Aplicaciones Hidráulicas de La Ecuación Cantidad de Movimiento

 

Aplicaciones hidráulicas de la ecuación cantidad de movimiento Ecuación de cantidad de movimiento aplicada a deflectores

Es una parte integral del análisis de muchas turbomáquinas, como turbinas, bombas y compresores. El análisis se divide en dos partes: chorros de fluidos desviados por deflectores estacionarios y chirris de fluido desviado por deflectores móviles. Se supondrá lo siguiente

  La presión externa a los chirris de fluido es constante en todas partes de modo que



la presión en el fluido conforme se desplaza sobre un deflector permanece constante.

  La resistencia friccional producida por la interacción fluido-deflector es



insignificante de modo que la velocidad relativa entre la superficie del deflector y la corriente de chorro permanece sin cambio, es un resultado de la ecuación de Bernoulli.

  El espaciamiento lateral de un chorro plano se ignora.   La fuerza de cuerpo, el peso del volumen de control es pequeño y será ignorado.





(Potter & Wiggert, 2002) Deflector estacionario

La ecuación de Bernoulli permite concluir que las magnitudes de los vectores de velocidad son iguales (

 = 

), afirmando que la presión es constantemente externa al

  

chorro del fluido y los cambios de elevación son insignificantes; en e n las direcciones  y   es (Potter & Wiggert, 2002)

 = ∝− = ∝ − ∝     = ∝=∝

# #

 

 

  Figura . Deflector estacionario. Potter, M. C., & Wiggert, D. C. (2002). Mecánica de

Fluidos. México: THOMSON.

Deflectores móviles

Se da si un solo deflector o una serie de deflectores está en movimiento. Considera el



deflector único mostrado en la fig que está en movimiento en la dirección  positiva con la velocidad



. En un marco de referencia fijo en la boquilla estacionaria, que emite el

chorro de fluido, el flujo es discontinuo; es decir, la situación del flujo varía con el tiempo. Desde el marco de referencia inercial, que se mueve con la velocidad constante observa que la velocidad relativa



  de entrada al control de volumen



 − 

, se

. Esta

velocidad relativa es la que permanece constante a medida que el fluido fluye flu ye con respecto al deflector; no cambia puesto que la presión no lo hace. Respecto al marco móvil, la ecuación adopta la forma



 =  − ∝−1 − ∝−1     =  −   ∝

# ##

 

  Parte del fluido de masa que sale del chorro fijo cuya cantidad de movimiento

cambió.(Potter & Wiggert, 2002) El deflector se aleja del chorro fijo, lo cual, algo del fluido que abandona del chorro

fijo nunca experimenta un cambio de cantidad de movimiento, por consiguiente (Potter & Wiggert, 2002)

 =  −  

#

 

 

 

Figura . Deflector móvil. Potter, M. C., & Wiggert, D. C. (2002). Mecánica de Fluidos.

México: THOMSON.

Aplicación de la teoría de la cantidad de movimiento a las hélices

Consiste en cambiar la cantidad de movimiento del fluido fl uido en que se encuentra sumergida y así originar un empuje que se utiliza para la propulsión. La fig representa una hélice con su estela de deslizamiento desli zamiento y la distribución de velocidades en dos secciones a una cierta distancia de ella. La hélice puede estar:

  Quieta en un fluido que se mueve como se representa en la figura.



  Moviéndose hacia la izquierda con una velocidad





 en un fluido en reposo, en

cuyo caso su imagen relativa es la misma. mi sma. (Streeter, 1970)

 

 

Figura . Hélice es una corriente fluida. Streeter, V. L. (1970). Mecánica de Fluidos.

México: McGRAW-HILL.

El fluido no es perturbado por la hélice en la sección s ección 1 de aguas arriba y se acel acelera era al aproximarse a la hélice, debido a que la presión se ha reducido en la cara d dee aguas arriba de ésta. Al pasar a través de la hélice, el fluido aumenta su presión, se acelera y la sección se reduce en 4. La velocidad



 no cambia al pasar el fluido a través de la hélice

desde la sección 2 hasta la 3. Las presiones en 1 y 4, asi como a lo largo l argo de la superficie límite de la estela, son las del fluido no perturbado. (Streeter, 1970) Cuando se aplica la ecuación de la cantidad de movimiento al cuerpo libre del fluido comprendido entre las secciones 1 y 4 y la superficie límite de la estela, la única fuerza



 que actúa sobre el fluido en la dirección del movimiento es la originada por la hélice,

ya que en la superficie exterior del cuerpo libre la presión es la misma en todos los  puntos. (Streeter, 1970)

=4 −  =  −   # =   área barrida por las aspas de la hélice.

 

 

 

  La fuerza sobre la hélice debe ser igual y opuesta opuesta a la ejercida sobre el fluido. Sustituyendo

=

 y simplificando,

4 −  =  −   #1

 

La ecuación de Bernoulli para las secciones se cciones 1 y 2 y para las secciones 3 y 4 es

ya que

 + 12  =  + 12    + 12  = 4 + 12 4  −   = 4  =  =  = 4  −  = 12 (4 − ) #2  −   =  + 4   # . Despejando

, con

 

,

 entre las ecuaciones #1 y #2

Eliminando

2

El trabajo útil realizado en la unidad de tiempo por la hélice o potencia desarrollada  por la hélice al moverse en el fluido en reposo, es el producto de de su empuje por la velocidad, es decir, (Streeter, 1970)

   ==  = 4 −   #1 4 

 

La potencia gastada es la necesaria necesari a para aumentar la velocidad del fluido

 

hasta hasta

que es también igual a la suma de la potencia desarrollada más la energía cinética que que

en la unidad de tiempo se pierde en la estela. (Streeter, 1970)

 = = 2 (4 − )= )=4  −    +  2 4  −    #2  = 42+ =    #3 ∆=4  −      #  =  +∆/2 Dividiendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene el rendimiento teórico,

Si

es el aumento de velocidad en la estela, sustituyendo en la

ecuación 3, resulta

Propulsión a chorro

 

Es cuando la hélice crea un chorro y por esto se s e ejerce un empuje sobre la héli hélice, ce, que es la fuerza de propulsión. En los motores a chorro, el aire entra en el parato y quema una  pequeña cantidad de combustible; los gases resultantes de la combustión se lanzan con una velocidad mucho más alta que en la estela de las hélices. En lo que atañe únicamente a la energía mecánica, el rendimiento teórico viene dado por el cociente del trabajo útil por el trabajo consumido, o bien por el cociente del trabajo útil por la suma del trabajo útil y de la energía cinética cinéti ca que por unidad de tiempo se pierde en el chorro. Si se desprecia la masa del combustible quemado. La fuerza de propulsión

  

= −  = =



 es

 

  es la velocidad absoluta absoluta del fluido en el chorro.

  es el caudal en masa.

  es la velocidad del cuerpo. (Streeter, 1970)

Figura . Paredes de paso del fluido a través de un motor a chorro considerado como parte impenetrable de la superficie de control para el avión cuando se trata como un problema de régimen permanente. Streeter, V. L. (1970). Mecánica de Fluidos. México:

McGRAW-HILL.

La energía cinética que por unidad de tiempo pasa al chorro es  pues



 es el peso descargado descar gado por unidad de tiempo y

 

 = 

,

 es la energía cinética por

unidad de peso. El rendimiento mecánico teórico es (Streeter, (Streete r, 1970)

  ú     = 1     #  =  ú+ = ú +     + /2 1 +  /2 /2 Resalto hidráulico

 

 

El resalto hidráulico es la segunda aplicación de las ecuaciones fundamentales para

determinar las pérdidas de energía mecánica mec ánica en un caso de flujo turbulento. En ciertas condiciones una corriente líquida, a gran velocidad en un canal abierto disminuye  bruscamente la velocidad con una brusca elevación de la superficie líquida. Este fenómeno se conoce con el nombre de resalto y es un ejemplo de flujo permanente no uniforme. En efecto, el chorro líquido a gran velocidad se expansiona como muestra la fig1 y convierte su energía cinética en energía ener gía potencial y térmica. En la superficie inclinada se forma un rodillo que arrastra aire y lo introduce dentro del líquido. La superficie del resalto es muy irregular y turbulenta, la pérdida de energía mecánica es tanto mayor cuanto más alto es el resalto. resal to. Para pequeñas alturas, la forma del resalto cambia convirtiéndose en una ola estacionaria como indica la fig2. (Streeter, 1970)

Figura . Resalto hidráulico en un canal rectangular. Streeter, V. L. (1970). Mecánica de

Fluidos. México: McGRAW-HILL.

Figura . onda estacionaria. Streeter, V. L. (1970). Mecánica de Fluidos. México:

McGRAW-HILL.

Las relaciones entre las variables de un resalto hidráulico en un canal horizontal rectangular se obtienen fácilmente usando las ecuaciones de continuidad, de la cantidad de movimiento y de la energía. (Streeter, 1970)

 

 =   # 2 − 2 =   −   #  

La ecuación de la cantidad de movimiento es

 

y la ecuación de la energía es

siendo

ℎ

2 +  = 2 +  + ℎ  #      2     = − 2 + √  2  +     #

 la pérdida de energía debida al resto. rest o. Eliminando

 entre las dos primeras

ecuaciones, (Streeter, 1970)

 

Bibliografía Potter, M. C., & Wiggert, D. C. (2002). Mecánica de Fluidos. México: THOMSON. Streeter, V. L. (1970). Mecánica de Fluidos. México: McGRAW-HILL.