Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales 2014-II

Matemática II: Ecuaciones Diferenciales Lineales

2014-II

Ing. Industrial

  a    . Asuma que    > 0 a) Sea  la constante de proporcionalidad. Escriba una ecuación diferencial para ( ) y obtenga

1. Suponga que que la población  de bacterias en un cultivo al tiem po  cambia a una razón proporcional

la solución general.

1000 bacterias al tiempo  = 0 horas. Determine la constante  suponiendo además que hay 100 bacterias en  = 5  horas.

b) Encuentre la solución si hay c)

d) Determine

lim ()

→∞

2. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de población de

100  mil

organismos por pulgada

cuadrada. Se observó que un cultivo que abarcaba un área de una pulgada cuadrada a las

10: 10: 00 . .   del martes a aumentado a 3 pulgadas cuadradas para el medio día del jueves siguiente. ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a las 3:00 . .  del domingo siguiente, suponiendo que la densidad de población cambia a una tasa proporcional a sí misma? ¿Cuántas bacterias habrá el lunes a las

4:00 .. ?

3. Un termómetro se lleva al exterior de un laboratorio donde la temperatura ambiente es de

5

grados Fahrenheit. Al cabo de  minutos, el termómetro registra después, registra

70

60 grados Fahrenheit y, 5 minutos

54 grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura del exterior?

4. La policía descubre el cuerpo de una persona. Para resolver el crimen es decisivo determinar cuándo se cometió el homicidio. La forense llega al medio día y de inmediato observa que la temperatura del cuerpo es de del cuerpo ha disminuido a ha disminuido a constante a

30 grados Celsius. Espera una hora y observa que la temperatura

29 grados Celsius. Asimismo, observa que la temperatura del cuerpo

29  grados Celsius. Asimismo, Asimismo, observa que la temperatura de la

habitación es

27 grados Celsuis. Suponiendo que la temperatura de la víctima era de 37  grados

Celsuis en el momento de su fallecimiento, determine la hora en que se cometió el crimen.

ln2 = 0,69 ln3 = 1,09  y ln10 = 2,3 Consideremos un tanque que, para un tiempo inicial  = 0 , contiene   kg de sal disuelta en 100 litros de agua. Supongamos que en el tanque entra agua conteniendo 0,25 kg de sal por litro, a razón de 3 litros /minuto y que la solución bien mezclada sale del tanque a la misma velocidad. Indicación:

5.

Use las siguientes aproximaciones.

Hallemos una expresión que nos proporcione la cantidad de sal que hay en el tanque en un tiempo

. Hallemos también una expresión que nos proporcione la concentración de sal en el tanque en cada instante  . 6. Un estudiante portador de un virus de gripe gripe regresa a un campus universitario aislado que tiene tiene

1000 estudiantes. Al cabo de 4 días hay 50 estudiantes contagiados. Si se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al número de estudiantes contagiados y al número de alumnos no contagiados, determinar el número de estudiantes contagiados que habrá después

6

de  días. 7. Se ha determinado experimentalmente que la variación variación de peso de un tipo de pez varía según la ley 1

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Ing. Industrial

 = ⁄    Donde  = ()  representa el peso del pez y ,   son constantes positivas que caracterizan la especie. ¿Para qué valor del tiempo   le parece razonable autorizar la captura de peces de esta especie?

1000  /, el cual va a dar la única entrada de un lago de volumen 10   . Suponga que en el instante  = 0 , la fábrica de papel comienza a bombear contaminantes en el río a razón de 1  /  y que la entrada

8. Una fábrica de papel está situada cerca de un río con un fluido constante de

y salida de agua del lago son constantes e iguales. ¿Cuál será la concentración de contaminantes



en el lago en cualquier tiempo ?

210°   dejándose enfriar a la temperatura ambiente de 70°. Después de 30 minutos la temperatura del pastel es de 140°   ¿Cuándo estará a 100°  ?

9. Un pastel es retirado del horno a

10. Determine la solución general de cada ecuación diferencial. a) b) c) d) e) f) g) h) i)  j)

12′′  5 ′  2 = 0 3 ′′ +  = 0 ′′′ + 5 ′′  = 0 ′′′ + 3 ′′  4 ′  12 = 0 16 + 24 ′′ + 9 = 0   2 ′′ +  = 0   2  + 17 ′′′  = 0   16 ′  = 0  + 5   2 ′′′  10 ′′ +  ′ + 5 = 0 2   7  + 12 ′′′ + 8 ′′  = 0

11. Resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas. a)

  = 0,   = 2

′′ +  = 0 ,

′′′ + 2 ′′  5 ′  6 = 0 , (0) =  ′ (0) = 0,  ′′(0) = 1 c)    = 0, (0) = 2,  ′ (0) = 3,  ′′ (0) = 4, ′′′ (0) = 5 d)     3 ′′′  + 3 ′′    ′  = 0, (0) =  ′ (0) = 0,  ′′ (0) =  ′′′ (0) = 1 e)      = 0 , (0) =  ′(0) =  ′′ (0) = 3,  ′′′ (0) = 1 12.   =  −  cos   es una solución de ′′′ + 6 ′′ +  ′  34 = 0 b)

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial? 13. Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica, con coeficientes reales, son ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente?

2

 = 1/2 y   = 4 +  .