Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales en La Ingeniería Civil

DEFLEXION DE VIGAS USANDO ECUACIONES DIFERENCIALES

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Contenido APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA CIVIL:..2 DEFLEXIÓN DE VIGAS USANDO ECUACIONES DIFERENCIALES............................2 INTRODUCCIÓN................................................................................................ 2 OBJETIVOS........................................................................................................ 3 MARCO TEÓRICO.............................................................................................. 3 A) Deflexión de vigas.................................................................................. 3 PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS:.....................................................................4 A) Para un puente simplemente apoyado:..................................................4 CONCLUSIONES.............................................................................................. 13 BIBLIOGRAFÍA................................................................................................. 13

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA CIVIL: DEFLEXIÓN DE VIGAS USANDO ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales se usan para obtener resultados aproximados en distintos campos, uno de ellos es la Ingeniería Civil y la Física (que están ligadas estrechamente). En el presente trabajo presentamos un sistema masa – resorte, cuya masa estará conformada por una viga unida a dos resortes, en cuyo centro le aplicaremos una masa para que esta viga se deflexione, y el resorte adopte una postura de fuerza de restitución. Generalmente, este tipo de sistemas se dan en los sistemas antisísmicos (amortiguadores y aisladores de energía), por lo que son muy usados en la construcción de edificios.

OBJETIVOS 

Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical (flecha)



Relacionar el curso de Ecuaciones Diferenciales con la vida real.

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MARCO TEÓRICO

A) Deflexión de vigas La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones la ecuación diferencial de la elástica viene dada por:

DONDE:

Representa la flecha, ordenada (eje y) o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. La abscisa (eje X) sobre la viga. El momento flector sobre la abscisa . El segundo momento de área o momento de inercia de la sección transversal. El módulo de elasticidad del material. La ecuación (1) constituye sólo una aproximación, en la que se ha supuesto que las deformaciones son muy pequeñas con respecto a las dimensiones de la viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una sección de la viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones mayores se obtiene la ecuación más exacta (1'):

La ecuación de la elástica (1) puede ser reescrita en función de la carga distribuida q(x) sobre la viga:

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PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS:

A)Para un puente simplemente apoyado:

Se observa y mide una deflexión de 0.08 cm, máxima en el tramo medio BC encontrada en el puente, se procederá a hacer los cálculos experimentales para demostrar. 3.6 Tn

14.8 Tn

R

4.2 m

14.8 Tn

9.0 m

A

B

C 12 m

12 m

A’

B’

X

e/2

B’’ e/2

C’ p

q

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5 L = 12 m CARGA TOTAL:

FR: 3.6 + 14.8 + 14.8 = 33.2 Tn MASA DE LA VIGA: Usando la densidad de la madera D = 0.675 gr/m3: Madera Cumala Wv = ancho x largo x largo x N vigas x D Wv = 0.2 x 0.10 x 24 x 4 x 675 = 1296 Kg Aplicando sumatorias en el punto del momento:

∑ M C' =0 33.2 p = 14.8(9)+3.6(13.3) P = 5.45 m 9 m = e+p e = 3.55 m Por lo tanto se sabe: X = (2L-e)/2

→ X = (2*12-3.55)/2

X =10.23 m Hallamos q : 24=x + e + p + q 24 = 10.23+3.55+5.45+q q = 4.77 m

3.6 Tn

14.8 Tn

R

4.2 m

14.8 Tn

9.0 m

A

B

C 12 m A’

12 m B’

B’’

C’

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10.23

1.76

1.76

5.45

4.77

∑ MB=0 12RA + 32.20(1.76) = 12RC →RC = 4.87+RA …….(i)

∑ FY =0 RA+RB+RC=33.20+23.40 Reemplazando RC de la ecuación (i) RA+RB+4.87+RA=66.24 →RB = 51.2-2RA TRAMO A A’: W = 0.960072 tn/m

0 ≤ x ≤ 5.93

El peso W fue sacado del metrado de cargas. M1 A

N

RA

A’ 5.93

M1(X) = RA(X) + 0.960072(X)(X/2) M1(X) = RA(X) +0.48

X2

M1(5.93) = RA(5.93) +0.48

5.932

M1(5.93) = RA(5.93) +16.88 …………. ii M1(5.93) = 43.09

TRAMO A’B: W = 0.960072 tn/m El peso W fue sacado del metrado de cargas.

0 ≤ x ≤ 4.30

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7 3.6 tn M1

M2

A

N

A’

B’ 4.30 m

M2(X) = 36(X) + 0.960072(X)(X/2)-M1(5.93) M2(X) = 5.93RA-2.30 ….. iii M2(4.30) = 23.91 TRAMO B B’: W = 0.960072 tn/m

0 ≤ x ≤ 1.76

El peso W fue sacado del metrado de cargas. 14.8 Tn

M3

A

N

B’ 1.76 M3(X) = 14.8(X) + 0.48 X

2

M3(X) = 14.8(X) + 0.48 X

2

-M2(4.30) -5.93RA-2.30

M3(1.76) = 26.23 -5.93RA=0 →RA = 4.42 RB=51.2-2RA RB=51.2-2(4.42) →RB = 42.35 RC=4.87+RA RC=4.87+4.42 →RB = 9.29 TRAMO BC: W = 0.960072 tn/m

0 ≤ x ≤ 7.25

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El peso W fue sacado del metrado de cargas. RB=42.35

M1

B

C’

N

V 7.25 M4(X) = RB(X) + 0.48 X

2

M4(X) = 42.35(X) + 0.48 X

2

M4(7.25) = 332.27 TRAMO CC’: W = 0.960072 tn/m

0 ≤ x ≤ 1.76

El peso W fue sacado del metrado de cargas. M53 C

N

4.77 M5(X) = RC(X) + 0.48 X M5(X) =9.29 + 0.48 X

2

2

M5(1.76) =55.23

Ya que el momento 4 es el más grande, lo tomamos como referencia para hallar las ecuaciones correspondientes M B

C’

V X M(X)= RB(X)+ 0.48 X

2

N

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9 M(X)= 42.35 0.48 X

2

Con la siguiente formula de flexión encontramos: Y’’= -M/EI Y’’= 42.35X/EI-0.48 X Y’’p= 12A X

2

2

/EI …… (A)

+6B

SOLUCIÓN HOMOGENEA Y’’=0 ECUACION CARACTERISTICA

K 2 =0

K=0 MULTIPLICIDAD 2

Yg(X)= C1+C2X ,ec general SOLUCION PARTICULAR Y’p=A X

4

+B X

Y’’’p=12 AX

2

3

+CX

+6B X

3

+C……..(B)

IGUALAMOS (A) + (B) 12 AX

2

+6B X

3

+C = 42.35X/EI-0.48 X

2

/EI

Pero: EI = 1736.57 x C=0 ,

102

A= -0.0000230,

Yg= -0.0000230 X Yg(0)= 0

N/m2

4

B= -0.000041

-0.000041 X

3

+C2x+C1

→C1=0

Yg(6)= -0.0091+6*C2 Yg(6)= -0.08 CONCLUSION:

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Por lo que se concluye que el resultado matemático es cercano al resultado experimental.

B) Para la viga:

∑ Fy = 0 2 F = 69.163 → F = 34.58 N Tramo A – B (0 ≤ X ≤ 0.51)

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M + 2.9 X (X/2) = 34.58 X M = 34.58 X – 1.45 X2 E . I . y’’ = 34.58 x – 1.45 x2 

E . I . y’ = 17.29 x2 – 0. 48 x3 + C1



E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 + C1 x + C2 Como y’ (0.51) = 0 = 17.29 (0.51)2 – 0. 48 (0.51)3 + C1 Ensconces C1 = -4.43 Como y (0) = 0 → C2 = 0



E. I. y = 5.76 x3 - 0.12x4 -4.43 x

FLECHA MAXIMA:

y ( 0.51 )=

−1 (−1.5 ) E. I

y ( 0.51 )=

1 ( 1.5 ) E. I

0 .51 ¿ 3 5 .76 ( 0 . 51 ) −0 . 12(¿¿ 4−4 . 43 ( 0 . 51 )) 1 − y ( 0 .51 )= ¿ E.I

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CONCLUSIONES  Se obtuvo las ecuación de la curva elástica de la viga, y la flecha máxima con un valor de -0.008

BIBLIOGRAFÍA 

Prof. CASTILLO T., Dionel C. “Movimiento de una masa unida a un resorte”. http://www.slideshare.net/dionel11/oscilaciones12541296#btnLast

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Apuntes de clase.

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