Aplicaciones del Calculo Diferencial

Aplicaciones del cálculo diferencial en las ciencias naturales, exactas y sociales Naturales: Ciencias naturales, ciencias de la naturaleza, ciencias físico-naturales o ciencias experimentales son aquellas ciencias que tienen por objeto el estudio de la naturaleza siguiendo la modalidad del método científico conocida como método experimental. Astronomía, el estudio de los objetos celestes y fenómenos que suceden fuera de la atmósfera terrestre. Biología, el estudio de la vida: Botánica, el estudio de los organismos vegetales. Ecología, el estudio de las relaciones entre los seres vivos y el entorno. Zoología, el estudio de los animales. Microbiología, el estudio de los microorganismos. Ciencias de la Tierra, el estudio de la Tierra: Geología estudio de la composición, estructura y dinámica del planeta Tierra. Geografía estudia las divisiones de los suelos en el planeta tierra Oceanografía estudia los océanos de todo el planeta. Física, el estudio de los constituyentes últimos del universo, las fuerzas e interacciones y las relaciones entre éstas. Química, el estudio de la materia, su composición, propiedades y estructura de las sustancias y de las transformaciones que sufren. Bioquímica, el estudio de los procesos y reacciones químicas en que se sustenta la vida

La exactitud de las ciencias naturales está argumentada y basada en que toda su teoría puede ser contrastada matemáticamente, es decir, al poseer un fundamento apoyado en la matemática, considerada la ciencia exacta perse, todos sus descubrimientos son ciertos, infalibles y una imagen fiel de la realidad que nos rodea. Este mismo argumento se suele usar para atacar a las ciencias sociales para no considerarlas como tales ciencias, defendiendo que sus teorías no pueden utilizar en su método las matemáticas

Los dos campos que más se usan habitualmente de las matemáticas en las ciencias son el álgebra y el cálculo, sobre todo el diferencial. Para poder hacer esto, se hace necesario que el científico opere de una manera singular. El cálculo necesita de drásticas reducciones, su objeto de estudio son sucesos y fenómenos que únicamente se pueden expresar linealmente, con funciones o curvas simples, periódicas y graduales. Funciones a la vez que deben cumplir con los postulados de derivación e integración. El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo El problema surge cuando uno comprueba que las funciones que maneja la naturaleza son ecuaciones no-lineales, funciones continuas que no admiten derivadas y por tanto tampoco pueden ser integradas. Las ciencias naturales han descubierto que los procesos básicos de la naturaleza no tienen un orden establecido, no hay una regularidad; más bien todo lo contrario, el caos y la libertad lo dominan todo. ANÁLISIS CRÍTICO No existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fenómeno del cambio. Podemos encontrar muchos ejemplos en nuestra vida cotidiana: la población de un país cambia a través del tiempo, la temperatura ambiental cambia durante el año, el área de un cuadrado con la longitud del lado, etc. El estudio de la variación lleva a construir uno de los conceptos más importantes del Cálculo: la derivada. El estudio de la derivada como tasa de variación o como razón de cambio tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo una de las más vistas y simples es la velocidad, razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Otras pueden ser, la tasa de crecimiento de una población de bacterias (ciencias naturales), la tasa de variación de una reacción química, velocidad de reacción (ciencias naturales). Todos estos ejemplos son casos especiales de un concepto matemático: la derivada

2. Tasa de variación instantánea. La derivada Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo). La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería . Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero,

es decir: A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0. = Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Aplicación física de la derivada Consideremos la función espacio E = E(t). La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t] es: : que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces: “La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea”. Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5. Solución v(t)=E’(t)= 2t -6, en el instante t =5 se tendrá: v(5)= 2.5 -6 =4 Ciencias exactas: En temas como la velocidad de una partícula en un momento determinado, la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta. Ciencias sociales: Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contra dominio. Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

La definición de función continua en un punto es la siguiente: para todo épsilon positivo existe un delta >0 de tal forma que para todo x /este a menos de delta de x0, la distancia de f(xa) f(x0) es menor que épsilon y una función se dice continua a secas si es continua en todo a una función se dice discontinua si existe al menos un punto donde no es continua. Dominio En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien. Rango Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango

va de -1 a +1. Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito. TIPOS DE FUNCIONES Función Constante Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante. Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos: Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas: Para valores de a iguales: Y=8Y=4,2Y=-3,6 La función constante como un polinomio en x es de la forma Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a. El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales "Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a. Es una Función Continua. ¿Qué significa la recta representa por la función y=0? Representa que la recta pasara por todo el eje X. Función lineal Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades: Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f(y), entonces f(x + y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la adición. Propiedad homogénea: f (ax) = af(x), para todo número real a. Esto hace que la homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional para establecer si la propiedad aditiva está establecida. En esta definición x no es necesariamente un número real, pero es en general miembro de algún espacio vectorial. Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado, con mostrar que la linealidad queda demostrada. El concepto de linealidad puede ser extendido al operador lineal. Ejemplos importantes de operaciones lineales incluyen a la derivada considerada un operador diferencial y muchos construidos de él, tal como el Palaciano. Cuando una ecuación diferencial puede ser expresada en forma lineal, es particularmente fácil de resolver al romper la ecuación en pequeñas piezas, resolviendo cada una de estas piezas y juntando las soluciones. Las ecuaciones no lineales y las funciones no lineales son de interés en la física y matemáticas debido a que son difíciles de resolver y dan lugar a interesantes

fenómenos como la teoría del caos. Función Cuadrática La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. Intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica Se llama función logarítmica a la función real de variable real: La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R: La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2"718281... Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma Se hallan por medio de la fórmula: Función Exponencial La función exponencial (de base e) es una función real que tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como donde e es la base de los logaritmos naturales. En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma Siendo números reales,. Se observa en los gráficos que si la curva será creciente. Función Ramificada Es aquella que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio. Ejemplo:

Respuesta: Observemos que el dominio de esta función está dividido, y el punto de división es x = 1. Cuadro comparativo entre las funciones