Aplicaciones de La Derivada Para Analisis Marginal

APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA ANALISIS MARGINAL COSTO PROMEDIO:

1. Determinar la función costo promedio para la cual la función de costo total es: Q(x) = 15x +10000. SOLUCION Q(x) = 15x + 10000 q(x) = Q(x)/x = (15x + 10000) x = (15x/x) + (10000/x) q(x) = 15 + (10000/x) 2. Suponga que el costo total, C(q) de producir q artículos viene dado por la expresión:

C (q)  0.01 q

3



0.6 q 2



13 q  200

Determine la función costo promedio y determine el costo promedio al producir 100 unidades. SOLUCION Función costo promedio:

C (q) 

C (q )



q

0.01 q 3



0.6 q 2



13 q  200 200

q



0.01 q 2



0.6 q



13 

200 q

El Costo promedio al producir 100 unidades:

0.01 (100) 2



0.6 (100)  13 

200 100



$ 55

3. Supóngase que C(q) es el costo total de la producción, en dólares, de ciertos artículos, siendo: C (q)



1 2

q

2



2 q 5

Determine la función costo promedio Y el costo promedio al producir 1000 unidades. SOLUCION Función costo promedio:

                     El Costo promedio al producir 1000 unidades:

            COSTO MARGINAL:

1. Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función, Q(x) =       . Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602. Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla. SOLUCION La función de costo es: Q(x) =       . Entonces la función costo marginal es, en este caso: Q’(x)=2x+2.

Y el costo marginal por producir 1 artículo más es de: Q’ (300) = 2(300)+2 = 602.

La función costo promedio es, en este caso, q(x) =

   





y el costo promedio al producir 300 artículos es: q(300) =300+2+

  = 302.01 pesos 

esto quiere decir que el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad. 2. La función costo total por producir un artículo es Q(x) =   . El costo por producir 50 artículos es Q (50) = 110132.33 pesos. Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la definición. SOLUCION La función costo total es: Q(x) =   La función costo marginal es: Q’(x) =  

El costo adicional por producir 1 unidad más es: Q ’ (50) =  

     pesos.

3. Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función Q(x) =       El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo. SOLUCION La función costo total es: Q(x) =       La función costo marginal es: Q’(x) = 0.4x+1500

Y el costo por producir 1 auto más es, Q’ (100) = 0.4 (100)+1500 = 1540 pesos

Esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540. La función costo promedio es: q(x) =

    = 0.2x+ 1500+  

El costo promedio al producir 100 autos es, q (100) = 0.2 (100)+1500+

 =20+1500+1000 = 2520 pesos 

Como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

INGRESO MARGINAL:

1. Un fabricante estima que, al producir x unidades de un bien de consumo, el costo total será de C(x) =

   

      (miles de pesos), y que se venden todas las unidades si el

precio que pone es de p(x) = 1/3 (75  – x) (miles de pesos) por unidad. Hallar el costo y el ingreso marginal.

SOLUCION La función costo total es: C(x) =

   



La función costo marginal es: C’(x) =

  

Para calcular el ingreso marginal debemos hallar primero la función de ingreso que es R(x) = x*p(x). R(x) = x [

   ] = -   

Entonces el ingreso marginal es R ‘(x) = - 2/3 x + 25.

2. Calcule el ingreso marginal R’(x), si la ecuación de demanda es: 

       cuando  p=4 SOLUCION 

 

     →  



   →4= → x=64  

La función ingreso es: R(x)= x*p 

 R(x)= x [ ] 



 R (64)=64[ ] = 256 

La función ingreso marginal es:        R’(x) =        = 3.5   R’ (64) =  

3. Calcule el ingreso marginal R’(x), de la función de ingreso: 

R(x) =    

SOLUCION 

R(x) =     La función ingreso marginal es: 

R’(x)= 5-0.025   

R’(x)= -0.025    +5 UTILIDAD MARGINAL:

1. Si la función de ingreso total es R(x) =

   ; y la función costo total es

Q(x) =      . Determinar la función de utilidad marginal. SOLUCION R(x) =    Q(x) =      La función de utilidad es: G(x) =R(x)-Q(x) G(x) =   -     G(x) =      La función de utilidad marginal es: G’(x)= 400- 0.016x

que representa la ganancia o pérdida al producir una unidad adicional. 2. Si la función de demanda es x + 4p = 1000 y la de costo es C(x) = 1000 + 5x, calcule la utilidad marginal con respecto a x cuando p = 150. SOLUCION C(x) = 1000+5x p=

R(x) = x*p ; R(x)=  

 

 

La utilidad es: G(x) = R(x)-C(x) G(x) =   G(x) =

  

    

→ 150 = 

 → 

   = 400

La función de utilidad marginal es:        = 45 G’ (400)= 

G’(x)=

3. Si la función de demanda es

√      y la de costo es C(x) = 60 + x, calcule la utilidad

marginal con respecto a x cuando p = 7. SOLUCION C(x) = 60 + x R(x) =x*p

p=  √  →      √  → x=9

; 

R(x)=     La función de utilidad es: G(x)=R(x)-C(x) 

G(x)=          

G(x)=        La función de utilidad marginal es:  √      G’ (9)= √    = 4.5 

G’(x)=