Aplicaciones Del Teorema de Pitágoras

 

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras   Objetivo de Aprendizaje ·  Usar el Teorema de Pitágoras para resolver problemas reales.   Introducción Pitágoras descubrió  descubrió y probó una propiedad interesante   Un matemático Griego llamado Pitágoras de los  los triángulos rectángulos rectángulos:: la suma de los cuadrados de los catetos, catetos, los lados que hipotenusa del  del triángulo, el lado forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa opuesto al ángulo recto. lgebraicamente, el teorema se escribe . !ste Teorema de Pitágoras Pitágoras  tiene muc"as aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingenier#a y la arquitectura.

 

!sta simple pero poderosa ecuación nos puede ayudar a me$orar nuestro conocimiento de la manipulación de n%meros con e&ponentes. ' como los triángulos rectángulos son tan comunes, nos ayudará a entender lo %til que es mane$ar t(rminos con e&ponenciales. )a me$or parte es * ni siquiera tenemos que "ablar Griego.   El Teorema de Pitágoras   Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la "ipotenusa antes de probar su teor#a.  

El Teorema de Pitágoras +i a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c  es  es la longitud de la "ipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la "ipotenusa.

  !sta relación está representada por la fórmula: Parece simple, pero intentemos con un triángulo rectángulo para ver si es cierto.  

 

  !l teorema es válido para este triángulo * la suma de los cuadrados de los catetos es la misma cantidad que el cuadrado de la "ipotenusa. ', de "ec"o, es válido para todos los triángulos rectángulos aunque, como puedes ver, no todas las medidas son n%mero enteros como -, , y /0.   1ota que el Teorema de Pitágoras no puede ser usado con cualquier triángulo * sólo aplica a los triángulos rectángulos rectángulos.. Encontrando la Longitud de la Hipotenusa   Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la "ipotenusa de un triángulo rectángulo si conocemos la longitud de sus catetos. !s decir, si conocemos las longitudes de a y b, podemos encontrar c .   2agámoslo.  

!n el triángulo de arriba, nos dan las medidas de los catetos a y b: / y 34, respectivamente. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c , la "ipotenusa.  

 

Ejemplo Problema

Encontrar c  cuando  cuando a  ! " b #$  

Teorema de Pitágoras

+ustituir a y b por los valores conocidos

   

+implificar 

 

5ombinar t(rminos seme$antes

 

5alcular la ra#6 cuadrada en ambos lados

Solución

  Usando la fórmula, encontramos que la longitud e de c , la "ipotenusa, debe ser 3-. unque e&isten dos valores posibles de c  que  que satisfacen la ecuación, 3- y 73-, las longitudes son siempre positivas, por lo que podemos ignorar el valor negativo.0   8Para cuál de los siguientes triángulos es

 

 0

0

9

 

50

;0

cultar la ?espuesta   Encontrando la Longitud de un %ateto   Podemos tambi(n usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo si nos dan las medidas de la "ipotenusa y del otro cateto. 5onsidera el triángulo siguiente:  

Para la longitud del cateto aalgebraico , podemospara sustituir los valores b y c  en  en la fórmula y luegoencontrar usar un poco de ra6onamiento calcular a.

 

  Ejemplo Problema

Encontrar a cuando b  & " c    '  

Teorema de Pitágoras

 

+ustituir  b y c por los valores conocidos

 

+implificar 

 

;espe$ar el t(rmino a

 

5alcular la ra#6 cuadrada en ambos lados

Solución

  @ -.A3 -.A3

 

es apro&imadamente -.A3

(sando el Teorema de Pitágoras para )esolver Problemas %otidianos   !l Teorema de Pitágoras es una de las fórmulas matemáticas más %tiles porque "ay muc"as circunstancias en el mundo real donde se puede aplicar. Por e$emplo, los arquitectos e ingenieros usan e&tensivamente esta fórmula cuando construyen rampas:   Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche está a 3 pies sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 1 pies de distancia con respecto al porche. !"u# tan larga debe ser la rampa$   Para resolver un problema como este, normalmente dibu$amos un diagrama simple que muestre los catetos y la "ipotenusa del triángulo.  

>bservando el diagrama, podemos identificar los catetos y la "ipotenusa del triángulo en el problema, +abemos que el triángulo es un triángulo rectángulo rectángulo porque  porque el suelo y la parte del porc"e son perpendiculares, * esto significa que podemos usar el Teorema de

 

 

Pitágoras para resolver este problema. 1os dan las longitudes de los catetos a y b, por lo que podemos usar esa información para encontrar la longitud de c , la "ipotenusa.   Ejemplo Problema

Encontrar c   cuando cuando a  * " b #  #$ Teorema de Pitágoras

 

+ustituir a y b por valores conocidos

 

+implificar  5ombinar t(rminos seme$antes

 

5alcular la ra#6 cuadrada en ambos lados

B

Solución

34.-C @ c 

 

)a rampa medirá alrededor de 34.-C pies.