Aplicaciones de la integral a las Ciencias Sociales y Económicas

 Aplicaciones  Aplicaciones de la integral a las las Ciencias Sociales y Económicas Germán Ricardo Urbina Forero Matemático.

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1. Introducción 2. Aplicaciones a la economía 2.1 De marginalidad a totalidad 2.2 Inversión – Inversión – Formación  Formación de Capital 2.3 Valor actual de un flujo de dinero 2.4 Superávit del consumidor 3. Otras Aplicaciones 4. Un juego en MATLAB.

1. Introducción • La matemática es útil en otros campos, si las vemos como una herramienta para modelar fenómenos o situaciones presentes en la realidad. • En las ciencias sociales tales como la Economía, la Sociología, la Demografía, entre otras, se hace necesario el uso de la matemática para interpretar y explicar resultados o para predecir sucesos. • Las ciencias sociales, y en especial la Economía, no escapan al concepto de razón de cambio, luego entonces, como es de esperar, tampoco escapan del proceso de integración. • Dada la función c’(x) (Costo o Ingreso marginal), es posible hallar la función c(x) (costes o ingreso total).

2. Aplicaciones a la Economía

• 2.1 De marginalidad a totalidad

2.1 De marginalidad a totalidad •

EJEMPLO 1: En la fabricación de un producto, el coste marginal de producir x unidades es de c´(x)=3x+4. Si los costes fijos son 40, hallar la función de costes totales c(x). SOLUCIÓN:

Definición Costo Total    (3 x  4)dx

c( x)  c' ( x) dx

c(x) 

3 x 2

 4 x  c1

2 C.I : C(0)  40, entonces, c(0)  c1. Por lo tanto, c(x) 

3 x 2 2

 4 x  40

2.1 De marginalidad a totalidad •

EJEMPLO 2 (Derive): Dada la función de costo marginal del ejemplo 1, y usando Derive, hallar todas las funciones c(x) y dibuje algunas de sus gráficas en el plano xy. Grafique la función que cumple con la C.I. del ejemplo 1.

SOLUCIÓN:

2.1 De marginalidad a totalidad EJEMPLO 3: Dada la función de Ingreso Marginal I’(Q)=28Q -e0.3Q halle la función de ingreso Total I(Q). ¿Qué condición inicial debemos introducir para definir la constante de integración? SOLUCIÓN: Def. Ingreso Total    (28Q-e )dQ   28QdQ   e dQ Prop.Integral

 I (Q)   I ' (Q)dQ

0.3Q

0.3Q

 I(Q)  14Q 2

10e

0.3Q

 c1. Debemos hallar la constante c1 ,

3

 por lo tanto hacemos  I (0)  0, luego entonces I(0)  Asi que I (Q)  14Q 2

10e

0.3Q

3



10 3

- 10 3

 c1  0.

2. Aplicaciones a la Economía

• 2.2 Inversión – Formación de Capital

2.2 Inversión – Formación de Capital

• Formación de capital Aumentar un stock de capital dado K(t). • dK/dt := Tasa de Formación de capital • dK/dt = I(t): Tasa de flujo de inversión neta en t

dK   K (t )   I (t )dt  dt  dK  dt 







2.2 Inversión – Formación de Capital

EJEMPLO 4: Suponga que la tasa de inversión se describe por la función I(t)=12t1/3 y que el capital inicial es de 25 (en millones de US) (a) Hallar la trayectoria temporal de stock de capital (b) Hallar la cantidad de capital acumulado durante los periodos [0,1] SOLUCIÓN: (a)



 K (t )   I (t )dt  Definición 4 1

4

12t 3 3  c1  9t 3  c1  K(t)  12t dt  4



3 4

Como K (0)  25, entonces, K(t)  9t 3  25

(b)

1

  I (t )dt  K (1)  K (0)  (9  25)  (25)  9 (en millones de US) 0

2.2 Inversión – Formación de Capital EJEMPLO 5 (MATLAB): Solucione el ejemplo 4 en MATLAB y grafique la trayectoria temporal del stock de capital K(t) SOLUCIÓN:

2.2 Inversión – Formación de Capital

Grafica Ejemplo 4

2. Aplicaciones a la Economía

• 2.3 Valor actual de un flujo de dinero

2.3 Valor Actual de un flujo de dinero

• Suponga que tiene una serie de ingresos de dinero desde el instante t=0 hasta t=T, a la tasa de f(t) dólares por año en t, con un interés compuesto continuamente a la tasa r (anual). ¿Cómo calcular el valor actual de ese flujo de dinero?.

VAD 



0



0

T 



 s

rt 

 f (t )e dt  (al tiempo 0)

T 

VFD  VD 

T 

 f (t )e

 f (t )e

r (T t )

r (t  s )

dt  (al tiempo T)

dt  (en el instante s)

2.3 Valor Actual de un flujo de dinero EJEMPLO 6: (a) Hallar el Valor Actual Descontado (VAD) de una línea constante de renta de a dólares anuales en los próximos T años, a una tasa de interés continua del r anual (b) Cuál es el limite del VAD cuando T SOLUCIÓN: (a)  f (t )  a Dado ∞

T 

  f (t )e dt    ae dt  a 

VAD 

 rt 

0

T 

T 

 rt 

0

0



e rt dt 

Haciendo u  -rt , se tiene que du  -rdt , y si t  0, entonces, u  0, y si t  T , entonces u  -rT , asi que a

T 



0

e

 rt 

VAD 

dt  a

a r 



(1  e

 rT 

0

rT 

0 a    du  a 0 u e  e du  eu rT    rT  r    r    r 

)

(b) lim VAD  lim T 

u

T 

a r 

(1  e

 rT 

)

a r 

2.3 Valor Actual de un flujo de dinero EJEMPLO 7 (Derive): (a) Hallar el Valor Actual Descontado (VAD) de una línea constante de renta de 500 dólares anuales en los próximos 15 años, a una tasa de interés continuo del r = 6% anual SOLUCIÓN:

2. Aplicaciones a la Economía

• 2.4 Superávit o Excedente del

consumidor

2.4 Superávit del consumidor

•

Dada la función de demanda p(x) (precio que se impone para vender x unidades de un artículo).

•

Entre más artículos vendidos, se exige que bajen los precios. (Curva de demanda decreciente)

•

Sea X:= Cantidad actual disponibles del articulo, luego P = p(X):= Precio actual de venta.

•

Cantidad ahorrada: (ahorro por unidad)(numero de unidades)=[p(x i)P]∆x n

[ p( x )  P ] x. Si n  , entonces, se tiene i

i 1

SC 

 X 



0

[p(x)-P]dx

2.4 Superávit del consumidor EJEMPLO 8: Se da una curva de demanda por p(x)=450/(x+8). Halle el superávit de consumidor cuando el precio de venta es de 10 (en millones de pesos) SOLUCIÓN: Debemos hallar el valor de X. Como el precio de venta es 10, entonces, 450 X8 SC 

 10  X   37  X 



[p(x)-P]dx

0

Def. SC

 450     10dx 0  x  8  37



37

0

450

 x  8



dx 



37

0

10dx



 450 ln(x  8)0  10 x0  450[ln(45)  ln(8)]  370 37

37

SC  407.25 (millones de pesos)

3. Otras Aplicaciones

•  A sociología: EJEMPLO 9: A las 8 horas de la mañana surge un rumor en una ciudad que se propaga a un ritmo de e3t/2+500 personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcula el número de personas que lo habrán oído entre las 9 y las 12 horas de la mañana. SOLUCION:

Como el rumor inició a las 8 am, sea este t  0. A las 9am, t  1 y a las 12m, t  4. Por lo tanto, P(t) 



4

1

3

t 

(e  500)dt  2

4

2  2 t   e   500[t]14 3  1 3

P(t) 

2 3

3

(e - e 2 )  500(3)  1766 personas 6

3. Otras Aplicaciones

• Probabilidad para las C.S. Def : Una función con valores  f(x), definida sobre R, se llama una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua  X , sii  P(a  X   b) 

b

  f ( x)dx a

3. Otras Aplicaciones EJEMPLO 10: El número de minutos que una entrega de mercancía se adelanta o se atrasa en llegar a destino, es una v.a.c. cuya f.d.p. es  f ( x) 

1

(36  x )  para - 6  x  6, 2

288 0 en otra parte

Cuyos valores negativos indica que la entrega llego adelantada, y positivos que llega atrasada. Encuentre la probabilidad de una de estas entregas llegue en cualquier tiempo entre 1 y 3 minutos adelantada. SOLUCION  P (3  X   1) 



1

3

 f ( x)dx 

1

1

3

288



1 3   x   95 1 1 36 x3       288   3  3  432 

(36  x )dx 2

4. Un juego hecho en MATLAB