Aplicaciones de Las Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

UNIERSIDAD DE LA COSTA “CUC” APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

POR: JUAN DE DIOS CAMACHO R. ANDRES FELIPE ARIZA JORGE ELIECER ALDANA ALVARO CHARRIS. RANDY QUINTERO Z. ANGELICA GOMEZ

A: SANDRA LORA

GRUPO: DD1

BARRANQUILLA - ATLANTICO 10-2015

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

INTRODUCCIN Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente: Y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente, X, así:

En donde Dy(x), D

2

y(x),! D

2

y(x) son las derivadas de orden ", #, ! ! ! ,n de la

función y(x)! $or analo%ía con las ecuaciones diferencial diferenciales es de pri&er pri&er orden, una solución %eneral de la ecuaci ecuación ón dife difere renci ncial al es una una fa&i fa&ili liaa de curv curvas as del del plan plano o que cont contie iene ne ' cons consta tant ntes es arbitrarias, sí:

Esta es una ecuación diferencial de se%undo orden con coeficientes constantes:

a función % es la entrada (función de entrada o función for*ada) del siste&a! a salida o respuesta del siste&a es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a (to) (to) que satisface las condiciones iniciales prescritas

!

1. S!"#$%&" S!"#$%&" '$ ($")(#$ ($")(#$ * %&"&: %&"&: %)+!%!$,#) %)+!%!$,#) !($ !($ ,) &%)(#!/& &%)(#!/&'). '). ey de +ooe -upon%a&os -upon%a&os que, co&o en la fi%ura "(b), "(b), una &asa (&") est. est. unida a un /esorte /esorte flexible col%ado col%ado de un soporte soporte rí%ido! 0uando se ree&pla*a ree&pla*a (&") con una &asa distinta (&#), el estira&iento, elon%ación o alar%a&iento del resorte ca&biar.!

1i%ura "! 2asa unida a un resorte! -e%3n la ley de +ooe, el resorte &is&o e4erce una fuer*a de restitución, F, opuesta a la dirección del alar%a&iento y proporcional a la cantidad de alar%a&iento s. En concreto, F = R"  donde    es una constante de proporcionalidad lla&ada constante del resorte. unque las &asas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este est. caracteri*ado esencial&ente por su n3&ero k 5 por e4e&plo, si una &asa que pesa "6 libras estira "7# pie un resorte, entonces "6 8 ("7#) i&plica que  8 #6 lb7ft! Entonces, necesaria&ente, una &asa cuyo peso sea de 9 libras estirar. el resorte #7 de pie!

S$/,'& $* '$ N$3#),: Despu;s de unir una &asa 2 a un resorte, ;sta lo estira una lon%itud s y lle%a a una  posición de equilibrio, en la que su peso, # ft7s#, ?!9 &7s# o ?96 c&7s#, respectiva&ente! 0o&o se aprecia en la fi%ura #(b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. -i la &asa se despla*a una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuer*a de restitución del resorte es (x @ s)! -uponiendo que no Aay fuer*as de retardo que act3en sobre el siste&a y que la &asa se &ueve libre de otras fuer*as externas 4%)+!%!$,#) !($ entonces  pode&os i%ualar la se%unda ley de 'eBton con la fuer*a neta, o resultante, de la fuer*a de restitución y el peso:

El si%no ne%ativo de la ecuación (") indica que la fuer*a de restitución del resorte act3a en la dirección opuesta del &ovi&iento! de&.s, pode&os adoptar la convención que los despla*a&ientos &edidos aba4o de la posición de equilibrio son positivos (1i%! >)!

1i%ura #! -iste&a cuando est. en equilibrio y en &ovi&iento!

1i%ura >! 0onvención de despla*a&iento &edido en la posición de equilibrio!

E6&6!7, '!8$($,6!& '$ %)+!%!$,#) !($ ,) &%)(#!/&'): -i dividi&os la ecuación (") por la &asa m, obtendre&os la ecuación diferencial de se%undo orden

Donde

w

!

2

 8 klm. -e dice que la ecuación (#) describe el &ovi&iento ar&ónico si&ple o

&ovi&iento libre no a&orti%uado! Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (#) son x(C) 8 o, la cantidad de despla*a&iento inicial, y x(C) 8 , la velocidad inicial de la &asa! $or e4e&plo, si αF 6,  G 6, la &asa parte de un punto aba4o de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. -i α G 6,  8 6, la &asa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado 7α/ unidades arriba de la posición de equilibrio, etc;tera!

S)6!7, * $6&6!7, '$ %)+!%!$,#) $ara resolver la ecuación (#) observe&os que las soluciones de la ecuación auxiliar  2 2 w + m = 0  son los n3&eros co&ple4os m1=wi , m2=−wi !

la solución %eneral de (#) es:

-olución!

El periodo de las vibraciones libres que describe (>) es T 8 #Hr7B, y la frecuencia es f = l/T  = B7#π! $or e4e&plo, para x(t) 8 #cos3t I Jsen3t, el periodo #π 7> y la frecuencia es >7# π! El n3&ero anterior indica que la %r.fica de x(t) se repite cada #π 7> unidades y el ulti&o nu&ero indica que Aay tres ciclos de la %r.fica cada #Hr unidades o, lo que es lo &is&o, que la &asa pasa por >7#π  vibraciones co&pletas por unidad de tie&po! de&.s, se puede de&ostrar que el periodo #π 7> es el intervalo entre dos &.xi&os sucesivos de  x(t). K;n%ase en &ente que un &.xi&o de x(t) es el despla*a&iento positivo cuando la &asa alcan*a la distancia &.xi&a abajo de la posición de equilibrio, &ientras que un &íni&o de  x(t) es el despla*a&iento ne%ativo cuando la &asa lle%a a la altura &.xi&a arriba de esa  posición! &bos casos se deno&inan despla*a&iento extre&o de la &asa! $or 3lti&o, c 1 y c 2 cuando se e&plean las condiciones iniciales para deter&inar las constantes  en la ecuación (>), se dice que la solución particular que resulta es la ecuación del &ovi&iento!

EJEMPLO 1. R$")+$(. SOLUCIN: El proble&a equivale a tirar Aacia aba4o! Una &asa unida a un resorte "6 unidades de lon%itud respecto de la posición de equilibrio, su4etarla Aasta que t 8 6 y soltarla desde el reposo en ese instante! l aplicar las condiciones iniciales a la solución!

-e obtiene x(C) 8 "68

c 1+ c 2

0o&o x’(t) 8 IJ6 sen 4t @ J

c2

! 6, y entonces

c1

8 "65 por consi%uiente

cos 4t, entonces x (6) 8 6 8 J

c2

! ", así que

c2

8 65

 por consi%uiente, la ecuación del &ovi&iento es x(t) 8 "6 cos 4t. Est. claro que la solución indica que el siste&a per&anece en &ovi&iento una ve* puesto en &ovi&iento y la &asa va y viene "6 unidades a cada lado de la posición de equilibrio x 8 6! 0o&o se advierte en la fi%ura J(b), el periodo de oscilación es #π 7J8 π 7J!

1i%ura J(a)! -iste&a &asa resorte!

1i%ura J(b)! Lrafica de periodo de oscilación!

E4e&plo #! 2ovi&iento libre no a&orti%uado! Una &asa que pesa # Mb! Aace que un resorte se estire N in! 0uando t 8 6, la &asa se suelta desde un punto a 9 in aba4o de la posición de equilibrio con una velocidad inicial, Aacia arriba, de J7>ft7s! Dedu*ca la ecuación del &ovi&iento libre!

SOLUCIN. 0o&o e&plea&os el siste&a t;cnico de unidades in%lesas, las &edidas expresadas en  pul%adas se deben pasar a pies: N ín 8 "7# ft5 9 in 8 #7> ft! de&.s, debe&os convertir las unidades de peso, que est.n en libras, en unidades de &asa! $arti&os de & 8 , x(C) 8 IJ7>, donde el si%no ne%ativo en la 3lti&a condición es consecuencia de que la &asa recibe una velocidad inicial en dirección ne%ativa o Aacia arriba!

  Entonces,

w

2

 8 NJ, o sea, B 8 9, de &odo que la solución %eneral de la ecuación

diferencial es

2

l aplicar las condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtienen

c 1=

3

1

 y c 2=

6

! sí, la

ecuación Del &ovi&iento es

F)(%& &#$(,&#!+& '$ 94#: 0uando

c 1 ≠ 0 y c 2 ≠ 0

, la a&plitud  de las vibraciones libres no se puede conocer de

in&ediato exa&inando la ecuación (>)! Esto es, aunque la &asa tiene un despla*a&iento inicial de #7> de pie respecto a la posición de equilibrio en el e4e&plo #, la a&plitud de las vibraciones es &ayor de #7>5 por lo anterior, a &enudo conviene pasar una solución de la for&a (>) a la for&a &.s si&ple

Donde

y O es un n%ulo de fase definido por:

$ara co&probarlo, desarrolla&os la ecuación (N) aplicando la fór&ula del seno de la su&a:

En la fi%ura  tene&os que si defini&os J &ediante

la ecuación (9) se transfor&a en:

1i%ura ! EPE2$C >! 1or&a alternativa de resolver el e4e&plo #! $ara la solución:

, 6, lo que es lo &is&o a a&plitud est. definida por:

0uando

c1

8#7> y

c2

8 "7N, resulta que tan φ 8 IJ!

0on una calculadora obtene&os tanIQ(IJ) 8 "!>#N rad!R $ero este .n%ulo est. en el cuarto cuadrante y, por consi%uiente, contraviene el AecAo que sen φ F 6 y cos φ G 6 (recorde&os que

c1

8 F6y

c2

8 G 6)! Entonces, debe&os suponer que φ es un .n%ulo

que est. en el se%undo cuadrante, φ 8 π @ (I"!>#N) 8 "!9 "N rad! sí lle%a&os a:

2. S!"#$%&" '$ ($")(#$ * %&"&: %)+!%!$,#) &%)(#!/&') !($. El concepto del &ovi&iento ar&ónico libre no es realista porque el &ovi&iento que describe la ecuación (") supone que no Aay fuer*as de retardo que act3an sobre la &asa en &ovi&iento!  &enos que la &asa est; col%ada en un vacío perfecto, cuando &enos Aabr. una fuer*a de resistencia debida al &edio que rodea al ob4eto! -e%3n se advierte en la fi%ura N, la &asa podría estar suspendida en un &edio viscoso o conectado a un dispositivo a&orti%uador!

E6&6!7, '!8$($,6!& '$ %)+!%!$,#) &%)(#!/&') !($: En &ec.nica, se considera que las fuer*as de a&orti%ua&iento que act3an sobre un cuerpo son proporcionales a al%una potencia de la velocidad instant.nea! En particular,

supondre&os en el resto de la descripción que esta fuer*a est. expresada por un &3ltiplo x / d t .0uando no Aay otras fuer*as externas aplicadas al siste&a, se si%ue constante de d  por la se%unda ley de 'eBton:

1i%ura N! Donde  es una constante de a&orti%ua&iento positiva y el si%no ne%ativo es consecuencia del AecAo de que la fuer*a a&orti%uadora act3a en dirección opuesta a la del &ovi&iento! l dividir la ecuación ("6) por la &asa m, la ecuación diferencial del &ovi&iento a&orti%uado libre es

El sí&bolo # S sólo se usa por co&odidad al%ebraica, porque así la ecuación auxiliar queda! y las raíces correspondientes son:

Aora pode&os distin%uir tres casos posibles que dependen del si%no al%ebraico de $uesto que cada solución contiene al factor de a&orti%ua&iento despla*a&ientos de la &asa se vuelven insi%nificantes cuando el tie&po es %rande!

os

0-C ": quí, se dice que el siste&a est. sobrea&orti%uado porque el coeficiente de a&orti%ua&iento, T, es %rande co¶do con la constante de resorte, ! a solución correspondiente de ("") es:

1i%ura H!

1i%ura 9!

Esta ecuación representa un &ovi&iento suave y no oscilatorio! a fi%ura H, &uestra dos %r.ficas posibles de x(t)!

CASO MM:

-e7dice que el siste&a est. crítica&ente a&orti%uado puesto que cualquier pequea dis&inución de la fuer*a de a&orti%ua&iento ori%inaría un &ovi&iento oscilatorio! a solución %eneral de la ecuación (ll) es:

En la fi%ura 9 ve&os dos típicos %r.ficos de este &ovi&iento! Cbs;rvese que se parecen &ucAo a los de un siste&a sobrea&orti%uado! Ka&bi;n se aprecia, se%3n la ecuación ("J), que la &asa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo &.s una ve*!

CASO III:

-e dice que el siste&a est. "&%)(#!/&') porque el coeficiente de a&orti%ua&iento es pequeo en co¶ción con la constante del resorte! Aora las raíces son co&ple4as:

Entonces, la solución %eneral de la ecuación (ll) es:

0o&o se aprecia en la fi%ura ?, el &ovi&iento que describe (") es oscilatorio pero, a causa del coeficiente las a&plitudes de vibración tienden a cero cuando

1i%ura ?! EPE2$C J! 2ovi&iento sobrea&orti%uado! -e co&prueba que:

Es

El proble&a se puede interpretar co&o representando el &ovi&iento sobrea&orti%uado de una &asa unida a un resorte! a &asa co&ien*a desde una posición " unidad abuso de la  posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de "ft7s! $ara %raficar x(t), se calcula el valor de t donde la función tiene un extre&o5 esto es, el valor del tie&po para el que la pri&era derivada (velocidad) es cero! l derivar la ecuación ("N) se lle%a a: así que x(t) 8 6 i&plica que ! De acuerdo con el criterio de la pri&era derivada y con la intuición física, V(6!"H) 8 "!6N? ft! Es, en realidad, un &.xi&o! En otras palabras, la &asa lle%a a un despla*a&iento extre&o de "!6N? ft aba4o de la posición de equilibrio! Ka&bi;n debe&os co&probar si la %r.fica cru*a al e4e t5 esto es, si la &asa pasa por la  posición de equilibrio! Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuación x(t) 8 6, o , tiene la solución que es física&ente irrelevante! En la fi%ura "6 &ostra&os la %r.fica de x(t) y al%unos de sus valores!

1i%ura "6!

EPE2$C ! 2ovi&iento crítica&ente a&orti%uado! Una &asa de 9 Mb! de peso estira # ft un resorte! -i una fuer*a de a&orti%ua&iento nu&;rica&ente i%ual a # veces la velocidad instant.nea act3a sobre el contrapeso, dedu*ca la ecuación del &ovi&iento si la &asa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad Aacia arriba de > ft7s!

SOLUCIN De acuerdo con la ley de +ooe, 9 8 (#) da  8 J lb7ft! Entonces < 8 &% da &8 "7Jslu%! Entonces la ecuación diferencial del &ovi&iento es:

a ecuación auxiliar de ("H) es:  sí, la ecuación del &ovi&iento es:

ve&os, a su ve*, que

$ara %raficar x(t)  procede&os i%ual que en el e4e&plo J! De que x’(t) 8 6 cuando t8 W! El despla*a&iento extre&o correspondiente es

tene&os

En la fi%ura ll ve&os que pode&os interpretar este valor co&o el  punto en que el contrapeso alcan*a una altura &.xi&a de 6!#HN ft sobre su posición de equilibrio!

1i%ura ""! EPE2$C N! Un ob4eto que pesa "N Mb! se une a un resorte de  ft de lon%itud! En la posición de equilibrio, el resorte &ide 9!# ft! -i el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a # ft arriba de la posición de equilibrio, deter&ine los despla*a&ientos, x(t). 0onsidere que el &edio que rodea al siste&a ofrece una resistencia al &ovi&iento nu&;rica&ente i%ual a la velocidad instant.nea!

SOLUCIN El alar%a&iento del resorte, despu;s de unir el peso, es 9!# I  8 >!# ft, de &odo que, se%3n la ley de +ooe, "N 8 (>!#), o sea  8  lb7ft! de&.s, &8"7# slu%s y la ecuación diferencial es:

as raíces de suba&orti%uado y que:

lo cual i&plica que el siste&a es

$or 3lti&o, las condiciones iniciales x(C) 8 I# y x(C) 8 6 deter&inan las constantes y

así que la ecuación de &ovi&iento es:

1or&a alternativa de x(t):  De &anera id;ntica al procedi&iento que e&plea&os lo si%uiente:

En la for&a alternativa!

En donde

y el .n%ulo de fase φ queda deter&inado por las ecuaciones:

En ocasiones, el coeficiente se deno&ina a&plitud a&orti%uada de las vibraciones! Dado que la ecuación (#>) no es una función periódica, el n3&ero se lla&a 2 2 0uasi periodo y 4 √ w + λ )/2π es la cuasi frecuencia! El cuasi periodo es el intervalo de tie&po entre dos &.xi&os sucesivos de x(t)! El lector debe co&probar que en la ecuación de &ovi&iento del e4e&plo , ! 8 # y (##) es:

! En consecuencia, una for&a equivalente de

. S!"#$%&" '$ ($")(#$ * %&"&: %)+!%!$,#) 8)((&'). E6&6!7, '!8$($,6!& '$ %)+!%!$,#) 8)(;&') 6), &%)(#!/&%!$,#) Aora to&are&os en cuenta una fuer*a externa, f(t), que act3a sobre una &asa oscilatoria en un resorte5 por e4e&plo(t) podría representar una fuer*a de i&pulsión que causara un &ovi&iento )scilatorio vertical del soporte del resorte (1i%! "#)! a inclusión f(t) en la for&ulación de la se%unda ley de 'eBton da la ecuación diferencial del &ovi&iento for*ado:

l dividir esta ecuación por & se obtiene:

1i%ura "#! Donde  "(t) =f(t)/m y, al i%ual que en la sección anterior, $ara resolver esta ecuación no Ao&o%;nea tene&os el &;todo de los coeficientes indeter&inados o el de la variación de  par.&etros! EPE2$C H! Mnterprete y resuelva el proble&a de valor inicial!

-CU0MC' $ode&os ver el proble&a co&o la representación de un siste&a vibratorio for&ado por una &asa: (& 8 "7 slu% o %) unida a un resorte ( 8 # lb7ft o '7&)!  a &asa parte del reposo a "7# unidad (ft o &) aba4o de su posición de equilibrio! El &ovi&iento es 2

&orti%uado ( β =1.2 ¿  y est. i&pulsado por una fuer*a externa periódica (K8 7# se%) que se inicia cuando t 8 6! 0abría esperar, intuitiva&ente, que aun con a&orti%ua&iento el siste&a  per&anecer. en &ovi&iento Aasta el &o&ento en que la función for*ada se desconectaraZ y en adelante las a&plitudes dis&inuyeran5 sin e&bar%o, tal co&o est. enunciado el proble&a, f(t) 8 cos 4t   per&anecer. conectadaZ por sie&pre! $ri&ero &ultiplica&os por  la ecuación diferencial (#N)!

Y la resolve&os con los &;todos acostu&brados! Dado que

de &odo que:

entonces

El siste&a resultante de ecuaciones:

tiene las soluciones  8 I #7"6#  B y 8 67"! En consecuencia

0uando Aace&os t 8 6 en la ecuación de arriba obtene&os Aace&os t 8 6, obtene&os

-i diferencia&os la expresión y

por consi%uiente, la ecuación de &ovi&iento es:

T!

E6&6!),$" '!8$($,6!&$" '$ %)+!%!$,#) 8)(;&') "!, &%)(#!/&%!$,#). 0uando se e4erce una fuer*a periódica y no existe fuer*a de a&orti%ua&iento, no Aay parte transitoria en la solución de un proble&a! \ere&os ta&bi;n que si se e4erce una fuer*a periódica cuya frecuencia es i%ual o casi i%ual a la de las vibraciones no a&orti%uadas libres, se puede ori%inar un %rave proble&a en un siste&a &ec.nico oscilatorio!

EPE2$C ?! Movimiento forzado no amortiguado /esuelva:

-CU0MC': a función co&ple&entaria es supondre&os que

$ara obtener una solución particular  de &odo que:

l i%ualar los coeficientes obtene&os de in&ediato

 x p ( t )=

 F 0 sen w

2

+ y

2

yt .

por consi%uiente:

plica&os las condiciones iniciales del proble&a a la solución %eneral

 x ( t )=c 1 coswt + c2 senwt +

 F 0 w

2

+ y

2

 senyt 

w w (¿ ¿ 2 + y )  F 0 5 por lo tanto, la solución es: c 2=− y 2

Y obtene&os

c 1=¿

6y

¿

R$"),&,6!& =(& unque la ecuación (>6) no est. definida cuando y 8 B, es interesante observar que su valor lí&ite, cuando y @ B, se puede obtener aplicando la re%la de +]pital Este proceso al lí&ite equivale a una sintoni*aciónZ de la frecuencia de la fuer*a i&pulsora con la de las vibraciones libres Espera&os intuitiva&ente que al paso del tie&po poda&os au&entar sustancial&ente las a&plitudes de vibración! $ara y 8 B, la solución se define co&o:

0o&o lo esper.ba&os, cuando t

[, los despla*a&ientos crecen5 de AecAo,



El fenó&eno que acaba&os de describir "$ lla&a ($"),&,6!& =(&. a %r.fica de la fi%ura "J &uestra un &ovi&iento característico de este caso! En conclusión, se debe notar que no Aay una necesidad real de e&plear un proceso al lí&ite en (>6) para lle%ar a la solución para y 8 B! Ka&bi;n, la ecuación (>") es consecuencia de resolver el proble&a de valor inicial directa&ente por los &;todos convencionales!

-i una fuer*a co&o la (>") representa en realidad los despla*a&ientos de un siste&a de resorte y &asa, este siste&a se destruiría! En 3lti&o t;r&ino, las oscilaciones %randes de la &asa for*arían al resorte a rebasar su lí&ite el.stico! Ka&bi;n se podría decir que el &odelo

1i%ura "J! /esonante de la fi%ura "J es irreal por co&pleto, porque no tiene en cuenta los efectos retardantes de las sie&pre presentes fuer*as de a&orti%ua&iento! -i bien es cierto que no se puede tener resonancia pura cuando se considera un a&orti%ua&iento &íni&o, ta&bi;n es cierto que se pueden desarrollar  a&plitudes %randes e i%ual&ente destructivas de vibración (pero acotadas cuando t [)! 

J!

SISTEMAS ANÁLOGOS.

C!(6!#)" $, "$(!$ /0 -e%3n plantea&os en la introducción a este capítulo, diversos siste&as físicos se  pueden describir con una ecuación diferencial lineal de se%undo orden se&e4ante a la de las oscilaciones for*adas con a&orti%ua&iento:

-i i(t) representa la corriente en el 6!(6!#) $