Aplicaciones y Funciones Trascendentales a la Ingeniería

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE EL SALVADOR.

Matemática I

Catedrático: Ing. José cruz López López

TEMA:

Aplicaciones de las funcione funciones s trascendentales trascendent ales en la ingeniería SECCION: 05

Integrantes:

carnet

Bryan Orlando Orellana Martínez -25-4671-2013

Roberto Esaú Perdomo Aragón -25-4645-2013 Luis Enrique Aguilar -___________ 

Aplicaciones y Funciones Trascendentales a la Ingeniería

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. Las funciones cuyos valores no pueden calcularse haciendo un numero fi nito

de oper acio ne saritm´eticas (sumas, productos, potencias, etc.) se denom inan Trascendentes

Como base se puede tomar cualquier número positivo diferente de 1 (pues este valor solo nos daría una función constante). Los exponentes que se usen pueden tener cualquier valor, por lo que su dom in io so n tod os los n úmeros reales. Como al elevar a cualquier potencia siempre se obtiene un nú mero positivo, el reco rr ido cons ta de todo s los n úmeros reales positivos. Esto ind ica que la función exponencial no tiene raíces. Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo

que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f. Observaciones: En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

Graficas de las funciones

Hay dos clases de funciones reales. Cualquier función que no sea una función algebraica es llamada función trascendental. Tal función trasciende, lo que significa que no puede ser expresada en forma de operaciones algebraicas, de ahí el nombre de la misma. A la luz de lo anterior se puede concluir que, para un valor de x la salida de una función trascendental no puede ser calculada algebraicamente.

Estas funciones son muy importantes en la solución de problemas de física e ingeniería. Son especialmente utilizados para detectar errores en el análisis dimensional. Esto se debe a que la función trascendental sólo tiene sentido después que sus argumentos se hacen sin dimensiones, esto también puede hacerse utilizando reducciones algebraicas. Para definir una función trascendental elemental, principalmente se emplean tres estrategias. Una de ellas es hacer uso de las series de potencias. Sin embargo, rara vez se utiliza, ya que no forma parte del cálculo elemental. El otro, que se utiliza en gran manera, es el método de la integral definida. Dos de las funciones trascendentales más importantes son las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales. Las funciones de los ángulos se conocen como funciones trigonométricas. También se les conoce por el nombre de funciones circulares. Estas funciones forman parte de la trigonometría: coseno, cosecante, cotangente, seno, secante, tangente, etc. Estas funciones son una herramienta muy esencial para relacionar la longitud de los lados de un triángulo con los ángulos del triángulo. Entre muchas de las aplicaciones, estas funciones son importantemente utilizadas para modelar los fenómenos periódicos. En términos más precisos, una función trigonométrica se puede definir como una función que es razón de cualquiera de los dos lados del triángulo con un ángulo específico entre ellos. Algunos de los matemáticos modernos incluso definen tales funciones como una serie de longitud infinita o la solución de ecuaciones diferenciales, extendiendo estas un gran número de negativos así como positivos, incluso números complejos en algunos momentos. 1. El seno de una función puede ser definido como la razón de la longitud perpendicular y la longitud de la hipotenusa del triángulo.

2. El coseno de una función puede ser definido como la razón de la longitud la base y la longitud de la hipotenusa del triángulo.

3. La tangente de una función puede ser definida como la razón de la longitud de la base y la longitud perpendicular del triángulo.

4. La cosecante de una función, que es el inverso del seno de la función, puede ser definida como la razón de la longitud de la hipotenusa y la longitud perpendicular del triángulo.

5. La secante de una función, que es el inverso del coseno de la función, puede ser definida como la razón de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la base triángulo.

6. La cotangente de una función, que es el inverso de la tangente de la función, puede ser definida como la razón de la longitud perpendicular y la longitud de la base del triángulo

Una función entera, comúnmente conocida por el nombre de función exponencial es definida como una función f: X  Y de la forma, exp(z) = ez Aquí e es el resultado de la ecuación,

tal que

lo que hace a x = e = 2.718. El valor de e siempre debe ser mayor que cero y ambos e y x deben ser números reales. Una función exponencial siempre satisface la siguiente ecuación, e(x + y) = e(x) e(y)

Tome un ejemplo, para evaluar la ecuación f = 5(4)x dado que el valor de x = 2.5. Siga los sencillos pasos de la siguiente manera, • f = 5(4)2.5 (reemplazando el valor de x) • 5(32) = 160

Clases de funciones: Función Cuadrática El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo. La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado. Función Logarítmica La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones

logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a. 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 01, la función es creciente. 5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a