Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

INTRODUCCIÓN: Isaac Newton se daba cuenta de la importancia que tenían las ecuaciones diferenciales  para el análisis de los fenómenos de la naturaleza. Por algo sus renombrados "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana, arrancan con la ecuación diferencial del movimiento. Esta ecuación se considera como axioma, mientras que los planteamientos posteriores de la mecánica son, de hecho, teoremas que se derivan de dicho axioma, así como de la ley de gravitación universal que se desgaja de los hechos experimentales (leyes de Kepler) y del mencionado axioma: md 2s/dt2 = F.2

APLICACIONES DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN EN INGENIERÍA Y CIENCIAS  Aplicaciones de polinomios en Ciencias e Ingeniería:  – Ajuste de curvas.  – Sistemas dinámicos.  – Sistemas lineales Sea un sistema de segundo orden definido por la siguiente EDO:

Donde y  y t   son variables dependientes e independientes, respectivamente, las ai  son coeficientes constantes, y F (t ) es la función de " fuerza", que representa los efectos del mundo externo sobre el sistema. La ecuación anterior se puede expresar alternativamente como un par de EDO de primer orden mediante:

La solución general  u homogénea, trata el caso cuando la función fuerza es cero (F (t ) =  0). La homogénea  dirá algunos aspectos fundamentales acerca de los sistemas que está estimulando. Cómo responden los sistemas ante la ausencia de un estímulo externo. La solución general de todos los sistemas sin fuerza es de la forma: y = ert . Derivando esta solución y sustituyéndola en la homogénea se tiene:

Y cancelando términos exponenciales:

Este resultado es un polinomio llamado la ecuación característica, las raíces de la ecuación característica son los valores de r   que satisfacen esta ecuación. Las r  se conocen como los valores característicos, o eigenvalores   del sistema. Al evaluar estas raíces con la fórmula cuadrática:

Se obtienen dos raíces, y se presentan los siguientes casos: - Si el discriminante ( a12  – 4a2 a0 ) > 0, las raíces son reales y la solución general se puede representar como:

Las c   son constantes y pueden determinarse con las condiciones iniciales. Este caso es llamado sobreamortiguado . - Si el discriminante es cero, resulta una sola raíz real y la solución general es:

Este caso es llamado amortiguamiento crítico . - Si el discriminante es negativo (< 0), las raíces son números complejos conjugados:

La solución general puede formularse como:

El comportamiento físico de esta solución puede ser aclarado mediante la fórmula de Euler :

Reformulando la solución general como:

Este caso es llamado subamortiguado . Estas ecuaciones representan las posibles soluciones de un sistema dinámico lineal. El término exponencial significa que la solución puede decaer (parte real negativa) o crecer (parte real positiva). El término sinusoidal (parte imaginaria) significa que la solución puede oscilar. Si el eigen valor tiene tanto parte real como imaginaria, las formas exponencial y sinusoidal son combinadas. Tal conocimiento es esencial para entender, diseñar y controlar el comportamiento de sistemas físicos. Por todo lo anterior, los polinomios característicos son importantes en ingeniería y en diferentes ramas de las ciencias.

CONCLUSIÓN: Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometría, mecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que verifican la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no lineales de sumo interés en numeroso casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:   https://books.google.com.mx/books?id=rLq29iI9W1cC&pg=PA151&lpg=PA1 51&dq=aplicaciones+de+sistemas+de+segundo+orden+en+ingenieria+y+ci encias&source=bl&ots=1AS_0BFaj&sig=ey3Jo8wH45MPSbN8on0gQVjC70I&hl=es-419&sa=X&ei=eBjVfnpJIWnyQS64IFw&ved=0CFAQ6AEwCTgK#v=onepage&q=aplicacione s%20de%20sistemas%20de%20segundo%20orden%20en%20ingenieria% 20y%20ciencias&f=false Bronson, Richard: Ecuaciones diferenciales modernas (1990) Mc Graw-Hill, impreso en Editorial Nomos, Bogotá.   https://books.google.com.mx/books?id=_mNXieHhvCkC&pg=PA126&lpg=P  A126&dq=aplicaciones+de+sistemas+de+segundo+orden+en+ingenieria+y +ciencias&source=bl&ots=dEK2XUEBpT&sig=U0GI_tczeYLlb_f9KLNhEeXzs8&hl=es419&sa=X&ei=RdtjVevvB8b4yQTboIO4BA&ved=0CEEQ6AEwBg#v=onepa ge&q=aplicaciones%20de%20sistemas%20de%20segundo%20orden%20e n%20ingenieria%20y%20ciencias&f=false   http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpo pup=true&id=24506

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