Aplicaciones de Series de Potencias

UNIVERSIDAD DE CUENCA Facultad de Ingeniería INVESTIGACIÓN GRUPO 5

TEMA: Aplicaciones de las series de potencias ESTUDIANTE: José Luis León Carrión

DOCENTE: Ing. Julio López

ASIGNATURA: Cálculo en varias variables

PERIODO ACADÉMICO: Septiembre 2017 – Febrero 2018

José Luis León Carrión 1. Aplicaciones de los desarrollos en series de potencias 1.1. Cálculo de sumas de series numéricas Podemos utilizar el polinomio de McLaurin, caso especial de la serie de Taylor que tiene centro en 0, para hallar el valor de algunas series numéricas. (Meló, 2017) ∞

𝑓 (𝑛) (0) 𝑛 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑥 → 𝑛! 𝑛=0

∞

𝑥𝑛 𝑒 =∑ 𝑛! 𝑥

𝑛=0 ∞

ln 2 (ln 2)2 (ln 2)3 (ln 2)𝑛 1+ + + +⋯= ∑ = 𝑒 ln 2 = 2 1 2 6 𝑛! 𝑛=0

1.2. Aproximación de funciones por polinomios A continuación se muestra el polinomio de McLaurin para la función exponencial. ∞ 𝑥

𝑒 =∑ 𝑛=0

𝑥𝑛 𝑥 𝑥2 𝑥3 =1+ + + +⋯ 𝑛! 1 2! 3!

1.3. Cálculo aproximado de integrales Sabemos que la función cos(𝑥 2 ) no tiene primitiva elemental, por la tanto, no podemos 1

calcular la integral con las herramientas del cálculo de una variable ∫0 cos(𝑥 2 ) ⅆ𝑥, entonces haremos una aproximación al valor de esa integral, por medio de las series de potencias, específicamente el polinomio de McLaurin. (Stewart, 2012) ∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

(−1)𝑛 2𝑛 (−1)𝑛 4𝑛 cos(𝑥) = ∑ 𝑥 ⩝ 𝑥 ∈ 𝑅 → cos(𝑥 2 ) = ∑ 𝑥 (2𝑛)! (2𝑛)! 1 ∞

1

∞

1 (−1)𝑛 4𝑛 (−1)𝑛 4𝑛 ∫ cos(𝑥 ) ⅆ𝑥 = ∫ ∑ 𝑥 ⅆ𝑥 = ∑ ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 (2𝑛)! 0 0 0 (2𝑛)! 2

𝑛=0

𝑛=0

∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

(−1)𝑛 (−1)𝑛 1 4𝑛 1 1 1 ∑ ∫ 𝑥 ⅆ𝑥 = ∑ = 1− + − +⋯ (2𝑛)! (4𝑛 + 1) (2𝑛)! 0 2! 5 4! 9 6! 13

Aproximando hasta 𝑛 = 3 1

∫ cos(𝑥 2 ) ⅆ𝑥 ≈ 1 − 0

1 1 1 + − = 0.904522792 2! 5 4! 9 6! 13

1.4. Aproximación de números irracionales ∞

ln(1 + 𝑥) = ∑ 𝑛=1 ∞

∑ 𝑛=1

(−1)𝑛+1 𝑛 𝑥 ↔ −1 < 𝑥 ≤ 1 𝑛

(−1)𝑛+1 1 1 1 1 1 36 = 1 − + − + − + ⋯ = ln(2) ≈ = 0.616̂ 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 6 𝑛 2 3 4 5 6 60

José Luis León Carrión 2. Funciones sin primitiva elemental 2.1. Funciones trascendentes sin primitiva elemental 2.1.1. Si p(𝑥) es un polinomio de grado n ≥ 2, entonces la integral no es elemental.

(Mora, 2015) ∫ e𝑃(𝑥) ⅆ𝑥 2.1.2. Si p(𝑥) es un polinomio de grado n ≥ 2, entonces las integrales no son elementales. (Mora, 2015) ∫ cos[𝑝(𝑥)] ⅆ𝑥, ∫ sen[𝑝(𝑥)] ⅆ𝑥 2.1.3. La función 𝜋(𝑥), definida como la cantidad de números primos menores o iguales a x, cuyo integrando tampoco se puede expresar en términos de funciones elementales. (Mora, 2015) 𝑥

∫ 2

𝟐. 𝟏. 𝟒. ∫

ⅆ𝑡 log(𝑡)

𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⅆ𝑥 𝑥

𝟐. 𝟏. 𝟓. ∫ log(log 𝑥)ⅆ𝑥 𝟐. 𝟏. 𝟔. ∫ ex log 𝑥 ⅆ𝑥 𝟐. 𝟏. 𝟕. ∫

𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⅆ𝑥 𝑥 x

𝟐. 𝟏. 𝟖. ∫ ee ⅆ𝑥 𝟐. 𝟏. 𝟔. ∫ √𝑠𝑒𝑛(𝑥)ⅆ𝑥 2.2. Funciones algebraicas sin primitiva elemental 2.2.1. Si 𝑞(𝑥) es un polinomio con grado deg[𝑞(𝑥)] = 𝑛 ≥ 3 y que sólo tiene raíces 𝑚 simples y 𝑝(𝑥) es otro polinomio tal que deg[𝑝(𝑥)] < 2 − 1, entonces la integral no es elemental. (Ivorra, 2013) 𝑝(𝑥) ∫ ⅆ𝑥 √𝑞(𝑥)

José Luis León Carrión 2.2.2. Si 0 < 𝑘 < 1, la integral elíptica de primera especie no puede expresarse como combinación de funciones elementales. (Ivorra, 2013) 1 − 𝑘2𝑥2 ∫ ⅆ𝑥 √(1 − 𝑥 2 )(1 − 𝑘 2 𝑥 2 ) 2.2.3. Las integrales binómicas ∫ x k (𝑏 + 𝑎𝑥 ℎ )𝑞 ⅆ𝑥 con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑦 ℎ, 𝑘, 𝑞 ∈ 𝑄 es elemental si y sólo si al menos uno de los tres números es entero. (Ivorra, 2013) 𝑘+1 𝑘+1 𝑞, , +𝑞 ℎ ℎ 𝟐. 𝟐. 𝟓. ∫ √1 + 𝑥 3 ⅆ𝑥 Todas las integrales que resulten de hacer cambios de variable en las anteriores, también serán no elementales. 2.3. Intento de resolución de una integral no elemental 𝑰=∫

𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⅆ𝑥 𝑥

Integrando por partes 𝑰=−

𝑐𝑜𝑠(𝑥) cos(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) −∫ ⅆ𝑥 = − + +∫ ⅆ𝑥 → 𝐼 = 𝐼 → 0 = 0 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

Luego se 𝑰 vuelve una integral cíclica de la que no podemos despejar 𝑰, por lo tanto, nunca se llegará a una solución. 3. Representación de los números irracionales más con Series de potencia En la siguiente sección se representaran números irracionales más comunes y representativos en las matemáticas; tales como: √2, 𝜋, 𝑒, ln(2). ∞

𝟑. 𝟏 𝑒 = ∑ 𝑛=0

1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ⋯ ≈ 1 + + + + = 2.7083 𝑛! 1 2! 3! 1 2! 3! 4! 𝑒 ≈ 2.7083 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 6 ∞

(−1)𝑛+1 𝑛 𝟑. 𝟐. ln(1 + 𝑥) = ∑ 𝑥 ↔ −1 < 𝑥 ≤ 1 𝑛 𝑛=1

∞

ln(2) = ∑ 𝑛=1

(−1)𝑛+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 36 =1− + − + − +⋯≈1− + − + − = 𝑛 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 60 ln(2) ≈ 0.616̂ 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 6

José Luis León Carrión ∞

𝟑. 𝟑 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = ∑ 𝑛=0

(2𝑛)! 4𝑛 (𝑛!)2 (2𝑛

+ 1)

𝑥 2𝑛+1 ∞

(2𝑛)! 1 𝜋 1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) = → 𝜋 = 6𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( ) = 6 ∑ 𝑛 2 2 6 2 4 (𝑛!) (2𝑛 + 1)(2)2𝑛+1 𝑛=0

∞

𝜋 = 3∑ 𝑛=0

(2𝑛)! 42𝑛 (𝑛!)2 (2𝑛

+ 1)

≈ 3+

3 3 3 + + = 3.127361 24 1280 172032 𝜋 ≈ 3.127361

La aproximación es más cercana cuando se toma más valores de n. ∞

(−1)𝑛 (2𝑛)! 𝟑. 𝟒. √1 + 𝑥 = ∑ 𝑛 𝑥𝑛 4 (𝑛!)2 (1 − 2𝑛) 𝑛=0

1 1 1 5 1 1 1 5 179 + +⋯≈ 1+ − + + = √2 = 1 + − + 2 8 16 128 2 8 16 128 128 √2 ≈

179 = 1.3984375 128

La aproximación es más cercana cuando se toma más valores de n.

José Luis León Carrión 4. Bibliografía Ivorra, C. (22 de 2 de 2013). Funciones sin primitiva elemental. Obtenido de Universidad de Valencia: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Primitivas.pdf Meló, A. (2017). Aplicaciones de los desarrollos en serie de potencias. Obtenido de Riunet.upv.es: http://hdl.handle.net/10251/83028 Mora, W. (Marzo de 2015). Tecnológico de Costa Rica. Obtenido de https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Secciones/Matematica_Algoritmos _Programacion/RevistaDigital_Mora_V15_n2_2015/RevistaDigital_Mora_V15 _n2_2015.pdf Stewart, J. (2012). Cálculo de varias cariables. Trascendentes tempranas. Séptima Edición. Santa Fe: Cengage Learning .