Aplicaciones de La Integral Definida

APLICACIONES DE INTEGRALES DEFINIDAS Aplicaciones generales INGRESOS Ejemplo 1: Supóngase que el precio de un producto es constante a un valor de $10 por unidad; es decir, la función de ingreso marginal es IM = f(x) = 10, donde x es el número de unidades vendidas. El ingreso total conseguido con la venta de x unidades se determina al integrar la función de IM entre 0 y x. Así, el ingreso total logrado con la venta de 1500 unidades se calcularía como: 1500

 10dx  10 x

1500 0

 10(1500)  $1500

0

Se trata se trata de un procedimiento bastante complejo para el cálculo del ingreso total, puesto que bastaría haber multiplicado el precio por la cantidad vendida; se habría conseguido así el mismo resultado. No obstante, el procedimiento ejemplifica la manera de interpretar como ingreso total o incremental el área debajo de la función del ingreso marginal (ver figura). El ingreso adicional relacionado con un incremento de 1500 a 1800 unidades de las ventas, se calculará así: 1800

 10dx  10 x

1800 1500

 18.00  15000  $3000

1500

GASTOS DE MANTENIMIENTO Ejemplo 2: Un fabricante de automóviles estima que la tasa anual de gastos r(t) para dar mantenimiento a uno de sus modelos está representada por la función r(t) = 100 + 10 t2 donde t es la edad del automóvil expresada en años y r(t) se mide en dólares por año. Esta función indica que cuando el automóvil tenga 1 año de uso, los gastos de mantenimiento se harán a una tasa de: r(1) = 100 + 10(1)2 = $110 por año Cuando tenga 3 años de uso, estarán realizándose a una tasa de: r(3) = 100 + 10(3)2 = $190 por año Como cabe suponer, cuanto más viejo sea el automóvil, más mantenimiento requerirá (como puede observarse en la figura). El área bajo la curva entre dos valores cualesquier de t es una medida del costo esperado de mantenimiento durante ese intervalo. Los gastos de mantenimiento durante los primeros 5 años de vida del automóvil se calculan como sigue: 5

5

10 3  0 (100  10t )dt  100t  3 t  0  $916.67 2

De estos gastos, los que se esperan hacer durante el quinto año se estiman como: 5

5

10 3  4 (100  10t )dt  100t  3 t  4  $303.34 2

RECAUDACIÓN DE FONDOS Ejemplo 3: Una organización cívica está efectuando su campaña anual de fondos, que se destinan a un programa de campamento de verano de minusválidos. Los gastos de la campaña se realizarán a una tasa de $10000 diarios. Por experiencia se sabe que las aportaciones serán altas en las primeras fases de la campaña y tenderán a disminuir con el paso del tiempo. La función que describe la tasa a que se reciben los donativos es c(t) = -100t 2 + 20000 donde t representa el día de la campaña y c(t) se mide en dólares por día. La organización desea maximizar las utilidades netas de la campaña. a) Determine cuánto debería durar la campaña a fin de maximizar las utilidades netas. Respuesta: 10 días. b) ¿Cuáles se espera que sean los gastos totales de campaña? Respuesta: $100000. c) ¿Cuáles se espera que sean las aportaciones totales? Respuesta: $166666.67. d) ¿Cuáles se espera que sean las utilidades netas (aportaciones totales menos los gastos totales)? Respuesta: $66666.67. EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Una manera de medir el valor o utilidad que un producto tiene para el consumidor es el precio que está dispuesto a pagar por él. Los economistas sostienen que los consumidores en realidad reciben un valor de excedente en los productos que adquieren, atendiendo al modo de funcionar el mercado. Ejemplo 4: La figura describe las funciones de oferta y demanda para un producto. El equilibrio se da cuando se cobra un precio de $10 y la demanda es de 100 unidades. Si se emplean dólares para representar el valor que este producto tiene para los consumidores, según las prácticas contables modernas el ingreso total ($10 . 100 unidades = $1000) es una medida del valor económico del producto.

Esta medida de valor está representada por el área del rectángulo ABCE. Pero si se tiene presente la naturaleza de la función de demanda, habría habido una demanda del producto a precios mayores que $10. En otras palabras, habría habido consumidores dispuestos a pagar casi $20 por él. Y otros habrían sido atraídos al mercado con precios que oscilen entre $10 y $20. Si se supone que el precio que estarían dispuestos a pagar es una medida de la utilidad que el producto tiene para ellos, en realidad recibirán un bono cuando el precio de mercado sea $10. Si se observa la figura, los economistas afirmarían que una medida de la utilidad real del producto es el área ABCDE. Y cuando el mercado está en equilibrio, la utilidad adicional recibida por los consumidores, denominado excedentes del consumidor, se representa con el área sombreada CDE. Esta última se calcula como: 20

 p3 ( p  40 p  400 ) dp   20 p 2  400 p   $333.34 10 3  10 20

2

Los métodos contables modernos valuarían la utilidad del producto en $1000. Los economistas afirmarían que la utilidad real es de $1333.34, o sea que el excedente del consumidor es de $333.34. Esta medida de utilidad adicional, o bono, se aplica en particular a los consumidores que estarían dispuestos a pagar más de $10. Los economistas señalan asimismo que los productores obtienen un bono o utilidad agregada cuando se da ese fenómeno. Si nos centramos en la función de oferta q de la figura, ésta indica que algunos proveedores estarían dispuestos a ofrecer unidades a precios menores que el de equilibrio: $10. Cuando el precio de mercado es $10, ganarían más de lo que habrían ganado en caso contrario. Si cada uno vende al precio al que está dispuesto a hacerlo, el ingreso total lo representaría el área ACD. Dado que el ingreso total en estado de equilibrio está representado por ABCD, el área sombreada denota una medida del valor agregado de los proveedores. A ese valor se le da el nombre de excedente del productor. Ejercicios 1. La función de ingreso marginal del producto de una firma es IM = -0,02x + 10, donde x es el número de unidades vendidas. a) Determine el ingreso total conseguido con la venta de 300 unidades del producto. Respuesta: $2100. b) ¿Cuál es el ingreso agregado que se logra con un incremento de 200 a 300 unidades en la venta? Respuesta: $500. 2. Un fabricante de motores de aviones de propulsión estima que la tasa a que hacen los costos de mantenimiento de los motores es una función de las horas de operación. En el caso de un motor empleado en un avión comercial, la función es r(x) = 40 + 0,030x2, donde x es el número de horas de operación y r(x)indica la tasa a que se efectúan los costos de reparación (en dólares) por hora de operación.

a) Determine la tasa a que estarán efectuándose los costos al cabo de 100 horas de operación. Respuesta: b) ¿Cuáles se espera que sean los costos de mantenimiento durante las primeras 100 horas de operación? Respuesta: 3. Una compañía que está especializándose en las ventas por correo emprende una campaña promocional. Los gastos de publicidad le costarán $5440 por día. Los especialistas en mercadotecnia estiman que la tasa a que se generarán las utilidades (sin contar los costos de publicidad) con la campaña promocional disminuye con la duración de esta última. En concreto, la tasa r(t) de esta campaña se estima por medio de la función r(t) = -40t 2 + 8000, donde t representa el día de la campaña y r(t) se mide en dólares por día. Con objeto de maximizar la utilidad neta, la empresa debería realizar la campaña mientras r(t) sea mayor que el costo diario de la publicidad. a) Grafique la función r(t) y la función c(t) = 5440, que describe la tasa a que se hacen los gastos de publicidad. b) ¿Cuánto tiempo debería durar la campaña? Respuesta: 8 días. c) ¿Cuáles se espera que sean los costos totales de la campaña? Respuesta: $43520. d) ¿Cuál se espera que sea la utilidad neta? Respuesta: $13653.33. 4. Vuelva a resolver el ejemplo 3, suponiendo que los gastos de la campaña se hayan realizado a una tasa de $5000 diarios y que c(t) = -10t2 + 9000. Respuesta: 5. Se le da la función de demanda q d = p2 – 30p + 200 y la de oferta q o = 15p, donde p se representa en dólares, qd y qo se dan unidades y 0  p  9. a) Grafique las dos funciones. b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio. Respuesta: $5.75. c) Calcule el valor del excedente del consumidor si el mercado está en equilibrio. Respuesta: $161.33. 6. a) Determine el excedente del productor en el ejemplo 4. Respuesta: c) Calcule el excedente del productor para las funciones del ejercicio 5. Respuesta: Valores promedios de una función Si una función f es integrable en [a, b], su valor promedio en [a, b], también llamado b

valor medio, es: prom(f) =

1 f ( x )dx . b  a a

1. Una compañía introduce un producto nuevo al que le pone un precio de $5. El costo de producir x unidades semanales es (1000 + 2x) dólares. Se proyecta que durante el primer año, las ventas semanales aumentarán a una tasa constante de 200 a 600 unidades. Calcule la utilidad promedio esperada semanal durante el primer año. Solución: El ingreso de x unidades semanales es 5x dólares. Por lo tanto, la función de utilidad semanal es

P(x) = 5x – (1000 + 2x) = 3x – 1000. El valor promedio de esta función en el intervalo 200  x  600 es entonces 600

P ( x) 

1  (3x  1000) = 200 600  200 200

Por lo tanto, la utilidad promedio es $200 semanales, durante el primer año. 2. La utilidad P (en dólares) de un negocio está dada por P = P(q) = 396q – 2.1q 2 – 400, donde q es el número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de q = 0 a q = 100. Respuesta: $12400. 3. Suponga que el costo C (en dólares) de producir q unidades de un producto está dado por C = 4000 + 10q + 0.1q2. Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q = 100 a q = 500. Respuesta: 4. Una inversión de $3000 gana interés a una tasa anual del 10% compuesto continuamente. Después de t años su valor S (en dólares) está dado por S = 3000e0.10t. Encuentre el valor promedio de la inversión a 2 años. Respuesta: $3321. Coeficientes de desigualdad para distribución de ingreso CURVA DE LORENZ Curva utilizada para medir el grado de desigualdad en la distribución de la renta y de la riqueza de cualquier país o región. En el eje de ordenadas se representan los tantos por ciento acumulados de la renta total o de la riqueza total y en el de abscisas los tantos por ciento acumulados del número total de personas perceptoras de dicha renta o propietarias de la riqueza. Se denomina curva de Lorenz al lugar geométrico definido por los puntos que expresan el porcentaje total de renta percibido por cada uno de los sucesivos porcentajes acumulados de población. Si todas las personas percibieran la misma renta o poseyeran la misma riqueza, la curva de Lorenz sería la diagonal OT del correspondiente cuadrado (ver figura) o recta de la perfecta igualdad en la distribución de la renta o de la riqueza. Como tanto la renta como la riqueza están desigualmente repartidas entre los diferentes estratos de la población, lo que se obtiene en la realidad es una curva convexa hacia el eje de abscisas, con un grado de convexidad tanto mayor cuanto más desigual sea la distribución de la renta o de la riqueza. Curva que representa el grado de desigualdad con el que se distribuye una determinada variable.

La curva de Lorenz es una forma gráfica de mostrar la distribución de la renta en una población. En ella se relacionan los porcentajes acumulados de población con porcentajes acumulados de la renta que esta población recibe. En el eje de abscisas se representa la población "ordenada" de forma que los percentiles de renta más baja quedan a la izquierda y los de renta más alta quedan a la derecha. El eje de ordenadas representa las rentas. En la gráfica se muestran como ejemplo la representación de dos países imaginarios, uno en azul y otro en rojo. La distribución de la renta en el país azul es más desigual que en el país rojo. En el caso del país azul, el cuarenta por ciento más pobre de la población recibe una renta inferior al veinte por ciento del total del país. En cambio, en el país rojo, el cuarenta por ciento más pobre recibe más del veinte por ciento de la renta. La línea diagonal negra muestra la situación de un país en el que todos y cada uno de los individuos obtuviese exactamente la misma renta; sería la equidad absoluta. Cuanto más próxima esté la curva de Lorenz de la diagonal, más equitativa será la distribución de la renta de ese país.

Otra forma de observar la curva de Lorenz es estimando el área de la superficie que se encuentra entre la curva y la diagonal. Esa superficie se llama área de concentración. En la gráfica de la izquierda la hemos rellenado de color rosado. Cuanto mayor sea este área más concentrada estará la riqueza; cuanto más pequeña sea este área, más equitativa será la distribución de la renta del país representado.

Si todos los individuos son del mismo tamaño, la curva de Lorenz es una línea diagonal recta, llamada la línea de la igualdad. Si hay alguna desigualdad de tamaño, entonces la curva de Lorenz cae debajo de la línea de la igualdad. La cantidad total de desigualdad se puede resumir por el coeficiente de Gini (también llamado el cociente de Gini), que es el cociente entre el área incluida por la línea de la igualdad y la curva de Lorenz, y el área triangular total bajo línea de la igualdad. El grado de la asimetría alrededor del eje de la simetría es medido por el coeficiente supuesto de la asimetría de Lorenz. Su valor estará entre cero y uno. Cuanto más próximo a uno sea el índice Gini, mayor será la concentración de la riqueza; cuanto más próximo a cero, más equitativa es la distribución de la renta en ese país Ejemplos 1. Encuentre el coeficiente de desigualdad de la distribución de ingreso dada por la curva Y

14 2 1 x  x 15 15

en donde x es la proporción acumulada de captadores de ingresos y Y es la proporción acumulada del ingreso nacional. Respuesta: 2. La distribución del ingreso de cierto país está descripta por la curva de Lorentz Y

19 2 1 x  x , en donde x es la proporción de captadores de ingresos y Y es 20 20

la proporción del ingreso total recibido. a. ¿Qué proporción recibe el 20% de la gente más pobre? Respuesta: b. Determine el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz. Respuesta: 3. Repita el ejercicio anterior en el caso de la curva de Lorentz Y  0,94 x 2  0,06 x . Respuesta: Curvas de aprendizaje Las curvas de aprendizaje, también llamadas economías de escala dinámicas, hacen referencia al aumento de la productividad que se produce a través de la experiencia acumulada. Cuando una empresa lleva más de un periodo produciendo un bien aprende a producirlo mejor, se hace con el know how (saber cómo hacer algo pronto, y bien hecho; estrategia comercial) del proceso productivo, lo que se traduce en una disminución del costo unitario a medida que aumenta la producción acumulada. La importancia de esta relación puede llevar a que determinadas empresas produzcan más que la cantidad de equilibrio durante los primeros periodos con el fin de bajar por su curva de aprendizaje más rápidamente que sus competidores. Una curva de aprendizaje, entonces, describe el grado de éxito obtenido durante el aprendizaje en el transcurso del tiempo. Es un diagrama en que el eje horizontal representa el tiempo transcurrido y el eje vertical el número de éxitos alcanzados en ese tiempo. A menudo se cometen muchos errores al comenzar una nueva tarea. En las fases posteriores disminuyen los errores, pero también las materias nuevas aprendidas, hasta llegar a una llanura.

Mientras más empinada sea la curva, mayor es la eficiencia del aprendizaje. En la economía se utiliza la curva de aprendizaje para explicar aumentos de productividad o mejoras en la calidad tras cambios en el proceso de producción (nuevos operarios, nuevas máquinas, nuevos métodos). El tiempo total acumulado necesario para cierta curva de aprendizaje conocida (Yx = f(x)), se calcula de la siguiente manera: b

Tt 

 f ( x)dx a

donde a es el número inicial de unidades producidas y b el el número deseado de unidades a producir. Ejemplos 1. Después de observar las primeras 400 unidades de su producto, una empresa determina que el tiempo de mano de obra requerido a fin de ensamblar la unidad (x+1) se describe mediante la siguiente curva de aprendizaje:

f ( x )  500x

1

2

Calcule el total de horas de mano de horas requeridas con el objeto de producir 500 unidades adicionales. Respuesta 10.000 horas. 2. Después de pintar los primeros 40 automóviles, un establecimiento estima que la curva de aprendizaje es de la forma f(x) = 10x-0.25. Encuentre el total de horas-hombre que se requerirán a fin de pintar 60 automóviles más. Respuesta: 3. Sonido X&Y produce radioreceptores en su línea de ensamblado. Se sabe que los primeros 100 aparatos (1 unidad) les lleva un total de 150 horas-hombre, y por cada unidad adicional de 100 aparatos, se requirió menos tiempo de acuerdo con la curva de aprendizaje y = 150x-0.2, en donde f(x) es el número de horas-hombre requeridas a fin de ensamblar la unidad (x+1). ¿Cuántas horashombre se requerirán con objeto de ensamblar 5 unidades (esto es, 500 radioreceptores) después que se han ensamblado las primeras 5 unidades? Respuesta: 4. Electrónica Morales produce calculadoras electrónicas en su línea de ensamblado. Las primeras 50 calculadoras demandan 70 horas, y por cada unidad adicional de 50 calculadoras se requiere menos tiempo de acuerdo con la línea de aprendizaje f(x) = 70x-0.32. ¿Cuánto tiempo demandará el ensamblado de 500 calculadoras después de que se han ensamblado las primeras 200 calculadoras? Respuesta: 5. Suponiendo que existe una mejora del 20% cada vez que la producción se duplica (por ejemplo, la sexta unidad requiere 80% del tiempo consumido por la tercera unidad, la vigésima unidad requiere 80% del tiempo demandado por la décima unidad, etc.) determine el valor de la constante b para la curva de aprendizaje f(x) = axb. Respuesta: Maximización de la utilidad con respecto al tiempo Existen ciertas empresas como la explotación de minas y la perforación de pozos petroleros, por ejemplo, que se tornan no rentables después de cierto período. En tales operaciones, la tasa de ingreso I´(t) (ingreso marginal, digamos dólares por mes) puede ser muy alta al inicio de la operación pero puede decrecer a medida que transcurre el

tiempo debido al agotamiento de recursos. La tasa de costo C´(t) (costo marginal) es pequeña al principio, pero con frecuencia se incrementa a medida que el tiempo transcurre debido por el incremento en el mantenimiento, costos de extracción más altos, y muchos otros factores. Por ello, la tasa de costo C´(t) a menudo es una función creciente con respecto al tiempo. En tales operaciones existe un instante en el que el costo de mantener la operación se hace más alto que el ingreso y la empresa empieza a perder dinero. El administrador de tal operación enfrenta el problema de seleccionar un instante para cerrar la empresa que resultaría en la utilidad máxima obtenida. Denotemos por C(t), I(t) y U(t) el costo total, el ingreso total y la utilidad total hasta el instante t (medidas desde el inicio de la operación), respectivamente. Se sigue que: U(t) = I(t) – C(t) y, asimismo, U´(t) = I´(t) – C´(t). La utilidad máxima total ocurre cuando U´(t) = 0, o bien cuando I´(t) = C´(t). En otras palabras, la operación debería realizarse hasta el instante t1 en que las tasas de ingreso y de costo sean iguales. t1

t1

0

0

La utilidad en el instante t1 está dada por: U (t1 )   U (t )dt    I (t )  C (t )  dt . Esta máxima utilidad puede obtenerse, y sin duda puede interpretarse, como el área de la región acotada por las gráficas de I(t) y C´(t) entre los instantes t = 0 y t = t1. Observación: Puesto que t = 0 es el instante en que la operación inicia la producción, el ingreso total R(0) en este instante es cero. En el análisis anterior habíamos supuesto también que el costo total C(0) era cero. En general, esto no puede ser cierto debido a los costos fijos (esto es, costos de apertura) que deben realizarse antes de la iniciación de la producción. Así es que, en la práctica, deberíamos restar estos costos fijos de la expresión anterior de U(t1) a fin de obtener la utilidad máxima real. Ejemplos 1. Las tasas de ingreso y costo de cierta operación minera están dadas por C´(t) = 5 + 2t2/3 y I´(t) = 17 – t2/3, en donde C e I se miden en millones de dólares y t en años. Determine qué tanto deberá prolongarse la operación y encuentre la utilidad total que puede obtenerse durante este período. Respuesta: 38.2 millones de dólares. 2. Efectuar un cálculo similar sabiendo ahora que las tasas en una operación de perforación petrolera están dadas por I´(t) = 14 – t1/2 y C´(t) = 2 + 3t1/2. Respuesta: 3. La función costo marginal e ingreso marginal, de una empresa C´(x)  5  x 2 y I ´( x)  37  4 x , en donde x denota el número de unidades producidas y los costos fijos son de 25$. a) Encuentre el nivel de producción que maximizaría las utilidades de la empresa. Respuesta: 4 unidades. b) Calcule la utilidad total de la empresa con este nivel de producción. Respuesta: $74.6 c) Determine la utilidad si el nivel de producción se incrementa en 2 unidades, más allá del nivel de utilidad máxima. Respuesta: 48. REVISAR TODO Valor presente de un ingreso continuo

Donde un ingreso está repartido a lo largo de un número de años futuros, a veces es útil calcular el valor presente de este ingreso. Esto puede ser particularmente valioso cuando una compañía tiene que elegir entre tasas alternativas para explotar recursos. Como en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un periodo, es necesario utilizar descuentos continuos para calcular el valor presente (VP). Obviaremos la deducción del cálculo, que se realiza mediante la expresión: VP = T



f (t )e  rt dt , donde VP es el valor presente de una anualidad continua a la tasa anual

0

r (compuesta continuamente) durante T años, si un pago en el tiempo t es a la tasa de f(t) por año. Ejemplos 1. Encontrar el valor presente (al dólar más cercano) de una anualidad continua con un interés del 8% durante 10 años, si el pago en el tiempo t es a razón de t 2 dólares por año. 10

Solución: el valor presente está dado por VP =

t

2

e  0.08t dt , integrando

0

mediante el método adecuado esta expresión se obtiene que VP = $185. 2. Una inversión inicial de P dólares, crece continuamente a una tasa anual del 6%. Si la inversión tiene un valor de 26997$ después de 5 años, determina la inversión inicial. Respuesta: $4630. 3. El valor actual (en dólares) de un flujo continuo de ingreso de $2000 al año durante 5 años al 6% compuesto continuamente está dado por 5

 2000e

 0.06 t

dt . Evalúe el valor actual al dólar más cercano. Respuesta:

0

$8639. Superávit del consumidor y del productor El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, en un mercado de libre competencia, existen también productores que estarían dispuestos a vender el artículo a un precio menor y algunos consumidores aceptarían gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan percibir y pagar, respectivamente, se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los productores y superávit de los consumidores. Por ejemplo, el área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y = p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.

El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p = d(q) y p = p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma: q0

  d(q)  p dq 0

0

donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p 0 y demanda de equilibrio q0. De esta manera, ambos superávits, están dados por las expresiones: x

SC 

  f ( x)  P dx 0

0

x

SP 

 P

0

 g( x) dx

0

Ejemplos 1. No existe demanda para una nueva marca de filmadoras, si el precio por cámara es de 1700$ o más, por cada disminución de 100$ en el precio la demanda se incrementará en 200 unidades. El fabricante no está dispuesto a considerar un precio unitario de 500$ para empezar su oferta, y ofrecerán 1400 cámaras a un precio de 850$. Determine las ecuaciones de ofertas y demandas. ¿Cuál es la cantidad y precio de equilibrio? ¿Cuánto están dispuestos a gastar los consumidores por el producto? Determine el superávit del consumidor y del productor para el caso. Respuestas: p

1 x x  500 y p   1700 , 1600 unidades y $900, $1600, $32000 y 4 2

$64000. 2. Calcule el superávit del consumidor y del productor si las ecuaciones de la demanda y de la oferta son 3p + 5x = 28 y p = 2x + 2, respectivamente. Respuesta: 10/3 y 4, respectivamente (o 144 y 36, REVISAR). 3. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x 2. Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades. Solución: Como la cantidad de unidades es 20, su precio asciende a p = d(20) = 50 - 0,06.202 = 26. Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

20

 50  0.06 x 0

2



20





 26 dx   24  0.06 x 2 dx 24 x  0.02 x 3



20 0

 320

0

Respuesta: La ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.

El área total bajo la curva de oferta entre q = 0 y q = q 0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área total bajo la recta p = p 0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida. Si s(q) es una función de oferta con precio p 0 de equilibrio y oferta q0 de q0

equilibrio, entonces superávit de los productores =

 p

0

 s (q ) dq .

0

4. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es s(x) =

x  7. 2

Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos. Solución: Si la producción asciende a 10 artículos el precio es s(10) = 10  7 = 12 pesos. 2

La ganancia o superávit de los productores se calculo resolviendo: 10

10  x x2  x   12   7 dx  5  dx  5 x        25 0   2  0  2  4 0

10

Respuesta: La ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos. 5. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas. Solución: Función de demanda: p1 (q) = 1000 - 0,4 q2. Función de oferta: p2 (q) = 42q El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:

La oferta coincide con la demanda en (q0, p0) , es decir,: p1 (q) = p2 (q)  1000 - 0,4q2 = 42q  - 0,4q2 - 42q + 1000 = 0

 q1 = - 125 y q2 = 20 Como los valores de las abscisas corresponde a número de artículos ofrecidos o demandados, q0 = 20 y, por lo tanto, p0 = 840. El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre p1 (q) y la recta p = 840, entre 0 y 20, o sea: 20

q3   1000  0 . 4 q  840  dq   160  0 . 4  q dq  160 q  0 . 4   2133,33 0 0 3 0

20

20

2

2

Respuesta: El excedente de demanda asciende a $2133,33 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p = 840 y p = 42q entre 0 y 20, o sea:

  840  42q  dq  840q  21q 

20

0

2 20 0

= (840.20 - 21.202) = 8400

Respuesta: El superávit de oferta alcanza $8400. 6.

Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función f(x) describe la razón de ventas cuando pasaron x años desde que el producto se presentó en el mercado por primera vez. Se sabe que f ( x)  2700 x  900 si 0  x  5. Calcule las ventas totales durante los primeros cuatro años. Solución: Debemos plantear: VT = 4

  2700 4



x  900 dx 

0

2700 x 3 2

3

2

  5400 3 2  900 x   .4  900.4  18000 3   0

Respuesta: Las ventas totales durante los primeros cuatro años ascienden a 18000 unidades. 7. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorro sea de f(x) pesos al año donde f(x) = 1000 + 5000x. a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? Respuesta: Al cabo de seis años el ahorro asciende de $ 96000. b) Si la máquina se compró a $ 67500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina en pagarse por sí sola? Respuesta: Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola. Solución: a) Para conseguir el ahorro durante los primeros seis años calculamos

 (1000  5000x)  1000x  2500x  6

2 6 0

 96000

0

Al cabo de seis años el ahorro asciende de $ 96000 b) Dado que el precio de compra es de $ 67500, el número de años de uso que se requieren para que la máquina se pague sola es n, entonces

 (1000  5000x)  67500  1000x  2500x  n

2 n 0

 67500

0

1000n + 2500 n2 = 67500  2500 n2 + 1000n - 67500 = 0 5 n2 + 2n - 135 = 0 Hallamos los valores de n aplicando la resolvente y resulta n1 = -5,4 (imposible para nuestro problema) y además n2 = 5.

Se tardarán 5 años para que la máquina se pague sola. Ejercicios adicionales dC

1. La función de costo marginal de un fabricante es dq  0.2q  3 . Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 60 a 70 unidades. Respuesta: $160. dC

2 2. Repita el problema anterior si dq  0.003q  0.6q  40 y la producción aumenta de 100 a 200 unidades. Respuesta:

dI

1000

3. La función de ingreso marginal de un fabricante es dq  100q . Si I está en dólares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 400 a 900 unidades Respuesta: $2000. dI

2 4. Repita el problema anterior si dq  250  90q  3q y la producción crece de 10 a 20 unidades. Respuesta:

5. Encuentre el coeficiente de desigualdad para la curva de Lorentz definida por y

11 2 1 x  x . Respuesta: 12 2

6. La función de demanda para un producto es p = f(q) = 100 – 0.05q, donde p es el precio por unidad (en dólares) de q unidades. La función de oferta es p = g(q) = 10 + 0.1q. Determinar los excedentes de consumidores y productores bajo equilibrio del mercado. Respuesta: El excedente de los consumidores es de $9000 y el de los productores de $18000. 90

7. La ecuación de demanda para un producto es q  f ( p )  p  2 y la ecuación de oferta es q = g(p) = p – 1. Determinar el excedente de los consumidores y el de los productores cuando se ha establecido el equilibrio del mercado. Respuesta: El excedente os consumidores es, aproximadamente, de 72.85 y el de los productores es 32. 8. La ecuación de demanda de un producto es q  10 100  p . Calcule el excedente de consumidores bajo equilibrio del mercado, que ocurre a un precio de $84. Respuesta: $426.67. 9. La ecuación de demanda para un producto es p = 2 11 – q , y la ecua ión de oferta es p = 2q + 1, donde p es el precio por unidad (en cientos de dólares) cuando q unidades se demandan o se ofrecen. Determine a las 1000 unidades más cercanas el excedente de consumidores bajo equilibrio del mercado. Respuesta: $254000. Información y ejercicios extraídos de: * MATEMÁTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA ECONOMÍA (4ª EDICIÓN) de JAGDISG C. ARYA – ROBIN W. LARDNER (Ibarra, Schettino, Villalobos). Editorial Pearson – Prentice Hall. México 2002.

* MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES (3ª EDICIÓN) de FRANK S. BUDNICK (Efrén Alatorre). Mc Graw-Hill. México 1999. * MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA (8ª EDICIÓN) de ERNEST F. HAEUSSLER – RICHARD S. PAUL (de la Cera e Ibarra Mercado). Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. México 1997. * http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm