Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.pdf

December 26, 2018 | Author: JorgeIgnacio | Category: N/A

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Ecuaciones diferenciales...

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     c as       a  ti    em APLICACIONES DE LAS     a t    M E.D. DE PRIMER ORDEN    d e       u  to           ti t ń s    , ETRICAS I 3.1. 3. 1. AP APLI LICA CACI CION ONES ES GE GEOM OM    ia 3.1.1. Tra raye yectori ctorias as Isogon Isogonales ales y Ortog Ortogonales   q u onales y g(x)       n   t io A    d e f f ((x)      d  a d       si γ    v er       ni α β x    U

CAPÍTULO 3

Figura 3.1 En la figura 3.1 se tiene que α = β  + γ + γ , luego γ = α β , donde γ γ  es es el ángulo formado por las tangentes en el punto de intersecci´ angulo on.

−

49

50 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

Definici´ on 3.1 (Trayectorias Isogonales). on a).. Da a) Dada da un unaa fa fami mili liaa de cu curv rvas as f f ((x,y,c x,y,c)) = 0, ex exis iste te ot otra ra fa fami mili lia a g (x,y,c x,y,c)) = 0 que corta a la familia f f    bajo un mismo ´ angulo γ . A la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y g (x,y,c x,y,c)) = 0 es soluci´ on de la E.D.:

   as − tan γ  = = tan(α tan(α −         t ic   a    emde trayectorias b). En particular, particular, cuando  γ γ = 90 , a  g se g se le llama la familia ortogonales de  f  y f  y en este caso g caso g es soluci´ on de la E.D.:     a t tan α tan β = f ′ (x)g ′ (x) = −1 = f  ′ ( x M)y′    d e Ejemplo 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45   to de la familia y(x + c) = 1. i  tu Solución: on:    s t f ′ (x) − y ′ tan45 = = 1n 1 + f ′ (x)y′    , I       u  ia por derivaci´ on im on impl´ pl´ıcit ıc ita: a: d d  o q (yy (x + c)) = i (1) ( dx     dx n t A dy y + (x ( x + c) e = 0 dx d d y dy a ⇒ dx      =i d − x + c       e rs En la E.D.:    iv − − y′ ′ y   n − − y − y′ −   =   ′ = 1 − y y′ 1= 1 + − y U′ tan α tan β f ′ (x) g ′ (x) f ′ (x) y ′ β ) = = = 1 + tan α tan β 1 + f ′ (x)g ′ (x) 1 + f ′ (x)y′

−

−

0

o

0

y

y

x+c

y

y x+c

1

2

1

1+

2

−

2

y 1

y

y

2

− y y′ = −y − y′ ⇒ y′(y − 1) = 1 + y y +1 y −1 y′ = dy = dy = dx dx ⇒ y −1 y +1 2

2

2

2

2

2

50 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

Definici´ on 3.1 (Trayectorias Isogonales). on a).. Da a) Dada da un unaa fa fami mili liaa de cu curv rvas as f f ((x,y,c x,y,c)) = 0, ex exis iste te ot otra ra fa fami mili lia a g (x,y,c x,y,c)) = 0 que corta a la familia f f    bajo un mismo ´ angulo γ . A la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y g (x,y,c x,y,c)) = 0 es soluci´ on de la E.D.:

   as − tan γ  = = tan(α tan(α −         t ic   a    emde trayectorias b). En particular, particular, cuando  γ γ = 90 , a  g se g se le llama la familia ortogonales de  f  y f  y en este caso g caso g es soluci´ on de la E.D.:     a t tan α tan β = f ′ (x)g ′ (x) = −1 = f  ′ ( x M)y′    d e Ejemplo 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45   to de la familia y(x + c) = 1. i  tu Solución: on:    s t f ′ (x) − y ′ tan45 = = 1n 1 + f ′ (x)y′    , I       u  ia por derivaci´ on im on impl´ pl´ıcit ıc ita: a: d d  o q (yy (x + c)) = i (1) ( dx     dx n t A dy y + (x ( x + c) e = 0 dx d d y dy a ⇒ dx      =i d − x + c       e rs En la E.D.:    iv − − y′ ′ y   n − − y − y′ −   =   ′ = 1 − y y′ 1= 1 + − y U′ tan α tan β f ′ (x) g ′ (x) f ′ (x) y ′ β ) = = = 1 + tan α tan β 1 + f ′ (x)g ′ (x) 1 + f ′ (x)y′

−

−

0

o

0

y

y

x+c

y

y x+c

1

2

1

1+

2

−

2

y 1

y

y

2

− y y′ = −y − y′ ⇒ y′(y − 1) = 1 + y y +1 y −1 y′ = dy = dy = dx dx ⇒ y −1 y +1 2

2

2

2

2

2

´ 3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS



1

y

− 2tan−

−

2 1 + y2 1



51

dy = dx

y = = x x + K

     c as       a  ti y = ce , familia Ejercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45 de la familia y donde c y a son constantes. (Rta.: y + ln |ay − 1| = x + c)       t em   a Ejercicio 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia M y = cx . (Rta.: 2x + 3y 3y = C )    d e      u  tofamilia de hipérboorto gonales de la erboEjercicio 3. Hallar las trayectorias ortogonales t las equiláteras ateras xy xy = = c c..      ti (Rta.: x − y = C C ))      In s , ( , ) y corta a cada Ejercicio Ejerc icio 4. Determinar la curva que pasa por a au´ ingulo de 60 . miembro√ de la familia x + y = c formando un angulo √ (Rta.: 3tan− = ± ln |x + y | + 3tan− q − ln )       n   t io Ejercicio 5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de A curvas y = = C C x . (Rta.: + y = C C ))    d e    a d ortogonales de la familia de Ejercicio 6. Hallar la familia de trayectorias d i curvas y = = C C e− .    rs (Rta.: = x + C )       iv e nque pertenece a la familia de tray trayectorias ectorias Ejercicio 7. Encuentre la curva U ortogonales de la familia de curvas x + y = = C C e que pasa por (0, (0, 5). g (x,y,K ) = 0 = y = y

1

− 2tan− y − x − K o

ax

2

a

2

2

2

2

2

2

2

1 2

1 x y

1 2

x2

3

2

1 3 2 2

2

2

1 1 3

2

1 2

o

5 2

2

2

1

y2

x

2

1

(Rta.: y = 2

3.1.2. 3.1 .2.

y

3e− ) − x + 3e x

Proble Pro blemas mas de Pers ersecu ecuci´ ci´ on: on:

atico P atico P    localizado en el punto (a, (a, 0) es Ejempl Eje mplo o 2. Un esquiador acu´

52 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN remolcado por un bote de motor Q localizado en el or´ıgen y viaja hacia arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige en todo momento hacia el bote. y

     c as       a  ti    em θ x     a t    M   d e x (a, 0) Figura 3.2       u  to           ti t n s Soluci´ on: del concepto geométrico de derivada    , I se tiene que: √     ia ′ y = tan θ = − sec θ u− 1, o q pero de la figura 3.2 y teniendo en cuenta que P       n  ti Q = a, se tiene que PQ A a sec θ = − = −x x e d por lo tanto,    a d    i d √  √ a    rs1 = − a − x , donde x > 0, y ′ = − sec −1 = − − x   e x      iv n √ separando variables:    U a −x Q

P (x, y)

2

2

2

2

2

2

2

dy =

2

dx, x por medio de la sustituci´ on trigonométrica x = sen α en el lado derecho de la E.D., se llega a que: y = a ln



a+

−

√ a − x  √ − a −x x 2

2

2

2

+ C ;

´ 3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS

53

como el esquiador arranca desde el punto (a, 0), entonces las condiciones iniciales son x = a, y = 0; sustituyendo en la solución general, se obtiene que C = 0. Luego la soluci´ on particular es:



a+

√ a − x  √ − a −x x 2

2

     c as on P   situado en (a, 0) descubre Ejercicio 1. Suponga que un halc´      ti una a paloma Q en el or´ıgen, la cual vuela a lo largo del eje Y   a una velocidad v; el halcón emprende vuelo inmediatamente hacia la paloma con m velocidad w. e ¿Cual es el camino  ( ) seguido( )por el halc´  on en su vuelo persecutorio?     a t (Rta.: y = − − + c , donde c = − ) M   d e a en medio de una niebla muy densa que Ejercicio 2. Un destructor est´       u  to en la superficie se levanta por un momento y deja ver un submarino enemigo a cuatro kilómetros de distancia. Suponga:           ti t n s a toda máquina en i) que el submarino se sumerge inmediatamente y avanza una direcci´ on desconocida.    , I ii) que el destructor viaja tres kil´ ometros en l´ınea arecta hacia el submarino. i seguro que pasará diQué trayectoria deber´ıa seguir el destructor para     q   u estar rectamente sobre el submarino, si su velocidad v es tres veces la del submarino?       n   t io (Rta.: r = e ) A Ejercicio 3. Suponga que el eje Y  y la    d erecta x = b forman las orillas de un r´ıo cuya corriente tiene una velocidad    a dv (en la dirección negativa del eje Y ). Un hombre esta en el origen y su perro esta en el punto (b, 0). Cuando d i el hombre llama al perro, éste se lanza    rs al r´ıo y nada hacia el hombre a una velocidad constante w (w > v). Cual es e la trayectoria seguida por el perro? v (Rta.: y = [( ) − ( ) ])       ni Uperro del Ej. anterior nunca tocará la otra Ejercicio 4. Demuestre que el y = a ln

x a

a

1+ v w

1+ v w

2

v 1− w

x a

1

v w

2

2

avw w2 v 2

θ √

8

x

2

x b

v w

b x

v w

orilla si w < v. Suponga ahora que el hombre camina r´ıo aba jo a la velocidad v mientras llama a su perro. Podr´ a esta vez el perro tocar la otra orilla? (Rta.: S´ı, en el punto (0, bv )) w

−

54 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

Ejercicio 5. Cuatro caracoles situados en las esquinas de un cuadrado [0, a] [0, a] comienzan a moverse con la misma velocidad, dirigiéndose cada uno hacia el caracol situado a su derecha. Qué distancia recorrer´ an los caracoles al encontrarse? (Rta.: a unidades)

×

     c as       a  tila propiedad Ejemplo 3. Hallar la ecuación de todas las curvas que tienen de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los m ejes coordenados.       a  te aM la figura, y a la R(0, 2y) Solución: de acuerdo interpretaci´ on geom´    d eetrica de la derivada: o P (x, y) t ′ ′ y tan α = f (x) = y = −− = − , luego u t    |  tyi | = − ln |x| + ln |c| = − ⇒ ln   n s y = ⇒ xy = c, α ln |y| = ln     I⇒ , de curvas que cumplen que es la familia x Q(2x, 0) a las condiciones     q   u i del problema. hallar la forma del Ejercicio 1. Empleando coordenadas   rectangulares      n   t io espejo curvado tal que la luz de una fuente situada en el origen se refleje en A. él como un haz de rayos paralelos al eje X (Rta.: y = 2cx + c )    d e    a d el origen en el plano XY , al primer Ejercicio 2. Una curva pasa por d i cuadrante. El a´rea bajo la curva de    rs(0, 0) a (x, y) es un tercio del a´rea del rectángulo que tiene esos puntos como v e vértices opuestos. Encuentre la ecua ción de la curva.       ni (Rta.: y = cx )    U 3.1.3.

Aplicaciones a la geometr´ıa anal´ıtica

dy y

2y 0 0 2x

dx x

c x

2

y x

c x

2

2

Ejercicio 3. Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto P (x, y) tiene interceptos sobre los ejes X y Y  cuya suma es 2(x + y) (Rta.: xy = c) Ejercicio 4. Hallar la ecuación de todas las curvas que tienen la propiedad

´ 3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION

55

de que la distancia de cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento de normal entre el punto y el intercepto con el eje X . (Rta.: y 2 = x2 + c)

±

Ejercicio 5. Hallar la ecuación de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que el tri´ angulo formado por la tangente a la curva, el eje X  y la recta vertical que pasa por el punto de tangencia siempre tiene un a´rea igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia. −y )) (Rta.: ln cy = √ 215 tan −1 ( 4√ x15 y

     c as       a  ti | |       t em a XY que Ejercicio 6. Hallar la ecuación de todas las curvas del plano (x, M y) y el eje X tienen la propiedad de que la porci´ on de la tangente entre   d e queda partida por la mitad por el eje Y . (Rta.: y = Cx)       u  to           ti t del plano XY que Ejercicio 7. Hallar la ecuación de todas las curvas n s bajada del origen tienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular    , I punto de contacto. de coordenadas a la tangente es igual a la abscisa del (Rta.: x + y = C x)       u  ia o q del plano X Y  que tieEjercicio 8. Hallar la ecuación de todas las curvas       n  tiinterceptado por la tangente nen la propiedad de que la raz´ on del segmento en el eje OY  al radio vector, es una cantidad constante k. A (Rta.: y = (Cx − − x ))    d e a d las curvas del plano XY   para Ejercicio 9. Hallar la ecuación de   todas las cuales la longitud del segmento interceptado en el eje Y  por la normal a    i d rs cualquiera de sus puntos es igual a la   distancia desde este punto al origen de v e coordenadas.       ni (Rta.: y = (Cx − ))    U 2

2

3.2.

2

1 2

1 k

1 2

2

1

1+k

C

1

C

´ CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION

Existen en el mundo f´ısico, en biolog´ıa, medicina, demograf´ıa, econom´ıa, etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposici´ on var´ıa en forma dx proporcional a la cantidad presente, es decir, dt = kx con x(t0 ) = x0 , o sea

56 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN que dx dt

− kx = 0

que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuya solución es x = C ekt

   as Como x(t ) = x = Ce ⇒ C = x e−         t ic   a− − Por lo tanto la solución particular es x = x e e = x em       a  te En particular cuando t = 0, entonces x = x e    M    d e 3.2.1. Desintegraci´ on radioactiva       u  to           ti t en el instante t, enSi Q es la cantidad de material radioactivo presente tonces la E.D. es = −kQ, donde k es la constante      In s de desintegración. , a Se llama tiempo de vida media de un material    u i radioactivo al tiempo ne cesario para que una cantidad Q se trasforme    o q en .      ti Ejercicio 1. Si T  es el tiempo de vida media, n mostrar que Q = Q ( ) . A   d e radioactivo A se descompone en Ejercicio 2. Suponga que un elemento un segundo elemento radioactivo B y d este a su vez se descompone en un a tercer elemento radioactivo C. Si la cantidad de A presente inicialmente es d x y las cantidades de A y B son x     e si y respectivamente en el instante t y si    er de descomposición, hallar y en función k y k son las constantes de rapidez    iv − − de t. (Rta.: Si k  = k , entonces: y = n − (e −e ) − U si k = k , entonces y = k x te ) 0

0

kt 0

0

kt 0

kt0 kt

0

0

0

0

k(t t0 )

kt

dQ dt

Q0

0

2

1 0 2

t T

0

1

2

1

1

2

2

1 0

k1 x0 k2 k1 k1 t

k1 t

k2 t

1 de la Ejercicio 3. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1000 cantidad original de C 14 . Determinar la edad del f´ osil, sabiendo que el tiempo de vida media del C 14 es 5600 a˜ nos. (Rta.: t 55,800 a˜ nos)

≈

´ 3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION

3.2.2.

57

Ley de enfriamiento de Newton

Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , sumergido en un medio de tama˜ no infinito de temperatura T m (T m no var´ıa apreciablemente con el tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la siguiente E.D.: dθ = kθ donde θ = T T m . dt

−

−

     c as       a  ti       t em   a    M 3.2.3. Ley de absorci´ on de Lambert    d e a una profundiEsta ley dice que la tasa de absorci´ on de luz con respecto dad x de un material transl´ ucido es proporcional a la intensidad de la luz a      u  to una profundidad x; es decir, si I  es la intensidad de la luz a una profundidad t i x, entonces = −kI .       n   s t    I Ejemplo 4. En agua limpia la intensidad I  a ,3 pies bajo la superficie a al es la intensidad del       u  i¿Cu´ es de un 25 % de la intensidad I en la superficie. rayo a 15 pies bajo la superficie?          t i o q Solución:   n A x = 0 ⇒ I = I    d e    a d dI = −kI ⇒ I = Ce− d i dx       e rs Cuando x = 0, I = I = C Luego I   = I     n iv e−    U Cuando Ejercicio 3. Un cuerpo se calienta a 1100 C   y se expone al aire libre a una temperatura de 100 C . Si al cabo de una hora su temperatura es de 600 C . ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfr´ıe a 300 C ? ln 5 (Rta.: t = ln ) 2

dI dx

0

0

kx

0

0

x = 3 luego,

kx

⇒ I = 0,25 I

0

0,25 I 0 = I 0 e−3k

⇒ e−

k

1

= (0,25) 3

58 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

1

x

I = I 0 (e−k )x = I 0 ((0,25) 3 )x = I 0 (0,25) 3 para x = 15 por tanto

⇒ I = I (0,25) 0

15 3

   as c en Ejercicio 4. Si I  a una profundidad de 30 pies es de la   intensidad i t la superficie; encontrar la intensidad a 60 pies y a 120 pies. a       t em   a 3.2.4. Crecimientos poblacionales    M   d e en periodo de La raz´ on de crecimiento depende de la poblaci´ on presente procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que o t representa dicha situaci´ on es:        ti  tu dQ n s = kQ dt    , I donde Q(t): población en el instante t.       u  ia o q de leche se encuentran 500 alisis de una botella Ejercicio 5. Si en un an´ ti sido embotelladas y al seorganismos (bacterias), un d´ıa después de     haber n es el número de organismos gundo d´ıa se encuentran 8000 organismos. ¿Cual en el momento de embotellar la leche? A    d e Ejercicio 6. En un modelo de evoluci´    a d on de una comunidad se supone que la población P (t) se rige por la E.D d = − , donde es la rapidez i con que nace la gente y es la rapidez    rs con que la gente muere. Hallar: a) P (t) si = k P y       = k vi e P b) Analizar los casos en que kn > k , k = k y k < k    U I = I 0 (0,25)5

4 9

dB dt

dD dt

1

dP dt

dD dt

dB dt

dD dt

dB dt

2

1

2

1

2

1

2

o con Ejercicio 7. Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regres´ gripa. Si se supone que la gripa se propaga con una rapidez directamente proporcional al n´ umero de agripados como también al n´ umero de no agripados. Determinar el n´ umero de agripados cinco d´ıas después, si se observa que el n´ umero de agripados el primer d´ıa es 100.

´ 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION

59

umeEjercicio 8. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N  el n´ ro de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 dias el n´ umero N  ha aumentado a 1000N . Sinembargo, el n´ umero 200N es considerado como el l´ımite saludable. A los cuantos dias, después de elaborado, vence el alimento. (Rta.: 46.02 dias)

   as es Observaci´ on: un modelo más preciso para el crecimiento poblacional      t ic suponer que la tasa per c´ apita de crecimiento, es decir es igual a la a tasa promedio de nacimientos, la cual supondremos constante, menos la tasa m promedio de defunciones, la cual supondremos proporcional   a  tela poblaci´ on, a por lo tanto la E.D. ser´ıa:    M   d e 1 dP = b − aP P dt       u  to donde a y b son constantes positivas. Esta E.D. se le llama       ti t ecuación log´ısti ca. Resolviendo esta E.D. por variables separables se obtiene      In s , a P | b − aP | = e e       u i o q Si en t = 0 se tiene P = P entonces la soluci´     o  n  nti particular es bP e A P (t) = b − aP   +    d eaP e Por la regla de l’Hôpital se puede mostrar      d  a d que       si b    er = l´ım P (t) →∞ v a       ni UDE DILUCION ´ 3.3. PROBLEMAS 1 dP P dt

c bt

0

0

0

bt

0

bt

t

Una solución es una mezcla de un soluto (que puede ser l´ıquido, s´ olido o gaseoso), en un solvente que puede ser l´ıquido o gaseoso. Tipos de mezclas o soluciones :

60 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN i) Soluciones l´ıquidas cuando disolvemos un s´ olido o un l´ıquido en un l´ıquido. ii) Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas. Ecuación de Continuidad:

   as Tasa de acumulaci´ on = Tasa de entrada − Tasa de salida.     ic    a t un tanque a Caso 1. Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en m una velocidad v galones de salmuera/minuto y con una concentraci´ on de c       a  te libras de sal por galón de salmuera (lib. sal/gal. salmuera). P  M libras de sal diInicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con   d e a una velocidad sueltas. La mezcla bien homogenizada abandona el tanque de v galones de salmuera/min. o t Encontrar una ecuaci´ on para determinar las libras de sal que hay en el tan u t que en cualquier instante t.(Ver figura 3.3)       s  ti     ,  In t > 0 t = 0       u  ia v v c          t i o q c   n A P   : libras de sal x : libras de sal    d e Q + (v − v )t : galones Q : galones de salmuera      a d de salmuera       v  si d v    ecr c        n iv UFigura 3.3 1

1

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

Sea x(t) las libras de sal en el instante t. dx = Tasa de acumulaci´ on = dt = Tasa de entrada del soluto

− Tasa de salida del soluto.

´ 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION dx = v 1 (gal.sol./min) c 1 (lib.sal/gal.sol.) dt x = v 1c1 v2 Q + (v1 v2 )t

−

61

− v (gal.sol./min) c (lib.sal/gal.sol.) 2

2

−

y obtenemos la E.D. lineal en x de primer orden:

   as dx v         t ic + x = v c  a dt Q + (v − v )t       t em condiciones iniciales: t = 0, x = P   a    M v p(t) = ; q (t) = v c e d Q + (v − v )t        u  to  F.I. = e = e =       ti t | − |   s = e     ,  In     ia F.I. = [Q + (v − v )t] u q o luego        n  ti x F.I. = F.I. q (t) dt + C A con las condiciones iniciales x(0) = P , hallamos C    d e y se concluye que x = f (t)    a d Ejercicio 1: resolver la anterior E.D.          si d con v = v Caso 2. Un colorante sólido disuelto    v er en un l´ıquido no volátil, entra a un tanque a una velocidad v galones       ni de solución/minuto y con una concentració n de c libras de colorante/gal´ on de soluci´ on. La solución bien homo U genizada sale del tanque a una velocidad de v galones de soluci´ on/min. y p(t)

   2

1

1 1

2

q (t)

2

1

v2 Q+(v 1−v )t 1 2

p(t) dt

v2 ln v1 −v2

1 1

2

Q+(v1 v2 )t

1

2

v2 v1 −v2

1

2

1

1

2

entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de v3 galones de solución/min. Inicialmente el primer tanque ten´ıa P 1 libras de colorante disueltas en Q1 galones de solución y el segundo tanque P 2 libras de colorante disueltas en Q2 galones de solución. Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras de colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t.(Ver figura 3.4)

62 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

t = 0

t > 0

v1 c1

v1 c1

x : libras de colorante Q1 + (v1 v2 )t : galones v2 de solución c2

P 1 : libras de colorante

     c as       a  ti y : libras    emde colorante t v )t : galones P : libras de colorante Q + (v      a − de solución M v Q : galones de solución v    d e c c Figura 3.4       u  to           ti t n s x = libras de colorante en el primer tanque en el t.    , instante I y = libras de colorante en el segundo tanque en      iael instante t. u q E.D. para el primer tanque:      t io = v c −v c = v c −v −   n A +v    d e on inicial t = 0, x = P − = v c , con la condici´    a d − La solución es: x = f (t) = c [Q   + (v v )t] + C [ Q + (v v )t] . − −         si d E.D. para el segundo tanque:    er        n iv = v c −v c = v − −U − v −

Q1 : galones de solución v 2 c2 2

2

2

3

3

2

3

3

3

dx dt

1 1

dx dt

2 2

x

1 1

x

2 Q1 +(v1 v2 )t

2 Q1 +(v1 v2 )t

1 1

1

1

dy dt dy dt

2 2

+

x

3 3

v3 Q2 +(v2 v3 )t

−

y =

F.I. = [Q2 + (v2

1

1

2

1

3 Q2 +(v2 v3 )t

v2 Q1 +(v1 v2 )t

v2 Q1 +(v1 v2 )t

− v )t] 3

v3 v2 −v3

x =

2

y

2 Q1 +(v1 v2 )t

−

1

−

para v2 = v 3 .



Si v2 = v 3 ¿Cual ser´ıa su factor integrante?

f (t),

t = 0, y = P 2

v2 v1 −v2

´ 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION

63

Ejercicio 2. Resolver el caso dos cuando v1 = v 2 = v 3 = v y Q1 = Q 2 = Q. a constantemente cirCaso 3. Una solución l´ıquida de alcohol en agua, est´ culando entre dos tanques a velocidades v 2 y v 3 galones/minuto. Si al primer tanque también entra una soluci´ on a una velocidad de v1 galones /minuto y de concentraci´ on c1 galones de alcohol/gal´ on de soluci´ on y las cantidades iniciales en los tanques son P 1 y P 2 galones de alcohol en Q 1 y Q 2 galones de agua respectivamente. Encontrar dos ecuaciones para determinar los galones de alcohol presentes en cualquier tiempo en cada tanque (Ver figura 3.5). t > 0 t = 0 v1 v1 v3 v3 c1 c 1 c3 c3

     c as       a  ti       t em   a    M    d e      u  to alcohol P : galones de alcohol x : galones de P + Q + (   v   i t + v − v )t : P + Q : galones t solución v galones     de de solución v s c c     ,  In P : galones de alcohol y :   galones de alcohol a i P + Q : galones P − v )t : galones + u Q +de(vsoluci´ q on de solución          t io   n A Figura 3.5    d e    a d    i d en el instante t. x = galones de alcohol en el primer tanque rs en el instante t. y = galones de alcohol en el segundo   tanque v e E.D. para el primer tanque:       ni    U dx 1

1

1

1

1

1

3

2

2 2

2 2

2

2

dt

2

2

= v1 c1 + v3 c3

= v1 c1 + v3

−v c

2

2

3

2 2

y Q2 + P 2 + (v2

dx v2 + dt Q1 + P 1 + (v1 + v3

− v )t 2

x v − − v )t Q + P + (v + v − v )t

x =

3

2

1

1

v3 Q2 + P 2 + (v2

1

3

2

− v )t y + v c 3

1 1

(3.1)

64 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN E.D. para el segundo tanque: dy = v 2 c2 v3c3 dt v2 = Q1 + P 1 + (v1 + v3

−

− v )t

x

2

− Q + P +v (v − v )t y      c as 3

2

2

2

(3.2)

3

      a  ti Balance total: galones de alcohol presentes en los dos tanques en el instante t:       t em   a Bal.tot.= x + y = P + P + v (gal.sol./min) c (gal.alcohol/gal.sol.) t    M   d e x + y = P + P + v c t   to luego i  tu y = P + P + v c t − x t (3.3)    n s (3.3) en (3.1):    , I       u  ia dx v + x = o q dt Q + P + (v + v − v )t v      ti (P + P + v c t − x) + v c Q + P + (v − v n)t A   d e   dx v v d + + a x = dt Q + P + (v + v − v )t    d Q + P + (v − v )t       si (P + P + v c t)v    v er Q + P + (v − v )t + v c (3.4)       ni Con la condici´ on inicial: t = 0, x = P    U 1

2

1

1

1

1

2

2

1 1

1 1

2

1

1

1

3

2

3

2

2

2

1

3

2

1

1

1

2

1 1

1 1

3

3

2

2

2

2

1

2

2

2

3

1 1

2

3

1 1

3

1

on diferencial (3.2) porque Nota: no hay necesidad de resolver la ecuaci´ y = P 1 + P 2 + v1 c1 t x.

−

Caso 4. Un teatro de dimensiones 10 30 50mt.3 , contiene al salir el público 0,1 % por volumen de CO2 . Se sopla aire fresco a raz´ o n de 500 mt.3 por minuto y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad.

× ×

´ 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION

t > 0 v1

v2

c1

c2

65

     c as x : mt de CO       a  ti       t em   a    M    d e Figura 3.6       u  to           ti t      I0,04 n s % por volumen y el Si el aire atmosférico tiene un contenido de CO del l´ımite saludable es de 0,05 % por volumen. ¿ En que , tiempo podrá entrar el a    u i público? (Ver figura 3.6) Sea x =mt. de CO presentes en el teatro en el instante t. q      t io Cantidad de CO en el teatro en t = 0: n A   d e mt. deCO 0,001 × 10 × 30 d× 50mt. = 15mt. mt. deaire       i d a Por la ecuaci´ on de continuidad, tenemos       e rs dx = v c −v c =   v dt       ni 0,04 = 500mt. aire/min. U × 100 mt. CO /mt. aire 3

2

2

3

2

2

3

2

3

3

3

1 1

2 2

3

3

3

− 500mt. x = 0,2 − 30 por tanto, Q(t) = 0,2

dx dt

+

x

30

aire/min.

2

3

x mt.3CO2 30 50mt.3 aire

× 10 × ×

= 0,2, E.D. lineal de primer orden con p(t) =

1 30

y

66 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN t

Solución general: x = 6 + Ce− 30 . Condiciones iniciales: en t = 0 se tiene que x = 15, por tanto la soluci´ on particular es: t

x = 6 + 9e− 30 .

   as 0,05         t ic x = 10 × 30 × 50 = 7,5, × 100   a       lnt em6 = 53,75min. por tanto 7,5 = 6+ 9e− y despejando t se tiene que t = 30   a Ejercicio 1. En un tiempo t = 0 un tanque A contiene M 300 galones de e 200 galones de salmuera en el cual hay 50 libras de sal y un tanque B con d agua pura. Al tanque A le entran 5 galones de agua/min. y la salmuera sale       u  to pasa nuevamente al a la misma velocidad para entrar al tanque B y de este tanque A, a una velocidad de 3 gal/min.           ti t s un tiempo t = 1hora = Calcular las cantidades de sal en ambos tanques en n 60min..    , I (Rta.: tanque A = 29,62 libras, tanque B =       u  ia 20,31 libras) q galones de agua pura. Una Ejercicio 2. Un tanque tiene inicialmente 100 o ti salmuera fluye al interior del salmuera que contiene libra de sal/galón      de n mezcla bien homogenizada sale tanque a una rapidez de 2 galones/min. y la Aes de 10 minutos el proceso se dedel tanque con la misma velocidad. Despu´ tiene y se introduce al tanque agua pura    d econ una rapidez de 2 galones/min, abandonando el tanque a la misma velocidad.    a d Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de d i 20 minutos.    rs (Rta.: 7,34 libras)       iv e n 100 galones de salmuera; 3 galones de Ejercicio 3. Un tanque contiene U de sal/galón de salmuera entran al tanque salmuera la cual contiene 2 libras La cantidad de CO2 en el l´ımite saludable es:

t

30

1 2

cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concentració n es de 1,8 libras de sal/galón de salmuera al cabo de 1 hora, Calcular las libras de sal que hab´ıan inicialmente en el tanque. (Rta.: 118,08 libras)

´ 3.3. PROBLEMAS DE DILUCION

67

Ejercicio 4. Un depósito contiene 50 galones de salmuera en las que están disueltas 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, entra agua al depósito a raz´ on de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrar a un segundo dep´ osito que conten´ıa inicialmente 50 galones de agua pura.La salmuera sale de este dep´ osito a la misma velocidad.Cuándo contendr´ a el segundo dep´ osito la mayor cantidad de sal? (Rta.: cuando t 25 minutos)

     c as       a  ti que Ejercicio 5. Un tanque contiene inicialmente agua pura. Salmuera contiene 2 libras de sal/gal. entra al tanque a una velocidad de    em4 gal./min. Asumiendo la mezcla uniforme, la salmuera sale a una velocidad    a t de 3 gal./min. Si la concentraci´ o n alcanza el 90 % de su valor m´ aximo en 30 minutos, cal   M cular los galones de agua que hab´ıan inicialmente en el tanque. (Rta.: Q = √ − )    d e   to i  t×u 8 × 4 mt. contiene Ejercicio 6. El aire de un teatro de dimensiones 12 t minutos el aire, de 0,12% de su volumen de CO . Se desea renovar en 10 s modo que llegue a contener solamente el 0,06% de CO n . Calcular el núme I ro de mt. por minuto que deben renovarse, suponiendo , que el aire exterior a contiene 0,04 % de CO .    u i (Rta.: 53,23 mt. de aire/minuto)          t i o q Ejercicio 7. Aire que contiene 30 % de ox´ ıgeno n puro pasa a través de un frasco que contiene inicialmente 3 galones de A ox´ıgeno puro. Suponiendo que   d e hallar la cantidad de ox´ıgeno la velocidad de entrada es igual a la de salida; existente después de que 6 galones de aire han pasado por el frasco.      d  a d (Rta.: 1,18 galones)       si    e50r litros de agua. Al tanque entra salEjercicio 8. Un tanque contiene iv litro, a razón de 1.5 litros por minuto. muera que contiene k gramos de sal   por n tanque a razón de un litro por minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del U cabo de 20 minutos. Hallar el valor de k. Si la concentraci´ on es 20 gr/litro al ≥

4

30 10 1

3

2

2

3

2

3

(Rta.: k = 47,47)

Ejercicio 9. Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque fluye salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a raz´ on de 5 galones por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a raz´ o n de 10 galones por minuto. Si la cantidad máxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minutos.

68 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN Cual era la cantidad de sal inicial en el tanque? (Rta.: 375 libras) on de colorante Ejercicio 10. Un tanque contiene 200 litros de una soluci´ con una concentraci´ o n de 1 gr/litro. El tanque debe enjuagarse con agua limpia que entra a razón de 2 litros/min. y la solución bien homogénizada sale con la misma rapidez. Encuentre el tiempo que trascurrir´ a hasta que la concentraci´ on del colorante en el tanque alcance el 1 % de su valor original. (Rta.: 460.5 min.)

     c as       a  ti       t em 3.4. VACIADO DE TANQUES a    M   d e lleno de agua Un tanque de una cierta forma geométrica est´ a inicialmente hasta una altura H . El tanque tiene un orificio en el fondo cuya a´rea es A       u  torazón volumétrica de pie . Se abre el orificio y el l´ıquido cae libremente. La salida es proporcional a la velocidad de salida           tyi t al a´rea del orificio, es decir,      In s , dQ = −kAv,     ia dt   q u √ 2gh, por lo tanto, aplicando la ecuaci´ on de energ´ıa: mv = mgh v = ⇒      t io    n dQ = − kA A2gh dt   d e donde g = 32 pie/seg = 9,81 mt./seg.      d  a d       si del orificio: La constante k depende de la forma    er Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.        n iv Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0,75. U 2

dQ dt

1 2

2

2

2

Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6.

Caso 1. Cil´ındro circular de altura H 0 pies y radio r pies, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de di´ ametro φ ′′ (pulgadas) (Ver figura 3.7).

3.4. VACIADO DE TANQUES

69

R

     c as       a  ti       t em   a    M   d e Figura 3.7       u  to           ti t n s  dQ = − kA 2gh I dt , a    u i   √ dQ φ φ √ q = −0,6π 2 × 32 × h = dt 24         t io − 4,8π 576 h   n pero A   e dQ dh dQ = πr dh ⇒ d = πr dt dt    √ d a Como (3.5)= (3.6): πr = −    φ    si d h r e y separando variables: dh     iv 4,8 √ h = − n 576r φ dt    U H 0

2

2

2

2

4,8π 576

2 dh dt

(3.5)

(3.6)

2

2

2

1

h− 2 dh =

√ −

e integrando: 2 h =

4,8 φ2 576r2

4,8 φ − 576r 2

2

dt

t + C .

Con las condiciones iniciales: t = 0, h = H 0 , hallamos la constante C .

70 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

h

dh

•

•(0, R)

   as φ′′         t ic x H   a       t em   a Figura 3.8    M    d e El tiempo de vaciado (t ): se obtiene cuando h =       u  t0.o Hallar t       ti t Caso 2. El mismo cil´ındro anterior pero dispuesto    n s horizontalmente y con el orificio en el fondo (Ver figura 3.8).    , I    ia   4,8πφ u √  dQ q = −kA 2gh = − (3.7)          t io 576 h dt   n pero de la figura 3.8, tenemos: A   d e × dh dQ = 2x × H    a d y también          si d r e (x − 0) + (h − r) = r ⇒ x + h − 2rh + r = r        n iv luego    U R

0

v

v

2

0

2

2

x =

2

2

2

√

−h

√

−h

2rh

2

sustituyendo dQ = 2 2rh

2

H 0 dh

2

2

3.4. VACIADO DE TANQUES

•

71

R

   as H r dh         t ic   a h       t em   a    M φ′′    d e Figura 3.9       u  to           ti t n s √ dQ dh ⇒ dt = 2H 2rh − h dt  , I       u  ia (3.8) = (3.7): o q √ dh 4,8πφ √ 2H 2rh − h = − hi dt 576 t n √ √ dh 4,8πφ   A√ 2H h 2r − h = − h, donde h  =0 576 e dt √ 2r − h dh = − 4,8πφ d dt    a d576 H 2 ×          si d condiciones iniciales: en t = 0 h = 2r, con ella hallo constante    v er de integración.       ni cuando h = 0. Hallar t . El tiempo de vaciado t se produce    U 0

2

0

(3.8)

2

2

0

2

0

2

0

0

v

v

Caso 3. Un cono circular recto de altura H 0 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de di´ ametro φ ′′ (Ver figura 3.9).

dQ = dt

−kA



2gh =

−0,6π

 ′′  √ φ 24

2

2

× 32h

72 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN dQ = dt

−

√

4,8πφ 2 h 576

(3.9)

Por semejanza de tri´ angulos tenemos que: R H 0 = r h

⇒ r = Rh H

(3.10)

   as y como dQ = πr dh entonces, sustituyendo (3.10): dQ = π     ic dh     a t    em dQ πR dh (3.11) ⇒ dt = H h dt     a  t    M √ 2 2   d e 4,8πφ πR 2 dh (3.9) = (3.11): h h − dt 576 H 02 o t 2 2 H 0 i  tu ⇒ h 32 dhdt − 4,8φ 2 576R       n   s t Condiciones iniciales: cuando t = 0, h = H    , I ia 0. Hallar t .       u h = El tiempo de vaciado t se produce cuando o q Ejercicio 1. Un tanque semiesférico tiene       n  ti un radio de 1 pie; el tanque está inicialmente lleno de agua y en el fondo tiene un orificio de 1 pulg. de diámetro. Calcular el tiempo de vaciado. A (Rta.: 112 seg.)    d e    a d de radio R y altura H   tiene su vértice Ejercicio 2. Un cono circular recto d i hacia abajo. El tanque tiene un orificio    rs en el fondo cuya a´rea A es controla da por una válvula y es proporcional    v e a la altura del agua en cada instante. Suponiendo que el tanque est´ a lleno       ni de agua, calcular el tiempo de vaciado. Del tiempo de vaciado, ¿qué porcentaje es requerido para vaciar la mitad del    U volumen? 0

R2 h2 H 02

2

2

2

2 0

=

=

0

v

v

(Rta.: el porcentaje requerido para bajar la mitad del volumen es 29,3 %) ubico de lado 4 pies, est´ a lleno de agua, la cual Ejercicio 3. Un tanque c´ 1 sale por una hendidura vertical de 8 pulg. de ancho y de 4 pies de alto. Encontrar el tiempo para que la superficie baje 3 pies. (Ayuda: encontrar el n´ umero de pies c´ ubicos por segundo de agua que salen de la hendidura cuando el agua

3.5. APLICACIONES A LA FISICA

73

tiene h pies de profundidad). (Rta.: 360 segundos.) ubico Ejercicio 4. Encontrar el tiempo requerido para llenar un tanque c´ de lado 3 pies si tiene un orificio circular de 1 pulg. de di´ ametro en la base y 3 si entra agua al tanque a raz´ on de π pies /min. (Rta.: 26 min, 14 seg.)

     c as       a  ti un aguEjercicio 5. Un tanque rectangular vac´ıo de base B pies , tiene jero circular de a´rea A en el fondo. En el instante t = 0, empieza    em a llenarse a razón de E   pies c´ ubicos por segundo. Hallar t en funci´ on de h. Mostrar que si t √ a el tanque tiene una altura H ,nunca se llenar´ıa a menos que E > 4,8 A H .  √ √    M (Rta.: t = b ln −√ − h , b > h, donde, a = , e b = .) d to parte superior y 2 Ejercicio 6. Un embudo de 10 pies de diámetro en    la tu 24 pies. Si se llena pies de diámetro en la parte inferior tiene una altura    de i    s t de agua, hallar el tiempo que tarda en vaciarse. (Rta.: 14,016 seg.)     ,  In       u  ia geométrica esta lleno de Ejercicio 7. Un tanque con una cierta forma agua. El agua sale por un orificio situado en la base a una rata proporcional q a la ra´ız cuadrada del volumen restante en el   tanque t io en todo tiempo t. Si el tanque contiene inicialmente 64 galones de agua n y 15 galones salen el primer d´ıa, calcular el tiempo en el cual hay 25 galones A en el tanque. (Rta.: 72 horas)    d e    a d radio en la parte superior y 1 pie Ejercicio 8. Un embudo de 5 pies de          saltura i d de H  pies. Si se llena de agua: de radio en la parte inferior tiene una    er tiempo de vaciado qué porcentaje es a) Hallar el tiempo de vaciado; b) Del necesario para que el nivel baje a     ? iv √ (Rta.: a) 2,86 H ; b) 86.41 %) n    U 2

2

a

b

b

h

2

4,8 A

E

B2

4,8 A

H

4

3.5.

APLICACIONES A LA FISICA

Caso 1. Ca´ıda libre. (Ver figura 3.10) Por la segunda ley de Newton (ver textos de F´ısica), se llega a que:

74 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN O x

•m g

     c as       a  ti + x       t em   a    M Figura 3.10    d e       u  to t   i dx d dx dv t s mg m = m = m = dt dt dt dt    In , dv a = g ⇒ v = gt + C    q u i dt tomemos como condiciones iniciales:       n   t io t = 0 v = v ⇒ v = A gt + v por lo tanto, = gt + v , e integrando,    d e obtenemos: gt       a d x = + v t + C 2 i d       e rs iniciales: t = 0 x = x y tomemos las siguientes condiciones    ivgt   n 2 +v t+x ⇒ x =    U •

2

2

1

0

dx dt

0

0

2

0

2

0

2

0

0

Caso 2. Ca´ıda con resistencia del aire. Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo entonces por la segunda ley de Newton (ver textos de F´ısica), se llega a que: d2 x m 2 = mg dt

− kv

3.5. APLICACIONES A LA FISICA

75

dividiendo por m d2 x = g dt2 dv = g dt

− mk v − mk v

   as obtenemos la E.D. lineal en v         t ic   a dv k + v = g. dt m       t em   a Hallemos el F.I.    M  F.I. = e = e    d e   to resolviéndola        ti  tu       In s ve = e (g) dt + C , m a    u i ve = g e + C k o q. m v = g + Ce − k       n  ti Supongamos que las condiciones iniciales Ason: t = 0, v = 0 (es decir, parte del reposo), entonces    d e mg mg 0= + C ⇒       a d C = − k k          si d  mg mg −    er mg  − v = − k e     iv = k 1 − e ; k obsérvese que cuando t → ∞ ⇒ vn → .    U k dt m

k t m

k t m

k t m

k t m

k t m

k t m

k t m

kt m

mg k

Resolviendo para x y teniendo como condiciones iniciales t = 0 y x = 0 se llega a que: mg m 2 g − mk t ) x = t (1 e k k2

−

−

76 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

Caso 3. Cuerpos con masa variable. Por la segunda ley de Newton para masa variable (ver textos de F´ısica), se llega a que:

     c as        a  ti    em  dv dm dm dm       a t m +v = F + v +ω dt dt dt dt M   d e por tanto,  dv dm m = F + ω       u  to dt dt t combustible de Ejemplo 5. Un cohete con masa estructural m   ,   i contiene t masa inicial m ; se dispara en l´ınea recta hacia arriba, n s desde la superficie de la tierra, quemando combustible a un ´ındice constante a    , I (es decir, = −a, donde m es la masa variable total del cohete) ya expulsando los productos de escape hacia atr´ as, a una velocidad constante     q   u i b en relación al cohete. Si se desprecian todas las fuerzas exteriores excepto la fuerza gravitacional mg, donde g la suponemos constante; encontrar       n   lat io velocidad y la altura alcanzada en el momento de agotarse el combustible (velocidad y altura de apagado). A Solución:    d e    a d Como = − a ⇒ m = − at + C          si d En t = 0, m = m + m luego    v er m + m = −a 0 + C por tanto, i n C = m + m , ⇒ m = m + m − at    U d d dm F = (mv) (mv) = F + (v + ω) dt dt dt donde, F : Fuerzas que act´ uan sobre el cuerpo, ω: velocidad en relación a m de las part´ıculas que se desprenden del cuerpo.



⇒

1

2

dm dt

dm dt

1

1

1

Como ω =

2

1

1

2

2

1

1

2

−b entonces, m

dv = dt

o sea que, m dv = dt

dv m = − mg − b(−a) −mg − b dm ⇒ dt dt

−mg + ab

3.5. APLICACIONES A LA FISICA Reemplazo m: (m1 + m2 at) dv = (m1 + m2 dt dv dividiendo por m1 + m2 at: dt = g + m1 +ab m2 −at luego

−

−

−

−

77

− at)g + ab

−gt − aba ln |m + m − at| + C = − gt − b ln |m + m − at| + C    asC Condiciones iniciales: en t = 0, v = 0 ⇒ 0 = 0 − b ln |m + m | + por tanto C = b ln |m + m |         t ic v =

1

2

2

1

2

1

2

v =

1

2

2

2

   m a      a  te

2

m1 + m2 gt + b ln m1 + m2 at

 

−gt − b ln |m + m − at| + b ln |m + m | = − − Pero ten´ıamos que m = m +m − at y como el tiempo de apagado se produ M m + m − at. ce cuando m = m ya que no hay combustible, es decir, m = Por tanto at = m ⇒ t = o sea que cuando t = ⇒    d ev = velocidad de 1

2

1

1

1

2

2

m2 a

m2 a

1

1

2

      u  to           ti t Sustituyendo, queda que n s    m + m    , I  gm + b ln  v = − a m + m −      u  iaa   luego v = − + b ln          t i o q   n De la misma manera se encuentra que h = altura alcanzada al acabarse mA m g bm bm el combustible = − + + ln e d + m 2a a a m      d  a d Caso 4. Cuerpos en campo gravitacional variable. (Ver figura 3.11)       sNewton i Por la ley de Gravitación Universal de (ver textos de F´ısica):    GM er m F =        n (x iv + R)    U donde, 2

apagado.

2

1

1

m2 g a

2

m2 a

2

m1 +m2 m1

2 2 2

a

2

1

1

1

2

2

x: la distancia del cuerpo a la superficie de la tierra. M : la masa de la tierra. m: la masa del cuerpo. R: el radio de la tierra. G: la constante de gravitación universal.

78 CAPÍTULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN

•m +

     c as      ti M   a       t em   a    M Figura 3.11    d e       u  to Se define el peso de un cuerpo como w(x) = t , donde k = GM .       s  tlai superficie de la tierra Si x = 0, entonces el peso del cuerpo de masa m en In el peso de un cuerpo es: w(0) = mg = , entonces k = gR , por lo   tanto = a una distancia x de la superficie de la tierra es: .      ia ,w(x)   q u arriba de la tierra con Ejemplo 6. Se lanza un cuerpo de masa m hacia     t io velocidad inicial v . Suponiendo que no hay   resistencia del aire, pero tomando n con la altura, encontrar la en cuenta la variaci´ on del campo gravitacional Acuerpo para que no regrese a la menor velocidad inicial v que necesita el   d e velocidad de escape (Ver figura tierra. Esta velocidad inicial v se le llama 3.12).      d  a d       si Solución:    er dv    w(x) v = − mgR i m = − dt n (x + R) U la dirección de la fuerza es hacia el centro donde el signo menos indica que k1 m

1

(x+R)2

k1 m R2

1

2

mgR 2 (x+R)2

0

0

0

2

2

de la tierra. Cancelando m, y resolviendo la ecuaci´ on diferencial resultante y poniendo como condiciones iniciales, en t = 0, x = 0 y v = v 0 , se llega a que: v 2 = v 02

−

2gR +

2gR 2 x+R

≥ 0

3.5. APLICACIONES A LA FISICA

79

x +

• •w(x) 

     c as       a  ti 0 tierra    em R ·     a t    M   d e Figura 3.12       u  to           ti t Por lo tanto, v ≥ 2gR √ s n de aqu´ı conclu´ımos que la velocidad de escape v =    , I 2gR    u  ia de 60 millas/hora Ejercicio 1. Un torpedo se desplaza a una   velocidad q se opone al movimiento en el momento de agotarse el combustible; si el agua o con una fuerza proporcional a su velocidad     y  tisi en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas/hora. ¿A que ndistancia se detendr´ a? A (Rta.: 2 millas)    d e Ejercicio 2. En el interior de la tierra    a d la fuerza de gravedad es propor cional a la distancia del centro, si se perfora un orificio que atraviese la tierra d i de polo a polo y se lanza una piedra en rs el orificio con velocidad v , con que velocidad llegar´ a al centro? v e  (Rta.: v = gR + v , donde R es eli radio de la tierra.)   n U en una tabla de h = 10 cm. de espeEjercicio 3. Una bala se introduce 2 0

0

0

2 0

sor con una velocidad v0 = 200 mt/seg, traspas´ andola con v1 = 80 mt/seg. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el tiempo que demora la bala en atravesar la tabla. 3 (Rta.: t = h0 (v1 − vv01) = 4000ln2 seg.) ,5 v0 v1 ln

v0

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