aplicaciones de la elipse y la hiperbola.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE LENGUA Y LITERATURA ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO

:

ANALISIS MATEMÁTICO I (MA-141)

TEMA

:

LA ELIPSE, HIPÉRBOLA

DOCENTE

:

 Lic. JUAN TACURI MENDOZA ALUMNO

:

 HUAMÁN CABRERA, Yelsin Jack

AYACUCHO-PERU 2011

ELIPSE, HIPÉRBOLA

ELIPSE La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es: La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.[2] ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas. La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: • •

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y el semieje menor (el segmento

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C-b de la figura). Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente. PUNTOS DE UNA ELIPSE Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a). Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse. EJES DE UNA ELIPSE El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si. EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE La excentricidadε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

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Dado que

, también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.[3] La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon. (No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e). EXCENTRICIDAD ANGULAR DE UNA ELIPSE La excentricidad angular α es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

CONSTANTE DE LA ELIPSE

En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre es igual a la longitud del «eje mayor», 2a. En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco F1 al punto P (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco F2 a ese mismo punto P. (El segmento de color azul sumado al de ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

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color rojo). El segmento correspondiente, tanto trazo PF1 (color azul), como al PF2 (color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro O. En la animación, el punto P recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo). DIRECTRICES DE LA ELIPSE

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse. Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.

Además de la bien conocida relación también es útil la fórmula

, también es cierto que

,

.

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

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para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior. ECUACIONES DE LA ELIPSE EN COORDENADAS CARTESIANAS

FORMA CARTESIANA CENTRADA EN ORIGEN La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponder al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

FORMA CARTESIANA CENTRADA FUERA DEL ORIGEN Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

EN COORDENADAS POLARES

FORMA POLAR CENTRADA EN ORIGEN En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1) Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la

excentricidad

), es:

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(epc 2) Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad. Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

FORMAS POLARES CENTRADAS EN UN FOCO Coord. Polares sobre un foco. En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:

(501) Para el otro foco:

(502)

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse. En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular φ, la forma polar es:

(503)

}

El ángulo θ de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

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verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamado semilatus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco. FORMAS PARAMÉTRICAS La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:

con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre α y θ es

. La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro θ sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es:

con . El parámetro θ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k). ÁREA INTERIOR DE UNA ELIPSE El área de la superficie interior de una elipse es:

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Siendo a y b los semiejes.[4] LONGITUD DE UNA ELIPSE El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie. Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

HIPÉRBOLA

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal. La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde) desde un punto P de la hipérbola a uno ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

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de los focos y su correspondiente directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia ±a con respecto al centro. Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Secciones cónicas.

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración). Véase también: hipérbole HISTORIA Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas

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del cono. Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[2] donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.[3] Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,[4] considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

y

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos: a)

b)

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ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA EN SU FORMA COMPLEJA Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. La ecuación queda: Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Dos hipérbolas y sus asíntotas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

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Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la longitud del semieje menor.

APLICACIÓN Y EJEMPLOS

Cuando se tiene una estructura sometida a cargas distribuidas en un elemento, el diagrama de momento puede asemejarse a una elipse o parábola de segundo grado. Esto se usa para el cálculo de momento máximo en dicha barra . Este diagrama describe una cierta elipse o parábola que al derivarla se obtiene el punto de la ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

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viga donde el momento es máximo y en base a esto nosotros podemos diseñar y la cantidad de Acero de refuerzo, El área de la Sección transversal de la columna o Viga y otros factores de diseño. En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. •

Edificios con formato (pasivo) elíptico. “El Castillo de Ingapirca” Ecuador.

•

Reino de Monomotapa, donde destaca el templo de forma elíptica decorado con motivos fálicos y anillos irregulares. Zimbawe.

•

Edicios y rampas para discapacitados:Las escaleras principales que correspondan a construcciones sin ascensor, en edificios de uso público o colectivo, serán de forma elíptica o tramos rectos, pudiéndose autorizar escalones compensados. Rosario argentina

•

La gigantesca fortaleza de Kuélap se halla situada en el distrito de Tingo, provincia de Luya, departamento de Amazonas, a una altura de 3,000 metros sobre el nivel del mar; en la cima de una alta eminencia rocosa conformante de un ramal de la cordillera central del Perú. Su forma es de elipse alargada orientada de norte a Sur y está construida sobre la punta de un cerro, cuyas laderas son muy abruptas e inaccesibles, a más de 500 metros de altura sobre la quebrada cortada a pico.

•

También en la Península Ibérica, y hechas de piedra, madera y ramas, casas de las que no recuerdo el nombre y se encuentran en avanzado estado de deterioro por su antigüedad. Normalmente tienen 2 plantas, abajo se encerraban o protegían los animales. Destacándose su forma elíptica y con solo1 puerta de entrada.

•

Su nombre oficial es 53rd at Third pero es conocido popularmente como Lipstick Builing (el pintalabios). Su elegante forma elíptica le diferencia de los edificios de su entorno.

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Hay muchísimos más y construidas desde tiempos inmemoriales, hasta en modernas ciudades con el fin de aprovechar los estrechos terrenos en esquinas de calles diagonales.

En muchas ciudades es fácil encontrar plazas de planta elíptica, normalmente conocidas por el nombre de "plaza elíptica". Por ejemplo, en Madrid y Bilbao existen plazas de este tipo. Sin embargo, la plaza de planta elíptica más famosa en el mundo probablemente sea la Plaza de San Pedro en el Vaticano. También podemos encontrar edificaciones con planta elíptica. Un ejemplo es la iglesia del Monasterio de San Bernardo, más conocido por "Las Bernardas" en Alcalá de Henares. Un templo con una única nave y planta elíptica, con cúpula del mismo trazado. En sus muros se abren seis capillas, cuatro de ellas también de planta elíptica, con diferentes tamaños de sus portadas.

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PARÁBOLAS Ahora, detengámonos un poco más en la parábola. Nos la encontramos, sobre todo, en ciertos fenómenos interesantes de reflexión: del sonido, de ondas electromagnéticas y de la luz, como caso particular de onda electromagnética. La parábola es la curva que adopta un cable que tenga que soportar una carga, un peso, uniformemente distribuido, véase el puente de San Francisco: El Golden Gate. La catenaria es la curva que adopta un cable sostenido por sus extremos debido a su propio peso. Por otro lado, la curva que adopta el cable es una parábola cuando, despreciando su propio peso, es una carga uniformemente distribuida la que soporta. En el puente colgante, los cables, además de su propio peso, tienen que soportar el de la plataforma. Por ello, la forma exacta que adoptan los cables es una "combinación" de la catenaria y la parábola. La diferencia entre ambas curvas es muy pequeña. De hecho, los ingenieros suponen en sus cálculos que es una parábola, dada la simplicidad de su ecuación frente a la ecuación de la catenaria. Pero aparece también en la Mecánica. Veamos algunos ejemplos: Sistema de navegación LORAN La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.

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EDIFICIO LIPSTICK INTRODUCCIÓN Su nombre oficial es 53rd at Third pero es conocido popularmente como Lipstick Builing (el pintalabios). Su elegante forma elíptica le diferencia de los edificios de su entorno. Se trata la segunda contribución post-moderna de Johnson en el horizonte de Manhattan, después del edificio de AT&T que construyó dos años antes. Esta vez la forma inusual, que a terminado pro darle nombre al edificio, era un requisito del propietario para hacer que el edificio pareciese inclinado hacia fuera compensando la posición menos de moda en aquel entonces de Tercera Avenida. La forma elíptica también da lugar a que todas las oficinas situadas en el perímetro de la planta sean “oficinas esquina”, una de las situaciones más cotizadas sobre la planta de un edificio. SITUACIÓN Su dirección exacta se encuentra en el 885 de la tercera Avenida de la ciudad de Nueva York, entre las calles 53 y 54. CONCEPTO El edificio de 143 m de alto consiste en cuatro cilindros ovalados colocados unos sobre el otro, de mayor a menor, creando el edificio un aspecto inclinado que se aleja de la concurrida tercera avenida. La forma elíptica de la planta también logra que no haya diferencias entre las oficinas situadas en el perímetro de las plantas ya que por definición la elipse, al pertenecer a la misma familia que el círculo, no tiene vértices y por lo tanto no hay esquinas.

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Según el arquitecto la forma elíptica de la columnata perimetral que rodea al edificio es una reminiscencia de le época barroca en la que esta forma estuvo muy de moda. Aunque sin duda esta no será una de las primeras observaciones de un visitante casual. Su forma elíptica junto con el hecho de que la planta del edificio va disminuyendo a medida que gana altura y el tono rojo que le imprime el granito que lo recubre han hecho que desde un buen principio los neoyorquinos lo apodasen “Lipstick Building” o “Edificio Lapiz de Labios”. Algo que en un principio n estaba en mente de los arquitectos. ESPACIOS El edifico se entrega al terreno mediante una serie de columnas elípticas forradas en granito rojo dispuestas en parejas en la dirección del eje mayor de la elipse y colocadas de una en una según nos vamos colocando en paralelo con el eje menor. La planta base del edifico se hace un poco más pequeña que las demás dejando un espacio libre entre la fachada a pie de calle y las columnas que entregan el edifico al terreno creando un espacio a modo de galería perimetral cedida a los peatones. Una vez dentro del edificio nos encontramos con un gran lobby de 9 metros de altura que sorprende por ser un espacio realmente hueco dentro del edificio. Esto se logra gracias a que los ascensores y las escaleras de emergencias se encuentran situados al fondo del edificio y no en la típica posición central. El vestíbulo además de dar la bienvenida a los visitantes aloja una serie de kioscos y una cafetería que ha adoptado como nombre oficial “Lipstick Café”. El resto del edificio se usa enteramente para alojar oficinas de distintas empresas. ESTRUCTURA No sólo por la altura del edificio sino también por su singular forma se optó por utilizar una estructura de acero para soportar las cargas y transmitirlas hasta la cimentación.

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ESTADIO: Esa estructura hace parte de la cubierta en 16 ejes estructurales en tribuna de los 72 que conforman el estadio, 8 en Occidental y 8 en Oriental respectivamente, el problema surge por la forma geométrica del Estadio, es una elipse no un ovalo recto como lo son Barranquilla y Manizales, Estructuralmente era casi imposible que esos apoyos no existirían debido a que la cubierta tiene un quiebre desde la bandeja superior a la Inferior, de todos modos le muestro un ejemplo de estadios viejos que les pusieron cubierta y presentan el mismo problema, el Olimpic de Berlin. GIMNASIO El Gimnasio Nacional de Yoyogi en Tokio, construido para las olimpiadas de 1964, es la obra más conocida del maestro japonés Kenzo Tange, y la que lo catapultara a la fama internacional y al premio Pritzker. Su diseño aerodinámico, monumental y sugerente se convirtió en un icono de la capital japonesa y un referente dentro de la corriente denominada metabolismo, marcando una distancia del movimiento moderno internacional. Cuando se completó el Gimnasio mayor tenía la cobertura suspendida más larga del mundo. Ambos edificios sobresalen no sólo por la calidad estética de sus estructuras y la innovación formal de su diseño, sino por la tecnología empleada, en un país constantemente sacudido por fuertes vientos y terremotos. ANTECEDENTES Luego de la derrota en la Segunda Guerra Mundial en 1945 y durante la ocupación norteamericana encabezada por MacArthur, Japón quedó devastado. El mundo se sorprendería cuando a menos de 20 años de lanzadas las bombas atómicas, Japón organizaba en Tokio las Olimpiadas de ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

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1964. Más impresionado quedaría aún con la extraordinaria calidad de su infraestructura deportiva, encabezada por la Villa Olímpica diseñada por Kenzo Tange.

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