Aplicaciones Topograficas

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIÓN

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA

APLICACIONES TOPOGRÁFICAS GUIÓN - 1

José Ramón Aranda Sierra Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos 2.007

Dedicatoria A mis padres A mis alumnos

© JOSÉ RAMÓN ARANDA SIERRA I.S.B.N.: Depósito Legal: Servicio de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos.

PROGRAMA

PRACTICAS

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PROGRAMA

1ª.- Topografía Aplicada. 2ª.- Geotecnia. 3ª.- Estructuras. 4ª.- Proyectos de Ingeniería Eléctrica y Energética.

TOPOGRAFÍA APLICADA

T 1.- INTRODUCCIÓN. 1.1.- Objetivos y contenido básico: Objeto de la topografía. Cartas, mapas y planos. Escalas. 1.2.- Límites de la percepción visual. 1.3.- Levantamientos topográficos: Clasificación. Sistemas básicos de representación. Distancia geométrica y reducida. Planos acotados. Partes de un levantamiento. Métodos topográficos. Influencia de la esfericidad terrestre. 1.4.- Geodesia y topografía: La forma de la Tierra. Redes geodésicas. Determinación del elipsoide. 1.5.- Topografía e ingeniería: Campo de acción. Aplicaciones generales y, en particular, a la Ingeniería Eléctrica. APÉNDICE 1. A1.1.- Fotografías de distintos trabajos.

T 2.- TEORÍA DE ERRORES. 2.1.- Introducción. Principales causas. 2.2.- Tipos de errores: groseros, sistemáticos y accidentales. 2.3.- Hipótesis previas. 2.4.- La media aritmética. Propiedades. 2.5.- Concepto de precisión. 2.6.- Formas usuales de error: probable, medio aritmético, máximo, medio cuadrático. Relaciones. 2.7.- Composición y transmisión de errores: introducción. Error en una suma. Error en un producto. Error de una media. Error de la media ponderada. APÉNDICE 2. A2.1.- Tolerancias en Ingeniería Civil A2.2.- Ejemplos de estadística A2.3.- Plantillas para trabajos de campo

T 3.- INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Y ACCESORIOS. TEODOLITO. 3.1.- Elementos de los instrumentos topográficos. Objeto: medición de distancias y de ángulos. 3.2.- Elementos accesorios: Trípodes. Mecanismos de unión. Plataformas nivelantes. Tornillos de precisión. Tornillos de coincidencia. 3.3.- Niveles: Nivel de aire. Nivel esférico. Sensibilidad del nivel. Estacionamiento de un instrumento. 2

PROGRAMA

3.4.- Anteojo: Colimar. Ejes (Óptico, mecánico, colimación: Plano horizontal de colimación, Plano vertical de colimación). 3.5.- Limbos: Ángulos (Sexagesimales. Centesimales). Nonios. Micrómetros. 3.6.- Medida de distancias: Directa (Cintas metálicas. Hilos de invar). Indirecta (Estadímetros: constantes diastimométricas, determinación de las constantes. Miras: visuales inclinadas, lecturas de mira). 3.7.- Teodolito. Elementos constitutivos. 3.8.- Uso del teodolito: lecturas de ángulos acimutales y cenitales. 3.9.- Errores en un teodolito. Evaluación del error total en las punterías. APÉNDICE 3. A3.1.- Tipos de lecturas de ángulos A3.2.- Teodolitos comerciales A3.3.- Plantillas para trabajos de campo

T 4.- TAQUÍMETRO. DISTANCIOMETRO. 4.1.- Métodos de evaluación de distancias: Cinta (aplicaciones). Distanciómetro (fundamento, aplicación, manejo). 4.2.- Taquímetro. 4.3.- Uso del taquímetro 4.4.- Desarrollo de la libreta. 4.5.- Cálculo del desnivel. 4.6.- Error longitudinal. APÉNDICE 4. A4.1.- Medida de distancias A4.2.- Catálogos de distanciómetros A4.3.- Levantamiento de planos

T 5.- BRÚJULAS. NIVELES. 5.1.- Fundamento de la brújula: aguja magnética. 5.2.- Variación de la declinación magnética. 5.3.- Errores en una brújula. 5.4.- Niveles: fundamento. 5.5.- Errores en un nivel. Error kilométrico. APÉNDICE 5. A5.1.- Catálogo de brújulas A5.2.- Catálogo de niveles A5.3.- Aplicaciones de nivelación

T 6.- MÉTODOS TOPOGRÁFICOS. PLANIMÉTRICOS. 6.1.- Agrimensura. Idea general. Método de las mediciones. Método de la descomposición en triángulos. Método de las abscisas y ordenadas. Método de las casi perpendiculares. Método de las alineaciones. 3

PROGRAMA

6.2.- Coordenadas. Coordenadas cartesianas. Coordenadas generales y parciales. Convergencia de meridianos. Cálculo de ángulos acimutales y distancias. 6.3.- Método de Radiación. Orientación de un instrumento. Desorientación de una vuelta de horizonte. Ventajas e inconvenientes del método. Distancias máximas de radiación. 6.4.- Método Itinerario o poligonal. Diversas clases de itinerarios. Itinerario con goniómetro e itinerario con brújula. Influencia del error angular en los itinerarios (goniómetro, brújula). Comparación de los errores transversales de los itinerarios con goniómetro y brújula. Error lineal. Error total. Error de cierre. Desarrollo gráfico y cálculo de los itinerarios. 6.5.- Método de intersección. Fundamento de la intersección directa. Elipse de tolerancia. Error máximo. Longitud máxima de las visuales. Intersección gráfica. Cálculo de coordenadas. Fundamento de la intersección inversa. APÉNDICE 6. A6.1.-Ejemplos de bases de replanteo A6.2.- Señalización A6.3.- Planímetros

T 7.- MÉTODOS ALTIMÉTRICOS. 7.1.- Superficies de nivel. Cotas, altitudes y desniveles. Corrección por esfericidad. Corrección por refracción. Corrección conjunta de la esfericidad y refracción. Clasificación de los métodos altimétricos. 7.2.- Nivelaciones geométricas: Nivelación simple (Métodos punto medio, punto extremo, estaciones recíprocas, equidistantes, estaciones exteriores). Nivelación compuesta. Error de cierre. Error kilométrico. 7.3.- Nivelaciones trigonométricas: Nivelación simple. Error por falta de verticalidad de la mira. Error de cierre. Error kilométrico. 7.4.- Nivelaciones barométricas.

T 8.- LEVANTAMIENTOS PLANIMÉTRICOS. 8.1.- Redes del levantamiento planimétrico. Triangulación. 8.2.- Cálculo de la triangulación. 8.3.- La red topográfica o intermedia. 8.4.- La red de detalle o relleno.

T 9.- LEVANTAMIENTO ALTIMÉTRICO. 9.1.- Relieve del terreno. 9.2.- Redes del levantamiento altimétrico. 9.3.- Dibujo del plano.

T 10.- LEVANTAMIENTO TAQUIMÉTRICO. 10.1.- Fundamento. 10.2.- Fórmulas taquimétricas. 10.3.- Enlaces de estaciones: método directo, método indirecto, método mixto. 4

PROGRAMA

10.4.- Trabajos de campo. 10.5.- Trabajos de gabinete. APÉNDICE 10. A10.1.- Movimiento de tierras A10.2.- Programas de ordenador

T 11.- FOTOGRAMETRÍA: Definición y alcance. 11.1.- Definición. 11.2.- Ventajas de la fotogrametría como fuente de información. 11.3.- Principios fundamentales de la fotogrametría. 11.4.- Restitución. 11.5.- Aplicaciones: topográficas, no topográficas. APÉNDICE 11. A11.1.- Estereoscopia A11.2.- Teledetección A11.3.- Fotogrametría en explotaciones subterráneas

T 12.- CARTOGRAFÍA. 12.1.- Lectura de mapas, planos y fotointerpretación. 12.2.- Cartografía más usual: Mapa topográfico Nacional del Instituto Geográfico Nacional (1/50.000; 1/25.000). Mapa Militar del Servicio Geográfico del Ejercito (1/50.000). Fotografías aéreas 1/5.000, 1/2.000. Cartografía regional a 1/5.000. Cartografía local 1/2.000, 1/1.000, 1/500. 12.3.- Explotación de la información cartográfica: Altimetría y pendientes del relieve, red hidrográfica, perfiles longitudinales, perfiles transversales. 12.4.- Trabajos topográficos. APÉNDICE 12. A12.1.- Leyenda de símbolos topográficos A12.2.- Diversos tipos de planos

T 13.- ELECCIÓN DE MÉTODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS 13.1.- Supuesto real 13.2.- Distancia máxima de radiación 13.3.- Limitación en los itinerarios con brújula 13.4.- Limitación en los itinerarios con taquímetro 13.5.- Características de la triangulación 13.6.- Nivelación por alturas 13.7.- Recapitulación final de errores. Tolerancias.

T 14.- PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS 14.1.- Dificultad para calcular el presupuesto 5

PROGRAMA

14.2.- Trabajos necesarios y rendimientos medios 14.3.- Ejemplo 14.4.- Presupuesto para los trabajos de campo 14.5.- Organización de los trabajos de gabinete 14.6.- Trabajos de gabinete 14.7.- Presupuesto para los trabajos de gabinete 14.8.- Presupuesto total APÉNDICE 14. A14.1.- Tarifas de alquiler de equipos topográficos

T 15.- PETICIÓN DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS 15.1.- Petición de oferta 15.2.- Petición de oferta para un trabajo topográfico 15.3.- Ejemplo APÉNDICE 15. A15.1.- Petición de oferta de un trabajo topográfico A15.2.- Oferta de un trabajo topográfico

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PROGRAMA

NOCIONES DE GEOTECNIA

T 16.- GEOTECNIA: CIMENTACIONES. TIPOLOGÍAS. 16.1.- Información geológica del terreno. Defectos subterráneos. 16.2.- Diferencias entre los tipos de suelo. 16.3.- Proyecto de cimentaciones: definición, condiciones satisfactorias, situación y profundidad, estructuras colindantes, erosiones y socavación, nivel freático, limitación de asientos. 16.4.- Cimentaciones superficiales. Presiones admisibles. Determinación de la carga de hundimiento de un suelo. Zapatas: Normativa Tecnológica de Edificación. 16.5.- Asientos de zapatas. 16.6.- Cimentaciones profundas. Pilotes: Normativa Tecnológica de Edificación.

T 17.- APLICACIONES. ESTUDIO DE LAS ZAPATAS DE HORMIGÓN. 17.1.- Cargas transmitidas a la zapata. Axil, Cortante, Momento Flector. 17.2.- Dimensionamiento de una zapata aislada. 17.3.- Utilización de ábacos de cálculo.

NOCIONES DE ESTRUCTURAS

T 18.- ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS. 18.1.- Definición. 18.2.- Estructura isostática. Estructura hiperestática 18.3.- Métodos tradicionales de cálculo de esfuerzos. Método de Cremona. 18.4.- Movimientos de los nudos de una estructura articulada. 18.5.- Método de Williot. 18.6.- Resolución de desplazamientos y esfuerzos en estructuras articuladas planas mediante el ordenador.

T 19.- ESTRUCTURAS RETICULADAS PLANAS. 19.1.- Definición. 19.2.- Estructura isostática. Estructura hiperestática 19.3.- Métodos tradicionales de cálculo de esfuerzos. Método de Cross.

T 20.- DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES: ACERO Y HORMIGÓN. 20.1.- Esfuerzos en una sección de un elemento estructural. 20.2.- Metodología en elementos de acero. Manejo de prontuarios. 20.3.- Norma Tecnológica de Hormigón. EH-91. Hormigón en masa. Hormigón armado. 20.4.- Armadura de un elemento de hormigón armado.

T 21.- PROGRAMA DE CALCULO POR ORDENADOR. MANEJO DE TABLAS. 21.1.- Manejo de programas de cálculo. 7

PROGRAMA

21.2.- Bibliografía de prontuarios y tablas.

PROYECTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA

T 22.- PROYECTOS DE INGENIERÍA ELÉCTRICA. 22.1.- Atribuciones del Ingeniero Técnico Industrial de la especialidad Electricidad, sección Centrales y Redes. 22.2.- Proyectos tipo de Electrificación Rural: Líneas, Centros de transformación y Subestaciones. 22.3.- Instalaciones energéticas. 22.4.- Documentos de un proyecto. 22.5.- La memoria y anejos a la memoria. 22.6.- Los planos. 22.7.- El pliego de prescripciones técnicas particulares. 22.8.- El presupuesto. 22.9.- Estudios, informes, peritaciones y certificaciones.

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PROGRAMA

BIBLIOGRAFÍA: TOPOGRAFÍA: - Francisco Domínguez García-Tejero. "TOPOGRAFÍA ABREVIADA". MADRID. Dossat. 1.974. - Fernando Martín Asín. "GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA". MADRID. Paraninfo. 1.983. - José Luis Ojeda Ruiz. "MÉTODOS TOPOGRÁFICOS". - Rafael Ferrer Torio y Benjamín Piña Patón. "FOTOGRAMETRÍA". SANTANDER. E.T.S.I.C.C. y P.. 1.986. "Actividades de campo y de gabinete". SANTANDER. E.T.S.I.C.C. y P.. 1.987.

GEOTECNIA: José Antonio Jiménez Salas. "GEOTECNIA". Tomos I, II, III. José Calavera. "CALCULO DE ESTRUCTURAS DE CIMENTACIÓN".

ESTRUCTURAS: Avelino Samartín Quiroga. "APUNTES DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS". "APUNTES DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS". "CALCULO MATRICIAL". Jiménez Montoya. "HORMIGÓN ARMADO".

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INTRODUCCION

ÍNDICE

1.- INTRODUCCIÓN. NECESIDAD Y OBJETO DE LA TOPOGRAFÍA.

1.1.- OBJETIVOS Y CONTENIDO BÁSICO. - Objeto de la TOPOGRAFÍA. - Cartas, mapas y planos. - Escalas.

1.2.- LIMITES DE LA PERCEPCIÓN VISUAL.

1.3.- LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS. - Clasificación. - Sistemas básicos de representación. - Distancia geométrica y reducida. - Planos acotados. - Partes de un levantamiento. - Métodos topográficos. - Influencia de la esfericidad terrestre.

1.4.- GEODESIA Y TOPOGRAFÍA. - La forma de la Tierra. - Redes geodésicas. - Determinación del elipsoide.

1.5.- TOPOGRAFÍA Y LA INGENIERÍA. - Campo de acción. - Aplicaciones generales, en particular, a la ingeniería eléctrica.

APÉNDICE 1. A1.1. FOTOGRAFÍAS DE DISTINTOS TRABAJOS

T1 - 1

INTRODUCCIÓN

1.1.- OBJETIVOS Y CONTENIDO BÁSICO. - Objeto de la TOPOGRAFÍA: es el estudio de los métodos necesarios para llegar a representar un terreno con todos los detalles naturales o creados por la mano del hombre, así como el conocimiento y manejo de los instrumentos que se precisan para tal fin.

- Mapas: Toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que, por la extensión y debido a la curvatura de la superficie del planeta, requiera hacer uso de sistemas especiales de transformación propios de la Cartografía. Cartas: Son mapas marinos, utilizados para la navegación (características del mar_). Planos: Es la representación gráfica que por la escasa extensión de superficie a que se refiere no exige hacer uso de los sistemas cartográficos, se apoyen o no los trabajos en la geodesia.

- Escalas: Relación PAPEL / REALIDAD. Mapa Nacional: 1/50.000(1/25.000) Menores ajenos a la Topografía. Planos: 1/10.000; 1/5.000; 1/2.000; 1/1.000; 1/500 (1/100 Detalle) Catastro Parcelario: 1/10.000; 1/5.000; 1/2.000

1.2.- LIMITES DE LA PERCEPCIÓN VISUAL. 0,2 mm. _

1.3.- LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS. - Definición: Conjunto de operaciones necesarias para representar topográficamente un terreno.

- Clasificación: - Regulares: con instrumentos más o menos precisos con un fundamento científico. - Precisión: Instrumentos y métodos en relación con la escala adoptada. - Expedito: En caso contrario. - Irregulares: instrumentos elementales y métodos intuitivos.

- Sistemas básicos de representación. Geometría Descriptiva. Perspectivas: Axonométrico, Cónico. Métricos: Diédrico, ACOTADO.

- Planos acotados. - Distancia geométrica: Distancia real entre dos puntos, según la recta que los une. - Distancia reducida: Distancia en proyección. T1 - 2

INTRODUCCION

- Desnivel: Diferencia de cotas de los extremos. - Pendiente de una recta: tangente trigonométrica del ángulo que forma con el plano de comparación. El inverso se llama Módulo o intervalo.

- Partes de un levantamiento. - Proyección horizontal: Planimetría. - Cota: Altimetría. - Proyección horizontal y cota: Taquimetría. * Trabajos de campo y de gabinete.

- Métodos topográficos. - Planimétricos: Intersección (Triangulación), Itinerario (Poligonales) y Radiación (Relleno). - Altimétricos: Nivelación Geométrica y N. Trigonométrica.

- Influencia de la esfericidad terrestre. - Planimetría: Convergencia de los meridianos_ - Altimetría: Convergencia de las superficies equipotenciales_

1.4.- GEODESIA Y TOPOGRAFÍA. - La forma de la Tierra. Reseñas históricas: - Aristóteles (550 a.J.C.) redondez de la Tierra. - Eratóstenes (250 a.J.C.) Radio de la Tierra, longitud y amplitud de un meridiano entre Siena y Alejandría.(La longitud estimada de la circunferencia 40.000 Km con un error de 600 Km). - Newton 1.687: gravedad es normal a la superficie en todos los puntos. Datum: normal del geoide y elipsoide coinciden. - Satélites Artificiales. NASA: Vanguard I, II, III. - Método geométrico Triangulación → Tetraedrización Rayos Laser: 1500, 4000, 7000 Km 1964

SAO

1967

VEIS

- Elipsoide internacional: a = 6.378.142 ± 6 m. - Aplanamiento Terrestre: α = (a-b)/a = 1/(298,255 ± 0,005) T1 - 3

INTRODUCCIÓN

Planisferios: Curvas de nivel cada 10 a 10 metros

España: Abultamiento del geoide de 51 m. A 40° de latitud, según el elipsoide de Struve, el radio es de 6.375 Km.

- Redes geodésicas.

- Determinación del elipsoide. Latitud y longitud geodésicas (elipsoide). Latitud y longitud astronómicas (geoide)

1.5.- TOPOGRAFÍA Y LA INGENIERÍA. - Campo de acción. - Aplicaciones generales y, en particular, a la ingeniería eléctrica.

T1 - 4

INTRODUCCION

APÉNDICE 1.1 FOTOGRAFÍAS DE DISTINTAS OBRAS

T1 - 5

ERRORES

ÍNDICE 2.- TEORÍA DE ERRORES.

2.1.- NECESIDAD DE SU ESTUDIO: PRINCIPALES CAUSAS.

2.2.- ERRORES. 2.2.1.- ERRORES Y EQUIVOCACIONES. 2.2.2.- ERRORES SISTEMÁTICOS Y ACCIDENTALES. 2.2.3.- ERRORES VERDADEROS Y APARENTES.

2.3.- HIPÓTESIS PREVIAS.

2.4.- LA MEDIA ARITMÉTICA. PROPIEDADES.

2.5.- CONCEPTO DE PRECISIÓN.

2.6.- FORMAS USUALES DE ERROR: probable, medio aritmético, máximo, medio cuadrático. RELACIONES.

2.7.- COMPOSICIÓN Y TRANSMISIÓN DE ERRORES. 2.7.1.- Introducción. 2.7.2.- Error en una suma. 2.7.3.- Error en un producto. 2.7.4.- Error de una media. 2.7.5.- Error de la media ponderada.

2.8.- UNIDADES DE MEDIDA. 2.8.1.- Unidades de ángulos. 2.8.2.- Unidades de longitud. 2.8.3.- Unidades de superficie. 2.8.4.- Unidades de volumen.

APÉNDICE 2 A2.1.- TOLERANCIAS EN INGENIERÍA CIVIL A2.2.- EJEMPLOS DE ESTADÍSTICA A2.3.- PLANTILLAS PARA TRABAJOS DE CAMPO

T2 - 1

ERRORES

2.- LOS ERRORES Y SUS CAUSAS. Toda técnica de medida está sometida a la inevitable dependencia de los ERRORES.

2.1.- Principales causas: 1.- El límite de precisión del propio instrumento de medida. 2.- La limitación de los sentidos. 3.- Condiciones ambientales. Instrumentales. Humanas. Naturales. TOPOGRAFÍA ________ MEDIR _______

ÁNGULOS Necesidad de DISTANCIAS

su estudio.

2.2.- ERRORES. Los principales tipos de error son:

2.2.1.- GROSEROS O EQUIVOCACIONES. No son admisibles y se eliminan por medio de - controles. - verificaciones.

2.2.2.- SISTEMÁTICOS. En operaciones escalonadas se acumulan. Son evitables: - por un método de trabajo, sin necesidad de conocerlos.

Se corrigen: - por un método de trabajo, por correcciones complementarias.

2.2.3.- ACCIDENTALES. Provienen de la combinación de todas las causas posibles son evaluables y puede establecerse algún tipo de acotación.

T2 - 2

ERRORES

2.3.- HIPÓTESIS PREVIAS. - Los errores son más probables cuanto más pequeños. - La suma de los productos binarios es despreciable.

2.4.- LA MEDIA ARITMÉTICA. PROPIEDADES. Concepto de media aritmética.- Se define como media aritmética a la suma de todos los valores obtenidos de la magnitud medida, dividida por el número de medidas realizadas.

Mediciones: m1, m2, m3, ..., mn. Concepto de media:

M=

m1 + m2 + ... + mn n

Propiedades de la media aritmética. 1.- La suma de los errores o residuos obtenidos es cero, denominando residuo a la diferencia de cada valor respecto de la media. residuos: ξ´1, ξ´2, ξ´3, .... ξ´n ξ´1 = M-m1 ξ´2 = M-m2 ξ´3 = M-m3 ... ξ´n= M-mn sumando m. a m.: ξ´1+ ξ´2+ ξ´3+ .... + ξ´n = M + M + M + ... + M - ( m1+ m2+ m3+ ...+ mn) = M*n - M*n = 0 Σ ξ´i= 0 2.- Si la suma de los cuadrados de los errores o residuos es mínima, el valor más probable es la media aritmética de los valores de la magnitud medida. residuos: ξ´1, ξ´2, ξ´3, .... ξ´n ξ ´12 = (M-m1)2 ξ ´22 = (M-m2)2 ξ ´32 = (M-m3)2 ... ξ ´n2 = (M-mn)2 T2 - 3

ERRORES

ξ ´12 + ξ ´22 + ξ ´32 +...+ ξ ´n2 = (M-m1)2+(M-m2)2+(M-m3)2+...+(M-mn)2 Σ ξ ´i2 = (M-m1)2 + (M-m2)2 + (M-m3)2 +... + (M-mn)2 Para que esta expresión sea mínima, ha de anularse la primera derivada: 2(M-m1)+ 2(M-m2)+ 2(M-m3) +... + 2(M-mn)= 0 M*n - ( m1+ m2+ m3+ ...+ mn) = 0

M=

m1 + m2 + ... + mn n

La media aritmética de una serie de valores, tomada para caracterizar a dicha magnitud, equivale a considerar que la suma de los cuadrados de los residuos es mínima: La media aritmética es el valor más probable de las medidas efectuadas.

2.5.- CONCEPTO DE PRECISIÓN. Se define como precisión en una serie de medidas, el grado de acercamiento obtenido respecto del valor real.

Considerando este concepto, parece natural utilizar para su medida el valor: Σ ξ´i2 ya que caracteriza la precisión de las medidas efectuadas.

Cuanto más pequeña sea dicha suma más próximos estarán entre sí los valores mi y más garantía tendrá el valor M. Por la misma razón es igualmente normal medir la precisión de cada una de las observaciones realizadas por la expresión:

∑ξ

´2 i

n Si los errores disminuyen, la precisión aumenta.

2.6.- FORMAS USUALES DEL ERROR. Al disponer de una serie de medidas de una determinada magnitud, frecuente emplear diversas formas del error.

1.- ERROR PROBABLE: es aquél que tiene su posición centrada una vez ordenados por su magnitud, prescindiendo del signo.

2.- ERROR MEDIO ARITMÉTICO: es la media aritmética de todos los errores conocidos, prescindiendo del signo.

T2 - 4

ERRORES

3.- ERROR MÁXIMO: es el error que marca la barrera de la tolerancia. Suele tomarse un valor del error medio cuadrático, normalmente 2,5.

4.- ERROR MEDIO CUADRÁTICO. Si se considera una serie de errores reales respecto del verdadero valor de la magnitud que evalúa, se define como error medio cuadrático:

∑ξ

ec =

´2 i

n

Al no conocer los errores reales se utiliza otra expresión en función de los errores aparentes obtenidos respecto de la media M.

∑ξ

ec = Errores:

´2 i

n −1

ξi verdadero ................ X ξ´i aparente .............. M * Expresiones iniciales. ξ1= X-m1 ξ2= X-m2

ξ´1= M-m1 ξ´2= M-m2

ξ3= X-m3 ...

ξ´3= M-m3 ...

ξn= X-mn

ξ´n= M-mn

* Restando ordenadamente. ξ1- ξ´1= X-M

ξ1= ξ´1+ (X-M)

ξ2- ξ´2= X-M ...

ξ2= ξ´2+ (X-M) ...

ξn- ξ´n= X-M

ξn= ξ´n+ (X-M)

* Elevando al cuadrado. ξ12= ξ´12 + (X-M)2+ 2 ξ´1 (X-M) ξ22= ξ´22+ (X-M)2+ 2 ξ´2 (X-M) ... ξn2= ξ´n2+ (X-M)2+ 2 ξ´n(X-M)

T2 - 5

ERRORES

*Sumando miembro a miembro. Σ ξi2 = Σ ξ´i2 + n (X-M)2 + 2 (X-M) Σ ξ´i Σ ξ´i= 0 Σ ξi2 = Σ ξ´i2 + n (X-M)2 Por otra parte, sumando las expresiones: ξ1- ξ´1= X-M ξ2- ξ´2= X-M ... ξn- ξ´n= X-M Σ ξi - Σ ξ´i = Σ ξi = n (X-M)

∑ξ

X −M =

i

n

elevando al cuadrado:

( X − M )2 = ∑ 2 i

ξ2

n

Σ ξi ξ´j = 0

∑ξ

= ∑ ξi

2 i

∑ξ

´2 i

´2

ξ +n∑

2 i

n2

⎛ 1⎞ 2 = ⎜1 − ⎟ ∑ ξ i ⎝ n⎠

∑ξ

2

=

i

n

∑ξ

´2 i

n −1

Error medio cuadrático:

ec =

∑ξ

´2 i

n −1

=

∑ξ

2 i

n

Una vez definido el error medio cuadrático se define el error de la media al cociente:

ec = m

Error _ medio _ cuadrático n

T2 - 6

ERRORES

ec = m

∑ξ

´2 i

n(n − 1)

T2 - 7

ERRORES

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1.- Al cerrar una nivelación de 4 Km. de longitud se obtienen las siguientes cotas para el punto final: 128,351 m.; 128,353 m.; 128,350 m.; 128,354 m.; 128,351 m. Se pide: 1.- ¿Qué valor se adoptaría?. 2.- ¿Cuál será el error medio cuadrático?. 3.- Hallar la precisión de la medida.

2.- En el caso anterior definir: 1.- La gráfica de la función de distribución. 2.- La desviación típica. 3.- La probabilidad de que la cota sea 128,352 m.

T2 - 8

ERRORES

Ejemplo.- Calcular los errores medios cuadráticos de una observación aislada, error máximo y error medio cuadrático de la media de una serie de valores angulares, medidos con un teodolito centesimal. Acimutales 61g

31m

32s

31

61g

30m

80s

06

31

20

31

10

31

00

30

86

30

90

31

02

31

10

31

26

31

44

1.- Se evalúa el valor de la media de las lecturas n = 12, y sus residuos ξ´. ξ'i ξ'i2 61g 31m 32s -23 529

61g

31

06

+3

9

31

10

-1

1

30

86

+23

529

31

02

+7

49

31

26

-17

289

30m

80s

29

841

31

20

-11

121

31

00

+9

81

30

90

+19

361

31

10

-1

1

31

44

-35

1225

0

4036

2.- La media es M = 61g 31m 09s.

3.- El error medio cuadrático de una observación aislada es:

ec =

∑ξ

´2 i

n −1

=

4036 = 19 s 11

4.- El error máximo es: ea = 2,5 x ec = 2,5 . 19s = 47s Revisando la tabla se observa que no hay ninguna lectura con un residuo mayor que el error máximo, por lo cual no hay que rehacer el cálculo de la media, ni de los errores anteriores.

5.- Error medio cuadrático de la media (precisión):

19 s = 6 s em c = 12 6.- El valor del acimut calculado es: 61g 31m 09s± 6s

T2 - 1

ERRORES

La evaluación de los errores en las lecturas se puede abordar también de forma estadística como refleja en el siguiente ejemplo.

Ejemplo.- Se ha medido un ángulo cenital con un teodolito centesimal en 36 lecturas, cuyos resultados han dado los siguientes valores: 137g 44m,633 44m,700 44m,633 44m,644 44m,644 44m,644

44m,644 44m,700

44m,644 44m,644

44m,603 44m,633

44m,700 44m,700

44m,603 44m,644

44m,700 44m,603

44m,644 44m,644

44m,644 44m,667

44m,603 44m,808

44m,644 44m,633

44m,700 44m,700

44m,644 44m,644

44m,603 44m,644

44m,667 44m,644

44m,700 44m,644

1.- Se agrupan los datos: Datos 137g

Frecuencia

Residuo(m)

5

0,052

4

0,022

44m,644 44m,667

16

0,011

2

-0,012

44m,700 44m,808

8

-0,045

1

-0,153

44m,603 44m,633

36

Residuo al cuadrado(m2) 0,0522 x 5 = 0,01352 0,0222 x 4 = 1,936 E-3 0,0112 x 16 = 1,936 E-3 (-0,012)2 x 2 = 2,88 E-4 (-0,045)2 x 8 = 0,0162 (-0,153)2 x 1 = 0,023409 0,057 m2 = 0,00057 g2

La media es: 137,44655.

La desviación típica es:

σ=

0,00057 = 0,004 g 35

La distribución a que obedecen estos datos es una normal(campana de Gauss). Así se puede calcular la probabilidad de que un valor esté comprendido entre otros dos, por ejemplo, entre 137,44606 y 137,44808:

137,44606 > Za=(X1-M)/σ = (137,44606 - 137,44655)/ 0,004 = -1,225 137,44808 > Zb=(X2-M)/σ = (137,44808 - 137,44655)/ 0,004 = 3,825 Del cuadro de valores tipificado de la distribución normal N(0,1) se obtendría (ver gráfica):

1,0 - 0,8888 = 0,1112

T2 - 2

ERRORES

0,9990

Pr = 0,999 - 0,1112 = 0,89 = 89% También se podría deducir la probabilidad de tener una medida inferior a un valor preestablecido, por ejemplo, 137,4450:

137,4450 > Zc=(X3-M)/σ = (137,4450 - 137,44655)/ 0,004 = -3,875 Pr = 1 - 0,9999 = 0,0001 = 0,01% O también se podría deducir la probabilidad de tener una medida superior a un valor preestablecido, por ejemplo, 137,44722:

137,44722 > Zd=(X4-M)/σ = (137,44722 - 137,44655)/0,004 = 1,67 Pr= 0,5 + 0,4525 = 0,9525 > Pr = 1 - 0,9525 = 0,0475 = 4,75%

RELACIÓN ENTRE LOS ERRORES DEFINIDOS.

Error probable -------------- ep Error medio aritmético ------

ea

Error máximo ---------------- em Error medio cuadrático ------

ec

Cuando se dispone de un número suficientemente grande de medidas de una magnitud es fácil comprobar que se verifican las siguientes relaciones. em ≈ 2,5 ec ≈ 3 ea ≈ 4 ep Por otra parte, los errores ea, ec y ep están relacionados con la medida o módulo de precisión por las siguientes relaciones.

ep =

2ec 3

em = 4 e

T2 - 3

ERRORES

2.7.- COMPOSICIÓN O TRANSMISIÓN DE ERRORES.

2.7.1.- INTRODUCCIÓN. Sea A una cantidad a determinar que es función de otras varias: x, y, z, ligadas por una función: A = f(x,y,z)

Sean dx, dy, dz, los errores respectivos de las medidas x, y, z. Se demuestra que el error medio cuadrático de A está dado por la expresión: 2

⎡ ∂f ⎤ ⎡ ∂f ⎤ ⎡ ∂f ⎤ eA = ⎢ ⎥ dx 2 + ⎢ ⎥ dy 2 + ⎢ ⎥ dz 2 ⎣ ∂z ⎦ ⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂y ⎦ 2

2

2.7.2.- ERROR EN UNA SUMA. A=x+y+z

∂f ∂f ∂f =1 =1 =1 ∂x ∂y ∂z

eA = dx 2 + dy 2 + dz 2 eA = e1 + e2 + e3 2

2

2

Si uno de los sumandos tiene un valor pequeño frente a los restantes, puede despreciarse.

2.7.3.- ERROR EN EL PRODUCTO. A = X + X + X + .... + X A= n X

eA = n dx 2 = n dx = e n 2.7.4.- ERROR DE UNA MEDIA.

A=

x + y + ... + z n

∂f ∂f ∂f 1 = = ... = = ∂x ∂y ∂z n eA =

n dx 2 dx e = = 2 n n n

2.7.5.- ERROR DE LA MEDIA PONDERADA. La media es el valor más probable de una serie de medidas, que están realizadas con la misma precisión.

En el caso de realizar mediciones con diferente precisión aparece un nuevo concepto: media ponderada.

T2 - 4

ERRORES

Si para una cantidad M se han obtenido una serie de valores, con distintas precisiones, conlleva considerar a cada medición de un peso. Medida

Peso

M1 M2

P1

M3 ...........

P3 .........

Mn

Pn

P2

Media Ponderada =

P1M 1 + P2 M 2 + ... + Pn M n P1 + P2 + ... + Pn

T2 - 5

ERRORES

Ejemplo.- Se desea determinar la media ponderada de un ángulo medido con distintos aparatos, habiéndose obtenido los siguientes resultados con cada uno de ellos: a.- Cinco veces, con una media M1=144° 22' 57,9'' y un error medio cuadrático de

1= ± 2''. b.- Cuatro veces, con una media M2=144° 22' 58,8'' y un error medio cuadrático de 2= ± 4''. c.- Quince veces, con una media M3=144° 22' 59,4' y un error medio cuadrático de

3= ± 3''.

1.- El error medio cuadrático de cada media es:

ec1m =

2' ' = 0,894 ' ' 5

ec2 m =

4' ' = 2' ' 4

ec3m =

3' ' = 0,774 ' ' 15

2.- Los pesos son: P1 = 1/(ec1m)2 = 5/4 P2 = 1/(ec2m)2 = 1/4 P3 = 1/(ec3m)2 = 15/9 3.- Se hace uno de los pesos la unidad: P1 = 4 . 5/4 = 5 P2 = 4 . 1/4 = 1 P3 = 4 . 15/9 = 6,7 de donde se deduce que P1 es 5 veces más preciso que P2, y P3 es 6,7 veces más preciso que P2. La media ponderada sería, considerando solo los segundos: Mp= (57,9 x 5 + 58,8 x 1 + 59,4 x 6,7)/(5+1+6,7)= 58,8'' Mp= 144° 22' 58,8'' El valor de la media ponderada es más preciso que el que se obtendría directamente con las 24 medidas de campo: ξ

ξ2

P

P ξ2

57,9-58,8=-0,9

0,81

5,0

4,05

58,8-58,8=0 0,00

1,0

0,00

59,4-58,8=0,6

0,36

6,7

2,40

ΣP = 12,7

ΣP ξ2 = 6,5

T2 - 6

ERRORES

∑ P .ξ (n − 1)∑ P ´2

emp =

i

i

i

Mp= 144° 22' 58,8'' ± 0,5 ''

T2 - 7

ERRORES

Ejemplo.- Para la valoración de una medida se han realizado dos series de lecturas agrupadas en las dos columnas. ¿Cuál sería la media ponderada?. A

B

625

626

623

624

624

627

627

626

624 625 1.- Las medias son:

MA= 624,6 MB= 625,75

A

ξ'

ξ'2

B

ξ'

ξ'2

625

-0,33

0,111

626

-0,25

0,062

623

1,66

2,777

624

1,75

3,062

624

0,66

0,444

627

-1,25

1,562

627

-2,33

5,444

626

-0,25

624

0,66

0,444

0,062 Σ ξB'2 = 4,748

625

-0,33

0,111 Σ ξA'2 = 9,333

La media cuadrática:

ξ mc ( A) =

9,333 = 1,3662 5

ξ mc ( B ) =

4,748 = 1,258 3

Para la serie A:

emáx. = 2,5 . 1,3662 = 3,415 eprob.(A) = 1,366 . 0,625 = 0,8538

Para la serie B:

emáx. = 2,5 . 1,258 = 3,145 eprob.(B) = 1,258 . 0,625 = 0,7862

luego:

ξ M ( A) =

1,3662 = 0,5577 6

ξM ( B) =

MA=624,6 ± 0,5577

PA =

MB=625,75 ± 0,625

1 = 3,2151 0,5577 2 MP =

1,258 = 0,625 4

PA =

1 = 2,56 0,6252

624,6 x3,2151 + 625,75 x 2,56 = 625,109 3,2151 + 2,56 T2 - 8

ERRORES

2.8.- UNIDADES DE MEDIDA.

2.8.1.- UNIDADES DE ÁNGULOS. CENTESIMALES. SEXAGESIMALES. Radianes.

2.8.2.- UNIDADES DE LONGITUD. Metro: m. cm. mm.

2.8.3.- UNIDADES DE SUPERFICIE. Metro cuadrado: m2, Centiárea. Hectómetro cuadrado, Hectárea: Ha

2.8.8.- UNIDADES DE VOLUMEN. Metro cúbico: m3

T2 - 9

ERRORES

APÉNDICE 1

TOLERANCIAS EN INGENIERÍA CIVIL

T2 - 10

ERRORES

APÉNDICE 2

EJEMPLOS DE ESTADÍSTICA

T2 - 11

ERRORES

APÉNDICE 3

PLANTILLAS PARA TRABAJOS DE CAMPO

T2 - 12

INSTRUMENTOS

3.- INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS Y ACCESORIOS. TEODOLITO. 3.1.- Elementos de los instrumentos topográficos. Objeto: medición de distancias y de ángulos.

3.2.- Elementos accesorios: Trípodes. Mecanismos de unión. Plataformas nivelantes. Tornillos de precisión. Tornillos de coincidencia.

3.3.- Niveles: Nivel de aire. Nivel esférico. Sensibilidad del nivel. Estacionamiento de un instrumento.

3.4.- Anteojo: Colimar. Ejes (Óptico, mecánico, colimación: Plano horizontal de colimación, Plano vertical de colimación).

3.5.- Limbos: Ángulos (Sexagesimales. Centesimales). Nonios. Micrómetros.

3.6.- Medida de distancias: Directa (Cintas metálicas. Hilos de invar). Indirecta (Estadímetros: constantes diastimométricas, determinación de las constantes. Miras: visuales inclinadas, lecturas de mira).

3.7.- Evaluación del error total en las punterías.

3.8.- Teodolito. Elementos constitutivos.

3.9.- Uso del teodolito: lecturas de ángulos acimutales y cenitales.

3.10.- Errores en un teodolito.

APÉNDICE A1. TIPOS DE LECTURAS DE ÁNGULOS A2. TEODOLITOS: SOKKISHA, WILD A3. APLICACIONES A4. PROGRAMA DE ORDENADOR

T3 - 1

INSTRUMENTOS

3.1.- ELEMENTOS DE LOS INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS. OBJETO - MEDICIÓN: - DISTANCIAS: MEDIDA DIRECTA

CINTAS METÁLICAS. HILOS DE INVAR.

- ÁNGULOS. ÁNGULOS AZIMUTALES (H) Y CENITALES (V): - GONIÓMETROS - ESCUADRAS

3.2.- ELEMENTOS ACCESORIOS: TRÍPODES. MECANISMOS DE UNIÓN. PLATAFORMAS NIVELANTES. TORNILLOS DE PRESIÓN. TORNILLOS DE COINCIDENCIA.

3.3.- NIVELES: NIVEL DE AIRE. NIVEL ESFÉRICO. SENSIBILIDAD DEL NIVEL. ESTACIONAMIENTO DE UN INSTRUMENTO.

3.4.- ANTEOJO: COLIMAR. EJES:

ÓPTICO.

- Recta que une los centros ópticos del objetivo y del ocular. MECÁNICO.

- Recta por el centro óptico paralela a la que describe, en el movimiento de enfoque, cualquier punto del tubo ocular. COLIMACIÓN.

- Recta que une el centro óptico del objetivo con el centro del retículo. PH COLIMACIÓN PV COLIMACIÓN

3.5.- LIMBOS: T3 - 2

INSTRUMENTOS

ÁNGULOS--SEXAGESIMAL, CENTESIMAL NONIOS. MICRÓMETROS.

3.6.- MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS: ESTADIMETROS CONSTANTES DIASTIMOMETRICAS DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES MIRAS:

VISUALES INCLINADAS. LECTURAS DE MIRA.

3.7.- EVALUACIÓN DEL ERROR TOTAL EN LAS PUNTERÍAS. Por bien diseñado y construido que esté un aparato y admitiendo una utilización extremadamente cuidadosa, es inevitable no cometer error. Hay que controlar el error. Este control condiciona el tipo de aparato a utilizar.

Características del aparato: - Sensibilidad: "s" - Aumento: "a" - Apreciación: "m"

Errores accidentales: - Error de verticalidad - Error de dirección - Error de puntería - Error de lectura

1.- Error de verticalidad. Al situar el aparato en la estación puede no quedar matemáticamente vertical el eje principal. Evc< s/3 (") Eva< s/12 (") 2.- Error de dirección. La plomada, bastón centrador o colimación con plomada óptica, no incidirá exactamente sobre el punto de estación, ni el jalón o mira se ubica de forma perfecta sobre el punto a visar.

Ed ≤

ec + e p D

x° = 360°/(2π) = 57,295779° = 206265" xg = 400g/(2π) = 63,6620g = 636620s

T3 - 3

r"

INSTRUMENTOS

ec + ep =

5 cm.

plomada normal, estadía.

2,5 cm.

plomada óptica, bastón.

3.- Error de puntería. La mira, banderola o jalón, al lanzar la visual son bisecados con el hilo vertical del retículo.

Observaciones azimutales:

Observaciones cenitales:

4.- Error de lectura. A pesar de leer perfectamente incluso teniendo en cuenta la digitalización, siempre queda una fracción final a estima.

5.- Error total. Visuales azimutales: Eta ≤

2 E va2 + E d2 + E pa + El2 (“)

Visuales cenitales: E tc ≤

2 E vc2 + E pc + El2 (“)

La precaución que debe adoptarse, es la aplicación de la regla de Bessel: observación doble, con giro y vuelta de campana, en cada punto a levantar.

Se incrementa la precisión disminuyendo el error de cada observación en 1/_2 al adoptar el valor promedio de las dos lecturas.

Aplicándose al error El:

T3 - 4

INSTRUMENTOS

Error gráfico: 0,2 mm. Escala del plano: E=1/M Objetos no apreciable en el plano: 0,2 M mm. La distancia a las que se puede realizar un trabajo topográfico con un aparato dentro de los límites de error gráfico(ET=0,2M mm):

ET ≤

D≤

E ta (" ) D r"

0,2 M 206,265 ( m) Eta (" )

T3 - 5

INSTRUMENTOS

Ejemplo.- Evaluar los errores totales que se obtiene con una aparato cuyas características son: Sensibilidad: 40" Aumento: 30 Apreciación: 20"

1.1.- Error de verticalidad: Eva=40/12=3,33" Evc=40/3=13,33" 1.2.- Error de dirección: Ed=2,5*10-2 * 206265/150 = 34,4" 1.3.- Error de puntería: Epa=(1+4*30/100)*10/30=0,73" Epc=(1+4*30/100)*35/30=2,57" 1.4.- Error de lectura: El=2*20/3=13,33" 1.5.- Error total acimutal: Eta= (3,33"2 + 34,4"2 + 0,73"2 + 13,33"2 )1/2 = 37,03" 1.6.- Error total cenital: Etc= (13,33"2 + 2,57"2 + 13,33"2 )1/2=19,03" 2.- ¿Sabría decir de qué tipo de aparato se trata?. Es un teodolito, ya que el error es pequeño (ver punto 3.9).

T3 - 6

INSTRUMENTOS

Ejemplo a resolver.- Evaluar los errores totales que se obtiene con una aparato T 16 cuyas características son:

Sensibilidad: 30" Aumento: 30 Apreciación: 1'

y la distancia de trabajo D para un plano a escala 1/200.

T3 - 7

3.8.- TEODOLITO. Esquema de un teodolito:

Movimientos de un teodolito: Movimiento general. Movimiento relativo particular de la alidada acimutal Movimiento relativo particular del eclinómetro o alidada cenital.

Niveles: Alidada acimutal Eclinómetro Anteojo Uniones del eje horizontal: Nivel caballero.

3.9.- USO DEL TEODOLITO. Trabajos de máxima precisión: observaciones acimutales en las triangulaciones con grandes distancias. Triangulaciones geodésicas y topográficas. Apreciación mayor de 1 minuto T1 T2 o teodolito de segundos. T3 triangulaciones de 2º orden. T3 - 1

T4 triangulaciones de 1er orden; astronómico o geodésico (0,1").

Casas comerciales: Galileo, Sokkisha, Wild, Zeiss.

Red geodésica. - 1er orden: 30 a 70 Km. 4 cadenas de meridiano (Salamanca, Madrid, Pamplona, Lérida). 3 cadenas de paralelo (Palencia, Madrid, Badajoz). 3 cadenas de costa (Norte, Este, Sur). Base única: Madridejos(Toledo) 14622,885 m.; ep= 2,508 mm. Bases periféricas 5: 2 a 3 Km (Lugo, Olita (Navarra), Vich (Barcelona), Cartagena (Murcia), Arcos de la Frontera (Cádiz)). Señalización: Macizos circulares de mampostería de 3 m. de diámetro y de 5 a 7 m. de altura.

- 2º orden: 10 a 25 Km. Señalización: Macizos paralepipédicos de sección cuadrada 1.5 m. de lado. - 3er orden: 5 a 10 Km. Señalización: Macizos paralepipédicos con una inscripción cuadrada de 30 cm. de lado.

3.10.- Disminución de los errores accidentales: Métodos de lectura.

Método de repetición: L0, L1; L0, L2; L0, L3;_ e ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 ≤ ε v2 + ε d2 +

2 2 2 2 ε p + 2 εl n n

Método de reiteración: L1, L2; L3, L4; L5, L6;_ e ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 ≤ ε v2 + ε d2 +

T3 - 2

(

2 2 ε p + ε l2 n

)

TAQUÍMETRO

4.- DISTANCIAS. DISTANCIOMETRO. TAQUÍMETRO. 4.1.- Métodos de evaluación de distancias 4.1.1.- Cinta (aplicaciones) 4.1.2.- Medidas indirectas 4.1.3.- Distanciómetro 4.1.3.1.- Fundamento 4.1.3.2.- Aplicación 4.1.3.3.- Manejo 4.1.3.- Fundamento de los métodos estadimétricos. 4.2.- Taquímetro. 4.3.- Uso del taquímetro. 4.4.- Desarrollo de la libreta. 4.5.- Cálculo del desnivel. 4.6.- Error longitudinal.

APÉNDICES A1.- MEDIDA DE DISTANCIAS A2.- CATÁLOGOS DE DISTANCIÓMETROS A3.- LEVANTAMIENTO DE PLANOS

T4 - 1

TAQUÍMETRO

4.- DISTANCIAS. DISTANCIOMETRO. TAQUÍMETRO. 4.1.- MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE DISTANCIAS MEDICIONES INDIRECTAS. PRINCIPALES INSTRUMENTOS. MEDIR:

Ángulos

Teodolitos. DISTANCIAS

1.- TEODOLITO + ESTADÍA DE INVAR. 2.-

TAQUÍMETRO

(Métodos

estadimétricos). 3.- DISTANCIOMETRO. EVALUACIÓN DE DISTANCIAS: FLUJOS CARACTERÍSTICOS.

4.1.1.- CINTA APLICACIONES

T4 - 2

TAQUÍMETRO

4.1.2.- MEDIDAS INDIRECTAS 4.1.2.1.- TEODOLITO + ESTADÍA DE INVAR. ESTADÍA HORIZONTAL DE INVAR. Medidas de gran precisión: Bases. Teodolito de segundos. Mira de invar:

Aleación de Hierro-Níquel. Buenas propiedades térmicas.

Longitud: (1-2-3) m.

4.1.3.- Distanciómetro 4.1.3.1.- Fundamento Distanciómetro Electrónico. Medida indirecta por medio de ondas. Medición de lados: TRILATERACIÓN. Geodímetro. Suecia. 1948. Luz modulada.(AGA). Telurómetro. Gran Bretaña. Microondas de radio. Distomat. Suiza. 1962. DI-50(Wild). Rayos infrarrojos. (150 Km). 1968. DI-10(Wild). 4.1.3.2.- Aplicación Alternativas:

Distanciómetro + Teodolito.

Equipo compacto.

T4 - 3

TAQUÍMETRO

4.1.3.3.- Manejo Fundamento Básico del Distanciómetro.

- La radiación es modulada en intensidad, según una ley de tipo senoidal por un oscilador de alta frecuencia. - El haz emitido tiene una dispersión del orden de 15' - Para medir las distancias se adopta como unidad de longitud la de la propia onda: - nº entero de ondas. - una fracción de onda: importancia del desfase.

4.1.4.- FUNDAMENTO DE LOS MÉTODOS ESTADIMÉTRICOS. Retículo disco de vidrio con dos hilos grabados. Cruz filiar: centro del retículo (colimar) Mira: regla graduada.

K constante DIASTIMOMETRICA K=100

1 cm. mira _ 100 cm.= 1 m. 1 m. mira _ 100 m.

T4 - 4

TAQUÍMETRO

Tipos de Mira. - Graduadas:

Parlantes.

Mudas. - Material. - Forma. Alcance de los estadímetros: - Apreciar con seguridad la media división de la mira. - Límite de visibilidad:

Claridad en la mira. Iluminación

- A simple vista( normal) la media división en una mira de doble centímetro se aprecia a 20 m: 1 cm. se aprecia a 11 m. 0,5 cm. se aprecia a 6 m. - A través del anteojo de "a" aumentos no se multiplican por "a" las distancias (absorción de la luz, claridad del anteojo, aberraciones,...). - Ejemplos de apreciación de media división. Aumentos Día despejado

Visibilidad Media

Sol de frente

Sol de espaldas

1 cm.

2 cm.

1 cm.

2 cm.

1 cm.

2 cm.

10

100

180

140

230

80

140

20

150

245

190

285

125

200

30

200

310

250

350

170

260

T4 - 5

TAQUÍMETRO

Error relativo el que se comete a la distancia límite que permite apreciar en la mira la media división: ε= v K/(2D); donde v es el valor de la división, K es la constante diastimométrica, D distancia límite. Aumentos División de la mira

Valores de K

a

v (m.)

50

100

200

250

10

0,02

0,36

0,72

-

-

0,01

0,31

0,62

-

-

0,02

0,25

0,50

1,00

-

0,01

0,20

0,40

0,80

1,00

0,02

0,19

0,38

0,77

0,96

0,01

0,14

0,29

0,58

0,73

20 30

Falta de verticalidad de la mira: ε= δ" tag α/r" Alturas de horizonte( α )

Inclinación de la mira( δ").

30'

1°

1°30'

2°

0°

0,00

0,00

0,00

0,00

5°

0,08

0,15

0,23

0,30

10°

0,15

0,31

0,46

0,62

20°

0,31

0,62

0,93

1,25

30°

0,50

1,01

1,51

2,02

T4 - 6

TAQUÍMETRO

4.2.- TAQUÍMETRO. Instrumento topográfico que evalúa simultáneamente ángulos y distancias.

4.3.- USO DEL TAQUÍMETRO Determinación simultanea de la cota por métodos taquimétricos. Indicado para itinerarios.

Apreciación: 0,5 m : 2,0 m. Graduación sexagesimal o centesimal. Hilos:

3 (raramente 5).

4.4.- DESARROLLO DE LA LIBRETA Uso:

1.- Medida de ángulos. 2.- Medida de longitudes. 3.- Cálculo del desnivel.

Orientación del instrumento: error de cierre.

T4 - 7

TAQUÍMETRO

4.5.- CALCULO DEL DESNIVEL Utilización. Cálculo del desnivel ZEA entre el punto de estación (E) y otro punto del terreno (A). Orden: - Altura del aparato "i". - Lectura de mira "m". - Evaluación del ángulo γ. - Evaluación de la distancia D. - Cálculo del desnivel ZEA. 1.- El terreno "ascendente".

tag γ =t/D → t=D tag γ ZEA = t+i-m Si se verifica i=m (cabeza de mira nula): ZEA = t 2.- El terreno es "descendente". La expresión del desnivel obtenida, ZEA = t+i-m, es general. Así resultaría como se aprecia en la figura:

ZEA = t-i+m el desnivel y el término t son negativos: ZEA = -t-i+m=-( t+i-m) T4 - 8

TAQUÍMETRO

Existen aparatos llamados AUTOCORRECTORES: m=i t = D tag γ cos2α Distancia natural D'

Para obtener la distancia natural D' sería necesario inclinar la mira para lograr una perfecta perpendicularidad. Así: D'= M'N' x K D = D' cosα= K M'N' cos α Considerando las rectas MM' y NN' como paralelas y perpendiculares a M'N', resulta: M'N'= MN cosα La expresión de la distancia REDUCIDA es: D = K MN cos2α donde:

K es la constante DIASTIMOMÉTRICA MN es la lectura de la mira vertical α es el ángulo de la visual con el plano horizontal.

T4 - 9

NIVEL

5.4.- NIVEL. FUNDAMENTO. Goniómetro Ángulos

Niveles: visuales horizontales.

Clisímetros: visuales con una cierta pendiente.

Barómetros: diferencias de presión.

Equialtímetros: medida del desnivel.

Niveles de anteojo. Tipos: - Niveles de plano. - Niveles de línea. - Niveles automáticos.

Niveles expeditos: trabajos rápidos, poco precisos.

Eje del nivel: tangente al ecuador del nivel trazada en el punto central.

Retículo: disco de vidrio con dos hilos, líneas grabadas, cruz filiar, centro del retículo (colimar).

Anteojo: Eje óptico: el centro óptico del objetivo y del ocular.

Eje mecánico: recta de centro óptico paralelo a la de cualquier punto del tubo ocular.

Eje colimación: el centro óptico del objetivo con el centro del retículo.

5.4.1.- Niveles de plano. Estacionados y bien vertical el eje del aparato describe en su giro un plano horizontal.

Modelos antiguos en desuso.

Tipos según la posición del anteojo y del nivel: anteojo reversible y nivel fijo. anteojo y nivel fijos.

Movimientos: T5 - 1

NIVEL

- el del nivel. - del retículo. - ligero desplazamiento vertical (tornillo de elevación).

Comprobaciones: - Eje de colimación: no varíe en puntería a diversas distancias.

Correcciones: - Eje del nivel sea horizontal cuando la burbuja esté calada. - Eje de colimación coincida eje óptico y eje mecánico. - Eje de colimación paralelo al del nivel.

5.4.2.- Niveles de línea. El eje de colimación admite ligeras inclinaciones respecto al eje de rotación aunque el eje del aparato no esté vertical en cada visual.

5.4.3.- Niveles automáticos. Nivelación grosera.

Mecanismo compensador: horizontal automáticamente.

5.4.4.- Miras altimétricas: Divisiones

en milímetros. en centímetros (no doble centímetros). doble escala de centímetros.

5.4.5.- Niveles de alta precisión. El error de horizontalidad se reduce a límites de casi 5". horizontalidad: eh=s/20 puntería: ep=10(1+4a/100)/a

5.5.- CAUSAS DE ERROR. sistemáticos: construcción y ajuste. accidentales: horizontalidad: eh=s/3 puntería: ep=50(1+4a/100)/a T5 - 2

NIVEL

Error Kilométrico. 125 pasos ≈ 100 metros.

Ejemplo.D = 50 m. a = 30 s = 20'' horizontalidad: eh = s/20 = 20/20 = 1" puntería: ep = 10(1+4a/100)/a = 0.73" Error total: et = ( eh 2 + ep 2 )1/2 = ( 1" 2 + 0.73"2)1/2 = 1,24" Error de lectura: el = etD/206265 = 1,24 x 50000/206265 = 0,3 mm. Error kilométrico: ek = el(1000/D) 1/2 = 0,3(20) 1/2 = 1,35 mm.

T5 - 3

NIVEL

5.4.- NIVEL. FUNDAMENTO. Goniómetro Ángulos

Niveles: visuales horizontales.

Clisímetros: visuales con una cierta pendiente.

Barómetros: diferencias de presión.

Equialtímetros: medida del desnivel.

Niveles de anteojo. Tipos: - Niveles de plano. - Niveles de línea. - Niveles automáticos.

Niveles expeditos: trabajos rápidos, poco precisos.

Eje del nivel: tangente al ecuador del nivel trazada en el punto central.

Retículo: disco de vidrio con dos hilos, líneas grabadas, cruz filiar, centro del retículo (colimar).

Anteojo: Eje óptico: el centro óptico del objetivo y del ocular.

Eje mecánico: recta de centro óptico paralelo a la de cualquier punto del tubo ocular.

Eje colimación: el centro óptico del objetivo con el centro del retículo.

5.4.1.- Niveles de plano. Estacionados y bien vertical el eje del aparato describe en su giro un plano horizontal.

Modelos antiguos en desuso.

Tipos según la posición del anteojo y del nivel: anteojo reversible y nivel fijo. anteojo y nivel fijos.

Movimientos: T5 - 1

NIVEL

- el del nivel. - del retículo. - ligero desplazamiento vertical (tornillo de elevación).

Comprobaciones: - Eje de colimación: no varíe en puntería a diversas distancias.

Correcciones: - Eje del nivel sea horizontal cuando la burbuja esté calada. - Eje de colimación coincida eje óptico y eje mecánico. - Eje de colimación paralelo al del nivel.

5.4.2.- Niveles de línea. El eje de colimación admite ligeras inclinaciones respecto al eje de rotación aunque el eje del aparato no esté vertical en cada visual.

5.4.3.- Niveles automáticos. Nivelación grosera.

Mecanismo compensador: horizontal automáticamente.

5.4.4.- Miras altimétricas: Divisiones

en milímetros. en centímetros (no doble centímetros). doble escala de centímetros.

5.4.5.- Niveles de alta precisión. El error de horizontalidad se reduce a límites de casi 5". horizontalidad: eh=s/20 puntería: ep=10(1+4a/100)/a

5.5.- CAUSAS DE ERROR. sistemáticos: construcción y ajuste. accidentales: horizontalidad: eh=s/3 puntería: ep=50(1+4a/100)/a T5 - 2

NIVEL

Error Kilométrico. 125 pasos ≈ 100 metros.

Ejemplo.D = 50 m. a = 30 s = 20'' horizontalidad: eh = s/20 = 20/20 = 1" puntería: ep = 10(1+4a/100)/a = 0.73" Error total: et = ( eh 2 + ep 2 )1/2 = ( 1" 2 + 0.73"2)1/2 = 1,24" Error de lectura: el = etD/206265 = 1,24 x 50000/206265 = 0,3 mm. Error kilométrico: ek = el(1000/D) 1/2 = 0,3(20) 1/2 = 1,35 mm.

T5 - 3

METODOS PLANIMETRICOS

6.- METODOS TOPOGRAFICOS. PLANIMETRICOS. 6.1.- Agrimensura. Idea general. Método de las mediciones. Método de la descomposición en triángulos. Método de las abscisas y ordenadas. Método de las casi perpendiculares. Método de las alineaciones. 6.2.- Coordenadas. Coordenadas cartesianas. Coordenadas generales y parciales. Convergencia de meridianos. Cálculo de acimutes y distancias. 6.3.- Método de Radiación. Orientación de un instrumento. Desorientación de una vuelta de horizonte. Ventajas e inconvenientes del método. Distancias máximas de radiación. 6.4.- Método Itinerario o poligonal. Diversas clases de itinerarios. Itinerario con goniómetro e itinerario con brújula. Influencia del error angular en los itinerarios (goniómetro, brújula). Comparación de los errores transversales de los itinerarios con goniómetro y brújula. Error lineal. Error total. Error de cierre. Desarrollo gráfico y cálculo de los itinerarios. 6.5.- Método de intersección. Fundamento de la intersección directa. Elipse de tolerancia. Error máximo. Longitud máxima de las visuales. Intersección gráfica. Cálculo de coordenadas. Fundamento de la intersección inversa.

APENDICES 1.- EJEMPLOS DE BASES DE REPLANTEO. 2.- SEÑALIZACION 3.- PLANIMETROS

T6 - 1

METODOS PLANIMETRICOS

6.- METODOS PLANIMETRICOS. Coordenadas: Cartesianas.

Relativas Polares.

Error gráfico: 0,2 mm. Método encadenado: error de medida; error de dibujo. n___ 0,2 √n 6.1.- AGRIMENSURA. Método de las mediciones. - Escala 1/M. - Separación máxima admisible (m.): 0,0002 M - Triangulación con cinta o cadena y jalones: - longitud 300 a 400 m. - ángulos mayores de 20°(25g) menores de 160° (175g).

- Superficie:

S=

p ( p − a )( p − b)( p − c)

Descomposición en triángulos. - Triangulación. - Cálculo de la superficie mediante producto de (1/2) por base por altura.

T6 - 2

Absolutas

METODOS PLANIMETRICOS

Abscisa y ordenadas.

Casi perpendiculares. La utilización de la escuadra de agrimensor. - Triángulo rectángulo de lados 3, 4, y 5.

T6 - 3

METODOS PLANIMETRICOS

α (g )

a (m)

17

32

15

53

13

94

11

182

9

404

Alineaciones

T6 - 4

METODOS PLANIMETRICOS

6.2.- CONVERGENCIA DE MERIDIANOS. Dos puntos en el paralelo 40°(medio de España) separados 10 Km. hay una convergencia de los meridianos correspondientes de 4' 31'', apreciable con cualquier goniómetro. δ" = ∆M sen{(L1+L2)/2} siendo las latitudes L1 y L2.

T6 - 5

METODOS PLANIMETRICOS

6.3.- RADIACION. - Fundamento. - Orientación del aparato. Desorientación de una vuelta de horizonte. - Transporte gráfico al plano. - Coordenadas cartesianas. - Ventajas: Longitud de los radios reducida. Rapidez; cualquier clase de terreno. Produce errores homogéneos en el sentido radial, pero no en el perimetral. - Error máximo elipse de tolerancia: el mayor. - perpendicularidad. - independencia. - Error gráfico: eg= 0,2 mm. - Escala del plano: 1/M - Error angular acimutal: eta (s). El error máximo del aparato es igual al de dirección acimutal en una brújula pues se autoorienta; en caso de un taquímetro orientado hay que visar dos direcciones: una para radiar y otra para orientar (e ea eT ≤ l el √n=185 . 0,0015 √n ≤ 0,8 n=8 8*185 = 1480 ≈ 1500 m. La longitud máxima para un itinerario es de 1500 m, el número de tramos a lo sumo 8 y la longitud de cada tramo no mayor de 185 m.

T6 - 3

METODOS PLANIMETRICOS

6.4.4.- INFLUENCIA DE LOS ERRORES ANGULARES EN LOS ITINERARIOS CON BRUJULA.

- Error del angular del aparato: ea - Número de tramos del itinerario: n - Longitud del itinerario: L - El error total es:

T6 - 4

METODOS PLANIMETRICOS

Ejemplo.- Sea un brújula con 20 aumentos, una sensibilidad de 2m y una apreciación de 25m. Error admisible: 0,8m. 1.- Distancia máxima: 155 m. 2.- Error angular: 2.1.- Error de verticalidad: ev=s/12=200/12=16,7s 2.2.- Error de dirección: ed=0,05*636625/155=205,4s 2.3.- Error de puntería: ep= 30(1+4*20/100)/20=2,7s 2.4.- Error de lectura: el=2*2500/(3√2)=1178,5s 2.5.- Mediciones:2(rumbo directo e inverso) ea=( ev2+ ed2+ ep2+ el2)1/2/√2= 846,0s= 846,0/636620 ea= 0,00133 3.- Error de distancia: 3.1.- Tanto por ciento de error en la distancia: 0,30%. 3.2.- Inclinación de la mira 7g: 0,17% 3.3.- Mediciones: 2 el=(0,302 +0,172 )1/2/√2= 0,24%=0,0024 e= max (el,ea) 4.- Error por itinerario: eT≤ l e √n=155 0,0024 √n≤ 0,8 n=4 _ eT≤ 0,74 m. n=5 _ eT≤ 0,83 m. n=5

5*155=775 ≈ 800 m.

La longitud máxima para un itinerario es de 800 m, el número de tramos a lo sumo 5 y la longitud de cada tramo no mayor de 155 m.

T6 - 5

METODOS PLANIMETRICOS

Hay que destacar que si fueran 11 tramos de 100 m, la longitud alcanzada es de 1100 m. y el error es de eT≤ 0,80 m..

6.4.5.- COMPARACION DE LOS ERRORES TRANSVERSALES DE LOS ITINERARIOS CON GONIOMETRO Y BRUJULA. - Los errores máximos por dirección de: goniómetro: eat. brújula: eab. - Igualando los errores del itinerario se obtiene el número de tramos del itinerario en que da igual el tipo de aparato:

Ejemplo.- Los errores máximos por dirección para un taquímetro es 1,5s y para una brújula es 13,5s; el número de tramos en que los errores angulares totales son iguales es: n= (1,2 13,5/1,5)-1= 9,8 Con diez tramos o más se comete menos error con la brújula y el taquímetro para menos.

T6 - 6

METODOS PLANIMETRICOS

6.4.6.- ERROR LINEAL El error lineal o longitudinal será debido a la medida de distancias: - Error relativo: ε. - Número de tramos del itinerario: n - Longitud del itinerario: L El error en un tramo será:

Luego, en los n tramos resulta:

6.4.7.- ERROR TOTAL. - Los errores angulares son perpendiculares a los longitudinales. - Los errores angulares y longitudinales son independientes. - Conclusión: el error total es igual al mayor de los dos.

6.4.8.- ERROR DE CIERRE.

6.4.9.- DESARROLLO GRAFICO. - Error de cierre: e-e'. - Tolerancia del error de cierre gráfico: T≤ 0,2 mm.√n

T6 - 7

METODOS PLANIMETRICOS

- Compensación gráfica:

1.- Afinidad. 1.1.- División de el segmento e-e' en partes como tramos. 1.2.- Paralelas al segmento e-e' por todas las estaciones. 1.3.- Unión ascendente desde la estación origen a la extrema.

2.- Homotecia 2.1.- Papel transparente extremos inicial(a) y final(e). 2.2.- Girar el papel entorno a (a) hasta que coincida el radio a-e, con el e-e'; éste se dividirá en tantas partes como tramos. 2.3.- Unión de las estaciones intermedias con (a); se tomará tantas partes como tramos menos uniéndose los extremos. 2.4.- Deshaciendo el giro a continuación.

T6 - 8

METODOS ALTIMETRICOS

7.- MÉTODOS ALTIMÉTRICOS. 7.1.- Superficies de nivel. Cotas, altitudes y desniveles. Corrección por esfericidad. Corrección por refracción. Corrección conjunta de la esfericidad y refracción. Clasificación de los métodos altimétricos. 7.2.- Nivelaciones geométricas: Nivelación simple (Métodos punto medio, punto extremo, estaciones recíprocas, equidistantes, estaciones exteriores). Nivelación compuesta. Error de cierre. Error kilométrico. 7.3.- Nivelaciones trigonométricas: Nivelación simple. Error por falta de verticalidad de la mira. Error de cierre. Error kilométrico. 7.4.- Nivelaciones barométricas.

T7 - 1

METODOS ALTIMETRICOS

7.1.- SUPERFICIES DE NIVEL. - "esféricas". (Topografía) - "equidistantes". - "paralelas". COTAS: Alturas sobre un plano de comparación. ALTITUD: Cota sobre el nivel del mar. Nivel medio del mar en Alicante. DESNIVEL: Diferencia de cotas. CORRECCIÓN ORTOMÉTRICA: Falta de paralelismo entre las superficies de nivel. Consideraciones: - La forma de las superficies definidas como equipotenciales depende de la aceleración de la gravedad. - Aceleración de la gravedad no es constante. - El movimiento de giro alrededor del eje polar: Fuerza centrífuga. - La aceleración de la gravedad crece con la latitud.

La corrección será negativa en los recorridos en que aumente la latitud y negativa en sentido contrario. Altitudes Ortométricas.

ORDEN DE MAGNITUD DE LA CONVERGENCIA: Entre las superficies 0 a 100 m es de unos 50 cm. desde el Ecuador hasta los Polos. Cotas GEOPOTENCIALES: Trabajo necesario para elevar hasta ellas la unidad de masa.

T7 - 2

METODOS ALTIMETRICOS

ERROR DE ESFERICIDAD

(R+Ce)2 =R2 +D2 Ce=D2 /(2R) Radio de la Tierra: R = 6.370.000 m ERROR DE REFRACCIÓN.

(R+Cr)2 = R'2 + D2 R/R' = 2K Cr = D2/2R'= K D2/R En España: K ≈ 0,08 ___ R'≈ 6,25 R T7 - 3

METODOS ALTIMETRICOS

CORRECCIÓN CONJUNTA: Ce - Cr = (0,5-K) D2/R = 0,42 D2/R ≈ (D{Km}/4)2 En España Ce - Cr = 0,066 D{Km}2 D

CORREC.

D

CORREC.

100 m

0,7 mm

1000 m

66 mm

200 m

2,6 mm

2000 m

264 mm

300 m

5,9 mm

4000 m

1.055 mm

500 m

16 mm

8000 m

4.220 mm

T7 - 4

METODOS ALTIMETRICOS

7.2.- NIVELACIONES GEOMÉTRICAS. DESNIVEL VERDADERO: Zv= Za+ Ce- Cr MÉTODOS SIMPLES: Punto medio.

Punto extremo (radial).

Estaciones recíprocas.

Estaciones equidistantes.

T7 - 5

METODOS ALTIMETRICOS

Estaciones exteriores.

COMPUESTAS: Itinerario altimétrico por el método del punto medio.

T7 - 6

METODOS ALTIMETRICOS

Ejemplo.- Cálculo del error kilométrico, en un aparato de 28 aumentos, 50s sensibilidad y distancias de 80 metros: Error de verticalidad: ev= 50/3= 16,7s Error de puntería: ep= 150(1+4a/100)/a = 150(1+4*28/100)/28= 11,4s Error angular: ea= (16,72+11,42)1/2= 20,2s Error de la mira: em= 20,2*80000/636620= 2,5 mm Error kilométrico: ek= 2,5 (1000/80) 1/2 = 8,8 mm. Error de cierre (3 Km):

e = ek √K = 8,8_3=15,3 mm.

TOLERANCIA: T ≤ 70 mm. √K Líneas de doble nivelación(anillo): T ≤ 30 mm. √K T ≤ 40 mm. √K El ejemplo anterior tendría la redacción distinta de prefijar el error kilométrico y se calcula el error de horizontalidad: ek=6 mm. ≤ [( ev2+11,42) 1/2 *80000/636620] (1000/80) 1/2 ev2 ≤ (6*636620/80000)2*80/1000- 11,42 = 52,4 ev= 7,2''

T7 - 7

METODOS ALTIMETRICOS

7.3.- NIVELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

ZAB= t + i- m Error en t:

t = D cotag V e't ≤ D (1+ e% /100) cotag V - D cotag V e''t ≤ D cotag (V+ea) - D cotag V

Error en i:

ei ≤ 1 cm.

Error en la mira:

em ≤ mB (b''/r'') tag(a+b) Error en la cota: ez=( e't2+ e''t2+ ei2+ em2)1/2 Tolerancia: T= ez √2

T7 - 8

METODOS ALTIMETRICOS

Ejemplo.- Un aparato de tipo T1 de 30 aumentos en su anteojo, la constante estadimétrica 100, la sensibilidad del nivel 50s, y una apreciación en el limbo vertical de 3s, en el supuesto de que la longitud de la visual fuera 100 m, en terrenos con pendientes de 5g, y que la mira de 3 metros dividida en centímetros y de 3 m altura se sitúa con un error de 3g en su verticalidad. Calcular la tolerancia. 1.- Error de verticalidad: ev= 50s/3= 16,7s 2.- Error de puntería: ep= 150(1+4a/100)/a = 150(1+4*30/100)/30= 11,0s 3.- Error de lectura: el= 2m /3= 2*3/3= 2s 4.- Error angular: ea= (16,72+11,02+22 )1/2= 20,1s Este error se produce tanto en puntos del terreno ascendentes como descendentes. 5.- Error en t:

t = D cotag V

e't ≤ D (1+ ε% /100) cotag V - D cotag V (Fig. 3.) ε% = 0,49 e't ≤ 100 (1+ 0,49/100) cotag(100-5)g - 100 cotag(100-5)g = 0,039 m e't ≤ 39 mm. e''t ≤ D cotag (V+ea) - D cotag V e''t ≤ 100 cotag[(100-5) +ea]g -100 cotag(100-5)g = =100 cotag(95+0,00201)-100 cotag(95)= 0,003 m= 3 mm. Error en i: ei ≤ 1 cm. Error en la mira: T7 - 9

METODOS ALTIMETRICOS

em ≤ mB (b''/r'') tag(a+b) tomando

mB= 3 m a = 5g b = 3g em ≤ 300 (30000''/636620'') tag(5+3)= 1,8 cm.

Error en la cota: ez= (e't2+e"t2+ei2+em2)1/2 = (392+32+102+182)1/2 = 44,2 mm. Tolerancia: Al cometer un error ez en sendas ZAB y ZBA la tolerancia sería: T ≤ ez √2 mm. T ≤ ez √2 = 44,2 √2 = 62,5 mm. ≈ 63 mm.

T7 - 10

METODOS ALTIMETRICOS

7.4.- NIVELACIONES BAROMÉTRICAS. Presión atmosférica.

T7 - 11

LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS

9.- LEVANTAMIENTO ALTIMÉTRICO.

9.1.- Relieve del terreno.

9.2.- Redes del levantamiento altimétrico.

9.3.- Dibujo del plano.

T9 - 1

LEVANTAMIENTOS ALTIMETRICOS

9.1.- RELIEVE DEL TERRENO La línea de máxima pendiente es el gradiente de la superficie Divisoria Vaguada Elevación Hoya Collado / puerto - Divisoria / vaguada

9.2.- REDES DEL LEVANTAMIENTO ALTIMÉTRICO Error de altitud de un punto interpolado Error altimétrico ez(medidas) Error de flecha diferencia entre la aproximación lineal y el terreno real. Es independiente del error altimétrico. Error de altitud de la curva:

e2f + e2z

ec =

Error de interpolación: e la separación (e/2 ; e/4) Error total:

e2i + e2c =

etotal =

e2i + e2f + e2z

Dando valores:

e=

e 2

2

+ e 4

2

+ e 4

2

= 0,6 e

e=

e 4

2

+ e 4

2

+ e 4

2

= 0,4 e

9.3.- DIBUJO DEL PLANO Curvas de nivel - Líneas cerradas - El número de curvas interrumpidas en el papel es par - Una curva de nivel no puede cortarse, ya que asciende o desciende. - No se cortan ni se cruzan - Existe dos curvas de igual cota ni par de líneas de nivel - Divisoria de collado por un punto - Acantilados o escarpados utilizar signo convencional

T9 - 2

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.- ELECCIÓN DE MÉTODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS.

13.1.- SUPUESTO REAL.

13.2.- DISTANCIA MÁXIMA DE RADIACIÓN.

13.3. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON BRÚJULA.

13.4. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON TAQUÍMETRO.

13.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN

13.6. NIVELACIÓN POR ALTURAS.

13.7. RECAPITULACIÓN FINAL DE ERRORES. TOLERANCIAS Y AJUSTES

T13 - 1

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.- ELECCIÓN DE MÉTODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS.

Los errores no deben sobrepasar los 0,2 mm. del plano a la escala correspondiente. Para realizar un repaso de los errores, a estudiar, se pondrá un supuesto real.

13.1. SUPUESTO REAL.

Se trata de realizar un levantamiento a escala 1/5.000 de una zona de terreno ligeramente ondulado y que abarca una superficie de 30.000 Has. La equidistancia elegida es de 1 m. y se prevén pendientes de las visuales del orden de los 7g. En cuanto a los instrumentos de que se dispone responden a los tipos siguientes: - Teodolito de un sólo índice y de 2'' de apreciación, tanto acimutal como vertical, nivel general de 50'' de sensibilidad y anteojo de 28 aumentos. - Taquímetro de un sólo índice y de 20'' de apreciación, sensibilidad de 1' en su nivel general y del eclímetro, y 26 aumentos en el anteojo. - Brújula taquimétrica de 25' de apreciación acimutal y de 2' en su limbo vertical. La sensibilidad del nivel es de 2' y 20 aumentos del anteojo. - Nivel de 50'' de sensibilidad con anteojo de 26 aumentos.

13.2. DISTANCIA MÁXIMA DE RADIACIÓN.

13.2.1. Para poder concretar el error se hace preciso fijar la condición de que en la superposición del hilo del retículo sobre la mira se pueda llegar a apreciar su media división. Llamando a la división de la mira "d", el error máximo posible en una lectura será:

2d d = 32 3

(1)

por lo que en el segmento de mira comprendido entre los dos hilos se producirá un error de:

2

d 3

(2)

y si es "K" la constante estadimétrica, el error absoluto con que resulta la distancia es:

T13 - 2

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

eD ≤ 2

d K 3

(3)

100 d K 3 D

(4)

y el error relativo en tanto por ciento, será:

εD ≤ 2

El procedimiento más adecuado para conocer la distancia D es determinarla experimentalmente. En la figura (1), que se utilizará, se representan los valores medios de tales distancias en función de los aumentos del anteojo y de los tipos usuales de divisiones de mira.

Figura (1)

En la figura (2) se deduce el tanto por ciento de error que, como máximo, puede afectar a las distancias para una constante estadimétrica K=100, pero que puede usarse, indistintamente, para cualquier otra, ya que existe proporcionalidad, y así, para K = 200, los errores serán el doble de los de la figura. Los valores de la misma se han obtenido a partir de la figura (1) con la expresión (4).

Figura (2) T13 - 3

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

La falta de verticalidad de la mira implica un error adicional que crece con el ángulo pendiente de la visual. En la figura (3) puede deducirse el porcentaje de error para un 1g de inclinación de la mira, existiendo también, prácticamente, proporcionalidad entre errores e inclinaciones.

Figura (3)

La radiación se realiza con la brújula cuyo anteojo tiene 20 aumentos a unas distancias máximas de 155 m y 240 m, según el tamaño de las divisiones de la mira (figura 1), a las que corresponde para K=100, errores máximos de 0,30% y 0,39% (figura 2), respectivamente. A estos hay que añadir el derivado de la inclinación de la mira, por lo que suponiendo que ésta sea de 1g, como se prevén ángulos de pendiente de 7g, dicho error será (figura 3) de 0,17%. En su consecuencia, los errores totales serán (5): mira de 1 cm : 0,30 2 + 0,17 2 = 0,34% = 0,0034

mira de 2 cm : 0,39 2 + 0,17 2 = 0,43% = 0,0043 que a aquellas distancias máximas representan unos errores en las mismas de (6):

mira de 1 cm : 155 x0,0034 = 0,53m mira de 2 cm : 240 x0,0043 = 1,03m Estos valores indican que el empleo de las miras de doble centímetro produce errores demasiado grandes, pues incluso a la distancia tope de 240 m. llega a rebasar de 1 m. que es el gráfico de 0,2 mm a la escala 1/5.000 del levantamiento. Podría pensarse en acortar dicha T13 - 4

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

distancia para disminuir el error, pero entonces se perdería la ventaja que representa una radiación de esa longitud, cuando el error relativo seguiría siendo elevado. De aquí, que se considere más conveniente el uso de las miras divididas en centímetros y fijándose así un primer valor límite de la radiación en 155 m.

13.2.2. El segundo de tales valores límites resulta del error planimétrico que se deriva del error angular del instrumento que se va a utilizar, para lo que se procederá empezando por determinar el error por dirección de la brújula. Se supone un error de 0,05 m para el conjunto de estación y señal, la distancia será de 155 m (que es la que ya se conoce), y que las lecturas se harán con una sola punta de la aguja. En estas circunstancias, se tendrá (7): ev ≤ ed ≤

ep ≤

s 200 = = 17" 12 12

ee + e s 0,05 r" = 636620" = 205" D 155

30" ⎛ 4 A ⎞ 30" ⎛ 4.20 ⎞ ⎜1 + ⎟ = 3" ⎜1 + ⎟= A ⎝ 100 ⎠ 20 ⎝ 100 ⎠ el ≤

2 2 a = 2500" = 1667" 3 3

2 Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa + El2 = 17 2 + 205 2 + 3 2 + 1667 2 = 1680"

Para cada unas de las redes se deben fijar un error máximo que sea inferior al gráfico, para que como consecuencia del revertido de los errores de unas redes sobre otras no se rebase el límite. Se tomará como tope el 80% del error, en el supuesto que se estudia es 0,80 m. La máxima distancia D, será aquélla para la que se verifique (8): 1680 D = 0,00264 D ≤ 0,80m 636620 D≤

0,80 = 303 m 0,00264

límite superior a los 155 m de la percepción de la media división de la mira.

13.2.3. El tercero de los límites es el derivado de los errores altimétricos de la radiación, mayor que el planimétrico. Así (9): ev ≤

s 200 = = 67" 3 3

T13 - 5

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

ep ≤

150" ⎛ 4 A ⎞ 150" ⎛ 4.20 ⎞ ⎜1 + ⎟ = 14" ⎜1 + ⎟= 20 ⎝ 100 ⎠ A ⎝ 100 ⎠ el ≤

2 2 a = 200" = 133" 3 3

2 Etc ≤ E vc2 + E pc + El2 = 67 2 + 14 2 + 133 2 = 150"

Para el cálculo de los errores independientes que afectan al desnivel se admitirá un error en la altura de instrumento de 1 cm., que se visa a una altura de 2 m y con pendiente de la visual de 7g e inclinación de mira de 1g, por lo que se tendrá (10):

[

]

e´t ≤ D[(1 + ε )tagα − tagα ] = D (1 + 0,0034)tag 7 g − tag 7 g = 0,000375D

[

]

e"t ≤ D[tag (α + ea ) − tagα ] = D tag 7,0150 g − tag 7 g = 0,000238D ei ≤ 0,01m em ≤

2 . 10000" mβ tag (α + β ) = tag (8 g ) = 0,004 m r" 636620"

Dado que el error total no debe rebasar, al igual que planimétricamente, del 80% del límite, y éste es la cuarta parte de la equidistancia, se tendrá (11): 2 Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa + El2 = 0,000375 2 D 2 + 0,000238 2 D 2 + 0,012 + 0,004 2

ea ≤

80 1 e = 0,20 m 100 4

0,000000197 D 2 ≤ 0,039884 D≤

0,039884 = 450 m 0,000000197

distancia que como cabía esperar es mayor que los 303 m del límite planimétrico.

13.2.4. De los tres valores calculados, el más corto señala la máxima distancia de radiación, 155 m, y el error máximo con ella de 0,53 m.

T13 - 6

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.3. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON BRÚJULA. Las poligonales con brújula habrán de observarse por estaciones recíprocas pues el de alternas, incluso en su variante de punto de control, no garantiza la precisión necesaria par un trabajo en escala 1/5.000, además del riesgo que representa por la posibilidad de cometer equivocaciones inadvertidas. El operar por recíprocas implica que los rumbos y las distancias se medirán dos veces, en sentido directo y recíproco, y en cuanto a los rumbos se leerán, además, con las dos puntas de la aguja.

El error final de un itinerario con brújula, como consecuencia de los errores angulares, viene dado por la expresión (12): l ea

n

y el derivado de los errores en las distancias, tiene como valor (13): lε

n

El error total de la poligonal será igual al mayor de los dos, y teniendo ambos una expresión análoga, la superioridad de uno sobre otro sólo dependerá de la relación que exista entre ea y e. En cuanto al valor de ea debe corregirse el cálculo ya que los rumbos se van a leer con las dos puntas de la aguja, siendo el error de lectura (14): el ≤

1 2 1 2 a= 2500" = 1179" 23 23

(15): 2 Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa + El2 = 17 2 + 205 2 + 3 2 + 1179 2 = 1197"

Como se miden los rumbos directo y recíproco, y se promedian, en definitiva resulta (16): ea ≤

1

1179 = 0,00133" 2 636620

El error relativo e, para una medida simple resultó ser de 0,0034, pero al tomar el valor medio de la distancia directa y recíproca, se obtiene (17):

ε≤

0,0034 2

= 0,00240"

Evidentemente e es mayor que ea, por lo que el error total vendrá dado por la expresión (13) y tendrá que cumplirse que al cabo de los n tramos no se rebase dicho error de 0,80 m (18): eB ≤ l ε

n = 155 . 0,00240 . n ≤ 0,80 m

T13 - 7

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

n≤

0,80 m = 2,15 155 . 0,00240

n = 4,6 ≈ 5 tramos.

Las poligonales de brújula quedan pues limitadas a un máximo de 5 tramos, lo que representa un desarrollo total de (19): 5 x 155 = 775 m que es el ancho que habrán de tener las mallas de la red intermedia que constituye el apoyo de la de relleno. El error total que corresponde a dichas poligonales, a los efectos de la recapitulación final, es (20): 155 . 0,00240 . 5 = 0,83 m Si los tramos de los itinerarios se tomasen menores de 155 m (p.e. 100 m) se llegaría a la conclusión de que se podrían tener 11 tramos, con un desarrollo de 1.100 m, que señalaría un nuevo ancho de las mallas de la correspondiente red intermedia. La disminución del trabajo de taquímetro que ello pudiera representar es engañosa; la cantidad de trabajo que hay que realizar para establecer la red de relleno es siempre superior al de la intermedia.

T13 - 8

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.4. LIMITACIÓN EN LOS ITINERARIOS CON TAQUÍMETRO.

13.4.1. Las poligonales con taquímetro habrán de observarse por el método de Moinot (las observaciones en las diversas estaciones se realizan visando la estación de atrás en posición C.D. del círculo, primeramente, anotando las medidas de distancia y las angulares acimutales y verticales; y seguidamente se visa la estación de delante) midiendo las distancias por cuadruplicado (en las posiciones de C.D. y C.I. al aplicar la regla de Bessel para los ángulos y en el sentido directo e inverso, respectivamente) mejorándose la precisión estadimétrica y podrán alargarse estos itinerarios, en los que la longitud de los tramos queda fijada en 185 m. pues la distancia máxima para la que con los 26 aumentos del anteojo (fig.1) puede apreciarse la media división de la mira. Se admite un error de 0,02 m para los errores de estación y señal, y habida cuenta de las restantes características del taquímetro a emplear, el error por dirección acimutal, resultará (21):

ev ≤ ed ≤

ep ≤

s 100 = = 8" 12 12

ee + e s 0,02 r" = 636620" = 69" D 185

30" ⎛ 4 A ⎞ 30" ⎛ 4.26 ⎞ 1 = 2" ⎟= ⎜1 + ⎟ ⎜1 + A ⎝ 100 ⎠ 26 ⎝ 100 ⎠ 2 el ≤

1 2 1 2 a= 20" = 9" 23 23

2 Eta ≤ E va2 + E d2 + E pa + El2 = 8 2 + 69 2 + 2 2 + 9 2 = 70"

El error final de un itinerario con taquímetro, como consecuencia de los errores angulares, viene dado por la expresión (22): eT ≤ l . ea . 2 .

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) 70 . 2. = 185 . ≤ 0,80m 6 636620 6 n(n + 1)(2n + 1) ≤ 4639,9

n = 12,8 ≈ 13 tramos.

Las poligonales de taquímetro quedan pues limitadas a un máximo de 13 tramos.

Para saber el límite de los errores de las distancias se obtiene el error relativo (fig.2) e = 0,25% y el error por inclinación de la mira es 0,17% (23): T13 - 1

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

0,25 2 + 0,17 2 4

= 0,15% = 0,0015

El límite por razón de los errores longitudinales se obtiene de la expresión (24): eT ≤ l . ea . n = 185 . 0,0015 . n = 0,2775 . n ≤ 0,80m

n = 8,3 ≈ 8 tramos.

que por ser inferior al anterior de 13 tramos señala el tope máximo permitido, al cabo de los cuales el error podrá llegar a ser (25):

eT ≤ 185 . 0,0015 . 8 = 0,78m A su vez, los 8 tramos con sus 185 metros de longitud determinan la separación máxima que podrá existir entre los vértices de la triangulación, es decir, el lado de la misma, que resultará (26): 8 x 185 = 1.480 m ≈ 1.500 m

13.4.2. Límite de los itinerarios por los errores altimétricos. Las redes altimétricas, previas a la de relleno, pudieran ser suficiente con una red de nivelación trigonométrica para envolver toda la zona, pero si esto no es posible deberá realizarse una nivelación geométrica cuyas estaciones serán los puntos de arranque y cierre de las nivelaciones trigonométricas. Se necesita determinar la longitud máxima que pueden tener estas nivelaciones y para ello se empieza por calcular el error de dirección vertical correspondiente al taquímetro(27): ev ≤ ep ≤

s 100 = = 33" 3 3

150" ⎛ 4 A ⎞ 150" ⎛ 4.26 ⎞ 1 = 8" ⎜1 + ⎟ ⎜1 + ⎟= 26 ⎝ 100 ⎠ 2 A ⎝ 100 ⎠ el ≤

1 2 1 2 a= 20" = 9" 23 23

2 Etc ≤ E vc2 + E pc + El2 = 33 2 + 8 2 + 9 2 = 35"

Para el cálculo del error en el desnivel de cada tramo se sigue el siguiente razonamiento: como el error relativo con que se obtienen las longitudes promediadas de los tramos es de 0,0015(23) y los ei y em se consideran iguales a los de la brújula(10), resulta: T13 - 2

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

[

]

e´t ≤ D[(1 + ε )tagα − tagα ] = 185 (1 + 0,0015)tag 7 g − tag 7 g = 0,031

[

]

e"t ≤ D[tag (α + ea ) − tagα ] = 185 tag 7,0150 g − tag 7 g = 0,010 ei ≤ 0,01m em ≤

2 . 10000" mβ tag (α + β ) = tag 8 g = 0,004 m r" 636620"

( )

e z ≤ e´t2 + e"t2 + ei2 + em2 = 0,0312 + 0,010 2 + 0,012 + 0,004 2 = 0,034m

por lo que el desnivel promedio de cada tramo podrá tener un error de: 0,034 2 Si se desea que el error al acabo de n tramos de nivelación trigonométrica no rebase de 0,20 m, que es el límite para este caso, se tendrá que verificar: 0,034 2

n ≤ 0,20m n ≤ 8,3

n ≈ 69 tramos, que representa una longitud de: 69 x 185 = 12.765 m

Este valor demuestra la necesidad de establecer una red de nivelación geométrica, ya que para abarcar una superficie de 30.000 Has., aún en el supuesto de representar una forma circular se necesitaría un desarrollo de 61.400 m que es una distancia muy superior a aquélla.

13.4.3. Itinerarios secundarios. Puesto que los vértices de la triangulación van a estar separados 1.500 m(26) y para los itinerarios con brújula se necesitan mallas de 775 m (19), es lógico que no todos los itinerarios de taquímetro podrán ser primarios, esto es, con comienzo y final en dichos vértices. Debe pensarse en la observación de itinerarios secundarios y se hace necesario calcular el error que en ellos se puede producir. Estas poligonales, al no tener que establecerse entre vértices, podrán tener un número menor de tramos, que se finjan en 5. El error final para los secundarios será: 185 . 0,0015 . √5 = 0,62 m

T13 - 3

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.5. CARACTERÍSTICAS DE LA TRIANGULACIÓN

13.5.1. Se calcula el error de dirección acimutal del teodolito, suponiendo un error de estación y señal de 0,05 m. y que se aplicará la regla de Bessel (33):

ev ≤ ed ≤

ep ≤

s 50 = = 4" 12 12

ee + e s 0,05 r" = 636620" = 21" D 1500

30" ⎛ 4 A ⎞ 30" ⎛ 4.26 ⎞ 1 = 2" ⎜1 + ⎟= ⎜1 + ⎟ A ⎝ 100 ⎠ 26 ⎝ 100 ⎠ 2 el ≤

1 2 1 2 a= 2" = 1" 23 23

ea ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 = 4 2 + 212 + 2 2 + 12 = 21" Como se medirán y compensarán de error de cierre los tres ángulos de cada triángulo, el error por dirección observada puede reducirse en un 80%(34):

ea ≤ 21

80 = 16,8" 100

Para alcanzar los bordes de la zona desde el centro de la misma, que es donde estará medida la base, se necesitarán, al menos (fig. 4), 13 triángulos encadenados ya que así se conseguiría un radio de(35): 7 x AB = 7 x 1.500 = 10.500 m

con lo que se puede cubrir una superficie de 34.600 Has.

Al cabo de un encadenamiento de ese número de triángulos, los errores angulares producen finalmente un error de (36):

l.

ea 13 . 14 . 27 n(n + 1)(2n + 1) 16,8" . . + 3 = 1500 . + 3 = 1,13m r" 6 636620" 6

inadmisible, pues excede del permitido para todo levantamiento y está clara la necesidad de dos órdenes de triangulación: una principal y otra secundaria.

La separación entre los vértices de la secundaria no debe rebasar los 1500 m. Los lados de la triangulación principal están limitados por la dificultad de visuales mayores de 5.000 m, lo que supone en este caso 5 triángulos secundarios y un lado de 4.500 m de la triangulación principal.

T13 - 1

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.5.2.1. Error de la triangulación secundaria. Según lo expuesto por el encadenamiento de 5 triángulos se producirá un error de (37):

l.

ea 5 . 6 . 11 n(n + 1)(2n + 1) 16,8" . . + 3 = 1500 . + 3 = 0,30m r" 6 636620" 6

13.5.2.2. Error de la triangulación principal.

El error de dirección se disminuirá al ser más larga la visual y, por tanto, el total de la triangulación (38):

ed ≤

ee + e s 0,05 r" = 636620" = 7" D 4500

ea ≤ ev2 + ed2 + e 2p + el2 = 4 2 + 7 2 + 2 2 + 12 = 8,4" valor que para los ángulos compensados de cierre quedará reducido a (39):

80 . 8,4" = 6,7" 100 Como consecuencia de esto los errores angulares suponen uno final de (40):

T13 - 2

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

l.

ea 5 . 6 . 11 n(n + 1)(2n + 1) 6,7" . + 3 = 4500 . . + 3 = 0,36m r" 6 636620" 6

Para calcular el error que se comete como consecuencia de la base, se supondrá que ésta se mide con estadía horizontal, fraccionándola en trozos de 30 m ó 40 m, con lo que se puede conseguir un error relativo de 1/50.000. Así pues el error por esta causa será (41):

n +1 5 +1 1 . AB . ε = . 4500 . = 0,27 m 2 2 50000 13.6. NIVELACIÓN POR ALTURAS. Se dispone del nivel descrito para realizar esta nivelación de apoya a otra trigonométrica o por pendientes. Se comprueba la precisión del nivel determinando el error por visual que le corresponde y que será (42):

ev ≤

ep ≤

s 50 = = 16,7" 3 3

150" ⎛ 4 A ⎞ 150" ⎛ 4.26 ⎞ ⎜1 + ⎟ = 11,8" ⎜1 + ⎟= 26 ⎝ 100 ⎠ A ⎝ 100 ⎠

ea ≤ ev2 + e 2p = 16,7 2 + 11,8 2 = 20,4" En el terreno ligeramente ondulado se puede admitir una distancia media de 30 m. desde el nivel a la mira, es decir, un error en la altura de la mira de (43):

e´m ≤

20,4" 30000 = 0,96mm 636620

Por la inclinación de la mira, en el supuesto de visarla a una altura de 2 metros(44):

e"m ≤

2000 . 10000" mβ " tagβ = tag 1g = 0,49 mm r" 636620"

( )

y en la nivelada de 30 m se producirá un error total de (45):

em ≤ 0,96 2 + 0,49 2 = 1,08mm El error kilométrico correspondiente será consecuencia del número de niveladas de aquella longitud que es preciso observar para alcanzar un kilómetro:

ek ≤ 1,08

1000 = 6,24mm 30

que representa una precisión más que suficiente. Como ejemplo si se admite un desarrollo de nivelación de 100 Km, con ellos se podrían circunvalar unas 80.000 Has. Y, aún así, el error que se cometería tendría un valor de:

6,24 100 = 62,4mm = 0,06m bastante menor que el permitido de 0,20 m

T13 - 3

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.7. RECAPITULACIÓN FINAL DE ERRORES. TOLERANCIAS Y AJUSTES.

Se han calculado los errores que pueden afectar a cada una de las redes del levantamiento, quedando ahora por estudiar si el efecto acumulado de los mismos sobre el punto radiado hace que se rebase o no del tope, en este caso de 1 m.

El error de posición relativa de un punto es el error que tiene respecto de la red principal en que se enmarca el levantamiento. Este error será máximo en la parte central de la figura encuadrada, e igual a la componente cuadrática de la mitad del error propio de aquella figura y del error máximo de posición relativa que corresponda a los puntos de la red que la encuadran.

El error de posición absoluta de un punto es el que tiene respecto de su verdadera posición del terreno, y evidentemente, inferior al límite gráfico.

La tolerancia en el cierre o ajuste de una figura encuadrada entre dos puntos conocidos es la componente cuadrática de los errores máximos de posición relativa de ambos puntos y del error propio de la figura. Fase

Error (m)

Medida de la base..........................

0,27

(41)

Ángulos de la triangulación principal......

0,36

(40)

Ángulos de la triangulación secundaria.....

0,30

(37)

Itinerarios primarios de taquímetro........

0,78

(25)

Itinerarios secundarios de taquímetro......

0,62

(32)

Itinerarios de brújula.....................

0,83

(20)

Radiación..................................

0,53

(6)

13.7.1. Triangulación principal

13.7.1.1. Tolerancia en el cierre. No corresponde determinarla, ya que dicha triangulación no es figura encuadrada entre puntos conocidos.

13.7.1.2. Error máximo de posición relativa: el semieje mayor de la elipse de error (48):

a=

L . ea sen

α 2

=

4500 . 6,7" = 0,09m 66 g 66´ 67 " 636620" sen 2

13.7.1.3. Error máximo de posición absoluta: el error total es igual a la componente cuadrática de los errores debidos a la mediada de la base y de los ángulos (49):

0,27 2 + 0,36 2 = 0,45m

T13 - 1

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.7.2. Triangulación secundaria.

13.7.2.1. Tolerancia en el cierre. Puesto que los dos vértices de la triangulación principal entre los que se ajusta, uno no tiene error de posición relativa y el otro puede tener un valor máximo de 0,09 m., resulta (50):

0,09 2 + 0,30 2 = 0,31m 13.7.2.2. Error máximo de posición relativa (51): 2

⎛ 0,30 ⎞ 0,09 + ⎜ ⎟ = 0,17m ⎝ 2 ⎠ 2

13.7.2.3. Error máximo de posición absoluta (52):

0,17 2 + 0,45 2 = 0,48m 13.7.3. Itinerarios primarios. Los cálculos siguientes están referidos al caso más desfavorable, en el que tanto el vértice de salida como de llegada pertenecen a la triangulación secundaria.

13.7.3.1. Tolerancia en el cierre. (53):

0,17 2 + 0,17 2 + 0,78 2 = 0,82m 13.7.3.2. Error máximo de posición relativa (54): 2

⎛ 0,78 ⎞ 0,17 + ⎜ ⎟ = 0,43m ⎝ 2 ⎠ 2

13.7.3.3. Error máximo de posición absoluta (55):

0,43 2 + 0,45 2 = 0,62m 13.7.4. Itinerarios secundarios. Los cálculos siguientes están referidos al caso más desfavorable, en el que tanto el vértice de salida como de llegada pertenecen a itinerarios primarios.

13.7.4.1. Tolerancia en el cierre. (56):

0,43 2 + 0,43 2 + 0,62 2 = 0,87m 13.7.4.2. Error máximo de posición relativa (57): 2

⎛ 0,62 ⎞ 0,43 2 + ⎜ ⎟ = 0,53m ⎝ 2 ⎠ T13 - 2

ELECCION DE METODOS E INSTRUMENTOS EN LOS LEVANTAMIENTOS

13.7.4.3. Error máximo de posición absoluta (58):

0,53 2 + 0,45 2 = 0,70m 13.7.5. Itinerarios con brújula. Tanto el vértice de salida como de llegada pertenecen a itinerarios secundarios de taquímetro.

13.7.5.1. Tolerancia en el cierre. (59):

0,53 2 + 0,53 2 + 0,83 2 = 1,12m 13.7.5.2. Error máximo de posición relativa (60): 2

⎛ 0,83 ⎞ 0,53 + ⎜ ⎟ = 0,67m ⎝ 2 ⎠ 2

13.7.5.3. Error máximo de posición absoluta (61):

0,67 2 + 0,45 2 = 0,81m 13.7.6. Puntos radiados.

13.7.6.1. Tolerancia en el cierre. No cabe determinar la tolerancia en el cierre, pues los puntos radiados no constituyen figura escuadrada, y por no realizarse ninguna compensación, la posición relativa es la totalidad del error propio.

13.7.6.2. Error máximo de posición relativa (62):

0,53 2 + 0,67 2 = 0,85m 13.7.6.3. Error máximo de posición absoluta (63):

0,85 2 + 0,45 2 = 0,96m

T13 - 3

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

14.- PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRÁFICOS

14.1. DIFICULTAD DE CALCULAR EL PRESUPUESTO

14.2. TRABAJOS NECESARIOS Y RENDIMIENTOS MEDIOS 14.2.1. Trabajos de triangulación 14.2.2. Trabajos de taquímetro 14.2.3. Trabajos de brújula 14.2.4. Trabajos de nivelación por alturas 14.2.5. Pérdidas

14.3. EJEMPLO. 14.3.1. Triangulación 14.3.2. Itinerarios con taquímetro 14.3.3. Itinerarios con brújula 14.3.4. Nivelaciones geométricas. 14.3.5.Resumen de los trabajos

14.4. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE CAMPO.

14.5. ORGANIZACIÓN DE LOS TRABAJOS DE GABINETE.

14.6. TRABAJOS DE GABINETE. 14.6.1. Cálculos: 14.6.2. Dibujo: 14.6.3. Soporte. 14.6.4. Soporte magnético del dibujo. 14.6.5. Tinta y desgaste del material de dibujo.

14.7. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE GABINETE.

14.8. PRESUPUESTO TOTAL

T14 - 1

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

APÉNDICES 1.- Tarifas de alquiler de equipos topográficos 2.- Tarifas de honorarios profesionales

T14 - 2

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

14.1. DIFICULTAD DE CALCULAR EL PRESUPUESTO Escala, terreno, clima, vegetación, _

14.2. TRABAJOS NECESARIOS Y RENDIMIENTOS MEDIOS

14.2.1. Trabajos de triangulación

14.2.2. Trabajos de taquímetro

14.2.3. Trabajos de brújula

T14 - 3

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

14.2.4. Trabajos de nivelación por alturas

14.2.5. Pérdidas Días no trabajados: fiestas(20%) y mal tiempo(lluvia, nieve, _)(ver estadística del lugar)

14.3. Ejemplo. Sea un levantamiento a escala 1/2.000 de 5.000 Ha de terreno llano. Se precisa el parcelario de la misma, siendo 0,2 el índice correspondiente (número de parcelas por Ha.). Los vértices de la triangulación se señalizarán de modo permanente mediante tubos rellenos de hormigón. La señal de nivelación más próxima desde la que se puede dar la altitud al punto altimétrico fundamental se encuentra a 30 Km; recorrido que puede considerarse llano, y dentro de la zona se prevé realizar 40 Km de líneas de nivelación geométrica para su apoyo altimétrico.

En tales condiciones, los trabajos necesarios para las diversas fases serán:

14.3.1. Triangulación El número de vértices será (1):

2

5000 = 100vértices 100

El tiempo en proyecto y observación (2): 100 = 18 jornadas 5,5

14.3.2. Itinerarios con taquímetro

T14 - 4

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

El número de estaciones (3): 0,45 x 5000 = 2250 estaciones

El tiempo invertido (4): 2250 = 56 jornadas 40

14.3.3. Itinerarios con brújula El número de estaciones (5): 6 x 5000 = 3000 puntos

El número de parcelas existentes en la zona (6): 0,2 x 5000 =1000 parcelas

para las que se necesitarán (7): 3,5 x 1000 = 3500 puntos

Dada la escala será de aplicación la nota al pie del cuadro según la cual corresponde una reducción de la mitad de (5) y que como máximo será la mitad de (7), ósea (8): 3000 + 3500 - 1750 = 31750 puntos

El tiempo invertido (9):

31750 = 159 jornadas 200

14.3.4. Nivelaciones geométricas. Distando 30 Km el punto altimétrico, el desarrollo es (10): 2 x 30000 = 60000 m Admitiendo una separación entre miras de 85 m (valor medio de terreno llano) (11): 60000 = 706estaciones 85 El tiempo invertido (12): 706 = 6 jornadas 125 T14 - 5

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

Los 40 Km de nivelaciones dentro de la zona pueden ser sencillos (13): 40000 = 471estaciones 85 471 = 4 jornadas 125

14.3.5. Resumen de los trabajos Fase Triangulación Taquimetro Brujula Nivel Totales

Jornadas reales Pérdidas Jornadas totales Peones Peonadas Residencias 18 6 24 1 24 24 56 20 76 2 152 76 159 56 215 3 645 215 6 2 8 2 16 8 4 1 5 2 10 5 243 85 328 847 328

T14 - 6

Transportes 18 56 159 6 4 243

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

14.4. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE CAMPO. Precios unitarios: operador, peón, _ . Transporte: Residencia: Señales permanentes, banderolas, estacas, _ Permisos (Normalmente por cuenta de la Propiedad) Gastos Generales Beneficio Total

14.5. ORGANIZACIÓN DE LOS TRABAJOS DE GABINETE. La organización depende de: la dependencia entre las redes de levantamiento y el número de operadores.

14.6. TRABAJOS DE GABINETE.

14.6.1. Cálculos: Jornadas reales

40% de 243

Pérdidas

20% de 97

Jornadas totales

97 19 116

T14 - 7

PRESUPUESTO DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

14.6.2. Dibujo: Horas

5000/4 =

1250

Jornadas reales

1250/8 =

156

Pérdidas

20% de 156 =

Jornadas totales

31 187

14.6.3. Soporte. En la escala 1/2000, 1 Ha está representada por 25 cm2, luego: 5000 Ha125000 cm2

12,50 m2

Desperdicio

11,25 m2

90% de 12,50 m2

Total soporte

23,75 m2

14.6.4. Soporte magnético del dibujo. Actualmente, es una norma habitual facilitar la información cartográfica en soporte magnético en ficheros con extensión estándar.

14.6.5. Tinta y desgaste del material de dibujo. 10% del precio de los 23,75 m2 de soporte.

14.7. PRESUPUESTO PARA LOS TRABAJOS DE GABINETE.

14.8. PRESUPUESTO TOTAL

T14 - 8

PETICION DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

15. PETICIÓN DE OFERTA

15.1. PETICIÓN DE OFERTA PARA UN TRABAJO TOPOGRÁFICO

15.2. EJEMPLO

APÉNDICES 1.- CASO REAL DE PETICIÓN DE OFERTA 2.- CASO REAL DE OFERTA

T15 - 1

PETICION DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

15. PETICIÓN DE OFERTA Permítame el alumno que este capítulo le inicie dando las gracias a D. Alberto Bazaga Doral, y a la empresa SAT, Servicios Técnicos S.A., a quienes debo mi primera petición de oferta y que en aquella ocasión fue para las obras civiles de una pequeña central hidroeléctrica.

15.1. PETICIÓN DE OFERTA PARA UN TRABAJO TOPOGRÁFICO La petición de oferta es un documento que se genera para solicitar la realización de un trabajo topográfico, en este caso, especificando, en sus distintos apartados, el objeto, su alcance, las condiciones técnicas del material y de ejecución, las condiciones económicas de contratación, los elementos de control, los plazos de ejecución.

15.2. EJEMPLO El índice de una petición de oferta sería el siguiente: 1. OBJETO 2. ALCANCE 3. CONDICIONES TÉCNICAS 3.1. CONDICIONES DEL MATERIAL 3.1.1. MATERIAL DE CAMPO 3.1.2. MATERIAL DE GABINETE 3.2. CONDICIONES DE EJECUCIÓN 3.2.1. EJECUCIÓN EN CAMPO 3.2.2. EJECUCIÓN EN GABINETE 4. CONDICIONES ECONÓMICAS

El contenido de cada apartado, lógicamente, queda abierto a las condiciones peculiares del trabajo pero en líneas generales contendría los siguientes puntos.

1. OBJETO Este punto apunta los datos necesarios para dar una idea del entorno del trabajo: Una reseña del problema que se quiere solucionar Antecedentes administrativos T15 - 2

PETICION DE OFERTA DE TRABAJOS TOPOGRAFICOS

Trabajos paralelos que se realizarán con el resultado del levantamiento Trabajos análogos realizados en la zona.

2. ALCANCE Enumeración pormenorizada de los todos los trabajos a realizar, junto con sus características de peculiares.

3. CONDICIONES TÉCNICAS Este punto define las condiciones

3.1. CONDICIONES DEL MATERIAL

3.1.1. MATERIAL DE CAMPO

3.1.2. MATERIAL DE GABINETE

3.2. CONDICIONES DE EJECUCIÓN

3.2.1. EJECUCIÓN EN CAMPO

3.2.2. EJECUCIÓN EN GABINETE

4. CONDICIONES ECONÓMICAS

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