Aplicaciones de La Transformada Z

7.- APLICACIONES

7.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Recordemos que una ecuación diferencias lineal de orden n con coeficientes constantes tiene la forma.

an  1yk  n  an yk  n1  L  a2 yk 1  a1 yk  g (k )

Una ecuación de diferencias puede interpretarse como la ecuación que rige un sistema de datos muestreados donde los

y i 

, con

i  k , k  1,..., k  n

son los valores de las señales de

salida del sistema correspondientes a intervalos de tiempo son constantes y La transformada

g k z

T

, las

ai

con

i  0,1, 2,3,..., n

es una señal de entrada del sistema.

es usada para solucionar ecuaciones de diferencias lineales.

EJEMPLO 7.1 Considere la ecuación de diferencias de segundo orden. x(k + 2)+0.5x(k +1)+0.2x(k)= u(k)

Donde: u(k)= u s (k )  1

donde

f  0,1, 2,3,...

x( k ) x(0)  0 x(1)  0 z Las condiciones iniciales de son y . Aplicamos transformada en ambos lados de la ecuación, y obtenemos.

 z 2 X(z)- z 2 x(0) - zx(1) +0.5  zX(z)- zx(0) +0.2X(z) = U(z)

La transformada

z

u (k ) 

de

z . z 1

sustituimos las condiciones iniciales de X( z ) la ecuación anterior y solucionamos para , y se obtiene. X( z ) 

x(k )

y

U ( z)

en

z ( z  1)( z  0.5 z  0.2) 2

Aplicando el método de expansión en fracciones parciales se obtiene.

X( z ) 0.588 1.036e j1.283 1.036e j1.283    z z  1 z  0.25  j 0.37 z  0.25  j 0.37

Donde los exponentes en los coeficientes del numerador están en radianes. Aplicando la X ( z) z transformada de , resulta.

x(k )  0.588  1.036(0.447) k  e  j 2.165 k 1.283  e j 2.165 k 1.283

 0.588  2.072(0.447) k cos(2.165k  1.283)

con

k0

7.2 ANÁLISIS Y CARACTERIZACIÓN DE LOS SISTEMAS LTI USANDO LA TRANSFORMADA Z

La transformada

z

es muy importante en el análisis y representación de los sistemas LTI X( z ), Y ( z ), de tiempo discreto. Partiendo del teorema de convolución, donde son las trasformadas de la entrada, salida y respuesta al impulso del sistema, respectivamente. H(z), es una función de transferencia o la función del sistema. Para los sistemas caracterizados por ecuaciones lineales de diferencias con coeficientes constantes, las propiedades de la transformada

z

proveen un procedimiento muy

conveniente para obtener la función de transferencia, la respuesta en la frecuencia o la respuesta en el dominio del tiempo del sistema.

y  n y satisfacen la ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes.

EJEMPLO 7.2 Consideremos el sistema LTI en el cual la entrada y  n 

x  n

1 1 y  n  1  x  n   x  n  1 . 2 3

z Aplicando la transformada en ambos lados de la ecuación, y usando la propiedad de linealidad y la propiedad de desplazamiento en el tiempo, obtenemos.

Y( z ) 

1 1 1 z Y  z   X  z   z 1 X  z  2 3

O



1 1  1 3 z  Y( z )  X  z   1   1  z 1 2   Y por la propiedad de convolución tenemos: 1 1  z 1 Y ( z) 3 H (z)   X ( z ) 1  1 z 1 2

H (z) Esta proporciona la expresión algebraica de pero no la región de convergencia. De hecho, hay dos respuestas al impulso distintas que son consistentes con la ecuación de diferencias inicial, una derecha y otra izquierda. De modo que, hay dos posibles selecciones diferentes de la región de convergencia asociada con la expresión algebraica

z 

final. Una, z 

otra

1 2

1 2

está asociada con la suposición de que

está asociada con la suposición de que

h  n

h  n

es una señal derecha y la

es una señal izquierda.

N Para el caso más general de una ecuación de diferencias de orden , se procede de igual z forma que en el ejemplo anterior, aplicando la transformada en ambos lados de la ecuación y usamos las propiedades de linealidad y desplazamiento en el tiempo. Por consiguiente, consideramos un sistema LTI para el cual la entrada y la salida satisfacen una ecuación lineal en diferencias con coeficientes constantes de la forma.

N

N

k 0

k 0

 ak y  n  k   bk x  n  k 

Luego, N

a z k 0

k

k

N

Y z   bk z  k X z k 0

0, N

Y z

a z k 0

k

k

X z

N

b z k 0

k

k

De modo que, N

H (z) 

Y ( z)  X ( z)

b z

k

a z

k

k 0 N

k 0

k

k

Observemos en particular que la función de transferencia de un sistema que satisface una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes siempre es racional. Mirando el ejemplo anterior la ecuación por sí misma no nos brinda información acerca de la región de H ( z) convergencia asociada con la expresión algebraica . Sin embargo, una restricción adicional como la casualidad o la estabilidad del sistema, sirve para especificar la región de convergencia. z La transformada de tiempo discreto permite reemplazar las operaciones en el dominio del tiempo tales como la convolución y el desplazamiento en el tiempo, con operaciones z algebraicas. El empleo de la transformada para convertir descripciones de sistemas a ecuaciones de diferencias algebraicas también es útil en el análisis de las conexiones de sistemas LTI, como conexiones en serie, paralelo y retroalimentadas. Por ejemplo,

consideremos una conexión retroalimentada de dos sistemas como se muestra en la fig. 1.1. Es difícil determinar en el dominio del tiempo la ecuación en diferencias o las respuestas al impulso del sistema total. Sin embargo con los sistemas y las ecuaciones z expresadas en términos de su transformada , el análisis involucra solo ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones específicas de las conexiones de la fig. 1.1 son exactamente iguales a las ecuaciones, con el resultado final de que la función de transferencia total del sistema retroalimentado de la fig. 1.1 es:

Y ( z) H1 ( z )  H (z)  X ( z) 1  H1 ( z ) H 2 ( z )

Un sistema LTI representado por una ecuación lineal en diferencias finitas se transforma z por medio de la transformada en:

Y(z)= X(z)H(z)

Fig. 1.1: Conexión retroalimentada de dos sistemas

Que es la ley de Ohm generalizada. A la relación entre la salida y la entrada del sistema se H(z) llama transferencia .

H (z) 

Y ( z) X ( z)

La solución general del sistema es la convolución:

Fig. 4.2: Sistema de transferencia

H (z)

.

y  n = x  n * h  n

EJEMPLO 7.3. Resolver el circuito de la figura con

x  n  u  n

La ecuación del circuito es:

y  n  = x  n   ay  n  1

x  n  u  n 

.

Fig. 4.3: Circuito

Despejamos

x  n

.

y  n  ay  n  1  x  n 

Ahora aplicamos la transformada

z

en ambos lados de la ecuación y obtenemos.

Y(z)  az 1Y ( z )  X(z) Y(z)[1  az 1 ] 

Y(z) 

1 1 1 1

1 z .

1

1 a 1 z z

z2 Y(z)= (z - 1)(z - a)

Aplicando el teorema de convolución, para

Y(z) 

y  n  

1 1

.

a 1

.

1

1 a 1 z z



 a u k u n  k k

k 

y  n    a k u  k  u  n  k   1  a  a 2  a 3  a 4  L  a n1  a n . k 0