Aplicaciones de La Integral Definida

 

JXI@CJC@LNES ME IJ @N]EARJI MEG@N@MJ b

Pj se dj estum`jml que s`  g ( x )  es clnt`nuj y pls`t`vj en _ j ?b [  entlnces

∯  g ( x )mx , representj j

ei êrej me ij rea`ón i`k`tjmj plr  g ( x )  slbre ei efe T, entre ijs rectjs  x ; j  y  x ; b .

@)  CJICUIL ME ÊREJS ME UNJ REA@ÓN CLKXRENM@MJ EN]RE MLS CURWJS   Clns`merekls ij rea`ón jcltjmj plr ijs arjg`cj me  y ; g ( x ) ,  y ; a( x ) ,  x ; j ,  x ; b , mlnme  g y a  sln clnt`nujs en _ j ? b [ , tji que a( x ) ≭ g ( x )

?b [ . _ j ?b

∈ x∄

Se m`v`me _ j ? b [  en n  sub `ntervjils me ilna`tum ∇ x  cjmj unl me eiils. Sej  J`  ei êrej mei `-às`kl rectênauil me bjse ∇ x  y jiturj  g ( x ` ) − a( x ` ) , entlnces

(

)

 J` ; g ( x ` ) − a( x ` ) ∇ x  

Iueal  J ≄

n

√( g ( x

`

)

) − a( x ` ) ∇ x  

` ;:

 J ; i`k

n →∞

n

√( g ( x ;

`

)

) − a( x ` ) ∇ x  

` : b

 J ;

∯ _ g ( x ) − a( x )[ mx   j

 

LBSERWJC@ÓN b

:.  S`  g ( x ) ≥ 8  y a( x )  ; 8  entlnces ei êrej me ij rea`ón es6  J ;

∯ g ( x ) mx   j

b

2.  S`  g ( x )  ≭ 8  y a( x )  ; 8 , entlnces ei êrej me ij rea`ón es6  J ; −

∯ g ( x ) mx   j

 

3.  S`  y ; g ( x )  cjkb`j me s`anl un nukerl g`n`tl me veces en _ j ?b [ , se mesclkplne ij `ntearji j il ijral me tlml ei seakentl _ j ?b [ en ij sukj me `ntearjies me seakentls  pjrc`jies y se jpi`cjn ils pjsls :) y 2).  J ; J: + J2 + J3   c

 J ;

m

∯ g ( x ) mx j

−

b

∯ g ( x ) mx + ∯ g ( x ) mx   c

m 

=.  Ei êrej me ij rea`ón jcltjmj plr ijs arêg`cjs me  x ; g ( y ) ,  x ; a ( y )  entre  y ; c ,  y ; m  , tji que a( y ) ≭ g ( y )

_c ??mm [  , se meg`ne plr6

∈ y∄

m 

 J ;

∯ _ g ( y ) − a( y )[ m y   c

 

Efekpil :.  Djiijr ei êrej me ij rea`ón clkprenm`mj plr ijs arêg`cjs me  y ; x 2 ,  y ; x  entre  x   ; 8   y  x  ; : . Sliuc`ón

:

Iueal ei êrej es6  J ;

∯ ( x − x ) mx   2

8

:

  x 2 x3  :  J ;  −  ; u2   3 8 7  2 2.  Cjicuie ei êrej me ij rea`ón  R  i`k`tjmj plr6 

 

j.  R 6 y

; +

x :? y

;

8? x

;

8? x

;

 b.   R 6 y ; x 3 ? y ; 8? x ; 8? x ; 2 c.   R 6 x 2 + :? y ; 8? x ; :? x ; 2

e.   R 6 y ; − x 2 + 7 x? y ; x 2 − 2 x

3. 

 

 

 

m.   R 6 y ; x 2 ? y ; − x + 2? y ; 8

g.   R 6 y ; e x ? y ; : − x 2

:

   

 

 

XRLBIEKJS SLBRE ÊREJS :.  Djiijr ei êrej me ij rea`ón clkprenm`mj plr ij arêg`cj me  x 2 + y 2 ; : , ij rectj tjnaente j m`cdj arjg`cj me penm`ente

−

: 2

 y ei efe T.

2.  Djiijr ei êrej me ij rea`ón i`k`tjmj plr ij arêg`cj me  y + x 2 − = x + 3 ; 8   y ijs rectjs tjnaentes j estj curvj cuyl puntl me `ntersecc`ón es (2?5) .

3.  Djiijr ei êrej me ij rea`ón i`k`tjmj plr ijs arêg`cjs me  y

;

=  x  x

2

+:

=.  Djiijr ei êrej me ij rea`ón i`k`tjmj plr ij arêg`cj me  g ( x) ;  x

; º in e

, y 5  x − 5 y − 0 ; 8  

2 :+ e

  y ijs rectjs

 

x

;

kx  y mebjfl me

.

5.  Djiie ei vjilr me k , me kjnerj que ij rea`ón que estê enc`kj me  y ij pjrêblij  y ; 2 x − x 2  tenaj êrej `auji j 37 u2. 7.  Djiijr ei êrej me ij rea`ón i`k`tjmj plr ij arêg`cj me  y

;

( x + :) 2 ,  x

;

Sen(ψ  x) ,

 y ; 8, y ∄ _ 8?:[ .

1.  Djiijr

ei

êrej

 J( n), n > :   me

ij

rea`ón

i`k`tjmj

plr

ij

arêg`cj

me

n 2  y ; x (in x ) , x ; 8, x ; :, y ei efe T, y cjicuijr i`k  J( n) .

n →∞

4.  Djiijr

ei

êrej

me

ij

rea`ón

clkprenm`mj

plr

ijs

arjg`cj

me

 y ; e− x Sen( x) , y ; 8, x ≥ 8 .  

0.  Se qu`ere gert`i`zjr un terrenl terr enl cuyj superg`c`e (en Dj) se encuentrj i`k`tj i`k`tjmj mj plr ij curvj representjmj plr ij ecujc`ón  y

;

x

2

− 2x

 y plr ij rectj  x + y ; 2 . ¼Cuêntjs tlneijmjs

me gert`i`zjntes se neces`tjn s` ei cuit`vl requ`ere me 2 t / Dj .