Aplicaciones de las integrales dobles

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULT FACULTAD AD DE INGENIER INGENIERÍA ÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA AGROINDUSTRIAL AGROINDUSTRIAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL MATEMATICA MATEMATICA III II I UNIDAD II: INTEGRACION INTEGRAC ION MULTIPLE MULTIPLE MASA DE UNA LAMINA PLANA DE DENSIDAD VA VARIABLE δ 

Si (x,y) es una función continua de densidad sobre la lámina D ( D entonces la masa m de la lámina, está dada por:

⊂

 R

2

),

❑

M=

∬ δ ( x , y ) dA  D

CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE Si δ ( x , y )  es una función de densidad continua en una lámina correspondiente a una región plana D, entonces los momentos con respecto a los ejes  e ! son, respecti"amente#  M  x

 =

∬  yδ ( x , y ) dA  D

y

 M  y

 =

∬ xδ  ( ( x , y ) dA  D

$demás si %m& es la masa de la lámina, EL CENTRO DE MASA  es: (  x´ , ´ y )  x´

 =

 M  y  M 

 y´

 =

 M  x  M 

 'ota: si δ ( x , y )  es constante el punto (  x´ , ´ y ) se le llama centro de graedad de la región D (o centro!de)#

MOMENTOS DE INERCIA DE UNA LAMINA PLANA DE DENSIDAD VARIABLE

Sea : axbyc =* una recta en  R δ ( x , y )

2

 y p un punto interior de una lámina D

⊂ R

2

# Si

 es una función de densidad continua en una lámina D, definimos:

+l momento de inercia de la región plana D (lámina) respecto a la recta  es:

+n particular, los momentos de inercia de la lámina respecto a los ejes  e !

 I  x

∬  y δ ( x , y ) dxdy 2

 =

 I  y

 D

 =

∬ x

2

δ ( x , y ) dxdy

 D

+l momento polar de inercia alrededor del origen  está dado por:  x

¿ (¿ 2 + y ¿¿ 2) δ ( x , y ) dxdy  I  ¿  = ❑ ∬¿ 0

 D

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional   puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. a descripci!n tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como  por ejemplo en mo"imientos girosc!picos. El momento de inercia refleja la distribuci!n de masa de un cuerpo o de un sistema de  partículas en rotaci!n, respecto a un eje de giro

E"e#$%o &: +ncontrar la masa y el centro de masa de la lámina en la forma de una región rectangular acotada por las rectas x = -, y = . y los ejes coordenados# Si (x,y) = x

y

2

δ 

δ 

Sea:

(x,y) = x

y

2

# ❑

∬ δ ( x , y ) dA → Formula

M= ❑

❑

M=

∬ δ ( x , y ) dA =∬ x y dydx

M=

∬ δ ( x , y ) dA =¿

3

0

0

3

4

∬  yδ ( x , y ) dA

 =

❑

❑

∬  y δ   D

3

0

 =

3

 (

3

2

−0 2 ¿

∫∫ x y dydx 0

4

 =

0

∫ 14  xy |dx 4

 =

0

0

3

16

∬  yδ ( x , y ) dA = 4 ∫ x ( 2 −0 ) dx 4

3

3

 =

x

 D

2

3

 D

3 2

∬  y x y dy dy

(x,y)dydx=

 D

1

 =

0

4

3

2

∬  yδ ( x , y ) dA =∬ x y dydx

 =

=

|

2

 x

❑

3

❑

8 1

∫ xdx 3

❑

 D

 D

2

 dx

 '() = &*

3

❑

 M  x

8

3

0

 D

 =

0

∫ x ( 2 −0 ) dx 3

M = ∬ δ ( x , y ) dA =¿

 M  x

=

2 0

3

3

1

 D

 =

3

2

 D

❑

 M  x

2

∫∫ x y dxdy =∫ 13  xy |

2

 D

 D

∫ xdx= 4. 12  x |30 2

4

0

❑

 M  x

 = ∬  yδ ( x , y ) dA =2 (3 − 0 )  = 2

2

2

 D

❑

 M  y

∬ x  D

 D

❑

 M  y

❑

∬ x δ ( x , y ) dA =¿

 =

1

3

x

y dydx

3

 D

2

3

=

0

∫∫ x  y

 = 8

3

2

2

2

∬ x δ ( x , y ) dA = 3 ∫ x ( 2 −0 ) dx

 =

'()= &+ 0

dydx

=

0

3

∫ x dx 3

8 1

2

0

2

.  x

=

3 3

 x´

 =

 =

∬ x δ ( x , y ) dA = 89 .27  D

 M  y  M 

=

24 12

 = *

 = ./

 y´

 =

 M  x  M 

=

18 12

=

3 2

e,

3

2  x  y | ∫ 3 0

|3 = 0

3

❑

 M  y

1

2

3

0

8 9

(

3

3

dx 3

−0 ¿

3

Entonce, e% Centro de Ma,a e,: '*-

)

2

E"e#$%o *:  +ncontrar el momento de inercia en los ejes  e ! de la lámina 3

0omog1nea de la forma de la región acotada por y = δ 

densidad es

4

 x, x = / y el eje , si la

δ 

(x,y) =

E"e#$%o *: +ncontrar el momento de inercia de la lámina 0omog1nea de la forma de la región 3

acotada por y =

4

 x, x = / y el ej ,

 I  y

con re,$ecto a% e"e . si la densidad es

 x  = ∬

2

δ 

(x,y) = δ 

δ ( x , y ) dA

 D

 x

¿

¿ 2 δ  ¿ ¿ 3 x 4

∫¿

2

 x  y

 dy2dx =

¿

δ 

4

∫¿

2

3 x 4

dx

0

0

o 4

∫¿ 0

3 x 4

δ 

3 δ 

4

 3 *2dx = 4  ∫ x dx =

2

 x ¿ 4

3

0

∫¿

3 δ  4

4

 x

4

4

2

4 0

0

=

3 δ  16

4

4

4

5

4

0

2=

3 δ  16

4

2

4 .4

2

2 = /+

δ 

E"e#$%o 0: +ncontrar el momento de inercia de la lámina 0omog1nea de la forma de la región acotada por la parábola:  x =/5/y y el eje  , si con re,$ecto a% e"e 1 si la densidad es : 2

δ  (x,y) =

δ 

❑

 I  x

 y δ ( x , y ) dA  = ∬ 2

 D

2

4 − x 4

∫  y δ  2

 I  x

0

 =

¿

dy2dx

2

∫¿ −2

4

¿  I  x

2

4

3

 y

4 − x

3

¿

 =

− x

4

2

2

∫

δ  ¿

2

0

−2

 dx =

¿ ¿ ¿3 ¿ ¿ δ 

dx

2

∫¿

3 −2

¿ ¿  I  x

 I  x  I  x

 I  x

 =

 =  =  =

δ 

2

x

∫ ¿ 6/5/7

2

8.

192 −2

δ  192

δ  192

δ  192

 46/x 5 86

x

3

4

x − x

12



5

 x

6

)dx

 x

5

5

7

7

12

46/(/) 586(86)  12

4

5 64

¿

4

 5

7

)2=

5

δ  3

(

2 −2

2

1

(6/)5 84− 20 35

7

(.96)2

)=

64 δ  105

'Ver!2!car)

CALCULO DE AREAS . VOLUMENES asta a0ora 0emos 0ec0o los cálculos matemáticos en integrales dobles y se 0a explicado los conceptos de las integrales dobles, "eamos a0ora estas aplicaciones# ;eamos la siguiente función en . "ariables# Se puede 0acer el cálculo de tres aplicaciones , continua en la región cerrada D, tal , continua en la región cerrada D# +l

"olumen del solido S bajo la superficie ? = f(x,y), funciones continuas en la región cerrada D ∀

,

  (x,y)

∈

y

D# entonces el "olumen del solido S limitado

superiormente por la gráfica de la superficie ? = f(x,y) e inferiormente por la gráfica de la superficie ? = g(x,y), está dada por: ❑

;(S) =

[ f  ( x , y ) −g ( x , y ) ] dxdy = ∬  D

 'ota# +n estas fórmulas el sólido se proyecta sobre el plano ! f(x,y) ser@a el %Aec0o& y g(x,y) seria la %base o piso&#  'A$: Debemos indicar pta# ; =

16  u 15

√ 5

'Ver!2!car)

G# a región D limitada por: .xy = ., .x-y= 6 , y = *# Hira alrededor de la recta xy = -# Determine el "olumen del solido pta# M =

a

6

F #M = (

2a 2a 5

,

5

)

2

88# na lámina tiene la forma de la región: D = K(x,y) ∈  R I  x + y ≤ 9 , y ≥ 0 L y su densidad en cada punto de 2

la lamina es

δ ( x , y )

2

2

2

 x + y

=

2

#allar el centro de masa de la lamina#

Nota: co#o e, ,!#tr!ca re,$ecto a a% e"e . ,e t!ene 8e ,o%o ,e de;e a%%ar  y´ 3

>pta# M = (*, ./I9

 

 x´

=>

)

Determine el centro de masa de la placa plana limitada por las 8.# curvas 2  y y x= -1 , x = 2 -2, cuya δ  (x,y) = 1 2

Rpta. C.M(

 x´ ,  ´  y ¿

 =(

−6 5

, 0)

8-# Determine el momento de inercia, placa plana limitada por las curvas 2  I   I  x =  y -1 , x = 2 y -2, cuya δ  (x,y) = 1. Halle  x  e  y 2

Rpta.  I  y

 I  x 32

=

15

4

=

15

1. !ncontrar la masa y el centro de masa de la l"mina en la #orma de una re$i%n acotada por la curva y = senx y el e&e ' para 0 ≤ x ≤    , si la densidad

δ 

(x,y) = y >pta#  

M=

4

 

#M = (

2

16

,

9  

)

1. !ncontrar el momento polar de inercia de la l"mina omo$*nea de la #orma de la re$i%n acotada por el circulo  x + y =, s#ladens#dad es δ  (x,y) = 1 2

2

4

 Rp"a . I o

 =

a   2

se coordenadas polares   ≤r≤a * * ≤$ ≤ 2  

86# !ncuentre la masa y el centro de masa de un tri"n$ulo con v*rtices en +

(0,0), (1,0) y (0,2) con δ  (x,y) = 1xy

Aacna, 8G de enero del .*89 Docente: ngN uis 'ina Bonce