Aplicatii CM

Universitatea POLITEHNICA din București

Circuite de microunde Culegere de probleme

Nicolae MILITARU 11/29/2009

CUPRINS

Capitolul 1

Metode de calcul a matricei repartiție, S. Interconectarea multiporților ......................................................................

1

Cuploare directive și divizoare de putere ………………..

63

Bibliografie ……………………………………………………………

127

Capitolul 2

2009

Circuite de Microunde

Capitolul

1

Metode de calcul a matricei repartiție, S Interconectarea multiporţilor 1. Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare circuitului din figura 1.1, în raport cu impedanţele de normare 𝑍01 = 𝑍02 = 50Ω, la frecvenţa 𝑓 = 1 GHz. Să se precizeze care dintre proprietăţile de reciprocitate, pasivitate, nedisipativitate şi simetrie sunt prezente în cazul circuitului studiat şi apoi să se verifice satisfacerea acestor condiţii de către elementele calculate ale matricei S. R

C

50 5  pF

 Z 01 

 Z 02  Figura 1.1

Rezolvare: La frecvenţa de lucru, impedanţa corespunzătoare condensatorului ideal din schemă are valoarea:

ZC  jX C  j

1 1  j   j100Ω . 2 fC 9 5 12 2  10   10



CM – Nicolae MILITARU

Pagina 1

2009

Circuite de Microunde

Pentru determinarea parametrilor 𝑆11 şi 𝑆21 poarta 2 a circuitului trebuie terminată adaptat, ca în figura 1.2. Coeficientul de reflexie la poarta 1 cu poarta 2 terminată adaptat, 𝑆11 , are expresia: S11  Γ1 Z

2  Z0



Zin1  Z 01 Zin1  Z 01

 Z 2  Z0

zin1  1 , zin1  1 z 1 2

R

1

ZC

U1

Z2

 j2

U2

1

zin1 Z in1

 Z 01 

 Z 02 

 Z 01 

a) valori denormate

 Z 02 

b) valori normate

Figura 1.2

unde zin1 reprezintă impedanţa de intrare normată, la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat: zin1 z 1  2

Zin1 Z0

2

  j2  

Z 2  Z02

 j4 1 j 2  j2

Rezultă astfel valoarea lui S11 : S11 

1  j  1   j  1  j2 . 1  j  1 2  j 5

Coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, 𝑆21 , poate fi calculat cu expresia: S21 

Z 01 U 1  S11  2 Z 02 U1

 1  S11  Z 2  Z02

U2 U1

Z 2  Z02

unde

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 2

2009

Circuite de Microunde U2 U1

 z2 1

1 2

şi deci  1  j2  1 3  j S21  1    5  2 5 

Pentru determinarea parametrilor 𝑆22 şi 𝑆12 poarta 1 a circuitului trebuie terminată adaptat, ca în figura 1.3. R

Z1

U1

1

ZC

U2

1

U1

U2

 j2

zin 2

 Z 01 

 Z 02 

 Z 01 

 Z 02 

b) valori normate

a) valori denormate

Figura 1.3

Coeficientul de reflexie la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat, S22 , are expresia: S22  Γ2 Z Z  1

0

Zin 2  Z 02 Zin 2  Z 02

 Z1  Z0

zin 2  1 , zin 2  1 z 1 1

unde 𝑧𝑖𝑛 2 reprezintă impedanţa de intrare normată, la poarta 2, cu poarta 1 terminată adaptat: zin 2 z 1  1

Zin 2 Z 02

 1

  j2   1 

Z1  Z01

9  j2 . 5

Se obţine astfel valoarea parametrului 𝑆22 :

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 3

2009

Circuite de Microunde 9  j2 1 4  j2 3  j 5 S22    . 9  j2 14  j2 10 1 5

Coeficientul de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 terminată adaptat, 𝑆12 , poate fi determinat folosind relaţia: S12 

Z 02 U 1  S22  1 Z 01 U2

 1  S22  Z1  Z01

U1 U2

, Z1  Z 01

unde U1 U2

 z1 1

1 1

  j2   4  j2  8  j2   j2   1 9  j2 17

şi deci  3  j  8  j2 3  j S12  1   .  10  17 5 

Sumarizând, matricea de repartiţie a circuitului din figura 1.1 este: 1  j2  5 S  3 j  5

3  j 5  . 3  j 10 

Circuitul studiat (v. fig. 1.1) este reciproc, pasiv, disipativ şi nesimetric. Din matricea S rezultată se constată următoarele: S21  S12  circuitul este reciproc ;

S11 

1  j2 1   1; 5 5

S21  S12 

3 j 2   1; 5 5

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 4

2009

Circuite de Microunde

S22 

3 j 1   1; 10 10

Deoarece modulele parametrilor S sunt subunitare, diportul studiat este pasiv. Observaţie: Aceasta este o condiţie necesară, dar nu şi suficientă. 1  j2 3 j 1 2 3      1 5 5 5 5 5 2

S11  S12 2

2

2

Deoarece suma pătratelor modulelor parametrilor S de pe prima linie a matricei de repartiţie este subunitară, diportul studiat este disipativ. Deoarece S11  S22

circuitul este nesimetric. Se constată astfel verificarea proprietăţilor obţinute prin inspecţia vizuală asupra schemei. 2. Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare circuitului din figura 2.1, în raport cu impedanţele de normare 𝑍01 = 𝑍02 = 50Ω, la frecvenţa 𝑓 = 1 GHz. Linia de transmisiune din schemă este fără pierderi şi are drept dielectric aerul. l  7,5 cm

R

C

50 5  pF

Z C  50

 Z 02 

 Z 01  Figura 2.1

Rezolvare: La frecvenţa de lucru, impedanţa corespunzătoare condensatorului ideal din schemă are valoarea 𝑍 = −j100Ω.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 5

2009

Circuite de Microunde

Rezultă astfel schema utilizată pentru determinarea parametrilor de repartiţie (v. figura 2.2). l  7,5 cm

ZR

Z C  50

Z

 Z 02 

 Z 01  Figura 2.2

Metoda 1 Pentru determinarea parametrilor S11 şi S 21 poarta 2 a circuitului trebuie terminată adaptat, ca în figura 2.3. ZR U1

l

Z

U

 Z 01 

Z in ,l

ZC

U2

Z 2  Z 02

 Z 02 

Figura 2.3

Coeficientul de reflexie la poarta 1 cu poarta 2 terminată adaptat, S11 , are expresia: S11  Γ1 Z Z  2

02

Zin1  Z01 Zin1  Z01

, Z2  Z02

unde 𝑍𝑖𝑛 1 reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 a circuitului,

Zin1   Zin,l  Z R  || Z . Linia de transmisiune este terminată adaptat deoarece 𝑍2 = 𝑍02 = 𝑍𝐶 = 50Ω, situaţie în care impedanţa de intrare 𝑍𝑖𝑛 ,𝑙 = 𝑍𝐶 = 50Ω, prin urmare: Zin1   50  50  ||   j100  

CM – Nicolae MILITARU

100    j100   j100   50  j50  Ω 100  j100 1 j Pagina 6

2009

Circuite de Microunde Rezultă astfel valoarea lui 𝑆11 : S11 

 50  j50   50   j50  1  j2 .  50  j50   50 100  j50 5

Coeficientul de transfer 𝑆21 este dat de expresia: S21 

Z 01 1  S11  kU Z 02

Z 2  Z02

,

în care factorul de transfer al tensiunii în condiţii de adaptare, 𝑘𝑈

𝑍2 =𝑍02

poate fi

scris sub forma (v. figura 2.3): kU

Z 2  Z 02



U2 U1

 Z 2  Z 02

U2 U  U U1

, Z 2  Z 02

unde 𝑈 reprezintă tensiunea la intrarea liniei fără pierderi iar 𝑈2 tensiunea pe sarcină. Legătura dintre cei doi termeni este dată de expresia tensiunii în lungul unei linii fără pierderi cu lungimea l şi impedanţa caracteristică 𝑍𝐶 : U  U 2cos   l   jZC

U2 sin   l   U 2cos   l   jU 2sin   l   U 2e j l . Z2

Lungimea de undă în aer corespunzătoare frecvenţei de lucru are valoarea c0 3  108    0,3m  30cm , f 109

prin urmare tronsonul de linie este inversor de impedanţă, 𝑙 = 𝜆 4; se obţine: 2  j  U2  e  4   j. U

Pe de altă parte Zin,l U 50 1    . U1 Zin,l  Z R 50  50 2

Rezultă: CM – Nicolae MILITARU

Pagina 7

2009

Circuite de Microunde 1 1  j3  1  j2  S21  1  .     j    5  2 5 

Pentru determinarea parametrilor S22 şi S12 poarta 1 a circuitului trebuie terminată adaptat, ca în figura 2.4. ZR Z1  Z 01

U1

Z

l U

ZC

U2

Z in 2

 Z 02 

 Z 01  Figura 2.4

Coeficientul de reflexie 𝑆22 este dat de relaţia: S22  Γ2 Z Z  1

01

Zin 2  Z02 Zin 2  Z02

, Z1  Z01

unde 𝑍𝑖𝑛 2 reprezintă impedanţa de intrare la poarta 2 a circuitului din figura 2.4, adică impedanţa de intrare în tronsonul de linie inversor de impedanţă: Z S  jZC tg   l  ZC2 . Zin 2  ZC  ZC  jZ S tg   l  Z S

În relaţia precedentă 𝑍𝑆 reprezintă impedanţa de sarcină a liniei, Z S  Z1 Z  Z R  50

  j100  50 

50    j100   50  90  j20  Ω . 50  j100

Poate fi astfel calculată valoarea impedanţei de intrare 𝑍𝑖𝑛 2 , 502 450  j100 Zin 2   Ω 90  j20 17

şi, de aici, valoarea parametrului 𝑆22 :

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 8

2009

Circuite de Microunde 450  j100  50 4  j 3  j 17 S22    . 450  j100 13  j 10  50 17

Coeficientul de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 terminată adaptat, 𝑆12 , este dat de expresia: S12 

Z 02 1  S22  kU Z 01

Z1  Z 01

.

În această relaţie termenul 𝑘𝑈 reprezintă factorul de transfer al tensiunii de la poarta 2 la poarta 1, calculat în condiţii de adaptare: kU

Z1  Z01



U1 U2

 Z1  Z 01

U1 U  U U2

, Z1  Z 01

unde 50   j100  U1 Z1 Z 4  j2 8  j2 .     U Z1 Z  Z R 50   j100   50 9  j2 17

Pentru determinarea raportului 𝑈 𝑈2 se utilizează expresia distribuţiei amplitudinii tensiunii în lungul unui tronson inversor de impedanţă fără pierderi terminat pe o sarcină cu impedanţa 𝑍𝑆 = 90 − j20Ω. Cu notaţiile din figura 2.4, rezultă: U 2  Ucos   l   jZC

U Z Z  2    2   sin   l   Ucos     jU C sin     jU C , ZS ZS ZS   4   4

prin urmare U Z 90  j20 2  j9 .  j S  j  U2 ZC 50 5

Se obţine: 1  j3  3  j  8  j2 2  j9 S12  1    .  10  17 5 5 

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 9

2009

Circuite de Microunde Poate fi astfel scrisă matricea de repartiţie a circuitului cu schema din figura 2.2: S S   11  S21

1  j3   1  j2  S12   5 5    . S22   1  j3 3  j    5 10 

Metoda 2 Circuitul cu schema din figura 2.2 conţine un tronson de linie fără pierderi având impedanţa caracteristică egală cu impedanţele de referinţă, 𝑍𝐶 = 𝑍01 = 𝑍02 = 50Ω. În acest caz se poate considera numai structura obţinută în urma translaţiei planului de referinţă de la poarta 2 pe o distanţă egală cu lungimea liniei, l. Circuitul astfel obţinut (v. figura 2.5) va fi unul mai simplu, căruia i se poate calcula mai uşor matricea sa de repartiţie (v. Problema nr. 1): ZR Z

 Z 02 

 Z 01  Figura 2.5

S S   11  S21

1  j2 S12   5  S22   3  j  5

3  j 5  . 3  j 10 

Pe baza efectului translaţiei planului de referinţă şi folosind matricea S de mai sus poate fi calculată matricea de repartiţie a circuitului iniţial, notată 𝐒 ′ : S11'  S11e j2  l1  S11 

S  S21e ' 21

 j  l1 l2 

CM – Nicolae MILITARU

1  j2 5

 S21e

 j l

(deoarece 𝑙1 = 0)

3  j  j2 4 1  j3  e  5 5

Pagina 10

2009

Circuite de Microunde S12'  S12e

 j  l1 l2 

S  S22e ' 22

 j2  l2

'  S12e j l  S21

 S22e

 j2  l

3  j  j2 2 4 3  j  e  . 10 10

Rezultă: S S'   S

' 11 ' 21

1  j3   1  j2  S   5 5    .  S   1  j3 3  j    5 10  ' 12 ' 22

Metoda 3 Circuitul cu schema dată în figura 2.2 este alcătuit din 2 diporţi conectaţi în cascadă, ca în fig. 2.6. a1

a3

a2 S1 b1

S2 b2

b3

Figura 2.6

Fiecare dintre cei doi diporţi poate fi caracterizat prin intermediul matricei sale de repartiţie, 𝐒1 respectiv 𝐒2 . Ţinând cont de schema din figura 2.2, rezultă matricea diportului în  (v. problema nr. 1):   S11 1 S1    S21 1

1  j2  S12 1   5   S22 1   3  j  5

3  j 5  , 3  j 10 

precum şi matricea tronsonului de linie fără pierderi:

  S11 2 S2    S21 2

 S12 2   0   S22 2  e j l

CM – Nicolae MILITARU

 e   0  0    j2 4 e  j l

e

j

2    4

0

    0  j   j 0  .   

Pagina 11

2009

Circuite de Microunde

Observaţie: Produsul 𝛽𝑙 se numeşte lungime electrică a unei linii; se măsoară în grade sau radiani. Rezultatul obţinut poate fi rescris sub următoarea formă: b1   S11 1 a1   S12 1 b2 ,

(1)

a2   S21 1 a1   S22 1 b2 ,

(2)

respectiv b2   S11 2 a2   S12 2 b3 ,

(3)

a3   S21 2 a2   S22 2 b3 ,

(4)

Determinarea matricei S corespunzătoare circuitului din figura 2.6 presupune rezolvarea – analitică sau grafică – a sistemului alcătuit din ecuaţiile (1) – (4). Rezolvare analitică Determinarea parametrilor 𝑆11 şi 𝑆21 impune absenţa undei incidente la poarta 2 a circuitului din figura 2.6, 𝑏3 = 0. În aceste condiţii relaţiile (3) şi (4) devin: b2   S11 2 a2 ,

(5)

a3   S21 2 a2 ,

(6)

Din definiţia coeficientului de reflexie 𝑆11 , rezultă: S11 

b1 . a1 b 0 3

Din (2) şi (5) se obţine: a2   S21 1 a1   S22 1  S11 2 a2

adică

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 12

2009

Circuite de Microunde

a2 

 S21 1 a1 . 1   S22 1  S11 2

(7)

Înlocuind 𝑎2 în (5) şi apoi 𝑏2 în (1), rezultă: b1   S11 1 a1   S12 1  S11 2

  S21 1 S  S  S   a1   S11 1  12 1 21 1 11 2  a1 1   S22 1  S11 2 1   S22 1  S11 2  

şi deci S11 

 S   S   S  1  j2 b1 .   S11 1  12 1 21 1 11 2  a1 1   S22 1  S11 2 5

Coeficientul de transmisie 𝑆21 poate fi obţinut plecând de la definiţia sa, S21 

a3 a1

. b3 0

Din (6) şi (7) rezultă: a3   S21 2 a2 

 S21 1  S21 2 a1 1   S22 1  S11 2

de unde S21 

 S21 1  S21 2 3  j 1  j3 .     j   1   S22 1  S11 2 5 5

Determinarea parametrilor 𝑆22 şi 𝑆12 impune absenţa undei incidente la poarta 1 a circuitului din figura 2.6, 𝑎1 = 0. În aceste condiţii relaţiile (1) şi (2) devin: b1   S12 1 b2 ,

(8)

a2   S22 1 b2 .

(9)

Din definiţia coeficientului de reflexie 𝑆22 , rezultă:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 13

2009

Circuite de Microunde

S22 

a3 b3

. a1 0

Din (3) şi (9) se obţine: b2   S22 1  S11 2 b2   S12 2 b3

adică b2 

 S12 2 b3 . 1   S22 1  S11 2

(10)

Înlocuind 𝑏2 în (9) şi apoi 𝑎2 în (4), rezultă: a3   S21 2  S22 1

S  S  S    S12 2 b3   S22 2 b3   22 1 12 2 21 2   S22 2  b3 1   S22 1  S11 2  1   S22 1  S11 2 

prin urmare S22 

a3  S22 1  S12 2  S21 2 3 j 3  j .    S22 2     j    j  b3 1   S22 1  S11 2 10 10

Coeficientul de transfer 𝑆12 este dat de expresia S12 

b1 b3

. a1 0

Din (8) şi (10) se obţine: b1   S12 1

 S12 2 b3 1   S22 1  S11 2

deci S12   S12 1

 S12 2 3 j 1  j3 .     j   1   S22 1  S11 2 5 5

Rezultă astfel matricea repartiţie a circuitului considerat:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 14

2009

Circuite de Microunde 1  j3   1  j2   S12  5 5    . S22   1  j3 3  j   5 10  

S S   11  S21

Rezolvare grafică Sistemul de ecuaţii (1) – (4) poate fi rezolvat şi pe cale grafică, folosind graful de fluenţă corespunzător circuitului din figura 2.6 şi regula lui Mason pentru determinarea transmitanţelor între diversele noduri din graf. Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizate de putere (v. fig. 2.6), rezultă graful asociat structurii analizate, prezentat în figura 2.7. Din definiţia coeficientului de reflexie 𝑆11 al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 2.6 şi folosind regula lui Mason, se obţine: S11 

b1 LΔ  k k , a1 b 0 k Δ 3

unde calea, unică, este: 𝑎1 → 𝑏1 . a1

1

 S11 1

a1  S21 1 a2  S21 2 a3

 S22 1

a1

 S11 2  S  22 2

b1  S  b2  S  b3 12 1 12 2

1

 S11 1

a1  S21 1 a2  S21 2 a3

 S22 1 b1  S  b2  S  b3 12 1 12 2

b) graf obţinut în urma eliminării căilor cu transmitanţa nulă

a) graf complet

Figura 2.7

Deoarece graful din figura 2.7.b) nu prezintă bucle, determinantul este Δ = 1. Pentru singura cale, 𝑎1 → 𝑏1 , se calculează: L1   S11 1 

1  j2 , 5

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 15

2009

Circuite de Microunde Δ1  1

şi deci S11 

1  j2 . 5

Coeficientul de transfer 𝑆21 poate fi calculat folosind expresia: S21 

a3 a1

b3 0

 k

Lk Δ k Δ

unde calea, unică, este 𝑎1 → 𝑎2 → 𝑎3 . Se calculează: L1   S21 1  S21 2 

3 j 1  j3 ,    j   5 5

Δ1  1

de unde S21  

1  j3 . 5

Coeficientul de transfer 𝑆12 poate fi calculat folosind expresia: S12 

b1 b3

a1 0

 k

Lk Δ k , Δ

unde există o singură cale, 𝑏3 → 𝑏2 → 𝑏1 . Se calculează: L1   S12 2  S12 1    j 

3 j 1  j3 ,  5 5

Δ1  1

deci

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 16

2009

Circuite de Microunde

S12  

1  j3 . 5

Coeficientul de reflexie 𝑆22 poate fi exprimat sub forma: S22 

a3 b3

a1 0

 k

Lk Δ k , Δ

calea fiind 𝑏3 → 𝑏2 → 𝑎2 → 𝑎3 . Se calculează: L1   S12 2  S22 1  S21 2    j 

3 j 3  j ,    j  10 10

Δ1  1

deci S22 

3  j . 10

Prin urmare, matricea repartiţie a circuitului considerat este: S S   11  S21

1  j3   1  j2  S12   5 5    . S22   1  j3 3  j   5 10  

Metoda 4 Determinarea matricei de repartiţie a circuitului din figura 2.6 poate fi efectuată şi cu ajutorul matricei de transfer a undelor, T. Astfel, notând cu 𝐓1 şi cu 𝐓2 matricea de transfer a primului diport, respectiv a celui de-al doilea, matricea de transfer corespunzătoare circuitului studiat este egală cu produsul matriceal al celor două matrice:  T11 1 T  T1  T2   T21 1

CM – Nicolae MILITARU

T12 1  T11 2 T12 2  T11   T22 1  T21 2 T22 2  T21

T12  . T22 

Pagina 17

2009

Circuite de Microunde

Parametrii de transfer pot fi exprimaţi în funcţie de parametrii de repartiţie corespunzători fiecărui diport, conform expresiilor: T11 

1 , S21

T12  

S22 , S21

T21 

S11 , S21

T22  S12 

S11S22 . S21

Aplicând setul precedent de relaţii, se obţin următoarele rezultate:

T11 1 

T21 1 

1 1 3 j   ,  S21 1 3  j 2 5

 S11 1  S21 1

T12 1  

1  j2 1 j  5  , 3 j 2 5

 S22 1  S21 1

3 j 1   10   , 3 j 2 5

S  S  3  j  T22 1   S12 1  11 1 22 1  5  S21 1

1  j2 3  j  5 10  1 3 j 2 5

deci 1 3  j   2 2 T1   , 1  j 1    2 2 

respectiv

T11 2 

1

 S21 2



CM – Nicolae MILITARU

1  j, j Pagina 18

2009

Circuite de Microunde

T21 2 

 S11 2  0,  S21 2

T21 2 

 S11 2  0,  S21 2

T12 2  

 S22 2 0,  S21 2

T22 2   S12 2 

 S11 2  S22 2  j  S21 2

prin urmare j 0 T2   . 0  j  

Calculele efectuate permit determinarea matricei de transfer a circuitului: T T   11 T21

1 3  j  1  j3  T12   2 2  j 0   2     T22   1  j 1  0  j  1  j  2  2 2 

j 2 ,  j 2 

și, de aici, matricea repartiție a structurii considerate, exprimând elementele matricei S în funcţie de parametrii T: 1 j T21 1  j2 , S11   2  T11 1  j3 5 2 S21 

1 1 1  j3 ,   T11 1  j3 5 2

j 1 j T12T21  j 2  2 1  j3 , S12  T22     T11 2 1  j3 5 2 CM – Nicolae MILITARU

Pagina 19

2009

Circuite de Microunde j T 3  j , S22   12   2  1  j3 T11 10 2

deci S S   11  S21

1  j3   1  j2  S12   5 5    . S22   1  j3 3  j    5 10 

3. Să se calculeze matricea de repartiție S corespunzătoare circuitului cu schema din figura 3.1, în raport cu impedanțele de referință 𝑍01 = 𝑍02 = 50Ω, la frecvența 𝑓 = 2GHz. Linia de transmisiune din circuit este fără pierderi și are drept dielectric aerul iar transformatorul ideal din schemă are raportul de transformare 𝑁 = 2. l  7,5cm

2 :1

Z C  50

R

Z 01 

50

Z 02  Figura 3.1

Rezolvare: Lungimea de undă în aer corespunzătoare frecvenței de lucru este c0 3  108    0,15m  15cm , f 2  109

prin urmare lungimea fizică a tronsonului din circuit este 𝑙 = 𝜆 2 (repetor de impedanţă). Metoda 1

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 20

2009

Circuite de Microunde

Pentru determinarea parametrilor 𝑆11 și 𝑆21 poarta 2 a circuitului din figura 3.1 trebuie terminată adaptat, ca în figura 3.2. l  7,5cm

2 :1

Z C  50

U1

U

ZR

50

U2

Z2

Z in1 Figura 3.2

Coeficientul de reflexie 𝑆11 poate fi calculat cu relația S11  Γ1 Z

2  Z 02



Zin1  Z 01 Zin1  Z 01

, Z 2  Z02

în care 𝑍𝑖𝑛 1 este impedanța de intrare la poarta 1 a circuitului: Zin1  ZC

Z S  jZ c tg l  ZS , ZC  jZ S tg l

unde ZS  N 2  Z R Z2   N 2

Z R Z2 50  50  4  100Ω . Z R  Z2 50  50

Se obține: S11 

100  50 1  . 100  50 3

Coeficientul de transfer 𝑆21 rezultă din expresia: S21 

Z 01 U 1  S11  2 Z 02 U1

. Z 2  Z02

Cu notaţiile din figura 3.2 factorul de transfer al tensiunii în condiţii de adaptare poate fi scris sub forma

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 21

2009

Circuite de Microunde U2 U1

 Z 2  Z 02

U2 U U U1 Z

, 2  Z 02

în care U2 1 1   U N 2

iar raportul 𝑈 𝑈1 poate fi calculat folosind expresia variaţiei amplitudinii tensiunii în lungul unei linii fără pierderi, U1  Ucos   l   jZC

U ZC  2    2   sin   l   Ucos  sin    jU   U , ZS ZS   2   2

deci U  1 , U1

prin urmare 2  1 1 S21  1      1   . 3  3 2

Pentru determinarea parametrilor 𝑆22 și 𝑆12 poarta 1 a circuitului din figura 3.1 trebuie terminată adaptat, ca în figura 3.3. l  7,5cm

U1

Z1

2 :1

Z C  50

ZR

U

50

Z in ,l

U2

Z in 2

Figura 3.3

Coeficientul de reflexie 𝑆22 poate fi calculat cu relația S22  Γ2 Z Z  1

01

CM – Nicolae MILITARU

Zin 2  Z 02 Zin 2  Z 02

, Z1  Z01

Pagina 22

2009

Circuite de Microunde unde Zin 2  Z R

1 1 1 Zin,l  Z R Z  50  50  10  Ω 2 2 1 N N 4

şi deci S22 

10  50 2  . 10  50 3

În final, coeficientul de transfer 𝑆12 rezultă din expresia: S12 

Z 02 U 1  S22  1 Z 01 U2

Z1  Z01

unde U1 U2

 Z1  Z01

U1 U   1  2  2 . U U2

Se obţine: 2  2 S12  1     2    . 3  3

Prin urmare, matricea de repartiţie a circuitului cu schema în figura 3.1 este: S S   11  S21

 1 S12   3  S22   2   3

2   3 . 2  3 

Metoda 2 Se bazează pe efectul translaţiei planului de referinţă de la poarta 1 a circuitului din figura 3.1, pe o distanţă egală cu lungimea tronsonului, l. În aceste condiţii se obţine structura din figura 3.4 a cărei matrice de repartiţie poate fi determinată mai uşor.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 23

2009

Circuite de Microunde

2 :1

ZR

50

Z 01 

Z 02  Figura 3.4

Pentru determinarea parametrilor 𝑆11 și 𝑆21 poarta 2 a circuitului din figura 3.4 trebuie terminată adaptat, 𝑍2 = 𝑍02 , ca în figura 3.5. 2 :1

U1

ZR

U2 50

Z 01 

Z2

Z 02  Figura 3.5

S11  Γ1 Z

2  Z 02



Zin1  Z 01 Zin1  Z 01

, Z 2  Z02

unde Zin1  N 2 Z R Z 2  N 2

Z R Z2 50  50  4  100  Ω , Z R  Z2 50  50

prin urmare S11 

100  50 1  . 100  50 3

Coeficientul de transfer 𝑆21 rezultă din expresia: S21 

Z 01 U 1  S11  2 Z 02 U1

, Z 2  Z02

unde

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 24

2009

Circuite de Microunde U2 U1

 Z 2  Z 02

1 1  , N 2

deci  1 1 2 S21  1     .  3 2 3

Pentru determinarea parametrilor 𝑆22 și 𝑆12 poarta 1 a circuitului din figura 3.4 trebuie terminată adaptat, 𝑍1 = 𝑍01 , ca în figura 3.6. 2 :1

Z1

U1

ZR

Z 01 

U2 50

Z 02  Figura 3.6

S22  Γ2 Z Z  1

01

Zin 2  Z 02 Zin 2  Z 02

, Z1  Z01

unde

Z in 2  Z R

Z1 50 50  2 1 N  4  10 Ω , Z  2 1 Z 50 N Z R  12 50  N 4 ZR 

deci S22 

10  50 2  . 10  50 3

În final, S12 

Z 02 U 1  S22  1 Z 01 U2

, Z1  Z01

în care

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 25

2009

Circuite de Microunde U1 U2

 N  2, Z1  Z 01

deci 2  2 S12  1    2  . 3  3

Sumarizând, matricea S a circuitului cu schema din figura 3.4 este: 1 3 S 2  3

2  3  . 2  3 

Notând cu 𝐒 ′ matricea de repartiţie a circuitului din figura 3.2, rezultă:

S  S11e ' 11

 j2  l1

S12'  S12e

1  j2 2 2 1  e  ; 3 3 2  j2 2 2  e  ; 3 3

 j  l1 l2 

 S21e

 j  l1 l2 

2  S12e j l   ; 3

S  S21e ' 21

 S11e

 j2  l

 j l

2 ' S22  S22e j2  l2  S22   . 3

Prin urmare, matricea de repartiţie a circuitului cu schema în figura 3.1 este: S S   11  S21

 1 S12   3  S22   2   3

2   3 . 2  3 

Metoda 3 Circuitul cu schema dată în figura 3.1 este alcătuit din 3 diporţi conectaţi în cascadă, ca în fig. 3.7.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 26

2009

Circuite de Microunde a1

a3

a2 S1

a4

S3

S2

b1

b2

b3

b4

Figura 3.7

Fiecare diport poate fi caracterizat prin intermediul matricei sale de repartiţie, 𝐒1 , 𝐒2 , 𝐒3 . Matricea repartiţie a tronsonului de linie din figura 3.1 este:   S11 1 S1    S21 1

 S12 1   0   S22 1  e j l

e j l   0 1  . 0   1 0 

Matricea S a transformatorului ideal poate fi calculată plecând de la schema din figura 3.8.a pentru determinarea parametrilor 𝑆11 şi 𝑆21 precum şi de la schema din figura 3.8.b pentru 𝑆22 şi 𝑆12 . Astfel, rezultă: N :1

N :1

U1

U2

Z in1 Z 01 

Z2

Z1

Z 02 

U1

U2

Z 01 

a)

Z 02  Z in 2 b)

Figura 3.8

S11 

S21 

S22 

S12 

Zin1  Z 01 Zin1  Z 01

 Z 2  Z02

Z 01 U 1  S11  2 Z 02 U1

Zin 2  Z 02 Zin 2  Z 02

Z1  Z 01

 1  S11  Z 2  Z02

1  3 1 4  1     , N  5 2 5

1 50 Z  Z  50 1 02 2 3 N 4    , 1 50 5 Z  Z 02  50 2 1 N 4

Z 02 U 1  S22  1 Z 01 U2

CM – Nicolae MILITARU

N 2 Z 2  Z 01 4  50  50 150 3    , N 2 Z 2  Z 01 4  50  50 250 5

Z1  Z01

4  3  1  S22  N  1    2  , 5  5

Pagina 27

2009

Circuite de Microunde prin urmare   S11 2 S2    S21 2

3  S12 2   5   S22 2   4  5

4  5  . 3  5 

Matricea 𝐒3 a diportului reprezentat de rezistorul R în configuraţie derivaţie este:

U1

ZR

Z in1 Z  01

U2

Z2

Z 02 

Figura 3.9

S11 

Zin1  Z 01 Zin1  Z 01

 Z 2  Z02

Z R Z 2  Z 01 50 50  50 1     S22 , Z R Z 2  Z 01 50 50  50 3

1 2 S21  1  S11  1    S12 . 3 3

Observaţie: Diportul reprezentat de rezistorul R este reciproc şi subţire. Rezultă:   S11 3 S3    S21 3

 1 2  S12 3    3 3   .  S22 3   2  1   3 3 

Pe baza matricelor de repartiţie 𝐒1 , 𝐒2 şi 𝐒3 şi ţinând cont de convenţia utilizată la desenarea undelor de putere din figura 3.7, se obţine: b1   S11 1 a1   S12 1 b2 , a2   S21 1 a1   S22 1 b2 ;

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 28

2009

Circuite de Microunde b2   S11 2 a2   S12 2 b3 , a3   S21 2 a2   S22 2 b3 ; b3   S11 3 a3   S12 3 b4 , a4   S21 3 a3   S22 3 b4 .

Rezolvarea sistemului alcătuit din cele 6 relaţii precedente poate fi efectuată analitic sau grafic, pe baza grafului de fluenţă corespunzător circuitului din figura 3.7. În cele ce urmează va fi abordată cea de-a doua metodă. Graful de fluenţă corespunzător circuitului din figura 3.7 este prezentat în figura 3.10. 1

a1

a1

S11 1 b1

S 21 1

a2

S 21 2 a S 21 3 3

S 22 1 S 22 2 S11 2 S11 3

1

a4

a1

a1

S 22 3

S12 1 b2 S12 2 b3 S12 3 b4

b1

a)

S 21 1

a2

S 21 2 a S 21 3 3

S 22 2 S11 2 S11 3

a4

S 22 3

S12 1 b2 S12 2 b3 S12 3 b4 b)

a)

graf complet; b) graf obţinut în urma eliminării căilor cu transmitanţa nulă Figura 3.10

Graful din figura 3.10.b) conține o singură buclă, prin urmare determinantul său este  3  1 4 Δ  1   S22 2  S11 3  1          .  5  3 5

Din definiţia coeficientului de reflexie 𝑆11 al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 3.7 şi folosind regula lui Mason, se obţine: S11 

b1  Lk Δk .  k a1 b Δ 4

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 29

2009

Circuite de Microunde

Între nodurile 𝑎1 şi 𝑏1 există 2 căi, 𝑎1 → 𝑎2 → 𝑏2 → 𝑏1 , respectiv 𝑎1 → 𝑎2 → 𝑎3 → 𝑏3 → 𝑏2 → 𝑏1 , deci 𝑘 = 2. Pentru prima cale, 3 3 L1   S21 1  S11 2  S12 1   1    1  , 5 5 1   

4 5

iar pentru cea de-a doua cale 4  1 4 16 L2   S21 1  S21 2  S11 3  S12 2  S12 1   1         1   , 5  3 5 75 2  1

prin urmare 3 4 16   L11  L2  2 5 5 75 1 S11    . 4  3 5

Coeficientul de transfer 𝑆21 poate fi calculat cu relația: a S21  4 a1



L  k

k

b4 0



k

.

Între nodurile 𝑎1 şi 𝑎4 există o singură cale, 𝑎1 → 𝑎2 → 𝑎3 → 𝑎4 , deci 𝑘 = 1, situație în care 4 2 8 L1   S21 1  S21 2  S21 3   1     5 3 15 1  1

adică

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 30

2009

Circuite de Microunde 8 2 S21  15   . 4 3 5 

Coeficientul de transfer 𝑆12 poate fi calculat folosind expresia: b S12  1 b4



L  k

k



a1 0

k

.

Între nodurile 𝑏4 și 𝑏1 există o singură cale, 𝑏4 → 𝑏3 → 𝑏2 → 𝑏1 . Se calculează: 2 4 8 L1   S12 3  S12 2  S12 1      1   , 3 5 15 1  1

deci 8 2 S12  15   . 4 3 5 

Coeficientul de reflexie 𝑆22 rezultă din expresia: S22 

a4 b4

a1 0

 k

Lk Δ k . Δ

Între nodurile 𝑏4 și 𝑎4 există 2 căi, 𝑏4 → 𝑎4 și 𝑏4 → 𝑏3 → 𝑎3 → 𝑎4 , deci 𝑘 = 2. Se calculează: 1 L1   S22 3   , 3 Δ1  Δ 

4 5

respectiv

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 31

2009

Circuite de Microunde 2  3 2 4 L2   S12 3  S22 2  S21 3         , 3  5 3 15 Δ2  1

de unde 1 4 4    L Δ  L2Δ 2 2 S22  1 1  3 5 15   . 4 Δ 3 5

Rezultă astfel matricea S a circuitului studiat: S S   11  S21

 1 S12   3  S22   2   3

2   3 . 2  3 

Metoda 4 Determinarea matricei de repartiţie a circuitului din figura 3.1 poate fi efectuată şi cu ajutorul matricei de transfer a undelor, T. Astfel, notând cu 𝐓1 ,𝐓2 și 𝐓3 matricele de transfer ale diporților din figura 3.7, matricea de transfer corespunzătoare circuitului studiat este dată de produsul matriceal al celor trei matrice:  T11 1 T  T1  T2  T3   T21 1

T12 1  T11 2 T12 2  T11 3 T12 3  T11    T22 1  T21 2 T22 2  T21 3 T22 3  T21

T12  T22 

Parametrii de transfer pot fi exprimaţi în funcţie de parametrii de repartiţie corespunzători fiecărui diport, conform expresiilor: T11 

1 , S21

T12  

T21 

S11 , S21

T22  S12 

CM – Nicolae MILITARU

S22 , S21 S11S22 . S21

Pagina 32

2009

Circuite de Microunde Aplicând setul precedent de relaţii, se obţin următoarele rezultate:

T11 1 

1  1 ,  S21 1

T21 1 

 S11 1  0,  S21 1

T12 1  

 S22 1 0,  S21 1

T22 1   S12 1 

 S11 1  S22 1  1  S21 1

deci  1 0  T1   ; 0  1  

T11 2  T21 2 

1

 S21 2

5  , 4

 S11 2 3  ,  S21 2 4

T12 2  

 S22 2 3  ,  S21 2 4

T22 2   S12 2 

 S11 2  S22 2 5  4  S21 2

de unde 5 4 T2   3  4

3 4  5 4 

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 33

2009

Circuite de Microunde și, în final,

T11 3 

1 3  ,  S21 3 2

T21 3 

 S11 3 1  ,  S21 3 2

T12 3  

 S22 3 1  ,  S21 3 2

T22 3   S12 3 

 S11 3  S22 3 1  , 2  S21 3

prin urmare  3  2 T3    1  2

1 2 . 1 2 

Se obține: 5  1 0   4 T   3 0  1     4

3  3 4  2  5  1  4   2

1  3  2  2  1  1  2   2

 1 . 1 

Matricea repartiție a structurii considerate poate fi determinată exprimând elementele matricei S în funcţie de parametrii T: 1 T 1 S11  21  2  , T11  3 3 2 

S21 

1 1 2   , T11  3 3 2

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 34

2009

Circuite de Microunde

 1 1     T T  2 2 , S12  T22  12 21  1  3 T11 3  2 S22  

T12 1 2   , 3 T11 3  2

deci S S   11  S21

 1 S12   3  S22   2   3

2   3 . 2  3 

4. Să se calculeze coeficientul de reflexie la poarta 1, Γ1 , a circuitului cu schema din figura 4.1, în raport cu impedanța de referință comună a sistemului, 𝑍0 = 50Ω, la frecvența de lucru. Circulatorul cu trei porți din schemă este ideal iar diportul reciproc, pasiv și nedisipativ este descris de următoarele elemente ale matricei sale 1

S, raportată la 𝑍0 : 𝑆11 = , 𝜑11 = 180∘, 𝜑22 = 0∘ . 4

S

1

Z 01 

1

Z 02  2

3

Z S  50  j50 

Figura 4.1

Rezolvare: Determinarea

coeficientului

de

reflexie

Γ1

presupune

cunoașterea

proprietăților elementelor din schemă, și anume matricele repartiție ale diportului și circulatorului ideal cu trei porți, precum și coeficienții de reflexie ai sarcinilor conectate la porțile circulatorului.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 35

2009

Circuite de Microunde

Ținând cont de elementele cunoscute ale matricei S a diportului reciproc și conservativ, rezultă: 1 1 S11  S11 e j11  e j180   ; 4 4 S21  1  S11  1  2

21  12 

11  22 2

1 15   S12 ; 16 4

 90 

180  90 0 ;180  . 2

Se poate alege, de exemplu, soluția 𝜑21 = 0∘ , situație în care

S21  S21 e j21 

15  S12 . 4

În final, 1 S22  S11  , 4

22  0 prin urmare S22  S22 e j22 

1 4

și deci matricea repartiție a diportului din schemă este: S S   11  S21

 1  S12   4  S22   15   4

15   4  . 1   4 

Circulatorul ideal cu trei porți poate fi caracterizat prin matricea 𝐒 ′ de forma:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 36

2009

Circuite de Microunde  S11'  ' S '   S21  S31' 

S13'  0 0 1    '  S23   1 0 0  . S33'  0 1 0 

S12' ' S22 S32'

′ ′ ′ Observație: La scrierea matricei 𝐒 ′ s-a considerat 𝜑13 = 𝜑21 = 𝜑32 = 0∘ , situație

care corespunde unei deplasări convenabile a planelor de referință de la porțile circulatorului. De notat faptul că matricea repartiție 𝐒 ′ ține cont de sensul de circulație din simbolul circulatorului prezentat în figura 4.1. Coeficientul de reflexie al scurtcircuitului conectat la poarta 2 a circulatorului este ΓS 2  1

iar coeficientul de reflexie al sarcinii de la poarta 3,  S 3 , are valoarea ΓS 3 

Z S  Z 0  50  j50   50 j 1  j2 .    Z S  Z 0  50  j50   50 2  j 5

Pentru rezolvarea problemei se precizează undele de putere de la porțile elementelor din circuit, ca în figura 4.2. a1 1

a2 b1

Z 0 

S

b1

a1 1

b2

Z 0 

a2 2

b2

3

a3

b3 Z S  50  j50 

Figura 4.2

Metoda 1 Ținând cont de matricele 𝐒 și 𝐒 ′ precum și de convenția folosită la desenarea undelor de putere din figura 4.2, rezultă relațiile liniare: b1  S11a1  S12a2 ,

b2  S21a1  S22a2

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 37

2009

Circuite de Microunde respectiv b1'  S13' a3' , ' b2'  S21 a1' ,

b3'  S32' a2' .

Din definiția coeficientului de reflexie al unei sarcini rezultă încă două ecuații, corespunzătoare celor două sarcini conectate la porțile 2 și 3 ale circulatorului: a2'  ΓS 2b2' , a3'  ΓS 3b3' .

Suplimentar, există următoarele identități: b2  a1' , a2  b1' .

Determinarea coeficientului de reflexie Γ1 adică a raportului 𝑏1 𝑎1 presupune rezolvarea – analitică sau grafică – a sistemului alcătuit din cele 9 relații de mai sus. Alegând a doua variantă de rezolvare, se desenează graful de fluență corespunzător circuitului cu schema din figura 4.2. S 21 a1 S11

b2  a1

 S 21

b2

S 2

a2

 S32

S 22 b1

S12

b1  a2

S13

a3

S 3

b3

Figura 4.3

Graful din figura 4.3 prezintă o singură buclă, prin urmare determinantul său este:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 38

2009

Circuite de Microunde ' Δ  1  S21 Γ S 2 S32' Γ S 3S13' S22  1  1   1  1 

1  j2 1 21  j2 . 1  5 4 20

Coeficientul de reflexie la intrarea uniportului din figura 4.2 este: Γ1 

b1  k Lk Δ k ,  a1 Δ

unde 𝑘 = 2, datorită celor două căi între nodurile 𝑎1 și 𝑏1 , 𝑎1 → 𝑏1 , respectiv 𝑎1 → 𝑏2 → 𝑏2′ → 𝑎2′ → 𝑏3′ → 𝑎3′ → 𝑎2 → 𝑏1 . Se obține: 1 L1  S11   , 4 Δ1  Δ 

21  j2 20

respectiv ' L2  S21S21 Γ S 2 S32Γ S 3S13' S12 

15 1  j2 15 3  j6 ,  1   1  1  1  4 5 4 16

Δ2  1

deci 1 21  j2 3  j6    L1Δ1  L2Δ 2 4 20 16   9  j8   41  j30 . Γ1   21  j2 Δ 21  j2 89 20

Metoda 2 Coeficientul de reflexie Γ1 poate fi interpretat ca fiind coeficientul de reflexie de la poarta 1 a unui diport cunoscut prin intermediul parametrilor săi de repartiție, Γ1  S11 

S12 S21Γ Sd , 1  S22 Γ Sd

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 39

2009

Circuite de Microunde

unde Γ𝑆𝑑 reprezintă coeficientul de reflexie al sarcinii conectate la poarta 2 a diportului, adică coeficientul de reflexie de la poarta 1 a circulatorului ideal, Γ1𝑐 . Cu notația din figura 4.2, Γ1𝑐 reprezintă raportul dintre unda reflectată la poarta 1 a circulatorului, 𝑏1′ și unda incidentă la aceeași poartă, 𝑎1′ . Acest raport poate fi determinat și din graful prezentat în figura 4.3, folosind regula lui Mason: b1' a2  k Lk Δ k , Γ1c  '   a1 b2 Δ

unde Δ = 1 iar 𝑘 = 1, calea fiind 𝑏2 → 𝑏2′ → 𝑎2′ → 𝑏3′ → 𝑎3′ → 𝑎2 . Se obține: ' L1  S21 Γ S 2 S32Γ S 3S13'  1   1  1 

1  j2 1  j2 , 1   5 5

Δ1  1

deci Γ1c 

L1Δ1 1  j2 .  Δ 5

Observație: În cazul determinării coeficientului de reflexie la poarta 1 a circulatorului, Γ1𝑐 , a fost utilizat graful din figura 4.3 în care s-a ignorat partea din graf corespunzătoare matricei S a diportului. Rezultă astfel, în final: 15 15  1  j2     1 41  j30 4 4  5  Γ1     . 1  1  j2  4 89 1    4  5 

5. Să se calculeze coeficientul de reflexie la poarta 1, Γ1 , pentru circuitul cu schema din figura 5.1, în raport cu impedanța de referință 𝑍0 = 50Ω, la frecvența 𝑓 = 1GHz. Linia de transmisiune are drept dielectric aerul și este fără pierderi iar

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 40

2009

Circuite de Microunde

la frecvența de lucru diportul din schemă este descris prin următoarea matrice de repartiție, raportată la 𝑍0 : l  3,75cm

1

Z C  50

Z 0 

ZS 100  j50

S

1d

S

 1  j2  5 S  2  j4  5

2  j4  5   1  j2  5 

Figura 5.1

Rezolvare: Lungimea de undă în aer corespunzătoare frecvenței de lucru este c0 3  108    0,3m  30cm , f 109

prin urmare, raportată la lungimea de undă, lungimea fizică a tronsonului de linie din circuit este 𝑙 = 𝜆 8. Metoda 1 Coeficientul de reflexie al sarcinii cu impedanța 𝑍𝑆 la frecvența de lucru este: ΓS 

Z S  Z 0 100  j50   50 1  j 2  j .    Z S  Z 0 100  j50   50 3  j 5

Pe baza rezultatului precedent poate fi calculat coeficientul de reflexie la poarta 1 a diportului din figura 5.1, Γ1𝑑 : 2  j4 2  j4 2  j   S12 S21Γ S 1  j2 5 4 5  1  j8 . Γ1d  S11    1  j2 2  j 1  S22 Γ S 5 13 1  5 5

Termenul Γ1 poate fi privit ca reprezentând coeficientul de reflexie la intrarea unei linii fără pierderi terminată pe o sarcină având coeficientul de reflexie Γ1𝑑 :

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 41

2009

Circuite de Microunde

Γ1  Γ1d e

 j2  l

1  j8  j2 2 8 8  j  e  . 13 13

Metoda 2 Linia de transmisiune conectată la poarta 1 a diportului cu schema din figura 5.1 are impedanța caracteristică egală cu impedanța de referință a sistemului, 𝑍𝐶 = 𝑍0 . În această situație poate fi calculată matricea repartiție a structurii compusă din line și diportul cu matricea S din enunț, folosind efectul translației planelor de referință (v. figura 5.2). Astfel, notând cu 𝐒 ′ matricea repertiție ce urmează a fi determinată, rezultă:

S  S11e ' 11

 j2  l1

S  S21e ' 21

 S11e

 j ( l1 l2 )

 j2  l

 S21e

1  j2  j2 2 8 2  j  e  , 5 5

 j l

2  j4  j2 8 2  j4  j4  e  e , 5 5

' , S12'  S12e j (l1 l2 )  S12e j l  S21

' S22  S22e j2  l2  S22 

1  j2 . 5

1

Z 0 

ZS 100  j50

S

S

Figura 5.2

Coeficientul de reflexie la intrarea circuitului din figura 5.2, Γ1 , rezultă din expresia:

2  j4  j4 2  j4  j4 2  j e  e  ' S12' S21 ΓS 2  j ' 5 5 5  8 j. Γ1  S11    ' 1  j2 2  j 1  S22 Γ S 5 13 1  5 5

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 42

2009

Circuite de Microunde Metoda 3

Circuitul din figura 5.1 este alcătuit din trei elemente – doi diporți și un uniport sarcină – conectate în cascadă. Poate fi astfel redesenată schema, ca în figura 5.3. a1

a3

a2 S1

S

S2

b1

b2

b3

Figura 5.3

Cunoscând și matricea 𝐒1 corespunzătoare tronsonului de linie,

  S11 1 S1    S21 1

 S12 1   0   S22 1  e j l



 e   0  0    j4 e  j l

e

   0 

j

4

pot fi scrise relațiile liniare între undele de putere din figura 5.3: b1   S11 1 a1   S12 1 b2 , a2   S21 1 a1   S22 1 b2 , b2   S11 2 a2   S12 2 b3 , a3   S21 2 a2   S22 2 b3 ,

b3  ΓS a3 .

Rezolvarea pe cale grafică a acestui sistem presupune determinarea grafului de fluență corespunzător circuitului cu schema din figura 5.3.

S 21 1 a1 b1

a2

S11 2 S12 1

b2

S 21 2

a3

S 22 2

S12 2

S b3

Figura 5.4 CM – Nicolae MILITARU

Pagina 43

2009

Circuite de Microunde Determinantul grafului din figura 5.4 este:  1  j2  2  j 5  j Δ  1   S22 2 ΓS  1     .  5  5 5 

Coeficientul de reflexie Γ1 rezultă din expresia Γ1 

b1  k Lk Δ k  a1 Δ

unde 𝑘 = 2, cele două căi între 𝑎1 și 𝑏1 fiind 𝑎1 → 𝑎2 → 𝑏2 → 𝑏1 și 𝑎1 → 𝑎2 → 𝑎3 → 𝑏3 → 𝑏2 → 𝑏1 . Se calculează:

L1   S21 1  S11 2  S12 1  e Δ1  Δ 



j

4

1  j2  j4 2  j  e  , 5 5

5 j 5

respectiv L2   S21 1  S21 2 Γ S  S12 2  S12 1  e 

4  j8 25



j

4



 2  j4  2  j  2  j4   j 4    e  5  5  5   ,

Δ2  1

prin urmare 2  j 5  j 4  j8   L1Δ1  L2Δ 2 5 5 25  3  j  8  j . Γ1   5 j Δ 5  j 13 5

6. Să se calculeze parametrul 𝑆11 pentru schema din figura 6.1, în raport cu impedanţa de referinţă comună la ambele porţi ale circuitului, 𝑍0 = 50Ω, la frecvenţa 𝑓 = 3GHz. Linia are ca dielectric aerul şi prezintă pierderi neglijabile iar

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 44

2009

Circuite de Microunde

la frecvenţa de lucru diportul este descris prin următoarele elemente ale matricei 1

sale S, raportată la impedanţa de referinţă comună a sistemului, 𝑍0 : 𝑆11 = ej𝜋 , 3

1

𝜋

1

𝑆12 = 𝑆21 = ej 2 , 𝑆22 = . 2

4

l  1,25cm Z C  75

 Z0 

Z in

S

Z in ,d

 Z0 

Figura 6.1

Rezolvare: Lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru are valoarea:



c0 3  108   0,1m  10cm . f 3  109

Lungimea fizică a liniei poate fi exprimată în funcţie de lungimea de undă: l  1,25cm 

 8

.

𝑆11 este coeficientul de reflexie la poarta 1 a diportului din schemă, cu poarta 2 terminată pe o impedanţă, 𝑍2 egală cu impedanţa de referinţă de la această poartă: 𝑍2 = 𝑍0 = 50Ω. Poate fi calculat folosind expresia: S11  Γ1 Z

2  Z0



Zin,d  Z 0 Zin,d  Z 0

. Z 2  Z0

Rezultă de aici impedanţa de intrare în diport care poate fi privită şi ca reprezentând sarcina tronsonului de linie:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 45

2009

Circuite de Microunde 1 1  S11  Z0  50  3  25 Ω . 1 1  S11 1 3 1

Z in ,d

Impedanţa de intrare în linie, 𝑍𝑖𝑛 , poate fi calculată cu expresia: Zin  ZC

Zin,d  jZC tg l , ZC  jZin,d tg l

unde produsul 𝛽𝑙 semnifică lungimea electrică a tronsonului; la frecvenţa de lucru are valoarea

l 

2     rad .  8 4

Rezultă: Zin  75 

25  j75  tg  / 4  1  j3  75   45  j60 [Ω] . 75  j25  tg  / 4  3 j

Cunoscând impedanţa de intrare în linie, coeficientul de reflexie la poarta 1 a circuitului din figura 6.1, cu poarta 2 terminată adaptat poate fi calculat imediat: S11' 

Zin  Z 0 Zin  Z 0

 Z 2  Z0

 45  j60   50  1  j12 .  45  j60   50 19  j12

Observaţie: Impedanţa caracteristică a liniei este diferită de impedanţa de normare, 𝑍𝐶 ≠ 𝑍0 , prin urmare nu poate fi aplicată metoda deplasării planului de referinţă de la poarta 1 a diportului din circuit. 7. Să se arate că puterea disponibilă a unui generator, 𝑃𝑑𝐺 , nu depinde de impedanța de normare 𝑍0 utilizată la definirea variabilelor de repartiție. Caz ∘

particular: 𝐸 = 100ej120 V, 𝑍𝐺 = 𝑅𝐺 = 50Ω. Rezolvare:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 46

2009

Circuite de Microunde

În teoria clasică a circuitelor liniare, orice generator (uniport activ) poate fi reprezentat prin scheme echivalente de tip Thévenin (generator de tensiune constantă, în serie cu o impedanță internă) sau Norton (generator de curent constant, în paralel cu o admitanță internă). În figura 7.1 sunt prezentate două moduri echivalente de a caracteriza un generator. ZG

I

aG 

U

E

E Re Z 0 Z G  Z 0*

aG G

Z  Z0 G  G Z G  Z 0*

U  E  ZG I

a b

Z 0 

a  aG  G b

Figura 7.1

Puterea maximă pe care poate să o transfere un generator unei sarcini se numește putere disponibilă a generatorului respectiv, 𝑃𝑑𝐺 . Notând cu 𝑃 puterea pe care poate să o transfere un generator unei sarcini,





a 1  ΓS 1 2 2 , P a  b  G 2 2 1  ΓG Γ S 2 2

2

rezultă: a 1  ΓG aG  G  , 2 2 2 1 Γ 2 2 1  ΓG G 2

PdG  P Γ

* S  ΓG

2

2





în care Γ𝑆 este coeficientul de reflexie (generalizat) al sarcinii, Z S  Z 0* ΓS  Z S  Z0

iar Γ𝐺 reprezintă coeficientul de reflexie al generatorului, ΓG 

ZG  Z 0 . ZG  Z 0*

Se obține:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 47

2009

Circuite de Microunde

E ReZ 0  2

PdG 

ZG  Z

Z G  Z 0*

2

1 2   Z  Z G 0  2 1  * 2   ZG  Z0  

* 2 0

E Re Z 0 

E ReZ 0 



Z G  Z 0*

2



2 ZG  Z

* 2 0

2

 ZG  Z 0

2





2





2

2 Z G  Z 0*  Z G  Z 0

2



.

Cu notația 𝑍0 = 𝑅0 + j𝑋0 , respectiv 𝑍𝐺 = 𝑅𝐺 + j𝑋𝐺 , rezultă: 2

2

E R0

E . PdG   2 2 2 2 8 R   2  RG  R0    X G  X 0    RG  R0    X G  X 0  G  

Numeric, se obține:

1002 PdG   25W . 8  50

8. Se consideră un generator având puterea disponibilă 𝑃𝑑𝐺 = 1W și coeficientul de reflexie Γ𝐺 = 1 2, precum și un diport caracterizat parametrii S11  1 2 , S12  S21  3 2 , S22  1 2 în raport cu impedanța de referință comună 𝑍0 ,

interconectate ca în figura 8.1. Să se determine parametrii

𝑎𝐺′

și Γ𝐺′ care definesc proprietățile

generatorului echivalent rezultat în urma interconectării, precum și puterea ′ disponibilă a acestuia, 𝑃𝑑𝐺 .

aG G

a1

a1 S

b1

aG G

Z 0 

b1

Figura 8.1

Rezolvare:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 48

2009

Circuite de Microunde Din definiția puterii disponibile a generatorului, PdG 



2

aG

2 1  ΓG

2



,

poate fi calculat termenul corespunzător sursei sale interne de energie, 𝑎𝐺 :



aG  2 PdG 1  ΓG 2

2

  21  14   1,5 [W] .

Unda emergentă 𝑎1 depinde de sursa internă a generatorului, 𝑎𝐺 , precum și de coeficientul său de reflexie, Γ𝐺 : a1  aG  ΓGb1 .

Pe de altă parte, din definiția matricei repartiție a diportului și pe baza convenției utilizată la desenarea undelor de putere din figura 7.1, se obține: b1  S11a1  S12b1' ; a1'  S21a1  S22b1' .

Rezultă astfel graful de fluență corespunzător circuitului considerat, desenat în figura 8.2. aG

1

G

a1 S 21 a1 S11

S 22

b1 S12 b1

Figura 8.2

Determinantul grafului din figura 8.2 are valoarea: 1 1 3 Δ  1  S11ΓG  1    . 2 2 4

Pentru termenul 𝑎𝐺′ , conform definiției sale rezultă: aG'  a1'

b1' 0

,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 49

2009

Circuite de Microunde unde 𝑎1′ poate fi dedus evaluând raportul 𝑎1′ 𝑎𝐺 cu ajutorul grafului: a1' L1Δ1 S21 S a    a1'  21 G . Se obține: aG Δ 1  S11ΓG 1  S11ΓG 3 3  S21 aG ' 2 2  2 [ W]. aG   1 1 1  S11ΓG 1   2 2

Coeficientul de reflexie al generatorului echivalent, Γ𝐺′ , poate fi calculat pe baza definiției sale: a1' Γ  ' b1 a



' G

G 0

L1Δ1  L2Δ 2 S22Δ  S12 ΓG S21 S S Γ   S22  12 21 G  Δ Δ 1  S11ΓG

3 3 1 1 2  2  2   0. 1 1 2 1  2 2

Prin urmare, puterea disponibilă a generatorului echivalent va fi: ' PdG 



aG'

2

2 1  ΓG'

2





2  1 [W] . 2

9. Se consideră un circuit alcătuit din doi diporţi, un circulator ideal cu trei porţi şi un scurtcircuit ideal, interconectate ca în figura 9.1. Cunoscând matricele de repartiţie ale elementelor din schemă la frecvenţa de lucru, în raport cu o impedanţă de referinţă reală, 𝑍0 , să se determine matricea de repartiţie 𝐒 corespunzătoare circuitului din figura 9.1, la frecvenţa de lucru, în raport cu aceeaşi impedanţă 𝑍0 . Rezolvare:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 50

2009

Circuite de Microunde

Diportului echivalent circuitului din figura 9.1, îi corespund porţile 1 şi 1, undele generalizate corespunzătoare fiind 𝑎1 şi 𝑏1 , respectiv 𝑎2 şi 𝑏2 . Pentru determinarea matricei de repartiţie a circuitului poate fi aplicată metoda grafurilor de fluenţă şi regula lui Mason. Aceasta presupune, în primul rând, cunoaşterea proprietăţilor externe ale tuturor elementelor din schemă: cei doi diporţi, circulatorul ideal şi uniportul scurtcircuit fix.

 Z0  a1

a1

a2

1

1

 Z0 

S1

3

a1

2

1

b1

b1 b1

a3

b3

S 3

a2

1

2

b2

b1

 Z0 

a2

a1

2

S2

b2

b2 b2

 Z0 

a2

2

 Z0 

Figura 9.1

1  j2  5 S1    3 j  5

3  j 5   3  j 10 

 1  j2  5 S2     2  j4  5

2  j4  5  . 1  j2   5 



Circulatorul ideal cu trei porţi, al cărui simbol este prezent în figura 9.1, este un triport nereciproc

𝑆𝑖𝑗 ≠ 𝑆𝑗𝑖 , 𝑖 ≠ 𝑗 , pasiv, nedisipativ, total adaptat

(𝑆𝑖𝑖 = 0, 𝑖 = 1, 4). Ţinând cont şi de sensul de circulaţie al circulatorului (sens orar, în circuit), alegând convenabil poziţiile planelor sale de referinţă rezultă matricea sa de repartiţie, 𝐒𝟑 , de forma:   S11 3  S3   S21 3  S31  3 

 S12 3  S13 3  0  S22 3  S23 3   0  S32 3  S33 3  1

1 0 0 1 ,  0 0 

sau, pe componente (v. şi figura 9.1): CM – Nicolae MILITARU

Pagina 51

Circuite de Microunde

2009

b1''   S11 3 a1''   S12 3 a2''   S13 3 a3''   S12 3 a2''  a2''

(1)

b2''   S21 3 a1''   S22 3 a2''   S23 3 a3''   S23 3 a3''  a3''

(2)

b3''   S31 3 a1''   S32 3 a2''   S33 3 a3''   S31 3 a1''  a1''

(3)

Din definiţia matricei 𝐒 şi conform notaţiilor din figura 9.1, rezultă pentru primul diport:

b1'   S11 1 a1'   S12 1 a2' ,

(4)

b2'   S21 1 a1'   S22 1 a2'

(5)

Pentru al doilea diport se obţine un sistem similar:

b1'''   S11 2 a1'''   S12 2 a2'''

(6)

b2'''   S21 2 a1'''   S22 2 a2'''

(7)

Scurtcircuitul fix din circuit reprezintă un uniport sarcină caracterizat prin intermediul coeficientului său de reflexie, Γ𝑆3 . Cu notaţiile din figură, acesta este dat de expresia a3'' Γ S 3  '' b3

şi are valoarea Γ𝑆3 = −1, de unde a3''  b3'' .

(8)

De asemenea, conform notaţiilor din schemă, există următoarele egalităţi: a1  a1' ,

b1  b1' ;

(9)

a2  a2''' , b2  b2''' ;

(10)

a2'  b1'' , a1''  b2' ;

(11)

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 52

2009

Circuite de Microunde a2''  b1''' , a1'''  b2'' .

(12)

Pe baza (1) ÷ (12) poate fi desenat graful de fluenţă al circuitului, prezentat în figura 9.2. Determinantul grafului este dat de expresia Δ  1  ΓS 3  S23 3  S11 2  S12 3  S22 1  S31 3

şi are valoarea Δ  1   1  1 

1  j2 3  j 11  j . 1 1  5 10 10

S 3

b3

 S23 3

 S31 3 a1  a1

 S21 1

 S11 1 b1  b1

a3

b2  a1

b2  a1

 S21 2

 S22 1  S11 2  S12 1

b2  b2

 S22 2

a2  b1  S  a2  b1  S  a2  a2 12 3 12 2 Figura 9.2

Parametrii de repartiţie ai circuitului din figura 9.1 pot fi determinaţi pe baza definiţiei acestora şi aplicând regula lui Mason grafului din figura 9.2. Din definiţia coeficientului de reflexie 𝑆11 rezultă: b1 b1'  Lk Δk . S11   '  k a1 a 0 a1 a'' 0 Δ 2

2

Din graf se constată existenţa a două căi între nodurile 𝑎1′ şi 𝑏1′ , 𝑎1′ → 𝑏1′ respectiv 𝑎1′ → 𝑏2′ → 𝑏3′′ → 𝑎3′′ → 𝑏2′′ → 𝑎2′′ → 𝑎2′ → 𝑏1′ . Transmitanţa primei căi este CM – Nicolae MILITARU

Pagina 53

2009

Circuite de Microunde L1   S11 1 

1  j2 , 5

iar Δ1  Δ 

11  j . 10

Transmitaţa celei de a doua căi este dată de expresia L2   S21 1  S31 3 ΓS 3  S23 3  S11 2  S12 3  S12 1

şi are valoarea L2 

3 j 1  j2 3  j 4  j2  1   1  1  1   5 5 5 25

iar Δ2  1 .

Prin urmare 1  j2 11  j  4  j2      L1Δ1  L2Δ 2 5 10 25  3  j28  S11    . 11  j Δ 61 10

Coeficientul de transfer 𝑆21 este dat de expresia b S21  2 a1

a2  0

b2'''  ' a1

. a2''' 0

Din graf rezultă o singură cale între nodurile 𝑎1′ şi 𝑏2′′′ , şi anume 𝑎1′ → 𝑏2′ → 𝑏3′′ → 𝑎3′′ → 𝑏2′′ → 𝑏2′′′ . Transmitanţa căii este L1   S21 1  S31 3 ΓS 3  S23 3  S21 2

şi are valoarea

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 54

2009

Circuite de Microunde

L1 

3 j  2  j4  2  j2  1   1  1    ,  5 5  5 

iar Δ1  1 ,

caz în care 2  j2 LΔ 24  j20 S21  1 1  5  . 11  j Δ 61 10

Conform definiţiei coeficientului de reflexie 𝑆22 , rezultă: b S22  2 a2

b2'''  ''' a2 a 0 1

. a1' 0

Din figura 9.2 se constată existenţa a două căi între nodurile 𝑎2′′′ şi 𝑏2′′′ şi anume 𝑎2′′′ → 𝑏2′′′ ,

respectiv

𝑎2′′′ → 𝑏1′′′ → 𝑎2′ → 𝑏2′ → 𝑏3′′ → 𝑎3′′ → 𝑏2′′ → 𝑏2′′′ .

Transmitanţa primei căi are valoarea L1   S22 2  

1  j2 , 5

iar Δ1  Δ 

11  j , 10

în timp ce transmitanţa celei de a două căi este dată de expresia L2   S12 2  S12 3  S22 1  S31 3 ΓS 3  S23 3  S21 2

şi are valoarea L2  

2  j4 3  j  2  j4  2  j6 1  1   1  1    .  5 10 5  25 

iar CM – Nicolae MILITARU

Pagina 55

2009

Circuite de Microunde Δ2  1 ,

situaţie în care 1  j2 11  j 2  j6   L1Δ1  L2Δ 2 5 10 25   9  j38 . S22   11  j Δ 61 10 

Coeficientul de transfer 𝑆12 este dat de expresia b S12  1 a2

a1 0

b1'  ''' a2

. a1' 0

Între nodurile 𝑎2′′′ şi 𝑏1′ există o singură cale, 𝑎2′′′ → 𝑏1′′′ → 𝑎2′ → 𝑏1′ . Transmitanţa acestei căi are expresia L1   S12 2  S12 3  S12 1

şi valoarea L1  

2  j4 3  j 2  j2 , 1  5 5 5

în timp ce Δ1  1 ,

caz în care 2  j2 LΔ 5   24  j20 . S12  1 1  11  j Δ 61 10 

Matricea de repartiţie corespunzătoare diportului echivalent circuitului din figura 9.1 este: S S   11  S21

S12  1  3  j28 24  j20 .   S22  61  24  j20 9  j38 

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 56

2009

Circuite de Microunde

Observație: Diportul obținut este nereciproc din cauza prezenței, în structura sa, a unui element nereciproc – circulatorul cu trei porți. 10. Doi triporţi sunt interconectaţi ca în figura 10.1. Cunoscând matricele de repartiţie ale celor doi triporţi, să se determine matricea S a circuitului rezultat în urma interconectării acestora. Toate impedanţele de referinţă din circuit sunt egale cu o valoarea reală 𝑍0 .

2 1

1

S

2

1

2

3 Z0

S 3

Figura 10.1

0 1 1  S'    1 0 2   3 1

3  1 ; 0 

 0 1 1  S''    1 0 2  j 3 1

j 3  1 . 0 

Rezolvare: Circuitul care se obţine este un diport a cărui matrice S cuprinde patru parametri; doi dintre aceştia, 𝑆11 şi 𝑆21 presupun drept poartă de intrare poarta 1 a circuitului (v. figura 10.1), poarta 2 a acestuia fiind terminată adaptat iar ceilalţi doi parametri, 𝑆12 şi 𝑆22 implică drept poartă de intrare poarta 2 a circuitului, cu poarta 1 terminată adaptat. Rezultă astfel două cazuri:  determinarea parametrilor 𝑆11 şi 𝑆21

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 57

2009

Circuite de Microunde a2 a1 1

2

1

S 3

b1

b2 b3

2 b2 b3 3 Z0

1

S

2

Z0

b2

Figura 10.2

Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizate de putere (v. figura 10.2) rezultă graful asociat, prezentat în figura 10.3. b1  b2

S13 b2

a1

S12

 b 2 S23 2

S 1 a1 21

 a2 S32

S12 b3  a2

 S31 b3

b1  b1

 S32 Figura 10.3

Graful din figura 10.3 nu conţine bucle, aşadar determinantul său are valoarea Δ = 1. Coeficientul de reflexie 𝑆11 al circuitului considerat poate fi calculat cu relaţia b1 b1'  Lk Δk  L , (deoarece Δ = 1), S11   '  k k k a1 a 0 a1 a'' 0 Δ 2

1

unde intervine o singură cale, 𝑎1 → 𝑎1′ → 𝑏2′ → 𝑏2′′ → 𝑎2′′ → 𝑏3′′ → 𝑏1′ → 𝑏1 . Corespunzător, 1 1 1 1 1 ' '' L1  S21 S23 Γ''2 S32'' S12'     1     , 2 2 2 2 16

deci,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 58

2009

Circuite de Microunde

S11  

1 . 16

Coeficientul de transfer 𝑆21 are expresia b S21  2 a1

b1''  '  Lk , a '' k 1 a 0 a 0 2

1

unde între nodurile 𝑎1 şi 𝑏2 se evidenţiază două căi, 𝑎1 → 𝑎1′ → 𝑏2′ → 𝑏1′′ ≡ 𝑏2 , respectiv 𝑎1 → 𝑎1′ → 𝑏2′ → 𝑏2′′ → 𝑎2′′ → 𝑏1′′ ≡ 𝑏2 . Rezultă:

1 3 3 L1  S21' S13''   j j , 2 2 4 1 1 1 1 ' '' L2  S21 S23 Γ''2 S12''     1    , 2 2 2 8

şi deci 1 3 . S21    j 8 4

 determinarea parametrilor 𝑆22 şi 𝑆12 a2

b1  b1 1 Z0

1

b3

2 S 3

2 b2

b3

3 Z0

S

a1  a2 1 2

b1  b2

Figura 10.4

Graful asociat este prezentat în figura 10.5.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 59

2009

Circuite de Microunde S12    S b a a1 31 3 1 2

1

a2

 S21 b2

 S32 2 a2 S12

b1  b1

 S32

b3

b1  b2

Figura 10.5

Graful din figura 10.5 nu conţine bucle, aşadar determinantul său este Δ = 1. În acest caz, coeficientul de reflexie 𝑆22 poate fi scris sub forma: S22 

b2 a2

 a1 0

b1'' a1''

a1' 0

 Lk , k

unde între 𝑎2 şi 𝑏2 este o cale unică: 𝑎2 → 𝑎1′′ → 𝑏2′′ → 𝑎2′′ → 𝑏1′′ ≡ 𝑏2 . Rezultă de aici: 1 1 1 '' L1  S21 Γ''2 S12''    1    , 2 2 4

şi deci 1 S22   . 4

Coeficientul de transfer 𝑆12 are expresia: b S12  1 a2

b1'  '' a1 a 0 1

a1' 0

 Lk , k

unde între nodurile 𝑎2 şi 𝑏1 apar două căi: 𝑎2 → 𝑎1′′ → 𝑏3′′ → 𝑎2′ → 𝑏1′ ≡ 𝑏1 , respectiv 𝑎2 → 𝑎1′′ → 𝑏2′′ → 𝑎2′′ → 𝑏3′′ → 𝑎2′ → 𝑏1′ ≡ 𝑏1 . În această situaţie, rezultă:

L1  S31'' S12'  j

3 1 3  j , 2 2 4

1 1 1 1 '' L2  S21 Γ''2 S32'' S12'    1     , 2 2 2 8

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 60

Circuite de Microunde

2009

de unde 1 3 S12    j . 8 4

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 61

Circuite de Microunde

CM – Nicolae MILITARU

2009

Pagina 62

2009

Circuite de Microunde

Capitolul

2

Cuploare directive și divizoare de putere 1. Se consideră un cuplor directiv ideal cu cuplaj prin două tronsoane de lungime 𝜆 4 (branch-line) având atenuarea de cuplaj 𝐴𝑐 = 3dB și faza parametrului 𝑆41 , 𝜑41 = −180∘. Să se calculeze raportul de undă staționară 𝜎 pe linia de acces fără pierderi conectată la poarta 1 a cuplorului precum și puterea transmisă sarcinii adaptate de la poarta 2 știind că puterea incidentă la poarta 1 este 𝑃1 = 10mW şi: a) porţile 3 şi 4 sunt terminate adaptat; b) poarta 3 este terminată adaptat şi poarta 4 este terminată în scurtcircuit; c) poarta 3 este terminată în scurtcircuit şi poarta 4 este terminată în scurtcircuit; d) poarta 3 este terminată în scurtcircuit şi poarta 4 este lăsată în gol. Impedanţele de referinţă de la porţile cuplorului sunt egale cu o valoare reală 𝑍0 . 3

4

b2

a1

Z0 1b1

2

Figura 1.1

Rezolvare: CM – Nicolae MILITARU

Pagina 63

2009

Circuite de Microunde

Determinarea mărimilor cerute presupune caracterizarea elementelor din schemă. Cuplorul directiv ideal cu două tronsoane de cuplaj în 𝜆 4 este un cuadriport liniar, reciproc, pasiv şi nedisipativ total adaptat. Ştiind că poarta 1 reprezintă poarta de intrare a cuplorului şi ţinând cont de proprietăţile acestuia, rezultă relaţiile: Sij  S ji , i  j, i, j 1,2,3,4 S11  S22  S33  S44  0 ;

S43  S21 ; S32  S41 ;

S42  S31  0 .

Atenuarea de cuplaj din enunţ reprezintă atenuarea puterii între porţile 1 (intrare) şi 4 (cuplată) ale cuplorului directiv ideal, în situaţia când toate porţile lui sunt terminate adaptat: 1 1 AC    10 C S41 2

AC  dB 10

3 10

 10  2 ,

de unde S41 

1 2

şi, de aici: S41  S41 e j41 

1  j180 1 e  . 2 2

Fiind un cuadriport conservativ, rezultă: S21  S41  1 , 2

2

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 64

2009

Circuite de Microunde deci 2

S21  1  S41

1  1  .  1    2  2

2

Din punct de vedere al defazajului semnalelor emergente la porţile 2 (transmisie) şi 4, cuplorul branch-line este un cuplor în cuadratură (tip Q):

21  41  90 , prin urmare

21  41  90  180  90  90 şi deci 1  j900  j e  . 2 2

S21  S21 e j21 

Observaţie: Faza parametrilor 𝑆21 şi 𝑆41 rezultă din geometria cuplorului, ştiind că drumul parcurs de semnal între porţile 1 şi 2 este 𝜆 4, adică un defazaj de 90∘ , iar între porţile 1 şi 4 este de 𝜆 2, ceea ce corespunde unui defazaj de 180∘ , la frecvenţa nominală. Cu datele obţinute poate fi scrisă matricea S a cuplorului:

0 S S   21 0   S41

S21

0

0

S41

S41 0

0 S21

  0  S41    j 0  2  S21   0  0    1  2

j 2

0

0

1 2

1 2

0

0

j 2

1  2  0   . j  2  0  

Raportul de undă staţionară pe linia de acces, 𝜎, poate fi calculat pe baza relaţiei

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 65

2009

Circuite de Microunde



1  Γ1 , 1  Γ1

unde Γ1 reprezintă coeficientul de reflexie la poarta 1 a cuplorului, definit ca raportul dintre unda reflectată şi unda incidentă la această poartă, Γ1 

b1 . a1

Puterea emergentă la poarta 2 a cuplorului, terminată adaptat, depinde de cuplajul existent între porţile 1 şi 2: 2

b P2  C12 P1  2 P1 . a1

Observaţie: Dacă porţile 2, 3 şi 4 ale cuplorului sunt terminate adaptat atunci cuplajul din relaţia precedentă este dat chiar de coeficientul de transfer 𝑆21 , 𝐶1−2 = 𝑆21 2 . Atât raportul de undă staţionară cât şi puterea emergentă la poarta 2 depind de sarcinile conectate la porţile 3 şi 4. Configuraţia a) → porţile 3 şi 4 terminate adaptat Schema circuitului este prezentată în figura 1.2 iar graful de fluenţă corespunzător este desenat în figura 1.3. 3

b4 4

Z0

Z0 Z0 1b1

b4

S 21

b2

a1

S 41

a1

b2

2

Figura 1.2

Figura 1.3

La cuplorul directiv ideal din figura 1.2, semnalul aplicat la poarta 1 se transmite către porţile 2 şi 4, terminate adaptat. Datorită coeficienţilor de reflexie nuli ai sarcinilor conectate la porţile 2 şi 4, nu va exista reflexie către

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 66

2009

Circuite de Microunde

poarta 3 (izolată faţă de poarta 1) şi nici către poarta 1, situaţie în care 𝑏1 = 0, adică Γ1 = 0, şi deci 𝜎 = 1. Această valoare a raportului de undă staţionară corespunde unui regim de undă progresivă pe linia de acces. Puterea transmisă sarcinii adaptate de la poarta 2 are valoarea: 2

2

b j 2 P2  2 P1  S21 P1   10  5 mW . a1 2

Observaţie: În mod asemănător poate fi determinată puterea transmisă terminaţiei de la poarta 4 a cuplorului: 2

2

b 1 2 P4  4 P1  S41 P1   10  5 mW a1 2

Se verifică astfel conservarea puterii în circuit care statuează egalitatea dintre puterea incidentă 𝑃1 şi suma puterilor 𝑃2 şi 𝑃4 , emergente la porţile cuplorului ideal. Configuraţia b) → poarta 3 terminată adaptat, poarta 4 terminată în scurtcircuit Schema circuitului este prezentată în figura 1.4 iar graful de fluenţă corespunzător este desenat în figura 1.5. 3b

3

b4 4

Z0

a4

S 4

b2

a1

Z0 1b1

2

Figura 1.4

S 41

a1

b4

S 4

S 21

a4

b3

S 41

S 21 b2

b1

Figura 1.5

Scurtcircuitul fix din schemă este caracterizat prin intermediul coeficientului său de reflexie, Γ𝑆4 : ΓS 4 

a4  1, b4

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 67

2009

Circuite de Microunde deci a4  ΓS 4b4  b4 .

În cazul schemei din figura 1.4, semnalul aplicat la poarta 1 se transmite către porţile 2 şi 4. La poarta 2, terminată adaptat, puterea emergentă se disipă în totalitate în terminaţia 𝑍0 . La poarta 4 se va produce reflexia totală a undei 𝑏4 , incidentă pe scurtcircuit. Apare astfel unda reflectată de sarcină, 𝑎4 , incidentă la poarta 4 a cuplorului. Puterea transportată de 𝑎4 se transmite către porţile 3 şi 1, ducând astfel la apariţia undelor 𝑏3 şi, respectiv, 𝑏1 . Coeficientul de reflexie la poarta 1, Γ1 , poate fi determinat pe cale grafică, folosind graful din figura 1.5 şi regula lui Mason:

Γ1 

b1  k Lk Δ k  , a1 Δ

în care Δ = 1. Rezultă: 1 1 1   1   , 2 2 2

Γ1  S41Γ S 4 S41 

de unde 1 2  3.  1 1 2 1

Puterea emergentă la poarta 2 depinde de cuplajul dintre porţile 1 şi 2, în condiţiile din circuit: 2

b P2  C12 P1  2 P1 , a1

unde

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 68

2009

Circuite de Microunde

b2  k Lk Δ k j   S21  , a1 Δ 2 prin urmare 2

j P2   10  5 mW . 2

Observaţie: Pentru verificarea conservării puterii în circuit este necesară determinarea puterii care se disipă în terminaţia adaptată conectată la poarta 3, 𝑃3 , precum şi a puterii reflectate la poarta 1 a cuplorului, 𝑃𝑟1 : 2

2

b 1 j 2 P3  C13 P1  3 P1  S41Γ S 4 S21 P1    1   10  2,5 mW , a1 2 2

respectiv 2

Pr1  Γ1

2

b 1 P1  1 P1   10  2,5 mW a1 2 2

şi deci, într-adevăr, P1  Pr1  P2  P3 .

Configuraţia c) → poarta 3 terminată în scurtcircuit, poarta 4 terminată în scurtcircuit Schema circuitului este prezentată în figura 1.6 iar graful de fluenţă corespunzător este desenat în figura 1.7. 3b

S 3

b4 4

3

a4

a3 a1

S 4

a1

S 41

b4

S 21

b2

S 4

S 41

a4

b1

S 21

S 21

Z0 1b1

2

Figura 1.6

b2

S 41

a3

S 3

b3

Figura 1.7

Funcţionarea schemei din figura 1.6 este asemănătoare cu cea de la punctul b), cu observaţia că prezenţa scurtcircuitului conectat la poarta 3 va CM – Nicolae MILITARU

Pagina 69

2009

Circuite de Microunde

conduce la reflexia totală a undei 𝑏3 şi apariţia undei 𝑎3 , incidentă la poarta 3. Acest semnal se transmite către porţile 2 şi 4, conform matricei repartiţie a cuplorului. Această funcţionare este ilustrată de graful din figura 1.7. Determinantul grafului are valoarea: Δ  1  S21Γ S 4 S21Γ S 3  1 

j j 3   1    1  2 2 2

Coeficientul de reflexie Γ1 rezultă din expresia:

Γ1 

b1  k Lk Δ k L1Δ1   a1 Δ Δ

unde L1  S41Γ S 4 S41 

1 1 1   1   2 2 2

iar Δ1  1 ,

prin urmare 1 1 Γ1  2  . 3 3 2

Rezultă astfel valoarea raportului de undă staţionară: 1 3  2.  1 1 3 1

Puterea disipată în terminaţia de la poarta 2 se obţine din expresia: 2

b P2  C12 P1  2 P1 , a1

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 70

2009

Circuite de Microunde unde

b2  k Lk Δ k L1Δ1  L2Δ 2 .   a1 Δ Δ Se calculează: j , 2

L1  S21 

Δ1  Δ 

3 2

respectiv L2  S41Γ S 4 S21Γ S 3S41 

1 j 1 j ,   1    1   2 2 2 2 2

Δ2  1

prin urmare j 3 j   b2  j4  2 2 2 2  3 a1 3 2 2

şi deci 2

 j4 80 P2   10  mW  8,88 mW . 9 3 2

Observaţie: Puterea reflectată la intrare, 𝑃𝑟1 , are valoarea: 1 10 Pr1  Γ1 P1   10  mW  1,11 mW . 3 9 2

2

Configuraţia d) → poarta 3 terminată în scurtcircuit, poarta 4 lăsată în gol

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 71

2009

Circuite de Microunde

Schema circuitului este prezentată în figura 1.8 iar graful de fluenţă corespunzător este desenat în figura 1.9. 3b

S 3

3

b4 4 a4

a3 a1

a1

S 4

S 41

S 21

b2

S 4

b4

S 41

a4

b1

S 21

S 21

Z0 1b1

b2

2

S 41

Figura 1.8

a3

S 3

b3

Figura 1.9

Raportată la configuraţia c), singura diferenţă în cazul de faţă constă în valoarea coeficientului de reflexie Γ𝑆4 . Prin urmare pot fi preluate expresiile analitice obţinute la punctul precedent în care vor fi actualizate doar rezultatele numerice. Astfel: Δ  1  S21Γ S 4 S21Γ S 3  1 

j j 1   1    1  ; 2 2 2

1 1  1  b  Lk Δ k L1Δ1 S41Γ S 4 S41 2 1, Γ1  1  k    2 1 a1 Δ Δ Δ 2

deci

 . Observaţie: În această configuraţie linia de acces lucrează în regim de undă staţionară. b2  k Lk Δ k L1Δ1  L2Δ 2 S21Δ  S Γ S 4 S21Γ S 3    a1 Δ Δ Δ 2 41

1 j 1   1 j 2 2    0, 1 2 2

deci

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 72

2009

Circuite de Microunde 2

b P2  2 P1  0 W . a1

Observaţie: 1. La poarta 2 a cuplorului ajung două unde parţiale, una pe calea 𝑎1 → 𝑏2 şi cealaltă pe calea 𝑎1 → 𝑏4 → 𝑎4 → 𝑏3 → 𝑎3 → 𝑏2 . Cuplorul fiind fără pierderi iar terminaţiile de la porţile 3 şi 4 pur reactive rezultă că cele două unde au aceeaşi amplitudine însă sunt în antifază, motiv pentru care se compun la poarta 2 distructiv. 2. Puterea reflectată la intrarea cuplorului are valoarea Pr1  Γ1 P1  10 mW , 2

deci întreaga putere incidentă la poarta 1 este reflectată înapoi pe linie. 2. Se consideră un cuplor directiv ideal, codirectiv, în cuadratură, având atenuarea de cuplaj 𝐴𝐶 = 10dB, faza parametrului 𝑆41 , 𝜑41 = −90∘ şi impedanţa de referinţă la porţile sale 𝑍0 = 50Ω. Să se calculeze valoarea impedanţei sarcinii necunoscute conectată la poarta 4 a cuplorului, 𝑍𝑋 , ştiind că valoarea coeficientului de reflexie de la intrare este la frecvenţa de lucru

Γ1 

43  j , raportat la impedanţa 𝑍0 . 50 3b

b4 4

3

Z0

a4 b2

a1

ZX

gol 1b1

2

Figura 2.1

Rezolvare: Rezolvarea problemei presupune, ca primă etapă, caracterizarea elementelor din schema prezentată în figura 2.1: cuplorul, prin intermediul

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 73

2009

Circuite de Microunde

matricei sale de repartiţie S şi sarcinile conectate la porţile cuplorului, pe baza coeficientului lor de reflexie. Cuplorul ideal din circuit este un cuadriport liniar, reciproc, pasiv şi nedisipativ total adaptat. Ştiind că poarta 1 reprezintă poarta de intrare a cuplorului şi ţinând cont de proprietăţile acestuia, rezultă relaţiile: Sij  S ji , i  j, i, j 1,2,3,4 , S11  S22  S33  S44  0 ,

S43  S21 , S32  S41 ,

S42  S31  0

deci matricea sa S este de forma:  S11 S S   21  S31   S41

S12

S13

S22 S32

S23 S33

S42

S43

S14   0 S24   S21  S34   0   S44   S41

S21 0

0 S41

S41 0

0 S21

S41  0 . S21   0

Modulul parametrului de transfer 𝑆41 rezultă din valoarea atenuării de cuplaj: AC [dB] 10 1 1 10 10 AC    10  10  10 , C14 S41 2

deci S41 

1 . 10

Cunoscând şi faza acestui parametru, 𝜑41 , rezultă, în final, valoarea sa: S41  S41 e j41 

CM – Nicolae MILITARU

1  j90 j e  . 10 10

Pagina 74

2009

Circuite de Microunde

Cuplorul ideal este un cuadriport pasiv şi nedisipativ, adică conservativ, situaţie în care: S21  S41  1 , 2

2

de unde S21  1  S41  1  2

1 3  . 10 10

Cuplorul studiat este de tip Q (în cuadratură), prin urmare:

21  41  90 , deci

21  41  90  90  90 0, 180  . Alegând, de exemplu, 𝜑21 = 0∘ , rezultă că 𝑆21 =

3 10

şi, de aici, poate fi scrisă

matricea de repartiţie a cuplorului:      S     

0

3 10

0

3 10

0

j 10

0

j 10

0

j 10

0

3 10

j  10   0  , 3  10   0  

prin urmare: b1  S21a2  S41a4 , b2  S21a1 , b3  S32a2  S34a4  S41a2  S21a4 ,

b4  S41a1 . CM – Nicolae MILITARU

Pagina 75

2009

Circuite de Microunde

Coeficientul de reflexie al sarcinii (gol) de la poarta 2 a cuplorului, Γ𝑆2 , este definit ca raportul dintre unda reflectată de sarcină, 𝑎2 , şi unda incidentă pe sarcină, 𝑏2 : S 2 

a2 , b2

de unde a2  ΓS 2b2  b2 .

Simular, Γ Sx 

a4 , b4

deci a4  ΓSxb4 .

Graful corespunzător circuitului cu schema din figura 2.1 este indicat în figura 2.2. S 41

a1

b4 Sx a4

1 a1

S 41 S 21

S 21

b2 S 2 a2

S 21 b1

b3 1

b3

S 41

Figura 2.2

Coeficientul de reflexie la poarta 1, Γ1 , este dat de relaţia:

Γ1 

b1  k Lk Δ k   Lk , a1 Δ k

unde Δ = 1 iar 𝑘 = 2, cele două căi între nodurile 𝑎1 şi 𝑏1 fiind 𝑎1 → 𝑏4 → 𝑎4 → 𝑏1 , respectiv 𝑎1 → 𝑏2 → 𝑎2 → 𝑏1 . Rezultă:

L1  S41Γ Sx S41  CM – Nicolae MILITARU

1 Γ Sx , 10 Pagina 76

2009

Circuite de Microunde respectiv L2  S21Γ S 2 S21 

3 3 9 1  , 10 10 10

prin urmare

Γ1  L1  L2 

1 9 Γ Sx  , 10 10

de unde Γ Sx 

Z X  Z0 2  j ,  Z X  Z0 5

deci

Z X  Z0

1  Γ Sx 1  Γ Sx

2 j 5  50 7  j  100  j50  Ω  .  50 2 j 3 j 1 5 1

3. Se consideră un cuplor directiv ideal cu cuplaj prin două tronsoane de lungime 𝜆 4 (branch-line) având atenuarea de cuplaj 𝐴𝐶 = 6dB și faza parametrului 𝑆41 , 𝜑41 = −180∘. Să se calculeze între ce limite poate varia puterea activă, emergentă la poarta 3 a cuplorului, terminată adaptat, știind că puterea incidentă la poarta 1 este 𝑃1 = 100mW iar linia pe care se deplasează scurtrcircuitul mobil conectat la poarta 4 are impedanța caracteristică egală cu impedanțele de referință de la porțile cuplorului, 𝑍0 . Z0

3b

4 b 4 a4 b d

3

a1

2

1b1

2

gol a2

Figura 3.1

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 77

2009

Circuite de Microunde Rezolvare:

Matricea de repartiție a cuplorului branch-line este de forma (v. problema 1): 0 S S   21 0   S41

S21 0

0 S41

S41 0

0 S21

S41  0 . S21   0

Cunoscând atenuarea de cuplaj, poate fi determinat modulul parametrului 𝑆41 : 1 1 AC    10 C14 S41 2

AC  dB 10

 4,

de unde 1 S41  , 2

deci 1 1 S41  S41 e j41  e j180  . 2 2

Fiind un cuadriport conservativ, rezultă: S21  S41  1 , 2

2

deci 2

S21  1  S41

2

3 1 .  1    2 2

Din punct de vedere al defazajului semnalelor emergente la porţile 2 (transmisie) şi 4, cuplorul branch-line este un cuplor în cuadratură (tip Q):

21  41  90 , prin urmare CM – Nicolae MILITARU

Pagina 78

2009

Circuite de Microunde

21  41  90  180  90  90 şi deci

S21  S21 e j21 

3  j900  j 3 e  . 2 2

Coeficientul de reflexie al scurtcircuitului mobil conectat la poarta 4 a cuplorului este dat de expresia: ΓS 4 

a4  e j  e j2βd , b4

unde 𝛽 este constanta de defazare iar d reprezintă deplasarea scurtcircuitului mobil. Coeficientul de reflexie al sarcinii (gol) conectată la poarta 2 este: ΓS 2 

a2  1. b2

Rezultă astfel sistemul de ecuații: b1  S21a2  S41a4 , b2  S21a1 , b3  S32a2  S34a4  S41a2  S21a4 , b4  S41a1 , a4  ΓS 4b4 ,

a2  b2 .

Graful corespunzător circuitului cu schema dată în figura 3.1 este desenat în figura 3.2.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 79

2009

Circuite de Microunde

S 41

b4 S 4 a4

1 a1

a1

S 41 S 21

S 21

b2 S 2 a2

S 21 b1

b3 1

b3

S 41

Figura 3.2

Puterea emergentă la poarta 3 a cuplorului (terminată adaptat), 𝑃3 , poate fi exprimată în funcție de puterea incidentă la poarta 1, 𝑃1 , folosind expresia: 2

b P3  C13 P1  3 P1 , a1

unde 𝐶1−3 reprezintă cuplajul între porțile 1 și 3 ale cuplorului, în condițiile din circuit. Folosind regula lui Mason, se obține:

b3  k Lk Δ k  , a1 Δ unde 𝑘 = 2, căile între nodurile 𝑎1 și 𝑏3 fiind 𝑎1 → 𝑏2 → 𝑎2 → 𝑏3 , respectiv 𝑎1 → 𝑏4 → 𝑎4 → 𝑏3 . Se obține:

L1  S21Γ S 2 S41 

j 3 1 j 3 1  , 2 2 4

Δ1  Δ  1

respectiv

L2  S41Γ S 4 S21 

1  j 3  j 3  j   e j    e , 2 2 4

Δ2  1

prin urmare

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 80

2009

Circuite de Microunde b3 j 3 . Rezultă:  1  e j  a1 4 2

P3  1  e j 

3 75  100   1  e j 16 4

2

mW  .

Se constată faptul că puterea emergentă la poarta 3 depinde de deplasarea scurtcircuitului mobil conectat la poarta cuplată, 4. Astfel, se obține:

 P3 max  P3 e

 j

1

 j

1



75  4  75 mW , 4

rsepectiv

 P3 min  P3 e

 0 mW .

Observație: Condiția impusă pentru a obține o valoare maximă a puterii emergente la poarta 3 conduce la determinarea deplasării scurtcircuitului mobil corespunzătoare:

e j  1 e j  e j  2 d    2

2



d   d 

 4

Valoarea minimă a puterii 𝑃3 corespunde unei deplasări d dată de condiția impusă: e j  1  e j  e j0    0  d  0 m .

4. Să se calculeze dimensiunile unui cuplor directiv în inel (rat-race), în tehnologie microstrip, care să aibă o directivitate infinită și o atenuare de cuplaj 𝐴𝐶 = 3dB la frecvența lui nominală 𝑓0 = 1GHz. Substratul folosit are grosimea 𝑕 = 2mm, constanta dielectrică 𝜀𝑟 = 2 și pierderi neglijabile iar liniile de acces au impedanța caracteristică 𝑍0𝑘 = 50Ω, 𝑘 = 1,4.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 81

2009

Circuite de Microunde

Pentru proiectarea liniilor microstrip se vor utiliza formule de calcul aproximative. Rezolvare: Lungimea de undă corespunzătoate frecvenței nominale a cuplorului este:

3  108   0,2121 m  21,21 cm .  r 109  2

c0



f0

Raza medie a inelului, R, rezultă din lungimea sa, l: l  2 R ,

de unde R

l 1  3   3  3   5,06 cm .  2 2  4 4  4  4

2

Z 02 

Z 04   4

 4 1

Z 01 

4

3 R

ZC

Z 03 

3 4

Figura 4.1

Cunoscând impedanța caracteristică a liniilor de acces, 𝑍0𝑘 , poate fi calculată lățimea acestora, 𝑤1 : w1  h

Zd , Z0k

unde 𝑍𝑑 este impedanța dielectricului omogen și fără pierderi, Zd 





Z0

r

CM – Nicolae MILITARU



377  266,57 Ω . 2

Pagina 82

Circuite de Microunde

2009

Rezultă:

w1  2 

266,57  10,66 mm . 50

Valoarea impedanței caracteristice a inelului rezultă din condiția de adaptare a porții 1 a cuplorului, 𝑆11 = 0. Astfel, notând cu k raportul dintre impedanța caracteristică a liniilor de acces și impedanța caracteristică a inelului, se obține: k

Z0k 1 ,  ZC 2

valoare care asigură și anularea parametrului 𝑆22 . De asemenea, condiția precedentă conduce și la o atenuare de cuplaj de 3dB. Rezultă astfel lățimea 𝑤2 a inelului: ZC  Z0 k 2  50 2  70,71Ω ,

de unde w2  h

Zd 266,57  2  7,53 cm . ZC 70,71

5. Să se calculeze dimensiunile unui cuplor directiv cu două tronsoane de cuplaj în 𝜆 4 (branch-line), în tehnologie microstrip, astfel încât cuplorul să prezinte o directivitate infinită și o atenuare de cuplaj 𝐴𝐶 = 6dB la frecvența lui nominală, 𝑓0 = 1GHz. Substratul folosit are grosimea 𝑕 = 1mm, constanta dielectrică 𝜀𝑟 = 4 și pierderi neglijabile iar liniile de acces au impedanța caracteristică 𝑍0𝑘 = 50Ω, 𝑘 = 1,4. Pentru proiectarea liniilor microstrip se vor utiliza formule de calcul aproximative.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 83

2009

Circuite de Microunde Rezolvare:

Lungimea de undă corespunzătoare frecvenței nominale a cuplorului este:



c0 f0  r



3  108  0,15 m  15 cm . 109  4

Lungimea fizică a tronsoanelor de linie va fi: l

 4

 3,75 cm .  4 3

4

Z 03 

Z 04 

ZA ZB

ZB

 4

ZA

1

2

Z 01 

Z 02  Figura 5.1

Adaptarea porții 1 a cuplorului este condiționată de satisfacerea condiției: A2  B2  1,

unde 𝐴 = 𝑍0 𝑍𝐴 , 𝐵 = 𝑍0 𝑍𝐵 . Pentru 𝐴2 − 𝐵2 = 1 care implică 𝐴 > 1, 𝐴 > 𝐵, pe lângă 𝑆11 = 0 se obțin: S21   j S41  

1 Z  j A ; A Z0

B ZA ;  A ZB

S31  0 .

Cunoscând valoarea atenuării de cuplaj, AC 

1 S41

2

 106/10  4

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 84

2009

Circuite de Microunde rezultă modului parametrului 𝑆41 , S41 

ZA 1  , ZB 2

de unde 𝑍𝐵 = 2𝑍𝐴 . Sumarizând, se obține:

ZA 

3 3 Z0k   50  43,3 Ω ; 2 2

Z B  2Z A  86,6 Ω .

Pentru un substrat dat, impedanța caracteristică a unei linii microstrip variază invers proporțional cu lățimei ei:

ZC  Z d

h . w

Observație: O analiză riguroasă, coroborată cu rezultate experimentale, arată faptul că eroarea formulei de mai sus rămâne în limite rezonabile numai pentru liniile foarte late, în timp ce la liniile cu lățime medie sau mică eroarea poate atinge 30-50% sau chiar mai mult, deci formula nu poate fi utilizată la calculul practic al liniilor microstrip. În expresia precedentă 𝑍𝑑 reprezintă impedanța dielectricului, considerat a fi omogen și fără pierderi: Zd 

Z0

r



377  188,5 Ω . 4

Rezultă, de aici, lățimea liniilor de acces, w, lățimea tronsoanelor cu impedanța caracteristică 𝑍𝐴 , 𝑤1 , precum și lățimea tronsoanelor cu impedanța caracteristică 𝑍𝐵 , 𝑤2 : wh

Z d 188,5   3,77 mm ; Z0k 50

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 85

2009

Circuite de Microunde

w1  h

Z d 188,5   4,35 mm ; Z A 43,3

w2  h

Z d 188,5   2,17 mm . Z B 86,6

6. Se consideră un cuplor directiv ideal cu linii cuplate, simetrice, având atenuarea de cuplaj 𝐴𝐶 = 10dB şi faza parametrului 𝑆31 , 𝜑31 = −90∘ . Să se calculeze între ce limite poate varia puterea activă, emergentă la poarta 4 a cuplorului, terminată adaptat, știind că puterea incidentă la poarta 1 este 𝑃1 = 100mW iar linia pe care se deplasează scurtrcircuitul mobil conectat la poarta 3 are impedanța caracteristică egală cu impedanțele de referință de la porțile cuplorului, 𝑍0 . 3b

4 b 4

3

d

a3

Z0

b2

a1 1b1

2

gol a2

Figura 6.1

Rezolvare: Cuplorul directiv ideal cu linii cuplate, simetrice, este un cuadriport liniar, reciproc, pasiv și nedisipativ, total adaptat. Ținând cont și de simetria structurii, rezultă următoarele relații între parametrii repartiție:

Sij  S ji , i  j , Sii  0, i 1, 2, 3, 4 , S42  S31 , S43  S21 , S32  S41  0 . CM – Nicolae MILITARU

Pagina 86

2009

Circuite de Microunde Se obţine astfel matricea de repartiție a cuplorului: 0 S S   21  S31  0

S21

S31

0 0

0 0

S31

S21

0 S31  . S21   0

Ţinând cont de convenţia utilizată la desenarea undelor de putere din figura 6.1, rezultă sistemul: b1  S21a2  S31a3 , b2  S21a1 , b3  S31a1 ,

b4  S31a2  S21a3 .

Modulul parametrului 𝑆31 poate fi obţinut din valoarea atenuării de cuplaj, 𝐴𝐶 : 1 1 AC    10 C13 S31 2

AC  dB 10

 10 ,

de unde S31 

1 , 10

deci S31  S31 e j31 

1  j90 j e  . 10 10

Fiind un cuadriport conservativ, rezultă: S21  S41  1 , 2

2

deci

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 87

2009

Circuite de Microunde 2

S21  1  S41

2

3  1  .  1    10 10  

Din punct de vedere al defazajului semnalelor emergente la porţile 2 (transmisie) şi 3 (cuplată), cuplorul cu linii cuplate, simetrice este un cuplor în cuadratură (tip Q):

21  31  90 , prin urmare

21  31  90  90  90 . Alegând, spre exemplu, 𝜑21 = 0∘ , se obţine: S21  S21 e j21 

3 . 10

Coeficientul de reflexie al scurtcircuitului mobil conectat la poarta 3 a cuplorului este dat de expresia: ΓS 3 

a3  e j  e j2βd , b3

unde 𝛽 = 2𝜋 𝜆 este constanta de defazare iar d reprezintă deplasarea scurtcircuitului mobil. Graful corespunzător circuitului cu schema din figura 6.1 este desenat în figura 6.2. S31

a1

1 a1

S 21

b3 S 3 a3 S31 S 21 b2 S 2 a2

S 21 b1

b4 1

b4

S31

Figura 6.2

Puterea emergentă la poarta 4 a cuplorului (terminată adaptat), 𝑃4 , poate fi exprimată în funcție de puterea incidentă la poarta 1, 𝑃1 , folosind expresia: CM – Nicolae MILITARU

Pagina 88

2009

Circuite de Microunde 2

b P4  C14 P1  4 P1 , a1

unde 𝐶1−4 reprezintă cuplajul între porțile 1 și 4 ale cuplorului, în condițiile din circuit. Folosind regula lui Mason, se obține:

b4  k Lk Δ k  , a1 Δ unde 𝑘 = 2, cele două căi între nodurile 𝑎1 şi 𝑏4 fiind 𝑎1 → 𝑏2 → 𝑎2 → 𝑏4 , respectiv 𝑎1 → 𝑏3 → 𝑎3 → 𝑏4 . Rezultă: L1  S21Γ S 2 S31 

3  j  j3 1  , 10 10 10

Δ1  1

respectiv L2  S31Γ S 3S21 

j 3 j3   e j    e j , 10 10 10

Δ2  1

prin urmare b4  j3 j3  j  j3  L1Δ1  L2Δ 2   e  1  e j   a1 10 10 10

deci

P4 

2 2 9  1  e j  100  9  1  e j mW . 100

Puterea emergentă la poarta 4 a cuplorului depinde de deplasarea scurtcircuitului mobil conectat la poarta 3. Astfel, se obține: P4max  P4 e j 1  36 mW ,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 89

2009

Circuite de Microunde rsepectiv P4min  P4 e j 1  0 mW .

7. Să se calculeze impedanțele caracteristice de mod par, 𝑍𝐶𝑝 , respectiv impar, 𝑍𝐶𝑖 , precum și capacitățile lineice corespunzătoare, 𝐶𝐿𝑝 , 𝐶𝐿𝑖 , pentru un cuplor directiv cu linii cuplate, simetrice, având lungimea fizică a liniilor 𝑙 = 7,5cm și atenuarea de cuplaj 𝐴𝐶 = 10dB, la frecvența lui nominală 𝑓0 = 1GHz. Liniile sunt fără pierderi și au ca dielectric aerul iar impedanțele de referință la porțile cuplorului sunt egale cu 𝑍0 = 50Ω. Rezolvare: Lungimea de undă corespunzătoare frecvenței nominale a cuplorului este:

0 

c0 3  108   0,3 m  30 cm . f0 109

Raportat la 𝜆, lungimea fizică a perechii de linii cuplate este 𝑙 = 𝜆 4, situație în care se obține un cuplaj maxim sau, echivalent, cuplorul va prezenta o atenuare de cuplaj minimă, dată de expresia: 2

ACmin

 k2 1 1   2  , Cmax  k  1 

unde 𝑘 ≝ 𝑍𝐶𝑝 𝑍0 , 𝑘 ∈ ℝ+ , 𝑘 > 1. Pe de altă parte din enunț rezultă, AC  10

AC [dB] 10

 10

adică 2

 k2 1  2   10  k 1

de unde 𝑘 = 1,387 CM – Nicolae MILITARU

Pagina 90

2009

Circuite de Microunde prin urmare

ZCp  kZ0  1,387  50  69,35 Ω . Pe de altă parte, dacă se notează ki

ZCi / Z0

atunci din condiția de adaptare a porții de intrare, 1, poate fi scrisă egalitatea: kki  1 ,

de unde

ZCi  ki Z 0 

Z0 50   36,05 Ω . k 1,387

Pe de altă parte, impedanța caracteristică a unei linii fără pierderi depinde de inductanța lineică, 𝐿𝐿 și de capacitatea lineică, 𝐶𝐿 , conform expresiei:

LL . CL

ZC 

Pentru modul de propagare TEM viteza de fază 𝑣𝜑 este egală cu viteza de propagare a unei unde plane uniforme în mediul dielectric respectiv considerat omogen, c:

v  c , adică LLCL   ,

de unde LL 

 CL

,

situație în care

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 91

Circuite de Microunde

ZC 

2009

1 . v CL

Presupunând, ca ipoteză simplificatoare, faptul că vitezele de fază ale modurilor de propagare cu simetrie pară și impară este aceeași, rezultă: CLp 

1 1   48,06 pF / m , c0 ZCp 3  108  69,35

respectiv CLi 

1 1   92,46 pF / m . 8 c0 ZCi 3  10  36,05

Observație: La liniile cuplate de tip microstrip egalitatea vitezelor de fază ale modurilor de propagare cu simetrie pară și impară nu este perfect adevărată. Dacă se ține seama de mica diferență existentă între cele două viteze de fază atunci calculele devin mult mai complicate. Inconvenientele cauzate de această diferență pot fi depășite dacă se folosesc linii cuplate având un dielectric omogen (linii cuplate în aer, linii cuplate strip, etc.). În tehnologie microstrip efectele acestei diferențe pot fi parțial evitate prin folosirea unor linii cuplate având o geometrie specială. 8. Se consideră un cuplor directiv ideal cu linii cuplate, simetrice, având cuplajul 𝐶 = −10dB și faza parametrului 𝑆31 , 𝜑31 = −90∘ , la frecvența lui nominală. Știind că puterea incidentă la poarta 1 a cuplorului este 𝑃1 = 10mW iar porțile 2 și 3 sunt lăsate în gol: a) Să se calculeze puterea reflectată la poarta 1 a cuplorului, 𝑃𝑟1 precum și puterea emergentă la poarta 4 terminată adaptat, 𝑃4 ; b) Cât trebuie să fie cuplajul 𝐶 ′ astfel încât întreaga putere incidentă la poarta 1 să ajungă la poarta 4 ? Impedanțele de referință de la porțile cuplorului sunt egale cu o valoare reală 𝑍0 .

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 92

2009

Circuite de Microunde

gol a3

3 b 3

4

Z0

b4

a2 gol

b1

a1

b2

1

2

Figura 8.1

Rezolvare: a)

Matricea de repartiție a cuplorului cu linii cuplate, simetrice este de

forma: 0 S S   21  S31  0

S21

S31

0 0

0 0

S31

S21

0 S31  , S21   0

unde S31  C 

1 10

deci S31  S31 e j31 

1  j90 j , e  10 10

respectiv 2

S21  1  S31

2

j 3  1 C  1  10 10 2

şi

21  31  90  90  90 . Alegând, spre exemplu, 𝜑21 = 0∘ , se obţine: S21  S21 e j21 

CM – Nicolae MILITARU

3 . 10

Pagina 93

2009

Circuite de Microunde

Pe baza setului de unde desenat în figura 8.1 rezultă sistemul de ecuații: b1  S21a2  S31a3 ; b2  S21a1 ;

b3  S31a1 ; b4  S31a2  S21a3 .

Din definiția coeficientului de reflexie al sarcinilor conectate la porțile cuplorului, se obține: ΓS 2 

a2  1  a2  b2 ; b2

ΓS 3 

a3  1  a3  b3 . b3

Rezultă astfel graful de fluență corespunzător circuitului din figura 8.1: S31

b3 S 3 a3

1 a1

a1

S31 S 21

S 21

b2 S 2 a2

S 21 b1

b4 1

b4

S31

Figura 8.2

Graful nu conține bucle, prin urmare determinantul său este nul, Δ = 0. Puterea reflectată la poarta 1 a cuplorului, 𝑃𝑟1 , poate fi determinată în funcție de coeficientul de reflexie Γ1 : 2

Pr1  Γ1

2

b P1  1 P1 , a1

unde 2 2 b1  k Lk Δ k  j   3  4 2 2   L1  L2  S31Γ S 3  S21Γ S 2       5, a1 Δ 10 10    

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 94

2009

Circuite de Microunde deci 2

4 Pr1   10  6,4 mW . 5

Puterea emergentă la poarta 4, terminată adaptat, este dată de produsul dintre cuplajul existent între porțile 1 și 4, 𝐶1−4 , și puterea incidentă la poarta 1, 𝑃1 : 2

b P4  C14 P1  4 P1 , a1

în care b4  k Lk Δ k   L1  L2  S31Γ S 3 S21  S21Γ S 2 S31  2S21S31  a1 Δ  2

3 j 3   j 5 10 10

deci  j3 P4   10  3,6 mW . 5 2

b)

Egalitatea 𝑃1 = 𝑃4 obținută pentru un anumit cuplaj 𝐶 ′ este echivalentă cu

anularea puterii reflectate la intrare, 𝑃𝑟1 = 0. În aceste condiții, se obține: S31   j C ' , S21  1  C ' ,

Pr1  0  Γ1  0  S212  S312  0 



1 C'

  2

  j C'

  0  C 1/ 2 . 2

'

Condiția impusă este asigurată pentru un cuplaj de -3dB. Observație: Un inconvenient al acestui tip de cuplor constă în dificultatea obținerii unor cuplaje strânse. În mod normal, cuplajul maxim (sau, echivalent,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 95

2009

Circuite de Microunde

atenuarea de cuplaj minimă) ce poate fi obținut la un cuplor realizat din două linii cuplate identice este limitat de posibilitățile tehnologice la valori de ordinul a -10dB. Folosind cuploare compuse din mai multe secțiuni de linii cuplate poate fi obținut un cuplaj mai strâns, sau un cuplaj constant într-o bandă mai largă de frecvențe. 9. Să se calculeze modulele factorilor de cuplaj individual precum și distanța dintre fantele unui cuplor directiv cu 𝑛 = 10 fante identice, echidistante, practicate în peretele de separație (latura îngustă) a două ghiduri dreptunghiulare cu aer, identice, fără pierderi, știind că acest cuplor prezintă o atenuare de cuplaj 𝐴𝐶 = 20dB și o directivitate infinită la frecvența lui nominală 𝑓0 = 10GHz. Cât devine directivitatea acestui cuplor la frecvența 𝑓 = 10,1GHz ? Dimensiunile transversale ale ghidurilor sunt 𝑎 = 2cm, 𝑏 = 1cm. b3

b4

a1

b2

T0  Figura 9.1

Rezolvare: Notând cu 𝑘𝑖 factorul de cuplaj individual al fantelor nedirective, ki 

b4i b3i  , a1 a1

și ținând seama de faptul că la fantele identice 𝑘𝑖 = 𝑘 pentru orice i, rezultă: S41 

b4  nk , a1

unde n reprezintă numărul fantelor cuplorului. Cunoscând atenuarea de cuplaj,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 96

2009

Circuite de Microunde AC [dB] 20 1 1 10 10 AC    10  10  100 , C S41 2

poate fi determinat modulul factorului de cuplaj individual k:

k 

S41 0,1   0,01 . n 10

Observație: Faza coeficientului de cuplaj individual al fantelor k este de 90∘ , prin urmare cuplorul este de tipul în cuadratură, Q. Directivitatea acestui cuplor are expresia: nsin   g d 

2

D

2

S41 ,  S31 sin  n g d 

în care d semnifică distanța dintre două fante consecutive, iar 𝛽𝑔 este constanta de defazare în ghid,

g 

2

g

2

 0

2

f  f  2 f 0 1  c   1  c  . c0  f0   f0 

Pentru ghidul dat, frecvența sa critică, 𝑓𝑐 , corespunzătoare modului dominant de propagare este

fc 

c0 3  108   7,5 GHz , 2a 2  2  102

prin urmare lungimea de undă în ghid are valoarea

g 

c0  f  f0 1   c   f0 

2



3  108  7,5  1010 1     10 

2

 0,0453 m  4,53 cm

și deci

 g  138,53 rad / m .

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 97

2009

Circuite de Microunde

Directivitatea este infinită dacă sin 𝑛𝛽𝑔 𝑑 = 0, adică atunci când este îndeplinită condiția

dp

g 2n

,

unde p este un număr natural nenul. Considerând valoarea sa minimă, 𝑝 = 1, rezultă distanța minimă dintre două fante consecutive:

d

4,53  0,226 cm  2,26 mm . 2  10

Observație: Cu cât numărul întreg p este mai mare cu atât banda cuplorului este mai îngustă, deoarece circuitele cu linii sunt cu atât mai senzitive la variații ale frecvenței cu cât lungimea liniilor este mai mare. La frecvența f lungimea de undă în ghid este

  ' g

c0 f  f 1  c   f 

2



3  108  7,5  10,1  109 1     10,1 

2

 0,0443 m  4,43 cm

iar constanta de defazare are valoarea

 g' 

2

g'

 141,67 rad / m .

În aceste condiții, directivitatea cuplorului devine:

D 

nsin   g' d 

sin  n g' d 

2

10  sin 141,67  0,00226  3,147319127    2741,21 sin(10  141,67  0,00226) 0,006011308348 2

2

adică D  34,37 dB .

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 98

2009

Circuite de Microunde

Observație: Valoarea redusă a directivității la o abatere cu numai 100MHz față de frecvența nominală a cuplorului conduce la concluzia că acest tip de cuplor este unul de bandă îngustă, în special atunci când numărul fantelor este mare. 10. Să se calculeze modulele factorilor de cuplaj individual ai fantelor unui cuplor de măsură binomial, cu 𝑛 = 5 fante echidistante, precum și distanța dintre două fante consecutive astfel încât cuplorul să prezinte o atenuare de cuplaj 𝐴𝐶 = 20dB și o directivitate infinită la frecvența lui nominală 𝑓0 = 7GHz. Cuplorul este alcătuit din două ghiduri dreptunghiulare identice, fără pierderi, cu aer, având dimensiunile secțiunii transversale 𝑎 = 4cm și 𝑏 = 2cm. Cât devine directivitatea acestui cuplor la frecvența 𝑓 = 6,5GHz ? Rezolvare: Cuplorul binomial prezintă particularitatea că fantele lui nu sunt identice, ci sunt astfel realizate încât coeficienții lor de cuplaj individuali 𝑘𝑖 să fie proporționali cu coeficienții binomului lui Newton: ki  k0Cni 1, i  0,1,,  n  1 ,

unde n este numărul de fante, iar 𝑘0 este coeficientul de cuplaj al primei fante; poate fi determinat din expresia coeficientului de transfer 𝑆41 , cunoscând atenuarea de cuplaj 𝐴𝐶 : AC [dB] 20 1 1 10 10 AC    10  10  100 , C S41 2

de unde

S41  0,1 . Pe de altă parte,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 99

2009

Circuite de Microunde n 1

S41  k0 Cni 1  k0 2n1 . i 0

Rezultă: k0 

S41 0,1   0,00625 . 2n1 251

Se calculează: k1  k0 C41  0,00625  4  0,025 ; k2  k0 C42  0,00625  6  0,0375 ;

k3  k1  0,025 ; k4  k0  0,00625 . Directivitatea acestui cuplor are expresia: 2

2   S41 1 D   n1  . S31 cos  d     g

Directivitatea cuplorului este infinită atunci când cos 𝛽𝑔 𝑑 = 0, de unde rezultă condiția d   2 p  1

g 4

,

unde p este un număr natural. Considerând valoarea 𝑝 = 0, poate fi determinată distanța minimă dintre două fante consecutive. Astfel, se calculează:

c0 3  108 fc    3,75 GHz ; 2a 2  4 102

g 

c0 f  f0 1   c   f0 

CM – Nicolae MILITARU

2



3  108  3,75  7  109 1     7 

2

 0,0507 m  5,07 cm ;

Pagina 100

2009

Circuite de Microunde

d

g 4

 1,26 cm .

La frecvența f lungimea de undă în ghid este:

  ' g

c0 f  f 1  c   f 

2



3  108  3,75  6,5  109 1     6,5 

2

 0,0565 m  5,65 cm .

În aceste condiții, directivitatea cuplorului devine: 2

2     2       1 1 1    '   1,518  106 D   n1 '       4  1,26   d   cos   g d    n1  cos  2 '    cos  2      5,65    g  

adică

D'  61,81dB . Observație: Cuplorul binomial este un cuplor de bandă îngustă deoarece principiul său de funcționare presupune o anumită relație între lungimea de undă și distanța dintre fante. Cu toate acestea, banda cuplorului binomial este sensibil mai largă decât banda cuplorului cu fante identice. Banda mai largă este principalul avantaj oferit de cuplorul binomial. 11. Un cuplor binomial cu 𝑛 = 5 fante are o directivitate infinită la frecvența lui nominală 𝑓0 = 3GHz. Să se calculeze lărgimea benzii de frecvențe în care directivitatea este mai mare decât 40dB. Cuplorul este alcătuit din două ghiduri dreptunghiulare identice, fără pierderi, cu aer, având dimensiunile secțiunii transversale 𝑎 = 7cm și 𝑏 = 3,5cm. Rezolvare:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 101

2009

Circuite de Microunde Directivitatea cuplorului binomial este dată de expresia: 2

2   S41 1 D   n1  . S31 cos  d  g   

Directivitatea este infinită atunci când cos 𝛽𝑔 𝑑 = 0, de unde rezultă condiția d   2 p  1

g 4

,

unde p este un număr natural. Considerând valoarea 𝑝 = 0, poate fi determinată distanța minimă dintre două fante consecutive. Astfel, se calculează:

c0 3  108 fc    2,142 GHz ; 2a 2  7 102

g 

d

c0 f  f0 1   c   f0 

g 4

2



3  108  2,142  3  109 1     3 

2

 0,1428 m  14,28 cm ;

 3,57 cm .

Impunând directivității cuplorului o valoare minimă de 40dB, se obține: 2

D[dB]   1 D   n1   10 10  104 ,  cos   g d  

de unde cos   g' d   

1 8

104

 0,31622 .

Rezultă astfel două cazuri: a.

 d  d cos  2  0,31622  2  1,249  g1  17,959 cm .      g 1 g 1  

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 102

2009

Circuite de Microunde Ținând cont de expresia lungimii de undă în ghid,

g 1 

c0 f  f1 1   c   f1 

2

,

rezultă: f1 

c0

g 1

  1   g1  ,  c  2

unde 𝜆𝑐 = 2𝑎 = 14cm este lungimea de undă critică corespunzătoare modului dominant de propagare în ghidul dreptunghiular. Numeric, se obține: 3  108  17,959  f1  1     2,717 GHz . 17,959  102 14   2

b.

 d  d cos  2  0,31622  2  1,892  g 2  11,855 cm . Rezultă:      g2  g2 

f2 

c0

g 2

 g 2  3  108  11,855  1  1      3,315 GHz . 2  11,855  10 14    c  2

2

Lărgimea benzii de frecvențe a cuplorului corespunzătoare unei directivități de cel puțin 40dB este B  f 2  f1  3,315  2,717  0,598 GHz  598 MHz .

12. Se consideră un ansamblu de două cuploare directive ideale, identice, în cuadratură, conectate în tandem ca în figura 12.1, având fiecare cuplajul ′ ′′ 𝐶 ′ = −10dB și faza parametrului 𝑆21 , 𝜑21 = 𝜑21 = −90∘ . Să se calculeze

atenuarea de cuplaj între porțile 1 și 2, 𝐴𝐶1−2 , 1 și 3, 𝐴𝐶1−3 precum și atenuarea

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 103

2009

Circuite de Microunde

de cuplaj între porțile 1 și 4, 𝐴𝐶1−4 . Toate impedanțele de referință au o aceeași valoare reală 𝑍0 . 3

3

4 3

4

4

1

1

2 1

2

2

a1

Figura 12.1

Rezolvare: Matricea de repartiție a cuploarelor din schemă are forma: 0  ' S ' '' S  S   21'  S31  0

S21' 0 0 S31'

S31' 0 0 S21'

0  S31'  . S21'   0

Din valoarea cuplajului rezultă modului parametrului 𝑆31 :

C S '

' 2 31

 10

C [dB] 10



1 , 10

deci S31' 

1 . 10

Cuploarele din schemă sunt de tipul cuadratură, situație în care

21'  31'  90 deci

31'  21'  90  90  90  0 , 180  . Rezultă: S31'  S31'' 

1 . 10

Pe de altă parte, pentru un cuplor directiv ideal există relația: CM – Nicolae MILITARU

Pagina 104

2009

Circuite de Microunde 2

2

' S21  S31'  1,

de unde 2

S

' 21

 1 S

' 2 31

1 3 ,  1  10 10

deci ' '' ' S21  S21  S21 e j21  '

Z0 a1 b1

3

3

b3 1

1

3  j90 3 . e  j 10 10 4 3 b3 a4 b2 a1 2 1

4 4 b4 b2 2 2

Z0

Z0

Figura 12.2

Ținând cont de convenția utilizată la desenarea undelor de putere (v. figura 12.2) precum și de matricele de repartiție ale celor două cuploare se obține următorul sistem de ecuații: b1  0  a1  S31  a4  a1 b2  S21

 a1  S21  a4 b3  S31  a1 b2  S21  a1  a4 b3  S31 b4  0 .

Graful asociat circuitului din figura 12.2 este desenat în figura 12.3.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 105

2009

Circuite de Microunde

1

a1

 S 21 a1

 S31  b3 S31

b2

 S 21 b2

 S 21

 S31 b3

Figura 12.3

Graful conține o singură buclă, prin urmare determinantul său are valoarea: 2

9  1  . Δ 1 S S 1     10  10 ' '' 31 31

Atenuarea de cuplaj între porțile 1 și 2 ale circuitului, 𝐴𝐶1−2 , este dată de expresia AC12 

1 1 ,  C12 S21 2

unde parametrul 𝑆21 rezultă din graf, 2

3   j ' ''   b2  k Lk Δ k L1Δ1 S21S21  10  S21       1 . 9 a1 Δ Δ Δ 10

Se obține: AC12  1 (0dB) .

Atenuarea de cuplaj între porțile 1 și 3 ale circuitului, 𝐴𝐶1−3 , poate fi scrisă sub forma AC13 

1 1  , C13 S31 2

unde

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 106

2009

Circuite de Microunde ' ' b3  k Lk Δ k L1Δ1  L2Δ 2 S31' Δ  S21 S31'' S21 S31      a1 Δ Δ Δ 2

1 9  3  1   j   10 10  10  10  0 9 10

,

deci 𝐴𝐶1−3 → ∞. Atenuarea de cuplaj între porțile 1 și 4 ale circuitului, 𝐴𝐶1−4 , rezultă din relația AC14 

1 1 ,  C14 S41 2

unde S41 

b4  0, a1

deci AC14   . 13. Se consideră circuitul cu schema din figura 13.1, alcătuit dintr-un cuplor directiv ideal cu două tronsoane de cuplaj în 𝜆 4 (branch-line), CD1, având ′ ′ atenuarea de cuplaj 𝐴′𝐶 = 3dB și faza parametrului 𝑆41 , 𝜑41 = 180∘, și un

cuplor directiv ideal cu linii cuplate, simetrice, CD2, având atenuarea de cuplaj ′′ ′′ 𝐴′′𝐶 = 10dB și faza parametrului 𝑆31 , 𝜑31 = −90∘. Știind că toate impedanțele

de referință au o aceeași valoarea reală 𝑍0 , să se calculeze: a) atenuările de cuplaj între porțile 1 și 2, 𝐴𝐶1−2 , 1 și 3, 𝐴𝐶1−3 , precum și între porțile 1 și 4, 𝐴𝐶1−4 ; b) atenuarea de reflexie la poarta 1 a circuitului, 𝐴𝑅1 ; c) defazajul semnalelor emergente la porțile 2 și 4 ale ansamblului, Δ𝜑.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 107

2009

Circuite de Microunde

3

3

1

1

a1

CD 1

4 3

CD 2

2 1

4

4

2

2

Figura 13.1

Rezolvare: Matricea de repartiție a cuplorului CD1, 𝐒 ′ , este de forma 0  ' S ' S   21 0  '  S41

S21' 0 S41' 0

S41'   0 , S21'   0

0 S41' 0 S21'

unde

S41'  C ' 

1 AC'



1 , 2

deci ' ' S41  S41 e j41  '

1 j180 1 e  2 2

iar 2

' ' S21  1  S41 

1 . 2

′ Faza parametrului de transfer 𝑆21 poate fi determinată dacă se ține seama de

tipul cuplorului CD1 din punctul de vedere al defazajului semnalelor emergente la porțile sale de ieșire, în cuadratură:

21'  41'  90 21'  41'  90  270 (90 ) . Se obține:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 108

2009

Circuite de Microunde ' ' S21  S21 e j21  '

1  j90 j e  2 2

Matricea de repartiție a cuplorului CD2, 𝐒 ′′ , este de forma 0  '' S '' S   21''  S31  0

S21'' 0 0 S31''

0  S31''  . S21''   0

S31'' 0 0 S21''

Din enunț rezultă

S31''  C '' 

1

1 , 10



AC''

deci S31''  S31'' e j31  ''

1  j90 j e  , 10 10

iar 3 . 10

2

'' S21  1  S31'' 

Cuplorul CD2 fiind de tipul în cuadratură,

21''  31''  90 21''  31''  90  0 deci '' '' S21  S21 e j21  ''

Z0 a1 b1

3

3 . 10 3

b3 1

1

a 4 3 3 b3 a4 b2 a1    21 a2 b1 b4

4 4 b4 b2   2 2

Z0

Z0

Figura 13.2

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 109

2009

Circuite de Microunde

Cu ajutorul schemei din figura 13.2 pot fi scrise relațiile dintre undele de putere emergente la porțile celor două cuploare și undele incidente la porți: ' ' b1  S21 a2'  S41 a4' , ' b2'  S21 a1  a1'' , ' ' b3  S41 a2'  S21 a4' , ' b4'  S41 a1  a3''

respectiv

b1''  S31'' a3''  a2' , '' b2  S21 a1'' ,

b3''  S31'' a1''  a4' , '' b4  S21 a3'' .

Graful corespunzător circuitului precedent este indicat în figura 13.3. Se constată faptul că graful nu prezintă bucle, prin urmare determinantul său este unitar, Δ = 1. b4  S 21 b4

a1

 b S31 1

 1 a1 S 41  S 21 b2

 S31  S 21

 S 41

b3

 S 21

 S 21 b1  S 41

b3

b2

Figura 13.3

a) Atenuarea de cuplaj dintre porțile 1 și 2 ale circuitului din figura 13.2 poate fi calculată cu expresia

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 110

2009

Circuite de Microunde

AC12 

1 1 ,  C12 S21 2

unde parametrul 𝑆21 rezultă din graf, pe baza regulii lui Mason: S21 

b2 j 3  j3 3  j90 ' '' .  L1  S21 S21     e a1 2 10 2 5 2 5

Se obține:

AC12 

20 (3,46dB) . 9

Atenuarea de cuplaj dintre porțile 1 și 3, 𝐴𝐶1−3 , poate fi scrisă sub forma AC13 

1 1 ,  C13 S31 2

unde S31 

b3 1  j 1  j '2 '' '2 ''  L1  L2  S41 S31  S21 S31     0 a1 2 10 2 10

deci AC13   .

Atenuarea de cuplaj dintre porțile 1 și 4, 𝐴𝐶1−4 , este AC14 

1 1 ,  C14 S41 2

unde S41 

b4 1 3 3 3 j180 ' ''  L1  S41 S21     e , a1 2 10 2 5 2 5

deci

AC14 

20 (3,46dB) . 9

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 111

2009

Circuite de Microunde

b) Atenuarea de reflexie la poarta 1 a circuitului, 𝐴𝑅1 , poate fi exprimată în funcție de coeficientul de reflexie 𝑆11 , AR1 

1 S11

2

,

unde S11 

b1 ' ' ' ' ' '  L1  L2  S41 S31'' S 21  S 21 S31'' S 41  2S 21 S31'' S 41  a1

 j 1  j 1  2    2 2 10 10

,

prin urmare AR1  10 (10dB) .

c) Defazajul semnalelor emergente la porțile 2 și 4 ale ansamblului este

Δ  21  41  90  180  270  (90 ) .

14. Se consideră un cuplor directiv ideal cu linii cuplate, simetrice, având ′ ′ atenuarea de cuplaj 𝐴′𝐶 = 10dB şi faza parametrului 𝑆31 , 𝜑31 = −90∘ , precum

şi un circulator cu trei porţi având matricea de repartiţie 0 0 9 10 𝐒 = 9 10 0 0 0 9 10 0 ′′

în raport cu impedanţa de referinţă comună, 𝑍0 . Să se calculeze coeficientul de reflexie la poarta 1′ a cuplorului în raport cu 𝑍0 , Γ1 , precum și puterea activă emergentă la poarta 4′ , 𝑃4 , știind că puterea incidentă la poarta 1′ este 𝑃1 = 100mW.

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 112

2009

Circuite de Microunde 3

4

gol

Z0 1

2 3

1

2

3Z 0

Figura 14.1

Rezolvare: Matricea de repartiție a cuplorului din circuit este de forma: 0  ' S ' S   21'  S31  0

S21' 0 0 S31'

S31' 0 0 S21'

0  S31'  , S21'   0

unde S31' 

1 1  AC 10

deci S31'  S31' e j31  '

1  j90 j , e  10 10

respectiv 2

S

' 21

 1 S

' 2 31

j 3  1  10 10

şi

21'  31'  90  90  90 . ′ Alegând, spre exemplu, 𝜑21 = 0∘ , se obţine:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 113

2009

Circuite de Microunde ' ' S21  S21 e j21  '

3 . 10 gol a3

3 b 3

4

Z0

b4

a2

b1

a1

b2

1

2b1

1 a1

b2 a3 3 b3 a 2 2 3Z 0

Figura 14.2

Rezultă astfel matricea de repartiție a cuplorului:      ' S      

0 3 10 j 10 0

3 10

j 10

0

0

0

0

j 10

3 10

 0   j  10  . 3  10   0  

Ținând cont și de convenția utilizată la desenarea undelor de putere din figura 14.2, se obține: b1' 

3 j a2'  a '; 10 10 3

b2' 

3 a'; 10 1

b3' 

j a'; 10 1

b4' 

j 3 a2'  a'. 10 10 3

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 114

2009

Circuite de Microunde Pe baza matricei de repartiție a circulatorului, 𝐒 ′′ , rezultă:

b1'' 

9 '' a3 ; 10

b2'' 

9 '' a1 ; 10

b3'' 

9 '' a2 . 10

Din definiția coeficientului de reflexie al sarcinilor conectate la porțile cuplorului și ale circulatorului, pot fi scrise relațiile: Γ S 3'

a3'  '  1  a3'  b3' ; b3

Γ S 2''

a2''  ''  1  a2''  b2'' ; b2

Γ S 3'' 

a3'' b3''



3Z 0  Z 0 1 1   a3''  b3'' . 3Z 0  Z 0 2 2

În final, din figura 1.2 există următoarele identități:

b2'  a1'' ;

b1''  a2' . Coeficientul de reflexie la poarta 1′ a cuplorului, Γ1 este dat de relația:

Γ1 

b1' a1'

,

în timp ce puterea emergentă la poarta 4′ , 𝑃4 , poate fi scrisă sub forma: P4  C1' 4' P1 

b4' a1'

CM – Nicolae MILITARU

2

P1 .

Pagina 115

2009

Circuite de Microunde

Pentru determinarea celor doi termeni se desenează graful de fluență al circuitului cu schema din figura 14.2.  b4 b3 S 3 a3 S 21

 S31 a 1 1

a1

 S31

b1

 S 21 b2

 S31  S 21

b1

S13

 b2 S 2 a2 S32  b3 S 3 a3 S 21

Figura 14.3

Graful din figura 14.3 nu conține bucle, Δ = 1. Se obține: Γ1 

b1' a1'



 LΔ k k

Δ

k

 L1  L2 ,

unde 2

L1  S Γ S 3' '2 31

  j  1   0,1    10  10

iar 2

9 1 9  3  9 L2  S S Γ S 2'' S Γ S 3'' S     10   1  10  2  10   10  '2 '' 21 21

'' 32

'' 13

4

1 9       0.328 2  10 

deci Γ1  0,428 .

Pe de altă parte b4' a1'

 L1  L2 ,

expresie în care

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 116

2009

Circuite de Microunde j 3  j3 , 1  10 10 10

' L1  S31' Γ S 3' S21 

respectiv 3 9 9 1 9 j    1      10 2 10 10 10 10

' '' L2  S21 S21 Γ S 2'' S32'' Γ S 3'' S13'' S31'  3

j3  9  j2187     20  10  20000

prin urmare b4' a1'



 j3 j2187 3813   j 10 20000 20000

și deci 2

3813 P4   j  100  3,634 mW . 20000

15. Se consideră circuitul din figura 15.1 alcătuit prin interconectarea dintre un generator de microunde caracterizat la frecvenţa de lucru de puterea disponibilă 𝑃𝑑𝐺 = 1W şi coeficientul de reflexie ΓG = 1 2 în raport cu impedanţa de normare reală a sistemului, 𝑍0 , şi un divizor de putere ideal cu două ieșiri. Să se calculeze puterea medie activă emergentă la poarta 2 a divizorului, în condiţiile din figură. Cât este puterea medie activă maximă, respectiv minimă, emergentă la poarta 2 dacă la poarta 3 a divizorului se conectează un scurtcircuit mobil? 2

aG G

1

S a1

Z0

b2 b3

Z0

3 Figura 15.1

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 117

2009

Circuite de Microunde Rezolvare:

Unda emergentă la ieşirea generatorului, 𝑎1 (v. figura 15.1), este dată de expresia a1  aG  ΓGb1 ,

unde 𝑎𝐺 reprezintă contribuţia sursei de energie internă, Γ𝐺 este coeficientul de reflexie al generatorului iar 𝑏1 – unda reflectată la poarta 1 a divizorului, incidentă pe generator. Divizorul de putere ideal cu două ieșiri este un triport reciproc, pasiv, cu anumite proprietăți specifice. Divizorul ideal este total adaptat și are porțile de ieșire izolate între ele. Divizorul împarte puterea incidentă la poarta 1 între porțile 2 și 3 în părți egale. Matricea repartiție corespunzătoare divizorului ideal are deci forma    S     

0 1 2 1 2

1 2 0 0

1  2  0  .  0  

Ţinând cont de matricea S a divizorului şi de faptul că porţile 2 şi 3 ale acestuia sunt terminate pe sarcini adaptate, unda reflectată la poarta 1 este nulă, 𝑏1 = 0, caz în care a1  aG .

Pe de altă parte, relaţia dintre undele emergente (𝑏1 , 𝑏2 , respectiv 𝑏3 ) la porţile divizorului şi undele incidente (𝑎1 , 𝑎2 respectiv 𝑎3 ) poate fi scrisă sub forma matriceală,

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 118

2009

Circuite de Microunde  b1   S11 b  Sa  b2    S21    b3   S31

S13   a1  S23    a2     S33   a3 

S12 S22 S32

sau, pe componente: b1  S11a1  S12a2  S13a3 

1 1 a2  a3  0 ; 2 2

b2  S21a1  S22a2  S23a3 

1 1 a1  aG ; 2 2

b3  S31a1  S32a2  S33a3 

1 a1  b2 . 2

Puterea medie activă emergentă la poarta 2 este dată de relaţia P2 

1 2 b2 2

în care, înlocuind termenul 𝑏2 cu expresia sa, rezultă: 2

1 aG 1 P2   P0 . 2 2 2

Termenul 𝑃0 poate fi determinat din enunţul problemei, cunoscând puterea disponibilă a generatorului: PdG 



aG

2

2 1  ΓG

2





P0 1  ΓG

2

de unde



P0  PdG 1  ΓG

2

  1 1  14   0,75 [W]

şi deci 1 P2   0,75  0,375 W  375 mW . 2 CM – Nicolae MILITARU

Pagina 119

2009

Circuite de Microunde

Observaţie: Deoarece 𝑏2 = 𝑏3 puterea medie activă emergentă la poarta 2 este egală cu puterea medie activă emergentă la poarta 3 a divizorului: P3 

1 2 1 2 b3  b2  P2  375 mW . 2 2

Dacă se înlocuieşte terminaţia adaptată conectată la poarta 3 a divizorului cu un scurtcircuit mobil atunci, datorită reflexiei pe această sarcină pur reactivă, apare o undă reflectată nenulă, emergentă la poarta 1, 𝑏1 ≠ 0 (v. figura 15.2). 2

aG

a1 1

G

S b1

Z0

b2 b3

3

a3

3

Figura 15.2

Ţinând cont de noua configuraţie, pot fi scrise următoarele relaţii: a1  aG  ΓGb1 ,

b1 

1 1 a2  a3 , 2 2

b2 

1 a1  b3 , 2

a3  Γ3b3 ,

unde Γ3  e j  e j2  d reprezintă coeficientul de reflexie al scurtcircuitului mobil la frecvenţa de lucru iar 𝑑 reprezintă deplasarea sa. Poate fi astfel desenat graful de fluenţă corespunzător circuitului din figura 15.2. Graful din figura 15.3 conţine o buclă, 𝑎1 → 𝑏3 → 𝑎3 → 𝑏1 → 𝑎1 situaţie în care determinantul său are valoarea: Δ  1  S31Γ3S13ΓG  1 

CM – Nicolae MILITARU

1 1 1 1   e j     1  e  j 4 2 2 2

Pagina 120

2009

Circuite de Microunde

aG

S21 1 a1

b2 G

S31 b3

b1 S13

3

a3

Figura 15.3

Puterea medie activă emergentă la poarta 2 poate fi calculată cu expresia: P2 

1 2 b2 . 2

Pentru evaluarea undei 𝑏2 se calculează, din graf, raportul 𝑏2 𝑎𝐺 folosind regula lui Mason b2  k Lk Δ k  aG Δ

unde intervine între nodurile 𝑎𝐺 şi 𝑏2 numai calea 𝑎𝐺 → 𝑎1 → 𝑏2 . Rezultă: L1 

1 , 2

Δ1  1 ,

şi deci 1 b2 2  1 aG 1  e j 4

de unde b2 

aG 1 2 1  1 e j 4

astfel că CM – Nicolae MILITARU

Pagina 121

2009

Circuite de Microunde 2

1 a P2   G  2 2

1 1 1  e j 4

2

 P2   .

Se constată astfel dependenţa nivelului puterii emergente la poarta 2 a divizorului de defazajul produs de scurtcircuitul mobil conectat la poarta 3. Prin urmare, puterea 𝑃2 va fi maximă dacă e−j𝜑 = −1: 1 3 1 P2max  P2 e j 1     0,67 W . 2 4  1 2 1    4

Puterea emergentă la poarta 2 va fi minimă dacă e−j𝜑 = 1: 1 3 1 P2min  P2 e j 1     0,24 W . 2 4  1 2 1    4

16. Se consideră circuitul din figura 16.1 alcătuit dintr-un generator de microunde având puterea disponibilă 𝑃𝑑𝐺 = 3W la frecvenţa 𝑓 = 1GHz şi coeficientul de reflexie Γ𝐺 = 1 2 în raport cu impedanţa de normare reală a sistemului, 𝑍0 şi un divizor de putere Wilkinson. a) Să se calculeze puterea medie activă maximă, respectiv minimă, emergentă la poarta 3 a divizorului, în condiţiile din figura 16.1; b) Să se determine poziţiile scurtcircuitului mobil corespunzătoare acestor puteri extreme, ştiind că linia fără pierderi pe care se află acest scurtcircuit mobil are impedanța caracteristică 𝑍𝐶 = 𝑍0 și drept dielectric aerul. 2 a 2

1

a1 d

1 b 1

DPW

aG G

b2 b3

3

Z0

Figura 16.1 CM – Nicolae MILITARU

Pagina 122

2009

Circuite de Microunde Rezolvare:

a) Unda emergentă la ieşirea generatorului, 𝑎2 (v. figura 16.1), este dată de expresia: a2  aG  ΓGb2 ,

unde 𝑎𝐺 reprezintă contribuţia sursei de energie internă, Γ𝐺 este coeficientul de reflexie al generatorului iar 𝑏2 – unda reflectată la poarta 1 a divizorului, incidentă pe generator. Termenul 𝑎𝐺 poate fi determinat din enunţul problemei, cunoscând puterea disponibilă a generatorului: PdG 



aG

2

2 1  ΓG

2



,

de unde



aG  2 PdG 1  ΓG 2

2

  2  31  21   4,5 W . 2

Din definiţia matricei de repartiţie a divizorului, rezultă relaţia matriceală:   0  b1   j b  Sa  b2      2 b3    j  2

j 2 0 0

j  2 a   1 0    a2      a3  0  

sau, pe componente: b1  S11a1  S12a2  S13a3 

j j a2  a3  0 , 2 2

b2  S21a1  S22a2  S23a3 

j a1 , 2

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 123

2009

Circuite de Microunde

b3  S31a1  S32a2  S33a3 

j a1  b2 . 2

Scurtcircuitul mobil conectat la poarta 1 poate fi caracterizat prin intermediul coeficientului său de reflexie: Γ1 

a1  e j  a1  Γ1b1   e j2  d  b1 . b1

Pe baza relaţiilor precedente poate fi desenat graful de fluenţă asociat circuitului din figura 16.1. 1

aG

a2

G

S12

b2 S21

b1

1

a1

S31

b3

Figura 16.2

Graful din figura 16.2 conţine o buclă, 𝑎2 → 𝑏1 → 𝑎1 → 𝑏2 → 𝑎2 situaţie în care determinantul său are valoarea: Δ  1  S12Γ1S21ΓG  1 

j j 1 1   e j     1  e j . 4 2 2 2

Puterea medie activă emergentă la poarta 3 poate fi calculată cu expresia: P3 

1 2 b3 2

Pentru evaluarea undei 𝑏3 se calculează, din graf, raportul 𝑏3 𝑎𝐺 folosind în acest scop regula lui Mason: b3  k Lk Δ k ,  aG Δ

unde între nodurile 𝑎𝐺 şi 𝑏3 există numai calea 𝑎𝐺 → 𝑎2 → 𝑏1 → 𝑎1 → 𝑏3 . Rezultă:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 124

2009

Circuite de Microunde

L1  S12 Γ1S31 

j  j 1  j   e j    e , 2 2 2

Δ1  1

şi deci 1  j e b3 e  j 2   aG 1  1 e j  1  2  1  e  j  4  4 

de unde aG e j b3   2 1  1 e j 4

astfel că 2

1 a 1 P3   G   P3   . 2 4  1  j 2 1  e   4 

Se constată astfel dependenţa nivelului puterii emergente la poarta 3 de defazajul produs de scurtcircuitul mobil conectat la poarta 1 a divizorului. Deci, puterea 𝑃3 va fi maximă dacă e−j𝜑 = 1: 1 9 1 P3max  P3 e j 1     1 W . 2 8  1 2 1    4

Puterea emergentă la poarta 3 va fi minimă dacă e−j𝜑 = −1: 1 9 1 P3min  P3 e j 1     0,36  W  . 2 8  1 2 1    4

b) Din condiţia de maxim al puterii la poarta 3 se obţine:

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 125

2009

Circuite de Microunde e j  1  e j2  d  1.

Rezultă

astfel

deplasarea

minimă

a

pistonului

scurtcircuitului

mobil

corespunzătoare maximului căutat, 𝑑 = 0mm. Se constată astfel faptul că la poarta 3 a divizorului se obţine acelaşi nivel maxim al puterii active emergente şi dacă în locul scurtcircuitului mobil se conectează unul fix. Nivel minim al puterii active emergente la poarta 3 se obţine dacă e j  1  e j2  d  e

 j 2 p 1 π

, p .

Rezultă de aici deplasarea minimă corespunzătoare condiţiei impuse: 2 d    d 

  c0   , 2 4 4 f

adică, cu datele problemei: 3  108 d  0,075 m  7,5 cm . 4  109

CM – Nicolae MILITARU

Pagina 126