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A P L I C A C I O N E S D E L A S ECUACIONES DIFERENCIALES
(CRECIMIENTO POBLACIONAL) • La variación de la población es directamente poblacional a la cantidad presente de población en cualquier instante. • Solución. Sea: • • P(t): Población en cualquier instante. • dP(t) / dt : Variación de la población en cualquier instante dP (t )
P (t )
dt dP (t )
P (t )
dp(t ) dt
k P (t )
dP (t ) P (t )
k dt
k dt ln P (t ) k t c P (t ) e kt c Ae kt
Si t=0 entonces P(0) = A : Población original.
(*) (*)
(CRECIMIENTO POBLACIONAL) • La variación de la población es directamente poblacional a la cantidad presente de población en cualquier instante. • Solución. Sea: • • P(t): Población en cualquier instante. • dP(t) / dt : Variación de la población en cualquier instante dP (t )
P (t )
dt dP (t )
P (t )
dp(t ) dt
k P (t )
dP (t ) P (t )
k dt
k dt ln P (t ) k t c P (t ) e kt c Ae kt
Si t=0 entonces P(0) = A : Población original.
(*) (*)
si
t t 1
P (t 1 )
P
(0)e
kt 1
e
kt 1
P (t 1 )
P (0)
kt 1
ln P (t 1 ) / P (0) /
Reemplazando en (*) tenemos:
P (t )
e
kt c
(
P (t )
P (0)e
Ae
kt
(
P (0)e
l n P ( t 1 ) / P ( 0 ) t 1
l n P ( t 1 ) / P ( 0 ) t 1
) t
) t
Formula que permite determinar el crecimiento poblacional de cualquier población.
•
(El mismo modelo se utiliza en las sustancias radioactivas) Las sustancias radioactivas decrecen en forma directamente proporcional a la cantidad de sustancia radioactiva presente en cualquier instante. Solución. Sea: R(t): Sustancia radiactiva en cualquier instante. dR(t) / dt : Variación de la sustancia radioactiva en cualquier instante
• • • • •
dR(t )
R
dt
dR(t ) R(t )
(t )
dR(t ) dt
k R(t )
dR(t ) R(t )
kdt
kdt ln R(t ) kt c R(t ) e kt c Ae kt
(*)
• Si t=0 entonces R(0) = A : Sustancia radioactiva original. si
R (t 1 )
t t 1
R
(0)e
kt 1
e
kt 1
R (t 1 )
R(0)
k ln R(t 1 ) / R (0) / t 1
Reemplazando en (*) tenemos:
R (t )
e
kt c
(
R (t )
R
(0)e
Ae
kt
( R
l n R ( t 1 ) / R ( 0 ) t 1
(0)e ) t
l n R ( t 1 ) / R ( 0 ) t 1
) t
•
(El mismo proceso se sigue para el crecimiento de bacterias) Las bacterias crecen directamente proporcional a la cantidad de bacterias presentes en cualquier instante. Solución. Sea: B(t): Población de bacterias en cualquier instante. dB(t) / dt : Variación de las bacterias en cualquier instante
• • • • •
dB(t )
B
dt dB(t )
B(t )
(t )
dB(t ) dt
kB(t )
dB(t ) B(t )
kdt
kdt ln B(t ) kt c B(t ) e kt c Ae kt
(*)
• Si t=0 entonces B(0) = A : Población de bacterias en el tiempo original.. si
B(t 1 ) B(0)e
t t 1
kt 1
e
kt 1
B(t 1 )
B (0)
k ln B(t 1 ) / B(0) / t 1
Reemplazando en (*) tenemos:
B (t )
e
kt c
(
B (t )
B (0)e
Ae ln
kt
(
B (0)e
B ( t 1 ) / B ( 0 ) t 1
) t
ln
B ( t 1 ) / B ( 0 ) t 1
) t
•
• • • •
La variación de la temperatura de un cuerpo en cualquier instante es directamente proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y a la temperatura del medio ambiente. Solución. Sea: T(t): Temperatura del cuerpo en cualquier instante. dT(t) / dt : Variación de la Temperatura en cualquier instante dT (t ) dt
(T (t ) T m
dT (t )
T (t ) T
dT (t ) dt
k (T (t ) T m )
dT (t ) T (t ) T m
kdt
kdt ln T (t ) T m kt c T (t ) T m e kt c Aekt
m
T (t ) T m
Aekt
(*)
• Si t=0 entonces T(0) = A+ Tm : Temperatura original del cuerpo.
si
t t 1
T (t 1 )
(T (0) T m )e kt 1
T m
e
kt 1
T (t 1 ) T m T (0) T m
k ln
T (t 1 ) T m T (0) T m
Reemplazando en (*) tenemos:
(ln
T (t )
(T (0) T m )e
T ( t 1 ) T m T ( 0 ) T m
/ t 1 ) t
T m
/ t 1
•
Problemas de Mecánica.
•
Segunda Ley de Newton: La razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y esta en la dirección de esta fuerza resultante. d dt
m
(mv)
KF
dt
w
Gravedad
dv
dv dx
dx dt
KF
dt
Peso
m
dv
v
g
dv dt
;
v
a
KF
F
kma
m
dx
dt
;
a
d 2 x
dv
dt
dt 2
• Problemas de caída de cuerpos: • Un cuerpo que cae desde una gran altura con una fuerza f1 , a medida que cae la resistencia del aire actúa sobre él; determine un modelo matemático que describa este proceso: Calcular la velocidad y la distancia recorrida. • Solución.
F ma
m
dv dt
f 1
f 2
f1: Fuerza de caída del cuerpo f2: Fuerza de resistencia del aire Reformulando el problema con datos más concretos tenemos:
• Un cuerpo que pesa 8 libras cae desde el reposo hacia la tierra desde una gran altura. A medida que cae, la resistencia del aire actúa sobre él, y supondremos que esta resistencia (en libras) es numéricamente igual a 2v, donde v es la velocidad (en pies por segundo). Calcule la velocidad y la distancia recorrida después de t segundos. Solución. F2=-2v
F1=8
+
F1: Su peso, 8 libras, que actúa hacia abajo ( es positiva) F2 : La resistencia del aire, numéricamente igual a 2v ( es negativa)
F ma m F
1 dv 4 dt
dv
dt
8 2v
f 1
f 2 ;
m
w g
8 32
1 4
• La condición inicial: si t=0 entonces v(0) = 0; entonces A = 8, v
4(1
e
8t
)
Si t → entonces V = 4 pies/ seg. Para Calcular el espacio recorrido tomamos: dx dt
4(1 e 8t )
dx
(1 e
8t
dx
) dt
( 4(1 e 8t ) dt x
(t
1 8
e
8 t
) B
• La segunda condición inicial indica que: si t=0 entonces x= 0 ; luego B= -1/2 • Finalmente
x(t ) (t
1 8
e
8
t
)
1 2
4(t
1 8
e
8
t
1 8
)
• Problema. • Un hombre equipado con un paracaídas y otro equipo esencial cae desde el reposo hacia la tierra. El peso total del hombre más el equipo es de 160 lbs. Antes de que el parecidas se abra, la resistencia del aire ( en libras) es numéricamente igual a (½ )v, donde v es la velocidad ( en pies por segundo); el paracaídas se abre 5 segundos después de que se inicia la caída; después que se abre, la resistencia del aire es numéricamente igual a (5/8)v2. Calcule la velocidad de la caída del hombre antes de que se abra el paracaídas luego después que se abre el paracaídas. • Solución. • F 1 = 160 lb. Que actua hacia abajo (es Positiva) • F 2 = ½ v. Velocidad de resistencia del aire ( es negativa). • Para el primer caso:
F1 =160
F2 =1/2 v
F3 =160 F4= 5/6 v2
F 5
dv
ma
160
F
1
dt
2
F 1
v
F 2
10
dv
m
320
w
160
g
dt
5
32
v
dv 320
v
dt 10
Integrando tenemos: dv
dt
1
v 320 10 c ln v 320 10 t c v
320 e
1 10
t c
Ae
1 10
t
v(t ) 320 Ae
1
t
10
La primera condición inicial: Si t = 0 entonces v(0) = 0 entonces A = -320.
v(t )
320 320e
1 10
t
320(1 e
1
10
t
);
0 t 5
• Si t =5 entonces: 5
v(t )
320(1
e
10
)
126 pies / seg
Considerando el segundo proceso tenemos:
5
dv dt
v2 v
160
5
v
2
dv
dt
8 256 dv dt v 16 t 1 c ln v 16 8 32 8 256 8
16( Ae 4 t 1)
;
v
2
t
5 ; v 126 c
16 Ae 4t v 16 v
110
142 1 Ae 4t 110 20 4 t 110 20 4t e e e 1) 16( 1) 16( 142 142 v (t ) ; 110 20 4 t 110 20 4t e e e 1 1 142 142
e
20
t
5
• Si el paracaídas nuca se abriera y si t → ∞ entonces v = 320 pies/seg • Si el paracaídas se abre y si t → ∞ entonces v = 16 pies/seg
PROBLEMA DE PLANO INCLINADO • Un objeto que pesa 48 libras se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado metálico, que esta inclinado 30º respecto de la horizontal, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a ½ v (en pies por segundo), y el coeficiente de rozamiento es ¼. • ¿Cuál es la velocidad del objeto 2 segundos después de haberse soltado¿ • Si el plano mide 24 pies de longitud ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el momento en que llega al punto interior¿
• Su peso es 48 lbs. •
Una fuerza normal N que ejerce el Plano y que actúa en una dirección Positiva perpendicular al plano.
• Las componentes del peso paralela y perpendicular al Plano tiene magnitud:
48 sen30º
48 cos 30º
48
1 2
48
24
3 2
24 3
• Las componentes perpendiculares al plano están en equilibrio y por lo tanto, la fuerza normal N tiene magnitud . •
Tomando en cuenta el rozamiento y la resistencia del aire se ve que las fuerzas que actúan sobre el objeto, cuando se mueve a lo largo del plano son las siguientes:
• F1= 24: La componente sobre el peso paralela al plano es 24, puesto que esta fuerza actúa en la dirección positiva (hacia abajo a lo largo del plano) • F2: La fuerza de rozamiento, que tiene el valor numérico
N
1
24 3
6 3
4
puesto que esta actúa en dirección negativa (hacia arriba) a lo largo del plano.
• Aplicando la segunda ley de Newton F ma 1
F 1 F 2 F 3 24 6 3 V ; 2 3 2
dv dt
24 6 3
1
2
v;
M
W 48
g 32
condiciòn inicial : v(0)
3 2
0
Solucionando la ecuación diferencial tetemos. dv
dt
3
48 12 3 v
t
48 12 3 v entonces
e3
A
ln 48 12 3 v
t
A
3 t
A
v
48 12 3 Ae 3
48 12 3
si
t
0
v(0)
0
t
t
v
48 12 3
Ae
3
(48 12 3 )(1
3
e
)
Si t=2; entonces 2
2
v(2)
48 12 3 Ae 3
(48 12 3 )(1 e 3 ) 10,2 pies / seg
Para determinar el espacio se integrará.
t
dx
dt
t
t
48 12 3 Ae 3
(48 12 3 )(1 e 3 ) x (48 12 3 )(t 3e 3 ) c2
puesto que x(0) 0 (48 - 12 3 )3 c 2 0 c2
(48 12 3 )3
t
x
(48 12 3 )(t 3e
3
3)
• Como el plano mide 24 pies de longitud, el objeto llega al punto inferior después del tiempo t, que se determina por. t
t
105,64 27,22t 81,64e
3
3.8815 t 3e
3
t
2.6
Problemas 1. Una piedra que pesa 4 libras cae desde el reposo hacia la tierra desde una gran altura, a medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a ½ V, V en pies por segundo. •
Determina la velocidad y la distancia recorrida después de t segundos; además al final de 5 segundos.
2. Una pelota que pesa 6 libras se lanza verticalmente hacia abajo hacia la superficie terrestre desde una altura de 1000 pies con una velocidad inicial de 6 pie/seg. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 2/3 V, V en libras, la velocidad dada en pies por segundo. a) ?Cuál es la velocidad y distancia recorrida a final de un minuto? b) ?Con qué velocidad choca la pelota contra la tierra?
3. Una pelota que pesa ¾ lb se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 6 pies arriba de la superficie terrestre y con una velocidad inicial de 20 pies/s. a medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a 1/64 V (V en pies por segundo) ?A qué altura llegara la pelota? 4. Un barco que pesa 32 000 toneladas parte desde el reposo bajo la fuerza constante de arrastre de 100 000 libras, la resistencia en libras es numéricamente igual a 8000 v. a) Determine la velocidad del barco como una función del tiempo. b) Determine la velocidad limite . c) Determine la distancia que debe de recorre el barco para alcanzar una velocidad de 80% de la velocidad limite.
VIBRACIONES MECANICAS. • LEY DE HOOKE: La fuerza restauradora Fs que el resorte ejerce sobre la masa es proporcional a la distancia a la que el resorte se ha estirado o comprimido. Puesto que esta es igual al desplazamiento de la masa m de su posición de equilibrio. Se deduce que • Fs = -kx, k: constante del resorte.
• Se denotará por y(t) la posición de la masa en un tiempo t cualquiera; para calcular y(t) se necesita la fuerza total que actúa sobre la masa m , esta es la suma de las 4 fuerzas independientes, W, R,D y F. • La fuerza W=mg es el peso de la masa y tira de ella hacia abajo (esta fuerza es positiva ↓ +) • La fuerza R es la fuerza de restitución del resorte, que es proporcional al alargamiento o al acortamiento del resorte • La fuerza D constituye el amortiguamiento o efecto de fricción, lo ejerce el medio sobre la masa m (la mayoría de los fluidos tales como : Aceite, agua, aire tienden a oponerse al movimiento y es con frecuencia, , proporcional a la magnitud de la velocidad dy/dt, en todos los casos D=-c dy/dt.
• La fuerza F es la externa que se aplica sobre la masa, esta acción se dirige hacia arriba o hacia abajo, dependiendo si la fuerza es positiva o negativa. En general la fuerza dependerá explícitamente del tiempo. F
ma
m
dv dt
m
d 2 y 2
dt
2
m
d y 2
dt
mg k ( l y) - c
ky
c
dy dt
f (t )
W R dy dt
D F
f (t )
• Ya que mg=k Δl. Por lo tanto, la posición y(t) de la masa satisface la E.D. de segundo orden. 2
m
d y 2
dt
c
dy dt
ky
f (t )
VIBRACIONES LIBRES. • Se considera el movimiento libre, no amortiguado, en tal caso la ecuación general se reduce a: 2
m
d y 2
dt
2
ky 0;
donde w0
2
2
o bien m
d y 2
dt
2
w0 y 0
k / m
2
w0 0 w0 i y (t )
a cos wt b senwt
3)
(2)
R
b
δ
a
y (t )
a cos wt b senwt R cos( wt )
donde R
a
2
2
b ;
arctg (
b a
( 4) )
• Se comprobará que las relaciones (3) (4) son iguales R cos( w0 t )
cos
R cos w0 t cos Rsenw 0 tsen
a
a
a sen
2
b
R cos
b
Rsen
b
a
a
R
2
b 2
b
2
R
R cos( w0 t )
R
a
cos w0 t b senw0 t 2π/w0
-R
• Y(t) esta entre –R y R • El movimiento de la masa es periódico se repite en cualquier periodo de magnitud 2π/w0 .
• Este fenómeno es conocido como movimiento armónico simple. • R: Amplitud del movimiento. • .δ: Angulo de fase del movimiento. • T0=2π/w0 : Llamado periodo natural del movimiento. • : Es la frecuencia natural del sistema.
Ejemplo. • Un peso de 8 libras se coloca en el extremo inferior de un resorte helicoidal que esta suspendido del techo, el peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, por esta razón esta estirado 6 pulgadas. Después el peso se empuja 6 pulgadas hacia abajo en su posición de equilibrio y se suelta en t=0 con una velocidad inicial de 1 pie/seg., dirigida hacia abajo. Despreciando la resistencia del medio y suponiendo que ninguna fuerza externa esta presente, determine la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento resultante. • Solución
• Es un movimiento libre no amortiguado. • F=ks entonces 8=k(1/2) entonces k =16lib/pie • Peso W=8/ 32 • La ecuación esta dada por: 8
2
d x
32 dt
2
2
16 x
0
d x
dt
2
64 x
0
Las condiciones iníciales son: X(0) = ¼ , x’(0) =1 (El peso se suelta con una velocidad inicial hacia abajo de 1pie/seg. Desde un punto de 3 pulgadas = ¼ pie , por debajo de su posición de equilibrio) La solución de la E.D es:
x(t )
dx(t ) dt
c1 sen8t
c2
8c1 cos 8t
cos 8t
8c 2 sen8t
• Aplicando las condiciones iníciales tenemos C1= 1/8 ; c2 = ¼
x (t )
1 8
sen8t
1
4
cos 8t
Calculamos la amplitud R
(
1 8
)
2
(
1 4
)
2
5 8
• Podemos escribirlo como x(t )
5 8
(
5 5
sen8t
2 5 5
cos 8t cos
2 5 5
;
sen
5
R
1/8
5
δ x(t )
5 8
(cos sen8t sen cos 8t )
5 8
cos(8t ) 0,28 cos(8t 0,46)
La amplitud del movimiento es El periodo es La frecuencia es
1/4
: 0,28 pies : 2π/8 = π/4 : 4/ π oscilaciones/seg
X(t)
Periodo π/4
Amplitud 0,28 0,3 0,2
3π/8
t
t=-δ/8
π/8
π/4
Ejemplo. • Un peso de 12 libras se coloca en el extremo inferior de un resorte suspendido del techo, el peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, el resorte esta estirado 1,5 pulgadas. Después el peso se empuja hacia debajo de su posición de equilibrio 2 pulgadas y se suelta desde el reposo en t=0. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo, determine la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento resultante y trace la grafica del desplazamiento como una función del tiempo.
a.- Temperatura: Un químico desea enfriar desde 80°c hasta 60°c una sustancia contenida en una matraz, se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que se circula agua a15°c. Se observa que después de dos minutos la temperatura ha descendido a 70°c. Estimar el tiempo total de enfriamiento. T (t )
T m
(T (0) T m ).e
Datos:
T m 15c T (0)
80c
T ( 2)
70c
T (t )
60c
k
.t
.........(a)
En (a)
t
T (t )
En (b) T ( 2)
2 min
T m
(T (0) T m ).e
70 15 (80 15).e 11
13 11 ln 13 K
e
70c
.t
k
60
2k
2
13
11 . ln( ) 2 13
T (t )
15 65.e
ln( t
11 . ln( ) 2 13
te
2
t
65.e
ln( )
11 . ln( ) 2 13
te
. ln(
15 65.e
2. k
13
11 . ln ( ) 2 13
te
9
11
15 65.e
.........(a)
45
2 k
1
2 k
11 . ln( ) 2 13 t
T (t )
55 65.e
e
9 13 11
)
)
te
13 4.40 min
b.- S us tancias R adioactivas : Un cierto material radioactivo tiene una vida media de dos horas, encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad de este material decaiga hasta un décimo de su masa original.
Q0
= cantidad en gramos presente inicialmente Vida media = tiempo que transcurre para que desaparezca el % de la sustancia.
Q(t )
Datos:
Q0 .e
k .t
10%Qo (t )
Se pide
50%Q0 ( s ) 10%Qo (t )
2horas
t
??
Q0
t
10 Q (t )
50 100 k
Q0 .e
Q0
1
2
Q0
. ln( t
Q0
Q0 .e 2
k .t
1 2
100
2 k
1 2
)
Q0
ln(
t
t
)
. ln (
Q0 .e
............b
1 . ln ( ) 2 2
Q0 .e
1
) 10 2 1 ln( ) 2 6.64horas
2
. ln(
1 2
)
c.- E vaporación: Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenia originalmente un radio de 3/4 de pulgadas, tiene un radio de 1/8 al cabo de un mes. Suponiéndose que se evapore en un índice proporcional a su superficie. Encuentre el radio en función del tiempo, después de cuantos meses desaparecerá por completo. dv dt
k . s............k
4 r
3
.r
dv
3
dt 2
4. .r
s
y
r 4. .r
0
2
dr dt
dr
2
k .4 .r
dt r
k .t
r
kt
c
r 0
4 .r
2
Datos:
r
3 r
0
r
1
k t
1
4 1
8
8
k
k
Se pide en que tiempo (t) r = 0
r
r
Entonces cuando r = 0
3 4
5 8
r 0
5t
3
8 4 (6 5t ) 8
t = 6/5 meses
PROBLEMA Un objeto que pesa 48 libras se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado metálico, que esta inclinado 30º respecto de la horizontal, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a ½ v (en pies por segundo), y el coeficiente de rozamiento es ¼. ¿Cuál es la velocidad del objeto 2 segundos después de haberse soltado¿ Si el plano mide 24 pies de longitud ¿Cuál es la velocidad del cuerpo en el momento en que llega al punto interior¿
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