Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS E MISTAS

APONTAMENTOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS

DINAR CAMOTIM CILMAR BASAGLIA NUNO SILVESTRE

LISBOA, SETEMBRO DE 2010

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Estruturas Metálicas (de Aço)

ESTRUTURAS METÁLICAS (DE AÇO) 1. INTRODUÇÃO • Em Portugal, as estruturas metálicas são quase exclusivamente utilizadas na construção de edifícios com fins de natureza industrial e/ou comercial (instalações fabris, armazéns, centros comerciais, pavilhões gimnodesportivos, etc.). Utilizam-se ainda frequentemente em pontes de pequeno porte e em passadiços para peões.

Figura 1.1 – Estruturas de edifícios industrial e comercial • Recentemente, tem-se observado a utilização de estruturas metálicas em várias obras “de prestígio” (e.g., na Expo 98), com grande impacto estético/visual, e ainda na reparação de estruturas deterioradas (constituídas por diversos materiais: betão, madeira, etc.).

Figura 1.2 – Edifícios (i) “Turning Torso” (Suécia) e (ii) “Burj Al Arab” (Dubai) • É (ainda) rara a utilização de estruturas metálicas em edifícios destinados a habitação ou a escritórios, apesar de esta tendência esteja a mudar lentamente. Existem várias razões para este facto, nomeadamente razões de natureza económica/comercial (não científica). 1

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 1.3 – Estruturas de edifícios destinados a habitação • Tem-se ainda assistido recentemente a um incremento significativo da construção mista – elementos estruturais em que o aço e o betão (armado) trabalham conjuntamente.

Figura 1.4 – Estruturas mistas aço-betão • O objectivo da primeira parte da disciplina de Estruturas Metálicas e Mistas (EMM) consiste em fornecer os conhecimentos necessários para o dimensionamento e verificação de segurança de estruturas constituídas por um conjunto de pórticos planos, nomeadamente edifícios industriais correntes.

Figura 1.5 – Pórticos planos com divesas configurações

2

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 1.6 – Estrutura tridimensional constituída por um conjunto de pórticos planos • Procurar-se-á proporcionar uma familiarização com a filosofia, os fundamentos e a aplicação das disposições do novo Eurocódigo 3, o qual está já em vigor no nosso país com o estatuto de Norma Europeia (EN). Após um “período experimental”, que se estenderá até 2012-2013, a utilização deste regulamento passará a ser obrigatória em todos os países da Comunidade Europeia. • Algumas disposições do Eurocódigo 3 (versões ENV ou EN) foram já introduzidas na disciplina de Estruturas Metálicas e/ou de Dimensionamento de Estruturas. • O Eurocódigo 3 (EC3) – Dimensionamento de Estruturas de Aço – é um de um conjunto de dez regulamentos estruturais europeus. É constituído pelos seguintes 17 documentos, os quais se encontram agrupados em 6 “Partes”: (i)

Parte 1.1: Regras Gerais e Regras para Edifícios

(ii)

Parte 1.2: Segurança ao Fogo

(iii) Parte 1.3: Elementos e Chapas Enformados a Frio (iv) Parte 1.4: Aços Inoxidáveis (v)

Parte 1.5: Estruturas Laminares Planas (carregadas no seu próprio plano)

(vi) Parte 1.6: Cascas (vii) Parte 1.7: Estruturas Laminares Planas Carregadas Transversalmente (viii) Parte 1.8: Ligações (ix) Parte 1.9: Fadiga (x)

Parte 1.10: Tenacidade

3

Estruturas Metálicas (de Aço)

(xi) Parte 1.11: Estruturas com Elementos Traccionados (xii) Parte 1.12: Aços de Alta Resistência. (xiii) Parte 2: Pontes (xiv) Parte 3: Torres, Mastros e Chaminés (xv) Parte 4: Reservatórios, Silos e Condutas (xvi) Parte 5: Estacas (xvii) Parte 6: Estruturas de Aparelhos de Elevação • Nesta disciplina apenas se vão abordar disposições contidas nas Partes 1.1 (regras gerais e regras para edifícios), 1.5 (estruturas laminares planas) e, eventualmente, 1.8 (ligações). Note-se que algumas das Partes referidas atrás não se encontram ainda traduzida em português – encontram-se em vários “estágios de evolução” (muito provavelmente, algumas delas não chegarão msmo a ser traduzidas). • Apresentar-se-ão ainda vários anexos da Parte 1.1 da versão anterior do EC3 (ENV – estatuto de Pré-Norma Europeia), os quais deixaram de figurar na nova versão (EN). • Para além destes apontamentos, fundamentais para o acompanhamento da primeira parte desta disciplina (Estruturas Metálicas), referem-se ainda os livros (i) “Estabilidade Estrutural”, de António Reis e Dinar Camotim, (ii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas”, de Rui Simões, e (iii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas: Métodos Avançados”, de Luís Simões da Silva e Helena Gervásio. Enquanto o primeiro contém princípios fundamentais de estabilidade estrutural e métodos de análise não-linear de estruturas (esbeltas), o segundo e terceiro abordam e ilustram a aplicação das disposições das Partes 1.1 e 1.5 do EC3. • A restante bibliografia fornecida na disciplina tem um carácter mais abrangente e destinase a proporcionar conhecimentos fundamentais e/ou especializados sobre tópicos relacionados com a análise e o dimensionamento de estruturas metálicas (de aço).

4

Estruturas Metálicas (de Aço)

2. SISTEMATIZAÇÃO DAS DISPOSIÇÕES DO EC3 RELATIVAS A PÓRTICOS PLANOS • A utilização do EC3 para dimensionar e verificar a segurança de pórticos planos envolve o cumprimento sequencial de um certo número de etapas que não se encontram explicita e/ou adequadamente identificados no texto do EC3. • Identificam-se e descrevem-se sucintamente as várias etapas, definidas de modo a minimizar o (inevitável) grau de interdependência entre elas. Em seguida, trata-se cada uma delas separadamente, introduzindo os conceitos fundamentais e ilustrando a aplicação das respectivas disposições regulamentares. • Pode dizer-se que, para cada combinação de acções relevante, o Dimensionamento e a Verificação da Segurança (DVS) de um pórtico plano envolve as seguintes etapas: (I)

Classificação do Pórtico - Necessidade de considerar efeitos de 2ª ordem (equilíbrio na configuração deformada – não linearidade geométrica) - Secção das barras (fenómenos de encurvadura local – esbelteza das paredes) Classe 1: Análise plástica (com formação de rótula plástica) Classe 2: Análise plástica (sem formação de rótula plástica) Classe 3: Análise elástica (secção bruta) Classe 4: Análise elástica (secção efectiva − “enfraquecida”) Rigidez (análise elástica) - Ligações Resistência (análise plástica)

(II) Consideração das Imperfeições - Imperfeições Globais (do pórtico) - Imperfeições Locais (das barras) - Forças Equivalentes às Imperfeições

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Estruturas Metálicas (de Aço)

(III) Escolha do Método de Análise Global - Análise Elástica Rígido-Plastica - Análise Plástica

Elástica-Perfeitamente Plástica (conceito de rótula plástica − RP) Elasto-Plástica (espalhamento)

(IV) Cálculo dos Esforços de Dimensionamento - Análise de 1ª ordem (geometricamente linear) - Análise de 2ª ordem (geometricamente não-linear − várias possibilidades) (V) Verificação da Estabilidade do Pórtico - Escolha e cálculo dos comprimentos de encurvadura das barras comprimidas (VI) Verificação da Segurança das Barras - Tensões Directas (secções) - Fenómenos de Instabilidade (barras e/ou troços livres de barra – contraventamento) - Outros Fenómenos (VII) Verificação da Segurança das Ligações corte Parafusos tracção corte + tracção - Ligações aparafusadas Conjuntos de parafusos - Ligações soldadas – tipos de cordões de soldadura - Ligações mistas – parafusos + soldadura (VIII)

Verificação da Deformabilidade do Pórtico Deslocamentos

- Estados Limites de Utilização (Serviço) Vibrações 6

Estruturas Metálicas (de Aço)

• Para combinações de acções que incluam uma acção sísmica, há ainda que satisfazer as disposições relevantes do Eurocódigo 8 (EC8). Estas disposições serão abordadas na disciplina de “Dinâmica e Engenharia Sísmica”. • De uma maneira um pouco simplista, pode dizer-se que o processo de DVS de um pórtico plano pode subdividir-se nos seguintes grandes blocos: Dados: Geometria + Acções (I) – (V) Esforços de Dimensionamento Comprimentos de Encurvadura (VI)

(VII)

VS das

VS das

Barra

Ligações

Estados Limites Últimos (ELU)

Deformabilidade Estados Limites de Serviço (ELS) (ou de Utilização)

• Inicialmente, aborda-se a Verificação da Segurança (VS) das barras, admitindo conhecidos os valores dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura. • Abordam-se em seguida os aspectos relacionados com a determinação dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura. • Finalmente, no caso de haver ainda tempo disponível, apresentam-se alguns conceitos relativos à VS das ligações.

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Estruturas Metálicas (de Aço)

3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS BARRAS 3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS • A geometria da secção transversal dos perfis é, muitas vezes, condicionada pelos requisitos específicos de uma determinada aplicação, o que faz com que existam secções com uma enorme variedade de formas e dimensões (sobretudo no caso dos perfis enformados a frio). A figura 3.1 mostra as geometrias das secções de alguns dos perfis de aço utilizados com mais frequência em estruturas de edifícios: secções em U, C, Z, “hat”, “rack” e I.

Figura 3.1 – Geometria das secções dos erfis em U, C, Z, “hat”, “rack” e I • A classificação de uma secção está relacionada com a sua resistência e capacidade de rotação quando submetida a tensões normais. Essa classificação depende das dimensões e da tensão de cedência dos seus elementos (paredes) comprimidos, os quais podem ser (i) interiores (ambas as extremidades apoiadas) ou (ii) salientes (uma extremidade apoiada e a outra livre). Elemento interior

Elementos salientes Elemento interior

Figura 3.2 – Defnição dos elementos (paredes) interiores e salientes de uma secção • Esta classificação destina-se a permitir avaliar a resistência última e a capacidade de rotação da secção, tomando em consideração a possibilidade da ocorrência de fenómenos de encurvadura local (das paredes da secção – a abordar mais adiante).

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Estruturas Metálicas (de Aço)

• O EC3 considera 4 Classes de Secção, as quais se caracterizam em seguida (aprsenta-se a exemplificação para o caso de uma secção a flexão pura)

σ (σcr)EL Encurvadura Local

4

3

1

2

ε (i) Classe 1 – secções em que se pode atingir a resistência plástica e, para além disso, existe capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica. fy

M

M

Mpl

Mpl

EL

EL

fy

ϕpl

Mpl

ϕpl

ϕ

ϕ

(ii) Classe 2 – secções em que se pode atingir resistência plástica, mas sem ser possível garantir capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica (é necessário efectuar a verificação, a qual depende da ordem de formação das rótulas plásticas na estrutura m análise). fy

M

M

Mpl

Mpl

EL

EL

fy

Mpl

ϕpl

ϕ

ϕpl

ϕ

9

Estruturas Metálicas (de Aço)

(iii) Classe 3 – secções onde se pode atingir apenas a resistência elástica (tensão de cedência na fibra mais solicitada), em virtude de os fenómenos de encurvadura local impedirem que se chegue à resistência plástica. fy

M

M Mpl EL

Mel

fy

Mel

ϕel

ϕ

Mel

EL

ϕ

(iv) Classe 4 – secções onde a ocorrência (prematura) de fenómenos de encurvadura local faz com que não se atinja sequer a tensão de cedência na fibra mais solicitada. σmax < fy

fy

M

M

Mpl Mel Mmax

Mpl Mel EL

EL

ϕ

ϕ

Mmax < Mel

O processo de dimensionamento das secções de classe 4 envolve a substituição da secção bruta por uma secção efectiva, a qual é posteriormente tratada como uma secção de classe 3.

σ

fy Zona não efectiva da secção

σ

fy

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Estruturas Metálicas (de Aço)

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Estruturas Metálicas (de Aço)

ANEXO: FENÓMENOS DE ENCURVADURA LOCAL • Os “fenómenos de encurvadura local”, de grande importância no dimensionamento de estruturas metálicas constituídas por perfis com paredes muito esbeltas (por exemplo, as vigas de alma cheia ou os perfis enformados a frio), consistem na encurvadura das paredes dos perfis, enquanto os respectivos eixos permanecem indeformados (rectos). Deste modo, é indispensável utilizar conceitos de estabilidade de placas para efectuar a verificação da segurança das barras em relação a estados limites últimos que envolvam este tipo de fenómenos de encurvadura. • A figura A.1 ilustra fenómenos de encurvadura local em barras de aço com secção em I.

Figura A.1 – Fenómenos de encurvadura local em barras com secção em I. A.1 PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS E SIMPLESMENTE APOIADAS • A tensão crítica de bifurcação elástica de uma placa quadrada “ideal” (geometricamente “perfeita”) simplesmente apoiada e uniformemente comprimida é dada por

σ cr = 4

π 2E

t 2   12(1 − v )  b 

2

, (A.1)

onde (i) E é o módulo de elasticidade, (ii) v é o coeficiente de Poisson e (iii) b e t são a largura/comprimento e a espessura da placa. A bifurcação ocorre num modo de instabilidade (ou encurvadura) caracterizado por uma semi-onda tanto na direcção longitudinal (a da compressão) como na direcção transversal.

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Estruturas Metálicas (de Aço)

σ/σcr b σ

σ

b

1 b b

δ

Figura A.2 – Bifurcação de equilíbrio e modo de encurvadura de uma placa quadrada

“ideal” simplesmente apoiada e uniformemente comprimida • Em “placas longas” (a >>b − em termos práticos, basta que se tenha a > 4 b), como é o caso das paredes das barras metálicas com secção de parede fina, os valores de σcr são (praticamente) independentes do comprimento da placa (a) e do grau de restrição à rotação dos bordos transversais (de comprimento b). Esta característica deve-se ao facto de o modo de encurvadura da placa envolver uma combinação de (i) várias semi-ondas longitudinais, de comprimento igual à sua largura, com (ii) uma única semi-onda transversal. Deste modo, pode dizer-se que uma placa longa se comporta como um “conjunto” de placas quadradas ligadas entre si, conforme mostra a figura A.3, o que quer dizer que os resultados relativos a placas quadradas são também válidos para placas longas. a >>b

b σ

σ

b

σ

b b

Placa quadrada

σ

b

b

b

b

b

b

Placa longa

Figura A.3 – Modo de encurvadura de uma placa quadrada e uma placa longa

• A título de exemplo, a figura A.4 mostra dois elementos estruturais constituídos por placas longas e submetidos a compressão: (i) uma coluna tubular e (ii) um painel reforçado. Em ambos os casos, podem obter-se estimativas (em geral, conservativas) da tensão crítica das placas/paredes através de (A.1), pois são placas longas cujos bordos longitudinais se admitem (conservativamente) como simplesmente apoiados (i.e., sem restrição à rotação). 13

Estruturas Metálicas (de Aço)

(a)

(b)

Figura A.4 – Elementos estruturais constituídos por placas longas: (a) coluna tubular e (b) painel reforçado.

• As placas comprimidas têm, em regime elástico, um comportamento de pós-encurvadura (trajectória de equilíbrio) estável caracterizado por uma elevada “resistência pós-crítica” (ou “resistência de pós-encurvadura”). Isto significa que, mesmo após ocorrer a encurvadura (bifurcação), a placa pode ainda suportar um aumento de carga considerável sem apresentar deslocamentos significativos. O comportamento de pós-encurvadura de uma placa (quadrada ou longa) comprimida “ideal” (sem imperfeições geométricas) é definido por 3 σ q = 1 + (1 − v 2 )  σ cr 8 t

2

, (A.2)

onde σ é a tensão aplicada e q o deslocamento transversal máximo por ela provocado. A trajectória de pós-encurvadura da placa está representada na figura A.5, onde se mostra também as distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação. Observa-se que as tensões permanecem uniformes até à bifurcação, passando a exibir um andamento não linear após essa occorrência − dá-se uma redistribuição das tensões normais longitudinais, caracterizada por uma “transferência” da zona central (mais flexível ou “fraca”) para a vizinhança dos bordos longitudinais (zona mais rígida ou “forte”). Por outro lado, a figura A.6 mostra as distribuições das tensões normais longitudinais (σx) e transversais (σy) instaladas na placa na fase de pós-encurvadura. Para além da redistribuição de σx, já referida, desenvolvem-se também tensões transversais de tracção na zona central da placa, as quais têm um papel crucial na resistência de pós-encurvadura (a tracção transversal aumenta a rigidez de flexão da zona central da placa − analogia com um cabo). 14

Estruturas Metálicas (de Aço) σ/σcr

σcr

δ

Figura A.5 – Distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação

Figura A.6 – Distribuição de tensões, na fase de pós-encurvadura, de uma placa quadrada

• A figura A.7 compara qualitativamente as trajectórias de equilíbrio de colunas e placas “ideais” comprimidas. Observa-se que a resistência de pós-encurvadura das placas é muito superior à das colunas (quase desprezável), o que justifica a diferença entre os métodos de dimensionamento destes dois elementos estruturais. Enquanto é aceitável σ/σcr Placa

Coluna

Trajectórias de Pós-encurvadura

Bifurcação

1

Trajectória Fundamental

q/t

Figura A.7 – Trajectórias de equilíbrio de placas e colunas uniformemente comprimidas

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Estruturas Metálicas (de Aço)

admitir que σcr é a máxima tensão (carga) que as colunas podem suportar, essa hipótese é claramente demasiado (excessivamente) conservativa no caso das placas. • Põe-se então a seguinte questão, de grande importância para o dimensionamento de estruturas metálicas constituídas por perfis de parede fina: qual o valor da tensão (carga), já em fase de pós-encurvadura, que corresponde ao estado limite último da placa (colapso iminente)? Na grande maioria dos regulamentos de estruturas metálicas, a resposta a esta questão envolve o conceito de “largura efectiva”. A.1.1 CONCEITO DE LARGURA EFECTIVA • A resposta mais lógica à questão colocada no ponto anterior consiste em admitir que o estado limite último da placa corresponde a atingir-se a tensão de cedência (fy) na fibra mais solicitada. Esta situação está representada na figura A.8. Note-se que, ao admitir esta hipótese se está a desprezar a “reserva de resistência elasto-plástica” da placa (o colapso dá-se quando se atinge um ponto limite da trajectória). Esta resistência adicional, de difícil determinação (é necessário um método numérico que contabilize o espalhamento da plasticidade), é pequena e pode ser encarada como um “factor de segurança” − a figura A.8 ilustra este facto.

σ Colapso Reserva de resistência elasto-plástica

σmax = f y

σmax = f y

δ

Figura A.8 – Estado último (cedência da fibra mais solicitada) e colapso da placa quadrada

• Subsiste a (muito importante) questão de saber para que carga (isto é , em que ponto da trajectória de pós-encurvadura) se tem σmax=fy. Para resolver este problema, von Karman sugeriu uma metodologia aproximada baseada nas seguintes duas ideias fundamentais (uma delas é uma hipótese simplificativa que foi posteriormente validada experimentalmente):

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Estruturas Metálicas (de Aço)

IDEIA 1: Substituir a secção bruta com uma distribuição de tensões variável por uma

“secção efectiva” submetida a uma distribuição de tensões uniforme (ambas estaticamente equivalentes ao esforço de compressão actuante) − a secção efectiva obtém-se removendo material da zona central da placa (a zona mais “fraca”). No estado limite último da placa, o valore do esforço normal (Nu) é então dado por

fy

fy

fy

fy be /2

b be /2 b

N u = ∫ σ ( y ) t dy = b t σ u (secção bruta)

N u = be t f y (secção efectiva)

0

onde σ u é a tensão média da placa no estado limite último (ou “colapso”). Igualando as duas expressões, obtém-se

σu =

be fy b

expressão que relaciona a tensão média no colapso com a largura efectiva. DIFICULDADE: Para determinar o valor de be é necessário conhecer a distribuição de

tensões instalada na placa ( σ ( y ) ), no estado último da placa (σmax=fy). Por outras palavras, apenas se “substituiu o conceito de “pós-encurvadura” pelo conceito de “largura efectiva”, mas sem dimnuir a complexidade do problema a resolver. Para simplificar o problema, é indispensável a segunda “ideia” que se apresenta a seguir. Antes disso, apresenta-se na figura A.9, a título ilustrativo, a variação “exacta” da largura efectiva com a tensão aplicada (σm é a tensão média actuante na placa). be / b 1 0.5

1

σm / σcr

Figura A.9 – Variação da largura efectiva com a tensão actuante (placa simplesmente apoiada)

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Estruturas Metálicas (de Aço)

IDEIA 2 (Hipótese Simplificativa): Na placa com a secção efectiva a encurvadura ocorre

precisamente quando se atinge a tensão de cedência, isto é, tem-se σcre=fy. Logo, vem

σ cr = 4

σ cre

π 2E

t 2   12(1 − v )  b 

2

 t    =4 2  12(1 − v )  be 

π 2E

(placa real) 2

(placa efectiva − fictícia)

Utilizando agora a hipótese simplificativa , tem-se

σ cre

2

2

 t  b   = σ cr   = f y =4 2  12(1 − v )  be   be 

π 2E

be σ cr (mas sempre < 1) = b fy

⇒

Finalmente, utilizando a relação da página anterior, vem

σu =

be f y = σ cr f y b

expressão que permite determinar (aproximadamente) a tensão média no colapso a partir de duas quantidades fáceis de calcular − deste modo, evita-se a necessidade de conhecer o comportamento de pós-encurvadura da placa. A.2 PLACAS SUBMETIDAS A OUTRAS DISTRIBUIÇÕES DE TENSÕES No caso de placas submetidas a outras distribuições de tensões, definidas por um parâmetro ψ=σ1 / σ2, onde σ1 é a máxima tensão de compressão e σ2 é a tensão actuante na outra extremidade da placa, é necessário introduzir, na expressão que fornece σ u , o valor correcto de σcr, o qual é dado pela expressão genérica

σ1

σ2= ψσ1 (ψ > 0) π 2E

t σ cr = kσ 2   12(1 − v )  b 

σ1

σ2= ψσ1 (ψ < 0)

2

, (A.3)

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Estruturas Metálicas (de Aço)

onde kσ é um coeficiente de encurvadura que depende da distribuição das tensões actuantes e pode ser encontrado na literatura (por exemplo, nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5). A título ilustrativo, refira-se que (i) kσ=4.0 para a compressão pura (ψ=1 − problema estudado) e (ii) kσ=23.4 para a flexão pura (ψ= −1 ). A.3 PLACAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA • A expressão (A.3) também se aplica a placas com outras condições de fronteira (apoio) − é válida para placas com combinações arbitrárias de distribuições de tensões actuantes

e condições de apoio. Os valores de kσ podem ser encontrados na literatura, nomeadamente nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (para duas condições de apoio: (i) quatro bordos simplesmente apoiados e (ii) três bordos simplesmente apoiados e um bordo livre). A tabela A.1 ilustra alguns valores de coeficientes de encurvadura. Condições de Fronteira

Carga

Coeficiente de encurvadura (kσ)

Compressão Uniforme

4.0

Compressão Uniforme

0.43

Flexão Pura

23.9

Tabela A.1 – Valores de kσ

A.4 ESBELTEZA NORMALIZADA DE PLACA − LARGURA EFECTIVA • Tal como as restantes esbeltezas normalizadas (de coluna, de viga, etc.), a “esbelteza

normalizada de (uma) placa”, definida como

λp =

fy

σ cr

é uma grandeza que traduz a importância relativa da plasticidade e da instabilidade no colapso da placa. Assim, enquanto (i) valores baixos e elevados de λ p (em relação a 1.0) indicam colapsos governados pela plasticidade e pela instabilidade, respectivamente, (ii) um 19

Estruturas Metálicas (de Aço)

valor de λ p próximo de 1.0 significa que ambos os fenómenos têm uma influência significativa no colapso da placa. • No caso de uma placa constituída por uma aço com E=210 GPa (103 N/mm2), tomando

em consideração (A.3) e fazendo ε = [235 / f y ( MPa )] , o valor de λ p é dado por 0.5

λp =

b/t 28.4 ε kσ

expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa no seu estado limite último (be). • Tem-se então que be = ρ b , onde ρ é um coeficiente (ou factor) de redução. Pode

mostrar-se que este coefciente de redução relaciona também os valores de Nu (esforço normal último) e Npl (esforço normal de plastificação ou resistência plástica). De facto, N u = be t f y =

be b t f y = ρ N pl b

• Com base neste conceito, von Karman propôs a seguinte fórmula para determinar a

resistência útima de uma placa (a qual corresponde à curva da figura abaixo) ρ = 1  1  ρ = λ p 

se

λp ≤ 1

se

λp ≥ 1

σ ρ

σcr fy

δ

σ fy σcr

1

δ

1 / λp

λp 1 Note-se que os dois troços da curva correspondem ao colapso de placas em que se tem

(i) σcr > fy (troço horizontal) e (ii) (i) fy >σcr (troço horizontal) expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa 20

Estruturas Metálicas (de Aço)

no seu estado limite último (be). Para além disso, é importante realçar a semelhança formal entre a fórmula de von Karman e a expressão da curva de dimensionamento de colunas perfeitas, estudada na disciplina de Estruturas Metálicas. A única (e muito importante) diferença reside na troca de “ 1 / λ 2 ” (colunas) por “ 1 / λ p ” (placas), o que

traduz o facto de o dimensionamento de colunas não contabilizar qualquer resistência de pós-encurvadura (a curva de colunas fica “abaixo” da de placas − ver a figura A.11). A.5 PLACAS “REAIS” (COM IMPERFEIÇÕES) • No caso das placas “reais”, as quais possuem imperfeições geométricas (sobretudo) e

tensões residuais, deixa de ocorrer bifurcação de equilíbrio. O conjunto “trajectória fundamental + trajectória de pós-encuvadura” das placas “ideais” é substuído por uma trajectória de equilíbrio não linear, à qual estão associados deslocamentos de flexão desde o início do carregamento, conforme mostra a figura A.10. • Como, para um determinado nível de carregamento, existem maiores deslocamentos na

placa “real” que na placa “ideal”, o correspondente estado limite último é atingido para uma carga mais baixa − ver a figura A.10.

σ Placa “ideal”

σcr

σmax = fy Placa “real” q

Figura A.10 – Trajectórias de equilíbrio e estados limites últimos das placas “ideais” e “reais”

• Para contabilizar a diminuição da carga última, devido à presença das imperfeições

geométricas e das tensões residuais, Winter propôs, com base num elevado número de resultados experimentais, a substituição (modificação) da fórmula de von Karman por ρ = 1 se  λ p − 0.22  ρ = λp 2 

λ p ≤ 0.673 se

λ p ≥ 0.673

21

Estruturas Metálicas (de Aço)

expressão que ainda hoje figura em vários regulamentos, nomedamente no EC3. Deve referir-se, no entanto, que os valores do coeficiente 0.22 e da esbelteza limite 0.673 têm sofrido variações resultantes de estudos mais recentes (a título de curiosidade, é interessante mencionar que Winter propôs originalmente o valor 0.25 para o coeficiente). • Finalmente, a figura A.11 mostra uma comparação entre as curvas de dimensionamento (i) de von Karman, (ii) de Winter e (iii) baseada na carga crítica de bifurcação (semelhante à curva de dimensionamento de colunas). É interessante observar que, para valores de λ p superiores a cerca de 1.3, a curva de Winter (placas “reais”) passa a estar acima da curva baseada na tensão crítica de bifurcação (placas “ideais” ), facto que reflecte a contabilização da resistência de pós-encurvadura (note que a diferença aumenta com λ p ).

Figura A.11 – Comparação entre curvas de dimensionamento de von Karman, de Winter e

baseada na tensão crítica de bifurcação.

22

Estruturas Metálicas (de Aço)

3.2 DETERMINAÇÃO DA CLASSE DE UMA SECÇÃO

• A determinação da classe de uma secção faz-se classificando os seus elementos (paredes) comprimidos, através das Tabelas 5.2 do EC3-1-1 (ver figs. 3.2 a 3.4) e com base nos diagramas das tensões actuantes. • A classificação faz-se com base na esbelteza dos elementos b/t, envolve o parâmetro

ε = 235 / f y e o coeficiente de encurvadura kσ. Depende ainda do tipo de elemento, o qual pode ser interior (tratado como simplesmente apoiado) ou saliente (tratado como apoiado-livre). • Os valores limites de esbelteza dos elementos comprimidos são fixados com base em análises estatísticas de resultados experimentais e/ou numéricos, os quais contabilizam a influência de imperfeições geométricas iniciais, tensões residuais, etc. • A classe de uma secção é maior das classes dos seus elementos comprimidos. • A classe de uma barra é maior das classes das suas secções. • A classe de uma secção depende (i) dos esforços que nela actuam, no estado limite último, e (ii) do aço que a constitui (ver tabelas). • A determinação da classe de uma secção submetida a flexão composta não é imediata – conservativamente, pode sempre considerar-se o caso da compressão pura. • Um grande número de perfis laminados correntes (formados por aços de resistência “normal”) são de classe 1 ou 2 para qualquer solicitação (e.g., ver a tabela da fig. 3.5). • Os perfis soldados e as chapas utilizadas na construção mista têm frequentemente secções de classe 3 ou 4.

23

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 3.2

24

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 3.3

25

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 3.4

26

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 3.5

27

Estruturas Metálicas (de Aço)

EXEMPLO ILUSTRATIVO

b=210mm

Aço S235 (fy=235 MPa = 235N/mm2) ⇒ ε=1 Área A=13440 mm2

d=468mm

t f =17.2mm

IPE 550

t w =11.1mm

Classificar a secção representada, quando submetida a flexão em torno do eixo de maior inércia composta com compressão de valor NEd=1300kN (Caso I) ou NEd=750kN (Caso II) RESOLUÇÃO • Classificação do Banzo Comprimido Compressão uniforme c=

b − t w 210 − 11.1 = = 99.45 (desprezando os raios de concordância) 2 2

c 99.45 = = 5.78 < 9ε = 9 tf 17.2

⇒ Banzo de classe 1

• Classificação da Alma c 468 = = 42.2 > 42ε = 42 ⇒ Alma de classe 4 à compressão pura (classificação conservativa) t w 11.1

∴ Nada se pode concluir (i) Determinação da classe da secção para NEd=1300kN (Caso I) Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2) - Cálculo do esforço normal de plastificação da alma

28

Estruturas Metálicas (de Aço)

N pl ,w = dt w f y = 468 × 11.1 × 235 × 10 −3 = 1221 kN Como Npl,w=1221kN < NEd=1300kN, a alma estaria submetida a compressão uniforme e, portanto, seria de classe 4 – esta conclusão estaria em contradição com a hipótese admitida, pois numa secção de classe 4 não pode existir uma distribuição plástica de tensões. Hipótese 2: Distribuição elástica de tensões no estado limite último da secção (classe 3 ou 4) - Determinação da relação entre tensões ψ Parcela da compressão

Parcela da flexão

fy

N Ed A N ψ f y = −σ f + Ed A fy =σ f +

h1 h

c h2

ψ =

ψ fy

Eliminando σf

2 N Ed 2 × 1300 × 10 3 −1= − 1 = −0.177 A fy 13440 × 235

- Determinação das alturas h1 e h2 h = 468 + 2 × 17.2 = 502.4 mm (desprezando os raios de concordância)

h1 =

502.4 = 426.85 mm 1.177

h2 = h − h1 = 75.55 mm

- Determinação da relação entre tensões na alma ψw

ψw = −

(75.55 − 17.2) = −0.141 > −1 (426.85 − 17.2)

c 42ε 42 = 42.2 < = = 67.36 tw 0.67 + 0.33ψ w 0.67 − 0.33 × 0.141

⇒ Alma de classe 3

∴ Secção de classe 3 (ii) Determinação da classe da secção para NEd=750kN (Caso II) Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2)

29

Estruturas Metálicas (de Aço)

Como Npl,w=1221kN > NEd=750kN, a linha neutra plástica cruza a alma, como mostra a figura 3.18. Assim, o primeiro passo consiste em determinar a zona plastificada da alma devido ao esforço normal, i.e.,

N Ed = cN tw f y

αC =

⇒

cN =

750 × 10 3 = 287.52mm 11.1 × 235

c cN 468 + 287.52 + = = 377.76 mm 2 2 2

Em seguida, determina-se o parâmetro α, o qual corresponde à relação entre a altura da zona da alma comprimida (αc) e a altura total da alma (c).

α=

αC c

=

377.76 = 0.807 > 0.5 468

c 396 ε 396 = 42.2 > = = 41.7 tw 13α − 1 13 × 0.807 − 1 c 456 ε 456 = 42.2 < = = 48.05 tw 13α − 1 13 × 0.807 − 1

⇒ Alma de classe 2

∴ Secção de classe 2 fy

fy fy αc

h

c

cN

fy

fy Zona da alma plastificada devido a NEd=750kN

Zona da secção plastificada devido ao momento flector

Figura 3.6 − Zonas plastificadas da secção devido ao esforço normal e ao momento flector

30

Estruturas Metálicas (de Aço)

3.3 RESISTÊNCIA A TENSÕES DIRECTAS 3.3.1 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + Mz,Ed)

• Secções de Classe 1 e 2 - Resistência Plástica - Critérios (diagramas) de interacção não lineares N / Npl 1

Resistência plástica (a forma do diagrama varia de secção para secção) Resistência plástica (aproximação linear – conservativa)

Resistência elástica

1

M / Mpl

Figura 3.7 – Critérios (diagramas) de interacção não lineares

No caso mais geral (comportamento tridimensional), existem N+My+Mz. É habitual serem desenvolvidos critérios de interacção planos MN,y – MN,z, em que a presença do esforço normal já está “embebida” nos valores de MN,y e MN,z. Em alternativa, pode utilizar-se um critério (diagrama) de interacção espacial (tridimensional). • Secções de Classe 3 - Resistência Elástica - Critérios (diagramas) de interacção lineares equivalente a

σ x , Ed ≤ f yd

, (3.10)

onde f yd = f y / γ M 0 e γ M 0 é o coeficiente parcial de segurança (para o qual o EC3-1-1 propõe o valor 1.0).

31

Estruturas Metálicas (de Aço)

N / Nel 1

1

M / Mel

Figura 3.8 – Critério de interacção linear

• Secções de Classe 4 - Resistência Elástica da secção efectiva

• Critérios que envolvem secções efectivas correspondentes à actuação individual de cada um dos esforços actuantes (NEd, My,Ed, Mz,Ed)

• Equivalência a

σ x , Ed ≤ f yd

f yd = f y / γ M 0

, (3.11)

na reunião das secções efectivas.

• Já se estudaram, na disciplina de Estruturas Metálicas, as VS das secções de Classe 1 e 2. • A VS das secções de Classe 3 envolve apenas a resistência elástica e resume-se a um simples problema de Resistência de Materiais.

• A VS das secções de Classe 4 é qualitativamente semelhante à das secções de Classe 3, mas requer o conhecimento prévio das características geométricas da(s) secção (ões) efectivas envolvidas − propriedades efectivas. EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 2) Verificar a segurança da secção

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Estruturas Metálicas (de Aço)

IPE 270

d=hw=249.6mm

A=45.94cm2

tw=6.6mm

Wpl.y=484cm3

b=135mm

Wpl.z=96.95cm3

tf=10.2mm de aço S235 (fy=235MPa), sujeita aos esforços NEd=580kN, My,Ed=25.5 kNm e Mz,Ed=16.4 kNm RESOLUÇÃO

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.y,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1) N pl , Rd =

Af y

γ M0

=

4594 × 235 × 10 −3 = 1079.59 kN 1.0

NEd=580kN > 0.25Npl,Rd=270kN N Ed = 580 kN > 0.5 N pl , w, Rd = 0.5

hwtw f y

γ M0

= 0.5 × 249.6 × 6.6 ×

235 × 10 − 3 = 193.56 kN 1

∴ É necessário reduzir Mpl.y,Rd (bastava uma das condições) • Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.z,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1) N Ed = 580 kN > N pl , w, Rd =

hwtw f y

γ M0

= 249.6 × 6.6 ×

235 × 10 − 3 = 387.12 kN 1

∴ É necessário reduzir Mpl.z,Rd • Como a secção está submetida a flexão desviada, adopta-se o critério α

β

 M y , Ed   M z , Ed    +  ≤1  M N , z , Rd   M N , y , Rd 

onde (i) MN,y,Rd e MN,z,Rd são momentos plásticos reduzidos pela presença de NEd e (ii) α e β são constantes que dependem do tipo da secção Secção em I: α = 2 ; β = 5 n mas β ≥ 1 n=

N Ed 580 = = 0.537 ⇒ β=2.685 > 1.0 N pl , Rd 1079.59

33

Estruturas Metálicas (de Aço)

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Estruturas Metálicas (de Aço)

35

Estruturas Metálicas (de Aço)

M N , y , Rd = M pl , y , Rd

M pl , y , Rd =

(1 − n ) (1 − 0.5 a )

W pl , y × f y

γ M0

=

484 × 10 3 × 235 × 10 −6 = 113.74 kNm 1.0

A − 2bt f   45.94 − 2 × 13.5 × 1.02   a = min 0.5,  = min 0.5,  = min{0.5, 0.401} = 0.401 A  45.94    M N , y , Rd = 113.74

(1 − 0.537 ) = 65.87 kNm ( > M y , Ed ) (1 − 0.5 × 0.401)

n ≤ a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

n > a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

e

n=0.537 M pl , z , Rd =

  n − a 2    1 −    1 − a  

a=0.401

W pl , z × f y

γ M0

=

⇒

n>a

96.95 × 10 3 × 235 × 10 −6 = 22.78 kNm 1.0

  0.537 − 0.401  2  M N , z , Rd = M pl , z , Rd 1 −    = 21.61 kNm (> M z , Ed )   1 − 0.401   Finalmente, tem-se α

β

2 2.685  M y , Ed   M z , Ed   25.2   16.4  ⇒ + ≤ 1 + = 0.15 + 0.477 = 0.627 < 1      65.87   21.61   M N , z , Rd   M N , y , Rd 

∴ A segurança da secção está verificada • Nota: Se se utilizasse o critério linear (mais simples) – EC3-1-1 6.2.1 (7) M y , Ed M z , Ed N Ed 580 25.5 16.4 + + = + + = 0.537 + 0.224 + 0.720 = 1.481 > 1 N pl , Rd M pl , y , Rd M pl , z , Rd 1079.59 113.74 22.78

∴ A segurança da secção não seria verificada (o critério linear é muito conservativo)

36

Estruturas Metálicas (de Aço)

3.3.1.1 SECÇÕES DE CLASSE 4

• A VS das secções de Classe 4 requer, no caso mais geral, o conhecimento dos valores

das seguintes características geométricas: (i) Área Efectiva Aeff (ii) Excentricidades eNy e eNz (afastamento em relação ao eixo – nova posição de G) (iii) Módulo de flexão efectiva Weff,y,min (fibra com tensão máxima) (iv) Módulo de flexão efectiva Weff,z,min (fibra com tensão máxima) • Os valores de Aeff, eNy e eNz são determinados numa secção efectiva obtida admitindo

que na secção bruta actua apenas Nc,Ed (esforço nomal de compressão) • O valor de Weff,y,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas My,Ed. • O valor de Weff,z,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas Mz,Ed. • Deste modo, constata-se que, no caso mais eral, existem três secções efectivas diferentes.

A figura 3.9 ilustra as secções efectivas de uma secção em I com banzos iguais.

Figura 3.9 – Tipos de secções efectivas numa secção em I

• Em secções bissimétricas e monossimétricas tem-se eNy=eNz=0 e eNy=0 ou eNz=0.

37

Estruturas Metálicas (de Aço)

3.3.1.1.1 DETERMINAÇÃO DE UMA SECÇÃO EFECTIVA

• Passos

(i) Determinar os valores de ψ (os quais definem o diagrama das tensões actuantes) nos elementos (paredes) comprimidos paralelos ao eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades da secção bruta. (ii) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos paralelos ao eixo de flexão, através do seguinte procedimento: (a) A partir do valor de ψ, determinar o coeficiente de encurvadura kσ , através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5. (b) A partir do valore de kσ, determinar a esbelteza normalizadas de placa λ p , através da expressão

λp =

fy

σ cr

=

b/t 28.4 ε kσ

. (3.12)

(c) A partir dos valores de λ p e ψ, determinar o factor de redução ρ, através de expressões que dependem de o elemento ser interno ou saliente: - Elementos Internos

ρ=1.0 ρ=

λ p − 0.055(3 + ψ ) λ p2

para λ p ≤ 0.673 para λ p > 0.673 [com (3 + ψ ) ≥ 0 )]

- Elementos Salientes

ρ=1.0 ρ=

λ p − 0.188 ) ρ=1.0 λ p2

para λ p ≤ 0.748 para λ p > 0.748

38

Estruturas Metálicas (de Aço)

39

Estruturas Metálicas (de Aço)

(d) Uma vez conhecido o valor de ρ, determinar os valores das larguras efectivas (bc,eff) dos elementos comprimidos através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 − a partir dos valores de bc,eff , é imediato obter as respectivas áreas efectivas (Ac,eff). (e) Se for necessário (i.e., se a largura efectiva não for “contínua”), determinar, a partir de bc,eff, as parcelas que constituem a largura efectiva do elemento comprimido (be1 e be2), também através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5. (iii) Determinar os valores de ψ nos elementos (paredes) comprimidos perpendiculares ao eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades de uma “secção fictícia”, constituída pelas respectivas áreas brutas e pelas áreas efectivas dos elementos paralelos ao eixo de flexão (já determinadas em (ii)). (iv) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos perpendiculaes ao eixo de flexão, através do procedimento descrito em (ii). (v) Determinar a(s) propriedade(s) efectiva(s) relevante(s). • NOTA: No caso de uma secção submetida a compressão pura, tem-se sempre ψ = 1. 3.3.1.1.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Flexão desviada composta com tracção M y , Ed f M z , Ed N Ed + + ≤ f yd = y A Weff , y , min Weff , z , min γ M0

. (3.13)

• Flexão desviada composta com compressão f N Ed M y , Ed + N Ed eNy M z , Ed + N Ed eNz + + ≤ f yd = y Aeff Weff , y , min Weff , z , min γ M0

. (3.14)

• OBSERVAÇÕES

(i) A aplicação das equações de interacção faz-se para a fibra mais solicitada pertencente à reunião de todas (no máximo três) secções efectivas. Os valores de Weff,y,min e Weff,z,min dizem respeito a essa fibra.

40

Estruturas Metálicas (de Aço)

(ii) No caso de a fibra mais solicitada não pertencer a alguma das secções efectivas, o valor da parcela associada ao esforço correspondente será nulo. (iii) Os sinais das parcelas dependem da combinação de compressões e tracções, a qual varia de caso para caso. Não podem “somar-se” compressões e tracções e é conveniente adoptar a convenção de atribuir sinal positivo à tensão “dominante” (compressão ou tracção). EXEMPLO ILUSTRATIVO Verificar a segurança da secção 400 10 6

y

800

zG 10

z

300

(mm)

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

formada por três chapas de aço S355 (fy=355MPa) soldadas entre si (cordões de soldadura de largura a=6 mm), sujeita aos esforços NEd=390kN (compressão ou tracção) e My,Ed=630 kNm (momento flector positivo) RESOLUÇÃO -ε=

235 235 = = 0.814 fy 355

- Área: A = (400 + 300 ) × 10 + 800 × 6 = 11800 mm 2 6 mm a

- Cordões de soldadura: a=6mm ⇒ a = 6 2 = 8.49mm a

41

Estruturas Metálicas (de Aço)

(I)

Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior c = (400 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 188.51mm

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43 kσ=0.43 ⇒ λ p =

ρ=

(c / t ) f

28.4ε Kσ

=

(188.51 / 10 ) = 1.244 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.682 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.682 × 188.51 = 128.56 mm

(be )banzo. sup = 2bc , eff + tw + 2a = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm • Secção Efectiva do Banzo Inferior c = (300 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 138.51mm

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43 kσ=0.43 ⇒ λ p =

ρ=

(c / t ) f

28.4ε Kσ

=

(138.51 / 10 ) = 0.914 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.869 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.869 × 138.51 = 120.37 mm (be )banzo. inf = 2 × 120.37 + 6 + 2 × 8.49 = 263.72mm • Secção Efectiva da Alma b = (800 − 2 × 8.49 ) = 783.02mm

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0

42

Estruturas Metálicas (de Aço)

kσ=4.0 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 2.823 > 0.673 28.4 × 0.814 × 4

λ p − 0.055(3 + ψ ) 2.823 − 0.055(3 + 1) = = 0.327 2.8232 λ p2

bc , eff = ρ b = 0.327 × 783.02 = 256.05mm be1 = be 2 = 0.5bc , eff = 128.03mm (be )alma = 128.03 + 8.49 = 136.52mm (junto de cada banzo) A figura abaixo mostra a secção efectiva determinadas.

136.52

136.52 263.72 • Cálculo da área efectiva (Aeff) e da excentricidade (eNy) Aeff = ( 280.1 + 263.72) × 10 + ( 2 × 136.52) × 6 = 7076.44mm 2 ( zG ) eff =

( 280.1 × 815 + 263.72 × 5) × 10 + (136.52 × 78.26 + 136.52 × 741.74 ) × 6 = 419.37 mm 7076.44

eNy = 444.32 − 419.37 = 24.95 mm (↓)

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior (be )b. sup = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm (idêntico ao caso anterior)

43

Estruturas Metálicas (de Aço)

• Secção Efectiva da Alma - Cálculo de ψ na alma

280.1

σ1

σ2 = ψ σ1 A′ = ( 280.1 + 300 ) × 10 + 800 × 6 = 10601mm 2 zG′ =

( 280.1 × 815 + 300 × 5) × 10 + 800 × 6 × 410 = 402.40 mm 10601

ψ =−

(402.40 − 10 − 8.49 ) = −0.962 810 − 8.49 − 402.40

- Cálculo de ρ na alma

ψ = −0.962 ⇒ kσ = 7.81 − 6.29ψ + 9.78ψ 2 = 22.91 (Tabela 4.1 do EC3-1-5) kσ = 22.91 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 1.179 > 0.673 28.4 × 0.814 × 22.91

λ p − 0.055(3 + ψ ) 1.179 − 0.055(3 − 0.962) = = 0.768 λ p2 1.179 2

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

bc =

b 783.02 = = 399.09 mm 1 − ψ 1 + 0.962

44

Estruturas Metálicas (de Aço)

beff = ρbc = 0.768 × 399.09 = 306.50 mm be1 = 0.4 beff = 0.4 × 306.50 = 122.6 mm

be 2 = 0.6 beff = 0.6 × 306.50 = 183.9 mm ( be ) alma ,sup = be1 + a = 122.6 + 8.49 = 131.09 mm

(be )alma ,inf = be 2 + bt + a = 183.9 + (783.02 − 399.09 ) + 8.49 = 576.32mm A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada. 280.1 131.09

576.32

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min) (300 × 5 + 280.1 × 815) × 10 + 576.32 × 6 × 298.16 + 131.06 × 6 × (810 - 65.55) = (300 + 280.1) × 10 + (576.32 + 131.09) × 6 = 389.67 mm ( medido a partir da base)

( zG ) eff =

300 × 10 3 280.1 × 10 3 6 × 576.323 6 × 131.09 3 + + + + 12 12 12 12 + 300 × 10 × 384 2 + 280.1 × 10 × (815 − 389.67 ) 2 +

( I y ) eff =

+ 576.32 × 6 × (389.67 − 298.16 ) 2 + 131.09 × 6 × (810 − 65.55 − 389.67 ) 2 = = 1175472955 mm 4 (Weff , y , min )sup =

(Weff , y , min )inf =

( I y )eff (820 − 389.67 )

( I y )eff (389.67 )

= 2731561.72 mm 3

= 3016585.714 mm 3

45

Estruturas Metálicas (de Aço)

(III) Verificação da Segurança f yd =

fy

γ M0

=

355 = 355 MPa 1.0

• NEd=390kN (Compressão) - Fibras superiores

M + N Ed eNy N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 + 390 × 10 3 × 24.95 + y , Ed = + = Aeff f yd (Weff , y , min )sup f yd 7076.44 × 355 2731561.72 × 355 = 0.155 + 0.660 = 0.815 < 1.0

∴ A segurança da secção está verificada • NEd=390kN (Tracção) - Fibras superiores M y , Ed N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 − + =− + = −0.093 + 0.650 = 0.557 < 1.0 Af yd (Weff , y , min )sup f yd 11800 × 355 2731561.72 × 355

∴ A segurança está verificada - Fibras inferiores M y , Ed N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 − + = + = 0.093 + 0.588 = 0.681 < 1.0 Af yd (Weff , y , min )inf f yd 11800 × 355 3016585.714 × 355

∴ A segurança está verificada • NOTA: As fibra mais solicitada são as inferiores, que não correspondem ao valor mínimo do módulo de flexão efectivo. Por outro lado, como a compressão é sempre mais penalizadora que a tracção, não havia qualquer dúvida que a segurança da secção seria verificada. EXEMPLO ILUSTRATIVO Verificar a segurança da chapa de pavimento misto representada na figura 3.10 durante a fase construtiva (i.e., enquanto o betão está “fresco” e, portanto, não desempenha funções resistentes − traduz-se apenas por uma acção).

46

Estruturas Metálicas (de Aço)

Secção Transversal

p L=2.60 m h Betão H H = 120mm

b/2 c

t y

b

c

b/2 y

ZG a

a = 150.0mm b = 60.5mm h = 54.0 mm c = 14.5mm t = 1.0mm

Figura 3.10 – Geometria, dimensões e acções da chapa de pavimento misto

47

Estruturas Metálicas (de Aço)

RESOLUÇÃO (I) Dados - Chapa de pavimento: HI Bond 55 com fy=320MPa

ε=

235 = 0.857 320

- Valor do momento actuante máximo p = (12.83 × 9.8 × 10 −3 + 0.0925 × 25 ) = 2.438 kN / m / m (carga uniformemente distribuída) Chapa

Betão

Coeficiente de majoração

M y , Ed

2.438 × 2.6 2 = 1.5 × = 3.09 kNm / m (momento máximo − meio vão) 8

(II) Características Geométricas da Secção Bruta - Área

α = arctg

14.5 = 15.03º 54

54 = 55.91mm (comprimento das paredes inclinadas) cos15.03º

A = ( 2 × 30.25 × 60.5 + 2 × 55.91) × 1.0 = 232.83 mm 2 (célula com 150mm de largura) A=

232.83 = 1552.2 mm 2 / m (área por metro de largura) 0.15 ( m )

- Centro de gravidade zG=27mm (a partir da linha média) - Momento de inércia: c b

Ia=Ibcos2α + Icsen2α

a

a α

c

48

Estruturas Metálicas (de Aço)

 60.5 × 1.0 3   55.913 × 1.0 Iy = 2×  + 60.5 × 1.0 × 27 2  + 2 ×  × cos2 (15.03) + 12 12   

+

 55.91 × 1.0 3 × sen 2 (15.03) = 12 

= 88219.08 + 2 × [13584.79 + 0.313] = 115389.29 mm 4 ( por célula ) Iy =

115389.29 = 769261.9 mm 4 / m 0.15

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior c = 60.5 − 2 × 0.5 = 59.5 mm

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=4.0 kσ=4.0 ⇒ λ p =

ρ=

(c / t ) f

28.4ε Kσ

=

(59.5 / 1.0 ) = 1.222 > 0.673 28.4 × 0.857 × 4.0

λ p − 0.055(3 + ψ ) 1.179 − 0.055(3 + 1) = = 0.671 1.222 2 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.671 × 59.5 = 39.92 mm

be1 = be 2 = 0.5bc , eff = 0.5 × 39.92 = 19.96 mm b e1

b e1 b e1 = be2 = 19.96mm

• Secção Efectiva das Almas - Cálculo de ψ nas almas A′ = [2 × 30.25 + 2 × 55.91 + (39.92 + 1.0 )] × 1.0 = 213.24 mm 2

( por célula )

2 × 30.25 × 1.0 × 0.5 + 2 × 55.91 × 1.0 × 27.5 + (39.92 + 1.0 ) × 54.5 = 213.24 = 25.02 mm ( medido a partir da base da secção)

zG′ =

49

Estruturas Metálicas (de Aço)

ψ=

σ2 − 24.02 = = −0.829 σ 1 (53 − 24.02)

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

ψ = −0.829 ⇒ kσ = 7.81 − 6.29ψ + 9.78ψ 2 = 19.75 (Tabela 4.1 do EC3-1-5) b = 55.91 − 2 × 0.5 = 54.91 mm kσ = 19.75 ⇒ λ p =

(b / t ) w

28.4ε Kσ

=

(54.91 / 1.0 ) = 0.508 < 0.673 28.4 × 0.857 × 19.75

∴ A alma é toda efectiva • Cálculo de Weff,y,min (zG)eff = 25.02 mm 60.5 × 1.0 3 + 60.5 × 1.0 × ( 25.02 − 0.5 ) 2 + 40.92 × 1.0 × (54.5 − 25.02) 2 + 12 + 2 × (13584.79 + 0.313) + 55.91 × 1.0 × ( 27.5 − 25.02) 2 =

( I y ) eff =

[

]

= 5.042 + 36374.439 + 33895.039 + 27857.944 = 98132.464 mm 4 ( I y )eff =

( por célula )

98132.464 = 654216.427 mm 4 / m 0.15

(III) Verificação da Resistência M y , Ed Weff , y , mim f yd

=

3.09 × 10 6 = 0.443 < 1.0 320 21821.762 × 1.0

∴ A resistência da chapa está verificada 3.3.2 TENSÕES TANGENCIAIS (Vz,Ed + Vy,Ed)

• Secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não tem qualquer relação com a resistência às tensões tangenciais) • O valor de cálculo do esforço transverso VEd deve satisfazer a condição

50

Estruturas Metálicas (de Aço)

VEd ≤ 1.0 Vc , Rd

, (3.15)

onde Vc,Rd é o valor de cálculo da resistência da secção ao esforço transverso. No caso do dimensionamento plástico, Vc,Rd é igual a Vpl,Rd (valor de cálculo da resistência plástica), dado por Vc , Rd = V pl , Rd =

Av ( f y / 3 )

γ M0

, (3.16)

onde Av é a área de corte da secção, a qual depende da sua geometria e do sentido de actuação esforço transverso. • O dimensionamento elástico é conservativo e, por esse motivo, só se adopta quando tal é indispensável, nomeadamente na verificação da segurança de secções de Classe 3 ou 4 submetidas a combinações de esforço transverso, momento flector e/ou momento torsor. • O valor de Vc,Rd=Vel,Rd obtém-se a partir da condição

fy

τEd ≤ 1,0 ( 3 γ M0 )

, (3.17)

onde τEd é determinado através de expressão (já conhecida da Resistência de Materiais)

τ Ed =

VEd S It

. (3.18)

• Em secções em I ou H em que a relação entre Af (área de um banzo) Aw (área da alma) satisfaz a condição Af / Aw ≥ 0.6 , a tensão tangencial na alma (provocada por um esforço transverso paralelo a ela) pode ser determinada, aproximadamente, através da expressão

τ Ed =

VEd Aw

. (3.20)

51

Estruturas Metálicas (de Aço)

52

Estruturas Metálicas (de Aço)

53

Estruturas Metálicas (de Aço)

3.3.3 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + VY,Ed) + TENSÕES TANGENCIAIS (VZ,Ed + VY,Ed)

• O EC3 estipula que, no caso de se ter VEd ≤ 0.5 V pl . Rd (o esforço transverso actuante não excede 50% da resistência plástica da secção ao corte), a influência do esforço transverso pode ser desprezada e a resistência da secção é condicionada unicamente pelas tensões normais (situação já abordada na secção 3.3.1). • Se Vz , Ed > 0.5 V pl , z , Rd e/ou V y , Ed > 0.5 V pl , y , Rd o EC3 preconiza que a influência do esforço transverso (i) tem que ser considerada e (ii) pode ser traduzida por uma redução da tensão de cedência do aço na(s) respectiva(s) área(s) de corte Av,z e/ou Av,y. Essa redução da tensão de cedência é definida por: 2

Av,z : fy → (1-ρz) fy

 2V  com ρ z =  z , Ed − 1 V   pl , z , Rd 

Av,y : fy → (1-ρy) fy

 2V  com ρ y =  y , Ed − 1 V   pl , y , Rd 

(3.21)

2

. (3.22)

• Verifica-se então a resistência às tensões normais de uma secção transversal “enfraquecida” (pela redução da tensão de cedência) em uma ou em ambas as áreas de corte. • Observe-se que a redução da tensão de cedência pode fazer baixar a classe da secção. Para além disso, nas secções de Classe 4 (sem e com redução de fy), a presença de esforço transverso superior a 50% da resistência plástica da secção influencia as propriedades efectivas (“aproxima-as” das propriedades brutas). • No caso de secções de Classe 3 ou 4, as quais apenas podem atingir uma resistência elástica, pode adoptar-se um procedimento alternativo: verificar a resistência da secção através do bem conhecido critério de von-Mises, cuja expessão é

2 2 σ comp , Ed = σ Ed + 3σ Ed ≤ f yd =

fy

γ M0

. (3.23)

No caso das secções de Classe 4, o valor de σ Ed é nula nas zonas não efectivas da secção.

54

Estruturas Metálicas (de Aço)

55

Estruturas Metálicas (de Aço)

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 1) Verificar a segurança da secção de um perfil IPE 270 de aço Aço S235 (fy=fyd=235MPa) cujas caracteristicas geométricas são A=45.95 cm2

hw=249.6 mm

tw=6.6 mm

Wpl,y=484 cm3

Av,z=22.14 cm3 ,

a qual se encontra submetida à combinação de esforços My,Ed=105 kNm e Vz,Ed=210 kN, a qual ocorre tipicamente em apoios intermédios de vigas contínuas. RESOLUÇÃO V pl , z , Rd =

Av , z ( f y / 3 )

γ M0

=

22.14 × ( 23.5 / 3 ) = 300.4 kN ( > Vz , Ed ) 1.0

Vz , Ed = 210 kN > 0.5 V pl , z , Rd = 150.2 kN

∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais • No caso das secções em I com banzos iguais submetidas a flexão em torno do eixo de maior inércia, o EC3-1-1 preconiza explicitamente a utilização da expressão

M y ,V , Rd

 ρ A2  W pl , y − z w  4 tw  = com Aw=hwtw (área da alma) − em geral, tem-se Aw < Av,z

γ M0

para estimar o momento resistente da secção, tomando em consideração a influência do esforço transverso. No entanto, apesar de designar esse momento resistente por “plástico”, estipula que ele deve ser limitado pela condição

M y,V,Rd ≤ M y,C,Rd =

Wpl,y fy / γM0

(Classe 1 ou 2)

Wel,y fy / γM0

(Classe 3)

Weff,y fy / γM0

(Classe 4)

Como a aplicação desta disposição ao caso das secções de Classe 3 ou 4 parece não fazer sentido (o momento resistente da secção sem esforço transverso é “elástico”), ela será apenas considerada em secções de classe 1 e 2.

56

Estruturas Metálicas (de Aço)

57

Estruturas Metálicas (de Aço)

2

2  2Vz , Ed   2 × 210    ρz =  −1 =  − 1 = 0.159   300.4   V pl , z , Rd 

Aw = 249.6 × 6.6 × 10 −2 = 16.47 cm 2 (< Av , z = 22.14 cm 2 )  0.159 × 16.47 2  235  × M y ,V , Rd =  484 × 10 3 − × 10 − 6 = 109.91 kNm 4 × 6 . 6 1 . 0   M y , Ed = 105 kNm < M y ,V , Rd = 109.9 kNm

∴ A resistência da secção está verificada EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 4) Verificar a segurança da secção soldada já considerada anteriormente (ver página 30) 400 10 6

y

800

zG 10

z

300

(mm)

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

É formada por chapas de aço S355 (fy=355MPa), tem cordões de soldadura de largura a=6 mm e está sujeita a NEd=390kN (compressão), My,Ed=630 kNm (momento positivo) e Vz,Ed=800 kN. RESOLUÇÃO Av , z = 800 × 6 = 4800 mm 2 (área da alma ) V pl , z , Rd =

Av , z ( f y / 3 )

γ M0

=

4800 × (355 / 3 ) × 10 −3 = 983.8 kN (> Vz , Ed ) 1.0

Vz , Ed = 800 kN > 0.5 V pl , z , Rd = 491.9 kN

∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais 58

Estruturas Metálicas (de Aço)

2

2  2Vz , Ed   2 × 800    ρz =  −1 =  − 1 = 0.3923   983.8   V pl , z , Rd 

f y , w = (1 − ρ z ) f y = (1 − 0.3923) × 355 = 215.7 MPa ≡ f yd , w ⇒ ε w =

f y , f = f y = 355 MPa ≡ f yd , f ⇒ ε f =

235 = 1.044 215.7

235 = 0.814 355

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd) • Secção Efectiva do Banzo Superior c = (400 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 188.51mm

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43 kσ=0.43 ⇒ λ p =

ρ=

(c / t ) f

28.4ε f Kσ

=

(188.51 / 10 ) = 1.244 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.682 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.682 × 188.51 = 128.56 mm (be )banzo. sup = 2bc , eff + tw + 2a = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm

• Secção Efectiva do Banzo Inferior c = (300 − 6 − 2 × 8.49 ) / 2 = 138.51mm

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43 kσ=0.43 ⇒ λ p =

ρ=

(c / t ) f

28.4ε f Kσ

=

(138.51 / 10 ) = 0.914 > 0.748 28.4 × 0.814 × 0.43

λ p − 0.188 = 0.869 λ p2

bc , eff = ρ c = 0.869 × 138.51 = 120.37 mm

(be )banzo. inf = 2 × 120.37 + 6 + 2 × 8.49 = 263.72mm 59

Estruturas Metálicas (de Aço)

• Secção Efectiva da Alma b = (800 − 2 × 8.49 ) = 783.02mm

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0 kσ=4.0 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε w Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 2.200 > 0.673 28.4 × 1.044 × 4

λ p − 0.055(3 + ψ ) 2.200 − 0.055(3 + 1) = = 0.409 λ p2 2.200 2

bc , eff = ρ b = 0.409 × 783.02 = 320.26 mm be1 = be 2 = 0.5bc , eff = 160.13mm (be )alma = 160.13 + 8.49 = 168.62mm (junto de cada banzo) A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

168.62

168.62 263.72 • Cálculo de Aeff e eNy Aeff = ( 280.1 + 263.72) × 10 + ( 2 × 168.62) × 6 = 7461.64 mm 2 ( zG ) eff =

( 280.1 × 815 + 263.72 × 5 ) × 10 + (168.62 × 94.31 + 168.62 × 725.69 ) × 6 = 418.89 mm 7461.64

eNy = 444.32 − 418.89 = 25.43mm (↓)

60

Estruturas Metálicas (de Aço)

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed) • Secção Efectiva do Banzo Superior (be )b. sup = 2 × 128.56 + 6 + 2 × 8.49 = 280.1mm (idêntico ao caso anterior)

• Secção Efectiva da Alma - Cálculo de ψ na alma

280.1

σ1

σ2 = ψ σ1 A′ = ( 280.1 + 300 ) × 10 + 800 × 6 = 10601mm 2 zG′ =

( 280.1 × 815 + 300 × 5) × 10 + 800 × 6 × 410 = 402.40 mm 10601

ψ =−

(402.40 − 10 − 8.49 ) = −0.962 810 − 8.49 − 402.40

ψ = −0.962 ⇒ kσ = 7.81 − 6.29ψ + 9.78ψ 2 = 22.91 (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

kσ = 22.91 ⇒ λ p =

ρ=

(b / t ) w

28.4ε w Kσ

=

(783.02 / 6 ) = 0.9196 ≅ 0.920 > 0.673 28.4 × 1.044 × 22.91

λ p − 0.055(3 + ψ ) 0.920 − 0.055(3 − 0.962) = = 0.954 λ p2 0.920 2

61

Estruturas Metálicas (de Aço)

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

bc =

b 783.02 = = 399.09 mm 1 − ψ 1 + 0.962

beff = ρbc = 0.954 × 399.09 = 380.73mm

be1 = 0.4 beff = 0.4 × 380.73 = 152.29 mm be 2 = 0.6 beff = 0.6 × 380.73 = 228.44 mm (be )alma ,sup = be1 + a = 152.29 + 8.49 = 160.78 mm

(be )alma , inf = be 2 + bt + a = 228.44 + 383.93 + 8.49 = 620.86 mm A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada. 280.1 160.78

620.86

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min) (300 × 5 + 280.1 × 815) × 10 + 620.86 × 6 × 320.43 + 160.78 × 6 × (810 - 80.39) = (300 + 280.1) × 10 + (620.86 + 160.78) × 6 = 399.90 mm ( medido a partir da base)

( zG ) eff =

62

Estruturas Metálicas (de Aço)

300 × 10 3 280.1 × 10 3 6 × 620.86 3 6 × 160.78 3 + + + + 300 × 10 × (399.9 − 5 ) 2 + 12 12 12 12 2 + 280.1 × 10 × (815 − 399.9 ) + 620.86 × 6 × (399.9 − 320.43) 2 +

( I y ) eff =

+ 160.78 × 6 × (810 − 80.39 − 399.9 ) 2 = 1200655040 mm 4

(Weff , y , min ) f ,sup =

( I y )eff (820 − 399.9 )

(Weff , y , min ) w, alma =

= 2858021.995 mm3 (fibras superiores do banzo comprimido)

( I y ) eff ( 820 − 399.9 − 10 )

= 2927712.851 mm 3 (fibras superiores da alma)

(III) Verificação da Segurança • Fibras Superiores do Banzo Comprimido M y , Ed + N EdeNy N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 + 390 × 10 3 × 25.43 + = + = Aeff f yd , f (Weff , y , min ) f ,sup f yd , f 7461.64 × 355 2858021.995 × 355 = 0.147 + 0.631 = 0.778 < 1 • Fibras Superiores da Alma M y , Ed + N Ed eNy N Ed 390 × 10 3 630 × 10 6 + 390 × 10 3 × 25.43 + = + = Aeff f yd , f (Weff , y , min ) f ,sup f yd , f 7461.64 × 215.7 2927712.851 × 215.7 = 0.242 + 1.013 = 1.255 > 1

∴ A segurança da seccção não é verificada (nas fibras superiores da alma) • Em alternativa, poder-se-ia ter utilizado o critério de von Mises, o que envolveria os seguintes procedimentos: (i) Determinar as tensões normais devidas a NEd + My,Sd, o que obrigaria a calcular as propriedades efectivas da secção (tal como foi feito anteriormente). (ii) Determinar as tensões tangenciais devidas a Vz,Ed, com base na secção bruta. (iii) Determinar o ponto da secção onde o valor da tensão de comparação σcomp,Ed é máximo e comparar esse valor com fyd – como é óbvio, admite-se que a tensão normal

σEd é nula nas zonas não efectivas da secção.

63

Estruturas Metálicas (de Aço)

(iv) Neste caso particular, a máxima tensão de comparação ocorreria na vizinhança do nó alma-banzo superior – (i) nas fibras superiores do banzo comprimido (ponto 1 − máxima tensão normal) ou (ii) nas fibras superiores da alma (ponto 2 − tensão normal um pouco inferior ao valor máximo, mas tensão tangencial cerca do dobro da anterior – ponto 2). Como a tensão de cedência é menor no ponto 2, este condiciona a resistência da secção. 1

2

3.3.4 TORÇÃO

• Uma barra com secção de parede fina aberta submetida a um momento torsor T exibe (i) rotação φ das suas secções transversais em torno do eixo da barra e (ii) deslocamentos axiais de empenamento u (a secção deixa de estar contida num plano). φ

u T x T y

u

Figura 3.11 – Barra submetida a momento torsor T – empenamentos u e rotações φ

• Se as secções puderem empenar livremente, isto é, se (i) os apoios da barra não impedirem o empenamento e (ii) o momento torsor for constante, diz-se que a barra está submetida a “Torção Uniforme” (ou “Torção de Saint-Venant”) – ver a figura 3.12.

64

Estruturas Metálicas (de Aço)

Figura 3.12 – Barra submetida a torção uniforme

• Se (i) o empenamento for restringido (impedido) em alguma secção (e.g., num apoio) ou (ii) o momento torsor for variável, diz-se que a barra está submetida a “Torção NãoUniforme” – ver a figura 3.13 (o empenamento está impedido no encastramento).

Figura 3.13 – Barra submetida a torção não uniforme

• No caso da torção uniforme, as secções exibem deslocamentos axiais de empenamento que, por serem iguas em todas as secções, não introduzem tensões normais. O momento torsor Tsv é equilibrado unicamente por tensões tangenciais

τsv,

cuja determinação foi

estudada na disciplina de Resistência de Materiais.

65

Estruturas Metálicas (de Aço)

• No caso da torção não uniforme, para além das tensões tangenciais τsv, desenvolvem-se também (i) tensões normais σw (devidas à restrição ao empenamento), cuja resultante se designa por bimomento (Bw) e (ii) tensões tangenciais τw (também devidas à restrição ao empenamento) que equilibram as tensões normais σw. Deste modo, o momento torsor resistente (TR) é constituído por duas parcelas (ver a figura 3.13) TR = Tsv + Tw Resultante

Resultante

de τsv

de τw

onde (i) Tsv=GJφ’ (torção uniforme) e (ii) Tw=–EIwφ’’’ (torção não uniforme) − φ é o ângulo de rotação da secção em torno do eixo da barra. Conforme mostra a figura 3.13, os valores relativos de Tsv e Tw variam ao longo do comprimento da barra.

Tw

T

Tsv T=TR=Tsv+Tw

Figura 3.13 – Parcelas Tsv e Tw do momento torsor resistente

• Para caracterizar o comportamento de torção de uma secção é necessário conhecer duas propriedades geométricas: (i) a constante de torção de Saint-Venant (J), cuja determinação se estudou na disiplina de Resistência de Materiais, e (ii) a constante de empenamento (Iw). Existem tabelas com expressões analíticas e/ou valores de J e Iw para diversos tipos de secções. • O EC3 estipula que o momento torsor devido ao empenamento (Tw,Ed) pode ser desprezado nas secções de parede fina fechada (por exemplo, secções RHS − secções tubulares rectangulares). Em secções circulares tubulares circulares, Tw,Ed é mesmo nulo (devido à simetria radial da secção). 66

Estruturas Metálicas (de Aço)

• O EC3 estipula também que o momento torsor de Saint-Venant (Tt,Ed) pode ser desprezado nas secções de parede fina aberta (por exemplo, em I ou H). Neste tipo de secções a resistência à torção é devida, quase unicamente, à resistência das secções ao empenamento. • Como o comportamento das secções de parede fina aberta é bastante complexo (devido ao empenamento), aborda-se aqui apenas a torção das secções de parede fina fechada. • Sabe-se, da Resistência dos Materiais, que a tensão tangencial elástica devido à torção de Saint-Venant, em secções tubulares circulares (CHS) e rectangulares (RHS), é dada por

τt =

Tt r Ip

Ip =

π 2

Re

( Re4 − Ri4 )

Ri

r

t T τt = t 2 Am t

Am = (b − t )( h − t )

h

Am b

3.3.4.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Em secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não envolve a resistência às tensões tangenciais, inclusive as devidas à torção), tem-se TEd ≤ 1.0 TRd

• Dimensionamento Plástico - Secções circulares Tpl , Rd = ∫

Re

Ri

f 2π 3 ( ( × 2πr × r ) dr = Re − Ri3 ) yd 3 3 3

f yd

f yd

r

3

- Secções rectangulares Tpl , Rd = ( 2 Amt )

f yd 3

f yd 3

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Estruturas Metálicas (de Aço)

• Dimensionamento Elástico - Secções circulares Tel , Rd =

I p  f yd  f  π   = ( Re4 − Ri4 )  yd  Re  3  2 Re  3

Observe-se que, para um dado valor de Re, quanto maior for o valor de Ri (isto é, menor o valor de t=(Re–Ri)), mais pequena é a diferença entre os valores de Tel,Rd e Tpl,Rd. - Secções rectangulares Como a tensão tangencial se admite uniforme na espessura em regime elástico, os valores das resistências elástica e plástica são idênticos: (TRd)el=(TRd)pl. 3.3.4.1.1 ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação VEd + TEd, a verificação da segurança toma a forma VEd V pl .T . Rd

≤ 1.0

onde Vpl.T.Rd é o esforço transverso resistente (plástico) da secção reduzido pela presença das tensões tangenciais de torção (τt,Ed − tensões elásticas). Nas secções tubulares, tem-se

V pl .T . Rd = V pl . Rd

    τ t , Ed   = 1−  ( f y / 3)    γ M0  

3.3.4.1.2 MOMENTO FLECTOR (MEd) + ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação MEd + VEd + TEd em que o nível de esforço transverso seja elevado em relação ao esforço transverso reduzido pelas tensões tangenciais de torção (VEd > 0.5Vpl.T.Rd), o factor de redução da tensão de cedência do aço na área de corte (ρ) +e dado por  2VEd  ρ =  − 1   V pl .T . Rd 

2

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Estruturas Metálicas (de Aço)

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Estruturas Metálicas (de Aço)

• Alternativamente, pode sempre recorrer-se ao critério de von-Mises, que neste caso toma a forma 2

2

 σ Ed      + 3  τ Ed  ≤ 1.0  f /γ   f /γ   y M0   y M0 

Como se trata de um critério de resistência elástica, a sua utilização é (i) rigorosa, nas secções de Classe 3 ou 4, e (ii) conservativa, nas secções de Classe 1 ou 2. EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO CIRCULAR) Determine o momento torsor resistente de dimensionamento (i) plástico e (ii) elástico de um perfil de secção CHS 127×10 de aço S235, cujas geometria é definida por (i) um diâmetro exterior igual a 127.0 mm e uma espessura de 10.0 mm. RESOLUÇÃO Re =

127 = 63.5 mm 2

Tpl , Rd =

Tel , Rd =

Ri = Re − t = 63.5 − 10 = 53.5 mm

2π 3 (Re − Ri3 ) f yd = 2π (63.53 − 53.53 )× 235 = 29.25 × 106 Nmm 3 3 3 3 × 1.0

π 2 Re

(R

4 e

− Ri4 )

f yd 3

=

π 2 × 63.5

(63.5

4

− 53.5 4 )×

235 = 27.07 × 10 6 Nmm 3 × 1.0

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO RECTANGULAR DE CLASSE 1) Verifique a resistência da secção RHS 400×200×10 representada, de aço S235 e submetida aos esforços My,Ed=220 kNm, Vz,Ed=435 kN e TEd=100 kNm.

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Estruturas Metálicas (de Aço)

RESOLUÇÃO 1) Esforço Transverso Resistente Vpl.T.Rd   τ t , Ed V pl ,T , Rd = V pl , z , Rd 1 −   ( f y / 3 ) / γ M 0 

V pl , z , Rd =

Av , z =

3 ×γ M0

alma

A × h 11600 × 400 = = 7733.3 mm 2 ≅ 380 × 10 × 2 = 7600 mm 2 b+h 200 + 400

V pl , z , Rd =

τ t , Ed =

Av , z f y

7733.3 × 235 = 1049.2 kN 3 × 1.0

TEd 100 × 10 6 ( Nmm) = = 67.5 N / mm 2 2 Amt 2 × (390 × 190 ) × 10

  67.5 V pl ,T , Rd = 1049.2 × 1 −  = 527.6 kN (redução de cerca de 50%)  ( 235 / 3 ) / 1.0 

2) Interacção entre VEd e Mpl,y,Rd Vz , Ed = 435 kN > 0.5 V pl ,T , Rd = 263.3 kN ⇒ É necessário considerar a interacção 3) Factor de Redução da Tensão de Cedência em Av,z 2

2  2VEd   2 × 435    ρ = −1 =  − 1  = 0.424   526.7   V pl ,T , Rd 

(1 − ρ ) f y = (1 − 0.424 ) × 235 = 135.6 MPa

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Estruturas Metálicas (de Aço)

4) Verificação da Segurança M y ,V , Rd = ( 200 × 10 ) × 195 × 2 ×

235 135.6 + (190 × 10 ) × 95 × 4 × 1.0 1.0

Banzos Wpl,y M y ,V , Rd = 281.2 kNm > M y , Ed = 220 kNm

Almas Wpl,y ∴ A resistência da secção está verificada

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