Aplicaciones de Multiplicadores de Lagrange

SESION 8 Y 9 TEMA: APLICACIONES DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. I. OBJETIVOS DE LA SESION: Al término de la sesión el alumno debe ser capaz de: • Encontrar los máximos o mínimos de problemas de aplicación con restriscción.

II. TEMAS: Ejemplo 1: Una compañía planea gastar 10.000 dólares en publicidad. Cuesta 3.000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1.000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por f ( x, y ) = −2 x 2 − y 2 + xy + 8 x + 3 y . ¿Cómo puede la empresa maximizar su ingreso? Solución: Se tiene el programa no lineal siguiente Maxz = −2 x 2 − y 2 + xy + 8 x + 3 y s.a 3 x + y = 10

Entonces L( x, y, λ ) = −2 x 2 − y 2 + xy + 8 x + 3 y + λ (10 − 3 x − y ) Hacemos

∂L ∂L ∂L = = =0 ∂x ∂y ∂λ

∂L = −4 x + y + 8 − 3λ = 0 (Ec. 1) ∂x ∂L = −2 y + x + 3 − λ = 0 (Ec. 2) ∂y ∂L = 10 − 3 x − y = 0 (Ec. 3) ∂λ Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da y = 3λ − 8 + 4 x y la ecuación (2) da x = λ − 3 + 2 y Así, y = 3λ − 8 + 4(λ − 3 + 2 y ) = 7λ − 20 + 8 y , o 20 y= −λ (Ec. 4) 7  20  19 (Ec. 5) x = λ − 3 + 2 − λ  = − λ  7  7

El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

1 . Entonces (4) y (5) nos dan 4 − − 20 1 73 19 1 69 − = y= ; x= − = 7 4 28 7 4 28

Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o 4λ − 1 = 0 ⇒ λ =

El hessiano para f ( x, y ) es

− 4 1  H ( x, y ) =   =7  1 − 2 Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y H 2 ( x, y ) = 7 > 0 , f ( x, y ) es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal.

Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = ¼ , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles). En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar 11 − a que λ = . Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso por 4 cada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño. Ejemplo 2: Tres estudiantes de Ingeniería Comercial se asocian para importar dos tipos de bebidas energéticas. Cuentan con U$8.000, para realizar la importación de las bebidas. Si x son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Holanda, estiman que venderán 12 x unidades de esta bebida, a un precio de U$200. cada una. x+6 Si y son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Alemania, estiman que venderán 24 y unidades, a un precio de U$200. cada una. y+3 Si el costo por unidad vendida de cada bebida es de U$50.-. a) Determine cuantas unidades de cada bebida energética deben importar para maximizar su utilidad. b) Determine la utilidad máxima. Solución:  12 x   24 y   24 y    12 x  200 −  50 a) U ( x, y ) = I ( x) − C ( x) =  200 +  50 +   x +6  y + 3  y + 3   x + 6  s.a. 50 x + 50 y = 8.000  24 y   12 x  150 + λ (50 x + 50 y − 8.000) L ( x, y , λ ) =  150 +   x+6  y + 3 El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

∂L 10.800 = + 50λ = 0 ∂x ( x + 6) 2 ∂L 10.800 = + 50λ = 0 ∂y ( y + 3) 2 ∂L = 50 x + 50 y − 8.000 = 0 ∂λ

⇒ se obtiene y = 81,5 ; x = 78,5

 12 ⋅ 78,5   24 ⋅ 81,5  b) U (78,5;81,5) =  150 +  150 = 5.144,7 dólares  78,5 + 6   81,5 + 3 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se dispone de 20 unidades de un bien para vender en 2 mercados independientes. En cada mercado, las demandas por este bien están dadas por las siguientes ecuaciones: p1 = 40 − x1

p 2 = 50 − 2 x 2

Donde pi es el precio de venta en el mercado i y xi es la cantidad vendida en el mercado i. a) Plantee el problema de decisión correspondiente. b) Caracterice el óptimo. c) ¿Cuales serán los precios que de este optimo? 2. En una cierta Empresa se producen 2 artículos los cuales son sometidos a un estudio para ver su reacción a variaciones en cuanto a cantidades producidas. Si del articulo A se produce “x” toneladas y del articulo B se produce “y” toneladas, se sabe además que se producen a un costo de US$ 5 y US$ 2 respectivamente. El Presidente de la Empresa le confiere la tarea de buscar la optimización de las Ventas de estos artículos contando con US$ 6500 para la producción de ellos. Este le dice que la ecuación más representativa de las Ventas gracias a un estudio realizado por el Departamento de Estadísticas de la Empresa es V ( x, y ) = 500 ⋅ x 0,3 y 0,7 ¿Cuál es la respuesta que dará al Presidente de esta Empresa?

3. Para probar su pericia el Presidente le indica que los costos han cambiado a US$ 3 para “y” y US$ 7 para “x” y el Departamento de Estadísticas le entrega una nueva función de Producción mejorada V ( x, y ) = 600 ⋅ y x , la cual debe ser igual a 4000 toneladas. ¿Cuál es su respuesta en esta ocasión?

4. La utilidad que se obtiene en un negocio al vender la cantidad de x pinceles e y frascos de tinta está representada por la ecuación U ( x, y ) = 50 y x 3 . Si se sabe que la producción esta restringida por la relación x + y = 70 . Determine la utilidad máxima. El usuario solo podrá utilizar la información entregada para su uso personal y no comercial y, en consecuencia, le queda prohibido ceder, comercializar y/o utilizar la información para fines NO académicos. La Universidad conservará en el más amplio sentido la propiedad de la información contenida. Cualquier reproducción de parte o totalidad de la información, por cualquier medio, existirá la obligación de citar que su fuente es "Universidad Santo Tomás" con indicación La Universidad se reserva el derecho a cambiar estos términos y condiciones de la información en cualquier momento.

5. La función de producción de una empresa de servicios esta dada por f ( x, y ) = 5007 x 4 7 y 3 donde x representa las horas extras mensuales, pagadas a US$ 20 la hora, e y representa el número de horas mensuales en horario normal, pagadas a US$ 35 la hora. Si se sabe que el pago total mensual por las horas trabajadas es de US$ 6000, calcular el nivel máximo de producción para esta empresa. 6. Un agricultor dispone de US$ 800 para invertir en gastos de fertilización. El primero de ellos corresponde a Urea, la cual tiene un valor de US$ 15 el saco de 100 kg, el segundo de ellos es Súper Fosfato Triple (SFT) el cual tiene un valor de US$ 20 el saco de 100 kg. Suponga que la utilidad obtenida por el 3 1 agricultor está dada por la función U ( x, y ) = 25 x 4 y 4 , donde x es la cantidad de sacos de Urea que necesita e y es la cantidad de sacos de SFT que necesita. ¿Cuántos sacos de Urea y de SFT debe comprar el agricultor para maximizar la utilidad?. Respuestas: Los puntos son de la forma P ( x, y, z , λ ) .

1.

 35 Max ,  3

3.

5.

25 1825 50  , , −  3 3 3

2.

Max(390, 2275, 670156.705, − 103.1)

Min(1.27, 5.92, 26.65, − 0.00444)

4.

 35 105  Max , , 6815.15, − 129.81 2  2 

 1200 3600  Max , , 59613.08, − 9.94  49  7 

6.

Max(40, 10, 707.12, − 0.884)

III. ACTIVIDAD PREVIA:

Lectura de la sesión Nº 06. IV. METODOLOGIA DE LA SESION:

Trabajo grupal: Desarrollo y discusión de ejercicios resueltos. V. LECTURA POST SESION:

Trabajo grupal e individual: resolución de ejercicios propuestos. Larson, Cálculo, vol II, Pag. 1073

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