Aplicaciones Ecuaciones Trigonometricas

 

Facultad de Ingeniería Matemáticaa II Matemátic Interciclo 2017 Dr. Ranferí Gutiérrez

 

Aplicaciones varias de las ecuaciones trigonométricas Descripción: A continuación encontrará una serie de problemas que requieren resolver ecuaciones trigonométricas. Los problemas corresponden a temas que estudiará en los cursos de Física I, Física II, Cálculo Cálculo I y Ecuaciones Diferenciales. Algunos problemas fueron tomados de exámenes parciales y adaptados para el curso de Matemática II.

1.  Una pelota de béisbol que ha sido bateada pierde contacto con el bate a un ángulo  con la horizontal, tal como se muestra en la figura. Si la rapidez inicial  de la pelota, al momento de ser bateada, es   pie/s y la pelota es atrapada a la misma altura a una distancia  pies, encuentre los dos posibles ángulos  de bateo  para los cuales la distancia  es la misma. La distancia  está dada por





 

              ( ) 



 

2.  Las ventas mensuales   (en cientos de unidades) de equipo para esquiar, en una tienda de artículos deportivos, están aproximadas por  



donde  es el tiempo (en meses), con  correspondiente a enero. Determine los los meses en que las ventas pasaron de 7500 unidades. 3.  El área superficial de una colmena está dada por la ecuación

    √             

 

donde   pulgadas, ángulo mostrado en la figura. ¿Para qué valor(es) de cuadradas?

  pulgadas y

  se tiene que

  es el

  pulgadas

4.  Dos corredores, uno de 3 pies, y otro de 4 pies, se unen en ángulo recto, tal como se muestra en la figura. (i) Muestre que la longitud   de la escalera, como una función del ángulo   mostrado en la figura es  







En cálculo I se le pedirá que encuentre la longitud de la

 

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escalera más larga que puede girar alrededor de la esquina, resolviendo la ecuación .



(ii) ¿Cuál es la longitud de la escalera más larga que puede girar alrededor de la esquina? 5.  Se va a construir un canal para la lluvia, doblando una lámina de aluminio de 12  pulgadas de ancho. Luego de hacer marcas cada 4 pulgadas sobre la lámina se doblan las orillas, tal como se muestra en la figura. (i) Si los extremos se doblan un ángulo , muestre que el área   de la sección transversal del canal está dada por . (ii) En cálculo I se le  pedirá que encuentre el ángulo  que maximiza el área , resolviendo la ecuación

              .

¿Cuál es el área máxima de la sección transversal del canal? Cuando una masa se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal, sin fricción, realiza un movimiento de “va y viene” cuya forma corresponde a una curva senoidal. En los cursos de Física II y de Ecuaciones Diferenciales usted estudiará este tema  bajo el nombre de “Movimiento armónico simple”. En la figura se muestra una convención de signos empleada para asignar el signo de la posición de una masa   unida a un resorte.La figura muestra las distintas posiciones de la masa, a medida que avanza el tiempo, de izquierda a derecha. El valor  corresponde a “la posición de equilibrio”, es decir, la posición en que el resorte resorte no está ni estirado ni compr comprimido. imido. Puede imaginar que





está viendo “desde arriba” la mesa sobre la cual está colocado el sistema masa-resorte.

 

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        

Si



 representa la posición de la masa en cualquier instante , se puede demostrar que , donde   representa la frecuencia angular con la que



   



oscila la masa, la cual se relaciona con el período  de la oscilación por la fórmula

.

Para cada uno de los ejercicios 6 a 9 realice lo siguiente: (i) exprese la posición  en la , (ii) resuelva la ecuación para el valor  indicado, (iii) vea forma

   



la figura en la que se muestran las gráficas de la posición y el valor para el que se pide resolver la ecuación; obtenga los valores exactos de los instantes mostrados en dicha gráfica. 6. 

      

; resuelva para

      

;

está a continuación.

7. 

resuelva

correspondiente está a continuación.

 

. La gráfica correspondiente

para

 

.

La

gráfica

 

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8. 

         

; resuelva para

está a continuación.

9. 

    √  

;

resuelva

    

. La gráfica correspondiente

para

correspondiente está a continuación.

  

.5

10. En un mecanismo de reloj, como el que se muestra en la figura, el resorte en espiral unido a la rueda de  balance hace que ésta realice un movimiento armónico simple. El ángulo   que se desplaza el resorte es medido a partir de cierta recta de referencia que



corresponde cuando el resorte está relajado.

Se

La

gráfica

 

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                 



considera   si el desplazamiento es en sentido antihorario,   si el desplazamiento es en sentido horario, y   cuando el resorte resorte está está relajado. Si ,

(i)

exprese

la

posición

. (ii)Utilice la ecuación del inciso angular   en la forma anterior para encontrar los primeros dos instantes de tiempo en que el resorte está relajado. 11. Un resorte se encuentra unido a una pared y a una masa como se muestra muestra en la figura. figura. El extremo libre de la masa se une a un pistón, el cual ejerce una fuerza de fricción sobre la misma, por lo que ahora no se realizará un movimiento armónico simple. La posición   de la masa, en este ejemplo, está dada por la ecuación

√       √          

. (i) Exprese la posición de la

.(ii)Utilice la ecuación del inciso

masa en la forma

anterior para encontrar los primeros tres instantes de tiempo en que la masa pasa por la posición de equilibrio .

 Soluc  So lucii ones: nes:

          √                                                           

1.   y . Note que 2.  Enero, noviembre y diciembre. 3.  . 4.  (ii) 9.86 pies. 2 5.  (ii) A .79 pulg . 6. 

;

.

,

. Los instantes mostrados en la gráfica son, ordenados de menor a mayor:  y  segundos, respectivamente.

7. 

;

,

. Los instantes mostrados en la gráfica son, ordenados de menor a mayor:  y  segundos, respectivamente.

8. 

;

gráfica son, ordenados de menor a mayor: segundos, respectivamente.

. Los instantes mostrados en la  y

 

 

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  9. 

  √                   ;

,

. Los instantes mostrados en la gráfica son, ordenados de menor a mayor:  y  segundos, respectivamente.

 . (ii) sy  s.   √  .            11. (i)  (ii)  s,    s     s. 10. (i)

y