Aplicaciones Del Teorema de Los Residuos para Calcular Integrales Reales

Aplicaciones del teorema de los residuos para calcular integrales reales 2π

Integrales del tipo

∫ R ( cos t , sen t ) dt 0

Suponemos que R es una función racional de dos variables continua en la circunferencia unidad. La idea para calcular esta integral por el método de residuos es convertirla en una integral sobre C(0,1) de una función compleja que también va a ser racional. Para ello recordemos que

sent=

eit −e−it e2 it −1 eit + e−it e 2 it + 1 = , cost= = 2i 2 2 ie it 2e it

Por tanto, se verifica que ❑

R

∫

C (0,1 )

(

2π

z 2+1 z 2−1 1 , dz=∫ R ¿ ¿ ¿ 2z 2 iz iz 0

)

En consecuencia, si notamos f ( z )=R

(

z 2 +1 z2 −1 1 . Tenemos que f(z) es una función , 2z 2 iz iz

)

racional por lo que sus únicas posibles singularidades son polos. Para calcular la integral solo nos interesan los polos que están dentro del disco unidad. Supongamos que estos son {z 1 , z 2 , … , z q } . El teorema de los residuos nos dice que 2π

∫ R¿¿ 0

Ejercicios propuestos Usando el teorema de los residuos calcula las siguientes integrales. 2π

1.- ∫ 0

2π

2.- ∫ 0

2π

3.- ∫ 0

2π

4.- ∫ 0

1 dx 2 1+3 cos x cos 2 φ dφ 5−4 cos φ 1 dt 2 15 sen t+1 1 dx ,( a , b , c ∈ R , a 2+ b2 0 , b¿¿ 2−4 ac