APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

Aplicaciones geométricas de límites y derivadas    

 

 

   

 

     

   

Por: Liliana Lizbeth Dávila Santa Cruz Asesor: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar Prpietario  [Escribir el nombre de la compañía]  [Seleccionar fecha] 

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CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

1. Sentido de concavidad de una curva 2. Puntos de inflexión 3. Gráficas de f (x) y f ' ( x ) : Teoremas 4. Asíntotas 5. Análisis general de las funciones y sus gráficas

CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCIÓN La matemática a pesar de su naturaleza abstracta muestra su utilidad en distintas ramas del saber humano, es decir, que dicha ciencia resulta necesaria en la resolución de problemas de diversa índole, no sólo matemáticos. Una muestra muy claro de ello es la contribución del cálculo, tanto diferencial como integral, en situaciones económicas, administrativas, contables, empresariales, entre otras.

En ese sentido, el cálculo diferencial representado por límites y derivadas, tiene aplicaciones también dentro del campo mismo de la matemática, principalmente en la geometría. Ante ello el presente trabajo de investigación destaca diversas aplicaciones geométricas para determinar la concavidad de una curva, los puntos de inflexión, hacer gráficas, identificar asíntotas y realizar análisis de funciones de manera general.

Así mismo, cabe precisar que este estudio se realiza a manera de resumen teniendo como fuente principal el libro de Claudio Pita denominado: Cálculo de una variable y se complementa con otros autores como Venero A. y Leithold L.

Desde esta óptica, se espera que este producto investigativo sea incentivo para que demás estudiantes y profesionales profundicen este tema o temas afines, reconociendo su trascendencia en la resolución de problemas del contexto matemático y real.

La autora

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APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS 1. Sentido de concavidad de una curva Sea f : I  R  R una función derivable en el intervalo abierto I de R : 

Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia arriba si su derivada

f ' : I  R  R es una función creciente en I . 

Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia abajo si su derivada

f ' : I  R  R es una función decreciente en I .

Una caracterización geométrica de la concavidad de una curva es la siguiente: una curva es cóncava hacia arriba si sus rectas tangente se encuentran siempre por debajo de la curva, y es cóncava hacia abajo si sus rectas tangentes se encuentran siempre por encima de la curva.

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Una curva cóncava hacia arriba tiene sus rectas tangentes por debajo de ella, y una curva cóncava hacia abajo tiene sus rectas tangentes por encima de ella. Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 

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 Teorema: Sea f : I  R  R una función dos veces derivable definida en el intervalo abierto I de R . a) Si f ' ' ( x)  0 para toda x  I , entonces la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en I . b) Si f ' ' ( x)  0 para toda x  I , entonces la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en I .  Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función f ( x)  x 6  x 4  5 x 2  7 .

Solución En primer lugar, las derivadas de la función son: f ' ( x)  6 x 5  4 x 3  10 x f ' ' ( x)  30 x 4  12 x 2  10

Como f ' ' ( x)  0 para toda x  R (es una suma de dos términos no negativos con un positivo) concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en todo R.

 Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función f ( x)   x 3  x  2 en el intervalo R  .

Solución Las derivadas de esta función son: f ' ( x)  3x 2  1 f ' ' ( x)  6 x Como para x  R  se tiene f ' ' ( x)  0 , concluimos que la gráfica de la función f ( x)   x 3  x  2 es cóncava hacia abajo en R  .

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 Criterio de la segunda derivada para determinar extremos locales de una función: Sea f : I  R  R una función definida en el intervalo abierto I de R tal que en el punto x 0  I se tiene f ' ( x 0 )  0 . Entonces: a) Si f ' ' ( x)  0 la función tiene un mínimo local en x 0 . b) Si f ' ' ( x)  0 la función tiene un máximo local en x 0 .

 Ejemplo: Determine los extremos locales de la función f ( x)  x 2e x usando el criterio de la segunda derivada.

Solución La derivada de la función es f ' ( x)  ( x 2  2 x)e x la cual se anula en x 0  0 y x1  2 (éstos son los puntos críticos). La segunda derivada de la función es: f ' ' ( x)  ( x 2  2 x)e x  e x (2 x  2)  ( x 2  4 x  2)e x Evaluando f ' ' ( x) en los puntos críticos tenemos f ' ' (0)  2  0 y entonces, por el criterio de la segunda derivada la función dada tiene un mínimo local en x 0  0 . En x1  2 se tiene f ' ' ( x)  (4  8  2)e 2  2e 2  0 y entonces, por el criterio de la

segunda derivada, la función tiene un máximo local en x1  2 .

2. Puntos de inflexión La gráfica de una función continua f : I  R  R puede tener intervalos en los que es cóncava hacia arriba e intervalos en los que es cóncava hacia abajo. Cada uno de éstos los llamaremos intervalos de concavidad de la gráfica de la función. Según el teorema anterior (Sea f : I  R  R una función dos veces derivable: si

f ' ' ( x)  0 es cóncava hacia arriba y si f ' ' ( x)  0 es cóncava hacia abajo) en cada

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uno de tales intervalos la segunda derivada de la función debe mantener signo constante.

Por lo tanto, en los puntos en donde hay un cambio de concavidad en la gráfica de la función la segunda derivada de ésta o es igual a cero o no existe. Estos puntos son análogos a los puntos críticos, en donde la función cambia su comportamiento de creciente a decreciente, o viceversa. Tales puntos reciben un nombre especial:

A un punto de la gráfica de una función, en donde la gráfica cambia de concavidad se le llama punto de inflexión de la gráfica de la función.

Para determinar los puntos de inflexión de una función debemos considerar los puntos en donde la segunda derivada de aquella es cero o no existe. Estos puntos serán los candidatos a puntos de inflexión (es decir, si la función tiene puntos de esta naturaleza, éstos deben estar en donde la segunda derivada es cero o no existe). Lo anterior no significa que en todo punto en donde f ' ' ( x) es cero o no existe hay un punto de inflexión: debemos verificar que en estos puntos ocurre Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 

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efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, pues se ha definido un punto de inflexión como un punto de la gráfica de la función en donde ocurre un cambio de concavidad en su gráfica, y no un punto en donde la segunda derivada es cero o no existe.

Es importante señalar que un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función. En los puntos en donde la función no existe (por ejemplo en algunas discontinuidades de la función) se pueden presentar también cambios en la concavidad de la gráfica; por lo tanto, al estudiar los intervalos de concavidad de la función debemos considerar (además de los puntos en donde la segunda derivada es cero o no existe) que en las discontinuidades puede haber cambios de concavidad en la gráfica de una función.  Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de f ( x)  3 x  1  1

Solución 2

1 2 1 f ( x)  ( x  1) 3 , f '' ( x)   . 9 3 ( x  1)5 3 '

Posibles puntos de inflexión x0 : a) Tales que f '' ( x0 )  0 , no existen en este caso. b) Tales que f '' ( x0 ) no existe: En x0  1

Análisis correspondiente: a)  x  ,1 : f '' ( x)  0  es cóncava hacia arriba b)  x  1,  :

f '' ( x)  0  es cóncava hacia abajo

Por lo tanto, el punto x 0 , f ( x 0 )   (1,1) es punto de inflexión de f y es además el único punto de inflexión.

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 Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de

1 ( x  4)3 x  4 . 2

Solución 2 ( x  2) 2 ( x  8) , f '' ( x )  . f ' ( x)  . 2 3 ( x  4) 3 9 ( x  4) 5 3

Posibles puntos de inflexión: x  8 y x  4

Análisis correspondiente:

x

f ' ( x)

f '' ( x )

 ,2

0

>0

>0

>0

0

>0

 2,4  4,8 8, 

Conclusiones Decreciente y cóncava hacia arriba. Creciente y cóncava hacia arriba. Creciente y cóncava hacia abajo. Creciente y cóncava hacia arriba.

En x  2 hay un mínimo f (2)  33 2  3.8

 Para x  4 hay un punto de inflexión. Para x  8 hay otro punto de inflexión.

 Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de f ( x)  x 3 x  4 , donde x  R.

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Solución

f ' ( x) 

4 ( x  6) 4 ( x  3) . , f '' ( x )  . 2 9  x  453 3 x  4 3

Posibles puntos de inflexión: En aquellos x0 para los que f '' ( x 0 )  0 ó f '' ( x0 ) no exista.

 x0  4 , x0  6 lo cual verificaremos analizando el signo de f '' ( x) en  ,4 ,  4,6 y 6,  . x

f '' ( x)

Concavidad

Conclusiones

,4

>0

Hacia arriba

(4, f (4)) : es punto

 4,6

0

Hacia arriba

es

un

punto de inflexión.

 Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de f ( x)  10 x

2

3

5

 2x 3 .

Solución 5 (2  x) f ' ( x)  . 1 3 x 3

f '' ( x)  10.

( x  1) x

4

3

f '' ( x)  0 para x  1

Esto significa que: Los posibles puntos

f '' ( x) no existe para x  0

de inflexión son: x  0 y x  1 .

Analizaremos en los puntos en ,1 , 1,0 y 0,  :

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x

f '' ( x)

Concavidad

,1

>0

Hacia arriba

(1, f (1)) :

1,0