Apostila 2 - Somatório e produtório

Universidade Federal do Piauí  Campus Universitário “Prof a. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI Profa. Gisele

ESTATÍSTICA II - SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO As operações de somatório e produtório são de grande importância para a Estatística por facilitar a indicação e formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas.

1. SOMATÓRIO 1.1 Índices ou notação por índices O símbolo Xi (lê-se X índice i) representa qualquer um dos  n valores, X1, X2,....,Xn, assumidos pela variável X, na amostra ou no conjunto de dados.

Exemplo: Seja X a variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias: X1

X2

X3

2,47

2,49

2,56

......... ......... ......... ......... ......... ........ X 10 2,56 2,59

2,61

2,62

2,62

2,62

2,70

1.2 Notação de somatório Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo ( Σ ), que deve ser lido SOMATÓRIO ou SOMA DE. O símbolo

n

∑ X i é usado para representar a soma de todos os valores Xi desde i = 1 até i = i =1

seja, por definição: n

∑ X i = X1 + X2 + .......+ Xn i =1

Lê-se da seguinte maneira: “somatório de Xi, com i variando de 1 a n”.

, ou

 n

Ex.:

10

∑1 X i = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 + X 10 i=

10

∑1 X i = 2,47 + 2,49 + 2,56 + 2,56 + 2,59 + 2,61 + 2,62 + 2,62 + 2,62 + 2,70 i=

10

∑1 X i = 25,84 i=

1.3 Número de termos do somatório (NT) Corresponde ao número de termos que farão parte da soma. Tem-se duas formas de calcular o NT: NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) Em que, Ls = limite superior do somatório Li = limite inferior i nferior do somatório r = número de restrições no somatório (ou seja, número de termos que não farão parte da soma)

Ex.: SEM RESTRIÇÃO: 10

∑1 X i = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 + X 10 = 25,84 i=

NT = 10 – 1 + 1 = 10

COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2): 10

∑1 X i = X 2 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 + X10 = 20,81

i= i ≠1, 3

NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8

1.4 Propriedades 1ª)

n

∑1 K  = NT .K , sendo K uma constante e NT = número de termos.

 I =

Ex.:

10

∑1 2 = (10 − 1 + 1).2 = 10.2 = 20 i=

2ª)

n

∑1

∑1 X 

i=

Ex.:

i

i=

10

∑ 2. X i

n

∑1 X 

= 2.

i =1

3ª)

n

K . X i = K .

= 2.(X 1 + X 2 + ....... + X 10 ) =

i

2.(2,47 + 2,49 + ... + 2,70) = 2.25,84 = 51,68

i=

n

n

n

∑1 ( X  ± Y ) = ∑1 X  ± ∑1 Y  i

i

i

i=

i

 I =

 I =

Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

Y1 = 3

Y2 = 5

Y3 = 9

3

3

3

∑ ( X i + Y i ) = ∑ X i  I =1

4ª)

+

 I =1

n

∑ ( X i

± K ) =

 I =1

∑1 Y  = ( X 1 + X 2 + X 3 ) + (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = (2 + 4 + 6) + (3 + 5 + 9) = 12 + 17 = 29 i

 I =

n

n

∑1

 X i ±

 I =

∑1

n

K  =

 I =

∑1 X 

i

±  NT .K 

 I =

Ex.: Considerando-se Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 10

10

10

10

 I =

 I =

∑1 ( X  + 2) = ∑1 X  + ∑1 2 =∑1 X  + NT .2 = 25,84 + 10.2 = 45,84 i

i

i=

5ª)

i

 I =

n

n

n

∑1  X  Y  ≠ ∑1  X  ∑1 Y  i

i

i=

i

i=

i

i=

Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

Y1 = 3

Y2 = 5

Y3 = 9

n

∑1  X  Y  =  X 1Y 1 + X 2Y 2 + X 3Y 3 = 2.3 + 4.5 + 6.9 = 6 + 20 + 54 = 80 i

i

i= n

n

∑1 ∑1 Y  = ( X 1 + X 2 + X 3 ).(Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = 12.17 = 204  X i

i

i=

i=

Logo, 80 ≠ 204 ⇒ Ao

n

∑1

 X i Y i

dá-se o nome de SOMA DE PRODUTOS e ao

i=

n

∑1 i=

2

 X i ≠ (

n

∑1 X  ) 2 i

i=

n

∑1 ∑1 Y   X i

i=

PRODUTO DA SOMA.

6ª)

n

i

i=

dá-se o nome de

Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: Ex.: Considerando-se n

∑1  X  2 = X12 + X 2 2 + ... + X10 2 = 2,47 2 + 2,49 2 + ... + 2,70 2 = 66,81 i

i=

n

(∑ X i ) 2 =(25,84) 2

= 667,71

i =1

Logo, 66,81 ≠ 667,71 n

n

i =1

i =1

⇒ Ao ∑ X i 2 dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao (∑ X i ) 2 dá-se o nome de

QUADRADO DA SOMA.

7ª)

1

n

≠

n

∑1  X 

1

∑1  X  i=

i

i

i=

Ex.: Considerando-se Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 1

=

n

∑1  X 

1

2,47 + 2,49 + 2,56 + 2,56 + 2,59 + 2,61 + 2,62 + 2,62 + 2,62 + 2,70

= 0,0387

i

i= n

1

∑1  X  i=

i

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + = 3,87 2,47 2,49 2,56 2,56 2,59 2,61 2,62 2,62 2,62 2,70

Logo, 0,0387 ≠ 3,87

1.5 Somatório duplo - Soma de variáveis arranjadas com dupla entrada É um procedimento comum em que os dados de um experimento ou uma amostra são representados em uma tabela de dupla entrada. Desta forma tem se a variável X com dois índices (Xij). O índice i representa as linhas e o índice j representa as colunas. Dois tipos de notação de somatório podem ser utilizadas, a notação por índice e por ponto.

Exemplo. Tabela 1 - Produtividade em t/ha de uma forrageira sob o efeito de 4 doses de fósforo em combinação com 3 doses de nitrogênio. Teor de nitrogênio ( j j) TOTAL 1 2 3 1 4,6 5,0 5,5 15,1 2 5,0 5,5 6,1 16,6 3 5,2 5,8 6,4 17,4 4 6,0 6,2 6,8 19,0 TOTAL 20,8 22,5 24,8 68,1 Na Tabela 1 observa-se que dois fatores determinam a produtividade, portanto dois índices são Teor de fósforo ( i)

utilizados para representá-los. Assim dois símbolos de somatórios podem ser utilizados. A partir de dados organizados em tabela de dupla entrada obtêm-se os seguintes somatórios: a) Somar cada uma das combinações ij, ou seja, toda a produtividade da Tabela 1 NOTAÇÃO POR ÍNDICE: 4

3

∑ ∑ X ij = X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 + X31 + X32 + X33 + X41 + X42 + X43 i =1  j =1 4

3

∑ ∑ X ij = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 + 6,1 + 5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,0 + 6,2 + 6,8 = 68,1 i =1  j =1

NOTAÇÃO POR PONTO:  X .. = X11 + X12 + X13 + X14 + X21 + ...+ X43 = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 +......+ 6,8 = 68,1

b) Somar cada uma das linhas i, ou seja, o total de cada dose de fósforo. NOTAÇÃO POR ÍNDICE: 4

∑1  X 

ij

= X1j + X 2j + X3j + X 4j

∀ j = 1, 2, 3

i=

4

∑1  X 

ij

= (X11 + X12 + X13) + (X21 + X22 + X23) + (X31 + X32 + X33) + (X41 + X42 + X43) = 16,1

i=

+ 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1

NOTAÇÃO POR PONTO: 4

∑1  X 

ij

= X1. + X 2. + X3. + X 4.

∀ j = 1, 2, 3

i=

4

∑1  X 

ij

= 16,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1

i=

Ou ainda, para fósforo dose 2 (i = 2), a produtividade total é: 3

∑1 X 2

 j

=

X21 + X22 + X23 = 5,0 + 5,5 + 6,1 = 16,6

 j =

c) Somar cada uma das colunas j, ou seja, o total de cada dose de nitrogênio. NOTAÇÃO POR ÍNDICE: 3

∑1 X 

ij

= Xi1 + Xi2 + Xi3

∀ i = 1, 2, 3, 4

 j =

3

∑1 X 

ij

= (X11 + X21 + X31 + X41) + (X21 + X22 + X32 + X34) + (X13 + X23 + X33 + X43)

 j =

3

∑1 X 

ij

= 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1

 j =

NOTAÇÃO POR PONTO: 3

∑1 X 

ij

= X.1 + X.2 + X.3

∀ i = 1, 2, 3, 4

 j =

3

∑1 X 

ij

= X.1 + X.2 + X.3 = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1

 j =

Ou ainda, para nitrogênio dose 3 (j =3), a produtividade total é: 4

∑1  X  3 = X13 + X23 + X33 + X43 = 5,5 + 6,1 + 6,4 + 6,8 = 24,8 i

i=

Portanto, neste exemplo de Somatório duplo as seguintes notações por índice e por ponto se equivalem: 4

3

∑ ∑ X ij = X.. i =1  j =1

4

∑1

 X ij

=

i=

4

∑1  X  . i

i=

3

∑1

 X ij

 j =

=

3

∑1 X .

 j

 j =

E o mesmo vale para Somatórios duplos com outros números de linha i e coluna j. OBS.: Por somatório duplo entende-se também: n

m

i=

 j =

n

m

∑1 ∑1 X  Y  = ∑1  X  .∑1 Y  i

 j

i

i=

 j

 j =

Ex.: Dados: Xi

Y j

X1 = 2

Y1 = 1

X2 = 4

Y2 = 3

X3 = 6

Y3 = 5

X4 = 8

Y4 = 7

X5 = 10

-

n

n

∑1

∑1 Y  = 16

 X i = 30

i

i=

5

4

5

∑1 ∑1

 X i Y  j =

i=

j=

5

4

i=

j=

5

4

i=

j=

i=

4

∑1 ∑1 Y  = 30.16 = 480  X i .

i=

 j

j=

∑1 ∑1 X  Y  = (2.1) + (2.3) + (2.5) + (2.7) + (4.1) + (4.3) + (4.5) + (4.7) + ... + (10.1) + (10.3) + (10.5) + (10.7) i

 j

∑1 ∑1 X  Y  = 480 i

 j

2. PRODUTÓRIO 2.1 Notação de produtório Para designar o produtório utiliza-se a letra grega pi maiúsculo ( Π ), que deve ser lido PRODUTÓRIO ou PRODUTO DE. n

O símbolo ∏ X i é usado para representar a multiplicação de todos os valores Xi desde i = 1 até i =1

i =  n, ou seja, por definição: n

∏ X 

i

i =1

=  X 1 . X 2 ... X n

Lê-se da seguinte maneira: “produtório de Xi, com i variando de 1 a n”.

2. 2 Número de termos (NT) do produtório NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição)

2.3 Propriedades n

1ª) ∏ i = 1.2.3.....n = n! i =1 n

Ex.: ∏ i = 1.2.3.4 = 4!= 24 i =1

n

2ª) ∏ K  = K  NT  i =1

4

Ex.: ∏ 2 = 2.2.2.2 = 2 4 = 16 i =1

n

3ª) ∏ ( X i

± K ) = ( X 1 ± K ).( X 2 ± K )...( X n ± K )

i =1

3

Ex.: ∏ ( X i + 2) = ( X 1 + 2).( X 2 + 2).( X 3 + 2) i =1

Considerando a variável X, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

Tem-se que: 3

∏ ( X  + 2) = (2 + 2).(4 + 2).(6 + 2) = 4.6.8 = 192 i

i =1

n

n

i =1

i =1

4ª) ∏ X i .K  = K n ∏ X i Considerando a variável X, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

3

Ex.: ∏ X i .2 = 2 X 1. 2 X 2 .2. X 3 i =1

=

2 3.(2.4.6) = 384

n

n

i =1

i =1

5ª) ∏ X i a .K  = K n ∏ X i a Ex.: Considerando a variável X, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

E a = 3 e K = 5, tem-se que: n

3

3 ∏ X  .K  = ∏ X  .5 a

i

i

i =1

i =1

3

3

∏ X  .5 i

3 =  X 1

3  X 2

5.

3  X 3

5.

3

.5 = 2 .5.4 .5.6 .5 = 5 .∏ X i 3 3

3

3

3

=5

3

.(2 3.4 3.6 3 ) = 125.110592 = 13824000

i =1

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

6ª) ∏ X i Y i = ∏ X i ∏ Y i Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

Y1 = 3

Y2 = 5

Y3 = 9

3

∏ X  Y  =  X 1Y 1 . X 2Y 2 . X 3Y 3 = ( X 1 X 2 X 3 ).(Y 1Y 2Y 3 ) = (2.3.4.5.6.9) = (2.4.6).(3.5.9) = 6480 i

i

i =1

n

n

i =1

i =1

7ª) log (∏ X i ) = log( X 1 . X 2 .... X n ) = log( X 1 ) + log( X 2 ) + ... + log( X n ) = ∑ log X i Ex.: Considerando a variável X, em que: X1 =2

X2 = 4

X3 = 6

3

3

i =1

i =1

log (∏ X i ) = log( X 1 . X 2 . X 3 ) = log( X 1 ) + log( X 2 ) + log( X 3 ) = ∑ log X i 3

log (∏ X i ) = log(2) + log(4) + log(6) = 0,30 + 0,60+,78 = 1,68 i =1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Campus Universitário “Prof a. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI Lista de exercícios: Somatório e produtório. 1 – Considerando os seguintes valores: X1 = 2 X2 = 6 X3 = 7 Y1 = 1 Y2 = 4 Y3 = 5

X4 = 9 Y4 = 11

Calcular: a)

3

∑1 i=

4

∑ ( X i + 2)

4

3

∑2

b)

 j = 2

∑ 3( X i − Y  j )

∑ (Y t  − 2) 2

 j = 2

i=

4

∑1 ( X  − 4Y )

d)

i

t =1

2 – Efetuar 3 1 a) ∑ (i 2 + )

b)

j

i = −1

3

c)

i=

6

2

=

 j =

∑ ∑0 (i +  j ). 1 3

(i − 3) i

3 – Calcule X1 e X3, dado que: 6

6

∑1

∑1

 X i = 42

i=

6

6

∑1

2

 X i = 364

i=

∑1  X  2 = 324

 X i = 34

i

i= i ≠1, 3

i= i ≠1, 3

4 – Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores: X = {5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} {5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} Calcule: 10

10

a)

10

∑1  X 

b)

i

i=

10

10

∑1  X  2

c) (∑ X i ) 2

i

∑1  X  2 −

i =1

i

d)

10

i=

10 − 1

i =1

i=

(∑ X i ) 2

10

e)

10

∑1 ( X  − 4) i

f)

i=

5 – Sabendo-se que

10

∑1 ( X  − 4)

g)

i

h)

10 − 1

∑1  X  = −6 e ∑1  X  2 = 12 , Calcule: i

5

i

∑1 (4 X  + 5) i

i=

b)

i=

5

∑1  X  ( X  − 2) i

i

c)

i=

5

∑1 ( X  − 3)

2

i

i=

6 – Desenvolver e calcular: a) d)

3

6

i=

j=

7

8

i=

j=

∑1 ∑2 (i + b. j ) ∑1 ∑0 cb

b) e)

2

5

 j =

i=

4

5

i=

j=

∑1 ∑2 (i −  j ) ∑1 ∑1 i 2

c)

2

2

i=

j=

∑1  X 

i

i =1

5

i=

a)

2

i=

5

10

∑ ( X i − 4) 2

∑1 ∑1 (i − 3 j )

2

i=

10

n = 10

i

7 – Utilizando os dados da tabela t abela abaixo, calcule:  j

i

1 8 4

1 2 a)

2

∑1  X 1

b)

i

i=

e)

2 7 0

4

∑1 X 1

c)

 j

 j =

3

∑2

f)

 X 2 j

 j =

4

2

4

i=

j=

∑1 ∑1 X 

∑1  X 

4 9 2 4

2

∑1 ∑1  X 

ij

 j = i =  j ≠ 3

4

g) ∏ 6 X 1 j

h) ∏ X 2 j

 j =1  j ≠3

2j

d)

ij

4

1

 j =  j ≠ 2

3 5 10

 j =1  j ≠ 2

8 – Escreva usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso:  X  − Y   X  − Y   X  − Y    a)    1 1+ 2 2+ 4 4 2 2     2

2

b) a! c) ( X 1 + Y 1 )( X 1 + Y 2 )( X 1 + Y 3 ) d) ( X 1Y 1 ) + ( X 1Y 2 ) + ( X 1Y 3 ) + ( X 2Y 1 ) + ( X 2Y 2 ) + ( X 2Y 3 ) e) ( X 1Y 1 )( X 2Y 2 )...( X n .Y n ) 9 – Considere os seguintes valores: X1 = 2 Y1 = 1

X2 = 4 Y2 = 3

X3 = 6 Y3 = 5

X4 = 8 Y4 = 7

X5 = 10 Y5 = 9

X6 = 12 Y6 = 11

Calcule os seguintes somatórios e produtórios: a)

8

5

i=

j=

∑1 ∑2 4

8

  X    b) ∑  i − Y i    i =1   2

( X i − 3)

2

4

c) ∏ X i i =1

 X  Y i

d) ∏ i 3 i =2

10 – Desenvolver: De senvolver: 3   1  a) ∑  i 2 +  i =1

 

b)

j 

5

4

∑1 ∑2

(i 2 −  j 2 ) j i+ j

 j = i =  j ≠ 4

5  c) ∑ (i + 8)  i=1 

2

5

d) ∏ (i + 8) i =1

11 – Se

3

∑1

 X i = 12

i=

a)

3

∑9

∑1  X  2 = 56 e Y 1 = 3 i

Y 2 = 5 Y 3 = 6 , calcule:

i=

b)

i =1

3

3

∑12 X i

c)

i =1

3

∑ ( X 12 − 2) i =1

d)

3

∑1 ( X  Y ) i i

i=

12 – Se X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6 e Y1 = 3, Y2 = 5, Y3 = 6, calcule: a)

3

∑1 ( X  Y ) i i

i=

b)

3

∑1 ( X  − 2)(Y  − 5) i

i=

i

X7 = 14 Y7 = 13

X8 = 16 Y8 =15

13 – Calcule X 9 e X 21 21, sabendo-se que: 50

50

∑1

∑1

 X i = 200

i=

50

50

∑ 1

2

 X i = 1206

i=

2  X  = 1154 ∑ 1

 X i = 190

i

i= i ≠9 e 21

i= i ≠9 e 21

14 – Dados: i 1 2 3 4

f i 3 5 9 10

Xi 10 11 15 19 4

Calcule: a)

4

∑1  X 

b)

i

i=

4

∑1  f 

c)

i

i=

4

i

∑1  f  X  i

∑1  f  X 

d)

i

i

i=

i=

4

∑1  f  i

i=

15 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, dividiu-as em 7 grupos (G), sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia, da qual obtiveram-se os seguintes resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal: TA

1 30 29 43 23 125

1 2 3 4 Totais

2 32 31 47 25 135

GRUPOS 4 34 31 47 19 131

3 33 34 46 21 134

5 29 33 48 20 130

6 30 33 44 21 128

7 33 29 47 22 131

Calcular: a)

4

∑1

 X i.

b)

7

∑1  j =

i=

i)

4

g)

∑1 ∑1

j)

 X ij

i=

j=

7

k) (∑ ∑ X ij ) 2

l)

i =1 j =1

 X 12 j  j =1

4

7

p) (∑ X i 7 ) i =1

2

∑1 X .2

 j

7

∑1 ∑1 X . 2  X i.

i=

j=

 j

 j =

∑1 ∑1 X  2 ij

4

∑1

m)

 X i1

7

∑1

n)

 X 1 j

 j =

i=

4

4

i=

7

7

 j =

 j =1

h) X..

∑

d)

f) (∑ X . j ) 2

i =1

o)

∑1

2

 X i.

7

4

7

4

i=

e) (∑ X i. ) 2

4

c)

 X . j

q)

4

∑1 i=

2  X i 7

4

∑1  X 21 i

i=

7

r) (∑ X 4 j ) 2  j =1

s)

7

∑1 X 42

 j

 j =

Totais 221 220 322 151 914

RESPOSTAS 1– a) 63 b) 51 2– a) 5(3+ 1/j)

c) 14

d) -60

b) 429/20

3– X1 = 2 ou 6; X2 = 6 ou 2 4– a) 40 h) 4 5– a) 1

b) 240

c) 1600

b) 24

c) 93

6– a) 30 + 60b 7– a) 12 h) 80 9– a) 192

b) 16

d) 80/9

c) 159

e) 0

d) 63cb

b) 29

c) 45

d) 30

b) 140

c) 19,59

d) 746,66

10 – a) 5(3 + 1/j)

b) -18

11 – a) 27

b) 144

12 – a) 62

b) 4

c) 3025

e) 10

f) 80

g) 80/9

f) 17/20

g) 108864

e) 150

d) 154440

c) 50

d) 3X1 + 5X2 + 6X3

c) 410

d) 410/27

13 – X9 = 4 e X21 = 6 14 – a) 55

b) 27

15 – a) 914 f) 835396 l) 125 r) 22801

b) 914 c) 223726 d) 119412 g) 109142568 h) 914 i) 914 m) 221 n) 4119 o) 6999 s) 3281

e) 835396 j) 32050 k) 835396 p) 17161 q) 4623