Aplicaciones de Los Numeros Complejos

 

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS CON CABRI Los números complejos naceron en el s!lo "#I$ en el con%e&%o al!e'raco (e la resol)c*n (e las ec)acones (el +, - ., !ra(os/ D)ran%e m0s (e (os s!los$ s)s  prope(a(es 1)eron (esarrolla(as$ pero (e eran %ra%a(oso1ens2os$ como mons%r)os sn sen%( sen%(o$ o$ 7as%a )sa(os con 2er!3en4a$ - acompa5a(os nom'res 6)e permaneceron 7o- en n)es%ra nomencla%)ra como 8ma!naros9/ Solamen%e al pasar (el s!lo "#III  para el s!lo "I"$ !racas a :essel$ :essel$ Ar!an( - Ga)ss$ se compreen(* 6) 6)ee los complejos no %enen na(a (e 8rreal9/ Son apenas los p)n%os ;o 2ec%ores< (el plano$ 6)e se s)man  por composc*n (e %raslacones$ - 6)e 6)e se m)l%plcan por composc*n (e ro%acones 7omo%ecas/ Ac%)almen%e -a es 'as%an%e claro el papel cen%ral 6)e ejercen los números complejos en las ma%em0%cas$ as= como s)s nnúmeras )%l(a(es/ El 8secre%o9 es%0 en la m)l%plcac*n (e los complejos$ 6)e es esencalmen%e )na composc*n (e ro%acones/ Es por eso 6)e los complejos aparecen ne2%a'lemen%e en m)c7os pro'lemas 6)e en2)el2en ro%ac*n$ c=rc)lo$ 1)ncones 8crc)lares9;%r!onom>%rcasc%rcos$ corren%e al%erna(a$ as%ronom=a mo%ores/ Pero$ pasa(os m0s (e (os s!los$ es%a 2s*n !eom>%rca %o(a2=a no se 7alla ncorpora(a a la ense5an4a/ Permanece como manera m0s común (e n%ro()cr los complejos el a'or(aje p)ramen%e al!e'raco - 1ormal? 8@n número complejo es )n o'je%o (e la 1orma a   '$ '$ (on(e a - ' son reales$ F$ - permanecen man%en(as las le-es '0scas (el 0l!e'ra9/ Es%a (e1nc*n es correc%a - le perm%e al ncan%e empe4ar nme(a%amen%e a operar con complejos sn (1c)l%a($ pero en es%e en1o6)e se per(e la ma!n=1ca opor%)n(a( (e  presen%ar los complejos nme(a%amen%e como en%es !eom>%rcos$ !eom>%rcos$ - la e&perenca (e clase nos m)es%ra 6)e m)c7as 2eces es%a opor%)n(a( no se rec)pera$ a)n6)e c)an(o$ m0s %ar(e$ aparece la 81orma %r!onom>%rca9/ El ncan%e permanece con )na 2s*n e&ces2amen%e 1ormal - al!e'ra4an%e$ - no se le oc)rre aplcar conocmen%os (e números complejos a pro'lemas (e Geome%r=a$ como se 7ace (es(e Ga)ss/ A(em0s$ la Geome%r=a Dn0mca a!re!* )n n)e2o 7or4on%e a la 2s)al4ac*n !eom>%rca (e los números complejos$ perm%en(o 2er1car prope(a(es$ %es%ar conje%)ras$ - ser2rse (e la 2en%aja (el mo2men%o o1rec(o por la anmac*n/ En el  presen%e mnc)rso$ los números complejos complejos aparecen (e pron%o como p)n p)n%os %os ;o 2ec%ores< (el plano ;aH'%rca$ se 7acen aplcacones a pro'lemas (e Geome%r=a - se )%l4a el 8Ca'r9 para l)s%rar prope(a(es - resol2er pro'lemas/ Los par%cpan%es rec'en )n %e&%o 6)e con%ene )na s)ces*n (e ejerccos$ para pos'l%ar el (esc)'rmen%o/ Los complejos como )n c)erpo (e números 7as%a a7ora$ 7emos (e1n(o$ en el conj)n%o C (e los números complejos$ las operacones (e a(c*n - m)l%plcac*n$ (e ac)er(o  ∙

con las re!las? ;aH'%rco K4 ;FaHF'< para la a(c*n -$ s es no n)lo$ %ene n2erso  4/ En el len!)aje (el 0l!e'ra$ es%o s!n1ca 6)e ;C$

  ∙

< eess )n c)erpo/

Son 20l(as para números complejos %o(as las prope(a(es )s)ales (e c)al6)er c)erpo$ 2

2

- es n%eresan%e )sar Ca'r para l)s%rarlas$ como ( a ; b ) =( a − b

2

; 2 ab )

$ por

ejemplo/ Los complejos como extensión de los reales Cons(eran(o solamen%e los complejos s%)a(os en el eje " $ es%o es$ los (e la 1orma ;&Hc%rca$ cen%rales 7(roel>c%rcas/ Por s)s componen%es reales e ma!naras se )san para 1acl%ar el es%)(o (e car!as so're 2!as ;para los ar6)%ec%os e n!eneros c2lescnco/

El Teorema Fundamental del Álgebra Como se 7a (c7o en la In%ro()cc*n$ los números complejos naceron en )n con%e&%o (e resol)c*n (e ec)acones polnomales ;%am'>n llama(as ec)acones al!e'racasrmnos (e sol)cones (e ec)acones/ Bas%a 2er el ejemplo (e la ec)ac*n &   $$ 6)e no %ene sol)c*n real ;en R $ )n c)a(ra(o no p)e(e ser ne!a%2on al!)na ec)ac*n polnomal 6)e no %en!a sol)c*nY La resp)es%a es no$ como m)es%ra el Teorema )n(amen%al (el `l!e'ra? En el conj)n%o (e los números complejos$ %o(a ec)ac*n polnomal (e !ra(o pos%2o %ene sol)c*n/ Es%e %eorema$ a)n6)e -a 1)ese conoc(o - )%l4a(o an%es$ 1)e (emos%ra(o por Ga)ss$ en s) %ess (e (oc%ora(o$ c)an(o %en=a  a5os$ en \ZZ/ A pesar (e llamarse Teorema )n(amen%al (el `l!e'ra$ s) (emos%rac*n en2)el2e concep%os (e An0lss ;como la noc*n (e con%n)(a(< -$ por es%o$ es sempre rele!a(a a c)rsos s)perores m0s a2an4a(os/ Sn em'ar!o$ la !eome%r=a (n0mca perm%e 2s)al4ar es%e %eorema (e mo(o a(mra'le/ La (ea presen%a(a a se!)r pro2ene (e )na c7arla pro1er(a en Ar!en%na por JeanF Mare La'or(e$ cra(or (el Ca'r/ La l)s%rac*n se 7ar0 con )n polnomo (e %ercer !ra(o$ pero el lec%or p)e(e perc'r 6)e la (ea ser=a la msma para c)al6)er o%ro !ra(o/

 

 z ) = c  z + c  z + c  z + c $ @n polnomo !en>rco (e %ercer !ra(o es (e la 1orma   P ( z 3

2

3

2

1

0

(on(e c+  / S)s ra=ces son las ra=ces (e la ec)ac*n

 P ( z  z )= c 3 z

3

2

+ c  z + c  z + c = 0  $ 2

1

0

(on(e po(emos (2(r am'os los la(os por c +$ lo 6)e e6)2ale a s)ponerc+ / Se  p)e(e %am'>n 2er1car 6)e$ 7acen(o en la ec)ac*n 4+   c 4   c 4  c   c  el cam'o (e 2ara'le   z =w −c $ el polnomo res)l%an%e en  no %ene %>rmno en   - %ene ra=ces 2

s - solo s p;4< lo %ene$ (e mo(o 6)e po(emos s)poner %am'>n c / / Por es%o$ no 7a p>r((a (e !eneral(a( en %ra'ajar con p;4< 4+ c 4   c / #amos a s)poner c     ≠ $ -a 6)e s c  $ $ es e2(en%e 6)e  ser=a ra=4 (e p;4c%rco sa'e (e c)an%os amperes neces%a poner )n 'raer/ Por s)s componen%es reales e ma!naras se )san para 1acl%ar el es%)(o (e car!as so're 2!as;para los ar6)%ec%os e n!eneros c2les