Aplicaciones ED en Ingenieria

 

 APLICACIONE  APLIC ACIONES S DE ECUACIONE ECUACIONES S DIFERENCIAL DIFERENCIALES ES

JUAN PABLO PINZA PINZA

UNIVERSIDAD MARIANA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL SAN JUAN DE PASTO 2019

 

 APLICACIONE  APLIC ACIONES S DE ECUACIONE ECUACIONES S DIFERENCIAL DIFERENCIALES ES

JUAN PABLO PINZA PINZA

PROYECTO FINAL

 ALEX FABIAN FABIAN CADENA CADENA CAIRASCO CAIRASCO

UNIVERSIDAD MARIANA FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA AMBIENTAL SAN JUAN DE PASTO 2019

 

CIRCUITOS Y RESISTENCIA

La ley de Kirchhoff. El enunciado es uno de los de la ley de Kirchhoff: La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las caídas voltaje.] Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como sedeilustra:

Como un ejemplo, considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje E (batería o generador), una resistencia R, y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura:

 Adoptamos la siguiente convención: la corriente  Adoptamos corriente fluye del lado positivo (+ ) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo (- ).

 

Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a la caída de voltaje a través del inductor ( dt dI L ) más la caída de voltaje a través de la resistencia (RI), tenemos como la ecuación diferencial requerida para el circuito:

Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito eléctrico consistente en una batería o generador de E en serie con una resistencia de R y un condensador de C.  Aquí la caída caída de voltaje a través través de de la resistencia resistencia es RI y la caída caída de de voltaje voltaje a través del condensador es

 

, de modo que por la ley de Kirchhoff  +

 

 =    tal como

aparece esto no es una ecuación diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la variación de la carga con el tiempo, esto es,  = /,  + convierte en 









 

 =   se

  +   =  , la cual es una ecuación diferencial para la carga

instantánea. Acompañando a las ecuaciones diferenciales obtenidas están las condiciones que se derivan, por supuesto, del problema específico considerado. EJEMPLO Una red eléctrica que tiene más de un circuito también da lugar a Ecuaciones diferenciales simultáneas. Como se muestra en la Figura, la corriente I1 (t) se divide en las direcciones que se muestran en el punto B1, llamado punto de ramificación de la red. Por La primera la de Kirchhoff que podemos escribir.

1 = 2() + 3() 

También podemos aplicar la segunda ley de Kirchhoff a cada bucle. Para el bucle  A1B1B2A2A1,  A1B1B 2A2A1, sumando sumando las las caídas de voltaje en cada cada parte del del bucle da. da. 2 22   () = 11 +    + 22

 

Del mismo modo, para el bucle A1B1C1C2B2A2A1 encontramos  () = 11 11 + 2

3 

 

El uso de (14) para eliminar i1 en y Et produce dos ecuaciones lineales de primer orden para las corrientes i2 (t) e i3 (t):

SISTEMA MASA / RESORTE

Supongamos que tenemos un sistema masa resorte suspendido verticalmente de un soporte rígido, como se muestra en la figura 1. La deformación o elongación que sufre el resorte depende la diferentes cantidad de masadeforman que está unida al extremo libre del resorte; es decir, masas de con pesos el resorte en cantidades diferentes. Sabemos por la Ley de Hooke que el resorte ejerce una fuerza restauradora F en sentido contrario a la deformación y proporcional a la cantidad de elongación x, la cual se expresa de la siguiente forma F= kx , donde k es una constante de proporcionalidad conocida como coeficiente de elasticidad del resorte y se refiere a la cantidad de fuerza que se necesita para que el resorte se deforme una cierta cantidad.

      = −  

 

La ecuación 1, representa el movimiento armónico libre, donde como se menciona, el sistema se encuentra en ambiente ideal donde no existen fuerzas retardadoras externas actuando sobre la masa y propician un movimiento perpetuo del sistema (sistema armónico simple). Pero este modelo es poco usado, puesto que en la realidad la mayor parte de los sistemas de ingeniería encuentran al menos una fuerza retardadora actuando sobre la masa, como se muestra en la figura 2. En consecuencia, la energía mecánica del sistema disminuye con el tiempo y por lo tanto se dice que el movimiento es amortiguado.

Un tipo común de fuerza retardadora es una fuerza proporcional a la rapidez del objeto en movimiento y que actúa en sentido contrario a la velocidad de dicho objeto. Entonces la fuerza retardadora se puede expresar como  = −

 

, donde b es una

contante conocida como coeficiente de amortiguamiento. Suponiendo que ninguna otra fuerza actúa sobre el sistema, se puede escribir la segunda ley de Newton como ecuación 2. 

 







 = − −  

 

MASA RESORTE AMORTIGUADO       +  = 0    +     

MASA RESORTE MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO     +    = 0   + 2   

 

DEFLEXION EN VIGAS

Es la deformación que sufre un elemento por el efecto de deflexiones internas tomándose por curvas o desviaciones de un curso o línea horizontal la deflexión puede causar grandes daños en un ingeniero civil si su deflexión es muy alta en la viga puede ocacionar colapsos en la edificación. La deflexión una ecuación diferencial deescuarto orden. matemática y(x) que esta gobernada por una ecuación Estas deflexiones varían según sus apoyos

 Así como como hay diferentes diferentes maneras maneras de de apoyar apoyar vigas, vigas, también también hay diferentes diferentes maneras maneras de aplicar fuerzas de carga externa. Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga. Carga variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella. Carga puntual o concentrada.

 

El momento flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado del punto P. Escogiendo el lado derecho después de la fuerza P se realiza el corte. 1. La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de P, produciendo un momento positivo. 2. La fuerza hacia arriba wL/2, a una distancia L-x de P, produciendo un momento negativo. En este caso el momento flector es

Con el valor de M(x), la ecuación fundamental es:

Dos necesarias determinar son, o y apoyos. = 0 en x = 0, y en x = L,condiciones puesto queson la viga no tienepara deformación en y. losEstas extremos

 

BIBBLIOGRAFIA La información que se encuentra en este documento se consultó y se desarrolló de los cursos de eléctrica y mecánica de materiales tercer semestre de la facultad de Ingeniería Civil. Zill, D.G. (2019). Ecuaciones diferenciales. Cap 3 y Cap 5. RECUPERADO DE https://drive.google.com/file/d/1DHWlEsD5ItYrOqfaI_KkgKb0VpF0MU11/view  https://www.researchgate.net/publication/328554420_ESFUERZOS_Y_DEFLEXIONES_EN_VIGAS https://glossar.item24.com/es/indice-de-glosario/articulo/item//sistema-masa-resorteamortiguador-1.html