APOSTILA ANPAD

AULA 01

Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais, indicado pela letra R, é a união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. R=Q∪I

CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, .........} Atenção: Sempre que usamos o asterisco (*) junto ao nome do conjunto estamos dizendo que excluímos o zero (0) deste conjunto.

 Assim todos os conjuntos numéricos vistos são subconjuntos dos reais. N⊂R Z⊂R Q⊂R I⊂R R

Conjunto dos Números Inteiros Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,....}

Q Z N

OBSERVAÇÃO Também temos os seguintes subconjuntos de Z: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} ⇒ conjunto dos números inteiros não negativos. Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0} ⇒ conjunto dos números inteiros não positivos. Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} ⇒ conjunto dos números inteiros positivos. Z*− = {..., -4, -3, -2, -1} ⇒ conjunto dos números inteiros negativos. Observe que Z+ = N, assim N também é subconjuntos de Z, ou seja, N ⊂ Z

CONJUNTOS CONCEITOS PRELIMINARES A idéia de conjuntos pode ser caracterizada por uma “coleção de objetos”. Os objetos obje tos componentes de um conjunto são denominados ELEMENTOS do conjunto. Tanto o conjunto quanto elemento são chamados de conceitos primitivos (não possuem definição) REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO I . Por extensão (ou tabu lar) Nessa representação os elementos são dispostos entre chaves e separados por ponto e vírgula. É utilizada para conjuntos finitos ou infinitos . Exemplos: e.1. Conjunto da vogais: vogais: A = {a; e; i; o; u} e.2. Conjunto dos números ímpares positivos menores m enores que 100: B = {1; 3; 5; ...; 999} e.3. Conjunto dos números ímpares positivos: C = {1; 3; 5; 7; 9; ...}

Conjuntos dos Números Racionais p Q =  , com p ∈ Z e q ∈ Z* q OBSERVAÇÃO: São números racionais os números naturais, os números inteiros, as frações, os decimais exatos e as dízimas periódicas.  São subconjuntos dos números núme ros racionais: • • • •

•

I

Q* = conjunto dos números racionais não nulos. Q+ = conjunto dos números racionais não negativos. Q - = conjunto dos números racionais não positivos.

Representação por compreensão (ou propriedade) Quando é fornecida uma propriedade característica dos elementos e, pode ser escrito por: P = {x/x é equipe de fórmula 1} Lê-se: P é o conjunto dos elementos x tal que x é equipe de fórmula 1. Nota: O símbolo ( / ) significa “tal que”. Representação por diagrama de Euler-Venn É uma forma de representar que permite a visualização das relações entre um elemento e um conjunto, entre conjunto e conjunto, etc. Nessa representação os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores de uma figura fechada. Pontos exteriores representam elementos que não pertencem ao conjunto.

Q *+ = conjunto dos números racionais positivos. Q*− = conjunto dos números racionais negativos .

O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros também são subconjuntos do conjunto dos racionais. N⊂QeZ⊂Q Conjunto dos Números Irracionais (I) São números irracionais os decimais, infinitos e não periódicos. Exemplos: 7 π (pi 0,1234567... 5, 1010010001..

1

A

•a

•d

•c

As relações entre “elementos e conjuntos” e entre “conjunto a conjunto”, ficam bem resumidas no esquema:

•e

•b

Elemento IMPORTANTE Para indicar que um elemento pertence a um conjunto,

Conjunto

usamos o símbolo ∈ (pertence) e, em caso contrário,

∈ ou ∉

⊂ ou ⊂ ⊄ ou ⊃

Conjunto

Conjunto

utilizamos o símbolo símbolo ∉ (não pertence)

CONJUNTO DAS PARTES O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Representamos o conjunto das partes por: P(A).

Para a figura anterior: a ∈ A e d ∉ A Obs.:

Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionar elemento com conjunto.

Exemplo: Considere o conjunto T = {1; 2; 3}, represente o conjunto P(T). P(T) = {∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}}

CONJUNTO UNITÁRIO Possui um único elemento CONJUNTO VAZIO É o conjunto que não possui nenhum elemento. Este conjunto é representado por: ∅ ou { } CONJUNTO UNIVERSO É conjunto ao qual pertencem todos os conjuntos considerados. Representamos o conjunto universo por U. SUBCONJUNTOS Consideremos dois conjuntos A e B, o conjunto A conjunto A será subconjunto do conjunto B se qualquer elemento de A de A também pertencer a B. Nesse caso, dizemos que “ A “ A está contido em B” ou que  A é subconjunto de B.

Importante: note que todos os elementos de P(T) são conjuntos, portanto é necessário muita atenção ao emprego dos símbolos de pertinência e inclusão! in clusão! Veja: a) {1; 2} ∈ P(T)

Para calcularmos o número de subconjuntos que um conjunto possui, utilizamos a relação:

n[P(A)] = 2k onde k é o número de elementos do conjunto

B

Exercícios de Sala  1) Dados os conjuntos A = {1; 2} e B = { {1}; {2} }, classifique em verdadeiro verdadeiro (V) ou falso (F): a) 1 ∈ A ( ) b) 1 ∈ B ( ) c) 2 ∉ A ( ) d) 2 ∉ B ( ) e) {1} ∈ A ( ) f) {1} ∈ B ( ) g) {2} ∉ A ( ) h) {2} ∉ B ( ) i) A = B ( )

A

2) Classifique em verdadeiro ou falso: a) ∅ ⊂ {3} ( ) b) ∅∈ {3} ( ) c) ∅ ∈ {∅; {3}} ( ) d) ∅ ⊂ {∅; {3}}( ) e) {3} ⊂ {3} ( ) f) {3} ∈ {3} ( ) g) {3}∈ {∅;{3}} ( ) h) {3} ⊂ {∅; {3}} ( )

Em símbolos teremos: A⊂B

b) {{1; 2}} ⊂ P(T)

lê-se: A está contido em B ou ⊃ B A  lê-se: B contém A 

3) Escrever todos os subconjuntos de A = {a, b, c}. 4) Qual o número de subconjuntos de B = {a, b, c, d}.

Também utiliza-se os símbolos:

5) Qual o número de elementos de um conjunto que tem 1 024 subconjuntos?

⊄ : não está contido ⊃ : não contém ⊇ : contém ou é igual ⊆ : está contido ou é igual

6) Dados os os conjuntos A = {5; 12; 12; 4x} e B = {12; 28; 28; 5}, calcule o valor de x para que

2

Teremos: A – B = {i; o; u} e.02. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; i} Teremos: A – B = {o; u}

AULA 02 OPERAÇOES ENTRE CONJUNTOS

e.03. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; i; x; y} Poderemos ter:

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS ( A ∩ B) Considere dois conjuntos quaisquer A e B, interseção é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. A ∩ B (lê-se: “A inter inter B”).

A – B = {o; u}

NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS Indicamos por n(A) o número de elementos e lementos do conjunto A; n(B) o número de elementos do conjunto conjunto B; n(A∩B) o número de elementos da interseção entre os conjuntos A e B e, n(A∪B) o número de elementos da união entre os conjuntos A e B, é válida a seguinte relação:

Se A ∩ B = ∅, isto é, os conjuntos A e B não têm elemento em comum dizemos que eles são DISJUNTOS DISJUNTOS

A∩B

A

B

PROPRIEDADES A∩A=A  A∩∅=∅  A∩B=B∩A 

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)

UNIÃO (REUNIÃO) DE CONJUNTOS (A ∪ B) Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, sua união é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. A ∪ B (lê-se: “A união B”).

Muita atenção aos conectivos: “e (símbolo: ∧)”, associamos à interseção.  “ ou (símbolo: ∨)”, associamos à união. 

A

Exercícios de Sala  1) Considere os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, B = {3; 5; 7} e C = {5; 6; 7; 8; 9}, Determine: D etermine: a) A – B = b) A – C = c) C – B = d) B – A = e) C – A = f) A ∩C = g) B∩C = h) A ∩ (B ∩ C) = i) (A – C) ∩ B =

PROPRIEDADES  A∪A=A  A∪∅=A  A∪B=B∪A

B

DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS A diferença A – B é o conjunto dos elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B! Observe o exemplo: Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5 { 5, 6, 7} a diferença desses conjuntos conjun tos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença. Então A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

2) . Sendo n(A∪B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule n(A∩B). 3) Numa pesquisa sobre emissoras de TV a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250, o canal B e 50 preferem outros canais diferentes de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? d) Quantas pessoas não assistem ao canal A?

CONJUNTO COMPLEMENTAR Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto complementar de B em relação a A. B

4) . (FGV-SP) Numa Universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) 286

Exemplos: e.01. Sendo Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e} A • •

o B

i

• •

a

•

B – A = {x; y}

e

u

5) (Fatec-SP) (Fatec-SP) Se A = {2; 3; 5; 6; 7; 8}, B = {1; {1; 2; 3; 6; 6; 8} e C = {1; 4; 6; 8}, então: 3

a) (A – B) ∩ C = {2} c) (A – B) ∩ C = {1} e) n.d.a.

b) (B – A) ∩ C = {1} d) (B – A) ∩ C = {2}

y

AULA 03

( 0, 4) ( 1, 4)

( 2, 4)

( 0, 2) ( 1, 2)

( 2, 2)

4

FUNÇAO Sistema Cartesiano Ortogonal È um sistema constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si.

2

y

2º Quadrante

b

0

P (a, b)

x

OBSERVAÇÃO Cada par ordenado A x B é representado por um ponto no plano cartesiano.

Eixo da abscissa.

3º Quadrante

2

1º Quadrante

Eixo da ordenada.

0

1

a

x

4º Quadrante

RELAÇÃO BINÁRIA Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de Ax B. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:  = { (x;y)  Ax B ; x  y } Ex:  = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.

Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano, P(a, b), denominado  par ordenado e representam as coordenadas do ponto P. PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios  A e B, denomina-se  produto cartesiano de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a  A e o segundo elemento pertence a B e indicamos A x B (lê-se: A cartesiano B).

RELAÇÃO Dados dois conjuntos  A e B, dá-se nome de relação R de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Representação Gráfica de uma relação Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, e a relação R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}, podemos representar graficamente esta relação R nas seguintes formas:

Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Vamos formar o conjunto dos pares ordenados: A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} Representação Gráfica Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, o produto cartesiano A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} pode ser representado de duas formas:

0

2

1 2

4

Representação por meio de Flechas. A 0

OBSERVAÇÃO 1) Os elementos de A associados com os elementos de B chamamos de Domínio. D = {1, 2}

2

1 2

A

B

4

2) Os elementos de B que foram associados com os elementos de A chamamos de Imagem. Im = {2, 4}

B

Representação no plano cartesiano

FUNÇÕES Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios e uma relação binária de A em B, dizemos que essa relação é 4

função de A em B se, e somente se, a cada elemento x do conjunto A corresponder um único elemento y do conjunto B f: A  B

lê-se: f é função de A em B Ou, no caso de ser possível escrever uma lei de correspondência através de uma expressão matemática:

R3 é função de A em B, pois cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B. d)

y = f(x)

lê-se: y é função de x, com x ∈ A e y ∈ B EXEMPLO Vamos considerar algumas relações representadas pelos diagramas de flechas e ver quais delas representam uma função: a) R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 6 do conjunto A não possui correspondente no conjunto B. EXERCICIOS

1) (Unifesp – SP) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, -x-y) e também por (4 + y, 2x + y), em relação ao mesmo sistema de coordenadas. Determine xy. R1 é função de A em B, pois a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento do conjunto B.

2) Dados os conjuntos A = {3, 5, 6} e B = {1, 4}, determine a forma tabular dos produtos: a) A x B b) B x A

b)

3) Quais das seguintes relações de A em B são funções? a)

R2 não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do conjunto A possui dois correspondentes em B (2 e -2). c)

5

b)

f)

4) (PUC) Qual dos gráficos abaixo não representa uma função?: a) b)

c)

c) d)

e) e)

6

d)

MÚLTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE O produto de potência de mesma base é igual à outra potencia de mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes dados. A expressão geral é: a n .a m = a n + m Exemplo: 2 2.2 3 = 2 2 +3 = 2 5 = 32

AULA 04 POTENCIAÇAO DEFINIÇÃO

QUOCIENTE DE POTÊNCIA DE MESMA BASE O quociente de potência de mesma base equivale à outra potência de mesma base cujo expoente é a diferença dos expoentes dados. A expressão geral an é: m = a n − m (a ≠ 0) a

n Considere a potência a , sendo a um número real e n um número inteiro. Estudaremos agora como determinar o valor dessa potência, caso o expoente n seja um número maior que 1, igual a 1, nulo ou negativo. Observe os seguintes casos:

O EXPOENTE É UM INTEIRO MAIOR QUE 1 a n = a.a.a.a................a

Exemplo:

n fatores

2 78 2

76

= 2 78−76 = 2 2 = 4

POTÊNCIA DE UM PRODUTO A potência de um produto equivale ao produto dos fatores elevados ao mesmo expoente. A expressão geral é: (a.b) n = a n .b n Exemplo: (5.3) 2 = 5 2.3 2

O EXPOENTE É 1 a1 = a O EXPOENTE É ZERO, COM BASE NÃO-NULA a 0 = 1, a ≠ 0

POTÊNCIA DE UMA DIVISÃO A potência de uma divisão equivale à divisão de duas potências cujas bases são o numerador e o denominador da divisão inicial, elevadas ao mesmo expoente. A

O EXPOENTE É UM INTEIRO NEGATIVO, COM BASE NÃO-NULA 1 a −n = n , a ≠ 0 a

n

an  a   expressão geral é:   = n (b ≠ 0) Exemplo: b  b  3

43  4    = 3 3  3 

EXERCICIOS 3

2

 1   1  1) O valor da expressão   +   − 2 −3 + 16 0 é:  2   4 

a) 33/16 b) 17/16

c) 15/16

POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA A potência de uma potência equivale à outra, cuja base é a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes. A

d) -15/16 e) -17/16

expressão geral é: (a n ) = a n.m . Exemplo: m

0

 2  (− 5) − 3 +    3  é igual a : 2) ( MACK) 1 1 3− 2 + + 2

2

5

3150 a) 17

b)90

2 1530 c) 73

(2 2 )3 = 2 2.3 = 2 6 EXERCICIOS

17 d) 3150

e) –90

1) A metade de 410 é : a) 219 b) 210 c) 2 5

3) (F.S.A.) O valor da expressão 5 E = 4 −1 + 3.2 −3 : − 0,4 é : 8 a) –226/5 b) –2/5 c) 2/9 d) 9/20 e) /35 0 , 25

4) O valor de 16 a) 1/8 b) 1/6

+8

−

1 3

d) 4

[

e) 4 8

]

3 −3

2) Simplifique a expressão 2 9 ÷ (2 2 × 2 )

  1  4   1  3    1  6 3) Simplifique:  −  ÷  −   ×  −  + 2 −7   2    2     2 

1

− 4 2 é igual a : d) 1 / 2

d) 4 5

e) 1

PROPRIEDADES

4) Simplifique a expressão 7

2 n + 4 − 2 .2 n 2.2 n +3

Ou seja, sendo a < 0 e n um inteiro positivo par, a

AULA 05

expressão

n

a não se define no conjunto dos reais.

RADICIAÇAO

EXERCICIOS

DEFINIÇÃO De modo geral podemos escrever: n

1) Calcular o valor da expressão: 5 0 + 6 1 − 4 81 + 3 − 125 − 3 64

a = b ⇔ b n = a (n ∈ N e n ≥ 2) .

2) Determine o valor da expressão numérica: 1

n

No radical a , o numero n é chamado de índice do radical e o número a, radicando. Na determinação da raiz enésima de um número real a, ou seja, n a , podem ocorrer os seguintes casos. 1° Caso: a ≥ 0 e o índice n é um número inteiro positivo, diferente de um.

3

− 8 + 16 − (−2) + 27 4

1 3

3) Calcule o valor da expressão.

2+ 2+ 2+ 2+ 4

 1  9 − −8 +   2  (− 2)2 + 3 − 27

Exemplos:

0

3

4) Qual o valor de:

16 = 4 3

−

125 = 5

PROPRIEDADES

Ou seja, sendo a ≥ 0 e n um número inteiro positivo

PRODUTO DE RADICAIS DE MESMO INDICE Para multiplicarmos dois radicais de mesmo índice, multiplicamos os radicandos e conservamos o índice.

n

deferente de um, dizemos que a expressão a corresponde ao número real não-negativo b tal que: bn = a .

A expressão geral desta propriedade é: n a.b =

n

a .n b

OBSERVAÇÃO Não é correto escrever

4 . 25 = 4.25 = 100 = 10

Exemplo:

25 = ±5 , pois o resultado de

cada operação deve ser única. O radical 25 corresponde ao número real não-negativo cujo quadrado é 25.

DIVISÃO DE RADICAL DE MESMO INDICE Para dividir dois radicais de mesmo índice, dividimos os radicandos e conservamos o índice.

2° Caso: a < 0 e o índice n um número inteiro positivo impar, diferente de um.

A expressão geral desta propriedade é:

Exemplos: 3

− 27 = −3

7

− 128 = −2

32

Exemplo:

2

=

n

a = b

n

a

n

b

32 = 16 = 4 2

POTÊNCIA DE UM RADICAL O resultado de elevar um radical a uma potência equivale a elevar o radicando a esta mesma potência.

Ou seja, sendo a < 0 e n um número inteiro positivo impar, diferente de um, a raiz é um número real negativo.

A expressão geral é:

3° Caso: a < 0 e o índice n é um número inteiro positivo par.

Exemplo:

( 2) 3

6

( a) n

m

= n am

= 3 2 6 = 3 64 = 4

Exemplos: RAIZ DE UMA RAIZ Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices.

− 4 Não de define em R, pois nenhum numero real elevado ao quadrado é igual a – 4 8

A expressão geral é: n 3

Exemplo:

m

AULA 06

a = n.m a

FATORAÇAO

64 = 2.3 64 = 6 64 = 2

Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números.

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar os denominadores de uma fração significa operar para que não fiquem números irracionais no denominador.

FATOR COMUM Nesse tipo de fatoração, percebemos que há um termo, chamado de fator, que é comum a todos os elementos das operações iniciais.

P ara racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Ex.: 3xy + 9xz + 6x = 3x (y + 3z + 2)  AGRUPAMENTO Nesse caso, não existe um fator comum entre todas as parcelas, por isso há uma espécie de duas operações de “termo em evidência”. Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento : • formamos grupos com os termos da expressão; • em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência; • colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se existir). Ex.: x² - ay + xy – ax = x (x + y) – a (y + x) = (x + y) (x – a) QUADRADO PERFEITO Quadrado da soma de dois termos:

Principais casos de racionalização: 1° Caso: O denominador é um radical de índice

5

2.

2

5

=

2

.

2

2

=

5 2

=

22

5 2 2

2° Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2

3 3

7

=

3 3

7

3

.

3

72 72

=

33 7 2 3

73

=

33 7 2 7

3° Caso: O denominador é uma adição ou subtração de dois termos, em que pelo menos um deles é um radical

5

(

3+

3− 2

) =5

3+ 2

=

5

(

=

( . 2) (

5

3−2

(

)= 2)

3− 2 3−

3− 2

(a + b)² = a² - 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos

)

(a - b)² = a² - 2ab + b² EXERCICIOS

DIFERENÇÃ DE QUADRADOS Produto da soma pela diferença de dois termos

1) Simplificando a expressão:

(9 × 10 −6 ) ⋅ a) 105

(0,0049) ⋅ 2,5 × 10 3 , obtém-se

b) 10,5

c) 1,05 d) 0,105

e) 0,0105

(a + b) . (a – b) = a² - b²

2) (MACK) Se n é um número natural maior que 1, a expressão

n

CUBO PERFEITO Cubo de uma soma

20 é igual a? n+2 4 + 22n + 2

(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b)(a + b) 2 3) (FUVEST) Calcule

2+ 3 3

.

9

AULA 07

CUBO DE UMA DIFERENÇA

(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b)(a − b) 2

EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

S0MA E DIFERENÇA DE CUBOS

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

ax + b = 0 , com a e b ∈ IR e a ≠ 0 Resolução Resolver uma equação do 1º grau é encontrar o valor da incógnita que satisfaz à equação, tal valor é a raiz ou solução da equação. É muito simples encontrar a raiz, como se faz a seguir:

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

1º caso

EXERCICIOS

1) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : a)(x + y)(3- 2a) b) ( x + 2y)( 3 - a ) c) ( x - 2y) ( 3 - a ) d) ( x + 2y) ( 3 + a ) e) ( x - 2y)( 3 + a )

Raizes: Logo V = R 2° Caso Raizes:

2) (METODISTA) Simplificar a expressão  a 2 + ab a 2 − ab  2 2    , onde ab ≠ 0 ÷  a − b   ÷      b 2 + ab b 2 − ab     

Logo V = 3º caso

3) (FUVEST) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um do possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é : a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252

Raizes: Logo V =

4) (PUC-SP) Simplificar a expressão

EXERCICIOS

2

2 2    x − 2x     x − 1          3 2 (x − 2 )   x + x      

5) (MACK-02) O valor de x = 111 e y = 112 é: a) 215 b)223 c)1

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses? 4 4  x −  y

 x 3 − x 2 y + xy 2 −  y 3

d) –1

2) Resolver, em ℜ , a equação:

para

2( x + 1) − 3 x + 2 − ( 4 − x ) = 0

e)214

3)(ANPAD) A raiz da equação

6) (CEAG) Se a < -2, os valores de x tais que a ( x − a ) < −( x + 2) são aquelas que satisfazem: 2 a) x < a-2 b)x < -2ª c) x > 2ª d) x > a-2 e) a - 2 < x < 2 - a

3x − 1 2 x + 1 − =5 4 6

é um número: a) Par b) Maior que 15 c) Não inteiro d) Primo e) Divisível por 3 5) (FUVEST) -Certa pessoa entra na igreja e diz a um santo: se você dobrar a quantia de dinheiro que eu 10

tenho, dou-lhe CR$ 20.000,00. Dito isto, o santo realizou o milagre e a pessoa, o prometido. Muito animada, ela repetiu a proposta e o santo, o milagre. Feito isto, esta pessoa saiu da igreja sem qualquer dinheiro. Pergunta-se: quanto em dinheiro a pessoa possuía ao entrar na igreja?

1) UNICAMP - Um copo cheio de água pesa 385g, com 2 da água pesa 310g. Qual é o peso do copo vazio? 3

SISTEMAS DE EQUAÇÕES Um sistemas de duas equações de 1° grau, nas incógnitas x ∈ ℜ e y ∈ ℜ é um conjunto de duas

2) UNI – RIO - André, Bento e Carlos têm juntos 41 anos. Calcular as idades de cada um sabendo que Bento é três anos mais velho que André e Carlos é qu atro anos mais jovem que André

ax + by = c mx + ny = p

equações do tipo: 

EXERCICIOS

onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ

3) Num escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria, Cláudia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a?

PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO x + 2y = 8

Para resolver o sistema  isolamos uma das 2x + y = 7 

incógnitas numa das equações e substituímos na outra equação o valor encontrado. Na 1° equação isolando x obtemos x = 8 − 2y ; a seguir substituímos esse valor na outra equação:

4) (Fuvest) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

x + 2y = 8 (I )  2x + y = 7 (II)

Substituindo x em (II) , temos: 2.(8 − 2y) + y = 7 ⇒ 16 - 4y + y = 7

⇒ -3y = -9 ⇒ y = 3

AULA 08

Substituindo y em (I), temos: x + 2(3) = 8 ⇒ x + 6 = 8 ⇒ x = 2 .

EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Concluímos então que o par (2, 3) é solução do sistema; logo, S = (2, 3).

Denomina-se equação do 2º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

PROCESSO DA ADIÇÃO 2x + 3y = 5 7x − 4y = 3

Para resolver o sistema 

ax² + bx + c = 0, com a ,b e c ∈ IR e a ≠ 0

Escolhe uma das incógnitas para eliminar. Para isso multiplica-se cada equação pelo coeficiente que essa incógnita tem na outra equação e somam-se ( ou subtraem-se), membro a membro, as equações obtidas. No sistema proposto, vamos eliminar a incógnita y, multiplicando a 1° equação por 4 e a 2° por 3. Acompanhe:

Temos que: x é denominado incógnita a é o coeficiente do termo em x2 b é o coeficiente do termo em x. c é denominado” termo independente” de x RESOLUÇÃO Resolver uma equação é determinar seu conjuntosolução; uma raiz é um número que transforma uma sentença aberta em sentença verdadeira. A equação na forma ax² + bx + c = 0, é também chamada de EQUAÇÃO REDUZIDA ou NORMAL

2x + 3y = 5 (× 4) 8 x + 12 y = 20 , ⇒  7x − 4y = 3 (× 3) 21 x − 12 y = 9

somando-se as duas equações temos: x = 1. Substituindo esse valor de x numa das equações do sistema, por exemplo, na 1°, obteremos: 2(1) +3y = 5 ⇒ 2 + 3y = 5 ⇒ 3y = 3 ⇒ y = 1 . Pronto! O conjunto solução é S = (1, 1).

EQUAÇÕES INCOMPLETAS 1° caso: b = 0 e c = 0 11

A equação fica reduzida a ax² = 0, pode ser resolvida da seguinte maneira:

ax 2 = 0 ⇔ x2 =

1° PASSO

Calcular o valor do discriminante ( ∆ ) através da Expressão

0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0 a

∆

Portanto, a única solução possível para esse caso, é x = 0.

Através desta expressão do discriminante, podemos fazer análises quanto ao número de raízes que a equação possui. O discriminante pode ser positivo (∆ > 0), nulo (∆ = 0) ou negativo (∆ < 0). É de extrema importância que você saiba o quadro seguinte pois servirá de apoio em diversas situações:

2° caso: b = 0 A equação fica reduzida a ax² + c = 0, pode ser resolvida da seguinte maneira: 2x² - 50 = 0  2x² = 50  x² = 50/2  x² = 25

= b 2 − 4.a.c



= ± 25 , assim teremos como solução x 1= 5 e x2 = -5. Resposta.: S = {-5, 5} x

Importante: Observe que nesse caso as duas raízes são

“simétricas” (mesmo valor numérico, com sinais diferentes). 3° caso: c = 0

∆>0

∆=0

∆ + 2 4 6

AULA 11

3) Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à equação C = 400t, em que C é o consumo em KWh e t é o tempo em dias. Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 KWh? a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 23

FUNÇÃO DO 2º GRAU

É toda função do tipo f(x) = ax 2 + bx + c , onde a , b e c são números reais, com a ≠ 0. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O gráfico dessa função é uma parábola. Para construirmos o gráfico da função quadrática devemos primeiramente encontrar os zeros(raízes) da função em seguida fazer uma análise gráfica. Devemos considerar 3 possíveis casos.

4)O gráfico que melhor representa a função y = 3x – 2 é:

∆>0

A equação ax² +bx + c = 0, possui duas raízes reais e desiguais (x1 ≠ x2) a0

• x1

AULA 10

• x2

• x1

• x2

x

A PARÁBOLA INTERCEPTA O EIXO Ox EM DOIS PONTOS DISTINTOS

INEQUAÇÃO DO 1º GRAU Denomina-se inequação do 1o grau na variável  x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: 13

x

∆=0

A equação ax² +bx + c = 0, possui duas raízes reais e iguais (x1 = x2) a0

x1 = x 2 •

a>0

a0

a0;

a  x 2 + b  x + c ≤0;

VÉRTICE é PONTO DE MÁXIMO.

a  x 2 + b x + c 0 b) – x2 – x – 6 ≥ 0 2 2 c) 3x – 2x + 1 < 0 d) – x + 4x – 4 ≤ 0

 x

 a < 0

2) Quantos números inteiros satisfazem à seguinte condição : o quadrado de um número é menor que o seu quádruplo ? a)1 b) 3 c) 5 d) nenhum e) infinitos

EXERCICIOS

3) Considere a inequação x - 7x + 6 < 0. Quantos números inteiros pertencem ao conjunto solução dessa inequação ? a)3 b) 4 c) 5 c) 6 e) infinitos ²

1) (CEAG)Qual a parábola abaixo que poderia representar uma função quadrática com discriminante negativo (D < 0 )?

AULA 13 EXPONENCIAL FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja a um número real positivo e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1). Chamamos de função exponencial de base a a função: f: ℜ  ℜ+*, definida por f(x) = a x 2) (CEAG) As coordenadas do vértice da parábola y = x 2 – 2x + 1 são: a) (1, 0) b) (0,1)

c) (-1, 1)

d) (-1, 4)

Domínio: D = |R O domínio desta função é o conjunto dos números reais, pois não há restrição para os valores de x. Imagem: Im = |R+

e) N.D.A.

3) (CEAG)Um corpo lançado do solo verticalmente para

*

15

A imagem desta função é o conjunto dos reais positivos pois como a é positivo, ax será sempre um número positivo para qualquer valor de x.

Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. Como por exemplo 2x-1 > 128. Para resolvermos uma inequação devemos nos preocupar com as seguintes propriedades: 1) Quando a >1 ...... ax2 > ax1 x2 > x1 (conserva o sentido da desigualdade). 2) Quando 0 < a < 1 ...... ax2 > ax1 x2 < x1 (inverte o sinal da desigualdade).

GRÁFICO 1º)Para a > 1 Para a > 1 a função y = a x é crescente e o gráfico é:

EXERCICIOS

1) Resolver a inequação: 22x − 1 > 2x + 1

1

2) Resolver a inequação: (0,1) 5x − 1

x

0

< (0,1)2x + 8

2

3) Resolva a inequação 5 x ≤ (0,2)

2º)Para 0 < a < 1 Para 0 < a < 1 a função y = ax é decrescente e o gráfico é:

−1

4) Resolva a inequação 4 x − 6.2 x + 8 < 0 5) (UNIMES) Resolva a inequação 3 2 x −1 <

y

1 9 x +1

AULA 14 1

LOGARITMOS

x

0

DEFINIÇÃO Seja a e b números reais positivos, com a ≠ 1. Chamamos de logaritmo de b na base a ao número real  x tal que ax = b.

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS As equações que apresentam incógnitas como expoente são chamadas equações exponenciais. Na resolução de equações exponenciais, utilizamos todas as propriedades de potências. Mas partimos sempre da propriedade mais importante:

log

am = an ⇒ m = n (a> 0 e a ≠ 1)

b a

= x,

onde

ax = b

Onde b é o logaritmando a é a base e  x é o logaritmo

EXERCICIOS

1) Resolver a equação 2 x = 128 EXERCICIOS

2) Resolver a equação 2x =

1 16

1) ( ANPAD ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é: a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3

3) Resolva a equação 2 6 x − 5.2 3 x + 4 = 0

  9  4) (MACK) A solução da equação    16 

 x − 3

2) ( CEAG ) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente: a)2, 1 e -3 b)1, 0 e -2 c)3, 1 e -2 d)4, -2 e -3 e)3, 0 e -2

x

 12  =  é   9  

um número racional x, tal que :

3) ( ANPAD ) A expressão mais simples para alogax é: a)a

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 16

b)x ( x > 0 )

c)logax

d) logxa

e) ax

4) FV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a: a)2/3

b)3/2

c)2

d)3

1)(ANPAD ) O valor da expressão é: a) 4/15

b) 1/3

o valor de log 28 ? a)1,146 b)1,447

e)4

log 3 1 + log10 0,01 1 log 2 . log 4 8 64

c)4/9

c)1,690

d)2,107

e)1,107

3) ( CEAG ) Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a: a)0,6990 b)0,6880 c)0,6500 d)0,6770 e)0,6440 4) ( CEAG) Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a vale: a) 10 b)25 c)32 d)64 e)128

d)3/5

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE LOGARITMOS P.1 ► Logbb = 1

5) ( CEAG ) O valor de 3 . log 3 + log 5 é: a)log 30 b)log 135 c)log 14 d)log 24 e)log 45

P.2 ► Logb1 = 0 P.3 ► Logbbc = c

AULA 15

P.4 ► bLogb a = a P.5 ► Loga(b.c) = Logab + Logac P.6 ► Loga(b/c) = Logab – Logac

EQUAÇOES LOGARITMICAS

P.7 ► Logabn

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou ambos.

= n.Logab

MUDANÇA DE BASE Muitas vezes necessitaremos transformar o log de um número em uma certa base para outra base. Sendo a, b, c ∈ ℜ+*, com a ≠ 1 e c ≠ 1, temos:

log b = log c ⇔ b = c

b

log = log log b

a

EXERCICIOS

c a

1) (FGV) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1: a) tem duas raízes opostas. b) tem uma única raiz maior que 7. c) tem uma única raiz irracional. d) tem conjunto solução vazio. e) tem uma única raiz menor que 3.

c

OBSERVAÇÃO Em alguns cálculos de logaritmo é conveniente fixarmos sua base. Uma das bases “fixas” mais conhecidas, e utilizadas, é a base ‘e’ . O número ‘e’ é um número irracional que pode ser expresso com qualquer precisão. Recebeu esse nome em homenagem ao Matemático Euler . Seu valor é, aproximadamente, 2,7182818 . Se considerarmos o logaritmo com a base e, temos:

2) (FGV) O valor de x que satisfaz a equação log(2x + 7) = log2x + log7 é um número: a)menor que 1/2 b) entre ½ e 1 c)entre 1 e 3/2 d) entre 3/2 e 2 e) maior que 2 3) (FGV) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5 x = 60 vale aproximadamente: a) 2,15 b)2,54 c)2,28 d) 2,67 e) 41

ln b = x ⇔ ex = b

4) (FGV) a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 2

EXERCICIOS

1) ( ANPAD) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale: a)1,77 b)1,41 c)1,041 d)2,141 e)0,141

FUNÇÃO LOGARITMICA Dado um número real a ∈ IR *+ chamamos de função logarítmica de base a a função f  : IR *+ → IR que

2) ( ANPAD)Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será

associa a cada  x o número real log a  x, isto é, 17

b)x < 1/2 c)x > 2 d)x < 2 e x > 0 e)x = 2

f  : IR *+ → IR tal que f(x) = log a x

3) ( ANPAD ) Se log1/3 (5x-2 ) > 0 então x pertence ao

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para a > 1, teremos:

intervalo: ( 0, 1 ) (- ,1) ( 2/5, 3/5 ) ( 2/5 , ) (- , 3/5 )

y D

2

AULA 17

C

1 A•

FUNÇAO MODULAR

1 a

a²

Definição Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou um número real denominado módulo de x

x

representado por  x e obtido do seguinte modo:

-1

 x =  x

se x ≥ 0

 x = − x

se x < 0

1) Resolva

Para 0 < a < 1, teremos:

a) |- 5| = b) |+0,34| =

y 2 1

c) | -

D

2)Resolva as equações abaixo: a) 2 x − 1 =  x + 2

C a

-1

12 | =

B • 1

1/a

b) 3 x + 2 c)  x − 1

x

= 2 x − 3

=3

3) (ANPAD) De acordo com sugestão do fabricante, o preço de venda  p, em reais, de certo objeto deve ser tal que p − 41 ≤ 15 . A diferença entre o maior e o menor preço de

A

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades: 1) Quando a > 1 -> x2 > x1 « log a x2 > log a x1 (conserva o sentido da desigualdade)

venda desse objeto é: a) R$15,00 b) R$20,00 c) R$25,00

d) R$30,00

4) (ANPAD) A solução da inequação

( x − 1) 2 > 3 é:

a) x ≤ −2 ou x ≥ 4 b) x > 4 e) x < −2 ou x > 4

2) Quando 0 < a < 1 -> x2 > x1 « log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)

c) x > 0 d) −2 < x < 4

AULA 18

EXERCICIOS

ANÁLISE COMBINATÓRIA

1) ( ANPAD) A desigualdade log2(5x-3) < log27 é verdadeira para:

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k 1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número

a)x > 0 b)X > 2 c)x < 3/5 d)3/5 < x < 2 e)0 < x < 3/5 2) ( ANPAD ) Qual o valor de x na inequação log1/2 x > log1/2 2 ? a)x > 1/2 18

total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é,

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1

EXEMPLO O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

EXEMPLO Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. SOLUÇÃO P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

SOLUÇÃO Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000.

ANAGRAMA Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. EXEMPLO Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:

EXERCICIOS

01.Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

Pn(a,b,c,...) =

02.Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?

n! a!b!c!...

EXEMPLO Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. (não considere o acento)

03.Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados?

SOLUÇÃO Temos 10 elementos, alguns com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.

04.Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício de modo que não saia pela porta que entrou? 05.Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 06.De quantas maneiras distintas um aluno poderá responder um questionário de 12 perguntas, cujas respostas para cada pergunta é verdadeiro ou f also?

EXERCICIOS

1) De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?

AULA 19

2) De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? 3) Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?

PERMUTAÇÕES SIMPLES Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

4) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. 19

3) (ANPAD) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1 0. lugar, Brasil; 20. lugar, Nigéria; 30. lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir? a) 69 b) 2024 c)9562 d)12144 e) 13824

AULA 20  ARRANJOS SIMPLES Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

AULA 21

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. COMBINAÇÕES SIMPLES Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por A n,k , teremos a seguinte fórmula:

A n, k  =

n! (n − k)!

6-1.EXEMPLO No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. c) combinações de taxa 4: abcd.

5-1 EXEMPLO: Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas ela deverá fazer, no máximo, para conseguir abri-lo?

Representando por C n,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

SOLUÇÃO As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.

C nk  =

n! k!(n − k)!

EXERCICIOS

1) Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com 5 pessoas?

EXERCICIOS

2) (ANPAD) Numa classe há 10 rapazes e 6 moças. Quantas comissões de 4 rapazes e 2 moças podem ser formadas? a) 40 b) 480 c) 3 150 d)380 e) 600

1) Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 2) Quantas são as possibilidades de criar palavras de 3 letras, sem repetição, com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?

3)(ANPAD) Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ? a)52 b)86 c)24 d)32 e)48

4) De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa corrida de b icicleta disputada por 10 ciclistas?

03)(CEAG).Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? a) 5 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50

2) (ANPAD) Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. O número de maneiras diferentes que essas 2 pessoas podem ocupar esses lugares é: a)21 b)84 c)120 d)42

04) (ANPAD).Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício de modo que não saia pela porta que entrou? a) 18 b) 27 c) 49 d) 56 e) 72 20

Um número maior que 4 Um número menor que 4

AULA 22

2)(CEAG) Um livro tem 100 páginas numeradas de 1 a 100. Abrindo-se numa página ao acaso, a probabilidade de que o número da página contenha o número 2 é: a) 1% b) 10% c) 19% d) 28% e) 37%

PROBABILIDADES ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}. No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)} Obs: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome de ponto amostral. No primeiro exemplo : cara pertence ao espaço amostral {cara, coroa}.

3) (CEAG) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, qual é a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8? a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 8/50 e) 1/5

AULA 23 UNIÃO DE DOIS EVENTOS REGRAS DA ADIÇÂO União A ∪ B: implica na ocorrênciade pelo menos um dos eventos

EVENTOS É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Β

A

Se E = S , E é chamado de evento certo.

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por:

Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar. Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.

Β

A

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

P(A) =

n( E ) n( S )

P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Se A ∪ B=φ  e A e B são chamados de eventos mutuamente exclusivos, neste caso

EXEMPLO Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: S = {cara, coroa} ⇒ n(S ) = 2 Evento E: E = {cara } ⇒ n( E ) = 1 n(E) 1 Como P(A) = , temos P( A) = ou 0,50 = 50% 2 n(S)

A

Β

EXERCICIOS

1) Jogando um dado, determine qual a probabilidade de sair na face de cima: O número 5 O número 4 Um número par Um número impar

P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Se A ∩ B=φ  e A ∪ B = S , A e B são chamados eventos exclusivos. Então: 21

A e B eventos dependentes

B

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

A LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE  Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou

S P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1

o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

PROBABILIDADE CONDICIONAL Esta probabilidade, como o próprio nome diz, está condicionada a um acontecimento que ocorreu anteriormente. Simbolicamente esta probabilidade é escrita na forma P(A/B) que representa; “ probabilidade de ocorrer o evento A depois que eu já sei que ocorreu o evento B

P( A / B) =

EXEMPLO

Realizando-se a seqüência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só K vezes Resolução 1) Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A .

n( A ∩ B) n(B)

2) Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A , ordenadamente, é:

EXERCICIOS

1) Se P(A)=0,6, P(A∩B)=0,2, P(A∪B)=0,8. Calcule P(B) 2)(ANPAD)Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou número par é: a. 60% b. 70% c. 80% d. 90% e. 50%

3) As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto C n,k. 4) Sendo assim, há Cn,k  eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk  . (1 – p)n-k , e portanto a probabilidade desejada é:

3)(ANPAD)Num único lance de um par de dados honestos, a probabilidade de saírem as somas “múltiplo de 4” ou “primo” é: a. 1/3 b. ¼ c. 1/5 d. 2/3 e. 2/5 4) (ANPAD) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10 bolas azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a probabilidade de obter-se uma bola par ou branca é: a) 29/30 b) 7/15 c) 1/2 d) 11/15 e) 13/15

Cn,k .p k (1- p) n - k

 

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5

AULA 24

bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale: a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81

INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS P(A ∩ B) = P(B) P(A / B) = P(A) P(B / A)

2) (CEAG) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é: a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/ 4

PROPRIEDADES A e B eventos independentes

3) (ANPAD) Uma moeda viciada apresenta probabilidade de ocorrer face cara quatro vezes maior

P(A ∩ B) = P(A) P(B) 22

que a probabilidade de ocorrer face coroa. Em 2 lançamentos consecutivos dessa moeda qual a probabilidade de ocorrer 2 vezes a face coroa? a) 0,2 b) 0,1 c) 0,01 d) 0,02 e) 0,04

 a11 a12 a a 22  21 A=  a 31 a 32    a m1 a m2

a1n 

a13 a 23

a 2n 

a 34

a 3n 



  a mn 

a m3 ou, abreviadamente, A = (aij)mxn, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a 23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

4) (CEAG) Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é: a) 30 % b) 42 % c) 50 % d) 12 % e) 25 %

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Seja X = (xij) uma matriz quadrada de i + j, se i = j



ordem 2, onde i - j, se i > j . A soma dos seus

AULA 25

1, se i < j 

elementos é igual a:

MATRIZ

a)-1

Chamamos de matriz de ordem m x n (lê-se: “m por n”) a toda tabela de números dispostos e m linhas e n colunas. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos

2 a)  4

−1 2

b) 1

c) 6

d) 7

e) 8

2) (ANPAD) A solução da equação matricial

2   x + 1  x + 4  -1 é um número:  x x 2 - 2  = 3x+4 2    

0 é uma matriz do tipo 2 x 3 −3

a)Maior que -1 b)Menor que -1 c)Maior que 1 d)Entre -1 e 1 e)Entre 0 e 3

1 3  b) 0 −2  é uma matriz do tipo 3 x 2   2 4 

3) . ( ANPAD) Dadas as matrizes  1 3  0 1 2   se At  é a matriz  A = 2 4 e B =      −1 2 0   3 0 transposta de A, então ( At  - B ) é: 1 4  1 3 5 1 1 1   a)  b) 1 2 c)     4 2 0 2 6 0   1 0

Em uma matriz, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

1 2  1 2 2    d)  e) 3 6     3 2 3 5 0

Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

Multiplicação de Matrizes Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é 23

dada pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. EXERCICIOS

 1 3 2 3 1   A=  e B= 0 4 . A soma dos elementos     1 −1 7   2 2 c)22

d)23

6 7 b)    26 31

0 12  d)   5 21

0 0 e)   12 14 

a 22 

 = a 11 a 22 − (a 12 a 21 )

4 5

= 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 4 = 10 − 12 = −2

e)24 Logo: det M = -2

2) (ANPAD) Observe que: 0 1  4 5 Se A= e B =  6 7 , então A.B é a matriz: 2 3  

0 5 a)   12 21

a 21

2 3

det M=

da primeira linha de A . B é: b) 21

a 12 

Assim: det M = a 11a 22 − (a 12 a 21 ) Exemplo: 2 3 Sendo M=   , então: 4 5  

1) ( ANPAD ) Considere as matrizes

a)20

a 11

det M = 

Regra de Sarrus Dispositivo prático para calcular o determinante de

 6 26 c)   7 31

a

3 − ordem. Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus. a 11 a 12 a 13

AULA 27

D= a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

Solução: DETERMINANTES A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante

a

1− Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da a

Determinante de primeira ordem a

Dada uma matriz quadrada de 1 − ordem M= [a 11 ] , chamamos de determinante associado à matriz M o número real a 11 .

3− : a 11

a 12

a 13 a 11 a 12

a 21

a 22

a 23 a 21 a 22

a 31

a 32

a 33 a 31 a 32

a

2 − Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:

Notação: det M ou a 11 = a 11 Exemplos:

M 1 = [5] ⇒ det M 1 = 5 ou 5 = 5

= + (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 )

M 2 = [− 3] ⇒ det M 1 = −3 ou - 3 = −3

a

3 − Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:

Determinante de segunda ordem

 a 11 a 12  Dada a matriz M=   , de ordem 2, por a 21 a 22  definição, temos que o determinante associado a essa

− (a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 ) Assim:

a

matriz, ou seja, o determinante de 2 − ordem é dado por: 24

D = −(a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 )

Sn =

+ (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 )

1 x 1 1 1 1

=

1 1 x 1

EXERCICIOS

é:

1) Determine o 4º termo da P.A. (6, 3,,...)

x 1

2) Numa P.A. de razão 3, o sétimo termo é 21. Qual é o primeiro termo?

a) {x ∈ R | x ≠ 1} b){0;1} c){1} d){-1} e) {0}

3 −2

3) ( ANPAD ) Sabendo que a seqüência ( 1-3x, x-2, 2x+1

−2

2) calcule A = 1

−1

−1

2

−3

−3

2

) é uma PA , o valor de  x + 21 é: a)5 b)3 c)4 d)6

 A, em que:

3

e)8

4) . ( ANPAD ) Um teatro têm 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência , até a vigésima fila que é a última .O número de poltronas desse teatro é : a)92 b)150 c)1500 d)132 e)1320

3) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade  x  da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz

1 -1

2

a1 = primeiro termo an = enésimo termo n = número de termos Sn = soma dos n termos.

EXERCICIOS

1) O conjunto solução de

(a1 + a n )n

AULA 28

1

0 - x , com base na fórmula p(x) =

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

2 0 2 3 det A, determine: o peso médio de uma criança de 7 anos

Termo Geral: an = a1 . qn-1 an = Termo geral a1 = 1º Termo n = Número de termos q = Razão

AULA 28 PROGRESSÃO ARITMÉTICA

OBS: Propriedades: 1º) q = (a2 / a1 ) = (a3 / a2 ) = (a4 / a3) = constante

Definição É uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da progressão. an+1 = an + r 

2º) a2 2 = a1 . a3

∀   ∀n    ∈ N * 

ou

OBS: Se a1 = q temos ainda: a1 . a3 = a4 a1 . a3 . a4 = a8

a2 – a1 = a3 – a2 = ... = a n+1 – an = r  Classificação de uma P.A.  Crescente: r > 0  Decrescente: r < 0  Constante: r = 0

1+3+4=8

8

( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais ) Fórmula da Soma dos termos de uma P.G

Fórmula da soma dos n termos de uma P.A. f inita

a) P.G Finita: ( limitada) a (q n - 1) Sn = 1 q-1

Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 25

Nomenclatura Usual Em 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” Temos:

b) Limite da soma de uma P.G infinita : (ilimitada) a Sn = 1 1- q EXERCICIOS

o todo ou principal  a taxa é a porcentagem é 

1) ( ANPAD ) O primeiro termo de uma progressão geométrica em que a3 = 1 e a 5 = 9 é: a)1/27 b)1/9 c)1/3 d)1 e)0 2) ( ANPAD ) Se a seqüência ( 4x, 2x + 1, x-1 ) é uma PG, então o valor de x é: a)-1/8 b)-8 c)-1 d)8 e)1/8

é igual a:

b) 1/3

c) 2/3

d) 1/6

Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após uma redução de x% o valor final será

e) 1

 x  1 .M  100 

AULA 29 PORCENTAGEM Definição Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo símbolo % que significa “por cento”.

EXERCICIOS

1) (ANPAD) Quanto é 32% de R$ 25.000,00?

a)R$ 5.500,00 b)R$ 7.500,00 c)R$ 8.000,00 d)R$ 10.000,00 e) R$ 12.000,00

x = x % (lê-se x por cento) 100

2) (FGV-SP) Trinta por cento da quarta parte de 6 400 é igual a: a) 480 b)640 c) 160 d) 240 e) 360

EXEMPLO 13 100

= 13% = 0,13

3) (ANPAD) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de a) 24000 b) 30000 c) 136000 d) 160000 e) 184000

Noção Intuitiva “O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lêse 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são analfabetos.

4) (ANPAD) Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar é: a) 10% b) 28% c) 15% d) 33% e) 23%

Cálculo de uma porcentagem Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”

pois 25% =

p = 20

x    1+  .M  100 

4)(ANPAD) A soma dos infinitos termos da P.G.

a) 2

i = 25(%)

ACRÉSCIMOS OU DECRÉSCIMOS Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após um aumento de x% o valor final será

3)(ANPAD) A soma dos 9 primeiros termos da seqüência(1,2,4,8,...) é igual a: a)63 b)127 c)128 d)255 e) 511 1 1 1   , , ,...   3 6 12 

P = 80

é

25 100

= 0,25

5) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus clientes: à vista ou em duas parcelas i guais. A loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de

Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 26

R$ 200,00 para pagamento em duas vezes, sendo R$ 100,00 no ato da compra e R$ 100,00 trinta dias ap ós essa data. Para pagamento á vista, a loja oferece um desconto de 10% sobre o preço total de R$ 200,00 anunciado na vitrine. Considerando o preço á vista como o preço real do vestido. Determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes. a) 10% b) 15% c) 25% d) 30% e) 50%

J=

C.I.T 100

M = C(1+I.T) onde: j = valor dos juros C = valor do capital inicial ou principal i = taxa n = prazo M = montante final

6) (ANPAD)João está à procura de um imóvel para

adquirir. Após várias pesquisas de mercado, achou o imóvel de seus sonhos, porém, por não ter a quantia suficiente para pagar o valor solicitado, pechinchou com o vendedor, obtendo dois descontos sucessivos de 20% e 5% no valor inicial do imóvel. O valor da taxa única que representa esses dois descontos é a) 23%. b) 26%. c) 24%. d) 27%. e) 25%.

EXERCICIOS

1)Um capital de R$ 3000,00 foi aplicado a juros s imples por 3 meses. A taxa de juros utilizada foi de 1,5% a.m.. Qual o valor total retirado após essa aplicação?

7) (UNESP) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitáriade um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos: – em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10% e – em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%. Em todo o período considerado, a variação foi de a) – 1%. b) – 0,1%. c) 0%. d) 0,1%. e) 1%.

2) Qual é a taxa anual de juros simples que faz um capital de R$ 9.500,00 produzir um montante de R$ 11.900,00 ao fim de 1 ano? 3) Patrícia aplicou R$ 800,00, a juros simples, a uma taxa de 2,5% ao mês e, ao final de um certo tempo, recebeu R$ 1.080,00. Quanto tempo ela deixou o dinheiro aplicado a essa taxa? 4) Um capital qualquer aplicado a juros simples, a uma taxa fixa de 4% ao mês, dobra seu valor ao fim de quantos meses?

AULA 30 JUROS Ao aplicar (investir) certa quantia ( capital C) em uma instituição financeira (por exemplo, um banco) por um determinado período de tempo (t), recebe-se, ao final deste, aquela quantia acrescida de um valor denominado juro (J). O valor do juro depende de certa porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. O montante (M) é o resultado da soma daquela quantia com o juro.

JUROS COMPOSTOS Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos ju ros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.

M=C+J

M = C(1+I)T 

JUROS SIMPLES Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por 12, e assim por diante.

1) Calcule o montante de um capital de r$ 6.000,00 , aplicado à taxa de 7% ao mês, durante 8 meses no regime de juros compostos.

CALCULO DOS JUROS: Valor dos juros é obtido da expressão

2) Em regime de juro composto determine o capital resultante de uma aplicação de R$ 5000,00 durante 6 anos à taxa anual de 10%. ao ano.

EXERCICIOS

27

3) Em regime de juro composto determine o capital resultante de uma aplicação de R$ 5000,00 durante 6 anos à taxa anual de 10%. ao ano.

2) O valor de y , para qual e distância do ponto A ( 1, 0 ) ao ponto B ( 5, y ) seja 5 é: a) 3 b) 4 c)3 d)2 e)-1

4) Sabendo que 1,012 3 = 1,0364 , calcule o montante, após 3 meses, de um capital de R$ 100,00 investido a juro composto de 1,2% ao mês.

3)(ANPAD) A soma das coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades ( -1, 4 ) e ( 3, 10 ) é: a) 16 b) 18 c) 10 d) 8 e) 6

AULA 32

5) Use a tabela abaixo para calcular o montante do capital de R$ 1000, 00, investido a juro composto de 2,5% ao mês, durante 5 meses. n

(1,01) n

(1,0457) n

3 4 5

1,0303 1,0406 1,0510

1,0457 1,0613 1,0772

3. Área de um Triângulo 

(1,025) n

1,0769 1,1038 1,1314

AULA 31 GEOMETRIA ANALÍTICA

EXERCICIOS

1) Determine a área do triângulo de vértices A(1, 3); B(4, 6) e C(5, 2)

1. Distância entre dois pontos 

2) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se k for igual a:

AULA 33 4. ESTUDO DA RETA Condição de alinhamento de três pontos d AB = ( xB − x A ) 2 + (y B − y A ) 2

2. Ponto Médio de um Segmento 

  x + xB y A + yB  M A ,    2 2    y 2 −  y 1

 Exercícios de Sala 

 x 2 − x 1

=

 y 3 −  y 1  x 3 − x 1

⇔ 

 x1

 y 1

1

D =  x 2

 y 2

1

 x 3

 y 3

1

EXERCICIOS

1)Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados quando: a) A (0, 2), B ( −3, 1) e C (4, 5)

EXERCICIOS

1)(ANPAD) A distância do ponto A ( -1, 2 ) ao ponto B ( 2, 6 ) é: a)3 b)4 c)5 d)6 e)n.d.a

b) A (−2, 6), B (4, 8) e C (1, 7) 28

e) A (−1, 3), B (2, 4) e C ( −4, 10)

Se θ = 45º, então: m = tg 45º= 1.

2)Determine m para que os pontos A (0, −3), B (−2m, 11) e C (−1, l0m) estejam em linha reta.

Se θ = 60º, então: m = tg 60º =

3) (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos

As coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas.

A(

1 2

, t), B(

2 3

, 0) e c ( −1, 6) são colineares.

3

5) Coeficiente angular

Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação θ.. m = tg θ m = tg θ  =

Pode ocorrer:

m=

tg θ > 0

⇔

CB

 AC   y B −  y A  x B − x A

A equação geral da reta é conhecida

m>0

ax + bx + c = 0 m = −  n = − 

tg θ < 0

⇔

m