, é importante ponderar que as vendas da empresa 2 estão caindo aceleradamente. Se, por um lado, esta informação não nos permite prever nenhum movimento futuro, por outro, nos faz atentar para a possível necessidade de projetar os resultados da empresa por um período maior e, principalmente, ficar mais atentos aos riscos inerentes a qualquer projeção.

125

Unidade 4 – Capitalização Composta e Equivalência de Taxas

1. Calcule o montante, em juros compostos, das aplicações abaixo: C 5.000,00 2.100,00 4.000,00 2.500,00 3.000,00

i 14,0%aa 8,0%as 5,0%at 6,0%am 0,1%ad

n 2 anos 5 semestres 3 trimestres 4 meses 20 dias

S 6.498,00 3.085,59 4.630,50 3.156,19 3.060,57

2. Calcule a taxa de juros, em juros compostos, das aplicações abaixo: S 6.384,50 3.838,88 4.679,43 3.506,38 3.313,87

C 5.000,00 2.100,00 4.000,00 2.500,00 3.000,00

n 2 anos 7 semestres 4 trimestres 5 meses 10 dias

i 13,0% aa 9,0% as 4,0% at 7,0% am 1,0% ad

3. Calcule o capital inicial, em juros compostos, das aplicações abaixo: S 9.248,00 3.304,39 4.638,77 3.933,80 3.380,88

n 2 anos 4 semestres 6 trimestres 4 meses 15 dias

i 36,0%aa 12,0%as 2,5%at 12,0%am 0,8%ad

C 5.000,00 2.100,00 4.000,00 2.500,00 3.000,00

4. Calcule o número de períodos, em juros compostos, das aplicações abaixo: S 7.689,50 5.028,39 2.837,04 4.900,17 2.817,06

C 3.500,00 2.500,00 2.000,00 4.000,00 2.500,00

i 30,0%aa 15,0%as 6,0%at 7,0%am 1,0%ad

n 3 anos 5 semestres 6 trimestres 3 meses 12 dias

5. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% am, para que duplique? n = LN (VF/VP)/LN(1+i) = LN(2C/C)/LN(1,022) = 0,693147/0,021761 = 31,85 meses

6. Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,8% am = 23,87% aa c) 4,5% at = 19,25% aa b) 2,5% ab = 15,97% aa d) 18% as = 39,24% aa

126

7. Em juros compostos, qual a taxa em 40 dias equivalente a 2,5% am? i = 2,5% am n = 4 meses

i2 = x% a cada 40 dias n2 = 3 períodos de 40 dias

(1+0,025)4 = (1+x)3
x = 3,35% a cada 40 dias 8. Um banco empresta recursos a uma taxa de juros compostos de 20%as, com capitalização trimestral. Qual o montante a ser pago por um empréstimo de R$ 6.000 pelo prazo de 9 meses? C = 6.000 S = C(1+ie)n = 6000(1,1)3=7.986 in = 20%ascct ie = 20%/2 = 10% at n=3t 9. O que é melhor, aplicar R$ 6.000 a juros compostos à taxa de 36%aaccm ou aplicar o mesmo valor a juros simples à taxa de 3,5%am, sabendo que o prazo da aplicação é um ano e meio? Situação 1 C = 6000 in = 36%aaccm ie = 36%/12 = 3%am n = 18 meses S = 6000(1,03)18 = 10.214,60

Situação 2 C = 6000 i = 3,5%am n = 18 meses S = 6000(1+0,035*18) = 9.780,00

10. O Banco A oferece empréstimos pessoais por um ano a juros compostos, sendo a taxa de 18% aa. O Banco B, pelo mesmo empréstimo e prazo, cobra juros compostos à taxa de 9,6% aa, capitalizados mensalmente. a) Para um tomador de empréstimos por um ano, qual dos bancos é preferível? Situação A i = 18%aa n = 1 ano S = C(1,18)

Situação B in = 9,6%aaccm ie = 9,6%/12 am = 0,8%am n = 12 meses S = C(1+0,008)12 = C(1,1)

O Banco B é preferível, pois cobrará juros menores. b) Qual deveria ser a taxa nominal do Banco B para que fosse indiferente para o tomador a escolha do banco? 1,18C = C(1+in/12)12 (1+ in/12) = 1,181/12 in = (1,181/12-1)*12 = 16,67%aaccm

127

Unidade 5 – Desconto Composto e Equivalência de Capitais

1. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000, a vencer em 3 meses. Qual o seu valor hoje, considerando uma taxa de juros de 1,5% am? VF = 10000 i = 1,5%am n = 3 meses VP = ?

VP = VF/(1+i)n VP = 10000/(1+0,015)3 VP = 9.563,17

2. Qual valor deverá ser aplicado hoje, a juros compostos e à taxa de 1% am para fazer frente a uma dívida de R$ 5.000, a ser paga em 2 meses, e outra de R$ 7.000, a ser paga em 5 meses? D1 D2 VF = 5000 VF = 7000 n = 2m n = 5m i = 1%am i = 1%am VP1 = ? VP2 = ? VP = 5000/(1+0,01)2 = 4.901,48 VP = 7000/(1,01)5 = 6.660,26 Para fazer frente a ambas as dívidas, deverá ser aplicado um valor de R$ 11.561,74 (VP1+VP2).

3. Uma dívida de R$ 80.000 vence daqui a cinco meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3%am, obtenha o seu valor atual nas seguintes datas: a) Hoje

b) Em 2 meses

c) Dois meses antes do vencimento

VF = 80000 n = 5 meses i = 1,3%am VP = ? VP = 80000/(1,013)5 = 74.996,80

VF = 80000 n = 3 meses i = 1,3%am VP = ? VP = 80000/(1,013)3 = 76.959,40

VF = 80000 n = 2 meses i = 1,3%am VP = ? VP = 80000/(1,013)2 = 77.959,87

4. Quanto devo aplicar hoje para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000 daqui a 2 meses, à taxa de: a) 1,5%am

b) 1,6%am

c) 2%am

d) 3%am

VF = 27.000 n = 2m i = 1,5%am VP = ? VP = 27000/(1,015)2 = 26.207,87

VF = 27.000 n = 2m i = 1,6%am VP = ? VP = 27000/(1,016)2 = 26.156,30

VF = 27.000 n = 2m i = 2%am VP = ? VP = 27000/(1,02)2 = 25.951,56

VF = 27.000 n = 2m i = 3%am VP = ? VP = 27000/(1,03)2 = 25.450,09

128

5. Considere as seguintes dívidas a pagar: a) R$ 60.000 em 2 meses b) R$ 70.000 em 3 meses c) R$ 80.000 em 4 meses Quanto deve ser aplicado hoje, a juros compostos com taxa de 2% am, para fazer frente a estes compromissos? VPa VF = 60000 n=2m i = 2%am VP = 60000/(1,02)2 = 57.670,13

VPb VF = 70000 n = 3m i = 2%am VP = 70000/(1,02)3 = 65.962,56

VPc VF = 80000 n = 4m i = 2%am VP = 80000/(1,02)4 = 73.907,63

Devem ser aplicados R$ 197.540,32 (VPa+VPb+VPc). 6. Verifique se os fluxos de caixa apresentados a seguir são equivalentes na data focal zero, mediante o emprego de uma taxa igual a 8%am. Período 2 3 5

FC1 ($) 900,00 480,00 401,00

Período 4 7 8

FC2 ($) 700,00 600,00 1038,27

2 – VP = 900/(1+0,08)2 = 771,60

4 – VP = 700/(1+0,08)4 = 514,52

3 – VP = 480/(1+0,08)3 = 381,04

7 – VP = 600/(1+0,08)7 = 350,09

5 – VP = 401/(1+0,08)5 = 272,91

8 – VP = 1038,27/(1+0,08)8 = 560,94

Soma = 1425,55

Soma = 1425,55

7. Estime o valor de X de modo a tornar os fluxos de caixa apresentados nas tabelas seguintes equivalentes na data focal 6. Considere uma taxa de juros compostos de 18% ao período. Período 0 1 4

FC1 ($) 420,00 318,00 526,00

0 – VF = 420(1+0,18)6 = 1.133,81 1 – VF = 318(1+0,18)5 = 727,51 4 – VF = 526(1+0,18)2 = 732,40

Período 3 7 9

FC2 ($) 960,00 320,00 X

3 – VF = 960(1+0,18)3 = 1.577,31 7 – VP = 320/(1+0,18)1 = 271,19 9 – VP = VF/(1+0,18)3

Para que os fluxos sejam equivalentes: VF0 + VF1 + VF4 = VF3 + VP7 + VP9 1.133,81 + 727,51 + 732,40 = 1.577,31 + 271,19 + VF9/(1,18)3 VF9 = 745,22*(1,18)3 = 1.224,42 129

Unidade 6 – Séries de Pagamentos (Parte 1)

1. Obtenha o preço a vista de um automóvel financiado à taxa de 3% am, sendo o número de prestações igual a 10 e R$ 1.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra. i = 3% am n = 10 meses PMT = 1.500

VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = 1500 * [(1,03)10-1]/[(1,03)10*0,03] VP = R$ 12.795,30

2. Um carro é vendido a vista por R$ 40.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais e iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação, se a taxa de juros do financiamento for de 7% am? i = 7% am n = 3 meses VP = 40.000

PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] PMT = 40.000 * [(1,07)3*0,07]/[(1,07)3-1] PMT = R$ 15.242,07

3. Um eletrodoméstico é vendido com uma entrada de R$ 70,00 e mais 5 prestações mensais de R$ 80,00 cada. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% am, qual o preço a vista? i = 5% am n = 5 meses PMT = 80 Entrada = 70,00

VP = Entrada + PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = 70 + 80 * [(1,05)5-1]/[(1,05)5*0,05] VP = R$ 416,36

4. Uma motocicleta é vendida em 5 prestações mensais de R$ 800,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço a vista se a taxa de juros do financiamento for de 4,5% am? i = 4,5% am n = 4 meses PMT = 800 Entrada = 800,00

VP = Entrada + PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = 800 + 800 * [(1,045)4-1]/[(1,045)4*0,045] VP = R$ 3.670,02

5. Um apartamento, cujo preço a vista é de R$ 100.000,00, é vendido a prazo com 30% de entrada e o saldo em 100 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação, considerando uma taxa de juros de 1% am? Entrada = 30%*100.000 = 30.000 i = 1% am n = 100 meses VP = 70.000

PMT = VP * [(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] PMT =70.000 * [(1,01)100*0,01]/[(1,01)100-1] PMT = R$ 1.110,60

130

6. O aluguel mensal de um apartamento é R$ 2.000,00. Se o locatário quiser quitar antecipadamente o aluguel dos 6 primeiros meses, qual o valor a ser pago, se a taxa de juros for de 2,3% am? i = 2,3% am n = 6 meses PMT = 2.000

VP = PMT * [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] VP = 2000 * [(1,023)6-1]/[(1,023)6*0,023] VP = R$ 11.090,32

7. Uma pessoa deposita mensalmente, durante 7 meses, R$ 3.500,00 em um fundo que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% am. Qual o montante no instante do último depósito? i = 2,1% am n = 7 meses PMT = 3.500

VF = PMT * [(1+i)n-1]/i VF = 3.500 * [(1,021)7-1]/0,021 VF = R$ 26.098,67

8. No exercício anterior, qual o montante três meses após ser efetivado o último depósito? i = 2,1% am n = 3 meses VP = 26.098,67

VF = VP * (1+i)n VF = 26.098,67 * [(1,021)3 VF = R$ 27.777,66

9. Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente, durante 15 meses, em um fundo de investimentos que rende 1,8%am, para que, no instante do último depósito, tenha um montante de R$ 60.000,00? i = 1,8% am n = 15 meses VF = 60.000

PMT = VF * i/[(1+i)n-1] PMT = 60.000 * 0,018/[(1,018)15-1] PMT = R$ 3.519,95

10. Para o dono de uma loja, qual é a melhor alternativa: financiar uma mercadoria cujo preço a vista é R$ 1.200 em 10 prestações mensais e iguais de R$ 143,00, ou vender a vista e aplicar em um fundo que rende uma taxa mensal constante e tal que o montante após 10 meses seja R$ 1.652,00? Suponha que os valores recebidos das prestações da venda a prazo também sejam aplicados no referido fundo. A VFa = ? VPa = 1.200 n = 10 p PMT = 143,00 i = ib

B VFb = 1.652 VPb = 1.200 n = 10 p ib = ?

ib = (VFb/VPb)1/n – 1 = (1652/1200)1/10-1 = 3,2483% VFa = PMT * [(1+i)n-1]/i VFa = 143 * [(1,032483)10-1]/0,032483 VFa = 1.658.20

A alternativa A é melhor, vender a prestação.

131

Unidade 6 – Séries de Pagamentos (Parte 2)

1. Calcule o valor presente dos fluxos de caixa a seguir, supondo uma taxa de 12% a.a: a) 15.000 20.000 20.000 20.000 20.000 25.000 25.000 25.000 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 anos 15.000 15.000 5.000

15.000 5.000

15.000 5.000

15.000 15.000 15.000 15.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 VP = 15k[(1,12)8-1/(1,12)8*0,12]+5k[(1,12)7-1/(1,12)7*0,12]/(1,12)+5k[(1,12)31/(1,12)3*0,12]/(1,12)5 VP = 101.702,79 b) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 6.000 7.000 8.000 |_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______|_______| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 anos VP = 1000[(1,12)5-1/(1,12)5*0,12] + 6000/(1,12)6 + 7000/(1,12)7 + 8000/(1,12)8 VP = 13.042,07 2. A Financeira Brasil S.A concede um financiamento ao Sr. João Ribeiro para aquisição de um trator, a ser liquidado num prazo de 24 meses, nas seguintes condições: 12 prestações iguais de $ 20.000,00, sendo as 6 primeiras pagas mensalmente a partir do final do 7o mês até o final do 12o mês, e as 6 últimas pagas mensalmente a partir do final do 19o mês até o final do 24o mês. Considerando uma taxa de juros de 4% a.m, calcule o valor financiado. VP = 20000[(1,04)6-1/(1,04)6*0,04]/(1,04)6 + 20000[(1,04)6-1/(1,04)6*0,04]/(1,04)18 VP = 134.612,06 3. Um carro é vendido, a juros de 1% a.m, com os pagamentos efetuados da seguinte maneira: $ 5.000,00 de entrada e $ 4.000,00 a 1 mês, $ 6.000,00 a 2 meses, $ 1.000,00 a 3 meses e $ 3.000,00 a 4 meses da data da compra. Qual é o valor do carro à vista? VP = 5000 + 4000/(1,01) + 6000/(1,01)2 + 1000/(1,01)3 + 3000/(1,01)4 VP = 18.695,70 4. Uma empresa consegue um empréstimo de $ 30.000,00 para ser liquidado da seguinte maneira: 20% do empréstimo no final de 2 meses e o restante em 6 prestações mensais iguais vencíveis a partir do 4o mês. Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 3,4% a.m, determine o valor dos pagamentos. VP = 30.000 = 0,2*30.000/(1,034)2 + PMT*[(1,034)6-1/(1,034)6*0,034]/(1,034)3 PMT = 5.043,17

132

5. Uma pessoa vai receber 16 prestações mensais e iguais de $ 400,00 com uma carência de 16 meses para recebimento da primeira parcela. Qual é o valor atual desta série de pagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m.? VP = 400[(1,02)16-1/(1,02)16*0,02]/(1,02)15 VP = 4.035,37

133

Unidade 6 – Séries de Pagamentos (Parte 3)

1. Um microcomputador é vendido à vista por R$ 2.500,00 ou em 4 prestações mensais iguais e antecipadas. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 5,6% am? VP = 2.500 n=4m i = 5,6% am PMT = ?

VP = PMT + PMT [(1+i)n-1-1]/[(1+i)n-1*i] PMT = 676,97

2. Um terreno é vendido a vista por R$ 130.000,00 ou a prazo em 12 prestações mensais e iguais. Sendo a taxa de juros de 2,5% am, pede-se: a) O valor de cada prestação, se forem antecipadas. VP = PMT + PMT [(1+i)n-1-1]/[(1+i)n-1*i] PMT = 12.364,22 b) O valor de cada prestação, se forem postecipadas. VP = PMT [(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] PMT = 12.673,33

3. Quando deve ser aplicado hoje em um fundo de investimentos para uma renda perpétua mensal de R$ 10.000, começando dentro de um mês? Considere as taxas: a) 0,2% am

b) 0,5% am

c) 0,8% am

d) 1% am

VP = PMT/i VP = 5.000.000

VP = PMT/i VP = 2.000.000

VP = PMT/i VP = 1.250.000

VP = PMT/i VP = 1.000.000

5. Qual a resposta do exercício anterior se a renda perpétua começasse hoje? VP = PMT + PMT/i VP = PMT + PMT/i VP = PMT + PMT/i VP = PMT + PMT/i VP = 5.010.000 VP = 2.010.000 VP = 1.260.000 VP = 1.010.000 6. Uma pessoa se aposentará em 20 anos. Quanto ela deve começar a aplicar mensalmente hoje, para que, no momento de sua aposentadoria, possa contar com uma renda de R$ 10.000,00 mensais, considerando um retorno de 1% am sobre o seu capital, começando ao final do primeiro mês de aposentadoria? Para obter um retorno perpétuo de R$ 10.000,00, ela precisa investir PMT/i = 10.000/0,01 = 1.000.000, no período 240. Para poder contar com R$ 1.000.000 no período 240, ela precisa investir, mensalmente: FP = PMT [(1+i)n-1]/i PMT = 1.010,86 134

7. Utilizando a tabela financeira abaixo e os dados de cada questão, determine: i = 1%

i = 2% n

n (1+i) 1 1,0100 2 1,0201 3 1,0303 4 1,0406 5 1,0510 6 1,0615

an\i 0,9901 1,9704 2,9410 3,9020 4,8534 5,7955

sn\i 1,0000 2,0100 3,0301 4,0604 5,1010 6,1520

n

n (1+i) 1 1,0200 2 1,0404 3 1,0612 4 1,0824 5 1,1041 6 1,1262

an\i 0,9804 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135 5,6014

sn\i 1,0000 2,0200 3,0604 4,1216 5,2040 6,3081

a) O valor dos pagamentos VP

n

i

PMT

197,04

2 meses

1% am

100,00

865,17

3 meses

2% am

300,00

951,93

4 meses

2% am

250,00

1941,37

5 meses

1% am

400

b) O valor do montante PMT

n

i

VF

200

3 meses

1% am

606,02

300

2 meses

2% am

606,00

150

4 meses

2% am

618,24

220

6 meses

1% am

1.353,44

c) O valor presente PMT

n

i

VP

125

2 meses

2% am

242,70

230

3 meses

2% am

663,29

300

4 meses

1% am

1.170,59

450

6 meses

1% am

2.284,06

135

Unidade 8 – Inflação e Correção Monetária

1. Em 1º de março de certo ano, o preço de um produto era R$ 60,00 e, em 1º de dezembro do mesmo ano, o preço era R$ 70,00. Qual o aumento percentual de preço? j = p1/p0 – 1 = 70/60-1 = 16,67% 2. Em janeiro, fevereiro e março de um certo ano, as taxas de inflação foram, respectivamente, 1,6%, 0,76%, e 0,92%, Qual a taxa de inflação acumulada no trimestre? jac = (1+j1)*(1+j2)*(1+j2)-1 = (1,016)*(1,0076)*(1,0092) = 3,314% 3. A taxa de inflação acumulada em 5 meses foi de 8%. Qual deverá ser a taxa de inflação no sexto mês para que a taxa acumulada no semestre seja 10%? (1+0,1) = (1+0,08)*(1+i6) => i6 = 1,852% 4. Se em cada um de seis meses consecutivos a taxa de inflação for de 1,7%, qual a taxa acumulada no semestre? jac = (1+0,017)6 = 10,64% 5. A taxa de juros para aplicações em 60 dias em um banco é de 4,2% recebe um aplicador nas seguintes hipóteses de inflação no período: a) 3% b) 4% 1,042 = (1+ir)*(1,04) 1,042 = (1+ir)*(1,03) ir = 1,17% ab ir = 0,19% ab

ab. Que taxa real de juros c) 5% 1,042 = (1+ir)*(1,05) ir = -0,762% ab

6. Calcule a taxa aparente dos rendimentos mensais da caderneta de poupança, supondo que os índices de atualização em três meses analisados foram iguais a 0,6099%; 0,5247% e 0,5314%. Sabe-se que o rendimento real da poupança é igual a 0,5% a.m. ia = (1,005)*(1,006099)-1 1 ia = 1,1129%

ia = (1,005)*(1,005247)-1

ia = (1,005)*(1,005314)-

ia = 1,0273%

ia = 1,0341%

7. Um investidor aplicou R$ 130.000,00 por três meses em uma instituição financeira, resgatando o montante de R$ 160.000,00. Pede-se para determinar qual a taxa de juros mensal: a) aparente da operação; ia = 160.000/130.000-1 = 23,08% em 3 meses = 7,17% am b) real da operação, sabendo que a taxa de inflação média mensal foi igual a 2%. (1,0717) = (1+ir)*(1,02) ir = 5,07%am

136

8. Um indivíduo aplicou R$ 20.000 por dois meses. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 1,8%. Qual o valor de resgate para que a taxa real no período seja nula? (1+ia) = (1+0)*(1,018) VF = 20.000*(1,018)1 = 20.360,00 ia = 1,8% 9. Uma dívida de R$ 40.000 deve ser atualizada monetariamente, por 2 meses, às seguintes taxas mensais de correção: 2,1% e 1,7%. Qual o valor corrigido? Valor corrigido = P*(1+i1)*(1+i2) = 40.000*1,021*1,017 = 41.534,28 10. Uma pessoa contraiu uma dívida de R$ 24.000 que deveria ser paga dois meses depois com juros compostos reais de 1% am, mais correção monetária. a) Qual o valor do montante antes da correção monetária? VF = 24.000*(1,01)2 = 24.482,40 b) Qual o valor do montante corrigido monetariamente, sabendo-se que as taxas de correção foram de 1,5% no primeiro mês e de 0,9% no segundo? VF = 24.000*(1,015)*(1,009) = 25.073,28 11. A tabela a seguir fornece as taxas mensais de inflação de agosto a dezembro de certo ano: Mês Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro

Taxa de Inflação -----1,2% 1,6% 0,8% 1,1%

No final de cada mês, de agosto a dezembro, o salário de uma pessoa era R$ 4.800. a) Construa uma unidade de referência no final de cada mês, admitindo que o valor desta unidade seja 1,00 no final de agosto. Mês Ago Set Out Nov Dez

Taxa --1,2% 1,6% 0,8% 1,1%

UR 1,00 1,012 1,0282 1,0364 1,0478

Salário 4.800,00 4.743,08 4.668,35 4.631,42 4.581,03

b) Qual a taxa de queda real do salário de dezembro em relação ao de agosto? j = 1/1,0478-1 = -4,562% c) Qual o salário médio real (média dos salários em UR)? 4.684,78

137

Unidade 9 – Sistemas de Amortização (Parte 1) 1. Um empréstimo de R$ 21.000 deve ser pago em 6 prestações semestrais à taxa de 8% as. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais têm os seguintes valores: A1 = R$ 1.000 A2 = R$ 2.000 A3 = R$ 3.000 A4 = R$ 4.000 A5 = R$ 5.000 A6 = R$ 6.000 Período N 1 2 3 4 5 6

Saldo Inicial 21.000 20.000 18.000 15.000 11.000 6.000

Juros 1.680 1.600 1.440 1.200 880 480

Pagamento Amortização 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000

Total 2.680 3.600 4.440 5.200 5.880 6.480

Saldo Final 20.000 18.000 15.000 11.000 6.000 0

2. Resolva o exercício anterior considerando amortizações iguais nos seis semestres. Período N 1 2 3 4 5 6

Saldo Inicial 21.000 17.500 14.000 10.500 7.000 3.500

Juros 1.680 1.400 1.120 840 560 280

Pagamento Amortização 3.500 3.500 3.500 3.500 3.500 3.500

Total 5.180 4.900 4.620 4.340 4.060 3.780

Saldo Final 17.500 14.000 10.500 7.000 3.500 0

3. Um empréstimo de R$ 600.000 deve ser pago em 4 prestações trimestrais à taxa de juros de 4% at. Obtenha a planilha, sabendo-se que as três primeiras amortizações são: A1 = A2 = A3 = 0 Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 600.000 600.000 600.000 600.000

Juros 24.000 24.000 24.000 24.000

Pagamento Amortização 0 0 0 600.000

Total 24.000 24.000 24.000 624.000

Saldo Final 600.000 600.000 600.000 0

4. Um empréstimo de R$ 100.000 deve ser pago em quatro anos, à taxa de 10% aa. Tanto os juros como as amortizações têm 2 anos de carência. Sabendo-se que as amortizações do terceiro e do quarto ano são iguais, obtenha a planilha. Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 100.000 110.000 121.000 60.500

Juros 0 0 12.100 6050

Pagamento Amortização 0 0 60.500 60.500

Total 0 0 72.600 66.550

Saldo Final 110.000 121.000 60.500 0

138

5. O valor de R$ 1.500.000 é financiado à taxa de 10% aa, para ser amortizado pelo sistema americano, com três anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construa a planilha. Período N 1 2 3 4

Saldo Inicial 1.500.000 1.500.000 1.500.000 1.500.000

Juros 150.000 150.000 150.000 150.000

Pagamento Amortização Total 0 150.000 0 150.000 0 150.000 1.500.000 1.650.000

Saldo Final 1.500.000 1.500.000 1.500.000 0

139

Unidade 9 – Sistemas de Amortização (Parte 2) 1. Um banco libera para uma empresa um crédito de R$ 120.000 para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% at. Período N 1 2 3 4 5 6

Saldo Inicial 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000

Juros 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000

Pagamento Amortização 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

Total 26.000 25.000 24.000 23.000 22.000 21.000

Saldo Final 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0

2. Resolva o exercício anterior supondo que haja dois trimestres de carência somente para as amortizações, mas não para os juros. Período N 1 2 3 4 5 6 7 8

Saldo Inicial 120.000 120.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000

Juros 6.000 6.000 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000

Pagamento Amortização 0 0 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000

Total 6.000 6.000 26.000 25.000 24.000 23.000 22.000 21.000

Saldo Final 120.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0

3. Um empréstimo de R$ 40.000 deve ser devolvido pelo SAC em 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% am, obtenha a amortização, os juros, a prestação e o saldo devedor correspondentes ao 21º mês. Amortização = P/n = R$ 1.000 J21 = SD20*i = R$ 400 SD21 = P-A*n = R$ 19.000 Saldo Devedor20 = P-A*n = R$ 20.000 PMT21 = A+J = R$ 1.400

4. Resolva o exercício anterior, mas considerando o 35º mês. Amortização = P/n = R$ 1.000 5.000 Saldo Devedor34 = P-A*n = R$ 6.000

J35 = SD34*i = R$ 120

SD35 = P-A*n = R$

PMT35 = A+J = R$ 1.120

140

5. Um banco libera um crédito de R$ 60.000 a uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% at. Obtenha a planilha até o terceiro trimestre. Período N 1 2 3

Saldo Inicial 60.000 58.368,93 56.640

Juros 3.600 3.502,14 3.398,40

Pagamento Amortização 1.631,07 1.728,93 1.832,67

Total 5.231,07 5.231,07 5.231,07

Saldo Final 58.368,93 56.640 54.807,33

6. Se no exercício anterior houvesse, somente para as amortizações, uma carência de 2 trimestres, como seria a planilha até o quinto trimestre? Período N 1 2 3 4 5

Saldo Inicial 60.000 60.000 60.000 58.368,93 56.640

Pagamento Juros Amortização 3.600 0 3.600 0 3.600 1.631,07 3.502,14 1.728,93 3.398,40 1.832,67

Total 3.600 3.600 5.231,07 5.231,07 5.231,07

Saldo Final 60.000 60.000 58.368,93 56.640 54.807,33

7. Uma pessoa recebeu um financiamento de R$ 5.000 para a compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de 1,5% am, para pagamento em 180 meses. Qual o estado da dívida no 64º mês? PMT = VP*[(1+i)n*i]/[(1+i)n-1] = 80,52 SD64 = 80,52*[(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] = 4.413,70, sendo que n = 180-64 SD63 = 80,52*[(1+i)n-1]/[(1+i)n*i] = 4.427,66, sendo que n = 180-63 J64 = SD63*i = 66,42 A64 = PMT64 – J64 = 14,10

141

Unidade 10 – Engenharia Econômica (Parte 1) 1. Um projeto apresenta os valores de investimento e de retorno expressos na tabela abaixo. Utilizando a metodologia do valor presente líquido, e considerando uma taxa de juros de 10% aa, determine se o projeto deve ser realizado? Explique. Ano Investimentos Retornos VP Investimentos VP Retornos VPL

0 1.000,00 1.000,00 -

1 300,00 400,00 272,73 363,64

2

3

4

400,00 330,58

400,00 300,53

407,00 277,99

1.272,73 1.272,73

O VPL encontrado para o projeto, com a taxa de juros de 10% aa, é igual a 0. O projeto, não havendo nenhuma outra alternativa melhor, deverá ser realizado, pois com o seu retorno é possível remunerar o capital de terceiros e ainda obter exatamente o retorno exigido pelos acionistas.

2. Refaça o exercício anterior considerando uma taxa de 12% aa. Ano Investimentos Retornos VP Investimentos VP Retornos VPL

0 1.000,00 1.000,00 (48,47)

1 300,00 400,00 267,86 357,14

2 400,00 318,88

3 400,00 284,71

4 407,00 1.267,86 258,66 1.219,39

O projeto não deverá ser realizado, pois não cria valor econômico para a empresa.

3. Refaça o exercício anterior considerando uma taxa de 8% aa. Ano Investimentos Retornos VP Investimentos VP Retornos VPL

0 1.000,00 1.000,00 52,22

1 300,00 400,00 277,78 370,37

2

3

4

400,00 342,94

400,00 317,53

407,00 299,16

1.277,78 1.330,00

O projeto deverá ser realizado, pois cria valor.

142

4. Uma empresa deve decidir entre dois projetos mutuamente excludentes, que apresentam os fluxos de caixa abaixo. Considerando uma taxa de juros de 8% aa, determine a decisão que a empresa deverá tomar. Projeto 1 Ano Investimentos Retornos VP Investimentos VP Retornos VPL Projeto 2 Investimentos Retornos VP Investimentos VP Retornos VPL

0 1.000,00 1.000,00 16,73

1 100,00 92,59

2 200,00 171,47

3 300,00 238,15

4 700,00 1.000,00 514,52 1.016,73

1.000,00 1.000,00 15,37

700,00 648,15

250,00 214,33

100,00 79,38

100,00 73,50

1.000,00 1.015,37

A empresa deverá realizar apenas o projeto 1.

143

Unidade 10 – Engenharia Econômica (Parte 2)

1. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 3 projetos de investimentos mutuamente excludentes. Determine qual projeto deverá ser realizado, com um custo de capital de 25% aa, conforme:

Ano A B C

0 -45.000 -45.000 -75.000

1 9.000 12.000 24.000

2 21.000 15.000 21.000

3 30.000 18.000 15.000

4 18.000 33.000 60.000

5 24.000 39.000 135.000

a) Valor Presente Líquido b) Período de payback c) Período de payback descontado d) Índice de Lucratividade e) Taxa Interna de Retorno

Ano A A Desc VPL TIR Payback PBk Desc. PI

0 1 2 3 4 5 (45.000,00) 9.000,00 21.000,00 30.000,00 18.000,00 24.000,00 (45.000,00) 7.200,00 13.440,00 15.360,00 7.372,80 7.864,32 6.237,12 30,78% 2,50 4,07 1,1386

B B Desc VPL TIR Payback PBk Desc. PI

(45.000,00) 12.000,00 (45.000,00) 9.600,00 9.712,32 33,07% 2,00 4,24 1,2158

15.000,00 9.600,00

18.000,00 9.216,00

33.000,00 13.516,80

39.000,00 12.779,52

C C Desc VPL TIR Payback PBk Desc. PI

(75.000,00) 24.000,00 (75.000,00) 19.200,00 34.132,80 39,45% 3,25 4,23 1,4551

21.000,00 13.440,00

15.000,00 7.680,00

60.000,00 24.576,00

135.000,00 44.236,80

144

Unidade 10 – Engenharia Econômica (Parte 3)

1. Apresentam-se, a seguir, os Fluxos de Caixa relativos a 2 projetos de investimentos mutuamente excludentes. Determine qual projeto deverá ser realizado, considerando um custo de capital de 20% aa, e justifique a sua decisão, descrevendo ainda dificuldades e limitações da sua análise e a sua confiança nos resultados. Projeto A B

0 (1.000,00) (1.000,00)

1 200,00 600,00

2 200,00 400,00

3 300,00 200,00

4 600,00 200,00

5 800,00 200,00

Descontado A (1.000,00) B (1.000,00)

166,67 500,00

138,89 277,78

173,61 115,74

289,35 96,45

321,50 80,38

Payback Pbk Desc 2,5 4,72 2 4,12

PI 1,09002 1,07034

Indicadores A B

VPL 90,02 70,34

TIR 23,08% 24,11%

2. Suponha que tanto o projeto A quanto o projeto B atingiram a sua maturidade no período 5 (sem nenhum crescimento). Calcule o novo VPL, considerando que as atividades do projeto trarão benefícios permanentes, e determine qual projeto deverá ser realizado.

Projeto A B

0 (1.000,00) (1.000,00)

1 200,00 600,00

2 200,00 400,00

3 300,00 200,00

Perpetuidades A B Fluxo Líquido A (1.000,00) B (1.000,00)

A B

4 600,00 200,00

5 800,00 200,00

4.000,00 1.000,00

200,00 600,00

200,00 400,00

300,00 200,00

4.600,00 1.200,00

VPL 1.697,53 472,22

145